Bài giảng Lý thuyết tấm và vỏ mỏng - Phần II: Lý thuyết vỏ mỏng - Trần Minh Tú

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết tấm và vỏ mỏng - Phần II: Lý thuyết vỏ mỏng - Trần Minh Tú

1. LOGONational University of Civil Engineering LÝ THUYẾT TẤM VÀ VỎ MỎNG (P.II) TRẦN MINH TÚ TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG July 2012 1
2. PHẦN II LÝ THUYẾT vỎ MỎNG 2 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
3. Lý thuyết vỏ mỏng 1 Tổng quan 2 Lý thuyết vỏ mỏng 3 Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men 4 Lý材料力学课程的thuyết vỏ thoải改革与建设 材料力学课程的改革与建设 3 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
4. 4 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
5. 1.Tổng quan 1.1. Định nghĩa: Vỏ mỏng là vật thể có hai mặt cong giới hạn mà khoảng cách giữa chúng rất nhỏ so với các kích thước khác. • Mặt phẳng chia đều bề dày vỏ gọi là mặt trung bình hoặc mặt trung gian của tấm. Giao tuyến của mặt trung bình với các mặt bên gọi là chu tuyến của vỏ. • Chỉ xét những vỏ có chiều dày không đổi 5 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
6. 1.Tổng quan 6 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
7. 1.Tổng quan 7 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
8. 1.Tổng quan 1.2. Phân loại vỏ. • Phân loại vỏ theo tỉ số h/R (h-chiều dày vỏ; R-bán kính cong mặt t.b) h 1 vỏ thuộc loại màng mỏng, chỉ chịu các lực màng mà R 200 không chịu các mô men uốn, xoắn 11h vỏ mỏng, ngoài các lực màng còn chịu các mô men 200R 20 uốn, xoắn h 1 vỏ dày, trạng thái ứng suất là trạng thái ứng suất khối R 20 • Phân loại vỏ mỏng theo tỉ số w/R (w-chuyển vị theo phương chiều dày vỏ) - w/R 1/1000 : vỏ mỏng có chuyển vị blớn – dùng lý thuyết phi tuyến 8 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
9. 1.3. Hình học vi phân trong mặt cong • Một bề mặt W là quĩ tích những đầu mút vec tơ r xuât phát từ gốc O của hệ tọa độ tổng thể OXYZ, và là hàm của hai biến số độc lập a, b - Các biến của mặt cong biểu diễn dưới dạng vec tơ: hoặc dạng tọa độ: a, b: tọa độ cong của mặt - Dạng tham số: (*) X, Y, Z - tọa độ Descrates của điểm trên mặt cong. Khử a, b trong (*) ta nhận được pt mặt cong dạng ẩn: hoặc dạng tường minh: z = f (x,y) 9
10. 1.Tổng quan - Nếu a, b vuông góc tại mọi điểm thuộc bề mặt cong => Hệ tọa độ cong trực giao - Đạo hàm của vec tơ r theo các biến tọa độ cong: (khi a ┴ b) - Pt mặt cong trong hệ tọa độ trụ: F(r, z, q) = 0 - Pt mặt cong trong hệ tọa độ cầu: F(r, j, q) = 0 10 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
11. 1.Tổng quan 1.4. Đường cong chính, độ cong chính Xét điểm M trên bề mặt W, vẽ các đường cong qua M trên bề mặt W, tiếp tuyến tất cả các đường cong này tại M tạo thành mặt tiếp tuyến với bề mặt tại M Đường thẳng bất kỳ đi qua M, vuông góc với mặt tiếp tuyên gọi là pháp tuyến n của bề mặt W tại M Mặt pháp tuyến của bề mặt W tại M là mặt phẳng bất kỳ đi qua M và chứa pháp tuyến n (mặt phẳng aa, bb, cc) 11 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
12. 1.Tổng quan Giao tuyến của mặt pháp tuyến với mặt trung bình, là đường cong phẳng như hình vẽ, Xét hai điểm M và M1 lân cận nhau, pháp tuyến tại M và M1 gặp nhau tại O. Khi MM1=ds =>0, thì O gọi là tâm cong và OM gọi là bán kính cong r Độ cong là nghịch đảo của bán kính cong Tại một điểm thuộc bề mặt luôn tồn tại hai đường cong như trên, vuông góc với nhau có bán kính cong lớn nhất và bé nhất – gọi là các đường cong chính với các bán kính cong chính là R1, R2 và các độ cong chính tương ứng là k1, k2 1 • Độ cong Gauss:  kk12. RR12 12 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
