Bài giảng Phương pháp số - Chương 3: Nội suy và xấp xỉ hàm số

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp số - Chương 3: Nội suy và xấp xỉ hàm số

1. Chương 3 Nội suy và xấp xỉ hàm số 1
2. 3.1. Số gia hữu hạn Cho giá trị của hàm số (x) tại các điểm mốc xi = x0 + ih, i = −m,−m, ,0,1, , m Là f ( x − m ), f ( x − m + 1 ), , f (xm ), 1. Số gia hữu hạn tiến - Số gia hữu hạn tiến bậc 1 của hàm (x) tại điểm x là f (x) = f (x + h) − f (x) 2
3. - Số gia hữu hạn tiến bậc 2 và bậc cao hơn: 2 f (x) = f (x + h) − f (x) = f (x + 2h) − f (x + h) − f (x + h) + f (x) = f (x + 2h) − 2 f (x + h) + f (x) . k f (x) = (k −1) f (x + h) − (k −1) f (x) = f (x + kh) − kf (x + (k −1)h) + k(k −1) f (x + (k − 2)h) + + (−1)k f (x) 2! k=1,2, 3
4. Hoặc k k k −i k f (x) = (−1) f (x + ih) (3.1) i=0 i k i k = (−1) f (x + (k − i)h) i=0 i k là một số (hệ số binôm) i k k k k(k −1) = k, = , , =1, 0 1 2 2! k k(k −1)(k − 2) (k − i +1) = ,i k i i! 4
5. 2. Số gia hữu hạn lùi Số gia hữu hạn lùi bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm (x) tại điểm x f (x) = f (x) − f (x − h) 2 f (x) = f (x) − f (x − h) = f (x) − 2 f (x − h) + f (x − 2h) k k k −i k  f (x) = (−1) f (x − (k − i)h), (3.2) i=0 i k i k =(−1) f (x − ih) i=0 i 5
6. 3. Số gia hữu hạn trung tâm Số gia hữu hạn trung tâm bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm (x) tại điểm x f (x) = f (x + h / 2) − f (x − h / 2)  2 f (x) = f (x + h / 2) −f (x − h / 2) = f (x + h) − 2 f (x) + f (x − h) k k k −i k  f (x) = (−1) f (x + (k / 2 − i)h), (3.3) i=0 i k k f (x) = k f (x + kh) =  k f (x + h) (3.4) 2 6
7. 3.2. Các bảng số gia Bảng số gia hữu hạn tiến 7
8. Bảng số gia hữu hạn lùi 8
9. 3.3. Các phương pháp nội suy 1. Nội suy với mốc cách đều xét cách biểu diễn một đa thức theo số gia hữu hạn • Nếu thay cho việc dùng biến x khi các mốc cách đều ta dùng biến x − x u = 0 ,h = x − x h i+1 i • Thì các mốc được thay thế bằng u = -m , -m+1, , 0 , 1 , , m 10
10. Nội suy Gregory-Newton tiến Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa u[0] =1, u[1] = u, u[2] = u(u −1), . u[k ] = u(u −1)(u − 2) (u − k +1), 11
11. Khi đó, theo định nghĩa (3.1), số gia hữu hạn tiến bậc 1 của u[k] u[k] = (u +1)k −u[k] = (u +1)u[k −1] − (u − k +1)u[k ] = ku[k −1] Tương tự 2u[k ] = k(k −1)u[k −2] ku[k ] = k! 12
12. (N+1) • Nếu | (x)|<M1, M1 là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton tiến với sai số EN là N [i] i u y0 y =  + EN , i=0 i! h N +1u[ N +1] f ( N +1) ( ) E = N (N +1)! i i • y0 = PN (x0), i =0, 1, 2, , N • yj = PN (xj) = (xj) , j = 0, 1, 2, , N, x0 <  < xN • Tại điểm x = x0 + ph p( p −1) p( p −1)( p − 2) P (x) = y + p y + 2 y + 3 y N 0 0 2! 0 3! 0 p( p −1)( p − 2) (p − N +1) + + N y N! 0 15
13. Nội suy Gregory-Newton lùi Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa u[0] =1, u[1] = u, u[2] = u(u +1), u[k ] = u(u +1)(u + 2) (u + k −1), 16
14. Khi đó, theo định nghĩa (3.2), số gia hữu hạn lui bậc 1 của u[k] u[k ] = u[k ] − (u −1)[k ] = (u + k −1)u[k−1] − (u −1)u[k−1] = ku[k−1] Tương tự 2u[k] = k(k −1)u[k−2] ku[k] = k! Ta nhận thấy u1 = u[1], u2 = u(u+1)-u = u[2] - u[1], u3 = u(u+1)(u+2) + 3u(u+1) + u = u[3] -3 u[2] + u[1] 17
