Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 6: Lý thuyết ước lượng

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 6: Lý thuyết ước lượng

1. Chương 6. Lý thuyết ước lượng §1. Khái niệm chung về ước lượng. -Ký hiệu  là a,p, hoặc  2 -Việc dùng kết quả của mẫu để đánh giá 1 tham số  nào đĩ của tổng thể được gọi là ước lượng  1.Ước lượng điểm: Chọn G=G(W),sau đĩ lấy  G 1.Khơng chệch: EG()  2.Vững: lim G  n 3.Hiệu quả: DG( ) min 4.Ước lượng cĩ tính hợp lý tối đa( ứng với xác suất lớn nhất-xem SGK) 1
2. Kết quả: a x : cĩ đủ 4 tính chất trên. p f : cĩ đủ 4 tính chất trên.  2 S 2 : Khơng chệch   2 S 2 : Hợp lý tối đa 2.Ước lượng khoảng: Định nghĩa: Khoảng  1 ,  2 được gọi là khoảng ước lượng của tham số  với độ tin cậy  1 nếu:  1   2 1 I 2  1 -độ dài khoảng ước lượng hay khoảng tin cậy. 2
3. Sơ đồ giải: Chọn G W,  sao cho G cĩ quy luật phân phối xác suất đã biết, tìm 2 số g 1 , g 2 sao cho  g1 G g 2 1 g1 g w, g 2 1   2 §2. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể p. Bài tốn: từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n cĩ tỷ lệ mẫu f. Với độ tin cậy 1 ,hãy tìm khoảng tin cậy của p. 3
4. Giải: Chọn f p n GU  0,1 nếu n đủ lớn Xét f 1 f 1, 2 0 : 1 2 u U u 1 11 2 f p n Z2 u u 1 Z 2 1 1f 1 f 2 2 f 1 f f 1 f f Z p f Z n2 2 n 2 1 4
5. f 1 f 1) 1 , 2 0 p f . Z 2 n (ước lượng tỷ lệ tối đa) f 1 f 2) 1 0, 2 f . Z 2 p n (ước lượng tỷ lệ tối thiểu) f 1 f 3) 1 2  .Z - độ chính xác 2 n f  p f  (Ước lượng đối xứng) I 2 (Độ dài khoảng tin cậy) f 1 f 2 n 2 . Z 1  5
6. yes  0 : n f    0 STOP no f 1 f 2 n 2 . Z 1  0 .Quy ước: Nếu đề bài khơng nĩi rõ thì ta xét ước lượng đối xứng. Ví dụ 2.1: Để điều tra số cá trong hồ ,cơ quan quản lý đánh bắt 300 con,làm dấu rồi thả xuống hồ,lần 2 bắt ngẫu nhiên 400 con thấy 60 con cĩ dấu. Hãy xác định số cá trong hồ với độ tin cậy bằng 0.95. 6
7. Giải: Gọi N là số cá trong hồ 300 P là tỷ lệ cá bị đánh dấu trong hồ :  N n 400, m 60 f 0,15 f.(1 f ) 0,15.0,85  .Z .1,96 n 0,05 400 300 f   f  ?? N N 7
8. Ví dụ 2.2:Cần lập một mẫu ngẫu nhiên với kích thước bao nhiêu để tỷ lệ phế phẩm của mẫu là 0,2 ;độ dài khoảng tin cây đối xứng là 0,02 và độ tin cây là 0.95. Bài giải:  0,95,I 0,02, f 0,2 n I 0,02  0,01 0,2.0,8 2 n 2 . 1,96 1 0,01 8
9. §3. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể a Bài tốn: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n cĩ trung bình mẫu x và phương sai điều chỉnh mẫu S 2. Với độ tin cậy  1 , tìm khoảng ước lượng của trung bình tổng thể a. Bài giải.Ta xét 3 trường hợp: 2 TH1. Đã biết phương sai tổng thể  x a n Chọn GUN ~ 0,1    Xét 0: x . Z a x . Z 1,2 1 2n 2 2 n 2 1 9
10.  1. , 0 a x . Z 1 2n 2 (Ước lượng trung bình tối đa)  2. 0, , x . Z a 1 2n 2 (Ước lượng trung bình tối thiểu)  3. 1 2  .Z -độ chính x ác 2 n x  a x  (ước lượng đối xứng) I 2 - độ dài khoảng ước lượng đối xứng 2  n . Z 1 .  10
11. TH2. Chưa biết phương sai tổng thể 2, n 30 Chọn: x a n GUN ~ 0,1 S SS 0; x . Z a x . Z 1,2 1 2n 2 2 n 2 1 Kết quả tương tự TH1, thay  bằng S ta cĩ: 11
