›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức - Lê Văn Luyện

pdf 152 trang ngocly 2970
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức - Lê Văn Luyện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_2_dinh_thuc_le_van_luyen.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức - Lê Văn Luyện

  1. Nội dung chương 2 Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương 2 ĐỊNH THỨC Lê Văn Luyện [email protected] Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 1 / 84
  2. Nội dung chương 2 Nội dung Chương 2. ĐỊNH THỨC 1. Định nghĩa và các tính chất 2. Định thức và ma trận khả nghịch 3. Quy tắc Cramer Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 2 / 84
  3. 1. Định nghĩa và các tính chất 1. Định nghĩa và các tính chất 1.1 Định nghĩa 1.2 Quy tắc Sarrus 1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột 1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 3 / 84
  4. • Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a.  a b  • Nếu n = 2, nghĩa là A = , thì |A| = ad − bc. c d   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  • Nếu n > 2, nghĩa là A =   , thì   an1 an2 . . . ann dòng 1 1+n |A| === a11 A(1|1) − a12 A(1|2) + ··· + a1n(−1) A(1|n) . trong đó A(i|j) là ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A. 1. Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Định thức của A, được ký hiệu là detA hay |A|, là một số thực được xác định bằng quy nạp theo n như sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 4 / 84
  5.  a b  • Nếu n = 2, nghĩa là A = , thì |A| = ad − bc. c d   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  • Nếu n > 2, nghĩa là A =   , thì   an1 an2 . . . ann dòng 1 1+n |A| === a11 A(1|1) − a12 A(1|2) + ··· + a1n(−1) A(1|n) . trong đó A(i|j) là ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A. 1. Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Định thức của A, được ký hiệu là detA hay |A|, là một số thực được xác định bằng quy nạp theo n như sau: • Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 4 / 84
  6.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  • Nếu n > 2, nghĩa là A =   , thì   an1 an2 . . . ann dòng 1 1+n |A| === a11 A(1|1) − a12 A(1|2) + ··· + a1n(−1) A(1|n) . trong đó A(i|j) là ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A. 1. Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Định thức của A, được ký hiệu là detA hay |A|, là một số thực được xác định bằng quy nạp theo n như sau: • Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a.  a b  • Nếu n = 2, nghĩa là A = , thì |A| = ad − bc. c d Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 4 / 84
  7. dòng 1 1+n |A| === a11 A(1|1) − a12 A(1|2) + ··· + a1n(−1) A(1|n) . trong đó A(i|j) là ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A. 1. Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Định thức của A, được ký hiệu là detA hay |A|, là một số thực được xác định bằng quy nạp theo n như sau: • Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a.  a b  • Nếu n = 2, nghĩa là A = , thì |A| = ad − bc. c d   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  • Nếu n > 2, nghĩa là A =   , thì   an1 an2 . . . ann Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 4 / 84
  8. 1. Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Định thức của A, được ký hiệu là detA hay |A|, là một số thực được xác định bằng quy nạp theo n như sau: • Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a.  a b  • Nếu n = 2, nghĩa là A = , thì |A| = ad − bc. c d   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  • Nếu n > 2, nghĩa là A =   , thì   an1 an2 . . . ann dòng 1 1+n |A| === a11 A(1|1) − a12 A(1|2) + ··· + a1n(−1) A(1|n) . trong đó A(i|j) là ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 4 / 84
  9. Ví dụ. Tính định thức của ma trận  1 2 −3  A =  2 3 0  3 2 4 Giải. 1+1 3 0 1+2 2 0 1+3 2 3 |A| = 1(−1) + 2(−1) + (−3)(−1) 2 4 3 4 3 2 = 12 − 16 + 15 = 11. 1. Định nghĩa và các tính chất  4 −2  Ví dụ. Cho A = . Khi đó |A| = 4.5 − (−2).3 = 26. 3 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 5 / 84
  10. Giải. 1+1 3 0 1+2 2 0 1+3 2 3 |A| = 1(−1) + 2(−1) + (−3)(−1) 2 4 3 4 3 2 = 12 − 16 + 15 = 11. 1. Định nghĩa và các tính chất  4 −2  Ví dụ. Cho A = . Khi đó |A| = 4.5 − (−2).3 = 26. 3 5 Ví dụ. Tính định thức của ma trận  1 2 −3  A =  2 3 0  3 2 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 5 / 84
