Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Lê Tuấn Tú

109 trang ngocly 770

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Lê Tuấn Tú", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_suc_ben_vat_lieu_1_le_tuan_tu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Lê Tuấn Tú

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA CƠNG NGHỆ BỘ MƠN KỸ THUẬT XÂY DỰNG SỨC BỀN VẬT LIỆU 1 (STRENGTH OF MATERIALS 1) ThS. LÊ TUẤN TÚ CAN THO- 2013
MỤC LỤC Chương 1:CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4 I. KHÁI NIỆM VỀ MƠN HỌC SBVL – ĐỐI TƯỢNG, NHIỆM VỤ, ĐẶC ĐIỂM CỦA SBVL 4 1. đối tượng nghiên cứu của sbvl - hình dạng vật thể 4 2. nhiệm vụ của mơn học: 4 3. đặc điểm mơn học: 5 II. NGOẠI LỰC- CÁC LOẠI LIÊN KẾT- PHẢN LỰC LIÊN KẾT 5 1. ngoại lực 5 2. liên kết phẳng, phản lực liên kết 6 III. CÁC DẠNG CHỊU LỰC VÀ BIẾN DẠNG CƠ BẢN – CHUYỂN VỊ 7 1. biến dạng của vật thể: 7 2. biến dạng của phân tố: 8 3. chuyển vị: 9 IV. CÁC GIẢ THIẾT 9 1. giả thiết về vật liệu 9 2. giả thiết về sơ đồ tính 10 3. giả thiết về biến dạng và chuyển vị 10 Chương 2:LÝ THUYẾT NỘI LỰC 12 I. KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC - PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT - ỨNG SUẤT 12 1. khái niệm về nội lực: 12 2. phương pháp khảo sát nội lực 12 II. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC - CÁCH XÁC ĐỊNH 13 1. các thành phần nội lực: 13 2. cách xác định: 14 3. liên hệ giữa nội lực và ứng suất: 14 III. BÀI TỐN PHẲNG: 15 IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC ( BÀI TỐN PHẲNG ) 15 1. định nghĩa: 15 2. cách vẽ bđnl - phương pháp giải tích: 16 3. các quy ước khi vẽ bđnl: 16 V. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ TRONG THANH THẲNG 19 VI. CÁCH VẼ NHANH BIỂU ĐỒ 21 1. phương pháp vẽ từng điểm 21 2. cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng 23 VII. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC DẦM TĨNH ĐỊNH NHIỀU NHỊP 23 VIII. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC KHUNG PHẲNG 24 Bài tập 27 Chương 3:KÉO - NÉN ĐÚNG TÂM 31 I. KHÁI NIỆM 31 II. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG 31 III. BIẾN DẠNG CỦA THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 32 1. biến dạng dọc 32 2- biến dạng ngang 33 IV. ỨNG SUẤT CHO PHÉP – HỆ SỐ AN TỒN - BA BÀI TỐN CƠ BẢN 34 V. BÀI TỐN SIÊU TĨNH 36 Bài tập 40 Chương 4:TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 45 1
I. KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 45 1. Trạng thái ứng suất (TTƯS) tại một điểm. 45 2. Biểu diễn TTƯS tại một điểm 45 3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp 46 4. Mặt chính, phương chính và ứng suất chính. Phân loại TTƯS 46 II. TTƯS TRONG BÀI TỐN PHẲNG- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH 47 1. Cách biểu diễn – Quy ước dấu 47 2. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ 47 3. Ứng suất chính - Phương chính - Ứng suất pháp cực trị 48 III. LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 49 1. Biến dạng dài (định luật Hooke tổng quát) 49 2. Biến dạng gĩc (định luật Hooke về trượt) 49 3. Biến dạng thể tích tỷ đối (định luật Hooke khối) 50 IV. VÍ DỤ ÁP DỤNG 50 Chương 5:LÝ THUYẾT BỀN 53 I. KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT BỀN 53 II. CÁC THUYẾT BỀN CƠ BẢN 54 1- Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất (TB1) 54 2. Thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất (TB 2) 54 3. Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (TB 3) 55 4. Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (TB 4) 56 5. Thuyết bền về các TTƯS giới hạn (TB 5 hay là TB Mohr) 57 III. VIỆC ÁP DỤNG CÁC THUYẾT BỀN 59 Chương 6:ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 60 I. KHÁI NIỆM 60 II. MOMEN TĨNH – TRỌNG TÂM 60 III. MOMEN QUÁN TÍNH – HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM 62 IV. CƠNG THỨC CHUYỂN TRỤC CỦA MOMEN QUÁN TÍNH 64 V. CƠNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MOMEN QUÁN TÍNH 64 Bài tập 68 Chương 7:UỐN PHẲNG THANH THẲNG 70 I. KHÁI NIỆM CHUNG 70 II. UỐN THUẦN TÚY PHẲNG 71 1. Định nghĩa 71 2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang 71 3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị 74 4. Điều kiện bền - Ba bài tốn cơ bản 76 5. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang 76 III. UỐN NGANG PHẲNG 77 1. Định nghĩa: 77 2. Các thành phần ứng suất: 77 3. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng 81 Bài tập 87 Chương 8:CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 91 I. KHÁI NIỆM CHUNG 91 II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI 92 2
III. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHƠNG ĐỊNH HẠN 93 IV. PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TỐN) 95 Bài tập 99 3
Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I. KHÁI NIỆM VỀ MƠN HỌC SỨC BỀN VẬT LIỆU (SBVL) – ĐỐI TƯỢNG, NHIỆM VỤ, ĐẶC ĐIỂM CỦA MƠN SBVL 1. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA SBVL - HÌNH DẠNG VẬT THỂ SBVL nghiên cứu vật thể thực (cơng trình, chi tiết máy ) Vật thể thực cĩ biến dạng dưới tác dụng của nguyên nhân ngồi (tải trọng, nhiệt độ, lắp ráp các chi tiết chế tạo khơng chính xác ) Vật thể thực sử dụng trong kỹ thuật được chia ra ba loại cơ bản: o Khối: cĩ kích thước theo ba phương tương đương: đê đập, mĩng máy o Tấm và vỏ: vật thể mỏng cĩ kích thước theo một phương rất nhỏ so với hai phương cịn lại; tấm cĩ dạng phẳng, vỏ cĩ dạng cong. o Thanh: vật thể dài cĩ kích thước theo một phương rất lớn so với hai phương cịn lại: thanh dàn cầu, cột điện, trục máy SBVL nghiên cứu thanh, hệ thanh. Thanh được biểu diễn bằng trục thanh và mặt cắt ngang F vuơng gĩc với trục thanh (H.1.3). Trục thanh là qũy tích của trọng tâm mặt cắt ngang. Các loại thanh (H.1.4): + Thanh thẳng, cong: trục thanh thẳng, cong. + Hệ thanh: thanh gãy khúc (phẳng hay khơng gian). 2. NHIỆM VỤ CỦA MƠN HỌC: SBVL là môn học kỹ thuật cơ sở, nghiên cứu tính chất chịu lực của vật liệu để đề ra các phương pháp tính các vật thể chịu các tác dụng của các nguyên nhân ngồi, nhằm thỏa mãn yêu cầu an tồn và tiết kiệm vật liệu. 4
♦ Vật thể làm việc được an tồn khi: - Thỏa điều kiện bền: khơng bị phá hoại (nứt gãy, sụp đổ ). - Thỏa điều kiện cứng: biến dạng và chuyển vị nằm trong một giới hạn cho phép. - Thỏa điều kiện ổn định: bảo tồn hình thức biến dạng ban đầu. ♦ Thường kích thước của vật thể lớn thì khả năng chịu lực cũng tăng và do đĩ độ an tồn cũng được nâng cao; tuy nhiên, vật liệu phải dùng nhiều hơn nên nặng nề và tốn kém hơn. Kiến thức của SBVL giúp giải quyết hợp lý mâu thuẫn giữa yêu cầu an tồn và tiết kiệm vật liệu. ♦ Ba bài tốn cơ bản của SBVL: + Kiểm tra các điều kiện bền, cứng, ổn định. + Định kích thước, hình dáng hợp lý của cơng trình hay chi tiết máy. + Định giá trị của các nguyên nhân ngồi (tải trọng, nhiệt độ ) cho phép tác dụng. 3. ĐẶC ĐIỂM MƠN HỌC: ♦ SBVL là mơn khoa học thực nghiệm: Để đảm bảo sự tin cậy của các phương pháp tính, mơn học kết hợp chặt chẽ giữa nghiên cứu thực nghiệm và suy luận lý thuyết. Nghiên cứu thực nghiệm nhằm phát hiện ra tính chất ứng xử của các vật liệu với các dạng chịu lực khác nhau, làm cơ sở đề xuất các giả thiết đơn giản hơn để xây dựng lý thuyết. Vì vậy, lý thuyết SBVL mang tính gần đúng. Thí nghiệm kiểm tra các lý thuyết tính tốn đã xây dựng. Trong nhiều trường hợp, phải làm thí nghiệm trên mơ hình cơng trình thu nhỏ trước khi xây dựng hoặc thử tải cơng trình trước khi sử dụng. ♦ SBVL khảo sát nội lực (lực bên trong vật thể) và biến dạng của vật thể (Cơ lý thuyết khảo sát cân bằng và chuyển động của vật thể). ♦ SBVL cũng sử dụng các kết quả của Cơ lý thuyết. II. NGOẠI LỰC- CÁC LOẠI LIÊN KẾT- PHẢN LỰC LIÊN KẾT 1. NGOẠI LỰC a) Định nghĩa: Ngoại lực là lực tác động từ mơi trường hoặc vật thể bên ngồi lên vật thể đang xét. b) Phân loại: ♦ Tải trọng: Đã biết trước (vị trí, 5
phương và độ lớn), thường được quy định bởi các quy phạm thiết kế hoặc tính tốn theo trạg thái chịu lực của vật thể. Tải trọng gồm: + Lực phân bố: tác dụng trên một thể tích, một diện tích của vật thể (trọng lượng bản thân, áp lực nước lên thành bể ). Lực phân bố thể tích cĩ thứ nguyên là lực/thể tích, hay [F/L3]. Lực phân bố diện tích cĩ thứ nguyên là lực/diện tích, hay [F/L2]. Nếu lực phân bố trên một dải hẹp thì thay lực phân bố diện tích bằng lực phân bố đường với cường độ lực cĩ thứ nguyên là lực/chiều dài, hay [F/L] (H.1.6). Lực phân bố đường là loại lực thường gặp trong SBVL. + Lực tập trung: tác dụng tại một điểm của vật thể, thứ nguyên [F]. Thực tế, khi diện tích truyền lực bé cĩ thể coi như lực truyền qua một điểm. + Mơmen (ngẫu lực) cĩ thứ nguyên là lực nhân với chiều dài hay [FxL] ♦ Phản lực: là những lực thụ động (phụ thuộc vào tải trọng), phát sinh tại vị trí liên kết vật thể đang xét với các vật thể khác. c) Tính chất tải trọng ♦ Tải trọng tĩnh: biến đổi chậm hay khơng đổi theo thời gian, bỏ qua gia tốc chuyển động (bỏ qua lực quán tính khi xét cân bằng). Áp lực đặt lên tường chắn, trọng lượng của cơng trình là các lực tĩnh ♦ Tải trọng động: lực thay đổi nhanh theo thời gian, gây ra chuyển động cĩ gia tốc lớn (rung động do một động cơ gây ra, va chạm của búa xuống đầu cọc ). Với lực động thì cần xét đến sự tham gia của lực quán tính. 2. LIÊN KẾT PHẲNG, PHẢN LỰC LIÊN KẾT a. Các loại liên kết phẳng và phản lực liên kết: Một thanh muốn duy trì hình dáng, vị trí ban đầu khi chịu tác động của ngoại lực thì nĩ phải được liên kết với vật thể khác hoặc với đất. ♦ Gối di động (liên kết thanh): ngăn cản một chuyển vị thẳng và phát sinh một phản lực R theo phương của liên kết. ♦ Gối cố định (Liên kết khớp, bản lề): ngăn cản chuyển vị thẳng theo phương bất kỳ và phát sinh phản lực R cũng theo phương đĩ. Phản lực R thường được phân tích ra hai thành phần V và H. 6
Hình H.1.7 ♦ Ngàm: ngăn cản tất cả chuyển vị thẳng và chuyển vị xoay. Phản lực phát sinh trong ngàm gồm ba thành phần V, H và M. b. Cách xác định phản lực: Giải phĩng các liên kết, thay bằng các phản lực tương ứng, các phản lực được xác định từ điều kiện cân bằng tĩnh học giữa tải trọng và phản lực. Bài tốn phẳng cĩ ba phương trình cân bằng độc lập, được thiết lập ở các dạng khác nhau như sau: 1. = ; = ; = (Hai phương X,Y khơng song song) 2. = ; = ; = (Phương AB khơng vuơng gĩc với X) 3. = ; = ; = (Ba điểm A, B và C khơng thẳng hàng) Bài tốn khơng gian cĩ sáu phương trình cân bằng độc lập, thường cĩ dạng: = ; = ; = ; = ; = ; = Chú ý: Để cố định một thanh trong mặt phẳng cần tối thiểu 3 liên kết đơn để chống lại 3 chuyển động tự do. Nếu đủ liên kết và bố trí hợp lý 3 phản lực sẽ tìm được từ 3 phương trình cân bằng tĩnh học. Thanh được gọi là tĩnh định. Nếu số liên kết tương đương lớn hơn 3 gọi là bài tốn siêu tĩnh. III. CÁC DẠNG CHỊU LỰC VÀ BIẾN DẠNG CƠ BẢN – CHUYỂN VỊ 1. BIẾN DẠNG CỦA VẬT THỂ: Sự chịu lực của một thanh cĩ thể phân tích ra các dạng chịu lực cơ bản: - Trục thanh khi chịu kéo (nén) sẽ dãn dài (co ngắn) (H.1.8a,b) - Trục thanh chịu uốn sẽ bị cong (H.1.8e) - Thanh chịu xoắn thì trục thanh vẫn thẳng nhưng đường sinh trên bề mặt trở thành đường xoắn trụ (H1.8.d). - Khi chịu cắt, hai phần của thanh cĩ xu hướng trượt đối với nhau (H1.8.c). 7
2. BIẾN DẠNG CỦA PHÂN TỐ: Nếu tưởng tượng tách một phân tố hình hộp từ một thanh chịu lực thì sự biến dạng của nĩ trong trường hợp tổng quát cĩ thể phân tích ra hai thành phần cơ bản: 8
