Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véctơ (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véctơ (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh

1. Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ môn Toán ứng dụng Ñaïi soá tuyeán tính Chöông 4: KHOÂNG GIAN VEÙCTÔ (tt) Giaûng vieân TS. Ñaëng Vaên Vinh www.tanbachkhoa.edu.vn
2. Nội dung I – Toạ độ của véctơ. II – Không gian con. III - Tổng và giao của hai không gian con.
3. I. Toạ độ của véctơ Định nghĩa toạ độ của véctơ Cho E ={e1, e2, , en} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V x V x x1 e 1 x 2 e 2 xn e n Bộ số ( x 1 , x 2 , , x n ) được gọi là tọa độ của véctơ x trong cơ sở E. x1 x []x 2 E  xn
4. I. Toïa ñoä cuûa veùctô Ví dụ Cho E { x2 x 1; x 2 2 x 1; x 2 x 2} là cơ sở của không gian P2[x] 3 Tìm véctơ p(x), biết toạ độ trong cơ sở E là [p ( x )] 5 E 2 3 [p ( x )] 5 E 2 p( x ) 3( x2 x 1) 5( x 2 2 x 1) 2( x 2 x 2) p( x ) 5 x 2
5. I. Toïa ñoä cuûa veùctô Ví dụ Cho E {(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)} là cơ sở của R3 và x = (3,1,-2) là một véctơ của R3. Tìm toạ độ của véctơ x trong cơ sở E. x1 Giả sử []x x x x e x e x e E 2 1 1 2 2 3 3 x3 (3,1, 2) x1 (1,1,1) x 2 (1,0,1) x 3 (1,1,0) x1 x 2 x 3 3 4 x x 1 [x ] 2 1 3 E x1 x 2 2 5
6. I. Toïa ñoä cuûa veùctô Ví dụ 2 Cho E { x x 1; x 1;2 x 1} laø cô sôû P2 [ x ]. Tìm toạ độ của véctơ p(x) = 3x2+4x-1 trong cơ sở E. a Giả sử [p ( x )] b p() x a e b e c e E 1 2 3 c 3x2 41 x a ( x 2 x 1) b (1)(21) x c x a 3 3 a b 2 c 4 [p ( x )] 9 E a b c 1 5
7. I. Toïa ñoä cuûa veùctô Tính chất của tọa độ véctơ x1 y1 x y []x 2 []y 2 E  E  xn yn x1 y 1 x1 y 1 x y x y 2 2 2 2 1. x y 2. [x y ]E   xn y n xn y n x1 x 3. [ x ] 2 E  xn
8. I. Toïa ñoä cuûa veùctô Ý nghĩa của toạ độ véctơ. Trong không gian n chiều V cho một cơ sở E ={e1, e2, , en}. Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ. Hai phép toán cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một số, và sự bằng nhau trong V có thể phức tạp. Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép toán này giống hoàn toàn trong Rn. Suy ra cấu trúc của không gian vectơ V hoàn toàn giống Rn. Chứng minh được V và Rn đồng cấu với nhau, vậy nên trong nghiên cứu ta đồng nhất V và Rn. Tất cả các không gian n chiều đều coi là Rn.
