Bài giảng Giao động kỹ thuật - Đặng Văn Hiếu

129 trang ngocly 2790

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giao động kỹ thuật - Đặng Văn Hiếu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_giao_dong_ky_thuat_dang_van_hieu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giao động kỹ thuật - Đặng Văn Hiếu

ĐẶNG VĂN HIẾU - BỘ MÔN CƠ HỌC 1
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Dao động kỹ thuật, NguyễnVăn Khang, NXB Khoa họcvà kỹ thuật. 2. Bài tậpdaođộng kỹ thuật, NguyễnVăn Khang và nhiều nk, NXB Khoa họcvàkỹ thuật. 3. Lý thuyếtdaođộng, Lê Xuân Cận(dịch), NXB Khoa học và kỹ thuật. 4. Dao động tuyếntính, Nguyễn Đông Anh (dịch), NXB Khoa họcvàkỹ thuật. 2
NỘI DUNG Chương mởđầu: Các khái niệmcơ bảncủalý thuyếtdaođộng. Chương 1: Dao động tuyếntínhcủahệ mộtbậc tự do. Chương 2: Dao động tuyếntínhcủahệ nhiềubậc tự do. 3
Chương mởđầu CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG 1. Định nghĩa dao động. 2. Mô tảđộng học các quá trình dao động. 3. Phân loạihệ dao động. 4
1. Định nghĩadaođộng Dao động là mộthiệntượng phổ biển trong tự nhiên và trong kỹ thuật. Các máy, các phương tiệngiaothôngvậntải, các toà nhà cao tầng, những cây cầu, đólàcáchệ dao động. Dao động là gì? Dao động là một quá trình trong đómột đạilượng vật lý (hoá học, sinh học, ) thay đổi theo thờigianmàcómột đặc điểm nào đólặplạiítnhấtmộtlần. 5
Dao động có lợihay cóhại? Dao động vừacólợi, vừacóhại. Lợi: Dao động đượcsử dụng để tối ưu hoá mộtsố kỹ thuật như: đầm, kỹ thuật rung Hại: Giảm độ bềncủamáy, gâyrahiệntượng mỏicủavật liệudẫntới phá huỷ, ảnh hưởng đếntuổithọ củacáccông trình, 6
2. Mô tảđộng học các quá trình dao động a. Dao động điều hoà. Ví dụ hàm điều hoà? Ví dụ: sin(ωtct+αωα ), os(+ ) Dao động đượcmôtả về mặt toán họcbởicáchàmđiều hoà đượcgọi là dao động điều hoà. 7
Xét dao động đượcmôtả bởi: x(tA )= sin(ω t+α ) (1) x(t) Trong đó: A ω : tầnsố vòng (rad/s). T=2π/ω: Chu kỳ dao động (s). t A : biên độ dao động (m). -A ωt + α : pha dao động (rad). T α : pha ban đầu (rad). f = 1/T : tầnsố (HZ). 8
b. Dao động tuần hoàn. Hàm tuần hoàn? Hàm số x(t) đượcgọi là hàm tuần hoàn, nếutồntạimộthằng số T > 0 sao cho vớimọi t ta có hệ thức: x()(),tT+ =∀ xt t (2) Một quá trình dao động đượcmôtả về mặttoánhọcbởimột hàm tuần hoàn x(t) đượcgọi là dao động tuần hoàn. 9
x(t) Max(x) t Min(x) T Hằng số T nhỏ nhất để cho biểuthức(2) đượcthoả mãn gọi là chu kỳ dao động. Biên độ A của dao động tuần hoàn x(t) được định nghĩabởi công thứcsau: 1 A =−[]maxxt ( ) min xt ( ) 2 10
c. Dao động họ hình sin. + Một quá trình dao động đượcmôtả về mặttoánhọcbởi hàm: x()tAt= ()sin[ω () ttt+α ()] (3) đượcgọilàdao động họ hình sin. + Dao động tắtdần: −δt xt()=+> Ae0 sin[ωαδ () tt (), t] 0 + Dao động tăng dần: δt xt()=+> Ae0 sin[ωαδ () tt (), t] 0 Dao động mà biên độ A(t) thay đổi luân phiên đượcgọilà dao động biến điệubiênđộ. Dao động mà tầnsố ω(t) thay đổi luân phiên đượcgọilàdao động biến điệutầnsố. 11
3. Phân loạihệ dao động a. Căncứ vào cơ cấugâynêndaođộng: + Dao động tự do. + Dao động cưỡng bức. + Dao động tham số. + Tự dao động. + Dao động hỗn độn. + Dao động ngẫu nhiên. 12
b. Căncứ vào số bậctự do: + Dao động củahệ mộtbậctự do. + Dao động củahệ nhiềubậctự do. + Dao động củahệ vô hạnbậctự do. c. Căncứ vào phương trình chuyển động: + Dao động tuyến tính. + Dao động phi tuyến. d. Căncứ vào dạng chuyển động: + Dao động dọc. + Dao động xoắn. + Dao động uốn. 13
Chương 1 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 1.1. Dao động tự do không cản. 1.2. Dao động tự do có cản. 1.3. Dao động cưỡng bứccủahệ chịukíchđộng điều hòa. 1.4. Dao động cưỡng bứccủahệ chịukíchđộng đa tầnvàchịukíchđộng tuầnhoàn. 1.5. Dao động cưỡng bứccủahệ chịukíchđộng bất kỳ. 14
§1. Dao động tự do không cản 1.1. Mộtsố ví dụ. Thí dụ 1: Dao động củamộtvậtnặng treo vào lò xo. Æ Phương trình dao động: mx&& += cx 0 (1) c Vị trí cb tĩnh x m 15
Thí dụ 2: Dao động củacon lắctoánhọc. O Æ Phương trình dao động: g φ ϕ +=sinϕ 0 L && l Xét dao động nhỏ: g m ϕ +=ϕ 0 (2) && l Thí dụ 3: Dao động củacon lắcvậtlý. Æ Phương trình dao động: mga O a ϕϕ+=sin 0 && φ J o Xét dao động nhỏ: C m, Jo mga ϕϕ&& +=0 (3) J o 16
