Bài giảng Lý thuyết trường điện từ và siêu cao tần - Ngô Đức Thiện

157 trang ngocly 620

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết trường điện từ và siêu cao tần - Ngô Đức Thiện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_truong_dien_tu_va_sieu_cao_tan_ngo_duc_t.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết trường điện từ và siêu cao tần - Ngô Đức Thiện

häc viÖn c«ng nghÖ b−u chÝnh viÔn th«ng Bμi gi¶ng Lý THUYÕT TR−êng ®iÖn tõ vμ siªu cao tÇn Chủ biên: Ng« §øc ThiÖn Hµ Néi 2009
LỜI MỞ ĐẦU Học phần Lý thuyết trường điện từ và Siêu cao tần thuộc phần kiến thức cơ sở cho các chuyên ngành điện – điện tử, viễn thông. Học phần này có mục đích nêu những khái niệm cơ bản chung liên quan đến trường điện từ, xây dựng những phương pháp khảo sát tương tác trường – chất. Trình bày các định luật, các nguyên lý cơ bản của trường điện từ, cùng các quy luật và tính chất lan truyền của sóng điện từ trong chân không, trong không gian vô hạn và các quá trình lan truyền sóng siêu cao tần trong các loại đường truyền dẫn phổ biến. Mô tả các quá trình dao động điện từ ở dải siêu cao tần trong các mạch dao động cộng hưởng khác nhau. Nghiên cứu nguyên lý các mạng nhiều cực siêu cao tần và các linh kiện điện tử và bán dẫn siêu cao tần. Cuốn bài giảng “Lý thuyết trường điện từ và Siêu cao tần” bao gồm 6 chương, trong đó 3 chương đầu là các nội dung về Lý thuyết trường điện từ: Chương 1: Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ. Chương này đưa ra các thông số cơ bản đặc trưng cho trường điện từ và môi trường chất, các định luật, hệ phương trình Maxwell, các đặc điểm và phương trình của trường điện từ tĩnh và trường điện từ dừng. Chương 2: Bức xạ sóng điện từ. Chương này trình bày nghiệm của hệ phương trình Maxwell, nghiệm của phương trình thế, và bức xạ sóng điện từ của dipol điện. Chương 3: Sóng điện từ phẳng. Chương này khảo sát quá trình lan truyền của sóng điện từ phẳng trong các môi trường đồng nhất đẳng hướng và môi trường không đẳng hướng, sự phân cực của sóng điện từ, hiện tượng phản xạ và khúc xạ sóng điện từ Ba chương tiếp theo là các nội dung về kỹ thuật siêu cao tần, bao gồm: Chương 4: Sóng điện từ trong các hệ định hướng. Chương này trình bày các hệ định hướng sóng điện từ như dây song hành, cáp đồng trục, ống dẫn sóng Chương 5: Hộp cộng hưởng. Trình bày khái niệm về hộp cộng hưởng, các loại hệ số phẩm chất, các hộp cộng hưởng đơn giản và phức tạp, kích thích năng lượng và điều chỉnh tần số cộng hưởng. Chương 6: Mạng nhiều cực siêu cao tần. Chương này tập trung vào các vấn đền về mạng 2n cực siêu cao tần, các mạng 2 cực, 4 cực, 6 cực. Vấn đề phối hợp trở kháng ở mạch siêu cao tần. Trong quá trình biên soạn bài giảng này không thể tránh được những sai sót, tác giả rất mong nhận được các ý kiến góp ý của bạn đọc. Hà nội, tháng 12 năm 2009 3
MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 3 MỤC LỤC 4 CHƯƠNG 1. CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 8 1.1. Các đại lượng đặc trưng cơ bản cho trường điện từ 8 1.1.1. Vec tơ cường độ điện trường E 8 1.1.2. Vec tơ điện cảm D 8 1.1.3. Vectơ cường độ từ cảm B 9 1.1.4. Vec tơ cường độ từ trường H 9 1.1.5. Vectơ cường độ từ trường H . 10 1.2. Định luận bảo toàn điện tích và định luật Ohm. 10 1.2.1. Định nghĩa dòng điện 10 1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích 11 1.2.3. Định luật Ohm 12 1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường 13 1.4. Các phương trình Maxwell 13 1.4.1. Đinh luật dòng điện toàn phần 13 1.4.2. Khái niệm về dòng điện dịch 14 1.4.3. Phương trình Maxwell thứ nhất 14 1.4.4. Phương trình Maxwell thứ hai. 15 1.4.5. Phương trình Maxwell thứ ba và thứ tư 15 1.5. Điều kiện bờ đối với các vec tơ của trường điện từ 16 1.6. Năng lượng của trường điện từ - Định lý Poynting 17 1.7. Định lý nghiệm duy nhất 20 1.8. Trường tĩnh điện 20 1.8.1. Thế vô hướng của trường điện từ tĩnh 21 1.8.2. Phương trình Poisson – Laplace 22 1.9. Từ trường của dòng điện không đổi 22 1.9.1. Điện trường dừng 23 1.9.2. Từ trường dừng 23 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 24 CHƯƠNG 2. BỨC XẠ SÓNG ĐIỆN TỪ 26 2.1. Nghiệm của hệ phương trình Maxwell – Hàm thế 26 4
2.2. Nghiệm của các phương trình thế - thế chậm 27 2.3. Bức xạ của Dipol điện 28 2.3.1. Tìm nghiệm tổng quát 28 2.3.2. Trường hợp dòng điện biến đổi điều hòa theo thời gian. 30 2.3.3. Trường bức xạ ở khu gần 31 2.3.4. Trường bức xạ ở khu xa 32 2.3.5. Nhận xét về trường bức xạ 32 2.4. Trường điện từ của lưỡng cực từ 34 2.4.1. Lưỡng cực từ 34 2.4.2. Trường điện từ của vòng dây 35 2.5. Trường bức xạ của hệ thống anten 37 2.5.1. Trường bức xạ của anten nửa sóng 38 2.5.2. Trường bức xạ của hai anten nửa sóng đặt song song cách nhau một khoảng cách d. 39 2.5.3. Trường bức xạ của dàn anten 42 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 44 CHƯƠNG 3. SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG 45 3.1. Khái niệm về sóng điện từ phẳng 45 3.2. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng 45 3.3. Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất, đẳng hướng 47 3.3.1. Trong môi trường điện môi lý tưởng 47 3.3.2. Sóng điện từ phẳng trong vật dẫn tốt 49 3.3.3. Sóng điện từ phẳng trong môi trường bán dẫn 50 3.4. Hiệu ứng bề mặt 51 3.5. Sự phân cực của sóng điện từ. 52 3.5.1. Phân cực Elip 52 3.5.2. Phân cực tròn 53 3.5.3. Phân cực thẳng 54 3.6. Sự phản xạ và khúc xạ sóng điện từ 55 3.6.1. Sóng tới phân cực ngang 55 3.6.2. Sóng tới phân cực đứng 58 3.7. Điều kiện bờ gần đúng Leontovic 59 3.8. Sóng phẳng trong môi trường không đẳng hướng 59 3.9. Nguyên lý Hughen – Kirchoff 61 3.10. Nguyên lý dòng tương đương 62 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 64 CHƯƠNG 4. SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG CÁC HỆ ĐỊNH HƯỚNG 65 5
4.1. Khái niệm về mạch siêu cao tần 65 4.2. Khái niệm về sóng điện từ định hướng và các hệ định hướng 66 4.3. Ống dẫn sóng chữ nhật 67 4.3.1. Trường điện ngang 70 4.3.2. Trường từ ngang 73 4.4. Ống dẫn sóng trụ tròn 75 4.4.1. Trường điện ngang 75 4.4.2. Trường từ ngang 78 4.5. Cáp đồng trục 80 4.6. Đường dây song hành 82 4.7. Mạch dải 84 4.8. Ống dẫn sóng điện môi 84 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 4 85 CHƯƠNG 5. HỘP CỘNG HƯỞNG 86 5.1. Độ phẩm chất của hộp công hưởng 87 5.1.1. Khái niệm chung 87 5.1.2. Các loại độ phẩm chất 88 5.2. Các hộp cộng hưởng đơn giản 89 5.2.1. Hộp cộng hưởng chữ nhật 89 5.2.2. Hộp cộng hưởng trụ tròn 92 5.3. Các hộp cộng hưởng phức tạp 94 5.3.1. Hộp cộng hưởng đồng trục có khe 94 5.3.2. Hộp cộng hưởng hình xuyến 96 5.4. Điều chỉnh tần số cộng hưởng của hộp cộng hưởng 98 5.5. Kích thích và ghép năng lượng trong ống dẫn sóng và hộp cộng hưởng 99 5.5.1. Phần tử kích thích dạng điện 100 5.5.2. Phần tử kích thích dạng từ 100 5.5.3. Phần tử kích thích dạng nhiễu xạ 100 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 101 CHƯƠNG 6. MẠNG NHIỀU CỰC SIÊU CAO TẦN 102 6.1. Mạng nhiều cực siêu cao tần 102 6.1.1. Khái niệm 102 6.1.2. Công suất phức 103 6.1.3. Sóng chuẩn hóa 104 6.2. Ma trận sóng của mạng nhiều cực siêu cao 106 6.2.1. Ma trận tán xạ 106 6
6.2.2. Ma trận truyền 109 6.2.3. Ma trận trở kháng và ma trận dẫn nạp 110 6.2.4. Mối quan hệ giữa các ma trận sóng 112 6.3. Mạng 2 cực 113 6.3.1. Hệ số phản xạ và trở kháng chuẩn hóa 113 6.3.2. Một ví dụ về mạng 2 cực 114 6.4. Mạng 4 cực 115 6.4.1. Ma trận sóng 115 6.4.2. Mạng 4 cực không tổn hao 117 6.4.3. Biến thế lý tưởng 119 6.4.4. Trở kháng mắc song song 121 6.4.5. Dẫn nạp mắc nối tiếp 121 6.4.6. Mắt xích dạng T các trở kháng chuẩn hóa 122 6.4.7. Mắt xích dạng Π 123 6.5. Ứng dụng mạng 4 cực 124 6.5.1. Các loại chuyển tiếp 124 6.5.2. Các bộ suy giảm 126 6.5.3. Các bộ quay pha 128 6.6. Mạng 6 cực 128 6.7. Các bộ ghép định hướng 131 6.8. Các bộ cầu siêu cao 134 6.8.1. Cầu T - kép 134 6.8.2. Cầu vòng 136 6.9. Các phần tử siêu cao tần có ferít 137 6.9.1. Tính chất của ferít bị từ hóa 137 6.9.2. Các phần tử có ferít trong ống dẫn sóng chữ nhật 140 6.9.3. Các phần tử có ferít trong ống dẫn sóng tròn. 143 6.9.4. Một số ứng dụng của các phần tử siêu cao có ferít 145 6.10. Phối hợp trở kháng ở siêu cao tần 147 6.10.1. Ý nghĩa của việc phối hợp trở kháng 147 6.10.2. Các phương pháp phối hợp trở kháng 148 6.10.3. Giản đồ Smith 149 6.10.4. Các ứng dụng của giản đồ Smith 152 6.11. Bộ lọc siêu cao tần 154 PHỤ LỤC 1: BẢNG CÁC KÝ HIỆU CHỮ CÁI HY LẠP 155 PHỤ LỤC 2: CÁC CÔNG THỨC VÀ ĐỊNH LÝ GIẢI TÍCH VECTƠ 156 TÀI LIỆU THAM KHẢO 157 7
CHƯƠNG 1. CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1. Các đại lượng đặc trưng cơ bản cho trường điện từ 1.1.1. Vec tơ cường độ điện trường E Khi một điện tích thử q đặt cố định tại điểm M trong một hệ quy chiếu quán tính, chịu một tác dụng FE , người ta nói rằng tại lân cận điểm M có một điện trường. Để đo lực tác động về điện tại M người ta dùng véc tơ trạng thái gọi là cường độ điện trường, ký hiệu E F E = E (1.1) q []F N Nm V []E === []qCCmm M FE q Hình 1.1. Lực điện trường tác động lên điện tích 1.1.2. Vec tơ điện cảm D Chất điện môi được hiểu là những môi trường chỉ tồn tại các hạt mang điện ràng buộc, khi đặt điện môi vào điện trường E , các điện tích rằng buộc tiếp nhận năng lượng điện trường dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng. Tâm quỹ đạo điện tử bị kéo ra xa những nút có điện tích dương một đoạn l nào đó và hình thành các lưỡng cực điện. Đây là hiện tượng phân cực điện của điện môi. Trạng thái phân cực điện của điện môi phụ thuộc vào q và l , và có thể đo trạng thái đó bằng mômen điện của lưỡng cực: pql= . (1.2) Nếu số lưỡng cực trung bình cho một đơn vị thể tích là N , thì mômen điện tổng của chúng, gọi là vec tơ phân cực điện, ký hiệu là P : P ==Np Nql (1.3) Trong môi trường tuyến tính l tỷ lệ với E , nên P tỷ lệ với điện trường E . Pk= pε0 E (1.4) 8
Trong đó: k p là hệ số phân cực điện. 1 ε = 10−9 F là hằng số điện môi. 0 36π ( m) Điện trường trong điện môi được đặc trưng bởi vectơ D có dạng sau: D =+=+ε 000EP(1 kprr)εεεε E = E = E (1.5) Trong đó: ε rp=+1 k là hệ số điện môi tương đối. ε = εεr 0 là hệ số điện môi tuyệt đối. C Đơn vị của []D = . m2 1.1.3. Vectơ cường độ từ cảm B Một điện tích thử q chuyển động với vận tốc v trong một hệ quy chiếu quán tính nếu chịu một lực tác động FM (phân biệt với lực điện FE ), thì người ta nói tại lân cận q tồn tại một từ trường. Vectơ cường độ từ cảm B đặc trưng cho lực tác dụng của từ trường lên điện tích chuyển động hay dòng điện theo đinh luật Loren sau: F qv⎡ B⎤ (1.6) M = ⎣ × ⎦ F M q B v Hình 1.2. Lực từ trường tác động lên điện tích. Đơn vị của ⎣⎦⎡⎤BT= (Tesla) 1.1.4. Vec tơ cường độ từ trường H Trong nhiều chất từ môi được hiểu là những môi trường có các dòng phân tử ràng buộc, dưới tác dụng của từ trường với từ cảm B , các spin và dòng phân tử giống như những nam châm nhỏ thường bị xoay trục ít nhiều theo chiều của B và hình thành các cực từ nhỏ. Đó là hiện tương phân cực từ. Mômen của một cực từ được tính như sau: 9
mi.S= Mômen tổng hay mômen phân cực từ của từ môi: M = Nm Với N là số cực từ. m S i Hình 1.3. Mô men phân cực từ 1.1.5. Vectơ cường độ từ trường H . Ta có quan hệ giữa cường độ từ cảm và cường độ từ trường và mômen phân cực từ như sau: BHM= μ0 + (1.7) Trong đa số chất từ môi khi cường độ từ trường không quá mạnh, thì M tỷ kệ với cường độ từ trường H : M = kHmμ0 với km là hệ số phân cực từ. Ta có: BkHHH=+(1 mr) μ00 =μμ = μ (1.8) Trong đó: μπ= 410. −7 H là độ từ thẩm trong chân không. 0 ( m) μrm=+1 k là độ từ thẩm tương đối. μ = μμr 0 là độ từ thẩm tuyệt đối ⎛⎞A Đơn vị của []H = ⎜⎟. ⎝⎠m 34 Đối với một số chất như sắt, vật liệu sắt từ thì μr =÷10 10 1.2. Định luận bảo toàn điện tích và định luật Ohm. 1.2.1. Định nghĩa dòng điện Xét một thể tích V được giới hạn bởi một mặt kín S . Giả sử lượng điện tích Q nằm trong thể tính này giảm theo thời gian, nếu thừa nhận điện tích không tự biến mất thì điện tích đã chảy ra khỏi thể tích đó (qua mặt S ). Ngược lại, sự tăng điện tích trong thể tích đang xét theo thời gian chỉ có thể xảy ra do điện tích chảy từ ngoài vào, qua 10
