Bài giảng Lý thuyết môđun - Trương Công Quỳnh

59 trang ngocly 2780

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết môđun - Trương Công Quỳnh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_ly_thuyet_modun_truong_cong_quynh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết môđun - Trương Công Quỳnh

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN Bài giảng: LÝ THUYẾT MÔĐUN (Dành cho sinh viên năm thứ hai) Trương Công Quỳnh Đà Nẵng - 2007 i
MỤC LỤC MỤC LỤC 1 CHƯƠNG 1. MÔĐUN VÀ ĐỒNG CẤU 2 1. Định nghĩa môđun 2 2. Môđun con và môđun thương 4 3. Đồng cấu môđun 9 4. Bài tập 13 CHƯƠNG 2. MÔĐUN TỰ DO VÀ TÍCH TENXƠ 15 1. Tích và tổng trực tiếp của các môđun 15 2. Môđun tự do 19 3. Tích Tenxơ 21 4. Bài tập 27 CHƯƠNG 3. Dãy khớp 29 1. Dãy khớp ngắn 29 2. Dãy nửa khớp 33 3. Bài tập 41 CHƯƠNG 4. Môđun nội xạ và xạ ảnh 43 1. M-xạ ảnh và M-nội xạ 43 2. môđun xạ ảnh và nội xạ. 45 3. Bao nội xạ và bao xạ ảnh của một môđun. 51 4. Bài tập 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 1
CHƯƠNG 1 MÔĐUN VÀ ĐỒNG CẤU Trong toàn bộ bài giảng này, ta qui ước vành R có đơn vị khác không và được kí hiệu là 1. 1. Định nghĩa môđun 1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản. ĐỊNH NGHĨA 1.1. Cho R là vành. Một R-môđun phải M là: (1) nhóm cộng aben M cùng với (2) ánh xạ M × R −→ M (m, r) 7−→ mr được gọi là phép nhân môđun, thoả các điều kiện sau: (i) qui tắc kết hợp : (mr1)r2 = m(r1r2) (ii) qui tắc phân phối: (m1 + m2)r = m1r + m2r m(r1 + r2) = mr1 + mr2 (iii) qui tắc unita: m1 = m trong đó m, m1, m2 là các phần tử tuỳ ý của M, r1, r2 ∈ R. Lúc đó R được gọi là vành cơ sở. Nếu M là một R-môđun phải ta thường kí hiệu M = MR. Tương tự ta cũng định nghĩa R-môđun trái. Cho R, S là hai vành. Nhóm aben (M, +) là một song môđun R-bên phải S-bên trái (ký hiệu SMR) nếu (a) M là R-môđun phải và M là S-môđun trái. (b) Ta phải có (sx)r = s(xr), (r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M). Từ định nghĩa ta suy ra ngay các kết quả sau: MỆNH ĐỀ 1.2. Cho MR. Lúc đó ta có: 0M r = 0M , m0R = 0M , −(mr) = (−m)r = m(−r) với mọi m ∈ M, r ∈ R. CHỨNG MINH. Với mọi r ∈ R, ta cố định r, thì ánh xạ M −→ M 2
m 7−→ mr là một đồng cấu nhóm do điều kiện (m1 + m2)r = m1r + m2r. Vì vậy 0M r = 0M và (−m)r = −mr. Mặt khác nhờ điều kiện m(r1 + r2) = mr1 + mr2, khi cố định m thì ánh xạ R −→ M r 7−→ mr là một đồng cấu nhóm cộng. Vì vậy ta có m0R = 0M và m(−r) = −mr. Đó là điều phải chứng minh. ¤ VÍ DỤ 1.3. (1) Không gian vectơ chính là một môđun trên một trường R. (2) Mọi nhóm aben cộng đều có thể xem như là một ZZ-môđun. Ngược lại, mọi ZZ- môđun đều thu được từ nhóm aben cộng. (3) Vành R có thể được xem như là môđun phải (trái) trên chính nó. Nhờ trường hợp này người ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất của vành thông qua môđun trên vành đó. (4) Xét R là vành giao hoán có đơn vị. Lúc đó vành R[x] các đa thức ẩn x lấy hệ tử trong R. Xét R[x] với phép cộng thông thường cùng với phép nhân môđun xác định như sau: n n r(a0 + a1x + + anx ) = ra0 + ra1x + + ranx với mọi r ∈ R, mọi a0, a1, , an ∈ R. Lúc đó có thể dễ dàng kiểm chứng được R[x] là một R-môđun. (5) Giả sử R = IR là trường các số thực, M là tập hợp các véctơ thông thường có gốc tại một điểm O của không gian thông thường. Ta định nghĩa tổng của hai véctơ bằng quy tắc hình bình hành, và tích của một véctơ −→x gốc O với một số thực r là véctơ vị tự của −→x trong phép vị tự tâm O tỉ số r. Ta dễ dàng chứng minh được M cùng với phép cộng và phép nhân ở trên là một R-môđun. (6) Cho R là một vành, MR là một môđun và X 6= ∅ bất kì. Gọi N là tập tất cả các ánh xạ f : X −→ M. Ta định nghĩa tổng của f, g ∈ N là ánh xạ f + g : X −→ M x 7−→ f(x) + g(x) và tích của một phần tử f ∈ N với một phần tử r ∈ R là ánh xạ fr : X −→ M x 7−→ f(x)r Khi đó N cùng với hai phép toán trên là R-môđun phải 3
Ta sẽ sử dụng nhiều đến Bổ đề sau trong nhiều chứng minh của lý thuyết vành và môđun. Bổ đề sau tương đương với Tiên đề chọn. BỔ ĐỀ 1.4 (Bổ đề Zorn). Giả sử A là tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự toàn phần cuả A đều có cận trên trong A, thì A có phần tử cực đại. 2. Môđun con và môđun thương 2.1. Môđun con. ĐỊNH NGHĨA 2.1. Cho M là R-môđun phải. Tập con A của M được gọi là môđun con của M (kí hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR), nếu A là R-môđun phải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế trên A. Chú ý rằng kí hiệu A ≤ M để phân biệt với kí hiệu có tính tập hợp thuần tuý A ⊂ M. Ngoài ra nếu ta viết A < M có nghĩa là A là môđun con thực sự của M. A 6≤ M có nghĩa là A không là môđun con của M. Sau đây là đặc trưng của môđun con. ĐỊNH LÍ 2.2. Giả sử M là một R-môđun phải. Nếu A là tập con khác ∅ của M, thì các điều kiện sau là tương đương: i) A ≤ M ii) A là nhóm con của nhóm cộng của môđun M và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A iii) với mọi a1, a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A, và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A. CHỨNG MINH. Theo định nghĩa của môđun con. ¤ Ta có một nhận xét thú vị là: vì vành được xét như là R-môđun phải (trái), nên ta chú ý rằng iđêan phải (trái) của vành R chính là môđun con của RR (RR). VÍ DỤ 2.3. 1) Mỗi môđun M đều có hai môđun con tầm thường là {0} (ta sẽ chỉ kí hiệu là 0) và M, trong đó 0 là môđun chỉ có một phần tử là phần tử không của môđun M. (2) Cho MR và m0 ∈ M. Lúc đó dùng Định lý 2.2 ta có thể thấy m0R := {mor |r ∈ R} là môđun con của M. (3) Cho M là không gian vectơ trên trường K. Lúc đó các môđun con chính là các không gian vectơ con. 4
2.2. Giao và tổng các môđun con. BỔ ĐỀ 2.4. Cho Γ là một tập nào đó các môđun con của M. Khi đó \ A = {m ∈ M|∀A ∈ Γ[m ∈ A]} A∈Γ là một môđun con của M. CHỨNG MINH. Kiểm chứng dễ dàng nhờ Định lý 2.2 và chú ý khi Γ = ∅ thì \ A = M. A∈∅ ¤ Từ Bổ đề 2.4 có thể suy ra ngay T HỆ QUẢ 2.5. A là môđun con lớn nhất trong M chứa trong tất cả A ∈ Γ. A∈Γ BỔ ĐỀ 2.6. Cho X là tập con của MR. Khi đó  Xn   { xjrj|xj ∈ X, rj ∈ R và n ∈ IN}, nếu X 6= ∅ A = j=1 .   0, nếu X = ∅ là môđun con của M. CHỨNG MINH. Khi X = ∅ thì dễ dàng có A ≤ M. Nếu X 6= ∅, ta có Xm Xn Xm Xn 0 0 0 0 xiri, xjrj ∈ A ⇒ xiri + xjrj ∈ A, i=1 j=1 i=1 j=1 Xm Xn xjrj ∈ A, r ∈ R ⇒ xjrjr ∈ A. j=1 j=1 Vậy theo Định lý 2.2, A ≤ M. ¤ ĐỊNH NGHĨA 2.7. Môđun A xác định nhờ Bổ đề 2.6 được gọi là môđun con cuả M sinh ra bởi tập X và kí hiệu là |X). ĐỊNH LÍ 2.8. |X) là môđun con bé nhất của M chứa X và \ |X) = C trong đó C ≤ M và X ⊂ C. CHỨNG MINH. Khi X = ∅ thì kết luận cuả Định lý là dễ dàng có, vì lúc đó |X) = 0. Nếu X 6= ∅. Cho C là môđun con của M tùy ý chứa X. Nhờ tính chất cuả môđun con nên ta có ngay |X) ≤ C. Ngoài ra do X là tập con cuả |X) nên |X) là môđun con bé nhất cuả M chứa X. 5
T Bây giờ giả sử D = C trong đó C ≤ M và X ⊂ C. Khi đó X là tập con cuả D. Do D ≤ M nên |X) ≤ D. Mặt khác |X) có thể xem như là một trong các C, nên D ≤ |X). Ta có điều phải chứng minh. ¤ ĐỊNH NGHĨA 2.9. Cho MR. (1) Tập con X cuả M được gọi là hệ sinh đối với M nếu |X) = M. (2) Môđun M (hay iđêan phải, trái) được gọi là hữu hạn sinh nếu đối với M tồn tại hệ sinh gồm hữu hạn phần tử. (3) Môđun M (hay iđêan phải, trái) được gọi là cyclic (iđêan phải chính, iđêan trái chính) nếu nó được sinh bởi một phần tử. (4) Tập con X cuả môđun M được gọi là độc lập nếu đối với mỗi tập con hữu hạn Pm {x1, , xm} ⊂ X mà xi 6= xj với i 6= j (i, j = 1, , m) thì xiri = 0, ri ∈ R i=1 kéo theo ri = 0 (i = 1, , m). (5) Tập con X cuả môđun M được gọi là cơ sở đối với M nếu nó là hệ sinh đối với M và độc lập. VÍ DỤ 2.10. (1) Mỗi môđun M có một hệ sinh tầm thường chính là M. (2) Cho R là vành. Khi đó {1} là cơ sở của RR (hay RR). (3) Ta sẽ chứng minh rằng IQZZ không có hệ sinh hữu hạn. Trước hết, ta chứng minh kết quả sau: Nếu từ một hệ sinh tùy ý X của IQZZ ta rút ra hữu hạn một số phần tử tùy ý thì tập hợp các phần tử còn lại vẫn là hệ sinh của IQZZ . Chứng minh: Chỉ cần chứng minh kết quả đúng khi ta rút một phần tử x0 ra khỏi X. Nếu rút nhiều phần tử thì ta chứng minh bằng quy nạp. Vì X là hệ sinh nên x0/2 có thể biểu diễn thành một tổng hữu hạn như sau x X 0 = x z + x z , x ∈ X, z ∈ ZZ. 2 0 0 i i i i xi=6 x0 Từ đó: X x0 = x02z0 + xi2zi, xi ∈ X, zi ∈ ZZ. xi6=x0 và X x0n = xi2zi, xi6=x0 6
trong đó n := 1 − 2z0 ∈ ZZ, n 6= 0. Giả sử bây giờ ta lại biểu diễn x0/n như trên thì: x X 0 = x z0 + x z0 , x ∈ X, z0 ∈ ZZ. n 0 0 j j j j xj 6=x0 Khi đó X X X 0 0 0 0 x0 = x0nz0 + xjnzj = xi2ziz0 + xjnzj xj 6=x0 xi6=x0 xj 6=x0 X = xkz”k, xk ∈ X, z”k ∈ ZZ xk6=x0 nghĩa là phần tử x0 được biểu diễn qua tập X \{x0}. Do X là hệ sinh của IQZZ nên X \{x0} cũng là hệ sinh của IQZZ . Từ đây, ta suy ra IQZZ có hệ sinh vô hạn, vì nếu không, theo như kết quả trên, sau một số lần rút các phần tử ra khỏi hệ sinh, hệ sinh của IQZZ sẽ là ∅, hay IQZZ là 0. Vô lí. Chú ý rằng hợp của các môđun con nói chung không phải là môđun con (vì hợp của các nhóm con không phải là một nhóm con). Tuy nhiên dễ dàng suy ra được: BỔ ĐỀ 2.11. Giả sử Λ = {Ai|i ∈ I} là tập nào đó các môđun con Ai ≤ MR. Khi đó:  X  0 [  { ai|ai ∈ Ai và I ⊂ I và I’ hữu hạn } nếu Λ 6= ∅ | A ) = i∈I0 i  i∈I  0, nếu Λ = ∅ S P nghĩa là, khi Λ 6= ∅ thì môđun | Ai) trùng với tập tất cả tổng hữu hạn ai, ai ∈ Ai. i∈I CHỨNG MINH. Rõ ràng. ¤ ĐỊNH NGHĨA 2.12. Nếu Λ = {A |i ∈ I} là tập tuỳ ý các môđun con nào đó A ≤ M, S i P i thì | Ai) được gọi là tổng các môđun con {Ai, i ∈ I}, kí hiệu Ai. Chú ý là khi Λ = i∈I i∈I Pn {A1, , An} thì mỗi phần tử thuộc Ai có thể viết được viết dưới dạng i=1 Xn ai, ai ∈ Ai. i=1 Ngoài ra kể cả trong trường hợp Λ là tập vô hạn thì sự biểu diễn ở trong Bổ đề 2.11 là không P P duy nhất, nghĩa là có thể có ai = at nhưng ai có thể khác at. i∈I0 i∈T 0 ĐỊNH NGHĨA 2.13. (1) Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và ∀A ≤ M[A = 0 hay A = M], nghĩa là M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con là 0 và M. 7
