Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian vectơ - Lê Văn Luyện

469 trang ngocly 1670

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian vectơ - Lê Văn Luyện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_3_khong_gian_vecto_le_van.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian vectơ - Lê Văn Luyện

Nội dung chương 3 Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương 3 KHÔNG GIAN VECTƠ Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 1 / 86
Nội dung chương 3 Nội dung Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 1. Không gian vectơ 2. Tổ hợp tuyến tính 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 4. Không gian vectơ con 5. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 6. Tọa độ và ma trận chuyển cơ sở Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 2 / 86
(5) (αβ)u = α(βu); (6) (α + β)u = αu + βu; (7) α(u+v) = αu+αv; (8) 1.u = u. 1. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ Định nghĩa. Cho V là một tập hợp với phép toán +. V được gọi là không gian vectơ trên R nếu mọi u, v, w ∈ V và α, β ∈ R thỏa mãn 8 tính chất sau: (1) u+v = v+u; (2) (u+v)+w = u+(v+w); (3) tồn tại 0 ∈ V : u+0=0+ u = u; (4) tồn tại u0 ∈ V : u0+u = u+u0 =0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 3 / 86
1. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ Định nghĩa. Cho V là một tập hợp với phép toán +. V được gọi là không gian vectơ trên R nếu mọi u, v, w ∈ V và α, β ∈ R thỏa mãn 8 tính chất sau: (1) u+v = v+u; (2) (u+v)+w = u+(v+w); (3) tồn tại 0 ∈ V : u+0=0+ u = u; (4) tồn tại u0 ∈ V : u0+u = u+u0 =0; (5) (αβ)u = α(βu); (6) (α + β)u = αu + βu; (7) α(u+v) = αu+αv; (8) 1.u = u. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 3 / 86
• mỗi số α ∈ R là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u0 là vectơ đối của u. n Ví dụ. Xét V = R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R∀, i ∈ 1, n}. n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ R và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); • αu = (αa1, αa2, . . . , αan). n Khi đó R là không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); . Vectơ đối của u là −u = (−a1, −a2, , −an). 1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 4 / 86
• vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u0 là vectơ đối của u. n Ví dụ. Xét V = R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R∀, i ∈ 1, n}. n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ R và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); • αu = (αa1, αa2, . . . , αan). n Khi đó R là không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); . Vectơ đối của u là −u = (−a1, −a2, , −an). 1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. • mỗi số α ∈ R là một vô hướng. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 4 / 86
• vectơ u0 là vectơ đối của u. n Ví dụ. Xét V = R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R∀, i ∈ 1, n}. n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ R và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); • αu = (αa1, αa2, . . . , αan). n Khi đó R là không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); . Vectơ đối của u là −u = (−a1, −a2, , −an). 1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. • mỗi số α ∈ R là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 4 / 86
n Ví dụ. Xét V = R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R∀, i ∈ 1, n}. n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ R và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); • αu = (αa1, αa2, . . . , αan). n Khi đó R là không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); . Vectơ đối của u là −u = (−a1, −a2, , −an). 1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. • mỗi số α ∈ R là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u0 là vectơ đối của u. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 4 / 86
n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ R và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); • αu = (αa1, αa2, . . . , αan). n Khi đó R là không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); . Vectơ đối của u là −u = (−a1, −a2, , −an). 1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. • mỗi số α ∈ R là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u0 là vectơ đối của u. n Ví dụ. Xét V = R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R∀, i ∈ 1, n}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 4 / 86
• u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); • αu = (αa1, αa2, . . . , αan). n Khi đó R là không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); . Vectơ đối của u là −u = (−a1, −a2, , −an). 1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. • mỗi số α ∈ R là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u0 là vectơ đối của u. n Ví dụ. Xét V = R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R∀, i ∈ 1, n}. n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ R và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 4 / 86
• αu = (αa1, αa2, . . . , αan). n Khi đó R là không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); . Vectơ đối của u là −u = (−a1, −a2, , −an). 1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. • mỗi số α ∈ R là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u0 là vectơ đối của u. n Ví dụ. Xét V = R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R∀, i ∈ 1, n}. n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ R và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 4 / 86
n Khi đó R là không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); . Vectơ đối của u là −u = (−a1, −a2, , −an). 1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. • mỗi số α ∈ R là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u0 là vectơ đối của u. n Ví dụ. Xét V = R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R∀, i ∈ 1, n}. n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ R và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); • αu = (αa1, αa2, . . . , αan). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 4 / 86
. Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); . Vectơ đối của u là −u = (−a1, −a2, , −an). 1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. • mỗi số α ∈ R là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u0 là vectơ đối của u. n Ví dụ. Xét V = R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R∀, i ∈ 1, n}. n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ R và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); • αu = (αa1, αa2, . . . , αan). n Khi đó R là không gian vectơ trên R. Trong đó: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 4 / 86
. Vectơ đối của u là −u = (−a1, −a2, , −an). 1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. • mỗi số α ∈ R là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u0 là vectơ đối của u. n Ví dụ. Xét V = R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R∀, i ∈ 1, n}. n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ R và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); • αu = (αa1, αa2, . . . , αan). n Khi đó R là không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 4 / 86
1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. • mỗi số α ∈ R là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u0 là vectơ đối của u. n Ví dụ. Xét V = R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R∀, i ∈ 1, n}. n Với u = (a1, a2, . . . , an), v = (b1, b2, . . . , bn) ∈ R và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn); • αu = (αa1, αa2, . . . , αan). n Khi đó R là không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là 0 = (0, 0, , 0); . Vectơ đối của u là −u = (−a1, −a2, , −an). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 4 / 86
. Vectơ không là ma trận không. . Vectơ đối của A là −A. Ví dụ. Tập hợp n R[x] = {p(x) = anx + ··· + a1x + a0 | n ∈ N, ai ∈ R, i ∈ 1, n} gồm các đa thức theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R với phép cộng vectơ là phép cộng đa thức thông thường và phép nhân vô hướng với vectơ là phép nhân thông thường một số với đa thức. Ví dụ. Tập hợp Rn[x] gồm các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R. 1. Không gian vectơ Ví dụ. Tập hợp Mm×n(R) với phép cộng ma trận và nhân ma trận với một số thực thông thường là một không gian vectơ trên R. Trong đó: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 5 / 86
. Vectơ đối của A là −A. Ví dụ. Tập hợp n R[x] = {p(x) = anx + ··· + a1x + a0 | n ∈ N, ai ∈ R, i ∈ 1, n} gồm các đa thức theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R với phép cộng vectơ là phép cộng đa thức thông thường và phép nhân vô hướng với vectơ là phép nhân thông thường một số với đa thức. Ví dụ. Tập hợp Rn[x] gồm các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R. 1. Không gian vectơ Ví dụ. Tập hợp Mm×n(R) với phép cộng ma trận và nhân ma trận với một số thực thông thường là một không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là ma trận không. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 5 / 86
Ví dụ. Tập hợp n R[x] = {p(x) = anx + ··· + a1x + a0 | n ∈ N, ai ∈ R, i ∈ 1, n} gồm các đa thức theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R với phép cộng vectơ là phép cộng đa thức thông thường và phép nhân vô hướng với vectơ là phép nhân thông thường một số với đa thức. Ví dụ. Tập hợp Rn[x] gồm các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R. 1. Không gian vectơ Ví dụ. Tập hợp Mm×n(R) với phép cộng ma trận và nhân ma trận với một số thực thông thường là một không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là ma trận không. . Vectơ đối của A là −A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 5 / 86
Ví dụ. Tập hợp Rn[x] gồm các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R. 1. Không gian vectơ Ví dụ. Tập hợp Mm×n(R) với phép cộng ma trận và nhân ma trận với một số thực thông thường là một không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là ma trận không. . Vectơ đối của A là −A. Ví dụ. Tập hợp n R[x] = {p(x) = anx + ··· + a1x + a0 | n ∈ N, ai ∈ R, i ∈ 1, n} gồm các đa thức theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R với phép cộng vectơ là phép cộng đa thức thông thường và phép nhân vô hướng với vectơ là phép nhân thông thường một số với đa thức. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 5 / 86
1. Không gian vectơ Ví dụ. Tập hợp Mm×n(R) với phép cộng ma trận và nhân ma trận với một số thực thông thường là một không gian vectơ trên R. Trong đó: . Vectơ không là ma trận không. . Vectơ đối của A là −A. Ví dụ. Tập hợp n R[x] = {p(x) = anx + ··· + a1x + a0 | n ∈ N, ai ∈ R, i ∈ 1, n} gồm các đa thức theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R với phép cộng vectơ là phép cộng đa thức thông thường và phép nhân vô hướng với vectơ là phép nhân thông thường một số với đa thức. Ví dụ. Tập hợp Rn[x] gồm các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 5 / 86
