Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 7: Ước lượng các số đặc trưng của tổng thể

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 7: Ước lượng các số đặc trưng của tổng thể

1. Chương 7 ƯỚC LƯỢNG CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ
2. I. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ❖ Cho ĐLNN X có tham số  ( có thể là trung bình tổng thể µ, phương sai tổng thể 2 hoặc tỷ lệ tổng thể p) cần ước lượng. ❖ Ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: WX = (X1, X2, , Xn). ෠ ❖ Chọn 휃 = (X1, X2, , Xn) là hàm ước lượng ෠ của . Khi đó 휃 là hàm của các ĐLNN X1, X2, , Xn nên nó là 1 ĐLNN. ෠ ❖ Với 1 mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) thì 휃 sẽ nhận 1 giá trị cụ thể. Giá trị này đgl giá trị ước lượng của  và hàm 휃෠ đgl ước lượng điểm của .
3. I. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng: ❖Ước lượng không chệch: 휃෠ đgl ước lượng không chệch của  nếu: E(휃෠) = . ❖Ước lượng hiệu quả: 휃෠ đgl ước lượng hiệu quả của  nếu: 휃෠ là ước lượng không chệch của  và có Var(휃෠) nhỏ nhất. ❖Ước lượng vững: 휃෠ đgl ước lượng vững của  nếu:  > 0 bé tùy ý cho trước ta đều có: lim P θˆ - θ < ε = 1 n → ( ) ❖Ước lượng hợp lý tối đa.
4. I. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Các kết quả: ❖Trung bình mẫu ത là ước lượng không chệch, hiệu quả, vững, hợp lý tối đa của trung bình tổng thể . ❖Tỷ lệ mẫu F là ước lượng không chệch, hiệu quả, vững, hợp lý tối đa của tỷ lệ tổng thể p. ❖Phương sai mẫu điều chỉnh S2 là ước lượng không chệch, hiệu quả, vững của phương sai tổng thể 2. ❖Phương sai mẫu 푆መ2 là ước lượng hợp lý tối đa của phương sai tổng thể 2.
5. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG ❖ ĐLNN X có tham số  chưa biết và cần ước lượng. ❖ Lập mẫu ngẫu nhiên: WX = (X1, X2, , Xn). ❖ Chọn thống kê G = (X1, X2, , Xn, ) sao cho: mặc dù chưa biết giá trị của  nhưng quy luật PPXS của G vẫn hoàn toàn xác định. ❖ Khi đó, với xác suất khá bé (thường lấy 0,05), ta có thể tìm được hai số a, b thỏa mãn: P(a G b) = 1 - (tức là xác suất để G nhận giá trị trong khoảng (a,b) là (1- ) khá lớn, khả năng xảy ra cao). ❖ Từ đó ta tìm được khoảng (휃෠1; 휃෠2) sao cho: P(휃෠1 ≤ 휃 ≤ 휃෠2) = 1 -
6. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Lưu ý: • Vì G là ĐLNN nên 휃෠1, 휃෠2 là các ĐLNN, do đó khoảng (휃෠1; 휃෠2) đgl khoảng ngẫu nhiên. • (1 - ) đgl độ tin cậy (hệ số tin cậy) của ước lượng. • (휃෠2 − 휃෠1) đgl độ dài khoảng tin cậy, nó có thể là hằng số, cũng có thể là ĐLNN. • Với 1 mẫu cụ thể (x1, x2, , xn), ta tính được ෠ ෠ các giá trị cụ thể của (휃1, 휃2) đó là (1, 2); do đó ta tìm được 1 khoảng cụ thể (1, 2) chứa .
7. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng tỷ lệ: Dựa vào tính chất: 1n pq F =  Xi ~ N(p; ) (n 30) nni = 1 F - p Z = ~ N(0,1) pq 0.45 0.4 n 0.35 0.3 Với độ tin cậy (1 - ), 0.25 0.2 vì Z ~ N(0,1) nên ta /2 0.15 /2 0.1 tìm được 1 số z /2 0.05 0 sao cho: -3 -2 -1 0 1 2 3 -z /2 z /2
8. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng tỷ lệ: F - p P(- z z ) = 1 - α α/2pq α/2 n pq pq P F - zα/2 . p F + z α/2 . = 1 - α nn 0.45 Khi n lớn và với một 0.4 0.35 mẫu cụ thể thì ta có 0.3 0.25 thể xấp xỉ pq bằng 0.2 /2 0.15 /2 f(1–f). 0.1 0.05 0 (z /2) = 0,5 - /2 -3 -2-z /2-1 0 1 z /22 3
9. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng tỷ lệ: Vậy khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) của tỷ lệ tổng thể p tương ứng với 1 mẫu cụ thể có dạng: (f - ; f + ), trong đó: f(1 - f) ε = z .  đgl độ chính xác α/2 n của ước lượng. 0.45 Suy ra ước 0.4 0.35 lượng khoảng 0.3 0.25 phía trái & ước 0.2 /2 0.15 /2 lượng khoảng 0.1 0.05 phía phải? 0 -3 -2-z /2-1 0 1 z /22 3
10. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng trung bình: Dựa vào tính chất: 1 n σ2 X =  Xi ~ N(μ; ) (n 30) nni = 1 Ta có các trường hợp: ❖n ≥ 30,  đã biết. 0.45 ❖n ≥ 30,  chưa biết. 0.4 0.35 0.3 ❖n < 30,  đã biết. 0.25 0.2 ❖n < 30,  chưa biết. /2 0.15 /2 0.1 0.05 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -z /2 z /2
11. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 0.45 Ước lượng trung bình: 0.4 0.35 ❖n ≥ 30,  đã biết : 0.3 0.25 X - μ 0.2 Z = ~ N(0,1) /2 0.15 /2 σ 0.1 0.05 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 n -z /2 z /2 Với độ tin cậy (1 - ), vì Z ~ N(0,1) nên ta tìm được 1 số z /2 sao cho: X - μ P(- z z ) = 1 - α α/2σ α/2 n
12. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Ước lượng trung bình: ❖n ≥ 30,  đã biết : σσ P X - zα/2 . μ X + z α/2 . = 1 - α nn Vậy khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) của trung bình tổng thể  tương ứng với 1 mẫu cụ thể có dạng: ( ҧ - ; ҧ + ), trong đó0.45 : σ 0.4 ε = zα/2 . 0.35 0.3 n 0.25  đgl độ chính xác 0.2 /2 0.15 /2 của ước lượng. 0.1 0.05 0 -3 -2-z /2-1 0 1 z /22 3
13. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 0.45 Ước lượng trung bình: 0.4 0.35 ❖n ≥ 30,  chưa biết : 0.3 0.25 X - μ 0.2 Z = ~ T(n - 1) /2 0.15 /2 S 0.1 0.05 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 n -z /2 z /2 Vì n ≥ 30 nên ta có thể xấp xỉ Z ~ N(0,1). Do đó, làm tương tự như trường hợp trên, ta suy ra khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) của trung bình tổng thể  tương ứng với 1 mẫu cụ s thể có dạng: ( ҧ - ; ҧ + ), trong đó: ε = z . α/2 n
14. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 0.45 Ước lượng trung bình: 0.4 0.35 ❖n < 30,  đã biết và 0.3 0.25 ĐLNN gốc X có phân 0.2 /2 0.15 /2 phối chuẩn: 0.1 X - μ 0.05 0 Z = ~ N(0,1)-3 -2-z -1 0 1 z 2 3 σ /2 /2 n Do đó, làm tương tự như trên, ta suy ra khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) của trung bình tổng thể  tương ứng với 1 mẫu cụ thể σ có dạng: ( ҧ - ; ҧ + ), trong đó: ε = z . α/2 n
15. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 0.45 Ước lượng trung bình: 0.4 ❖n < 30,  chưa biết và 0.35 0.3 ĐLNN gốc X có phân phối 0.25 chuẩn: 0.2 X - μ 0.15 Z = ~ T(n - 1) /2 0.1 /2 S 0.05 0 -3 -2-t -1 0 1 t 2 3 n /2 /2 Do đó, làm tương tự như trên, ta suy ra khoảng ước lượng (khoảng tin cậy) của trung bình tổng thể  tương ứng với 1 mẫu cụ thể s có dạng: ( ҧ - ; ҧ + ), trong đó: ε = t . α/2 n
16. III. XÁC ĐỊNH ĐỘ TIN CẬY Ước lượng tỷ lệ: f(1 - f) Từ công thức: ε = z . α/2 n ε. n z = Độ tin cậy (1 - ). α/2 f(1 - f) Ước lượng trung bình: s Từ công thức: ε = z . α/2 n ε. n z = Độ tin cậy (1 - ). α/2 s
17. IV. XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU Ước lượng tỷ lệ: f(1 - f) Từ công thức: ε = z . α/2 n f(1 - f) n = (z )2 . α/2 ε2 Ước lượng trung bình: s Từ công thức: ε = z . α/2 n s2 n = (z )2 . α/2 ε2
18. Tổng kết chương 7 • Ước lượng điểm của trung bình, phương sai, tỷ lệ tổng thể? • Khoảng ước lượng của trung bình, tỷ lệ tổng thể? • Xác định độ tin cậy? • Xác định kích thước mẫu?