(2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và ∀A ≤R RR[A = 0 hay A = R], nghĩa là R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và R. (3) Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu (minimal) của môđun M nếu như A 6= 0 và ∀B ≤ M[B < A ⇒ B = 0]. (4) Tương tự, môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực đại (maximal) của môđun M nếu như A 6= M và ∀B ≤ M[A < B ⇒ B = M]. BỔ ĐỀ 2.14. MR đơn khi và chỉ khi M 6= 0 và ∀m(6= 0) ∈ M, M = mR. CHỨNG MINH. Cho MR đơn và m 6= 0. Lúc đó mR 6= 0 (rõ vì m.1 = m ∈ mR). Từ đó mR = M. Đảo lại, cho A 6= 0, A ≤ M và a ∈ A, a 6= 0. Ta có aR = M. Từ đó M = aR ≤ A ≤ M ⇒ A = M. ¤ ĐỊNH LÍ 2.15. Cho MR là R-môđun phải hữu hạn sinh khác không. Lúc đó mọi môđun con thực sự của M đều chứa trong một môđun con cực đại. Đặc biệt, M có một môđun con cực đại. CHỨNG MINH. Giả sử {m1, m2, , mn} là hệ sinh của M. Nếu A < M, thì ta có tập F = {B|A ≤ B < M} khác rỗng vì A ∈ F. Nó lại được sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm. Để áp dụng Bổ đề Zorn, ta cần phải chứng minh rằng mỗi tập con Γ(⊂ F, Γ 6= ∅) sắp thứ tự toàn phần có cận trên trong Γ. Đặt [ C = B. B∈Γ Khi đó A ≤ C. Giả sử C = M. Khi đó m1, m2, , mn ∈ C. Vậy tồn tại B ∈ Γ để m1, m2, , mn ∈ B. Do đó B = M. Mâu thuẩn với tính chất B ∈ Γ. Vậy C ∈ F. Áp dụng Bổ đề Zorn, trong F tồn tại phần tử cực đại D nào đó. Ta chứng minh rằng D là môđun cực đại trong MR. Giả sử D ≤ L < MR. Khi đó L ∈ F. Theo tính chất cực đại của D trong F, ta có D = L. Khi cho A = 0, ta có kết luận cuối cùng. ¤ 2.3. Môđun thương. Cho MR và N ≤ MR. Vì N là nhóm con của nhóm cọng aben M nên nhóm thương của nó M/N là một nhóm aben hoàn toàn xác định (theo phần lý thuyết nhóm). Các phần tử của nó là các lớp ghép x + N của N trong M và phép toán cọng trong M/N là (x + N) + (y + N) = x + y + N Ta còn phải đi xác định phép nhân môđun để M/N trở thành R-môdun phải. 8
ĐỊNH LÍ 2.16. Cho MR và N ≤ M. (i) Qui tắc M/N × R −→ M/N, (m + N, r) 7−→ (m + N).r = mr + N là phép nhân môđun. (ii) Nhóm aben M/N cùng với phép nhân môđun này trở thành một R-môđun phải. CHỨNG MINH. (i). Ta chứng minh qui tắc đó là một ánh xạ. Thật vậy, cho x + N = x0 + N ⇒ x − x0 ∈ N ⇒ (x − x0)r ∈ N ⇒ xr − x0r ∈ N ⇒ xr + N = x0r + N. (ii) Kiểm tra dựa vào định nghĩa. ¤ ĐỊNH NGHĨA 2.17. M/N xác định như trong Định lý 2.16 được gọi là môđun thương của môđun M trên môđun con N của nó. NHẬN XÉT 2.18. Khi cho I là iđêan phải của R thì lúc đó R/I chỉ trở thành một R- môđun phải. Nhưng khi cho I là iđêan hai phía thì R/I vừa là R-môđun phải và trái, vừa là R/I-môđun phải và trái. 3. Đồng cấu môđun 3.1. Đồng cấu môđun. ĐỊNH NGHĨA 3.1. Cho A và B là hai R-môđun phải. Đồng cấu α từ A vào B đó là ánh xạ α : A −→ B thoả ∀a1, a2 ∈ A ∀r ∈ R, α(a1 + a2) = α(a1) + α(a2) và α(a1r1) = α(a1)r1. Lúc đó ta viết α : AR −→ BR. Từ định nghĩa dễ dàng ta có: MỆNH ĐỀ 3.2. Ánh xạ α : A −→ B là đồng cấu nếu và chỉ nếu ∀a1, a2 ∈ A ∀r1, r2 ∈ R, α(a1r1 + a2r2) = α(a1)r1 + α(a2)r2. Từ Mệnh đề trên ta có nếu f : M −→ N là R-đồng cấu thì f(0) = 0, f(x − y) = f(x) − f(y) với mọi x, y ∈ M. ĐỊNH NGHĨA 3.3. Đồng cấu α : AR −→ BR được gọi là đơn cấu nếu nó là đơn ánh, được gọi là toàn cấu nếu nó là toàn ánh, và được gọi là đẳng cấu nếu α là song ánh, nghĩa là nó là toàn cấu và đơn cấu. VÍ DỤ 3.4. (1) Đồng cấu không từ AR vào BR đó là 0 : a → 0 ∈ B. (2) Phép nhúng môđun con A vào BR đó là i : A −→ B a 7−→ a. 9
(3) Cho AR thì ta có tự đồng cấu đồng nhất kí hiệu (idA)1A : A −→ A a 7−→ a. (4) Cho MR. Lúc đó ta có các R-đồng cấu sau: Nếu cố định r ∈ R, ta kí hiệu hr : M −→ M m 7−→ mr, còn nếu cố định m ∈ M, ta có fm : R −→ M r 7−→ mr. (5) Cho MR. Xét p : M −→ M/N x 7−→ x + N là một toàn cấu và được gọi là toàn cấu chính tắc từ M lên M/N. (6) Giả sử I = (α, β) là khoảng mở của IR, M là tập các hàm số I −→ IR và N là tập các hàm khả vi trên I. Bởi Ví dụ 1.3, M là IR-môđun. Ta có thể kiểm tra được N là IR-môđun con của M. Ta xét ánh xạ sau: φ : N −→ M f 7−→ f 0 với f 0 là đạo hàm của f. Khi đó φ là R-đồng cấu. MỆNH ĐỀ 3.5. (1) Nếu f : LR −→ MR và g : MR −→ NR là các R-đồng cấu môđun, thì hợp thành gf của chúng cũng là đồng cấu R-môđun. (2) Nếu f, g đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì gf cũng vậy. (3) Ánh xạ ngược f −1 của một đẳng cấu cũng là một đẳng cấu. CHỨNG MINH. (1). gf(xα + yβ) = g(f(xα + yβ)) = g(f(x)α + f(y)β) = g(f(x))α + g(f(y))β = (gf)(xα) + (gf)(yβ) với mọi x, y ∈ L, α, β ∈ R. (2). Rõ ràng. −1 (3). Ta chứng minh f : MR −→ LR là một R-đồng cấu. Với mọi u, v ∈ M, α, β ∈ R thì uα + vβ = ff −1(u)α + ff −1(v)β = f(f −1(u)α + f −1(v)β) suy ra f −1(uα + vβ) = f −1(u)α + f −1(v)β. 10
¤ Từ Mệnh đề 3.5 suy ra ngay: HỆ QUẢ 3.6. Quan hệ LR đẳng cấu với MR là quan hệ tương đương trong lớp các R-môđun phải. Bổ đề sau cho ta thấy tính bảo toàn cấu trúc của các đồng cấu: BỔ ĐỀ 3.7. Cho α : AR −→ BR. Lúc đó: (1) U ≤ A ⇒ α(U) ≤ B. (2) V ≤ B ⇒ α−1(V ) ≤ A. CHỨNG MINH. (1). Cho v1, v2 ∈ α(U), Lúc đó, tồn tại u1, u2 ∈ U sao cho α = v1, α(u2) = v2. Lấy r1, r2 ∈ R. Ta có α(u1)r1 + α(u2)r2 = α(u1r1 + u2r2) ∈ α(U). Suy ra u1r1 + u2r2 ∈ U. Vậy α(U) ≤ B. −1 (2) Giả sử a1, a2 ∈ α (V ). Khi đó α(a1), α(a2) ∈ V và lấy r2, r2 ∈ R thì α(a1r1 + −1 −1 a2r2) = α(a1)r1 + α(a2)r2. Suy ra a1r1 + a2r2 ∈ α (V ). Vậy α (V ) ≤ A. ¤ −1 ĐỊNH NGHĨA 3.8. Theo Bổ đề 3.7, α (0) là môđun con của AR. Ta gọi là nhân của đồng cấu α. Kí hiệu Ker(α). Chú ý rằng nó cũng là nhân của đồng cấu nhóm nên α đơn cấu ⇔ Ker(α) = 0. Cho MR và NR ta kí hiệu: HomR(M, N) = { đồng cấu α : MR −→ NR} MỆNH ĐỀ 3.9. Cho MR,NR. Lúc đó HomR(M, N) là một nhóm aben với phép toán (f, g) 7−→ f + g xác định bởi (f + g)(x) = f(x) + g(x), x ∈ M. Cho MR và NR. HomR(M, N) chưa chắc đã là R-môđun. Có thể định nghĩa như trong đại số tuyến tính là fa : M −→ N, x 7−→ f(x)a(x ∈ M) Nhưng tính chất R-tuyến tính không thực hiện được ngoại trừ a ∈ CentR = {x ∈ R| xr = rx, ∀r ∈ R}. Ngoài ra ta không có (fa)(xb) = f(xb)a = f(x)ba và (fa)(x)b = (f(x)a)b = (f(x))(ab) không bằng nhau. Tuy nhiên nếu M = SMR là song môđun thì với mỗi s ∈ S hàm thu được bởi phép nhân cho s rồi tiếp tục lấy f ∈ HomR(M, N) fs : x 7−→ f(sx), (x ∈ M) 11
là một R-đồng cấu, nghĩa là fs ∈ HomR(M, N). Thật vậy, rõ ràng nó cọng tính và (fs)(xr) = f(s(xr)) = f((sx)r) = f(sx)r = (fs(x)r. Mặt khác HomR(SMR,NR) là một S-môđun phải với phép nhân (f, s) 7−→ fs (fs)(x) = f(sx) Vậy từ tác động trái của S trên M ta có tác động phải của S trên HomR(M, N). Mặt khác nếu N = T NR thì ta có HomR(MR,T NR) là một T -môđun trái với phép nhân (tf)(x) = tf(x), (x ∈ M) Ở đây tác động trái của T trên N cảm sinh tác động trái của T trên HomR(M, N). Chú ý rằng nếu s ∈ S, t ∈ T thì (t(fs))(x) = t(fs)(x) = tf(sx) = (tf)(sx) = ((tf)(s))(x) Vậy: MỆNH ĐỀ 3.10. Cho M, N là hai nhóm aben, R, S, T là các vành. Lúc đó cấu trúc (1) SMR, T NR cảm sinh T (HomR(M, N))S bởi (fs)(x) = f(sx), (tf)(x) = tf(x). (2) RMS, RNT cảm sinh S(HomR(M, N)T bởi: (sf)(x) = f(xs), (ft)(x) = f(x)t. Vậy: *) phép toán mà R tác động trên M và N không chuyển được đến HomR(M, N). *) phía thành lập phép toán đối với HomR(M, N) thay đổi so với M khi chuyển, còn so với N thì không. MỆNH ĐỀ 3.11. Cho MR. Lúc đó ta có đẳng cấu R-môđun phải ρ : M −→ HomR(R, M) ρ(x)(a) = xa (x ∈ M, a ∈ R) Hơn nữa nếu M là song môđun SMR thì ρ là một (S, R)-đẳng cấu. ĐỊNH NGHĨA 3.12. R-môđun trái HomR(A, R) được gọi là môđun đối ngẫu của AR và ∗ ∗ kí hiệu là A . Lúc đó R-môđun đối ngẫu của RA được gọi là song đối ngẫu của AR và kí hiệu là A∗∗. Vậy ∗ RA = HomR(A, R) ∗∗ AR = HomR(RHomR(AR,RR),R R). 12
3.2. Các định lý đồng cấu và đẳng cấu. Như trong trường hợp nhóm và bằng phương pháp tương tự, ta chứng minh được các định lý sau: ĐỊNH LÍ 3.13 (Định lý về đồng cấu). Mỗi đồng cấu môđun α : AR −→ BR đều có thể phân tích được α = α0ν, trong đó ν : A −→ A/Ker(α) là toàn cấu chính tắc, còn α0 là đơn cấu xác định bởi α0 : A/Ker(α) 3 a + Ker(α) 7−→ α(a) ∈ B Đơn cấu α0 là đẳng cấu khi và chỉ khi α là toàn cấu. HỆ QUẢ 3.14. Cho α : AR −→ BR là đồng cấu R-môđun . Lúc đó : A/Ker(α) ' Im(α). Từ Hệ quả 2.4 ta suy ra hai định lý quan trọng sau: ĐỊNH LÍ 3.15 ( Định lý thứ nhất về đẳng cấu). Nếu B ≤ AR và C ≤ AR, thì (B + C)/C ' B/B ∩ C. CHỨNG MINH. Ta xét đồng cấu p : B −→ (B + C)/C b 7−→ b + C khi đó ta có p là R-toàn cấu. Mặt khác Kerp = {b ∈ B| p(b) = 0} = {b ∈ B| b ∈ C} = B ∩ C. Áp dụng Hệ quả 2.4 ta có định lý được chứng minh. ¤ ĐỊNH LÍ 3.16 (Định lý thứ hai về đẳng cấu). Nếu C ≤ B ≤ AR, thì A/B ' (A/C)/(B/C). CHỨNG MINH. Tương tự như định lý trên ta xét đồng cấu sau: φ : A/C −→ A/B a + C 7−→ a + B Khi đó ta cũng có φ là R-toàn cấu và Kerφ = B/C. ¤ VÍ DỤ 3.17. ZZ/3ZZ ' (ZZ/6ZZ)/(3ZZ/6ZZ). 4. Bài tập BÀI TẬP 1. Giả sử S là vành con của vành R. Chứng minh rằng một R-môđun cũng là một S-môđun. Đặc biệt R là S-môđun. 13
BÀI TẬP 2. Chứng minh rằng một Q-môđun hữu hạn là 0. BÀI TẬP 3. Chứng minh rằng (ZZ, +) không thể là Q-môđun. BÀI TẬP 4. Chứng minh rằng R[x] (tập các đa thức một biến x với hệ tử trong vành R) là một R-môđun. Đặt H = {f(x) ∈ R[x]| bậc(f(x)) < n} là một mođun con của R[x]. BÀI TẬP 5. Cho N là môđun con của môđun M. Chứng minh rằng M là hữu hạn sinh thì M/N là môđun hữu hạn sinh. Ngược lại nếu N, M/N các môđun hữu hạn sinh, thì M là môđun hữu hạn sinh. BÀI TẬP 6. Tìm một ví dụ một môđun con của một môđun hữu hạn sinh không nhất thiết là hữu hạn sinh. BÀI TẬP 7. Cho M là R-môđun, và EndZZ (M) là vành gồm các tự đồng cấu nhóm của M. Cho mỗi r ∈ R. Ta định nghĩa ϕr như sau: ϕr : M −→ M, m 7−→ mr Chứng minh rằng ϕr ∈ EndZZ (M) và tương ứng R −→ EndZZ (M), r 7−→ ϕr là một đồng cấu vành. BÀI TẬP 8. Cho M là R môđun. Cho mỗi m ∈ M, đặt r(m) = {r ∈ R| mr = 0}. Chứng minh rằng r(m) là iđêan phải của R và mR ∼= R/r(m). 14
CHƯƠNG 2 MÔĐUN TỰ DO VÀ TÍCH TENXƠ 1. Tích và tổng trực tiếp của các môđun 1.1. Các định nghĩa. Q Cho (Ai|i ∈ I) họ các tập Ai với tập chỉ số I. Lúc đó ta có tích Descartes Ai của họ Q i∈I đó. Nếu cho Ai là các R-môđun phải, ta cần trang bị các phép toán dể Ai trở thành một i∈I R-môđun phải. Ta có: MỆNH ĐỀ 1.1. Cho R là vành và (A |i ∈ I) là họ các R-môđun phải A . Tích Descartes Q i i Ai cùng với hai phép toán sau: i∈I Q Phép cộng: (ai) + (bi) := (ai + bi), (ai), (bi) ∈ Ai Q i∈I Phép nhân môđun: (ai)r = (air)(ai) ∈ Ai, r ∈ R i∈I là R-môđun phải. CHỨNG MINH. Lần lượt kiểm tra các tiên đề của môđun với chú ý là phần tử không của Q Ai là (0)i∈I và phần tử đối của (ai) là (−ai). ¤ i∈I Q ĐỊNH NGHĨA 1.2. Phần tử (ai) ∈ Ai được gọi là có giá hữu hạn nếu như tập các chỉ i∈I số i ∈ I mà ai 6= 0 là hữu hạn. Nói cách khác ai = 0 với mọi i trừ một số hữu hạn. Q Q MỆNH ĐỀ 1.3. Tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Ai là môđun con của Ai. i∈I i∈I Q CHỨNG MINH. Gọi S là tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Ai. Trước hết ta i∈I thấy S 6= ∅ vì (0) ∈ S. Ngoài ra nếu lấy (xi) và (yi) ∈ S thì (xi + yi) cũng có giá hữu hạn nên (x ) + (y ) ∈ S. Lấy (x ) ∈ S và α ∈ R thì (x α) cũng có giá hữu hạn nên (x )α ∈ S. i i Q i i i Theo Định lý I.2.2, S ≤ Ai. ¤ i∈I ĐỊNH NGHĨA 1.4. Q (1) Cho họ các R-môđun phải (Ai|i ∈ I). Lúc đó R-môđun phải Ai được gọi là tích i∈I trực tiếp của họ đó. Q Nếu I = ∅ thì ta qui ước Ai là môđun không. ∅ 15