Khi đó V là không gian vectơ trên R. 3 Ví dụ. Cho W = {(x1, x2, x3) ∈ R | x1 + x2 − 2x3 = 1}. Khi đó W không là không gian vectơ, vì u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, nhưng u + v = (3, 5, 3) ∈/ W. Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên R. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ R, ta có i) αu =0 ⇔ (α = 0 hay u =0) ; ii) (−1)u = −u. 1. Không gian vectơ 3 Ví dụ. Cho V = {(x1, x2, x3) ∈ R | 2x1 + 3x2 + x3 = 0}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 6 / 86
3 Ví dụ. Cho W = {(x1, x2, x3) ∈ R | x1 + x2 − 2x3 = 1}. Khi đó W không là không gian vectơ, vì u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, nhưng u + v = (3, 5, 3) ∈/ W. Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên R. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ R, ta có i) αu =0 ⇔ (α = 0 hay u =0) ; ii) (−1)u = −u. 1. Không gian vectơ 3 Ví dụ. Cho V = {(x1, x2, x3) ∈ R | 2x1 + 3x2 + x3 = 0}. Khi đó V là không gian vectơ trên R. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 6 / 86
Khi đó W không là không gian vectơ, vì u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, nhưng u + v = (3, 5, 3) ∈/ W. Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên R. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ R, ta có i) αu =0 ⇔ (α = 0 hay u =0) ; ii) (−1)u = −u. 1. Không gian vectơ 3 Ví dụ. Cho V = {(x1, x2, x3) ∈ R | 2x1 + 3x2 + x3 = 0}. Khi đó V là không gian vectơ trên R. 3 Ví dụ. Cho W = {(x1, x2, x3) ∈ R | x1 + x2 − 2x3 = 1}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 6 / 86
u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, nhưng u + v = (3, 5, 3) ∈/ W. Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên R. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ R, ta có i) αu =0 ⇔ (α = 0 hay u =0) ; ii) (−1)u = −u. 1. Không gian vectơ 3 Ví dụ. Cho V = {(x1, x2, x3) ∈ R | 2x1 + 3x2 + x3 = 0}. Khi đó V là không gian vectơ trên R. 3 Ví dụ. Cho W = {(x1, x2, x3) ∈ R | x1 + x2 − 2x3 = 1}. Khi đó W không là không gian vectơ, vì Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 6 / 86
Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên R. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ R, ta có i) αu =0 ⇔ (α = 0 hay u =0) ; ii) (−1)u = −u. 1. Không gian vectơ 3 Ví dụ. Cho V = {(x1, x2, x3) ∈ R | 2x1 + 3x2 + x3 = 0}. Khi đó V là không gian vectơ trên R. 3 Ví dụ. Cho W = {(x1, x2, x3) ∈ R | x1 + x2 − 2x3 = 1}. Khi đó W không là không gian vectơ, vì u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, nhưng u + v = (3, 5, 3) ∈/ W. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 6 / 86
i) αu =0 ⇔ (α = 0 hay u =0) ; ii) (−1)u = −u. 1. Không gian vectơ 3 Ví dụ. Cho V = {(x1, x2, x3) ∈ R | 2x1 + 3x2 + x3 = 0}. Khi đó V là không gian vectơ trên R. 3 Ví dụ. Cho W = {(x1, x2, x3) ∈ R | x1 + x2 − 2x3 = 1}. Khi đó W không là không gian vectơ, vì u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, nhưng u + v = (3, 5, 3) ∈/ W. Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên R. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ R, ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 6 / 86
ii) (−1)u = −u. 1. Không gian vectơ 3 Ví dụ. Cho V = {(x1, x2, x3) ∈ R | 2x1 + 3x2 + x3 = 0}. Khi đó V là không gian vectơ trên R. 3 Ví dụ. Cho W = {(x1, x2, x3) ∈ R | x1 + x2 − 2x3 = 1}. Khi đó W không là không gian vectơ, vì u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, nhưng u + v = (3, 5, 3) ∈/ W. Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên R. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ R, ta có i) αu =0 ⇔ (α = 0 hay u =0) ; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 6 / 86
1. Không gian vectơ 3 Ví dụ. Cho V = {(x1, x2, x3) ∈ R | 2x1 + 3x2 + x3 = 0}. Khi đó V là không gian vectơ trên R. 3 Ví dụ. Cho W = {(x1, x2, x3) ∈ R | x1 + x2 − 2x3 = 1}. Khi đó W không là không gian vectơ, vì u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, nhưng u + v = (3, 5, 3) ∈/ W. Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên R. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ R, ta có i) αu =0 ⇔ (α = 0 hay u =0) ; ii) (−1)u = −u. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 6 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính 2. Tổ hợp tuyến tính 1.1 Tổ hợp tuyến tính 1.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 7 / 86
Ví dụ. • Vectơ u = (4, 4, 2) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, −1, 2), u2 = (2, 3, −1), u3 = (0, 1, −2), vì u = u1 + 2u2 − u3. • Vectơ 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um vì 0=0 u1 + 0u2 + ··· + 0um. 2. Tổ hợp tuyến tính 2.1 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V . Một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , um là một vectơ có dạng u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum với αi ∈ R. Khi đó, đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn của u theo các vectơ u1, u2, . . . , um. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 8 / 86
• Vectơ 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um vì 0=0 u1 + 0u2 + ··· + 0um. 2. Tổ hợp tuyến tính 2.1 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V . Một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , um là một vectơ có dạng u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum với αi ∈ R. Khi đó, đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn của u theo các vectơ u1, u2, . . . , um. Ví dụ. • Vectơ u = (4, 4, 2) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, −1, 2), u2 = (2, 3, −1), u3 = (0, 1, −2), vì u = u1 + 2u2 − u3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 8 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính 2.1 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V . Một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , um là một vectơ có dạng u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum với αi ∈ R. Khi đó, đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn của u theo các vectơ u1, u2, . . . , um. Ví dụ. • Vectơ u = (4, 4, 2) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, −1, 2), u2 = (2, 3, −1), u3 = (0, 1, −2), vì u = u1 + 2u2 − u3. • Vectơ 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um vì 0=0 u1 + 0u2 + ··· + 0um. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 8 / 86
Ta có u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um khi phương trình u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum (∗) có nghiệm α1, α2, . . . αm ∈ R. n Xét trường hợp không gian R . Giả sử u = (b1, b2, . . . , bn) u1 = (u11, u21 . . . , un1); u2 = (u12, u22 . . . , un2); um = (u1m, u2m . . . , unm).  u α + u α + + u α = b ;  11 1 12 2 1m m 1  u α + u α + + u α = b ; Khi đó (∗) ⇔ 21 1 22 2 2m m 2 (∗∗)   un1α1 + un2α2 + + unmαm = bn. 2. Tổ hợp tuyến tính Hỏi. Làm cách nào để biết u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , um? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 9 / 86
n Xét trường hợp không gian R . Giả sử u = (b1, b2, . . . , bn) u1 = (u11, u21 . . . , un1); u2 = (u12, u22 . . . , un2); um = (u1m, u2m . . . , unm).  u α + u α + + u α = b ;  11 1 12 2 1m m 1  u α + u α + + u α = b ; Khi đó (∗) ⇔ 21 1 22 2 2m m 2 (∗∗)   un1α1 + un2α2 + + unmαm = bn. 2. Tổ hợp tuyến tính Hỏi. Làm cách nào để biết u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , um? Ta có u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um khi phương trình u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum (∗) có nghiệm α1, α2, . . . αm ∈ R. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 9 / 86
 u α + u α + + u α = b ;  11 1 12 2 1m m 1  u α + u α + + u α = b ; Khi đó (∗) ⇔ 21 1 22 2 2m m 2 (∗∗)   un1α1 + un2α2 + + unmαm = bn. 2. Tổ hợp tuyến tính Hỏi. Làm cách nào để biết u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , um? Ta có u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um khi phương trình u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum (∗) có nghiệm α1, α2, . . . αm ∈ R. n Xét trường hợp không gian R . Giả sử u = (b1, b2, . . . , bn) u1 = (u11, u21 . . . , un1); u2 = (u12, u22 . . . , un2); um = (u1m, u2m . . . , unm). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 9 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính Hỏi. Làm cách nào để biết u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , um? Ta có u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um khi phương trình u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum (∗) có nghiệm α1, α2, . . . αm ∈ R. n Xét trường hợp không gian R . Giả sử u = (b1, b2, . . . , bn) u1 = (u11, u21 . . . , un1); u2 = (u12, u22 . . . , un2); um = (u1m, u2m . . . , unm).  u α + u α + + u α = b ;  11 1 12 2 1m m 1  u α + u α + + u α = b ; Khi đó (∗) ⇔ 21 1 22 2 2m m 2 (∗∗)   un1α1 + un2α2 + + unmαm = bn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 9 / 86
Tức là > > > > (u1 u2 . . . um | u ) n Như vậy, để kiểm tra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um trong R ta làm như sau: > > > > • Lập ma trận hóa (u1 u2 . . . um | u ) (1) • . Nếu (1) vô nghiệm, kết luận u không phải là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um. . Nếu (1) có nghiệm α1, α2, . . . αm thì u là tổ hợp tuyến tính và có dạng biểu diễn theo là u1, u2, , um : u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum 2. Tổ hợp tuyến tính   u11 u12 . . . u1m b1  u21 u22 . . . u2m b2  Ma trận hóa (∗∗) ta được     un1 un2 . . . unm bn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 10 / 86
n Như vậy, để kiểm tra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um trong R ta làm như sau: > > > > • Lập ma trận hóa (u1 u2 . . . um | u ) (1) • . Nếu (1) vô nghiệm, kết luận u không phải là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um. . Nếu (1) có nghiệm α1, α2, . . . αm thì u là tổ hợp tuyến tính và có dạng biểu diễn theo là u1, u2, , um : u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum 2. Tổ hợp tuyến tính   u11 u12 . . . u1m b1  u21 u22 . . . u2m b2  Ma trận hóa (∗∗) ta được     un1 un2 . . . unm bn Tức là > > > > (u1 u2 . . . um | u ) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 10 / 86
> > > > • Lập ma trận hóa (u1 u2 . . . um | u ) (1) • . Nếu (1) vô nghiệm, kết luận u không phải là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um. . Nếu (1) có nghiệm α1, α2, . . . αm thì u là tổ hợp tuyến tính và có dạng biểu diễn theo là u1, u2, , um : u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum 2. Tổ hợp tuyến tính   u11 u12 . . . u1m b1  u21 u22 . . . u2m b2  Ma trận hóa (∗∗) ta được     un1 un2 . . . unm bn Tức là > > > > (u1 u2 . . . um | u ) n Như vậy, để kiểm tra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um trong R ta làm như sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 10 / 86