mặt S . Sự chuyển dịch của điện tích qua S đã tạo ra dòng điện được xác định bằng tốc độ biến thiên của điện tích Q trong thể tích giới hạn bởi mặt S , lấy với dấu âm. dQ I =− (1.9) dt Như vậy dòng điện sẽ dương trong trường hợp điện tích Q trong thể tích V giảm theo thời gian, do các điện tích chảy ra ngoài và ngược lại. Căn cứ (1.9) có thể định nghĩa dòng điện theo cách đơn giản: Dòng điện có giá trị bằng lượng điện tích chảy qua mặt S trong một đơn vị thời gian. Để mô tả đầy đủ hơn sự chuyển động có hướng của các hạt mang điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện J với định nghĩa: Mật độ dòng điện dẫn là một đại lượng vectơ, có hướng trùng với hướng chuyển động của điện tích tại điểm đang xét, còn độ lớn bằng lượng điện tích chảy qua một đơn vị bề mặt đặt vuông góc với hướng chuyển động, trong một đơn vị thời gian. Quan hệ giữa I và J như sau: IJds= ∫ (1.10) S 1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích Về thực chất, biểu thức (1.9) là định luật bảo toàn điện tích dạng vi phân, nó liên hệ giữa thông lượng của vectơ mật độ dòng điện qua mặt kín với sự biến đổi của điện tích trong thể tích giới hạn bởi mặt ấy. Thay I từ biểu thức (1.10) vào (1.9) và thay Q trong (1.9) bởi: Qdv= ∫ ρ V trong đó ρ là mật độ điện tích trong thể tích. Ta nhận được: ddρ ∫∫∫JdS=−ρ dV =− dV (1.11) SVVdt dt Áp dụng phép biến đổi Gauss cho vế trái của (1.11) ta có: ∂ρ ∫ divJdV = − ∫ dV V V ∂t Từ đây suy ra: ∂ρ divJ =− (1.12) ∂t Biểu thức (1.12) là biểu thức vi phân của định luật bảo toàn điện tích. 11
1.2.3. Định luật Ohm Là định luật liên hệ giữa mật độ dòng điện trong môi trường dẫn điện với cường độ điện trường. Biểu thức toán học của định luật có dạng: J = σ E (1.13) σ là hệ số phụ thuộc vào tính dẫn điện của môi trường, được gọi là điện dẫn suất (hay độ dẫn điện). Biểu thức (1.13) là công thức của định luật Ohm dạng vi phân. Bây giờ xét định luật Ohm dạng tích phân cho đoạn dây có dòng điện. E 1 2 J l Hình 1.4. Định luật Ohm cho đoạn dây J Từ (1.13) suy ra: E = (1.14) σ Nhân hai vế của (1.14) với dl ta có: Jdl dl Edl== J σ σ Nhân S với tử số và mẫu số vế phải của biểu thức trên, sau đó lấy tích phân theo chiều dài cả hai vế ta được: ll Sdl ∫∫Edl= J 00σ S Giả sử J phân bố đều trên tiết diện, ta có: JSI= , do đó: ll dl ∫∫Edl= I (1.15) 00σ S Vế trái của (1.15) chính là hiệu điện thế tại hai đầu đoạn l . l Edl= U− U ∫ 12 0 Còn tích phân vế phải chính bằng điện trở của đoạn dây: l dl R = ∫ σ S 0 Cuối cùng ta viết được định luật Ohm cho đoạn dây: UU− = IR 12 12
1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường Đặc tính của môi trường vật chất được thể hiện qua các tham số điện và từ của nó: + Hệ số điện môi tuyệt đối ε (F/m). + Hệ số điện môi tương đối εr (không thứ nguyên) + Độ từ thẩm tuyệt đối μ (H/m) + Độ từ thẩm tương đối μr (không thứ nguyên) + Độ dẫn điện σ (S/m) Dựa trên các tham số điện và từ, người ta chia vật chất (môi trường điện từ) ra thành các loại sau: + Môi trường tuyến tính: các tham số ε, μ, và σ không phụ thuộc cường độ trường. Khi đó, các phương trình liên hệ là tuyến tính. + Môi trường đồng nhất và đẳng hướng: các tham số điện và từ là hằng số. Trong môi trường này, các vectơ của cùng một phương trình liên hệ song song với nhau. + Nếu các tham số điện từ theo các hướng khác nhau có các giá trị không đổi khác nhau thì được gọi là không đẳng hướng. + Môi trường có các đại lượng điện từ là các hàm của tọa độ được gọi là môi trường không đồng nhất. Trong tự nhiên, hầu hết các chất có hệ số điện môi tương đối lớn hơn 1 và là môi trường tuyến tính. Môi trường có độ từ thẩm tương đối lớn hơn 1 gọi là chất thuận từ, còn nếu nhỏ hơn 1 gọi là chất nghịch từ. Chất dẫn điện là chất có σ > 104 (S/m) . Chất bán dẫn là chất có 10410>>σ 10− (S/m) Chất cách điện là chất có σ < 10−10 (S/m) Điện môi lý tưởng có σ = 0 , còn vật dẫn lý tưởng có σ = ∞ . 1.4. Các phương trình Maxwell 1.4.1. Đinh luật dòng điện toàn phần Định luật dòng điện toàn phần của nhà bác học Ampe người Pháp được phát biểu như sau: Lưu thông của vectơ cường độ từ trường H dọc theo một đường cong kín bất kỳ bằng tổng đại số các dòng điện chảy qua diện tích bao bởi đường cong này. Biểu thức toán học của định luật dòng điện toàn phần có dạng: n Hdl= I (1.16) ∫ ∑ k L k=1 13
J I dS L dl Hình 1.5. Lưu thông của cường độ từ trường qua đường cong kín Nếu dòng điện chảy qua mặt S phân bố đều liên tục với mật độ J thì định luật dòng điện toàn phần được viết dưới dạng sau: ∫ Hdl= ∫ JdS (1.17) LS 1.4.2. Khái niệm về dòng điện dịch Khi nghiên cứu định luật cảm ứng điện từ của Farađây và định luật dòng điện toàn phần của Ampe nhà vật lý người Anh Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ giữa điện trường và từ trường với việc dẫn ra khái niệm mới về dòng điện là dòng điện dịch. Theo Maxwell dòng điện dịch có mật độ được xác định bằng biểu thức: ∂D ∂E J ==ε (1.18) dc ∂tt∂ Theo Maxwell mật độ dòng điện toàn phần gồm hai số hạng: mật độ dòng điện điện dẫn J (tỷ lệ với cường độ điện trường) và mật độ dòng điện dịch tỷ lệ với biến thiên của cường độ điện trường theo thời gian. JΣ =+JJdc (1.19) 1.4.3. Phương trình Maxwell thứ nhất Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của biểu thức định luật dòng điện toàn phần cùng với dòng điện dẫn Maxwell xây dựng được phương trình thứ nhất dạng tích phân như sau: ∂D ∫∫∫Hdl=+ JdS dS (1.20) LSS∂t Phương trình (1.20) mô tả quan hệ giữa các vectơ của trường ( H và D ) trong một vòng bất kỳ và các dòng điện (dòng dẫn và dòng dịch) chảy qua nó. Phương trình Maxwell dạng vi phân có dạng như sau: ∂D rotH=+ J =+ J J (1.21) ∂t dc 14
Với điện môi lý tưởng và chân không thì JE= σ = 0 nên (1.21) có dạng: ∂E rotH==ε J (1.22) ∂t dc Phương trình (1.21) cho thấy vai trò của dòng điện dịch và dòng điện dẫn là như nhau trong quá trình tạo ra từ trường xoáy. 1.4.4. Phương trình Maxwell thứ hai. Maxwell cho rằng biểu thức của định luật cảm ứng điện từ áp dụng không chỉ cho một vòng dây dẫn điện kín mà còn đúng cho một vòng kín nào đó (không nhất thiết là dẫn điện) trong không gian. Trong trường hợp tổng quát vòng kín này có thể một phần nằm trong chân không, phần khác nằm trong điện môi hay trong kim loại. Phương trình Maxwell thứ hai dạng tích phân như sau: ∂B ∫∫Edl=− dS (1.23) LS∂t Áp dụng phép biến đổi Green-Stoke cho vế trái của (1.23) ta nhận được phương trình Maxwell thứ hai dạng vi phân: ∂B rotE =− (1.24) ∂t Phương trình (1.24) cho thấy từ trường biến thiên sẽ sinh ra điện trường xoáy. Từ hai phương trình (1.22) và (1.24) cho thấy điện trường và từ trường có tác dụng tương hỗ lẫn nhau. Điện trường biến thiên tạo ra dòng điện dịch và từ trường biến thiên, đồng thời từ trường biến thiên lại tạo ra điện trường biến thiên. 1.4.5. Phương trình Maxwell thứ ba và thứ tư. Phương trình Maxwell thứ ba và thứ tư được dẫn ra từ định luật Gauss đối với điện trường và từ trường. Dạng tích phân của hai phương trình này như sau: ∫∫DdS= ρ dV= Q (1.25) SV ∫ BdS = 0 (1.26) S Áp dụng phép biến đổi Gauss cho vế trái của hai phương trình trên ta được: ∫ divDdV= ∫ ρ dV VV ∫ divBdV = 0 V Vì thể tích V là tùy ý nên nhận được các phương trình Maxwell dạng vi phân: divD = ρ (1.27) 15
divB = 0 (1.28) Hệ thống các phương trình Maxwell theo hai dạng vi phân và tích phân như sau: Dạng vi phân: ∂D rotH=+ J ∂t ∂B rotE =− (1.29) ∂t divD = ρ divB = 0 Dạng tích phân: ∂D Hdl=+ JdS dS ∫∫∫∂t LSS ∂B ∫∫Edl=− dS LS∂t (1.30) ∫∫DdS==ρ dV Q SV ∫ BdS = 0 S 1.5. Điều kiện bờ đối với các vec tơ của trường điện từ Điều kiện bờ đối với các vectơ của trường điện từ là hệ thức giữa các thành phần của các vectơ trường điện từ ở hai bên, sát mặt giới hạn phân cách hai môi trường khác nhau. Điều kiện bờ có tầm quan trọng trong cả nghiên cứu lý thuyết lẫn tìm nghiệm các bài toán điện từ trong thực tiễn. Trong mục này, chúng ta sẽ đi tìm quan hệ của cùng các vectơ E, D, B, H ở hai bên của mặt phân cách hai môi trường khác nhau. Giả sử có hai môi trường được phân cách nhau bằng mặt giới hạn S nào đó. Các tham số điện và từ của hai môi trường tương ứng là: ε11122,,,,,μσε μσ 2 và E,D,B,H1111 E,D,B,H2222. Điều kiện bờ với thành phần tiếp tuyến. Phát biểu 1 [2]: Nếu trên bờ tiếp giáp hai môi trường, một vectơ F thỏa mãn phương trình rotF = hữu hạn, thì các thành phần tiếp tuyến phải chuyển tiếp liên tục. F12tt(SFS) = ( ) (1.31) Hệ luận. Từ (1.31) suy ra trường hợp đặc biệt, khi trên bờ S thành phần tiếp tuyến rott F có dạng phân bố Đi-rắc theo chiều pháp tuyến A.nδ ( ) thì F1t (S ) và F2t (S ) sẽ chuyển tiếp gián đoạn loại 1: 16
F12tt− FA= (1.32) Ta có điều kiện bờ đối với thành phần tiếp tuyến của điện trường và từ trường như sau: a) Với vectơ từ trường: HH12ttS−= J với J S là mật độ dòng điện mặt. * Khi cả hai môi trường là điện môi thì J S = 0, ta có: HH12tt= * Khi môi trường (I) là điện môi, môi trường (II) là vật dẫn lý tưởng thì: HJ1tS= , H 2t = 0 . b) Với vectơ điện trường: EE12tt= Đúng cho mọi trường hợp tổng quát với hai môi trường có tham số tùy ý. * Khi môi trường II là dẫn điện lý tưởng thì: E12 = 0 , do đó: EE12tt==0 Điều kiện bờ với thành phần pháp tuyến. Phát biểu 2 [2]: Nếu trên bờ tiếp giáp hai môi trường, một vectơ F thỏa mãn phương trình divF = hữu hạn, thì các thành phần pháp tuyến phải chuyển tiếp liên tục. F12nn(SFS) = ( ) (1.33) Hệ luận. Từ (1.33) suy ra trường hợp đặc biệt, khi trên bờ S divF có dạng phân bố Đi-rắc theo bề dầy thì Fn sẽ có gián đoạn loại 1: F21nn−=FSn.dnSσ ( )δσ( ) =( ) (1.34) Từ phát biểu 2 và hệ luận ta có thể có điều kiện bờ với thành phần pháp tuyến của vectơ điện trường như sau: DD21nns− = σ (1.35) Trong đó σ S là mật độ điện tích mặt. Biểu thức (1.35) đúng cho trường hợp tổng quát với 2 môi trường có tham số tùy ý. Khi môi trường I là vật dẫn lý tưởng thì ta có: D,D12nns= 0 = σ 1.6. Năng lượng của trường điện từ - Định lý Poynting Định lý Poynting thiết lập mối liên hệ giữa sự thay đổi năng lượng điện từ trong một thể tích V với dòng năng lượng điện từ chảy qua mặt kín S bao quanh thể tích này. Trong một thể tích V tùy ý, trường điện từ sẽ có năng lượng tích tụ bằng: ⎛⎞εμEH22 WdVwwdV=+ =+ (1.36) ∫∫⎜⎟()EH VV⎝⎠22 17
ε E 2 Trong đó: w = là mật độ năng lượng điện trường. E 2 μH 2 w = là mật độ năng lượng từ trường. H 2 Từ các phương trình Maxwell 1 và 2 ta có thể viết lại: ∂E ε =−rotH J (a) ∂t ∂H μ =−rotE (b) ∂t Nhân vô hướng đẳng thức (a) với E và đẳng thức (b) với H rồi cộng vế với vế hai đẳng thức lại ta có: ∂∂EH εμEHErotHHrotEJE+=−− (1.37) ∂∂tt Biến đổi (1.37) ta được: ∂ ⎛⎞εμEH22 ⎜⎟+=−×−div() E H JE (1.38) ∂t ⎝⎠22 Lấy tích phân theo thể tích hai vế phương trình (1.38) ta có: ∂ ⎛⎞εμEH22 −+=×+∫∫∫⎜⎟dV div() E H dV JEdV (1.39) ∂t VVV⎝⎠22 Dùng phép biến đổi Gauss cho tích phân thứ nhất của vế phải (1.39) ta có: ∫ divE( ×=×=Π HdV) ∫∫( E HdS) dS VSS Trong đó: Π=(EH × ) (1.40) gọi là vectơ Poynting (vectơ mật độ công suất của trường điện từ). Cuối cùng ta có: ∂ ⎛⎞εμEH22 −+=Π+∫∫∫⎜⎟dV dS JEdV (1.41) ∂t VSV⎝⎠22 Hay: ∂W −=Π+∫ dS Q (1.42) ∂t S Các biểu thức (1.41) và (1.42) là dạng toán học của định lý Poynting và cũng là định lý về sự bảo toàn năng lượng trong trường điện từ. 18
Trong đó: QJEdV= ∫ là công suất tổn hao dưới dạng nhiệt của dòng điện trong V thể tích V. Theo (1.40) thì năng lượng của trường điện từ ở mỗi E điểm sẽ dịch chuyển theo phương pháp tuyến với mặt phẳng tạo bởi E và H . Π Phương trình (1.42) là biểu thức của định lý Poynting. H Định lý này do hai nhà bác học Poynting (người Anh) và Umôv (người Nga) đưa ra, nên còn gọi là định lý Umôv-Poynting. Dấu (-) ở vế trái của phương trình (1.42) thể hiện sự bảo toàn năng lượng. Khảo sát trường hợp môi trường điện môi lý tưởng ( J = 0 và do đó Q = 0). Xét hai trường hợp sau: Π Π Π Π Π Π ∂W ∂W 0 ∂t ∂t V S kín V S kín Π Π Π Π a) b) Hình 1.6. Thông lượng của Π qua mặt kín S ∂W Trường hợp hình 1.6.a vectơ Π tỏa ra ngoài S nên ∫ ΠdS > 0 và do đó 0 tức là năng lượng trong V tăng dần theo thời gian. ∂t * Vec tơ Poynting trung bình dạng phức: Đối với trường điện từ điều hòa, các đại lượng cơ bản tính trung bình trong một chu kỳ dao động T của trường có ý nghĩa thiết thức vì thế người ta thường biểu diễn một số đại lượng theo dạng phức. Ta có thể viết các đại lượng thực của trường thông qua các đại lượng phức và liên hợp phức của nó như sau: 19