Q (2) Môđun con gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Ai được gọi là tổng trực L i∈I tiếp (ngoài) của họ (Ai, i ∈ I). Ta hay kí hiệu nó là Ai. i∈I Có thể suy ngay từ định nghĩa là khi I hữu hạn thì Y M Ai = Ai. i∈I i∈I Khi xét đến tổng và tích trực tiếp của các môđun, ta thường hay chú ý đến một vài loại đồng cấu đặc biệt sau: Y πj : Ai −→ Aj i∈I (aj) 7−→ aj M Y σ : Ai −→ Ai i∈I ß∈I (ai) 7−→ (ai) M ηj : Aj −→ Ai i∈I aj 7−→ (ti) trong đó ti = 0 nếu i 6= j và ti = aj nếu i = j. Dễ dàng kiểm tra các tính chất sau của các đồng cấu trên. BỔ ĐỀ 1.5. (1) πj, πjσ là toàn cấu. (2) ηj, σηj là đơn cấu. (3) ( πkσηj = 1Aj , nếu k = j 0, nếu k 6= j 2 2 (4) (σηjπj) = σηjπj và (ηjπjσ) = ηjπjσ. (5) Nếu I = {1, , n} thì Xn 2 Q (ηjπj) = ηjπj và 1 Ai = ηjπj. i=1 1.2. Tổng trực tiếp trong. ĐỊNH LÍ 1.6. Giả sử M là một R-môđun phải và (Mi)i∈I là họ các môđun con của M. Xét ánh xạ M f : Mi −→ M i∈I X (xi) 7−→ xi. I 16
Các điều kiên sau là tương đương: (1) f là một đẳng cấu. P (2) Mọi phần tử x ∈ M đều có thể viết được duy nhất dưới dạng x = xi, trong đó (xi) là phần tử của ⊕M , nghĩa là có giá hữu hạn. P i P (3) M = Mi và mọi hệ thức có dạng xi = 0 trong đó phần tử (xi) có giá hữu hạn i∈I i∈I đều suy ra x = 0 với mọi i ∈ I. i P P (4) M = Mi và Mi ∩ ( Mj) = 0 với mọi i ∈ I. i∈I i6=j CHỨNG MINH. (1) ⇒ (2). Do f đẳng cấu nên ∀x ∈ M, ∃!(x ) ∈ ⊕M để x = f((x )) = P i i i xi. Đó chính là (2). I P P (2) ⇒ (3). Trước hết chứng minh M = Mi. Thật vậy với x ∈ M, ta viết x = xi, P i∈I i∈I (xi) là phần tử có giá hữu hạn. Vậy x ∈ Mi. P i∈I P Bây giờ cho i∈I xi = 0 với phần tử (xi) có giá hữu hạn. Do (2) cách biểu diễn 0 = 0 i∈I là duy nhất nên x = 0 với mọi i ∈ I. i P P (3) ⇒ (4). Cho x ∈ Mi ∩ ( Mj) thì x = xi = i6=j xj trong đó (xj) có giá hữu hạn. i6=j 0 Lập phần tử (xj) mới như sau: 0 xj = xj với j 6= i 0 xi = −xi ∈ Mi P 0 0 0 thì từ đẳng thức trên ta có 0 = (xj) mà phần tử (xj) cũng có giá hữu hạn. Theo (3) xj = 0 j∈I với mọi j ∈ I. Từ đó ta có 0 x = −xi = xi = 0. P Vậy Mi ∩ ( Mj) = 0. j6=i (4) ⇒ (1). Chúng thể kiểm tra f là một đồng cấu dễ dàng. Khi x ∈ M thì theo (4) x có P thể viết x = xi trong đó (xi) có giá hữu hạn. Lấy phần tử (xi)i∈I ∈ ⊕Mi thì f((xi)) = x i∈I P nên f là một toàn cấu. Ngoài ra giả sử (xi) ∈ Kerf, nghĩa là f((xi)I ) = xi = 0. Lúc đó P P i∈I với mọi i ∈ I xi = (−xj) ∈ Mi ∩ ( Mj) = 0. Vậy Kerf = 0 hay f là một đơn cấu. j6=i j6=i Tóm lại ta có f là một đẳng cấu. ¤ ĐỊNH NGHĨA 1.7. Cho MR và họ (Mi)i∈I các môđun con của M. M được gọi là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con (Mi)i∈I nếu và chỉ nếu các điều kiện tương đương của Định lý II.1.6 được thoả mãn. Lúc đó ta kí hiệu: X M = Mi. I Khi I hữu hạn ta viết M = M1 + ··· + Mn. 17
Mối quan hệ giữa tổng trực tiếp trong và ngoài. (1) Khi cho M và (M ) là họ các môđun con của M. Ta luôn luôn lập được tổng trực tiếp L R i I P ngoài Mi. Ngoài ra nếu Mi ∩ ( Mj) = 0 với mọi i thì ta cũng lập được tổng trực tiếp Pi∈I j6=i trong Mi. Theo Định lý II.1.6 ta có I X ⊕Mi ' Mi. (2) Nếu cho (Mi)i∈I là họ các R-môđun phải . Ta luôn luôn lập được M = ⊕Mi. Lúc đó M 0 0 là tổng trực tiếp trong của họ môđun con (Mi )I sao cho với mọi i ∈ I, Mi ' Mi . Thật vậy, với η : M −→ ⊕M thì mỗi x ∈ M biểu diễn duy nhất dưới dạng x = P k k i ηi(xi) trong đó (xi) có giá hữu hạn. Theo Định lý II.1.6(2), M chính là tổng trực tiếp I 0 0 trong của họ Mi = ηi(Mi) ≤ M. Do ηi đơn cấu nên Mi ' Mi. Do những lý do trên người ta thường đồng nhất hai khái niệm trên và ít khi phân biệt chúng, và dùng chung một kí hiệu L Mi. i∈I 1.3. Hạng tử trực tiếp. ĐỊNH NGHĨA 1.8. Cho MR và N ≤ M. N được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P . Lúc đó ta nói P là môđun con phụ của N trong M. Từ định nghĩa ta suy ra ngay: N là hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu ∃P ≤ M[M = N + P và N ∩ P = 0]. VÍ DỤ 1.9. (1) Cho M là không gian vectơ hữu hạn chiều. Lúc đó mọi không gian con của M đều có không gian con phụ. (2) Nói chung không phải mọi môđun con của một môđun đều có môđun con phụ, chẳng hạn ta xét ZZ. Lấy N = nZZ với n 6= 0. Với mọi mZZ, m 6= 0 ta có mn ∈ nZZ ∩ mZZ nên nZZ ∩ mZZ 6= 0 nghĩa là nZZ + mZ không là tổng trực tiếp. Vậy nZZ không có môđun con phụ nào trong ZZ. MỆNH ĐỀ 1.10. Mọi môđun con phụ của N trong M nếu có đều đẳng cấu với nhau. CHỨNG MINH. Cho N ≤ M và N có môđun con phụ trong M là P và P 0. Lúc đó M = N ⊕ P. từ đó M/N ' (N ⊕ P )/N. Theo định lý đẳng cấu thứ nhất, M/N ' P/N ∩ P = P/0 ' P . Tương tự ta cũng có M/N ' P 0. Suy ra P ' P 0. ¤ 18
2. Môđun tự do 2.1. Định nghĩa và tính chất. ĐỊNH NGHĨA 2.1. Cho X là một tập. Ta gọi môđun tự do trên X là một R-môđun MR cùng với ánh xạ f : X −→ M sao cho với mọi NR và mọi ánh xạ g : X −→ N, tồn tại duy nhất một R-đồng cấu h : M −→ N sao cho g = hf, nghĩa là sơ đồ sau giao hoán X f g © ? h MN- NHẬN XÉT 2.2. (1) Nếu (M, f) là môđun tự do trên X, thì f đơn ánh. (2) Nếu (M, f) và (M 0, f 0) là các môđun tự do trên X, thì tồn tại R-đẳng cấu φ : M −→ M 0 sao cho f 0 = φf. ĐỊNH NGHĨA 2.3. Một R-môđun phải được gọi là tự do nếu nó đẳng cấu với một môđun tự do trên một tập nào đó. MỆNH ĐỀ 2.4. Môđun F là môđun tự do nếu và chỉ nếu tồn tại tập X sao cho F ∼= R(X). CHỨNG MINH. Vì F là môđun tự do nên F ∼= M với M là môđun tự do trên tập X nào đó. Khi X = ∅ thì rõ ràng F ∼= R(∅). Vậy ta có thể giả thiết X 6= ∅. Bây giờ ta xét các R-môđun phải (Mx)x∈X chỉ số hoá bởi X, sao cho với mọi x ∈ X, Mx = R. Khi đó (X) L (X) R = Mx. Giả sử jx : R −→ R là phép nhúng chỉ số x sao cho jx chuyển một phần x∈X tử r ∈ R thành một họ có tất cả các thành phần bằng 0, trừ thành phần với chỉ số x bằng r. (X) Với mỗi x ∈ X, đặt ex = jx(1). Khi đó, mọi phần tử t ∈ R được viết một cách duy nhất dưới dạng X t = exrx x∈X trong đó (rx)X có giá hữu hạn. Xét ánh xạ f : X −→ R(X) x 7−→ ex (X) Bây giờ ta sẽ chứng minh (R , f) là môđun tự do trên X. Thật vậy nếu NR là một R-môđun phải bất kì và g : X −→ N là ánh xạ. Đặt h : R(X) −→ N xác định bởi P P h( exrx) = g(x)rx. Ta có thể kiểm tra được h là R-đồng cấu duy nhất sao cho x∈X x∈X hf = g. Vậy theo Nhận xét II.2.2, F ∼= R(X). ¤ ĐỊNH LÍ 2.5. Cho FR là R-môđun phải. Các điều kiện sau là tương đương: (1) F có cơ sở. 19
P (2) F = Ai và với mọi i ∈ I,RR ' Ai. i∈I (3) F là môđun tự do. CHỨNG MINH. Chú ý đối với trường hợp F = 0 thì cơ sở của F chính là tập ∅ và do vậy trong (2) ta lấy I = ∅. Do vậy ta giả sử F 6= 0. (1) ⇒ (2). Cho X là cơ sở của F và a ∈ X. Lập ánh xạ ϕa : RR −→ aRR r 7−→ ar. Lúc đó ϕa là toàn cấu R-môđun phải. Ngoài ra, do với mọi r ∈ R, ar = 0 thì ar = 0 = a0. Vì X là cơ sở nên r = 0. Vậy ϕ là đơn cấu. Từ đó ϕ là đẳng cấu. Pa a Ta sẽ chứng minh F = aR. Thật vậy, vì X là cơ sở nên nó là hệ sinh. Ta có ngay P a∈X P F = aR. Bây giờ cho a0 ∈ X là phần tử tuỳ ý. Xét phần tử c ∈ aoR ∩ aR. Lúc a∈X a∈X,a6=a0 đó tồn tại a1, , an ∈ X, ai 6= a0 và r0, r1, , rn ∈ R sao cho c = a0r0 = a1r1 + + anrn. Pn Từ đó 0 = −a0r0 + airi. Do ai thuộc cơ sở X nên r0 = r1 = = rn = 0. Vậy c = 0, Pi=1 P nghĩa là a0R ∩ aR = 0. Theo Định lý 1.6, F = aR. a∈X,a6=a0 a∈X (2) ⇒ (1). Cho ϕi : RR −→ Ai là các đẳng cấu theo giả thiết (2). Ta sẽ chứng minh {ϕi(1) : i ∈ I} là cơ sở của F . {ϕi(1)} là hệ sinh : Ta có Ai = ϕi(R) = ϕi(1.R) = ϕi(1)R. Ngoài ra X X F = Ai = ϕi(1)R. i∈I i∈I Điều này chứng tỏ {ϕi(1)} là hệ sinh của F . {ϕi(1)} độc lập: Điều này suy ngay từ tính chất của tổng trực tiếp trong. (2) ⇔ (3). Bởi Mệnh đề II. 2.4. ¤ 2.2. Mối quan hệ giữa R-môđun tự do và R-môđun. ĐỊNH LÍ 2.6. Mỗi R-môđun phải M là ảnh toàn cấu của một R-môđun phải tự do nào đó. Nếu MR hữu hạn sinh thì MR là ảnh toàn cấu của một R-môđun phải tự do với cơ sở hữu hạn. CHỨNG MINH. Giả sử Y là một hệ sinh nào đó của M. Xét môđun tự do M X R = ϕb(1)R. Y b∈Y L Từ tính chất biểu diễn duy nhất qua các phần tử cơ sở của Y R suy ra rằng qui tắc M X R = ϕb(1)R −→ M Y b∈Y 20
X X ϕb(1)rb 7−→ brb là một toàn cấu. L n Khi Y = {y1, , yn} thì R = R . ¤ Y ĐỊNH LÍ 2.7. Nếu ϕ : AR −→ FR là một toàn cấu từ R-môđun phải A vào môđun tự do 0 0 F thì tồn tại đồng cấu ϕ : FR −→ AR sao cho ϕϕ = 1F . CHỨNG MINH. Giả sử Y là cơ sở nào đó của môđun FR và đối với mỗi b ∈ Y chọn ab ∈ A sao cho ϕ(ab) = b. Khi đó ánh xạ X X 0 ϕ : F −→ A, brb 7−→ abrb là đồng cấu do Y là cơ sở. Vì vậy X X X X 0 ϕϕ ( brb) = ϕ( abrb) = ϕ(ab)rb = brb, 0 nghĩa là ϕϕ = 1F . Dĩ nhiên, ta cũng có: A = Im(ϕ0) ⊕ Ker(ϕ). ¤ 3. Tích Tenxơ 3.1. Các định nghĩa và tính chất. Chúng ta đi xây dựng tích tenxơ của các môđun thông qua tính chất phổ dụng và sau đó chỉ ra một mô hình cụ thể của nó. ĐỊNH NGHĨA 3.1. Cho R là vành có đơn vị 1 6= 0. Cho R-môđun phải MR, R-môđun trái RN và nhóm aben A. Ánh xạ β : M × N −→ A từ tích Descartes M × N vào A được gọi là song tuyến tính trong trường hợp với mọi m, m1, m2 ∈ M, n, n1, n2 ∈ N và r ∈ R, β thỏa mãn: (1) β(m1 + m2, n) = β(m1, n) + β(m2, n), (2) β(m, n1 + n2) = β(m, n1) + β(m, n2), (3) β(mr, n) = β(m, rn). VÍ DỤ 3.2. Ví dụ quen thuộc nhất của ánh xạ song tuyến tính là phép toán trong (nhân) của vành R: R × R −→ R. (1), (2) và (3) được thỏa mãn do tính phân phối hai phía của phép nhân đối với phép cọng và tính kết hợp của phép nhân. ĐỊNH NGHĨA 3.3. Cho MR và RN là các môđun. Cặp (T, τ) bao gồm một nhóm aben T và một ánh xạ song tuyến tính τ : M × N −→ T được gọi là tích tenxơ của M và N nếu với mọi nhóm aben A và mọi ánh xạ song tuyến tính β : M × N −→ A tồn tại duy nhất ZZ-đồng cấu (nghĩa là đồng cấu nhóm) f : T −→ A sao cho giản đồ sau giao hoán: 21
τ M × N - T @ @ f β @ @ @R ? A nghĩa là, f ◦ τ = β. NHẬN XÉT 3.4. (1). Nếu (T, τ) là tích ten xơ của M và N thì rõ ràng f ◦ τ cũng là ánh xạ song tuyến tính với mọi đồng cấu nhóm f : T −→ A. Vậy (T, τ) là tích tenxơ của M và N khi và chỉ khi với mỗi nhóm aben A HomZZ (T,A) 3 f 7−→ f ◦ τ ∈ {β|β là ánh xạ song tuyến tính M × N −→ A}, là một song ánh. (2). Nếu (T, τ) là tích tenxơ của M và N thì τ(M × N) sinh ra nhóm T Tính duy nhất của tích tenxơ thể hiện qua: MỆNH ĐỀ 3.5. Nếu (T, τ) và (T 0, τ 0) là hai tích tenxơ của M và N thì lúc đó tồn tại một ZZ-đẳng cấu f : T −→ T 0 sao cho giản đồ sau giao hoán: τ M × N - T @ @ f τ 0 @ @@R ? T 0 nghĩa là, τ 0 = f ◦ τ. CHỨNG MINH. Theo giả thiết, tồn tại các đồng cấu nhóm f và g sao cho các giản đồ sau giao hoán: τ τ 0 M × N - T M × N - T 0 @ @ @ @ f g τ 0 @ τ @ @ @ @R ? @R ? T 0 T Lúc đó sự giao hoán của các giản đồ: τ τ M × N - T M × N - T @ @ @ @ gf id τ @ τ @ T @ @ @R ? @R ? TT cho ta gf = idT . Tương tự fg = idT 0 . Vậy f là một đẳng cấu. 22
