Bài giảng Phương pháp số - Bài 5: Đạo hàm và tích phân

Nội dung text: Bài giảng Phương pháp số - Bài 5: Đạo hàm và tích phân

1. BÀI 5 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
2. ĐẶT VẤN ĐỀ (1) 1. PHÉP THẾ GIẢI TÍCH: Ứng dụng chính của các đa thức xấp xỉ là thay thế một hàm phức tạp, hay một hàm cho dƣới dạng bảng bởi một đa thức để các phép toán cơ bản của giải tích có thể thực hiện đƣợc dễ dàng hơn. Chúng bao gồm b I(f) f(x)dx và D(f) f '(a) a Kí hiệu L một trong các phép toán này trên các hàm, xấp xỉ L(f) bởi L(p), với p(x) là một đa thức xấp xỉ của f(x) L có thể thực hiện đƣợc dễ dàng hơn trên p(x) vì nó là một đa thức và L là một trong hai phép toán đạo hàm và tích phân PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 2
3. ĐẶT VẤN ĐỀ (2) 2. SAI SỐ L(f) – L(p): Do tính tuyến tính của phép toán L L(f + g) = L(f) + L(g) L(af) = aL(f) trong đó f(x) và g(x) là các hàm và a là một hằng số. Tính tuyến tính dẫn đến L(f) – L(p) = L(e) trong đó e(x) là sai số trong xấp xỉ p(x) của f(x), f(x) = p(x) + e(x) p(x) là một đa thức nội suy bậc ≤ n của f(x) tại các điểm x0, , xn. PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 3
4. ĐẶT VẤN ĐỀ (3) 2. SAI SỐ L(f) – L(p): Sử dụng đa thức nội suy Newton Sai số E(f) = L(f) – L(p) tính đƣợc bằng cách áp dụng toán tử L vào hàm sai số của đa thức nội suy – các công thức (2.16) và (2.18) en(x) f(x) pn(x) n f[x , , x , x] (x x ) 0 n Π j j 0 f (n 1)(ξ) n (x x j), ξ [c, d] (n 1)! j 0 [c; d] là khoảng chứa các mốc nội suy x0, x1, , xn PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 5
5. ĐẠO HÀM (1) 1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT: Cho f(x) khả vi liên tục trên [c; d]. Nếu x0, , xk є [c; d], thì theo công thức nội suy Newton (2.37) f(x) = pk(x) + f[x0, . . . , xk, x] Ψk (*) trong đó pk(x) là đa thức bậc ≤ k nội suy hàm f(x) tại x0, , xk, và k Ψk (x)  (x x j) d j 0 Do f[x ,,x ,x] f[x ,,x ,x,x] dx 0 k 0 k nếu f(x) đủ trơn, lấy đạo hàm (*) ta nhận đƣợc ' f '(x) p'k (x) f[x 0,,x k,x,x] Ψk(x) f[x 0,,x k,x] Ψk(x) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 6
6. ĐẠO HÀM (2) 1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT: Nếu chúng ta xấp xỉ f '(a) p'k (a) thì sai số trong xấp xỉ là E(f) = D(f) – D(p ) = f[x ,,x ,a,a] (a) f[x ,,x ,a]' (a) k 0 k k 0 k k , f (k 2)(ξ)ψ (a) f (k 1)(η)ψ (a) (Đ.lí 2.5) k k , , (c,d). (k 2)! (k 1)! TH1: Khi a là một mốc nội suy, a = xi với i nào đó. Do Ψk (x) chứa thừa số (x – xi), suy ra Ψk(a) = 0. Hơn nữa, Ψ’k (a) = q(a) trong đó ψk (x) q(x) (x x0 )(x xi 1)(x xi 1)(x xk ) x xi f (k 1)() k E(f) (xi xj) (1) (k 1)! j 0 j i PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 7