♦ Phân tố trên H.1.9a dài dx chỉ thay đổi chiều dài, khơng thay đổi gĩc. Biến dạng dài tuyệt đối theo phương x: Δdx. Biến dạng dài tương đối theo phương x : = / ♦ Phân tố trên H.1.9b chỉ cĩ thay đổi gĩc, khơng thay đổi chiều dài Biến dạng gĩc hay gĩc trượt, ký hiệu là γ: Độ thay đổi của gĩc vuơng ban đầu. 3. CHUYỂN VỊ: Khi vật thể bị biến dạng, các điểm trong vật thể nĩi chung bị thay đổi vị trí. Độ chuyển dời từ vị trí cũ của điểm A sang vị trí mới A’ được gọi là chuyển vị dài. Gĩc hợp bởi vị trí của một đoạn thẳng AC trước và trong khi biến dạng A’C’ của vật thể được gọi là chuyển vị gĩc (H.1.10). IV. CÁC GIẢ THIẾT Khi giải bài tốn SBVL, người ta chấp nhận một số gỉa thiết nhằm đơn giản hĩa bài tốn nhưng cố gắng đảm bảo sự chính xác cần thiết phù hợp với yêu cầu thực tế. 1. GIẢ THIẾT VỀ VẬT LIỆU Vật liệu được coi là liên tục, đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính. ♦ Ta tưởng tượng lấy một phân tố bao quanh một điểm trong vật thể. Nếu cho phân tố bé tùy ý mà vẫn chứa vật liệu thì ta nĩi vật liệu liên tục tại điểm đĩ. 9
Giả thiết về sự liên tục của vật liệu cho phép sử dụng các phép tính của tốn giải tích như giới hạn, vi phân, tích phân Trong thực tế, ngay cả với vật liệu được coi là hồn hảo nhất như kim cương thì cũng cĩ cấu trúc khơng liên tục. ♦ Vật liệu đồng nhất: Tính chất cơ học tại mọi điểm trong vật thể là như nhau. ♦ Vật liệu đẳng hướng: Tính chất cơ học tại một điểm theo các phương đều như nhau. ♦ Tính chất đàn hồi của vật thể là khả năng khơi phục lại hình dạng ban đầu của nĩ khi ngoại lực thơi tác dụng. Nếu quan hệ giữa ngoại lực và biến dạng là bậc nhất, thì vật liệu được gọi là đàn hồi tuyến tính (H.1.11). Giả thiết vật liệu đàn hồi tuyến tính làm giảm bớt sự phức tạp của bài tốn SBVL. 2. GIẢ THIẾT VỀ SƠ ĐỒ TÍNH Khi tính tốn, người ta thay vật thể thực bằng sơ đồ tính (H1.12). Hình H.1.12 3. GIẢ THIẾT VỀ BIẾN DẠNG VÀ CHUYỂN VỊ Vật thể cĩ biến dạng và chuyển vị bé so với kích thước ban đầu của vật, vì vậy ta cĩ thể khảo sát vật thể hoặc các bộ phận của nĩ trên hình dạng ban đầu (tính trên sơ đồ khơng biến dạng của vật thể). Giả thiết này xuất phát điều kiện biến dạng và chuyển vị lớn nhất trong vật thể phải nằm trong một giới hạn tương đối nhỏ. Hệ quả: Khi vật thể cĩ chuyển vị bé và vật liệu đàn hồi tuyến tính thì cĩ thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng như sau: “Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng thời gây ra sẽ bằng tổng đại lượng đĩ do từng nguyên nhân gây ra riêng lẽ.” (H.1.13) 10
Hình H.1.13 Chuyển vị Δ tại đầu thanh do lực P1 và P2 gây ra cĩ thể phân tích như sau: (, ) = () + () Nguyên lý cộng tác dụng biến bài tốn phức tạp thành các bài tốn đơn giản dễ giải quyết hơn, vì vậy nguyên lý này thường được sử dụng trong SBVL. 11
Chương 2 LÝ THUYẾT NỘI LỰC I. KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC - PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT - ỨNG SUẤT 1. KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC: Xét một vật thể chịu tác dụng của ngoại lực và ở trạng thái cân bằng (H.2.1). Trước khi tác dụng lực, giữa các phân tử của vật thể luơn cĩ các lực tương tác giữ cho vật thể cĩ hình dáng nhất định. Dưới tác dụng của ngoại lực, các phân tử của vật thể cĩ thể dịch lại gần nhau hoặc tách xa nhau. Khi đĩ, lực tương tác giữa các phân tử của vật thể phải thay đổi để chống lại các dịch chuyển này. Sự thay đổi của lực tương tác giữa các phân tử trong vật thể được gọi là nội lực. Một vật thể khơng chịu tác động nào từ bên ngồi thì được gọi là vật thể ở trạng thái tự nhiên và nội lực của nĩ được coi là bằng khơng. 2. PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT NỘI LỰC Xét lại vật thể cân bằng và một điểm C trong vật thể (H.2.1). Tưởng tượng một mặt phẳng Π cắt qua C và chia vật thể thành hai phần A và B; hai phần này sẽ tác động lẫn nhau bằng hệ lực phân bố trên diện tích mặt tiếp xúc theo định luật lực và phản lực. Nếu tách riêng phần A thì hệ lực tác động từ phần B vào nĩ phải cân bằng với ngoại lực ban đầu (H.2.2). Xét một phân tố diện tích ΔF bao quanh điểm khảo sát C trên mặt cắt Π cĩ phương pháp tuyến v. Gọi Δ⃗ là vector nội lực tác dụng trên ΔF. Ta định nghĩa ứng suất tồn phần tại điểm khảo sát là: ⃗ ⃗ ⃗ = = → Thứ nguyên của ứng suất là [lực]/[chiều dài]2 Ứng suất tồn phần cĩ thể phân ra hai thành phần: Hình 2.3 Các thành phần ứng suất 12
+ Thành phần ứng suất pháp σv cĩ phương pháp tuyến của mặt phẳng Π + Thành phần ứng suất tiếp τv nằm trong mặt phẳng Π. Các đại lượng này liên hệ với nhau theo biểu thức: = + (2.1) Ứng suất là một đại lượng cơ học đặc trưng cho mức độ chịu đựng của vật liệu tại một điểm; ứng suất vượt quá một giới hạn nào đĩ thì vật liệu bị phá hoại. Do đĩ, việc xác định ứng suất là cơ sở để đánh giá độ bền của vật liệu, và chính là một nội dung quan trọng của mơn SBVL. Thừa nhận: Ứng suất pháp σv chỉ gây ra biến dạng dài. Ứng suất tiếp τv chỉ gây biến dạng gĩc. II. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC - CÁCH XÁC ĐỊNH 1. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC: Như đã biết, đối tượng khảo sát của SBVL là những chi tiết dạng thanh, đặc trưng bởi mặt cắt ngang (hay cịn gọi là tiết diện) và trục thanh. Gọi hợp lực của các nội lực phân bố trên mặt cắt ngang của thanh là R. R cĩ điểm đặt và phương chiều chưa biết. Dời R về trọng tâm O của mặt cắt ngang ta thu được một momen và một lực R cĩ phương bất kỳ. Đặt một hệ trục tọa độ Descartes vuơng gĩc ngay tại trọng tâm mặt cắt ngang Oxyz, với trục z trùng pháp tuyến của mặt cắt, cịn hai trục x, y nằm trong mặt cắt ngang. Khi đĩ, cĩ thể phân tích R ra ba thành phần theo ba trục: + Nz theo phương trục z (vuơng gĩc mặt cắt ngang) gọi là lực dọc; + Qx theo phương trục x (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt; + Qy theo phương trục y (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt. Mơmen M cũng được phân ra ba thành phần : + Mơmen Mx quay quanh trục x gọi là mơmen uốn; + Mơmen My quay quanh trục y gọi là mơmen uốn; + Mơmen Mz quay quanh trục z gọi là mơmen xoắn. Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang. 13
2. CÁCH XÁC ĐỊNH: Sáu thành phần nội lực trên một mặt cắt ngang được xác định từ sáu phương trình cân bằng độc lập của phần vật thể được tách ra, trên đĩ cĩ tác dụng của ngoại lực ban đầu Pi và các nội lực. Các phương trình cân bằng hình chiếu các lực trên các trục tọa độ: = ⇔ + = = ⇔ + = (. ) = ⇔ + = trong đĩ: Pix, Piy, Piz - là hình chiếu của lực Pi xuống các trục x, y, z. Các phương trình cân bằng mơmen đối với các trục tọa độ ta cĩ: / = ⇔ + () = / = ⇔ + () = (. ) / = ⇔ + () = với: mx(Pi), my(Pi), mz(Pi)- các mơmen của các lực Pi đối với các trục x,y, z. 3. LIÊN HỆ GIỮA NỘI LỰC VÀ ỨNG SUẤT: Các thành phần nội lực liên hệ với các thành phần ứng suất như sau: - Lực dọc là tổng các ứng suất pháp; - Lực cắt là tổng các ứng suất tiếp cùng phương với nĩ; - Mơmen uốn là tổng các mơmen gây ra bởi các ứng suất đối với trục x hoặc y; - Mơmen xoắn là tổng các mơmen của các ứng suất tiếp đối với trục z. 14
III. BÀI TỐN PHẲNG: Trường hợp bài tốn phẳng (ngoại lực nằm trong một mặt phẳng - thí dụ mặt phẳng yz), chỉ cĩ ba thành phần nội lực nằm trong mặt phẳng yz : Nz, Qy, Mx. ♦ Qui ước dấu (H.2.5) - Lực dọc Nz> 0 khi gây kéo đoạn đang xét (cĩ chiều hướng ra ngồi mặt cắt); - Lực cắt Qy> 0 khi làm quay đoạn thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ; - Mơmen uốn Mx> 0 khi căng thớ dưới (thớ y dương). H.2.5 Chiều dương các thành phần nội lực ♦ Cách xác định: Dùng ba phương trình cân bằng tĩnh học xét cân bằng phần A (hay phần B): Từ phương trình ΣZ = 0 ⇒ Nz = Từ phương trình ΣY = 0 ⇒ Qy = Từ phương trình ΣMO= 0 ⇒ Mx = IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC ( BÀI TỐN PHẲNG ) 1. ĐỊNH NGHĨA: Thường các nội lực trên các mặt cắt ngang của một thanh khơng giống nhau. Biểu đồ nội lực (BĐNL) là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của các nội lực theo vị trí 15
của các mặt cắt ngang. Nhìn vào BĐNL cĩ thể xác định vị trí mặt cắt cĩ nội lực lớn nhất và trị số nội lực ấy. 2. CÁCH VẼ BĐNL - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH: Để vẽ biểu đồ nội lực, ta tính nội lực trên mặt cắt cắt ngang ở một vị trí bất kỳ cĩ hồnh độ z so với một gốc tọa độ nào đĩ mà ta chọn trước. Mặt cắt ngang chia kết cấu ra thành 2 phần. Xét sự cân bằng của một phần (trái hay phải), viết biểu thức giải tích của nội lực theo z. Vẽ đường biểu diễn trên hệ trục tọa độ cĩ trục hồnh song song với trục thanh (cịn gọi là đường chuẩn), tung độ của biểu đồ nội lực sẽ được diễn tả bởi các đoạn thẳng vuơng gĩc các đường chuẩn. 3. CÁC QUY ƯỚC KHI VẼ BĐNL: - Đường chuẩn: thường chọn là đường trục thanh. - Tung độ phải dựng vuơng gĩc với đường chuẩn. - Biểu đồ momen: tung độ vẽ ở thớ căng. z M (không ghi dấu) - Biểu đồ lực cắt, lực dọc: tung độ dương dựng trên đường chuẩn và ngược lại. + - Ghi tên và đơn vị trên các biểu đồ đã vẽ. Ví dụ 2.1: Vẽ BĐNL của dầm trên hình H.2.6: H.2.6 Xác định phản lực = ⇔ ( + ) − = ⟹ = ( + ) = ⇔ ( + ) − = ⟹ = ( + ) 16
Thử lại:  = 0 P 1 2 Biểu thức nội lực A B 1 2 C Đoạn AC: Mặt cắt 1-1 ( 0 z1 a ) a b VA VB = ⇔ − = Qy Mx 1 2 A B ⟹ = = 1 + Mx 2 z1 = ⇔ − = Qy z2 VA VB ⟹ = = + VA + P Đoạn BC: Mặt cắt 2-2 ( 0 z2 b ) - VB (Qy) = ⇔ + = ⟹ = − = − + = ⇔ + = (Mx) ⟹ = − = + + Nhận xét 1: Tại mặt cắt cĩ lực tập trung => biểu đồ lực cắt cĩ bước nhảy, độ lớn bước nhảy bằng giá trị lực tập trung, xét từ trái qua phải, chiều bước nhảy cùng chiều lực tập trung. 1 q Ví dụ 2.2: Vẽ BĐNL của dầm trên H.2.7: A B Xác định phản lực 1 L Do bài tốn đối xứng nên: VA VB q = = , Mx Biểu thức nội lực A H.2.7 z Mặt cắt 1-1 ( 0 z L ) Qy VA = ⇔ − = V A + ⟹ = = - + VB (Qy) = ⇔ − = ⟹ = = + (Mx) Nhận xét 2: Tại mặt cắt cĩ lực cắt bằng 0, biểu đồ mơ men đạt cực trị. 17
Ví dụ 2.3: Vẽ BĐNL của dầm trên hình H.2.8: Xác định phản lực M 1 2 = ⇔ ( + ) − = A B 1 2 C ⟹ = a ( + ) b VA VB = ⇔ ( + ) − = Qy Mx 1 2 ⟹ = A B ( + ) 1 Mx 2 z Biểu thức nội lực 1 Qy z2 VA VB Đoạn AC: Mặt cắt 1-1 ( 0 z1 a ) V - V = ⇔ + = A B ⟹ = − = − (Q ) + y + = ⇔ + = ⟹ = − = − + (Mx) Đoạn BC: Mặt cắt 2-2 ( 0 z2 b ) + = ⇔ + = H.2.8 ⟹ = − = − + = ⇔ − = ⟹ = = + Nhận xét 3: Tại mặt cắt cĩ mơ men tập trung, biểu đồ mơ men cĩ bước nhảy, độ lớn bước nhảy bằng giá trị mơ men tập trung, xét từ trái qua phải, mơmen tập trung quay thuận chiều kim đồng hồ thì bước nhảy đi xuống. Ví dụ 2.4: Vẽ BĐNL của dầm trên hình H.2.9: Kết quả được thể hiện trong bảng sau: 18
V. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ TRONG THANH THẲNG Xét một thanh chịu tải trọng bất kỳ (H.2.7a). Tải trọng tác dụng trên thanh này là lực phân bố theo chiều dài cĩ cường độ q(z) chiều dương hướng lên. Mx+dMx Qy+dQy Hình H.2.7 Khảo sát đoạn thanh vi phân dz, giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (H.2.7b). Nội lực trên mặt cắt 1-1 là Qyvà Mx. Nội lực trên mặt cắt 2-2 so với 1-1 đã thay đổi một lượng vi phân và trở thành Qy+ dQy và Mx+ dMx. Vì dz là rất bé nên cĩ thể xem tải trọng là phân bố đều trên đoạn dz. Viết các phương trình cân bằng : 1-Tổng hình chiếu các lực theo phương đứng = ⇒ + () − + = ⇒ () = (. ) Kết luận: Đạo hàm của lực cắt bằng cường độ của lực phân bố vuơng gĩc với trục thanh. 2- Tổng mơmen của các lực đối với trọng tâm mặt cắt 2-2 ta được: / = ⇒ + (). + − ( + ) = Bỏ qua VCB bậc hai, ta được: = (. ) Kết luận: Đạo hàm của momen uốn tại một mặt cắt bằng lực cắt tại mặt cắt đĩ. Từ (2.4) và (2.5), ta suy ra: () = (. ) Nghĩa là: Đạo hàm bậc hai của momen uốn tại một mặt cắt bằng cường độ của lực phân bố tại điểm đĩ. 20
Dựa vào quan hệ vi phân, trên một đoạn thanh: + q = 0 ⇒ Q = hằng số, M = bậc nhất. + q = hằng ⇒ Q = bậc nhất, M = bậc hai VI. CÁCH VẼ NHANH BIỂU ĐỒ 1. PHƯƠNG PHÁP VẼ TỪNG ĐIỂM * Bước 1: Xác định các thành phần phản lực (nếu cần). * Bước 2: Xác định nội lực tại các tiết diện đặc trưng - Tiết diện đặc trưng: là những tiết diện chia hệ thành những đoạn thanh thẳng sao cho trên đoạn thanh đĩ hoặc là khơng chịu tải trọng hoặc là chỉ chịu tải trọng phân bố liên tục. - Như vậy, vị trí các tiết diện đặc trưng thường là: nút (nơi giao nhau của các thanh), vị trí các lực tập trung, ở hai đầu tải trọng phân bố, tại vị trí các gối tựa * Bước 3: Sử dụng các liên hệ vi phân để vẽ BĐNL. * Bước 4: Kiểm tra lại kết quả . Ví du 2.5: Vẽ BĐNL của dầm console trên hình 2.8 H.2.8 * Cách xác định momen tại các tiết diện đặc trưng dựa vào diện tích biểu đồ lực cắt Phương trình cân bằng (H2.9): = − − = Suy ra: = − = − 21