Bây giờ chúng ta bàn đến sự tồn tại của tích tenxơ. Để xây dựng được tích tenxơ của M và N, ta lấy F = ZZ(M×N) là nhóm aben tự do sinh ra bởi M × N. Lúc đó F có cơ sở tự do (xα)α∈M×N và có thể viết F cụ thể như sau: X F = { ti(mi, ni)|ti ∈ ZZ và tổng này chỉ là tổng hữu hạn }. Gọi K là nhóm con của F sinh bởi các phần tử có dạng: (m1 + m2, n1) − (m1, n1) − (m2, n1), (m1, n1 + n2) − (m1, n1) − (m1, n2), (m1r, n1) − (m1, rn1), và tiếp đó ta lấy nhóm thương T = F/K. Xác định τ : M × N −→ T bởi τ = pj trong đó p là toàn cấu chính tắc p : F −→ F/K còn j là phép nhúng M × N −→ F. Nghĩa là τ(m, n) = (m, n) + K, ∀m ∈ M, n ∈ N. Ta kiểm chứng τ là ánh xạ song tuyến tính. Thật vậy, τ(m1 + m2, n1) − τ(m1, n1) − τ(m2, n1) = = (pj)(m1 + m2, n1) − (pj)(m1, n1) − (pj)(m2, n1) = = p(m1 + m2, n1) − p(m1, n1)p(m2, n1) = = p((m1 + m2, n1) − (m1, n1) − (m2, n1)) = = 0 (do (m1 + m2, n1) − (m1, n1) − (m2, n1) ∈ K. Vậy τ(m1 + m2, n1) = τ(m1, n1) + τ(m2, n1), ∀m1, m2 ∈ M, n1 ∈ N. Tương tự ta kiểm chứng được: τ(m1, n1 + n2) = τ(m1, n1) + τ(m1, n2), ∀m1 ∈ M, n1, n2 ∈ N. τ(m1r, n1) = τ(m1, rn1), ∀r ∈ R, ∀m1 ∈ M, n1 ∈ N. ¤ Ta có kết quả: MỆNH ĐỀ 3.6. Với T và τ xác định như ở trên, (T, τ) là tích tenxơ của MR và RN. CHỨNG MINH. Giả sử cho β : M × N −→ A là một ánh xạ song tuyến tính từ M × N vào nhóm aben A tùy ý. Vì F là tự do trên M × N nên có một đồng cấu nhóm g : F −→ A sao cho giản đồ sau giao hoán: j M × N - F @ @ g β @ @ @R ? A nghĩa là, β = g ◦ j. Vì β là song tuyến tính, ta có: g((m1 +m2, n1)−(m1, n1)−(m2, n1)) = g(j(m1 +m2, n1)−j(m1, n1)−j(m2, n1)) = (gj)(m1+m2, n1)−(gj)(m1, n1)−(gj)(m2, n1) = β(m1+m2, n1)−β(m1, n1)−β(m2, n1) = 0 Tương tự kiểm chứng được 23
g((m1, n1 + n2) − (m1, n1) − (m1, n2)) = 0, g((m1r, n1) − (m1, rn1)) = 0. Suy ra K ⊆ Kerf. Theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm, tồn tại một ZZ-đồng cấu f : T −→ A sao cho giản đồ sau giao hoán: τ M × N - T @ @ f β @ @ @R ? A nghĩa là, β = f ◦ τ. Do τ(M × N) sinh ra T nên f được xác định duy nhất qua giản đồ vừa nêu. ¤ Qua các Mệnh đề vừa nêu, ta nhận thấy rằng khi cho MR, RN và (T, τ) là tích tenxơ vừa mới thiết lập, thì (T, τ) xác định duy nhất sai khác một phép đẳng cấu. Chính vì vậy, ta viết T = M ⊗R N và với mỗi (m, n) ∈ M × N, ta viết τ(m, n) = m ⊗ n. Ta thường hay gọi M ⊗R N là tích tenxơ của MR và RN, còn τ là ánh xạ tenxơ. Chú ý rằng do τ không đơn ánh nên không thể đồng nhất M × N với τ(M × N) ⊆ M ⊗ N được, chính vì thế cũng cần lưu ý khi ta lấy m ∈ M 0 ≤ M và n ∈ N 0 ≤ N, thì m ⊗ n có thể được hiểu theo nhiều nghĩa, đó là nghĩa 0 0 theo tích tenxơ M ⊗R N và theo tích tenxơ M ⊗R N. Chú ý rằng tập sinh của M ⊗R N là: {m ⊗ n|m ∈ M, n ∈ N} Ta có: MỆNH ĐỀ 3.7. Với mỗi ánh xạ song tuyến tính β : M × N −→ A tồn tại duy nhất một đồng cấu nhóm aben: f : M ⊗R N −→ A sao cho với mọi m ∈ M, n ∈ N : f(m ⊗ n) = β(m, n). CHỨNG MINH. Theo định nghĩa của tích tenxơ. ¤ Ta sẽ nêu lên các tính chất số học của tích tenxơ mà việc chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa. MỆNH ĐỀ 3.8. Với mỗi phần tử của M ⊗ N có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hữu P hạn i(mi ⊗ ni)(mi ∈ M, ni ∈ N). Ngoài ra, với mọi m1, m2 ∈ M, n1, n2 ∈ N, r ∈ R, ta có: (1) (m1 + m2) ⊗ n1 = (m1 ⊗ n1) + (m2 ⊗ n1), (2) m1 ⊗ (n1 + n2) = (m1 ⊗ n1) + (m1 ⊗ n2), (3) (m1r) ⊗ n = m1 ⊗ (rn). ĐỊNH NGHĨA 3.9. Cho R và S là hai vành có đơn vị khác không. Nhóm aben (M, +) là một song môđun R-bên phải S-bên trái, kí hiệu SMR nếu 24
(a) M là R-môđun phải và S-môđun trái. (b) (sx)r = s(xr), ∀ r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M. CHÚ Ý 3.10. (1) Mặc dù τ(M × N) = {m ⊗ n|m ∈ M, n ∈ N} sinh ra M ⊗R N, nhưng nói chung τ(M × N) 6= M ⊗ N. Ngoài ra, sự biểu diễn các phần tử của M ⊗ N như là P R R tổng hữu hạn i(mi ⊗ ni) không phải duy nhất. (2) Tích tenxơ của hai môđun khác không có thể bằng không. Ví dụ lấy A = ZZ/2ZZ, U = ZZ/3ZZ. Khi đó với mọi a ∈ A, u ∈ U, trong A ⊗ZZ U, ta có: 0 = 0 ⊗ 0 = a ⊗ 0 − 0 ⊗ u = a ⊗ (3u) − (2a) ⊗ u = 3(a ⊗ u) − 2(a ⊗ u) = a ⊗ u. Vậy A ⊗ZZ U = 0. (3) Nhóm aben M ⊗R N nói chung không phải là R-môđun. Tuy nhiên cấu trúc song môđun trên M hay N cảm sinh cấu trúc môđun trên M ⊗R N. Giả sử, ví dụ ta lấy SMR, RN. Lúc đó với mỗi s ∈ S ta dễ dàng kiểm tra được với phép toán s(m⊗n) = (sm)⊗n làm cho M ⊗R N trở thành một S-môđun trái. Tương tự cho N = RNT là song môđun thì M ⊗R N là T -môđun phải với phép toán (m ⊗ n)t = m ⊗ (nt). Đối với RRR, ta có ngay M ⊗R R là một R-môđun phải còn R ⊗R N là một R-môđun trái. Ta có: MỆNH ĐỀ 3.11. Với mỗi R-môđun phải M, có R-đẳng cấu: νr : M ⊗R R −→ M xác định bởi νr(m ⊗ r) = mr. CHỨNG MINH. Ta có ánh xạ M × R −→ M xác định bởi (m, r) 7−→ mr là ánh xạ song tuyến tính nên tồn tại νr : M ⊗R R −→ M sao cho νr(m ⊗ r) = mr. Ta kiểm tra được νr là đẳng cấu thông qua đồng cấu η : M −→ M ⊗R R xác định bởi η(m) = m ⊗ 1 và ta có ngay νr ◦ η = idM , η ◦ νr = idM⊗RR. ¤ Tương tự ta có: MỆNH ĐỀ 3.12. Với mỗi R-môđun trái N, có R-đẳng cấu: νl : R ⊗R N −→ N xác định bởi νl(r ⊗ n) = rn. 3.2. Tích tenxơ của các đồng cấu. Cho M, M 0 là các R-môđun phải, và cho N, N 0 là các R-môđun trái. Hơn nữa, giả sử cho f : M −→ M 0, g : N −→ N 0 là các R-đồng cấu. Xác định ánh xạ 0 0 (f, g): M × N −→ M ⊗R N xác định bởi (f, g)(m, n) = f(m) ⊗ g(n). Rõ ràng (f, g) là một ánh xạ song tuyến tính. Vì 0 0 vậy tồn tại duy nhất một ZZ− đồng cấu từ M ⊗R N vào M ⊗R N sao cho giản đồ sau giao 25
hoán: τ - M × N M ⊗R N Q Q Q (f,g) Q QQs ? 0 0 M ⊗R N ĐỊNH NGHĨA 3.13. Ánh xạ vừa mới nêu được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f và g, kí hiệu f ⊗ g, xác định bởi (f ⊗ g)(m ⊗ n) = f(m) ⊗ g(n), m ∈ M, n ∈ N. 0 0 0 MỆNH ĐỀ 3.14. Xét MR,MR, RN, RN , ∀ f1, f2, f ∈ HomR(M, M ) và ∀g1, g2, g ∈ 0 HomR(N, N ). Ta có: (1) (f1 + f2) ⊗ g = (f1 ⊗ g) + (f2 ⊗ g) (2) f ⊗ (g1 + g2) = (f ⊗ g1) + (f ⊗ g2). (3) f ⊗ 0 = 0 ⊗ g = 0. (4) idM ⊗ idN = idM⊗RN . CHỨNG MINH. Ta chứng minh dựa vào các phần tử sinh m ⊗ n của M ⊗R N. ¤ MỆNH ĐỀ 3.15. Cho các R-đồng cấu f : M −→ M 0, f 0 : M 0 −→ M”, g : N −→ N 0 và g0 : N 0 −→ N”. Ta có: (f 0 ⊗ g0)(f ⊗ g) = (ff 0) ⊗ (gg0). CHỨNG MINH. Ta chứng minh cũng dựa vào các phần tử sinh m ⊗ n của M ⊗R N. ¤ 3.3. Tích tenxơ và tổng trực tiếp. Định lý sau nói lên sự giao hoán của tích tenxơ với tổng trực tiếp. ĐỊNH LÍ 3.16. Cho MR và RN = ⊕ΛNλ với phép nhúng chính tắc ²λ : RNλ −→ RN và phép chiếu πλ : RN −→ RNλ. Lúc đó (M ⊗R N, idM ⊗ ²λ ) là một tổng trực tiếp của {M ⊗R Nλ}Λ, nghĩa là M ⊗ (⊕ΛNλ ) ' ⊕Λ(M ⊗R Nλ). CHỨNG MINH. Với các ánh xạ idM ⊗ πλ : M ⊗R N −→ M ⊗R Nλ, từ các tính chất của tích tenxơ của các đồng cấu ta có: (idM ⊗ πµ)(idM ⊗ ²λ) = ∂λµidM⊗Nλ . trong đó ∂λµ = 0 nếu λ 6= µ và ∂λµ = 1 nếu λ = µ. Với họ {fλ : M ⊗Nλ −→ X}Λ của các ZZ-đồng cấu, chúng ta xác định f : M ⊗R N −→ X bởi X f(m ⊗ n) = fλ (idM ⊗ πλ)(m ⊗ n), λ ∈Λ 26
trong đó tổng này luôn luôn hữu hạn. Rõ ràng, f(idM ⊗ ²) = fλ và (M ⊗R N, idM ⊗ ²λ) là một tổng trực tiếp của {M ⊗R Nλ}Λ. ¤ HỆ QUẢ 3.17. Với các giả thiết ở trên, nếu cho thêm MR = ⊕Λ0 Mµ. Ta có: M(⊕Λ0 Mµ ) ⊗R N ' ⊕Λ0 (Mµ ⊗R N). (⊕Λ0 Mµ ) ⊗R (⊕ΛNλ ) ' ⊕Λ0×Λ(Mµ ⊗R Nλ). CHỨNG MINH. Đối ngẫu. ¤ Bây giờ ta nêu tính kết hợp của tích tenxơ: ĐỊNH LÍ 3.18. Cho ba môđun MR, RNS và SL. Lúc đó có thể lập (M ⊗R N) ⊗S L và M ⊗R (N ⊗S L) và có đẳng cấu σ :(MR ⊗ N) ⊗S L −→ M ⊗R (N ⊗S L), xác định bởi (m ⊗ n) ⊗ l 7−→ m ⊗ (n ⊗ l). CHỨNG MINH. Chúng ta chỉ cần chứng minh sự tồn tại của đồng cấu σ như vậy. Lúc đó, do tính đối xứng ta có thể lập ánh xạ theo hướng ngược lại mà đó cũng chính là nghịch đảo của σ. Trước hết chúng ta xác định, với mọi l ∈ L, một đồng cấu fl : N −→ N ⊗S L, l 7−→ n ⊗ l, sau đó ta đi thành lập tích tenxơ idM ⊗ fl : M ⊗R N −→ M ⊗R (N ⊗S L) để ta thu được β :(M ⊗R N) × L −→ M ⊗R (N ⊗S L), xác định bởi (m ⊗ n, l) 7−→ idM ⊗ fl(m ⊗ n). Ta phải đi chứng minh rằng β là ánh xạ song tuyến tính để thu được đẳng cấu ta cần. ¤ 4. Bài tập BÀI TẬP 9. Chứng minh rằng môđun tự do sinh ra bởi một phần tử duy nhất đẳng cấu với RR. ∼ BÀI TẬP 10. Chứng minh rằng nếu M = M1 ⊕ M2 thì M/M1 = M2. BÀI TẬP 11. Chứng minh rằng một môđun con N của môđun M là một hạng tử trực tiếp nếu và chỉ nếu môđun X/A là tự do. BÀI TẬP 12. Chứng minh rằng môđun ZZZZ không có hạng tử trực tiếp khác 0 ngoài nó. BÀI TẬP 13. Giả sử M, M 0 và M” là các môđun trên vành R. Giả sử f : M 0 → M” là đơn cấu và g : M → M” là toàn cấu sao cho Imf = Kerg. Chứng minh rằng: (a) Tồn tại một đồng cấu ϕ : M” → M sao cho gϕ = idM” khi và chỉ khi tồn tại một đồng 0 cấu ψ : M → M sao cho ψf = idM 0 . (b) Nếu thỏa các điều kiện ở câu a) thì ta có M = Imf ⊕ Kerψ = Kerg ⊕ Imϕ. 27
BÀI TẬP 14. Chứng minh rằng một môđun tự do có thể chứa những phần tử x 6= 0 mà tập {x} không độc lập tuyến tính. BÀI TẬP 15. Tìm một ví dụ chứng tỏ MR 6= 0, RN 6= 0 mà M ⊗R N = 0 BÀI TẬP 16. Cho FR là môđun tự do và f :R N →R M là đơn cấu của các môđun trái. Chứng minh rằng idF ⊗ f là đơn cấu. 28
CHƯƠNG 3 Dãy khớp 1. Dãy khớp ngắn 1.1. Các định nghĩa. ĐỊNH NGHĨA 1.1. Một dãy các R-môđun phải và các R-đồng cấu môđun ϕn−1 ϕn −→ Mn−1 −→ Mn −→ Mn+1 −→ được gọi là khớp, nếu tại mọi Mn (không kể hai đầu mút, nếu có) thoả điều kiện Im(ϕn−1) = Ker(ϕn). Dãy khớp các R-môđun phải: 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 được gọi là dãy khớp ngắn. VÍ DỤ 1.2. (1) Cho ϕ là một đồng cấu từ nhóm aben X vào nhóm aben Y thì ta có dãy khớp các Z-môđun là j ϕ p 0 −→ Kerϕ −→ X −→ Y −→ Y/Imϕ −→ 0 trong đó j là phép nhúng chính tắc còn p là toàn cấu chính tắc. (2) Cho A ≤ MR. Lúc đó ta có dãy khớp ngắn các R-môđun phải là : j p 0 −→ A −→ M −→ M/A −→ 0 trong đó j là phép nhúng chính tắc còn p là toàn cấu chính tắc. Cho X, M, N là các R-môđun phải, ϕ là đồng cấu R-môđun phải, ϕ : M −→ N cảm sinh các đồng cấu nhóm: Hom(1, ϕ): HomR(X, M) 3 f 7−→ ϕf ∈ HomR(X, N) và Hom(ϕ, 1) : HomR(N, X) 3 f 7−→ fϕ ∈ HomR(M, X) ĐỊNH NGHĨA 1.3. Một sơ đồ các R-môđun phải gọi là giao hoán nếu hợp thành bất kì các R-đồng cấu môđun trong sơ đồ sao cho cùng gốc và cùng ngọn thì bằng nhau, nói riêng, 29