  11. = 12 − 16 + 15 = 11. 1. Định nghĩa và các tính chất  4 −2  Ví dụ. Cho A = . Khi đó |A| = 4.5 − (−2).3 = 26. 3 5 Ví dụ. Tính định thức của ma trận  1 2 −3  A =  2 3 0  3 2 4 Giải. 1+1 3 0 1+2 2 0 1+3 2 3 |A| = 1(−1) + 2(−1) + (−3)(−1) 2 4 3 4 3 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 5 / 84
  12. 1. Định nghĩa và các tính chất  4 −2  Ví dụ. Cho A = . Khi đó |A| = 4.5 − (−2).3 = 26. 3 5 Ví dụ. Tính định thức của ma trận  1 2 −3  A =  2 3 0  3 2 4 Giải. 1+1 3 0 1+2 2 0 1+3 2 3 |A| = 1(−1) + 2(−1) + (−3)(−1) 2 4 3 4 3 2 = 12 − 16 + 15 = 11. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 5 / 84
  13. a22 a23 a21 a23 a21 a22 |A| = a11 − a12 + a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33. Từ đây ta suy ra công thức Sarrus dựa vào sơ đồ sau: cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ? ? ? ? ?  ab ab a·b a · a ·  11b 12 b····13 b···11· ··12·· a ba ···· ab····ab····a .  21 ····22b ··23··b ·21···b 22  a ···· a ··b··a ··b·a· ba ···31· ··32·· b33·b··· b31b 32bb −·· −·· −·· + + + 1. Định nghĩa và các tính chất Quy tắc Sarrus Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  . a31 a32 a33 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 6 / 84
  14. = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33. Từ đây ta suy ra công thức Sarrus dựa vào sơ đồ sau: cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ? ? ? ? ?  ab ab a·b a · a ·  11b 12 b····13 b···11· ··12·· a ba ···· ab····ab····a .  21 ····22b ··23··b ·21···b 22  a ···· a ··b··a ··b·a· ba ···31· ··32·· b33·b··· b31b 32bb −·· −·· −·· + + + 1. Định nghĩa và các tính chất Quy tắc Sarrus Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  . a31 a32 a33 a22 a23 a21 a23 a21 a22 |A| = a11 − a12 + a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 6 / 84
  15. Từ đây ta suy ra công thức Sarrus dựa vào sơ đồ sau: cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ? ? ? ? ?  ab ab a·b a · a ·  11b 12 b····13 b···11· ··12·· a ba ···· ab····ab····a .  21 ····22b ··23··b ·21···b 22  a ···· a ··b··a ··b·a· ba ···31· ··32·· b33·b··· b31b 32bb −·· −·· −·· + + + 1. Định nghĩa và các tính chất Quy tắc Sarrus Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  . a31 a32 a33 a22 a23 a21 a23 a21 a22 |A| = a11 − a12 + a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 6 / 84
  16. 1. Định nghĩa và các tính chất Quy tắc Sarrus Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  . a31 a32 a33 a22 a23 a21 a23 a21 a22 |A| = a11 − a12 + a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33. Từ đây ta suy ra công thức Sarrus dựa vào sơ đồ sau: cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ? ? ? ? ?  ab ab a·b a · a ·  11b 12 b····13 b···11· ··12·· a ba ···· ab····ab····a .  21 ····22b ··23··b ·21···b 22  a ···· a ··b··a ··b·a· ba ···31· ··32·· b33·b··· b31b 32bb −·· −·· −·· + + + Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 6 / 84
  17. Ví dụ. 1 2 3 4 2 1 = 1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1 − 3.2.3 − 1.1.1 − 2.4.5 = −31. 3 1 5 1. Định nghĩa và các tính chất cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ? ? ? ? ?  ab ab a·b a · a ·  11b 12 b····13 b···11· ··12·· a ba ···· ab····ab····a .  21 ····22b ··23··b ·21···b 22  a ···· a ··b··a ··b·a· ba ···31· ··32·· b33·b··· b31b 32bb −·· −·· −·· + + + |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −(a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33). (Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 7 / 84
  18. = 1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1 − 3.2.3 − 1.1.1 − 2.4.5 = −31. 1. Định nghĩa và các tính chất cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ? ? ? ? ?  ab ab a·b a · a ·  11b 12 b····13 b···11· ··12·· a ba ···· ab····ab····a .  21 ····22b ··23··b ·21···b 22  a ···· a ··b··a ··b·a· ba ···31· ··32·· b33·b··· b31b 32bb −·· −·· −·· + + + |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −(a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33). (Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh) Ví dụ. 1 2 3 4 2 1 3 1 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 7 / 84
