Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 5: Lấy mẫu (Sampling) - Trần Quang Việt

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 5: Lấy mẫu (Sampling) - Trần Quang Việt

1. Ch-5: Ly mu (Sampling) Lecture-9 5.1. Lý thuy t ly mu 5.2. Bi n i Fourier ri rc (DFT) 5.3. Bi n i Fourier nhanh (FFT) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.1. Lý thuy t ly mu 5.1.1. Ly mu trong mi n th i gian 5.1.2. Ly mu trong mi n tn s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 1
2. 5.1.1. Ly mu trong mi n th i gian
   Có vô s tín hi u có th khôi ph c t các mu bi t tr ưc.
   Nu tín hi u có bng tn gi i hn thì có th khôi ph c li duy nh t t các mu bi t tr ưc nu ưc ly mu tuân theo ly mu Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.1.1. Ly mu trong mi n th i gian a) Ly mu bng chu i xung ơ n v - nh lý ly mu b) Ly mu bng b gi mu bc không c) Khó kh n trong vi c khôi ph c tín hi u th c t Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 2
3. a) Ly mu bng chu i xung ơ n v - nh lý ly mu
   Xét tín hi u cn ly mu f(t) vi bng tn hu hn là B Hz
   Tín hi u f(t) ưc ly mu bng cách nhân vi chu i xung ơ n v ∞ ∞ f (t)=f(t)p(t) − f (t)=f(t) ∑ (t nT)s f (t)=∑ f(nTs ) (t − nT) s n=−∞ n=−∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 a) Ly mu bng chu i xung ơ n v - nh lý ly mu
   Ph ca tín hi u ã ưc ly mu f(t)↔ F( ) 2 ∞ p(t)↔ P( ) =∑ ( − nss); F =1/T ss , =2 F s Ts n=−∞ − − 1 1 ∞ f (t)↔ F( )= [F( ) ∗= P( )]∑ F( − ns ) 2 Ts n=−∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 3
4. a) Ly mu bng chu i xung ơ n v - nh lý ly mu
   Khôi ph c tín hi u - nh lý ly mu: L Nyquist, L Shannon Low-pass Filter s ≥ 4B Fs ≥ 2B ; Fs =2B Nyquist rate Tín hi u có ph gi i hn là B Hz có th khôi ph c chính xác t các mu ca nó có ưc khi ly mu u n vi tc Fs≥2B mu/s. Nói cách khác tn s ly mu nh nh t là Fs=2B Hz Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 b) Ly mu vi b gi mu bc không
   Ly mu vi b gi mu bc không Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 4
5. b) Ly mu vi b gi mu bc không
   B khôi ph c tín hi u cho b gi mu bc không Hr ( )=T s1 H ( )H 2 ( ) Không th c hi n ưc!!! Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 b) Ly mu vi b gi mu bc không
   Khôi ph c gn úng cho b gi mu bc 0 Low-pass Filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5
6. d) Khó kh n trong vi c khôi ph c tín hi u th c t
   Gi s tín hi u có bng tn hu hn Ideal Filter Practical Filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 d) Khó kh n trong vi c khôi ph c tín hi u th c t
   Bng tn tín hi u vô hn – hi n tưng alias Gi i pháp: Anti-aliasing Filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 6
7. d) Khó kh n trong vi c khôi ph c tín hi u th c t Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.1.2. Ly mu trong mi n tn s
   Xét tín hi u f(t) có th i gian hu hn và ph nh ư hình v
   Ly mu F( ω) trên thang tn s vi chu k ly mu là ω0 +∞ +∞ FT ( )=F( ) ∑( −n 000) = ∑ F(n )( − n ) 0 n=−∞ n= −∞ +∞ +∞ T0 T0 fT (t)= f(t) ∗∑ (t − nT0 );T 0 =2 / 0 fT (t)=∑ f(t− nT 0 ) 0 0 2 n= −∞ 2 n= −∞ π /2 0 T Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 7
8. 5.1.2. Ly mu trong mi n tn s
   iu ki n khôi ph c li tín hi u gc khi ly mu ph ca tín hi u T0 ≥ 0 ≤ 2/
   Ly mu ph tín hi u ã ưc ly mu π /2 0 T Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.2. Bi n i Fourier ri rc DFT
   Mc ích: thi t lp mi quan h gi a các mu trong mi n th i gian vi các mu trong mi n tn s 1 ∞ ∞ f(t)=∫ F( )ejt d F( )= f(t)e−jt dt 2 −∞ ∫−∞ N mẫu π 0 /2 N mẫu 0 0 T N00s =T /T = s/ 0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 8
9. 5.2. Bi n i Fourier ri rc DFT
   Bi n i DFT thu n:  Do f(t) ch tn ti t 0 n T0 (tươ ng ng vi N0 mu): _ N0 − 1 _ N0 − 1 − jkT s f (t)=∑ f(kTs ) (t− kT s ) F( )=∑ f(kTs )e k=0 k=0  Mt khác trong on -ωs/2 n ωs/2 (tươ ng ng vi N0 mu): _ − F( ) _ N0 1 − F( ) = F(r )=T F(r )=T f(kT )e jr 0kT s T 0s 0s∑ s s k=0  t Ω0=ω0Ts=2 π/N 0; F r=F(r ω0): mu th r ca F( ω); fk=Tsf(kT s): mu th k ca f(t); ta có: N0 − 1 − jr 0k F=r∑ fe k (Bi n i DFT thu n) k=0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.2. Bi n i Fourier ri rc DFT
   Bi n i DFT ng ưc: nhân DFT thu n vie jm 0r sau ó ly tng: N10− N1N1 0 − 0 −  jmΩ0 r − jr 0k jm Ω 0 r ∑Fer = ∑ ∑ fe k  e r=0 r=0 k=0  N10− N1 0 − N1 0 −  jmΩ0 r j(m − k) 0 r ∑Fer = ∑ f k  ∑ e  r=0 k=0 r=0  N− 1 0 jmΩ r 0; k≠ m ∑ F e0 =  r = = r=0 Nf0k Nf 0m ;k m N− 1 1 0 jr 0k f=k∑ Fe r (Bi n i DFT ng ưc) N0 r=0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 9
10. 5.3. Bi n i Fourier nhanh FFT ư a ra bi Turkey and Cooley nm 1965, N 0 ph i là ly th a ca 2 2 Gi m kh i lưng tính toán: N0→ N 0log N 0 N −1 N −1 1 0 0 jrΩ0 k −jr Ω 0 k Nhân: N f= ∑ F e F= ∑ f e 0 kN r r k 0 r=0 k=0 Cng: N 0-1 Tng cng cho các h s: N 0N0 phép nhân và N0(N 0-1) phép cng − j(2π / N ) −j Ω
    t: W= e0 = e 0 N0
    Các bi u th c DFT ưc vi t li: N −1 N −1 0 1 0 F= ∑ f W kr f= ∑ F W −kr r k N 0 k r N 0 k=0 N0 r=0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.3. Bi n i Fourier nhanh FFT
    Chia fk thành 2 chu i: ch n và l theo s th t: fff046, , , , fN− 2135 fff , , , , f N − 1
    