1 * EreE==( EE +) 2 1 * HreHHH== + 2 ( ) Ở đây dấu (*) là đại lượng lấy liên hợp phức. Vectơ Poynting có thể biểu diễn qua đại lượng phức như sau: 1 Π=reE × reH =⎡ E + E × H + H ⎤ ( ) 4 ⎣⎢( ) ( )⎦⎥ Biến đổi phương trình này và lấy tích phân trong 1 chu kỳ T ta có vectơ Poyting trung bình tính như sau: 1 * Π=re⎡ E × H ⎤ tb 2 ⎣ ⎦ 1 * Người ta đưa ra vectơ Poynting dạng phức: Π= ⎡EH × ⎤ từ đó ta có: 2 ⎣ ⎦ Πtb =Πre Bằng cách tương tự người ta biểu diễn các đại lượng trung bình khác như sau: 1 2 W|E|dV= ε Etb ∫ 4 V 1 2 W|H|dV= μ Mtb ∫ 4 V Công suất tiêu tán trung bình 11* 2 PreJEdV|E|dV==σ ttb ∫∫ 22VV 1.7. Định lý nghiệm duy nhất Phát biểu định lý nghiệm duy nhất Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Biết các vectơ cường độ điện trường và từ trường tại thời điểm ban đầu t = 0 ở bất kỳ điểm nào trong vùng không gian khảo sát (đây chính là điều kiện ban đầu). 2. Biết thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ điện trường hoặc thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ từ trường trên mặt giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t < ∞ (đây chính là điều kiện bờ). 1.8. Trường tĩnh điện Các phương trình Maxwell của trường điện từ tĩnh Trường địên từ tĩnh là trường điện từ thỏa mãn hai điều kiện sau: 20
+ Các đại lượng điện và từ không thay đổi theo thời gian, tức là đạo hàm ⎛⎞∂ riêng các đại luợng của trường theo thời gian đều bằng không ⎜⎟= 0 . ⎝⎠∂t + Không có sự chuyển động của các hạt mang điện, nghĩa là mật độ dòng điện luôn bằng không ( J = 0). Từ hai điều kiện này ta sẽ có hệ phương trình Maxwell cho trường điện từ tĩnh như sau: ⎧rotH = 0 ⎪ ⎪rotE = 0 ⎨ (1.43) ⎪divD = ρ ⎪ ⎩divB = 0 Từ (1.43) ta có vài nhận xét: điện trường và từ trường đều có tính chất thế, và chúng không có quan hệ trực tiếp với nhau, tức là điện trường và từ trường độc lập. Ta có thể khảo sát riêng rẽ điện trường và từ trường. Trong tài liệu này chỉ khảo sát điện trường tĩnh, đó là điện trường không thay đổi theo thời gian của các điện tích đứng yên. 1.8.1. Thế vô hướng của trường điện từ tĩnh Ở trường tĩnh công dịch chuyển một điện tích từ điểm nọ đến điểm kia hoàn toàn xác định bởi vị trí 2 điểm mà không phụ thuộc vào đường đi. Điều đó nghĩa là công dịch chuyển một điện tích theo một vòng kín luôn triệt tiêu, điều này thể hiện tính chất thế của trường điện từ tĩnh. Công của lực điện tĩnh khi di chuyển một điện tích q theo một đường cong kín C như sau: A==∫∫ qE.dl q rotE.dl =0 CS Từ đặc điểm này suy ra, nếu chọn một điểm M 0 nào đó làm gốc, thì công dịch chuyển một đơn vị điện tích ( qC=1 ) từ M 0 đến mọi điểm M sẽ có giá trị xác định tùy thuộc vị trí của M . Ta định nghĩa công dịch chuyển điện tích 1C từ M 0 đến M là thế năng (điện thế) ứng với điểm M ( x,y,z) . M ϕϕ()()x,y,z==− M∫ Edl (1.44) M 0 Đại lượng đặc trưng cho vị trí đó được gọi là điện thế ϕ, đơn vị là Volt. Từ (1.44) ta có thể biểu diễn E qua ϕ như sau: 21
∂ϕ Edl=− ∂l Hay: E=− gradϕ =−∇ϕ (1.45) Biểu thức (1.45) thỏa mãn phương trình Maxwell 1: rotE== rotgradϕ 0 Dấu trừ ở (1.45) chỉ là quy ước: chiều của vec tơ cương độ điện trường là chiều giảm của ϕ. 1.8.2. Phương trình Poisson – Laplace Thay phương trình (1.45) vào phương trình Maxwell 4 ta được: divD= ε divE = ρ ⇒−εdivgradϕρ = Nếu miền khảo sát là đồng nhất, hệ số điện môi là hằng số thì ta có: ρ divgradϕϕ= Δ=− (1.46) ε Với Δ là toán tử Laplace. Phương trình (1.46) là phương trình Laplace - Poisson. Phương trình này thể hiện quan hệ giữa điện thế của trường tĩnh điện với phân bố điện tích tạo nên trường tĩnh điện đó. Nếu trong miền khảo sát không có điện tích, phương trình (1.46) trở thành: Δϕ = 0 (1.47) Phương trình (1.47) được gọi là phương trình Laplace. 1.9. Từ trường của dòng điện không đổi Trạng thái riêng thứ hai của trường điện từ là trường do dòng điện không đổi tạo ra. Đây là trạng thái dừng của trường điện từ. Trường điện từ dừng là trường gắn với phân bố dòng dẫn J không đổi theo thời gian ( J = const ). Do đó các đại lượng của ⎛⎞∂ trường cũng không đổi theo thời gian ⎜⎟= 0 . Hệ phương trình Maxwell của trường ⎝⎠∂t điện từ dừng là: ⎧rotH= J ⎪ ⎪rotE = 0 ⎨ (1.48) ⎪divD = 0 ⎪ ⎩divB = 0 Với BH;DE;JE===μ εσ. 22
1.9.1. Điện trường dừng Trong vật dẫn không tồn tại điện trường tĩnh, nếu bỏ qua hiện tượng phân cực, coi ε = 0 ta có D = 0 và nếu bỏ qua hiện tượng dẫn trong điện môi ε ≠ 0, tức là coi σ = 0 , có thể tách ra hai vùng: Vật dẫn có phân bố dòng điện dẫn J và vùng điện môi quanh đó có phân bố D và E . Do đó ta có các phương trình sau: Vật dẫn: rotE = 0 ; divJ = 0 ; J = σ E Điện môi: rotE = 0 ; divD = 0 ; D = ε E Khái niệm về điện thế và phương trình quan hệ giữa điện thế ϕ với E tương tự như trường điện từ tĩnh, ta có: E=− gradϕ Thay phương trình này vào các phương trình divJ = 0 và divD = 0 đối với cả hai vùng đều có chung một phương trình Laplace cho điện thế vô hướng ϕ , nó mô tả đủ điện trường dừng: divgradϕ = Δ=ϕ 0 (1.49) 1.9.2. Từ trường dừng Từ phương trình rotH=≠ J 0 ta thấy từ trường dừng có tính chất xoáy, do đó không thể xây dựng hàm thế vô hướng được. Chú ý rằng ở mọi vùng, J có triệt tiêu hay không thì cường độ từ cảm B luôn chảy liên tục: divB = 0 So sánh biểu thức này với hằng đẳng thức div rotAM = 0, nên có thể đo từ trường bằng một hàm thế AM , gọi là thế vectơ. B= rotAM (1.50) Thay (1.50) vào phương trình thứ nhất của hệ (1.48), ta nhận được: Δ AM = −μJ (1.51) Đây là phương trình Poisson cho AM . Nghiệm của phương trình (1.51) có dạng sau: μ J A = dV M ∫ 4π V r Trong đó: r là khoảng cách từ điểm đang xét M đến nguyên tố nguồn JdV trong thể tích V của dây dẫn. 23
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1-1. Giữa hai bản cực của một tụ điện phẳng đặt cách nhau theo chiều x , có phân bố hàm thế ϕ =+ax2 bx . Hãy tìm sự phân bố cường độ trường E , D , phân bố điện tích ρ và xem trường có tính chất gì? 1-2. Một quả cầu vật chất bán kính a có hằng số điện môi tuyệt đối ε đặt trong không khí. Một điện lượng Q phân bố đều trong thể tích quả cầu. Hãy tìm cường độ điện trường E ở trong và ngoài mặt cầu. 1-3. Tìm cường độ điện trường E và điện thế ϕE tại một điểm cách một sợi chỉ mảnh một khoảng cách R , sợi chỉ dài vô hạn đặt trong không khí và tích điện đều với mật độ điện tích dài là ρl . 1-4. Tính cường độ điện trường E và thế ϕE của hai sợi chỉ mảnh dài vô hạn đặt song song cách nhau một khoảng cách d trong không khí. Mỗi sợi chỉ tích điện với mật độ điện tích dài là +ρl và −ρl . 1-5. Đặt một hệ ba điện tích điểm −qq,/2,/2++ q trên 3 đỉnh của một tam giác đều như hình C1-1. Hãy tìm điện thế vô hướng ϕE và cường độ điện trường E ở trọng tâm tam giác (điểm 0). Cho biết cạnh tam giác là a. 1-6. Cho hai dây dẫn điện mảnh đặt song song và tích điện trái dấu với cùng một mật độ điện tích tính theo chiều dài là ±ρl (Hình C1-2). Khoảng cách giữa hai dây là d . Hãy tính a) U , điện thế ϕ tại mặt phẳng trung trực? M12M E b) Tìm cường độ điện trường E tại một điểm nằm trên mặt phẳng trung trực? E cực đại tại vị trí nào trên mặt phẳng trung trực? 24
1-7. Trên mặt một dây điện hình trụ tròn có chiều dài l, thành phần dọc trục của i i cường độ điện trường bằng E = , cường độ từ trường bằng H = , trong đó z0 Sσ α 0 2π a i, S, σ, a, l là dòng điện, tiết diện, độ dẫn điện, bán kính của dây và chiều dài của dây. Hãy tìm vectơ Poyntinh chảy vào dây, công suất điện đưa vào dây (tổn hao) và điện trở của đoạn dây đó. 1-8. Một cáp đồng trục có các bán kính lõi và vỏ tương ứng a,a12; trong đó phân E H bố một điện trường xuyên trục E = 0 và một từ trường phương vị H = 0 . Tính r r α r công suất truyền dọc cáp? 25
CHƯƠNG 2. BỨC XẠ SÓNG ĐIỆN TỪ 2.1. Nghiệm của hệ phương trình Maxwell – Hàm thế Giả sử trong không gian vô hạn, đồng nhất và đẳng hướng có nguồn ngoại tạo ra dòng điện với mật độ J và điện tích với mật độ ρ . Để tìm trường điện từ với các thành phần E,H do các nguồn ấy sinh ra tại mỗi điểm trong không gian, ta giải hệ phương trình Maxwell theo phương pháp thế là phương pháp tương đối đơn giản, đồng thời đưa ra một số giả thiết để đơn giản hóa bài toán. Giả sử môi trường là điện môi lý tưởng (σ = 0 ), ta có hệ phương trình Maxwell: ∂E rotH=+ J ε ∂t ∂H rotE =−μ (2.1) ∂t divερ E = divμ H = 0 Ta phải đi tìm các thành phần E và H thỏa mãn hệ thống phương trình nói trên. Từ phương trình Maxwell 4 divμ H = 0 có thể đặt: 1 HrotA= (2.2) μ Trong đó A là thế vectơ thỏa mãn div( rotA) = 0 . Thay (2.2) vào phương trình Maxwell 2 ta có: ∂ rotE=− rotA ∂t () ⎛⎞ ∂A hay rot⎜⎟ E + = 0 ⎝⎠∂t Dựa vào hằng đẳng thức rot( gradϕ ) = 0 , với ϕ là hàm vô hướng, ta có thể đặt: ∂A Egrad+=− ϕ ∂t Hay ∂A Egrad=− + ϕ (2.3) ∂t Thay (2.2) và (2.3) vào phương trình Maxwell 1 ta có: ∂2 A ∂ϕ rot rotA=−μεμεμ J − grad (2.4) () ∂tt2 ∂ 26
Thay (2.3) vào phương trình Maxwell 3, ta có: ⎛⎞∂A ρ div⎜⎟− −= gradϕ ⎝⎠∂t ε Hay: ∂ ρ divA+ div() gradϕ =− (2.5) ∂t ε Áp dụng phép biến đổi rot( rotA) = grad( divA) −∇2 A , viết lại (2.4) như sau: ∂∂2 A ϕ ∇−2 A εμεμμ −grad divA − grad =− J ∂∂tt2 () 2 2 ∂∂A ⎛⎞ϕ Hoặc: ∇−A εμεμμ2 −grad⎜⎟ divA + =− J (2.6) ∂∂tt⎝⎠ Vì A và ϕ là các hàm tùy ý, nên ta chọn chúng sao cho: ∂ϕ divA + εμ = 0 ∂t Hay: ∂ϕ divA =−εμ (2.7) ∂t Khi đó (2.6) sẽ thành: ∂2 A ∇2 A −=−εμμJ (2.8) ∂t 2 Thay (2.7) vào (2.5) và lưu ý div( gradϕ ) = ∇2ϕ , ta được: ∂∂⎛⎞ϕ 2 ρ ⎜⎟−εμ+∇ ϕ =− ∂∂tt⎝⎠ ε Hay: ∂2ϕ ρ ∇2ϕεμ−=− (2.9) ∂t 2 ε Các phương trình (2.8) và (2.9) là các phương trình Dalamber, giải các phương trình này sẽ xác định được A và ϕ theo các nguồn dòng J và điện tích ρ và từ đó sẽ tính được E và H theo (2.2) và (2.3). 2.2. Nghiệm của các phương trình thế - thế chậm Tìm cách giải gần đúng các phương trình (2.8) và (2.9), muốn vậy đầu tiên ta hãy giải thiết trường là trường chuẩn tĩnh, nghĩa là coi các nguồn trường (dòng điện J và ρ) biến thiên chậm đến mức trong thời gian truyền sóng từ nguồn đến điểm quan sát 27
thì giá trị của nguồn coi như chưa kịp biến thiên. Khi ấy các đạo hàm theo t bằng không. ∂∂22A ϕ = = 0 ∂∂tt22 Và (2.8), (2.9) trở thành: 2 ∇=−A μJ (2.10) ρ ∇2ϕ =− ε (2.11) Các phương trình này có các nghiệm tương ứng là: μ Jt( ) A()tdV= ∫ (2.12) 4π V r 1 ρ (t) ϕ ()tdV= ∫ (2.13) 4πε V r Khi nguồn biến thiên nhanh, cần chú ý đến sự chậm pha của trường. Khi ấy, giá trị của A và ϕ ở thời điểm t phải được xác định bới J và ρ không ở cùng thời điểm t mà là ở thời điểm trước đó, với sự trễ bằng Δtr/v= là tỷ số của khoảng cách r từ nguồn đến điểm khảo sát và vận tốc lan truyền v . Do vậy, các nghiệm (2.12) và (2.13) cần được sửa lại như sau đối với trường hợp trường biến thiên nhanh: μ Jt( − r/v) A()tdV= ∫ (2.14) 4π V r 1 ρ (tr/v− ) ϕ ()tdV= ∫ (2.15) 4πε V r Các nghiệm của các phương trình thế diễn tả bởi (2.14) và (2.15) được gọi là các thế chậm. 2.3. Bức xạ của Dipol điện 2.3.1. Tìm nghiệm tổng quát Khảo sát sự bức xạ của một phần tử bức xạ đơn giản nhất là Dipol điện hoặc còn gọi là lưỡng cực điện. Đó là một đoạn dây dẫn có chiều dài l rất nhỏ hơn bước sóng, trên đó có dòng điện biến đổi I phân bố đều theo chiều dài. Theo định luật bảo toàn điện tích, có thể tồn tại dòng điện như vậy nếu ở hai đầu dây dẫn có các điện tích +q và −q biến đổi theo thời gian. Các điện tích này có liên hệ với dòng điện theo biểu thức: dq I = − dt 28
z Az θ r y l ϕ x Hình 2.1. Lưỡng cực điện Vì phương của A trùng với phương của I nên nếu xét trong hệ tọa độ vuông góc thì A chỉ có 1 thành phần là Az : It( − r/v) A = μ .l (2.16) z 4π r Trong hệ tọa độ cầu, A có các thành phần như sau: I AA= cosθ =μθ l cos rz 4π r I AA=− sinθ =-μθ l sin θ z 4π r Aϕ = 0 Cường độ từ trường xác định theo (2.2). Sử dụng biểu thức tính rotA trong hệ tọa độ cầu, ta có: H r = 0 ⎫ H = 0 ⎪ θ ⎪ 11⎡⎤∂∂ ⎪ HrAA=− (2.17) ϕθ⎢⎥() r ⎬ μθrr⎣⎦∂∂ ⎪ l ⎡⎤11 ⎪ =−+−It′ r/v Itr/v sinθ ⎢⎥()2 ()⎪ 4π ⎣⎦vr r ⎭ Tương tự ta tìm được các thành phần của E : lq⎡⎤It( − r/v) ⎫ Er =−⎢⎥23cosθ ⎪ 2πε ⎣⎦vr r ⎪ ⎪ l ⎡⎤It′()−− r/v Itr/v()⎪ Esinθ =+⎢⎥22θ ⎬ (2.18) 4πε ⎣⎦vr vr ⎪ E = 0 ⎪ ϕ ⎪ ⎭⎪ 29
dq Trong đó: I =− dt Các công thức (2.17) và (2.18) là các công thức tổng quát cho phép ta xác định các thành phần trường bức xạ của dipol điện. 2.3.2. Trường hợp dòng điện biến đổi điều hòa theo thời gian. Với trường hợp này các biểu thức liên quan đến dòng điện như sau: jtr/vω( − ) − jkr jω t It( −= r/v) Ie00 = Ie e − jkr jω t It′()−= r/v jIeeω 0 1 qt()−=− r/v Ie− jkr e jω t jω 0 Thay các giá trị này vào (2.17) và (2.18) ta nhận được: Il0 ⎡⎤k 1 − jkr Hjsineϕ =+θ (2.19) 4π ⎣⎦⎢⎥rr2 k Il0 ⎡⎤11 − jkr Ejcos.er =−θ (2.20) ωε2 π ⎣⎦⎢⎥rkr23 kkIl0 ⎡⎤11 − jkr Ejjsin.eθ =+−θ (2.21) ωε4 π ⎣⎦⎢⎥rr23 kr ω 2π Trong đó: k == và để đơn giản ta tạm bỏ thừa số e jtω . v λ z Er Hϕ θ r Eθ y ϕ x Hình 2.2. Bức xạ của lưỡng cực điện Quan hệ về hướng của các vectơ E và H trong trường bức xạ của dipol điện như trong hình 2.2. Từ các biểu thức nhận được ở trên đối với các thành phần trường bức xạ, ta thấy có thể phân biệt các trường hợp bức xạ ở khu gần và ở khu xa. 30
