›
›

Giáo trình Xử lý số tín hiệu - Phạm Hồng Thịnh

pdf 179 trang ngocly 1630
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Xử lý số tín hiệu - Phạm Hồng Thịnh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_xu_ly_so_tin_hieu_pham_hong_thinh.pdf

Nội dung text: Giáo trình Xử lý số tín hiệu - Phạm Hồng Thịnh

  1. TRƯNGðIHCQUYNHƠN KHOAKTHUT&CƠNGNGH GIÁOTRÌNH XLÝS TÍNHIU Ngưibiênson:PhmHngThnh QuyNhơn2009
  2. MCLC CHƯƠNG1.BIUDINTÍNHIUVÀHTHNGRIRC TRONGMINTHIGIANRIRCn 5 1.1.NHPMƠN 5 1.1.1. ðnhngh ĩatínhi u 5 1.1.2.Phânlo itínhi u 5 1.1.3.H th ngx lýtínhi u 7 1.2.TÍNHIURIRC 8 1.2.1.Cácd ngbi udi nc adãys 8 1.2.2.Cáctínhi u r i r c c ơ b n 9 1.2.3.Cácphéptốncơbncadãy 12 1.3.HTHNGRIRC 13 1.3.1.Kháinim 13 1.3.2.Phânloihthngrirc 15 1.3.2.1.Hthngkhơngnh(Memorylesssystems) 15 1.3.2.2.Hthngtuyntính(Linearsystems) 15 1.3.2.3.Hthngbtbintheothigian(TimeInvariantsystems) 16 1.3.2.4.Hthngnhânqu(Causalsystems) 16 1.3.2.5.Hthngnđnh(Stablesystems) 17 1.3.3.Hthngtuyntínhbtbintheothigian 17 1.3.3.1.Kháinim 17 1.3.3.2.Tíchchp 18 1.3.3.3.Cáctínhchtcahthngtuyntínhbtbin 21 1.4.PHƯƠNGTRÌNHSAIPHÂNTUYNTÍNHHSHNG 25 1.4.1.Kháinim 25 1.4.2.NghimcaPTSPTTHSH 25 1.5.HTHNGRIRCðQUY(RECURSIVE)VÀKHƠNG ðQUY(NONRECURSIVE) 31 1.5.1.HthngkhơngđquyFIR 31 1.5.2.HthngđquyIIR 31 1.5.3.ThchinhFIRvàIIR 34 1.6.HÀMTƯƠNGQUANVÀHÀMTTƯƠNGQUAN 35 1
  3. 1.6.1.Hàmtươngquan 35 1.6.2.Hàmttươngquan 37 Chương2.BIUDINTÍNHIUVÀHTHNGRIRC TRONGMINZ 39 2.1.BINðIZ 39 2.1.1Binđi Z thun 39 2.1.1.1.Binđi Zhaiphía 39 2.1.1.2.Binđi Zmtphía 40 2.1.2.Minhitcabinđi Z 41 2.1.3.Cáctínhchâtcabinđiz 45 2.1.4.Binđizhut 47 2.2.BINðIZNGƯC 49 2.2.1.ðnhlíCauchy 49 2.2.2.Binđizngưc 49 2.2.3.Cácphươngpháptìmbinđizngưc 50 2.2.3.1.Phươngphápthngdư 50 2.2.3.2.Phươngphápkhaitrin X(z)thànhchuilũytha 51 2.2.3.3.Phươngphápphântích X(z) thànhtngcácphânthctigin 53 2.3.PHÂNTÍCHHTHNGRIRCTRÊNMINZ 60 2.3.1.HàmtruynđtcahthngTTBB 60 2.3.2.HàmtruynđtcahđưcmơtbiPT–SP–TT–HSH 60 2.3.3.GiiphươngtrìnhsaiphânTT–HSHsdngbinđiz 61 2.3.4.PhântíchhthngTT–BBtrênminz 64 CHƯƠNG3.BIUDINTÍNHIUVÀHTHNGRIRC TRONGMINTNSLIÊNTCω 76 3.1.BINðIFOURIER 77 3.1.1Binđi Fourier thun 77 3.1.1.1.ðnhnghĩa 78 3.1.1.2. Stnticabinđi Fourier 78 3.1.1.3.Cácdngbiudincahàm X(e jωωω) 79 3.1.1.4Quanhgiabinđi Fourier vàbinđi Z 81 2
  4. 3.1.2.Binđi Fourier ngưc 82 3.1.3.Cáctínhchtcabinđi Fourier 83 3.2.PHCATÍNHIUS 88 3.2.1.Cácđctrưngphcatínhius 88 3.2.2.Phcatínhiuliêntc x(t) vàtínhiulymu x(n.T) 90 3.3.ðCTÍNHTNSVÀHÀMTRUYNðTPHCCAHX LÝSTUYNTÍNHBTBINNHÂNQU 93 3.3.1ðctínhtnsvàhàmtruynđtphc H(e jωωω) 93 3.3.2.Phântíchhxlýstheohàmtruynđtphc H(e jωωω) 96 3.4.CÁCBLCSLÝTƯNG 98 3.4.1.Blcthơngthplýtưng 98 3.4.2.Blcthơngcaolýtưng 100 3.4.3.Blcdithơnglýtưng 102 3.4.4.Blcdichnlýtưng 104 3.4.5.Blcsthct 107 CHƯƠNG4.BIUDINTÍNHIUVÀHTHNGRIRC TRONGMINTNSRIRC(MINK) 108 4.1.BINðI FOURIER RIRCCADÃYTUNHỒN 108 4.2.BINðI FOURIER RIRCCADÃYKHƠNGTUN HỒNCĨðDÀIHUHN(DFT) 110 4.2.1.Binđi Fourier rirc(DFT) 110 4.2.2.QuanhgiaDFTviFTvàZT 114 4.3.PHÉPDCHVỊNG,TÍCHCHPVỊNGVÀCÁCTÍNHCHT CADFT 116 4.3.1.PhépdchvịngvàtíchchpvịngcaDFT 116 4.3.1.1.Phépdchvịng 116 4.3.1.1.Phépdchvịng 119 4.3.2.CáctínhchtcaDFT 122 4.4.TÍNHTRCTIPDFTVÀIDFT 126 4.4.1.SlưngphéptốnkhitínhtrctipDFTvàIDFT 126 4.4.2.TínhDFTvàIDFTcadãy x(n) Nthc,đixng, Nl 127 4.4.3.TínhDFTvàIDFTcadãy x(n) Nthc,đixng, Nchn 132 3
  5. 4.4.4.TínhDFTvàIDFTcadãy x(n) Nthc,phnđixng, Nl 134 4.4.5.TínhDFTvàIDFTcadãy x(n) Nthc,phnđixng, Nchn 137 Chương5.TNGHPBLCSCĨðÁPNGXUNGCHIU DÀIHUHN 141 5.1.PHÂNTÍCHBLCSFIRPHATUYNTÍNH 141 5.1.1.ðctínhxungh(n)cacácblcsFIRphatuyntính 141 5.1.2.ðctínhtnscablcsFIRphatuyntính 145 5.1.2.1.ðctínhtnscablcFIRphatuyntínhloi1 146 5.1.2.2.ðctínhtnscablcFIRphatuyntínhloi2 149 5.1.2.3.ðctínhtnscablcFIRphatuyntínhloi3 149 5.1.2.4.ðctínhtnscablcFIRphatuyntínhloi4 151 5.2.CÁCPHƯƠNGPHÁPTNGHPBLCSFIRPHATUYN TÍNH 152 5.2.1.Phươngphápcas 152 5.2.1.1.Cácbưcchínhthitkblcsbngphươngphápcas 150 5.2.1.2.Mtshàmcasthưngdùng 153 5.2.2.Phươngpháplymutns 160 5.2.2.1.Cơscaphươngpháplymytns 160 5.2.2.2.Cácbưctnghpblcstheophươngpháplymu tns 163 CHƯƠNG6.THITKBLCSCĨðÁPNGXUNG CĨCHIUDÀIVƠHNIIR 165 6.1.CƠSTNGHPBLCSIIR 165 6.2.PHƯƠNGPHÁPBTBINXUNG 166 6.3.PHƯƠNGPHÁPBINðISONGTUYN 170 6.4.PHƯƠNGPHÁPTƯƠNGðƯƠNGVIPHÂN 175 6.5.BLCTƯƠNGTBUTTERWORTH 175 6.6.BLCTƯƠNGTCHEBYSHEP 176 6.7.BLCTƯƠNGTELIP(CAUER) 178 4
  6. Chương1 BIUDINTÍNHIUVÀHTHNGRIRCTRONGMINTHI GIANRIRCn 1.1.Nhpmơn 1.1.1. ðnhnghĩatínhiu Tínhiulàmtđilưngvtlýchathơngtin(information).Vmttốn hc,tínhiuđưcbiudinbngmthàmcamthaynhiubinđclp. Víd1.1. Tínhiuâmthanhlàdaođngcơhclantruyntrong khơng khí, mangthơngtintruynđntai.Khibinthànhtínhiuđin(đináphaydịngđin) thìgiátrcanĩlàmthàmtheothigian. Tínhiuhìnhnhtĩnhhaichiuđưcđctrưngbimthàmcưngđ sángcahaibinkhơnggian.Khibinthànhtínhiuđin,nĩlàhàmmtbinthi gian. ðthuntin,taquiưc(khơngvìthmàlàmmttínhtngquát)tínhiulà mt hàmcamtbinđclpvàbinnàylàthigian(mcdùcĩkhikhơngphi nhưvy,chnghnnhưsbinđicaápsuttheođcao). Giátrcahàmtươngngvimtgiátrcabin đưc gi là biên đ (amplitude)catínhiu.Tathyrng,thutngbiênđđâykhơngphilàgiátr ccđimàtínhiucĩthđtđưc. 1.1.2. Phânloitínhiu Tínhiuđưcphânloidavàonhiucơskhácnhauvàtươngngcĩcác cáchphânloikhácnhau.đây,tadavàosliêntchayrirccathigianvà biênđđphânloi .Cĩ4loitínhiunhưsau: Tínhiutươngt(Analogsignal):thigianliêntcvàbiênđcũngliêntc. Tínhiulưngthĩa(Quantifiedsignal):thigianliêntcvàbiênđrirc. ðâylàtínhiutươngtcĩbiênđđãđưcrirchĩa. Tínhiurirc(Discretesignal):Làtínhiuđưcbiudinbihàmcacác binrirc. +Tínhiulymu:Hàmcatínhiurirclàliêntc(khơngđưclưngthố) +Tínhius:Hàmcatínhiurirclàrirc.Tínhiuslàtínhiuđưcri rccbiênđvàbins CácloitínhiutrênđưcminhhatrongHình1.1. 5
  7. TrênHình1.2mơtquátrìnhshĩacáctínhiutươngtvàtínhiuxung thànhtínhius4bít.Khishĩatínhiutươngtsgâyrasaislưngt(xem Hình1.2a),nhưngkhishĩatínhiuxungthìngồisaislưngtcịncĩsais vpha(xemHình1.2b). x(t) x(t) 4 4 2 2 0 t 0 t x(n T) x(n T) 4 4 2 2 n nT 0 0 x(n T) x(n T) 4 4 2 2 nT nT 0 0 Bít 3 Bít 3 0 0 nT nT Bít 2 Bít 2 1 nT 1 nT Bít 1 Bít 1 0 nT 0 nT Bít 0 Bít 0 1 nT 1 nT a. Shĩatínhiutươngt. b. Shĩatínhiuxung . Hình1.2: Quátrìnhshĩatínhiuliêntc. 6
  8. Nhnxét: Dotínhiuslàmttrưnghpđcbitcatínhiurircnên cácphươngphápxlítínhiurircđuhồntồnđưcápdngchoxlítín hius.Trongchươngtrìnhchúngtastìmhiucácphươngphápxlítínhiuri rc. 1.1.3. Hthngxlýtínhiu a) Hthngtươngt xa(t) ya(t) HT b) Hthngs y (nTs) xd(nTs) HT d c)Hthngxlýtínhiutngquát ADC Sample Signal Hold Quantizer DSP DAC x(t) y(t) Digital Signal Tínhiux(t)đuvàođưcchuynthànhtínhiusnhADC,quaDSPđưa vàoDACtacĩy(t). 7
  9. 1.2.Tínhiurirc 1.2.1.Cácdngbiudincadãys Mttínhiurirccĩthđưcbiudinbngmtdãycácgiátr(thchoc phc).Phntthncadãy(nlàmtsnguyên)đưckýhiulàx(n)vàmtdãy đưckýhiunhưsau: x={x(n)} vi∞ 0đưcxplnlưtvphíaphivàngưcli. Nux=x(t)làmttínhiuliêntctheothigiantvàtínhiunàyđưcly mucáchđunhaumtkhongthigianlàTs,biênđcamuthnlàx(nTs). Tathy,x(n)làcáchvitđơnginhĩacax(nTs),ngmhiurngtađãchunhố trcthigiantheoTs. Tsgilàchukỳlymu(Samplingperiod). Fs=1/Tsđưcgilàtnslymu(Samplingfrequency). Ghichú: 8
  10. Tđâyvsau,trcthigiansđưcchunhĩatheoTs,khicntrvthigian thc,tathaybinnbngnTs. Tínhiurircchcĩgiátrxácđnhcácthiđimnguyênn.Ngồicácthi đimđĩratínhiukhơngcĩgiátrxácđnh,khơngđưchiuchúngcĩgiátr bng0. ðđơngin,saunày,thayvìkýhiuđyđ,tachcnvitx(n)vàhiuđâylà dãyx={x(n)}. 1.2.2. Cáctínhiurirccơbn a/.Tínhiuxungđơnv(Unitinpulsesequence) ðâylàmtdãycơbnnht,kýhiulàδ(n),đưcđnhnghĩanhưsau:  ,1 n = 0 δ (n) =  (1.2)  ,0 n ≠ ,0 hay δ (n) ={ ,0, 0,1,0 , , ,0 }. (1.3) ↑ Dãy δ (n) đưcbiudinbngđthnhưhình1.3(a) b/.DãychnhtDãychnhtđưckíhiulàrect N(n)vàđưcđnhnghĩanhư sau:  ,1 0 ≤ n ≤ N −1 rect N (n) =   ,0 n ≥ N. (1.4) c/.Tínhiunhybcđơnv(Unitstepsequence) Dãynàythưngđưckýhiulàu(n)vàđưcđnhnghĩanhưsau:  ,1 n ≥ 0 (1.5) u(n) =   ,0 n< .0 Dãyu(n)đưcbiudinbngđthHình1.3(c). Miquanhgiatínhiunhybcđơnvvitínhiuxungđơnv: n u(n) = ∑δ (n) ⇔ δ (n) = u(n) − u(n − )1 , (1.6) k =−∞ viu(n1)làtínhiuu(n)đưcdchphimtmu. 9
  11. Hình1.3: Cácdãycơbn a) Dãyxungđơnv b) Dãychnht c) Dãynhybcđơnv d) Dãyhàmmũ e) DãytunhồncĩchukỳN=8 f) DãyhìnhsincĩchukỳN=5 d/.Tínhiuhàmmũ(Exponentialsequence) x(n)=A αn. (1.7) NuAvàαlàsthcthìđâylàdãythc.Vimtdãythc,nu0 0thìdãycĩcácgiátrdươngvàgimkhintăng,Hình1.3(d).Nu–1 1thì đlncadãystăngkhintăng. e/.Tínhiutunhồn(Periodicsequence) 10
