Bài giảng Lý thuyết Tôpô - Trần Văn Ân

202 trang ngocly 130 Free

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết Tôpô - Trần Văn Ân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_topo_tran_van_an.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết Tôpô - Trần Văn Ân

Chuyên đề Cao học ngành Toán Lý thuyết Tôpô PGS.TS. Trần Văn Ân Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 1 / 111
[2] J. Kelley, Tôpô đại cương, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1973. [3] Đỗ văn Lưu, Tôpô đại cương, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuụât, Hà Nội 1998. Lý thuyết Tôpô Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1978. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 2 / 111
[3] Đỗ văn Lưu, Tôpô đại cương, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuụât, Hà Nội 1998. Lý thuyết Tôpô Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1978. [2] J. Kelley, Tôpô đại cương, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1973. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 2 / 111
Lý thuyết Tôpô Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1978. [2] J. Kelley, Tôpô đại cương, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1973. [3] Đỗ văn Lưu, Tôpô đại cương, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuụât, Hà Nội 1998. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 2 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1. Các khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa. Cho tập hợp X . Họ T các tập con của X được gọi là một tôpô nếu thoả mãn các điều kiện sau (T1) φ, X ∈ T ; [ (T2) Nếu Gα ∈ T , α ∈ Λ thì Gα ∈ T ; α∈Λ (T3) Nếu G1, G2 ∈ T , thì G1 ∩ G2 ∈ T . Khi đó cặp (X , T ) được gọi là một không gian tôpô. Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô, các tập hợp thuộc T được gọi là các tập mở. Nhận xét rằng từ (T3) ta suy ra nếu Gi ∈ T , i = 1, , n, thì n \ Gi ∈ T i=1 Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 3 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản Các ví dụ. 1) Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý, T = {φ, X}. Khi đó T là một tôpô trên X và nó được gọi là tôpô thô trên X ,(X , T ) được gọi là không gian tôpô thô. 2) Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý, T = P(X ). Khi đó T là một tôpô trên X và nó được gọi là tôpô rời rạc trên X ,(X , T ) được gọi là không gian tôpô rời rạc. 3) Giả sử X = R. Ký hiệu [ T = { (ai , bi )|ai , bi ∈ R, ai ≤ bi , i ∈ I , I là tập chỉ số tuỳ }. i∈I Khi đó T là một tôpô trên X và nó được gọi là tôpô tự nhiên hay tôpô thông thường trên R. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 4 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.2. Định nghĩa. Cho tập hợp X . Giả sử T , U là hai tôpô trên X . Ta nói rằng tôpô T là thô hơn tôpô U (hay tôpô U là mịn hơn tôpô T ) nếu T ⊂ U. Lúc đó ta cũng nói rằng tôpô T là yếu hơn tôpô U (hay tôpô U là mạnh hơn tôpô T ). 1.1.3. Định nghĩa. Cho không gian tôpô (X , T ). Tập E ⊂ X được gọi đóng nếu tập X \ E là mở. Nhận xét Ký hiệu F là họ tất cả các tập con đóng của không gian tôpô X . Khi đó họ F có các tính chất (F1) φ, X ∈ F. (F2) Giao của một họ tuỳ ý các tập hợp thuộc F cũng thuộc F; (F3) Hợp của hai tập hợp thuộc họ F cũng thuộc họ F; Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 5 / 111
1.1.5. Các tính chất của bao đóng a) E ⊂ E với mọi E ⊂ X ; b) Nếu E ⊂ F ⊂ X , thì E ⊂ F ; c) Với mọi E, F ⊂ X ta có E ∪ F = E ∪ F ; d) E = (E) = E; e) Giả sử E ⊂ X . Khi đó tập E là đóng khi và chỉ khi E = E. Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.4. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X , E ⊂ X . Giao của họ tất cả các tập con đóng của X mà chứa E cũng là một tập đóng chứa E. Ta gọi giao đó là bao đóng của Evà ký hiệu là E, nghĩa là \ E = {F : F đóng, E ⊂ F ⊂ X }. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 6 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.4. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X , E ⊂ X . Giao của họ tất cả các tập con đóng của X mà chứa E cũng là một tập đóng chứa E. Ta gọi giao đó là bao đóng của Evà ký hiệu là E, nghĩa là \ E = {F : F đóng, E ⊂ F ⊂ X }. 1.1.5. Các tính chất của bao đóng a) E ⊂ E với mọi E ⊂ X ; b) Nếu E ⊂ F ⊂ X , thì E ⊂ F ; c) Với mọi E, F ⊂ X ta có E ∪ F = E ∪ F ; d) E = (E) = E; e) Giả sử E ⊂ X . Khi đó tập E là đóng khi và chỉ khi E = E. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 6 / 111
1.1.7. Mệnh đề. Giả sử X là không gian tôpô, x ∈ X . Ký hiệu U(x) là họ tất cả các lân cận của điểm x. Khi đó ta có (1) Nếu V ∈ U(x), thì x ∈ V ; (2) Nếu V ∈ U(x) và V ⊂ W , thì W ∈ U(x); (3) Nếu U, V ∈ U(x), thì U ∩ V ∈ U(x) ; (4) Nếu U ∈ U(x), thì tồn tại V ∈ U(x) sao cho V ⊂ U và U ∈ U(y) với mọi y ∈ V . Chứng minh dành cho bạn đọc. Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.6. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, A ⊂ X . Tập U ⊂ X được gọi là lân cận của A trong X , nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho A ⊂ V ⊂ U. Trường hợp A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của điểm x. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 7 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.6. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, A ⊂ X . Tập U ⊂ X được gọi là lân cận của A trong X , nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho A ⊂ V ⊂ U. Trường hợp A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của điểm x. 1.1.7. Mệnh đề. Giả sử X là không gian tôpô, x ∈ X . Ký hiệu U(x) là họ tất cả các lân cận của điểm x. Khi đó ta có (1) Nếu V ∈ U(x), thì x ∈ V ; (2) Nếu V ∈ U(x) và V ⊂ W , thì W ∈ U(x); (3) Nếu U, V ∈ U(x), thì U ∩ V ∈ U(x) ; (4) Nếu U ∈ U(x), thì tồn tại V ∈ U(x) sao cho V ⊂ U và U ∈ U(y) với mọi y ∈ V . Chứng minh dành cho bạn đọc. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 7 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.8. Định nghĩa. Gỉa sử X là không gian tôpô, E ⊂ X , x ∈ X . Điểm x được gọi là điểm trong của E nếu E là một lân cận của x; Điểm x được gọi là điểm ngoài của E nếu X \ E là một lân cận của x; Điểm x được gọi là điểm giới hạn của E nếu với mọi lân cận U của x ta luôn có U ∩ (E \{x}) 6= φ; Điểm x được gọi là điểm dính của E nếu với mọi lân cận U của x ta luôn có U ∩ E 6= φ; Điểm x được gọi là điểm biên của E nếu với mọi lân cận U của x ta luôn có U ∩ E 6= φ và U ∩ (X \ E) 6= φ; Tập hợp tất cả các điểm trong của E được gọi là phần trong của E và ký hiệu là E o hay IntE; Tập hợp tất cả các điểm ngoài của E được gọi là phần ngoài của E và ký hiệu là ExtE; Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 8 / 111
1.1.9. Mệnh đề. Cho không gian tôpô X . Khi đó (1) Tập E ⊂ X là đóng khi và chỉ khi E 0 ⊂ E; (2) E = E ∪ E 0; (3) Bao đóng của E là tập đóng bé nhất chứa E. 1.1.10. Mệnh đề. Cho không gian tôpô X . Khi đó (1) Phần trong của E là tập mở lớn nhất được chứa trong E; (2) Tập E ⊂ X là mở khi và chỉ khi E là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Chứng minh xem như bài tập. Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản Tập hợp tất cả các điểm giới hạn của E được gọi là tập dẫn xuất của E và ký hiệu là E 0; Tập hợp tất cả các điểm biên của E được gọi là biên của E và ký hiệu là ∂E. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 9 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản Tập hợp tất cả các điểm giới hạn của E được gọi là tập dẫn xuất của E và ký hiệu là E 0; Tập hợp tất cả các điểm biên của E được gọi là biên của E và ký hiệu là ∂E. 1.1.9. Mệnh đề. Cho không gian tôpô X . Khi đó (1) Tập E ⊂ X là đóng khi và chỉ khi E 0 ⊂ E; (2) E = E ∪ E 0; (3) Bao đóng của E là tập đóng bé nhất chứa E. 1.1.10. Mệnh đề. Cho không gian tôpô X . Khi đó (1) Phần trong của E là tập mở lớn nhất được chứa trong E; (2) Tập E ⊂ X là mở khi và chỉ khi E là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Chứng minh xem như bài tập. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 9 / 111
1.1.12. Định lý. Điều kiện cần và đủ để họ B ⊂ T là một cơ sở của [ tôpô T là mọi U ∈ T có thể biểu diễn được dưới dạng U = Vi với i∈I Vi ∈ B, i ∈ I . Chứng minh. Đủ Tử giả thiết điều kiện đủ ta có B ⊂ T . Bây giờ gỉa sử x là điểm bất kỳ thuộc X và U là lân cận mở bất kỳ của x. Vì [ U = Vi với Vi ∈ B, i ∈ I , nên tồn tại io ∈ I sao cho x ∈ Vio ⊂ U. i∈I Cần Giả sử B là cơ sở của tôpô T . Khi đó B ⊂ T . Giả sử U ∈ T , nghĩa là U là tập mở trong X . Theo Định nghĩa 1.1.11 với bất kỳ x ∈ U Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.11. Định nghĩa. Cho không gian tôpô (X , T ). Họ B ⊂ T được gọi là một cơ sở của tôpô T , nếu với mọi x ∈ X và với mọi lân cận U của x, tồn tại V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 10 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.11. Định nghĩa. Cho không gian tôpô (X , T ). Họ B ⊂ T được gọi là một cơ sở của tôpô T , nếu với mọi x ∈ X và với mọi lân cận U của x, tồn tại V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U. 1.1.12. Định lý. Điều kiện cần và đủ để họ B ⊂ T là một cơ sở của [ tôpô T là mọi U ∈ T có thể biểu diễn được dưới dạng U = Vi với i∈I Vi ∈ B, i ∈ I . Chứng minh. Đủ Tử giả thiết điều kiện đủ ta có B ⊂ T . Bây giờ gỉa sử x là điểm bất kỳ thuộc X và U là lân cận mở bất kỳ của x. Vì [ U = Vi với Vi ∈ B, i ∈ I , nên tồn tại io ∈ I sao cho x ∈ Vio ⊂ U. i∈I Cần Giả sử B là cơ sở của tôpô T . Khi đó B ⊂ T . Giả sử U ∈ T , nghĩa là U là tập mở trong X . Theo Định nghĩa 1.1.11 với bất kỳ x ∈ U Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 10 / 111
1.1.13. Mệnh đề. Giả sử B là một họ các tập con nào đó của một tập hợp X cho trước sao cho X = ∪{B : B ∈ B}. Nếu với mọi cặp U, V ∈ B và với mọi x ∈ U ∩ V , tồn tại W ∈ B sao cho x ∈ W ⊂ U ∩ V , thì tồn tại một tôpô T trên X nhận họ B làm cơ sở. Chứng minh. Ký hiệu T là họ tất cả các hợp tuỳ ý của các phần tử thuộc B. Khi đó dễ thấy rằng T thoả mãn các điều kiện (T1) và (T2). Bây giờ giả sử U, V ∈ T . Lấy bất kỳ x ∈ U ∩ V , ta có x ∈ U, x ∈ V . Do đó tồn tại V1 ∈ B và V2 ∈ B để x ∈ V1 ⊂ U, x ∈ V2 ⊂ V . Bởi vậy x ∈ V1 ∩ V2. Từ giả thiết suy ra tồn tại Wx ∈ B sao cho x ∈ Wx ⊂ V1 ∩ V2 ⊂ U ∩ V . Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản [ tồn tại Vx ∈ B sao cho x ∈ Vx ⊂ U. Vì thế ta có U ⊂ Vx ⊂ U. Do x∈U [ đó ta thu được U = Vx với Vx ∈ B với mọi x ∈ U. x∈U Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 11 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản [ tồn tại Vx ∈ B sao cho x ∈ Vx ⊂ U. Vì thế ta có U ⊂ Vx ⊂ U. Do x∈U [ đó ta thu được U = Vx với Vx ∈ B với mọi x ∈ U. x∈U 1.1.13. Mệnh đề. Giả sử B là một họ các tập con nào đó của một tập hợp X cho trước sao cho X = ∪{B : B ∈ B}. Nếu với mọi cặp U, V ∈ B và với mọi x ∈ U ∩ V , tồn tại W ∈ B sao cho x ∈ W ⊂ U ∩ V , thì tồn tại một tôpô T trên X nhận họ B làm cơ sở. Chứng minh. Ký hiệu T là họ tất cả các hợp tuỳ ý của các phần tử thuộc B. Khi đó dễ thấy rằng T thoả mãn các điều kiện (T1) và (T2). Bây giờ giả sử U, V ∈ T . Lấy bất kỳ x ∈ U ∩ V , ta có x ∈ U, x ∈ V . Do đó tồn tại V1 ∈ B và V2 ∈ B để x ∈ V1 ⊂ U, x ∈ V2 ⊂ V . Bởi vậy x ∈ V1 ∩ V2. Từ giả thiết suy ra tồn tại Wx ∈ B sao cho x ∈ Wx ⊂ V1 ∩ V2 ⊂ U ∩ V . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 11 / 111
1.1.14. Định nghĩa. Họ σ các tập con của không gian tôpô (X , T ) được gọi là một tiền cơ sở của tôpô T trên X nếu X = ∪{S : S ∈ σ} và họ tất cả các giao hữu hạn của các phần tử thuộc họ σ lập thành một cơ sở của tôpô T . Ví dụ. Trong R họ σ = {(−∞, a), (b, +∞): a, b ∈ R} là một tiền cơ sở của tôpô thông thường. Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản [ Từ đó suy ra U ∩ V ⊂ Wx ⊂ U ∩ V . Vì thế ta có x∈U∩V [ U ∩ V = Wx ∈ T . x∈U∩V Do đó T là một tôpô. Từ Định lý 1.1.12 suy ra rằng T nhận B làm cơ sở. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 12 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản [ Từ đó suy ra U ∩ V ⊂ Wx ⊂ U ∩ V . Vì thế ta có x∈U∩V [ U ∩ V = Wx ∈ T . x∈U∩V Do đó T là một tôpô. Từ Định lý 1.1.12 suy ra rằng T nhận B làm cơ sở. 1.1.14. Định nghĩa. Họ σ các tập con của không gian tôpô (X , T ) được gọi là một tiền cơ sở của tôpô T trên X nếu X = ∪{S : S ∈ σ} và họ tất cả các giao hữu hạn của các phần tử thuộc họ σ lập thành một cơ sở của tôpô T . Ví dụ. Trong R họ σ = {(−∞, a), (b, +∞): a, b ∈ R} là một tiền cơ sở của tôpô thông thường. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 12 / 111