• . Nếu (1) vô nghiệm, kết luận u không phải là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um. . Nếu (1) có nghiệm α1, α2, . . . αm thì u là tổ hợp tuyến tính và có dạng biểu diễn theo là u1, u2, , um : u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum 2. Tổ hợp tuyến tính   u11 u12 . . . u1m b1  u21 u22 . . . u2m b2  Ma trận hóa (∗∗) ta được     un1 un2 . . . unm bn Tức là > > > > (u1 u2 . . . um | u ) n Như vậy, để kiểm tra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um trong R ta làm như sau: > > > > • Lập ma trận hóa (u1 u2 . . . um | u ) (1) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 10 / 86
. Nếu (1) có nghiệm α1, α2, . . . αm thì u là tổ hợp tuyến tính và có dạng biểu diễn theo là u1, u2, , um : u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum 2. Tổ hợp tuyến tính   u11 u12 . . . u1m b1  u21 u22 . . . u2m b2  Ma trận hóa (∗∗) ta được     un1 un2 . . . unm bn Tức là > > > > (u1 u2 . . . um | u ) n Như vậy, để kiểm tra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um trong R ta làm như sau: > > > > • Lập ma trận hóa (u1 u2 . . . um | u ) (1) • . Nếu (1) vô nghiệm, kết luận u không phải là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 10 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính   u11 u12 . . . u1m b1  u21 u22 . . . u2m b2  Ma trận hóa (∗∗) ta được     un1 un2 . . . unm bn Tức là > > > > (u1 u2 . . . um | u ) n Như vậy, để kiểm tra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um trong R ta làm như sau: > > > > • Lập ma trận hóa (u1 u2 . . . um | u ) (1) • . Nếu (1) vô nghiệm, kết luận u không phải là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, , um. . Nếu (1) có nghiệm α1, α2, . . . αm thì u là tổ hợp tuyến tính và có dạng biểu diễn theo là u1, u2, , um : u = α1u1 + α2u2 + ··· + αmum Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 10 / 86
 1 −1 −2 −3  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1  1 1 1 4  1 −1 −2 −3   1 0 3 4  d2:=d2−2d1 d1:=d1+d2 −−−−−−−−→  0 1 5 7  −−−−−−−−→  0 1 5 7  d3:=d3−d1 0 2 3 7 d3:=d3−2d2 0 0 −7 −7   −1 1 0 0 1 d3:= 7 d3 −−−−−−−−→  0 1 0 2 . d1:=d1−3d3 d2:=d2−5d3 0 0 1 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1; α2; α3) = (1; 2; 1). Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 11 / 86
 1 −1 −2 −3   1 0 3 4  d2:=d2−2d1 d1:=d1+d2 −−−−−−−−→  0 1 5 7  −−−−−−−−→  0 1 5 7  d3:=d3−d1 0 2 3 7 d3:=d3−2d2 0 0 −7 −7   −1 1 0 0 1 d3:= 7 d3 −−−−−−−−→  0 1 0 2 . d1:=d1−3d3 d2:=d2−5d3 0 0 1 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1; α2; α3) = (1; 2; 1). Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không?  1 −1 −2 −3  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1  1 1 1 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 11 / 86
 1 −1 −2 −3   1 0 3 4  d1:=d1+d2  0 1 5 7  −−−−−−−−→  0 1 5 7  0 2 3 7 d3:=d3−2d2 0 0 −7 −7   −1 1 0 0 1 d3:= 7 d3 −−−−−−−−→  0 1 0 2 . d1:=d1−3d3 d2:=d2−5d3 0 0 1 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1; α2; α3) = (1; 2; 1). Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không?  1 −1 −2 −3  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1  1 1 1 4 −−−−−−−−→d2:=d2−2d1 d3:=d3−d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 11 / 86
 1 0 3 4  d1:=d1+d2 −−−−−−−−→  0 1 5 7  d3:=d3−2d2 0 0 −7 −7   −1 1 0 0 1 d3:= 7 d3 −−−−−−−−→  0 1 0 2 . d1:=d1−3d3 d2:=d2−5d3 0 0 1 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1; α2; α3) = (1; 2; 1). Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không?  1 −1 −2 −3  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1  1 1 1 4  1 −1 −2 −3  d2:=d2−2d1 −−−−−−−−→  0 1 5 7  d3:=d3−d1 0 2 3 7 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  −1 1 0 0 1 d3:= 7 d3 −−−−−−−−→  0 1 0 2 . d1:=d1−3d3 d2:=d2−5d3 0 0 1 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1; α2; α3) = (1; 2; 1). Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không?  1 −1 −2 −3  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1  1 1 1 4  1 −1 −2 −3   1 0 3 4  d2:=d2−2d1 d1:=d1+d2 −−−−−−−−→  0 1 5 7  −−−−−−−−→  0 1 5 7  d3:=d3−d1 0 2 3 7 d3:=d3−2d2 0 0 −7 −7 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 11 / 86
 1 0 0 1   0 1 0 2 . 0 0 1 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1; α2; α3) = (1; 2; 1). Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không?  1 −1 −2 −3  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1  1 1 1 4  1 −1 −2 −3   1 0 3 4  d2:=d2−2d1 d1:=d1+d2 −−−−−−−−→  0 1 5 7  −−−−−−−−→  0 1 5 7  d3:=d3−d1 0 2 3 7 d3:=d3−2d2 0 0 −7 −7 −1 d3:= d3 −−−−−−−−→7 d1:=d1−3d3 d2:=d2−5d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 11 / 86
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1; α2; α3) = (1; 2; 1). Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không?  1 −1 −2 −3  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1  1 1 1 4  1 −1 −2 −3   1 0 3 4  d2:=d2−2d1 d1:=d1+d2 −−−−−−−−→  0 1 5 7  −−−−−−−−→  0 1 5 7  d3:=d3−d1 0 2 3 7 d3:=d3−2d2 0 0 −7 −7   −1 1 0 0 1 d3:= 7 d3 −−−−−−−−→  0 1 0 2 . d1:=d1−3d3 d2:=d2−5d3 0 0 1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 11 / 86
Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không?  1 −1 −2 −3  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1  1 1 1 4  1 −1 −2 −3   1 0 3 4  d2:=d2−2d1 d1:=d1+d2 −−−−−−−−→  0 1 5 7  −−−−−−−−→  0 1 5 7  d3:=d3−d1 0 2 3 7 d3:=d3−2d2 0 0 −7 −7   −1 1 0 0 1 d3:= 7 d3 −−−−−−−−→  0 1 0 2 . d1:=d1−3d3 d2:=d2−5d3 0 0 1 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1; α2; α3) = (1; 2; 1). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 11 / 86
Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không?  1 −1 −2 −3  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1  1 1 1 4  1 −1 −2 −3   1 0 3 4  d2:=d2−2d1 d1:=d1+d2 −−−−−−−−→  0 1 5 7  −−−−−−−−→  0 1 5 7  d3:=d3−d1 0 2 3 7 d3:=d3−2d2 0 0 −7 −7   −1 1 0 0 1 d3:= 7 d3 −−−−−−−−→  0 1 0 2 . d1:=d1−3d3 d2:=d2−5d3 0 0 1 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1; α2; α3) = (1; 2; 1). Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 11 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 1), u2 = (−1, −1, 1), u3 = (−2, 1, 1) hay không?  1 −1 −2 −3  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 −1 1 1  1 1 1 4  1 −1 −2 −3   1 0 3 4  d2:=d2−2d1 d1:=d1+d2 −−−−−−−−→  0 1 5 7  −−−−−−−−→  0 1 5 7  d3:=d3−d1 0 2 3 7 d3:=d3−2d2 0 0 −7 −7   −1 1 0 0 1 d3:= 7 d3 −−−−−−−−→  0 1 0 2 . d1:=d1−3d3 d2:=d2−5d3 0 0 1 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1; α2; α3) = (1; 2; 1). Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = u1 + 2u2 + u3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 11 / 86
 1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 5  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −15 d3:=d3−2d2 0 0 0 −5 Hệ vô nghiệm vì 0x + 0y + 0z = −5. Vậy u không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 12 / 86
 1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −15 d3:=d3−2d2 0 0 0 −5 Hệ vô nghiệm vì 0x + 0y + 0z = −5. Vậy u không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 12 / 86
 1 1 −2 4   1 0 −9 9  d1:=d1−d2  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  0 2 14 −15 d3:=d3−2d2 0 0 0 −5 Hệ vô nghiệm vì 0x + 0y + 0z = −5. Vậy u không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 5 −−−−−−−−→d2:=d2−2d1 d3:=d3−5d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 12 / 86
 1 0 −9 9  d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−2d2 0 0 0 −5 Hệ vô nghiệm vì 0x + 0y + 0z = −5. Vậy u không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 5  1 1 −2 4  d2:=d2−2d1 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −15 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 12 / 86
 1 0 −9 9   0 1 7 −5  0 0 0 −5 Hệ vô nghiệm vì 0x + 0y + 0z = −5. Vậy u không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 5  1 1 −2 4  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→ d3:=d3−5d1 0 2 14 −15 d3:=d3−2d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 12 / 86
Hệ vô nghiệm vì 0x + 0y + 0z = −5. Vậy u không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 5  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −15 d3:=d3−2d2 0 0 0 −5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 12 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 5  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −15 d3:=d3−2d2 0 0 0 −5 Hệ vô nghiệm vì 0x + 0y + 0z = −5. Vậy u không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 12 / 86
 1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 10  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −10 d3:=d3−2d2 0 0 0 0 Nghiệm của hệ là (α1; α2; α3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = (9 + 9t)u1 + (−5 − 7t)u2 + tu3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 13 / 86
 1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −10 d3:=d3−2d2 0 0 0 0 Nghiệm của hệ là (α1; α2; α3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = (9 + 9t)u1 + (−5 − 7t)u2 + tu3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 13 / 86
 1 1 −2 4   1 0 −9 9  d1:=d1−d2  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  0 2 14 −10 d3:=d3−2d2 0 0 0 0 Nghiệm của hệ là (α1; α2; α3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = (9 + 9t)u1 + (−5 − 7t)u2 + tu3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 10 −−−−−−−−→d2:=d2−2d1 d3:=d3−5d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 13 / 86
 1 0 −9 9  d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−2d2 0 0 0 0 Nghiệm của hệ là (α1; α2; α3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = (9 + 9t)u1 + (−5 − 7t)u2 + tu3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 10  1 1 −2 4  d2:=d2−2d1 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 13 / 86
 1 0 −9 9   0 1 7 −5  0 0 0 0 Nghiệm của hệ là (α1; α2; α3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = (9 + 9t)u1 + (−5 − 7t)u2 + tu3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 10  1 1 −2 4  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→ d3:=d3−5d1 0 2 14 −10 d3:=d3−2d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 13 / 86
Nghiệm của hệ là (α1; α2; α3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = (9 + 9t)u1 + (−5 − 7t)u2 + tu3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 10  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −10 d3:=d3−2d2 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 13 / 86
Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = (9 + 9t)u1 + (−5 − 7t)u2 + tu3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 10  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −10 d3:=d3−2d2 0 0 0 0 Nghiệm của hệ là (α1; α2; α3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 13 / 86