  12. Mttínhiux(n)đưcgilàtunhồnvichukỳNkhi:x(n+N)=x(n),vi min.MttínhiutunhồncĩchukỳN=8đưcbiudinbngđthHình 1.3(e).Dĩnhiên,mttínhiuhìnhsincũnglàmttínhiutunhồn. Víd:làmttínhiutunhồncĩchukỳlàN=5,xem Hình1.3(f) f/.Dãycĩchiudàihuhn DãyđưcxácđnhvismuNhuhn(Nđimtrêntrchồnh)gilàdãy cĩchiudàihuhn.Nđưcgilàchiudàicadãy,kíhiulà: L[x(n)]=N. Víd1.3. L[rect N(n)]=N. g/.Nănglưngvàcơngxutcadãy • Nănglưngcamtdãyđưcđnhnghĩanhưsau: ∞ 2 E x = ∑ x(n) , n=−∞ trongđĩ x(n) làmodulcax(n). ∞ N −1 Víd1.4. E = x(n) 2 = 1 2 = N. rectN (n) ∑ ∑ n=−∞ n=0 • Cơngxuttrungbìnhcadãy: N 1 2 Px = lim x(n) . N →∞ ∑ 2N +1 n=− N • Nănglưngcadãyx(n)trongkhong − N ≤ n ≤ N : N 2 ExN = ∑ x(n) . n=−N Vy, Ex = lim ExN , N →+∞ 1 P = E . x 2N +1 xN • Dãynănglưng:nunănglưngcadãyx(n)làhuhnthìx(n)đưcgilà dãynănglưng. • Dãycơngxut:nucơngxuttrungbìnhcax(n)làhuhnthìx(n)đưcgi làdãycơngxut. 11
  13. 1.2.3. Cácphéptốncơbncadãy Cho2dãyx 1={x 1(n)}vàx 2={x 2(n)}cácphéptốncơbntrênhaidãyđưc đnhnghĩanhưsau: 1/.Phépnhân2dãy:y=x 1.x 2={x 1(n).x 2(n)} (1.8) 2/.Phépnhân1dãyvi1hs: y=a.x 1={a.x 1(n)} (1.9) 3/.Phépcng2dãy: y=x 1+x 2={x 1(n)+x 2(n)} (1.10) 4/.Phépdchmtdãy(Shiftingsequence): Dchphi:Giylàdãyktqutrongphépdchphin 0mumtdãyxtacĩ: y(n)=x(nn0),vin 0>0. (1.11) Dchtrái:Gizlàdãyktqutrongphépdchtráin 0mudãyxtacĩ: z(n)=x(n+n 0),vin 0>0. (1.12) Phépdchphicịngilàphéplàmtr(delay).Phéplàmtrmtmuthưng đưckýhiubngchDhocZ 1.Cácphépdchtráivàdchphiđưcminhha trongcácHình1.4. Hình1.4 :(a)Dãyx(n) (b)Phépdchphi4mutrêntínhiux(n) (c)Phépdchtrái5mutrêntínhiux(n) Nhnxét: Tathy,mttínhiux(n)btkỳcĩthbiudinbitínhiuxungđơn vnhưsau: +∞ x(n) = ∑ x(k)δ (n − k). n=−∞ Cáchbiudinnàysdnđnmtktququantrngtrongphnsau. Ghichú: Cácphéptínhthchintrêncáctínhiurircchcĩýnghĩakhitnsly mucacáctínhiunàybngnhau. 12
  14. 1.3.Hthngrirc 1.3.1. Kháinim a.Hthngthigianrirc(gittlàhthngrirc): Hthngthigianrirclàmtthitb(device) hay là mt thut tốn (algorithm)mànĩtácđnglênmttínhiuvào(dãyvào)đcungcpmttínhiu ra(dãyra)theomtquiluthaymtthtc(procedure)tínhtốnnàođĩ.ðnh nghĩatheotốnhc,đĩlàmtphépbinđihaymttốnt(operator)mànĩbin mtdãyvàox(n)thànhdãyray(n). Kýhiu: y(n)=T{x(n)}. (1.14) Tínhiuvàođưcgilàtácđnghaykíchthích(excitation),tínhiurađưc gilàđápng(response).Biuthcbiudinmiquanhgiakíchthíchvàđáp ngđưcgilàquanhvàoracahthng. QuanhvàoracamththngrirccịnđưcbiudinnhưHình1.5. Víd1.5. Hthnglàmtrlýtưngđưcđnhnghĩabiphươngtrình: y(n)=x(n–n d),vi∞<n< ∞ (1.15) ndlàmtsnguyêndươngkhơngđigilàđtrcahthng. Víd1.6.Hthngtrungbìnhđng(Movingaveragesystem)đưcđnhnghĩabi phươngtrình: viM1vàM2làcácsnguyêndương. Hthngnàytínhmuthncadãyralàtrungbìnhca(M1+M2+1)mu cadãyvàoxungquanhmuthn,tmuthnM2đnmuthn+M1. b.ðápngxung(impulseresponse)camththngrirc ðápngxungh(n)camththngrirclàđápngcahthngkhikích thíchlàtínhiuxungđơnv δ(n),tacĩ: 13
  15. Trongcácphnsau,tasthy,trongcácđiukinxácđnhđápngxungca mththngcĩthmơtmtcáchđyđhthngđĩ. Víd1.7.ðápngxungcahthngtrungbìnhcnglà c.Biudinhthngbngsơđkhi ðcĩthbiudinmththngbngsơđkhi,tacnđnhnghĩacácphn tcơbn.Mththngphctpslàsliênktcacácphntcơbnnày. c1/ .Phntnhândãyvidãy(signalmultiplier),tươngngviphépnhânhaidãy, cĩsơđkhinhưsau: x1(n) x1(n) X y(n x2(n) X y(n xi(n) x2(n) xM(n) M a.y(n) = x 1(n). x2(n) b. y(n) = ∏ xi (n) i=1 c2/ .Phntnhânmtdãyvimthngs(Constantmultiplier),tươngngvi phépnhânmthsvimtdãy x(n) y(n)=a.x(n) a c3 /.Phntcng(Adder),tươngngviphépcnghaidãy,cĩsơđkhinhư sau: x (n) 1 x1(n) + y(n x (n) + y(n 2 xi(n) x2(n) xM(n) M a.y (n)= x 1(n)+ x2(n) b. y(n) = ∑ xi (n) i=1 c4/. Phntlàmtrmtmu(UnitDelayElement),tươngngviphéplàmtr mtmu,cĩsơđkhinhưsau: x(n) D y(n)=x(n 1) 14
  16. Trongcácphnsau,tasthànhlpmththngphctpbngsliênkt cácphntcơbnnày. 1.3.2. Phânloihthngrirc Cáchthngrircđưcphânloidavàocácthuctínhcanĩ,cthlà cácthuctínhcatốntbiudinhthng(T). 1.3.2.1. Hthngkhơngnh(Memorylesssystems) Hthngkhơngnhcịnđưcgilàhthngtĩnh(Staticsystems)làmth thngmàđápngy(n)mithiđimnchphthucvàogiátrcatácđng x(n)cùngthiđimnđĩ. Mththngkhơngthamãnđnhnghĩatrênđưcgilàhthngcĩnh hayhthngđng(Dynamicsystems). Víd1.8. H thng đưc mơ t bi quan h vào ra như sau: y(n) = [x(n)] 2, v i migiátrcan,làmththngkhơngnh. HthnglàmtrtrongVíd1.5,nĩichunglàmththngcĩnhkhin d>0. HthngtrungbìnhđngtrongVíd1.6làhthngcĩnh,trkhiM 1=M 2=0. 1.3.2.2. Hthngtuyntính(Linearsystems) Mththngđưcgilàtuyntínhnunĩthamãnnguyênlýchngcht (Principleofsuperposition).Giy 1(n) và y 2(n)lnlưtlàđápngcahthng tươngngvicáctácđngx 1(n)và x2(n),hthnglàtuyntínhnuvàchnu: via,blà2hngsbtkỳvàvimin. Tathy,đivimththngtuyntính,thìđápngcamttngcáctác đngbngtngđápngcahngvitngtácđngriêngl. Mt h thng khơng tha mãn đnh nghĩa trên đưc gi là h thng phi tuyn (Nonliearsystems). Víd1.9.Tacĩthchngminhđưchthngtíchlũy(accumulator)đưcđnh nghĩabiquanh: +∞ y(n) = ∑ x(k) (1.20) n=−∞ làmththngtuyntính.Hthngnàyđưcgilàhthngtíchlũyvìmuthn cađápngbngtngtíchlũyttcãcácgiátrcatínhiuvàotrưcđĩđnthi đimthn. 15
  17. =a.y 1(n)+b.y 2(n)viavàblàcáchngsbtkỳ. Vyhthngnàylàmththngtuyntính. 1.3.2.3. Hthngbtbintheothigian(TimeInvariantsystems) Mththnglàbtbintheothigiannuvàchnutínhiuvàobdch nd muthìđápngcũngdch ndmu,tacĩ: Nuy(n)=T{x(n)}vàx 1(n)=x(nnd) thìy 1(n)=T{x 1(n)}={x(nnd)}=y(nn d). (1.21) Tacĩthkimchngrngcáchthngtrongcácvídtrưcđulàhthngbt bintheothigian. Víd1.10.Hthngnén(compressor)đưcđnhnghĩabiquanh: y(n)=x(M.n) (1.22) vi∞<n<∞vàMlàmtsnguyêndương. Hthngnàyđưcgilàhthngnénbivìnĩloib(M1)mutrongM mu(nĩsinhramtdãymibngcáchlymtmutrongMmu).Taschng minhrnghthngnàykhơngphilàmththngbtbin. Chngminh: Giy 1(n)làđápngcatácđngx 1(n),vix 1(n)=x(n–n d),thì y1(n)=x 1(Mn)=x(Mn–n d), nhưng y(nnd)=x[M(nnd)]y 1(n). Tathyx 1(n)bngx(n)đưcdchn dmu,nhưngy 1(n)khơngbngviy(n) trongcùngphépdchđĩ.Vyhthngnàykhơnglàhthngbtbin,trkhiM= 1. 1.3.2.4. Hthngnhânqu(Causalsystems) Mththnglànhânqunuvimigiátrn 0can,đápngtithiđim n=n 0chphthucvàocácgiátrcakíchthíchcácthiđimn≤n 0.Tathy, đápngcahchphthucvàotácđngquákhvàhintimàkhơngph thucvàotácđngtươnglai.Tacĩ 16
  18. y(n)=T{x(n)}=F{x(n),x(n1),x(n2), } viFlàmthàmnàođĩ. Hthngtrongvíd1lànhânqukhin d≥0vàkhơngnhânqukhin d<0. Víd1.11.Hthngsaiphânti(Forwarddifferencesystems)đưcđnhnghĩa biquanh y(n)=x(n+1)x(n). (1.23) Rõràngy(n)phthucvàox(n+1),vìvyhthngnàykhơngcĩtínhnhân qu. Ngưcli,hthngsaiphânlùi(Backwarddifference systems) đưc đnh nghĩabiquanh: y(n)=x(n)–x(n1). (1.24) làmththngnhânqu. 1.3.2.5.Hthngnđnh(Stablesystems) Mt h thngnđnh cịn đưcgi làh thngBIBO (BoundedInput Bounded Output)nuvàchnuvimitínhiuvàobgiihnscungcpdãy ragiihn. Mtdãyvàox(n)bgiihnnutntimtsdươnghuhnBxsaocho: |x(n)|≤Bx<+∞,vimin. (1.25) Mththngnđnhđịihirng,ngvimidãyvàohuhn,tntimt sdươngByhuhnsaocho: |y(n)|≤By<+∞,vimin. (1.26) Ghichú: Cácthuctínhđphânloihthngtrênlàcácthuctínhcah thngchkhơngphilàcácthuctínhcatínhiuvào.Cácthuctínhnàyphi thamãnvimitínhiuvào. 1.3.3. Hthngtuyntínhbtbintheothigian (LTI:LinearTimeInvariantSystem) 1.3.3.1 .Kháinim Hthngtuyntínhbtbintheothigianlàhthngthamãnđngthihai tínhchttuyntínhvàbtbin. GiTlàmththngLTI,sdngcáchbiudin(1.13)và(1.14),tacĩ thvit: viklàsnguyên. 17
  19. Ápdngtínhchttuyntính,pt(1.27)cĩthđưcvitli: ðápngxungcahthnglà:h(n)=T{δ(n)},vìhthngcĩtínhbtbin, nên: h(nk)=T{ δ(nk)} (1.29) Thaypt(1.29)vàopt(1.28)tacĩ Tpt(1.30),tathymththngLTIhồntồncĩthđưcđctbiđáp ngxungcanĩvàtacĩthdùngpt(1.30)đtínhđápngcahthngngvi mtkíchthíchbtkỳ.HthngLTIrtthunlitrongcáchbiudincũngnhư tínhtốn,đâylàmththngcĩnhiungdngquantrngtrongxlýtínhiu. 1.3.3.2.Tíchchp *ðnhnghĩa: Tíchchpcahaidãyx 1(n)vàx 2(n)btkỳ,kýhiu:*,đưcđnh nghĩabibiuthcsau: (1.30)đưcvitli: y(n)=x(n)*h(n). (1.32) Vy,đápngcamththngbngtíchchptínhiuvàoviđápngxung canĩ. Nhưvy,vimimtgiátrcantaphitính1tngtheokcatíchx(k).h(n k)nhưsau: Víd1.12. ∞ n = −1 → y(− )1 = ∑ x(k)h(−1− k) k=−∞ ∞ n = 0 → y )0( = ∑ x(k)h(−k) k =−∞ ∞ n = 1 → y )1( = ∑ x(k)h 1( − k) k =−∞ ∞ n = 2 → y )2( = ∑ x(k)h 2( − k) k=−∞ 18