/ = + − − / = Suy ra: = + ( − /) = + H.2.9 Ví dụ 2.6: Vẽ BĐNL của dầm trên hình H.2.9: Xác định phản lực = . − . . − . = ⟹ = = . − . . − . = 5qa/3 ⟹ = Xét đoạn AC: q=const 4qa/3 Q bậc 1 QA = VA QC = VA+Sq = 5qa/3 - 2qa = -qa/3 4qa2/3 25qa2/18 M bậc 2: 2 2 MA= 0; MC= MA + SQ = 4qa /3; Mmax = 25qa /18 Xét đoạn BC: q = 0 Q = const QB = - VB M bậc 1: MB = 0; 2 MC = MB - SQ = 4qa /3 22
2. CÁCH ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CỘNG TÁC DỤNG Khi thanh chịu tác dụng nhiều loại tải trọng, ta cĩ thể vẽ biểu đồ nội lực trong thanh do từng tải trọng riêng lẽ gây ra rồi cộng đại số lại để được kết quả cuối cùng. Biểu đồ momen uốn của một số dầm đơn giản chịu tải trọng đơn: VII. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC DẦM TĨNH ĐỊNH NHIỀU NHỊP Định nghĩa: Là hệ tĩnh định gồm tập hợp các dầm, nối với nhau bằng các liên kết khớp. Cách vẽ biểu đồ: - Phân biệt dầm chính và dầm phụ. - Dầm chính là dầm khi đứng độc lập vẫn chịu được tải trọng. - Dầm phụ là dầm khi đứng độc lập khơng chịu được tải trọng, phải tựa lên dầm chính mới chịu được tải trọng. -Tải trọng đặt lên dầm chính khơng ảnh hưởng tới dầm phụ, tải trọng đặt trên dầm phụ sẽ truyền tới dầm chính thơng qua phản lực liên kết. - Vẽ biểu đồ cho dầm phụ trước rồi đến dầm chính, sau đĩ ghép lại với nhau. Ví dụ 1.5: Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm ghép tĩnh định sau: Bài giải: Hệ dầm ABCD là hệ dầm ghép gồm: Dầm phụ BCD, dầm chính AB. 23
Đây là các bài tốn dầm đơn giản, cách tính tốn giống như những ví dụ trước. Biểu đồ ứng lực tồn hệ dầm ghép: VIII. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC KHUNG PHẲNG Khung phẳng là hệ phẳng gồm những thanh nối nhau bằng các liên kết cứng (là liên kết mà gĩc giữa các thanh tại điểm liên kết khơng thay đổi khi khung chịu lực). Đối với các đoạn khung nằm ngang, biểu đồ các thành phần ứng lực vẽ như qui ước với thanh thẳng Đối với các đoạn khung thẳng đứng, biểu đồ N, Q vẽ về phía tùy ý và mang dấu. Biểu đồ mơ men vẽ về phía thớ căng Để kiểm tra biểu đồ ta cần kiểm tra điều kiện cân bằng các mắt khung: Tại mắt khung, nội lực và ngoại lực thoả mãn điều kiện cân bằng tĩnh học. 24
Ví dụ 5: Vẽ biểu đồ khung phẳng sau: Biết M=qa2, F=2qa Bài giải: Xác định các phản lực: Từ điều kiện cân bằng của khung ta cĩ: = − = ⟹ = = . − . − − . . / = ⟹ = / = + − = ⟹ = / Nhận xét dạng biểu đồ các thành phần ứng lực trên từng đoạn: + Biểu đồ lực dọc: Bằng phương pháp mặt cắt dễ dàng xác định: = = − = −/ = = Đoạn AB: q=const Biểu đồ Q bậc nhất, cần xác định: QA= HA = qa QB = QA+ Sq = qa + (-q).a = 0 Biểu đồ M bậc hai, cần xác định: MA = 0 2 MB = MA + SQ = 0 + qa.a/2 = qa /2; Tại B cĩ Q = 0 => Mmax=qa2/2 Đoạn BC: q = 0 Biểu đồ Q = const, cần xác định: QB = 0 Biểu đồ M bậc nhất, cần xác định = = / = + = / + = /; Trên đoạn DK: q=0 Biểu đồ Q=const, cần xác định: = − = − Biểu đồ M bậc nhất, cần xác định 25
= ; = − = − − = Trên đoạn CD: q=0 Biểu đồ Q=const, cần xác định: = − = − = Biểu đồ M bậc nhất, cần xác định = = = − = − = Xét cân bằng các mắt khung: Tại mắt C, biểu diễn các ngoại lực, các thành phần ứng lực trên hai mặt cắt ngay sát C thuộc đoạn BC và CD theo chiều thực (căn cứ vào các biểu đồ). Kiểm tra điều kiện cân bằng: Tại mắt khung tổng nội lực và ngoại lực bằng khơng. = ; = ; = 26
Bài tập 1. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của dầm chịu tải trọng như hình vẽ H.1. Hình H.1 2. Khơng cần tính ra phản lực, vẽ BĐNL của các dầm cho trên H.2. c) d) Hình H.2 3. Vẽ biểu đồ momen uốn và biểu đồ lực cắt cho dầm như trên hình H.3: P P M0 = Pa A C D B a a a a Hình H.3 4. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của dầm chịu tải trọng như hình vẽ H.4. Biết q=10kN/m; F=4kN; M0=2kNm; a=1m. (a) 27
(b) Hình H.4 5. Biểu đồ momen uốn của dầm đặt trên hai gối A và B (hình H.5). Hãy xác định biểu đồ lực cắt và tải trọng tác dụng lên dầm. Hình H.5 6. Cho dầm ABCDE cĩ liên kết và kích thước như hình vẽ H.6a. Một phần của các biểu đồ momen uốn và lực cắt của dầm được cho trên hình H.6b,c. Xác định tải trọng tác dụng lên dầm và vẽ hồn chỉnh các biểu đồ nội lực của dầm. Hình H.6 7. Cho dầm ABCDE cĩ liên kết và kích thước như hình vẽ H.7a. Một phần của các biểu đồ momen uốn và lực cắt của dầm được cho trên hình H7b,c. Xác định tải trọng tác dụng lên dầm và vẽ hồn chỉnh các biểu đồ nội lực của dầm. 28
Hình H.7 8. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của khung phẳng chịu tải trọng như hình vẽ H.8 với M0=4kNm; F=5kN; q=2kN/m, a=1m. - - 6 5 10 + q 5 - Hình H.8 [kN] 11 15 5 16 + 10 12 4 4 - + 10 - 6 [kNm] [kN] 29
Đáp án 6. qa 2q qa2/2 q qa 2 7. qa q 3qa 2q 30
Chương 3 KÉO - NÉN ĐÚNG TÂM I. KHÁI NIỆM Thanh được gọi là chịu kéo hay nén đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ cĩ một thành phần nội lực là lực dọc Nz. Quy ước dấu của Nz: Nz > 0 khi hướng ra ngồi mặt cắt – gây kéo Nz < 0 khi hướng vào trong mặt cắt – gây nén. Đây là trường hợp chịu lực đơn giản nhất. Ta gặp trường hợp này khi thanh chịu 2 lực bằng nhau và trái chiều ở hai đầu dọc trục thanh . Thanh chịu kéo đúng tâm (H.3.1a) hay chịu nén đúng tâm (H.3.1b). H.3.1 Thanh chịu kéo nén đúng tâm Thực tế, cĩ thể gặp các cấu kiện chịu kéo hay nén đúng tâm như dây cáp trong cần cẩu (H.3.2a), ống khĩi (H.3.2b), các thanh trong dàn (H.3.2c) H.3.2 Một số cấu kiện chịu kéo nén đúng tâm II. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG Xét thanh thẳng chịu kéo (nén) đúng tâm (H.3.3a) các mặt cắt ngang CC và DD trước khi thanh chịu lực cách nhau đoạn dz và vuơng gĩc trục thanh. Các thớ dọc trong đoạn CD (như là GH) bằng nhau (H.3.3b). Khi thanh chịu kéo (nén), nội lực trên mặt cắt ngang DD hay bất kỳ mặt cắt ngang khác là Nz= P (H.3.3c) thanh sẽ dãn ra, mặt cắt DD di chuyển dọc trục thanh z so với mặt cắt CC một đoạn bé δdz (H.3.3b). 31
H.3.3 Ta thấy biến dạng các thớ dọc như GH đều bằng HH’ và khơng đổi, mặt cắt ngang trong suốt quá trình biến dạng vẫn phẳng và vuơng gĩc với trục thanh, điều này cho thấy các điểm trên mặt cắt ngang chỉ cĩ ứng suất pháp σz khơng đổi (H.3.3d). Ta cĩ: ∫ = Nếu σz= const ta được: = hay: = / (3.1) với: F- diện tích mặt cắt ngang của thanh. III. BIẾN DẠNG CỦA THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 1. BIẾN DẠNG DỌC Biến dạng dọc trục z của đoạn dài dz chính là δdz (H.3.3b). Như vậy biến dạng dài tương đối của đoạn dz là: = Theo định luật Hooke ta cĩ: = / trong đĩ: E- là hằng số tỷ lệ, được gọi là mơ đun đàn hồi khi kéo (nén), nĩ phụ thuộc vào vật liệu và cĩ thứ nguyên [lực/(chiều dài)2], được xác định từ thí nghiệm. Bảng 3.1 cho trị số E của một số vật liệu. 32
Từ (a) tính δdz, thế (b) vào, ta được biến dạng dài dọc trục của đoạn dz là: = = = Suy ra biến dạng dài (dãn khi thanh kéo, co khi thanh nén) của đoạn thanh dài L: = = (. ) Nếu E, F là hằng số và Nz cũng khơng đổi trên chiều dài L của thanh, ta sẽ được: = = (. ) Nếu thanh gồm nhiều đoạn chiều dài Li và trên mỗi đoạn Nz, E, F khơng đổi thì: = = (. ) Tích số EF gọi là độ cứng khi chịu kéo hay nén đúng tâm của thanh. 2- BIẾN DẠNG NGANG Theo phương ngang thanh cũng cĩ biến dạng, ta đã chọn z là trục thanh, x, y là các phương vuơng gĩc với z (H.3.3d). Nếu ta gọi εx và εy là biến dạng dài tương đối theo hai phương x và y, thì ta cĩ quan hệ sau: = = − (. ) trong đĩ: ν- hệ số Poisson, là hằng số vật liệu. Dấu (–) trong biểu thức chỉ rằng biến dạng theo phương dọc và ngang ngược nhau. Ví dụ 3.1. Cho các thanh chịu lực như hình vẽ H3.4. Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và 2 xác định chuyển vị của trọng tâm mặt cắt ngang D. Biết a=1,5m; A2=1,5A1=15cm ; F=25kN; E=2.104 kN/cm2. 33
H.3.4 IV. ỨNG SUẤT CHO PHÉP – HỆ SỐ AN TỒN - BA BÀI TỐN CƠ BẢN Ta gọi ứng suất nguy hiểm σ0, là trị số ứng suất mà ứng với nĩ vật liệu được xem là bị phá hoại. Đối với vật liệu dẻo σ0 = σch , đối với vật liệu dịn σ0 = σb. H.3.5a Quan hệ giữa lực kéo và H.3.5b Quan hệ giữa lực nén và BD dài khi kéo vật liệu dẻo BD dài khi nén vật liệu dẻo Đồ thị quan hệ giữa lực nén và BD dài khi nén vật liệu dòn giống với hình 3.5c nhưng giá trị Pb khi nén lớn hơn so với Pb khi kéo. H.3.5c Quan hệ giữa lực kéo và BD dài khi kéo vật liệu dòn Nhưng khi chế tạo, vật liệu thường khơng đồng chất hồn tồn, và trong quá trình sử dụng tải trọng tác dụng cĩ thể vượt quá tải trọng thiết kế, điều kiện làm việc của kết cấu hay chi tiết chưa được xem xét đầy đủ, các giả thiết khi tính tốn chưa đúng với sự làm việc của kết cấu. Vì thế ta khơng tính tốn theo σ0. Chúng ta phải chọn một hệ số an tồn n lớn hơn 1 để xác định ứng suất cho phép. [] = (. ) 34
Và dùng trị số [σ] để tính tốn. Hệ số an tồn do nhà nước hay hội đồng kỹ thuật của nhà máy qui định. Để chọn hệ số an tồn được chính xác, nhiều khi người ta phải chọn nhiều hệ số theo riêng từng nguyên nhân dẫn đến sự khơng an tồn của cơng trình hay chi tiết máy, cĩ thể kể đến: - Hệ số kể đến độ đồng chất của vật liệu; - Hệ số kể đến sự vượt quá tải trọng thiết kế; - Hệ số kể đến sự làm việc tạm thời hay lâu dài. Như vậy muốn đảm bảo sự làm việc an tồn về độ bền khi thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ứng suất trong thanh phải thỏa mãn điều kiện bền là: = ≤ [] (. ) Từ điều kiện bền, ta cĩ ba bài tốn cơ bản: * Kiểm tra bền: = ≤ [] ± % (. ) * Chọn kích thước mặt cắt ngang: ≥ ± % (. ) [] * Định tải trọng cho phép: ≤ [] ± % hay [] = [] (. ) Ví dụ 3.2. Cho hệ như H.3.6. Định tải trọng cho phép [P] theo điều kiện bền của các 2 2 2 2 thanh 1, 2, 3. Cho biết [σ] = 16 kN/cm , F1= 2 cm , F2= 1 cm , F3= 1.5 cm . H.3.6 35
N1 N2 P N3 O Hệ phương trình cân bằng : ⎧ / = + = ⎪ / = + − = ⎨ ⎪ ⎩ / = − = Giải hệ phương trình trên, ta được: N1 = 2P; N2 = -1.414P; N3= P Theo (3.10): = ≤ [] = . = || = . ≤ [] = . = = ≤ [] = . , = Suy ra: P ≤ 11,314 kN. Vậy [P] = 11,314 kN V. BÀI TỐN SIÊU TĨNH Định nghĩa: Bài tốn siêu tĩnh là bài tốn mà chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học sẽ khơng đủ để giải được tất cả các phản lực hay nội lực trong hệ. Bậc siêu tĩnh n = số ẩn số – số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập Cách giải: Cần tìm thêm các phương trình diễn tả điều kiện biến dạng của hệ sao cho cộng số phương trình này với các phương trình cân bằng tĩnh học vừa đủ bằng số ẩn số phản lực, nội lực cần tìm. Ví dụ 3.3. Xét thanh chịu lực như H.3.7a. Ở hai ngàm cĩ hai phản lực VA và VB. Ta cĩ phương trình cân bằng : VA + VB – P = 0 (a) Phương trình này cĩ hai ẩn, muốn giải được ta phải tìm thêm phương trình điều kiện biến dạng của thanh. Tưởng tượng bỏ ngàm B và thay bằng phản lực VB (H.3.7b). Điều kiện biến dạng của hệ là: ΔL = ΔBA = ΔBC + ΔCA = 0 (b) Gọi NBC và NCA là nội lực trên các mặt cắt của các đoạn BC và CA ta sẽ được: 36
∆ = + = () với NBC = −VB; NCA= −VB+ P, (c) trở thành: − ( − ) ∆ = + = suy ra: = + Ta đã tính được phản lực VB, bài tốn trở thành bài tốn tĩnh định bình thường. H.3.7 Ví dụ 3.4: Cho hệ thanh cĩ 2 đoạn, diện tích mặt cắt ngang của đoạn AB là F, của đoạn BC là 0,5F. Lực tác dụng tại điểm B như hình vẽ H3. Cho biết F, L, P, mơ đun đàn hồi E là các hằng số. a. Vẽ biểu đồ lực dọc Nz của thanh? b. Tính chuyển vị của mặt cắt tại B? Bài giải: a. Giải phĩng ngàm C và thay bằng phản lực X như hình vẽ. Phương trình biến dạng : ∆ = Theo nguyên lý cộng tác dụng : − × × × ∆ = + + = Với = , = . 37
