Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace - Trần Quang Việt

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace - Trần Quang Việt

1. Ch-6: Phân tích h th ng liên tc dùng bi n i Laplace Lecture-10 6.1. Bi n i Laplace Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1. Bi n i Laplace 6.1.1. Bi n i Laplace thu n 6.1.2. Bi n i Laplace ca mt s tín hi u thông dng 6.1.3. Các tính ch t ca bi n i Laplace 6.1.4. Bi n i Laplace ng c Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 1
2. 6.1.1. Bi n i Laplace thu n
   Bi n i Fourier cho phép phân tích tín hi u thành tng ca các thành ph n tn s  phân tích h th ng ơ n gi n & tr c quan hơn trong mi n tn s.
   Bi n i Fourier là công c ch yu phân tích TH & HT trong nhi u lnh vc (vi n thông, x lý nh, )
   Mu n áp dng bi n i Fourier thì tín hi u ph i suy gi m & HT vi áp ng xung h(t) ph i n nh. ∞ ∞ |f ()| t dt<∞ & |()| h t dt <∞ ∫−∞ ∫ −∞
   phân tích tín hi u tng theo th i gian (dân s, GDP, ) và h th ng không n nh  dùng bi n i Laplace (là dng tng quát ca bi n i Fourier) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.1. Bi n i Laplace thu n
   Xét tín hi u f(t) là hàm tng theo th i gian  to hàm mi φ(t) t f(t) sao cho tn ti bi n i Fourier: φ(t)=f(t).e -σt; σ∈ R
   Bi n i Fourier ca φ(t) nh sau: ∞ ∞ Φ()ω =F[ φ (t )] = ftee ( ) −σt − j ω t dt = f( t ) e−(σ + j ω ) t dt ∫−∞ ∫−∞ ∞ t s= σ+j ω: Φ()ω = f () t e−st dt F(s)= () ∫−∞ ∞ Hay: F(s)= f(t)e−st dt (Bi n i Laplace thu n) ∫−∞ Ký hi u: Fs( )= L[ ft ( )] f( t ) φ()t= fte () −σt t t Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 2
3. 6.1.1. Bi n i Laplace thu n
   Mi n hi t (ROC) ca bi n i Laplace: tp hp các bi n s trong mt ph ng ph c có σ=Re{s} làm cho φ(t) tn ti bi n i Fourier Ví d: tìm ROC tn ti F(s) ca các tín hi u f(t) sau: ()aft ()= e−at uta (); > 0 ()bft ()= eu−at (); − ta > 0 ()cft ()= ut () Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.2. Bi n i Laplace ca mt s tín hi u thông dng (a) f(t)= (t) ⇒ F( s )= 1; ROC: s-plane 1 (b) f(t)=e-at u(t); a>0 ⇒ F() s= ; ROC :Re{} s > − a s+ a 1 (c) f(t)=-e-at u(-t); a>0 ⇒ F() s= ; ROC :Re{} s 0 s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3
4. 6.1.3. Các tính ch t ca bi n i Laplace
   Tính ch t tuy n tính: ft()↔ Fs () 1 1 ⇒ aft11()+ aft 22 () ↔ aFs 11 () + aFs 22 () ft2()↔ Fs 2 () 2 1 Ex: 2 e−t u () t+ e − 2 t u () t ↔+ ; ROC :Re{} s >− 1 s+1 s + 2
   Dch chuy n trong mi n th i gian: ft()↔ Fs () ⇒ −st 0 ftt(−0 ) ↔ Fse () t − 4  1 Ex: rect  =−−−↔ u ( t 3) u ( t 5) () e−3s − e − 5 s 2  s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.3. Các tính ch t ca bi n i Laplace
   Dch chuy n trong mi n tn s: ft()↔ Fs () ⇒ s0 t fte()↔ Fss ( − 0 ) s −at s+ a Ex: cos() btut () ↔ 2 2 ⇒ ecos() btut ( ) ↔ s+ b (s+ a ) 2 + b 2
   o hàm trong mi n th i gian: ft()↔ Fs () dn f( t ) ⇒ ↔sFssfnn() −−−−1 (0) − sf n 2(1) (0) − −− f (1) n −− (0) dt n δ (t )↔ 1 ⇒ δ (1) (t ) ↔ s ⇒ δ (n ) (t ) ↔ s n t − 4  d2 f( t ) f( t ) = rect   ⇒ ↔ ? 2  dt 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4
5. 6.1.3. Các tính ch t ca bi n i Laplace
   Tích phân mi n th i gian: t F( s ) ft()↔ Fs () ⇒ f(τ ) d τ ↔ ∫ − 0 s 0− t ∫ f(τ ) d τ F( s ) ∫ f(τ ) d τ ↔−∞ + −∞ s s
   T l th i gian: 1 s  ft()↔ Fs () ⇒ f() at↔ F  ;0 a > a a  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.3. Các tính ch t ca bi n i Laplace
   Tích ch p mi n th i gian: ft()↔ Fsft ();() ↔ Fs () ⇒ 1 12 2 ft1()∗ ft 2 () ↔ FsFs 12 ()()
   Tích ch p mi n tn s: ⇒ 1 ft1()↔ Fsft 12 ();() ↔ Fs 2 () ftft12()()↔2π j [ FsFs 12 () ∗ () ]
   o hàm trong mi n tn s: dF( s ) ft()↔ Fs () ⇒ tf( t ) ↔− ds −t 1 1 e u( t ) ↔ ⇒ te−t u( t ) ↔ s +1 ()s +1 2 t2 u( t )↔ ? Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 5
6. 6.1.4. Bi n i Laplace ng c
   Tín hi u f(t) c tng hp nh sau: ft( )= φ ( te ). σt ∞ F −1 σt1 jt ω  σ t ft()= [()]. Φω e = 2 Fsede () ω . π ∫−∞  σ +j ∞ 1 st f() t= j F () s e ds (Bi n i Laplace ng c) 2π ∫σ −j ∞ Ký hi u: f(t)= L-1 [F ( s ) ]  Chúng ta không tp trung vào vi c tính tr c ti p tích phân trên!!!