  20. ∞ n = 3 → y )3( = ∑ x(k)h 3( − k) k=−∞ Tphpcácgiátrcay(n)tascĩy. *Phươngpháptínhtíchchpbngđth Tíchchpcahaidãybtkỳcĩthđưctínhmtcáchnhanhchĩngvis trgiúpcacácchươngtrìnhtrênmáyvitính.đây,phươngpháptínhtíchchp bngđthđưctrìnhbàyvimcđíchminhha.Trưctiên,đddàngtìmdãy x2(nk),tacĩthvitli: x2(nk)=x 2[(kn)]. (1.33) Tpt(1.33),tathy,nun>0,đcĩx 2(nk)tadchx 2(k)sangphinmu, ngưcli,nun 0,tađưc dãyx 2(nk). Bưc4:Thchincácphépnhânx1(k).x 2(nk),vi∞ 0và|a|<1. Gii: ∞ Tacĩ y(n) = ∑ h(k)x(n − k .) k =0 @ Vin<0:Hình1.5(a).trìnhbàyhaidãyx(k)vàh(nk)trongtrưnghpn<0 (viN=4vàn=3).Tathytrongtrưnghpnày,cácthànhphnkhác0ca x(k)vàh(nk)khơngtrùngnhau,vìvy y(n)=0,vimin<0. (1.35) 19
  21. @Vi0≤n<N1:Hình1.5(b).trìnhbàyhaidãyx(k)vàh(nk),trongtrưng này, tathy x(k).h(nk)=a k nên ∞ y(n) = ∑ a k .(1.36) n=0 Tathy,y(n)chínhlàtng(n+1)shngcamtchuihìnhhccĩcơngbi làa,ápdngcơngthctínhtnghuhncachuihìnhhc,đĩlà: Hình1.5: Cácdãyxuthintrongquátrìnhtngchp.(a);(b);(c)Cácdãyx(k)và h(nk)nhưlàmthàmcakvicácgiátrkhácnhaucan(chcácmukhác0 miđưctrìnhbày);(d)Tngchpy(n)=x(n)*h(n). @Vi(N1)<n: Hình1.5(b).trìnhbàyhaidãyx(k)vàh(nk),tươngtnhưtrên tacĩ: x(k).h(nk)=ak. Vídnàytínhtíchchptrongtrưnghpđơngin.Cáctrưnghpphctp hơn,tíchchpcũngcĩthtínhbngphươngphápđth,nhưngviđiukinlà2 dãyphicĩmtshuhncácmukhác0. 20
  22. vi vi vi Chúý: Victhchinphépchp2chuicĩchiudàihuhn:L[x 1(n)]=L 1, L[x 2(n)]=L 2thì: +L=L[y(n)]=L 1+L 2–1 +Nucácmucaxnmtrongkhong[M x,N x],nucácmucahnm trongkhong[M h,N h]thìcácmucaynmtrongkhong[M x+M h,N x+N h]. 1.3.3.3.Cáctínhchtcahthngtuyntínhbtbin VìttccáchthngLTIđucĩthbiudinbngtíchchp,nêncáctínhcht catngchpcũngchínhlàcáctínhchtcahthngLTI. Cáctínhchtcatíchchp a)Tínhgiaohốn (Commutative):cho2dãyx(n)vàh(n)btkỳ,tacĩ y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n). (1.41) Chngminh:Thaybinm=nkvàopt(1.33),tađưc: h(n) y(n x(n)  h(n) x(n) y(n Hình1.6: Minhhatínhchtgiaohốn b)Tínhphihp (Associative):Cho3dãyx(n),h1(n)vàh2(n),tacĩ y(n)=[x(n)*h 1(n)]*h 2(n)=x(n)*[h 1(n)*h 2(n)]. (1.44) 21
  23. h (n) x(n 1 h2(n) y(n  x(n h(n)= h1(n)* h2(n) y(n Hình1.7: Minhhatínhchtphihp Tínhchtnàycĩthchngminhmtcáchddàngbngcáchdavàobiu thcđnhnghĩacatngchp. Hqu1: XéthaihthngLTIcĩđápngxunglnlưclàh1(n)vàh2(n)mc liêntip(cascade),nghĩalàđápngcahthngth1trthànhkích thíchcah thngth2(Hình1.6(a)).Ápdngtínhchtphihptađưc: y(n)=x(n)*h(n)=[x(n)*h 1(n)]*h 2(n)=x(n)*[h 1(n)*h 2(n)] hay h(n)=h 1(n)*h 2(n)=h 2(n)*h 1(n)(tínhgiaohốn). (1.45) c)Tínhchtphânb viphépcng (Distributesover addition): tínhchtnày đưcbiudinbibiuthcsau: y(n)=x(n)*[h 1(n)+h 2(n)]=x(n)*h 1(n)+x(n)*h 2(n). (1.46) x(n h(n)= h1(n)+ h2(n) y(n  x(n h1(n) + y(n h2(n) Hình1.8: Minhhatínhchtphânb Hqu2: XéthaihthngLTIcĩđápngxunglnlưtlàh 1(n)vàh 2(n)mc songsong(parallel),ápdng tínhchtphân bta đưc đáp ng xung ca h thngtươngđươnglà h(n)=h 1(n)+h 2(n). (1.47) Cáctínhchtkhác a./HthngLTInđnh: ðnhlý: MththngLTIcĩtínhnđnhnuvàchnu (1.48) vih(n)làđápngxungcahthng. 22
  24. Chngminh: ðiukinđ:Xétmttínhiuvàohuhn,nghĩalà Vy|y(n)|huhnkhiđiukinpt(1.48)thamãn,haypt(1.48)làđiu kinđđhthngnđnh. ðiukincn :ðchngminhđiukincntadùngphươngphápphnchng . Trưctiêntagisrnghthngcĩtínhnđnh,nutatìmđưcmttínhiuvào nàođĩthamãnđiukinhuhnvànutngSphânkỳ(S →∞)thìhthngs khơngnđnh,mâuthunvigithit. Thtvy,taxétmtdãyvàođưcnghĩanhưsau: vi vi đây,h*(n)làliênhpphccah(n),rõràng|x(n)|bgiihnbi1,tuynhiên, nus →∞,taxétđápngtin=0: Tathy,ktqunàymâuthunvigithuytban đu(hthngnđnh). Vy,sphihuhn. b./HthngLTInhânqu ðnhlý:MththngLTIcĩtínhnhânqunuvàchnuđápngxung h(n)ca nĩthamãnđiukin: h(n)=0,vimin<0. (1.49) Chngminh: ∞ ðiukinđ: T y(n) = ∑ x(k)h(n − k) ,kthpvi(1.49)tacĩ k=−∞ n y(n) = ∑ x(k)h(n − k) .(1.50) k =−∞ 23
  25. Tpt(1.50),tathygiihntrêncatnglàn,nghĩalày(n)chphthuc vàox(k)vik n,suyrahthngkhơngcĩ tínhnhânqu.Vìvy,điukincnvàđđhthngcĩtínhnhânquphilà: h(n)=0khin<0. Víd1.14.Hthngtíchluđưcđnhnghĩabi T(1.51)tathyh(n)cahthngnàykhơngtha điu kin (1.48) nên khơngnđnhvàh(n)thađiukin(1.49)nênnĩlàmththngnhânqu. • Dãynhânqu:Dãyxđưcgilànhânqunu x(n)=0vin<0. (1.52) • Nhưvyvihthngtuyntínhbtbinnhânqucĩkíchthíchlàdãynhân quthìđápngracanĩđưcvitlinhưsau: n y( n) = ∑ x(k)h(n − k .) (1.53) k =0 Víd1.15.Xétmththngcĩđápngxunglàh(n)=a nu(n),tacĩ (1.54) Nu|a|<1,thìShitvàS=1/(1|a|)vìvyhthngcĩtínhnđnh. Nu|a|≥1,thìS →∞vàhthngkhơngnđnh. 24
  26. 1.4.Phươngtrìnhsaiphântuyntínhhshng (LCCDE:LinearConstantCoefficientDifferenceEquations) 1.4.1. Kháinim MththngLTImàquanhgiatácđngx(n)vàđápngy(n)canĩtha mãnphươngtrìnhsaiphântruyntínhhshngbcNdưidng: đưcgilàhthngcĩphươngtrìnhsaiphântruyntínhhshng(LCCDE). Trongđĩ,cáchsa kvàb rlàcácthơngsđctrưngchohthng. HthngLTIcĩLCCDElàmtlpconquantrngcahthngLTItrong xlýtínhius.TacĩthsosánhnĩvimchR_L_Ctronglýthuytmchtương t(đưcđctrưngbngphântrìnhvitíchphântuyntínhhshng). Víd1.16.Xéththngtíchlũy y(n)y(n1)=x(n). (1.56) Phươngtrình(1.56)chínhlàLCCDEcamththngtíchlũy,viN=1,a 0 =1,a 1=1,M=0vàb 0=1. Tavitli y(n)=y(n1)+x(n). (1.57) T(1.57),tathy,vimigiátrcan,phicngthêmvàox(n)mttngđưc tíchlũytrưcđĩy(n1).HthngtíchlũyđưcbiudinbngsơđkhiHình1.9 và(1.57)làmtcáchbiudinđquycaht.hng. 1.4.2. NghimcaPTSPTTHSH Phươngtrìnhsaiphântuyntínhhshnglàmtdngquanhvàoramơt hthngLTI.Trongphnnày,tastìmbiuthctưngminhcađápngy(n) bng phương pháp trc tip. Cịn mt phương pháp khác đ tìm nghim ca phươngtrìnhnàylàdatrênbinđizsđưctrìnhbàytrongchươngsau,tagi làphươngphápgiántip. Tươngtnhưphươngtrìnhvitíchphântuyntínhhshngcahthng liêntctheothigian.Trưctiên,tatìmnghimcaphươngtrìnhsaiphânthun nht (homogeneousdiferenceequation),đĩlàphươngtrình(1.55)vivphibng 0.ðâychínhlàđápngcahthngvitínhiuvàox(n)=0.Sauđĩ,tatìmmt nghimriêng(particularsolution)ca(1.55)vix(n).Cuicùng,nghimtngquát 25
  27. (totalsolution)caLCCDE(1.55)làtngnghimcaphươngtrìnhsaiphânthun nhtvinghimriêngcanĩ.Thtctìmnghimnhưsau: a./Bưc1Tìmnghimcaphươngtrìnhsaiphânthunnht (ðápngcah thngkhitínhiuvàobng0) Phươngtrìnhsaiphânthunnhtcĩdng: (1.58) (Bngcáchchia2vchoa 0đcĩdng(1.58)via 0=1). Tađãbitrng,nghimcaphươngtrìnhviphânthưngcĩdnghàmmũ,vì vy,tagisnghimcaphươngtrìnhsaiphânthunnhtcĩdng: n y0(n)= α . (1.59) Chsy 0(n)đưcdùngđchrngđĩlànghimcaphươngtrìnhthunnht. Thayvào(1.58)tathuđưcmtphươngtrìnhđathc: n–N N N1 N2 hay: α (α +a 1α +a 2α + +a N1α+a N)=0. (1.60) ðathctrongdungocđơnđưcgilàđathcđc trưng (characteristic polynomial)cahthng. Nĩichung,đathcnàycĩNnghim,kýhiulà α1, α2, , αN,cĩgiátrthc hocphc.Nucáchsa 1,a 2, ,a Ncĩgiátrthc,thưnggptrongthct,các nghimphcnucĩslàcáccpliênhpphc.TrongNnghimcũngcĩthcĩ mtsnghimkép(mutipleorderroots). a.1/ Trưng hp, tt c các nghim là phân bit, khơng cĩ nghim kép, thì nghimtngquátcaphươngtrìnhsaiphânthunnhtlà: N n n n n y0(n)=A 1α 1+A 2α 2+ +A Nα N = ∑ Akα k (1.61) k =1 đây,A 1,A 2, ,A N làcáchngstuỳđnh.Cáchngsnàyđưcxác đnhdavàocácđiukinđucahthng. a.2/Trưnghpcĩnghimbi,gisđathcđctrưngcĩnghimbibcm ti ααα2thìtacĩ: n 2 m1 n n y0(n)=A 1α 1+(A 20 +A 21 n+A 22 n + +A 2(m1) n )α 2+ +A Nα N Víd1.17. Xácđnhđápngvitínhiuvàox(n)=0camththngđưcmơ tbiptbc2nhưsau: y(n)3y(n1)4y(n2)=0. (1.62) Gii: n Tabitnghimca(1.62)cĩdng:y 0n)= α ,thayvào(1.62),tathuđưc: 26
  28. αn 3 αn1 4 αn2=0 hay αn2( α2 3 α4)=0 vàphươngtrìnhđctínhlà: (α23 α4)=0. Tacĩ2nghim α1=1và α2=4,nghimcaphươngtrìnhthunnhtcĩ dngtngquátlà: n n n n y0(n)=A 1α 1+A 2α 2=A 1(1) +A 2(4) . (1.63) ðápcahthngvitínhiuvàobng0cĩththuđưcbngcáchtínhgiá trcáchngsC 1vàC 2davàocácđiukinđu.Cácđiukinđuđưccho thưnglàgiátrcađápngcácthiđimn=1;n=2; ;n=N.đây,tacĩ N=2,vàcácđiukinđuđưccholày(1)vày(2).T(1.62)tathuđưc: y(0)=3y(1)+4y(2) y(1)=3y(0)4y(1)=13y(1)+12y(2). Mtkhác,tpt(1.63)tacĩ: y(0)=A 1+A 2 y(1)=A 1 +4A 2 . Suyra A1 +A 2 =3y(1)+4y(2) A 1 +4A 2 =13y(1)+12y(2). Giih2phươngtrìnhtrêntađưc: A1 =(1/5)y(1)+(4/5)y(2) A2 =(16/5)y(1)+(16/5)y(2). Vyđápngcahthngkhitínhiuvàobng0là n n y0(n) = [(1/5)y(1) + (4/5)y(2)](1) + [(16/5)y(1) + (16/5)y(2)](4) (1.64) Gis,y(2)=0vày(1)=5,thìA 1=1vàA 2=16.Tađưc n+1 n+2 y0(n)=(1) +(4) , vin ≥0. b./Bưc2:Nghimriêngcaphươngtrìnhsaiphân Tươngtnhưcáchtìmnghimcaphươngtrìnhthunnht,đtìmnghim riêngcaphươngtrìnhsaiphânkhitínhiuvàox(n) ≠0,tađốnrngnghimca phươngtrìnhcĩmtdngnàođĩ,vàthvàoPTSPTTHSHđãchođtìmmt nghimriêng,kýhiuy p(n).Tathycáchlàmnàycĩvmịmm!.Nutínhiu vàox(n)đưcchobtđutthiđimn ≥0(nghĩalàx(n)=0khin<0),thìdng canghimriêngthưngđưcchnlà:y p(n)cĩdngcax(n)tđiukinđu Víd1.18. Tìmđápngy(n),vin≥0,cahthngđưcmơtbiptbchai nhưsau: 27