tam giác ϕ A - B γ ψ ? © C được gọi là giao hoán nếu γ = ψϕ. Hình vuông ϕ A - B γ ψ ? β ? CD- gọi là giao hoán, nếu βγ = ψϕ. 0 0 BỔ ĐỀ 1.4. Cho f : M −→ N và f : N −→ M là các đồng cấu sao cho ff = 1N . Lúc đó f là toàn cấu, f 0 là đơn cấu và M = Kerf ⊕ Imf 0. CHỨNG MINH. Từ giả thiết ta có điều phải chứng minh. ¤ ĐỊNH NGHĨA 1.5. 1. Nếu f : M −→ N và f 0 : N −→ M là các đồng cấu sao cho 0 0 ff = 1N , thì chúng ta nói rằng f là toàn cấu chẻ ra, còn f là đơn cấu chẻ ra. 2. Một dãy khớp ngắn f g 0 −→ M1 −→ M −→ M2 −→ 0 được gọi là chẻ ra nếu f là đơn cấu chẻ ra còn g là toàn cấu chẻ ra. Bây giờ ta nêu một số bổ đề về dãy khớp. BỔ ĐỀ 1.6. Cho giản đồ giao hoán sau của các môđun và đồng cấu f g A - BC- α β γ ? ? ? f 0 g0 A0 - B0 - C0 với các dòng khớp. (1) Nếu α, γ và f 0 là đơn cấu, thì β cũng vậy. (2) Nếu α, γ và g là toàn cấu, thì β cũng vậy. (3) Nếu β là đơn cấu, α, g là toàn cấu, thì γ là đơn cấu. (4) Nếu β là toàn cấu, f 0, γ là đơn cấu, thì α là toàn cấu. CHỨNG MINH. Ta chứng minh (1) và (4), còn (2) và (3) được chứng minh tương tự. (1) Chỉ cần chứng minh Kerβ = 0. Giả sử b ∈ Kerβ. Vì giản đồ giao hoán, γg(b) = g0β(b) = 0. Vì γ là đơn cấu, g(b) = 0 với b ∈ Kerg. Nhưng dòng trên là khớp nên Kerg = Imf. Như vậy, tồn tại một a ∈ A sao cho b = f(a). Bây giờ cũng do giản đồ giao hoán f 0α(a) = βf(a) = β(b) = 0. Cuối cùng, f 0 và α là đơn cấu, ta có a = 0, từ đó b = f(a) = 0. 30
(4) Cho a0 ∈ A0. Thì vì β là toàn cấu, tồn tại một b ∈ B sao cho β(b) = f 0(a). Vì giản đồ giao hoán và dòng thứ hai khớp ta có γg(b) = g0β(b) = g0f 0(a0) = 0. Nhưng γ là đơn cấu, nên b ∈ Kerg = Imf. Vậy tồn tại a ∈ A sao cho f(a) = b. Như vậy f 0α(a) = βf(a) = β(b) = f 0(a0). Cuối cùng, do f 0 là đơn cấu nên α(a) = a0. ¤ BỔ ĐỀ 1.7. (Bổ đề năm) Cho giản đồ giao hoán sau của các môđun và đồng cấu f g h k A - BCDE- - - α β γ δ ² ? ? ? ? ? f 0 g0 h0 k0 A0 - B0 - C0 - D0 - E0 với các dòng khớp. (1) Nếu α là toàn cấu, β và δ là đơn cấu, thì γ là đơn cấu. (2) Nếu ² là đơn cấu, β và δ là toàn cấu, thì γ là toàn cấu. (3) Nếu α, β, δ và ² là đẳng cấu, thì γ cũng vậy. CHỨNG MINH. Ta chứng minh bằng phương pháp săn trên biểu đồ. ¤ 1.2. Hom và dãy khớp. MỆNH ĐỀ 1.8. Cho MR và dãy khớp các R-môđun phải f g 0 −→ A −→ B −→ C. Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp Hom(1,f) HomR(1,g) 0 −→ HomR(M, A) −→ HomR(M, B) −→ HomR(M, C). CHỨNG MINH. Trước hết ta chứng minh tính khớp tại HomR(M, B). Thật vậy, ta có Hom(1, g)Hom(1, f) = Hom(1, gf) = Hom(1, 0) = 0. Do vậy ImHom(1, f) ⊆ KerHom(1, g). Ngược lại, giả sử v ∈ HomR(M, B) và Hom(1, g)(v) = gv = 0. Từ đó Imv ⊆ Kerg = Imf. Lấy j : Imf ,→ B thì v xác định đồng cấu v¯ : M −→ Imf sao cho v = jv.¯ Do f là đơn cấu nên ta có đẳng cấu f¯ : A −→ Imf và f = jf.¯ Đặt u = f¯−1v¯ thì v¯ = fu¯ . Suy ra v = jv¯ = jfu¯ = fu = Hom(1, f)(u). Do đó v ∈ ImHom(1, f). Vậy ta đã chứng minh tính khớp tại HomR(M, B) Để chứng minh tính khớp tại HomR(M, A), ta áp dụng kết quả vừa chứng minh cho dãy khớp 0 −→ 0 −→ A −→ B. ¤ Chứng minh tương tự ta có: MỆNH ĐỀ 1.9. Cho MR và dãy khớp các R-môđun phải f g A −→ B −→ C −→ 0. 31
Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp Hom(g,1) HomR(f,1) 0 −→ HomR(C, M) −→ HomR(B, M) −→ HomR(A, M). 1.3. Tenxơ và dãy khớp. MỆNH ĐỀ 1.10. Cho RM và dãy khớp các R-môđun phải f g A −→ B −→ C −→ 0. Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp f⊗1 g⊗1 A ⊗R M −→ B ⊗R M −→ C ⊗R M −→ 0. CHỨNG MINH. Ta xét đến biểu đồ sau, trong đó dòng trên là khớp f⊗1 - p - - A ⊗R M B ⊗R M B ⊗R M/Im(f ⊗ 1) 0 k k ∃h ? ? ? f⊗1 - g⊗1 - - A ⊗R MB ⊗R MC ⊗R M 0 Do dòng trên là khớp, vì vậy nên ta chỉ cần chứng minh nếu có h là đẳng cấu làm cho biểu đồ giao hoán là đủ. Thật vậy, do Im(f ⊗ 1) ⊆ Ker(g ⊗ 1) nên (g ⊗ 1)(f ⊗ 1) = gf ⊗ 1 = 0 ⊗ 1 = 0, nên theo tính chất của Coker, tồn tại một đồng cấu nhóm h : Coker(f ⊗ 1) −→ C ⊗R M sao cho g ⊗ 1 = hp. Suy ra hp(x ⊗ y) = h(x ⊗ y + Im(f ⊗ 1)) = (g ⊗ 1)(x ⊗ y) = g(x) ⊗ y. Để chứng minh h là một đẳng cấu nhóm, ta sẽ đi tìm một đồng cấu nhóm k : C⊗R M −→ Coker(f ⊗ 1) sao cho kh = hk = 1. Xét tương ứng k được xác định như sau: Cho c ∈ C, m ∈ M. Vì g là toàn ánh, nên tồn tại b ∈ B sao cho g(b) = c. Nếu g(b1) = g(b2) thì g(b1 − b2) = 0, do đó b1 − b2 ∈ Kerg = Imf, nên lại tồn tại a ∈ A sao cho f(a) = b1 − b2. Khi đó (b1 − b2) ⊗ m = f(a) ⊗ m = (f ⊗ 1)(a ⊗ m) ∈ Im(f ⊗ 1). Vậy: (b1 ⊗ m) − (b2 ⊗ m) ∈ Im(f ⊗ 1), do đó b1 ⊗ m + Im(f ⊗ 1) = b2 ⊗ m + Im(f ⊗ 1). Với chứng minh trên ta thành lập được ánh xạ j : C × M −→ B ⊗R M/Im(f ⊗ 1) bởi (c, m) = (g(b), m) 7−→ b ⊗ m + Im(f ⊗ 1). Có thể kiểm chứng dễ dạng j là song tuyến tính. Theo tính chất của tích tenxơ, tồn tại duy nhất một đồng cấu nhóm k : C ⊗R M −→ Coker(f ⊗ 1) xác định bởi: k(c ⊗ m) = b ⊗ m + Im(f ⊗ 1), c = g(b). 32
Do h(b ⊗ m + Im(f ⊗ 1)) = g(b) ⊗ m và k(g(b) ⊗ m) = b ⊗ m + Im(f ⊗ 1) trên các phần tử sinh, nên ta có ngay hk = 1C⊗RM và kh = 1B⊗RM/Im(f⊗1). Vậy ta có điều phải chứng minh. ¤ Chứng minh tương tự ta có: MỆNH ĐỀ 1.11. Cho MR và dãy khớp các R-môđun trái A −→ B −→ C −→ 0. Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp M ⊗R A −→ M ⊗R B −→ M ⊗R C −→ 0. Đối với tính khớp trái của tích tenxơ, ta xét đến các trường hợp đặc biệt sau: MỆNH ĐỀ 1.12. Cho RF là R-môđun trái tự do và dãy khớp các R-môđun phải f g 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0. Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp f⊗1 g⊗1 0 −→ A ⊗R F −→ B ⊗R F −→ C ⊗R F −→ 0. CHỨNG MINH. Ta chỉ cần chứng minh f ⊗ 1 là một đồng cấu nhóm. Thật vậy, do F là tự do nên nó có cơ sở {ci}I . Khi đó, mọi phần tử của A ⊗R F được viết duy nhất dưới dạng P 0 0 0 I xi ⊗ ci trong đó xi ∈ A và họ (xi)I có giá hữu hạn. P 0 P 0 0 Cho (f ⊗ 1)( I xi ⊗ ci) = I f(xi) ⊗ ci = 0. Lúc đó f(xi) = 0, ∀i ∈ I do mọi phần P 0 tử của B ⊗R F được viết duy nhất dưới dạng I xi ⊗ ci. Vì f là đơn ánh nên xi = 0, ∀i ∈ I. Nghĩa là, Ker(f ⊗ 1) = 0. ¤ 2. Dãy nửa khớp Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn f g · · · −→ X −→ Y −→ Z −→ · · · những đồng cấu của những môđum trên R gọi là nửa khớp nếu và chỉ nếu ảnh của đồng cấu vào bị chứa trong hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi môđun khác hai đầu (nếu có) của dãy. Dễ dàng ta thấy dãy đã cho là nửa khớp nếu và chỉ nếu cái hợp thành gf của đồng cấu kế tiếp bất kỳ f và g trong dãy là đồng cấu tầm thường. Mọi dãy khớp những đồng cấu những môđun trên R đều là dãy khớp, nhưng không phải mọi nửa khớp đều là khớp. Chẳng hạn, giả sử A là môđun con thực sự của một môđun X trên R, tức là A ≤ X nhưng A 6= X, và giả sử i : A −→ X là đồng cấu bao hàm. Thế thì trong dãy 0 −→ A −→i X −→ 0 33
là nửa khớp mà không khớp. Môđun thương Q = X/A dùng làm cái đo độ lệch so với sự khớp. Điều này gợi ra định nghĩa tổng quát sau. f g C : · · · −→ X −→ Y −→ Z −→ · · · những đồng cấu của những môđun trên R, môđun thương Ker(g)/Im(f) gọi là môđun dẫn xuất của dãy C tại môđun Y . Mệnh đề sau là hiển nhiên. MỆNH ĐỀ 2.1. Một dãy khớp những đồng cấu của những môđun trên R là khớp nếu và chỉ nếu tất cả các môđun dẫn xuất của nó đều tầm thường. Các môđun của dãy khớp C thường được chỉ số hoá bởi những số nguyên tiến. Nếu các số nguyên lùi được dùng để làm chỉ số, thì dãy nửa khớp C gọi là một dãy dưới (hay phức hợp dây chuyền) và các đồng cấu trong C đều được ký hiệu bằng cùng một chữ. Vậy mọi dãy dưới C có dạng sau: ∂ ∂ C : · · · −→ Cn+1 −→ Cn −→ Cn−1 −→ · · · với ∂ ◦ ∂ = 0. Trong trường hợp này, các phần tử C gọi là các dây chuyền n−chiều của C và các đồng cấu gọi là các toàn tử bờ. Hạt nhân của trong C được ký hiệu Zn(C) và gọi là môđun các chu trình n-chiều của C. Ảnh của ∂ trong Cn được ký hiệu là Bn(C) và gọi là môđun các bờ n-chiều của C. Cuối cùng, môđun dẫn xuất của C được ký hiệu là Hn(C) = Zn(C)/Bn(C) và gọi môđun đồng điều n−chiều của C. Từ nay trở về sau nếu không giải thích gì thêm ta viết z¯ ∈ Hn(C), nghĩa là z¯ = z + Bn(C) với z ∈ Bn(C). Khi các số nguyên tiến được dùng làm chỉ số, dãy nửa khớp C gọi là một dãy trên (hay phức hợp đối dây chuyền) và các đồng cấu trong C đều được ký hiệu bằng cùng một chữ δ. Vậy mọi dãy trên C có dạng sau: C : · · · −→ Cn−1 −→δ Cn −→δ Cn+1 −→ · · · với δ ◦ δ = 0. Trong trường hợp này, các từ đối dây chuyền, đối chu trình và đối bờ được dùng thay cho dây chuyền, chu trình và bờ trong các dãy dưới. Thêm nữa, các chỉ số trên được dùng thay cho các chỉ số dưới. Cuối cùng, môđun dẫn xuất Hn(C) = Zn(C)/Bn(C) gọi là môđun đối đồng đều n−chiều của C. Vì có giống nhau giữa các dãy trên và dãy dưới, nên ta sẽ chỉ xét các dãy dưới trong cả phần còn lại của mục này. Xét hai dãy dưới: ∂ ∂ C : · · · −→ Cn+1 −→ Cn −→ Cn−1 −→ · · · 34
∂ ∂ D : · · · −→ Dn+1 −→ Dn −→ Dn−1 −→ · · · của những môđun trên R. Ta gọi đồng cấu (hoặc phép biến đổi dây chuyền) f : C −→ D là một họ những đồng cấu f = {fn : Cn → Dn|n ∈ Z} của những môđun trên R, chỉ số hoá bởi các số nguyên n ∈ ZZ, sao cho quan hệ giao hoán ∂ ◦ fn = fn−1 ◦ ∂ xảy ra trong hình chữ nhật ∂ - Cn Cn−1 fn fn+1 ? ? ∂ - Dn Dn−1 với mọi số nguyên n ∈ ZZ. Bây giờ ta hãy xét một đồng cấu tuỳ ý cho trước f : C −→ D của dãy dưới C vào dãy dưới D. Từ các đồng cấu fn : Cn −→ Dn, chuyển Zn(C) vào Zn(D) và Bn(C) vào Bn(D). Do đó fn cảm ứng ra một đồng cấu Hn(f): Hn(C) −→ Hn(D) của các môđun đồng điều n−chiều Hn(C) và Hn(D). Đồng cấu Hn(f) này gọi là đồng cấu cảm ứng n−chiều của f. Ta gọi đồng cấu đồng nhất i : C −→ C của một dãy dưới C, là họ i = {in : Cn → Cn|n ∈ ZZ} các đồng cấu đồng nhất của các môđun Cn. Mệnh đề sau là hiển nhiên. MỆNH ĐỀ 2.2. Nếu i : C −→ C là đồng cấu đồng nhất của một dãy dưới C, thì Hn(i) là đồng cấu của môđun Hn(C) với mọi n ∈ ZZ. Giả sử f : C −→ D và g : D −→ E là những đồng cấu những dãy dưới. Thế thì họ h = {gn ◦ fn : Cn → Dn|n ∈ ZZ} dĩ nhiên là một đồng cấu của dãy dưới C vào dãy dưới E. Đồng cấu h : C −→ E gọi là cái hợp thành của các đồng cấu f : C −→ D và g : D −→ E và được ký hiệu là g ◦ f : C −→ E Mệnh đề sau là hiển nhiên. MỆNH ĐỀ 2.3. Nếu f : C −→ D và g : D −→ E là những đồng cấu của những dãy dưới thì ta có Hn(g ◦ f) = Hn(g) ◦ Hn(f) với mọi n ∈ ZZ. 35
Ta gọi dãy những tầm thường là một dãy dưới 0 sao cho, với mọi n ∈ ZZ gồm một phần tử duy nhất. Vì mọi dãy tầm thường đều là khớp, nên ta có Hn(0) = 0 với mọi số nguyên n ∈ ZZ Ta gọi đồng cấu tầm thường từ một dãy dưới C vào một dãy dưới D là đồng cấu h : C −→ D sao cho là đồng cấu tầm thường từ môđun Cn vào môđun Dn với mọi số nguyên n ∈ ZZ. Ta sẽ dùng ký hiệu h = 0 để chỉ câu nói: h là đồng cấu bình thường. MỆNH ĐỀ 2.4. Nếu h : C −→ D là đồng cấu tầm thường từ một dãy dưới C vào một dãy dưới D, thì Hn(h): Hn(C) −→ Hn(D) là đồng cấu tầm thường với mọi n ∈ ZZ. CHỨNG MINH. Gọi 0 là dãy dưới tầm thường sao cho 0n gồm phần tử không của Dn với mọi n ∈ Z. Gọi i : C −→ 0 và j : 0 −→ D là các đồng cấu duy nhất xác định. Vì h là tầm thường, nên ta có h = j ◦ i Theo Mệnh đề III.2.3 ta có Hn(h) = Hn(j) ◦ Hn(i) với mọi n ∈ Z. Vì Hn(0) = 0, nên điều này kéo theo Hn(h) = 0 với mọi n ∈ Z. ¤ Hai đồng cấu f, g : C −→ D từ dãy dưới C vào một dãy dưới D gọi là đồng luân nếu và chỉ nếu tồn tại một họ những đồng cấu h = {hn : Cn → Dn+1|n ∈ Z} sao cho, với mọi n ∈ Z, ta có ∂ ◦ hn − hn−1 ◦ ∂ = fn − gn trong biểu đồ sau: hn- Cn Dn+1 @ fn ∂ @ ∂ gn @ ? @@R ? hn−-1 Cn−1 Dn Trong trường hợp này, họ h gọi là đồng luân (hay một đồng luân dây chuyền) giữa các đồng cấu f và g; ký hiệu là h : f ' g : C −→ D MỆNH ĐỀ 2.5. Nếu hai đồng cấu f, g : C −→ D của những dãy dưới là đồng luân, thì ta có Hn(f) = Hn(g): Hn(C) −→ Hn(D) 36