1.1.16. Mệnh đề. Giả sử A là tập con không đếm được của không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai X . Khi đó tập A chứa điểm giới hạn của nó. Chứng minh. Giả sử A không chứa điểm giới hạn nào của nó. Khi đó với mọi x ∈ A, tồn tại lân cận Ux của x sao cho Ux ∩ (A \{x}) = φ. Giả sử B là cơ sở đếm được của tôpô T trên X . Khi đó tồn tại Bx ∈ B sao cho x ∈ Bx ⊂ Ux mà Bx ∩ A \{x} = φ. Suy ra tương ứng x 7→ Bx từ A vào B là một đơn ánh. Vì A là tập không đếm được, nên B cũng là họ không đếm được. Điều này mâu thuẩn với giả thiết. Vậy A chứa điểm giới hạn của nó. Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.15. Định nghĩa. Không gian tôpô X mà tôpô của nó có cơ sở đếm được được gọi là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 13 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.15. Định nghĩa. Không gian tôpô X mà tôpô của nó có cơ sở đếm được được gọi là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai. 1.1.16. Mệnh đề. Giả sử A là tập con không đếm được của không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai X . Khi đó tập A chứa điểm giới hạn của nó. Chứng minh. Giả sử A không chứa điểm giới hạn nào của nó. Khi đó với mọi x ∈ A, tồn tại lân cận Ux của x sao cho Ux ∩ (A \{x}) = φ. Giả sử B là cơ sở đếm được của tôpô T trên X . Khi đó tồn tại Bx ∈ B sao cho x ∈ Bx ⊂ Ux mà Bx ∩ A \{x} = φ. Suy ra tương ứng x 7→ Bx từ A vào B là một đơn ánh. Vì A là tập không đếm được, nên B cũng là họ không đếm được. Điều này mâu thuẩn với giả thiết. Vậy A chứa điểm giới hạn của nó. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 13 / 111
1.1.18. Định lý. Mỗi không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai là một không gian khả ly. Chứng minh. Giả sử B là một cơ sở đếm được trong X . Với mỗi B ∈ B ta chọn phần tử xB ∈ B. Khi đó tập hợp A = {xB : B ∈ B} là đếm được. Ta sẽ chứng minh rằng A = X . Muốn vậy ta sẽ chứng minh Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.17. Định nghĩa. Cho X là không gian tôpô, A, B ⊂ X . Tập A được gọi là trù mật trong tập hợp B nếu B ⊂ A. Nếu A = X , thì A được gọi là trù mật khắp nới trong X . Không gian tôpô X được gọi là khả ly nếu nó chứa một tập con đếm được trù mật khắp nới trong X . Ví dụ. R là không gian khả ly theo tôpô thông thường, vì có tập các số hữu tỷ trù mật trong R. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 14 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.17. Định nghĩa. Cho X là không gian tôpô, A, B ⊂ X . Tập A được gọi là trù mật trong tập hợp B nếu B ⊂ A. Nếu A = X , thì A được gọi là trù mật khắp nới trong X . Không gian tôpô X được gọi là khả ly nếu nó chứa một tập con đếm được trù mật khắp nới trong X . Ví dụ. R là không gian khả ly theo tôpô thông thường, vì có tập các số hữu tỷ trù mật trong R. 1.1.18. Định lý. Mỗi không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai là một không gian khả ly. Chứng minh. Giả sử B là một cơ sở đếm được trong X . Với mỗi B ∈ B ta chọn phần tử xB ∈ B. Khi đó tập hợp A = {xB : B ∈ B} là đếm được. Ta sẽ chứng minh rằng A = X . Muốn vậy ta sẽ chứng minh Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 14 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản rằng X \ A = φ. Thật vậy, vì X \ A là tập mở trong X và (X \ A) ∩ A = φ, nên X \ A = φ. Vì nếu X \ A 6= φ, giả sử x ∈ X \ A. Khi đó tồn tại B ∈ B sao cho x ∈ B ⊂ X \ A. Suy ra xB ∈ A ∩ X \ A. Điều này mâu thuẩn với điều là (X \ A) ∩ A = φ. Vậy X = A. 1.1.19. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X , x ∈ X và U(x) là họ tất cả các lân cận của x. Họ B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mọi U ∈ U(x) tồn tại V ∈ B(x) sao cho x ∈ V ⊂ U. Không gian tôpô X mà tại mỗi điểm của nó có một cơ sở lân cận đếm được, được gọi là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 15 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.20. Mệnh đề. Giả sử X là không gian tôpô, A ⊂ X . Khi đó các điều kiện sau là tương đương (a) x ∈ A; (b) Với mỗi cơ sở B(x) của x và với mỗi U ∈ B(x) ta có U ∩ A 6= φ; (c) Tồn tại một cơ sở B(x) của x sao cho U ∩ A 6= φ với mỗi U ∈ B(x). Chứng minh. (a) ⇒ (b) Giả sử rằng (b) không đúng, nghĩa là có một cơ sở B(x) của x và một U ∈ B(x) sao cho U ∩ A = φ. Khi đó ta có A ⊂ X \ U và X \ U đóng. Vì thế A ⊂ X \ U và x ∈/ A. Điều này mâu thuẩn với (a). (b) ⇒ (c) là hiển nhiên. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 16 / 111
1.1.21. Hệ quả. Nếu U là tập mở và U ∩ A = φ, thì U ∩ A = φ. Đặc biệt, nếu U và V là các tập mở rời nhau, thì U ∩ V = φ = U ∩ V . Chứng minh. Giả sử tồn tại x ∈ U ∩ A. Vì U(x) cũng là một cơ sở lân cận của x, nên theo Mệnh đề 1.1.20 (b) ta có U ∩ A 6= φ. Điều này mâu thuẩn với giả thiết. Vì thế U ∩ A = φ. Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản (c) ⇒ (a) Giả sử rằng (a) không đúng, nghĩa là x ∈/ A. Khi đó, tồn tại một tập đóng F chứa A sao cho x ∈/ F . Xét tập V = X \ F , ta có V mở, x ∈ V và V ∩ A = φ. Vì B(x) là cơ sở lân cận của x, nên tồn tại U ∈ B(x) sao cho x ∈ U ⊂ V . Lúc đó ta có U ∩ A = φ. Điều này mâu thuẩn với (c). Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 17 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản (c) ⇒ (a) Giả sử rằng (a) không đúng, nghĩa là x ∈/ A. Khi đó, tồn tại một tập đóng F chứa A sao cho x ∈/ F . Xét tập V = X \ F , ta có V mở, x ∈ V và V ∩ A = φ. Vì B(x) là cơ sở lân cận của x, nên tồn tại U ∈ B(x) sao cho x ∈ U ⊂ V . Lúc đó ta có U ∩ A = φ. Điều này mâu thuẩn với (c). 1.1.21. Hệ quả. Nếu U là tập mở và U ∩ A = φ, thì U ∩ A = φ. Đặc biệt, nếu U và V là các tập mở rời nhau, thì U ∩ V = φ = U ∩ V . Chứng minh. Giả sử tồn tại x ∈ U ∩ A. Vì U(x) cũng là một cơ sở lân cận của x, nên theo Mệnh đề 1.1.20 (b) ta có U ∩ A 6= φ. Điều này mâu thuẩn với giả thiết. Vì thế U ∩ A = φ. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 17 / 111
1.1.23. Định lý. Với mỗi họ hữu hạn địa phương {As }s∈S ta có đẳng S S thức As = As . s∈S s∈S S Chứng minh. Từ các tính chất của bao đóng ta suy ra As ⊂ As s∈S S S với mỗi s ∈ S. Vì thế ta có As ⊂ As . Để chứng minh bao hàm s∈S s∈S thức ngược lại trước hết ta lưu ý rằng: nhờ tính hữu hạn địa phương Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.22. Định nghĩa. a) Họ {As }s∈S các tập con của không gian tôpô X được gọi là hữu hạn địa phương nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận U của x sao cho tập {s ∈ S : U ∩ As 6= φ} là tập hữu hạn. b) Họ {As }s∈S các tập con của không gian tôpô X được gọi là rời rạc nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận U của x sao cho U có giao với nhiều nhất là một tập hợp của họ này. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 18 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.22. Định nghĩa. a) Họ {As }s∈S các tập con của không gian tôpô X được gọi là hữu hạn địa phương nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận U của x sao cho tập {s ∈ S : U ∩ As 6= φ} là tập hữu hạn. b) Họ {As }s∈S các tập con của không gian tôpô X được gọi là rời rạc nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận U của x sao cho U có giao với nhiều nhất là một tập hợp của họ này. 1.1.23. Định lý. Với mỗi họ hữu hạn địa phương {As }s∈S ta có đẳng S S thức As = As . s∈S s∈S S Chứng minh. Từ các tính chất của bao đóng ta suy ra As ⊂ As s∈S S S với mỗi s ∈ S. Vì thế ta có As ⊂ As . Để chứng minh bao hàm s∈S s∈S thức ngược lại trước hết ta lưu ý rằng: nhờ tính hữu hạn địa phương Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 18 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản S của họ {As }s∈S , với mỗi x ∈ As , tồn tại một lân cận U của x sao cho s∈S tập Sx = {s ∈ S : U ∩ As 6= φ} là hữu hạn. Khi đó từ Mệnh đề 1.1.20 ta S S S S suy ra rằng x ∈/ As . Vì x ∈ As = As ∪ As , nên từ s∈S\Sx s∈S s∈Sx s∈S\Sx S S S S nhận xét trên ta có x ∈ As ⊂ As . Vậy As ⊂ As . s∈Sx s∈S s∈S s∈S Do đó ta có [ [ As = As . s∈S s∈S Từ định lý trên ta có các hệ quả sau Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 19 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.24. Hệ quả. Giả sử {As }s∈S là họ hữu hạn địa phương và [ A = As . Nếu As đóng với mọi s ∈ S, thì A là đóng và nếu As vừa s∈S mở vừa đóng với mọi s ∈ S thì A vừa mở vừa đóng. 1.1.25. Hệ quả. Nếu {As }s∈S là họ hữu hạn địa phương (rời rạc), thì họ {As }s∈S cũng là họ hữu hạn địa phương (tương ứng, rời rạc). Chứng minh các Hệ quả này dành cho bạn đọc. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 20 / 111
1.2.2. Định lý. Gỉa sử (X , T ) là một không gian tôpô, (Y , U) là không gian con của nó và A ⊂ Y . Khi đó (a) Tập A là đóng theo tôpô U khi và chỉ khi A = Y ∩ F với F là tập đóng theo tôpô T ; Chương 1. Không gian tôpô 1.2 Tôpô cảm sinh, tính tách được 1.2. Tôpô cảm sinh, tính tách được 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử (X , T ) là một không gian tôpô, Y ⊂ X . Khi đó họ U = {U ⊂ Y : U = Y ∩ V , V ∈ T } là một tôpô trên Y . Tôpô U được gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô T trên Y . Không gian tôpô (Y , U) được gọi là không gian con của không gian tôpô (X , T ). Nhận xét. Nếu (Y , U) là không gian con của không gian tôpô (X , T ) và (Z, B) là không gian con của không gian (Y , U), thì (Z, B) là không gian con của không gian tôpô (X , T ). Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 21 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.2 Tôpô cảm sinh, tính tách được 1.2. Tôpô cảm sinh, tính tách được 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử (X , T ) là một không gian tôpô, Y ⊂ X . Khi đó họ U = {U ⊂ Y : U = Y ∩ V , V ∈ T } là một tôpô trên Y . Tôpô U được gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô T trên Y . Không gian tôpô (Y , U) được gọi là không gian con của không gian tôpô (X , T ). Nhận xét. Nếu (Y , U) là không gian con của không gian tôpô (X , T ) và (Z, B) là không gian con của không gian (Y , U), thì (Z, B) là không gian con của không gian tôpô (X , T ). 1.2.2. Định lý. Gỉa sử (X , T ) là một không gian tôpô, (Y , U) là không gian con của nó và A ⊂ Y . Khi đó (a) Tập A là đóng theo tôpô U khi và chỉ khi A = Y ∩ F với F là tập đóng theo tôpô T ; Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 21 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.2 Tôpô cảm sinh, tính tách được (b) Điểm y ∈ Y là điểm giới hạn của tập A theo tôpô U khi và chỉ khi nó là điểm giới hạn của A theo tôpô T ; U T (c) A = A ∩ Y . Chứng minh. (a) Ta có A đóng trong Y theo tôpô U khi và chỉ khi Y \ A là mở trong Y theo tôpô U khi và chỉ khi Y \ A = Y ∩ V với V mở theo tôpô T khi và chỉ khi A = (X \ V ) ∩ Y với V mở theo tôpô T khi và chỉ khi A = Y ∩ F với F đóng theo tôpô T . (b) Giả sử y ∈ Y là điểm giới hạn của A theo tôpô U. Khi đó với mọi lân cận mở U của y theo T , tập V = U ∩ Y là lân cận mở của y theo tôpô U. Do đó ta có V ∩ (A \{y}) 6= φ. Vì thế U ∩ (A \{y}) 6= φ, nghĩa là y là điểm giới hạn của A theo T . Ngược lại, giả sử y ∈ Y là điểm giới hạn của A theo tôpô T và U là lân cận mở của y trong Y theo tôpô U. Khi đó U = Y ∩ V với V là tập mở theo tôpô T . Vì V ∩ (A \{y}) 6= φ và A ⊂ Y nên ta có Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 22 / 111
1.2.3. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô. Các tập con A, B của X được gọi là tách được nếu A ∩ B = A ∩ B = φ. 1.2.4. Mệnh đề. Các tập con A, B của không gian tôpô X là tách được khi và chỉ khi chúng là các tập vừa mở vừa đóng rời nhau trong không gian con A ∪ B. Chứng minh. Cần. Giả sử A và B tách được. Ký hiệu Be là bao đóng của B trong không gian con A ∪ B và B là bao đóng của B trong X . Chương 1. Không gian tôpô 1.2 Tôpô cảm sinh, tính tách được U ∩ (A \{y}) 6= φ, nghĩa là y là điểm giới hạn của A theo tôpô U. U (c) Ta có A = T{F ⊂ Y : F đóng theo U, A ⊂ F } = = T{E ∩ Y : E đóng theo T , A ⊂ E} = T = T{E : E đóng theo T , A ⊂ E} ∩ Y = A ∩ Y . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 23 / 111