  29. y(n)3y(n1)4y(n2)=x(n)+2x(n1). (1.67) tínhiuvàolà:x(n)=4 nu(n).Hãyxácđnhnghimriêngca(1.67). Gii: TrongVíd1.17,tađãxácđnhnghimcaphươngtrìnhsaiphânthunnht chohthngnày,đĩlà(1.63),tavitli: n n y0(n)=A 1(1) +A 2 (4) . (1.68) n Nghimriêngca(1.63)đưcgithitcĩdnghàmmũ:y p(n)=K(4) u(n). Tuynhiênchúngtathydngnghimnàyđãđưcchatrongnghimthunnht (1.68).Vìvy,nghimriêngnàylàtha(thvào(1.67)takhơngxácđnhđưcK). Tachnmtdngnghimriêngkhácđclptuyntínhvicácshngchatrong nghim thun nht. Trong trưng hp này, ta x lý ging như trưng hp cĩ nghimképtrongphươngtrìnhđctính.Nghĩalàtaphigithitnghimriêngcĩ n dng:y p(n)=Kn(4) u(n).Thvào(1.67): Kn(4) nu(n)3K(n1)(4) n1u(n1)4K(n2)(4) n2u(n2)=(4) nu(n)+2(4) n1u(n1). ðxácđnhK,taưclưngphươngtrìnhnàyvimin≥2,nghĩalàvi nhnggiátrcansaochohàmnhãybcđơnvtrongphươngtrìnhtrênkhơngb trittiêu.ðđơnginvmttốnhc,tachnn=2vàtínhđưcK=6/5.Vy: n y p(n)=(6/5)n(4) u(n). (1.69) c./Bưc3:Nghimtngquátcaphươngtrìnhsaiphân: TínhchttuyntínhcaLCCDEchophéptacngnghim thun nht và nghimriêngđthuđưcnghimtngquát.Tacĩnghimtngquátlà: y(n)=y 0(n)+y p(n). (1.70) Vìnghimthunnhty 0(n) cha mt tp các hng s bt đnh {Ai}, nên nghimtngquátcũngchacáchngsbtđnhnày,đxácđnhcáchngsnày, taphicĩmttpcácđiukinđutươngngcahthng.Chúýrngy 0(n)và yp(n)philàđclptuyntínhvinhau. Ví d 1.19. Gii phương trình sai phân y(n) = x(n) + 2y(n − 1) , vi tác đng x(n) = u(n) vàđiukinbanđu y(−1) = 0 . Gii: Bưc1:Tìmnghim y0(n)caphươngtrìnhthunnht: y(n) − 2y(n − 1) = 0 n Th y0 (n) = A.α vàophươngtrìnhthunnht: Aα n − .2 A.α n−1 = 0 ⇒ A.α n−1 (α − 2) = 0 ⇒ α = 2 n Theo(1.713)nhnđưcnghimtdo: y0 (n) = A.2 .u(n) Bưc2:Tìmnghimcưngbcdưidng y p (n) = B.x(n) = B.u(n) . Th yp(n) vàophươngtrìnhsaiphânđãchonhnđưc: 28
  30. B.u(n) − 2B.u(n − 1) = u(n) Phươngtrìnhtrênđúngvimi n ≥ 1 ,đxácđnh B chn n= 1vàcĩ: B.u(1) − 2B.u(0) = u(1) ⇒ (B − 2B ) = 1 ⇒ B = − 1 . Vynghimcưngbclà: y p (n) = − u(n) . Bưc3:Nghimtngquátcaphươngtrìnhsaiphânđãcholà n y(n) = y0 (n) + y p (n) = A.2 .u(n) − u(n) Bưc4:Xácđnhhngssaiphântđiukinbanđu.Theophươngtrình saiphânvàđiukinbanđuđubàixácđnhđưc: y(0) = u(0) + 2y(−1) = 1 − 0.2 = 1 . Dođĩnghimtngquátcĩgiátr y(0)là: y(0) = A.20.u(0) − u(0) = 1 . Vy A − 1 = 1 ⇒ A = 2 .Nghimtngquátcaphươngtrìnhsaiphân: y(n) = 2.2 n.u(n) − u(n) ,hay y(n) = [2(n+ )1 −1].u(n) Ví d 1.20. Tìm phn ng y(n) ca h x lý s cĩ phương trình sai phân y(n) + 2 y(n − 1) − 3y(n − 2) = x(n) + 2x(n − 1) , vi tác đng x(n) = u(n) và điu kin ban đu y(1) =y (2) = 0.Chobittínhnđnhcahđãcho. Gii: Bưc1:Tìmnghim y0(n)caphươngtrìnhthunnht: y(n) + 2 y(n − 1) − 3y(n − 2) = 0 . n Th y0 (n) = A.α vàophươngtrìnhthunnht: Aα n + .2 A.α n−1 − .3 A.α n−2 = 0 ⇒ A.α n−2 (α 2 + 2α − 3) = 0 . Giiphươngtrìnhđctrưng (α 2 + 2α − 3) = 0 nhnđưccácnghim: α1 = 1 và α 2 = −3 n Theo(1.713)nghimtdolà: y0 (n) =[A1 + A2 (−3) ].u(n) . Bưc2:Tìmnghimcưngbcdưidng y p (n) = B n x(n) = B n u(n) . Th yp(n) vàophươngtrìnhsaiphânđãchonhnđưc: B.n.u(n) + 2B.(n − 1)u(n −1) −3B.(n − 2)u(n − 2) = u(n) + .2 u(n − 1) . Phươngtrìnhtrênđúngvimi n ≥ 2 ,đxácđnh B chn n= 2vàcĩ: 3 2B.u( 2) + 2B.u(1) = u( 2) + 2u(1) ⇒ ( 2B + 2B ) = (1 + )2 ⇒ B = . 4 3 Vynghimcưngbclà y (n) = .n.u(n) . p 4 Bưc3:Nghimtngquátcaphươngtrìnhsaiphânđãcholà n 3 y(n) = y0 (n) + y p (n) = A1.u(n) + A2 .(− )3 .u(n) + n u(n) . 4 Bưc4:Xácđnhhaihngssaiphântđiukin banđu.Theophương trìnhsaiphânvàđiukinbanđuđubài,xácđnhđưc y(0) + 2 y(−1) − 3y(−2) = u(0) + 2u(−1) y(0) + 0.2 − 0.3 = 1 + 0.2 ⇒ y(0) = 1 và y(1) + 2 y(0) − 3y(−1)= u(1) + 2u(0) 29
  31. y 1)( + 1.2 − 0.3 = 1 + 1.2 ⇒ y(1) = 1 Theonghimtngquátxácđnhđưcbưc3cĩhphươngtrình  0 3 y(0) = A .u(0) + A .(− )3 .u(0) + 0 u(0) = 1 A1 + A2 = 1  1 2 4   ⇒  3 .  1 3 A1 − 3A2 + = 1 y(1) = A1.u(1) + A2 .(− )3 .u 1)( + 1 u 1)( = 1  4  4 13 3 Giihphươngtrìnhtrêntìmđưc: A = và A = . 1 16 2 16 Vynghimtngquátcaphươngtrìnhsaiphânđãcholà 13 3 3 y(n) = .u(n) + .(− )3 n .u(n) + n u(n) . 16 16 4  13 3 n 3  Hay y(n) =  + .(− )3 + .n .u(n) .  16 16 4  Trongđĩthànhphndaođngtdolànghimcaphươngtrìnhsaiphân  13 3 n  thunnht: y0 (n) =  + .(− )3 .u(n) .  16 16  Hslýsđãchocĩdaođngtdo y0(n) →∞khi n →∞,nêntheođnh lýnđnh1,hkhơngthamãnđiukinnđnh. Cácvídtrênchothyrng,giiphươngtrìnhsaiphântuyntínhhs hngbngphươngpháptìmnghimtngquátlàkháphctp,khiphươngtrìnhsai phâncĩbc N>2scàngphctphơnvìphigiiphươngtrìnhbccao. Nhưvy,chaiphươngphápgiiphươngtrìnhsaiphântuyntínhhshng đãđưctrìnhbytrênđuphctp,vìthngưitastìmphươngphápkhácđ giiphươngtrìnhsaiphânddànghơn,vnđđĩsđưcnghiêncuchương hai. 30
  32. 1.5.Hthngrircđquy(recursive)vàkhơngđquy(nonrecursive) 1.5.1. Hthngkhơngđqui(HcĩđápngxungcĩchiudàihuhnFIR) Mththngmàđápngy(n)chphthucvàokíchthíchthiđimhin hànhvàcácthiquákhlàmththngkhơngđqui. TathymththngkhơngđquiđưcbiudinbimtPTSPTTHSHcĩbc N=0,đĩlà (1.71) (Hsa 0đãđưcđưavàocáchsbr,bngcáchchia2vchoa 0). ðápngxungcahthnglà (1.72) TathyđâylàmththngLTIcĩđápngxungdàihuhn(Finiteduration ImpulseResponsesystemFIR)vànhânqu. HthngFIR(Hthngviđápngxungcĩchiudàihuhn)làmth thngmàđápngxungcanĩtntimtshuhncácmukhác0. Tathy,hthngFIRluơnluơnnđnhnuttccácmutrongđápng xungcanĩcĩđlnhuhn. Víd1.21. Tìmđápngxungcahđưcmơtbiptsau: y(n)=x(n)+4x(n1)+5x(n2)–x(n3) tphươngtrìnhtathy:b 0=1,b 1=4,b 2=5,b 3=1. Suyrah(n)=δ(n)+4δ(n1)+5δ(n2)–δ(n3)vàhthngnàyluơnnđnh. 1.5.2. Hthngđqui(HcĩđápngxungcĩchiudàivơhnIIR) HthngđưcbiudinbiphươngtrìnhSPTTHSHbcN>0đưcgilà hđqui.ðápngcahthngphthucvàokíchthíchthiđimhintivà quákhvàcđápngthiđêmquákh. M N br ak y(n) = ∑ x(n − r) −∑ y(n − k) voi a0 ≠ 0 r=0 a0 k=1 a0 M N hay y(n) = ∑br x(n − r) −∑ ak y(n − k) voi a0 = 1. r=0 k =1 Nhnxét: Doa k,b rlàcáchsdođĩhthngđquiphthucvàoca k,lnb r. 31
  33. Vix(n)=δ(n)thìy(n)=h(n)Làđápngxungcahđqui.Tathyrng h(n)cahđquicĩchiudàivơhn.Vyhthngđquilàhthngcĩđápng xungcĩchiudàivơhn(InfinitedurationImpulseResponsesystemIIR) Víd1.22.Tìmđápngxungvàxétsnđnhcahthngsau: y(n)ay(n1)=x(n);y(n)=0vin 1Sphânkỳhnàykhơngnđnh Chúý:VihFIRthìtacĩthtìmngayđápngxungdavàocáchsb r, cịnđivihIIRtakhơnglàmđưcnhưvy. VihIIRnhânqutacĩthtìmđápngxungbngcáchđquinhưvíd trênhoctìmnghimtngquátcaPTSPTTHSHcanĩ.Tabity(n)=y 0(n)+ yp(n)viy p(n)đưcxácđnhtđiukinđuvàođãcho. Khix(n)=δ(n)nghĩalàkíchthíchchlàmtxungtin=0cịnvin>0thì x(n)=0dovyy p(n)=0vin>0vy: Khix(n)=δ(n)th ìy(n)=y 0(n)=h(n): N n Vìvytacĩ:h(n)=y 0(n)= ∑ Akα k trongđĩαklàcácnghimđơncaphươngtrình k =1 N N −k ∑ a kα k = .0 k =0 32
  34. CịncáchsA kđưcxácđnhtcácđiukinđu. SnđnhcahIIRnhânqa ∞ ∞ S = ∑h(n) = ∑ h(n) n=−∞ n=0 ∞ N ∞ N n n S = ∑ ∑ Akα k ≤ ∑∑ Ak α k n=0k = 1 n=0k = 1 N ∞ N ∞ N n n Suyra S ≤ ∑ Ak ∑α k = ∑ Ak ∑ α k do ∑ Ak làhngsnênnu α k < 1thì k=1 n=0k = 1 n=0 k =1 ∞ n ∑ α k < ∞ vàS<∞.Vyvi α k < 1vimikthìhIIRsnđnh. n=0 TđâytacĩthphátbiuđiukinnđnhcahIIRnhưsau:ðiukin cnvàđchohthngIIRnhânquđưcbudinbiptsaiphânTTHSHn đnhlàgiátrtuytđicattccácnghimcaphươngtrìnhđctrưngαk phi nhh ơnmt. Víd1.23. Tìmh(n)vàxétsnđnhcahthngđưcchobiphươngtrình sau: y(n)–3y(n1)+2y(n2)=x(n)+2x(n1) viđiukinđu:y(n)=0vin<0. Gii: Tacĩphươngtrìnhđctrưng: α 2 − 3α + 2 = 0 α1 = ;1 α 2 = .2 n n Vytacĩy 0(n)=A 1.1 +A 2.2 =h(n). Sdngđiukinđuy(n)=0,n<0vàx(n)=δ(n)tacĩ n=0thì:y(0)=1 n=1th ìy(1)=5. Mtkháctacĩy(0)=A 1+A 2=1 y(1)=A 1+2A 2 =5. Giiratađưc:A 1=3;A 2 =4 Vytacĩh(n)=3+4.2 n=2 n+2 –3vin≥0haytacĩthvit: h(n)=(2 n+2 –3)u(n). 33
  35. Xétsnđnhcah: ∞ ∞ S = ∑ h(n) = ∑ | (2n+2 3)u(n) |= ∞ . n=−∞ n=−∞ Vyhnàykhơngnđnh 1.5.3. ThchinhFIRvàIIR HFIR: ðivihthngkhơngđquiFIR,viphươngtrìnhsaiphânbiudinh thnglà: (1.73) Tacĩsơđnhưsau: Hình1.10: HthngkhơngđquyFIR Trongthct,đivicácmchđqui,ítkhingưitathchincmtsơđ cĩbcN>2,vìkhiđĩmchdmttínhnđnhdosais.Mtkhác,thitkcác khâubc2cĩphnthunlihơn.Vìvy,ngưitachiahthngrathànhnhiu mchconcĩbclnnhtlà2mcliêntiphocsongsongvinhau. HIIR PhươngtrìnhcahIIRđưcvitlidưidngcơngthctruyhi (1.74) 34
  36. Sơđkhi Hình1.11: HthngđquyIR 1.6.Hàmtươngquanvàhàmttươngquan 1.6.1. Hàmtươngquan Khixlýtínhius,trongnhiutrưnghp,cnsosánhhaitínhiushoc haidãysliu.ðsosánhhaitínhiushochaidãys,ngưitasdnghàm tươngquan rxy (m) ,vibin mlàkhongcáchgiacácmucahaitínhiushoc haidãysđưcsosánh. ðnhnghĩa:Hàm tương quan rxy (m) cadãyy(n)đividãyx(n)làdãy rxy (m) đưcxácđnhbngbiuthc ∞ rxy (m) = ∑ x(n).y(n − m) (1.75) n=−∞ ∞ hoc rxy (m) = ∑ x(n + m).y(n) (1.76) n=−∞ đâychsdưi xy xácđnhhưngtươngquan,vi x(n) làdãygccịn y(n) làdãyđưcsosánh.Bin mlàkhongcáchgiahaidãytínhbngsmu.Các biuthc(1.75)và(1.76)lànhưnhauvìsdchchm mmucadãy y(n) sovi dãy x(n) hồntồntươngđươngvisdchnhanh mmucadãy x(n) sovidãy y(n) . 35