13. 1.Tổng quan Phân loại vỏ theo độ cong Gauss: a. Vỏ có độ cong Gauss dương: vỏ cầu, vỏ e-lip b. Vỏ có độ cong Gauss âm: vỏ hyperbolic c. Vỏ có độ cong Gauss bằng không: vỏ trụ, vỏ nón Phân loại vỏ theo vỏ cong và vỏ thoải • Vỏ thoải: a<L/5 (a- chiều cao lớn nhất; L- chiều dài bé nhất) 13 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
14. Vỏ có độ cong Gauss dương 14 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
15. Vỏ có độ cong Gauss âm 15 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
16. Vỏ có độ cong Gauss bằng không 16 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
17. 1.Tổng quan Nghiên cứu hình học mặt cong là xác định chiều dài, diện tích, độ cong, độ xoắn các đường trên mặt cong => Biểu diễn qua các hệ số dạng toàn phương 1.4. Các dạng toàn phương của mặt cong Xét hai điểm lân cận nhau trên mặt cong: Ta có: Đặt: nếu a, b là các đường tọa độ cong vuông góc với nhau thì: Đặt: - Dạng toàn phương thứ nhất của mặt cong (dùng để xác định chiều dài) A, B – các hệ số La mê 17 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
18. 1.Tổng quan Có thể nhận thấy: => Hệ số La mê là những hệ số biến đổi gia số tọa độ thành gia số chiều dài đường tọa độ • Dạng toàn phương thứ hai của mặt cong: - Dạng toàn phương thứ hai của mặt cong mô tả dạng hình học của bề mặt có pt: r = r(a,b) - Độ cong của các tiết diện pháp tuyến trên bề mặt tại điểm M xác định bởi: 18 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
19. 1.Tổng quan • Mẫu số là dạng toàn phương thứ nhất của mặt cong, và tử số là dạng toàn phương thứ hai. Với các hệ số của dạng toàn phương thứ hai:: • Các hệ số b11, b22 đặc trưng cho độ cong pháp tuyến của đường cong tọa độ a=const và b=const và b12 đặc trưng cho sự xoắn của mặt cong • Dạng toàn phương thứ nhất và thứ hai cho phép ta xác định được dạng hình học của mặt cong (kích thước, diện tích, độ cong, ) 19 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
20. 1.Tổng quan Phân loại vỏ theo dạng hình học của mặt trung bình 1. Vỏ tròn xoay Vỏ trụ Vỏ nón 20 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
21. 1.Tổng quan 21 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
22. 1.Tổng quan Vỏ elipsoid Vỏ paraboloid Vỏ cầu 22 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
23. 1.Tổng quan 23 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
24. 24 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
25. 2. Lý thuyết vỏ mỏng • So với các bản mỏng, vỏ có đặc điểm nổi bật là dưới tác dụng của ngoại lực, các mô men uốn, xoắn cũng như các ứng lực cắt thường nhỏ hơn nhiều, nhưng các ứng lực dọc và ứng lực trượt lại lớn hơn nhiều so với các ứng lực tương tự trong tấm. Do vậy vỏ chủ yếu là chịu kéo và nén – là những trạng thái ứng lực thuần nhất cho nên trong vỏ vật liệu được sử dụng hợp lý hơn trong tấm. • Do vỏ có độ cong nên hình chiếu của các ứng lực dọc và trượt lên pháp tuyến của bề mặt vỏ tạo ra một trạng thái giống như “nền đàn hồi” dưới vỏ, Điều này giải thích tại sao độ bền và độ cứng của vỏ tăng hơn nhiều so với tấm. 25 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