1.2.4. Mệnh đề. Các tập con A, B của không gian tôpô X là tách được khi và chỉ khi chúng là các tập vừa mở vừa đóng rời nhau trong không gian con A ∪ B. Chứng minh. Cần. Giả sử A và B tách được. Ký hiệu Be là bao đóng của B trong không gian con A ∪ B và B là bao đóng của B trong X . Chương 1. Không gian tôpô 1.2 Tôpô cảm sinh, tính tách được U ∩ (A \{y}) 6= φ, nghĩa là y là điểm giới hạn của A theo tôpô U. U (c) Ta có A = T{F ⊂ Y : F đóng theo U, A ⊂ F } = = T{E ∩ Y : E đóng theo T , A ⊂ E} = T = T{E : E đóng theo T , A ⊂ E} ∩ Y = A ∩ Y . 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô. Các tập con A, B của X được gọi là tách được nếu A ∩ B = A ∩ B = φ. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 23 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.2 Tôpô cảm sinh, tính tách được U ∩ (A \{y}) 6= φ, nghĩa là y là điểm giới hạn của A theo tôpô U. U (c) Ta có A = T{F ⊂ Y : F đóng theo U, A ⊂ F } = = T{E ∩ Y : E đóng theo T , A ⊂ E} = T = T{E : E đóng theo T , A ⊂ E} ∩ Y = A ∩ Y . 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô. Các tập con A, B của X được gọi là tách được nếu A ∩ B = A ∩ B = φ. 1.2.4. Mệnh đề. Các tập con A, B của không gian tôpô X là tách được khi và chỉ khi chúng là các tập vừa mở vừa đóng rời nhau trong không gian con A ∪ B. Chứng minh. Cần. Giả sử A và B tách được. Ký hiệu Be là bao đóng của B trong không gian con A ∪ B và B là bao đóng của B trong X . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 23 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.2 Tôpô cảm sinh, tính tách được Khi đó nhờ Mệnh đề 1.2.2 ta có Be = B ∩ (A ∪ B) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ B) = B, nghĩa là B đóng trong không gian con A ∪ B. Tương tự ta chứng minh được A đóng trong không gian con A ∪ B. Do A = (A ∪ B) \ B và B = (A ∪ B) \ A và chứng minh trên ta suy ra A và B là các tập mở trong không gian con A ∪ B. Dễ thấy A ∩ B = φ. Đủ. Giả sử A và B là các tập vừa mở vừa đóng trong không gian con A ∪ B và A ∩ B = φ. Ký hiệu Ae là bao đóng của A trong không gian con A ∪ B và A là bao đóng của A trong X . Khi đó ta có A ∩ B = [A ∩ (A ∪ B)] ∩ B = Ae ∩ B = A ∩ B = φ. Tương tự ta chứng minh được B ∩ A = φ. Vậy A và B là các tập tách được. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 24 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.2 Tôpô cảm sinh, tính tách được 1.2.5. Định lý. Giả sử Y và Z là các tập con cùng đóng hoặc cùng mở của không gian tôpô X . Khi đó Y \ Z và Z \ Y là tách được. Chứng minh của định lý này dành cho độc giả tham khảo ở [2]. 1.2.6. Định lý. Giả sử không gian tôpô X là hợp của các tập con Y và Z sao cho Y \ Z và Z \ Y tách được. Khi đó bao đóng trong X của tập A ⊂ X là hợp của bao đóng trong Y của tập A ∩ Y với bao đóng trong Z của tập A ∩ Z. Chứng minh mời độc giả xem [2]. 1.2.7. Hệ quả. Giả sử không gian tôpô X là hợp của các tập Y và Z sao cho Y \ Z và Z \ Y tách được. Khi đó tập con A của X là đóng (mở) khi và chỉ khi tập A ∩ Y là đóng (tương ứng, mở) trong Y và tập A ∩ Z là đóng (tương ứng, mở) trong Z. Chứng minh mời độc giả xem [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 25 / 111
1.3.2. Định nghĩa. Giả sử (D, ≥) là một tập có hướng. Ta gọi một hàm S : D → X là một lưới trong X (hay đơn giản là lưới hoặc là dãy suy rộng) và ký hiệu là {Sn, n ∈ D, ≥} (hay {Sn}n∈D ). Chương 1. Không gian tôpô 1.3. Lưới và sự hội tụ 1.3. Lưới và sự hội tụ 1.3.1. Định nghĩa. Cho tập D 6= φ. Quan hệ ≥ trên D được gọi là một sự định hướng trên D nếu thoả mãn các điều kiện (a) Nếu m, n, p là các phần tử thuộc D sao cho m ≥ n, n ≥ p, thì m ≥ p; (b) m ≥ m với mọi m ∈ D; (c) Nếu m, n ∈ D, thì tồn tại p ∈ D sao cho p ≥ m và p ≥ n. Tập hợp D cùng với một sự định hướng ≥ trên D được gọi là một tập có hướng và ký hiệu là (D, ≥). Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 26 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.3. Lưới và sự hội tụ 1.3. Lưới và sự hội tụ 1.3.1. Định nghĩa. Cho tập D 6= φ. Quan hệ ≥ trên D được gọi là một sự định hướng trên D nếu thoả mãn các điều kiện (a) Nếu m, n, p là các phần tử thuộc D sao cho m ≥ n, n ≥ p, thì m ≥ p; (b) m ≥ m với mọi m ∈ D; (c) Nếu m, n ∈ D, thì tồn tại p ∈ D sao cho p ≥ m và p ≥ n. Tập hợp D cùng với một sự định hướng ≥ trên D được gọi là một tập có hướng và ký hiệu là (D, ≥). 1.3.2. Định nghĩa. Giả sử (D, ≥) là một tập có hướng. Ta gọi một hàm S : D → X là một lưới trong X (hay đơn giản là lưới hoặc là dãy suy rộng) và ký hiệu là {Sn, n ∈ D, ≥} (hay {Sn}n∈D ). Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 26 / 111
1.3.4. Định lý. Giả sử X là không gian tôpô, A ⊂ X . Khi đó (a) Điểm s là điểm giới hạn của A khi và chỉ khi tồn tại một lưới {Sn}n∈D trong A \{s} hội tụ đến s; Chương 1. Không gian tôpô 1.3. Lưới và sự hội tụ Lưới {Sn, n ∈ D, ≥} được gọi là nằm trong U ⊂ X từ một lúc nào đó nếu tồn tại một m ∈ D sao cho với n ∈ D và n ≥ m, thì Sn ∈ U. Lưới {Sn, n ∈ D, ≥} được gọi là thường xuyên gặp U nếu với mỗi m ∈ D tồn tại n ∈ D sao cho n ≥ m và Sn ∈ U. 1.3.3. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, {Sn}n∈D là một lưới trong X . Lưới {Sn}n∈D được gọi là hội tụ trong X đến điểm s ∈ X , nếu với mọi lân cận U của s, lưới {Sn}n∈D nằm trong U từ một lúc nào đó. Không gian tôpô X được gọi là T2-khong gian hay (không gian Hausdorff) nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại các lân cận Ux của x và Vy của y sao cho Ux ∩ Vy = φ. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 27 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.3. Lưới và sự hội tụ Lưới {Sn, n ∈ D, ≥} được gọi là nằm trong U ⊂ X từ một lúc nào đó nếu tồn tại một m ∈ D sao cho với n ∈ D và n ≥ m, thì Sn ∈ U. Lưới {Sn, n ∈ D, ≥} được gọi là thường xuyên gặp U nếu với mỗi m ∈ D tồn tại n ∈ D sao cho n ≥ m và Sn ∈ U. 1.3.3. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, {Sn}n∈D là một lưới trong X . Lưới {Sn}n∈D được gọi là hội tụ trong X đến điểm s ∈ X , nếu với mọi lân cận U của s, lưới {Sn}n∈D nằm trong U từ một lúc nào đó. Không gian tôpô X được gọi là T2-khong gian hay (không gian Hausdorff) nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại các lân cận Ux của x và Vy của y sao cho Ux ∩ Vy = φ. 1.3.4. Định lý. Giả sử X là không gian tôpô, A ⊂ X . Khi đó (a) Điểm s là điểm giới hạn của A khi và chỉ khi tồn tại một lưới {Sn}n∈D trong A \{s} hội tụ đến s; Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 27 / 111
1.3.5. Định lý. Không gian tôpô X là Hausdorff khi và chỉ khi không có lưới nào trong X hội tụ đến hai điểm khác nhau. Chứng minh dành cho độc giả, xem [2]. 1.3.6. Định nghĩa. Lưới {Tm}m∈D được gọi là lưới con của lưới {Sn}n∈E nếu tồn tại một hàm N : D → E sao cho (a) T = SoN (hay Ti = SNi , i ∈ D); (b) Với mỗi m ∈ E tồn tại một n ∈ D sao cho nếu p ≥ n, thì Np ≥ m. Chương 1. Không gian tôpô 1.3. Lưới và sự hội tụ (b) Điểm s thuộc bao đóng A khi và chỉ khi tồn tại một lưới {Sn}n∈D trong A hội tụ đến s; (c) Tập A là đóng trong X khi và chỉ khi không có lưới {Sn}n∈D nào trong A hội tụ đến điểm thuộc X \ A. Chứng minh dành cho độc giả, xem [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 28 / 111
1.3.6. Định nghĩa. Lưới {Tm}m∈D được gọi là lưới con của lưới {Sn}n∈E nếu tồn tại một hàm N : D → E sao cho (a) T = SoN (hay Ti = SNi , i ∈ D); (b) Với mỗi m ∈ E tồn tại một n ∈ D sao cho nếu p ≥ n, thì Np ≥ m. Chương 1. Không gian tôpô 1.3. Lưới và sự hội tụ (b) Điểm s thuộc bao đóng A khi và chỉ khi tồn tại một lưới {Sn}n∈D trong A hội tụ đến s; (c) Tập A là đóng trong X khi và chỉ khi không có lưới {Sn}n∈D nào trong A hội tụ đến điểm thuộc X \ A. Chứng minh dành cho độc giả, xem [2]. 1.3.5. Định lý. Không gian tôpô X là Hausdorff khi và chỉ khi không có lưới nào trong X hội tụ đến hai điểm khác nhau. Chứng minh dành cho độc giả, xem [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 28 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.3. Lưới và sự hội tụ (b) Điểm s thuộc bao đóng A khi và chỉ khi tồn tại một lưới {Sn}n∈D trong A hội tụ đến s; (c) Tập A là đóng trong X khi và chỉ khi không có lưới {Sn}n∈D nào trong A hội tụ đến điểm thuộc X \ A. Chứng minh dành cho độc giả, xem [2]. 1.3.5. Định lý. Không gian tôpô X là Hausdorff khi và chỉ khi không có lưới nào trong X hội tụ đến hai điểm khác nhau. Chứng minh dành cho độc giả, xem [2]. 1.3.6. Định nghĩa. Lưới {Tm}m∈D được gọi là lưới con của lưới {Sn}n∈E nếu tồn tại một hàm N : D → E sao cho (a) T = SoN (hay Ti = SNi , i ∈ D); (b) Với mỗi m ∈ E tồn tại một n ∈ D sao cho nếu p ≥ n, thì Np ≥ m. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 28 / 111
1.3.8. Định lý. Điểm s ∈ X là điểm giới hạn của lưới {Sn}n∈D trong 0 không gian tôpô X khi và chỉ khi tồn tại một lưới con {Sm}m∈D0 của lưới {Sn}n∈D hội tụ đến s. Chứng minh dành cho độc giả, xem [2]. Chương 1. Không gian tôpô 1.3. Lưới và sự hội tụ 1.3.7. Định nghĩa. Gỉa sử X là không gian tôpô, {Sn}n∈D là lưới trong X . Điểm s ∈ X được gọi là điểm giới hạn của lưới {Sn}n∈D , nếu lưới {Sn}n∈D thường xuyên gặp mỗi lân cận của s. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 29 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.3. Lưới và sự hội tụ 1.3.7. Định nghĩa. Gỉa sử X là không gian tôpô, {Sn}n∈D là lưới trong X . Điểm s ∈ X được gọi là điểm giới hạn của lưới {Sn}n∈D , nếu lưới {Sn}n∈D thường xuyên gặp mỗi lân cận của s. 1.3.8. Định lý. Điểm s ∈ X là điểm giới hạn của lưới {Sn}n∈D trong 0 không gian tôpô X khi và chỉ khi tồn tại một lưới con {Sm}m∈D0 của lưới {Sn}n∈D hội tụ đến s. Chứng minh dành cho độc giả, xem [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 29 / 111
1.4.2. Định lý. Cho ánh xạ f :(X , T ) → (Y, U). Khi đó các mệnh đề sau là tương đương (a) f là ánh xạ liên tục; (b) Với mọi tập đóng B ⊂ Y ta có f −1(B) đóng trong X ; (c) Với mọi tập S thuộc tiền cơ sở σ trong Y , f −1(S) là tập mở trong X ; (d) Với mọi x ∈ X và với mọi lân cận U của f (x) ta có f −1(U) là một lân cận của x; Chương 1. Không gian tôpô 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi 1.4.1. Định nghĩa. Cho các không gian tôpô (X , T ) và (Y , U). ánh xạ f : X → Y từ không gian tôpô (X , T ) vào không gian tôpô (Y , U) được gọi là (T , U)-liên tục (hay đơn giản, liên tục) nếu với mọi U ∈ U ta có f −1(U) ∈ T . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 30 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi 1.4.1. Định nghĩa. Cho các không gian tôpô (X , T ) và (Y , U). ánh xạ f : X → Y từ không gian tôpô (X , T ) vào không gian tôpô (Y , U) được gọi là (T , U)-liên tục (hay đơn giản, liên tục) nếu với mọi U ∈ U ta có f −1(U) ∈ T . 1.4.2. Định lý. Cho ánh xạ f :(X , T ) → (Y, U). Khi đó các mệnh đề sau là tương đương (a) f là ánh xạ liên tục; (b) Với mọi tập đóng B ⊂ Y ta có f −1(B) đóng trong X ; (c) Với mọi tập S thuộc tiền cơ sở σ trong Y , f −1(S) là tập mở trong X ; (d) Với mọi x ∈ X và với mọi lân cận U của f (x) ta có f −1(U) là một lân cận của x; Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 30 / 111
1.4.3. Định lý. Giả sử X , Y , Z là các không gian tôpô. Nếu f : X → Y và g : Y → Z là ánh xạ liên tục, thì ánh xạ hợp gf : X → Z là liên tục. Chứng minh dành cho độc giả. Chương 1. Không gian tôpô 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi (e) Với mọi x ∈ X và với mọi lân cận U của f (x), tồn tại lân cận V của x sao cho f (V ) ⊂ U; (f) Với mọi điểm s ∈ X và mọi lưới {Sn}n∈D trong X hội tụ tới s ta có lưới {f (Sn)}n∈D hội tụ đến điểm f (s); (g) Với mọi tập con A ⊂ X ta có f (A) ⊂ f (A); (h) Với mọi tập con B ⊂ Y ta có f −1(B) ⊂ f −1(B); (i) Với mọi tập con B ⊂ Y ta có f −1(IntB) ⊂ Intf −1(B). Chứng minh dành cho độc giả, xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 31 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi (e) Với mọi x ∈ X và với mọi lân cận U của f (x), tồn tại lân cận V của x sao cho f (V ) ⊂ U; (f) Với mọi điểm s ∈ X và mọi lưới {Sn}n∈D trong X hội tụ tới s ta có lưới {f (Sn)}n∈D hội tụ đến điểm f (s); (g) Với mọi tập con A ⊂ X ta có f (A) ⊂ f (A); (h) Với mọi tập con B ⊂ Y ta có f −1(B) ⊂ f −1(B); (i) Với mọi tập con B ⊂ Y ta có f −1(IntB) ⊂ Intf −1(B). Chứng minh dành cho độc giả, xem tài liệu tham khảo [2]. 1.4.3. Định lý. Giả sử X , Y , Z là các không gian tôpô. Nếu f : X → Y và g : Y → Z là ánh xạ liên tục, thì ánh xạ hợp gf : X → Z là liên tục. Chứng minh dành cho độc giả. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 31 / 111
1.4.5. Định nghĩa. ánh xạ f : X → Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là ánh xạ mở (đóng) nếu ảnh của mọi tập mở (đóng) trong X là tập mở (đóng) trong Y . 1.4.6. Mệnh đề. Giả sử f : X → Y là một song ánh liên tục từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y . Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (a) f là phép đồng phôi; (b) f là ánh xạ mở; (c) f là ánh xạ đóng. Chứng minh dành cho độc giả. Chương 1. Không gian tôpô 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi 1.4.4. Định nghĩa. ánh xạ f : X → Y từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y được gọi là đồng phôi nếu f là một song ánh và cả hai ánh xạ f và f −1 đều liên tục. Nếu f : X → Y là ánh xạ đồng phôi thì ta nói rằng không gian tôpô X đồng phôi với không gian tôpô Y và ký hiệu là X ' Y . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 32 / 111
