Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự (Phần 2) - Trần Quang Việt

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự (Phần 2) - Trần Quang Việt

1. Ch-7: áp ng tn s ca h th ng LTI và thi t k b lc tư ng t Lecture-14 7.3. B lc Butterworth 7.4. B lc Chebyshev 7.5. Các phép bi n i tn s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.2. B lc Butterworth Trên th c t ng ưi ta tìm ưc các phép bi n i thi t k b lc thông cao, thông dãi, ch n dãi da vào b lc thông th p
   
   
   Tp trung kh o sát thi t k b lc thông th p (xem nh ư b lc mu – Prototype Filter) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 1
2. 7.3. B lc Butterworth  áp ng biên ca b lc thông th p Butterworth bc n: 1 |H ( j ω )| = 2 n ω 1 + ()ω c 1/2  Ti tn s ωc, áp ng biên bng 1/(2) ho c -3dB
   công su t suy gi m ½ : gi là tn s ct, tn s 3dB ho c tn s ½ công su t  Trong thi t k, ta dùng áp ng chu n hóa (ωc=1) nh ư sau: 1 |H (jω )| = 1+ω2n Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3. B lc Butterworth  áp ng biên ca b lc chu n hóa: 1 |H (jω )| = 1+ω2n  Xác nh hàm truy n ca b lc chu n hóa: 1 s= j ω 1 H(jω )( H − j ω ) = H()s H (− s ) = 1+ω2n 1+ (/s j ) 2n Các poles ca H(s) H(-s) ph i th a: s2n= − ( j ) 2 n jπ (2 k − 1) −1 = e 2n jπ (2 kn+ − 1) jπ / 2 = j= e s e Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 2
3. 7.3. B lc Butterworth Vy các poles ca H(s) H(-s) là: jπ (2k+ n − 1) 2 n sek =; k = 1,2,3, ,2 n HHH(s) HHH(-s) HHH(s) HHH(-s) jπ (2k+ n − 1) HHH 2 n Kt lu n: n poles ca (s): sek =; k = 1,2,3, , n Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3. B lc Butterworth Vy H(s) có dng: 1 H(s ) = (ssssss−1 )( − 2 )( − 3 ) ( ss − n ) jπ (2k+ n − 1) 2 n sek =; k = 1,2,3, , n Ví d: xét tr ưng hp n=4 s= ej5π /8 =−0.3827 + j 0.9239 1 j7π /8 s= e =−0.9239 + j 0.3827 2 j9π /8 s2 = e =−0.9239 − j 0.3827 s= ej11π /8 =−0.3827 − j 0.9239 1 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3
4. 7.3. B lc Butterworth 1 H(s ) = (s+− 0.3827 js 0.9239)( ++ 0.3827 js 0.9239)( +− 0.9239 js 0.382 7)( ++ 0.9239 j 0.3827) 1 ⇒ H(s ) = (s2+ 0.7654 ss ++ 1)( 2 1.8478 s + 1) 1 ⇒ H(s ) = s4+2.6131 s 3 + 3.4142 s 2 + 2.6131 s + 1 Làm tươ ng t ta có th tính ưc cho tr ưng hp bc n bt k: H 1 1 (s ) = = n n −1 Bsn( ) sas+ n −1 +++ as 1 1 Bn(s): Gi là a th c Butterworth!!! Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3. B lc Butterworth n n-1 Coefficients of Butterworth Polynominal Bn(s)=s +a n-1s + +a 1s+1 n a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4
