Bài giảng Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1

1. Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y) Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y’(x) là đạo hàm của nó • Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 là hàm y=φ(x,c)
2. • Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng. • Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm kỳ dị
3. VD: Xét phương trình vi phân cấp 1 2 y'= 1− y (*) dy 2 Ta có: y'= = 1− y dx dy =dx (ĐK :y 1) 1− y2 dy = x + c arcsin y = x + c 1− y2
4. y = sin(x + c) Đây là nghiệm tổng quát Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình (*) nên cũng là nghiệm của phương trình vi phân này nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên là nghiệm kỳ dị 2. Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 y’=f(x,y) thỏa điều kiện ban đầu y(xo) = yo .
5. y VD: Xét bài toán Cauchy y'= thỏa y(1) = 2 x dy y Ta có: y'= = dx x dy = dx ĐK :y 0 y x dy dx = ln y = ln x + ln c ,c 0 y x y = c.x,c 0 Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c=2 Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2 là y=2.x
6. Nhận xét: Nghiệm của mọi bài toán Cauchy đều là nghiệm riêng. 3. Các loại phương trình vi phân cấp 1 3.1 Phương trình tách biến a. Dạng: f(x)dx + g(y)dy = 0 b. Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm tổng quát của phương trình là: f (x)dx+ g(y)dy =c
7. VD: Giải phương trình vi phân xdx + ydy = 0 Ta có: xdx+ ydy =c 2 y2 x + =c 2 2 x2 + y2 =2c là nghiệm của phương trình.
8. c. Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về dạng tách biến Phương trình dạng: y’=f(y) •Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng tách biến: dy = dx f (y) •Nếu f(y) = 0 có nghiệm y=b thì y=b là nghiệm riêng của phương trình.
9. VD: Tìm nghiệm của phương trình − 1− y2 y'= thỏa điều kiện y( 1 ) = 1 y 2 2 dy 1− y2 Ta có: y'= = − dx y y − dy = dx (ĐK : y 1) 1− y2 y − dy = dx 1− y2
10. 1− y2 = x + c Từ điều kiện đầu y( 1 ) = 1 2 2 ta giải được c = 0 Vậy nghiệm của bài toán là 1− y2 = x Trường hợp: y = 1 không thỏa điều kiện đầu nên ta loại nghiệm này
11. Phương trình dạng: f1(x).g1(y)dx+ f2 (x).g2 (y)dy = 0 • Nếu g1(y). f2 (x) 0 chia 2 vế phương trình cho g1(y). f2 (x) ta được phương trình tách biến: f (x) g (y) 1 dx + 2 dy = 0 f2 (x) g1(y)
12. • Nếu f2(x) = 0 tại x=a thì x=a là 1 nghiệm của phương trình. • Nếu g1(y) = 0 tại y=b thì y=b là 1 nghiệm riêng của phương trình. VD1: Tìm nghiệm của phương trình x(1+ y2 )dx + y(1+ x2 )dy = 0 Vì (1+ x2 ).(1+ y2 ) 0
13. chia 2 vế phương trình cho (1+ x2 ).(1+ y2 ) ta được phương trình tách biến: y x dx + dy = 0 1+ x2 1+ y2 y x dx + dy = c 1+ x2 1+ y2 1ln(1+ x2) + 1ln(1+ y2) = c 2 2 (1+ x2 ).(1+ y2 ) = e2c = c*
14. VD2: Tìm nghiệm của phương trình: xy2dy = −(y +1)dx (*) •Nếu x.(y +1) 0 , chia 2 vế phương trình cho y2 x.(y +1) ta được dy + 1 dx = 0 y +1 x y2 dy + 1 dx = c y +1 x y2 − y + ln y +1 + ln x = c 2
15. •Ta thấy x = 0 và y = −1 thỏa phương trình (*) nên đều là nghiệm của phương trình này. Phương trình dạng y'= f (ax + by + c) Đặt z = ax + by + c (với z=z(x)) Thay vì tìm hàm y(x) ta tìm hàm z(x). Ta có: z'= a + by' Thay vào phương trình đầu ta được: z'= a + bf (z)