Dạng biểu diễn của u là u = (9 + 9t)u1 + (−5 − 7t)u2 + tu3. 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 10  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −10 d3:=d3−2d2 0 0 0 0 Nghiệm của hệ là (α1; α2; α3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 13 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ. Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4) hay không?  1 1 −2 4  > > > > Giải. (u1 u2 u3 | u ) =  2 3 3 3  5 7 4 10  1 1 −2 4   1 0 −9 9  d2:=d2−2d1 d1:=d1−d2 −−−−−−−−→  0 1 7 −5  −−−−−−−−→  0 1 7 −5  d3:=d3−5d1 0 2 14 −10 d3:=d3−2d2 0 0 0 0 Nghiệm của hệ là (α1; α2; α3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t) Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Dạng biểu diễn của u là u = (9 + 9t)u1 + (−5 − 7t)u2 + tu3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 13 / 86
Giải.  1 2 −1 a   1 2 −1 a   1 3 −1 b   0 1 0 b − a  (u> u> u> | u>) =   →   1 2 3  1 −1 1 c   0 −3 2 c − a  1 0 1 d 0 −2 2 d − a  0 2 −1 a   0 2 −1 a   0 1 0 −a + b   0 1 0 −a + b  →   →   .  0 0 2 −4a + 3b + c   0 0 2 −4a + 3b + c  0 0 2 −3a + 2b + d 0 0 0 a − b − c + d Để u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 thì hệ có nghiệm, tức là a + d = b + c. 2. Tổ hợp tuyến tính 4 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, −1, 0); u3 = (−1, −1, 1, 1). Tìm điều kiện để vectơ u = (a, b, c, d) là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 14 / 86
 1 2 −1 a   1 2 −1 a   1 3 −1 b   0 1 0 b − a  =   →    1 −1 1 c   0 −3 2 c − a  1 0 1 d 0 −2 2 d − a  0 2 −1 a   0 2 −1 a   0 1 0 −a + b   0 1 0 −a + b  →   →   .  0 0 2 −4a + 3b + c   0 0 2 −4a + 3b + c  0 0 2 −3a + 2b + d 0 0 0 a − b − c + d Để u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 thì hệ có nghiệm, tức là a + d = b + c. 2. Tổ hợp tuyến tính 4 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, −1, 0); u3 = (−1, −1, 1, 1). Tìm điều kiện để vectơ u = (a, b, c, d) là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Giải. > > > > (u1 u2 u3 | u ) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 14 / 86
 1 2 −1 a   0 1 0 b − a  →    0 −3 2 c − a  0 −2 2 d − a  0 2 −1 a   0 2 −1 a   0 1 0 −a + b   0 1 0 −a + b  →   →   .  0 0 2 −4a + 3b + c   0 0 2 −4a + 3b + c  0 0 2 −3a + 2b + d 0 0 0 a − b − c + d Để u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 thì hệ có nghiệm, tức là a + d = b + c. 2. Tổ hợp tuyến tính 4 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, −1, 0); u3 = (−1, −1, 1, 1). Tìm điều kiện để vectơ u = (a, b, c, d) là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Giải.  1 2 −1 a   1 3 −1 b  (u> u> u> | u>) =   1 2 3  1 −1 1 c  1 0 1 d Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 14 / 86
 0 2 −1 a   0 2 −1 a   0 1 0 −a + b   0 1 0 −a + b  →   →   .  0 0 2 −4a + 3b + c   0 0 2 −4a + 3b + c  0 0 2 −3a + 2b + d 0 0 0 a − b − c + d Để u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 thì hệ có nghiệm, tức là a + d = b + c. 2. Tổ hợp tuyến tính 4 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, −1, 0); u3 = (−1, −1, 1, 1). Tìm điều kiện để vectơ u = (a, b, c, d) là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Giải.  1 2 −1 a   1 2 −1 a   1 3 −1 b   0 1 0 b − a  (u> u> u> | u>) =   →   1 2 3  1 −1 1 c   0 −3 2 c − a  1 0 1 d 0 −2 2 d − a Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 14 / 86
 0 2 −1 a   0 1 0 −a + b  →   .  0 0 2 −4a + 3b + c  0 0 0 a − b − c + d Để u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 thì hệ có nghiệm, tức là a + d = b + c. 2. Tổ hợp tuyến tính 4 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, −1, 0); u3 = (−1, −1, 1, 1). Tìm điều kiện để vectơ u = (a, b, c, d) là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Giải.  1 2 −1 a   1 2 −1 a   1 3 −1 b   0 1 0 b − a  (u> u> u> | u>) =   →   1 2 3  1 −1 1 c   0 −3 2 c − a  1 0 1 d 0 −2 2 d − a  0 2 −1 a   0 1 0 −a + b  →    0 0 2 −4a + 3b + c  0 0 2 −3a + 2b + d Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 14 / 86
Để u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 thì hệ có nghiệm, tức là a + d = b + c. 2. Tổ hợp tuyến tính 4 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, −1, 0); u3 = (−1, −1, 1, 1). Tìm điều kiện để vectơ u = (a, b, c, d) là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Giải.  1 2 −1 a   1 2 −1 a   1 3 −1 b   0 1 0 b − a  (u> u> u> | u>) =   →   1 2 3  1 −1 1 c   0 −3 2 c − a  1 0 1 d 0 −2 2 d − a  0 2 −1 a   0 2 −1 a   0 1 0 −a + b   0 1 0 −a + b  →   →   .  0 0 2 −4a + 3b + c   0 0 2 −4a + 3b + c  0 0 2 −3a + 2b + d 0 0 0 a − b − c + d Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 14 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính 4 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, −1, 0); u3 = (−1, −1, 1, 1). Tìm điều kiện để vectơ u = (a, b, c, d) là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Giải.  1 2 −1 a   1 2 −1 a   1 3 −1 b   0 1 0 b − a  (u> u> u> | u>) =   →   1 2 3  1 −1 1 c   0 −3 2 c − a  1 0 1 d 0 −2 2 d − a  0 2 −1 a   0 2 −1 a   0 1 0 −a + b   0 1 0 −a + b  →   →   .  0 0 2 −4a + 3b + c   0 0 2 −4a + 3b + c  0 0 2 −3a + 2b + d 0 0 0 a − b − c + d Để u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 thì hệ có nghiệm, tức là a + d = b + c. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 14 / 86
• Nếu (∗) chỉ có nghiệm tầm thường α1 = α2 = ··· = αm = 0 thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) độc lập tuyến tính. • Nếu ngoài nghiệm tầm thường, (∗) còn có nghiệm khác thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, . Nếu phương trình (∗) có nghiệm duy nhất thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu phương trình (∗) có vô số nghiệm thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V . Xét phương trình α1u1 + α2u2 + ··· + αmum =0 . (∗) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 15 / 86
• Nếu ngoài nghiệm tầm thường, (∗) còn có nghiệm khác thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, . Nếu phương trình (∗) có nghiệm duy nhất thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu phương trình (∗) có vô số nghiệm thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V . Xét phương trình α1u1 + α2u2 + ··· + αmum =0 . (∗) • Nếu (∗) chỉ có nghiệm tầm thường α1 = α2 = ··· = αm = 0 thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) độc lập tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 15 / 86
Nói cách khác, . Nếu phương trình (∗) có nghiệm duy nhất thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu phương trình (∗) có vô số nghiệm thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V . Xét phương trình α1u1 + α2u2 + ··· + αmum =0 . (∗) • Nếu (∗) chỉ có nghiệm tầm thường α1 = α2 = ··· = αm = 0 thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) độc lập tuyến tính. • Nếu ngoài nghiệm tầm thường, (∗) còn có nghiệm khác thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 15 / 86
. Nếu phương trình (∗) có vô số nghiệm thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V . Xét phương trình α1u1 + α2u2 + ··· + αmum =0 . (∗) • Nếu (∗) chỉ có nghiệm tầm thường α1 = α2 = ··· = αm = 0 thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) độc lập tuyến tính. • Nếu ngoài nghiệm tầm thường, (∗) còn có nghiệm khác thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, . Nếu phương trình (∗) có nghiệm duy nhất thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 15 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính 2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa. Cho u1, u2, . . . , um ∈ V . Xét phương trình α1u1 + α2u2 + ··· + αmum =0 . (∗) • Nếu (∗) chỉ có nghiệm tầm thường α1 = α2 = ··· = αm = 0 thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) độc lập tuyến tính. • Nếu ngoài nghiệm tầm thường, (∗) còn có nghiệm khác thì ta nói u1, u2, . . . , um (hay {u1, u2, . . . , um}) phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, . Nếu phương trình (∗) có nghiệm duy nhất thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu phương trình (∗) có vô số nghiệm thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 15 / 86
Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ α1(1, 2, −3) + α2(2, 5, −1) + α3(1, 1, −9) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0; ⇔ 2α1 + 5α2 + α3 = 0;  −3α1 − α2 − 9α3 = 0.  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  2 5 1 . −3 −1 −8 Ta có r(A) = 3 nên hệ có nghiệm duy nhất. Suy ra u1, u2, u3 độc lập tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 2, −3); u2 = (2, 5, −1); u3 = (1, 1, −9). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 16 / 86
⇔ α1(1, 2, −3) + α2(2, 5, −1) + α3(1, 1, −9) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0; ⇔ 2α1 + 5α2 + α3 = 0;  −3α1 − α2 − 9α3 = 0.  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  2 5 1 . −3 −1 −8 Ta có r(A) = 3 nên hệ có nghiệm duy nhất. Suy ra u1, u2, u3 độc lập tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 2, −3); u2 = (2, 5, −1); u3 = (1, 1, −9). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 16 / 86
  α1 + 2α2 + α3 = 0; ⇔ 2α1 + 5α2 + α3 = 0;  −3α1 − α2 − 9α3 = 0.  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  2 5 1 . −3 −1 −8 Ta có r(A) = 3 nên hệ có nghiệm duy nhất. Suy ra u1, u2, u3 độc lập tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 2, −3); u2 = (2, 5, −1); u3 = (1, 1, −9). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ α1(1, 2, −3) + α2(2, 5, −1) + α3(1, 1, −9) = (0, 0, 0) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 16 / 86
 1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  2 5 1 . −3 −1 −8 Ta có r(A) = 3 nên hệ có nghiệm duy nhất. Suy ra u1, u2, u3 độc lập tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 2, −3); u2 = (2, 5, −1); u3 = (1, 1, −9). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ α1(1, 2, −3) + α2(2, 5, −1) + α3(1, 1, −9) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0; ⇔ 2α1 + 5α2 + α3 = 0;  −3α1 − α2 − 9α3 = 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 16 / 86
Ta có r(A) = 3 nên hệ có nghiệm duy nhất. Suy ra u1, u2, u3 độc lập tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 2, −3); u2 = (2, 5, −1); u3 = (1, 1, −9). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ α1(1, 2, −3) + α2(2, 5, −1) + α3(1, 1, −9) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0; ⇔ 2α1 + 5α2 + α3 = 0;  −3α1 − α2 − 9α3 = 0.  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  2 5 1 . −3 −1 −8 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 16 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 2, −3); u2 = (2, 5, −1); u3 = (1, 1, −9). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ α1(1, 2, −3) + α2(2, 5, −1) + α3(1, 1, −9) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0; ⇔ 2α1 + 5α2 + α3 = 0;  −3α1 − α2 − 9α3 = 0.  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  2 5 1 . −3 −1 −8 Ta có r(A) = 3 nên hệ có nghiệm duy nhất. Suy ra u1, u2, u3 độc lập tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 16 / 86
Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ (α + 2α2 + α3, α + α2 + 2α3, α + 3α2) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0 ⇔ α1 + α2 + 2α3 = 0  α1 + 3α2 = 0  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  1 1 2 . 1 3 0 Ta có r(A) = 2 nên hệ vô số nghiệm. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1); u2 = (2, 1, 3); u3 = (1, 2, 0). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 17 / 86
⇔ (α + 2α2 + α3, α + α2 + 2α3, α + 3α2) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0 ⇔ α1 + α2 + 2α3 = 0  α1 + 3α2 = 0  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  1 1 2 . 1 3 0 Ta có r(A) = 2 nên hệ vô số nghiệm. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1); u2 = (2, 1, 3); u3 = (1, 2, 0). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 17 / 86
  α1 + 2α2 + α3 = 0 ⇔ α1 + α2 + 2α3 = 0  α1 + 3α2 = 0  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  1 1 2 . 1 3 0 Ta có r(A) = 2 nên hệ vô số nghiệm. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1); u2 = (2, 1, 3); u3 = (1, 2, 0). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ (α + 2α2 + α3, α + α2 + 2α3, α + 3α2) = (0, 0, 0) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 17 / 86
 1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  1 1 2 . 1 3 0 Ta có r(A) = 2 nên hệ vô số nghiệm. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1); u2 = (2, 1, 3); u3 = (1, 2, 0). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ (α + 2α2 + α3, α + α2 + 2α3, α + 3α2) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0 ⇔ α1 + α2 + 2α3 = 0  α1 + 3α2 = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 17 / 86
Ta có r(A) = 2 nên hệ vô số nghiệm. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1); u2 = (2, 1, 3); u3 = (1, 2, 0). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ (α + 2α2 + α3, α + α2 + 2α3, α + 3α2) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0 ⇔ α1 + α2 + 2α3 = 0  α1 + 3α2 = 0  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  1 1 2 . 1 3 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 17 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 1, 1); u2 = (2, 1, 3); u3 = (1, 2, 0). Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình α1u1 + α2u2 + α3u3 =0 ⇔ (α + 2α2 + α3, α + α2 + 2α3, α + 3α2) = (0, 0, 0)   α1 + 2α2 + α3 = 0 ⇔ α1 + α2 + 2α3 = 0  α1 + 3α2 = 0  1 2 1  Ma trận hóa hệ phương trình, A =  1 1 2 . 1 3 0 Ta có r(A) = 2 nên hệ vô số nghiệm. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 17 / 86
Thật vậy, • Nếu u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính thì có α1, α2, , m P αm ∈ R không đồng thời bằng 0 sao cho αjuj = 0. Giả sử j=1 αi 6= 0, khi đó 1 X ui = − αjuj. αi j6=i m P P • Nếu có ui sao cho ui = βjuj thì βjuj = 0, trong đó j6=i j=1 βi = −1 6= 0, điều này chứng tỏ u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính Nhận xét. Họ vectơ u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơ ui là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 18 / 86
m P P • Nếu có ui sao cho ui = βjuj thì βjuj = 0, trong đó j6=i j=1 βi = −1 6= 0, điều này chứng tỏ u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính Nhận xét. Họ vectơ u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơ ui là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Thật vậy, • Nếu u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính thì có α1, α2, , m P αm ∈ R không đồng thời bằng 0 sao cho αjuj = 0. Giả sử j=1 αi 6= 0, khi đó 1 X ui = − αjuj. αi j6=i Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 18 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính Nhận xét. Họ vectơ u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơ ui là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Thật vậy, • Nếu u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính thì có α1, α2, , m P αm ∈ R không đồng thời bằng 0 sao cho αjuj = 0. Giả sử j=1 αi 6= 0, khi đó 1 X ui = − αjuj. αi j6=i m P P • Nếu có ui sao cho ui = βjuj thì βjuj = 0, trong đó j6=i j=1 βi = −1 6= 0, điều này chứng tỏ u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 18 / 86
• Nếu S phụ thuộc tuyến tính thì mọi tập chứa S đều phụ thuộc tuyến tính. • Nếu S độc lập tuyến tính thì mọi tập con của S đều độc lập tuyên tính. n Hệ quả. Cho u1, u2, . . . , um là m vectơ trong R . Gọi A là ma trận có được bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Khi đó u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính khi và chỉ khi A có hạng là r(A) = m. Từ Hệ quả trên ta sẽ xây dựng thuật toán kiểm tra tính độc lập n tuyến tính của các vectơ trong R như sau 2. Tổ hợp tuyến tính Mệnh đề. Cho V là không gian vectơ trên R và S = {u1, u2, . . . , um} là tập hợp các vectơ thuộc V . Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 19 / 86
• Nếu S độc lập tuyến tính thì mọi tập con của S đều độc lập tuyên tính. n Hệ quả. Cho u1, u2, . . . , um là m vectơ trong R . Gọi A là ma trận có được bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Khi đó u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính khi và chỉ khi A có hạng là r(A) = m. Từ Hệ quả trên ta sẽ xây dựng thuật toán kiểm tra tính độc lập n tuyến tính của các vectơ trong R như sau 2. Tổ hợp tuyến tính Mệnh đề. Cho V là không gian vectơ trên R và S = {u1, u2, . . . , um} là tập hợp các vectơ thuộc V . Khi đó • Nếu S phụ thuộc tuyến tính thì mọi tập chứa S đều phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 19 / 86
n Hệ quả. Cho u1, u2, . . . , um là m vectơ trong R . Gọi A là ma trận có được bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Khi đó u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính khi và chỉ khi A có hạng là r(A) = m. Từ Hệ quả trên ta sẽ xây dựng thuật toán kiểm tra tính độc lập n tuyến tính của các vectơ trong R như sau 2. Tổ hợp tuyến tính Mệnh đề. Cho V là không gian vectơ trên R và S = {u1, u2, . . . , um} là tập hợp các vectơ thuộc V . Khi đó • Nếu S phụ thuộc tuyến tính thì mọi tập chứa S đều phụ thuộc tuyến tính. • Nếu S độc lập tuyến tính thì mọi tập con của S đều độc lập tuyên tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 19 / 86
Từ Hệ quả trên ta sẽ xây dựng thuật toán kiểm tra tính độc lập n tuyến tính của các vectơ trong R như sau 2. Tổ hợp tuyến tính Mệnh đề. Cho V là không gian vectơ trên R và S = {u1, u2, . . . , um} là tập hợp các vectơ thuộc V . Khi đó • Nếu S phụ thuộc tuyến tính thì mọi tập chứa S đều phụ thuộc tuyến tính. • Nếu S độc lập tuyến tính thì mọi tập con của S đều độc lập tuyên tính. n Hệ quả. Cho u1, u2, . . . , um là m vectơ trong R . Gọi A là ma trận có được bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Khi đó u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính khi và chỉ khi A có hạng là r(A) = m. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 19 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính Mệnh đề. Cho V là không gian vectơ trên R và S = {u1, u2, . . . , um} là tập hợp các vectơ thuộc V . Khi đó • Nếu S phụ thuộc tuyến tính thì mọi tập chứa S đều phụ thuộc tuyến tính. • Nếu S độc lập tuyến tính thì mọi tập con của S đều độc lập tuyên tính. n Hệ quả. Cho u1, u2, . . . , um là m vectơ trong R . Gọi A là ma trận có được bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Khi đó u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính khi và chỉ khi A có hạng là r(A) = m. Từ Hệ quả trên ta sẽ xây dựng thuật toán kiểm tra tính độc lập n tuyến tính của các vectơ trong R như sau Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 19 / 86
Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Bước 2: Xác định hạng r(A) của A. . Nếu r(A) = m thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu r(A) < m thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2’ sau đây: Bước 2’: Tính định thức của A. . Nếu detA 6= 0 thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu detA = 0 thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ trong Rn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 20 / 86
Bước 2: Xác định hạng r(A) của A. . Nếu r(A) = m thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu r(A) < m thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2’ sau đây: Bước 2’: Tính định thức của A. . Nếu detA 6= 0 thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu detA = 0 thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ trong Rn Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 20 / 86
. Nếu r(A) = m thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu r(A) < m thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2’ sau đây: Bước 2’: Tính định thức của A. . Nếu detA 6= 0 thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu detA = 0 thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ trong Rn Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Bước 2: Xác định hạng r(A) của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 20 / 86
. Nếu r(A) < m thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2’ sau đây: Bước 2’: Tính định thức của A. . Nếu detA 6= 0 thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu detA = 0 thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ trong Rn Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Bước 2: Xác định hạng r(A) của A. . Nếu r(A) = m thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 20 / 86
Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2’ sau đây: Bước 2’: Tính định thức của A. . Nếu detA 6= 0 thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu detA = 0 thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ trong Rn Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Bước 2: Xác định hạng r(A) của A. . Nếu r(A) = m thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu r(A) < m thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 20 / 86
Bước 2’: Tính định thức của A. . Nếu detA 6= 0 thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu detA = 0 thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ trong Rn Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Bước 2: Xác định hạng r(A) của A. . Nếu r(A) = m thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu r(A) < m thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2’ sau đây: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 20 / 86
. Nếu detA 6= 0 thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu detA = 0 thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ trong Rn Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Bước 2: Xác định hạng r(A) của A. . Nếu r(A) = m thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu r(A) < m thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2’ sau đây: Bước 2’: Tính định thức của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 20 / 86