15. Tức là uk có thể biểu diễn thành một đa thức của các đa thức giai thừa u[i], i = 1, 2, , k và do PN(x) = PN(x0+ uh) Là một đa thức bậc N của u[i] , cho nên ta có thể viết [N ] [N−1] [1] [0] PN (x) = c0u + c1u + + cN−1u + cN u Tính c0, c1, ,cN : Tại thời điểm x=x0 hay u=0 ta tính PN(x) k và  PN(x) [N ] [N−1] [1] [0] PN (x0 ) = c0 0 + c10 + + cN−10 + cN 0 = cN [ N −1] [ N −2] [0] PN (x) = Nc0u + (N −1)c1u + + cN −1u PN (x0 ) = cN −1 2 [N −2] [N −3]  PN (x) = N(N −1)c0u + (N − 2)(N −1)c1u + + 2 1 cN −2 N  PN (x) = N!c0 18
16. PN (x0 ) = cN , PN (x0 ) = cN −1, 2P (x ) N 0 = c 2! N −2  N P (x ) N 0 = c N! 0 Như vậy:  N P (x ) P (x) = N 0 u[ N ] + + P (x )u[1] + P (x ) N N! N 0 N 0 hay N i [i]  PN (x0 )u PN (x) =  i=0 i! 19
17. (N+1) • Nếu | (x)|<M1, M1 là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton lui với sai số EN là N [i] i u  y0 y =  + EN , i=0 i! hN +1u[ N +1] f ( N +1) ( ) E = N (N +1)! i i •  y0 =  PN (x0), i =0, 1, 2, , N • yj = PN (xj) = (xj) , j = 0, 1, 2, , N, x0 <  < xN • Tại điểm x = x0 + ph p( p −1) p( p −1)( p − 2) P (x) = y + py + 2 y + 3 y N N N 2! N 3! N p( p −1)( p − 2) (p − N +1) N + +  yN N! 20
18. Nội suy Gauss • Gauss tiến: [2] [3] [4] [1] y1 u 2 (u +1) 3 y1 (u +1) 4 y = y0 + u  +  y0 +  +  y0 2 2! 3! 2 4! [5] [6] [2k−1] [2k ] (u + 2) 5 y1 (u + 2) 6 (u + k −1) 2k−1 y1 (u + k −1) 2k +  +  y0 + +  +  y0 5! 2 6! (2k +1)! 2 2k! + [2k] 2k •Nếu số hạng cuối cùng là (u+k-1)  yo/(2k)! thì sai số là: (u + k)[2k+1] h2k+1 f (2k+1) () E = 2k+1 (2k +1)! (u + k −1)[2k−1] y •Nếu số hạng cuối là  2 k −1 1 thì sai số là (2k +1)! 2 (u + k −1)[2k ] h2k f (2k ) () E2k = (2k)! 21
19. • Gauss lùi [2] [3] [0] [1] (u +1) 2 (u +1) 3 y = (u y0 + u y−1/ 2 ) +  y0 +  y−1/ 2 + 2! 3! [4] [5] [2k ] [2k+1] (u + 2) 4 (u + 2) 5 (u + k) 2k (u + k) 2k+1  y0 +  y−1/ 2 + +  y0 +  y−1/ 2 + 4! 5! (2k)! (2k +1)! (u + k)[2k+1] Nếu số hạng cuối cùng là  2 k + 1 y thì sai số là: (2k +1)! −1/ 2 (u + k)[2(k +1)]h2(k +1) f (2(k +1)) ( ) E = 2(k +1) (2(k +1))! [2k ] (u + k) 2k Nếu số hạng cuối là  y 0 thì sai số là (2k)! (u + k −1)[2k+1] h2k+1 f (2k+1) () E = 2k+1 (2k +1)! 22
20. 2. Nội suy với mốc không cách đều Nội suy Lagrange Trên đoạn a≤x≤b cho một lưới các điểm chia (điểm nút) xi, i = 0, 1, 2, , n: a ≤ x0, x1, x2, , xn ≤ b tại các nút xi cho giá trị của hàm số y = f(x) là yi = f(xi), i = 0, 1, 2, , n 23
21. Nội suy bằng đa thức Newton 27
22. • Phương pháp xấp xỉ bình phương cực tiểu Giả sử có 2 dạng đại lượng x và y có liên hệ phụ thuộc nhau theo một dạng đã biết: y = a + bx + cx2 + . Chưa biết các giá trị cụ thể a, b, c Các cặp giá trị tương ứng (xi , yi) đã biết: 31
23. • Trường hợp y = a + bx Ta có yi – a – bxi = i i = 1, 2, 3, ., n Là các sai số tại xi, do đó: 2 S = (yi – a – bxi) là tổng bình phương của các sai số S phụ thuộc a, b, còn xi, yi đã biết Xác định a, b sao cho S bé nhất a,b là nghiệm của hệ pt: na + bxi = yi 2 axi + bxi = xiyi 32
24. • Trường hợp: y = a + bx + cx2 Thì a, b, c là nghiệm của hệ chính tắc: 2 na + bxi + cxi = yi 2 3 axi + bxi + cxi = xiyi 2 3 4 2 a xi + bxi + cxi =  xi yi 33