7. ĐẠO HÀM (3) 1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT: TH2: : Khi a không là một mốc nội suy, có thể chọn a sao cho Ψ’k (a) = 0, chẳng hạn khi k lẻ, và các xi đối xứng xung quanh a, tức là k 1 x a a x j 0,, k j j 2 ( x – x ) (x – x ) = (x – a + a – x ) (x – a + a – x ) j k–j j k–j k 1 2 2 = (x – a) – (a – xj) j 0,, (k 1)/ 2 2 2 2 ψk (x)  (x a) (a x j )  j 0 d Do (x a)2 (a x )2  2(x a) 0 j ψ' (a) 0 dx j x a k (k 2) (k 1) / 2 f (ξ) 2 E(f)   (a x j)  (2) (k 2)! j 0 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 8
8. ĐẠO HÀM (4) 1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT: • k = 1: pk(x) = f(x0) + f[x0, x1] (x – x0) Nếu a = x0 và với h = x1 – x0, thì f(a h) f(a) f '(a) f[a,a h] , h 1 " E(f) hf (η) h nên là 5%, 1% của x hay nhỏ hơn 2 i Nếu a = (x0 + x1)/2 thì x0 = a – h, x1 = a + h, h = (x1 - x0)/2. và f(a h) f(a h) h 2 f '(a) f[a h,a h] , E(f) f '''(η) 2h 6 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 9
9. ĐẠO HÀM (5) 1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT: • k = 2: Pk(x) = f(x0) + f[x0, x1](x – x0) + f[x0, x1, x2](x – x0)(x – x1) Nếu x0 = a , x1 = a + h, x2 = a + 2h thì f(x) 3f(a) 4f(a h) f(a 2h) f '(a) 2h h2 E(f) f '''(ξ), a ξ a 2h 3 Nếu x0 = a – h, x1 = a, x2 = a + h h = (x2 – x1) /2 thì x0 a x2 f(a h) f(a h) h 2 f '(a) , E(f) f '''(ξ), |ξ a| h 2h 6 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 10
10. ĐẠO HÀM (6) 1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT: • Trường hợp a є [xi-1, xi]: bất kì và các điểm xi không cách đều:, tính gần đúng f’(a) bằng cách: a) Sử dụng các đạo hàm g’3(x) của các đa thức ghép trơn bậc ba SPLINE trên [xi-1, xi] b) Sử dụng đạo hàm của xấp xỉ tốt nhất của f(x) theo nghĩa bình phƣơng bé nhất PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 11
11. TÍCH PHÂN (1) 1 MỘT SỐ QUY TẮC CƠ BẢN b Bài toán: Tìm một ƣớc lƣợng I(f) f(x)dx a khi không thể tính đƣợc một cách chính xác hay khi chỉ biết f(x) tại một số hữu hạn điểm trên khoảng [a, b]. Giải: Về nguyên tắc, ta xấp xỉ I(f) bởi I(pk), trong đó pk(x) là một đa thức bậc ≤ k, trùng với f(x) tại các điểm x0, , xk: I(pk) = A0f(x0) + A1f(x1) + · · · + Akf(xk) Các trọng số Ai = I(li), với li(x) là đa thức Lagrange thứ i. Giả sử f(x) là đủ trơn trên khoảng [c, d] chứa a và b, ta có thể viết f(x) = pk(x) + f[x0, , xk, x] Ψk(x) k trong đó ψk (x)  (x x j) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 j 0 12
12. TÍCH PHÂN (2) 1 MỘT SỐ QUY TẮC CƠ BẢN k = 0: p0(x) = f(x0) Nếu x0 = a: quy tắc hình chữ nhật I(f) ≈ R = (b – a)f(a), từ (7.20) b f '(η) (b a)2 E R f '(η) (x a)dx 2 a Nếu x0 = (a + b)/2: quy tắc trung điểm a b I(f) M (b a)f từ (7.22) 2 f''(η) (b a)3 EM với η∈(a, b) 24 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 13
13. TÍCH PHÂN (3) 1 MỘT SỐ QUY TẮC CƠ BẢN k = 1: p1(x) = f(x0) + f[x0, x1] (x – x0) quy tắc hình thang 1 I(f) T (b a)[f(a) f(b)] 2 f ''(η) (b a)3 ET , η [a,b] 12 k = 2: p2(x) = f(x0) + f[x0, x1] (x – x0) + f[x0, x1 , x2](x – x0)(x – x1) quy tắc Simpson b a a b  I(f) S f(a) 4f f(b) 6 2  f (iv)(η) (b a)/25 ES , η [a,b] 90 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 14