Thí dụ 4: Dao động xoắncủatrục mang đĩa tròn. Æ Phương trình dao động: φ c ϕϕ&& +=0 (4) J C J Kếtluận: Dạng của phương trình dao động tự do củahệ mộtbậctự do có dạng chung là: mq&& + cq = 0 (5) Trong đóq làtọa độ suy rộng. 17
1.2. Tính toán dao động tự do không cản. Phương trình vi phân chuyển động củacơ hệ mộtbậc tự do không cảncódạng: mq&& + cq = 0 Hay: 2 (6) qq&& + ω o = 0 Trong đó ωo là tần số dao động riêng. Điềukiện đầu: to= 0 : qt()0 = qo (7) qt&&()0 = qo 18
Nghiệmcủa phương trình vi phân (6) có dạng: qCcostC= 12ωoo+ sinω t (8) Trong đóC1 và C2 là các hằng số tuỳ ý, đượcxácđịnh từđiềukiện đầu(7). Cho nghiệm(8) thoả mãn điềukiện đầu (7), ta xác định được: q& o CqC12==o , ω o Vậy: q&o qqcost=+ooω sinω o t (9) ωo 19
Nghiệm(9) còncóthể viếtdướidạng: (10) qA=+sin(ω o tα ) Trong đó: 2 22 2⎛⎞q&o ACC=+=+12 qo ⎜⎟ ⎝⎠ωo (11) C1 qo tgαω==o Cq2 &o 20
Từ biểuthức (10) ta thấy: dao động tự do không cảncủa hệ mộtbậctự do đượcmôtả bởi hàm điều hoà. Vì vậy, dao động tự do không cảncònđượcgọi là dao động điều hoà. Đặctrưng: A :đượcgọilàbiênđộ dao động. ωo :đượcgọilàtầnsố riêng. ωot+α :đượcgọi là pha dao động. α :đượcgọi là pha ban đầu. T = 2п/ωo :đượcgọi là chu kì dao động. 21
Tính chất chuyển động: 9 Tầnsố riêng và chu kì dao động không phụ thuộc vào các điềukiện đầumàchỉ phụ thuộcvàocáctham số củahệ. 9 Biên độ dao động là hằng số. Biên độ dao động và pha ban đầucủadaođộng tự do không cảnphụ thuộc vào các điềukiện đầu và các tham số củahệ. Chú ý: Việcxácđịnh tầnsố dao động riêng là nhiệmvụ quan trọng nhấtcủa bài toán dao động tự do. 22
§2. Dao động tự do có cản Trong phần này chúng ta khảo sát dao động tự do củahệ có xét đến ảnh hưởng củalựccản. Lựccản đượcxétởđây là lựccảnnhớttỷ lệ bậcnhấtvới vậntốc. 23
Xét dao động củahệ mô tả trên hình vẽ. Phương trình vi phân chuyển động củacơ hệ có dạng: mq&&++= bq & cq 0 (1) M Nếu đưavàocáckýhiệu: q cb ωδ2 ==,2 (2) c b o mm Thì phương trình (1) có dạng: 2 (3) qqq&&++=20δω & o Đây là phương trình vi phân cấp2 hệ số hằng số. 24
Phương trình vi phân (3) có phương trình đặctrưng: 22 (4) λδλω+ 20+=o Tuỳ theo quan hệ giữa δ và ωo, có thể xảyracác trường hợp sau: 22 δ < ωo (lựccảnnhỏ) :λ1, 2 = −±δωδi o − 22 δ ≥ ωo (lựccảnlớn) : λ1, 2 =−δδω ± − o Sau đây ta sẽ khảo sát từng trường hợp ở trên. 25
trường hợpthứ nhất: δ <ωo (lựccảnnhỏ) : Nghiệmtổng quát của phương trình vi phân dao động (3) có dạng: −δt qt()=+ e ( Ccost12ω C sinω t ) (5) Trong đó: 22 (6) ω =−ωδo Các hằng số C1 và C2 đượcxácđịnh từđiềukiện đầu: tqqqq==0 : (0)oo ,&& (0) = 26
Từ các điềukiện đầu đã cho, ta xác định được: qq+δ CqC==, &oo 12o ω Nếu đưavàocáchằng số: 22 C1 ACCtg=+12, β = C2 Thì biểuthức nghiệm (5) có thể viếtdướidạng: qt()=+ Ae− δ t sin(ω t β ) (7) 27
Tính chất nghiệm: 9 Khi lựccảnnhỏ, hệ thựchiện dao động tắtdần. −δt 9 Độ lệchAe giảmtheoluậtsố mũ, tiệmcậntới không. 9 Dao động đượcmôtả bởi phương trình (7) là dao động họ hình sin.(hình vẽ) 28
Đặctrưng: Chuyển động củacơ hệđượcmôtả bởi quy luật không tuần hoàn, nhưng toạđộq lại đổidấumộtcách tuần hoàn. Quy ước: 22là tầnsố riêng của dao động tắtdần. ω =−ωδo T = 2/π ω là chu kỳ của dao động tắtdần. Ae−δt là biên độ của dao động tắtdần. 29
Chú ý: Để đặctrưng cho độ tắtdầncủadaođộng tự do có cản nhớt, ta đưa vào khái niệm độ tắt Lôga. qt() Λ=ln =δT qt()+ T Độ tắt Lôga đặctrưng cho độ giảmbiênđộ của dao động tắtdần. Ta còn xác định độ tắt Lôga như sau: qt() e−δ t ==eδ kT qt()+ kT e−+δ ()tkT Từđó: 1()qt Λ=δT = ln kqtkT()+ 30
trường hợpthứ hai : δ > ωo (lựccảnlớn) : Nghiệmtổng quát của phương trình (3) có dạng: −δt 22 qt()=−+ Ae sh ( δ ωβo t ) (8) Đường biểudiễn nghiệm q(t) cắttrục t không quá một lần(đồ thị). Do đó, chuyển động củahệ là chuyển động tắtdần, không dao động. qt() q&o > 0 q&o = 0 t qq&oo< λ2 31
trường hợpthứ ba : δ = ωo (lựccảntớihạn) : Trong trường hợp này nghiệmcủa phương trình đặc trưng là các số thựcâmvàbằng nhau. Nghiệmtổng quát của phương trình (3) có dạng: −δt qt()=+ e ( Ct12 C ) (9) Chuyển động củahệ là tắtdần, không dao động. 32
Chú ý: Trong mộtsố tài liệuviếtvề Dao động kỹ thuật, ngườita còn sử dụng khái niệm độ cản Lehr. Độ cản Lehr được xác định bởi: δ bb D == = (10) ωωoo2m 2 mc Phương trình vi phân dao động tự do có cảnnhớt(3) có thể viếtlại: 2 qDq&&+ 20ωωoo & += q (11) 33