với mỗi số nguyên n ∈ ZZ. CHỨNG MINH. Giả sử h : f ' g : C −→ D. Để chứng minh Hn(f) = Hn(g), giả sử x ∈ Hn(C) là tùy ý cho trước. Chọn z ∈ Zn(C) với p(z) = x, trong đó p là phép chiếu tự nhiên của môđun Zn(C) lên môđun thương Hn(C) của nó. Thế thì ta có fn(z) − gn(z) = ∂(hn(z)) + hn−1(∂(z)) = ∂(hn(z)) vì ∂(z) = 0. Bởi vì ∂(hn(z)) ∈ Bn(D), nên ta có Hn(f)(x) = Hn(g)(x). Từ đây suy ra Hn(f) = Hn(g). ¤ Bây giờ ta xét một dãy khớp ngắn bất ký (S) những dãy dưới f g (S) : 0 −→ C −→ D −→ E −→ 0 Điều đó có nghĩa là f : C −→ D và g : D −→ E là những đồng cấu của những dãy dưới sao cho fn gn 0 −→ Cn −→ Dn −→ En −→ 0 là một dãy khớp ngắn những R-môđun với mọi số nguyên n ∈ ZZ. BỔ ĐỀ 2.6. Với mọi số nguyên n ∈ ZZ. Dãy Hn(f) Hn(g) Hn(C) −→ Hn(D) −→ Hn(E) những môđun trên R là khớp. CHỨNG MINH. Vì g ◦ f = 0, nên từ Mệnh đề III.2.3, III.2.4 suy ra Hn(g) ◦ Hn(f) = Hn(g ◦ f) = 0 với mọi n ∈ ZZ. Ta còn phải chứng minh Ker(Hn(g)) ⊆ Im(Hn(f)) với mọi n ∈ ZZ. Muốn như vậy, gọi z¯ là một phần tử bất kỳ của Hn(D) trong môđun con Ker(Hn(g)) của nó. Vì Hn(g)(¯z) = 0, nên ta có gn(z) ∈ Bn(E). Do đó tồn tại một phần tử y ∈ En+1 với ∂(y) = gn(z) trong đó ∂ là toán tử bờ ∂ : En+1 −→ En. Vì gn+1 là một toàn cấu, nên tồn tại phần tử x của Dn+1 với gn+1(x) = y. Khi đó ta có gn(z − ∂(x)) = gn(z) − gn(∂(x)) = gn(z) − ∂(gn+1(x)) = gn(z) − ∂(y) = 0 Điều này kéo theo z − ∂(x) ∈ Ker(gn) = Im(fn). Do đó tồn tại một phần tử w ∈ Cn với fn(w) = z − ∂(x). Khi đó ta có fn−1(∂(w)) = ∂(fn(w)) = ∂(z − ∂(x)) = ∂(z) = 0. Vì fn−1 là một đơn cấu, nên điều này kéo theo ∂(w) = 0 và do đó w ∈ Zn(C). Vì ∂(x) ∈ Bn(D), nên ta có fn(w) − z = ∂(x) ∈ Bn(D) và vì vậy f(w) =z ¯ ∈ Hn(D). Do đó Hn(f)(w ¯) =z ¯. Điều này thiết lập bao hàm thức Ker(Hn(g)) ⊆ Im(Hn(f)) và hoàn thành phép chứng minh của Bổ đề. ¤ Để nối các dãy khớp trong Bổ đề III.2.6 thành một dãy duy nhất ta phải dựng, với mỗi số nguyên n, một đồng cấu ∂ : Hn(E) −→ Hn−1(D). 37
Các đồng cấu này gọi là các đồng cấu nối của dãy khớp ngắn(S). Muốn như vậy, ta hãy định nghĩa một ánh xạ φ : Zn(E) −→ Hn−1(C) như sau. Gọi z là một phần tử tuỳ ý của Zn(E). Vì gn : Dn −→ En là một toàn cấu, nên tồn tại một phần tử u ∈ Dn với gn(u) = z. Xét phần tử ∂(u) ∈ Dn−1. Vì gn−1(∂(u)) = ∂(gn(u)) = ∂(z) = 0 nên ta có ∂(u) ∈ Ker(gn−1) = Im(fn−1). Vì fn−1là một đơn cấu, nên tồn tại một v duy nhất thuộc Cn−1 với fn−1(v) = ∂(u). Khi đó ta có fn−2(∂(v)) = ∂(fn−1(v)) = ∂(∂(u)) = 0 Vì fn−2 là một đơn cấu, nên điều này kéo theo ∂(v) = 0. Do đó v ∈ Zn−1(C). Vậy ta dược một phần tử w = p(v) ∈ Hn−1(C) trong đó p là phép chiếu tự nhiên p : Zn−1(C) −→ Hn−1(C). BỔ ĐỀ 2.7. Phần tử w ∈ Hn−1(C) không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử u ∈ Dn và do đó nó chỉ phụ thuộc vào vào các phần tử z ∈ Zn(E). 0 CHỨNG MINH. Gọi u và u là hai phần tử bất kỳ của Dn với 0 gn(u) = z = gn(u ) 0 Thế thì tồn tại những phần tử duy nhất xác định v và v của Cn−1 thoả mãn 0 0 fn−1(v) = ∂(u), fn−1(v ) = ∂(u ) Chỉ việc chứng minh p(v) = p(v0) là đủ. 0 0 0 0 Muốn vậy, xét phần tử u − u của Dn. Vì gn(u − u ) = gn(u) − gn(u ) = z − z = 0 nên 0 0 ta có u − u ∈ Ker(gn) = Im(fn). Do đó tồn tại một phần tử y ∈ Cn với fn(y) = u − u . Khi đó ta có 0 0 fn−1[v − v − ∂(y)] = fn−1(v) − fn−1(v ) − fn−1[∂(y)] 0 0 0 = ∂(u) − ∂(u ) − ∂[fn(y)] = ∂(u) − ∂(u ) − ∂(u − u ) = 0. Vì fn−1 là một đơn cấu nên điều này kéo theo 0 v − v = ∂(y) ∈ Bn−1(C). Do đó ta được p(v) − p(v0) = p(v − v0) = 0. Điều này kéo theo p(v) = p(v0) và hoàn thành phép chứng minh của Bổ đề III.2.7. ¤ Do Bổ đề III.2.7 ta có thể định nghĩa hàm φ : Zn(E) −→ Hn−1(C) 38
bằng cách cho ứng với mỗi phần tử z của Zn(E), phần tử φ(z) = w = p(v) ∈ Hn(C) với u ∈ Dn và v ∈ Cn−1 tuỳ ý, thoả mãn gn(u) = z và fn−1(v) = ∂(u). BỔ ĐỀ 2.8. Hàm φ là một đồng cấu của môđun Zn(E) vào môđun Hn−1(C). 0 0 0 CHỨNG MINH. Giả sử z, z ∈ Zn(E) và α, α ∈ R là tùy ý cho trước. Chọn u, u ∈ Dn 0 0 0 0 0 và v, v ∈ Cn−1 thỏa mãn gn(u) = z, g(u ) = z và fn−1(v) = ∂(u), fn−1(v ) = ∂(u ). 0 0 0 0 0 0 0 0 Khi đó ta có gn(αu + α u ) = αz + α z , fn−1(αv + α v ) = ∂(αu + α u ). Từ đó ta có φ(αz + α0z0) = p(αv + α0v0) = αp(v) + α0p(v0) = αφ(z) + α0α(z0). Điều này chứng tỏ φ là R-đồng cấu. ¤ BỔ ĐỀ 2.9. Hạt nhân của đồng cấu φ chứa môđun con Bn(E) của Zn(E). CHỨNG MINH. Gọi z ∈ Bn(E) bất kỳ. Theo định nghĩa của Bn(E), tồn tại y ∈ En+1 với ∂(y) = z. Vì gn+1 là toàn cấu, nên tồn tại w ∈ Dn+1 sao cho gn+1(w) = y. Đặt u = ∂(w). Khi đó ta có gn(u) = gn(∂(w)) = ∂(gn+1(w)) = ∂(y) = z 2 Mặt khác, vì ∂(u) = ∂ (w) = 0, nên ta có chọn v = 0 ∈ Cn−1 sao cho fn−1(v) = 0 = ∂(u). Theo định nghĩa của φ, ta được φ(z) = p(v) = 0. ¤ Do Bổ đề III. 2.9, đồng cấu φ cảm sinh ra một đồng cấu ∂ : Hn(E) −→ Hn−1(C) với mọi số nguyên n. Vậy ta được một dãy f∗ g∗ ∂ · · · −→ Hn(C) −→ Hn(D) −→ Hn(E) −→ Hn−1(C) −→ · · · trong đó f∗ = Hn(f) và g∗ = Hn(g). Dãy này gọi là dãy đồng điều của dãy khớp ngắn (S) ĐỊNH LÍ 2.10. Dãy đồng điều của mọi khớp ngắn những dưới là khớp. CHỨNG MINH. Do Bổ đề III. 2.6, ta chỉ việc thiết lập hai đẳng thức sau là đủ (1) Im(g∗) = Ker(∂), (2) Im(∂) = Ker(f∗). Chứng minh (1): Ta để ý tới phần sau g∗ ∂ Hn(D) −→ Hn(E) −→ Hn−1(C) của dãy đồng điều. Gọi α¯ là một phần tử bất kỳ của Hn(E) trong Im(g∗). Thế thì tồn tại một phần tử z¯ của Hn(D) với g∗(¯z) =α ¯. Theo định nghĩa của g∗ ta có gn(z) − α ∈ B(En). Vì z ∈ Zn(D), nên ta có ∂(z) = 0. Do đó ta có thể chọn v = 0 ∈ Cn−1 thoả mãn fn−1(v) = 0 = ∂(z). Từ định nghĩa của ∂ : Hn(E) −→ Hn−1(C) ta suy ra rằng ∂(¯α) = p(v) = 0 và do đó α¯ ∈ Ker(∂). Vì α là một phần tử bất kỳ của Im(g∗), nên điều này chứng minh bao hàm thức Im(g∗) ⊂ Ker(∂). 39
Mặt khác, gọi z¯ là một phần tử bất kỳ của Hn(E) trong Ker(∂). Theo định nghĩa của ∂(¯z) tồn tại những phần tử u ∈ Dn và v ∈ Cn−1, thoả mãn gn(u) = z và fn−1(v) = ∂(u). Vì ∂(α) = 0 ∈ Hn−1(C), nên ta có v ∈ Bn−1(C). Do đó tồn tại một phần tử w ∈ Cn với ∂(w) = 0. Đặt y = u − fn(w) ∈ Dn, khi đó ta có: ∂(y) = ∂(u) − ∂[fn(w)] = 0 ∂(u ) − fn−1[∂(w)] = ∂(u) − fn−1(v) = 0. Điều này kéo theo y ∈ Zn(D). Vì gn(y) = gn[u − fn(w)] = gn(u) − gn[fn(w)] = z, nên ta có g∗(¯y) =z ¯ và do đó z¯ ∈ Im(g∗). Nên điều này chứng minh bao hàm thức Ker(∂) ⊂ Im(g∗). Điều này hoàn thành pháp chứng minh của đẳng thức (1). ∂ f∗ Chứng minh(2): Ta để ý tới phần sau Hn(E) −→ Hn−1(C) −→ Hn−1(D) của dãy đồng điều. Gọi α¯ là một phần tử bất kỳ của Hn−1(C). Thế thì tồn tại z¯ ∈ Hn(E) với ∂(¯z) =α ¯. Theo định nghĩa của ∂, tồn tại những phần tử u ∈ Dn và v ∈ Cn−1 thoả mãn gn(u) = z, v − α ∈ Zn−1(C), fn−1(v) = ∂(u). Các điều này kéo theo f∗(¯α) = 0 và do đó α¯ ∈ Ker(f∗). Vì α¯ là một phần tử bất kỳ của Im(∂), nên ta đã giả thiết lập bao hàm thức Im(∂) ⊂ Ker(f∗). Mặt khác, gọi z¯ là một phần tử bất kỳ của Hn−1(C) trong Ker(f∗). Vì f∗(¯z) = 0, nên tồn tại một phần tử u của Dn thoả mãn ∂(u) = fn−1(z). Đặt y = gn(u) ∈ En. Thế thì ta có: ∂(y) = ∂[gn(u)] = gn−1[∂(u)] = gn−1[fn−1(z)] = 0. Điều này kéo theo y ∈ Zn(E). Vì gn(u) = y, fn−1(z) = ∂(u), nên ta định nghĩa của ∂(¯y) ta suy ra rằng ∂(¯y) =z ¯ và do đó z¯ ∈ Im(∂). Vì z¯ là một phần tử bất kỳ của Ker(f∗) nên điều này chứng minh bao hàm thức Ker(f∗) ⊂ Im(∂). Vậy ta đã thiết lập đẳng thức (2) và hoàn thành phép chứng minh. ¤ Hệ luận sau là một hệ quả tứckhắc của Định lý III. 2.10. HỆ QUẢ 2.11. Nếu hai trong ba dãy dưới C, D, E trong dãy khớp ngắn (S) là khớp, thì dãy dưới còn lại cũng thế. HỆ QUẢ 2.12. Nếu trong biểu đồ giao hoán sau những đồng cấu của những môđun trên R với tất cả ba đồng điều khớp, và tất cả ba cột đều nửa khớp, thì tính chất khớp của hai cột bất kỳ kéo theo tính chất khớp của cột còn lại. 40
0 0 0 ? ? ? - - - - 0 A1 B1 C1 0 ? ? ? - - - - 0 A2 B2 C2 0 ? ? ? - - - - 0 A3 B3 C3 0 ? ? ? 0 0 0 3. Bài tập BÀI TẬP 17. Xét biểu đồ sau những đồng cấu của những môđun trên R f g A - BC- - 0 h ? D trong đó dòng là khớp và hf = 0. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu k : C −→ D sao cho kg = h. BÀI TẬP 18. Xét biểu đồ sau những đồng cấu của những môđun trên R D h f ? g 0 - ABC- - trong đó dòng là khớp và gh = 0. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu k : D −→ A sao cho fk = h. BÀI TẬP 19. Xét biểu đồ sau những đồng cấu của những môđun trên R f g A - BC- - 0 α β ? ? f 0 g0 A0 - B0 - C0 41
trong đó hình vuông là giao hoán, dòng trên là khớp và dòng dưới là nửa khớp. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu γ : C −→ C0 sao cho γg = g0β. BÀI TẬP 20. Xét biểu đồ sau những đồng cấu của những môđun trên R f g A - BC- β γ ? ? f 0 g0 0 - A0 - B0 - C0 trong đó hình vuông là giao hoán, dòng trên là nửa khớp và dòng dưới là khớp. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu α : A −→ A0 sao cho βf = f 0α. 42
CHƯƠNG 4 Môđun nội xạ và xạ ảnh 1. M-xạ ảnh và M-nội xạ 1.1. Các định nghĩa và tính chất. Cho UR là một môđun. Nói chung các hàm tử HomR(U, −) và HomR(−,U) là không khớp. Ví dụ dễ dàng thấy rằng cả HomZZ (ZZ2, −) và HomZZ (−, ZZ2) không khớp khi ta cho dãy khớp ngắn 0 −→ ZZ −→ ZZ −→ ZZ2 −→ 0. Tuy nhiên trong một vài trường hợp đặc biệt các hàm tử HomR(U, −) và HomR(−,U) khớp. Ta sẽ xét đến chúng như sau: ĐỊNH NGHĨA 1.1. Cho UR là một môđun. Nếu MR là một môđun, thì U được gọi là xạ ảnh theo M (hay U là M-xạ ảnh) trong trường hợp với mọi toàn cấu g : MR −→ NR và mỗi đồng cấu ν : UR −→ NR tồn tại một R-đồng cấu ν¯ : U −→ M sao cho giản đồ sau giao hoán p U p p ν¯ p p p ν p p © g ? MN- - 0 Đối ngẫu ta có: ĐỊNH NGHĨA 1.2. Cho UR là một môđun. Nếu MR là một môđun, thì U được gọi là nội xạ theo M (hay U là M-nội xạ) trong trường hợp với mọi đơn cấu f : KR −→ MR và mỗi đồng cấu ν : KR −→ UR tồn tại một R-đồng cấu ν¯ : M −→ U sao cho giản đồ sau giao hoán U p p 6I p ν¯ ν p p p p f p 0 - KM- Mệnh đề sau khẳng định tính khớp của HomR(U, −) và HomR(−,U). MỆNH ĐỀ 1.3. Cho U và M là các R-môđun phải. Lúc đó các điều kiện sau là tương đương. (a) U là M-xạ ảnh. 43