14. TÍCH PHÂN (4) 2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: Các quy tắc cơ bản tính tích phân số không tạo ra các ƣớc lƣợng đủ chính xác, khi khoảng [a, b] là tương đối lớn Giải pháp: Chia [a,b] thành N khoảng đều nhau: a = x0 < x1 < x2 < · · · < xN = b và áp dụng các quy tắc cơ bản đối với từng khoảng con. Kí hiệu gk(x) là một hàm đa thức từng khúc với các điểm cách đều {xi} (i = 1, , N – 1). Gọi Pi,k(x) (i = 0, , N) là các đa thức bậc ≤ k trùng với gk(x) trên [xi–1, xi] b N x I(f) f(x)dx i f(x)dx a  x i 1 i 1 N N xi xi I(gk ) g k (x)dx Pi,k (x)dx  x  x i 1 i 1 i 1 i 1 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 15
15. TÍCH PHÂN (5) 2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: Sai số: b E(f) I(f) I(pk ) f[x0,,xk,x]ψk (x)dx a - Nếu Ψk(x) giữ dấu không đổi trên (a,b), thì theo định lí giá trị trung bình đối với tích phân, tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho b b f[x0,,x k,x]ψk(x)dx f[x0,,x k,ξ] ψk(x)dx a a và nếu f(x) khả vi liên tục đến cấp k + 1 trên (a, b), thì b 1 E(f) f (k 1)(η) ψ (x)dx với η ∈ (a, b) (k 1)! k a PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 16
16. TÍCH PHÂN (7) 2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: • Quy tắc hình thang tổng hợp: Lập công thức Áp dụng quy tắc hình thang trên mỗi khoảng con [xi–1, xi], '' 3 xi 1 f (η) h f(x)dx (xi xi 1)[f(xi) f(xi 1)] , xi 1 η xi xi 1 2 12 Lấy tổng theo i = 1, . . . , N ta nhận đƣợc 1 N N 1 h I(f) TN h[fi fi 1] hfi [f0 f N] và 2 i 1 i 1 2 f ''(η) h3 f ''(η) h 2 (b a) ET n với η ∈ (a, b) N 12 12 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 18
17. TÍCH PHÂN (8) 2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: Quy tắc hình thang tổng hợp: 6 Ví dụ 1: tính I (3 1.5x 0.25x 2 ) dx với n = 6 0 xi f(a), f(b) f(xi) 6 0 3 5 1 4.25 4 2 5.00 3 f(x) 3 5.25 2 4 5.00 1 5 4.25 0 0 1 2 3 4 5 6 6 3 x Tổng 6 23.75 I = 26.75 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 19
18. TÍCH PHÂN (9) 2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: Quy tắc hình thang tổng hợp: Ví dụ 2: Tìm số điểm chia N tối thiểu để quy tắc hình thang tổng hợp cho giá trị gần đúng của tích phân 1 2 e x dx chính xác đến 10-4 0 2 Do f'''(x) 4xe x (3 2x2) 0 khi x 0 hay x 1.5 max|f’’(x)| trên [0, 1] phải xảy ra tại x = 0 hay x = 1,tức là max|f ''(η)| max{|f ''(0)|,|f ''(1)|} max{2, 2e 1} 2 0 η 1 '' 2 2 ’’ – 2 |f (η) N | 2N 1 4 EN = |–f (η) N / 12 | max 10 0 η 1 12 12 6 N2 N ≥ 41 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 20
19. TÍCH PHÂN (10) 2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: Quy tắc hình thang tổng hợp: Chương trình tính double Thang (double f(double), double a, double b, int N) { assert(a 0); double h = (b - a) / N, S = 0.5 * f(a); // i=0 for (int i = 1; i < N; i ++) { double x = a + i * h; S = S + f(x); } S = S + 0.5 * f(b); return h * S; } PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 21