5. 7.3. B lc Butterworth Butterworth Polynominal in Factorized Form n Bn ( s ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3. B lc Butterworth  Xác nh hàm truy n H(s) ca b lc: s← s /ω H(s ) c H( s ) Thi t k b lc Butterworth bc 2 vi ωc=10 s← s ω 1 / c 1 H(s ) = 2 H(s)= 2 s+2 s + 1 s s ()10+ 2() 10 +1 100 ⇒ H(s)= s2 +10 2s+100 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 5
6. 7.3. B lc Butterworth  Xác nh bc n ca b lc và ωc theo các yêu cu thi t k: 2 n ω x   li (dB) ti tn s ω : G x = −10log1 0 1 + ( ω ) x c  ω 2 n  li (dB) ti tn s ω : p  p G ≤−10log 1 +ω ≤ 0 p 1 0 ( c )  ω 2 n  li (dB) ti tn s ω : s  s 0≥≥−G 10log 1 + ω s 10 ( c )  2 n ω p − G p /10 ≤10 − 1 2 n − G s /10 ( ω c ) ω 10− 1 ⇒ ⇒ s ≥ 2 n ( ω p ) − G /10 ω − p s G s / 1 0 − ( ω ) ≥1 0 − 1 10 1 c − − G /10 G s /10 p  log (10− 1)/(10 − 1)  ⇒ n ≥ 2log(ωs / ω p ) ω ω ⇒ p s ω c ≥ − G /10 ω c ≤ − (10p − 1) 1 / 2 n (10Gs /10 − 1) 1/ 2 n Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.3. B lc Butterworth  Các bưc thi t k b lc thông th p Butterworth: Ví d: Thi t k b lc thông th p Butterworth th a mãn các yêu cu sau: li dãi thông (0 ≤ω <10) không nh hơn -2dB; li dãi ch n (ω≥ 20) không vt quá -20dB − − G /10 G s /10 p  log (10− 1)/(10 − 1)   Bưc 1: Xác nh n ≥ 2log(ωs / ω p )  Bưc 2: Xác nh ωc: ω p ω và s ω c ≥ − G /10 ω c ≤ − (10p − 1) 1 / 2 n (10Gs /10 − 1) 1/ 2 n  Bưc 3: Xác nh HHH(s): dùng n (bưc 1) tra bng (ho c tính) s← s /ω  Bưc 4: Xác nh H(s): H(s ) c H( s ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6
7. 7.3. B lc Butterworth 2 0.2 log (10− 1)/(10 − 1)   Bưc 1: n ≥ = 3 .7 0 1
   2 log 2 ch n n=4 1 0 ω ≥ = 10.694 c (100.2− 1) 1/8  Bưc 2: 2 0
   ch n ω =11 ω ≤ = 1 1 .2 6 c c (102− 1) 1/8 G =−10log 1 +( 10 )8  =− 1.66dB >− 2 dB ( p )design 10 11  G =−10log 1 +20 8  =− 20.8dB <− 20 dB ( s )d esign 1 0 ( 11 )  1  Bưc 3: H (s ) = (s2 + 0.76536686 ss ++ 1)(2 1.84775907 s + 1) 1  Bưc 4: H( s ) = s2 ss2 s [()11+ 0.76536686() 11 ++ 1][() 11 1.84775907() 11 + 1] 14641 ⇒ H( s ) = (s2 + 8.41903546 ss ++ 121)(2 20.32534977 s + 121) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4. B lc Chebyshev  áp ng biên ca b lc thông th p Chebyshev: 1 |H ( j ω )| = 1+ ε 2C 2 (ω ) n ω c  Trong thi t k, ta dùng áp ng chu n hóa (ωc=1): 1 |H (jω )| = 2 2 1+ εC n ( ω )  Vy khi có H(s)
   H(s) bng cách: s← s /ω H(s ) c H( s ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7
8. 7.4. B lc Chebyshev  Xét áp ng biên ca b lc thông th p chu n hóa Chebyshev : 1 |H (jω )| = 2 2 1+ εCn ( ω ) −1 Cn (ω )= cos( n cos ω );|ω | 1 Cn(ω) là mt a th c th a tính ch t sau: Cn()2ωωω= C n−1 () − Cn n − 2 (); ω ≥ 2 ⇒ 2 Có:C 0 (ω )= 1 và C1 (ω ) = ω C 2 ()2ω= ω − 1 Mt cách tư ng t ta có th tính ưc bng Cn(ωωω)!!! Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4. B lc Chebyshev Chebyshev Polyminals n C n (ω ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 8