. Nếu detA = 0 thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ trong Rn Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Bước 2: Xác định hạng r(A) của A. . Nếu r(A) = m thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu r(A) < m thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2’ sau đây: Bước 2’: Tính định thức của A. . Nếu detA 6= 0 thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 20 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ trong Rn Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, . . . , um thành các dòng. Bước 2: Xác định hạng r(A) của A. . Nếu r(A) = m thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu r(A) < m thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2’ sau đây: Bước 2’: Tính định thức của A. . Nếu detA 6= 0 thì u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính. . Nếu detA = 0 thì u1, u2, . . . , um phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 20 / 86
Giải.     u1 1 2 −3 5 1 Lập A =  u2  =  1 3 −13 22 −1  u3 3 5 1 −2 5  1 2 −3 5 1  d2:=d2−d1 −−−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  d3:=d3−3d1 0 −1 10 −17 2  1 2 −3 5 1  d3:=d3+d2 −−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  0 0 0 0 0 Ta có r(A) = 2 < 3. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 5 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 2, −3, 5, 1); u2 = (1, 3, −13, 22, −1); u3 = (3, 5, 1, −2, 5). Hãy xét xem u1, u2, u3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 21 / 86
 1 2 −3 5 1  d2:=d2−d1 −−−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  d3:=d3−3d1 0 −1 10 −17 2  1 2 −3 5 1  d3:=d3+d2 −−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  0 0 0 0 0 Ta có r(A) = 2 < 3. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 5 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 2, −3, 5, 1); u2 = (1, 3, −13, 22, −1); u3 = (3, 5, 1, −2, 5). Hãy xét xem u1, u2, u3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. Giải.     u1 1 2 −3 5 1 Lập A =  u2  =  1 3 −13 22 −1  u3 3 5 1 −2 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 21 / 86
 1 2 −3 5 1  d3:=d3+d2 −−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  0 0 0 0 0 Ta có r(A) = 2 < 3. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 5 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 2, −3, 5, 1); u2 = (1, 3, −13, 22, −1); u3 = (3, 5, 1, −2, 5). Hãy xét xem u1, u2, u3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. Giải.     u1 1 2 −3 5 1 Lập A =  u2  =  1 3 −13 22 −1  u3 3 5 1 −2 5  1 2 −3 5 1  d2:=d2−d1 −−−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  d3:=d3−3d1 0 −1 10 −17 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 21 / 86
Ta có r(A) = 2 < 3. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. 2. Tổ hợp tuyến tính 5 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 2, −3, 5, 1); u2 = (1, 3, −13, 22, −1); u3 = (3, 5, 1, −2, 5). Hãy xét xem u1, u2, u3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. Giải.     u1 1 2 −3 5 1 Lập A =  u2  =  1 3 −13 22 −1  u3 3 5 1 −2 5  1 2 −3 5 1  d2:=d2−d1 −−−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  d3:=d3−3d1 0 −1 10 −17 2  1 2 −3 5 1  d3:=d3+d2 −−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  0 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 21 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính 5 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (1, 2, −3, 5, 1); u2 = (1, 3, −13, 22, −1); u3 = (3, 5, 1, −2, 5). Hãy xét xem u1, u2, u3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. Giải.     u1 1 2 −3 5 1 Lập A =  u2  =  1 3 −13 22 −1  u3 3 5 1 −2 5  1 2 −3 5 1  d2:=d2−d1 −−−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  d3:=d3−3d1 0 −1 10 −17 2  1 2 −3 5 1  d3:=d3+d2 −−−−−−−→  0 1 −10 17 −2  0 0 0 0 0 Ta có r(A) = 2 < 3. Suy ra u1, u2, u3 phụ thuộc tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 21 / 86
    u1 2m + 1 −m m + 1 Giải. Lập A =  u2  =  m − 2 m − 1 m − 2  Ta có u3 2m − 1 m − 1 2m − 1 2m + 1 −m m + 1 m −m m + 1 c1:=c1−c3 |A| = m − 2 m − 1 m − 2 === 0 m − 1 m − 2 2m − 1 m − 1 2m − 1 0 m − 1 2m − 1 cột 1 m − 1 m − 2 ===m = m(m − 1)(m + 1). m − 1 2m − 1 Do đó u1, u2, u3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi |A|= 6 0 ⇔ m(m − 1)(m + 1) 6= 0 ⇔ m 6= 0 và m 6= ±1. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (2m + 1, −m, m + 1); u2 = (m − 2, m − 1, m − 2); u3 = (2m − 1, m − 1, 2m − 1). Tìm điều kiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 22 / 86
Ta có 2m + 1 −m m + 1 m −m m + 1 c1:=c1−c3 |A| = m − 2 m − 1 m − 2 === 0 m − 1 m − 2 2m − 1 m − 1 2m − 1 0 m − 1 2m − 1 cột 1 m − 1 m − 2 ===m = m(m − 1)(m + 1). m − 1 2m − 1 Do đó u1, u2, u3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi |A|= 6 0 ⇔ m(m − 1)(m + 1) 6= 0 ⇔ m 6= 0 và m 6= ±1. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (2m + 1, −m, m + 1); u2 = (m − 2, m − 1, m − 2); u3 = (2m − 1, m − 1, 2m − 1). Tìm điều kiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính.     u1 2m + 1 −m m + 1 Giải. Lập A =  u2  =  m − 2 m − 1 m − 2  u3 2m − 1 m − 1 2m − 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 22 / 86
m −m m + 1 c1:=c1−c3 === 0 m − 1 m − 2 0 m − 1 2m − 1 cột 1 m − 1 m − 2 ===m = m(m − 1)(m + 1). m − 1 2m − 1 Do đó u1, u2, u3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi |A|= 6 0 ⇔ m(m − 1)(m + 1) 6= 0 ⇔ m 6= 0 và m 6= ±1. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (2m + 1, −m, m + 1); u2 = (m − 2, m − 1, m − 2); u3 = (2m − 1, m − 1, 2m − 1). Tìm điều kiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính.     u1 2m + 1 −m m + 1 Giải. Lập A =  u2  =  m − 2 m − 1 m − 2  Ta có u3 2m − 1 m − 1 2m − 1 2m + 1 −m m + 1 |A| = m − 2 m − 1 m − 2 2m − 1 m − 1 2m − 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 22 / 86
m −m m + 1 0 m − 1 m − 2 0 m − 1 2m − 1 cột 1 m − 1 m − 2 ===m = m(m − 1)(m + 1). m − 1 2m − 1 Do đó u1, u2, u3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi |A|= 6 0 ⇔ m(m − 1)(m + 1) 6= 0 ⇔ m 6= 0 và m 6= ±1. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (2m + 1, −m, m + 1); u2 = (m − 2, m − 1, m − 2); u3 = (2m − 1, m − 1, 2m − 1). Tìm điều kiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính.     u1 2m + 1 −m m + 1 Giải. Lập A =  u2  =  m − 2 m − 1 m − 2  Ta có u3 2m − 1 m − 1 2m − 1 2m + 1 −m m + 1 c1:=c1−c3 |A| = m − 2 m − 1 m − 2 === 2m − 1 m − 1 2m − 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 22 / 86
cột 1 m − 1 m − 2 ===m = m(m − 1)(m + 1). m − 1 2m − 1 Do đó u1, u2, u3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi |A|= 6 0 ⇔ m(m − 1)(m + 1) 6= 0 ⇔ m 6= 0 và m 6= ±1. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (2m + 1, −m, m + 1); u2 = (m − 2, m − 1, m − 2); u3 = (2m − 1, m − 1, 2m − 1). Tìm điều kiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính.     u1 2m + 1 −m m + 1 Giải. Lập A =  u2  =  m − 2 m − 1 m − 2  Ta có u3 2m − 1 m − 1 2m − 1 2m + 1 −m m + 1 m −m m + 1 c1:=c1−c3 |A| = m − 2 m − 1 m − 2 === 0 m − 1 m − 2 2m − 1 m − 1 2m − 1 0 m − 1 2m − 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 22 / 86
m − 1 m − 2 m = m(m − 1)(m + 1). m − 1 2m − 1 Do đó u1, u2, u3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi |A|= 6 0 ⇔ m(m − 1)(m + 1) 6= 0 ⇔ m 6= 0 và m 6= ±1. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (2m + 1, −m, m + 1); u2 = (m − 2, m − 1, m − 2); u3 = (2m − 1, m − 1, 2m − 1). Tìm điều kiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính.     u1 2m + 1 −m m + 1 Giải. Lập A =  u2  =  m − 2 m − 1 m − 2  Ta có u3 2m − 1 m − 1 2m − 1 2m + 1 −m m + 1 m −m m + 1 c1:=c1−c3 |A| = m − 2 m − 1 m − 2 === 0 m − 1 m − 2 2m − 1 m − 1 2m − 1 0 m − 1 2m − 1 cột 1 === Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 22 / 86
|A|= 6 0 ⇔ m(m − 1)(m + 1) 6= 0 ⇔ m 6= 0 và m 6= ±1. 2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (2m + 1, −m, m + 1); u2 = (m − 2, m − 1, m − 2); u3 = (2m − 1, m − 1, 2m − 1). Tìm điều kiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính.     u1 2m + 1 −m m + 1 Giải. Lập A =  u2  =  m − 2 m − 1 m − 2  Ta có u3 2m − 1 m − 1 2m − 1 2m + 1 −m m + 1 m −m m + 1 c1:=c1−c3 |A| = m − 2 m − 1 m − 2 === 0 m − 1 m − 2 2m − 1 m − 1 2m − 1 0 m − 1 2m − 1 cột 1 m − 1 m − 2 ===m = m(m − 1)(m + 1). m − 1 2m − 1 Do đó u1, u2, u3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 22 / 86
2. Tổ hợp tuyến tính 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ u1 = (2m + 1, −m, m + 1); u2 = (m − 2, m − 1, m − 2); u3 = (2m − 1, m − 1, 2m − 1). Tìm điều kiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính.     u1 2m + 1 −m m + 1 Giải. Lập A =  u2  =  m − 2 m − 1 m − 2  Ta có u3 2m − 1 m − 1 2m − 1 2m + 1 −m m + 1 m −m m + 1 c1:=c1−c3 |A| = m − 2 m − 1 m − 2 === 0 m − 1 m − 2 2m − 1 m − 1 2m − 1 0 m − 1 2m − 1 cột 1 m − 1 m − 2 ===m = m(m − 1)(m + 1). m − 1 2m − 1 Do đó u1, u2, u3 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi |A|= 6 0 ⇔ m(m − 1)(m + 1) 6= 0 ⇔ m 6= 0 và m 6= ±1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 22 / 86
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.1 Tập sinh 3.2 Cơ sở và số chiều Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 23 / 86
3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , kiểm tra xem u có là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 không? Ta lập hệ phương trình  1 1 2 x   1 1 2 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 2 3 y  →  0 1 1 −x + y  . 1 1 1 z 0 0 −1 −x + z 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.1 Tập sinh Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và S ⊂ V. S được gọi là tập sinh của V nếu mọi vectơ u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta nói S sinh ra V hoặc V được sinh bởi S, ký hiệu V = hSi. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 24 / 86
3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , kiểm tra xem u có là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 không? Ta lập hệ phương trình  1 1 2 x   1 1 2 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 2 3 y  →  0 1 1 −x + y  . 1 1 1 z 0 0 −1 −x + z 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.1 Tập sinh Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và S ⊂ V. S được gọi là tập sinh của V nếu mọi vectơ u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta nói S sinh ra V hoặc V được sinh bởi S, ký hiệu V = hSi. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 24 / 86