  37. ðsosánhdãy x(n) vidãy y(n) tadùnghàmtươngquan ryx (m) ∞ ryx (m) = ∑ y(n).x(n − m) (1.77) n=−∞ ∞ hoc: ryx (m) = ∑ y(n + m).x(n) . (1.78) n=−∞ Nuthay m=m vào(1.77)snhnđưc(1.78),vàtươngt,nuthay m= m vào(1.76)snhnđưc(1.77),dođĩcĩ rxy (m) = ryx (−m) . (1.79) Nhưvy, ryx (m) làđixngca rxy (m) quatrctungvàchúngđumangthơng tinnhưnhauvstươngquangiahaidãy x(n) và y(n) . Biuthchàmtươngquan rxy (m) cĩdnggngingvibiuthctíchchpvà rõràngcĩliênquanvibiuthctíchchp.Thtvy,binđibiuthc(1.76)s thyđưcsliênquanđĩ ∞ ∞ rxy (m) = ∑ x(n + m).y(n) = ∑ y(n).x[m − (−n)] = y(m *) x(−m) n=−∞ n=−∞ Vy rxy (m) = y(m *) x(−m) = x(−m) * y(m) (1.80) Tươngt ryx (m) = x(m *) y(−m) = y(−m) * x(m) . (1.81) Vìth,mithuttốnvàchươngtrìnhdùngđtínhtíchchp x(n *) y(n) đucĩ thsdngđtínhhàmtươngquan rxy (m) ,chcnthaycácdãyvào x(n) và y(n) bngcácdãyvào x(m) và y(m) . ðtìmhàmtươngquan rxy (m) cacácdãycĩđdàihuhnvi N nh,cĩth tínhtngmuca rxy (m) tươngtnhưtínhtíchchp. Víd1.24. Hãyxácđnhhàmtươngquan rxy (m) cahaidãyhuhn:   x(n) =  − ,1 ,2 2,1  và y(n) = { ,1 − 3,2 2,1, }.  ↑  ↑ Gii: Dùngcơngthc(1.75)đlnlưttínhcácgiátrca rxy (m) : 1 rxy (0) = ∑ x(n).y(n − 0) = (−1).1 + 2.(−2) + 1.3 + 2.1 = 0 . n=−2 ðtính rxy (m) vi m<0,lnlưtdchtráidãy y(n) sovidãy x(n) 1 rxy (−1) = ∑ x(n).y(n + 1) = (−1).(−2) + 2.3 + 1.1 + 2.2 = 13 n=−2 1 rxy (−2) = ∑ x(n).y(n + 2) = (−1).3 + 2.1 + 1.2 + 2.0 = 1 n=−2 1 rxy (−3) = ∑ x(n).y(n + 3) = (−1).1 + 2.2 + 1.0 + 2.0 = 3 n=−2 36
  38. 1 rxy (−4) = ∑ x(n).y(n + 4) = (−1).2 + 2.0 + 1.0 + 2.0 = − 2 n=−2 1 rxy (−5) = ∑ x(n).y(n + 5) = (−1).0 + 2.0 + 1.0 + 2.0 = .0 n=−2 Tínhtipsđưc rxy (m) = 0 vimi m≤5. ðtính rxy (m) vi m>0,lnlưtdchphidãy y(n) sovidãy x(n) 1 rxy 1)( = ∑ x(n).y(n − 1) = (−1).0 + 2.1 + 1.(−2) + 2.3 = 6 n=−2 1 rxy (2) = ∑ x(n).y(n − 2) = (−1).0 + 2.0 + 1.1 + 2 (. −2) = − 3 n=−2 1 rxy (3) = ∑ x(n).y(n − 3) = (−1).0 + 2.0 + 1.0 + 2.1 = 2 n=−2 1 rxy (4) = ∑ x(n).y(n − 4) = (−1).0 + 2.0 + 1.0 + 2.0 = .0 n=−2 Tínhtipsđưc rxy (m) = 0 vimi m≥4 Tcácktqutínhtốntrên,nhnđưcdãytươngquan rxy (m) là   rxy (m) =  − ,1,3,2 13 0, ,6, − 2,3   ↑  Víd1.25. Hãyxácđnhhàmtươngquan rxy (m) cahaidãy n x(n) = rect(n) 4 và y(n) = 2 u(n) . ∞ 3 (n−m) (n−m) Gii: Cĩ rxy (m) = ∑ rect(n) 4 .2 u(n − m) = ∑ 2 u(n − m) . n=−∞ n=0 Cĩththyngayrngkhi n∈[0,3]thì u(n − m) =1vimi m≤0nên: 3 4 (n−m) −m 1 − 2 −m rxy (m) = ∑ 2 = 2 = 15.2 vimi m≤0 n=0 1 − 2 3 (n− )1 −1 0 1 2 rxy 1)( = ∑ 2 u(n − 1) = 2 .0 + 2 .1 + 2 .1 + 2 .1 = 7 n=0 3 (n− )2 −2 −1 0 1 rxy (2) = ∑ 2 u(n − 2) = 2 .0 + 2 .0 + 2 .1 + 2 .1 = 3 n=0 3 (n− )3 −3 −2 −1 0 rxy (3) = ∑ 2 u(n − 3) = 2 .0 + 2 .0 + 2 .0 + 2 .1 = 1 . n=0 Tínhtipsđưc rxy (m) = 0 vimi m≥4 1.6.2.Hàmttươngquan Hàmttươngquan rx (m) dùngđxácđnhquanhticácthiđimkhác nhaucadãy x(n) . ðnhnghĩa:Hàmttươngquan rx (m) cadãyx(n)làdãyđưcxácđnh bngbiuthcsau: 37
  39. ∞ rx (m) = ∑ x(n).x(n − m) = x(n *) x(−n) . (1.82) n=−∞ ði chiu các biu thc (1.82) và (1.75), thì hàm t tương quan rx (m) là trưnghpriêngcahàmtươngquan rxy (m) khi y(n)=x(n) ,tclàkhisosánhdãy x(n) vichínhnĩtihaithiđimcáchnhau mmu. Hàmttươngquan rx (m) đtgiátrccđiti m= 0vì rx (0) làgiátrtương quanca x(n) ticùngmtthiđimvàcĩ: ∞ rx (0) = ∑ x(n).x(n) = E x . (1.83) n=−∞ Vy rx (0) chínhlànănglưngcatínhiu x(n) . Víd1.26. Hãyxácđnhhàmttươngquan rx (m) cadãy: −n x(n) = 2 rect 4 (n). Gii:Theocơngthc(1.82)cĩ ∞ 3 −n −n−m −m −2n rx (m) = ∑ 2 rect4 (n).2 rect 4 (n − m) = 2 ∑ 2 rect 4 (n − m) n=−∞ n=0 3 3 0 −2n −2n 0 −2 −4 −6 85 rx (0) = 2 ∑ 2 rect 4 (n) = ∑ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = n=0 n=0 64 3 1 −2n 0 −2 −4 −6 21 rx (−1) = 2 ∑ 2 rect 4 (n + 1) = 2.(2 .1 + 2 .1 + 2 .1 + 2 .0 ) = n=0 8 3 2 −2n 2 0 −2 −4 −6 rx (−2) = 2 ∑ 2 rect4 (n + 2) = 2 .(2 .1 + 2 .1 + 2 .0 + 2 .0) = 5 n=0 3 3 −2n 3 0 −2 −4 −6 rx (−3) = 2 ∑ 2 rect 4 (n + 3) = 2 .(2 .1 + 2 .0 + 2 .0 + 2 .0 ) = 8. n=0 Tínhtipsđưc rxy (m) = 0 vimi m≤4 3 −1 −2n −1 0 −2 −4 −6 69 rx 1)( = 2 ∑ 2 rect 4 (n − 1) = 2 .(2 .0 + 2 .1 + 2 .1 + 2 .1) = n=0 128 3 −2 −2n −2 0 −2 −4 −6 5 rx (2) = 2 ∑ 2 rect 4 (n − 2) = 2 .(2 .0 + 2 .0 + 2 .1 + 2 .1) = n=0 256 3 −3 −2n −3 0 −2 −4 −6 1 rx (3) = 2 ∑ 2 rect4 (n − 3) = 2 .(2 .0 + 2 .0 + 2 .0 + 2 .1) = . n=0 512 Tínhtipsđưc rxy (m) = 0 vimi m≥4. 38
  40. Chương2 BIUDINTÍNHIUVÀHTHNGRIRCTRONGMINZ Chương1đãtrìnhbàycáchtínhđápngcamththngtrctiptđáp ngxungcanĩ,bngcáchtínhtngchpcakíchthíchviđápngxung.Cách tínhtngchptrctipdavàocơngthcđnhnghĩanhưđãlàmtnrtnhiuthi gianvàcơngsc.Hơnna,trongthctsmukháckhơngcakíchthíchvàđáp ngxunglàrtnhiunêntakhơngth“tínhbngtay”.Tuynhiên,phươngpháp tínhtngchpbngđthnhưđãtrìnhbàychotamtthuttốncachươngtrình tínhtngchpbngmáytính.Vicgiiphươngtrìnhsaiphântuyntínhhs hngbngphươngphápđquicũngchcĩýnghĩakhisdngmáytính. KthutbinđilàmtcơngchuhiuđphântíchhthngLTI.Bin điZđivitínhiurirccĩvaitrịtươngtnhưbinđiLaplaceđivitín hiuliêntc,vàchúngcĩquanhgingnhauvibinđiFourier.Tngchpca haidãytrongminthigiansbinthànhtíchcahaibinđiZtươngngtrong minbinphcz.Tínhchtnàyslàmđơnginhĩavictínhđápngcah thngvicáctínhiuvàokhácnhau.Phươngtrìnhsaiphântuyntínhhshng cũngđưcgiimtcáchddànghơnkhidùngcơngcbinđiZ. Nhưtasthytrongcácchươngsau,binđiFouriergiavaitrịchìakhĩa trongtrongvicbiudinvàphântíchcáchthngrirc.Tuynhiên,trongmt strưnghpcnphisdngdngtngquáthĩacabinđiFourier,đĩlàbin điZ. 2.1.Binđiz 2.1.1.BinđiZthun 2.1.1.1. BinđiZhaiphía ðnhnghĩa: BinđiZhaiphíacadãyx(n)làchuilũythacabins ∞ phcz: X (z) = ∑ x(n). z −n . n=−∞ (2.1) MinxácđnhcahàmX(z)làcácgiátrcazđchui (2.1)hit. Dãy x(n) đưcgilàhàmgc,cịn X(z) đưcgilàhàmnh Z.Binđi Z haiphíathưngđưcgivnttlàbinđi Z. Chui(2.1)làbiuthcbinđi Z thunvàđưckýhiunhưsau: ZT[x(n)] = X (z) . Hay: x(n) →ZT X (z) ( ZT làchvitttcathutngtingAnh: ZTransform ). 39
  41. Víd2.1. Hãyxácđnhbinđi Zhaiphíacacácdãysau: a. δ (n) b. δ (n − k) c. δ (n + k) d. x(n) = { ,2,3 − 1,5 } ↑ e. u(n) f. u(n − 3) g. u(n + 3) h. u(−n) ∞ Gii:a. ZT[δ (n)] = ∑δ (n).z −n = 1. n=−∞ Chuihitvimi z,nên ZT[δ (n)]xácđnhvimi z. ∞ b. ZT[δ (n − k)] = ∑δ (n − k). z −n = z −k . n=−∞ Chuihitvimi z> 0,nên ZT[δ (n − k)] xácđnhvimi z> 0. ∞ c. ZT[δ (n + k)] = ∑δ (n + k). z −n = z k . n=−∞ Chuihitvimi z< ∞,nên ZT[δ (n + k)] xácđnhvimi z< ∞. ∞ 2 d. X (z) = ∑ x(n).z −n = ∑ x(n).z −n = 3.z1 + 2 − 5.z −1 + z −2 . n=−∞ n=−1 Hàm X(z) xácđnhtrongmin0< z< ∞. ∞ ∞ 1 z e. ZT[u(n)] = u(n).z −n = z −n = = . ∑ ∑ −1 n=−∞ n=0 (1 − z ) (z − 1) Dãynhânquvơhn u(n) cĩbinđi Zbng ∞ti z= 1. ∞ ∞ ∞ z 1 f. ZT[u(n − 3)] = u(n − 3).z −n = z −n = z −(m+ )3 = z −3 = . ∑ ∑ ∑ 2 n=−∞ n=3 m=0 (z − 1) z (z − 1) Tađãđibin,đt (n − 3) = m ⇒ n = (m + 3) vàkhi n = 3 thì m = 0 . Dãynhânquvơhn u(n − 3) cĩbinđi Zbng ∞ti z= 1và z= 0. ∞ ∞ ∞ z z 4 g. ZT[u(n + 3)] = ∑u(n + 3).z −n = ∑ z −n = ∑ z −(m− )3 = z 3 = . n=−∞ n=−3 m=0 (z − 1) (z − 1) Tađãđibin,đt (n + 3) = m ⇒ n = (m − 3) vàkhi n = − 3 thì m = 0 . Dãykhơngnhânqu u(n + )3 cĩbinđi Zbng ∞ti z= 1và z= ∞. ∞ 0 ∞ ∞ 1 h. ZT[u(−n)] = ∑u(−n).z −n = ∑u(−n).z −n = ∑u(m).z m = ∑ z m = . n=−∞ n=−∞ m=0 m=0 (1 − z) Tađãđibin,đt − n = m ⇒ khi n = − ∞ thì m = ∞ . Dãyphnnhânquvơhn u(−n) cĩbinđi Zbng ∞ti z= 1. 2.1.1.2.BinđiZmtphía ðnhnghĩa:BinđiZmtphíacadãyx(n)làchuilũythacabins ∞ phcz: X 1 (z) = ∑ x(n). z −n . (2.2) n=0 Minxácđnhcahàm X 1 (z) làcácgiátrcazđchui (2.2)hit. 40
  42. Binđi Zmtphíađưclytheotngvi nbinthiênt0đn ∞.Chui (2.2)làbiuthccabinđi Zmtphíathunvàđưckýhiunhưsau: ZT 1[x(n)] = X 1 (z) . 1 Hay: x(n) ZT→ X 1 (z) Víd2.2. Hãyxácđnhbinđi Zmtphíacacácdãyvíd2.1vàsosánhkt quvibinđi Zhaiphíatươngng. a. δ (n) b. δ (n − k) c. δ (n + k) d. x(n) = { ,2,3 − 1,5 } ↑ e. u(n) f. u(n − 3) g. u(n + 3) h. u(−n) . ∞ Gii: a. ZT 1[δ (n)] = ∑δ (n). z −n = 1. n=0 Dãynhânqu δ (n) cĩbinđi Zmtphíagingbinđi Zhaiphía . ∞ b. ZT 1[δ (n − k)] = ∑δ (n − k). z −n = z −k . n=0 Dãynhânqu δ (n − k) cĩbinđi Zmtphíagingbinđi Zhaiphía . ∞ ∞ c. ZT 1[δ (n + k)] = ∑δ (n + k). z −n = ∑ 0. z −n = 0 . n=0 n=0 Dãyphnnhânqu δ (n + k) cĩbinđi Zmtphíaluơnbng0 . ∞ 2 d. X 1 (z) = ∑ x(n).z −n = ∑ x(n).z −n = 2 − 5.z −1 + z −2 . n=0 n=0 Dãykhơngnhânqu x(n) cĩbinđi Zmtphíakhácbinđi Zhaiphía. ∞ ∞ 1 z e. ZT 1[u(n)] = u(n).z −n = z −n = = . ∑ ∑ −1 n=0 n=0 1 − z z − 1 Dãynhânqu u(n) cĩbinđi Zmtphíagingbinđi Zhaiphía. ∞ ∞ ∞ z 1 f. ZT 1[u(n − 3)] = u(n − 3).z −n = z −n = z −m−3 = z −3 = . ∑ ∑ ∑ 2 n=0 n=3 m=0 z − 1 z (z − )1 Dãynhânqu u(n − 3) cĩbinđi Zmtphíagingbinđi Zhaiphía. ∞ ∞ z g. ZT 1[u(n + 3)] = ∑u(n + 3).z −n = ∑ z −n = . n=0 n=0 z − 1 Dãykhơngnhânqu u(n + 3) cĩbinđi Zmtphíakháchaiphía. ∞ ∞ h. ZT 1[u(−n)] = ∑u(−n).z −n = ∑ 0.z −n = 0 . n=0 n=0 Dãyphnnhânquvơhn u(−n) cĩbinđi Zmtphíaluơnbng0. Nhưvy,cácdãynhânqucĩbinđi Zmtphíavàhaiphíagingnhau, cácdãykhơngnhânqucĩbinđi Zmtphíavàhaiphíakhácnhau,cácdãyphn nhânqucĩbinđi Zmtphíabngkhơng. 2.1.2.MinhitcabinđiZ 41
