Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier - Trần Quang Việt

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier - Trần Quang Việt

1. Ch-3: Bi ểu di ễn tín hi ệu tu ần hoàn dùng chu ỗi Fourier Lecture-6 3.3. Chu ỗi Fourier và tính ch ất 3.4. Chu ỗi Fourier và hệ th ống LTI Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3. Chu ỗi Fourier và các tính ch ất 3.3.1. Chu i Fourier 3.3.2. iu ki n tn ti chu i Fourier 3.3.3. Các tính ch t ca chu i Fourier Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 1
2. 3.3.1. Chu ỗi Fourier 2π
   jn 0t Xét tp tín hi u: {e} ; n=0, ±1, ±2, và T0 = 0 t1+ T 0 t1+ T 0 Ta có: (ejn 00t , e jm t )=∫ e jn 00t e− jm t dt =∫ ej(n− m) 0t dt t1 t1 1 t1+ T 0 j(n− m) 0t 1 = e = ej(n− m) 01t [e j(n − m) 00T − 1] =0 j(n− m) t1 0 j(n− m) 0 t1+ T 0 jn 00t jn t jn 00t− jn t Và: (e , e )=∫ e e dt= T0 = E n t1 Vy tp tín hi u trên là không gian tín hi u tr c giao.
   Dùng kt qu ph n tr ưc ta có bi u di n chu i Fourier cho f(t) trong kho ng t1<t<t 1+T 0 ∞ t1 +T 0 jn 0t 1 -jn 0t f(t)=∑ Dn e vi D = f(t)e dt n ∫t n= −∞ T0 1 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.1. Chu ỗi Fourier
   Chu i Fourier cho tín hi u tu n hoàn: ∞ t1 +T 0 jn 0t 1 − jn 0t Ta có: f(t)=∑ Dn e vi D = f(t)e dt n ∫t n= −∞ T0 1 ch úng trong kho ng t1<t<t 1+T 0. Trên toàn tr c th i gian: ∞ ∞ jn 0t ϕ(t)= D e jn 0(t+T 0 ) ∑ n ⇒ ϕ(t+T)=0∑ De n = ϕ (t) n= −∞ n= −∞ Suy ra chu i Fourier bi u di n cho tín hi u tu n hoàn. Tóm li, nu f(t) tu n hoàn vi chu k T0 s ưc bi u di n bi chu i Fourier nh ư sau: ∞ jn 0t 1 − jn 0t 2π f(t)=∑ Dn e D = f(t)e dt = n ∫T 0 T n= −∞ T0 0 0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 2
3. 3.3.1. Chu ỗi Fourier
   Ví d: tìm chu i Fourier bi u di n cho TH tu n hoàn nh ư hình v 1 T 11 2T 1 1 D=0 ∫ dt = = T-T 1 T 3 T 11 −jn t 1 − jn t T1 0 0 1 − jn 01T jn 01T Dn =∫ e dt= e =(e − e ) -T 1 −T1 T− jn 0T −j2n π 1 1 n π  1 n π  = sin(n 0T 1 ) = sin   = sinc   nπ nπ  3  3 3  ∞ 1 n π  f(t)=∑ sinc  e jn 0t n= −∞ 3 3  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.1. Chu ỗi Fourier
   Chu i Fourier lưng giác: trong tr ưng hp f(t) là tín hi u th c ∞ ∞ ∞ * jn 0t * − jn 0t * jn 0t f(t)=f (t) f(t)=∑ Dn e = ∑ Dn e = ∑ D−n e n= −∞ n= −∞ n= −∞ ∗ * Dn= D − n Dn= D − n chu i Fourier ưc vi t li nh ư sau: ∞ ∞ jn 0t− jn 0 t jn 0t* − jn 0 t f(t)=D0+∑ (D n e + D− n e ) =D0+∑ (D n e + D n e ) n=1 n=1 ∞ f(t)=C0+ ∑ C n cos(n 0nt+ ) n=1 C00n =D ; C =2|D nn |; = ∠ D n Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3
4. 3.3.1. Chu ỗi Fourier
   Ph ca tín hi u tu n hoàn: chu i Fourier bi u di n tín hi u tu n hoàn thành tng các thành ph n tn s. Phân b giá tr ca các thành ph n trên thang tn s gi là ph tn s (th ưng gi là ph ) tín hi u. Trong tr ưng hp tng quát ng ưi ta dùng ph biên và ph pha. ∞ 1 n π  Xét ví d tr ưc: f(t)=∑ sinc  e jn 0t n= −∞ 3 3  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.2. Điều ki ện tồn tại chu ỗi Fourier