  19. 1. Định nghĩa và các tính chất cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ? ? ? ? ?  ab ab a·b a · a ·  11b 12 b····13 b···11· ··12·· a ba ···· ab····ab····a .  21 ····22b ··23··b ·21···b 22  a ···· a ··b··a ··b·a· ba ···31· ··32·· b33·b··· b31b 32bb −·· −·· −·· + + + |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −(a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33). (Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh) Ví dụ. 1 2 3 4 2 1 = 1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1 − 3.2.3 − 1.1.1 − 2.4.5 = −31. 3 1 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 7 / 84
  20. Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, ta gọi i+j cij = (−1) detA(i|j) là phần bù đại số của hệ số aij, trong đó A(i|j) là ma trận vuông cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j.  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Khi đó 3 4 0 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3. 4 0 3 0 1. Định nghĩa và các tính chất 1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 8 / 84
  21. là phần bù đại số của hệ số aij, trong đó A(i|j) là ma trận vuông cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j.  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Khi đó 3 4 0 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3. 4 0 3 0 1. Định nghĩa và các tính chất 1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, ta gọi i+j cij = (−1) detA(i|j) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 8 / 84
  22.  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Khi đó 3 4 0 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3. 4 0 3 0 1. Định nghĩa và các tính chất 1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, ta gọi i+j cij = (−1) detA(i|j) là phần bù đại số của hệ số aij, trong đó A(i|j) là ma trận vuông cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 8 / 84
  23. 1+1 3 1 1+2 2 1 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3. 4 0 3 0 1. Định nghĩa và các tính chất 1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, ta gọi i+j cij = (−1) detA(i|j) là phần bù đại số của hệ số aij, trong đó A(i|j) là ma trận vuông cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j.  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Khi đó 3 4 0 c11 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 8 / 84
  24. 1+2 2 1 c12 = (−1) = 3. 3 0 1. Định nghĩa và các tính chất 1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, ta gọi i+j cij = (−1) detA(i|j) là phần bù đại số của hệ số aij, trong đó A(i|j) là ma trận vuông cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j.  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Khi đó 3 4 0 1+1 3 1 c11 = (−1) = −4; 4 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 8 / 84
  25. 1+2 2 1 = (−1) = 3. 3 0 1. Định nghĩa và các tính chất 1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, ta gọi i+j cij = (−1) detA(i|j) là phần bù đại số của hệ số aij, trong đó A(i|j) là ma trận vuông cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j.  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Khi đó 3 4 0 1+1 3 1 c11 = (−1) = −4; c12 4 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 8 / 84
  26. 1. Định nghĩa và các tính chất 1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, ta gọi i+j cij = (−1) detA(i|j) là phần bù đại số của hệ số aij, trong đó A(i|j) là ma trận vuông cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j.  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Khi đó 3 4 0 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3. 4 0 3 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 8 / 84
  27. n P • Công thức khai triển |A| theo dòng i: |A| = aikcik. k=1 n P • Công thức khai triển |A| theo cột j: |A| = akjckj. k=1  3 −1 3  Ví dụ. Tính định thức của A =  5 2 2  4 1 0 Lưu ý. Trong việc tính định thức của ma trận ta nên chọn dòng hay cột có nhiều số 0 để tính. 1. Định nghĩa và các tính chất Định lý. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, gọi cij là phần bù đại số của hệ số aij. Ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 9 / 84