Ta lập hệ phương trình  1 1 2 x   1 1 2 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 2 3 y  →  0 1 1 −x + y  . 1 1 1 z 0 0 −1 −x + z 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.1 Tập sinh Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và S ⊂ V. S được gọi là tập sinh của V nếu mọi vectơ u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta nói S sinh ra V hoặc V được sinh bởi S, ký hiệu V = hSi. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , kiểm tra xem u có là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 24 / 86
 1 1 2 x   1 1 2 x  =  1 2 3 y  →  0 1 1 −x + y  . 1 1 1 z 0 0 −1 −x + z 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.1 Tập sinh Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và S ⊂ V. S được gọi là tập sinh của V nếu mọi vectơ u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta nói S sinh ra V hoặc V được sinh bởi S, ký hiệu V = hSi. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , kiểm tra xem u có là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 không? Ta lập hệ phương trình > > > > (u1 u2 u3 | u ) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 24 / 86
 1 1 2 x  →  0 1 1 −x + y  . 0 0 −1 −x + z 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.1 Tập sinh Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và S ⊂ V. S được gọi là tập sinh của V nếu mọi vectơ u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta nói S sinh ra V hoặc V được sinh bởi S, ký hiệu V = hSi. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , kiểm tra xem u có là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 không? Ta lập hệ phương trình  1 1 2 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 2 3 y  1 1 1 z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 24 / 86
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.1 Tập sinh Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và S ⊂ V. S được gọi là tập sinh của V nếu mọi vectơ u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S. Khi đó, ta nói S sinh ra V hoặc V được sinh bởi S, ký hiệu V = hSi. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , kiểm tra xem u có là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 không? Ta lập hệ phương trình  1 1 2 x   1 1 2 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 2 3 y  →  0 1 1 −x + y  . 1 1 1 z 0 0 −1 −x + z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 24 / 86
3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 3, 1); u3 = (3, 4, 0)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , ta lập hệ phương trình  1 2 3 x   1 2 3 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 3 4 y  →  0 1 1 −x + y  . −1 1 0 z 0 0 0 4x − 3y + z Với u0 = (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm. Vậy u0 không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Suy ra S không là 3 tập sinh của R . 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Hệ có nghiệm, suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Vậy S là 3 tập sinh của R . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 25 / 86
3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , ta lập hệ phương trình  1 2 3 x   1 2 3 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 3 4 y  →  0 1 1 −x + y  . −1 1 0 z 0 0 0 4x − 3y + z Với u0 = (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm. Vậy u0 không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Suy ra S không là 3 tập sinh của R . 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Hệ có nghiệm, suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Vậy S là 3 tập sinh của R . 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 3, 1); u3 = (3, 4, 0)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 25 / 86
 1 2 3 x   1 2 3 x   1 3 4 y  →  0 1 1 −x + y  . −1 1 0 z 0 0 0 4x − 3y + z Với u0 = (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm. Vậy u0 không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Suy ra S không là 3 tập sinh của R . 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Hệ có nghiệm, suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Vậy S là 3 tập sinh của R . 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 3, 1); u3 = (3, 4, 0)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , ta lập hệ phương trình > > > > (u1 u2 u3 | u ) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 25 / 86
 1 2 3 x  →  0 1 1 −x + y  . 0 0 0 4x − 3y + z Với u0 = (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm. Vậy u0 không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Suy ra S không là 3 tập sinh của R . 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Hệ có nghiệm, suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Vậy S là 3 tập sinh của R . 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 3, 1); u3 = (3, 4, 0)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , ta lập hệ phương trình  1 2 3 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 3 4 y  −1 1 0 z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 25 / 86
Với u0 = (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm. Vậy u0 không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Suy ra S không là 3 tập sinh của R . 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Hệ có nghiệm, suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Vậy S là 3 tập sinh của R . 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 3, 1); u3 = (3, 4, 0)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , ta lập hệ phương trình  1 2 3 x   1 2 3 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 3 4 y  →  0 1 1 −x + y  . −1 1 0 z 0 0 0 4x − 3y + z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 25 / 86
Vậy u0 không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Suy ra S không là 3 tập sinh của R . 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Hệ có nghiệm, suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Vậy S là 3 tập sinh của R . 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 3, 1); u3 = (3, 4, 0)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , ta lập hệ phương trình  1 2 3 x   1 2 3 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 3 4 y  →  0 1 1 −x + y  . −1 1 0 z 0 0 0 4x − 3y + z Với u0 = (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 25 / 86
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Hệ có nghiệm, suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Vậy S là 3 tập sinh của R . 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 3, 1); u3 = (3, 4, 0)}. 3 Hỏi S có là tập sinh của R không? 3 Giải. Với u = (x, y, z) ∈ R , ta lập hệ phương trình  1 2 3 x   1 2 3 x  > > > > (u1 u2 u3 | u ) =  1 3 4 y  →  0 1 1 −x + y  . −1 1 0 z 0 0 0 4x − 3y + z Với u0 = (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm. Vậy u0 không là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3. Suy ra S không là 3 tập sinh của R . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 25 / 86
2 Giải. Với f = a + bx + cx ∈ R2[x], kiểm tra xem f có là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3 không? Xét phương trình α1f1 + α2f2 + α3f3 = f.   α1 + 2α2 + α3 = a; ⇔ α1 + 3α2 + 2α3 = b;  α1 + α2 + α3 = c.  1 2 1 a   1 2 1 a  Ma trận hóa, A˜ =  1 3 2 b  →  0 1 1 −a + b  1 1 1 c 0 0 1 −2a + b + c Hệ có nghiệm, vậy f là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3. Suy ra S là tập sinh của R2[x]. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Ví dụ. Trong không gian R2[x], cho 2 2 2 S = {f1 = 1 + x + x ; f2 = 2 + 3x + x ; f3 = 1 + 2x + x }. Hỏi S có là tập sinh của R2[x] không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 26 / 86
Xét phương trình α1f1 + α2f2 + α3f3 = f.   α1 + 2α2 + α3 = a; ⇔ α1 + 3α2 + 2α3 = b;  α1 + α2 + α3 = c.  1 2 1 a   1 2 1 a  Ma trận hóa, A˜ =  1 3 2 b  →  0 1 1 −a + b  1 1 1 c 0 0 1 −2a + b + c Hệ có nghiệm, vậy f là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3. Suy ra S là tập sinh của R2[x]. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Ví dụ. Trong không gian R2[x], cho 2 2 2 S = {f1 = 1 + x + x ; f2 = 2 + 3x + x ; f3 = 1 + 2x + x }. Hỏi S có là tập sinh của R2[x] không? 2 Giải. Với f = a + bx + cx ∈ R2[x], kiểm tra xem f có là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3 không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 26 / 86
  α1 + 2α2 + α3 = a; ⇔ α1 + 3α2 + 2α3 = b;  α1 + α2 + α3 = c.  1 2 1 a   1 2 1 a  Ma trận hóa, A˜ =  1 3 2 b  →  0 1 1 −a + b  1 1 1 c 0 0 1 −2a + b + c Hệ có nghiệm, vậy f là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3. Suy ra S là tập sinh của R2[x]. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Ví dụ. Trong không gian R2[x], cho 2 2 2 S = {f1 = 1 + x + x ; f2 = 2 + 3x + x ; f3 = 1 + 2x + x }. Hỏi S có là tập sinh của R2[x] không? 2 Giải. Với f = a + bx + cx ∈ R2[x], kiểm tra xem f có là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3 không? Xét phương trình α1f1 + α2f2 + α3f3 = f. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 26 / 86
 1 2 1 a   1 2 1 a  Ma trận hóa, A˜ =  1 3 2 b  →  0 1 1 −a + b  1 1 1 c 0 0 1 −2a + b + c Hệ có nghiệm, vậy f là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3. Suy ra S là tập sinh của R2[x]. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Ví dụ. Trong không gian R2[x], cho 2 2 2 S = {f1 = 1 + x + x ; f2 = 2 + 3x + x ; f3 = 1 + 2x + x }. Hỏi S có là tập sinh của R2[x] không? 2 Giải. Với f = a + bx + cx ∈ R2[x], kiểm tra xem f có là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3 không? Xét phương trình α1f1 + α2f2 + α3f3 = f.   α1 + 2α2 + α3 = a; ⇔ α1 + 3α2 + 2α3 = b;  α1 + α2 + α3 = c. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 26 / 86
 1 2 1 a  →  0 1 1 −a + b  0 0 1 −2a + b + c Hệ có nghiệm, vậy f là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3. Suy ra S là tập sinh của R2[x]. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Ví dụ. Trong không gian R2[x], cho 2 2 2 S = {f1 = 1 + x + x ; f2 = 2 + 3x + x ; f3 = 1 + 2x + x }. Hỏi S có là tập sinh của R2[x] không? 2 Giải. Với f = a + bx + cx ∈ R2[x], kiểm tra xem f có là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3 không? Xét phương trình α1f1 + α2f2 + α3f3 = f.   α1 + 2α2 + α3 = a; ⇔ α1 + 3α2 + 2α3 = b;  α1 + α2 + α3 = c.  1 2 1 a  Ma trận hóa, A˜ =  1 3 2 b  1 1 1 c Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 26 / 86
Hệ có nghiệm, vậy f là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3. Suy ra S là tập sinh của R2[x]. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Ví dụ. Trong không gian R2[x], cho 2 2 2 S = {f1 = 1 + x + x ; f2 = 2 + 3x + x ; f3 = 1 + 2x + x }. Hỏi S có là tập sinh của R2[x] không? 2 Giải. Với f = a + bx + cx ∈ R2[x], kiểm tra xem f có là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3 không? Xét phương trình α1f1 + α2f2 + α3f3 = f.   α1 + 2α2 + α3 = a; ⇔ α1 + 3α2 + 2α3 = b;  α1 + α2 + α3 = c.  1 2 1 a   1 2 1 a  Ma trận hóa, A˜ =  1 3 2 b  →  0 1 1 −a + b  1 1 1 c 0 0 1 −2a + b + c Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 26 / 86
