Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 3: Các công thức tính xác suất

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 3: Các công thức tính xác suất

1. Chương 3: CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
2. 1. Công thức cộng xác suất : a. A và B bất kỳ P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) b. A, B và C bất kỳ P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC) Ví dụ : Tung 2 đồng xu. Tính xác suất có ít nhất một sấp. Ω = { SS, NN, SN, NS} A = { Đồng xu 1 sấp} = {SS, SN} B = { Đồng xu 2 sấp}= {SS, NS} P(có ít nhất một sấp) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 2/4 +2/4 –1/4 =3/4.
3. 2. Xác suất có điều kiện : Xác suất của A với điều kiện B xảy ra được định nghĩa như sau : PAB() PA(/) B= PB() Ví dụ : Tung 2 súc sắc. [Ω]= 36. A = {Súc sắc 1 có 1 điểm} B = {Súc sắc 2 có điểm ≥ điểm của súc sắc 1 } []AB PAB()[]Ω 5/36 PA(/) B===5/15 PB()[]B 15/36 []Ω
4. 3. Công thức nhân xác suất : Từ định nghĩa xác suất có điều kiện ta có: P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) Các sự kiện độc lập : • Sự kiện A và B được gọi là độc lập nếu P(AB) = P(A) P(B) • Sự kiện A, B và C được gọi là độc lập nếu P(AB) = P(A) P(B) P(AC) = P(A) P(C) P(BC) = P(B) P(C) và P(ABC) = P(A) P(B) P(C)
5. Ví dụ : Tung 2 đồng xu. Xét 2 sự kiện A = {Đồng xu 1 sấp} B = { Đồng xu 2 sấp} A và B độc lập vì P(AB)=1/4 = 1/2 .1/2 = P(A) P(B) • Các A1, , An là độc lập toàn bộ nếu mỗi sự kiện độc lập với tích bất kỳ của các sự kiện còn lại. Ví dụ : Tung 2 đồng xu. Xét A = {Có 1 sấp} = {SN, NS} B = { Có 2 sấp} = {SS} P(AB) = 0 ≠ 2/4 . 1/4 = P(A) P(B). Vậy A và B không độc lập.
6. 4. Công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes : • Xét KGSKSC Ω, trong đó có nhóm đầy đủ A1, ,An và sự kiện A. Khi đó A =++AA1 AAn PA()=+ PA ()(/11 PA A ) (+ PAnn )(/ PA A ) n = ∑ PAPA (ii ) ( / A ) i=1 • Công thức Bayes P()(/)APAAjj PA(/)j A==n ,j 1, , n ∑ PA()(/)ii PA A i=1
7. Ví dụ : Có 10 thăm, trong đócó4 thăm có thưởng. Sinh viên A bắt đầu tiên, B bắt sau. a) Hỏi có công bằng không ? b) Nếu B được thưởng, tính xác suất A được thưởng. Giải : a) A = { Sinh viên A được thưởng } A = { Sinh viên A không được thưởng } B = { Sinh viên B được thưởng } Ta có A vàA là nhóm đầy đủ. Theo công thức xác suất toàn phần. P(B) = P(A) P(B/A) + P( A ) P(B/ A ) = 4/10 . 3/9 + 6/10 . 4/9 = 4/10 = P(A) Vậy công bằng.
8. b) Theo công thức Bayes PAPB()( / A ) 4/10.3/9 PA(/) B===3/9 PB() 4/10