22 2 Do: ωδoo−= ω1 −D Nên chuyển động củahệđược phân thành ba trường hợpsau: D >1(δ ωo ) : độ cảnlớn. Mặt khác, ta có quan hệ giữa độ tắt Lôga và độ cản Lehr: D Λ=δπT =2 1− D2 34
Ví dụ: Gắnmộtkhốilượng m vào đầu thanh. Gắn vào thanh các phầntử cảnvàđàn hồi(hv). Bỏ qua khốilượng của thanh. -Phảichọn độ lớncủahệ số cảnb như thế nào để hệ có dao động nhỏ. -Xácđịnh độ cảnLerhD cầnthiết để sau mườidaođộng biên độ giảm còn 1/10 biên độ củachukỳđầu, sau đóxác định chu kỳ dao động. O a φ b a m c 35
§3. Dao động cưỡng bứccủahệ chịukíchđộng điều hòa. 3.1. Mộtsố kích động thường gặp. 3.2. Dao động cưỡng bức không cản. 3.3. Dao động cưỡng bứccócản. 36
3.1. Mộtsố kích động thường gặp. Kích động lực: F(t) Phương trình vi phân dao động: ˆ m my&&++= by & cy F() t = F sin Ω t y cb 37
Kích động bởikhốilượng lệch tâm: m e 1 Ωt Phương trình vi phân dao động: y mo 2 my&&++=Ω by & cy me1 sin Ω t cb Trong đó: mm= o + m1 38
Kích động bằng lực đàn hồi: x u(t) c1 m co b Phương trình vi phân chuyển động: mx&&++= bx & cx cuoo() t = cusinˆ Ω t Với: cc=+1 co 39
Kích động động học: Phương trình vi phân chuyển động: m &&y ++=b y & c y ucˆ(sin Ω+ΩΩ t b cost ) m y Với: ut()=Ω uˆ sin t cb u(t) 40
Kích động bằng lựccảnnhớt: x u(t) c m bo b1 Phương trình vi phân chuyển động: mx&&++=ΩΩ bx & cx buo ˆ cos t Với: ut()=Ω uˆ sin t 41
Kếtluận: Qua các ví dụ trên ta thấy: Phương trình dao động tuyếntínhcủahệ mộtbậctự do chịukíchđộng điều hoà có dạng: mq&&++= bq & cq H12sin Ω+ t H cos Ω t 9 Phương trìnhtrêncòncóthể viếtlạidướidạng: 2 qqqhthcost&&++=2sδω & o 12in Ω+Ω Với: 2 ωδo ==cm/,2 bm /. 9 Hoặc phương trình VPCĐ còn viết đượcdướidạng: 2 qDq&&++=Ω+Ω2sωωoo & qh12in thcost Trong đó: δ b D == ωo 2 cm 42
3.2. Dao động cưỡng bức không cản Phương trình vi phân dao động cưỡng bứccủahệ một bậctự do có dạng: mq&& + cq=Ω Hsin t (1) Phương trình trên còn có thể viếtlại: 2 (2) qqht&& + ω o =Ωsin Trong đó: cH ω 2 ==; h o mm 43
Nghiệmtổng quát của phương trình (2) có dạng: h qt()=+ Ccos12ωωoo t Csin t +22sin Ωt (3) ωo −Ω Các hằng số C1 và C2 đượcxácđịnh từđiềukiện đầu. Giả sửđiềukiện đầu: tqqqq===0 : (0)oo ,&& (0) Cho nghiệm (3) thoả mãn điềukiện đầu, ta được: q&o hΩ CqC12==−o ; 22 ωωωooo()−Ω 44
Như vậy, nghiệm (3) có dạng: q&o hΩ qt()=+ qcosooωω tsin o t −22sin ωot + ωωωoo()o−Ω (4) h +Ω22sin t ωo −Ω Nghiệm(4) gồm hai thành phần: 9 Ba số hạng đầutiênbiểuthị dao động tự do vớitần số là tầnsố riêng củahệ. 9 Số hạng thứ tư biểuthị dao động cưỡng bứcvớitần số là tầnsố củalựckíchđộng. 45
Chú ý rằng khi: qqoo= & = 0 thì nghiệm (4) có dạng: hhΩ (5) qt()=− 22sinωot+22sin Ωt ωωoo()−Ω ωo−Ω Số hạng thứ nhấtcủa(5) đượcgọi là thành phầndao động tự do kéo theo. Sau mộtkhoảng thờigiannàođó, do ảnh hưởng củalực cản nên các thành phầnmôtả dao động tự do củahệ sẽ mất đi Æ hệ chỉ còn thựchiệndaođộng cưỡng bứcvới tầnsố là tầnsố củalựccưỡng bức. Giai đoạn đầucòntồntạicả dao động tự do và dao động cưỡng bức đượcgọilàgiaiđoạnchuyểntiếp. Giai đoạnchỉ còn tồntại dao động cưỡng củahệđược gọilàgiaiđoạnbìnhổn. 46
Đốivớigiaiđoạnbìnhổn, quy luật dao động củahệ sẽ là: hH (6) qt*( )=Ω=Ω22 sin t 2sin t ωηo −Ωc(1 − ) Trong đó:η =Ω/ωo Chú ý: Thừasố H/c chínhlàdịch chuyểngâyrabởilực tĩnh H đặtvàovật dao động. Đạilượng: 1 V ()η = 1−η 2 Æ biểuthị tác dụng động lựccủalựckíchđộng, và được gọilàhàm khuyếch đại (hệ sốđộng lực) 47
Dạng đồ thị của V cho bởihìnhsau: V 1 0 1 η Ta thấy: khi tỷ số Ω/ωo dần đến 1 thì V và do đó dao động cưỡng bứctăng lên nhanh chóng và tiếntớivô cùng khi Ω = ω0. Hiệntượng đógọilàhiệntượng cộng hưởng. Như vậy, hiệntượng cộng hưởng là hiệntượng biên độ dao động cưỡng bứctăng lên rấtlớndo tầnsố củalực kích động trùng vớitầnsố dao động riêng củahệ. 48
¾ Xét nghiệm(5) vớigiả thiết: Ω ≈ ωo hhΩ (5) qt()=− 22sinωot+22 sin Ωt ωωoo()−Ω ωo−Ω Đặt: Ω=ωo +2ε trong đó ε là đạilượng vô cùng bé. Sau mộtsố phép biến đổi, nghiệm(5) đưa về dạng: htsinε qt()≈ −Ω cos t (7) 2Ωε Do ε là một vô cùng bé nên hàm sinεt biến thiên chậm, còn chu kỳ củanó2п/ε rấtlớn. Hiệntượng dao động đượcchobởi(7) gọilàhiệntượng phách. 49