12. S . 1. 1 , 2 0 a x . Z 2 (Ước lượng trung bình tối đa) n S 2 . 0, , x . Z a 1 2n 2 (Ước lượng trung bình tối thiểu) S 3. 1 2  .Z -độ chính xác 2 n x  a x  (ước lượng đối xứng) I 2 - độ dài khoảng ước lượng đối xứng 2 S n . Z 1 .  Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6 12 @Copyright 2010
13. 2 . TH3.Chưa biết phương sai tổng thể  , n 30 x a n Chọn G T ~ T n 1 S Xét 1,2 0; 1 2 t T t 1 11 2 n 1 x a n n 1 TT 2 1S 2 2 SS x T n 1 a x . T n 1 n2 2 n 2 1 n 1 Kết quả tương tự TH2 , thay Z bằng T ta cĩ: 13
14. . S 1. , 0 a x . T n 1 1 2n 2 (Ước lượng trung bình tối đa) S 2 . 0, , x . T n 1 a 1 2n 2 (Ước lượng trung bình tối thiểu) S n 1 3. 1 2  .T -độ chính xác 2 n x  a x  (ước lượng đối xứng) I 2 - độ dài khoảng ước lượng đối xứng 2 S (n 1) n . T 1.  Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 6 14 @Copyright 2010
15. Ví dụ 3.1. Hao phí nguyên liệu cho 1 sản phẩm là 1 đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn vớí độ lệch chuẩn  0,03. Người ta sản xuất thử 36 sản phẩm và thu được bảng số liệu: Mức hao phí 19,5-19,7 19,7-19,9 19,9-20,1 20,1-20,3 nguyên liệu(gam) Số sản phẩm 6 8 18 4 Với độ tin cậy 0,99,hãy ước lượng mức hao phí nguyên liệu trung bình cho 1 sản phẩm nĩi trên. 15
16. TH1.  0,03,x 19,91111, 0,01 Z0,01 2,575  0,03  .Z .2,575 0,012875 n 36 x  a x  Cách bấm máy: .03 2.575: 36  SH S VAR x ANS x  SH S VAR x 2 ANS x  16
17. Ví dụ 3.2. Để ước lượng xăng hao phí trung bình cho 1 loại xe ơ tơ chạy trên đoạn đường từ A đến B ,chạy thử 49 lần trên đoạn đường này ta cĩ bảng số liệu: Lượng xăng 9,6-9,8 9,8-10,0 10,0-10,2 10,2-10,4 10,4-10,6 hao phí(lit) Số lần 4 8 25 8 4 Với độ tin cậy 0.95,hãy tìm khoảng tin cậy cho mức hao phí xăng trung bình của loại xe nĩi trên. 17
18. Giải TH2 : n 49 30; x 10,1 ; S 0,2  1 0,95 Z0,05 1,96 . S 0,2  .Z 1,96 0,056 n 7 10,044 a 10,15 6 Cách bấm máy SH STAT VAR x n 1 1.96 : 49 SH STO A  SH STAT VAR x ALPHA A x  SH STAT VAR x ALPHA A x  18
19. §4. Ước lượng khoảng của phương sai tổng thể  2 Bài tốn: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n, cĩ phương sai hiệu chỉnh mẫu S 2 . Với độ tin cậy  hãy tìm khoảng ước lượng của phương sai tổng thể  2 Bài giải 2 2 n 1 . S 2 Chọn G  2  ( n 1), 1,2 0 : 1 2  2(n 1)  2  2 (n 1) 1 1 1 2 n 1 S 2 n 1 S 2  2 2(n 1)  2 ( n 1) 21 1 Quy ước: Ta lấy (nếu khơng cho , ) 1 2 2 1 2 19
20. Ví dụ 3.1: Để định mức gia cơng 1 chi tiết máy,người ta theo dõi quá trình gia cơng 25 chi tiết máy,và thu được bảng số liệu sau: Thời gian gia 15-17 17-19 19-21 21-23 23-25 25-27 cơng (phút) Số chi tiết máy 1 3 4 12 3 2 a)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho thời gian gia cơng trung bình 1 chi tiết máy. b)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho phương sai. 20
21. Giải a)TH3 n 25 ; x 21,52 ; S 2,4 ( 24 )  0,95 T0,05 t 24:0,025 2,064 S 2, 4  .T n 1 .2, 06 4 n 5 x  a x  b) 2 2 0,975(24) 12,40 ;  0,025 (24) 39,36 24.2,42 24.2,4 2  2 39, 36 12, 40 21