2.3.3. Trường bức xạ ở khu gần Khu gần được coi là khu vực có các khoảng cách r << λ . Khi ấy trong biểu thức 2 của Hϕ thì số hạng chủ yếu là số hạng tỷ lệ với 1/ r , còn trong các biểu thức của 3 E,Er θ thì số hạng chủ yếu là số hạng tỷ lệ với 1/ r . Thừa số e− jkr coi gần đúng bằng 1. 2π r − j ee− jkr = λ ≈ 1 Điều này có nghĩa khi r << λ , sự chậm pha của trường so với nguồn có thể bỏ qua, tương tự như trường hợp chuẩn tĩnh. Áp dụng các nhận xét đó vào các biểu thức (2.19) đến (2.21) ta có các thành phần trường khu gần: 1 HIl= sinθ (2.22) ϕ 4π r 0 λZ Ej=− 0 Ilcosθ (2.23) r 4π 23r 0 λZ Ej=− 0 Ilsinθ (2.24) θ 8π 23r 0 μ Trong đó: Z = 0 ε Phân tích các công thức trên ta nhận thấy ở trường khu gần, các thành phần điện trường và từ trường lệch pha nhau 900 theo thời gian. Do đó vectơ Poynting trung bình sẽ có giá trị bằng 0. Điều này chứng tỏ năng lượng của trường khu gần có tính dao động. Năng lượng này trong một phần tư chu kỳ đầu thì dịch chuyển từ nguồn trường ra không gian xung quanh và trong phần tư chu kỳ tiếp theo lại dịch chuyển ngược lại. Vì vậy ở trường khu gần còn gọi là trường cảm ứng và khu gần còn gọi là khu cảm ứng. Eθ Hϕ Πr t Hình 2.3. Quan hệ giữa Π với E và H ở trường khu gần của lưỡng cực điện Hình 2.3 cho thấy sự biến đổi của các thành phần điện trường và từ trường thep thời gian, với góc lệch pha 900 . Vectơ Poynting bằng tích E và H sẽ biến đổi với tần 31
số gấp đôi tần số của nguồn trường, có giá trị khi âm, khi dương. Giá trị trung bình của nó trong một chu kỳ sẽ bằng không. 2.3.4. Trường bức xạ ở khu xa Khu vực xa là khu vực có các khoảng cách r >> λ , đồng thời r >> 1. Sự chậm pha của trường không thể bỏ qua. Giá trị gần đúng của E và H trong miền này có thể được tính theo các công thức tổng quát (2.19) đến (2.21) khi chỉ giữ lại các số hạng chủ yếu là các số hạng tỷ lệ với 1/r . Ta có: ke− jkr 1 H== j Ilsinθ Ile .− jkr sinθ (2.25) ϕ 42πλ00rr ωμ e− jkr Z E== j Il.sinθ 0 Ile sin− jkr θ (2.26) θ 42πλ00rr Er = 0 Phân tích các biểu thức (2.25) và (2.26) ta nhận thấy điện trường và từ trường ở khu xa luôn đồng pha. Do đó giá trị trung bình của vectơ Poynting luôn khác không và năng lượng bức xạ được dịch chuyển từ nguồn vào không gian xung quanh. Trường bức xạ ở khu xa có dạng sóng cầu, tỏng đó các vectơ điện và từ vuông góc với hướng truyền lan. Sóng như vậy được gọi là sóng điện từ ngang. z Er Hϕ θ r Eθ y ϕ x Hình 2.4. Trường bức xạ khu xa của lưỡng cực điện. 2.3.5. Nhận xét về trường bức xạ Phân tích các công thức (2.25) và (2.26) ta cố thể rút ra một vài nhận xét đối với trường bức xạ ở khu xa của dipol điện như sau: * Vectơ điện trường hướng theo tiếp tuyến với đường tọa độ θ , còn vectơ từ trường hướng theo tiếp tuyến với đường tọa độ ϕ . * Giá trị của cả hai vectơ E và H đều giảm tỷ lệ nghịch với khoảng cách. * Giữa Eθ và Hϕ có quan hệ với nhau bởi các hệ thức: 32
Eθ μ ==Z0 Hϕ ε * Giá trị cường độ trường bức xạ phụ thuộc vào góc θ . Theo hướng trục của dipol khi θ = 0 trường bức xạ bằng 0. Giá trị cực đại của trường tại mặt phẳng vuông góc với dipol, khi θ = π /2. Nếu ký hiệu giá trị cực đại của các biên độ trường ứng với góc θ = π /2 là Emax và H max , ta có thể viết các biểu thức biên độ của E và H ứng với khoảng cách r cho trước, phụ thuộc vào góc θ như sau: EEm (θ ) = max sinθ ⎪⎫ ⎬ HHm ()θ = max sinθ ⎭⎪ Hoặc có thể viết: Em (θ ) ⎫ = sinθ ⎪ Emax ⎪ ⎬ (2.27) H ()θ m = sinθ ⎪ ⎪ H max ⎭ * Hàm phương hướng và đồ thị phương hướng. Các biểu thức (2.27) biểu thị sự phụ thuộc tương đối của biên độ trường bức xạ theo các hướng không gian khác nhau, được gọi là hàm phương hướng biên độ của dipol điện, ký hiệu bởi: E (θ ) f ()θ ==m sinθ (2.28) Emax Đồ thị phương hướng của dipol điện trong hệ tọa độ cực như trong hình 2.5. z y θ sinθ ϕ x a) f (θ ) = sinθ b) f (ϕ ) = 1 Hình 2.5. Đồ thị phương hướng của lưỡng cực điện * Công suất bức xạ của dipol điện: P =ΠdS (2.29) Σ ∫ tb S 33
Ở đây dS là phần tử diện tích mặt cầu, bằng dS= r2 sinθ dθϕ d . Ta có: (Il)2 Π=Z 0 sin2 θ (2.30) tb 0 8r 22λ Thay (2.30) vào (2.29) ta có: 2ππ 2 (Il) π Z 2 PZ==0 sin2 θθϕ ddIl0 (2.31) Σ ∫∫ 0022 2() ϕθ==00 83r λλ Từ biểu thức (2.31) ta thấy công suất bức xạ tỷ lệ với bình phương của biên độ dòng điện trên dipol và tỷ lệ với bình phương của độ dài tương đối so với bước sóng, 2 ⎛⎞l nghĩa là tỷ lệ với ⎜⎟. ⎝⎠λ * Điện trở bức xa của dipol điện: Ta có công suất bức xạ theo công thức thông thường: IR2 P = 0 Σ (2.32) Σ 2 Gọi RΣ là điện trở bức xạ thì: 2 22PlΣ π ⎛⎞ RZΣ ==2 0 ⎜⎟ (2.33) I0 3 ⎝⎠λ Đối với chân không Z0 =Ω120π ( ) , ta có điện trở bức xạ của dipol điện bằng: 2 2 ⎛⎞l RΣ = 80π ⎜⎟ ⎝⎠λ 2.4. Trường điện từ của lưỡng cực từ 2.4.1. Lưỡng cực từ Lưỡng cực từ được xem là một đọan dây dẫn ngắn, mảnh, bên trong có dòng từ biến đổi do nguồn nuôi ngoài cung cấp chạy qua. Lưỡng cực từ là mô hình lý tưởng để tính toán các bài toán của nguồn bức xạ từ. Ta có thể áp dụng phương pháp tính các thếc chậm để tìm các vectơ cương độ trường do lưỡng cực từ gây ra. Tuy nhiên, ta có một phương pháp khác, đó là áp dụng nguyên lý đổi lẫn đối với biểu thức mô tả trường của lưỡng cực điện. Ta được biên độ phức của trường của lưỡng cực từ như sau: 34
Ilm ⎛⎞1 − jkr Em =− sinθ ⎜⎟ + jk e iϕ 4π rr⎝⎠ (2.34) − jkr Ilm ejkjk⎧⎫⎛⎞11 ⎛2 ⎞ Hcos.iksin.imr=++−+⎨⎬2⎜⎟22θθ ⎜ ⎟θ jrrr4πωμ ⎩⎭⎝⎠ ⎝ r r ⎠ Như vậy, trường bức xạ của lưỡng cực từ cũng là sóng cầu, các vectơ cường độ trường tỉ lệ với bán kính r, tỉ lệ với tần số ω và có tính định hướng trong không gian, vai trò của điện trường và từ trường thay thế cho nhau. 2.4.2. Trường điện từ của vòng dây Trong thực tế, người ta tạo ra nguyên tố bức xạ ra trường điện từ tương đương như trường của lưỡng cực từ bằng cách cho dòng điện biến đổi IM chạy qua một vòng dây dẫn nhỏ mảnh. Sau đây ta sẽ áp dụng phương pháp thế chậm để tìm trường bức xạ của nguyên tố anten khung này. Giả sử rằng mặt phẳng của vòng dây nằm trùng với mặt phẳng vĩ tuyến của tọa độ cầu. Vòng dây có bán kính a đủ nhỏ so với bước sóng, để có thể coi dòng điện là như nhau trên tòn vòng dây iI=+msin(ω tψ ) . Lấy một đoạn ngắn dl của vòng dây (hình 2.6). Có thể coi nó là một nguyên tố anten thẳng, có thế vectơ như sau: μIdl dA = e− jkr (2.35) 4π r z R i r y ϕ’ dl ϕ x Hình 2.6. Nguyên tố anten vòng Do tính đối xứng đối với trục Oz, thế vectơ A của dòng điện vòng ở một điểm M có góc phương vị ϕ xác định, sẽ chỉ có thành phần phương vị Aϕ , nên: 22ππμμIe−−jkr I e jkr A.coscos==dAi aϕ′ dϕϕϕ′′′ = a. d (2.36) ϕϕ∫∫ ∫ 004rππ 4 r 35
Xét riêng vùng xa so với bán kính vòng ar > λ . Các cường độ trường tính theo phương trình sau: 1 Hrot = A μ 1 ErotH= jωε Với điều kiện R >> λ , cường độ điện trường chí có thành phần phương vị Eϕ và cường độ từ trường chỉ có thành phần tà Hθ . π 22aI ⎫ H.e =− sinθ − jkR θ λ 2R ⎪ ⎬ (2.39) π 22aI EZ==−sinθ .eZH− jkR ⎪ ϕθ00λ 2R ⎭⎪ Chuyển từ ảnh phức sang giá trị tức thời ta được: π 22aI ⎛⎞ R ⎫ H.tθ =−2 sinθωωψ sin⎜⎟ − + ⎪ λ Rv⎝⎠⎪ ⎬ (2.40) 22 π aI⎛⎞ R ⎪ EZϕ =−+0 2 sinθωωψ . sin⎜⎟ t λ Rv⎝⎠⎪⎭ Biểu thức (2.40) chứng tỏ sóng điện từ ở vùng xa cũng là sóng cầu, nhưng so với trường của anten thẳng thì các sóng E và H đã đổi chỗ cho nhau (nưh hình 2.7). 36
z Hθ Π R Eϕ θ R y ϕ x Hình 2.7. Các thành phần sóng bức xạ của nguyên tố anten vòng Tuy bây giờ Eϕ và Hθ ngược pha nhau nhưng vectơ Poynting vân luôn luôn hướng theo bán kính rời khỏi gốc tọa độ. Công suất bức xạ của anten vòng tìm được như sau: 4 ππ⎛⎞2 a 2 PZbhx0= ⎜⎟ I d (2.41) 6 ⎝⎠λ Tổng trở bức xạ: 4 ππ⎛⎞2 a RZbx = 0 ⎜⎟ (2.42) 6 ⎝⎠λ Trong chân không Z0 = 120π ta có: 4 22⎛⎞2π a PIbhxd= 20π ⎜⎟ (2.43) ⎝⎠λ 4 2 ⎛⎞2π a Rbx = 20π ⎜⎟ (2.44) ⎝⎠λ So sánh công suất bức xạ của anten vòng và anten thẳng nếu chúng có chiều dài la2π như nhau, tức là =<<1 và dòng điện như nhau, ta thấy công suất của anten λλ thẳng lớn hơn công suất của anten vòng nhiều lần. Đó là vì anten thẳng có kết cấu hở, dòng điện dẫn trong đoạn dây được khép kín mạch bởi dòng điện chuyển dịch chảy trong điện môi xung quanh, do đó từ trường và điện trường cùng phân bố trong không gian xa rộng xugn quanh dây. Còn đối với anten vòng dòng chảy khép kín, từ trường tập trung nhiều hơn ở gần vòng dây, do đó hiện tượng bức xạ yếu hơn. 2.5. Trường bức xạ của hệ thống anten Ta thấy trường bức xạ của anten thẳng có độ dài rất nhỏ với bước sóng l << λ . Trên thực tế, để tăng công suất bức xạ, người ta phải tăng chiều dài anten, do đó anten 37
thường có chiều dài so được với bước sóng. Thường dùng nhất là anten nửa sóng l = λ . Hơn nữa để tăng tính định hướng người ta không dùng 1 anten mà dùng hệ 2 thống anten sắp đặt một cách thích hợp. 2.5.1. Trường bức xạ của anten nửa sóng z Rz θ R0 dz I z z zcosθ Hình 2.8. Anten nửa sóng Ta xét một anten thẳng, có dòng điện hình sin, có độ dài l/= λ 2 . Dòng điện phân bố trên chiều dài bây giờ không đều nữa. Để tính trường của anten có dòng điện phân bố không đều, ta chia anten thành những nguyên tố anten thẳng là những đoạn vô cùng nhỏ dz , trên đó dòng điện coi là phân bố đều với trị hiệu dụng I z . Ở một điểm tại vùng xa, cường độ từ trường ứng với đoạn dây Idzz được tính như sau: 1 Idzsin θ z − jkR z dHϕ = j e (2.45) 2Rλ z Trong đó R z là khoảng cách từ vi phân dây dz đến điểm xét. Từ hình 2.8 ta có: RRz=−cosθ ,⎫ z 0 ⎪ 2π ⎬ (2.46) II= sin z z λ ⎭⎪ Mẫu số của biểu thức (2.45) coi RRz ≈ 0 , có tử số theo (2.46) ta có: 12I λ / 4 π Hjsinee = θ − jkR0 jkcosθ sin z.dz ϕ ∫ 2Rλλ0 −λ / 4 Sau khi tích phân ta được: 38
⎛⎞π cos cosθ I ⎜⎟ ⎝⎠2 − jkR0 Hjϕ = e (2.47) 2Rπθ0 sin Còn cường độ điện trường ta cũng có: EZHθϕ= 0 (2.48) Theo (2.47) ta có thể vẽ đồ thị định hướng của anten nửa sóng trong mặt phẳng kinh tuyến (hình 2.9). Trường của anten nửa sóng cũng đối xứng qua z. z θ y Hình 2.9. Đồ thị định hướng của anten nửa sóng. 2.5.2. Trường bức xạ của hai anten nửa sóng đặt song song cách nhau một khoảng cách d. Để định hướng bức xạ theo chiều phương vị ϕ trong mặt phẳng ngang, người ta dùng hệ thống nhiều anten đặt thẳng đứng, song song cách nhau những quãng d . Xét trường hợp hai anten nửa sóng đặt song song cách nhau d trên trục Ox (hình 2.10). A dcosϕ d y B ϕ rA r x rB Hình 2.10. Hai anten nửa sóng đặt song song Giả thiết dòng điện trong hai anten có biên độ bằng nhau những lệch pha nhau một góc ψ , iAm= I sin(ω t) và iIsintBm= (ω +ψ ) . Tại một điểm M ở vùng xa (r >> λ ) cường độ từ trường của mỗi anten trong mặt phẳng xích đạo (θ ==πθ/;21) như sau: 39
1 Im ⎡⎤⎛⎞rA π Hsint,A =−+⎢⎥ω ⎜⎟ 22π rvA ⎣⎦⎝⎠ (2.49) 1 Im ⎡ ⎛⎞rB π ⎤ HsintB =−++⎢ω ⎜⎟ψ ⎥ 22π rvB ⎣ ⎝⎠ ⎦ Cường độ từ trường tổng bằng: 1 Im ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎞rrABππ ⎛⎞ H=+= HAB H⎨⎬ sin⎢⎥⎢⎥ωωψ⎜⎟ t −++ sin ⎜⎟ t −++ (2.50) 222π rv⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎠ ⎝⎠ v Ở mẫu số của (2.50), đã coi rrrAB≈ ≈ . Còn trong góc pha lấy (rr/AB+≈) 2 r, nhưng rrdAB−=cosϕ , ta được: Id− jkr ⎛⎞π ψ Hjeϕ =+cos⎜⎟ cosϕ (2.51) πλr ⎝⎠2 Trong đó: ψ j IIe = 2 Nếu hai dòng điện cùng pha nhau (ψ = 0) ta có: Id− jkr ⎛⎞π Hjeϕ = cos⎜⎟ cosϕ (2.52) πλr ⎝⎠ Tương tự cường độ điện trường tình được như sau: EZHθϕ= 0 Từ (2.52) có thể vẽ được đồ thị định hướng các cường độ trường trong mặt phẳng ngang. Với các giá trị d khác nhau, đồ thị định hướng có dạng rất khác nhau. Trong hình 2.11 vẽ đồ thị định hướng của 2 anten có dòng điện đồng pha ứng với các trường λ λ hợp d = và d = . Có thể giải thích tính định hướng theo chiều phương vị ϕ của 2 4 2 anten có dòng điện cùng pha đặt cách nhau 1 khoảng d , bằng sự giao thoa của 2 anten. Do đó khoảng cách từ mỗi anten đến điểm xét khác nha, pha của cường độ trường của mỗi anten ở điểm đó sẽ khác nhau. Do đó khi xếp chồng trường 2 anten, có những điểm cường độ trường tổng yếu đi hoặc triệt tiêu. 40
d = λ d = λ/4 y d = λ/2 x Hình 2.11. Đồ thị định hướng của hai anten nửa sóng đặt song song Từ hình 2.11 ta thấy trường của 2 anten có dòng điện cùng pha, đặt cách nhau d , tuy không giống nhau theo mọi phương ϕ nhưng vẫn còn đối xứng qua gốc tọa độ O (búp sóng đối xứng qua trục Ox và Oy) tức là cường độ trường theo 2 phương đối nhau (ϕ và ϕ + π) bằng nhau. Muốn có đồ thị định hướng không đối xứng ta cho dòng điện trên 2 anten lệch pha nhau một góc ψ ≠ 0 . λ Ví dụ, xét trường hợp d = và hai dòng điện lệch pha nhau ψ = π / 2 , ta có: 4 Id− jkr ⎛⎞ππ Hjeϕ =+=cos⎜⎟ cosϕ πλr ⎝⎠2 (2.53) I ⎡π ⎤ = je− jkr cos() cosϕ + 1 π r ⎣⎢ 4 ⎦⎥ ⎡⎤ππ Với ϕ = 0 thì cos() cosϕ + 1== cos 0 , nên về phía dương của trục x , ⎣⎦⎢⎥42 ⎡⎤π cường độ trường bằng 0. Ngược lại với ϕ = π thì cos() cosϕ + 1== cos0 1 và ⎣⎦⎢⎥4 I Hje = − jkr ϕ π r Tức gấp đôi cường độ trường của một anten đơn. Đồ thị định hướng như hình 2.12. 41