  28. n P • Công thức khai triển |A| theo cột j: |A| = akjckj. k=1  3 −1 3  Ví dụ. Tính định thức của A =  5 2 2  4 1 0 Lưu ý. Trong việc tính định thức của ma trận ta nên chọn dòng hay cột có nhiều số 0 để tính. 1. Định nghĩa và các tính chất Định lý. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, gọi cij là phần bù đại số của hệ số aij. Ta có n P • Công thức khai triển |A| theo dòng i: |A| = aikcik. k=1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 9 / 84
  29.  3 −1 3  Ví dụ. Tính định thức của A =  5 2 2  4 1 0 Lưu ý. Trong việc tính định thức của ma trận ta nên chọn dòng hay cột có nhiều số 0 để tính. 1. Định nghĩa và các tính chất Định lý. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, gọi cij là phần bù đại số của hệ số aij. Ta có n P • Công thức khai triển |A| theo dòng i: |A| = aikcik. k=1 n P • Công thức khai triển |A| theo cột j: |A| = akjckj. k=1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 9 / 84
  30. Lưu ý. Trong việc tính định thức của ma trận ta nên chọn dòng hay cột có nhiều số 0 để tính. 1. Định nghĩa và các tính chất Định lý. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, gọi cij là phần bù đại số của hệ số aij. Ta có n P • Công thức khai triển |A| theo dòng i: |A| = aikcik. k=1 n P • Công thức khai triển |A| theo cột j: |A| = akjckj. k=1  3 −1 3  Ví dụ. Tính định thức của A =  5 2 2  4 1 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 9 / 84
  31. 1. Định nghĩa và các tính chất Định lý. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j, gọi cij là phần bù đại số của hệ số aij. Ta có n P • Công thức khai triển |A| theo dòng i: |A| = aikcik. k=1 n P • Công thức khai triển |A| theo cột j: |A| = akjckj. k=1  3 −1 3  Ví dụ. Tính định thức của A =  5 2 2  4 1 0 Lưu ý. Trong việc tính định thức của ma trận ta nên chọn dòng hay cột có nhiều số 0 để tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 9 / 84
  32. i) |A>| = |A|. ii) Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì |A| = 0. iii) Nếu A là một ma trận tam giác thì |A| bằng tích các phần tử trên đường chéo của A, nghĩa là |A| = a11.a22 . . . ann. Định lý. Nếu A, B ∈ Mn(R) thì |AB| = |A||B|. Ví dụ. 2 −1 3 0 0 - 3 6 7 = 2 · (−3) · 5 · 4 = −120. 0 0 5 2 0 0 0 4 1. Định nghĩa và các tính chất Mệnh đề. Cho A ∈ Mn(R). Khi đó: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 10 / 84
  33. ii) Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì |A| = 0. iii) Nếu A là một ma trận tam giác thì |A| bằng tích các phần tử trên đường chéo của A, nghĩa là |A| = a11.a22 . . . ann. Định lý. Nếu A, B ∈ Mn(R) thì |AB| = |A||B|. Ví dụ. 2 −1 3 0 0 - 3 6 7 = 2 · (−3) · 5 · 4 = −120. 0 0 5 2 0 0 0 4 1. Định nghĩa và các tính chất Mệnh đề. Cho A ∈ Mn(R). Khi đó: i) |A>| = |A|. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 10 / 84
  34. iii) Nếu A là một ma trận tam giác thì |A| bằng tích các phần tử trên đường chéo của A, nghĩa là |A| = a11.a22 . . . ann. Định lý. Nếu A, B ∈ Mn(R) thì |AB| = |A||B|. Ví dụ. 2 −1 3 0 0 - 3 6 7 = 2 · (−3) · 5 · 4 = −120. 0 0 5 2 0 0 0 4 1. Định nghĩa và các tính chất Mệnh đề. Cho A ∈ Mn(R). Khi đó: i) |A>| = |A|. ii) Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì |A| = 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 10 / 84
  35. Định lý. Nếu A, B ∈ Mn(R) thì |AB| = |A||B|. Ví dụ. 2 −1 3 0 0 - 3 6 7 = 2 · (−3) · 5 · 4 = −120. 0 0 5 2 0 0 0 4 1. Định nghĩa và các tính chất Mệnh đề. Cho A ∈ Mn(R). Khi đó: i) |A>| = |A|. ii) Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì |A| = 0. iii) Nếu A là một ma trận tam giác thì |A| bằng tích các phần tử trên đường chéo của A, nghĩa là |A| = a11.a22 . . . ann. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 10 / 84
  36. Ví dụ. 2 −1 3 0 0 - 3 6 7 = 2 · (−3) · 5 · 4 = −120. 0 0 5 2 0 0 0 4 1. Định nghĩa và các tính chất Mệnh đề. Cho A ∈ Mn(R). Khi đó: i) |A>| = |A|. ii) Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì |A| = 0. iii) Nếu A là một ma trận tam giác thì |A| bằng tích các phần tử trên đường chéo của A, nghĩa là |A| = a11.a22 . . . ann. Định lý. Nếu A, B ∈ Mn(R) thì |AB| = |A||B|. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 10 / 84
  37. 1. Định nghĩa và các tính chất Mệnh đề. Cho A ∈ Mn(R). Khi đó: i) |A>| = |A|. ii) Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì |A| = 0. iii) Nếu A là một ma trận tam giác thì |A| bằng tích các phần tử trên đường chéo của A, nghĩa là |A| = a11.a22 . . . ann. Định lý. Nếu A, B ∈ Mn(R) thì |AB| = |A||B|. Ví dụ. 2 −1 3 0 0 - 3 6 7 = 2 · (−3) · 5 · 4 = −120. 0 0 5 2 0 0 0 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 10 / 84