1.4.6. Mệnh đề. Giả sử f : X → Y là một song ánh liên tục từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y . Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (a) f là phép đồng phôi; (b) f là ánh xạ mở; (c) f là ánh xạ đóng. Chứng minh dành cho độc giả. Chương 1. Không gian tôpô 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi 1.4.4. Định nghĩa. ánh xạ f : X → Y từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y được gọi là đồng phôi nếu f là một song ánh và cả hai ánh xạ f và f −1 đều liên tục. Nếu f : X → Y là ánh xạ đồng phôi thì ta nói rằng không gian tôpô X đồng phôi với không gian tôpô Y và ký hiệu là X ' Y . 1.4.5. Định nghĩa. ánh xạ f : X → Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là ánh xạ mở (đóng) nếu ảnh của mọi tập mở (đóng) trong X là tập mở (đóng) trong Y . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 32 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi 1.4.4. Định nghĩa. ánh xạ f : X → Y từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y được gọi là đồng phôi nếu f là một song ánh và cả hai ánh xạ f và f −1 đều liên tục. Nếu f : X → Y là ánh xạ đồng phôi thì ta nói rằng không gian tôpô X đồng phôi với không gian tôpô Y và ký hiệu là X ' Y . 1.4.5. Định nghĩa. ánh xạ f : X → Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là ánh xạ mở (đóng) nếu ảnh của mọi tập mở (đóng) trong X là tập mở (đóng) trong Y . 1.4.6. Mệnh đề. Giả sử f : X → Y là một song ánh liên tục từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y . Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (a) f là phép đồng phôi; (b) f là ánh xạ mở; (c) f là ánh xạ đóng. Chứng minh dành cho độc giả. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 32 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi 1.4.7. Nhận xét. Nếu f : X → Y là một ánh xạ liên tục và A ⊂ X . Ký hiệu f |A là cái thu hẹp của f lên không gian con A của X . Khi đó f |A : A → Y là ánh xạ liên tục từ không gian con A vào Y . Vấn đề đặt ra là: Giả sử {Ai }i∈I là một họ các tập con của không S gian tôpô X sao cho X = Ai và fi : Ai → Y , i ∈ I là ánh xạ liên tục i∈I sao cho fi |Ai ∩Aj = fj |Aj ∩Ai . Với điều kiện nào thì ánh xạ f : X → Y xác định bởi f (x) = fi (x) nếu x ∈ Ai là ánh xạ liên tục? 1.4.8. Định nghĩa. Họ U các tập hợp được gọi là cái phủ của tập hợp B nếu B ⊂ S{U : U ∈ U}. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 33 / 111
1.4.10. Định lý. Nếu tôpô của không gian tôpô X tương thích với cái phủ S của X , thì ánh xạ f liên tục khi và chỉ khi cái thu hẹp của nó lên các tập hợp Ai của cái phủ S là liên tục trên Ai , với mọi i ∈ I . Chứng minh. Cần Hiển nhiên. Đủ Giả sử V là tập mở bất kỳ trong Y . Với mỗi i ∈ I ta có −1 S −1 fi = f |Ai : Ai → Y . Khi đó ta có U = f (V ) = fi (V ). Vì fi liên i∈I −1 tục, nên ta có U ∩ Ai = fi (V ) là mở trong Ai . Từ giả thiết và Định nghĩa 1.4.9 ta suy ra U mở trong X . Chương 1. Không gian tôpô 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi 1.4.9. Định nghĩa. Ta nói rằng tôpô của không gian tôpô X là tương thích với cái phủ S = {Ai }i∈I của X nếu từ điều kiện M ⊂ X và M ∩ Ai là mở (đóng) trong Ai , với mọi i ∈ I ta suy ra M là mở (đóng) trong không gian tôpô X . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 34 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.4. ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi 1.4.9. Định nghĩa. Ta nói rằng tôpô của không gian tôpô X là tương thích với cái phủ S = {Ai }i∈I của X nếu từ điều kiện M ⊂ X và M ∩ Ai là mở (đóng) trong Ai , với mọi i ∈ I ta suy ra M là mở (đóng) trong không gian tôpô X . 1.4.10. Định lý. Nếu tôpô của không gian tôpô X tương thích với cái phủ S của X , thì ánh xạ f liên tục khi và chỉ khi cái thu hẹp của nó lên các tập hợp Ai của cái phủ S là liên tục trên Ai , với mọi i ∈ I . Chứng minh. Cần Hiển nhiên. Đủ Giả sử V là tập mở bất kỳ trong Y . Với mỗi i ∈ I ta có −1 S −1 fi = f |Ai : Ai → Y . Khi đó ta có U = f (V ) = fi (V ). Vì fi liên i∈I −1 tục, nên ta có U ∩ Ai = fi (V ) là mở trong Ai . Từ giả thiết và Định nghĩa 1.4.9 ta suy ra U mở trong X . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 34 / 111
1.5.2. Mệnh đề. Không gian tôpô X là T1-không gian khi và chỉ khi với mọi x ∈ X tập một điểm {x} là tập đóng trong X . Chứng minh dành cho độc giả. 1.5.3. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T2-không gian (hay là không gian Hausdorff) nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại các lân cận Ux của x và Vy của y sao cho Ux ∩ Vy = φ. Nhận xét. Mỗi T2-không gian là T1-không gian. Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5. Các tiên đề tách 1.5.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T1-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại các lân cận Ux của x và Vy của y sao cho y ∈/ Ux và x ∈/ Vy . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 35 / 111
1.5.3. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T2-không gian (hay là không gian Hausdorff) nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại các lân cận Ux của x và Vy của y sao cho Ux ∩ Vy = φ. Nhận xét. Mỗi T2-không gian là T1-không gian. Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5. Các tiên đề tách 1.5.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T1-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại các lân cận Ux của x và Vy của y sao cho y ∈/ Ux và x ∈/ Vy . 1.5.2. Mệnh đề. Không gian tôpô X là T1-không gian khi và chỉ khi với mọi x ∈ X tập một điểm {x} là tập đóng trong X . Chứng minh dành cho độc giả. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 35 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5. Các tiên đề tách 1.5.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T1-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại các lân cận Ux của x và Vy của y sao cho y ∈/ Ux và x ∈/ Vy . 1.5.2. Mệnh đề. Không gian tôpô X là T1-không gian khi và chỉ khi với mọi x ∈ X tập một điểm {x} là tập đóng trong X . Chứng minh dành cho độc giả. 1.5.3. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T2-không gian (hay là không gian Hausdorff) nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại các lân cận Ux của x và Vy của y sao cho Ux ∩ Vy = φ. Nhận xét. Mỗi T2-không gian là T1-không gian. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 35 / 111
1.5.5. Mệnh đề. Giả sử X là một không gian tôpô, Y là không gian Hausdorff, f , g : X → Y là các ánh xạ liên tục. Khi đó (a) Tập A = {x ∈ X : f (x) = g(x)} là tập hợp đóng; (b) Nếu f = g trên một tập hợp con trù mật của X , thì f (x) = g(x) với mọi x ∈ X . Chứng minh dành cho độc giả. 1.5.6. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là chính qui nếu với mọi x ∈ X và với mọi tập đóng F trong X không chứa x, tồn tại một lân cận Ux của điểm x và lân cận VF của tập F sao cho Ux ∩ VF = φ. Không gian chính qui và T1-không gian được gọi là T3-không gian. Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5.4. Mệnh đề. Mọi không gian con của một T2-không gian là một T2-không gian. Chứng minh dành cho độc giả. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 36 / 111
1.5.6. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là chính qui nếu với mọi x ∈ X và với mọi tập đóng F trong X không chứa x, tồn tại một lân cận Ux của điểm x và lân cận VF của tập F sao cho Ux ∩ VF = φ. Không gian chính qui và T1-không gian được gọi là T3-không gian. Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5.4. Mệnh đề. Mọi không gian con của một T2-không gian là một T2-không gian. Chứng minh dành cho độc giả. 1.5.5. Mệnh đề. Giả sử X là một không gian tôpô, Y là không gian Hausdorff, f , g : X → Y là các ánh xạ liên tục. Khi đó (a) Tập A = {x ∈ X : f (x) = g(x)} là tập hợp đóng; (b) Nếu f = g trên một tập hợp con trù mật của X , thì f (x) = g(x) với mọi x ∈ X . Chứng minh dành cho độc giả. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 36 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5.4. Mệnh đề. Mọi không gian con của một T2-không gian là một T2-không gian. Chứng minh dành cho độc giả. 1.5.5. Mệnh đề. Giả sử X là một không gian tôpô, Y là không gian Hausdorff, f , g : X → Y là các ánh xạ liên tục. Khi đó (a) Tập A = {x ∈ X : f (x) = g(x)} là tập hợp đóng; (b) Nếu f = g trên một tập hợp con trù mật của X , thì f (x) = g(x) với mọi x ∈ X . Chứng minh dành cho độc giả. 1.5.6. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là chính qui nếu với mọi x ∈ X và với mọi tập đóng F trong X không chứa x, tồn tại một lân cận Ux của điểm x và lân cận VF của tập F sao cho Ux ∩ VF = φ. Không gian chính qui và T1-không gian được gọi là T3-không gian. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 36 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5.7. Định lý. Không gian tôpô X là chính qui khi và chỉ khi với mọi x ∈ X và với mọi lân cận mở U của x, tồn tại một lân cận mở V của x sao cho x ∈ V ⊂ V ⊂ U. Chứng minh. Cần Giả sử x là điểm bất kỳ trong X và U là lân cận mở bất kỳ của x. Đặt F = X \ U. Khi đó F là tập đóng trong X không chứa x. Vì X là không gian chính qui, tồn tại lân cận mở Ux của x và lân cận mở VF của F sao cho Ux ∩ VF = φ. Đặt V = Ux . Khi đó ta có V ⊂ X \ VF . Vì thế ta có x ∈ V ⊂ V ⊂ X \ VF ⊂ X \ VF ⊂ U. Đủ Giả x là điểm bất kỳ trong X và F là tập đóng bất kỳ trong X không chứa x. Đặt U = X \ F . Khi đó ta có x ∈ U. Nhờ giả thiết điều kiện đủ, tồn tại tập mở V trong X sao cho x ∈ V ⊂ V ⊂ U. Đặt Ux = V và VF = X \ V . Khi đó Ux , VF thứ tự là lân cận của điểm x và tập F thoả mãn Ux ∩ VF = φ. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 37 / 111
1.5.9. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc nếu với mọi cặp các tập con đóng A, B bất kỳ rời nhau của X , tồn tại các lân cận U của A và V của B sao cho U ∩ V = φ. Một không gian chuẩn tắc và T1-không gian được gọi là T4-không gian. Nhận xét. Mỗi T4-không gian là T3-không gian. Mỗi T3-không gian là T2-không gian. Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5.8. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là hoàn toàn chính qui nêu với mọi x ∈ X và mọi tập đóng F không chứa x, tồn tại một ánh xạ liên tục f : X → [0, 1] sao cho f (x) = 0 và f (y) = 1 với mọi y ∈ F . Một không gian hoàn toàn chính qui và là T1-không gian được gọi là không gian Tikhônôp (hay T 1 -không gian). 3 2 Nhận xét. Một không gian hoàn toàn chính qui là không gian chính qui. Từ đó suy ra một không gian Tikhônôp là T3-không gian. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 38 / 111
Nhận xét. Mỗi T4-không gian là T3-không gian. Mỗi T3-không gian là T2-không gian. Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5.8. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là hoàn toàn chính qui nêu với mọi x ∈ X và mọi tập đóng F không chứa x, tồn tại một ánh xạ liên tục f : X → [0, 1] sao cho f (x) = 0 và f (y) = 1 với mọi y ∈ F . Một không gian hoàn toàn chính qui và là T1-không gian được gọi là không gian Tikhônôp (hay T 1 -không gian). 3 2 Nhận xét. Một không gian hoàn toàn chính qui là không gian chính qui. Từ đó suy ra một không gian Tikhônôp là T3-không gian. 1.5.9. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc nếu với mọi cặp các tập con đóng A, B bất kỳ rời nhau của X , tồn tại các lân cận U của A và V của B sao cho U ∩ V = φ. Một không gian chuẩn tắc và T1-không gian được gọi là T4-không gian. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 38 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5.8. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là hoàn toàn chính qui nêu với mọi x ∈ X và mọi tập đóng F không chứa x, tồn tại một ánh xạ liên tục f : X → [0, 1] sao cho f (x) = 0 và f (y) = 1 với mọi y ∈ F . Một không gian hoàn toàn chính qui và là T1-không gian được gọi là không gian Tikhônôp (hay T 1 -không gian). 3 2 Nhận xét. Một không gian hoàn toàn chính qui là không gian chính qui. Từ đó suy ra một không gian Tikhônôp là T3-không gian. 1.5.9. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc nếu với mọi cặp các tập con đóng A, B bất kỳ rời nhau của X , tồn tại các lân cận U của A và V của B sao cho U ∩ V = φ. Một không gian chuẩn tắc và T1-không gian được gọi là T4-không gian. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 38 / 111 Nhận xét. Mỗi T4-không gian là T3-không gian. Mỗi T3-không gian là T2-không gian.