y x Hình 2.12. Đồ thị định hướng của 2 anten nửa sóng có dòng điện lệch pha nhau 900. 2.5.3. Trường bức xạ của dàn anten. Để định hướng bức xạ tập trung trong một miền không gian nào đó (tức là có búp sóng hẹp hơn) người ta dùng một hệ thống nhiều anten bố trí một cách thích hợp. Muốn định hướng bức xạ trong các mặt phẳng ngang tập trung theo phương vị, ta dùng 1 hệ anten đặt thẳng đứng và thẳng hàng với nhau. Ví dụ nếu đặt 5 anten nửa sóng song song cánh nhau λ / 2 trên trục Oy với các dòng điện cung pha, thì đồ thị định hướng sẽ có hai búp sóng chính, hướng theo trục Ox về hai phía (như hình 2.13). Muốn định hướng bức xạ tập trung theo θ trong những mặt phẳng kinh tuyến thẳng đứng ta dùng một hệ anten xếp nối đuôi nhau trên trục Oz. Hình 2.14 vẽ đồ thị định hướng của 5 anten nửa sóng xếp như vậy có dòng điện cùng pha. Trong mặt phẳng kinh tuyến, đồ thị định hướng có 2 búp sóng chính ứng với θ = π . 2 Để định hướng theo cả hai chiều θ và ϕ ta phối hợp hai cách trên, dùng nhiều anten ghép lại thành dàn trên 1 mặt phẳng (hình 2.15). Trường bức xạ của dàn anten phẳng định hướng chủ yếu theo phương thẳng góc với mặt phẳng của dàn nhưng giống nhau cả về 2 phía. 42
y x Hình 2.13. Đồ thị đinh hướng của hệ anten đặt thẳng đứng. z x,y Hình 2.14. Đồ thị định hướng của hệ thống anten xếp thẳng hàng trên trục Oz Muốn hướng bức xạ chỉ về một phía ta có thể dùng 2 dàn anten có dòng điện lệch pha nhau. Cũng có thể đặt thêm một dàn các thanh dẫn hoặc một mặt kim loại không nối với nguồn kich thích để làm hệ thống phản xạ. Trong hệ thống phản xạ sẽ xuất hiện dòng điện cảm ứng lệch pha so với dòng điện của dàn anten nên nó cũng có tác dụng định hướng bức xạ như một cái gương làm phản chiếu ánh sáng. Trong kỹ thuật radar thường dùng dàn anten phẳng và anten có mặt phản xạ dạng parabol. z y x Hình 2.15. Đồ thị định hướng của hệ thống anten bức xạ theo 2 hướng θ và ϕ 43
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 2-1. Cho một nguyên tố anten thẳng, dài lm= 5 , có dòng điện Ihd = 10A , tần số f = 106 H z đặt trong không khí. Tính công suất bức xạ và tổng trở bức xạ. Tính trị hiệu dụng của cường độ điện trường, cường độ từ trường và vectơ Poynting tại các điểm cách anten R100= km ứng với các góc tà θ bằng 03045609000000,,,,. Vẽ đồ thị định hướng. 6 2-2. Cho một vòng dây có chu vi lm= 5 , dòng điện Ihd = 10A , tần số f =10H z đặt trong không khí. Tính công suất bức xạ và tổng trở bức xạ. Tính trị hiệu dụng của cường độ điện trường, cường độ từ trường và vectơ Poynting tại các điểm cách anten R100= km ứng với các góc tà θ bằng 03045609000000,,,,. Vẽ đồ thị định hướng. So sánh với kết quả ở bài 2-1. 2-3. Một vòng dây có diện tích S3= m2 , dòng điện I = 10A , tần số f = 50H z . Hỏi công suất tiêu tán do bức xạ bằng bao nhiêu? 2-4. Cho một anten nửa sóng có dòng điện I = 10A , tần số f = 310.H8 z đặt thẳng đứng. Tính trị hiệu dụng cường độ từ trường và điện trường tại những điểm cách anten 1km, trong mặt phẳng ngang xOy. Tính công suất bức xạ và tổng trở bức xạ của anten. 2-5. Cho hai anten nửa sóng có dòng điện I = 10A , tần số f = 310.H8 z đặt λ thẳng đứng, song song, cách nhau d = trên trục Ox. Tính trị hiệu dụng cường độ từ 4 trường và điện trường tai những điểm cách anten R10= km trong mặt phẳng ngang xOy ứng với các góc phương vị ϕ = 03045609000000,,,, nếu các dòng điện trong hai anten cùng pha. Vẽ đồ thị định hướng. 2-6. Giải bài 2-5 trong trường hợp các dòng điện lệch pha nhau π / 2. 44
CHƯƠNG 3. SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG 3.1. Khái niệm về sóng điện từ phẳng Giả sử có nguồn bức xạ nào đó tạo ra sóng điện từ truyền tới không gian khảo sát. Nếu không để ý đến các nguồn tạo ra trường ở khu xa mà chỉ đơn thuần coi sự tồn tại của trường ở miền khảo sát, ta có thể áp dụng các phương trình Maxwell cho không gian không có nguồn để nghiên cứu các tính chất của trường ấy. Trong không gian đồng nhất, đẳng hướng và rộng vô hạn, sóng điện từ sẽ tạo ra tại mỗi điểm và ở mỗi thời điểm các vectơ điện và từ có biên độ và pha xác định. Những điểm của trường cớ biên độ giống nhau hợp thành những mặt đồng biên, còn những điểm của trường có pha giống hợp thành mặt đồng pha. Các vectơ E và H luôn biến đổi theo thời gian. Sự biến đổi pha khiến cho các mặt đồng pha sẽ dịch chuyển. Vận tốc dịch chuyển của mặt đồng pha gọi là vận tốc pha vph của sóng. Nếu tại tất cả các điểm trên mặt đồng pha, biên độ của vectơ E và H cùng bằng nhau thì mặt đồng pha chính là là mặt đồng biên, sóng được gọi là sóng đồng nhất. các mặt đồng nhất này được gọi là mặt sóng. Nếu mặt đồng pha và đồng biên là những mặt phẳng (mặt trụ, mặt cầu), ta có sóng điện từ phẳng (sóng trụ, sóng cầu). Mặc dù trong thực tế sóng điện từ bức xạ từ anten không phải là sóng phẳng thuần túy mà thường là sóng trụ hoặc sóng cầu. Tuy nhiên, tại những điểm khảo sát cách xa nguồn, và trong một phạm vi không gian hẹp ta có thể coi gần đúng mặt sóng là những mặt phẳng. 3.2. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng Để đơn giản ta chọn hệ tọa độ Descartes, sóng điện từ phẳng là đơn sắc và chỉ ∂ ∂ truyền theo phương z . Mặt sóng vuông góc với phương z →==0 .Áp dụng hệ ∂∂xy phương trình Maxwell phức: ⎧ ⎪rotH=+()σ jωε E ⎨ ⎩⎪rotE=− jωμ H Xét sóng TEM và phân cực đứng: ⎪⎧EEyz= = 0 ⎨ ⎩⎪HHxz= = 0 iiixyz ∂ Ta có: rotE==−=−00 jωμ H j ωμ H i ∂z y y Ex 00 45
∂E ⇒=−x ijHiωμ ∂z yyy 1 ∂E hay H =− x (3.1) y jωμ ∂z Tương tự: iixy i z ∂ rotH==+=+00 ()()σωεσωε jE jEi ∂z x x 00H y ∂H ⇒−y =()σωε + j E (3.2) ∂z x Thay (3.1) vào (3.2) ta được: 1 ∂2 E ⇒=+x ()σωεj E jzωμ ∂ 2 x Hay: ∂2 E x −+jjEωμ() σ ωε =0 (3.3) ∂z2 x Đặt: Γ=jωμ ()σωεα +jj = + β (3.4) Là hệ số truyền sóng, trong đó: + Phần thực α : là hệ số suy hao, có đơn vị là [1/m]. + Phần ảo β :là hệ số pha (đặc trưng cho sự lan truyền), đơn vị [rad / m] Ta có phương trình sóng phẳng: ∂2 E x − Γ=2 E 0 (3.5) ∂z2 x Giải phương trình (3.5) ta có nghiệm: −ΓΓzz EEeEext=+ px (3.6) Trong biểu thức (3.6) cường độ điện trường bao gồm hai thành phần, thành phần +−Γz − Γz thứ nhất: EEe= t là thành phần sóng thuận (sóng tới) và EEe= px là thành phần sóng ngược (phản xạ). jjϕϕ12 Trong đó; EEeEtt==; pxx Ee p là các biên độ phức của sóng tới và sóng phản xạ, ϕ12,ϕ là các góc pha đầu của sóng. Thay (3.6) vào (3.1) ta được: 46
1 −Γzz Γ HEeEeytp=−() −Γ +Γ x jωμ (3.7) Γ −Γzjz Γ HEeEeytp=−()x jωμ jωμ Đặt Z ==Zejψ (3.8) Γ s Zs gọi là trở kháng sóng Trong đó: phần modul đặc trưng cho độ lệch biên độ giữa điện trường và từ trường, còn arguymen ψ đặc trưng cho sự lệch pha giữa E và H . ⎛⎞E E Ta được: He =−t −Γzjzpx e Γ (3.9) y ⎜⎟ ⎝⎠ZZss Theo biểu thức (3.9) ta thấy H y cũng có hai thành phần: E Sóng thuận: H + = t Zs E Sóng ngược: H − =− px Z EE+ − Ta cũng có quan hệ: Z ==− HH+ − 3.3. Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất, đẳng hướng 3.3.1. Trong môi trường điện môi lý tưởng Nghiên cứu các tính chất của sóng điện từ phẳng đồng nhất truyền dọc theo trục z > 0 trong môi trường điện môi lý tưởng đồng nhất và đẳng hướng rộng vô hạn. Vì điện môi lý tưởng có độ dẫn điện σ = 0 nên các tham số điện của nó là các số thực. a. Hệ số truyền sóng Γ Γ=jωμ() σ +jj ωε =22 ω εμ = j ω εμ = j β Ta thấy: + α = 0 nên sóng truyền trong điện môi lý tưởng không bị suy hao. + β = ωεμ. b. Vận tốc pha vph Vận tốc truyền sóng v là vận tốc truyền tín hiệu hay vận tốc truyền năng lượng, đây là một đại lượng vật lý nên vc≤ . 1 v = (3.10) εμ 47
Vận tốc pha vph là vận tốc dịch chuyển của các trạng thái pha, hay vận tốc dịch chuyển của mặt đẳng pha. Mặt đồng pha của sóng thuận có dạng: φ =−ωβtzconst = (3.11) Do đó: ddtdzφ =−=ωβ 0, nên vận tốc pha được xác định như sau: dz ω v = = (3.12) ph dt β Vận tốc pha là một đại lượng quy ước nên nó có thể lớn hơn c . Với môi trường điện môi lý tưởng ta có: ω 1 vv=== ph ωεμ εμ Ta thấy vận tốc pha bằng với vận tốc sóng, và nó không phu thuộc vào tần số, môi trường như vậy người ta nói là môi trường không tán sắc. c. Trở kháng sóng Theo công thức (3.8) ta có: jjωμωμμ Z == = (3.13) Γ jωεμ ε Ta thấy rằng trở kháng sóng là một số thực, arguymen ψ = 0 hay E và H truyền đi đồng pha nhau. d. Biểu thức sóng Theo nghiệm của phương trình sóng phẳng, biểu thức (3.6) và (3.9) ta có: (chú ý Γ= jβ ). −ββzz jj(−βϕz+12) ( βϕ z+ ) EEeEeEext=+ pxx = t + Ee p EE EE He =−tt−Γzjzppxx e Γ = ejj()−βϕz+12 − e() βϕ z+ y ZZZsss Z s Dạng tức thời của cường độ trường như sau: Exyzt,,,=++++⎡ 2 E cosωβ t - z ϕ 2 E cos ω t β z ϕ⎤ i ()⎣ tpx()1x() 2⎦ ⎡ 2E 2E ⎤ (3.14) Hxyzt(),,,=+−++⎢ t cos()ωβ t - z ϕpx cos() ω t β z ϕ⎥ i ZZ12y ⎣⎢ ss⎦⎥ 48
x E v z y H ` Hình 3.1. Sóng điện từ phẳng trong điện môi lý tưởng Hình 3.1 là dạng sóng thuận của điện trường và từ trường trong điện môi lý tưởng, biên độ của sóng giữ cố định theo phương truyền sóng, pha của cường độ điện trường và cường độ từ trường trùng nhau. Ta nhận xét tính chất của sóng phẳng trong điện môi lý tưởng như sau: − Các vectơ E và H luôn vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng. Từ trường và điện trường luôn đồng pha và có biên độ không đổi dọc theo phương truyền sóng. − Vận tốc pha của sóng phẳng bằng vận tốc truyền sóng trong cùng môi trường. − Nếu môi trường không tổn hao năng lượng, không tán sắc sóng điện từ. Trở kháng sóng là một số thực. 3.3.2. Sóng điện từ phẳng trong vật dẫn tốt. a. Hệ số truyền sóng Γ Môi trường dẫn điện tốt là môi trường có σ rất lớn, nên trong biểu thức của hệ số truyền sóng ta có thể bỏ qua thành phần ωε . Γ=jjjωμσ() + ωε = ωμσ π j ωμσ Hay Γ=jωμσ ej4 =()1 + (3.15) 2 Từ (3.15) ta có; ωμσ αβ= =≠0 (3.16) 2 Vậy sóng truyền trong vật dẫn sẽ bị suy hao, và hệ số α ~ ω tức là khi tần số của sóng càng tăng thì hệ số suy hao càng lớn và sóng sẽ khó có thể đi sâu vào vật dẫn. b. Vận tốc pha vph Theo biểu thức (3.12) ta có: 49
ω ωω2 v == = (3.17) ph β ωμσ μσ 2 Với vật dẫn tốt ta thấy vph phụ thuộc vào tần số, môi trường như vậy người ta nói là môi trường tán sắc. c. Trở kháng sóng Theo công thức (3.8) ta có: π jjωμ ωμ ωμ j Z == =e 4 (3.18) Γ jωμσ σ ωμπ ⇒=Z ; ψ = σ 4 π Ta thấy rằng trở kháng sóng là một số phức có arguymen ψ = hay E và H 4 π truyền đi lệch pha nhau một góc . 4 d. Biểu thức sóng Theo nghiệm của phương trình sóng phẳng, biểu thức (3.6) và (3.9) ta có: (chú ý Γ=α + jβ ). −ααzzjj()−βϕz+12( βϕ z+ ) EEeext=+ Eee px −αz ⎛⎞π αz ⎛⎞π jj⎜⎟−−βϕz+12Ee ⎜⎟ βϕ z+ − Eet ⎝⎠44px ⎝⎠ Hey =− e ZZss Dạng tức thời của cường độ trường như sau: Exyzt,,,=++++⎡⎤ 2 Ee−ααzz cosωβ t - z ϕ 2 Ee cos ω t β z ϕ i ()⎣⎦tpx()1x() 2 ⎡⎤−αz αz 2Eet ⎛⎞⎛ππ2Eepx ⎞ Hxyzt(), , ,=+−−++−⎢⎥ cos⎜⎟⎜ωβ t - z ϕ12 cos ω t β z ϕ ⎟ iy ZZ44 ⎣⎦⎢⎥ss⎝⎠⎝ ⎠ 3.3.3. Sóng điện từ phẳng trong môi trường bán dẫn. a. Hệ số truyền sóng Môi trường bán dẫn là môi trường có đầy đủ các tham số ε,,μσ độ dẫn điện σ không là một số rất lớn. Theo (3.4) ta có: Γ=jjωμ ()σωε + 50
111⎛⎞σω2 αωεμ= ⎜⎟+−11 =tg 2 δ +− 1 ⎜⎟22 e 222⎝⎠ωε v (3.19) 111⎛⎞σω2 βωεμ= ⎜⎟++11 =tg 2 δ ++ 1 ⎜⎟22 e 222⎝⎠ωε v σ Trong đó: tgδ = gọi là tang của góc tiêu hao điện. e ωε b. Vận tốc pha ω 1 vph == (3.20) β 1 ⎛⎞σ 2 εμ ⎜⎟+11+ ⎜⎟22 2 ⎝⎠ωε c. Trở kháng sóng jψ ZZe= s ωμ22 Z = 4 (3.21) ω 22εσ+ 2 α ψ = arctg β Trường hợp môi trường gần với môi trường điện môi lý tưởng, nghĩa là σ << ωε ta σ có: << 1 ωε Các công thức (3.20) đến (3.22) được giản ước gần đúng như sau: βωεμ≈ μσσμ2 α ≈= 42ε ε vvph ≈ μ Z ≈ ; ψ = 0 ε 3.4. Hiệu ứng bề mặt Vật dẫn điện là vật có độ dẫn điện σ rất lớn. Từ (3.18), ta thấy rằng, khi tần số càng lớn thì hệ số α rất lớn. Như vậy, biện độ trường điện và trường từ suy giảm rất nhanh khi truyền vào bên trong vật dận. Điều này có nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại ở một lớp rất mỏng trên bề mặt của vật dẫn. Không chỉ có sóng điện từ, khi cho dòng điện cao tần chạy trong vật dẫn điện tốt, người ta cũng chứng minh được dòng điện này chỉ tồn tại ở một lớp mỏng trên bề mặt vật dẫn. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng bề mặt (skin effect). 51