Đồ thị củahàm(7) chobởihìnhvẽ sau: 2.5 2 1.5 1 0.5 0 q(m) -0.5 -1 -1.5 -2 -2.50 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 t(s) 50
¾ Xét trường hợp Ω →→ωo (0)ε Khi đócóthể thay sinεt bằng εt trong nghiệm (7), và ta có: ht (8) qcost=− ωo 2ωo Biên độ ht/2ωo tăng lên vô hạnkhithờigiant tăng. Như thế, ngay trong phạm vi lý thuyết dao động tuyến tính không cản, sự tăng biên độ lên vô hạn ở vùng cộng hưởng cũng đòi hỏiphảicóthờigian. Đốivớicácmáyđượcthiếtkế làm việc ở vùng cộng hưởng, khi tăng vậntốccủa máy qua vùng cộng hưởng cầnphảikhẩntrương cho vượt qua đủ nhanh. 51
Đồ thị của nghiệm(8) chobởihìnhsauđây: 30 20 10 0 q(m) -10 -20 -30 -40 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 t(s) 52
Kếtluận: Khi tính toán dao động cưỡng bức không cản ta cần phân ra 2 trường hợp: Trường hợpxacộng hưởng ( Ω ≠ ω o ). Trường hợpgầncộng hưởng ( Ω≈ ω o). Trong trường hợpnàykhi tacóhiệntượng phách, khi Ω=ωo +2ε Ω=ωo ta có hiệntượng cộng hưởng. 53
3.3. Dao động cưỡng bứccócảnnhớt Phương trình vi phân dao động trong trường hợpnày: 2 (1) qqqhthcost&&++=2sδω & o 12in Ω+Ω Nghiệm riêng của phương trình (1) được tìm dướidạng: qt*( )= M sinΩ+ tNcost Ω (2) Thay (2) vào (1) ta xác định được: ()2ωδ22− Ω+Ωhh M = o 12 ()4ωδ22222− Ω+ Ω o (3) 22 −Ω+2()δωhh12o −Ω N = 22222 ()4ωδo − Ω+ Ω 54
Nghiệmtổng quát của phương trình (1): qt()=++Ω+Ω Ae−δt sin(ωβ t ) M sin t Ncost (4) Số hạng thứ nhấtcủa(4) biểudiễn thành phần dao động tự do tắtdần. Hai số hạng sau có tầnsố Ω của ngoạilực biểudiễn thành phần dao động cưỡng bức củahệ. Thành phần dao động cưỡng bức(2) cóthể biểudiễn dướidạng: qt*( )= qˆ sin(Ω+ tϕ ) (5) Trong đó: hh22+ qMNˆ =+=22 12 22222 ωo (1−+ηη ) 4 D tgϕ = N/ M với: η =Ω/,ωδωooD = / 55
Các trường hợpcụ thể: Trường hợpkíchđộng lựchoặckíchđộng qua lò xo: −1/2 ˆˆ⎡ 22 2 2⎤ qV==−+11(,ηηη DyV );⎣ (1 ) 4D ⎦ (6) Trường hợpkíchđộng động học: 22 qVˆˆ==+22(,ηη D );y VDV 1 4 1 (7) Trường hợpkíchđộng bởikhốilượng lệch tâm: 2 qVˆˆ==321(,ηη DyV ); V (8) Các hàm V1, V2, V3 là các hàm khuyếch đại (hay hệ số động lực). 56
Khi ta cốđịnh độ cản D, các hàm V1, V2, V3 đạtcực đại tạicácgiátrị sau của n: V1 đạtcực đạikhi: η =−12D2 V2 đạtcực đạikhi: 1 η =+−≈−18D 22 12D Nếu:D 1 2D V3 đạtcực đạikhi: 1 η = 12− D 2 57
Đồ thị của V1 vớicácgiátrị D cho trước: 7 6 D = 0 5 D = 0.1 4 V1 3 D = 0.2 2 D = 0.4 1 D = 2/2 0 0.4 0.6 0.8 η1 1.2 1.4 1.6 58
Đồ thị của V2 vớicácgiátrị D cho trước: 7 6 D = 0 5 D = 0.1 4 V2 3 D = 0.2 2 D = 0.4 1 D = 2/2 0 0.4 0.6 0.8 η1 1.2 1.4 1.6 59
Đồ thị của V3 vớicácgiátrị D cho trước: 7 6 D = 0 5 D = 0.1 4 V3 3 D = 0.2 2 D = 2/2 1 D = 0.4 0 0.4 0.6 0.8 η1 1.2 1.4 1.6 60
§4. Dao động củahệ chịukíchđộng tuần hoàn Giả sử lựckíchđộng biểudiễnbởimột hàm tuần hoàn của t vớichukỳ T: ∞ (1) f ()ta=+oj∑ ( a cosj Ω+tb j sinj Ωt ) j=1 Các hệ số Fourier ao, aj, bj đượcxácđịnh như sau: 1 T 2 T a = f ()tdt aftjtdt=Ω()cos o T ∫ j ∫ 0 T 0 2 T bftjtdt=Ω()sin j ∫ j =1→∞ T 0 2π T = Ω 61
Phương trình vi phân dao động cưỡng bứccủahệ mộtbậc tự do chịutácdụng củalựctuần hoàn có dạng: ⎡ ∞ ⎤ 2 1 (2) qqq&&++=2(δω & ooj⎢ a +∑ ajtbjtcos Ω+Ω jsin)⎥ m⎣ j=1 ⎦ Ta tìm nghiệm riêng của phương trình (2) dướidạng: ∞ qt*( )=+ Aoj∑ ( A cos jtB Ω+ j sin jt Ω ) (3) j=1 Thế (3) vào (2), ta nhận được: 222 ao ()2ωδojj−Ωja − jb Ω Ao = A = mω2 j ⎡ 2222222⎤ o mj⎣()4ωδo − Ω+ j Ω⎦ ()2ωδ222−Ωjb + ja Ω B = ojj j ⎡ 2222222⎤ mj⎣()4ωδo − Ω+ j Ω⎦ 62
Nghiệm(3) còncóthể viếtdướidạng sau: ∞ (4) qt*( )=+ Aoj∑ C sin( jt Ω+α j ) j=1 Nghiệmtổng quát của phương trình (2) trong trường hợp lựccảnnhỏ có dạng: ∞ −δ t qt()=+++Ω+ Ae sin(ω tβα ) Aoj∑ Csin( j t j ) (5) j=1 Tính chất nghiệm: Số hạng thứ nhấtcủa(5) biểudiễn thành phầndaođộng tự do tắtdần. Các số hạng còn lạibiểudiễn thành phần dao động cưỡng bức. 63
Trường hợp: hai kích động có tầnsố gần nhau: Phương trình vi phân củahệ dao động mộtbậctự do không cảnchịutácdụng của hai lực điều hoà vớicáctần số Ω1 và Ω2 có dạng: ˆˆ (1) mq&& += cq F1122sin Ω+ t F sin Ω t Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, dao động cưỡng bức củahệ có dạng: qA=Ω+Ω1122sin tA sin t (2) Trong đó: Fˆ 1 ˆ 1 F2 1 A1 = A = (3) c 1−η2 2 2 1 c 1−η2 64