  38. d ↔d i) Nếu A −−−−→i j A0 thì |A0| = −|A|; i6=j d :=αd ii) Nếu A −−−−−→i i A0 thì |A0| = α|A|; d :=d +βd iii) Nếu A −−−−−−−−→i i j A0 thì |A0| = |A|. i6=j  1 3 7  Ví dụ. Tính định thức của A =  2 6 −8  5 −12 4 1. Định nghĩa và các tính chất 1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp 0 Định lý. Cho A, A ∈ Mn(R). Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 11 / 84
  39. |A0| = −|A|; d :=αd ii) Nếu A −−−−−→i i A0 thì |A0| = α|A|; d :=d +βd iii) Nếu A −−−−−−−−→i i j A0 thì |A0| = |A|. i6=j  1 3 7  Ví dụ. Tính định thức của A =  2 6 −8  5 −12 4 1. Định nghĩa và các tính chất 1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp 0 Định lý. Cho A, A ∈ Mn(R). Khi đó d ↔d i) Nếu A −−−−→i j A0 thì i6=j Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 11 / 84
  40. d :=αd ii) Nếu A −−−−−→i i A0 thì |A0| = α|A|; d :=d +βd iii) Nếu A −−−−−−−−→i i j A0 thì |A0| = |A|. i6=j  1 3 7  Ví dụ. Tính định thức của A =  2 6 −8  5 −12 4 1. Định nghĩa và các tính chất 1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp 0 Định lý. Cho A, A ∈ Mn(R). Khi đó d ↔d i) Nếu A −−−−→i j A0 thì |A0| = −|A|; i6=j Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 11 / 84
  41. |A0| = α|A|; d :=d +βd iii) Nếu A −−−−−−−−→i i j A0 thì |A0| = |A|. i6=j  1 3 7  Ví dụ. Tính định thức của A =  2 6 −8  5 −12 4 1. Định nghĩa và các tính chất 1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp 0 Định lý. Cho A, A ∈ Mn(R). Khi đó d ↔d i) Nếu A −−−−→i j A0 thì |A0| = −|A|; i6=j d :=αd ii) Nếu A −−−−−→i i A0 thì Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 11 / 84
  42. d :=d +βd iii) Nếu A −−−−−−−−→i i j A0 thì |A0| = |A|. i6=j  1 3 7  Ví dụ. Tính định thức của A =  2 6 −8  5 −12 4 1. Định nghĩa và các tính chất 1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp 0 Định lý. Cho A, A ∈ Mn(R). Khi đó d ↔d i) Nếu A −−−−→i j A0 thì |A0| = −|A|; i6=j d :=αd ii) Nếu A −−−−−→i i A0 thì |A0| = α|A|; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 11 / 84
  43. |A0| = |A|.  1 3 7  Ví dụ. Tính định thức của A =  2 6 −8  5 −12 4 1. Định nghĩa và các tính chất 1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp 0 Định lý. Cho A, A ∈ Mn(R). Khi đó d ↔d i) Nếu A −−−−→i j A0 thì |A0| = −|A|; i6=j d :=αd ii) Nếu A −−−−−→i i A0 thì |A0| = α|A|; d :=d +βd iii) Nếu A −−−−−−−−→i i j A0 thì i6=j Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 11 / 84
  44.  1 3 7  Ví dụ. Tính định thức của A =  2 6 −8  5 −12 4 1. Định nghĩa và các tính chất 1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp 0 Định lý. Cho A, A ∈ Mn(R). Khi đó d ↔d i) Nếu A −−−−→i j A0 thì |A0| = −|A|; i6=j d :=αd ii) Nếu A −−−−−→i i A0 thì |A0| = α|A|; d :=d +βd iii) Nếu A −−−−−−−−→i i j A0 thì |A0| = |A|. i6=j Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 11 / 84
  45. 1. Định nghĩa và các tính chất 1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp 0 Định lý. Cho A, A ∈ Mn(R). Khi đó d ↔d i) Nếu A −−−−→i j A0 thì |A0| = −|A|; i6=j d :=αd ii) Nếu A −−−−−→i i A0 thì |A0| = α|A|; d :=d +βd iii) Nếu A −−−−−−−−→i i j A0 thì |A0| = |A|. i6=j  1 3 7  Ví dụ. Tính định thức của A =  2 6 −8  5 −12 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 11 / 84
  46. 1 3 7 dòng 2 === 2 1 3 −4 5 −12 4 1 1 7 cột 2 === 2.3 1 1 −4 5 −4 4 1 1 7 d2:=d2−d1 === 6 00 −11 5 −4 4 dòng 2 1 1 === 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột. 1. Định nghĩa và các tính chất 1 3 7 2 6 −8 5 −12 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 12 / 84
  47. 1 3 7 2 1 3 −4 5 −12 4 1 1 7 cột 2 === 2.3 1 1 −4 5 −4 4 1 1 7 d2:=d2−d1 === 6 00 −11 5 −4 4 dòng 2 1 1 === 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột. 1. Định nghĩa và các tính chất 1 3 7 dòng 2 2 6 −8 === 5 −12 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 12 / 84
  48. 1 1 7 cột 2 === 2.3 1 1 −4 5 −4 4 1 1 7 d2:=d2−d1 === 6 00 −11 5 −4 4 dòng 2 1 1 === 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột. 1. Định nghĩa và các tính chất 1 3 7 1 3 7 dòng 2 2 6 −8 === 2 1 3 −4 5 −12 4 5 −12 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 12 / 84