Để đo mức độ tắt người ta đưa ra đại lượng bề sâu xuyên thấu, ký hiệu là d . Đó là khoảng cách tính theo phương truyền sóng sao cho sóng truyền qua khoảng cách ấy biên độ sẽ giảm đi e lần, và do đó vectơ Poynting, dòng năng lượng giảm đi e2 = 7,45 lần. Theo định nghĩa trên, ta có: eeαd = 12λ hay d == = (3.22) α 2πωμσ Do hiệu ứng mặt ngoài nên dòng điện cao tần có cường độ phân bố không đều trong cùng một tiết diện của dây dẫn và do đó trở kháng của vật dẫn cũng không đều nhau trên cùng một tiết diện. Để tiện cho việc tính toán người ta đưa ra khái niệm trở kháng mặt riêng của vật dẫn. Trở kháng mặt riêng của vật dẫn là tỷ số điện áp của trường rơi trên một đơn vị chiều dài tính theo chiều dòng điện, và giá trị dòng điện chảy trên một đơn vị chiều rộng đặt vuông góc với nó. Ký hiệu trở kháng mặt riêng là Zs , người ta tính được trở kháng mặt riêng như sau: U αωμ Z ==()11 +=jjRjX() +=+ (3.23) SSsI σσ2 ωμ Ở đây: R = S 2σ Là điện trở mặt riêng của vật dẫn. RS chính là nguyên nhân làm tổn hao năng lượng sóng điện từ trong vật dẫn. Năng lượng sóng điện từ biến thành nhiệt làm nóng vật dẫn. Còn X S là phần kháng của ZS . 3.5. Sự phân cực của sóng điện từ. Sóng điện từ khi truyền lan trong một môi trường, vectơ cường độ điện trường và cường độ từ trường có thể thay đổi cả trị số và hướng. Trong quá trình truyền lan của sóng nếu quan sát điểm cuối của vectơ E thì nó vạch ra một quỹ đạo nào đó, dạng quỹ đạo này biểu thị dạng phân cực của sóng. Mặt phẳng phân cực là mặt phẳng chứa phương truyền sóng và vectơ cường độ điện trường E . Sóng điện từ phẳng có nhiều dạng phân cực như: phân cực elip, phân cực tròn và phân cực thẳng. Các dạng phân cực trên có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật. 3.5.1. Phân cực Elip Giả sử ta nhìn từ nguồn phát sóng theo hướng truyền sóng, nếu đầu cuối của vectơ cường độ điện trường của sóng vạch nên hình elip trong không gian thì gọi là sóng phân cực elip. 52
Chúng ta có thể phân tích sóng phân cực elip thành hai thành phần sóng có cùng tần số, cùng phương truyền và các vectơ cường độ trường vuông góc với nhau trong không gian. Giả sử ta có hai sóng phẳng như sau: EE=−cos(ωβ t zi ). 1 mx x EE2 =−+mycos(ω tβϕ z ). i y Ở đây EEmx, my là các biên độ của các sóng thành phần, ϕ là góc lệch pha ban đầu của hai sóng. Vectơ cường độ điện trường của sóng tổng hợp sẽ thực hiện theo quy tắc tổng hợp 2 vectơ, chúng ta hãy tìm phương trình cho đầu cuối của vectơ cường độ trường của sóng tổng hợp. Ta lần lượt bình phương hai vế của các biểu thức trên và biến đổi đôi chút sẽ nhận được biểu thức sau: 2 2 ⎛ E ⎞ ⎛ E ⎞ E E ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ − 2cosϕ 1 2 = sin 2 ϕ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3.24) ⎝ Emx ⎠ ⎝ Emy ⎠ Emx Emy Từ hình học giải tích, ta nhận thấy biểu thức (3.24) là phương trình mô tả đường cong elip trong mặt phẳng tọa độ E1, E2. Elip này có trục lớn tạo một góc ϕ với trục tọa độ x . Do vậy trong quá trình truyền sóng theo trục z đầu cuối của vectơ điện trường của sóng tổng hợp sẽ vạch ra một đường xoắn trong không gian. Giá trị của ϕ có thể tính theo biểu thức sau: 2 2EEmx my tg ϕ = 22cosϕ (3.25) EEmx− my với EEmx> my x ϕ Ex y Ey Hình 3.2. Phân cực Elip 3.5.2. Phân cực tròn Trong trường hợp thành phần điện trường của hai sóng thành phần có biên độ bằng nhau: EEEmx== my m và lệnh pha nhau góc ϕ = ±π/2 thì ta có: 53
sin2 ϕϕ== 1,cos 0 Nên phương trình (3.24) trở thành: 22 2 EEE12+=m (3.26) Đây là phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ EE12, . Trong trường hợp này, đầu cuối của vectơ điện trường vẽ nên đường xoắn tròn trong không gian. Sóng được gọi là phân cực tròn. Nếu nhìn theo chiều truyền sóng, vectơ điện trường quay theo chiều kim đồng hồ thì ta có sóng phân cực tròn quay phải, trường hợp vectơ điện trường quay ngược chiều kim đồng hồ ta gọi là sóng phân cực tròn quay trái. Chiều quay của vectơ cường độ điện trường phụ thuộc vào dấu của góc lệch pha ϕ. x π ϕ = 2 π ϕ = − E 2 y Hình 3.3. Phân cực tròn 3.5.3. Phân cực thẳng Sóng có vectơ cường độ trường E luôn hướng song song theo một đường thẳng trong quá trình truyền sóng gọi là sóng phân cực thẳng hay phân cực tuyến tính. Trong trường hợp này góc lệch pha của 2 sóng thành phần Ex và Ey có giá trị: ϕ =±±0,ππ , 2 , Nên sinϕ = 0, cosϕ = ±1 và phương trình (3.24) trở về dạng: 2 ⎛ E E ⎞ ⎜ 1 ± 2 ⎟ = 0 ⎜ ⎟ ⎝ Emx Emy ⎠ Suy ra: Emy E2 = ± E1 (3.27) Emx Đây là phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ, nghiêng một góc so với trục x là ϕ′ được xác định bởi biểu thức, như mô ta trong hình 3.4.a : E tgϕ ' = my (3.28) Emx Đối với phân cực thẳng tùy theo hướng của vectơ cường độ điện trường, người ta còn phân làm hai trường hợp là phân cực ngang và phân cực đứng. 54
+ Sóng phân cực đứng (phân cực V): Trường hợp này vectơ E chỉ có một thành phần theo phương x (hình 3.4.b). + Sóng phân cực ngang (phân cực H): Trường hợp này vectơ E chỉ có một thành phần theo phương y (hình 3.4.c). x x MMặ ặt tph phẳ ngẳng phân ccưự̣ cc Exm MMặtă ̣pht phẳngẳ ng phânphân cự cư ̣ c ϕ′ E = E x z EE= y Eym y z y a) b) c) Hình 3.4. Phân cực thẳng (a), đứng (b), ngang (c) 3.6. Sự phản xạ và khúc xạ sóng điện từ Khi sóng điện từ bức xạ ra từ một nguồn thì các thông số của sóng phụ thuộc vào nguồn, sau đó nó phụ thuộc vào môi trường. Nếu trên đường đi của sóng nó gặp phải một môi trường có thông số khác thì tại bề mặt phân chia giữa hai môi trường sẽ xảy ra hiện tượng phản xạ và khúc xạ sóng điện từ. Hiện tượng phản xạ và khúc xạ sóng điện từ làm thay đổi phương truyền sóng tại bề mặt phân cách hai môi trường có tham số khác nhau. Sự phản xạ và khúc xạ sóng được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật. Để cho đơn giản, ta chỉ xét đối với trường hợp sóng phẳng tới phân cực ngang và đứng, các trường hợp phân cực khác của sóng phẳng là tổ hợp của hai dạng sóng phân cực thẳng ngang và đứng. 3.6.1. Sóng tới phân cực ngang Sóng phân cực thẳng được gọi là phân cực ngang nếu vectơ cường độ điện trường của sóng tới vuông góc với mặt phẳng tới. Mặt phẳng tới là mặt phẳng chứa phương truyền sóng và pháp tuyến của mặt phân cách hai môi trường.Trong trường hợp này, vectơ cường độ điện trường của sóng tới sẽ song song với mặt phân cách hai môi trường. Để tìm quy luật của sóng phản xạ và khúc xạ, ta chọn hệ tọa độ Descartes có mặt x0y trùng với mặt phẳng giới hạn phân cách hai môi trường, trục z trùng với pháp tuyến của mặt giới hạn, hai môi trường điện môi có các tham số điện ε11,,,με2 μ 2 tương ứng. Giả sử sóng tới truyền theo phương zt lập với pháp tuyến của mặt phân chia 2 môi tường một góc ϕt . 55
Sóng phản xạ truyền theo phương z px với góc phản xạ ϕ px , còn sóng khúc xạ truyền theo phương zkx đi vào môi trường thứ hai ứng với góc ϕkx . x Ht Et zt ϕt z ϕ ϕ px kx E z px H 2 px zkx E 2 H px Môi trường 1 Môi trường 2 Hình 3.5. Phản xạ và khúc xạ của sóng phân cực ngang Sử dụng công thức chuyển đổi tọa độ, chuyển các phương zztp,x, z k xvề tọa độ x và z . zzt =+cosϕtt x sinϕ zzpx=+cosϕ px x sinϕpx zzkx =+cosϕkx x sinϕ kx Biểu thức sóng trong môi trường 1 là: Γ z −Γzxcosϕϕ + sin Γ+zxcosϕϕ sin −Γ1zt 1xp 1()tt 1( px px ) EEeEe1x=+tp = Ee t + Ee px (3.29) EEEEppxxΓ z −Γzxcosϕϕ + sin Γ+zxcosϕϕ sin tt−Γ1zt 1xp 1()tt 1()pxpx He1 =− e = e − e ZZZ11 1 Z 1 Giả sử môi trường 2 từ vị trí z = 0 trở đi theo trục z là môi trường đồng nhất và rộng vô hạn, tức là sẽ không có sóng phản xạ trong môi trường 2. Biểu thức sóng trong môi trường lúc này chỉ có thành phần sóng thuận, chính là sóng khúc xạ. −Γzxcosϕϕ + sin −Γ2xzk 2x( kk x) EEe2x==kk Ee x EE−Γzxcosϕϕ + sin (3.30) kkxx−Γ2xzk 2x()kk x He2 == e ZZ22 Vì hai môi trường là điện môi ta có thể áp dụng điều kiện bờ. EE= 12ττz=0 Ta nhận thấy: EEEE==; vậy: EE= (3.31) 1122ττ 12z=0 HH= 12ττz=0 56
Hay HHcosϕ = cosϕ (3.32) 12xtkz=0 Từ các biểu thức từ (3.29) đến (3.32) ta có: Γ xsinϕ −Γ12xxsinϕϕtkx1 px −Γ sin Eetpxkx+= E e E e (3.33) Biểu thức (3.33) phải đúng với mọi giá trị của x , tức là phải đúng với x = 0 , hay: EEtpxkx+= E (3.34) Tương tự như thế ta có: ⎛⎞EEE tkx−=px cosϕ cosϕ (3.35) ⎜⎟tkx ⎝⎠ZZ11 Z 2 Giải 2 phương trình (3.34) và (3.35) ta có: ZZcosϕ − cosϕ EE= 21tkx pxZZcosϕϕ+ cos t 21tkx (3.36) 2cosZ2 ϕt EEkx= t ZZ21cosϕϕtkx+ cos Để mô tả mối quan hệ giữa các biên độ phức của sóng tới, sóng phản xạ, sóng khúc xạ, người ta đưa ra khái niệm hệ số phản xạ và hệ số khúc xạ. EHpx px Hệ số phản xạ: R == EHtt EHkx kx Hệ số khúc xạ: T == EHtt Với sóng phân cực ngang ta có: ZZcosϕ − cosϕ R = 21tkx ng ZZcosϕ + cosϕ 21tkx (3.37) 2cosZ2 ϕt Tng = ZZ21cosϕtkx+ cosϕ Kết hợp (3.33) và (3.34) ta được một điều kiện: Γ=−Γ=Γ112sinϕtpxkx sinϕϕ sin (3.38) sinϕtpx= − sinϕ hay ϕtpx= −ϕ sinϕ Γ Ngoài ra ta cũng có: t = 2 (3.39) sinϕkx Γ1 Xét trường hợp 2 môi trường đều là điện môi có thông số khác nhau, khi đó: Γ=111222jjω με; Γ= ω με , thông thường với điện môi độ từ thẩm tương đối bằng 1, tức là μ120= μμ= , ta được: 57
Γ ε n 22= 2 = Γ11ε1 n sinϕ ε n Hay t = 2 = 2 (3.40) sinϕkx ε1 n1 Trong đó: n = ε gọi là chiết suất của môi trường. 3.6.2. Sóng tới phân cực đứng x Et Ht zt ϕt z ϕ ϕ px kx E2 H px z px zkx H 2 Epx Môi trường 1 Môi trường 2 Hình 3.6. Phản xạ và khúc xạ của sóng phân cực đứng Ta lập lại các bước tiến hành tương tự như với sóng phân cực ngang, áp dụng điều kiện bờ cho các thành phần tiếp tuyến của điện trường và từ trường tại mặt giới hạn phân cách hai môi trường xOy, sẽ nhận được các biểu thức của song phản xạ và khúc xạ như sau: ZZcosϕ − cosϕ R = 12tkx d ZZcosϕ + cosϕ 21tkx (3.41) 2cosZ1 ϕt Td = ZZ21cosϕtkx+ cosϕ Trong trường hợp đặc biệt, khi sóng tới vuông góc với mặt phân chia hai môi trường, tức là góc tới ϕt = 0 và do đó góc khúc xạ ϕkx = 0 . Lúc này các hệ số phản xạ và khúc xạ có dạng đơn giản là: ZZ− 2 Z⎫ RT21; 2 ng== ng ⎪ Z21++ZZZ 21⎪ ⎬ (3.42) ZZ− 2 Z RT==12; 1⎪ dd⎪ ZZ21++ ZZ 21⎭ 58
3.7. Điều kiện bờ gần đúng Leontovic Chúng ta xét trường hợp của sóng phẳng khúc xạ tại mặt giới hạn phân cách hai môi trường từ điện môi vào môi trường có độ dẫn điện lớn. Giả sử môi trường 1 là điện môi, môi trường 2 là dẫn điện có σ 2 khá lớn. Khi đó ta có các điều kiện sau: ε122<< εδtg e (3.43) Từ biểu thức (3.40), ta suy ra: ε1 sinϕkx≈ sinϕ t (3.44) εδ22tg e Từ biểu thức (3.42) ta có kết luận như sau; với mọi góc tới ϕt , khi thỏa mãn điều kiện (3.43) góc khúc xạ ϕkx ≈ 0 , tức là sóng khúc xạ truyền vào môi trường có độ dẫn lớn theo phương pháp tuyến với mặt giới hạn phân cách hai môi trường không phụ thuộc vào giá trị của góc tới ϕt . Nếu chọn trục z của hệ tọa độ Descartes trùng với phương của pháp tuyến mặt giới hạn phân cách, thì các vectơ cường độ trường của sóng khúc xạ trong môi trường 2 có dạng: HH202= τ τ EiZH20=×[]τ z 22τ Với τ 0 là vectơ đơn vị tiếp tuyến với mặt giới hạn phân chia hai môi trường. HE22τ , τ là các thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ trường của sóng khúc xạ ở sát mặt giới hạn. Theo điều kiện bờ tổng quát tại mặt giới hạn, ta có: EE= 12τ τ HH12τ = τ Vì vậy ta suy ra được quan hệ; EZH121τ = τ (3.45) Biểu thức (3.45) mô tả mối quan hệ giữa các thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ trường của sóng tới trong môi trường điện môi qua tham số điện của môi trường thứ hai có độ dẫn điện khá lớn. Nó được gọi là điều kiện bờ gần đúng Leontovic. Điều kiện trên cũng được ứng dụng để tính tiêu hao của sóng điện từ khi truyền dọc bề mặt các kim loại dẫn điện tốt. 3.8. Sóng phẳng trong môi trường không đẳng hướng Ở các phần trước, chúng ta đã tìm hiểu sóng điện từ phẳng trong các môi trường đẳng hướng. Trong các môi trường này, các tham số điện từ như ε, μ, σ là các hằng số và các vectơ của trường điện từ E song song với D , B song song với H qua các phương trình chất. 59
