Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên một chiều

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên một chiều

1. Chương 4: BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU
2. 1. Định nghĩa : Hàm số với giá trị thực X xác định trên KGSKSC Ω X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu tập hợp {:(),ω ∈ΩX ω =kk ∈R }là sự kiện. Biến ngẫu nhiên rời rạc : khi tập hợp các giá trị của X có hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phân tử. Biến ngẫu nhiên liên tục : khi tập hợp các giá trị của X là một khoảng trên trục số ( X có vô hạn không đếm được) .
3. 2. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc : Xx1 x2 xn Pp1 p2 . pn Trong đó xi là các giá trị của X và pi = P(X = xi ). n Ta có ∑ pi =1 i=1
4. 3. Hàm phân phối xác suất : • Hàm số Fx()= PX (≤∈ x ), x R được gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X . Tính chất : 1) 0 ≤ F(x) ≤ 1 2) F(x) là hàm không giảm: nếu a<b thì F(a) ≤ F(b) 3) P( a< X ≤ b ) = F(b) - F(a) 4) F(+∞) = 1 F(-∞) = 0 Trong đó ký hiệu lim Fx ( ) = F ( +∞ ) và limFx ( )= F (−∞ ) x→+∞ x→−∞
5. 4. Hàm mật độ phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục : • Nếu hàm phân phối F(x) của biến ngẫu nhiên liên tục X có thể biểu diễn dưới dạng t F()xftdt= () , x∈ R ∫−∞ thì f(x) được gọi là hàm mật độ phân phối xác suất của X.
6. Tính chất : 1) f ()xx≥∈ 0, R 2) f () xFx = '() tại những điểm liên tục của f(x). b 3) P()()aXb<<= fxdx ∫a +∞ 4) ∫ f ()tdt= 1 −∞ 5) Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) thì P(X= x) = 0, ∀ x∈ R
7. 5. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên : 1) Kỳ vọng - Trung bình : • Nếu X rời rạc thì kỳ vọng của X được xác định như sau : n EX=∑ xiip i=1 • Nếu X liên tục +∞ EX=∫ xfxdx ( ) −∞
8. Tính chất : 1) EC = C , C là hằng số 2) ECX = C.EX 3) E(X+Y) = EX + EY 4) E(XY) = EX.EY nếu X và Y độc lập. • Hai biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập nếu với A và B là các khoảng bất kỳ thì các sự kiện () X ∈ A và()X ∈ B là độc lập. 5) Cho hàm số g(x), khi đó n Eg() x= ∑ g ( xii ) p ,nếu X rời rạc i=1
9. +∞ Eg()x = ∫ g ()x f ()xdx , nếu X liên tục −∞ Ví dụ : Cho g(x) = x2 , g(X) = X2 , n 22 , nếu X liên tục EX= ∑ xii p i =1 +∞ 22 EXx= f ()xdx , nếu X rời rạc ∫−∞
10. 2) Phương sai − Độ phân tán : • Phương sai hay giá trị phân tán của biến ngẫu nhiên X được xác định như sau: DX= E(X - EX)2 a) X rời rạc n 2 DXxEXp=−∑()ii i=1 b) X liên tục +∞ DX=−∫ ()() x EX2 f x dx −∞
11. Tính chất : 1) DC = 0 , C là hằng số 2) DCX = C2 DX 3) D(X+Y) = DX + DY , nếu X và Y độc lập
12. 6. Các luật phân phối xác suất thường gặp : 1) Luật Bernoulli – B(1, p) X ~ B(1, p) nếu X có bảng phân phối X 0 1 Pqp P(X=1) = p , P(X=1) = 1-p = q EX = p , DX = pq • Phép thử Bernoulli : -Có2 sự kiện A vàA . Ký hiệu P(A)= p, P( A )= 1-p= q. -Khi A xuất hiện ta nói phép thử thành công, và gọi p là xác suất thành công.
13. • Mô hình Bernoulli : + Xét 1 phép thử Bernoulli + Trong đóxác suất thành công là p. + X –số lần xuất hiện thành công trong phép thử. Khi đó X ~ B(1, p). 2) Luật Nhị thức – B(n, p) X ~ B(n, p) nếu kknk− P()Xk== Cpqn , với k= 0,1, , n Ta có EX = np , DX = npq.
14. • Mô hình Nhị thức : + Xét n phép thử Bernoulli. + Trong đóxác suất thành công là p. + Các phép thử độc lập với nhau. ( Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết quả của phép thử kia) + X –số lần xuất hiện thành công trong n phép thử. Khi đó X ~ B(n, p).
15. 3) Luật Poisson – P(λ) X ~ P(λ) nếu λ k e−λ PX()== k k! , với k= 0,1, Định lý Poisson : k −λ kknk− λ e lim Cpqn = n→∞ k! p→0 np→λ
16. Mô hình Poisson : + Xét n phép thử Bernoulli. + Trong đóxác suất thành công là p. + Các phép thử độc lập với nhau. (Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết quả của các phép thử kia) + X –số lần xuất hiện thành công trong n phép thử. + Trong đó n lớn ( n ≥ 100) và p nhỏ (p ≤ 0,01 và np ≤ 20). Khi đó X ~ P(λ).
17. 4) Luật chuẩn (Luật Gauss) – N(μ, σ2 ) X ~ N(μ, σ2 ) nếu X có hàm mật độ 1 −(x−μ)2 fx()= e , với x ∈R σπ2 Luật chuẩn tắc – N(0, 1) Khi μ = 0, σ2 =1 ta có luật N(0, 1), và ký hiệu hàm mật độ là 1 −x2 ϕ()x = e , với x ∈R 2π
18. Hàm phân phối x Φ=()xtdt∫ ϕ () , với x ∈R −∞ Nếu Z ∼ N(0, 1), ta có P( a < Z < b) = Φ(b) - Φ(a) Công thức chuyển đổi : Cho X ~ N(μ, σ2 ) khi đó ⎛⎞⎛⎞ba−−μ μ Pa()<<=Φ X b ⎜⎟⎜⎟ −Φ ⎝⎠⎝⎠σσ
19. X − μ Đặt X ′ = , khi đó X’ được gọi là biến ngẫu σ nhiên chuẩn hóa từ X hay là thu gọn, qui tâm từ X, ta có EX’ = 0, DX’ = 1.