Xét trường hợp Ω1 và Ω2 khá gần nhau. Do đặc điểmnàytasẽ biểudiễn nghiệm(2) dướidạng: qt()=Ω+Ω A1122 sin t A sin t AA+−AA =Ω+Ω+Ω−Ω12(sintt sin )12 (sin tt sin ) 2212 12 Ω −Ω Ω+Ω Ω−Ω Ω+Ω =+(A Ac ) os12 t sin 12 t+− ( A A )sin12 tc os 12 t 12 2212 22 Ta đưa vào ký hiệu: Ω −Ω B ()tAAc=+ ( )os 12 t 112 2 Ω −Ω B ()tAA=− ( )sin 12 t 212 2 Ω −Ω Ω= 12 2 65
Do Ω1 gần Ω2 nên B1(t), B2(t) là các hàm thay đổichậm theo t. Nghiệmcủaphương trình (1) đượcviếtdướidạng: qt()=Ω+=Ω+Ω A sin( tα ) B12 sin t Bcost Trong đó: 22 A =+BB12: Biên độ thay đổichậmtheothờigian. Ω+Ω Ω= 12: Giá trị trungbìnhcủa hai tầnsố. 2 ⎛⎞B α = arctg ⎜⎟1 : Pha thay đổichậm theo thờigian. ⎝⎠B2 66
Như thế chuyển động củahệ có tính chất điều hoà với biên độ dao động A là hàm thay đổitheothời gian. Chu kỳ thay đổi theo thờigianlà: 4π Ta = Ω12−Ω Vì hiệusố Ω1 –Ω2 nhỏ nên chu kỳ Ta có giá trị lớnhơn nhiềuso vớichukỳ củahệ: 4π T = Ω12+Ω 67
Đồ thị dao động biểuthị trên hình vẽ dưới đây. Hiệntượng dao động như hình vẽ này gọilàhiệntượng phách. Như vậy, hiệntượng phách là hiệntượng biên độ dao động thay đổituần hoàn chậm theo thờigian. 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 q(m) -0.04 -0.06 -0.08 -0.10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t(s) 68
Hiệntượng phách ởđây xuấthiệnkhitầnsố kích động Ω1 khá gầntầnsố kích động Ω2. Và ở phầntrướctacũng thấy: hiệntượng phách xuấthiện khi tầnsố củalựckíchđộng Ω khá gầntầnsố riêng ωo củahệ. Tuy nhiên, nếu quan tâm đếnlựccản thì dao động tự do sẽ tắtdần, và do đó theo thờigianhiệntượng phách cũng sẽ mất đi.(hình vẽ dưới): 2 1.5 1 0.5 0 q(m) -0.5 -1 -1.5 -20 50 100 150 200 250 300 350 400 t(s) 69
§5. Dao động cưỡng bứccủahệ chịukích động bấtkỳ Giả sử hàm kích động đượcbiểudiễnbởihàmkhả vi nào đó, thì phương trình dao động củahệ có dạng: mq&&+ bq & += cq f() t (1) Biến đổi(1) về dạng: 2 ft() qqq&&++=2(δω & o =g t )(2) m Nghiệmcủa(2) gồm : nghiệmcủa phương trình vi phân thuầnnhấttương ứng và một nghiệm riêng của nó. 70
Nghiệmthuầnnhất: trong trường hợpcảnnhỏ, nghiệm của phương trình vi phân thuầnnhấtcódạng: −−δδtt qt( )=+=+ Ae sin(ω tαωω ) e ( Ccost12 Csin t ) (3) Nghiệm(3) còncóthể viếtdướidạng: qt()= Cq11 () t+ Cq 2 2 () t (4) Trong đó: −δ t qt1 ()= e c osω t −δ t qt2 ()= e sinω t 71
Phương pháp bién thiên hằng số Lagrange: Tìm nghiệmcủa(2) dướidạng tương tự(4) nhưng C1 và C2 là hàm củathờigian: qt()= C11 () t q () t+ C 2 () t q 2 () t (5) Đạo hàm (5) theo thờigiantacó: qt&&()=+ Cq&&11 Cq 2 2 ++ Cq 11 Cq 2& 2 (6) Nếutađưavàođiềukiện: Cq&&11+ Cq 2 2= 0 (7) Thì biểuthức (6) có dạng: (8) qt&&&()= Cq11+ C 2 q 2 72
Đạohàmbiểuthức (8) theo thời gian, ta có: qt&&()=+ Cq&&11 & Cq 2 & 2 ++ Cq 11 && Cq 2 && 2 (9) Thế (5), (8) và (9) vào (2) ta nhận được phương trình: Cq&&11&&+= Cq 2 2 gt() (10) Từ (7) và (10) ta có hệ: Cq&&11+= Cq 2 2 0 Cq&&11&&+= Cq 2 2 gt() Giảihệ này: q Cg& =− 2 ()t 1 qq− qq 12&& 12 (11) q1 Cg&2 = ()t qq12&&− qq 12 73
Thế các biểuthức −δ t qt()= e−δ t sinω t qt1 ()= e c osω t và 2 vào (11) ta được: 1 δ t Cetgt&1 =− sinω ( ) ω (12) 1 Cecgt& = δ t osω t ( ) 2 ω Tích phân (12) ta được: 1 t Ct()=− A eδτ sinωτττ g ( ) d 1 ω ∫ 0 (13) 1 t Ct()=+ B ecosgδτ ωτττ() d 2 ∫ ω 0 74
Thế biểuthức (12) này vào (5) ta đượcnghiệmtổng quát của(2): qt()=++ e−δ t ( Acostωω B sin t ) (14) 1 t +−∫ etgd−−δτ()t sinω (τττ ) ( ) ω 0 Biểuthức nghiệm (14) có hai thành phần: Thành phần: −δ t (15) qth ()=+ e ( Acostω B sinω t ) là nghiệmcủa phương trình thuầnnhấttương ứng. 75
Thành phần: 1 t qt()=− e−−δτ()t sinω ( tτττ ) g ( ) d (16) r ∫ ω 0 là nghiệm riêng của phương trình (2). Các hằng số A và B trong nghiệm (14) đượcxácđịnh từ điềukiện ban đầu. Giả sửđiềukiện đầu: qqqq(0)= oo ;&& (0) = Æ Ta xác định được: 1 A ==+qBooo;( q& δ q ) ω 76
Cuốicùngtacóbiểuthức nghiệmtổng quát của phương trình vi phân (2): −δ t 1 qt()=+++ e ( qoo costωδω( q& qo )sin t ) ω (17) 1 t +−∫ etgd−−δτ()t sinωτττ ( ) ( ) ω 0 77
Chương 2 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 1. Thành lập phương trình vi phân dao động 2. Dao động tự do không cản 3. Dao động tự do có cản 4. Dao động cưỡng bức 78
Giớihạn: trong chương này, chỉ xét hệ cơ họcchịu liên kết hôlônôm, lý tưởng; hệ n bậctự do cần n toạđộ suy rộng độclập Æ Hệ dao động là hệ n phương trình vi phân cấp2 hệ số hằng số. 79