   Các tín hi u tu n hoàn có nng lưng trong 1 chu k hu hn u có th bi u di n bng chu i Fourier (Dn hu hn & nng lưng sai s bng 0). Th c t f(t) & chu i Fourier s không có s phân bi t i vi các h th ng vt lý vì chúng áp ng trên cơ s nng lưng
   iu ki n Dirichlet: chu i Fourier hi t v giá tr trung bình ti im gián on  iu ki n 1: |f(t)|dt< ∞ Dn hu hn ∫T f(t)=1/t; 0<t≤ 1 Không th a iu ki n 1 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4
5. 3.3.2. Điều ki ện tồn tại chu ỗi Fourier  iu ki n 2: có s cc i và cc ti u hu hn trong 1 chu k Ex: f(t)=sin(2π /t); 0<t≤ 1 Th a 1 nh ưng không th a 2  iu ki n 3: có s im gián on và giá tr gián on là hu hn trong 1 chu k Không th a 3 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.2. Điều ki ện tồn tại chu ỗi Fourier
   Hi n tưng Gibbs: phát hi ện: nhà vt lý Michelson  gi ải thích : nhà toán hc Gibbs 9% 9% 9% Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 5
6. 3.3.3. Các tính ch ất của chu ỗi Fourier
   Tính tuy n tính: f(t)1↔ D 1n f(t)=kf(t)+k11 22 f (t)↔ D n =kD 11n + k 22n D f2 (t)↔ D 2n
   Phép dch th i gian: − jn 0t 0 f(t)↔ D n f(t− t)0 ↔ e D n
   Phép o th i gian: f(t)↔ D n f(− t) ↔ D −n
   Phép t l th i gian: ∞ jna 0t f(t)↔ D n f(at)↔ Dn ; f(at)=∑ D n e n=−∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.3. Các tính ch ất của chu ỗi Fourier
   Nhân 2 tín hi u: ∞ f(t)1↔ D 1n f(t)=f(t)f1 2 (t)↔ D n =∑ D 1n D 2(n-k) f2 (t)↔ D 2n k= −∞
   Liên hi p ph c: * * f(t)↔ D n f (t)↔ D −n
   nh lý Parseval : 1 ∞ P= |f(t)|dt=2 |D | 2 f∫T ∑ n T n= −∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6
7. 3.4. Chu ỗi Fourier và hệ th ống LTI
   Xét h th ng LTI vi áp ng xung là h(t) và f(t) là tín hi u tu n hoàn th a iu ki n Dirichlet. Khi ó có th bi u di n f(t) thành chu i Fourier là tng ca các thành ph n TS ejn ωot ∞ jn 0t f(t)=∑ Dn e n= −∞ ∞ jn 0t y(t)=f(t)∗ h(t)=∑ Dn [e ∗ h(t)] n= −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ jn 0 (t −) − jn 0  jn 0 t y(t)= Dn h( )e d = D h( )e d e ∑ ∫−∞ ∑ n ∫−∞  n= −∞ n= −∞   ∞ ∞ y(t)= D H(n )e jn 0t − jt ∑ n 0 H( )=∫ h(t)e dt n= −∞ −∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.4. Chu ỗi Fourier và hệ th ống LTI
   Nh n xét v áp ng ca h th ng LTI vi tín hi u tu n hoàn  y(t) cng ưc bi u di n dưi dng chu i Fourier vi các h s là DnH(n ω0)  y(t) là tín hi u tu n hoàn cùng tn s vi f(t)  Các thành ph n tn s khác nhau ca f(t) khi qua HT LTI s b thay i khác nhau v biên và pha tùy thu c vào H( ω)  HT LTI óng vai trò là mt b ch n lc tn s; H( ω): áp ng tn s.
   Ví d: xác nh chu i Fourier ca ng ra HT LTI có áp ng xung h(t)=e -2t u(t) vi ngõ vào f(t) nh ư ví d ph n 3.3.1 có T= π ∞ 1 n π  ∞ 1 f(t)=∑ sinc  e jn 0t ; H( )= h(t)e− jt dt = ∫−∞ n= −∞ 3 3  2+j ∞ 1 n π  f(t)=∑ sinc  e j2nt n= −∞ 6(1+jn) 3  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7