  49. 1 1 7 2.3 1 1 −4 5 −4 4 1 1 7 d2:=d2−d1 === 6 00 −11 5 −4 4 dòng 2 1 1 === 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột. 1. Định nghĩa và các tính chất 1 3 7 1 3 7 dòng 2 2 6 −8 === 2 1 3 −4 5 −12 4 5 −12 4 cột 2 === Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 12 / 84
  50. 1 1 7 d2:=d2−d1 === 6 00 −11 5 −4 4 dòng 2 1 1 === 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột. 1. Định nghĩa và các tính chất 1 3 7 1 3 7 dòng 2 2 6 −8 === 2 1 3 −4 5 −12 4 5 −12 4 1 1 7 cột 2 === 2.3 1 1 −4 5 −4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 12 / 84
  51. 1 1 7 6 00 −11 5 −4 4 dòng 2 1 1 === 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột. 1. Định nghĩa và các tính chất 1 3 7 1 3 7 dòng 2 2 6 −8 === 2 1 3 −4 5 −12 4 5 −12 4 1 1 7 cột 2 === 2.3 1 1 −4 5 −4 4 ===d2:=d2−d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 12 / 84
  52. dòng 2 1 1 === 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột. 1. Định nghĩa và các tính chất 1 3 7 1 3 7 dòng 2 2 6 −8 === 2 1 3 −4 5 −12 4 5 −12 4 1 1 7 cột 2 === 2.3 1 1 −4 5 −4 4 1 1 7 d2:=d2−d1 === 6 00 −11 5 −4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 12 / 84
  53. 1 1 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột. 1. Định nghĩa và các tính chất 1 3 7 1 3 7 dòng 2 2 6 −8 === 2 1 3 −4 5 −12 4 5 −12 4 1 1 7 cột 2 === 2.3 1 1 −4 5 −4 4 1 1 7 d2:=d2−d1 === 6 00 −11 5 −4 4 dòng 2 === Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 12 / 84
  54. Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột. 1. Định nghĩa và các tính chất 1 3 7 1 3 7 dòng 2 2 6 −8 === 2 1 3 −4 5 −12 4 5 −12 4 1 1 7 cột 2 === 2.3 1 1 −4 5 −4 4 1 1 7 d2:=d2−d1 === 6 00 −11 5 −4 4 dòng 2 1 1 === 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 12 / 84
  55. 1. Định nghĩa và các tính chất 1 3 7 1 3 7 dòng 2 2 6 −8 === 2 1 3 −4 5 −12 4 5 −12 4 1 1 7 cột 2 === 2.3 1 1 −4 5 −4 4 1 1 7 d2:=d2−d1 === 6 00 −11 5 −4 4 dòng 2 1 1 === 6(−11)(−1)2+3 = −594. 5 −4 Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 12 / 84
  56. 0 19 −16 7 d2:=d2−d1 d4:=d4+2d1 1 −8 6 −1 === d1:=d1−2d2 0 44 −27 3 d3:=d3−5d2 08 −3 13 19 −16 7 cột 1 === 1.(−1)2+1 44 −27 3 8 −3 13 d3:=d3−4d2 1195 −7510 d2:=d2−3d3 === − 548 −3420 d1:=d1−7d3 −168 1051 cột 1 1195 −751 === − = −2858. 548 −342 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 13 / 84
  57. 0 19 −16 7 1 −8 6 −1 0 44 −27 3 08 −3 13 19 −16 7 cột 1 === 1.(−1)2+1 44 −27 3 8 −3 13 d3:=d3−4d2 1195 −7510 d2:=d2−3d3 === − 548 −3420 d1:=d1−7d3 −168 1051 cột 1 1195 −751 === − = −2858. 548 −342 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 2 3 −4 5 d2:=d2−d1 3 −5 2 4 d4:=d4+2d1 === 5 4 3 −2 d1:=d1−2d2 d3:=d3−5d2 −4 2 5 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 13 / 84
  58. 19 −16 7 cột 1 === 1.(−1)2+1 44 −27 3 8 −3 13 d3:=d3−4d2 1195 −7510 d2:=d2−3d3 === − 548 −3420 d1:=d1−7d3 −168 1051 cột 1 1195 −751 === − = −2858. 548 −342 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 2 3 −4 5 0 19 −16 7 d2:=d2−d1 3 −5 2 4 d4:=d4+2d1 1 −8 6 −1 === 5 4 3 −2 d1:=d1−2d2 0 44 −27 3 d3:=d3−5d2 −4 2 5 3 08 −3 13 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 13 / 84
  59. 19 −16 7 1.(−1)2+1 44 −27 3 8 −3 13 d3:=d3−4d2 1195 −7510 d2:=d2−3d3 === − 548 −3420 d1:=d1−7d3 −168 1051 cột 1 1195 −751 === − = −2858. 548 −342 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 2 3 −4 5 0 19 −16 7 d2:=d2−d1 3 −5 2 4 d4:=d4+2d1 1 −8 6 −1 === 5 4 3 −2 d1:=d1−2d2 0 44 −27 3 d3:=d3−5d2 −4 2 5 3 08 −3 13 cột 1 === Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 13 / 84
  60. d3:=d3−4d2 1195 −7510 d2:=d2−3d3 === − 548 −3420 d1:=d1−7d3 −168 1051 cột 1 1195 −751 === − = −2858. 548 −342 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 2 3 −4 5 0 19 −16 7 d2:=d2−d1 3 −5 2 4 d4:=d4+2d1 1 −8 6 −1 === 5 4 3 −2 d1:=d1−2d2 0 44 −27 3 d3:=d3−5d2 −4 2 5 3 08 −3 13 19 −16 7 cột 1 === 1.(−1)2+1 44 −27 3 8 −3 13 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 13 / 84
  61. 1195 −7510 − 548 −3420 −168 1051 cột 1 1195 −751 === − = −2858. 548 −342 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 2 3 −4 5 0 19 −16 7 d2:=d2−d1 3 −5 2 4 d4:=d4+2d1 1 −8 6 −1 === 5 4 3 −2 d1:=d1−2d2 0 44 −27 3 d3:=d3−5d2 −4 2 5 3 08 −3 13 19 −16 7 cột 1 === 1.(−1)2+1 44 −27 3 8 −3 13 d3:=d3−4d2 d :=d −3d ===2 2 3 d1:=d1−7d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 13 / 84