(b) Mọi dãy khớp ngắn trong Mod-R với M nằm ở giữa f g 0 −→ K −→ M −→ N −→ 0, thì dãy sau cũng khớp f∗ g∗ 0 −→ HomR(U, K) −→ HomR(U, M) −→ HomR(U, N) −→ 0, ¯ (c) Với mỗi môđun con KR ≤ MR, mỗi R-đồng cấu h : U −→ M/K, tồn tại h : U −→ M sao cho ηK ν¯ = ν trong đó ηK là toàn cấu tự nhiên từ M vào M/K. CHỨNG MINH. (a) ⇐⇒ (b). Ta đã biết rằng điều kiện (b) đúng khi và chỉ khi với mọi f toàn cấu M −→ N −→ 0, dãy f∗ HomR(U, M) −→ HomR(U, N) −→ 0 là khớp. Nhưng f∗ là toàn cấu nếu và chỉ nếu với mỗi ν ∈ HomR(U, N) tồn tại một ν¯ ∈ HomR(U, M) sao cho ν = f∗(¯ν) = fν.¯ (a) =⇒ (c) là rõ ràng. (c) =⇒ (a). Giả sử chúng ta có một toàn cấu g : M −→ N với K = Kerg. Lúc đó theo tính chất của môđun thương, tồn tại đẳng cấu h : N −→ M/K sao cho hg = ηK . Theo giả thiết, nếu ν : U −→ N thì tồn tại ν¯ sao cho giản đồ sau giao hoán: U ν¯ ν © g ? MN- - 0 @ ηK @ h @@R ? M/K Như vậy ta có hgν¯ = ηK ν¯ = hν. Vì h là một đẳng cấu, ta có gν¯ = ν và U là M-xạ ảnh. ¤ Đối ngẫu với Mệnh đề IV. 1.3, ta có: MỆNH ĐỀ 1.4. Cho U và M là các R-môđun phải. Lúc đó các điều kiện sau là tương đương. (a) U là M-nội xạ. (b) Mọi dãy khớp ngắn trong Mod-R với M nằm ở giữa f g 0 −→ K −→ M −→ N −→ 0, thì dãy sau cũng khớp g∗ f ∗ 0 −→ HomR(N, U) −→ HomR(M, U) −→ HomR(K, U) −→ 0, (c) Với mỗi môđun con KR ≤ MR, mỗi R-đồng cấu h : K −→ U, đều có thể mở rộng đến một đồng cấu h¯ : M −→ U. 44
CHÚ Ý 1.5. a) Môđun PR được gọi là xạ ảnh nếu nó là M-xạ ảnh với mọi M ∈ Mod−R. (a) Môđun QR được gọi là nội xạ nếu nó là M-nội xạ với mọi M ∈ Mod − R. HỆ QUẢ 1.6. (a) môđun PR là xạ ảnh khi và chỉ khi hàm tử hiệp biến cọng tính HomR(P, −) là khớp trong Mod-R. (b) môđun QR là nội xạ khi và chỉ khi hàm tủ phản biến cọng tính HomR(−,Q) là khớp trong Mod-R. 2. môđun xạ ảnh và nội xạ. Từ Định nghĩa IV.1.1, IV.1.2, chú ý IV.1.5, ta khai triển chi tiết ra như sau: ĐỊNH NGHĨA 2.1. Cho PR là một môđun. Lúc đó P được gọi là xạ ảnh trong trường hợp với mọi toàn cấu β : B −→ C và mỗi đồng cấu ψ : P −→ C tồn tại một đồng cấu λ : P −→ B sao cho ψ = βλ, nghĩa là, giản đồ sau giao hoán P p p λ p p p ψ p p © β ? BC- - 0 ĐỊNH NGHĨA 2.2. Cho QR là một môđun. Lúc đó Q được gọi là nội xạ trong trường hợp với mọi đơn cấu f : KR −→ MR, với mọi KR,MR và mỗi đồng cấu ν : KR −→ UR tồn tại một R-đồng cấu ν¯ : M −→ U sao cho νf¯ = ν, nghĩa là, giản đồ sau giao hoán U p p 6I p ν¯ ν p p p p f p 0 - KM- Ta có các mệnh đề đặc trưng các môđun nội xạ và xạ ảnh như sau. MỆNH ĐỀ 2.3. Cho P là R-môđun phải. Lúc đó các điều kiện sau là tương đương. (a) P là xạ ảnh. (b) Với mỗi toàn cấu ϕ : B −→ P là chẻ ra, nghĩa là ker ϕ là hạng tử trực tiếp của B. (b) Mọi toàn cấu β : B −→ C thì ánh xạ HomR(1P , β): HomR(P, B) −→ HomR(P, C) là một toàn cấu. Đối ngẫu ta có: MỆNH ĐỀ 2.4. Cho Q là R-môđun phải. Lúc đó các điều kiện sau là tương đương. (a) Q là nội xạ. 45
(b) Với mỗi đơn cấu ϕ : Q −→ B là chẻ ra, nghĩa là im ϕ là hạng tử trực tiếp của B. (c) Mọi đơn cấu α : A −→ B thì ánh xạ HomR(α, 1Q): HomR(B, Q) −→ HomR(A, Q) là một toàn cấu. (d) Tiêu chuẩn Baer: Mỗi iđêan phải U ≤ RR và mỗi đồng cấu ρ : U −→ Q tồn tại đồng cấu τ : RR −→ Q sao cho ρ = τν, trong đó ν là phép nhúng U vào R. CHỨNG MINH. (a) ⇒ (b), (c) ⇒ (d) dễ dàng chứng minh hoặc là kết quả thu nhận từ trên. (b) ⇒ (c). Cho α : A −→ B là đơn cấu, còn ψ : A −→ Q là R-đồng cấu tùy ý. Ta lập: α A - B ψ β ? ϕ ? Q - N trong đó N = Q ⊕ B/U, U = {(ψ(a), −α(a))|a ∈ A}, còn ϕ : Q 3 q 7−→ (q, 0) + U ∈ N, β : B 3 b 7−→ (0, b) + U ∈ N. (Phần chứng minh U là môđun con của N, ϕ, β là các R-đồng cấu xin dành cho bạn đọc). Do α là đơn cấu, ta có ϕ cũng là đơn cấu. Thật vậy, cho ϕ(q) = (q, 0) + U = 0. Khi đó (q, 0) ∈ U nên tồn tại a ∈ A sao cho q = ψ(a), −α(a) = 0. Do vậy a = 0 và dĩ nhiên q = 0. Theo giả thiết, imϕ là hạng tử trực tiếp của N, nghĩa là N = imϕ ⊕ N0. Do ϕ là đơn cấu −1 nên ta có đẳng cấu ϕ0 : Q −→ imϕ. Xét phép chiếu π : N −→ imϕ. Lúc đó γ = ϕ0 πβ chính là đồng cấu cần tìm, vì −1 −1 −1 γα(a) = ϕ0 πβ(a) = ϕ0 πψ(a) = ϕ0 π(ψ(a), 0) + U) = ψ(a), ∀a ∈ A. (d) ⇒ (a). Ta chứng minh theo hai bước sau: Bước 1: Cho α : A −→ B là đồng cấu, ϕ ∈ HomR(A, Q). Giả sử C < B, C 6= B, imα ≤ C và giả sử γ : C −→ Q là đồng cấu, ngoài ra ϕ(a) = γα(a), ∀a ∈ A. Chúng ta chứng minh rằng tồn tại môđun con C1 ≤ B, C < C1,C 6= C1 và đồng cấu γ1 : C1 −→ Q sao cho γ1|C = γ (và dĩ nhiên ϕ(a) = γ1α(a).) Thật vậy, lấy b ∈ B, b 6∈ C. Đặt C1 = C + bR. Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: C ∩ bR = 0 thì có thể mở rộng γ lên C1 dễ dàng. 46
Trường hợp 2: C ∩ bR 6= 0. Đặt U = {u ∈ R|bu ∈ C}. Rõ ràng (?) U là iđêan phải của R và ψ : U 3 u 7−→ bu ∈ C là R-đồng cấu. Đặt ρ = γψ : U −→ Q. Theo giả thiết tìm được đồng cấu τ : R −→ Q sao cho ρ = τι ι U - R ψ ? C τ γ ? Q Ta định nghĩa γ1 : C1 3 c + br 7−→ γ(c) + τ(r) ∈ Q. Ta cần chứng minh γ1 là ánh xạ. Thật vậy, với c + br = c1 + br1, c, c1 ∈ C, r, r1 ∈ R, thì c − c1 = b(r1 − r) ∈ C ∩ bR hay r−r1 ∈ U ⇒ γψ(r−r1) = τ(r−r1) ⇒ γ(c−c1) = γ(b(r1 −r)) = γψ(r1 −r) = τ(r1 −r). Vậy γ(c) + τ(r) = γ(c1) + τ(r1). Do γ và τ là các R-đồng cấu nên γ1 cũng là R-đồng cấu và suy ra γ1|C = γ từ định nghĩa của γ1 Bước 2: Giả sử C0 = imα và α0 là đẳng cấu của môđun A lên C0 cảm sinh bởi α. Đặt −1 γ0 = ϕα . Khi đó ϕ(a) = γα(a), ∀a ∈ A. Lấy đồng cấu γ0 lên B nhờ bước 1 và bổ đề Zorn. Thật vậy, giả sử Γ là tập các cặp (C, γ) trong đó imα = C0 ≤ C ≤ B và γ : C −→ Q, ngoài ra γ|C0 = γ0. Tập này khác rỗng vì (C0, γ0) ∈ Γ. Ngoài ra trong tập Γ thứ tự là: (Cγ) ≤ (C1, γ1) ⇔ C ≤ C1 va γ1|C = γ Bây giờ giả sử Λ là tập sắp thứ tự toàn phần khác rỗng tùy ý trong Γ và [ D = C (C,γ)∈Λ Rõ ràng C0 ≤ D ≤ B. Ngoài ra δ : D 3 d 7−→ γ(d) ∈ Q, trong đó d ∈ C, (C, γ) ∈ Λ, thì theo điều kiện trên δ là đồng cấu và δ|C0 = γ0. Vậy (D, δ) là cận trên đối với Λ trong Γ. Theo Bổ đề Zorn, tồn tại phần tử cực đại, và theo bước 1 nó phải bằng (B, ν) trong đó ϕ = να. Điều phải chứng minh. ¤ HỆ QUẢ 2.5. Ta có các tính chất sau: (1) Q nội xạ, Q ' A =⇒ A nội xạ. (2) P xạ ảnh, P ' C =⇒ C xạ ảnh. CHỨNG MINH. (1) Cho ϕ : Q ' A. Cho α : A −→ B là đơn cấu thì αϕ cũng là đơn cấu. Theo IV.2.4, im (α) là hạng tử trực tiếp của B. Do đó im (αϕ) cũng là hạng tử trực tiếp cuả B. Vậy A là nội xạ. 47
(2) Đối ngẫu. ¤ ĐỊNH LÍ 2.6. Ta có: Q (1) Cho Q = Qi. Lúc đó Q nội xạ ⇐⇒ Qi nội xạ ∀i ∈ I. i∈I L (2) Cho P = Pi. Lúc đó P xạ ảnh ⇐⇒ Pi xạ ảnh ∀i ∈ I. i∈I ĐỊNH LÍ 2.7. Về mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun tự do. P xạ ảnh ⇐⇒ P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun tự do nào đó. CHỨNG MINH. (⇐). Do môđun tự do là xạ ảnh và IV.2.6.(2). (=⇒). Cho P là xạ ảnh và ψ : F −→ P là một toàn cấu từ môđun tự do F vào P (tồn tại do mọi môđun đều là ảnh toàn cấu cuả một môđun tự do). Do P xạ ảnh, ψ chẽ ra. Vậy F = Ker(ψ) ⊕ F0. Từ đó F0 ' P. Đối với ZZ-môđun, ta có: ¤ ĐỊNH LÍ 2.8. Đối với ZZ-môđun thì hai khái niệm xạ ảnh và tự do là như nhau. ĐỊNH NGHĨA 2.9. Nhóm aben A được gọi là chia được nếu ∀z ∈ ZZ[z 6= 0 =⇒ Az = A]. Các tính chất cơ bản của nhóm chia được là: 1) Ảnh toàn cấu của nhóm chia được là nhóm chia được. 2) Nhóm thương của nhóm chia được là nhóm chia được 3) Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của nhóm chia được là nhóm chia được 4) Mỗi nhóm aben đẳng cấu với nhóm con của nhóm aben chia được nào đó. ĐỊNH LÍ 2.10. Nhóm aben A chia được là ZZ-môđun nội xạ. CHỨNG MINH. Lấy ϕ : DZZ −→ BZZ là đơn cấu, trong đó DZZ là nhóm chia được. Ta chứng minh rằng Imϕ là hạng tử trực tiếp của BZZ . Theo tính chất (1) Imϕ là nhóm chia được, vì vậy không mất tính tổng quát ta có thể giả sử DZZ là nhóm con của BZZ và ϕ = ι là phép nhúng. Đặt Γ = {U|U ≤ B và D ∩ U = 0}. Lúc đó Γ 6= ∅ vì lấy U = 0 thì 0 ∈ Γ. Ngoài ra rõ ràng hợp của tập các phần tử sắp thứ tự toàn phần các phần tử trong Γ cũng thuộc Γ. Do vậy theo Bổ đề Zorn, có phần tử cực đại trong Γ, mà ta sẽ kí hiệu là U. Có thể nói rằng U là B-phần bù của D. Lúc đó, D + U = D ⊕ U ≤ B. Ta chứng minh rằng B = D ⊕ U. Thật vậy, với b ∈ B, xét iđêan z0ZZ z0ZZ = {z ∈ ZZ|bz ∈ D + U}. Ta có z0ZZ 6= 0 vì nếu không thì đối với môđun con H sinh ra bởi phần tử b, ta có H ∩ (D + U) = 0 =⇒ (H + U) ∩ D = 0, trái với cách chọn U. 48
Giả sử bz0 = d + u. Do D chia được nên tồn tại d0 sao cho d0z0 = d. Từ đó suy ra (b − d0)z0 = u. Vậy z0ZZ = {z ∈ ZZ|(b − d0)z ∈ D + U}. Ta lại chứng minh rằng D∩(U +(b−d0)ZZ) = 0. Thật vậy, giả sử d1 = u1 +(b−d0)z1 ∈ D ∩ U + (b − d0)ZZ thì (b − d0)z1 = d1 − u1 ∈ D + U suy ra z1 = z0t, t ∈ ZZ(z1 ∈ z0ZZ). Từ đó, (b − d0)z0t = ut = d1 − u1. Vậy 0 = d1 − (u1 + ut). Nghĩa là d1 = 0. Do tính cực đại của U suy ra (b − d0)ZZ ≤ U. Suy ra b − d0 ∈ U hay b ∈ D + U. Vậy B = D ⊕ U. ¤ Chiều ngược lại cũng đúng HỆ QUẢ 2.11. ZZ-môđun nội xạ ⇐⇒ ZZ-môđun chia được. Sau đây ta chứng minh một kết qủa chính của phần này là: ĐỊNH LÍ 2.12. Mỗi môđun là môđun con của một môđun nội xạ nào đó. Để chứng minh Định lý này ta cần các Bổ đề sau: BỔ ĐỀ 2.13. Nếu D là ZZ-môđun chia được (nội xạ), thì (HomZZ (R, D))R nội xạ. CHỨNG MINH. Cho α : A −→ B là R-đơn cấu tuỳ ý và ϕ : A −→ HomZZ (R, D) là R-đồng cấu tuỳ ý. Lấy σ : HomZZ (R, D) −→ D f 7−→ f(1) là ZZ-đồng cấu. Xét giản đồ sau: α 0 - AB- κ ϕ ? © HomZZ (R, D) τ σ ? D Khi xét α, ϕ như là các ZZ-đồng cấu thì do D là ZZ-nội xạ nên tồn tại ZZ-đồng cấu τ : B −→ D sao cho σ ϕ = τα . Xác định κ : B −→ HomZZ (R, D) b 7−→ κ(b)(r) = τ(br), b ∈ B, r ∈ R. 49
Chứng minh κ(b) ∈ HomZZ (R, D) (rõ). Ngoài ra κ(br1)(r) = τ(br1r) = κ(b)(r1r) = (κ(b)r1)(r) suy ra κ(br1) = κ(b)r1 hay κ là R-đồng cấu và κα (a)(r) = τ(α(a)r) = τ(α (ar)) = τα (ar) = σ ϕ (ar) = ϕ (ar)(1) = (ϕ(a)r)(1) = ϕ(a)(r). Suy ra κα = ϕ. ¤ MỆNH ĐỀ 2.14. Đối với mỗi môđun tồn tại đơn cấu vào môđun nội xạ. CHỨNG MINH. Cho MR. Theo tính chất (4) ở trên, tồn tại ZZ-đồng cấu µ : M −→ D, trong đó D là nhóm aben chia được. Theo IV.2.13, HomZZ (R, D)R là R-nội xạ. Xác định ρ : M −→ HomZZ (R, D) m 7−→ ρ (m): R −→ D. r 7−→ ρ (m)(r) = µ (mr) trong đó ρ là R-đồng cấu. Do µ là đơn cấu suy ra ρ cũng là đơn cấu. ¤ HỆ QUẢ 2.15. QR nội xạ ⇐⇒ QR đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun dạng HomZZ (R, D)R, trong đó D là nhóm aben chia được. CHỨNG MINH. (=⇒) Theo IV.2.14. (⇐) Theo IV.2.6 và IV.2.13. ¤ 0 MỆNH ĐỀ 2.16. Cho ρ : MR −→ NR là đơn cấu. Khi đó tìm được môđun N thoả điều kiện: *) M ≤ N 0. *) có đẳng cấu τ : N 0 −→ N sao cho ρ = τι, trong đó ι là phép nhúng M vào N 0. CHỨNG MINH. Cho D là tập tuỳ ý có lực lượng bằng N \ ρ(M), ngoài ra D ∩ M 6= ∅ và β : D −→ N \ ρ (M) là song ánh nào đó. Xét tập N 0 = M ∪ D và giả sử τ : N 0 −→ N là một song ánh xác định như sau: τ(m) = ρ (m), m ∈ M. τ(d) = β (d), d ∈ D. 0 Ta biến N thành R-môđun chứa MR, còn τ đồng cấu R-môđun mhờ định nghĩa: x + y = τ −1(τ(x) + τ(y)), x, y ∈ N 0 xr = τ −1(τ(x)r), r ∈ R. Suy ra điều phải chứng minh. ¤ Chứng minh Định lý IV.2.12. 0 Rõ ràng, vì lúc đó ta có N ' N ' (HomZZ (R, D))R là nội xạ. 50