P C A B 2L L Hình H3.8 P C X A B 2L L + P/2 P/2 - Giải phương trình trên ta được X = P/2 b. Xác định chuyển vị của điểm B: Điểm B dịch chuyển sang trái một đoạn Δ: −/ × − = ∆ = = . Bài 2.7: Cho hệ thanh chịu lực như hình vẽ. a. Xác định lực dọc trong các thanh. b. Tìm chuyển vị theo phương thẳng đứng của điểm C. 2 4 2 Biết ABD = ACE = 5cm ; E =2.10 kN/cm ; P= 50kN; L=2m; Thanh AC tuyệt đối cứng. Giải: a. Xác định lực dọc trong các thanh. Dùng phương pháp mặt cắt đơn giản: giữ lại phần cĩ thanh AC: ∑ = . + . − . , = ⟹ + = () Phương trình biến dạng: ′ = = ′ 38
∆ ⟹ = ⟺ = () ∆ Từ (1) và (2) suy ra NBD = 0,3P và NCE = 0,6P b. Tìm chuyển vị theo phương thẳng đứng của điểm C. . , . . = ∆ = = = . . . 39
Bài tập 1. Cho các thanh chịu lực như hình vẽ H.1. Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và xác định 2 chuyển vị của trọng tâm mặt cắt ngang D. Biết a=1,5m; A2=1,5A1=15cm ; F=25kN; E=2.104 kN/cm2. Đáp số: D = - 0,03125 cm. Hình H.1 2. Cho các thanh chịu lực như hình vẽ H.2. Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và chuyển 2 vị của các mặt cắt ngang. Biết a=1m; A3 = 1,5A2 = 2A1 =15cm ; F1 = 25kN; F2 =60kN; q=10kN/m, E=2.104 kN/cm2. Hình H.2 Đáp số: 15kN (+) 25kN (Nz) 45kN (-) 2 1,5kN/cm 2 (z) (+) 3,333kN/cm 2 2 3kN/cm (-) 2kN/cm (+) 0,0058cm (z) (-) 0,0075cm 0,015cm 3. Thanh OBCDH cĩ hai đoạn: đoạn OC mặt cắt ngang diện tích 2A, đoạn CH mặt cắt ngang diện tích A, lực 3P tác dụng tại D, lực P tác dụng tại B. Cho biết P= 50 kN, A = 8cm2, a = 0,5m, E = 20000 kN/cm2. 40
a. Trường hợp khơng cĩ lực R tại H, hãy vẽ biểu đồ nội lực, ứng suất và tính chuyển vị tại H. b. Khi cĩ thêm lực R, hãy xác định giá trị R để mặt cắt H đứng yên sau khi chịu lực. Hình H.3 Đáp số:a. xH = ; b. R= 1.833P = 91,65 kN 4. Cho hệ thanh chịu tải trọng như hình vẽ H.4, thanh HK và BC là tuyệt đối cứng. a. Xác định nội lực trong các thanh theo q b. Tính [q] của hệ theo điều kiện bền của các thanh treo 1, 2, 3. c. Với [q] vừa xác định, tính chuyển vị theo phương thẳng đứng của điểm K, C. Biết a=0,5m; L=1,5m; E=2.104 kN/cm2; A= 15cm2; [σ]=16kN/cm2; F=2qa; M=qa2. Hình H.4 Đáp số: (a) N1= 0.75qa ; N2= 2.25qa ; N3= qa ; (b) [q]=2.13 kN/cm (c) yK = 1,2mm ; yC = 1,1mm 5. Cho hệ thanh cĩ liên kết và chịu lực như hình vẽ H.5. Thanh nằm ngang BCD coi như tuyệt đối cứng. Biết α=450. a. Xác định lực dọc trong các thanh BK, DH thuộc hệ. b. Tính ứng suất pháp lớn nhất trong các thanh BK, DH . c. Xác định phản lực liên kết tại C. Hình H.5 41
6. Xác định tải trọng [F] cho phép theo điều kiện bền của các thanh treo trên hình H.6. Giả thiết dầm BKD tuyệt đối cứng, các thanh treo làm cùng vật liệu cĩ E=2.104 kN/cm2, diện tích mặt cắt ngang A=4 cm2, [σ]=18 kN/cm2, α=300. Tìm chuyển vị điểm K theo phương thẳng đứng với tải trọng cho phép vừa tìm được. Hình H.6 7. Dầm tuyệt đối cứng CD treo bởi thanh BC, được nối vào thanh EK như hình H.7. Do sai số chế tạo, thanh EK bị hụt so với chiều dài cần thiết một đoạn δ=3mm. Hãy tính ứng suất phát sinh trong thanh BC và EK khi hàn chập hai điểm E và H. Biết hai thanh BC và EK làm cùng vật liệu và kích thước, cĩ độ cứng EA=5.104 kN; a=1m. Hình H.7 8. Lực P=2kN và lực giĩ cĩ cường độ q=0.3kN/m. Tính diện tích dây giằng, biết rằng ứng suất cho phép [] = 35 kN/cm2, modun đàn hồi E = 1,6.104 kN/cm2. Tính chuyển vị nằm ngang của đầu cột. Chú ý rằng dây cáp chỉ chịu được lực kéo, khi tính xem cột là tuyệt đối cứng (hình H.8). Đáp số: [F] = 0,314 cm2 ; y = 17,5 cm 9. Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và chuyển vị của các mặt cắt dọc theo trục thanh chịu lực như trên hình H.9. Cho E = 2.104 kN/cm2. Hình H.8 42
Hình H.9 Đáp số: 10. Tính chuyển vị thẳng đứng của khớp A (hình H.10). Các thanh bằng thép cĩ E = 2.104 kN/cm2. 43
Hình H.10 Đáp số: a. VA = 0,144 cm ; b. VA = 0,246 cm 44
Chương 4 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT I. KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 1. Trạng thái ứng suất (TTƯS) tại một điểm. Xét một điểm K trong một vật thể cân bằng và các mặt cắt qua K, trên các mặt cắt ấy cĩ các ứng suất pháp σ và ứng suất tiếp τ. Các ứng suất này thay đổi tùy vị trí mặt cắt (H.4.1). Định nghĩa: TTUS tại một điểm là tập hợp tất cả những ứng suất trên các mặt đi qua điểm ấy. TTUS tại một điểm đặc trưng cho mức độ chịu lực của vật thể tại điểm đĩ. Nghiên cứu TTUS là tìm đặc điểm và liên hệ giữa các ứng suất σ - τ, xác định ứng suất lớn nhất, nhỏ nhất để tính tốn độ bền hay giải thích, đĩan biết dạng phá hỏng của vật thể chịu lực. 2. Biểu diễn TTƯS tại một điểm Tưởng tượng tách một phân tố hình hộp vơ cùng bé bao quanh điểm K. Các mặt phân tố song song với các trục tọa độ (H 4.2). Trên các mặt của phân tố sẽ cĩ chín thành phần ứng suất: + Ba ứng suất pháp: σx, σy, σz + Sáu ứng suất tiếp: τxy, τyx, τxz, τzx, τyz, τzy Ứng suất pháp σ cĩ một chỉ số chỉ phương pháp tuyến mặt cĩ σ. Ứng suất tiếp τ cĩ hai chỉ số: Chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt cĩ τ, chỉ số thứ hai chỉ phương của τ. 45
3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp Trên hai mặt vuơng gĩc, nếu mặt này cĩ ứng suất tiếp hướng vào cạnh (hướng ra khỏi cạnh) thì mặt kia cũng cĩ ứng suất tiếp hướng vào cạnh (hướng ra khỏi cạnh), trị số hai ứng suất bằng nhau (H.4.3) |τxy| = |τyx|; |τxz| =|τzx| ; |τyz| =|τzy| (4.1)  Hình H.4.3 TTUS tại một điểm cịn 6 thành phần ứng suất. 4. Mặt chính, phương chính và ứng suất chính. Phân loại TTƯS Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng tại một điểm bất kỳ của vật thể chịu lực luơn tìm được một phân tố hình hộp vuơng gĩc mà trên các mặt của phân tố đĩ chỉ cĩ ứng suất pháp, mà khơng cĩ ứng suất tiếp (H.4.4a). Những mặt đĩ gọi là mặt chính. Pháp tuyến của mặt chính gọi là phương chính. Ứng suất pháp trên mặt chính gọi là ứng suất chính và ký hiệu là: σ1, σ2 và σ3. Quy ước: σ1 > σ2 > σ3. 2 2 2 Thí dụ : σ1= 200 N/cm ; σ2= −400 N/cm ; σ3= −500 N/cm Phân loại TTUS : - TTUS khối: Ba ứng suất chính khác khơng (H.4.4a). - TTUS phẳng: Hai ứng suất chính khác khơng (H.4.4b). - TTUS đơn: Một ứng suất chính khác khơng (H.4.4c).  TTUS khối và TTUS phẳng gọi là TTUS phức tạp. 46
II. TTƯS TRONG BÀI TỐN PHẲNG- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH 1. Cách biểu diễn – Quy ước dấu Xét một phân tố (H.4.5a). Ứng suất trên mặt vuơng gĩc với trục z bằng khơng và mặt này là một mặt chính vì cĩ ứng suất tiếp bằng khơng. Để dễ hình dung, ta biểu diễn phân tố đang xét bằng hình chiếu của tồn phân tố lên mặt phẳng Kxy (H.4.5b). Quy ước dấu:+ σ > 0 khi gây kéo (hướng ra ngồi mặt cắt) + τ > 0 khi làm cho phân tố quay thuận kim đồng hồ Hình 4.5b biểu diễn các ứng suất dương (qui ước này phù hợp với bài tốn thanh). 2. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ Vấn đề: Xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với trục z và cĩ pháp tuyến u tạo với trục x một gĩc α (α > 0 khi quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x) (H.4.6a). Giả thiết đã biết ứng suất σx, σy và τxy. ♦ Tính σu và τuv: Tưởng tượng cắt phân tố bằng mặt cắt nghiêng đã nêu, mặt cắt chia phân tố ra làm hai phần, xét cân bằng của một phần phân tố (H.4.6b) Trên mặt nghiêng cĩ ứng suất σu và τuv, chúng được xác định từ phương trình cân bằng tĩnh học. * ∑U=0 ⇒ udsdz - xdzdycos + τxydzdysin - ydzdxsin + τxydzdxcos = 0 * ∑V=0 ⇒ τuvdsdz - xdzdysin -τxydzdycos +ydzdxcos + τxydzdxsin = 0 Kể đến: |τxy|= |τyx|; dx = ds.sinα ; dy = ds.cosα và các cơng thức lượng giác cơ bản ta cĩ: 47
+ − = + − (. ) − = + (. ) ♦ Tính σv: Xét mặt nghiêng cĩ pháp tuyến v, vuơng gĩc mặt cĩ pháp tuyến u (H.4.7). Thay thế α bằng (α+ 900) vào (4.2) ta được ứng suất pháp tác dụng trên mặt cĩ pháp tuyến v: + − = − + (. ) Cộng 4.2 và 4.4 ta cĩ: + = + Biểu thức trên cho thấy, tổng ứng suất pháp tác dụng trên hai mặt vuơng gĩc của phân tố ứng suất phẳng tại một điểm là hằng số và khơng phụ thuộc vào gĩc α. Đĩ là Bất Biến Thứ Nhất của ứng suất pháp. 3. Ứng suất chính - Phương chính - Ứng suất pháp cực trị Ngồi mặt chính là mặt đã biết vuơng gĩc với trục z, hai mặt chính cịn lại là những mặt song song với trục z (vì phải vuơng gĩc với mặt chính đã cĩ). Mặt chính là mặt cĩ ứng suất tiếp bằng 0 ⇒ Tìm hai mặt chính cịn lại bằng cách cho τuv = 0. Nếu gọi αo là gĩc của trục x hợp với phương chính thì điều kiện để tìm phương chính là: τuv = 0 − → + = ⇒ Phương trình xác định α0: = − = − Phương trình trên cĩ 2 nghiệm là: = ; = ± (. ) 0 (4.5) cho thấy cĩ hai giá trị α0 sai biệt nhau 90 . Vì vậy, cĩ hai mặt chính vuơng gĩc với nhau và song song với trục z. Trên mỗi mặt chính cĩ một ứng suất chính tác dụng. Hai ứng suất chính này cũng là ứng suất pháp cực trị (ký hiệu là σmax hay σmin) bởi vì: 48
= ⟺ = − (ố ớ . ) − Giá trị ứng suất chính hay ứng suất pháp cực trị cĩ thể tính được bằng cách thế ngược trị số của α trong (4.5) vào (4.2), ta được: + − = , = ± + (. ) Ta thấy max + min = 1 + 3 = x + y III. LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 1. Biến dạng dài (định luật Hooke tổng quát) ⇒ Trước hết hãy tìm biến dạng dài tương đối ε1 theo phương I của phân tố. Biến dạng do σ1 sinh ra: ε11 = σ1/E Biến dạng do σ2 sinh ra: ε12 = − μσ2/E Biến dạng do σ3 sinh ra: ε13 = − μσ3/E ⇒ Biến dạng dài (tương đối) theo phương I do ba ứng suất σ1, σ2 và σ3 sinh ra: ε1= ε11 + ε12 + ε13. ⇒ Làm tương tự ta được biến dạng (tương đối) theo phương II và phương III của phân tố: = [ − ( + )] = [ − ( + )] (. ) = [ − ( + )] ⇒ Các hệ thức bậc nhất (4.7) trên đây giữa biến dạng dài và ứng suất pháp là nội dung của định luật Hooke tổng quát đối với vật rắn đàn hồi tuyến tính. 2. Biến dạng gĩc (định luật Hooke về trượt) ⇒ Xét biến dạng của phân tố. Dưới tác dụng của ứng suất tiếp phân tố bị biến đổi hình dáng và trở thành hình bình hành (hình 3-8). Theo định luật Hooke, giữa ứng suất tiếp τ và gĩc trượt γ cĩ liên hệ sau: τij = Gγij ( i, j = 1, 2, 3) (4. 8) 49
trong đĩ G là hệ số tỷ lệ gọi là mơđun đàn hồi khi trượt [lực/chiều dài2], đĩ là hằng số vật liệu, được xác định từ thí nghiệm. Mơđun G liên hệ với E và μ như sau: = (. ) ( + ) 3. Biến dạng thể tích tỷ đối (định luật Hooke khối) Gọi dx, dy và dz là các cạnh của phân tố và V0 là thể tích ban đầu của phân tố, ta cĩ: V0 = dxdydz. Sau khi biến dạng, chiều dài các cạnh thay đổi sẽ là (dx + Δdx), (dy + Δdy) và (dz + Δdz). Thể tích sau khi biến dạng: V1= V0 + ΔV = (dx + Δdx).(dy + Δdy).(dz + Δdz) = ∆ ∆ ∆ = + + + = ( + ) + ( + ) Vì biến dạng là bé nên cĩ thể bỏ qua các đại lượng vơ cùng bé bậc 2 trở lên. Cuối cùng ta được: V1 = V0(1 + εx+ εy+ εz) Gọi θ là biến dạng thể tích tương đối của phân tố, ta cĩ: − = = + + Thay εx, εy và εz từ (3.16) vào cơng thức trên ta được: − = + + = + + Đặt tổng ứng suất pháp là: Σ = + + = − Cơng thức trên biểu diễn liên hệ bậc nhất giữa biến dạng thể tích tương đối và tổng các ứng suât pháp, gọi là định luật Hooke khối. IV. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1: ứng suất tồn phần trên mặt cắt m-n đi qua một điểm của một vật thể trong trạng thái ứng suất phẳng P = 3000 N/cm2 cĩ phương tạo thành một gĩc 600 với mặt cắt. Trên mặt vuơng gĩc với mặt cắt này chỉ cĩ ứng suất tiếp (hình 3.9). Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt 50
tạo thành gĩc 450 với mặt cắt m-n. Tính ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đĩ. Giải: Ta thiết lập hệ trục xy trên mặt cắt m-n và hệ trục uv trên mặt căt nghiêng như hình 3.9. Khi đĩ các thành phần ứng suất trên các mặt của phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: 0 2 σx = p.sin 60 = 3.0,866 = 2,6 kN/cm 0 2 τxy = − p.cos60 = − 3.0,5 = −1,5 kN/cm σy = 0 Áp dụng cơng thức (4.2) và (4.3) với α = -1350, ta cĩ: , , = + (−) − (−, )(−) = , / , = (−) + (−, )(−) = , / Áp dụng cơng thức (4.6) , ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đĩ là: , , = + + (−, ) = , / Ví dụ 2. Tại một điểm trên mặt một vật thể chịu lực người ta đo được biến dạng tỉ đối theo các phương om, on, ou như sau: -4 - 4 εm = -εn = 2,81.10 ; εu = 1,625.10 . Xác định phương chính và ứng suất chính tại điểm ấy. Cho μ= 0,3; E = 2.104 kN/cm2. Giải: Từ định luật Hooke ta rút ra được ứng suất pháp phương m, n: = [ − ] = [ − , ] = , . . = [ − ] = [ − , ] = −, . . ⟹ = , / ; = −, / Biến dạng theo phương u: = [ − ( + − )] = [ − , (− )] = , . . ⟹ = , / Ứng suất tiếp mn tính từ cơng thức: + − = + − 51