Trong tự nhiên, ngoài các môi trường đẳng hướng còn tồn tại những môi trường mà theo các hướng khác nhau các tham số điện từ của chúng có các giá trị khác nhau. Những môi trường như vậy được gọi là môi trường không đẳng hướng. Độ từ thẩm và điện thẩm của môi trường không đẳng hướng gồm một số các giá trị khác nhau tạo thành một bảng gọi là tenxơ độ từ thẩm μ và ε . Chúng có dạng sau: ⎛ μxxμxy μxz ⎞ ⎛ε xxε xyε xz ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ μ = ⎜ μ yxμ yy μ yz ⎟,ε = ⎜ε yxε yyε yz ⎟ (3.46) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ μzxμzy μzz ⎠ ⎝ε zxε zyε zz ⎠ Các phương trình chất trong môi trường không đẳng hướng sẽ là: D ==ε EB; μ H (3.47) Triển khai (3.47) cho các thành phần theo các trục tọa độ của hệ tọa độ Descartes được: DEEExxxxxyyxzz=++ε εε DEEEyyxxyyyyzz=++εεε DEEEzzxxzyyzzz=++εεε (3.48) BHHHx =++μμμxx x xy y xz z BHHHy =++μμμyx x yy y yz z BHHHzzxxzyyzzz=++μμμ Từ (3.48), ta thấy trong môi trường không đẳng hướng các vectơ của trường E không song song với D , B không song song với H . Trong thực tế chỉ tồn tại các môi trường mà độ từ thẩm và điện thẩm đều là các tenxơ, chỉ có các môi trường không đẳng hướng loại như sau: − Môi trường có ε và σ là các hằng số mà độ từ thẩm là tenxơ μ được gọi là môi trường không đẳng hướng từ quay. Ferit bị từ hóa bởi từ trường không đổi là môi trường từ quay đối với sóng điện từ. Nó được ứng dụng trong kỹ thuật siêu cao tần làm các thiết bị điều khiển sự truyền sóng. − Môi trường có μ và σ là các hằng số, còn độ điện thẩm là tenxơ ε được gọi là môi trường không đẳng hướng điện quay. Chất khí bị ion hóa (còn gọi là plazma) dưới tác dụng của từ trường không đổi cũng biểu hiện tính không đẳng hướng của môi trường điện quay đối với sóng điện từ. Tầng ion hóa của khí quyển trái đất cũng là plazma dưới tác dụng của từ trường trái đất cũng là môi trường điện quay. Khi truyền sóng vô tuyến trong tầng ion hóa cần xét đến tính chất không đẳng hướng của nó. Điều này được nghiên cứu kỹ trong các tài liệu về truyền sóng vô tuyến. 60
3.9. Nguyên lý Hughen – Kirchoff Nguyên lý Hughen – Kirchoff cho phép ta tìm được nghiệm của phương trình sóng thuần nhất đối với một hàm vô hướng nào đó hoặc một thành phần vuông góc bất kỳ của vectơ cường độ trường. Sau đây ta đi tìm biểu thức của nguyên lý này. Chúng ta bắt đầu bằng việc tìm nghiệm của phương trình sóng thuần nhất cho hàm vô hướng ϕ sau: ∇22ϕϕ−=k 0 (3.49) tại một điểm P bất kỳ trong vùng V được giới hạn bởi mặt kín S khi biết giá trị của hàm này và đạo hàm theo pháp tuyến của nó trên mặt S đó. Hàm ϕ được giả thiết là liên tục cùng với đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nó ở trong V và trên S. Ta áp dụng định lý Green: ∂φ ∂ϕ ∫∫()()ϕφφϕ∇−∇22dV = ϕ − φ dS (3.50) VS∂∂nn Ở đây hàm φ là tùy ý liên tục cùng với đạo hàm riêng cho đến cấp hai trong V và trên S. Ta chọn hàm φ dạng: e− jkr φ = (3.51) r Ở đây r là khoảng cách từ điểm tính trường P đến một điểm bất kỳ trong vùng V. Hàm φ chọn dạng (3.51) thỏa mãn điều kiện của định lý Green trừ điểm P, vì tại đây φ tiến đến vô cực khi r tiến đến 0. Để áp dụng biểu thức (3.50), ta bao điểm P bằng mặt cầu nhỏ S0 có bán kính R0 . Khi ấy, miền V sẽ được giới hạn bởi hai mặt kín là S và S0 . Vì hàm φ cũng thỏa mãn phương trình sóng (3.49) nên tích phân theo thể tích ở vế trái của (3.50) bằng không và suy ra: ∂∂φ ϕφϕ ∂∂ ()()ϕφ−=−−dS ϕφ dS (3.52) ∫∫∂∂nn ∂∂ nn SS0 Các đạo hàm theo pháp tuyến lấy theo pháp tuyến hướng ra ngoài vùng V. Do đó trên mặt cầu S0 ta có: ∂φ ∂∂φϕ ∂ ϕ =−; =− ∂nrnr∂∂ ∂ ∂∂ϕ ⎛⎞ee−−jkr⎛⎞1 jkr Nên: =−⎜⎟ =⎜⎟jk + ∂∂nrr⎝⎠⎝⎠ rr Ta tính tích phân trên mặt cầu S0 khi áp dụng định lý trung bình được: ∂∂φϕ1 ee−−jkR00 jkR ∂ ϕ IdSjkRR=−()()4().4ϕ φϕππ =+22 + 000∫ ∂∂nn RRtb Rr ∂ tb S0 00 0 61
⎛⎞∂ϕ Ở đây, ϕtb và ⎜⎟là các giá trị trung bình của hàm ϕ và đạo hàm riêng của ⎝⎠∂n tb nó trên mặt cầu S0 . Chúng là các giá trị hữu hạn. Do đó nếu ta xét trường hợp giới hạn cho mặt cầu S0 thu nhỏ về thành một điểm thì được kết quả: ϕtb → ϕ (P) IPR00=→4πϕ ( ) khi 0 Từ (3.52) ta được: 1 ∂∂ee−−jkr jkr ϕ ϕϕ()PdS=−∫ ( ( ) − ) (3.53) 4π S ∂∂nr r n Biểu thức (3.53) chính là biểu thức của nguyên lý Hughen – Kirchoff. Từ biểu thức này, ta tìm được đạo hàm ϕ qua ở điểm bất kỳ trong thể tích V qua tích phân mặt S của giá trị của giá trị của hàm này và đạo hàm theo pháp tuyến của nó. Nếu các giá ∂ϕ trị của hàm ϕ và đạo hàm trên mặt S được coi là phân bố của các nguồn nguyên tố ∂n thì giá trị của hàm ϕ ở một điểm bất kỳ trong thể tích V là chồng chất của các sóng cầu nguyên tố bức xạ ở trên mặt S giới hạn thể tích V. 3.10. Nguyên lý dòng tương đương Giả sử có các nguồn qq12, , , qn đặt trong vùng V giới hạn bởi mặt kín S. Chúng ta cần tìm trường ở điểm P bất kỳ trong không gian V ′ ngoài mặt S. n S 0 P q1 q2 V ′ EH, V qn Hình 3.7. Theo nguyên lý Hughen – Kirchoff ta có thể tính trường tại P trong V ′ của các nguồn đã cho qua các nguồn bức xạ nguyên tố phân bố trên mặt S tạo ra. Các nguồn nguyên tố phân bố trên mặt S được gọi là các nguồn dòng tương đương (dòng điện mặt và dòng từ mặt). Trường do các nguồn dòng tương đương ở điềm P bất kỳ trong V ′ trùng với trường do các nguồn đã cho trong vùng V tạo ra cũng tại điểm P. Còn trường do nguồn dòng tương đương tạo ra trong vùng V bằng không. Do đó ta có điều kiện biên cho trường của nguồn dòng tương đương là: các thành phần tiếp tuyến của điện trường và từ trường sát bên trong mặt S bằng không: EH′ = ′ = 0 (3.54) ττtrSS tr 62
Theo định lý nghiệm duy nhất, muốn để trường của nguồn đã cho và trường của nguồn dòng tương đương tạo ra ở điểm P trong vùng V ′ trùng với nhau phải có điều kiện là: các thành phần tiếp tuyến của cường độ điện trường và từ trường của hai trường này trên mặt S ở phía bên ngoài phải bằng nhau và chúng khác 0 EEττ′tr= ng ≠ 0 S S (3.55) HH′ = ≠ 0 ττtrS ng S Từ các biểu thức (3.54) và (3.55) ta thấy các thành phần tiếp tuyến của cường độ trường của nguồn dòng tương đương biến đổi nhảy vọt từ không sang khác không khi qua mặt giới hạn S. Theo điều kiện biên tổng quát, sự biến đổi nhảy vọt của các thành phần tiếp tuyến EHτ′, τ′ của trường trên mặt giới hạn S tương đương với sự tồn tại của dòng điện mặt IS và dòng từ mặt ISM chảy trên mặt S. Các dòng mặt này liên quan đến các vectơ cường độ trường trên mặt S bởi các hệ thức sau: ' IS = [n0 × H ng ]S (3.56) ' ISM = −[n0 × Eng ]S Ở đây, n0 là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt giới hạn S. Áp dụng phương pháp thế điện động chúng ta tìm được biểu thức cho các thế chậm vectơ điện và từ do các nguồn dòng tương đương IS và ISM trên S tạo ra tại điểm P trong V ′ ta được: ⎧ μ I e−ikr μ e−ikr A' = S dS = [n × H ' ] dS ⎪ e ∫ ∫ 0 ng ⎪ 4π r 4π r S S (3.57) ⎨ ⎪ ε I e−ikr ε e−ikr A' = SM dS = − [n × E ' ] dS ⎪ M ∫ ∫ 0 ng ⎩ 4π S r 4π S r Trong công thức trên, các tham số điện từ như ε, μ và số sóng k phải tính trong môi trường ở vùng không gian ngoài V’. Các biểu thức (3.56) và (3.57) là biểu thức của nguyên lý dòng tương đương của trường điện từ. 63
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 3-1. Một sóng phẳng điều hòa là truyền trong môi trường đồngnhất, vô hạn với các thông số ε 00,μ và σ = 0 . Biên độ cường độ điện trường Em = 500mV/m, tần số ω = 108 rad . Hãy xác định các thông số của sóng: hệ sồ truyền sóng Γ, trở kháng s sóng Z, vận tốc sóng v , bước sóng λ, cường độ từ trường H , vectơ Poynting Π và mật độ dòng dịch J dc . 3-2. Hãy tìm các thông số của một sóng phẳng điều hòa: hệ số pha β, trở kháng sóng Z, vận tốc sóng v trong không khí và nước. Cho biết thông số của nước là ε1010==81εμ; μ. Xét trường hợp tần số f = 1Mhz và f = 10Mhz . 3-3. Một sóng phẳng điều hòa lan truyền trong môi trường bán dẫn (điện môi có −2 tiêu tán), biết các thông số môi trường εεμμσ===1000;; 10 S/m và tần số 8 ω = 10 rad/s . Đã biết cường độ trường tại x0= yz== là Em = 600mV/m . Hãy viết biểu thức sóng chạy? 3-4. Một sóng phẳng điều hòa lan truyền theo phương z thẳng đứng với mặt chia cắt hai điện môi. Thông số hai môi trường tại −∞≤z ≤0 : ε rr111= 110;;μσ== và tại 0 ≤≤∞z : ε rr221===410;;μσ. 8 Biết tần số sóng ω = 310rad/s. , biên độ sóng tại z0= bằng Em = 1V/m , cho biết sóng phân cực ngang (EE= y ) . Hãy tìm biểu thức sóng trong hai miền đó: Et,Ht,Et,Ht?1122( ) ( ) ( ) ( ) 3-5. Một sóng phẳng điều hòa phân cực theo chiều x lan truyền theo phương z , tại vị trí z0= sóng chuyển từ không khí có ε rr11= 11;μ = sang một môi trường dẫn 2 điện μσr 22==1510S/m;. . Biết biên độ cường độ trường của sóng tới Et = 1V/m , tần số ω = 106 rad/s . Hãy tìm giá trị tức thời của các vectơ trường E và H trong hai miền sau khi đã khúc xạ, phản xạ. Tìm vectơ Poynting thấm vào mặt vật dẫn và tím bền sâu xuyên thấu d ? 3-6. Tìm độ sâu thâm nhập của trường và điện trở mặt riêng của các môi trường sau: -14 − Êbônit có: σ = 5. 10 S/m, μ = μ0 -14 − Đất khô có: σ = 10 S/m, μ = μ0 Với các tần số của trường: f = 105Hz và 108Hz 64
CHƯƠNG 4. SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG CÁC HỆ ĐỊNH HƯỚNG 4.1. Khái niệm về mạch siêu cao tần Ở các chương 1, 2 và 3 ta đã khảo sát các vấn đề thuộc phần lý thuyết trường điện từ. Bắt đầu từ chương 4 là các vấn đề về kỹ thuật siêu cao tần. Dải sóng siêu cao tần là một phần của dải sóng điện từ có bước sóng λ nằm trong khoảng từ 10m đến 1mm, tương ứng với dải tần số f từ 3.107 H z đến 3.1011 H z . Nó được phân ra bốn dải nhỏ là: + Dải sóng m hay VHF (λ = 10mmf÷= 1 ; 30 MH z ÷ 300 Mh z) + Dải sóng dm hay UHF (λ = 10dm÷= 1 dm ; f 300 MH z ÷ 3 GH z) + Dải sóng cm hay SHF (λ = 10cm÷=÷ 1 cm ; f 3 GH z 30 GH z) + Dải sóng mm hay EHF (λ = 10mm÷=÷ 1 mm ; f 30 GH z 300 GH z) Các dải sóng siêu cao tần trên được sử dụng ngày càn rộng rãi trong các thiết bị vô tuyến điện tử ở các lĩnh vực khác nhau như: truyền hình, phát thanh FM, thông tin vệ tinh, thông tin di động, radar, đạo hàng Sở dĩ như vậy vì sóng siêu cao tần có các tính chất đặc biệt sau: 1. Sóng siêu cao tần truyền thẳng trong phạm vi nhìn thấy trực tiếp. Hầu hết các dải sóng này đều có khả năng xuyên qua bầu khí quyển của trái đất và thay đổi ít về công suất và phương truyền sóng. 2. Sóng siêu cao tần có tính định hướng cao khi bức xạ từ những vật có kích thước lớn hơn nhiều so với bước sóng. 3. Sóng siêu cao tần cho phép khoảng tần số sử dụng lớn, tức là chúng ta có thể sử dụng số kênh rất lớn trong dải sóng siêu cao tần, đáp ứng được nhu cầu truyền thông tin ngày càng tăng. Ví dụ: trong tất cả các dải sóng ngắn (λ = 100mmfMHMH÷=÷ 10 ; 3 z 30 z) chỉ có thể phân bố được khoảng 4000 kênh thoại hay 4 kênh video của truyền hình không nhiễu đến nhau. Song với lượng kênh cần sử dụng như trên khi dùng dải sóng cm, chỉ cần một khoảng khá nhỏ từ bước sóng λ = 2,992 đến 3cm. 4. Ở dải sóng siêu cao tần nhất là hai dải nhỏ là cm và mm thì kích thước của các phần tử và thiết bị so sánh được với chiều dài bước sóng, thậm chí có trường hợp chúng còn lớn hơn nhiều so với bước sóng. Do đó trong các trường hợp như vậy phải chú ý đến hiệu ứng giữ chậm của sóng điện từ. Trong các đèn điện tử chân không thông thường thời gian bay của điện tử giữa các cực của đèn có thể so sánh hoặc lớn hơn chu kỳ dao động siêu cao tần (nhất là ở dải cm và mm). Nên ta phải chú ý đến 65
hiệu ứng quán tính bay của điện tử. Trong các dụng cụ bán dẫn thông thường ở dải sóng siêu cao tần cũng có hiệu ứng quán tính dịch chuyển của điện tử và lỗ trống. Do các đặc điểm riêng của dải sóng siêu cao tần, nên các khái niệm về các phần tử tập trung ở đây không còn áp dụng được, mà ta phải thay bằng khái niệm về các phần tử phân bố. Đồng thời chúng cũng đặt ra nhiều vấn đề lớn cần giải quyết như: các hệ thống truyền dẫn năng lượng, các mạch dao động, các hệ bức xạ và các dụng cụ điện tử và bán dẫn để tạo ra các dao động siêu cao tần. 4.2. Khái niệm về sóng điện từ định hướng và các hệ định hướng Chúng ta gọi đường truyền là các thiết bị hay hệ để giới hạn đường truyền lan các dao động điện từ hay các dòng năng lượng điện từ theo hướng đã cho. Đường truyền dùng để truyền dẫn năng lượng siêu cao tần hay sóng siêu cao gọi là đường truyền năng lượng siêu cao tần (đường truyền siêu cao). Đường truyền siêu cao được gọi là đường truyền đồng nhất nếu như dọc theo hướng truyền sóng tiết diện ngang không thay đổi và môi trường chứa trong nó là đồng nhất. Trong kỹ thuật siêu cao tần, đường truyền đồng nhất được sử dụng là chủ yếu. Người ta có thể phân loại đường truyền đồng nhất ra các loại sau: đường truyền hở và đường truyền kín. Trong đường truyền hở, tại tiết diện ngang không có vòng kim loại bao bọc vùng truyền năng lượng siêu cao tần. Đường truyền hở có nhiều dạng khác nhau như: đường dây đôi, mạch dải, đường truyền sóng mặt Đối với đường truyền kín, trong nó phải có ít nhất một mặt vật dẫn kim loại bao bọc hoàn toàn vùng truyền năng lượng siêu cao tần. Đường truyền kín là các ống kim loại rỗng có tiết diện khác nhau, bên trong có thể nhét đầy các chất điện môi đồng nhất khác nhau hoặc không khí hay chân không. Chúng được gọi là ống dẫn sóng. Có nhiều loại ống dẫn sóng được dùng trong kỹ thuật siêu cao tần như: ống dẫn sóng đồng trục, ống dẫn sóng chữ nhật, ống dẫn sóng trụ tròn Ở dải sóng mét, người ta ứng dụng đường dây đôi (song hành) và cáp đồng trục hay ống dẫn sóng đồng trục để truyền dẫn năng lượng siêu cao. Đường dây đôi có cấu trúc đơn giản và cho kích thước ngang khá gọn, dễ điều chỉnh phối hợp. Nhưng ở dải sóng decimet, ống dẫn sóng đồng trục hay cáp đồng trục được dung phổ biến để truyền dẫn năng lượng siêu cao. Đường dây đôi không được sử dụng rộng rãi trong dải sóng này vì tổn hao do bức xạ và hiệu ứng bề mặt. Trong dải sóng centimet, đường truyền siêu cao phổ biến là các ống dẫn sóng chữ nhật và trụ tròn vì nó cho tiêu hao nhỏ, kích thước phù hợp, ống dẫn sóng đồng trục hay cáp đồng trục ít được dung vì tổn hao do hiệu ứng bề mặt ở lõi trong và tổn hao trong điện môi rất lớn. Nó chỉ dùng ở khoảng cách ngắn và công suất nhỏ. Trong dải milimet, các ống dẫn sóng chữ nhật và tròn không được dùng phổ biến do kích thước nhỏ, khó chế tạo và tiêu hao lớn. Ở dải sóng này, đường truyền siêu cao 66