§1. Thành lập phương trình VPCĐ A. Sử dụng phương trình Lagrange II Đốivớihệ Hôlônôm, có n bậctự do, xác định bởicáctoạ độ suy rộng độclập q1, q2, , qn, phương trình Lagrange II có dạng: dT⎛⎞∂∂ T ⎜⎟− ==→Qii ;1 n dt⎝⎠∂∂ q&ii q 80
Nếucáclựctácdụng lên hệ chỉ là lựccóthế: dL⎛⎞∂∂ L ⎜⎟− ==→0;in 1 dt⎝⎠∂∂ q& ii q L là hàm Lagrange : LT= −Π 81
Nếucáclựctácdụng lên hệ bao gồmcả lựccóthế và lựccảnnhớt: dT⎛⎞∂∂ T πφ ∂Π∂Φ ⎜⎟− =+=−−QQii ;1i =→ n dt⎝⎠∂∂ q&&ii q ∂∂qii q Trong đó: Π-Làthế năng; Φ - Là hàm hao tán Phương trìnhtrêncòncódạng: dL⎛⎞∂∂∂Φ L ⎜⎟− +=0;in =→ 1 dt⎝⎠∂∂∂ q&&iii q q 82
Nếucáclựctácdụng lên hệ ngoài các lựccóthế và lựccảnnhớt còn có các ngoạilực khác (lựckích động) phụ thuộcvàothờigiant: dT⎛⎞∂ ∂ T ∂Π ∂Φ P ⎜⎟− =− − +Qii ;1 = → n dt⎝⎠∂∂ q&&ii q ∂∂ q ii q P Qi : Là lựcsuyrộng ứng vớicáclựchoạt động. 83
B. Sử dụng phương pháp lực (ĐS) Phương pháp này thường sử dụng để lập phương trình vi phân chuyển động cho hệ cơ họccódạng dầm, khung, 84
§2. Dao động tự do không cản a. Các tầnsố riêng và các dạng dao động riêng. b. Tính chấttrựcgiaocủa các véctơ riêng. c. Các toạđộchính. d. Các toạđộchuẩn. 85
a. Các tầnsố riêng và các dạng dao động riêng Phương trình vi phân mô tả dao động tự do không cản củahệ n bậctự do có dạng: Mq&& + Cq = 0 (1) Trong đó M và C là các ma trận vuông cấp n có các phần tử là hằng số. M là ma trậnkhốilượng; C là ma trận độ cứng. 86
Ta tìm nghiệmcủa phương trình (1) dướidạng: qa=+sin(ω tα ) (2) Thế (2) vào (1), biến đổitanhận được phương trình: 2 ()CMa−=ω 0 (3) Để cho phương trình ĐSTT (3) có nghiệm không tầm thường, điềukiệncầnlà: 2 CM−=ω 0 (4) 87
Phương trình (4) là phương trình đạisố bậc n đốivới ω2 và đượcgọilàphương trình tần số hoặc phương trình đặctrưng. Các nghiệm ωk (k = 1, 2, n) củaphương trình đặc trưng đượcgọilàcáctầnsố riêng. Thay lầnlượt các giá trị của ωk (k = 1, 2, n) vào phương trình (3) ta nhận đượccáchệ phương trình đại số tuyếntínhthuầnnhất để xác định các thành phầncủa vectơ ak 2 (5) ()CMa−ωkk= 0 Các vectơ ak này đượcgọi là các vectơ riêng. 88
Chú ý: Các thành phầncủavectơ ak đượcxácđịnh sai khác nhau mộthằng số nhân. Chẳng hạntacóthể chọn a1k mộtcáchtuỳ ý. Ta đưavàokýhiệu: a a ()k v = ik hoặc v ()k = i với ik,1= → n ik i a ()k a1k 1 89
Lầnlượtthaycácω1, ω2, , ωn vào phương trình (5), ta xác định đượcma trận: ⎡⎤vv11 12 v 1n ⎢⎥vv v V = ⎢⎥21 22 2n ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦vvnn12 v nn Mỗivectơ cộtcủama trận V: T T ⎡ ()kk () () k⎤ vvvvkkknk==[]12 ⎣ vvv1 2 n⎦ Cho ta biếtmộtdạng dao động riêng củahệ dao động. Ma trận V đượcgọilàma trậndạng riêng (Modalmatrix) 90
Xét trường hợphệ hai bậctự do. Khi đóPTVP daođộng tự do không cảncódạng: ⎡mm11 12 ⎤⎡⎤⎡ q&& 1 cc 11 12 ⎤⎡⎤ q 1 ⎡0⎤ ⎢ ⎥⎢⎥⎢+= ⎥⎢⎥⎢ ⎥ (6) ⎣mmq21 22 ⎦⎣⎦⎣&& 2 cc 21 22 ⎦⎣⎦ q 2 ⎣0⎦ Phương trình đặctrưng: cmcm−−ωω22 11 11 12 12 (7) 22= 0 cmcm21 −−ωω21 22 22 91
Khai triển định thứccấp hai (7) ta có: 22 ()()cmcm11−−−ωω 11 22 22 22 −−()()0cmcm12ωω 12 21 − 21 = ()ii () Đưavàokýhiệu: vaai = 21/ Thì ta có: 22 ()()0;1,2cmvcm11−+−==ωω 11i 12 12 i Hoặc 22 ()()0;1,2cmvcm21−+−==ωω 21i 22 22 i Ta được: ⎡11⎤ V = ⎢ ⎥ ⎣vv12⎦ 92
b. Tính chấttrựcgiaocủacác vectơ riêng Xét phương trình dao động tự do không cảncủahệ n bậc tự do: Mq&& + Cq = 0 Nếucácma trậnkhốilượng M và ma trận độ cứng C là các ma trậnthực, đốixứng thì các vectơ riêng vk tương ứng vớicáctầnsố riêng ωk sẽ trựcgiaovớima trậnkhối lượng M và ma trận độ cứng C. Ta có: T T vMvji= 0; vCvji= 0; khi ω ij≠ ω 93
c. Các toạđộchính Mục đích: Sử dụng toạđộchính để thu được phương trình dao động củahệ có dạng đơngiảnhơn. Phương trình vi phân dao động củahệ n bậctự do có dạng: Mq&& + Cq = 0 (1) Đây là hệ n phương trình vi phân cấp 2 mà các toạđộsuy rộng có liên kếtvới nhau (các phương trình hoàn toàn không độclậpvới nhau). Để đượcmộthệ dao động đơngiảnhơn, ngườitathường thay toạđộsuy rộng q bằng toạđộsuy rộng p, chẳng hạn sao cho hệ phương trình vi phân chuyển động đốivớitoạđộ mới p sẽ gồm n phương trình vi phân độclập nhau hoàn toàn. Trường hợpnày, p đượcgọilàtoạđộchính củacơ hệ. 94
Thựchiện phép đổibiến: qVp= (2) Thế (2) vào (1) ta có: MV&& p+ CVp= 0 Nhân cả hai vế của phương trình trên với VT ta được: TT V MVp&& + V CVp= 0 (3) 95