, − , , + , ⟺ , = + (. ) − (. ) ⟺ = −, / Giá trị ứng suất chính tại điểm cho trước: + − = ± + , − , , + , ⟺ = ± + (−, ) = ± / . Phương chính: (−, ) = − = − = , ⟹ = & = − , + , Bài tập Bài 1: b Một tấm mỏng hình chữ nhật cạnh 3mm x 4mm chịu tác dụng của các thành phần ứng suất như trên hình 3 mm 5MPa vẽ. Hãy tìm độ biến dạng dài tuyệt đối của đường 4 mm 3MPa chéo ab. Biết E = 200 GPa, hệ số Poisson =0,3 a 3MPa 52
Chương 5 LÝ THUYẾT BỀN I. KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT BỀN ♦ Điều kiện bền thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm (TTƯS đơn): = ≤ [] ; || = ≤ [] Trong đĩ [] = 0 / n Ứng suất nguy hiểm σ0 cĩ được từ những thí nghiệm kéo (nén) đúng tâm: - Đối với vật liệu dẻo là giới hạn chảy σch - Đối với vật liệu dịn là giới hạn bền σb ♦ Để viết điều kiện bền ở một điểm của vật thể ở TTƯS phức tạp (phẳng hay khối), cần phải cĩ kết quả thí nghiệm phá hỏng những mẫu thử ở TTƯS tương tự. Việc thực hiện những thí nghiệm như thế rất khĩ khăn vì: - Ứng suất nguy hiểm phụ thuộc vào độ lớn của các ứng suất chính và phụ thuộc vào tỉ lệ giữa những ứng suất này. Do đĩ phải thực hiện một số lượng rất lớn các thí nghiệm mới đáp ứng được tỷ lệ giữa các ứng suất chính cĩ thể gặp trong thực tế. - Thí nghiệm kéo, nén theo ba chiều cần những thiết bị phức tạp, khơng phổ biến rộng rãi như thí nghiệm kéo nén một chiều. Vì vậy, khơng thể căn cứ vào thí nghiệm trực tiếp mà phải dựa trên các giả thiết về nguyên nhân gây ra phá hỏng của vật liệu hay cịn gọi là những thuyết bền để đánh giá độ bền của vật liệu. Định nghĩa: Thuyết bền là những giả thuyết về nguyên nhân phá hoại của vật liệu, nhờ đĩ đánh giá được độ bền của vật liệu ở mọi TTƯS khi chỉ biết độ bền của vật liệu ở TTƯS đơn (do thí nghiệm kéo, nén đúng tâm). Nghĩa là, với phân tố ở TTƯS bất kỳ cĩ các ứng suất chính σ1, σ2, σ3 ta phải tìm ứng suất tính theo thuyết bền là một hàm của σ1, σ2, σ3 rồi so sánh với [σ]k hay [σ]n ở TTƯS đơn. ⇒ Điều kiện bền của vật liệu cĩ thể biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau: = (, , ) ≤ [] = (, , ) ≤ [] Với σtđ được gọi là ứng suất tương đương. Vấn đề là phải xác định hàm f hay là tìm được thuyết bền tương ứng. 53
II. CÁC THUYẾT BỀN CƠ BẢN 1- Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất (TB1) ♦ Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do ứng suất pháp lớn nhất của phân tố ở TTUS phức tạp đạt đến ứng suất nguy hiểm ở TTUS đơn. ♦ Nếu ký hiệu: σ1, σ2, σ3: ứng suất chính của TTUS phức tạp σ0k hay σ0n - ứng suất nguy hiểm về kéo và nén n - hệ số an tồn ⇒ Điều kiện bền theo TB1: = = ≤ [] = | | = ≤ [] trong đĩ: σtd1 – là ứng suất tương đương theo TB 1 ♦ Ưu khuyết điểm:  TB1, trong nhiều trường hợp, khơng phù hợp với thực tế. Thí dụ trong thí nghiệm mẫu thử chịu áp lực giống nhau theo ba phương (áp lực thủy tĩnh), dù áp lực lớn, vật liệu hầu như khơng bị phá hoại. Nhưng theo TB1 thì vật liệu sẽ bị phá hỏng khi áp lực đạt tới giới hạn bền của trường hợp nén theo một phương.  TB1 khơng kể đến ảnh hưởng của các ứng suất khác cho nên TB này chỉ đúng đối với TTUS đơn. 2. Thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất (TB 2) ♦ Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do biến dạng dài tương đối lớn nhất của phân tố ở TTUS phức tạp đạt đến biến dạng dài tương đối lớn nhất ở trạng thái nguy hiểm của phân tố ở TTUS đơn. ♦ Gọi ε1 là biến dạng dài tương đối lớn nhất của phân tố ở TTUS phức tạp; ε0k là biến dạng dài tương đối ở trạng thái nguy hiểm của phân tố bị kéo theo một phương (TTUS đơn). Theo định luật Hooke, ta cĩ: = [ − ( + )] = Kết hợp (a) và (b), kể đến hệ số an tồn n 54
[ − ( + )] ≤ Hay = − ( + ) ≤ [] Đối với trường hợp biến dạng co ngắn, ta cĩ: = | − ( + )| ≤ [] ♦ Ưu khuyết điểm: TB biến dạng dài tương đối tiến bộ hơn so với TB ứng suất pháp vì cĩ kể đến ảnh hưởng của cả ba ứng suất chính. Thực nghiệm cho thấy TB này chỉ phù hợp với vật liệu dịn và ngày nay ít được dùng trong thực tế. 3. Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (TB 3) ♦ Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do ứng suất tiếp lớn nhất của phân tố ở TTUS phức tạp đạt đến ứng suất tiếp lớn nhất ở trạng thái nguy hiểm của phân tố ở TTUS đơn. ♦ Gọi: τmax – ứng suất tiếp lớn nhất của phân tố ở TTUS phức tạp ; τ0k – ứng suất tiếp lớn nhất ở trạng thái nguy hiểm của phân tố bị kéo theo một phương ( TTUS đơn). n – Hệ số an tồn ⇒ Điều kiện bền theo TB 3: ≤ () trong đĩ, theo (4.18), chương 4, ta cĩ: − = ; = () Thay (e) vào (d), suy ra − ≤ ⇒ Điều kiện bền theo TB 3: = − ≤ [] ♦ Ưu khuyết điểm: TB ứng suất tiếp lớn nhất phù hợp với thực nghiệm hơn nhiều so với hai TB 1 và TB 2 . Tuy khơng kể tới ảnh hưởng của ứng suất chính 2 song TB này tỏ ra khá thích hợp với vật liệu dẻo và ngày nay được sử dụng nhiều trong tính tốn cơ khí và xây dựng. Nĩ cũng phù hợp với kết quả mẫu thử chịu áp lực theo ba phương. 55
4. Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (TB 4) ♦ Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do thế năng biến đổi hình dáng của phân tố ở TTUS phức tạp đạt đến thế năng biến đổi hình dáng ở trạng thái nguy hiểm của phân tố ở TTUS đơn. ♦ Gọi: uhd - Thế năng biến đổi hình dáng của phân tố ở TTUS phức tạp (uhd)o- Thế năng biến đổi hình dáng ở trạng thái nguy hiểm của phân tố bị kéo theo một phương (ở TTUS đơn). n – Hệ số an tồn ⇒ Điều kiện để phân tố ở TTUS phức tạp khơng bị phá hỏng là bền theo TB 4 là: uhd < (uhd)o (g) Theo 4.5, chương 4, ta đã cĩ: + = + + − − − + ( ) = Thế (h) vào (g) , lấy căn bậc hai của hai vế, kể đến hệ số an tồn n Điều kiện bền theo TB 4: = + + − − − ≤ [] ♦ Ưu khuyết điểm: TB thế năng biến đổi hình dáng được dùng phổ biến trong kỹ thuật vì khá phù hợp với vật liệu dẻo. Ngày nay được sử dụng nhiều trong tính tốn cơ khí và xây dựng. CÁC KẾT QUẢ ĐẶC BIỆT: i- TTUS phẳng đặc biệt (H.5.3): Các ứng suất chính : = ± + , = Theo TB ứng suất tiếp (5.3): = − = + ≤ [] Theo TB thế năng biến đổi hình dáng (5.4): = + ≤ [] ii. TTUS trượt thuần túy (H.5.4): 56
Các ứng suất chính : 1 = - 3 = || , 2 = 0 Theo TB ứng suất tiếp: = − = || ≤ [] hay: || ≤ []/2 Theo TB thế năng biến đổi hình dáng: = ≤ [] hay: || ≤ []/√ 5. Thuyết bền về các TTƯS giới hạn (TB 5 hay là TB Mohr) TB Mohr được xây dựng trên cơ sở các kết quả thực nghiệm, khác với các TB trước xây dựng trên cơ sở các giả thuyết. Ở chương 4, ta đã biết một TTUS khối với ba ứng suất chính σ1,σ2 và σ3 cĩ thể biểu diễn bằng ba vịng trịn Morh 1, 2 và 3 với đường kính tương ứng là σ2−σ3 , σ1−σ3 và σ1−σ2 như hình 4.22. Nếu vật liệu ở trạng thái nguy hiểm thì những vịng trịn tương ứng với TTUS nguy hiểm được gọi là những vịng trịn Mohr giới hạn. Thực nghiệm cho thấy, ứng suất pháp σ2 ít ảnh hưởng đến sự phá hoại của vật liệu nên ta chỉ để ý đến vịng trịn Mohr lớn nhất gọi là vịng trịn chính xác định bởi đường kính σ1−σ3. Tiến hành thí nghiệm cho các TTUS khác nhau và tìm trạng thái giới hạn tương ứng của chúng, trên mặt phẳng tọa độ ,  ta vẽ được một họ các đường trịn chính giới hạn như ở H.5.5. Nếu vẽ đường bao những vịng trịn đĩ ta sẽ thu được một đường cong giới hạn, đường cong này cắt trục hồnh ở điểm tương ứng với trạng thái cĩ ba ứng suất chính là ứng suất kéo cĩ giá trị bằng nhau. Giả thiết rằng đường bao là duy nhất đối với mỗi loại vật liệu, ta nhận thấy nếu TTUS nào biểu thị bằng một vịng trịn chính nằm trong đường bao thì vật liệu đảm bảo bền, vịng trịn chính tiếp xúc với đường bao thì TTUS đĩ ở giới hạn bền cịn nếu vịng trịn chính cắt qua đường bao thì vật liệu bị phá hỏng. Việc phải thực hiện một số lượng lớn các thí nghiệm để xác định các vịng trịn giới hạn và vẽ chính xác đường cong giới 57
hạn là khơng đơn giản. Vì vậy, người ta thường vẽ gần đúng đường bao bằng cách dựa trên cơ sở hai vịng trịn giới hạn kéo và nén theo một phương với đường kính tương ứng là []k và []n. Ở đây, để cho tiện ta thay thế các ứng suất nguy hiểm 0k và 0n bằng ký hiệu ứng suất cho phép [σ]k và [σ]n tức là đã cĩ kể tới hệ số an tồn. Đường bao được thay thế bằng đường thẳng tiếp xúc với hai vịng trịn giới hạn như trên H.5.6. Xét một TTUS khối cĩ vịng trịn Mohr lớn nhất σ1 và σ3 tiếp xúc với đường bao, nằm ở giới hạn về độ bền. Trên H.5.7, vịng trịn này được vẽ bằng đường nét đứt. Sau đây, ta thiết lập liên hệ giữa những ứng suất chính σ1 và σ3 với các ứng suất cho phép [σ]k và [σ]n. Từ hình vẽ ta cĩ tỷ lệ thức: = Thay thế các trị số: = ([] − [] ) ; = ([] + [] ) = ( − − [] ) ; = ([] − ( + )) vào tỷ lệ thức trên, ta nhận được điều kiện giới hạn: [] − [] − − [] = [] + [] [] − ( + ) hoặc: [] − = [] [] Như vậy, điều kiện bền theo TB Mohr (TB 5) được viết là: − = [] với hệ số: 58
[] = [] Tuy bỏ qua ảnh hưởng của ứng suất chính 2 và đơn giản hĩa đường cong giới hạn thành đường thẳng, thuyết bền Mohr cĩ ưu điểm hơn những thuyết bền trên vì nĩ khơng dựa vào giả thuyết nào mà căn cứ trực tiếp vào trạng thái giới hạn của vật liệu. Thực tế cho thấy TB này phù hợp với vật liệu dịn, tuy nhiên nĩ cho kết quả chính xác chỉ khi vịng trịn giới hạn của TTUS đang xét nằm trong khoảng hai vịng trịn giới hạn kéo và nén. III. VIỆC ÁP DỤNG CÁC THUYẾT BỀN Trên đây là những TB được dùng tương đối phổ biến. Việc áp dụng TB này hay TB khác để giải quyết bài tốn cụ thể phụ thuộc vào loại vật liệu sử dụng và TTUS của điểm kiểm tra. Đối với TTUS đơn, người ta dùng TB 1 để kiểm tra độ bền. Đối với TTUS phức tạp, nếu là vật liệu dịn, người ta thường dùng TB 5 (TB Mohr) hay TB 2, nếu là vật liệu dẻo người ta dùng TB 3 hay TB 4. Hiện nay, cĩ nhiều TB mới được xây dựng, tổng quát hơn và phù hợp hơn với kết quả thực nghiệm. Tuy vậy, những TB này cũng cĩ những nhược điểm nhất định nên chưa được sử dụng rộng rãi. 59
Chương 6 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG I. KHÁI NIỆM Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy ứng suất trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang F. Trong những trường hợp khác, như thanh chịu uốn, xoắn thì ứng suất trong thanh khơng chỉ phụ thuộc vào diện tích F mà cịn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt nghĩa là cịn những yếu tố khác mà người ta gọi chung là đặc trưng hình học của mặt cắt ngang. Xét thanh chịu uốn trong hai trường hợp mặt cắt đặt khác nhau như trên H.6.1. Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a) thanh chịu lực tốt hơn trường hợp b), tuy rằng trong trong hai trường hợp diện tích của mặt cắt ngang thanh vẫn như nhau. Như vậy, khả năng chịu lực của thanh cịn phụ thuộc vào cách sắp đặt và vị trí mặt cắt ngang đối với phương tác dụng của lực. Cho nên sự chịu lực khơng những phụ thuộc F, mà cần phải nghiên cứu các đặc trưng hình học khác của mặt cắt ngang để tính tốn độ bền, độ cứng, độ ổn định và thiết kế mặt cắt của thanh cho hợp lý. II. MOMEN TĨNH – TRỌNG TÂM Xét một hình phẳng biểu diễn mặt cắt ngang F như trên H.6.2. Lập một hệ tọa độ vuơng gĩc Oxy trong mặt phẳng của mặt cắt. M(x,y) là một điểm bất kỳ trên hình. Lấy chung quanh M một diện tích vi phân dF. 60