1.5.12. Định lý (Urưxơn). Nếu A, B là hai tập đóng bất kỳ rời nhau trong không gian chuẩn tắc X , thì tồn tại một hàm liên tục f : X → R xác định trên X sao cho (a) 0 ≤ f (x) ≤ 1 với mọi x ∈ X ; (b) f (x) = 0 với mọi x ∈ A; (c) f (x) = 1 với mọi x ∈ B. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5.10. Định lý. Không gian tôpô X là chuẩn tắc khi và chỉ khi với mọi tập đóng F và với mọi tập mở U trong X chứa F , tồn tại tập mở V trong X sao cho F ⊂ V ⊂ V ⊂ U. Chứng minh tương tự Định lý 1.5.7, dành cho bạn đọc. 1.5.11. Định lý. Mọi không gian mêtric đều là T4-không gian. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 39 / 111
Chương 1. Không gian tôpô 1.5. Các tiên đề tách 1.5.10. Định lý. Không gian tôpô X là chuẩn tắc khi và chỉ khi với mọi tập đóng F và với mọi tập mở U trong X chứa F , tồn tại tập mở V trong X sao cho F ⊂ V ⊂ V ⊂ U. Chứng minh tương tự Định lý 1.5.7, dành cho bạn đọc. 1.5.11. Định lý. Mọi không gian mêtric đều là T4-không gian. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. 1.5.12. Định lý (Urưxơn). Nếu A, B là hai tập đóng bất kỳ rời nhau trong không gian chuẩn tắc X , thì tồn tại một hàm liên tục f : X → R xác định trên X sao cho (a) 0 ≤ f (x) ≤ 1 với mọi x ∈ X ; (b) f (x) = 0 với mọi x ∈ A; (c) f (x) = 1 với mọi x ∈ B. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 39 / 111
2.1.2. Nhận xét. 1. Dễ dàng chứng minh được rằng họ −1 σ = {G ⊂ X : iα (G) ∈ Tα, α ∈ Λ} là tiền cơ sở của tôpô T và T là tôpô mịn nhất trên X sao cho tất cả các iα, α ∈ Λ liên tục. ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.1 Các khái niệm cơ bản 2.1. Tổng tôpô 2.1.1. Định nghĩa. Cho họ các không gian tôpô {(Xα, Tα)}α∈Λ, [ trong đó Xα ∩ Xβ = φ nếu α 6= β và X = Xα. Giả sử iα : Xα → X là α∈Λ ánh xạ nhúng, α ∈ Λ. Gọi T là tôpô mịn nhất trên X sao cho tất cả các ánh xạ iα, α ∈ Λ liên tục. Tập hợp X cùng với tôpô T được gọi là tổng M tôpô của các không gian tôpô (Xα, Tα), α ∈ Λ và ký hiệu là Xα hoặc α∈Λ X1 ⊕ X2 ⊕ · · · ⊕ Xk nếu Λ = {1, 2, , k}. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 40 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.1 Các khái niệm cơ bản 2.1. Tổng tôpô 2.1.1. Định nghĩa. Cho họ các không gian tôpô {(Xα, Tα)}α∈Λ, [ trong đó Xα ∩ Xβ = φ nếu α 6= β và X = Xα. Giả sử iα : Xα → X là α∈Λ ánh xạ nhúng, α ∈ Λ. Gọi T là tôpô mịn nhất trên X sao cho tất cả các ánh xạ iα, α ∈ Λ liên tục. Tập hợp X cùng với tôpô T được gọi là tổng M tôpô của các không gian tôpô (Xα, Tα), α ∈ Λ và ký hiệu là Xα hoặc α∈Λ X1 ⊕ X2 ⊕ · · · ⊕ Xk nếu Λ = {1, 2, , k}. 2.1.2. Nhận xét. 1. Dễ dàng chứng minh được rằng họ −1 σ = {G ⊂ X : iα (G) ∈ Tα, α ∈ Λ} là tiền cơ sở của tôpô T và T là tôpô mịn nhất trên X sao cho tất cả các iα, α ∈ Λ liên tục. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 40 / 111
M M 2.1.3. Định lý. Giả sử f : Xα → Y là ánh xạ từ tổng tôpô Xα α∈Λ α∈Λ vào không gian tôpô Y . Khi đó f liên tục khi và chỉ khi ánh xạ tích foiα : Xα → Y liên tục với mọi α ∈ Λ, trong đó iα là phép nhúng Xα vào M Xα, α ∈ Λ. α∈Λ M Chứng minh. Giả sử f liên tục. Từ giả thiết ánh xạ iα : Xα → Xα α∈Λ liên tục ta suy ra foiα liên tục với mọi α ∈ Λ. Ngược lại, Giả sử foiα liên tục với mọi α ∈ Λ. Vì foiα = f |Xα và Nhận xét 2.1.2 tôpô T tương thích với cái phủ {Xα}α∈Λ, dùng Định lý 1.4.10 ta suy ra f liên tục. ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.1 Các khái niệm cơ bản 2. Dễ thấy rằng G ∈ T khi và chỉ khi G ∩ Xα ∈ Tα với mọi α ∈ Λ. Do đó tôpô T là tôpô tương thích với cái phủ {Xα}α∈Λ. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 41 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.1 Các khái niệm cơ bản 2. Dễ thấy rằng G ∈ T khi và chỉ khi G ∩ Xα ∈ Tα với mọi α ∈ Λ. Do đó tôpô T là tôpô tương thích với cái phủ {Xα}α∈Λ. M M 2.1.3. Định lý. Giả sử f : Xα → Y là ánh xạ từ tổng tôpô Xα α∈Λ α∈Λ vào không gian tôpô Y . Khi đó f liên tục khi và chỉ khi ánh xạ tích foiα : Xα → Y liên tục với mọi α ∈ Λ, trong đó iα là phép nhúng Xα vào M Xα, α ∈ Λ. α∈Λ M Chứng minh. Giả sử f liên tục. Từ giả thiết ánh xạ iα : Xα → Xα α∈Λ liên tục ta suy ra foiα liên tục với mọi α ∈ Λ. Ngược lại, Giả sử foiα liên tục với mọi α ∈ Λ. Vì foiα = f |Xα và Nhận xét 2.1.2 tôpô T tương thích với cái phủ {Xα}α∈Λ, dùng Định lý 1.4.10 ta suy ra f liên tục. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 41 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.1 Các khái niệm cơ bản M 2.1.4. Định lý. Với mỗi α ∈ Λ, ánh xạ iα : Xα → Xα là vừa mở, α∈Λ vừa đóng. Chứng minh. Với bất kỳ α ∈ Λ và bất kỳ tập mở U ⊂ Xα. Khi đó ta có U ∩ Xα = U và U ∩ Xβ = φ với mọi β 6= α. Vì U mở trong Xα và φ mở trong Xβ với mọi β. Từ Nhận xét 2.1.2 ta suy ra U mở trong M M Xα. Vì iα(U) = U, ta suy ra iα : Xα → Xα là ánh xạ mở. α∈Λ α∈Λ Tương tự ta chứng minh được iα là ánh xạ đóng. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 42 / 111
2.1.6. Định lý. Tổng tôpô của các Ti -không gian là Ti -không gian, với i = 1, 2, 3, 4. Chứng minh dành cho độc giả. ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.1 Các khái niệm cơ bản M 2.1.5. Hệ quả. Với mỗi α ∈ Λ, ánh xạ iα : Xα → Xα là phép nhúng α∈Λ M đồng phôi Xα thành không gian con vừa mở, vừa đóng trong Xα. α∈Λ Chứng minh. Vì Xα vừa mở, vừa đóng trong Xα, theo Định lý 2.1.4 M ta suy ra iα(Xα) vừa mở, vừa đóng trong Xα. Theo Mệnh đề 1.4.6 α∈Λ M ánh xạ iα : Xα → Xα là phép nhúng đồng phôi. α∈Λ Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 43 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.1 Các khái niệm cơ bản M 2.1.5. Hệ quả. Với mỗi α ∈ Λ, ánh xạ iα : Xα → Xα là phép nhúng α∈Λ M đồng phôi Xα thành không gian con vừa mở, vừa đóng trong Xα. α∈Λ Chứng minh. Vì Xα vừa mở, vừa đóng trong Xα, theo Định lý 2.1.4 M ta suy ra iα(Xα) vừa mở, vừa đóng trong Xα. Theo Mệnh đề 1.4.6 α∈Λ M ánh xạ iα : Xα → Xα là phép nhúng đồng phôi. α∈Λ 2.1.6. Định lý. Tổng tôpô của các Ti -không gian là Ti -không gian, với i = 1, 2, 3, 4. Chứng minh dành cho độc giả. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 43 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.2 Không gian tích 2.2. Không gian tích 2.2.1. Định nghĩa. Cho họ các không gian tôpô {(Xα, Tα)}α∈Λ. Xét Y tập hợp tích X = Xα. Với mỗi α ∈ Λ, ta ký hiệu Pα : X → Xα là α∈Λ phép chiếu tự nhiên xác định bởi Pα(x) = xα với mỗi x = (xα) ∈ X . Y Tôpô T yếu nhất trên Xα sao cho các ánh xạ Pα, α ∈ Λ liên tục α∈Λ được gọi là tôpô tích (hay tôpô Tikhônôp) của các tôpô Tα, α ∈ Λ, trên Y tập tích Xα. α∈Λ Y Không gian X = Xα với tôpô tích được gọi là tích hay tích α∈Λ Tikhônôp của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 44 / 111
Y 2.2.3. Định lý. Với mỗi α ∈ Λ, phép chiếu tự nhiên Pα : Xα → Xα α∈Λ là ánh xạ mở. Chứng minh. Trước hết, giả sử U là tập mở bất kỳ thuộc cở sở B của tôpô T , theo Định lý 2.2.2 tồn tại một họ hữu hạn I ⊂ Λ và các \ −1 tập mở Gα ⊂ Xα với mỗi α ∈ I sao cho U = Pα (Gα). Khi đó nếu α∈I α ∈ I ta có Pα(U) = Gα còn nếu α ∈ Λ \ I thì ta có Pα(U) = Xα. ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.2 Không gian tích Y 2.2.2. Định lý. Tôpô tích trên tập tích X = Xα có cơ sở B gồm α∈Λ \ −1 các tập V có dạng V = Pα (Gα), trong đó Gα ⊂ Xα là tập mở α∈I trong Xα, α ∈ I và I là tập con hữu hạn của Λ. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 45 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.2 Không gian tích Y 2.2.2. Định lý. Tôpô tích trên tập tích X = Xα có cơ sở B gồm α∈Λ \ −1 các tập V có dạng V = Pα (Gα), trong đó Gα ⊂ Xα là tập mở α∈I trong Xα, α ∈ I và I là tập con hữu hạn của Λ. Y 2.2.3. Định lý. Với mỗi α ∈ Λ, phép chiếu tự nhiên Pα : Xα → Xα α∈Λ là ánh xạ mở. Chứng minh. Trước hết, giả sử U là tập mở bất kỳ thuộc cở sở B của tôpô T , theo Định lý 2.2.2 tồn tại một họ hữu hạn I ⊂ Λ và các \ −1 tập mở Gα ⊂ Xα với mỗi α ∈ I sao cho U = Pα (Gα). Khi đó nếu α∈I α ∈ I ta có Pα(U) = Gα còn nếu α ∈ Λ \ I thì ta có Pα(U) = Xα. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 45 / 111
Y 2.2.4. Định lý. Gỉa sử Y là không gian tôpô và X = Xα là tích α∈Λ của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ. Để ánh xạ f : Y → X liên tục, điều kiện cần và đủ là với mỗi α ∈ Λ ánh xạ Pα ◦ f : Y → Xα liên tục. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.2 Không gian tích Nhưng cả Gα và Xα đều là các tập mở trong Xα. Do đó Pα(U) là tập mở trong Xα. [ Bây giờ giả sử V là tập mở bất kỳ trong T . Khi đó V = Uj j∈J trong đó Uj ∈ B với mọi j ∈ J. Vì Pα(Uj ) là mở trong Xα với mọi S S j ∈ J và Pα(V ) = Pα( Uj ) = Pα(Uj ), ta suy ra Pα(V ) là tập mở j∈J j∈J trong Xα hay Pα là ánh xạ mở. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 46 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.2 Không gian tích Nhưng cả Gα và Xα đều là các tập mở trong Xα. Do đó Pα(U) là tập mở trong Xα. [ Bây giờ giả sử V là tập mở bất kỳ trong T . Khi đó V = Uj j∈J trong đó Uj ∈ B với mọi j ∈ J. Vì Pα(Uj ) là mở trong Xα với mọi S S j ∈ J và Pα(V ) = Pα( Uj ) = Pα(Uj ), ta suy ra Pα(V ) là tập mở j∈J j∈J trong Xα hay Pα là ánh xạ mở. Y 2.2.4. Định lý. Gỉa sử Y là không gian tôpô và X = Xα là tích α∈Λ của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ. Để ánh xạ f : Y → X liên tục, điều kiện cần và đủ là với mỗi α ∈ Λ ánh xạ Pα ◦ f : Y → Xα liên tục. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 46 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.2 Không gian tích 1 2.2.5. Định lý. (a) Nếu Xα, α ∈ Λ là Tk -không gian với 1 ≤ k ≤ 3 2 , Y thì X = Xα cũng là Tk -không gian; α∈Λ Y (b) Nếu X = Xα khác rỗng và là Tk -không gian với 1 ≤ k ≤ 4, α∈Λ thì Xα là Tk -không gian với mọi α ∈ Λ. Chứng minh. (a) - Vì T1, T2-không gian cùng một kiểu chứng minh, nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp T2-không gian. Giả sử Xα là T2-không gian, α ∈ Λ, với bất kỳ x, y ∈ X và x 6= y. Do x 6= y, nên tồn tại io ∈ Λ sao cho xio 6= yio . Vì Xio là T2-không gian, nên tìm được các lân cận mở U, V tương ứng của xio và yio sao cho −1 −1 U ∩ V = φ. Từ đó ta có Pi (U) và Pi (V ) là các lân cận mở tương o o Y ứng của x và y trong không gian tích X = Xα thoả mãn α∈Λ Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 47 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.2 Không gian tích Y P−1(U) ∩ P−1(V ) = φ. Vậy X = X là T -không gian. io io α 2 α∈Λ - Giả sử Xα là T3-không gian, α ∈ Λ. Từ chúng minh trên ta chỉ cần Y chứng minh X = Xα là không gian chính qui. Giả sử x ∈ X và U là α∈Λ lân cận mở bất kỳ của x thuộc cơ sở B của tôpô tích, nghĩa là n \ −1 x = (xα) ∈ U = Pi (Ui ) với Ui mở trong Xi , i = 1, , n. Khi đó ta i=1 có xi ∈ Ui , i = 1, , n. Do Xi , là không gian chính qui, nên tồn tại các lân cận mở Vi của xi trong Xi , sao cho xi ∈ Vi ⊂ Vi ⊂ Ui , i = 1, , n. n n n \ −1 \ −1 \ −1 Từ đó ta có x ∈ Pi (Vi ) ⊂ Pi (Vi ) ⊂ Pi (Ui ) = U. i=1 i=1 i=1 Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 48 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.2 Không gian tích n \ −1 Đặt V = Pi (Vi ), ta có V mở trong X và x ∈ V ⊂ V ⊂ U. Vậy X i=1 là không gian chính qui. Chứng minh các phần còn lại dành cho đọc giả. Y 2.2.6. Định lý. Không gian tích X = Xα thoả mãn tiên đề đếm α∈Λ được thứ k, k = 1, 2 khi và chỉ khi Xα là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ k với mọi α, trừ ra một tập đếm được các Xα, còn tất cả đều là không gian thô. Chứng minh dành cho độc giả, xem [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 49 / 111