Do tính chấttrực giao, nên: ⎡⎤μ1 0 0 ⎡γ 1 0 0⎤ ⎢⎥0 0μ ⎢ 0 0γ ⎥ VMVT = ⎢⎥2 VCVT = ⎢ 2 ⎥ ⎢⎥00 0 ⎢ 00 0⎥ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎣⎦000μn ⎣ 000γ n ⎦ Do vậy phương trình (3) có dạng: μii&&pp+=γ ii 0; i =→ 1 n (4) Trong đó: TT μγii===→vMv iiii;;1 vCv i n Nếu đặt: 2 γ i ω i = μ i Thì các phương trình (4) đưavề dạng: 2 (5) &&piii+=ω pin0; =→ 1 96
Ví dụ 1: Cho cơ hệ như hình vẽ, biếtm1= m2=m; c1= c2= c3= c q1 q2 c1 c2 c3 m1 m2 1. Thành lập phương trình vi phân chuyển động. 2. Tìm tầnsố dao động riêng và ma trậndạng riêng V. 3. Tìm quy luật chuyển động củacơ hệ. 97
Ví dụ 1: Một hệ hai con lắc có chiều dài mỗi thanh là l, khối lượng mỗi vật điểm là m. Hai thanh được nối với nhau bằng lò xo có hệ số cứng là c, ở vị trí cách trục quay một đoạn là d. Độ dài của lò xo ở trạng thái không biến dạng bằng khoảng giữa hai trục con lắc. Bỏ qua khối lượng của thanh, lò xo và bỏ qua lực cản. a. Xác định các toạ độ chính của hệ. b. Xác định dao động tự do của hệ với điều kiện đầu: ϕ (0)= ϕϕ , (0)= 0 102 ϕϕ&&12(0)= 0, (0)= 0 d φ1 φ2 l 98
Ví dụ 2: Mô hình dao động ngang của toà nhà 3 tầng. Xem rằng 3 khối lượng của các tầng bằng nhau m1 = m2 = m3 = m = 262,69.10 kg. Độ cứng uốn của các bức tường ở các tầng là c1 = 3c, c2 = 2c, 6 c3 = c = 88,56.10 N/m. Xác định các tần số riêng và các dạng dao động riêng của cơ hệ. x3 C3/2 x2 C3/2 C /2 C /2 2 x1 2 C1/2 C1/2 99
d. Các toạđộchuẩn Nhưđãbiết, bằng phép thế q = V p ( V là ma trậndạng riêng, p là vectơ các toạđộchính) ta có thểđưa phương trình vi phân dao động : Mq&& + Cq = 0 về dạng vế tách rời nhau: μ ii&&pp+ γ i i==→0; i 1 n Trong đó: TT μγii==vMv i; iii vCv 100
Do các phầntử củavectơ vi củama trận V đượcxác định sai khác nhau mộthằng số nhân, cho nên ta có thể chọn các vectơ vi một cách thích hợpsaocho: ⎡⎤10 0 ⎢⎥01 0 VMVT = ⎢⎥= E ⎢⎥00 0 ⎢⎥ ⎣⎦00 1 Ma trậndạng riêng đượcchọnnhư vậy đượcgọilàma trậndạng riêng chuẩn. Ta ký hiệuma trậndạng riêng chuẩnbằng Vn. Ta có: 2 ⎡⎤ω1 0 0 ⎢⎥2 T T ⎢⎥0ω 2 0 VMVnn= E VCV== D nn ω ⎢⎥0 0 0 ⎢⎥2 ⎣⎦⎢⎥0 0 ω n 101
Bằng phép thế q = Vn p ta có thểđưa phương trình dao động ban đầuvề: Ep&& + Dω p= 0 T Các toạđộchính p = [p1, p2, , pn] trong phép thế: q = Vn p đượcgọilàcáctoạđộchuẩn. Toạđộchuẩnlàcáctoạđộchính đặcbiệt. Nếutabiết đượcma trậndạng riêng: T V = [v12 , v , , v n ] Thì ma trậndạng riêng chuẩn đượcxácđịnh bởi: 11 1T V n = [ v12 , v , , v n ] αα12 αn Trong đó: T αμiiii=± =± vMv 102
§3. Dao động tự do có cản a. Phương pháp trựctiếp b. Phương pháp ma trậndạng riêng 103
a. Phương pháp trựctiếp Phương trình vi phân dao động tự do có lựccảntỷ lệ với vậntốccủahệ n bậctự do có dạng: Mq&&+ Bq & += Cq 0 (1) Ta tìm nghiệmcủa phương trình (1) dướidạng: qt()= qeˆ λ t (2) qˆ Là vectơ hằng. 104
Thế biểuthức (2) vào (1), rồi đơngiảntađược: 2 ()λλMBCq+ +=ˆ 0 (3) Để cho các phầntử củavectơ qˆ không đồng thờitriệttiêuthì: 2 PMBC()λλλ= det( ++=) 0 (4) Phương trình (4) đượcgọilà phương trình đặctrưng. Khi M là ma trận chính qui: det(M ) = 0,thìP(λ) là đa thức bậc 2n của λ. Giải phương trình (4) ta được 2n nghiệmthựchoặcphức liên hợp. 105
Ta xét trường hợp, phương trình đặctrưng (4) có nghiệmdạng: λkkkknkk=−δωλ +ii,,+ =− δω −kn =1 → Thì trường hợpnàyđượcgọilàtrường hợpcảnyếu. Ta đặt: qˆˆkk=+ u iv ˆˆ kknk,, q+ =− u ˆ iv ˆ k Nghiệmtương ứng vớicặptrị riêng λk và λk+n có dạng: λλkktt+n qtkkkkkkk()=++− Ce( uˆˆ iv) De( u ˆˆ iv) (5) Với CDkk, là các hằng số phức. 106
Nếutađưavàocáchằng số tích phân mới: CCDDiCDkkkk=+, =( kk −) Thì biểuthức (5) có dạng: −δkt qtkk()=+ e[] ( Cuˆˆk Dvcostkkk )ω +− ( Duk ˆˆk Cvkkk )sinω t Nghiệmtổng quát của phương trình (1) có dạng: n qt()= ∑ qk () t k =1 Chú ý: uvˆˆkk, nói chung không tỷ lệ với nhau nên các toạđộcủavéctơ qk có pha khác nhau. 107
b. Phương pháp ma trậndạng riêng Trong một vài bài toán kỹ thuật, ma trận B có thể biểu diễndướidạng: BMC= α + δ (1) Trong đó α và δ là các hằng số. Ma trận B có dạng (1) đượcgọilàma trậncảnRayleigh. Biểuthức (1) có khi đượcviếtdướidạng: β B =+αω MC ω Trong đó ω là mộttầnsố qui chiếutuỳ ý được đưa vào để α và β là các đạilượng không thứ nguyên. 108