9. 7.4. B lc Chebyshev 1  áp ng biên b lc Chebyshev: |H (jω )| = 2 2 1+ εCn ( ω ) ωp≡ ω c Pass-band Pass-band gn r ( lơi max/ lơi min ) trong dãi thông: 2 r =10log10 (1 + ε ) (dB) -r ↔Gp (Butterworth) (dB) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4. B lc Chebyshev  Xác nh ε và bc(n) ca b lc Chebyshev th a yêu cu thi t k: ε r=10log (1 +ε 2 ) ≤ r ⇒ r /10  Xác nh : ( )design 10 ε ≤10 − 1  li ti tn s ω: G= −10log [1 + ε 2 C 2 (ω )] 10 n ω p ω  li ti tn s ω : −10log [1 + ε 2C 2 (s )] s 1 0 n ω p ≤ G s ≤ 0 1 / 2 − G s / 1 0 ω 1 0− 1  ⇒ coshn cosh − 1 s  ≥ ()ω p r / 1 0    1 0− 1  − 1 / 2 1 10G s / 1 0 − 1  ⇒ n ≥ c o s h − 1 − 1 r / 1 0  cosh()ωs / ω p 1 0− 1  − 1 0G s / 1 0 − 1 ⇒ ε ≥ − 1 cosh[n cosh (ωs / ω p )] Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 9
10. 7.4. B lc Chebyshev  Xác nh hàm truy n H(s) ca b lc: Ng ưi ta tính ưc các poles ca H(s) nh ư sau: (2k− 1)π (2 k − 1) π s= −sin sinh xj + cos cosh x k 2n 2 n k= 1,2,3, , n 1 1  HHH(s) HHH(-s) x = sin h − 1   n ε  a=sinh xb ; = cosh x Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4. B lc Chebyshev K ⇒ H (s ) = n (ssss−1 )( − 2 ) ( ss − n ) K K ⇒ H n n (s ) =' = n n − 1 Csn() sas+ n −1 +++ asa 1 0 Kn ưc la ch n bo m li DC:  a0 n odd K =  n a0 n even  1+ε 2 vi c thi t k ưc n gi n, ng ưi ta thành lp bng C’n(s) ho c giá tr ca các poles vi mt s gn r th ưng gp
    
    
    Tra bng!!! Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 10
11. 7.4. B lc Chebyshev Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal 'n n− 1 n − 2 Csasn=+ n−1 + as n − 2 +++ asa 10 n a 0 a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 0.5 dB ripple r= 0.5 dB 1 dB ripple r= 1 dB Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4. B lc Chebyshev Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal 'n n− 1 n − 2 Csasn=+ n−1 + as n − 2 +++ asa 10 n a 0 a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 2 dB ripple r= 2 dB 3 dB ripple r= 3 dB Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 11
12. 7.4. B lc Chebyshev Chebyshev Filter Poles Locations n r= 0.5 dB r= 1 dB r= 2 dB r= 3 dB Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4. B lc Chebyshev Chebyshev Filter Poles Locations n r= 0.5 dB r= 1 dB r= 2 dB r= 3 dB Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 12
13. 7.4. B lc Chebyshev  Các bưc thi t k b lc thông th p Chebyshev: Ví d: Thi t k b lc thông th p Chebyshev th a mãn các yêu cu sau: r trong dãi thông (0 ≤ω≤ 10) ≤ 2dB; li dãi ch n (ω≥ 20) Gs≤ -20dB − 1/ 2 1 10G s /10 − 1   Bưc 1: Xác nh: n ≥ cosh −1 −1 r /10  cosh()ωs / ω p 10− 1  − 10G s /10 − 1  Bưc 2: Ch n ε: r /10 −1 ≤ε ≤10 − 1 cosh[n cosh (ωs / ω p )] Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.4. B lc Chebyshev Nu ε sao cho r=0.5dB, 1dB, 2dB ho c 3dB