9. I. Toïa ñoä cuûa veùctô Ví dụ 2 2 2 Cho M { x x 1;3 x 21;2 x x x } laø taäp con cuûa P2 []. x Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. 2 Chọn cơ sở chính tắc của P2[x] là E {} x , x ,1 . 1 3 2 2 2 2 []x x 1E 1 [3x 2 x 1 ] 2 [2x x ] 1 E E 1 1 0 Hạng của M = hạng của họ vectơ của M ở dạng toạ độ. 1 3 2 A 1 2 1 r( A ) 2 Vậy M phụ thuộc tuyến tính 1 1 0
10. II. Khoâng gian con V là K-kgvt TậpKg con con F F Tập con F 2 phép toán trong V K- kgvt F
11. II. Khoâng gian con Định lý Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa. 1.f , g F : f g F 2.f F ,  K : f F
12. II. Khoâng gian con Ví dụ F ( x1 , x 2 , x 3 ) R 3 | x 1 2 x 2 x 3 0 1. Chứng tỏ F là không gian con của R3 2. Tìm cơ sở và chiều của F. Giải câu 2. x (,,) x1 x 2 x 3 F x1 2 x 2 x 3 0 x3 x 1 2 x 2 Khi đó x ( x1 , x 2 , x 3 ) ( x 1 , x 2 , x 1 2 x 2 ) x x1(1,0,1) x 2 (0,1,2) Suy ra E {} (1,0,1);(0,1,2) là tập sinh của F. Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F. dim(F ) 2
13. II. Khoâng gian con Ví dụ F p( x ) P2 [x]| p (1) 0 & p (2) 0 1. Chứng tỏ F là không gian con của P2[x]. 2. Tìm cơ sở và chiều của F. Giải câu 2. p() x ax2 bx c F p(1) 0 & p (2) 0 a b c 0 a ; b 3 ; c 2 4a 2 b c 0 p( x ) x2 3 x 2 p( x ) ( x2 3 x 2) Suy ra E {} x 2 3 x 2 là tập sinh của F. Hiển nhiên E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F. dim(F ) 1
14. II. Khoâng gian con Ví dụ 1 1  FAMRA 2[ ]| 0 2 2  1. Chứng tỏ F là không gian con M2[R] 2. Tìm cơ sở và chiều của F.
15. II. Khoâng gian con M {,,,} v1 v 2  vn  V L(M)=Span{ v1 , v 2 , , vn } { 1 v 1 2 v 2  n v n  i R } 1. L(M) là không gian con của V 2. dim(L(M)) = Hạng của họ M.
16. II. Không gian con Giả sử dim(V) = n Hạng M = Hạng Ma trận M phụ thuộc tt M { x1 , x 2 , , xm } Kgian con M độc lập tt x là tổ hợp tt của M M là cơ sở của V M tập sinh của V hạng M = hạng M
17. II. Khoâng gian con Ví dụ Cho F (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1) Tìm cơ sở và chiều của F.
18. II. Khoâng gian con Ví dụ Cho F x2 x 1,2 x 2 3 x 1, x 2 2 x 2 Tìm cơ sở và chiều của F.
19. II. Khoâng gian con Ví dụ a b a 2 b  F a , b R  b2 a  Tìm cơ sở và chiều của F.
20. II. Khoâng gian con Ví dụ 1 1 2 1 3 1 1 0 F ,,, 2 1 0 1 2 1 2 0 Tìm cơ sở và chiều của F.
21. II. Khoâng gian con Ví dụ Cho x (1, 2,3); M {(1,1,1);(2,1,0);(3, 1,3)} x có thuộc không gian con sinh ra bởi M?
22. II. Khoâng gian con Ví dụ Cho x (1,0, m ); M {(1,1,1);(2,3,1);(3,2,0)} Tìm tất cả giá trị của m để x thuộc không gian con sinh ra bởi M?
23. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Cho F và G là hai không gian con của K-kgvt V. Định nghĩa giao của hai không gian con Giao của hai không gian con F và G là tập hợp con của V, ký hiệu bởi F G { x V | x F vaø x G } Định nghĩa tổng của hai không gian con Tổng của hai không gian con F và G là tập hợp con của V, ký hiệu bởi F G { f g | vôùi f F vaø g G }
24. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Định lý 1. FGFG  & là hai không gian con của V. 2. dim( FGFGFG ) dim( ) dim( ) dim( ) Kết quả FGFFGV    FGGFGV   
25. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Các bước để tìm không gian con F+G 1. Tìm tập sinh của F. Giả sử là {f1, f2, , fn} 2. Tìm tập sinh của G. Giả sử là {g1, g2, , gm} 3. F G f1 , f 2 , , fn , g 1 , g 2 , , g m
26. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Ví dụ Cho F và G là hai không gian con của R3, với F ( x1 , x 2 , x 3 ) | x 1 x 2 2 x 3 0} G ( x1 , x 2 , x 3 ) | x 1 x 2 x 3 0} 1. Tìm cơ sở và chiều của FG . 2. Tìm cơ sở và chiều của FG .
27. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Giải câu 1. x (,,) x1 x 2 x 3 F G ÛÎÎx F & x G ïì x1 = a x x 2 x 0 ï 1 2 3 Ûí x = 3a ï 2 x1 x 2 x3 0 ï îï x3 = 2a Khi đó x ( x1 , x 2 , x 3 ) ( ,3 ,2 ) Ûx = a (1,3,2) ÞE = {}(1,3,2) là tập sinh của FGÇ vì E độc lập tuyến tính. Suy ra E là cơ sở của FG Ç Þdim(FG Ç ) = 1.
28. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Giải câu 2. Bước 1. Tìm tập sinh của F. E1 {(-1,1,0),(2,0,1)} Bước 2. Tìm tập sinh của G. E2 {(1,1,0),( 1,0,1)} ÞFG + = æ- 1 1 0 ö æ ö ç ÷ - 1 1 0 ÷ ç ÷ ç ÷ ç 2 0 1÷ ç 0 2 1 ÷ A = ç ÷ ¾bñs ¾c ¾ ñv ¾haøng ¾® ç ÷ ç 1 1 0÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 0- 1÷ ç ÷ ç ÷ èç- 1 0 1 ø÷ èç 0 0 0 ÷ ø Þdim(F + G ) = r ( A ) = 3. Cơ sở: E ={}( - 1,1,0),(0,2,1),(0,0, - 1)
29. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Ví dụ Cho F và G là hai không gian con của R3, với F ( x1 , x 2 , x 3 ) | x 1 x 2 x 3 0} G (1,01,);(2,3,1) 1. Tìm cơ sở và chiều của FG . 2. Tìm cơ sở và chiều của FG .
30. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Giải câu 1. x (,,) x1 x 2 x 3 F G ÛÎÎx F & x G x G x (1,0,1)  (2,3,1) Ûx =(a + 2 b ,3 b , a + b ) x F x thoûa ñieàu kieän cuûa F . 2  3  0 3  Vậy x (  ,3  , 2  )  ( 1,3, 2) x  (1, 3,2)ÞE ={}(1, - 3,2) là tập sinh của FGÇ vì E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở Þdim(FG Ç ) = 1.
31. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Ví dụ Cho F và G là hai không gian con của R4, với x1 x 2 x 3 x 4 0  F ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 2x1 x 2 x 3 2 x 4 0 x1 x 2 x 3 x 4 0  G ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 3x1 2 x 2 2 x 3 3 x 4 0 1. Tìm cơ sở và chiều của FG . 2. Tìm cơ sở và chiều của FG .
32. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Ví dụ Cho F và G là không gian con của R3, với F (1,0,1);(1,1,1) G (1,1,0);(2,1,1) 1. Tìm cơ sở và chiều của FG . 2. Tìm cơ sở và chiều của FG .
33. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Ví dụ Cho F và G là hai không gian con của P2[x], với F {() p x P2 []| x p(1) 0} G {() p x P2 []| x p(1) 0} 1. Tìm cơ sở và chiều của FG . 2. Tìm cơ sở và chiều của FG .
34. III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con Ví dụ Cho F và G là hai không gian con của P2[x], với F x2 x 1,2 x 1 ; G x2 x 2, x 1 Tìm cơ sở và chiều của FG . Cách 1. Có thể giải như các ví dụ trước. Cách 2. Coi P2[x] là không gian R3. F và G là hai mặt phẳng. Cặp véctơ chỉ phương của F là: (1,1,-1); (0,2,1). Cặp véctơ chỉ phương của G là: (1,-1,2); (0,1,1). Pháp véctơ của F là (3,-1,2); pháp véctơ của G là (3,1,-1) Giao của F và G là đường thẳng có vectơ chỉ phương: (-1,9,6) Cơ sở của FG  : E={(-1,9,6)}; dim(FF ) 1.