Bằng phép biến đổi q = V p, với V là ma trậndạng riêng, ta đưa phương trình (1) về dạng: μii&&p ++=βγ iipp & ii 0; i =→ 1 n (2) Trong đó: TTT μβγiii===vMv;; iii vBv iii vCv Nghiệmcủa phương trình (2) đã đượckhảo sát trong chương 2 109
§4. Dao động cưỡng bức a. Phương pháp giảitrựctiếp b. Phương pháp ma trậndạng riêng 110
a. Phương pháp giảitrựctiếp Dao động cưỡng bức không cảnchịu kích động điềuhoà. Dao động cưỡng bứccócảnchịukích động tuần hoàn. 111
Dao động cưỡng bức không cản chịu kích động điềuhoà Dao động tuyến tính cưỡng bức không cảncủahệ n bậc tự do chịukíchđộng điều hoà có dạng: ˆ M qCqf&& + =Ωsin t (1) Ở chếđộchuyển động bình ổn, ta tìm nghiệmcủa phương trình (1) dướidạng: qt()= u sinΩ t (2) 112
Thế (2) vào (1) ta có: 2 ˆˆ ()−ΩM +Cu = f ⇒ u = H() Ω f (3) Trong đó: 2 −1 HMC()Ω=−Ω( + ) và đượcgọilàma trậntruyền. 113
Giảihệ phương trình (3), ta được: Δk ()Ω u ()Ω= (4) k Δ()Ω Trong đó: ΔΩ() = det( −Ω2M +C ) (5) ΔΩk ()có đượcbằng cách thayfˆ vào cộtthứ k của Δ. Ta thấykhi ΔΩ() = 0 Ω ==→ω j ,1j n 114
Các trường hợpcóthể xảyra: Trường hợp1:Δ()Ω= 0,() Δk Ω≠ 0 Khi đótầnsố lựckíchđộng Ω trùng vớimột trong các tần số dao động riêng. Biên độ dao động tăng lên vô cùng. Trường hợpnàyđượcgọilàtrường hợpcộng hưởng. 115
Trường hợp2: Δ()Ω= 0, Ω=ωj Δk ()Ω ΔΩ=∀k () 0k ,lim <∞ Ω→ω j ΔΩ() Trường hợpnàymặcdùtầnsố lựckíchđộng trùng với tầnsố riêng, nhưng biên độ dao động vẫnbị giớinội. Trường hợpnàyđượcgọilàtrường hợpgiả cộng hưởng. 116
Trường hợp3:Δ()Ω≠ 0,() Δk Ω= 0với k xác định. Trong trường hợpnàyuk = 0. Dao động ứng vớitoạđộ thứ k bị dậptắt. 117
Dao động cưỡng bứccócảnchịu kích động tuầnhoàn Dao động cưỡng bứccócảnnhớtcủahệ tuyếntínhn bậctự do có dạng: M qBqCqft&&+ & +=() (1) Giả sử f(t) tuần hoàn theo thờigianvàcóthể khai triển thành chuỗiFourier mộtcáchgần đúng: m f ()ta=+ok∑ () acos ktbkt Ω+ k sin Ω (2) k =1 118
Sử dụng nguyên lý cộng tác dụng để tìm nghiệm. Trướchết ta tìm nghiệmcủa phương trình: M qBqCqa&&oooo+ & += dướidạng: qvoo= từ hai phương trìnhtrêntasuyra: Cvoo= a (3) 119
Sau đó ta tìm nghiệmcủa phương trình: (4) M qBqCqa&&kkkk++= & cos ktbkt Ω+Ω k sin Nghiệmcủa phương trình (4) được tìm dướidạng: qukk=Ω+Ωsin ktv k cos kt Từ nghiệmtrêntacó: qkucosktvkt&kk=Ω( Ω− ksin Ω) 22 qkuktvkt&&kkk=− Ω()sin Ω + cos Ω 120
Thế các biểuthứctìmđược vào phương trình (4), rồiso sánh hệ số, ta nhận đượchệ phương trình đạisố tuyến tính để xác định các vectơ uk và vk: ⎡⎤Ck−Ω22 M −Ω kB ⎡⎤⎡⎤ua kk(5) ⎢⎥22 ⎢ ⎥⎢⎥= ⎣⎦kBΩ−Ω C k M⎣vbkk⎦⎣⎦ Khi định thứccủama trậnhệ số củahệ phương trình trên khác không, thì các vectơ uk và vk đượcxácđịnh duy nhất. Như thế nghiệmcủa phương trình dao động cương bức (1) là: m (6) qt()=+ vok∑() u sin ktvcoskt Ω+ k Ω k=1 121
b. Phương pháp ma trậndạng riêng Dao động cưỡng bức không cản. Dao động cưỡng bứccócản. 122
Dao động cưỡng bức không cản Phương pháp ma trậndạng riêng (Modalmatrix) đượcáp dụng rấtthuậntiện đốivớihệ không cản: M qCqft&& + = () (1) Trong đó M và C là các ma trậnthực, đốixứng. Áp dụng phép biến đổitoạđộ: qVp= (2) với V là ma trậndạng riêng, p là vectơ các toạđộchính. 123
Thay (2) vào (1) ta có: M Vp&& + CVp= f() t Suy ra: TTT V MVp&& += V CVp V f() t (3) Các ma trận VMVT và VCVT có dạng đường chéo T Nếu đưavàokýhiệu: hvftiii= (),=→ 1 n Thì phương trình (3) có thể viếtdướidạng: μiii&&pphi+=γ =→1 n(4) 124
Nghiệmcủamỗi phương trình (4) ứng với điềukiện đầu: ppppiiii(0)= 00 ;&& (0) = có dạng: p& i0 ptiii()=+ pcost0 ωωsin i t + ωi 1 t +−htd()sinτ ωττ ( ) ∫ ii (5) μωii0 2 γ i Với: ωi = μi 125
Đốivớitrường hợpkíchđộng điều hoà ˆ fii()tf= sinΩ t Thì: n ⎛⎞ˆˆ htik()=Ω⎜⎟∑ vfiksin t=Ω h i sin t ⎝⎠k =1 Phương trình dao động trong trường hợpnày: ˆ (6) μγii&&ppht+= ii isin Ω i =→ 1 n 126
Nghiệmcủa các phương trình (6) trong giai đoạnbình ổnlà: hˆ p ()tt= i sinΩ i Ω 2 γ i (1− 2 ) ω i Trở lạitoạđộqk: nnˆ vhki i qtkk()==∑∑ vpii 2 sin Ωt ii==11Ω γ i (1− 2 ) ω i Ta thấykhiΩ bằng tầnsố riêng ωi thì xảyrahiệntượng cộng hưởng. 127
Dao động cưỡng bứccócản Phương trình vi phân dao động cưỡng bứccủahệ là: M qBqCqft&&+ & +=() (1) Trong kỹ thuậttahay gặptrường hợp: BMC= α + δ Bằng các phép biến đổitương tự như trên ta đưa(1) về dạng: μ ii&&ppphtin++=βγ ii & ii i() =→ 1 (2) Phương trình này đã được nghiên cứukỹ trong các phần trên. 128