16. VD: Tìm nghiệm của phương trình y'= 2x + y Đặt z = 2x + y y'= z'−2 Thay y’ vào phương trình đầu ta đươc: z'−2 = z •Trường hợp z + 2 0 ta có: dz = dx z + 2 lnz + 2 = x + c
17. z + 2 = c.ex z = −2 + c.ex 2x + y = −2 + c.ex y = c.ex − 2x − 2 •Trường hợp z + 2 = 0 y = −2x − 2 Đây là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát ứng với c = 0
18. 3.2 Phương trình đẳng cấp: y a) Dạng: y'= f ( ) x b)Cách giải: y Đặt u = y = u.x y'= u + xu' x Thay y’ vào phương trình đầu ta sẽ được: xu'= f (u) −u
19. VD1: Tìm nghiệm của phương trình: y y'= e y x + +1 x y Đặt u = y = u.x y'= u + xu' x Thay y’ và vào phương trình đầu ta được phương trình: u + xu'= eu + u +1 xu'= eu +1 du = dx (đây là phương trình tách biến) eu +1 x
20. du = dx 1+ eu x u + ln(1+ eu ) = ln x + c y Thay u = ta được x y + ln(1+ e y x ) = ln x + c x
21. VD2: Tìm nghiệm của phương trình (x + 2y)dx − xdy = 0 dy y =1+ 2 (ĐK :x 0) dx x y Đặt u = y = u.x y'= u + xu' x Thay y’ vào phương trình ta được u + xu'=1+ 2u du = dx (ĐK :1+ u 0) 1+ u x
22. ln1+ u = ln x + c 1+ u = c.x y Thay u = ta có: y = x(cx −1) x Trường hợp x = 0 và y = −x thỏa mãn phương trình đầu nên ta nhận 2 nghiệm này.
23. 3.3 Phương trình tuyến tính cấp 1 a. Dạng: y'+P(x)y = Q(x) (*) • Nếu Q(x) = 0 thì phương trình y'+P(x)y = 0 được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất. • Nếu Q(x) 0 thì phương trình y'+P(x)y = Q(x) được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
24. b. Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 (*) có dạng: y = e− P( x)dx[ Q(x).e P( x)dxdx + c] VD1: Tìm nghiệm của phương trình y'+ycos x = sin xcos x Áp dụng công thức nghiệm : y = e− P( x)dx[ Q(x).e P( x)dxdx + c]
25. y = e− cos xdx[ sin x cos x.e cos xdxdx + c] y = e−sin x[ sin x cos x.esin xdx + c] y = e−sin x[esin x (sin x −1) + c] y = (sin x −1) + c.e−sin x
26. VD2: Tìm nghiệm của phương trình y'+ tg x.y = 1 cos x Áp dụng công thức nghiệm y = e− P( x)dx[ Q(x).e P( x)dxdx + c] y = e− tg xdx[ 1 .e tg xdxdx + c] cos x y = cos x[ 1 . 1 dx + c] cos x cos x
27. y = cos xtgx + c 3.4 Phương trình Bernouli a) Dạng y'+P(x)y = Q(x).y ; 0,1 1− b)Cách giải: Đặt z = y sau đó sẽ đưa phương trình đầu về dạng phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là z(x) 1− Sau khi tìm được z(x) ta lại thay z = y vào.
28. 2 y'− 1 y = x VD1: Giải phương trình 2x 2y Đây là phương trình Bernouli với α =-1 1− 2 Đặt z = y = y z'= 2y.y' Nhân 2 vế phương trình đầu với 2y ta được: 2y.y'−1 y2 = x2 x z'−1 z = x2 (đây là PT tuyến tính cấp 1) x 1dx − 1dx z(x) = e x [ x2e x dx + c]
29. z(x) = x[ x2.1 dx + c] x 2 y2 = x(x + c) 2 VD2: Giải phương trình xy'−y(2yln x −1) = 0 y y'+ = 2ln x y2 x x Đây là phương trình Bernouli với α =2 Đặt x = y1− = y−1 = 1 (ĐK : y 0) y
30. y' z'= − y2 Nhân 2 vế phương trình đầu với − 1 ta được: y2 − 1 y'− 1 = − 2ln x y2 xy x z'−1 z = − 2ln x x x (đây là phương trình tuyến tính cấp 1)
31. z(x) = x[ − 2ln x dx + c] x2 z(x) = x[2ln x + 2 + c] x x 1 = 2ln x + 2 + cx y Trường hợp y = 0 thỏa mãn phương trình đầu tiên ta nhận được nghiệm này.