  43. ðnhnghĩa:Tphpttccácgiátrcabinsphczmàtiđĩcác chui (2.1)và (2.2)hitđưcgilàminhitcabinđiZ. Minhitcabinđi Zđưckýhiulà: RC [X(z) ]hoc RC. (RC làchvitttcathutngtingAnh: RegionofConvergence ). Cĩththyngayrngcácdãy x(n) huhncĩbinđi Zlàchuihuhn nênshittrêntồnbmtphng z,trhaiđim| z|=∞và z=0làphixétc th: X (z) = ZT[x(n) N ]cĩ RC[X (z)] : 0 1. n →∞ ðsdngtiêuchunhit Cauchy xácđnhminhitcachui(2.3), phitách X (z) thànhhaichuinhưsau: −1 ∞ −n −n X (z) = ∑ x(n).z + ∑ x(n).z = X 1 (z) + X 2 (z) . n=−∞ n=0 −1 0 −n −n Trongđĩ X 1 (z) = ∑ x(n).z = ∑ x(n).z − x(0) (2.5) n=−∞ n=−∞ ∞ −n và X 2 (z) = ∑ x(n).z . n=0 Theotiêuchun Cauchy,chui X 2 (z) shitnuthamãnđiukin: 1 1 lim x(n .) z −n n Rx− . (2.7) ðtìmminhitca X 1 (z) ,đibinđt m = − n thìchui(2.5)đưcđưa ∞ m vdng: X1(z) = ∑ x(−m).z − x(0) . m=0 42
  44. Nu x(0)huhnthìchui X 1 (z) shitnuthamãnđiukin 1 1 lim x(−m .) z m m Rx− ,đĩlàminnmngồivịngtrịntâmgctađ,đưngkính R x− nhưHình2.1b.Bánkínhhit R x− đưcxácđnhtheo(2.6).Nu R x− = ∞ thì 43
  45. X (z) khơngxácđnhvimi z,nêntrongtrưnghpđĩdãynhânqu x(n) khơng cĩbinđi Z. Khi x(n) là dãy phn nhân qu thì bin đi Z ca nĩ cĩ X 2 (z) = 0 , nên X (z) = X1(z) , do đĩ min hi t ca X (z) là min hi t ca X 1 (z) theo (2.9), nên RC[X (z)] |: z | Rx− . ðĩlàminnmngồivịngtrịntâmlàgctađ,đưng kính Rx− . Bán kínhhit R x− đưcxácđnhtheo(2.6). Víd2.3. Hãyxácđnh X i (z) và RC[X i (z)]cacácdãy xi (n) sau: n a. x1 (n) = rect3 (n) e. x5 (n) = a u(−n) n b. x2 (n) = rect3 (−n) f. x6 (n) = a u(n + 2) n c. x3 (n) = rect3 (n + 1) g. x7 (n) = a u(−n + 2) n n d. x4 (n) = a u(n) h. x8 (n) = a . ∞ 2 1 1 Gii: a. X (z) = rect (n).z −n = z −n = z 0 + z −1 + z −2 = 1 + + . 1 ∑ 3 ∑ 2 n=−∞ n=0 z z Dãynhânquhuhn rect3 (n) cĩ ZT vi RC[X 1 (z)] |: z |> 0 . ∞ 0 −n −n 2 1 0 2 b. X 2 (z) = ∑ rect3 (−n).z = ∑ z = z + z + z = z + z + 1. n=−∞ n=−2 Dãyphnnhânquhuhn rect3 (−n) cĩ ZT vi RC[X 2 (z)] |: z | | a .| ∞ 0 n −n n −n e. X 5 (z) = ∑ a u(−n).z = ∑ a z . n=−∞ n=−∞ 44
  46. ðibin,đt n=m ⇒n= mvàkhi n=∞thì m= ∞nhnđưc: ∞ ∞ 1 a X (z) = a −m z m = (a −1 z) m = = . 5 ∑ ∑ −1 m=0 m=0 (1− a z) (a − z) 1 n n Theo(2.8),bánkínhhit Rx+ = lim | a | = | a |,vydãyphnnhânquvơ n → −∞ n hn a u(−n) cĩ ZT vi RC[X 5 (z)] : | z | < | a .| ∞ ∞ ∞ n −n n −n −2 2 −1 n −n f. X 6 (z) = ∑ a u(n + 2).z = ∑ a z = a z + a z + ∑ a z n=−∞ n=−2 n=0 2 3 −2 2 −1 z z z z X 6 (z) = a z + a z + X 4 (z) = + + = . a 2 a (z − a) a 2 (z − a) Theo(2.6)và(2.8),xácđnhđưcdãykhơngnhânquvơhn a nu(n + 2) vi n ∈ [ − 2 , ∞ ) cĩ ZT vi RC[X 6 (z)] |: a | < | z | <∞ . ∞ 0 ∞ n −n 0 −0 n −n n −n h. X 8 (z) = ∑ a z = − a z + ∑ a z + ∑ a z = − 1 + X 5 (z) + X 4 (z) . n=−∞ n=−∞ n=0 n Sdngktqucacáccâudvàe,dãykhơngnhânquvơhn x8 (n) = a cĩ ZT vi Rx+ = Rx− = | a | ,nênnĩkhơngcĩbinđi Z. • Mtphngz Dozlàbinphcnên:z=Re[z]+jIm[z],mtphngzđưctobitrctung Im[z]vàtrchồnhRe[z]. Im[z] r Re[z] Chúý:zlàbinphcnêntacĩthbiudinnhưsau: z=re jθ ∞ ∞ X (re jθ ) = ∑ x(n).r −n e − jθn ,Nur=1thì X (e jθ ) = ∑ x(n).e − jθn cĩnghĩalàphép n=−∞ n=−∞ binđizlytrênvịngtrịnđơnvstrthànhbinđiFouriertrênmintns. 2.1.3.Cáctínhchâtcabinđiz a. Tínhchttuyntính 45
  47. Nu X1(z)=ZT[x 1(n)],RC[X 1(z)] X2(z)=ZT[x 2(n)],RC[X 2(z)] x3(n)=ax 1(n)+bx 2(n)trongđĩa,blàcáchngsthì ZT[x 3(n)]=X 3(z)=a.X 1(z)+b.X 2(z), RC[X 3(z)]=RC[X 1(z)]∩RC[X 2(z)]. n n Chnghn,x 1(n)=2 u(n),x 2(n)=3 u(n). b. Tínhchtdchthigian Nu X(z)=ZT[x(n)],RC[X(z)] thìZT[x(nk)]=z kX(z) Minhit: +Nuk>0thìRC:làRC[X(z)]/0 +Nuk 3. z − 3 z x(0)= lim =1. z − 3 z→∞ d. Tíchchptrênminz. Nu X1(z)=ZT[x 1(n)],RC[X 1(z)] X2(z)=ZT[x 2(n)],RC[X 2(z)] x3(n)=x 1(n)*x 2(n) thìZT[x 3(n)]=X 3(z)=X 1(z).X 2(z),RC[X 3(z)]=RC[X 1(z)]∩RC[X 2(z)].Min hitcaX 3(z)cĩthrnghơnminhitcaX 1(z)vàX 2(z). n n Chnghn,x1(n)=2 u(n),x 2(n)=3 u(n). e. Nhânvihàmmũ Giscĩdãyx(n)cĩZT[x(n)]=X(z),RC: R1 < z < R2 thìdãy ∞ ∞ n z  z  y(n)=a x(n)cĩZT[y(n)]=Y(z)= ∑ a n x(n)z −n = ∑ x(n)( ) −n = X   . n=−∞ n=−∞ a  a  RC: a R1 < z < a R2 . Chnghn,chodãyx(n)=2 nu(n)xácđnhX(z),RC. Trưctiêntatìmbinđizcadãyu(n): 46
  48. ∞ ∞ 1 U (z) = u(n)z −n = (z −1 ) n = Z −1 1 ∑ ∑ −1 viRC: hay n=−∞ n=0 1 − z  z  1 1 Vy X (z) = U  = −1 = −1 viRC: Z > 2.1 = 2.  2   z  1− 2z 1−    2  2.1.4. Binđizhut M −r ∑br z N(z) r=o GisX(z)làhàmhut X (z) = = N . D(z) −k ∑ ak z k=0 a. Cáckháinimccvàkhơng. +ðimcccaX(z)làcácgiátrztiđĩX(z)=∞,kíhiulàz pk KhiđĩD(z pk )=0. +ðimkhơngcaX(z)làcácđimtiđĩX(z)=0,kíhiulàz or KhiđĩN(z or )=0. b. BiudinX(z)dưidngccvàkhơng GisN(z)làđathcbcMcazkhiđĩ: M N(z)=b M(zz o1 )(zz o2 )(zz o3 ) (zz oM )= bM ∏ (z − zor ) . r=1 GisD(z)làđathcbcNcazkhiđĩ: N D(z)=a N(zz p1)(zz p2)(zz p3) (zz pN)= a N ∏(z − z pk ) . k =1 KhiđĩX(z)đưcvitlinhưsau: M ∏(z − zor ) bM r=1 1 X (z) = N haytacĩthvitdưidnghàmcaz nhưsau: aN ∏(z − z pk ) k =0 M M −1 −1 M ∏ 1( − zor z ) ∏ 1( − zor z ) z r=1 (M −N ) r=1 X (z) = c N N = cz N . z −1 −1 ∏ 1( − z pk z ) ∏ 1( − z pk z ) k =0 k=1 Vic=b M/a NX(z)cĩMđimkhơngvàNđimcc.ðbiudintrênđth cácđimccđưcđánhdubng(x)vàcácđimkhơngđưcđánhdubng(o). 47
  49. Hình2.2: Khơngvàccca X(z) . 48
  50. 2.2.Binđizngưc 2.2.1. ðnhlíCauchy ðnhlíCauchylàmtđnhlíquantrngtronglíthuytbinsphc,nĩlàcơ sđchúngtaxâydngcơngthccabinđizngưc. ðnhlíCauchyđưcphátbiunhưsau: 1 n−1−k 1 k = n ∫ z dz =  2πj C 0 k ≠ n. TrongđĩCđưclytheochiudươngtrênđưngcongkhépkínbaoquanhgc tađvànmtrongminhitcabinđiZ. 2.2.2. Binđizngưc ∞ Tbiuthc X (z) = ∑ x(n).z −n tacĩ n=−∞ ∞ X (z)z k −1 = ∑ x(n).z k −n−1 lytíchphântrênminhitROCcanĩtacĩ: n=−∞ ∞ ∞ ∫ X (z)z k −1dz = ∫ ∑x(n).z k−n−1dz = ∑ x(n) ∫ z n−k −1dz . RC RC n=−∞ n=−∞ RC ÁpdngđnhlíCauchytacĩ: 1 ∞ ∫ X (z)z k−1dz = ∑ x(n) vik=n. 2πj RC n=−∞ 1 ∞ Hay ∫ X (z)z k−1dz = ∑ x(k) = x(k) . 2πj RC n=−∞ 1 vy: x(k) = ∫ X (z)z k −1dz hoctacĩthvit: 2πj RC 1 x(k) = ∫ X (z)z k−1dz 2πj RC 1 Hay x(n) = X (z)z (n− )1 dz . (2.11) j2π ∫ C Biuthc(2.11)đưcgilàbiuthccabinđiZngưc(IZTInvertZ Transform). Tínhtrctiptíchphân(2.11)làkháphctp,vìththưngsdngcác phươngphápgiántipđtìmbinđi Zngưc. Khingdngbinđi Zđgiicácbàitốnphântíchvàtnghphxlýs, cnsdngbinđi Zthunđchuyndãy x(n) sangminbins Z.Saukhithc hinnhngbinđicnthittrongminZ,cnsdngbinđi Zngưcđnhn đưcktqutrongminthigian. 49
  51. 2.2.3. Cácphươngpháptìmbinđizngưc Tìmbinđi Zngưcđxácđnhdãy x(n) bngcáchtínhtrctiptíchphân (2.11)thưngrtphctp,vìthngưitaxâydngcácphươngphápgiántipsau đtìmbinđi Zngưc: Phươngphápthngdư. Phươngphápkhaitrin X(z) thànhchuilũytha. Phươngphápphântích X(z) thànhtngcácphânthcđơngin. 2.2.3.1. Phươngphápthngdư Tronglýthuythàmbinsphc,phươngphápthngdưdùngđtínhtích 1 phân: Q(z)dz . (2.12) j2π ∫ C Tíchphân(2.12)đưclytheochiudươngtrênđưngcongkhépkín Cbao quanhgctađvànmtrongminhitcahàm Q(z) . Nu Q(z) cĩmtccbibc qti z = z p thìcĩthphântích Q(z) thành: N(z) Q (z) = q . (z − z p ) Trongđĩ,cácnghimcaphươngtrình N(z) = 0 phikhácccbi z p . Khiđĩtíchphân(2.12)scĩdng 1 1 N(z) Q(z)dz = dz = Re s . ∫ ∫ q p j2π C j2π C (z − z p ) Vi Re s p đưcgilàthngdưcahàm Q(z) vàđưctínhtheobiuthc: H (z) (z − 3) 1 1 = = − . (2.13) z 2(z − 1) 2 2(z − 1) (z − 1) 2 Trongtrưnghpriêng,nu z p lànghimđơnthì k = 1 nên: Re s = N(z) = N(z ) p z = z p p (2.14) ðtìmbinđi Zngưctheotíchphân(2.11),ápdngphươngphápthng (n− )1 dưchohàm Q(z) = X (z).z .Gis Q(z) cĩ mccbibc qi thìcĩthphântích Q(z) thànhtng: m N (z) Q(z) = X (z).z (n− )1 = i . ∑ qi i=1 (z − z pi ) Khiđĩ,biuthcbinđi Zngưc(2.11)đưcđưavdng: 1 1 m N (z) x(n) = X (z)z (n− )1 dz = i dz . (2.15) ∫ ∫∑ qi j2π C j2π C i=1 (z − z pi ) Vìđưngcongkhépkín Cnmtrongminhitcahàm X (z).z (n− )1 nêntích phânvphica(2.15)cĩthlytrêntngshngcachui,vìthcĩthđi vtrícadutngvàdutíchphân: 50