♦ Mơmen tĩnh của mặt cắt F đối với trục x (hay y) là tích phân: = ; = (. ) vì x, y cĩ thể âm hoặc dương nên mơmen tĩnh cĩ thể cĩ trị số âm hoặc dương. Thứ nguyên của mơmen tĩnh là [(chiều Hình H.6.2 dài)3]. ♦ Trục trung tâm là trục cĩ mơmen tĩnh của mặt cắt F đối với trục đĩ bằng khơng. ♦ Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm. Mơmen tĩnh đối với một trục đi qua trọng tâm bằng khơng. ♦ Cách xác định trọng tâm C của mặt cắt F: Dựng hệ trục x0Cy0 song song với hệ trục xOy ban đầu (H.6.2). Ta cĩ x = xc + x0 ; y = yc + y0 với C(x0,y0) Thay vào (6.1), ta được: = ( + ) = + = + vì trục x0 là trục trung tâm nên Sx0 = 0, suy ra: = (. ) Chứng minh tương tự: = (. ) Từ (6.2) ta cĩ: = ; = (. ) Kết luận: Tọa độ trọng tâm C(x0,y0) được xác định trong hệ trục xOy ban đầu theo mơmen tĩnh Sx, Sy và diện tích F theo (6.4). Ngược lại, nếu biết trước tọa độ trọng tâm, cĩ thể sử dụng (6.2), (6.3) để xác định các mơmen tĩnh. Nhận xét 1: Mặt cắt cĩ một trục đối xứng, trọng tâm nằm trên trục này vì mơmen tĩnh đối với trục đối xứng bằng khơng (H.6.3a,b). 61
Hình H.6.3 Mặt cắt cĩ hai trục đối xứng, trọng tâm nằm ở giao điểm hai trục đối xứng (H.6.3c). Thực tế, cĩ thể gặp những mặt cắt ngang cĩ hình dáng phức tạp được ghép từ nhiều hình đơn giản. Tính chất: Mơmen tĩnh của hình phức tạp bằng tổng mơmen tĩnh của các hình đơn giản. Với những hình đơn giản như chữ nhật, trịn, tam giác hoặc mặt cắt các loại thép định hình I, U, V, L ta đã biết trước (hoặc cĩ thể tra theo các bảng trong phần phụ lục) diện tích, vị trí trọng tâm, từ đĩ dễ dàng tính được mơmen tĩnh của hình phức tạp gồm n hình đơn giản: = + + ⋯ + = (. ) = + + ⋯ + = (. ) trong đĩ: Fi , xi , yi lần lượt là diện tích và tọa độ trọng tâm của hình thứ i. III. MOMEN QUÁN TÍNH – HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM Mơmen quán tính độc cực (MMQT đối với điểm) của mặt cắt F đối với điểm O được định nghĩa là biểu thức tích phân: = ∫ (. ) Với : - khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ Hình H.6.4 O. ♦ Mơmen quán tính đối với trục y và x của mặt cắt F được định nghĩa: 62
= ; = (. ) ♦ Mơmen quán tính ly tâm của mặt cắt F đối với hệ trục x,y được định nghĩa: = (. ) Từ định nghĩa các mơmen quán tính, ta nhận thấy: - MMQT cĩ thứ nguyên là [chiều dài]4 - Ix , Iy, I > 0 - MMQT ly tâm Ixy cĩ thể dương, âm hoặc bằng khơng. 2 2 2 - Vì = x + y nên I = Ix + Iy - Khi = 0 thì Ox0y0 được gọi là hệ trục quán tính chính (gọi tắt là trục chính). - Nếu hệ trục quán tính chính cĩ gốc tại trọng tâm mặt cắt ngang thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm, momen quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục quán tính chính trung tâm được gọi là momen quán tính chính trung tâm. Tính chất: Nếu mặt cắt cĩ 1 trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuơng gĩc với trục đối xứng đĩ cũng lập với nĩ một hệ trục quán tính chính. Hình H.6.5 Momen quán tính của một số mặt cắt đơn giản: a. b. c. Hình H.6.6 a. Hình chữ nhật = ; = (. ) 63
b. Hình trịn = = (. ) c. Hình tam giác (H.6.6c) = (. ) IV. CƠNG THỨC CHUYỂN TRỤC CỦA MOMEN QUÁN TÍNH Gỉa sử ta biết momen quán tính của mặt cắt ngang cĩ diện tích F đối với trục x,y (H.6.7). Yêu cầu tính momen quán tính của mặt cắt đĩ đối với trục X,Y song song với các trục x,y. Ta cĩ: x = X + a ; y = Y + b Theo định nghĩa: = ∫ = ∫ ( + ) Hình H.6.7 Khai triển và thu gọn tích phân trên thu được: = + + (. ) Tương tự: = + + (. ) = + + + (. ) Nếu X,Y là các trục trung tâm: SX = SY = 0; a = xc , b = yc Suy ra: = + (. ) = + (. ) = + (. ) V. CƠNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MOMEN QUÁN TÍNH Trong nhiều trường hợp, cần xác định các đặc trưng hình học mặt cắt ngang trong hệ trục toạ độ xoay một gĩc nào đĩ so với hệ trục ban đầu. 64
Xét mặt cắt ngang như hình H.6.7, giả sử biết Ix, Iy và Ixy của mặt cắt ngang. Bây giờ chọn hệ trục tọa độ quay quanh O một gĩc , ta được hệ trục tọa độ mới Ouv. Tìm sự liên hệ giữa Ix, Iy, Ixy và Iu, Iv, Iuv. Ta cĩ cơng thức chuyển trục: = + Hình H.6.7 = − Nên: = ( − ) = − + + − = + − (. ) Tương tự: + − = − + (. ) − = + (. ) Trên đây là cơng thức xoay trục của momen quán tính. Nhận xét: - Iu + Iv = Ix + Iy - Hệ trục quán tính chính cĩ Iuv=0 => Vị trí của hệ trục quán tính chính xác định bởi gĩc θ0: 65
= − (. ) − - Các cơng thức trên giống với cơng thức tính u , v và uv. - Điều kiện để xác định trục chính là Iuv = 0. Hồn tồn giống với điều kiện xác định mặt chính trong trạng thái ứng suất uv = 0. Vì vậy, ta cĩ thể sử dụng các kết quả đã nghiên cứu ở chương trước để xác định hệ trục chính và momen quán tính chính: + = ± − + (. ) / Ví dụ: Cho hình phẳng cĩ hình dạng và kích thước như hình vẽ. Xác định các mơ men quán tính chính trung tâm của hình phẳng. Giải: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu x0y0 như hình vẽ. Chia hình phẳng làm hai hình đơn giản và 1 & 2 66
Bài tập 1. Tính các mơ men quán tính chính trung tâm của các tiết diện (H.1) a. b. Hình H.1 4 4 4 4 Đáp số: a. Ix = 2,5503R , Iy = 0,5543R ; b. Ix = 329,172a ; Iy = 52,558a 2. Tính các mơ men quán tính chính trung tâm của các tiết diện ở H.2 (đơn vị đo trên hình vẽ bằng mm). a. b. c. 50 50 Hình H.2 Đáp số: 4 4 a. Ix = 337,51cm ; Iy = 95,17cm 0 4 4 b. α= 23.893 ; Imax = 3909,21 cm ; Imin = 784,65 cm 0 4 4 c. α= 31.721 ; Imax = 3759,53 cm ; Imin = 443,92 cm 3. Tính các mơ men quán tính chính trung tâm của các tiết diện hình H.3. Hình H.3 68
4. Xác định mơ men quán tính của mặt cắt ngang chữ thập trên hình H.4 đối với hệ trục tọa độ (u,v). Đơn vị trên hình là cm. Đáp số: 4 Iu = Iv = 14271 cm Hình H.4 5. Xác định các mơ men quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang ghép từ các thép gĩc đều cạnh (hình H.5). Cho a = 1cm. a. b. Hình H.5 6. Tìm vị trí các trục quán tính chính trung tâm và tính các mơ men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép như hình vẽ H.6. Hình H.6 7. Xác định khoảng cách a để các mơ men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép bằng nhau (hình H.7). a. b. Hình H.7 69
Chương 7 UỐN PHẲNG THANH THẲNG I. KHÁI NIỆM CHUNG ♦ Thanh chịu uốn là thanh cĩ trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực. Thanh cĩ trục nằm ngang chịu uốn được gọi là dầm. ♦ Ngoại lực: Lực tập trung P, lực phân bố q tác dụng vuơng gĩc với trục dầm hay momen ngẫu lực M nằm trong mặt π phẳng chứa trục dầm (H.7.1). ♦ Mặt phẳng tải trọng: Mặt phẳng (π) chứa ngoại lực và trục dầm. Hình H.7.1 Đường tải trọng: Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang. ♦ Giới hạn bài tốn: + Chỉ khảo sát các thanh mặt cắt ngang cĩ ít nhất một trục đối xứng. Trục đối xứng này và trục thanh hợp thành mặt phẳng đối xứng. Tải trọng nằm trong mặt phẳng đối xứng. + Mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng đối xứng, đường tải trọng cũng là trục đối xứng của mặt cắt ngang. + Trục dầm sau khi bị cong vẫn nằm trong mặt phẳng (π) được gọi là uốn phẳng. + Mặt cắt ngang dầm cĩ chiều rộng bé so với chiều cao. Hình H.7.2 ♦ Nội lực: Tuỳ theo ngoại lực tác dụng mà trên mặt cắt ngang dầm cĩ các nội lực là lực cắt Qy và mơmen uốn Mx. ♦ Phân loại: o Uốn thuần túy phẳng: Nội lực chỉ cĩ mơmen uốn Mx = hằng số 70
o Uốn ngang phẳng: Nội lực gồm lực cắt Qy và mơmen uốn Mx ♦ Dầm ở H.7.3 cĩ đoạn giữa CD chịu uốn thuần túy, dầm ở H.7.4 chịu uốn thuần túy. Đoạn dầm AC và DB của dầm ở H.7.3 chịu uốn ngang phẳng. Hình H.7.3 Hình H.7.4 II. UỐN THUẦN TÚY PHẲNG 1. Định nghĩa Thanh chịu uốn thuần túy phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ cĩ Mx. Dấu của Mx: Mx > 0 khi căng (kéo) thớ dưới (thớ y > 0) của dầm. 2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang a. Thí nghiệm và quan sát biến dạng: Hình H.7.5 Kẻ lên mặt ngồi của một thanh thẳng chịu uốn như H.7.5a những đường song song với trục thanh tượng trưng cho các thớ dọc và những đường vuơng gĩc với trục thanh tượng trưng cho các mặt cắt ngang, các đường này tạo thành các lưới ơ vuơng. Sau khi biến dạng (H.7.5b), trục thanh bị cong, các đường thẳng song song với trục thanh thành các đường cong song song với trục thanh; những đường vuơng 71
gĩc với trục thanh vẫn cịn vuơng gĩc với trục thanh, nghĩa là các gĩc vuơng được bảo tồn trong quá trình biến dạng. Ngồi ra, nếu quan sát thanh thì thấy các thớ bên dưới dãn ra (bị kéo) và các thớ bên trên co lại (bị nén). Như thế, từ thớ bị dãn sang thớ bị co sẽ tồn tại các thớ mà chiều dài khơng thay đổi trong quá trình biến dạng, gọi là thớ trung hịa. Các thớ trung hịa tạo thành lớp trung hịa. Giao tuyến của lớp trung hịa với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hịa. Vì mặt cắt ngang cĩ chiều rộng bé nên đường trung hịa xem như thẳng (H.7.5.c). Hình H.7.6 Sau biến dạng các mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 ban đầu cách nhau một đoạn vi phân dz sẽ cắt nhau tại tâm cong O’ (H.7.7b) và hợp thành một gĩc dθ. Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hịa, tức khoảng cách từ O’ đến thớ trung hịa. Độ dãn dài tương đối của một thớ ab ở cách thớ trung hịa một khoảng cách y cho bởi: − ( + ) − ( + ) − = = = = = () trong đĩ: κ - là độ cong của dầm. H.7.7 Đoạn dầm vi phân dz 72
Hệ thức này chứng tỏ biến dạng dọc trục dầm tỉ lệ với độ cong và biến thiên tuyến tính với khoảng cách y từ thớ trung hịa. b. Thiết lập cơng thức tính ứng suất: Mỗi thớ dọc của dầm chỉ chịu kéo hoặc nén (các điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang ở trạng thái ứng suất đơn). Định luật Hooke ứng với trạng thái ứng suất đơn cho ta: = = () Ứng suất pháp tác dụng trên mặt cắt ngang biến thiên bậc nhất với khoảng cách y từ thớ trung hịa. Xét hợp lực của các ứng suất pháp trên tồn mặt cắt ngang. + Liên hệ giữa σz và Nz = = = () Vì độ cong κ và mơ đun đàn hồi E là hằng số nên cĩ thể đem ra ngồi dấu tích phân, ⇒ ∫ = () Từ (d) cho thấy mơmen tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với trục trung hịa x bằng khơng ⇔ trục trung hịa x đi qua trọng tâm mặt cắt ngang. Tính chất này cho phép xác định trục trung hịa của bất kỳ mặt cắt ngang nào. Nếu trục y là trục đối xứng, thì hệ trục (x,y) chính là hệ trục quán tính chính trung tâm. + Liên hệ giữa σz và Mx = = = () Trong đĩ = ∫ là momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hịa x. Biểu thức (e) được viết lại như sau: = = (. ) EIx gọi là độ cứng uốn của dầm. 73
Thế (7.1) vào (b) ⇒ Cơng thức tính ứng suất pháp tại một điểm trên mặt cắt ngang dầm: = (. ) Ứng suất biến thiên bậc nhất theo tung độ y và y là khoảng cách của điểm tính ứng suất kể từ trục trung hịa x (Mx và y mang dấu đại số). Cơng thức kỹ thuật: Nếu mơmen uốn dương, dầm bị căng (bị kéo) thớ dưới, các thớ trên bị nén. Kết quả ngược lại nếu mơmen uốn âm. Do vậy trong thực hành, ta cĩ thể sử dụng cơng thức kỹ thuật để tính ứng suất: | | = ± || (. ) ta sẽ lấy: dấu (+) nếu Mx gây kéo tại điểm cần tính ứng suất. dấu (–) nếu Mx gây nén tại điểm cần tính ứng suất. 3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị ♦ Biểu đồ ứng suất pháp: + Những điểm càng ở xa trục trung hịa cĩ trị số ứng suất càng lớn. + Những điểm cùng cĩ khoảng cách tới thớ trung hịa sẽ cĩ cùng trị số ứng suất pháp. Biểu đồ phân bố ứng suất pháp là đồ thị biểu diễn giá trị các ứng suất tại các điểm trên mặt cắt ngang. Dấu (+) chỉ ứng suất kéo, dấu (-) chỉ ứng suất nén. * Trường hợp mặt cắt ngang cĩ hai trục đối xứng (Ο, ) cho bởi H.7.9 * Trường hợp mặt cắt ngang chỉ cĩ một trục đối xứng (chữ I,U) cho bởi H.7.10. H.7.9 H.7.10 74
♦ Ứng suất pháp cực trị: Tính ứng suất pháp khi kéo và khi nén lớn nhất trên mặt cắt ngang dầm ở những điểm xa đường trung hịa nhất. k n Gọi y max, y max lần lượt là khoảng cách thớ chịu kéo và thớ chịu nén ở xa đường trung hịa nhất. Khi đĩ ứng suất chịu kéo lớn nhất σmax và ứng suất chịu nén lớn nhất σmin sẽ tính bởi các cơng thức: | | | | = = (. ) | | | | | | = = (. ) Với = ; = (. ) || || Các đại lượng , gọi là các suất tiết diện hoặc mơmen chống uốn của mặt cắt ngang. Mơmen chống uốn càng lớn dầm chịu được mơmen uốn càng lớn. Trường hợp đặt biệt: Nếu trục trục trung hịa cũng là trục đối xứng (, Ο, Ι, ) thì: = | | = Khi đĩ: = = = (. ) Ứng suất nén và kéo cực đại cĩ trị số bằng nhau: || = || = (. ) ∗ Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b và chiều cao h: = ; = (. ) ∗ Mặt cắt ngang hình trịn: = ≈ . ; = ≈ . (. ) ∗ Mặt cắt ngang hình vành khăn: đường kính ngồi D, đường kính trong d = ( − ); = ( − ) (. ) với η= d/ D 75