  62. cột 1 1195 −751 === − = −2858. 548 −342 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 2 3 −4 5 0 19 −16 7 d2:=d2−d1 3 −5 2 4 d4:=d4+2d1 1 −8 6 −1 === 5 4 3 −2 d1:=d1−2d2 0 44 −27 3 d3:=d3−5d2 −4 2 5 3 08 −3 13 19 −16 7 cột 1 === 1.(−1)2+1 44 −27 3 8 −3 13 d3:=d3−4d2 1195 −7510 d2:=d2−3d3 === − 548 −3420 d1:=d1−7d3 −168 1051 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 13 / 84
  63. 1195 −751 − = −2858. 548 −342 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 2 3 −4 5 0 19 −16 7 d2:=d2−d1 3 −5 2 4 d4:=d4+2d1 1 −8 6 −1 === 5 4 3 −2 d1:=d1−2d2 0 44 −27 3 d3:=d3−5d2 −4 2 5 3 08 −3 13 19 −16 7 cột 1 === 1.(−1)2+1 44 −27 3 8 −3 13 d3:=d3−4d2 1195 −7510 d2:=d2−3d3 === − 548 −3420 d1:=d1−7d3 −168 1051 cột 1 === Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 13 / 84
  64. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 2 3 −4 5 0 19 −16 7 d2:=d2−d1 3 −5 2 4 d4:=d4+2d1 1 −8 6 −1 === 5 4 3 −2 d1:=d1−2d2 0 44 −27 3 d3:=d3−5d2 −4 2 5 3 08 −3 13 19 −16 7 cột 1 === 1.(−1)2+1 44 −27 3 8 −3 13 d3:=d3−4d2 1195 −7510 d2:=d2−3d3 === − 548 −3420 d1:=d1−7d3 −168 1051 cột 1 1195 −751 === − = −2858. 548 −342 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 13 / 84
  65. d1:=6d1 6 3 2 d2:=12d2 1 1 1 === . . 6 4 3 d3:=60d3 6 12 60 20 15 12 c1:=c1−2c2 010 c2:=c2−c3 1 === −2 1 1 c3:=c3−2c2 4320 −10 3 6 dòng 1 1 −2 1 1 === − = . 4320 −10 6 2160 Nhận xét. Trong quá trình tính định thức, phép BĐSC loại 3 được khuyến khích dùng bởi nó không thay đổi giá trị định thức. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 1 1 1 2 3 1 1 1 2 3 4 1 1 1 3 4 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 14 / 84
  66. c1:=c1−2c2 010 c2:=c2−c3 1 === −2 1 1 c3:=c3−2c2 4320 −10 3 6 dòng 1 1 −2 1 1 === − = . 4320 −10 6 2160 Nhận xét. Trong quá trình tính định thức, phép BĐSC loại 3 được khuyến khích dùng bởi nó không thay đổi giá trị định thức. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 1 1 1 2 3 d1:=6d1 6 3 2 1 1 1 d2:=12d2 1 1 1 === . . 6 4 3 2 3 4 d3:=60d3 6 12 60 20 15 12 1 1 1 3 4 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 14 / 84
  67. 010 1 −2 1 1 4320 −10 3 6 dòng 1 1 −2 1 1 === − = . 4320 −10 6 2160 Nhận xét. Trong quá trình tính định thức, phép BĐSC loại 3 được khuyến khích dùng bởi nó không thay đổi giá trị định thức. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 1 1 1 2 3 d1:=6d1 6 3 2 1 1 1 d2:=12d2 1 1 1 === . . 6 4 3 2 3 4 d3:=60d3 6 12 60 20 15 12 1 1 1 3 4 5 c1:=c1−2c2 c :=c −c ===2 2 3 c3:=c3−2c2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 14 / 84
  68. dòng 1 1 −2 1 1 === − = . 4320 −10 6 2160 Nhận xét. Trong quá trình tính định thức, phép BĐSC loại 3 được khuyến khích dùng bởi nó không thay đổi giá trị định thức. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 1 1 1 2 3 d1:=6d1 6 3 2 1 1 1 d2:=12d2 1 1 1 === . . 6 4 3 2 3 4 d3:=60d3 6 12 60 20 15 12 1 1 1 3 4 5 c1:=c1−2c2 010 c2:=c2−c3 1 === −2 1 1 c3:=c3−2c2 4320 −10 3 6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 14 / 84
  69. 1 −2 1 1 − = . 4320 −10 6 2160 Nhận xét. Trong quá trình tính định thức, phép BĐSC loại 3 được khuyến khích dùng bởi nó không thay đổi giá trị định thức. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 1 1 1 2 3 d1:=6d1 6 3 2 1 1 1 d2:=12d2 1 1 1 === . . 6 4 3 2 3 4 d3:=60d3 6 12 60 20 15 12 1 1 1 3 4 5 c1:=c1−2c2 010 c2:=c2−c3 1 === −2 1 1 c3:=c3−2c2 4320 −10 3 6 dòng 1 === Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 14 / 84
  70. Nhận xét. Trong quá trình tính định thức, phép BĐSC loại 3 được khuyến khích dùng bởi nó không thay đổi giá trị định thức. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 1 1 1 2 3 d1:=6d1 6 3 2 1 1 1 d2:=12d2 1 1 1 === . . 6 4 3 2 3 4 d3:=60d3 6 12 60 20 15 12 1 1 1 3 4 5 c1:=c1−2c2 010 c2:=c2−c3 1 === −2 1 1 c3:=c3−2c2 4320 −10 3 6 dòng 1 1 −2 1 1 === − = . 4320 −10 6 2160 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 14 / 84