   Mô t F(s) v các hàm ơ n gi n mà ã có kt qu trong bng các cp bi n i Laplace. Th c t ta quan tâm ti các hàm hu t!!!  Zero ca F(s): các giá tr ca s F(s)=0  Pole ca F(s): các giá tr ca s F(s)→∞  Nu F(s)=P(s)/Q(s)  Nghi m ca P(s)=0 là các zero & nghi m ca Q(s)=0 là các pole Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.4. Bi n i Laplace ng c s2 − 2 11 1
   Ví d: 3 2 =−+ + s++32 s s ss ++ 12 s Dùng ? s2 − 2   111  ⇒ L-1 L -1 −t − 2 t 3 2  = −+ + =−++()1e e ut ( ) sss++32   ss ++ 12 s  Dùng bng Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6
7. 6.1.4. Bi n i Laplace ng c
   Xét hàm hu t sau: m m −1 bsm+ bs m −1 +++ bsb 1 0 P( s ) F( s ) =n n −1 = sas+n−1 +++ asa 1 0 Qs () m≥n: improper; m<n: proper, chúng ta chỉ tập trung vào proper!!! m<n Expend Find unknown the proper. coefficients The result by using: start depends on [1] Clearing func n unknown [2] Heaviside Polynomical coefficients m≥n [3] Mixing boths ≥≥ dividing; (k 1, k 2, ) in case m=n F(s)/s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.4. Bi n i Laplace ng c
   Khai tri n các hàm proper: Fs()=== Ps ()/ Qs ()  Xác nh zero & pole ca F(s); zero & pole ph i khác nhau  Gi s các pole là: s= λ1,λ2,λ3,  Khai tri n F(s) dùng quy lu t sau: • Các pole không lp li: k k k F( s )=1 + 2 +3 + (s−λ1 )( s − λ 2 )( s − λ 3 ) • Các pole lp li, gi s λ2 lp li r ln r−1 k k1 2 j k3 F() s =+∑ r− j ++ ()s−λ1j=0 ( s − λ 2 )( s − λ 3 ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7
8. 6.1.4. Bi n i Laplace ng c
   Ph ơ ng pháp hàm tng minh xác nh các h s: • Nhân 2 v vi Q(s); sau ó cân bng thu c h ph ơ ng trình theo các h s cn tìm • Gi i h ph ơ ng trình tìm các h s It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!! s2 − 2 k k k • ví d: =1 + 2 + 3 s3++32 s 2 sss ++ 12 s 2 ⇒ s−=2 ks1 ( + 1)( s ++ 2) kss 2 ( ++ 2) kss 3 ( + 1) k1+ k 2 + k 3 = 1 k1 = − 1 ⇒ ⇒ 3k1+ 2 k 2 + k 3 = 0 k2 =1 2k1 = − 2 k3 =1 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.4. Bi n i Laplace ng c
   Ph ơ ng Heaviside xác nh các h s: • Các pole không lp li: ki=( s − λ i )() Fs s=λi r ki0 =( s − λ i ) Fs () s=λi • Các pole lp li: j 1 d r  kij=j ( sFs −λ i )()  ; j ≠ 0 j! ds s=λi 8s + 10 kk k k • Ví d: F( s ) = =1 +20 + 21 + 22 (s+ 1)( s + 2) 3 (s+ 1) ( s + 2)3 ( s + 2) 2 ( s + 2) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 8
9. 6.1.4. Bi n i Laplace ng c
   Ph ơ ng hn hp: ph ơ ng pháp nhanh nh t!!! 8s + 10 kk k k • Ví d: F( s ) = =1 +20 + 21 + 22 (s+ 1)( s + 2) 3 (s+ 1) ( s + 2)3 ( s + 2) 2 ( s + 2) 8s + 10 8s + 10 k = = 2 k = = 6 1 s + 2 3 20 s +1 () s=− 1 () s=− 2 sF( s ); s → ∞ : k1+ k 22 = 0⇒ k 22 = − 2 k20k 21 k 22 5 10− 8k1 − k 20 − 4 k 22 s = 0 : k1 + + + = ⇒ k21 = 8 4 2 4 2 10− 16 − 6 + 8 ⇒ k = = − 2 21 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.4. Bi n i Laplace ng c
   Ví d: tìm bi n i Laplace ng c ca các hàm sau: 7s - 6 (a ) F(s)= s2 − s − 6 2s2 + 5 (b ) F(s)= s2 +3 s + 2 6(s + 34) (c ) F(s)= s( s2 + 10 s + 34) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 9