  52. m m 1 (n− )1 1 N i (z) x(n) = X (z)z dz = dz = Re s pi ∫ ∑ ∫ qi ∑ j2π C i=1 j2π C (z − z pi ) i=1 1 m Vy: x(n) = X (z)z (n− )1 dz = Re s (2.16) ∫ ∑ pi j2π C i=1 (n− )1 Cácthngdư Re s pi ngvicáccc z pi ca X (z).z . Re s pi caccđơntính theo(2.14), Re s pi caccbibc q tínhtheo(2.13).  z  Víd2.5. Hãytìm x(n) = IZT[X (z)] =   vi RC[X (z)] |: z | > | a | . (z − a) z.z (n− )1 z n Gii:Cĩ X (z).z (n− )1 = = . (z − a) (z − a) z n Vi n ≥ 0 ,hàm X (z).z (n− )1 = cĩmtccđơn z = a và N(z) = z n .T (z − a) p n biuthcthngdư(2.14),vi n ≥ 0 tìmđưc: Re s p = N(a) = a . n Theo(2.16)thì: x(n) = Re s p = a khi n ≥ 0 . Vì RC[X (z)] |: z | > | a | nên x(n) làdãynhânqu,dođĩktqulà  z  n x(n) = IZT   = a u(n) . (z − a) 2.2.3.2. PhươngphápkhaitrinX(z)thànhchuilũytha Vì X(z) làhàmgiitíchca z, nêntrongminhitcanĩ,cĩthkhaitrin X(z) thànhchuilũythaca z −n theodng: ∞ −n X (z) = ∑ an .z . (2.17) n=−∞ Mtkhác,theođnhnghĩacabinđi Zcĩ: ∞ X (z) = ∑ x(n).z −n . (2.18) n=−∞ Trongminhitca X(z) ,chaichuitrênđuhitnênkhiđngnht cáchscahaichui(2.17)và(2.18),tìmđưcdãy: x(n) = an . (2.19) Vykhikhaitrin X(z) thànhchuilutha(2.17),stìmđưcdãy x(n) theocáchscachui. z Víd2.6. Hãytìmdãy x(n) cahàmnh X (z) = . (z + a) a.Vi RC[X (z)] |: z | > | a | b.Vi RC[X (z)] |: z | < | a |. 51
  53. Gii: a.Chiactsvàmuscho znhnđưc: z 1 X (z) = = . (z + a) (1 + a.z −1 ) Vì RC[X (z)] |: z | > | a | nên x(n) làdãynhânqu,dođĩhàmnhphilàchuilũy thaca z −n .ðkhaitrin X(z)thànhchuilũythaca z −n ,chiatschođa thcmus(1+ az 1): 1 |1 +az 1_ 1 +az 1 1 az 1 + a2z2 a3z3 + a4z4 az 1 az 1 a2z2 +a2z2 +a2z2 +a3z3 a3z3 a3z3 a4z4 +a4z4 ∞ Mtcáchtngquátnhnđưc X (z) = ∑ (− a) n z −n . n=0 Theo(2.19)nhnđưc: x(n) = (− a) n u(n) vi RC[X (z)] |: z | > | a | . b.Vi RC[X (z)] |: z | < | a |thì x(n) làdãyphnnhânqu,nênhàmnhphilà chuiluthaca z n .ðkhaitrin X(z)thànhchuiluthaca z n ,chiats chođathcmus( az 1 +1): 1 | az 1 +1_ 1 +a1z a1z a2z2 + a3z3 a4z4+ a1z a1za2z2 +a2z2 +a2z2 +a3z3 a3z3 a3z3 a4z4 +a4z4 52
  54. ∞ Mtcáchtngquátnhnđưc: X (z) = − ∑ (− a) −m z m . m=1 ðđưachuivdng(2.17),đibinđt n= (m+ 1) ⇒ m= (n+ 1), khi m= 1thì n= 0vàkhi m= ∞thì n=∞: −∞ −∞ X (z) = − ∑ (− a)(n− )1 z (−n+ )1 = − z.∑ (− a) (n− )1 z −n . n=0 n=0 Theo(2.19)vàtínhchttrcabinđi Znhnđưc: x(n) = − (− a) (n− )1 u(−n + 1) vi RC[X (z)] |: z | M thìnĩđưcgilàhàm X(z) dngchínhtc.Trongtrưng hphàm X(z) (2.20)cĩ N ≤M thìnĩlàhàmdngkhơngchínhtc.Khiđĩ,bng cáchchiađathctchođathcmuhocbng binđitốnhc,snhn đưchàm X(z) dng:  N(z)  M − N −r ′ X (z) = A.C(z) +  = A.∑ cr z + X (z) .  D(z)  r=0 Trongđĩ X’(z) làhàmdngchínhtc.Vì C(z) làđathclũythaca z,nên cĩthddàngtìmđưcbinđi Zngưccanĩ: M − N c(n) = IZT[A.C(z)] = A.∑ crδ (n − r) . r=0 Vìvy,trongmitrưnghpchcnnghiêncuphươngpháptìmbinđi Zngưccahàm X(z) (2.20)dngchínhtc.Cĩthbiudinhàm X(z) chínhtc (2.20)quacácccđim zpk : B(z) A.(b z M + b z1 + b z 2 + + b ).z ( N −M ) X (z) = A. = 0 1 2 M . (2.21) D(z) (z − z p1 )(z − z p2 ) (z − z pN ) 53
  55. Cácccđim zpk cahàm X(z) (2.20)và(2.21)cĩthlàcácccđơn (cccĩ giátrkhácnhau),hoccácccbibc q( q cccĩgiátrgingnhau),hơnna zpk cĩthlàcácsthchocsphc.Trưchtchúngtanghiêncutrưnghp X(z) cĩnghimđơngin. 2.2.3.3a Trưnghphàm X(z) chcĩcácccđơnlàsthc Khi X(z) làhàm (2.20)hoc(2.21)dngchínhtcvàcĩ Nccđơn z pk làs thc( Nccthcđơn),thìcĩthphântích X(z) thànhtngcacácphânthcđơn gindng: B(z) N B B B B X (z) = A. = ∑ k = 1 + 2 + + N (2.22) D(z) k=1 (z − z pk ) (z − z p1 ) (z − z p2 ) (z − z pN ) ðxácđnhhs Bk ,nhânchaivca(2.312)vi( zzpk ): B1 (z − z pk ) B2 (z − z pk ) BN (z − z pk ) X (z)(z − z pk ) = + + + Bk + + . (z − z p1 ) (z − z p2 ) (z − z pN ) Ti z= zpk thìtr Bk ,cịnttccácshngkhácvphicabiuthc trênđubngkhơng,dođĩcĩ: B = X (z)(z − z ) . (2.23) k [ pk ] z=z pk Lybinđi Zngưchàm X(z) (2.313),tìmđưcdãyx(n):  N  N   Bk −1 z x(n) = IZT[X (z)] = IZT ∑  = ∑ Bk .IZT z  .  k=1 (z − z pk ) k=1  (z − z pk ) Theotínhchttrvà,vi RC[X (z)] |: z | > max[z pk ] ,nhnđưc D(z) max[z pk ] ,nhnđưc 54
  56. N n x(n) = IZT[X (z)] = ∑ Bk .z pk .u(n) . (2.28) k=0 (z + 5) Víd2.8. Hãytìmhàmgcnhânquca X (z) = . (2z 2 − 8z + 6) Gii:Hàm X(z) làphânthcdngchínhtc.Vìđathcđctrưngcĩ a0 = 2 ≠ 1nên phinhĩmthas2rangồi.ðnhnđưchàmgcx(n) dngkhơngtr,phân tíchhàm: X (z) (z + 5) (z + 5) B B B = = = 0 + 1 + 2 . z 2z(z 2 − 4z + 3) 2z(z − 1)(z − 3) z (z − 1) (z − 3) Theo(2.27)xácđnhđưccáchs B0 , B1 ,và B2 :  (z + 5)z  5 5 B0 =   ⇒ B0 = = . 2z(z − 1)(z − 3) z = 0 2(−1)(−3) 6  (z + 5)(z − 1)  (1 + 5) 6 3 B1 =   ⇒ B1 = = = − . 2z(z − 1)(z − 3) z = 1 1.2 .(1 − 3) − 4 2  (z + 5)(z − 3)  (3 + 5) 8 2 B2 =   ⇒ B2 = = = . 2z(z − 1)(z − 3) z = 3 3.2 .(3 − 1) 12 3 X (z) 5 1 3 1 2 1 Vy: = − + . z 6 z 2 (z − 1) 3 (z − 3) 5 3 z 2 z Suyra X (z) = − + . 6 2 (z − 1) 3 (z − 3) Vìdãy x(n) lànhânqunên RC[X (z)] |: z | > 3 ,theo(2.28)nhnđưc: 5 3 2 x(n) = IZT[X (z)] = δ (n) − u(n) + 3n u(n) . 6 2 3 2.2.3.3b Trưnghphàm X(z) cĩnhiuccdngphctp ðđơnginvàdhiumàkhơnglàmmtđitínhtngquát,gis X(z) là hàm (2.20) hoc (2.21) dngchínhtcvàcĩ rccthcđơn zpk ,mtccthcbi * zpq bc q,mtcpccphcliênhp z pe và z pe ,khiđĩcĩthphântích X(z) thành tngcacácphânthcdng: o o X (z) E E * r B q C = + + k + i . (2.29) * ∑ ∑ i z (z − z pe ) (z − z pe ) k=0 (z − z pk ) i=1 (z − z pq ) Trongđĩthànhphnngvi rccthcđơn zpk là: X (z) r B b = ∑ k . (2.30) z k=0 (z − z pk ) Thànhphnngviccthcbi zpq bc qlà 55
  57. X (z) q C c = i . (2.31) ∑ i z i=1 (z − z pq ) * Thànhphnngvicpccphcliênhp z pe và z pe là o o X (z) E E * e = + * . (2.32) z (z − z pe ) (z − z pe ) Tươngttrưnghphàm X(z) chcĩcácnghimthcđơn,cáchs Bk ca (2.30)đưcxácđnhtheo(2.27).Vi RC[X b (z)] |: z | > max z pk ,thàm Xb(z) ,theo (2.28)nhnđưcthànhphn xb(n) N n xb (n) = IZT[X b (z)] = ∑ Bk .z pk .u(n) . (2.33) k=0 Cáchs Ci ca(2.31)ngviccthcbi zpq ,đưcxácđnhnhưsau: 1 d (q−i)  X (z)  C = (z − z ) q . (2.34) i (q−i)  pq  z = zpq (q − i)! dz  z  Vi RC[X c (z)] |: z | > | z pq | ,thàm Xc(z) nhnđưcthànhphn xc(n) q n(n − 1) (n − i − 1) (n−i) xc (n) = IZT[X c (z)] = ∑ Ci . .()z pq .u(n) . (2.35) i=1 (i − 1)! o o * Cáchsphc E và E * ngvicpccphcliênhp z pe và z pe .Tachcn o xácđnh E theobiuthc: o X  (z)  jϕe E = (z − z pe ) = E.e . (2.36)  z  z = zpe vìtheolýthuythàmbinsphcthì f (z*) = f * (z) ,nêncĩ:  X (z)  o * E E. − jϕe  (z − z pe ) * = * = e .  z  z=zpe jϕe − jϕe X e (z) E.e E.e Dođĩcĩ: = + * . z (z − z pe ) (z − z pe ) z z X E. jϕe E. − jϕe Vy: e (z) = e + e * . (z − z pe ) (z − z pe ) vi RC[ X e (z)] |: z | > | z pe | ,thàm Xe(z) nhnđưchàmgc xe(n) : jϕe n − jϕe * n xe (n) = IZT[X e (z)] = E.e (z pe ) u(n) + E.e (z pe ) u(n) jϕe jϕ p n − jϕe − jϕ p n xe (n) = E.e (| z pe .| e ) u(n) + E.e (| z pe .| e ) u(n) n jϕe jnϕ z − jϕe − jnϕ z xe (n) = E. | z pe | u(n () e .e + .e .e ) . 56
  58. j(nϕ p +ϕe ) − j(nϕ p +ϕe ) n e + e  xe (n) = 2E. | z pe | u(n)   .  2  n Vy: xe (n) = IZT[X e (z)] = 2E. | z pe | u(n).cos(nϕ p + ϕ e ) . (2.37) o Trongđĩhsphc E = E.e jϕe đưcxácđnhtheobiuthc(2.35). Tđĩ,theotínhchttuyntínhcabinđi Znhnđưc: x(n) = IZT[X (z)] = xe (n) + xb (n) + xc (n) . (2.38) Trongđĩ, xb(n) đưcxácđnhtheo(2.33), xc(n) đưcxácđnhtheo(2.35), và xe(n) đưcxácđnhtheo(2.37). Víd2.9. Cho a 2 | b | . (z 2 + 2a.z + b 2 ) Gii: đâysphântích X(z) thànhtngcacácđathcđơngin.ðnhnđưc dãy x(n) dngkhơngtr,phântíchhàm: X (z) 1 = . z (z 2 + 2a.z + b 2 ) Vì a 2 < b 2 ,nênphươngtrìnhđctrưng z 2 + 2a.z + b 2 = 0 cĩhainghimlàcp 2 2 jϕ p sphcliênhp: z p = − a + j (b − a ) = | z p .| e . * 2 2 − jϕ p và z p = − a − j (b − a ) = | z p .| e . 2 2 2 Vi | z p | = a + (b − a ) = b .  (b 2 − a 2 )  và ϕ = − arctg  . (2.39) p  a    ðsdngcơngthc(2.37),theobiuthc(2.36)tìmđưc o  (z − z p )  o 1 E = ⇒ E =  *  z=zp * (z − z p )(z − z p ) (z p − z p ) − j π o 1 e 2 E = = . − a + j (b 2 − a 2 )  − − a − j (b 2 − a 2 )  2 (b 2 − a 2 )     o 1 o π Vy: | E | = E = và Arg[E ] = ϕ e = − . 2 (b 2 − a 2 ) 2 Theo(2.37)nhnđưcdãy x(n) 1 n  π  x(n) = 2 .b u(n).cos− n.ϕ p −  . 2 (b2 − a2 )  2  57