∗ Mặt cắt ngang hình Ι, C: Tra bảng thép định hình. 4. Điều kiện bền - Ba bài tốn cơ bản Điều kiện bền: + Dầm bằng vật liệu dịn: [σ]k ≠ [σ]n || ≤ [] ; ≤ [] (. ) + Dầm bằng vật liệu dẻo: [σ]k= [σ]n= [σ] || ≤ [] (. ) Ba bài tốn cơ bản: + Bài tốn kiểm tra bền (bài tốn thẩm kế); + Bài tốn chọn kích thước mặt cắt ngang (bài tốn thiết kế); + Bài tốn chọn tải trọng cho phép (bài tốn sửa chữa, nâng cấp). Bài tốn cơ bản 1: Kiểm tra bền - Kiểm tra thanh chịu lực cĩ đảm bảo độ bền hay khơng. Dùng (7.11a) hay (7.11b) để kiểm tra. Bài tốn cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang sao cho dầm thỏa điều kiện bền. Từ điều kiện bền tổng quát (7.11a,b) ⇒ mơmen chống uốn và kích thước của mặt cắt ngang sẽ được xác định. Bài tốn cơ bản 3: Định tải trọng cho phép [P] để dầm thỏa điều kiện bền. 5. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang Hình dáng hợp lý là sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất nhưng đồng thời ít tốn vật liệu nhất. Điều kiện: | | | | || = || = [] ; = = [] Lập tỉ số các ứng suất : [] = = (. ) || [] - Nếu vật liệu dịn: α < 1 vì : [] < [] nên < || Ta chọn mặt cắt ngang khơng đối xứng qua trục trung hịa. - Nếu vật liệu dẻo: α=1 nên = || Ta chọn mặt cắt ngang đối xứng qua trục trung hịa. Theo biểu đồ ứng suất ta thấy càng gần trục trung hịa ứng suất càng nhỏ, nên tại đĩ vật liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa trục trung hịa, vì vậy thường cấu 76
tạo hình dáng mặt cắt sao cho vật liệu xa trục trung hịa. Ví dụ hình chữ I, U, vành khăn, hình rỗng III. UỐN NGANG PHẲNG 1. Định nghĩa: Dầm gọi là chịu uốn ngang phẳng khi trên mặt cắt ngang cĩ 2 nội lực là: Mơmen uốn Mx và lực cắt Qy ( H 7.11). H.7.11 Sơ đồ dầm chịu uốn ngang H.7.12 Mặt cắt ngang dầm chịu uốn ngang phẳng 2. Các thành phần ứng suất: a. Thí nghiệm và quan sát biến dạng Kẻ những đường song song và vuơng gĩc với trục thanh (H.7.13a). Sau biến dạng các gĩc vuơng khơng cịn vuơng ( H.7.13b). H.7.13 b. Trạng thái ứng suất: Khác với trường hợp uốn thuần túy, ngồi ứng suất pháp σz do mơmen Mx gây ra cịn cĩ ứng suất tiếp τzy do lực cắt Qy gây ra. Trạng thái ứng suất của một phân tố cĩ các mặt song song các trục tọa độ biểu diễn như hình 7.16c. 77
c. Cơng thức tính ứng suất pháp: Chấp nhận với sai số khơng lớn dùng cơng thức (7.2) để tính ứng suất pháp trong thanh chịu uốn ngang phẳng. = d. Cơng thức tính ứng suất tiếp: Giả thiết: - Mặt cắt ngang dầm cĩ chiều rộng bé so với chiều cao. - Ứng suất tiếp phân bố đều theo bề rộng của mặt cắt và cùng chiều với lực cắt (nghĩa là mọi điểm nằm cách đều đường trung hịa thì cĩ cùng trị số ứng suất tiếp). Ta xác định quy luật phân bố ứng suất tiếp dọc theo chiều cao của mặt cắt ngang. Xét đoạn dầm giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 cách nhau dz (H.7.14a). b. a. H.7.14 Để khảo sát ứng suất tiếp tại điểm K cách đường trung hịa x một khoảng y, ta dùng mặt cắt đi qua K vuơng gĩc với lực cắt. Xét cân bằng của phần dưới ABCDEFGH ( H.7.14b) Theo các giả thiết đã nêu, các ứng suất tiếp τzy thẳng đứng cĩ phương song song với lực cắt thì phân bố đều trên mặt thẳng đứng ABCD. Ngồi ra theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp, trên mặt vuơng gĩc với mặt cắt ngang ABFE cũng cĩ ứng suất tiếp τyz cĩ giá trị bằng với τzy (H.7.14b). Như vậy, tồn tại ứng suất tiếp theo phương ngang giữa các lớp song song với trục dầm cũng như các ứng suất tiếp thẳng đứng trên các mặt cắt ngang của dầm. Tại một điểm, các ứng suất này cĩ giá trị bằng nhau. 78
Phương trình cân bằng theo phương z dọc trục thanh cho: N1 - N2 + T = 0 (a) trong đĩ: N1, N2 – lần lượt là hợp của các lực tác dụng trên mặt 1-1, 2-2 được tính bởi: = = () + = = () T- là hợp của các lực tác dụng trên mặt trên ABEF của phần tử: = () Thay (b), (c), (d) vào (a): + ⟹ − + () Thực hiện rút gọn ta được: = = () thay Qy= dMx/dz ta được: = = () Đặt: = ∫ ⟹ = = (. ) Cơng thức (7.13) gọi là cơng thức D.I. Zhuravski, trong đĩ: - : momen tĩnh của phần diện tích bị cắt (Fc) đối với trục trung hịa. - bc: bề rộng tiết diện cắt. - Ix: Momen quán tính của tiết diện. - Qy: Lực cắt tại tiết diện đang tính. e. Phân bố ứng suất tiếp trên một số mặt cắt thường gặp: + Mặt cắt ngang chữ nhật (H.7.15): 79
H.7.15 Q Diện tích bị cắt Fc là hình chữ nhật, nên − = − + = − Thay vào (7.13): = − Hệ thức này chứng tỏ ứng suất tiếp trong dầm tiết diện chữ nhật biến thiên theo quy luật bậc hai theo khoảng cách y từ trục trung hịa và biểu đồ theo chiều cao của dầm cĩ dạng như trên H.7.15c. + τzy = 0 khi y ± h/2 ( các điểm ở biên trên, dưới của mặt cắt) + τ = τmax khi y= 0 (các điểm trên trục trung hịa): = = (. ) + Mặt cắt ngang hình chữ Ι, hay chữ T 80
y H.7.16 Các mặt cắt ngang chữ I hay chữ T được xem như cấu tạo bởi các hình chữ nhật ghép nên với mức độ chính xác nhất định, các cơng thức dùng cho dầm mặt cắt ngang chữ nhật cũng dùng được cho các loại mặt cắt này. Ứng suất tiếp được tính bằng cơng thức Zhuravski 7.13. ♦ τzy trong bản bụng: c Xét điểm cĩ tung độ y (H.7.21a). b = d chính là bề rộng bản bụng, là mơmen tĩnh của phần diện tích gạch chéo dưới mức ef đối với trục trung hịa x. cĩ thể tính bằng mơmen tĩnh của nửa hình Ι (trong bảng ghi là Sx) trừ mơmen tĩnh của phần diện tích (y x d) = − × × ⇒ Ứng suất tiếp τzy trong bản bụng của dầm chữ Ι là: = − × Cơng thức trên chỉ rằng ứng suất tiếp trong bản bụng của dầm chữ I biến thiên theo quy luật parabol dọc theo chiều cao của dầm.  zy = τmax khi y = 0 ( các điểm trên trục trung hịa): = (. ) ♦ τzy trong bản cánh: c Xét một điểm trong bản cánh, bề rộng cắt b = b khá lớn so với d, nên τzy trong cánh bé, cĩ thể bỏ qua (H.7.16) 3. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng Trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng cĩ 2 ứng suất: 81
- Ứng suất pháp σz do mơmen uốn Mx gây ra. - Ứng suất tiếp τzy do lực cắt Qy gây ra. Biểu đồ phân bố ứng suất pháp và ứng suất tiếp theo chiều cao của mặt cắt ngang hình chữ nhật (H.7.17b,c), ta thấy cĩ ba loại phân tố ở trạng thái ứng suất khác nhau (H.7.17a): H.7.17 - Những điểm ở biên trên và dưới τ = 0, chỉ cĩ σz ≠ 0 nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn. - Những điểm nằm trên trục trung hịa σz = 0, chỉ cĩ τmax nên trạng thái ứng suất của những phân tố ở những điểm này là trượt thuần túy. - Các điểm khác, σz ≠ 0 và τzy ≠ 0, nên chúng ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. ⇒ Khi kiểm tra bền tồn dầm, phải bảo đảm mọi phân tố đều thỏa điều kiện bền (đủ 3 điều kiện bền). a) Phân tố ở trạng thái ứng suất đơn (những điểm ở trên biên trên và dưới của dầm), xét tại mặt cắt cĩ Mmax và sử dụng thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất ta cĩ: + Dầm làm bằng vật liệu dẻo, [σ]k = [σ]n = [σ], điều kiện bền: max |σ| ≤ [σ] (7.16) + Dầm làm bằng vật liệu dịn, [σ]k ≠ [σ]n , điều kiện bền: || ≤ [] ; ≤ [] (. ) b) Phân tố ở trạng thái ứng suất trượt thuần túy (những điểm nằm trên trục trung hịa), xét tại mặt cắt cĩ |Qy|max ta cĩ: [ ] = ≤ (. ) 82
+ Dầm bằng vật liệu dẻo: Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (TB3): [] ≤ [] = (. ) Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (TB4): [] ≤ [] = (. ) √ + Dầm bằng vật liệu dịn: sử dụng thuyết bền Mohr (TB5): [] [] ≤ [] = ; = (. ) + [] c) Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: - Xét tại mặt cắt cĩ mơmen uốn Mx và lực cắt Qy cùng lớn (cĩ thể nhiều mặt cắt). - Chọn điểm nguy hiểm trên mặt cắt để cĩ σz và τzy tương đối lớn (chỉ cần kiểm tra tại những nơi nguy hiểm như nơi tiếp giáp giữa lịng và đế của mặt cắt chữ Ι, chữ C ) chỗ thay đổi tiết diện. Các ứng suất của phân tố này được tính bởi các cơng thức quen thuộc: = ; = -Tính ứng suất chính của phân tố. = ± + (. ) , Điều kiện bền: + Dầm làm bằng vật liệu dẻo: Theo TB 3: = − = + ≤ [] (. ) Theo TB 4: = + ≤ [] (. ) + Dầm làm bằng vật liệu dịn: Dùng TB 5 − + = + + ≤ [] (. ) 83
Từ đây cũng cĩ ba bài tốn cơ bản: Bài tốn cơ bản 1: Kiểm tra bền Thí dụ: Một dầm thép mặt cắt chữ T cĩ hình dáng và kích thước như hình 7.18b chịu tác dụng của lực như hình 7.18a. Hãy kiểm tra cường độ của dầm theo TT US 2 2 don biết []k = 3 kN/cm , []n = 10 kN/cm . Kích thước mặt cắt là cm. H.7.18 - Bài giải: Nếu hệ trục toạ độ x1y chọn như hình vẽ thì trục trung hịa x song song với trục x1 và cách trục x1 một khoảng: . . , + . . , = = , . + . Momen quán tính của mặt cắt đối với trục trung hịa x (đồng thời cũng là momen quán tính chính trung tâm) của mặt cắt: . . = + . . + + . . = , Với dầm chịu lực như hình (4.34a) thì mặt cắt tại ngàm momen cĩ trị số lớn nhất: . . = − = − = − (ă ớ ê) Theo cơng thức (7.4) ta tính được: | | . [ ] = = . , = , < , | | . | | [ ] = = . , = , < , Dầm thỏa mãn điều kiện bền. Bài tốn cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang Dựa vào điều kiện bền của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn để chọn sơ bộ kích thước mặt cắt ngang dầm. Sau đĩ, tiến hành kiểm tra bền đối với các phân tố ở trạng thái ứng suất khác. Nếu khơng đạt thì thay đổi kích thước mặt cắt ngang. 84
Thí dụ: Một dầm mặt cắt chữ nhật cĩ h = 1,4b, chịu lực như hình 7.19. Hãy chọn kích thước mặt cắt cho dầm. Biết: [] = 1kN/cm2, []= 0,6kN/cm2. H.7.19 - Bài giải: Ta sẽ chọn kích thước mặt cắt theo điều kiện cường độ ứng suất pháp, sau đĩ kiểm tra lại theo điều kiện cường độ ứng suất tiếp. Với dầm chịu lực như hình vẽ mặt cắt giữa nhịp cĩ momen lớn nhất: . . = + = + = Cịn các mặt cắt tại hai đầu dầm cĩ lực cắt lớn nhất: . | | = + = + = Từ điều kiện cường độ ứng suất pháp ta tính được: . ≥ = = [] Vì mặt cắt hình chữ nhật nên ta cĩ: . (, ) = = ≥ ⟹ ≥ Chọn b = 17 cm h 24 cm. Với kích thước mặt cắt ta tính được: = . = . = , < [] . Điều đĩ chứng tỏ mặt cắt đã chọn thỏa mãn điều kiện cường độ ứng suất tiếp. Bài tốn cơ bản 3: Định tải trọng cho phép Từ điều kiện bền của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, xác định sơ bộ tải trọng cho phép sau đĩ tiến hành kiểm tra bền các phân tố cịn lại. Thí dụ: Một dầm thép mặt cắt chữ I số hiệu 20, chịu tác dụng của lực như hình vẽ (hình H.7.20). Hãy xác định trị số cho phép của lực P tác dụng lên dầm. Biết ứng suất cho phép [] = 14 kN/cm2. 85
H.7.20 3 Bài giải: Mặt cắt thép chữ I số hiệu 20 cĩ Wx= 181 cm . Mặt cắt nguy hiểm tại ngàm cĩ momen Mmax = Pl= 140P. Từ điều kiện cường độ ta cĩ: = ≤ [] = . = Suy ra: P 18.1 kN. Vậy trị số cho phép của lực P: [P] = 18,1 kN. 86
Bài tập 1. Cho dầm cĩ kích thước mặt cắt ngang và chịu tải trọng như hình vẽ H.1. Tính giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại điểm C thuộc mặt cắt ngang 1-1 của dầm. Biết 2 q=10kN/m; a=1m; F=qa; M0=qa , các kích thước theo cm. Hình H.1 2 2 Đáp số: (a) c = 0.113 kN/cm ; c = 0.024 kN/cm . 2 2 (b) c = kN/cm ; c = kN/cm . 2 2 (c) c = kN/cm ; c = kN/cm . 2. Cho dầm chịu tải trọng như hình vẽ H.2. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của dầm. Vẽ biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại mặt cắt ngang 1-1 của dầm. Cho a=1m; q=10kN/m; M=qa2/2; F=qa; d=4cm; δ= 1cm. (a) Hình H.2 (b) 87
3. Cho dầm cĩ liên kết và chịu lực như hình vẽ H.3. a. Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm. b. Xác định kích thước mặt cắt ngang theo điều kiện bền ứng suất pháp. i. Biết a=1m ; q=10kN/m ; vật liệu cĩ [σ]=1,2 kN/cm2. Hình H.3a Đáp số: b 8.2 cm ii. Biết a=2m ; q=15kN/m ; vật liệu cĩ [σ]=16 kN/cm2. Hình H.3b Đáp số: Wx 187,5 cm3 iii. Biết a=1,5m ; q=5kN/m ; vật liệu cĩ [σ]=1,2 kN/cm2. Hình H.3c Đáp số: D 21,2 cm 4. Cho dầm cĩ liên kết và chịu lực như hình vẽ H.4. a. Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm. b. Xác định tải trọng cho phép theo điều kiện bền ứng suất pháp trong hai trường hợp: i. Biết a = 0.5 m; d = 8 cm; D = 10 cm; [σ] = 16 kN/cm2. 88