20. TÍCH PHÂN (11) 2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: • Quy tắc Simpson tổng hợp: Lập công thức Kí hiệu a = xi–1, b = xi, và xi – xi–l = h đối với mỗi khoảng con (iv) 5 xi h f (ηi)(h/2) f(x)dx [fi 1 4fi 1/2 fi] , xi 1 ηi xi xi 1 6 90 trong đó fi = f(xi), fi -1/2 = f(xi -h/2), lấy tổng theo i = 1 , N N N N (iv) 5 xi h f (ηi)(h/2) I(f) f(x)dx [fi 1 4fi 1/2 fi]  x   i 1 i 1 6 i 1 i 1 90 h N 1 N (iv) 4 S f f 2 f 4 f , N f (ξ) (h/2) (b a) N 0 N  i  i 1/2 ES 6 i 1 i 1 180 với ξ∈ (a, b) PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 22
21. TÍCH PHÂN (12) xi xi + h/2 f(a), f(b) f(xi) f(xi +h/2) 0 1 2. CÁC QUY TẮC TỔNG 0.05 0.997503 0.1 0.990050 HỢP: 0.15 0.977751 0.2 0.960789 Quy tắc Simpson tổng hợp: 0.25 0.939413 0.3 0.913931 1 x2 Ví dụ 1, tính e dx 0.35 0.884706 0 0.4 0.852144 0.45 0.816686 bằng quy tắc Simpson tổng 0.5 0.778801 0.55 0.738968 hợp với N = 10. 0.6 0.697676 0.65 0.655406 Từ bảng bên ta tính đƣợc 0.7 0.612626 0.75 0.569783 1 x2 0.8 0.527292 e dx 0.746824 0.85 0.485537 0 0.9 0.444858 0.95 0.405555 1 0.367879 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 Tổng 1.367879 6.778168 7.47130923
22. TÍCH PHÂN (13) 2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: Quy tắc Simpson tổng hợp: Ví dụ 2 Giải lại ví dụ 2 phần trên bằng quy tắc Simpson tổng hợp, ta có max|f(iv)(x)| trên [0, 1] phải xảy ra tại x* hay tại các đầu mút 0, 1, 2 3 6 f (iv) (x) 4e x (4x4 12x 3) 0 khi x* 2 2 max | f (iv) () | max{| f (iv) (0) |,| f (iv) (1) |,| f (iv) (x*} | f (iv) (0) | 12 0  1 f (iv)(ξ) (h/2)4(b a) E N S 180 |f (iv)() | h4 |f (iv)(0)|h 4 12 max 10 4 N 3 0 η 1 180 24 180. 16 180. 16.N4 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 24
23. TÍCH PHÂN (14) 3. QUY TẮC LÀM TĂNG ĐỘ CHÍNH XÁC Nguyên tắc: tìm số điểm chia [a,b] để đảm bảo độ chính xác cho trƣớc hoặc với số lần lặp đủ lớn. b Thuật toán: tính gần đúng các tích phân S j f(x)dx a j với các bƣớc chia lần lƣợt là hj = (b-a) / 2 , j = 1,2, điều kiện dừng ở bước lặp thứ j là với ε > 0 cho trƣớc: |S j- Sj-1| số lần lặp cho trƣớc Nhƣ vậy công thức Simpson đƣợc tính lặp nhƣ sau h j S j [f0 f j 4(f0.5 f1.5 f ) 2(f1 f2 f j )] 6 2 2j 0.5 2 1 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 25
24. TÍCH PHÂN (15) 3. QUY TẮC LÀM TĂNG ĐỘ CHÍNH XÁC double Simpson(double f(double), double a, double b, double epsilon) { int i, j = 1, N = 1; double h = (b - a) / N, ss, st, t = f(a) + f(b); ss = t + 4 * f(a + (i - 0.5) * h); do { st = ss; N *= 2; h /= 2; ss = t; for (i = 1; i epsilon) && (j <= lanLap)); return ss; } PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 26
25. BÀI TẬP 1. Bài tập tính toán: 7.1-1, 7.4-4, 7.4-8 2. Bài tập lập trình: 7.4-3, 7.4-5 PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 27