  59. Binđilưnggiácvàxácđnh ϕ p theo(2.39),nhnđưcktqu Vi a 2 | b | thì  2 2   z  b nu(n)   (b − a )  IZT   = .sin− n.arctg  . (2.40) (z 2 + 2a.z + b 2 ) 2 2  a    (b − a )    Cáccơngthc(2.37)và(2.40)thưngđưcsdngnhưmtcpbinđi Z thơngdngđtìmbinđi Zngưccacáchàm X(z) cĩhainghimđơnlàcps phcliênhp. Víd2.10. Hãytìmdãy x(n) cahàmnh: (2z 2 + z − 3) X (z) = vi RC[X (z)] |: z | > 1 . (z 2 + 1)(4z 2 − 4z + 1) Gii: Vìđathcmucĩ a0 = 4 ≠ 1nênphinhĩmthas4rangồi.ðnhn đưchàmgc x(n) dngkhơngtr,phântíchhàm: X (z) (2z 2 + z − 3) (2z 2 + z − 3) = = . (2.41) z 4 z(z 2 + 1)(z 2 − z + ,0 25) 4 z(z − j)(z + j)(z − )5,0 2 Phươngtrìnhđctrưng z(z − j)(z + j)(z − )5,0 2 = 0 cĩ: Mtnghimđơnti z p0 = 0 , Mtnghimbibc2ti z p1 = 5,0 , * Hainghimphcliênhpti z p2 = j và z p2 = − j π ⇒ | z p2 | = 1 và ϕ p2 = . 2 Theocácccđimtrên,cĩthphântíchhàm(2.41)thànhdng: o o X (z) B C C E E* = + 1 + 2 + + . (2.42) z z (z − 5,0 ) (z − 5,0 ) 2 (z − j) (z + j) Trongđĩcáchsđưcxácđnhnhưsau:  X (z)   (2z 2 + z − 3)  − 3 B = z = = = − 3   z = 0  2 2  z = 0 2  z  4 (z + 1)(z − 5,0 )  4.1.(− 5,0 ) d  X (z)  d  (2z 2 + z − 3)  C = (z − 5,0 ) 2 = 1   z = 5,0  2  z = 5,0 dz  z  dz  4 z(z + 1)  z(z 2 + 1)(4z + 1) − (3z 2 + 1)(2z 2 + z − 3) C1 = = ,3 44 4 z 2 (z 2 + 1) 2 z = 5,0  X (z)  (2z 2 + z − 3) C = (z − 5,0 ) 2 = = − 8,0 2   z = 5,0  2  z = 5,0  z   4 z(z + 1)  58
  60. 2 o  X (z)   (2z + z − 3)  E = (z − j) = ≈ .5,0 e − j 1,1 .   z = j  2  z = j  z  4 z(z + j)(z − 5,0 )  Thaygiátrcáchsvào(2.333),nhnđưc: X (z) − 3 ,3 44 8,0 .5,0 e − j 1,1 .5,0 e j 1,1 = + − + + , z z (z − 5,0 ) (z − 5,0 ) 2 (z − j) (z + j) z 8,0 5,0 z z z X (z) = − 3 + ,3 44 − + 5,0 e − j 1,1 + 5,0 e j 1,1 . (z − 5,0 ) 5,0 (z − 5,0 ) 2 (z − j) (z + j) TheoBng3.2vàcơngthc(2.37),vi RC[X (z)] |: z | > 1 ,nhnđưc  π  x(n) = − 3δ (n) + ,3 44.( 5,0 ) n u(n) − .6,1 n.( 5,0 ) n u(n) + .5,0.2 |1|n u(n) cos .n − 1,1  .  2  π  Hay x(n) = 2 −n u(n).( ,3 44 − .6,1 n) + u(n) cos .n − 1,1  − 3δ (n) .  2  2.3.Phântíchhthngrirctrênminz ChúngtađãbittrênminnmtHTTTBBđưcđc trưngbiđápng xunghocphươngtrìnhsaiphântuyntínhhshng.Nhưngvicphântíchh thngnhiukhigpphiskhĩkhăncavictínhtíchchp,giiPTSP Trong phntrưcchúngtađãbiudintínhiusangminbinsz,bâygitasphân tíchhTTBBtrênminz,trưctiêntatìmhiukháinimhàmtruynđtcah thng. 2.3.1. HàmtruynđtcahthngTTBB Minn Minz y(n)=x(n)*h(n) X(z)=ZT[x(n)],Y(z)=ZT[y(n)] ∞ H(z)=ZT[h(n)] = x(n).h(n − k) ∑ Y (z) k =−∞ H (z) = h(n)=IZT[H(z)] X (z) NhưvyhàmtruynđtcahthngTTBBchínhlàbinđizcuđápng xungcanĩ.HàmtruynđtđưckíhiulàH(z)vànĩcũngđctrưnghồntồn chohthngtrênminz. 2.3.2. HàmtruynđtcahđưcmơtbiPTSPTTHSH QuanhgiađuvàovàđuracamtHTTTBBđưcmơtbiPT sau: N M ∑ak y(n − k) = ∑br x(n − r) ;lybinđiZ2vtacĩ: k =0r = 0 ∞ N ∞ M −n −n ∑ [][]∑ak y(n − k) z = ∑ ∑br x(n − r) z . n=−∞ k=0 n=−∞ r=0 59
  61. Ápdngtínhchttrvàtuyntínhtacĩ N ∞ M ∞ −(n−k ) −k −(n−r) −r ∑ ak ∑y(n − k)z z = ∑br ∑ x(n − r)z z . k =0 n=−∞ r=0 n=−∞ N ∞ M ∞ −k −(n−k ) −r −(n−r) Suyra ∑ ak z ∑y(n − k)z = ∑br z ∑ x(n − r)z k =0 n=−∞ r=0 n=−∞ N M −k −r ∑ ak z .Y (z) = ∑br z .X (z) k =0 r=0 M −r ∑br z Y (z) r=0 ⇒ H (z) = = N . X (z) −k ∑ ak z k =0 Nua 0=1thìtacĩ: M −r ∑br z r=0 ⇒ H (z) = N . −k 1+ ∑ ak z k =1 Chúý:TacũngcĩthbiudinH(z)dưidnghàm ca z 1, hoc các cc và khơngcanĩ. 2.3.3. GiiphươngtrìnhsaiphânTT–HSHsdngbinđiz 2.3.3.1 .TìmhàmtruynđththngH(z)tphươngtrìnhsaiphân Víd2.11. ChohxlýsTTBBNQcĩphươngtrìnhsaiphân 2 y(n) − 4 y(n − 1) + 2 y(n − 2) = x(n) − 3x(n − 1) . Hãyxácđnhhàmtruynđt hthng H(z) vàđctínhxung h(n) cah. Gii:Lybinđi Zmtphíachaivcaphươngtrìnhsaiphântrên,tađưc: 2Y (z) − 4z −1Y (z) + 2z −2Y (z) = X (z) − 3z −1 X (z) . Hay: Y (z)(2 − 4z −1 + 2z −2 ) = X (z)(1 − 3z −1 ) Y (z) (1 − 3z −1 ) z −1 (z − 3) z(z − 3) H (z) = = = = . X (z) (2 − 4z −1 + 2z −2 ) 2z −2 (z 2 − 2z + 1) 2(z 2 − 2z + 1) Y (z) z(z − 3) z(z − 3) Vyhàmhthnglà: H (z) = = = . X (z) 2(z 2 − 2z + 1) 2(z − 1) 2 Lybinđi Zngưchàmhthng H(z) ,tìmđưcđctínhxung h(n) :  z(z − 3)  h(n) = IZT[H (z)] = IZT RC[H (z)] |: z | > 1  2  vi .  2(z − 1)  H (z) (z − 3) C C ðtìm h(n) ,phântíchhàm: = = 1 + 2 . z 2 (z − 1) 2 (z − 1) (z − 1) 2 (z − 3)(z − 1) 2 1 − 3 Trongđĩ C = ⇒ C = = − 1 2 2 z =1 2 2(z − 1) 2 60
  62. d  (z − 3)(z − 1) 2  1 C = ⇒ C = . 1  2  z =1 1 dz  2(z − 1)  2 H (z) (z − 3) 1 1 Vy = = − z 2(z − 1) 2 2(z − 1) (z − 1) 2 1 z z ⇒ H (z) = − . 2 (z − 1) (z − 1) 2 Vi RC[H (z)] |: z | > 1,theoBng2.3tìmđưcđctínhxung h(n) : h(n) = 5,0 u(n) − n.u(n) , hay: h(n) = ( 5,0 − n).u(n) . 2.3.3.2. Tìmphnngy(n)cahxlýsquabinđiZ Khibitđctínhxung h(n) cahxlýsTTBBNQvàtácđng x(n) ,cĩ thtìmđưcphnng y(n) cahxlýstheotíchchp: y(n) = x(n) * h(n). Cácphươngpháptínhtrctiptíchchpđãđưctrìnhbychươngmtđu kháphctp,vàtrongnhiutrưnghpkhơngthtìmđưcbiuthccaphn ng y(n) .Cĩthtìmphnng y(n) cahxlýsTTBBNQddànghơnbng cáchtínhtíchchpquabinđi Z,cácbưcthchinnhưsau: 1Tìmcácbinđi Zthun: X (z) = ZT[x(n)] và H (z) = ZT[h(n)] 2Tđĩxácđnhđưc: Y (z) = X (z).H (z) 3Tìmbinđi Zngưc: y(n) = IZT[Y (z)] = IZT[X (z).H (z)] . Trongđascáctrưnghp,hàmhthng H(z) vàtácđng X(z) cĩdngphân thchut: B(z) P(z) H (z) = và X (z) = . A(z) Q(z) Dođĩphnng Y(z) cahxlýsTTBBNQlà B(z).P(z) Y (z) = X (z).H (z) = . A(z).Q(z) Trưc ht xét trưng hp hàm h thng H(z) cĩ N cc đim đơn zpk là nghimcaphươngtrìnhđctrưng A(z) = 0 ,cịntácđng X(z) cĩ mccđimđơn zpi lànghimcaphươngtrìnhđctrưng Q(z) = 0 ,trongđĩcáccc zpk ≠zpi vimi k và i.ðngthi,cácccđimcahàmhthng H(z) khơngbloitrbicác khơngđimcatácđng X(z) vàngưcli.ðtìmphnng y(n) cahxlýs TTBBNQ,phântíchhàm: Y(z) n A m Q = ∑ k + ∑ k . z k=0 (z − z pk ) i=1 (z − z pi ) 61
  63. Phn ng y(n) ca h x lý s TTBBNQ là dãy nhân qu, nên vi RC[Y (z)] |: z | > max[z pk , z pi ] ,nhnđưc y(n) làtngcahaithànhphn: n m n n y(n) = ∑ Ak .z pk + ∑ Qk .z pi = y0 (n) + y p (n) . (2.43) k=0 i=1 n n Trongđĩdaođngtdo y0 (n) = ∑ Ak .z pk . (2.44) k=0 Thànhphndaođngtdo y0(n) ca y(n) phthucvàocáccccahàmh thng H(z) ,tclàphthucvàocutrúccahxlýs. m n Cịndaođngcưngbc y p (n) = ∑ Qk .z pi . (2.45) k =1 Thànhphndaođngcưngbc yp(n) ca y(n) phthucvàocácccca tácđng X(z) ,tclàphthucvàodngcatácđng x(n) . Giátrcacáchs Akvà Qkđưcxácđnhtheo(2.27),chúngphthuc vàochàmhthng H(z) lntácđng X(z) . Trongtrưnghphàmhthng H(z) hoctácđngX(z) cĩcácccbithì phiphântích Y(z) theobiuthc(2.31),vicáchsđưcxácđnhtheo(2.34). Tươngtnhưtrên,phnng y(n) cũnglàtngcahaithànhphndaođngtdo vàdaođngcưngbc: y(n) = y0 (n) + y p (n) . (2.46) Numtsccđimcahàmhthng H(z) bloitrbicáckhơngđim catácđng X(z) (hocngưcli),thìthànhphndaođngtdo(hocdaođng cưngbc)smtbtcácshngtươngng. Ví d 2.12. Cho h x lý s cĩ đc tính xung h(n) = rect3 (n − 1) và tác đng x(n) = 2n.u(n) ,tìmphnng y(n) vàxácđnhtínhnđnhcah. Gii:TheoBng2.3tìmđưccácbinđi Zthun: z X (z) = ZT[x(n)] = ZT[2 n.u(n)] = (z − 2) z 3 − 1 (z 2 + z + 1) H (z) = ZT[h(n)] = = . z 3 (z − 1) z 3 z ( z 2 + z + 1) ( z 2 + z + 1) Phnng: Y (z) = X (z).H (z) = . = . (z − 2) z 3 z 2 (z − 2) Khơngđim z01 =0catácđng X(z) đãhbcccbi zp1 =0cahàmh thng H(z) ,dođĩdaođngtdoy0(n) sbtđimtshng. 62
  64.  ( z 2 + z + 1)  y(n) = IZT[Y (z)] = IZT Phnngcahlà:  2  .  z (z − 2)  ðtìm y(n) ,phântích Y(z) thànhtngcacácphânthc Y (z) ( z 2 + z + 1) C C C B = = 1 + 2 + 3 + . (2.47) z z 3 (z − 2) z z 2 z 3 (z − 2) Trongđĩ,cáchs C1, C2, C3phthucvàoccbibc3cahàmh thng H(z) ti zp1 =0,hs B phthucvàoccđơncatácđng X(z) ti zp2 =2. Tínhcáchsca(2.47): (z 2 + z + 1)(z − )2 (22 + 2 + 1) 7 B = ⇒ B = = 3 z = 2 3 z (z − 2) 2 8 (z 2 + z + 1)z 3 1 1 C = ⇒ C = = − 3 3 z = 0 3 z (z − 2) (−2) 2 d  (z 2 + z + 1)z 3  d  (z 2 + z + 1) C = ⇒ C = 2  3  z = 0 2   z = 0 dz  z (z − 2)  dz  (z − 2)  (z − 2)(2z + 1) − (z 2 + z + 1) C = 2 2 z = 0 (z − 2) (2z 2 + z − 4z − 2 − z 2 − z − 1) C = 2 2 z = 0 (z − 2) (z 2 − 4z − 3) − 3 3 C = ⇒ C = = − 2 2 z = 0 2 2 (z − 2) (−2) 4 d 2  (z 2 + z + 1) dC d  (z 2 − 4z − 3) C = = 2 = 1 2   z = 0 z = 0  2  z = 0 dz  (z − 2)  dz dz  (z − 2)  (z − 2) 2 (2z − 4) − 2(z − 2)(z 2 − 4z − 3) C = 1 4 z = 0 (z − 2) (−2) 2 .(−4) − .2 (−2).(−3) −16 − 12 7 C1 = ⇒ C1 = = − . (−2) 4 16 4 Thaygiátrcacáchstrênvào(2.47)nhnđưc: Y (z) 7 1 3 1 1 1 7 1 = − − − + . z 4 z 4 z 2 2 z 3 8 (z − 2) 7 3 1 1 1 7 z Vy: Y (z) = − − − + . 4 4 z 2 z 2 8 (z − 2) Vì h x lý s là TTBBNQ nên phn ng y(n) là dãy nhân qu, vi RC[Y (z)] |: z | > 2 ,theoBng2.3nhnđưc: 7 3 1 7 n y(n) = − δ (n) − δ (n − 1) − δ (n − 2) + 2 u(n = y0 (n) + y p (n) . 4 4 2 8 7 3 1 Trongđĩdaođngtdo: y0 (n) = − δ (n) − δ (n − 1) − δ (n − 2) . 4 4 2 63