32. 3.5 Phương trình vi phân toàn phần a) Dạng: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 Ở đây: P(x, y), Q(x, y) cùng các đạo hàm riêng của nó là các hàm liên tục trên miền D và thỏa mãn Q P = ; (x, y) D điều kiện y x Khi đó: U(x, y) thỏa dU = P(x, y)dx + Q(x, y)dy b)Cách giải: Vì dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy nên U = P , U = Q x y
33. Từ U = P U(x, y) = P(x, y)dx + c(y) x Từ U = Q  ( P(x, y)dx) + c'(y) = Q(x, y) y y Ta tính được c'(y) , từ đó suy ra c(y) và cuối cùng ta sẽ tìm được hàm U(x, y) mà dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 Suy ra nghiệm của bài toán là: U(x, y) = c
34. VD1: Giải phương trình vi phân: (x + y +1)dx + (x − y2 + 3)dy = 0 Q Vì P = =1 nên đây là phương trình vi y x phân toàn phần. Do đó: U(x, y) : dU = P(x, y)dx + Q(x, y)dy U = P = x + y +1 (1) x U = Q = x − y2 + 3 (2) y
35. Từ (1) U(x, y) = (x + y +1)dx + c(y) 2 U (x, y) = x + xy + x + c(y) 2 U = x + c'(y) = x − y2 + 3 y c'(y) = −y2 + 3 y3 c(y) = − + 3y + c 3 1 2 y3 Vậy: U (x, y) = x − + xy + x + 3y + c 2 3 1
36. Nghiệm của bài toán là: U(x, y) = c2 2 y3 x − + xy + x + 3y + c = c 2 3 1 2 2 y3 x − + xy + x + 3y = c 2 3 VD2: Giải phương trình vi phân (x + y −1)dx + (e y + x)dy = 0 Q Vì P = =1 nên đây là PT vi phân tòan phần y x
37. Do đó :U(x, y) : dU = P(x, y)dx + Q(x, y)dy U = P = x + y −1 (1) x U = Q = e y + x (2) y Từ (1) U(x, y) = (x + y −1)dx + c(y) 2 U (x, y) = x + xy − x + c(y) 2 U = x + c'(y) = x + e y y
38. y y c'(y) = e c(y) = e + c1 2 y Vậy U (x, y) = x + xy − x + e + c 2 1 Vậy nghiệm của phương trình là 2 x + xy − x + e y + c = c 2 1 2 2 x + xy − x + e y = c 2
39. c) Thừa số tích phân Khi phương trình P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 không là phương trình vi phân toàn phần nhưng có hàm H(x, y) sao cho khi nhân 2 vế phương trình với H(x, y) ta được phương trình: H(x, y)P(x, y)dx + H(x, y)Q(x, y)dy = 0 là phương trình vi phân toàn phần. Lúc này: Hàm H(x, y) được gọi là thừa số tích phân.
40. Nói chung không có phương pháp tổng quát để tìm thừa số tích phân. Ta chỉ xét 2 trường hợp đơn giản nhất: Q P − y x •Nếu = f (x) Q f ( x)dx khi đó: H (x, y) = H (x) = e Q P − y x •Nếu = g(y) P − g ( y)dy khi đó: H (x, y) = H (y) = e
41. VD1: Giải phương trình vi phân (x2 − sin2 y)dx + xsin 2ydy = 0 Ta có: P = −2sin ycos y ; Q = sin 2y y x Vậy đây không phải là phương trình vi phân toàn phần. Q P − y x Nhận xét: = − 2 Q x −2dy Do đó thừa số tích phân là H (x) = e x = 1 x2
42. 1 (x2 − sin 2 y)dx + 1  xsin 2ydy = 0 x2 x2 là phương trình vi phân toàn phần. Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là: sin2 y x + = c x VD2: Giải phương trình vi phân (y2 cos x +1)dx + (ysin x − x)dy = 0 y
43. Q Ta có: P = 2ycos x ; = ycos x − 1 y x y Vậy đây không phải là phương trình vi phân toàn phần. Q P − y x Nhận xét: = 1 P y − 1dy Do đó thừa số tích phân là H(x) = e y = 1 y 1 (y2 cos x +1)dx + 1 (ysin x − x)dy = 0 y y y
44. là phương trình vi phân toàn phần. Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là: ysin x + x = c y 