phổ biến là mạch dải, đường truyền sóng mặt như: ống dẫn sóng điện môi, dây dẫn đơn có phủ chất điện môi. Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu trường điện từ tồn tại và lan truyền trong các dạng đường truyền siêu cao phổ biến như: ống dẫn sóng chữ nhật, ống dẫn sóng trụ tròn, ống dẫn sóng hoặc cáp đồng trục, ống dẫn sóng điện môi, đường dây đôi, mạch giải Chúng ta cũng tiến hành xét điều kiện truyền lan các dạng trường TEM, TE, TM trong chúng và nghiên cứu các đại lượng đặc trưng cho trường và cho đường truyền để từ đó áp dụng chúng có hiệu quả nhất khi truyền dẫn năng lượng siêu cao. 4.3. Ống dẫn sóng chữ nhật Ống dẫn sóng chữ nhật là một cấu trúc được tạo bởi 4 vách kim loại như hình 4.1. Khoảng không gian bên trong ống là điện môi. Phần lớn các trường hợp, điện môi là không khí, có trường hợp là khí trơ. Các vách kim loại làm bằng vật liệu có độ dẫn cao, ví dụ đồng hoặc hợp kim của đồng. Đồng thời để chống rỉ và tăng thêm độ dẫn, người ta có thể mạ bên trong ống bằng 1 lớp bạc mỏng. y b z a x Hình 4.1. Ống dẫn sóng chữ nhật Để tìm trường có thể tồn tại trong ống dẫn sóng chữ nhật không tổn hao, cần giải hệ phương trình Maxwell đối với miền giới hạn bởi các vách kim loại dẫn điện lý tưởng, với điều kiện bờ Et = 0 . Để đơn giản ta xét ống dẫn sóng với các điều kiện sau đây: + Thành ống có σ =∞ + Điện môi bên trong lý tưởng: σ dm = 0 . + Ta coi ống dẫn sóng dài vô hạn và trong miền khảo sát không tồn tại nguồn trường (ρ = 0) . Sử dụng hệ toạ độ vuông góc (hình 4.1) ta có điều kiện bờ trên các thành ống có dạng: Et = 0 tại x = 0,xay=== , 0, yb (4.1) 67
Ta sẽ quan tâm đến điều kiện để lời giải của các phương trình sẽ có dạng sóng chạy truyền lan dọc theo trục ống dẫn sóng (trục z). Vì vậy, sự phụ thuộc của các thành phần vectơ EH, với toạ độ z trong chế độ xác lập có thể biểu diễn bởi hàm số: jtω −Γ z e (4.2) Với Γ là hệ số truyền sóng chưa biết. Theo (4.2) thì vi phân của một thành phần bất kỳ của vectơ E hoặc H theo biến số z sẽ tương đương với tích của hàm số ấy với −Γ . ∂E ∂ Ví dụ: x ==−Γ⎡⎤Exye(), −Γz E ∂∂zz⎣⎦x0 x Do đó, khai triển các phương trình Maxwell theo hệ toạ độ vuông góc, đối với miền trong của ống dẫn sóng, khi J = 0 và ρ = 0 ta sẽ có: iiixyz ∂∂∂ rotH== jωε E (4.3) ∂∂∂xyz HHHxyz rotE =−jωμH (4.4) Cho các thành phần tương ứng theo 3 trục x,,yz của hai vế phương trình (4.3) và (4.4) bằng nhau ta được: ⎫ ∂H z +ΓHjEyx = ωε ()1 ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ∂H z −−Γ=HjExyωε ()2 ⎪ ∂x ⎪ ∂H ⎪ y ∂H x −=jEωε z ()3 ⎪ ∂∂xy ⎪ ⎬ (4.5) ∂E z +ΓEjH =− ωμ ()4 ⎪ ∂y yx⎪ ⎪ ∂E ⎪ −−Γ=−z EjHωμ ()5 ∂x xy⎪ ⎪ ∂E y ∂Ex ⎪ −=−jHωμ z ()6 ⎪ ∂∂xy ⎭ Trong đó: ε,μ là các hằng số của môi trường bên trong ống dẫn sóng. Nếu thay H x và H y từ phương trình (4) và (5) vào phương trình (1), (2) của hệ phương trình (4.5), sau đó thay Ex và Ey từ phương trình (1), (2) vào phương trình (4), (5) thì các đại lượng chưa biết EEHHx ,,yxy , sẽ được biểu thị qua EHzz, : 68
⎛⎞⎫ 1 ∂∂EHzz Ejx =−2 ⎜⎟ Γ + ωμ ⎪ kxc ⎝⎠∂∂ y⎪ 1 ⎛⎞∂∂EH⎪ zz⎪ Ejy =−2 ⎜⎟ −Γ + ωμ kyc ⎝⎠∂∂ x⎪ ⎬ (4.6) ⎛⎞ 1 ∂∂EHzz⎪ Hjx =−2 ⎜⎟ωε −Γ kyx∂∂⎪ c ⎝⎠⎪ ⎛⎞⎪ 1 ∂∂EHzz Hjy =−2 ⎜⎟ωε +Γ ⎪ kxyc ⎝⎠∂∂⎭ ω Trong đó kk222= +Γ , với k = ωεμ= c v Đối với sóng truyền lan theo hướng ngược, cần thay Γ trong các biểu thức (4.5) và (4.6) bởi −Γ . Như vậy nếu ta tìm được EHzz, thì sẽ tìm được các thành phần sóng còn lại trong ống dẫn sóng. Thay EEx , y từ (4.6) vào (6) của (4.5) và thay HHx , y vào (3) của (4.5) ta sẽ nhận được phương trình của các thành phần Ez và H z : ∂∂22HH zz+ +=kH2 0 (4.7) ∂∂xy22cz ∂∂22EE zz+ +=kE2 0 (4.8) ∂∂xy22cz Từ các biểu thức (4.6) ta thấy trường điện từ trong ống dẫn sóng, trong trường hợp tổng quát là tổng của hai trường độc lập nhau: ⎫ jHωμ∂∂zz jH ωμ EEExyz=−22;;0 = = ⎪ kycc∂∂ kx ⎪ ⎬ (4.9) Γ∂HH Γ∂ HHH=−zz;;0 =− ≠ ⎪ xyz22⎪ kxcc∂∂ ky ⎭ ⎫ Γ∂EEzz Γ∂ EEExyz=−22;;0 =− ≠ ⎪ kxcc∂∂ ky ⎪ ⎬ (4.10) jEωε∂∂ jE ωε HH==−=zz;;0 H ⎪ xy22 z⎪ kycc∂∂ kx ⎭ Dễ dàng nhận thấy trường (4.9) là trường điện ngang TE (Ez = 0), (4.10) là trường từ ngang TM (H z = 0) . 69
4.3.1. Trường điện ngang Theo (4.9) trường điện ngang trong ống dẫn sóng được xác định bởi thành phần dọc H z . Thành phần này thoả mãn (4.7). Điều kiện bờ có thể tìm được từ điều kiện bờ tổng quát. Điều kiện này được áp dụng cho trường TE như sau: Ez = 0 y=0;yb= (4.11) x=0;xa= Áp dụng (4.9) sẽ có: ∂H z ⎫ ===00; t¹i x xa⎪ ∂x ⎪ ⎬ (4.12) ∂H z ===00; t¹i yyb⎪ ∂y ⎭⎪ Lời giải của (4.7) có thể biểu thị dưới dạng: −Γz HXxYyez = ( ) ( ) (4.13) Trong đó X ( x) và Yy( ) là các hàm chỉ phụ thuộc vào x và y . Thay các biểu thức trên vào (4.7) và thực hiện các phép biến đổi đơn giải ta sẽ nhận được: XY′′′′ + +=k 2 0 XY c Từ đây ta có: 22222 X ′′+ pX=+=0; Y ′′ qY 0 víi p += q kc ở đây p và q là các hằng số phân ly tuỳ ý (giải bằng phương pháp phân ly biến số). Ta viết lời giải tổng quát của các phương trình vi phân trên dưới dạng sau: XA=+( cos pxBpx sin) , 11 YA=+()22cos qxBqx sin Theo (4.13), thành phần H z sẽ bằng: −Γz Hz =+( A1122cos px B sin px)( A cos qx + B sin qx) e (4.14) ở đây hệ số truyền sóng Γ=2222pqk + − Để tìm các đại lượng chưa biết, ta áp dụng điều kiện bờ (4.12). Từ điều kiện thứ nhất ta có: nπ Bqbqn===0;sin 0 và ; 0,1,2, 2 b Từ điều kiện thứ hai ta nhận được: mπ Bpam===0;sin 0 và p ; 0,1,2, 1 a 70
Do đó: 22 2 ⎛⎞⎛⎞mnπ π kc =+⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ab 22 22⎛⎞⎛⎞mnππ 2 Γ=Γmn =kk c − =⎜⎟⎜⎟ + − k ⎝⎠⎝⎠ab mnπ π HA = cos x cos ye−Γz zmn ab ở đây ký hiệu Amn = AA12 Bây giờ thay giá trị của H z vào (4.9) ta sẽ tìm được các biểu thức cuối cùng đối với hình chiếu của các vectơ trường điện ngang trong ống dẫn sóng chữ nhật. jnωμ π m π n π ⎫ EAxye = cos sin −Γz xmnkb2 a b ⎪ c ⎪ jmωμ π m π n π ⎪ EAxye =− sin cos −Γz ymnka2 a b ⎪ c ⎪ E = 0 ⎪ z ⎪ ⎬ (4.15) Γmn mmnπππ−Γz HAxyexmn= 2 sin cos ⎪ ka a b c ⎪ ⎪ Γmn nmnπππ−Γz HAxyeymn= 2 cos sin ⎪ kbc a b ⎪ mnππ ⎪ HA = cos x cos ye−Γz ⎪ zmn ab ⎭ Từ các đẳng thức trong (4.15) ta thấy khi mn= = 0 thì tất cả các thành phần của trường đều bằng 0, trừ H z . Do đó số m và n có thể nhận bất kỳ giá trị nào bằng 0,1,2,3 nhưng không đồng thời được lấy bằng 0. Như vậy trong ống dẫn sóng chữ nhật tồn tại vô số kiểu trường điện ngang khác nhau, đặc trưng bởi các giá trị mn, khác nhau (ta ký hiệu trường TEmn hoặc H mn ). Theo (4.15) phân bố trường theo các cạnh ab, có sóng đứng, đồng thời số m xác định số nửa sóng trong khoảng 0 ≤≤x a , còn n là số nửa sóng trong khoảng 0 ≤≤yb. Rõ ràng là trường (4.15) sẽ có dạng sóng chạy, truyền theo trục z nếu hệ số truyền sóng Γ là một số thuần ảo. 22 2 ⎛⎞⎛⎞mnπ π Γ=mnjjkβ mn = −⎜⎟⎜⎟ − (4.16) ⎝⎠⎝⎠ab βmn là hệ số pha. Muốn vậy, cần thực hiện bất đẳng thức sau: 71
22 22 ⎛⎞⎛⎞mnπ π k =>ωεμ ⎜⎟⎜⎟ + ⎝⎠⎝⎠ab 22 2 ⎛⎞⎛⎞mnπ π Nếu k fth hoặc λ < λth (4.19) Tiếp theo, có thể dễ dàng tính được vận tốc pha và bước sóng trong ống dẫn sóng. Vận tốc pha vph bằng: ω v v == (4.20) ph β 2 ⎛⎞fth 1− ⎜⎟ ⎝⎠f Còn bước sóng trong ống dẫn sóng sẽ là: v λ v λ ==ph (4.21) s f 2 c ⎛⎞λ 1− ⎜⎟ ⎝⎠λth Do đó λs có giá trị khác với bước sóng trong không gian tự do tính theo các thông số ε = ε 0 và μ = μ0 . Vận tốc nhóm vnh có dạng: 2 dω ⎛⎞fth vvnh ==−1 ⎜⎟ (4.22) dfβmn ⎝⎠ 72
Từ các công thức đối với vận tốc pha và vận tốc nhóm (4.20) và (4.22) ta thấy ống dẫn sóng chữ nhật là môi trường tán tần. Trở kháng đặc tính của ống dẫn sóng trong trường hợp sóng điện ngang có giá trị bằng: EZ E ωμ ()Z ==−==x y 0 (4.23) C TE 2 HHyxmnβ ⎛⎞fth 1− ⎜⎟ ⎝⎠f Từ biểu thức (4.17) có thể thấy rằng với các kích thước ngang của ống dẫn sóng cho trước, khi tăng m và n , tần số tới hạn sẽ tăng, nghĩa là sóng với mn, lớn sẽ có tần số tới hạn cao hơn là sóng với mn, nhỏ. Do đó, để truyền năng lượng điện từ có tần số dao động cho trước trong ống dẫn sóng có kich thước ngang nho nhất cần sử dụng sóng với các giá trị mn, nhỏ. 4.3.2. Trường từ ngang. Trường từ ngang trong ống dẫn sóng được xác định bởi thành phần Ez ,thành phần này thoả mãn phương trình (4.8) và các điều kiện bờ: Exxaz = 00, t¹i ==⎫⎪ (4.24) ⎬ Eyybz = 00, t¹i ==⎭⎪ Vì phương trình (4.7) và (4.8) tương tự nhau nên lời giải của (4.8) cũng sẽ có dạng giống (4.14) nghĩa là: −Γz Ez =+( A1122cos px B sin px)( A cos qy + B sin qy) e (4.25) Với pqk22+= 2 và Γ2222=+−pqk (4.26) Khi thoả mãn các điều kiện bờ (4.24) ta sẽ nhận được: mπ ⎫ Apapm===0; sin 0; ; 0,1,2, 1 a ⎪ ⎬ (4.27) nπ Aqbqn===0; sin 0; ; 0,1,2, ⎪ 2 b ⎭⎪ Áp dụng kết quả này vào (4.25) ta sẽ có: mnπ π EB = sin sin e−Γz zmn ab ở đây BBBmn = 12 Thay giá trị Ez vào công thức (4.10) ta sẽ nhận được các biểu thức cuối cùng của các thành phần vectơ trường từ ngang trong ống dẫn sóng chữ nhật. 73
Γ mmnπππ⎫ mn ⎛⎞⎛⎞−Γmn z EBxyexmn=− 2 cos⎜⎟⎜⎟ sin ka a b ⎪ c ⎝⎠⎝⎠ ⎪ Γ nmnπππ⎪ mn ⎛⎞⎛⎞−Γmn z EBxyeymn=− 2 sin⎜⎟⎜⎟ cos ⎪ kbc ⎝⎠⎝⎠ a b ⎪ mnππ ⎪ ⎛⎞⎛⎞−Γmn z EBzmn= sin⎜⎟⎜⎟ x sin ye ⎪ ⎝⎠⎝⎠ab ⎬ (4.28) jnωε π m π n π ⎪ ⎛⎞⎛⎞−Γmn z HBxyexmn= 2 sin⎜⎟⎜⎟ cos ⎪ kbc ⎝⎠⎝⎠ a b ⎪ ⎪ jmωε π ⎛⎞⎛⎞mnππz −Γmn ⎪ HBy =− 2 mn cos⎜⎟⎜⎟xye sin kac ⎝⎠⎝⎠ab⎪ ⎪ H z = 0 ⎭ Đồng thời theo (4.26) và (4.27) ta nhận được: 22 2 ⎛⎞⎛⎞mnππ kc =+⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ab 22 ⎛⎞⎛⎞mnππ2 Γ=mn ⎜⎟⎜⎟ + −k ⎝⎠⎝⎠ab Như vậy, trong ống dẫn sóng chữ nhật có thể tồn tại vô số kiểu sóng từ ngang, đặc trưng bởi các chỉ số mn, khác nhau (sóng TM mn hay Emn ) Các số mn, ở đây cũng có ý nghĩa giống như trong trường hợp TE . Dễ dàng nhận thấy khi m hoặc n bằng 0 thì tất cả các vectơ trường sẽ bằng 0. Do đó trong ống dẫn sóng chữ nhật sẽ không tồn tại các trường TM00, TM m 0 hoặc TM 0n , và mn , sẽ nhận các giá trị: mn=1,2,3, ,= 1,2,3, Cũng lập luận tương tự như đối với “trường điện ngang” ta sẽ nhận được công thức của tần số tới hạn, bước sóng tới hạn và các đặc trưng khác đối với sóng từ ngang khác nhau. Các công thức này có dạng gần giống với các công thức của sóng điện ngang. Công thức đối với trở kháng đặc tính của ống dẫn sóng trong trường hợp sóng từ ngang có dạng: 2 βmn⎛⎞f th ()ZZc ==0 1 −⎜⎟ (4.29) TM ωε ⎝⎠f Như vậy tất cả các lời giải có thể có trong ống dẫn sóng chữ nhật đã được thể hiện đầy đủ bởi các trường (4.15) và (4.28) với mn ,= 0,1,2, Các trường hợp này được gọi là trường riêng hay sóng riêng của ống dẫn sóng chữ nhật. Hiển nhiên là nếu có một trường bất kỳ, với cấu trúc phức tạp thì tại các điểm không có nguồn ta cũng có thể biểu thị nó dưới dạng tổ hợp của các trường riêng nói trên. 74
Chú ý, trong các công thức trên đây, khi tính toán với trường hợp điện môi bên trong ống dẫn sóng lý tưởng ta thay thế Γ = jβ . 4.4. Ống dẫn sóng trụ tròn iϕ iρ 2a 0 ρ = a a) b) Hình 4.2. Ống dẫn sóng trụ tròn Ống dẫn sóng trụ tròn là 1 ống hình trụ bằng kim loại rỗng bên trong chứa chất điện môi (thường là không khí), bán kính của ống là a . Ta sẽ khảo sát ống dẫn sóng trụ tròn mà bề mặt của nó được xác định bởi phương trình ρ = a trong hệ toạ độ trụ ρ,,ϕ z (hình 4.2.b). Áp dụng các phương trình Maxwell ta sẽ biểu thị các thành phần EEρϕ, và HHρϕ, qua EHzz, như sau: ⎛⎞ 1 ∂∂Ejzzωμ H Eρ =−2 ⎜⎟ Γ + kc ⎝⎠∂∂ρ ρϕ ⎛⎞ 1 Γ∂EHzz ∂ Ejϕ =−2 ⎜⎟ +ωμ kc ⎝⎠ρ ∂∂ϕρ (4.30) ⎛⎞ 1 jEωε ∂∂zz H H ρ =−Γ2 ⎜⎟ kc ⎝⎠ρϕ∂∂ ρ ⎛⎞ 1 ∂Γ∂EHzz Hjϕ =−2 ⎜⎟ωε + kc ⎝⎠∂∂ρ ρϕ 4.4.1. Trường điện ngang Biểu thức tổng quát của các thành phần vectơ EH, của trường điện ngang trong ống dẫn sóng trụ tròn có dạng: ⎫ 1 jHωμ∂∂zz jH ωμ EEEρϕ=−22;;0 =z = ⎪ kkccρϕ∂∂ ρ ⎪ ⎬ (4.31) Γ∂HH Γ1 ∂ HH=−zz;;0 =− H ≠ ⎪ ρϕ22z ⎪ kkcc∂∂ϕρϕ⎭ 75