2.3.2. Mệnh đề. Tôpô thương trên tập thương X /R là họ U = {U ⊂ X /R : π−1(U) ∈ T }. Chứng minh. Dễ thấy rằng φ ∈ U và X /R ∈ U. Với họ bất kỳ ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.3 Không gian thương 2.3. Không gian thương 2.3.1. Định nghĩa. Cho không gian tôpô (X , T ) và một quan hệ tương đương R trên X . Ký hiệu X /R là tập tất cả các lớp thương theo quan hệ tương đương R và π : X → X /R là ánh xạ thương cho bởi π(x) = [x] với mọi x ∈ X . Tôpô mịn nhất trên tập thương X /R sao cho ánh xạ thương π liên tục được gọi là tôpô thương trên X /R. Tập thương X /R cùng với tôpô thương trên nó được gọi là không gian thương và ánh xạ π : X → X /R được gọi là phép chiếu tự nhiên. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 50 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.3 Không gian thương 2.3. Không gian thương 2.3.1. Định nghĩa. Cho không gian tôpô (X , T ) và một quan hệ tương đương R trên X . Ký hiệu X /R là tập tất cả các lớp thương theo quan hệ tương đương R và π : X → X /R là ánh xạ thương cho bởi π(x) = [x] với mọi x ∈ X . Tôpô mịn nhất trên tập thương X /R sao cho ánh xạ thương π liên tục được gọi là tôpô thương trên X /R. Tập thương X /R cùng với tôpô thương trên nó được gọi là không gian thương và ánh xạ π : X → X /R được gọi là phép chiếu tự nhiên. 2.3.2. Mệnh đề. Tôpô thương trên tập thương X /R là họ U = {U ⊂ X /R : π−1(U) ∈ T }. Chứng minh. Dễ thấy rằng φ ∈ U và X /R ∈ U. Với họ bất kỳ Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 50 / 111
Nhận xét. Từ Mệnh đề 2.3.2 ta suy ra tập B ⊂ X /R là đóng theo tôpô thương khi và chỉ khi π−1(B) là đóng theo tôpô T trong X . ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.3 Không gian thương ! −1 [ [ −1 Ui ∈ U, i ∈ I vì T là tôpô, từ đẳng thức π Ui = π (Ui ) ta i∈I i∈I ! −1 [ suy ra π Ui ∈ T . Tương tự, vì T là tôpô ta có i∈I π−1(U ∩ V ) = π−1(U) ∩ π−1(V ) ∈ T . Vậy U là một tôpô trên X /R. Bây giờ giả sử B là một tôpô trên X /R sao cho phép chiếu π liên tục. Khi đó với mỗi B ∈ B ta có π−1(B) ∈ T . Do đó B ∈ U. Vậy U là tôpô mịn nhất trên X /R sao cho ánh xạ π liên tục. Do đó U là tôpô thương. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 51 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.3 Không gian thương ! −1 [ [ −1 Ui ∈ U, i ∈ I vì T là tôpô, từ đẳng thức π Ui = π (Ui ) ta i∈I i∈I ! −1 [ suy ra π Ui ∈ T . Tương tự, vì T là tôpô ta có i∈I π−1(U ∩ V ) = π−1(U) ∩ π−1(V ) ∈ T . Vậy U là một tôpô trên X /R. Bây giờ giả sử B là một tôpô trên X /R sao cho phép chiếu π liên tục. Khi đó với mỗi B ∈ B ta có π−1(B) ∈ T . Do đó B ∈ U. Vậy U là tôpô mịn nhất trên X /R sao cho ánh xạ π liên tục. Do đó U là tôpô thương. Nhận xét. Từ Mệnh đề 2.3.2 ta suy ra tập B ⊂ X /R là đóng theo tôpô thương khi và chỉ khi π−1(B) là đóng theo tôpô T trong X . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 51 / 111
2.3.4. Định lý. ánh xạ f : X /R → Y từ không gian thương X /R vào không gian tôpô Y là liên tục khi và chỉ khi ánh xạ hợp foπ : X → Y liên tục. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.3 Không gian thương 2.3.3. Định lý. Nếu π :(X , T ) → (X /R, B) là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô (X , T ) lên không gian tôpô (X /R, B) và ánh xạ mở (hoặc đóng), thì B là tôpô thương. Chứng minh Giả sử π là ánh xạ mở. Ký hiệu U là tôpô thương trên X /R. Ta sẽ chứng minh rằng B = U. Vì π liên tục và U là tôpô mịn nhất trên X /R để π liên tục, ta suy ra B ⊂ U. Bây giờ giả sử U ∈ U. Từ Mệnh đề 2.3.2 ta suy ra π−1(U) ∈ T . Nhờ giả thiết π là ánh xạ mở và U = π[π−1(U)] ta suy ra U ∈ B. Vậy U ⊂ B. Do đó ta có B = U. Trường hợp f là ánh xạ đóng, chứng minh hoàn toàn tương tự. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 52 / 111
ChươngII. Tổng tôpô, không gian tích, không gian thương 2.3 Không gian thương 2.3.3. Định lý. Nếu π :(X , T ) → (X /R, B) là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô (X , T ) lên không gian tôpô (X /R, B) và ánh xạ mở (hoặc đóng), thì B là tôpô thương. Chứng minh Giả sử π là ánh xạ mở. Ký hiệu U là tôpô thương trên X /R. Ta sẽ chứng minh rằng B = U. Vì π liên tục và U là tôpô mịn nhất trên X /R để π liên tục, ta suy ra B ⊂ U. Bây giờ giả sử U ∈ U. Từ Mệnh đề 2.3.2 ta suy ra π−1(U) ∈ T . Nhờ giả thiết π là ánh xạ mở và U = π[π−1(U)] ta suy ra U ∈ B. Vậy U ⊂ B. Do đó ta có B = U. Trường hợp f là ánh xạ đóng, chứng minh hoàn toàn tương tự. 2.3.4. Định lý. ánh xạ f : X /R → Y từ không gian thương X /R vào không gian tôpô Y là liên tục khi và chỉ khi ánh xạ hợp foπ : X → Y liên tục. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 52 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.1 Phép nhúng vào khối lập phương 3.1. Phép nhúng vào khối lập phương Ta gọi là khối lập phương và ký hiệu là QA tập hợp tất cả các hàm f : A → Q xác định trên một tập hợp A nào đó và nhận giá trị trong đoạn Q = [0, 1]. Tôpô trên QA là tôpô hội tụ theo điểm (hay hội tụ theo toạ độ). 3.1.1. Định nghĩa. Gỉa sử F = {f : X → Yf } với X , Yf là các không Y gian tôpô. Khi đó ánh xạ e : X → Yf cho bởi [e(x)]f = f (x), với f ∈F mọi x ∈ X được gọi là ánh xạ định giá. 3.1.2. Định nghĩa. a) Họ F = {f : X → Yf } được gọi là tách các điểm của X nếu với mỗi cặp các điểm x, y ∈ X mà x 6= y tồn tại f ∈ F sao cho f (x) 6= f (y). Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 53 / 111
3.1.3. Bổ đề. Gỉa sử F là họ các ánh xạ liên tục f : X → Yf từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Yf . Khi đó Y (a) ánh xạ định giá e : X → Yf là ánh xạ liên tục của không f ∈F Y gian tôpô X vào không gian tích Yf ; f ∈F (b) Nếu họ F tách các điểm và các tập đóng, thì ánh xạ định giá e là ánh xạ mở của không gian X lên không gian con e[X ]; (c) ánh xạ e là đơn ánh khi và chỉ khi họ F tách các điểm. Chứng minh. (a) Vì Pf oe(x) = f (x) với mọi x ∈ X . Theo Định lý 2.2.4 ta suy ra e liên tục. ChươngIII. Mêtric hoá 3.1 Phép nhúng vào khối lập phương b) Họ F = {f : X → Yf } được gọi là tách các điểm và tập đóng nếu với mỗi tập con đóng A của X và với mỗi điểm x ∈ X \ A, tồn tại ánh xạ f ∈ F sao cho f (x) ∈/ f (A). Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 54 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.1 Phép nhúng vào khối lập phương b) Họ F = {f : X → Yf } được gọi là tách các điểm và tập đóng nếu với mỗi tập con đóng A của X và với mỗi điểm x ∈ X \ A, tồn tại ánh xạ f ∈ F sao cho f (x) ∈/ f (A). 3.1.3. Bổ đề. Gỉa sử F là họ các ánh xạ liên tục f : X → Yf từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Yf . Khi đó Y (a) ánh xạ định giá e : X → Yf là ánh xạ liên tục của không f ∈F Y gian tôpô X vào không gian tích Yf ; f ∈F (b) Nếu họ F tách các điểm và các tập đóng, thì ánh xạ định giá e là ánh xạ mở của không gian X lên không gian con e[X ]; (c) ánh xạ e là đơn ánh khi và chỉ khi họ F tách các điểm. Chứng minh. (a) Vì Pf oe(x) = f (x) với mọi x ∈ X . Theo Định lý 2.2.4 ta suy ra e liên tục. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 54 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.1 Phép nhúng vào khối lập phương (b) Giả sử F là họ tách các điểm và tập đóng và U là tập mở bất kỳ trong X , ta cần chứng minh rằng e(U) là tập mở trong e[X ]. Thật vậy, giả sử x là điểm bất kỳ thuộc U, vì F tách các điểm và tập đóng nên tồn tại hàm fo sao cho fo(x) ∈/ fo(X \ U). Đặt W = P−1 Y \ f (X \ U) . Ta có W là tập mở trong không gian tích fo fo o Y Yf , chứa e(x) và W ∩ e[X ] = e(U). Vì thế e(x) là điểm trong của f ∈F e(U) trong không gian con e[X ]. Vì x tuỳ ý ta nhận được e(U) là tập mở trong không gian con e[X ]. (c) Giả sử e là đơn ánh và x, y ∈ X với x 6= y. Khi đó ta có e(x) 6= e(y). Do đó tồn tại hàm f ∈ F sao cho f (x) 6= f (y). Vì vậy họ F tách các điểm của không gian tôpô X . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 55 / 111
3.1.4. Định lý. Để một không gian tôpô là không gian Tikhônôp điều kiện cần và đủ là nó đồng phôi với một không gian con của khối lập phương nào đó. Chứng minh. Cần. Giả sử X là không gian tôpô Tikhônôp. Ký hiệu F là họ tất cả các ánh xạ liên tục từ X vào đoạn [0, 1]. Vì X là không gian Tikhônôp, nên F là họ khác rỗng, tách các điểm và tập đóng. Vì Y vậy, theo Bổ đề 3.1.3, ánh xạ định giá e : X → [0, 1] là phép đồng f ∈F phôi của X lên không gian con e[X ] của [0, 1]F . ChươngIII. Mêtric hoá 3.1 Phép nhúng vào khối lập phương Ngược lại, giả sử họ F tách các điểm của không gian tôpô X . Khi đó với các điểm bất kỳ x, y ∈ X mà x 6= y, tồn tại f ∈ F sao cho f (x) 6= f (y). Từ cách đặt e ta suy ra e(x) 6= e(y). Vậy e là một đơn ánh. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 56 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.1 Phép nhúng vào khối lập phương Ngược lại, giả sử họ F tách các điểm của không gian tôpô X . Khi đó với các điểm bất kỳ x, y ∈ X mà x 6= y, tồn tại f ∈ F sao cho f (x) 6= f (y). Từ cách đặt e ta suy ra e(x) 6= e(y). Vậy e là một đơn ánh. 3.1.4. Định lý. Để một không gian tôpô là không gian Tikhônôp điều kiện cần và đủ là nó đồng phôi với một không gian con của khối lập phương nào đó. Chứng minh. Cần. Giả sử X là không gian tôpô Tikhônôp. Ký hiệu F là họ tất cả các ánh xạ liên tục từ X vào đoạn [0, 1]. Vì X là không gian Tikhônôp, nên F là họ khác rỗng, tách các điểm và tập đóng. Vì Y vậy, theo Bổ đề 3.1.3, ánh xạ định giá e : X → [0, 1] là phép đồng f ∈F phôi của X lên không gian con e[X ] của [0, 1]F . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 56 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.1 Phép nhúng vào khối lập phương Đủ. Vì [0, 1] là một không gian Tikhônôp. Theo Định lý 2.2.5 tích của họ tuỳ ý các không gian Tikhônôp là không gian Tikhônôp, hơn nữa một không gian con của không gian Tikhônôp là không gian Tikhônôp ta suy ra nếu X đồng phôi với một không gian của khối lập Y phương QA = [0, 1], thì X là một không gian Tikhônôp. α∈A Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 57 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric 3.2. Không gian mêtric và giả mêtric 3.2.1. Định nghĩa. Cho tập hợp X . Hàm d : X × X → R được gọi là một mêtric nếu thoả mãn các điều kiện (a) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X ; (b) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X ; (c) d(x, y) = 0 nếu x = y; (d) Nếu d(x, y) = 0, thì x = y. Hàm d được gọi là giả mêtric nếu nó thoả mãn các điều kiện (a), (b), (c). Cặp (X , d) được gọi là không gian mêtric (giả mêtric) nếu d là mêtric (tương ứng, giả mêtric). Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 58 / 111
3.2.2. Định lý. Gỉa sử A là tập con của không gian giả mêtric (X , d). Với mỗi x ∈ X ta đặt d(x, A) = inf{d(x, y): y ∈ A}. Khi đó hàm d(., A): X → R là một hàm liên tục của biến x theo tôpô giả mêtric. Chứng minh. Từ bất đẳng thức d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y ∈ X và với mọi z ∈ A, ta suy ra d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, A). Thay ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric Nhận xét. Ký hiệu B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) 0} lập thành một cơ sở cuả một tôpô nào đó trên không gian (X , d). Tôpô này được gọi là tôpô mêtric (giả mêtric) hoặc tôpô sinh bởi mêtric (giả mêtric d). Dễ thấy rằng mỗi hình cầu đóng B(x, r) là tập con đóng đối với tôpô giả mêtric. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 59 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric Nhận xét. Ký hiệu B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) 0} lập thành một cơ sở cuả một tôpô nào đó trên không gian (X , d). Tôpô này được gọi là tôpô mêtric (giả mêtric) hoặc tôpô sinh bởi mêtric (giả mêtric d). Dễ thấy rằng mỗi hình cầu đóng B(x, r) là tập con đóng đối với tôpô giả mêtric. 3.2.2. Định lý. Gỉa sử A là tập con của không gian giả mêtric (X , d). Với mỗi x ∈ X ta đặt d(x, A) = inf{d(x, y): y ∈ A}. Khi đó hàm d(., A): X → R là một hàm liên tục của biến x theo tôpô giả mêtric. Chứng minh. Từ bất đẳng thức d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y ∈ X và với mọi z ∈ A, ta suy ra d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, A). Thay Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 59 / 111
3.2.3. Định lý. Gỉa sử (X , d) là không gian giả mêtric, A ⊂ X . Khi đó ta có A = {x ∈ X : d(x, A) = 0}. Chứng minh. Từ Định lý 3.2.2 ta có hàm d(., A): X → R liên tục. Vì thế, tập {x ∈ X : d(x, A) = 0} là tập con đóng của X chứa A. Vì vậy, A ⊂ {x ∈ X : d(x, A) = 0}. Bây giờ giả sử x ∈/ A. Khi đó tồn tại hình cầu mở B(x, r) sao cho B(x, r) ∩ A = φ. Vì thế d(x, A) ≥ r > 0. Điều này chứng tỏ {x ∈ X : d(x, A) = 0} ⊂ A. Do đó ta có A = {x ∈ X : d(x, A) = 0}. 3.2.4. Định lý. Mỗi không gian giả mêtric là không gian chuẩn tắc. Chứng minh. Gỉa sử A, B là các tập con đóng rời nhau của không ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric đổi vai trò của x và y ta được d(y, A) ≤ d(x, y) + d(x, A). Vì thế ta có |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X . Từ bất đẳng thức này dễ thấy rằng hàm d(., A) liên tục. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 60 / 111