3. Bao nội xạ và bao xạ ảnh của một môđun. 3.1. Môđun con cốt yếu và đối cốt yếu. Một môđun con K của M là một hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu tồn tại một môđun con K0 của M sao cho K ∩ K0 = 0 và K + K0 = M nghĩa là, nếu và chỉ nếu K là bù trong dàn các môđun con của M. Với một môđun con K tuỳ ý thì với nó ta luôn luôn tìm được một môđun con thoả mãn ít nhất một trong hai điều kiện trên, đó là K ∩ 0 = 0 và K + M = M. Dựa trên tính chất đó ta định nghĩa các loại môđun con mà nó trở thành công cụ rất hữu ích cho công việc của chúng ta. ĐỊNH NGHĨA 3.1. (1) Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M, kí hiệu: K ≤e M, trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M, K ∩ L = 0 suy ra L = 0. (2) Đối ngẫu, một môđun con K của M gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M, kí hiệu: K <<M, trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M, K + L = M suy ra L = M. Ví dụ: Trong ZZ, chỉ có 0 là iđêan đối cốt yếu trong ZZ. Tuy nhiên mọi iđêan khác không trong ZZ đều là cốt yếu, vì cho hai iđêan khác không tuỳ ý aZZ, bZZ thì 0 6= ab ∈ aZZ ∩ bZZ. ĐỊNH NGHĨA 3.2. (1) Đơn cấu f : K −→ M được gọi là cốt yếu Imf ≤e M. (2) Toàn cấu g : M −→ N được gọi là đối cốt yếu nếu Kerf <<M. MỆNH ĐỀ 3.3. Các mệnh đề sau là tương đương đối với môđun con K của M: (a) K ≤e M, (b) Đồng cấu nhúng i : K −→ M là đơn cấu cốt yếu, (c) Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(M, N) (Kerh) ∩ K = 0 suy ra Kerh = 0. CHỨNG MINH. (a) ⇔ (b), (a) ⇒ (c) do định nghĩa. (c) ⇒ (a). Cho L ≤ M và K ∩ L = 0. Đặt pL : M −→ M/L là toàn cấu tự nhiên. Lúc đó (KerpL) ∩ K = 0. Theo (c), L = KerpL = 0. ¤ Theo kết quả về đồng cấu thì nếu f, h là đồng cấu, fh đơn cấu thì h là đơn cấu. Mặt khác HỆ QUẢ 3.4. Một đơn cấu f : L −→ M là cốt yếu nếu và chỉ nếu với mọi đồng cấu h nếu hf là đơn cấu thì h là đơn cấu. 51
CHỨNG MINH. Đặt K = Imf. Lúc đó có một đẳng cấu ν : K −→ L sao cho fν = 1K . Do đó hf đơn cấu ⇔ h1K đơn cấu ⇔ (Kerh) ∩ K = 0. ¤ Đối ngẫu với 3.3 và 3.4 ta có MỆNH ĐỀ 3.5. Các mệnh đề sau là tương đương đối với môđun con K của M: (a) K <<M, (b) Đồng cấu tự nhiên pK : M −→ M/K là toàn cấu đối cốt yếu, (c) Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(N, M) (Imh) + K = M suy ra Imh = M. HỆ QUẢ 3.6. Một toàn cấu g : M −→ N là đối cốt yếu nếu và chỉ nếu với mọi đồng cấu h nếu gh là toàn cấu thì h là toàn cấu. Sau đây là các tính chất của môđun con cốt yếu và đối cốt yếu. MỆNH ĐỀ 3.7. Cho MR và K ≤ N ≤ M, H ≤ M. Lúc đó (1) K ≤e M ⇐⇒ K ≤e N và N ≤e M. (2) H ∩ K ≤e M ⇐⇒ H ≤e M và K ≤e M. CHỨNG MINH. (1). Cho K ≤e M và giả sử 0 6= L ≤ M thì L ∩ K 6= 0. Đặc biệt điều này đúng với L ≤ N, do vậy K ≤e N. Ngoài ra K ≤ N nên L ∩ N 6= 0 thì N ≤e M. Đảo lại, nếu K ≤e N, N ≤e M và L ≤ M, thì L ∩ K = 0 =⇒ L ∩ K ∩ N = 0 =⇒ L ∩ N = 0 =⇒ L = 0. (2) Chiều (=⇒) suy ra ngay từ (1). Ngược lại, cho H ≤e M và K ≤e M. Nếu L ≤ M với L ∩ H ∩ K = 0, thì Ł ∩ H = 0 do K ≤e M. Từ đó L = 0 vì H ≤e M. ¤ Đối ngẫu của 3.7 ta có: MỆNH ĐỀ 3.8. Cho MR và K ≤ N ≤ M, H ≤ M. Lúc đó (1) N <<M ⇐⇒ K <<M và N/K <<M/K. (2) H + K <<M ⇐⇒ H <<M và K <<M. BỔ ĐỀ 3.9. Nếu K <<M và f : M −→ N là một đồng cấu thì f(K) <<N. Đặc biệt, nếu K <<M ≤ N thì K <<N. CHỨNG MINH. Cho L ≤ N và giả sử L+f(K) = N. Với m ∈ M, f(m) = f(k)+l suy ra f(m − k) = l =⇒ m − k ∈ f −1(L) suy ra m ∈ K + f −1(L). Vậy M = K + f −1(L). Từ đó f −1(L) = M hay f(M) = ff −1(L) = L∩imf = L∩f(M) suy ra f(K) ≤ f(M) ≤ L. Vậy L = f(K) + L = N. ¤ 52
BỔ ĐỀ 3.10. Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu với mỗi 0 6= x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr ∈ K. CHỨNG MINH. (=⇒). Nếu K ≤e M và 0 6= x ∈ M thì xR ∩ K 6= 0. (⇐). Nếu điều kiện đó đúng và 0 6= x ∈ L ≤ M, thì tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr ∈ K ∩ L. ¤ Từ đó ta có MỆNH ĐỀ 3.11. Cho K1 ≤ M1 ≤ M, K2 ≤ M2 ≤ M và M = M1 ⊕ M2, thì (1) K1 ⊕ K2 <<M1 ⊕ M2 ⇐⇒ K1 <<M1 và K2 <<M2. e e e (2) K1 ⊕ K2 ≤ M1 ⊕ M2 ⇐⇒ K1 ≤ M1 và K2 ≤ M2. CHỨNG MINH. (1). Cho pi : M −→ Mi là các phép chiếu. Lúc đó Ki = pi(Ki). Với 3.11 ta có ngay chiều (=⇒). (⇐). Cho Ki <<Mi ≤ M(i = 1, 2), theo 3.11 và đối ngẫu của 3.9.2 (3.10.2), K1 ⊕K2 = e K1 + K2 <<M. (2). Giả sử K1 6≤ M1, nghĩa là K1 ∩ L1 = 0, với 0 6= L1 ≤ M1 (nào đó). Lúc đó ta có: (K1 + K2) ∩ L1 = 0. (∗) Thật vậy, cho k1 ∈ K1, k2 ∈ K2 và l1 ∈ L1 với k1 +k2 = l1, thì k2 = l1 −k1 ∈ M1 ∩M2 = 0. Từ đó k1 = l1 ∈ K1 ∩ L1 = 0. Từ (*), ta suy ra ngay L1 = 0 (mâu thuẩn). e (⇐). Giả sử Ki ≤ Mi và 0 6= xi ∈ Mi(i = 1, 2). Do 3.12 tồn tại r1 ∈ R sao cho 0 6= r1x1 ∈ K1. Nếu r1x2 ∈ K2 thì 0 6= r1x1 + r1 + x2 ∈ K1 ⊕ K2. Nếu r1x2 6∈ K2 thì do 3.12, tồn tại r2 ∈ R sao cho 0 6= r2r1x2 ∈ K2 và 0 6= r2r1x1 + r2r1x2 ∈ K1 ⊕ K2. e Vậy K1 ⊕ K2 ≤ M1 ⊕ M2. ¤ Cho N là một môđun con của M. Nếu N 0 ≤ M là cực đại với tính chất N ∩ N 0 = 0 thì ta nói N 0 là một M-phần bù của N. Dùng bổ đề Zorn ta có thể thấy nếu N ≤ M, thì tập {K ≤ M|K ∩ N = 0} chứa một phần tử cực đại N 0. Phần tử này có tính chất: MỆNH ĐỀ 3.12. Mọi môđun con N ≤ M có một M-phần bù. Hơn nữa, nếu N 0 là một M-phần bù của N, thì (1) N ⊕ N 0 ≤e M. (2) (N ⊕ N 0)/N 0 ≤e M/N 0. CHỨNG MINH. (1). Nếu 0 6= L ≤ M và (N ⊕N 0)∩L = 0. Cho n ∈ N ∩(N 0 +L), nghĩa là cho n ∈ N, n0 ∈ N 0, l ∈ L và n = n0 + l suy ra n − n0 = l =⇒ n − n0 ∈ (N + N 0) ∩ L = 0 =⇒ l = 0. Suy ra n = n0 ∈ N ∩ N 0 = 0 hay n = 0. 53
Vậy N ∩ (N 0 + L) = 0, trái với tính cực đại của N 0. (2). Giả sử rằng N 0 ≤ L với L ∩ (N + N 0) ≤ N 0, thì theo luật môđ ula (L ∩ N) ⊕ N 0 = L ∩ (N + N 0) ≤ N 0. Vì vậy, L ∩ N = 0. Do tính cực đại của N 0,L = N. ¤ 3.2. Bao nội xạ và bao xạ ảnh của một môđun. ĐỊNH NGHĨA 3.13. Cho MR. a) Đơn cấu µ : M −→ Q được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q là môđun nội xạ còn µ là đơn cấu cốt yếu. b) Toàn cấu ψ : P −→ M được gọi là bao xạ ảnh đối với M nếu P là môđun xạ ảnh còn ψ là toàn cấu đối cốt yếu. Về mặt kí hiệu đôi khi ta chỉ viết I(M),E(M) để chỉ bao nội xạ của môđun M và P (M) để chỉ bao xạ ảnh của M. ι VÍ DỤ 3.14. 1) ZZZZ −→ IQZZ là bao nội xạ đối với ZZZZ vì ι là đơn cấu còn IQZZ là nội e xạ (chia được), ngoài ra ZZZZ ≤ IQZZ (do ∀ q ∈ IQ,q 6= 0, q = p/r, ∃r ∈ ZZsao cho r 6= 0, rq = p ∈ ZZ). 2) Không phải mọi môđun đều có bao xạ ảnh, ví dụ ZZ2 không có bao xạ ảnh. Dĩ nhiên có thể thấy r2 : ZZ −→ ZZ2 là toàn cấu tự nhiên, nhưng Kerr2 = 2ZZ <<ZZ6 , vì 2ZZ + 3ZZ = ZZ nhưng 2ZZ 6= ZZ. Sau này ta sẽ chứng minh R có J(R) = 0 thì mọi môđun không xạ ảnh không có bao xạ ảnh. Tính duy nhất của bao nội xạ và bao xạ ảnh. MỆNH ĐỀ 3.15. Cho MR. a) Giả sử M có bao xạ ảnh p : P −→ M. Nếu Q là xạ ảnh và q : Q −→ M là toàn cấu thì Q có phân tích Q = P 0 ⊕ P ” sao cho (1) P 0 ' P. (2) P ” ≤ Kerq. 0 (3) (q|P 0 ): P −→ M là một bao xạ ảnh đối với M. Ngoài ra nếu f : M1 −→ M2 là đẳng cấu và nếu p1 : P1 −→ M1 và p2 : P2 −→ M2 là ¯ ¯ bao xạ ảnh, thì tồn tại một đẳng cấu f : P1 −→ P2 sao cho p2f = fp1. Ta thể hiện qua sơ đồ sau: ¯ f - P1 P2 p1 p2 ? ? f - M1 M2 54
b) Gỉa sử M có bao nội xạ ι : M −→ E. Nếu Q là nội xạ và q : M −→ Q là đơn cấu thì Q có phân tích Q = E0 ⊕ E” sao cho (1) E” ' E. (2) Imq ≤ E0. (3) q : M −→ E0 là một bao nội xạ đối với M. Ngoài ra, nếu f : M1 −→ M2 là một đẳng cấu và nếu ι1 : M1 −→ E1 và ι2 : M2 −→ E2 ¯ ¯ là bao nội xạ, thì tồn tại một đẳng cấu f : E1 −→ E2 sao cho fι1 = ι2f. Ta thể hiện qua sơ đồ sau: ¯ f - E1 E2 6 6 ι1 ι2 f - M1 M2 CHỨNG MINH. Ta chứng minh a) còn b) được chứng minh đối ngẫu. Do Q xạ ảnh ta có giản đồ giao hoán sau: Q h q h © p ? PM- - 0 Ta có p là toàn cấu đối cốt yếu và ph = q là toàn cấu nên theo Mệnh đề IV.3.6, h là toàn cấu. Vì P là xạ ảnh nên h là chẻ ra, nghĩa là tồn tại đơn cấu g : P −→ Q sao cho hg = 1P và từ đó Q = Img ⊕ Kerh. Đặt P 0 = Img và P ” = Kerh. Ta có ngay (1) do g là đơn cấu. Ngoài ra (2) đúng vì ph = q. Ta có M = q(Q) = p(Img ⊕ Kerh) = q(Img) = q(P 0), vì vậy q| P 0 −→P 0 M −→ 0 khớp, và nó là một bao xạ ảnh vì từ qg = phg = p và Ker(qg) = g−1(Kerq) ta có 0 Ker(q|P 0 ) = g(Kerp) là một môđun con đối cốt yếu của g(P ) = P . Vậy (3) đúng. ¯ ¯ Chứng minh Mệnh đề cuối. Ta đặt p = p2, q = fp1 và f = h. Thế thì p2f = fp1. Ta có ¯ ¯ ¯ f = h là toàn cấu, Kerf = Kerp1 là hạng tử trực tiếp của P1 và f là một đẳng cấu. ¤ Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại của bao nội xạ của một môđun bất kỳ. MỆNH ĐỀ 3.16. Mọi môđun có một bao nội xạ. Nó duy nhất sai khác một phép đẳng cấu. CHỨNG MINH. Cho MR. Tồn tại QR nội xạ mà M ≤ Q. Lập tập Γ = {N ≤ Q|M ≤e N}. 55
Áp dụng Bổ đề Zorn ta có phần tử cực đại E của tập này. Gọi E0 là Q-phần bù của E (lúc đó E0 là cực đại với tính chất E∩E0 = 0) thì (E⊕E0)/E0 ≤e Q/E0. Ta có E ⊕ E0 = Q. Thật vậy, lấy g :(E ⊕ E0)/E0 −→ E là đẳng cấu. Ta có biểu đồ giao hoán sau với dãy và hàng đều khớp. Q Qk 6 Q Q h g Q Q Q 0 - (E ⊕ E0)/E0 - Q/E0 ? 0 Vậy h là đơn cấu, do đó M ≤e E = Img = h((E ⊕ E0)/E0) ≤e h(Q/E0). Suy ra M ≤e h(Q/E0). Do tính cực đại của E, ta có h((E ⊕ E0)/E0) = h(Q/E0). Và do h là đơn cấu nên E ⊕ E0 = Q. Từ đó E là nội xạ. Vậy ta có thể nhúng M −→ E là bao nội xạ của M. Tính duy nhất do Mệnh đề IV. 3.15. ¤ 4. Bài tập BÀI TẬP 21. Xét biểu đồ sau những đồng cấu của các R-môđun X h f ? g ABC- - trong đó X là xạ ảnh, gh = 0 và dòng là khớp. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu k : X −→ A sao cho fk = h. BÀI TẬP 22. Xét biểu đồ sau những đồng cấu của các R-môđun f g A - BC- h ? X trong đó X là nội xạ, hf = 0 và dòng là khớp. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu k : C −→ X sao cho kg = h. BÀI TẬP 23. Cho XR là môđun xạ ảnh và dãy khớp ngắn f g 0 −→R A −→R B −→R C −→ 0. 56
Chứng minh rằng dãy sau cũng khớp. id ⊗f id ⊗g 0 −→ X ⊗ A −→X X ⊗ B −→X X ⊗ C −→ 0 BÀI TẬP 24. Chứng minh rằng một môđun X là xạ ảnh nếu và chỉ nếu, với mọi đồng cấu f : X −→ B và mọi toàn cấu g : A −→ B với A là nội xạ, tồn tại một đồng cấu h : X −→ A sao cho gh = f. BÀI TẬP 25. Chứng minh rằng một môđun X là nội xạ nếu và chỉ nếu, với mọi đồng cấu f : A −→ X và mọi đơn cấu g : A −→ B với B là xạ ảnh, tồn tại một đồng cấu h : B −→ X sao cho gh = f. 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.W. Anderson và K.R. Fuller, Rings and Categories of Modules, 1992, Springer-Verlag, New York. [2] Sze-Tse-Hu, Nhập môn đại số đồng điều (bảng dịch tiếng Việt), 1973, NXB ĐH và THCN. [3] Ngô Thúc Lanh, Đại số, 1982, NXBGD. [4] S. Lang, Đại số (bảng dịch tiếng Việt), 1978, NXB ĐH và THCN. [5] Lê Văn Thuyết, Bài giảng: Lý thuyết vành và môđun, 2007, ĐH Huế. [6] R. Wisbauer , Foundations of Module and Ring Theory, 1991, Gordon and Breach. 58