26. 2. Lý thuyết vỏ mỏng 2.1. Các giả thiết • Lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi dựa trên những giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff . 1. Đoạn thẳng pháp tuyến của mặt trung bình trước biến dạng là thẳng và vuông góc với mặt trung bình trước, sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình và có độ dài không đổi. Giả thiết này cho phép bỏ qua các thành phần biến dạng theo phương vuông góc với mặt trung bình (biến dạng dài và biến dạng cắt) 2. Bỏ qua thành phần ứng suất pháp theo phương chiều dày Ngoài ra còn giả thiết rằng, chuyển vị điểm bất kỳ của vỏ là bé so với chiều dày vỏ. Vật liệu vỏ là đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng. 26 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
27. 2. Lý thuyết vỏ mỏng 2.2. Các thành phần chuyển vị Mặt trung bình của vỏ gắn với hệ trục tọa độ cong ab và hệ tọa độ vuông góc xyz. Các thành phần chuyển vị của điểm bất kỳ có khoảng cách z tới mặt trung bình uz, vz, wz: (2.1) u, v, w: các thành phần chuyển vị trên mặt trung bình (z=0) theo phương x, y, z 12, : các góc xoay quanh tiếp tuyến của các trục b và a 27 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
28. 2. Lý thuyết vỏ mỏng 2.3. Quan hệ biến dạng - chuyển vị (2.2) 28 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
29. 2. Lý thuyết vỏ mỏng Với: e1, e2 – các thành phần biến dạng theo các phương a, b g12 – biến dạng cắt trong mặt trung bình c1,, c 2 c 12 - thay đổi độ cong của mặt trung bình theo các đường tọa độ a, b Trong trường hợp tấm phẳng: Pt (2.2) trở thành: 2.4. Định luật Hooke: (2.3) 29 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
30. 2. Lý thuyết vỏ mỏng - ứng suất pháp trên các mặt có pháp tuyến // với các trục a, b và z - các thành phần biến dạng dài theo các phương a, b và z Theo giả thiết vỏ mỏng: Định luật Hooke theo (2.3) có thể biểu diễn dưới dạng: hoặc: (2.4) (2.5) 30 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
31. 2. Lý thuyết vỏ mỏng 2.5. Các thành phần ứng suất và nội lực (2.6) 31 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
32. 2. Lý thuyết vỏ mỏng (2.7) Sáu tp nội lực trong (2.6) và bốn tp mô men trong (2.7) đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại một điểm bất kỳ trong vỏ (2.8) 32 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
33. 2. Lý thuyết vỏ mỏng 2.6. Phương trình cân bằng của phân tố vỏ (2.9a) (2.9b) (2.9c) (2.9d) (2.9e) (2.9f) trong đó: - các tp lực bề mặt theo các phương a, b và z => 2.9a-f : Hệ pt cân bằng tĩnh của lý thuyết vỏ mỏng tổng quát 33
34. 2. Lý thuyết vỏ mỏng Novozhilov đề xuất đặt: Thì pt (2.9f) có dạng 0=0 => bỏ qua; rút Q1, Q2 từ (2.9d) và (2.9e) thay vào (2.9f): hệ pt (2.9) rút gọn lại chỉ còn 3 pt: (2.10a) (2.10b) (2.10c) 34 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
35. 2. Lý thuyết vỏ mỏng 2.7. Điều kiện biên Giả sử trên đường tọa độ b b* có các liên kết. Điều kiện biên trên đường này sẽ là: a. Biên tự do b. Biên ngàm c. Biên gối tựa di động d. Biên gối tựa cố định 35 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
36. 2. Lý thuyết vỏ mỏng  Các lý thuyết vỏ • Lý thuyết vỏ có thể phân loại theo trạng thái ứng lực hoặc hình dạng hình học của vỏ. • Ứng lực trong vỏ gồm ứng lực màng nằm trong mặt tiếp tuyến với mặt trung bình: N1, N2, N12(S) và ứng lực uốn, xoắn: M1, M2, M12, M21 (H) và lực cắt Q1,Q2. Tùy thuộc vào dạng hình học của vỏ, điều kiện biên, tải trọng tác động mà các ứng lực này có thể đóng vai trò chủ yếu hay thứ yếu. - Lý thuyết vỏ phi mô men (lý thuyết màng): bỏ qua các thành phần mô men và lực cắt: đơn giản, gần đúng. - Lý thuyết mô men: phức tạp, chính xác hơn • Theo hình dạng hình học: lý thuyết vỏ tròn xoay, vỏ trụ, vỏ cầu, 36 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
37. 37 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
38. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Dưới tải trọng và điều kiện biên thích hợp, các thành phần mô men uốn và xoắn bằng không hoặc bé nên có thể bỏ qua. Trạng thái ứng lực trong vỏ là trạng thái ứng lực màng. Lý thuyết vỏ tương ứng gọi là lý thuyết vỏ phi mô men (membrane theory of shells) Theo lý thuyết vỏ phi mô men: trong đó:: 3.1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Do bỏ qua các tp mô men nên lực cắt cũng bỏ qua, vì vậy: Hệ pt (2.10) trở thành: 38 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
39. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men  Điều kiện tồn tại của lý thuyết phi mô men [1] • Dạng hình học của vỏ trơn, không gẫy góc, không có những thay đổi đột ngột của độ cong. Bề dày vỏ nếu thay đổi cũng biến thiên liên tục. Vỏ không có sườn tăng cường. • Tải trọng tác động là những lực phân bố bề mặt liên tục, trơn. Trên vỏ không có lực hoặc mô men tập trung. • Liên kết trên vỏ không ngăn cản chuyển vị w theo phương pháp tuyến hoặc ngăn cản góc xoay (những đạo hàm của w). Những ngăn cản này sẽ làm phát sinh các phản lực theo phương các ứng lực uốn – xoắn. Như vậy các liên kết ở biên vỏ chỉ được phép nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến của mặt trung bình, chúng chỉ ngăn cản các chuyển vị u, v 39 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
40. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men (2.11a) (2.11b) (2.11c) trong đó: Từ (2.11) có thể thấy rằng: nếu biết các tp của tải phân bố, có thể xác định được 3 ứng lực màng N1, N2, S => xác định các tp biến dạng (2.12) 40 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
41. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men 3.2. Vỏ tròn xoay Sử dụng hệ tọa độ cầu – F(r, j, q) =0 (shells of revolution) Kinh tuyến là đường tọa độ a (a j), vĩ tuyến là đường tọa độ b (b q) z R2 j en ds R1 – bán kính cong đường kinh tuyến j R2 – bán kính cong của vòng tròn vĩ R1 tuyến vuông góc với đường kinh e1 tuyến r dr => Hệ số Lame’: A = R1; B = r = R2sinj 41 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
42. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men • Các phương trình cân bằng (2.13a) với: Hoặc: (2.13b) 42 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
43. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Các phương trình hình học và vật lý; (2.14) N1 – lực dọc kinh tuyến N – lực dọc vĩ tuyến 3.3. Vỏ tròn xoay chịu tải đối xứng trục 2 Giả sử vỏ tròn xoay chịu tải trọng đối xứng quanh trục z của vỏ; các đạo hàm theo q bằng không; thành phần tải trọng p2 theo phương x (phương vòng-phương vĩ tuyến) bằng không, tp chuyển vị theo phương vòng v = 0 Ta có: , các tp lực màng như hình vẽ trên 43 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
44. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Từ pt (2.13b1 và 2.13b3), sau một số biến đổi ta nhận được: Tích phân pt này từ j0 đến j: (*) j0 và j1 - góc xác định giới Trong đó: hạn trên và dưới của vỏ (0) - bán kính cong chính của vỏ tại mép N 1 – lực dọc kinh tuyến tại tương ứng với mép trên của vỏ tương ứng với góc chắn j0 và bk r044
45. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Giả sử ngoài p1,p2, vỏ còn chịu thêm tải trong đường q theo phương z dọc theo đường tròn vĩ tuyến ở mép trên vỏ tương ứng với j j0 Ta có: Thay vào (*) ta nhận được: ( ) Nhân 2 vế của ( ) với 2p ta có: ( ) Quan sát hình vẽ ta nhận thấy: • Vế trái của pt trên là hình chiếu lên phương thẳng đứng của lực dọc kinh tuyến tại vòng tròn vĩ tuyến tương ứng với góc j. • là phần diện tích vỏ giới hạn bởi vi phân góc dj . • và là hình chiếu của tải trọng bề mặt lên phương thẳng đứng. 45 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
46. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Như vậy vế phải của ( ) là hình chiếu của ngoại lực tác động lên phần vỏ đang xét theo phương thẳng đứng. Và ( ) có thể viết dưới dạng: Với: ( ) đồng thời cũng là điều kiện cân bằng tĩnh học: tổng hình chiếu các nội và ngoại lực lên phương z trục vỏ bằng không • Trường hợp vỏ kín (j0 = 0), lực dọc kinh tuyến trở thành: • Khi biết N1, lực dọc vĩ tuyến được rút ra từ pt (2.13b3): 46 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
47. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Các thành phần biến dạng và chuyển vị xác định theo: (2.15) u, w – chuyển vị theo phương tiếp tuyến và pháp tuyến đối với đường kinh tuyến (phương y và z trên hình vẽ): • Biết được N1, N2, ta có thể xác định được biến dạng e1, e2 từ đó xác định các thành phần chuyển vị u, w 47 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
48. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men 3.4. Vỏ trụ (cylindrical shells) • Ống trụ được tạo thành khi di chuyển đường thằng dọc theo một đường cong sao cho nó luộn song song với vị trí ban đầu • Sử dụng hệ tọa độ trụ. a x ; b q Các hằng số Lame: . Vỏ trụ hình dạng bất kỳ 48 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
49. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men . Vỏ trụ tròn xoay • Các phương trình cân bằng (2.16) 49 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
50. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men • Phương trình quan hệ chuyển vị - biến dạng (2.17) • Từ (2.16) ta rút ra: f1(q), f2(q) xác định từ điều kiện biên 50 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
51. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men 3.5. Vỏ côn (conical shells) Các phương trình cân bằng (2.18) 51 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
52. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Phương trình quan hệ chuyển vị - biến dạng 52 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
53. 53 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
54. 4. Lý thuyết vỏ thoải 4. 1. Lý thuyết gần đúng vỏ mỏng của Donnell-Mushtari-Vlasov  Lý thuyết gần đúng vỏ mỏng của Donnell-Mushtari-Vlasov dựa trên các giả thiết:  Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt  Ảnh hưởng của chuyển vị w lớn hơn nhiều so với u, v trong ứng xử uốn của vỏ • Quan hệ động học: 54 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
55. 4. Lý thuyết vỏ thoải • Các phương trình cân bằng: • Để giải Vlasov đề xuất hàm ứng suất f(a,b) thỏa mãn: 55 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
56. 4. Lý thuyết vỏ thoải 4.2. Lý thuyết vỏ thoải của Donnell-Mushtari-Vlasov Nếu pt mặt trung bình của vỏ thoải là z=z(x,y), thì: Phương trình quan hệ chuyển vị - biến dạng 56 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
57. TÀI LiỆU THAM KHẢO 1. PGS. TS. Lê Ngọc Hồng - Lý thuyết tấm và vỏ - Bài giảng Cao học 2. Nguyễn Văn Vượng - Lý thuyết đàn hồi ứng dụng 3. Ugural, A. C. Stresses in Plates and Shells. 2nd ed. New York, NY: McGraw- Hill, 1998. ISBN: 0070657696 4. Timoshenko, Stephen P., and S. Woinowsky-Krieger. Theory of Plates and Shells. 2nd ed. New York, NY: McGraw-Hill Companies, 1959. ISBN: 0070647798. 57 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com
58. LOGO 58