3.2.4. Định lý. Mỗi không gian giả mêtric là không gian chuẩn tắc. Chứng minh. Gỉa sử A, B là các tập con đóng rời nhau của không ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric đổi vai trò của x và y ta được d(y, A) ≤ d(x, y) + d(x, A). Vì thế ta có |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X . Từ bất đẳng thức này dễ thấy rằng hàm d(., A) liên tục. 3.2.3. Định lý. Gỉa sử (X , d) là không gian giả mêtric, A ⊂ X . Khi đó ta có A = {x ∈ X : d(x, A) = 0}. Chứng minh. Từ Định lý 3.2.2 ta có hàm d(., A): X → R liên tục. Vì thế, tập {x ∈ X : d(x, A) = 0} là tập con đóng của X chứa A. Vì vậy, A ⊂ {x ∈ X : d(x, A) = 0}. Bây giờ giả sử x ∈/ A. Khi đó tồn tại hình cầu mở B(x, r) sao cho B(x, r) ∩ A = φ. Vì thế d(x, A) ≥ r > 0. Điều này chứng tỏ {x ∈ X : d(x, A) = 0} ⊂ A. Do đó ta có A = {x ∈ X : d(x, A) = 0}. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 60 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric đổi vai trò của x và y ta được d(y, A) ≤ d(x, y) + d(x, A). Vì thế ta có |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X . Từ bất đẳng thức này dễ thấy rằng hàm d(., A) liên tục. 3.2.3. Định lý. Gỉa sử (X , d) là không gian giả mêtric, A ⊂ X . Khi đó ta có A = {x ∈ X : d(x, A) = 0}. Chứng minh. Từ Định lý 3.2.2 ta có hàm d(., A): X → R liên tục. Vì thế, tập {x ∈ X : d(x, A) = 0} là tập con đóng của X chứa A. Vì vậy, A ⊂ {x ∈ X : d(x, A) = 0}. Bây giờ giả sử x ∈/ A. Khi đó tồn tại hình cầu mở B(x, r) sao cho B(x, r) ∩ A = φ. Vì thế d(x, A) ≥ r > 0. Điều này chứng tỏ {x ∈ X : d(x, A) = 0} ⊂ A. Do đó ta có A = {x ∈ X : d(x, A) = 0}. 3.2.4. Định lý. Mỗi không gian giả mêtric là không gian chuẩn tắc. Chứng minh. Gỉa sử A, B là các tập con đóng rời nhau của không Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 60 / 111
3.2.5. Định lý. (a) Mỗi không gian giả mêtric là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất; (b) Không gian giả mêtric thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai khi và chỉ khi nó là không gian khả ly. Chứng minh. (a) Vì họ {B(x, r): x ∈ X , r > 0} là cơ sở của tôpô giả mêtric, nên với x bất kỳ thuộc X , họ {B(x, r): r > 0} là một cơ sở 1 lân cận tại điểm x. Với mỗi r > 0, tồn tại số tự nhiên n sao cho 0}. Vì hàm x 7→ d(x, A) − d(x, B) với mọi x ∈ X liên tục theo biến x. Vì vậy các tập U, V là các tập mở lần lượt chứa A và B sao cho U ∩ V = φ. Vì vậy, (X , d) là không gian chuẩn tắc. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 61 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric gian giả mêtric X và d(x, A), d(x, B) là khoảng cách từ điểm x đến các tập A và B tương ứng. Đặt U = {x ∈ X : d(x, A) − d(x, B) 0}. Vì hàm x 7→ d(x, A) − d(x, B) với mọi x ∈ X liên tục theo biến x. Vì vậy các tập U, V là các tập mở lần lượt chứa A và B sao cho U ∩ V = φ. Vì vậy, (X , d) là không gian chuẩn tắc. 3.2.5. Định lý. (a) Mỗi không gian giả mêtric là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất; (b) Không gian giả mêtric thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai khi và chỉ khi nó là không gian khả ly. Chứng minh. (a) Vì họ {B(x, r): x ∈ X , r > 0} là cơ sở của tôpô giả mêtric, nên với x bất kỳ thuộc X , họ {B(x, r): r > 0} là một cơ sở 1 lân cận tại điểm x. Với mỗi r > 0, tồn tại số tự nhiên n sao cho < r. n Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 61 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric 1 1 ∗ Lúc đó ta có B(x, n ) ⊂ B(x, r). Vậy, họ {B(x, n ): n ∈ N } lập thành một cơ sở đếm được tại điểm x. Do đó X là một không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất. (b) Cần. Suy từ Định lý 1.1.18 Chương I. Đủ. Giả sử X là không gian giả mêtric khả ly. Khi đó trong X tồn tại một tập con đếm được A = {an : n = 1, 2, } trù mật khắp nơi 1 trong X . Ký hiệu U = {B(an, m : n, m = 1, 2, }. Khi đó họ U là đếm được. Giả sử x là điểm bất kỳ thuộc X và U là lân cận bất kỳ của điểm x. Khi đó vì X là giả mêtric, tồn tại hình cầu mở B(x, r) sao cho ∗ 1 B(x, r) ⊂ U. Lấy m ∈ N sao cho m < r. Vì X khả ly, nên tồn tại an ∈ A 1 1 sao cho an ∈ B(x, 2m ). Khi đó ta có x ∈ B(an, 2m ) ⊂ B(x, r) ⊂ U. Vậy X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 62 / 111
3.2.6. Định lý. Giả sử (X , d) là không gian giả mêtric. Với mỗi x, y ∈ X ta đặt e(x, y) = min{1, d(x, y)}. Khi đó (X , e) là không gian giả mêtric và tôpô của nó trùng với tôpô của không gian (X , d). Do đó, mỗi không gian giả mêtric đồng phôi với một không gian giả mêtric có đường kính không vượt quá 1. Chứng minh dành cho đọc giả, xem [2]. 3.2.7. Định lý. Giả sử (Xn, dn) là một dãy các không gian giả mêtric ∞ Q có đường kính bé hơn hoặc bằng 1. Ký hiệu X = Xn. Với mỗi cặp n=1 ∞ P −n x = (xn), y = (yn) ∈ X ta đặt d(x, y) = 2 dn(xn, yn). Khi đó n=1 ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric Giả sử A là tập con của không gian giả mêtric (X , d). Ta gọi số sup{d(x, y): x, y ∈ A} là đường kính của tập A và ký hiệu là diam A. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 63 / 111
3.2.7. Định lý. Giả sử (Xn, dn) là một dãy các không gian giả mêtric ∞ Q có đường kính bé hơn hoặc bằng 1. Ký hiệu X = Xn. Với mỗi cặp n=1 ∞ P −n x = (xn), y = (yn) ∈ X ta đặt d(x, y) = 2 dn(xn, yn). Khi đó n=1 ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric Giả sử A là tập con của không gian giả mêtric (X , d). Ta gọi số sup{d(x, y): x, y ∈ A} là đường kính của tập A và ký hiệu là diam A. 3.2.6. Định lý. Giả sử (X , d) là không gian giả mêtric. Với mỗi x, y ∈ X ta đặt e(x, y) = min{1, d(x, y)}. Khi đó (X , e) là không gian giả mêtric và tôpô của nó trùng với tôpô của không gian (X , d). Do đó, mỗi không gian giả mêtric đồng phôi với một không gian giả mêtric có đường kính không vượt quá 1. Chứng minh dành cho đọc giả, xem [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 63 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric Giả sử A là tập con của không gian giả mêtric (X , d). Ta gọi số sup{d(x, y): x, y ∈ A} là đường kính của tập A và ký hiệu là diam A. 3.2.6. Định lý. Giả sử (X , d) là không gian giả mêtric. Với mỗi x, y ∈ X ta đặt e(x, y) = min{1, d(x, y)}. Khi đó (X , e) là không gian giả mêtric và tôpô của nó trùng với tôpô của không gian (X , d). Do đó, mỗi không gian giả mêtric đồng phôi với một không gian giả mêtric có đường kính không vượt quá 1. Chứng minh dành cho đọc giả, xem [2]. 3.2.7. Định lý. Giả sử (Xn, dn) là một dãy các không gian giả mêtric ∞ Q có đường kính bé hơn hoặc bằng 1. Ký hiệu X = Xn. Với mỗi cặp n=1 ∞ P −n x = (xn), y = (yn) ∈ X ta đặt d(x, y) = 2 dn(xn, yn). Khi đó n=1 Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 63 / 111
3.2.8. Định nghĩa. Cho hai không gian giả mêtric (X , d) và (Y , e). ánh xạ f :(X , d) → (Y , e) được gọi là đẳng cự nếu d(x, y) = e[f (x), f (y)] với mọi x, y ∈ X . Nhận xét. Mỗi ánh xạ đẳng cự là liên tục và mỗi ánh xạ đẳng cự lên giữa các không gian mêtric là một phép đồng phôi. Tích của hai ánh xạ đẳng cự là một ánh xạ đẳng cự. ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric (a) d là một giả mêtric trên X ; (b) Tôpô giả mêtric trên X trùng với tôpô tích. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 64 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.2 Không gian mêtric và giả mêtric (a) d là một giả mêtric trên X ; (b) Tôpô giả mêtric trên X trùng với tôpô tích. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. 3.2.8. Định nghĩa. Cho hai không gian giả mêtric (X , d) và (Y , e). ánh xạ f :(X , d) → (Y , e) được gọi là đẳng cự nếu d(x, y) = e[f (x), f (y)] với mọi x, y ∈ X . Nhận xét. Mỗi ánh xạ đẳng cự là liên tục và mỗi ánh xạ đẳng cự lên giữa các không gian mêtric là một phép đồng phôi. Tích của hai ánh xạ đẳng cự là một ánh xạ đẳng cự. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 64 / 111
3.3.3. Định lý. Mỗi không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai là một không gian Linđơlôp. Chứng minh. Giả sử X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ 2 với cơ sở đếm được B và U là phủ mở bất kỳ của của X . Vì mỗi phần tử của U là hợp của một họ nào đó các phần tử của B, nên tồn tại họ con C của B, phủ X sao cho mỗi phần tử của C được chứa trong ChươngIII. Mêtric hoá 3.3 Mêtric hoá 3.3. Mêtric hoá 3.3.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là giả mêtric hoá được nếu tồn tại một giả mêtric d trên X sao cho tôpô giả mêtric của nó trùng với tôpô xuất phát của X 3.3.2. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian Linđơlôp nếu mỗi phủ mở của X đều chứa một phủ con đếm được. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 65 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.3 Mêtric hoá 3.3. Mêtric hoá 3.3.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là giả mêtric hoá được nếu tồn tại một giả mêtric d trên X sao cho tôpô giả mêtric của nó trùng với tôpô xuất phát của X 3.3.2. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian Linđơlôp nếu mỗi phủ mở của X đều chứa một phủ con đếm được. 3.3.3. Định lý. Mỗi không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai là một không gian Linđơlôp. Chứng minh. Giả sử X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ 2 với cơ sở đếm được B và U là phủ mở bất kỳ của của X . Vì mỗi phần tử của U là hợp của một họ nào đó các phần tử của B, nên tồn tại họ con C của B, phủ X sao cho mỗi phần tử của C được chứa trong Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 65 / 111
3.3.4. Định lý. Mỗi không gian Linđơlôp, chính qui là không gian chuẩn tắc. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. 3.3.5. Định lý. Giả sử X là không gian T1-chính qui, thoả mãn tiên đề đếm được thứ 2. Khi đó X đồng phôi với một không gian con của ∞ Qω = Q Q. Do đó, X là mêtric hoá được. n=1 Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng tồn tại một họ đếm được các ánh xạ liên tục từ X vào Q tách các điểm và tập đóng. Thật vậy, gọi B là cơ sở đếm được của tôpô trên X và U = {(U, V ): U, V ∈ B sao cho U ⊂ V }. Khi đó U là họ đếm được. ChươngIII. Mêtric hoá 3.3 Mêtric hoá một phần tử nào đó của họ U. Với mỗi B ∈ C ký hiệu UB ∈ U sao cho B ⊂ UB . Khi đó họ D = {UB : B ∈ C} là một họ con đếm được của họ U mà phủ X . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 66 / 111
3.3.5. Định lý. Giả sử X là không gian T1-chính qui, thoả mãn tiên đề đếm được thứ 2. Khi đó X đồng phôi với một không gian con của ∞ Qω = Q Q. Do đó, X là mêtric hoá được. n=1 Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng tồn tại một họ đếm được các ánh xạ liên tục từ X vào Q tách các điểm và tập đóng. Thật vậy, gọi B là cơ sở đếm được của tôpô trên X và U = {(U, V ): U, V ∈ B sao cho U ⊂ V }. Khi đó U là họ đếm được. ChươngIII. Mêtric hoá 3.3 Mêtric hoá một phần tử nào đó của họ U. Với mỗi B ∈ C ký hiệu UB ∈ U sao cho B ⊂ UB . Khi đó họ D = {UB : B ∈ C} là một họ con đếm được của họ U mà phủ X . 3.3.4. Định lý. Mỗi không gian Linđơlôp, chính qui là không gian chuẩn tắc. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 66 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.3 Mêtric hoá một phần tử nào đó của họ U. Với mỗi B ∈ C ký hiệu UB ∈ U sao cho B ⊂ UB . Khi đó họ D = {UB : B ∈ C} là một họ con đếm được của họ U mà phủ X . 3.3.4. Định lý. Mỗi không gian Linđơlôp, chính qui là không gian chuẩn tắc. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. 3.3.5. Định lý. Giả sử X là không gian T1-chính qui, thoả mãn tiên đề đếm được thứ 2. Khi đó X đồng phôi với một không gian con của ∞ Qω = Q Q. Do đó, X là mêtric hoá được. n=1 Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng tồn tại một họ đếm được các ánh xạ liên tục từ X vào Q tách các điểm và tập đóng. Thật vậy, gọi B là cơ sở đếm được của tôpô trên X và U = {(U, V ): U, V ∈ B sao cho U ⊂ V }. Khi đó U là họ đếm được. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 66 / 111