    tra bng C’n(s); nu không th a
    tính C’n(s): (21)k−π (21) k − π sk = −sin2n sinh xj + cos 2 n cosh x 1−1 1 k=1,2,3, , n ; x = n sinh ()ε ' Csn ()=− ( ssss1 )( − 2 ) ( ss − n ) K  Bưc 3: Xác nh HHH(s): H = n (s ) ' Cn ( s ) a0 n odd K =  n a0 n even  1+ε 2 s← s /ωp  Bưc 4: Xác nh H(s): H(s ) H( s ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 13
14. 7.4. B lc Chebyshev 2 1 / 2 1−  101−   Bưc 1: n ≥ cosh1   = 2.473
    ch n n=3 cosh− 1 (2) 10 0.2 − 1  102 − 1  Bưc 2: ≤ε ≤100 .2 − 1 cosh[3cosh− 1 (2)] ⇔ ≤ε ≤ 0.382 0.764
    ch n ε=0.764
    (r) design =2dB ' 3 2 Tra bng: Cssn ( )=+ 0.7378 s + 1.0222 s + 0.3269 ⇒  Bưc 3: nodd Kn = a 0 = 0.3269 0.3269 ⇒ H (s ) = s3+0.7378 s 2 + 1.0222 s + 0.3269 0.3269  Bưc 4: H( s ) = s3 s 2 s ()10+0.7378() 10 + 1.0222 10 + 0.3269 326.9 ⇒ H( s ) = s3+7.378 s 2 + 102.22 s + 326.9 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.5. Các phép bi n i tn s  B lc thông cao (High-pass Filter): Prototype Filter High-pass Filter Pass-band Stop-band s← T( s ) ωp H (s ) T( s ) = p H( s ) s Ví d 1: Thi t k b lc thông cao Chebyshev th a mãn các yêu cu sau: r trong dãi thông (ω≥ 200) ≤ 2dB; li dãi ch n (ω≤ 100) Gs≤ -20dB? Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 14
15. 7.5. Các phép bi n i tn s  B lc thông dãi (Band-pass Filter): Prototype Filter Band-pass Filter Pass-band Stop-band ωω− ω2 ω 2 − ωω  ω = minpp12 s 1 ; s 2 pp 12  s ωω− ω ωω − ω sp12() p 1 sp 22() p 1  2 s← T( s ) s +ωp1 ω p 2 H T( s ) = p (s ) H( s ) (ωp2− ω p 1 ) s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.5. Các phép bi n i tn s Ví d 2: Thi t k b lc thông dãi Chebyshev th a mãn các yêu cu sau: r trong dãi thông (1000 ≤ω≤ 2000) ≤ 1dB; li dãi ch n (ω≤ 450 ho c ω≥ 4000) G s≤ -20dB? Ví d 3: Thi t k b lc thông dãi Butterworth th a mãn các yêu cu sau: li trong dãi thông (1000 ≤ω≤ 2000) ≥ -1dB; li dãi ch n (ω≤ 450 ho c ω≥ 4000) G s≤ -20dB? Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 15
16. 7.5. Các phép bi n i tn s  B lc ch n dãi (Band-stop Filter): Band-stop Filter Prototype Filter Pass-band Stop-band   ωωsp12( − ω p 1) ωω sp 22( − ω p 1 )  ω = min ;  s ωω− ω2 ω 2 − ωω pp12 s 1 s 2 pp 12  s← T( s ) (ωp2− ω p 1 ) s H T( s ) = p (s ) H( s ) 2 s +ωp1 ω p 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7.5. Các phép bi n i tn s Ví d 4: Thi t k b lc ch n dãi Butterworth th a mãn các yêu cu sau: li trong dãi ch n (100 ≤ω≤ 150) ≤ -20dB; li dãi thông (ω≤ 60 ho c ω≥ 260) ≥ -2.2dB? Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 16