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Ví dụ. Trong không gian R2[x], cho 2 2 2 S = {f1 = 1 + x + x ; f2 = 2 + 3x + x ; f3 = 1 + 2x + x }. Hỏi S có là tập sinh của R2[x] không? 2 Giải. Với f = a + bx + cx ∈ R2[x], kiểm tra xem f có là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3 không? Xét phương trình α1f1 + α2f2 + α3f3 = f.   α1 + 2α2 + α3 = a; ⇔ α1 + 3α2 + 2α3 = b;  α1 + α2 + α3 = c.  1 2 1 a   1 2 1 a  Ma trận hóa, A˜ =  1 3 2 b  →  0 1 1 −a + b  1 1 1 c 0 0 1 −2a + b + c Hệ có nghiệm, vậy f là tổ hợp tuyến tính của f1, f2, f3. Suy ra S là tập sinh của R2[x]. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 26 / 86
3 Ví dụ. Trong không gian R , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Kiểm tra B là cơ sở của R . 3 Giải. B là tập sinh của R . (theo ví dụ trên) Kiểm tra B độc lập tuyến tính.     u1 1 1 1 Lập ma trận A =  u2  =  1 2 1 . u3 2 3 1 Ta có r(A) = 3 (hoặc |A| = −1). Suy ra B độc lập tuyến tính. Vậy B là 3 cơ sở của R . 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.2 Cơ sở và số chiều Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và B là con của V. B được gọi là một cơ sở của V nếu B là một tập sinh và B độc lập tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 27 / 86
3 Giải. B là tập sinh của R . (theo ví dụ trên) Kiểm tra B độc lập tuyến tính.     u1 1 1 1 Lập ma trận A =  u2  =  1 2 1 . u3 2 3 1 Ta có r(A) = 3 (hoặc |A| = −1). Suy ra B độc lập tuyến tính. Vậy B là 3 cơ sở của R . 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.2 Cơ sở và số chiều Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và B là con của V. B được gọi là một cơ sở của V nếu B là một tập sinh và B độc lập tuyến tính. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Kiểm tra B là cơ sở của R . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 27 / 86
Kiểm tra B độc lập tuyến tính.     u1 1 1 1 Lập ma trận A =  u2  =  1 2 1 . u3 2 3 1 Ta có r(A) = 3 (hoặc |A| = −1). Suy ra B độc lập tuyến tính. Vậy B là 3 cơ sở của R . 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.2 Cơ sở và số chiều Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và B là con của V. B được gọi là một cơ sở của V nếu B là một tập sinh và B độc lập tuyến tính. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Kiểm tra B là cơ sở của R . 3 Giải. B là tập sinh của R . (theo ví dụ trên) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 27 / 86
Ta có r(A) = 3 (hoặc |A| = −1). Suy ra B độc lập tuyến tính. Vậy B là 3 cơ sở của R . 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.2 Cơ sở và số chiều Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và B là con của V. B được gọi là một cơ sở của V nếu B là một tập sinh và B độc lập tuyến tính. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Kiểm tra B là cơ sở của R . 3 Giải. B là tập sinh của R . (theo ví dụ trên) Kiểm tra B độc lập tuyến tính.     u1 1 1 1 Lập ma trận A =  u2  =  1 2 1 . u3 2 3 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 27 / 86
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3.2 Cơ sở và số chiều Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ và B là con của V. B được gọi là một cơ sở của V nếu B là một tập sinh và B độc lập tuyến tính. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 Kiểm tra B là cơ sở của R . 3 Giải. B là tập sinh của R . (theo ví dụ trên) Kiểm tra B độc lập tuyến tính.     u1 1 1 1 Lập ma trận A =  u2  =  1 2 1 . u3 2 3 1 Ta có r(A) = 3 (hoặc |A| = −1). Suy ra B độc lập tuyến tính. Vậy B là 3 cơ sở của R . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 27 / 86
3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 1, 0); u3 = (1, 1, 0); u4 = (1, −4, 1)}. 3 Hỏi S có là cơ sở của R không? Ví dụ. Trong không gian R2[x], cho 2 2 2 S = {f1 = 1 + x + x ; f2 = 2 + x + x ; f3 = 1 + 2x + 2x } Hỏi S có là cơ sở của R2[x] không? 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −2); u2 = (2, 3, 3); u3 = (5, 7, 4)}. 3 Hỏi S có là cơ sở của R không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 28 / 86
Ví dụ. Trong không gian R2[x], cho 2 2 2 S = {f1 = 1 + x + x ; f2 = 2 + x + x ; f3 = 1 + 2x + 2x } Hỏi S có là cơ sở của R2[x] không? 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −2); u2 = (2, 3, 3); u3 = (5, 7, 4)}. 3 Hỏi S có là cơ sở của R không? 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 1, 0); u3 = (1, 1, 0); u4 = (1, −4, 1)}. 3 Hỏi S có là cơ sở của R không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 28 / 86
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −2); u2 = (2, 3, 3); u3 = (5, 7, 4)}. 3 Hỏi S có là cơ sở của R không? 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho S = {u1 = (1, 1, −1); u2 = (2, 1, 0); u3 = (1, 1, 0); u4 = (1, −4, 1)}. 3 Hỏi S có là cơ sở của R không? Ví dụ. Trong không gian R2[x], cho 2 2 2 S = {f1 = 1 + x + x ; f2 = 2 + x + x ; f3 = 1 + 2x + 2x } Hỏi S có là cơ sở của R2[x] không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 28 / 86
Hệ quả. Giả sử V có một cơ sở B gồm n vectơ. Khi đó mọi cơ sở khác của V hữu hạn và có đúng n vectơ. Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ, số chiều của V , ký hiệu là dimV, là số vectơ của tập cơ sở. Trong trường hợp vô hạn chiều, ta ký dimV = ∞. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 3 Khi đó B là cơ sở của R . Do đó dimR = 3. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Số chiều Bổ đề. Giả sử V sinh bởi m vectơ, V = hu1, u2, . . . , umi. Khi đó mọi tập hợp con độc lập tuyến tính của V có không quá m phần tử. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 29 / 86
Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ, số chiều của V , ký hiệu là dimV, là số vectơ của tập cơ sở. Trong trường hợp vô hạn chiều, ta ký dimV = ∞. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 3 Khi đó B là cơ sở của R . Do đó dimR = 3. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Số chiều Bổ đề. Giả sử V sinh bởi m vectơ, V = hu1, u2, . . . , umi. Khi đó mọi tập hợp con độc lập tuyến tính của V có không quá m phần tử. Hệ quả. Giả sử V có một cơ sở B gồm n vectơ. Khi đó mọi cơ sở khác của V hữu hạn và có đúng n vectơ. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 29 / 86
3 Ví dụ. Trong không gian R , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 3 Khi đó B là cơ sở của R . Do đó dimR = 3. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Số chiều Bổ đề. Giả sử V sinh bởi m vectơ, V = hu1, u2, . . . , umi. Khi đó mọi tập hợp con độc lập tuyến tính của V có không quá m phần tử. Hệ quả. Giả sử V có một cơ sở B gồm n vectơ. Khi đó mọi cơ sở khác của V hữu hạn và có đúng n vectơ. Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ, số chiều của V , ký hiệu là dimV, là số vectơ của tập cơ sở. Trong trường hợp vô hạn chiều, ta ký dimV = ∞. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 29 / 86
3 3 Khi đó B là cơ sở của R . Do đó dimR = 3. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Số chiều Bổ đề. Giả sử V sinh bởi m vectơ, V = hu1, u2, . . . , umi. Khi đó mọi tập hợp con độc lập tuyến tính của V có không quá m phần tử. Hệ quả. Giả sử V có một cơ sở B gồm n vectơ. Khi đó mọi cơ sở khác của V hữu hạn và có đúng n vectơ. Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ, số chiều của V , ký hiệu là dimV, là số vectơ của tập cơ sở. Trong trường hợp vô hạn chiều, ta ký dimV = ∞. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 29 / 86
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Số chiều Bổ đề. Giả sử V sinh bởi m vectơ, V = hu1, u2, . . . , umi. Khi đó mọi tập hợp con độc lập tuyến tính của V có không quá m phần tử. Hệ quả. Giả sử V có một cơ sở B gồm n vectơ. Khi đó mọi cơ sở khác của V hữu hạn và có đúng n vectơ. Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ, số chiều của V , ký hiệu là dimV, là số vectơ của tập cơ sở. Trong trường hợp vô hạn chiều, ta ký dimV = ∞. 3 Ví dụ. Trong không gian R , cho B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)}. 3 3 Khi đó B là cơ sở của R . Do đó dimR = 3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 29 / 86
n Với u = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R . Ta có u = x1e1 + x2e2 + ··· + xnen. n Do đó B0 là tập sinh của R . Mặt khác B0 độc lập tuyến tính nên B0 là n n cơ sở của R . B0 được gọi là cơ sở chính tắc của R . Như vậy n dimR = n. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ n Ví dụ. Trong không gian R , xét B0 = {e1, e2, . . . , en}, trong đó e1 = (1, 0, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, , 0), en = (0, 0, , 0, 1). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 30 / 86
u = x1e1 + x2e2 + ··· + xnen. n Do đó B0 là tập sinh của R . Mặt khác B0 độc lập tuyến tính nên B0 là n n cơ sở của R . B0 được gọi là cơ sở chính tắc của R . Như vậy n dimR = n. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ n Ví dụ. Trong không gian R , xét B0 = {e1, e2, . . . , en}, trong đó e1 = (1, 0, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, , 0), en = (0, 0, , 0, 1). n Với u = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R . Ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 30 / 86
n Do đó B0 là tập sinh của R . Mặt khác B0 độc lập tuyến tính nên B0 là n n cơ sở của R . B0 được gọi là cơ sở chính tắc của R . Như vậy n dimR = n. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ n Ví dụ. Trong không gian R , xét B0 = {e1, e2, . . . , en}, trong đó e1 = (1, 0, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, , 0), en = (0, 0, , 0, 1). n Với u = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R . Ta có u = x1e1 + x2e2 + ··· + xnen. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 30 / 86
3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ n Ví dụ. Trong không gian R , xét B0 = {e1, e2, . . . , en}, trong đó e1 = (1, 0, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, , 0), en = (0, 0, , 0, 1). n Với u = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R . Ta có u = x1e1 + x2e2 + ··· + xnen. n Do đó B0 là tập sinh của R . Mặt khác B0 độc lập tuyến tính nên B0 là n n cơ sở của R . B0 được gọi là cơ sở chính tắc của R . Như vậy n dimR = n. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 30 / 86
có cơ sở B0 = {Eij | , i ∈ 1, m, j ∈ 1, n}, trong đó Eij là ma trận loại m × n chỉ có một hệ số khác 0 duy nhất là hệ số 1 ở dòng i cột j. Do đó Mm×n(R) hữu hạn chiều và dimMm×n(R) = mn. Ví dụ. Không gian Rn[x] gồm các đa thức theo x bậc không quá n với hệ số trong R, là không gian vectơ hữu hạn chiều trên R có n dimRn[x] = n + 1 với cơ sở B0 = {1, x, . . . , x }. Ví dụ. Không gian R[x] gồm tất các đa thức theo x với hệ số trong R, 2 là không gian vectơ vô hạn chiều trên R với cơ sở B0 = {1, x, x , }. 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ Ví dụ. Không gian vectơ Mm×n(R) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ lvluyen@yahoo.com 31 / 86