3.3.6. Định lý. Giả sử X là T1-không gian. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương (a) X là không gian chính qui, thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai; (b) X đồng phôi với không gian con của khối lập phương Qω; (c) X là mêtric hoá được và khả ly. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. ChươngIII. Mêtric hoá 3.3 Mêtric hoá Theo các Định lý 3.3.3, Định lý 3.3.4 và Định lý 1.5.12, với mỗi cặp (U, V ) ∈ U, tồn tại một ánh xạ liên tục fU,V : X → Q sao cho f (U) = 0 và f (X \ V ) = 1. Đặt F = {fU,V :(U, V ) ∈ U}. Rõ ràng F là họ đếm được. Ta sẽ chứng minh rằng F tách các điểm và tập đóng. Thật vậy, với bất kỳ tập đóng B và bất kỳ x ∈ X \ B, chọn V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ X \ B và chọn (U, V ) ∈ U sao cho x ∈ U ⊂ U ⊂ V . Khi đó fU,V ∈ F thoả mãn f (x) = 0 và f (B) = 1, hay f (x) ∈/ f (B). Vì thế theo Bổ đề 3.1.3, ánh xạ định giá e : X → Q Q = Qω là phép đồng phôi. f ∈F Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 67 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.3 Mêtric hoá Theo các Định lý 3.3.3, Định lý 3.3.4 và Định lý 1.5.12, với mỗi cặp (U, V ) ∈ U, tồn tại một ánh xạ liên tục fU,V : X → Q sao cho f (U) = 0 và f (X \ V ) = 1. Đặt F = {fU,V :(U, V ) ∈ U}. Rõ ràng F là họ đếm được. Ta sẽ chứng minh rằng F tách các điểm và tập đóng. Thật vậy, với bất kỳ tập đóng B và bất kỳ x ∈ X \ B, chọn V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ X \ B và chọn (U, V ) ∈ U sao cho x ∈ U ⊂ U ⊂ V . Khi đó fU,V ∈ F thoả mãn f (x) = 0 và f (B) = 1, hay f (x) ∈/ f (B). Vì thế theo Bổ đề 3.1.3, ánh xạ định giá e : X → Q Q = Qω là phép đồng phôi. f ∈F 3.3.6. Định lý. Giả sử X là T1-không gian. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương (a) X là không gian chính qui, thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai; (b) X đồng phôi với không gian con của khối lập phương Qω; (c) X là mêtric hoá được và khả ly. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 67 / 111
3.3.8. Định nghĩa. Phủ B của X được gọi là cái mịn của cái phủ U nếu mỗi phần tử B ∈ B tồn tại U ∈ U sao cho B ⊂ U. 3.3.9. Định lý. Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương (a) X là không gian mêtric hoá được; (b) X là T3-không gian có một cơ sở σ-hữu hạn địa phương; (c) X là T3-không gian có một cơ sở σ-rời rạc. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. ChươngIII. Mêtric hoá 3.3 Mêtric hoá 3.3.7. Định nghĩa. Họ U các tập con của không gian tôpô X được ∞ S gọi là họ σ-hữu hạn địa phương (σ-rời rạc) nếu U = Un, trong đó n=1 mỗi Un, n = 1, 2, là họ hữu hạn địa phương (tương ứng, rời rạc). Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 68 / 111
3.3.9. Định lý. Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương (a) X là không gian mêtric hoá được; (b) X là T3-không gian có một cơ sở σ-hữu hạn địa phương; (c) X là T3-không gian có một cơ sở σ-rời rạc. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. ChươngIII. Mêtric hoá 3.3 Mêtric hoá 3.3.7. Định nghĩa. Họ U các tập con của không gian tôpô X được ∞ S gọi là họ σ-hữu hạn địa phương (σ-rời rạc) nếu U = Un, trong đó n=1 mỗi Un, n = 1, 2, là họ hữu hạn địa phương (tương ứng, rời rạc). 3.3.8. Định nghĩa. Phủ B của X được gọi là cái mịn của cái phủ U nếu mỗi phần tử B ∈ B tồn tại U ∈ U sao cho B ⊂ U. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 68 / 111
ChươngIII. Mêtric hoá 3.3 Mêtric hoá 3.3.7. Định nghĩa. Họ U các tập con của không gian tôpô X được ∞ S gọi là họ σ-hữu hạn địa phương (σ-rời rạc) nếu U = Un, trong đó n=1 mỗi Un, n = 1, 2, là họ hữu hạn địa phương (tương ứng, rời rạc). 3.3.8. Định nghĩa. Phủ B của X được gọi là cái mịn của cái phủ U nếu mỗi phần tử B ∈ B tồn tại U ∈ U sao cho B ⊂ U. 3.3.9. Định lý. Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương (a) X là không gian mêtric hoá được; (b) X là T3-không gian có một cơ sở σ-hữu hạn địa phương; (c) X là T3-không gian có một cơ sở σ-rời rạc. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 68 / 111
4.1.3. Định lý. Không gian tôpô (X , T ) là không gian compắc khi và chỉ khi mỗi họ có tâm các tập con đóng của X đều có giao khác rỗng. Chứng minh. Cần. Giả sử X là không gian compắc và F là Chương IV. Không gian compắc 4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản 4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản 4.1.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X được là không gian compắc nếu mỗi phủ mở của X chứa một phủ con hữu hạn. Tập con A của không gian tôpô X được là tập compắc nếu không gian con A với tôpô cảm sinh là không gian compắc . 4.1.2. Định nghĩa. Họ U các tập con của không gian tôpô X được gọi là có tính giao hữu hạn (hay là họ có tâm) nếu giao của họ hữu hạn bất kỳ các phần tử thuộc U đều khác rỗng. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 69 / 111
Chương IV. Không gian compắc 4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản 4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản 4.1.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X được là không gian compắc nếu mỗi phủ mở của X chứa một phủ con hữu hạn. Tập con A của không gian tôpô X được là tập compắc nếu không gian con A với tôpô cảm sinh là không gian compắc . 4.1.2. Định nghĩa. Họ U các tập con của không gian tôpô X được gọi là có tính giao hữu hạn (hay là họ có tâm) nếu giao của họ hữu hạn bất kỳ các phần tử thuộc U đều khác rỗng. 4.1.3. Định lý. Không gian tôpô (X , T ) là không gian compắc khi và chỉ khi mỗi họ có tâm các tập con đóng của X đều có giao khác rỗng. Chứng minh. Cần. Giả sử X là không gian compắc và F là Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 69 / 111
Chương IV. Không gian compắc 4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản một họ có tâm các tập con đóng của X . Ta cần chứng minh rằng T{U : U ∈ F} 6= φ. Giả sử rằng T{U : U ∈ F} = φ. Khi đó ta có X \ (T{U : U ∈ F}) = S{X \ U : U ∈ F} = X . Vì X \ U là tập mở với mọi U ∈ F và X compắc , nên tồn tại họ hữu hạn U1, , Un sao cho n n S T (X \ Ui ) = X . Vì thế ta có Ui = φ. Điều này mâu thuẩn với giả i=1 i=1 thiết F là họ có tâm. Đủ. Giả sử U là phủ mở bất kỳ của không gian tôpô X . Nếu không tồn tại họ hữu hạn nào của U sao cho hợp của chúng phủ X , nghĩa là họ F = {X \ U : U ∈ U} là họ các tập con đóng của X có tính giao hữu hạn. Vì thế theo giả thiết điều kiện đủ, họ F có giao khác rỗng, nghĩa [ là T (X \ U) 6= φ. Suy ra X 6= {U : U ∈ U}. Điều này mâu thuẩn U∈U với giả thiết U là cái phủ của X . Vậy X là không gian compắc . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 70 / 111
4.1.6. Bổ đề. Mỗi dãy trong không gian tôpô X có điểm giới hạn khi và chỉ khi mỗi tập con vô hạn của X có điểm ω-giới hạn. Chứng minh xem tài liệu tham khảo[2]. 4.1.7. Bổ đề. Nếu X là không gian Linđơlôp và mỗi dãy trong X có điểm giới hạn, thì X là không gian compắc. Chứng minh. Giả sử U là phủ mở bất kỳ của không gian tôpô X . Vì X là không gian Linđơlôp, nên tồn tại một phủ con đếm được U1 của U, Chương IV. Không gian compắc 4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản 4.1.4. Mệnh đề. Hợp hữu hạn các tập con compắc của không gian tôpô X là tập compắc. Chứng minh dành cho độc giả. 4.1.5. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, A ⊂ X . Điểm x thuộc không gian tôpô X được gọi là điểm ω-giới hạn của tập A nếu mỗi lân cận của điểm x chứa vô hạn điểm của tập A. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 71 / 111
4.1.7. Bổ đề. Nếu X là không gian Linđơlôp và mỗi dãy trong X có điểm giới hạn, thì X là không gian compắc. Chứng minh. Giả sử U là phủ mở bất kỳ của không gian tôpô X . Vì X là không gian Linđơlôp, nên tồn tại một phủ con đếm được U1 của U, Chương IV. Không gian compắc 4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản 4.1.4. Mệnh đề. Hợp hữu hạn các tập con compắc của không gian tôpô X là tập compắc. Chứng minh dành cho độc giả. 4.1.5. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, A ⊂ X . Điểm x thuộc không gian tôpô X được gọi là điểm ω-giới hạn của tập A nếu mỗi lân cận của điểm x chứa vô hạn điểm của tập A. 4.1.6. Bổ đề. Mỗi dãy trong không gian tôpô X có điểm giới hạn khi và chỉ khi mỗi tập con vô hạn của X có điểm ω-giới hạn. Chứng minh xem tài liệu tham khảo[2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 71 / 111
Chương IV. Không gian compắc 4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản 4.1.4. Mệnh đề. Hợp hữu hạn các tập con compắc của không gian tôpô X là tập compắc. Chứng minh dành cho độc giả. 4.1.5. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, A ⊂ X . Điểm x thuộc không gian tôpô X được gọi là điểm ω-giới hạn của tập A nếu mỗi lân cận của điểm x chứa vô hạn điểm của tập A. 4.1.6. Bổ đề. Mỗi dãy trong không gian tôpô X có điểm giới hạn khi và chỉ khi mỗi tập con vô hạn của X có điểm ω-giới hạn. Chứng minh xem tài liệu tham khảo[2]. 4.1.7. Bổ đề. Nếu X là không gian Linđơlôp và mỗi dãy trong X có điểm giới hạn, thì X là không gian compắc. Chứng minh. Giả sử U là phủ mở bất kỳ của không gian tôpô X . Vì X là không gian Linđơlôp, nên tồn tại một phủ con đếm được U1 của U, Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 71 / 111
Chương IV. Không gian compắc 4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản chẳng hạn U1 = {U1, U2, }. Bây giờ ta xây dựng một phủ hữu hạn của X từ phủ U1 như sau: Đặt V1 = U1. Với mỗi p ≥ 2 ta đặt Vp là tập hợp đầu tiên trong các tập Un mà Un không bị phủ bởi các tập V1, V2, , Vp−1. Quá trình xây dựng này được kết thúc sau một số hữu hạn bước. Khi đó họ hữu hạn {Vi } là một họ con hữu hạn của họ U và họ {Vi } phủ X . Giả sử quá trình trên kéo dài ra vô hạn, nghĩa là với mỗi p ≥ 2 ta có thể chọn được phần tử xp ∈ X sao cho xp ∈/ Vi với mỗi i q để xp ∈ Vq. Điều này mâu thuẩn với cách xây dựng dãy {xp}. Điều mâu thuẩn này chứng tỏ cách xây dựng các tập Vi kết thúc sau một số hữu hạn bước. Vậy X là không gian compắc. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 72 / 111
4.1.9. Mệnh đề. Gỉa sử X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Khi đó các điều kiện sau là tương đương (a) Mỗi tập con vô hạn của X có điểm ω-giới hạn; (b) Mỗi dãy trong X có điểm giới hạn; Chương IV. Không gian compắc 4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản 4.1.8. Bổ đề. Nếu X là không gian compắc , thì mỗi dãy điểm của X có điểm giới hạn. Chứng minh. Giả sử X là không gian compắc và {xn} là một dãy bất kỳ trong X . Với mỗi n ∈ N, ký hiệu An = {xm : m ≥ n}. Rõ ràng là họ {An} có là họ có tính giao hữu hạn và họ {An} cũng có tính giao ∞ T hữu hạn. Vì X compắc , tồn tại điểm x ∈ An. Khi đó x là điểm giới n=1 hạn của dãy {xn}. Vì nếu ngược lại, tồn tại một lân cận U của điểm x và một số p ∈ N sao cho U ∩ Ap = φ. Vì thế x ∈/ Ap. Điều mâu thuẩn này chứng tỏ x là điểm giới hạn của {xn}. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 73 / 111
Chương IV. Không gian compắc 4.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản 4.1.8. Bổ đề. Nếu X là không gian compắc , thì mỗi dãy điểm của X có điểm giới hạn. Chứng minh. Giả sử X là không gian compắc và {xn} là một dãy bất kỳ trong X . Với mỗi n ∈ N, ký hiệu An = {xm : m ≥ n}. Rõ ràng là họ {An} có là họ có tính giao hữu hạn và họ {An} cũng có tính giao ∞ T hữu hạn. Vì X compắc , tồn tại điểm x ∈ An. Khi đó x là điểm giới n=1 hạn của dãy {xn}. Vì nếu ngược lại, tồn tại một lân cận U của điểm x và một số p ∈ N sao cho U ∩ Ap = φ. Vì thế x ∈/ Ap. Điều mâu thuẩn này chứng tỏ x là điểm giới hạn của {xn}. 4.1.9. Mệnh đề. Gỉa sử X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Khi đó các điều kiện sau là tương đương (a) Mỗi tập con vô hạn của X có điểm ω-giới hạn; (b) Mỗi dãy trong X có điểm giới hạn; Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 73 / 111