    0 0 sequence gk sequence h k Bi u th c DFT ưc vi t li: N0−1 N 0 − 1 22kr 2 (2k+ 1) r Fr=∑ fW2 kN + ∑ fW 2 k + 1 0 N0 k=0 k = 0 2 Ta có: WN0 = W 2 N0 N0 N 0 2 −12 − 1 kr r kr r ⇒ Fr=∑ fWW kN0 + N ∑ fW k + N 0 = + 22 0 2 1 2 Gr W N H r k=0 k = 0 0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 10
11. 5.3. Bi n i Fourier nhanh FFT N0 N 0 2 −12 − 1 kr r kr ⇒ r ⇒ F=∑ fWWN0 + ∑ fW N 0 Fr= G r + W Nr H r2 k2 N0 2 k + 1 2 0 k=0 k = 0 (0≤r ≤ N 0 − 1)
    Do Gr và Hr là DFT N 0/2 im nên nó có tính tu n hoàn: GN0= GH & N 0 = H r+2r r + 2 r N0 N 0 r+ 2 2 r − jπ r r Mt khác: W= W W N =e WN = − W N N0 N 0 0 0 0 N0 r+ 2 r ⇒ N0= N 0 + N 0 Fr+ G r + WH r + ⇒ FN0 = GWH − 2 2N0 2 r+ 2 r N0 r r N G F FGWH=+; 0 ≤≤− r 0 1 r r r r Nr0 2 ⇔ W r N N 0 r 0 r FN0 =− GWHr N r ; 0 ≤≤− r 1 −W r+ 2 0 2 N 0 H F N0 r r+ 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.3. Bi n i Fourier nhanh FFT r N G F FGWH=+; 0 ≤≤− r 0 1 r r r r Nr0 2 ⇔ W r N N 0 r 0 r FN0 =− GWHr N r ; 0 ≤≤− r 1 −W r+ 2 0 2 N 0 H F N0 r r+ 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 11
12. 5.3. Bi n i Fourier nhanh FFT r N G F FGWH=+; 0 ≤≤− r 0 1 r r r r Nr0 2 ⇔ W r N N 0 r 0 r FN0 =− GWHr N r ; 0 ≤≤− r 1 −W r+ 2 0 2 N 0 H F N0 r r+ 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.3. Bi n i Fourier nhanh FFT r N G F FGWH=+; 0 ≤≤− r 0 1 r r r r Nr0 2 ⇔ W r N N 0 r 0 r FN0 =− GWHr N r ; 0 ≤≤− r 1 −W r+ 2 0 2 N 0 H F N0 r r+ 2  S phép toán nhân và cng dùng tính DFT dùng gi i thu t FFT: N  S phép toán nhân: 0 log N 2 2 0  S phép toán cng: N0log 2 N 0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 12