Hình H.4a Đáp số: [q] = 37.1 kN/m ii. Biết a=1m; mặt cắt ngang chữ U số 27 và ứng suất cho phép [σ]=16 kN/cm2. Với tải trọng cho phép tìm được hãy kiểm tra điều kiện bền cho trạng thái ứng suất trượt thuần túy và trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. Hình H.4b 2 2 Đáp số: [q] = 19.7 kN/m; max = 2.81 kN/cm ; = 15.3 kN/cm 5. Cho dầm cĩ liên kết và chịu lực như hình vẽ H.5. a. Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm. b. Kiểm tra điều kiện bền cho dầm. Biết a=1m; q=10kN/m; F=5kN; t=d=2cm; h=24cm; b=10cm. [σ]=16 kN/cm2. q Hình H.5 2 Đáp số: max = 1,212 kN/cm < [σ] 6. Cho dầm cĩ liên kết và chịu lực như hình vẽ H.6. a. Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm. b. Kiểm tra điều kiện bền cho dầm theo điều kiện bền ƯS pháp. 2 2 Biết q=15 kN/m; M=5 kNm; L=1 m; a=6 cm; [σ]k=3 kN/cm ; [σ]n=8 kN/cm . 89
Hình H.6 2 2 Đáp số: max = 1.856 kN/cm ; |min| = 1.647 kN/cm 7. Dầm ABC cĩ mặt cắt ngang chữ U chịu lực như trên hình H.7. Biết dầm làm 2 2 bằng vật liệu cĩ các ứng suất cho phép lần lượt là []n = 3 kN/cm , []k = 1 kN/cm , b = 20cm, t = 1 cm, L = 1m. a. Nên bố trí mặt cắt ngang thế nào là hợp lý ? b. Xác định chiều cao h của mặt cắt để ứng suất lớn nhất trong thớ chịu kéo và thớ chịu nén cùng đạt tới giá trị ứng suất cho phép. Tính tải trọng cho phép q theo điều kiện bền ứng suất pháp. Hình H.7 Đáp số: h = 6cm & h=12 cm ; [q]=kN/cm 8. Dầm gỗ cĩ tiết diện rỗng, ghép bằng keo dán, chịu lực như H.8. Cho biết L=6m. a. Vẽ biểu đồ nội lực dầm. b. Xác định [q] từ điều kiện bền ứng suất pháp của gỗ và ứng suất tiếp của keo dán. Gỗ cĩ [σ] = 100 kgf/cm2, keo dán cĩ [] = 10 kgf/cm2. Hình H.8 Đáp số: [q] = 2,76 kgf/cm. 90
Chương 8 CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN I. KHÁI NIỆM CHUNG Khi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngồi điều kiện bền cịn phải chú ý đến điều kiện cứng. Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm. Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bị uốn cong, trục cong này được gọi là đường đàn hồi của dầm (H.8.1). v Hình H.8.1 Hình H.8.2 Xét một điểm K nào đĩ trên trục dầm trước khi biến dạng. Sau khi biến dạng, điểm K sẽ di chuyển đến vị trí mới K’. Khoảng cách KK’ được gọi là chuyển vị thẳng của điểm K. Chuyển vị này cĩ thể phân làm hai thành phần: - Thành phần v vuơng gĩc với trục dầm (song song với trục y) gọi là chuyển vị đứng hay độ võng của điểm K. - Thành phần u song song với trục dầm (song song với trục z) gọi là chuyển vị ngang của điểm K. Ngồi ra, sau khi trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi một gĩc j, ta gọi gĩc xoay này là chuyển vị gĩc (hay là gĩc xoay) của mặt cắt ngang ở điểm K. Cĩ thể thấy rằng, gĩc xoay j chính bằng gĩc giữa trục chưa biến dạng của dầm và tiếp tuyến ở điểm K của đường đàn hồi (H.8.1). Ba đại lượng u, v, j là ba thành phần chuyển vị của mặt cắt ngang ở điểm K. Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé thì thành phần chuyển vị ngang u là một đại lượng vơ cùng bé bậc hai so với v, do đĩ cĩ thể bỏ qua chuyển vị u và xem KK’ là bằng v, nghĩa là vị trí K’ sau khi biến dạng nằm trên đường vuơng gĩc với trục dầm trước biến dạng (H.8.2). 91
Gĩc xoay j cĩ thể lấy gần đúng: ≈ = Nếu chọn trục dầm là z, trục y vuơng gĩc với trục dầm, thì chuyển vị v chính là tung độ y của điểm K’. Tung độ y cũng chính là độ võng của điểm K. Ta thấy rõ nếu K cĩ hồnh độ z so với gốc nào đĩ thì các chuyển vị y, j cũng là những hàm số của z và phương trình đàn hồi là: y(z) = v(z) Phương trình của gĩc xoay sẽ là: () = = = ′() hay, phương trình của gĩc xoay là đạo hàm của phương trình đường đàn hồi. Quy ước dương của chuyển vị: - Độ võng y dương nếu hướng xuống. - Gĩc xoay j dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ. Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, khi tính tốn dầm chịu uốn, người ta thường khống chế độ võng lớn nhất của dầm khơng được vượt qua một giới hạn nhất định để đảm bảo yêu cầu về sự làm việc, mỹ quan của cơng trình , điều kiện này được gọi là điều kiện cứng. Nếu gọi f là độ võng lớn nhất của dầm thì điều kiện cứng thường chọn là: = ÷ trong đĩ: L- là chiều dài nhịp dầm. Tùy loại cơng trình mà người ta quy định cụ thể trị số của [f/L] . II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI Xét 1 điểm bất kỳ K trên trục dầm. Trong chương 7, ta đã lập được mối liên hệ giữa độ cong của trục dầm tại K sau biến dạng với mơmen uốn nội lực Mx tại K là: = () Mặt khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bởi phương trình hàm số y(z) trong hệ trục (yz) nên độ cong của đồ thị biểu diễn của hàm số ở một điểm K cĩ hồnh độ z được tính theo cơng thức: 92
|′′| = () ( + ) Từ (a) và (b) suy ra: |′′| = () ( + ) Đĩ là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi, tuy nhiên phải chọn sao cho hai vế của phương trình trên đều thỏa mãn. Hình H.8.3 Khảo sát một đoạn dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như H.8.3. Trong cả hai trường hợp mơmen uốn Mx và đạo hàm bậc hai y” luơn luơn trái dấu, cho nên phương trình vi phân của đường đàn hồi cĩ dạng: ′′ = − () ( + ) Với giả thiết chuyển vị là bé (độ võng và gĩc xoay bé), cĩ thể bỏ qua (y’)2 so với 1 và khi đĩ phương trình vi phân của đường đàn hồi cĩ dạng gần đúng như sau: ′′ = − (. ) trong đĩ: Tích số EIx là độ cứng khi uốn của dầm. III. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHƠNG ĐỊNH HẠN Vế phải của phương trình vi phân (8.1) chỉ là một hàm số của z nên (8.1) là phương trình vi phân thường. Tích phân lần thứ nhất (8.1) ta được phương trình gĩc xoay: = = − + (. ) 93
Tích phân lần thứ hai ta được phương trình đường đàn hồi: = − + + (. ) Trong (8.2) và (8.3), C và D là hai hằng số tích phân sẽ được xác định thơng qua các điều kiện biên. Các điều kiện này phụ thuộc vào liên kết của dầm và phụ thuộc vào sự thay đổi tải trọng trên dầm. A A P B C yA=jA=0 y =0 y =0 a. A b. B Hình H.8.4 Đối với dầm đơn giản, cĩ thể cĩ các điều kiện như sau: + Đầu ngàm của dầm cơng-xơn cĩ gĩc xoay và độ võng bằng khơng: yA = jA= 0 (H.8.4a). + Các đầu liên kết khớp độ võng bằng khơng: yA = yB = 0 (H.8.4b). + Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm cĩ phương trình đường đàn hồi khác nhau, độ võng và gĩc xoay bên trái bằng với độ võng và gĩc xoay bên phải (điểm C trên tr ph tr ph H.8.4b): yC = yC ; jC = jC . Ví dụ: Xét dầm cơng-xơn chịu momen uốn M0 tại đầu tự do (hình H.8.5), biết độ cứng của dầm EJx= const. Tính độ võng và gĩc xoay tại điểm A. z l-z Hình H.8.5 Bài giải: Xét mặt cắt 1-1, ta cĩ: Mx= M0 Thay vào (8.1) và tích phân lần lượt hai lần ta được: = − ; = − + ; = − + + Điều kiện biên: Tại z = 0 : () = ⟹ = & = () = 94
Phương trình đường đàn hồi và phương trình gĩc xoay: = − ; = − Vậy độ võng và gĩc xoay tại A là: ⎧( = ) = − < (ướ ê) ⎪ ⎨ ⎪( = ) = − < (ượ ề đồ ồ) ⎩ Nhận xét: Nếu dầm cĩ nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân đường đàn hồi cho nhiều đoạn tương ứng. Ở mỗi đoạn, phải xác định hai hằng số tích phân, nếu dầm cĩ n đoạn thì phải xác định 2n hằng số, bài tốn trở nên phức tạp nếu số đoạn n càng lớn, vì vậy phương pháp này ít dùng khi tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi. IV. PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TỐN) ♦ Phần trước, ta đã cĩ liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực: ⎧ = ⎪ = () ⎨ ⎪ = ⎩ ♦ Đối với việc khảo sát đường đàn hồi của dầm, ta cũng cĩ phương trình vi phân: ′′ = = − () Đối chiếu các phương trình (a) và (b), ta thấy cĩ sự tương tự sau: y Mx = = = ′′ = = − = Ta nhận thấy muốn tính gĩc xoay y’ và độ võng y thì phải tích phân liên tiếp hai lần hàm số Mx/EIx. Tương tự muốn cĩ lực cắt Qy và mơmen uốn Mx thì phải tích phân liên tiếp hai lần hàm số tải trọng q. 95
Tuy nhiên ở chương 2, ta đã tính lực cắt Qy và mơmen uốn Mx theo tải trọng q từ việc khảo sát các phương trình cân bằng . Như vậy, ta cũng cĩ thể tính gĩc xoay y’ và độ võng y theo hàm y” = - Mx/EIx mà khơng cần tích phân. Đĩ cũng chính là phương pháp tải trọng giả tạo. ♦ Phương pháp tải trọng giả tạo: Tưởng tượng một dầm giả tạo (DGT) cĩ chiều dài giống dầm thực (DT), trên DGT cĩ tải trọng giả tạo qgt giống như biểu đồ –Mx/EIx trên dầm thật, thì sẽ cĩ sự tương đương: = − = ; = ; = trong đĩ: qgt - Tải trọng giả tạo Qgt - Lực cắt giả tạo- Lực cắt trong DGT Mgt - Mơmen giả tạo- Mơmen uốn trong DGT ⇒ Muốn tính gĩc xoay y’ và độ võng y của một dầm thực (dầm đang khảo sát) thì chỉ cần tính lực cắt Qgt và mơmen uốn Mgt do tải trong giả tạo tác dụng trên DGT gây ra. Tuy nhiên, để cĩ được sự đồng nhất đường đàn hồi y và momen uốn Mgt thì điều kiện biên của chúng phải giống nhau: y’= Qgt ; y= Mgt tại bất kỳ điểm trên hai DT và DGT; Ngồi ra nếu xét tại điểm bất kỳ trên dầm phải khảo sát đến sự giống nhau của bước nhảy gĩc xoay Δy′ và bước nhảy lực cắt ΔQgt. ♦ Cách chọn dầm giả tạo (DGT) - DGT được suy từ DT với điều kiện là nơi nào trên DT khơng cĩ độ võng và gĩc xoay thì điều kiện liên kết của DGT ở những nơi đĩ phải tương ứng sao cho qgt khơng gây ra Mgt và Qgt. - Chiều dài của DT và DGT là như nhau. ♦ Cách tìm tải trọng giả tạo qgt Vì qgt = −Mx/EIx , nên qgt bao giờ cũng ngược dấu với mơmen uốn Mx. Do đĩ: - Nếu: Mx > 0 thì qgt 0 vẽ phía dước trục thanh) thì qgt hướng xuống. - Nếu: Mx < 0 thì qgt hướng lên. Vậy qgt luơn cĩ chiều hướng theo thớ căng của biểu đồ mơmen Mx. Bảng 8.1 cho một số DGT tương ứng với một số DT thường gặp. 96
Ngồi ra trong quá trình tính các nội lực Mgt, Qgt của DGT, cần phải tính hợp lực của lực phân bố qgt trên các chiều dài khác nhau. Do đĩ, để tiện lợi ta xác định vị trí trọng tâm và diện tích Ω của những hình giới hạn bởi các đường cong như bảng 8.2. Ví dụ: Làm lại ví dụ hình H.8.5 M (M ) 0 x A (DGT) Hình H.8.6 Độ võng và gĩc xoay tại A: ⎧ = = − < (ướ ê) ⎪ ⎨ ⎪ = = − < (ượ ề đồ ồ) ⎩ 97
Bảng 8.2 98
Bài tập 1. Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, viết phương trình độ võng và gĩc xoay trên chiều dài dầm trên hình H.1. Xác định độ võng tại B và gĩc xoay tại C, biết EI=const. Hình H.1 2. Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, viết phương trình độ võng và gĩc xoay trên chiều dài dầm trên hình H.2. Xác định độ võng và gĩc xoay tại C, biết EI=const. a. b. 2 a Hình H.2 Đáp số: () = − + ; = − + = − + − ; = − + = ; j = − 3. Dùng phương pháp tải trọng giả tạo xác định gĩc xoay tại B và độ võng tại C (hình H.3), biết EI=const. M=FL Hình H.3 99
q Hình H.3 3 2 a. yC = 2Fa /9EI ; φB = - 7Fa /18EI 4. Xác định độ võng tại B và gĩc xoay tại C (hình H.4), biết EI=const. F=qa F=qa M=qa2 F=qa Hình H.4 5. Một hệ thống gồm ba console, đầu tự do được liên kết với nhau bằng những giằng cứng như H.5. Tính ứng suất cực đại ở mỗi dầm khi cĩ lực treo ở dầm, biết độ cứng EI là hằng số. Hình H.5 6. Vẽ biểu đồ nội lực của dầm siêu tĩnh như H.6. Viết phương trình đường đàn hồi, biết độ cứng EI là hằng số. 2 M0 = qL a. b. Hình H.6 7. Thanh thép dài 1 m, mặt cắt chữ nhật 20x6 mm, ngàm ở đầu A, chịu lực P = 30 N đặt ở giữa nhịp (hình H.7). Kiểm tra độ bền của dầm. Biết [σ] = 16 kN/cm2. Ở đầu B cĩ khe hở δ= 20 mm. Cho E = 2.104 kN/cm2. 100
Hình H.7 2 Đáp số: max = 2,54 kN/cm . 8. Khung ABCD chịu lực như hình H.8. a. Vẽ biểu đồ nội lực khung momen uốn, lực cắt, lực dọc. b. Tính chuyển vị xoay tại B. Biết độ cứng uốn của các thanh EI là hằng số. Hình H.8 3 Đáp số: VD = 11qL/12 ; jB = qL /18EJ 9. Một dầm mút thừa ABC khớp cố định tại A và tại B được đỡ bởi lị xo cĩ độ cứng k. Nhịp AB cĩ chiều dài L và chịu tác dụng của lực phân bố đều q. Đầu mút thừa cĩ chiều dài b (H.9). Hỏi độ cứng k phải bằng bao nhiêu để chuyển vị đứng tại đầu mút thừa C bằng zero. Hình H.9 101
PHỤ LỤC 102
TÀI LIỆU THAM KHẢO 108