  71. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. 1 1 1 2 3 d1:=6d1 6 3 2 1 1 1 d2:=12d2 1 1 1 === . . 6 4 3 2 3 4 d3:=60d3 6 12 60 20 15 12 1 1 1 3 4 5 c1:=c1−2c2 010 c2:=c2−c3 1 === −2 1 1 c3:=c3−2c2 4320 −10 3 6 dòng 1 1 −2 1 1 === − = . 4320 −10 6 2160 Nhận xét. Trong quá trình tính định thức, phép BĐSC loại 3 được khuyến khích dùng bởi nó không thay đổi giá trị định thức. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 14 / 84
  72.  3 2 −1 1   2 3 −2 0  B =  .  −3 1 4 −2  4 1 3 1 Kết quả |A| = −19, |B| = −30. Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  13 18 6 −1 7   3 4 2 1 3   4 7 3 4 1   2 −3 5 1 8      C =  7 9 3 −1 4  ; D =  −4 −7 2 −2 4       6 9 3 −2 3   3 −5 4 3 5  6 3 1 −2 3 8 6 −4 1 2 Giải. |C| = 24; |D| = −174. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  1 1 2 −1   2 3 5 0  A =  ;  3 2 6 −2  −2 1 3 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 15 / 84
  73. Kết quả |A| = −19, |B| = −30. Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  13 18 6 −1 7   3 4 2 1 3   4 7 3 4 1   2 −3 5 1 8      C =  7 9 3 −1 4  ; D =  −4 −7 2 −2 4       6 9 3 −2 3   3 −5 4 3 5  6 3 1 −2 3 8 6 −4 1 2 Giải. |C| = 24; |D| = −174. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  1 1 2 −1   3 2 −1 1   2 3 5 0   2 3 −2 0  A =  ; B =  .  3 2 6 −2   −3 1 4 −2  −2 1 3 1 4 1 3 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 15 / 84
  74. Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  13 18 6 −1 7   3 4 2 1 3   4 7 3 4 1   2 −3 5 1 8      C =  7 9 3 −1 4  ; D =  −4 −7 2 −2 4       6 9 3 −2 3   3 −5 4 3 5  6 3 1 −2 3 8 6 −4 1 2 Giải. |C| = 24; |D| = −174. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  1 1 2 −1   3 2 −1 1   2 3 5 0   2 3 −2 0  A =  ; B =  .  3 2 6 −2   −3 1 4 −2  −2 1 3 1 4 1 3 1 Kết quả |A| = −19, |B| = −30. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 15 / 84
  75.  3 4 2 1 3   2 −3 5 1 8    D =  −4 −7 2 −2 4     3 −5 4 3 5  8 6 −4 1 2 Giải. |C| = 24; |D| = −174. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  1 1 2 −1   3 2 −1 1   2 3 5 0   2 3 −2 0  A =  ; B =  .  3 2 6 −2   −3 1 4 −2  −2 1 3 1 4 1 3 1 Kết quả |A| = −19, |B| = −30. Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  13 18 6 −1 7   4 7 3 4 1    C =  7 9 3 −1 4  ;    6 9 3 −2 3  6 3 1 −2 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 15 / 84
  76. Giải. |C| = 24; |D| = −174. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  1 1 2 −1   3 2 −1 1   2 3 5 0   2 3 −2 0  A =  ; B =  .  3 2 6 −2   −3 1 4 −2  −2 1 3 1 4 1 3 1 Kết quả |A| = −19, |B| = −30. Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  13 18 6 −1 7   3 4 2 1 3   4 7 3 4 1   2 −3 5 1 8      C =  7 9 3 −1 4  ; D =  −4 −7 2 −2 4       6 9 3 −2 3   3 −5 4 3 5  6 3 1 −2 3 8 6 −4 1 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 15 / 84
  77. 1. Định nghĩa và các tính chất Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  1 1 2 −1   3 2 −1 1   2 3 5 0   2 3 −2 0  A =  ; B =  .  3 2 6 −2   −3 1 4 −2  −2 1 3 1 4 1 3 1 Kết quả |A| = −19, |B| = −30. Ví dụ. Tính định thức của ma trận sau  13 18 6 −1 7   3 4 2 1 3   4 7 3 4 1   2 −3 5 1 8      C =  7 9 3 −1 4  ; D =  −4 −7 2 −2 4       6 9 3 −2 3   3 −5 4 3 5  6 3 1 −2 3 8 6 −4 1 2 Giải. |C| = 24; |D| = −174. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 15 / 84
  78. Định nghĩa. i+j Cho A = (aij) ∈ Mn(R). Đặt C = (cij) với cij = (−1) |A(i, j)| là > phần bù đại số của aij. Ta gọi ma trận chuyển vị C của C là ma trận phụ hợp của A, ký hiệu là adj(A).  2 3 1  Ví dụ. Cho A =  2 −1 2 . 3 4 −2  −6 10 11   −6 10 7  Khi đó C =  10 −7 1 . Suy ra adj(A) =  10 −7 −2  . 7 −2 −8 11 1 −8 2. Định thức và ma trận khả nghịch 2. Định thức và ma trận khả nghịch Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 16 / 84
  79.  −6 10 11   −6 10 7  Khi đó C =  10 −7 1 . Suy ra adj(A) =  10 −7 −2  . 7 −2 −8 11 1 −8 2. Định thức và ma trận khả nghịch 2. Định thức và ma trận khả nghịch Định nghĩa. i+j Cho A = (aij) ∈ Mn(R). Đặt C = (cij) với cij = (−1) |A(i, j)| là > phần bù đại số của aij. Ta gọi ma trận chuyển vị C của C là ma trận phụ hợp của A, ký hiệu là adj(A).  2 3 1  Ví dụ. Cho A =  2 −1 2 . 3 4 −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 16 / 84
  80.  −6 10 11   −6 10 7   10 −7 1 . Suy ra adj(A) =  10 −7 −2  . 7 −2 −8 11 1 −8 2. Định thức và ma trận khả nghịch 2. Định thức và ma trận khả nghịch Định nghĩa. i+j Cho A = (aij) ∈ Mn(R). Đặt C = (cij) với cij = (−1) |A(i, j)| là > phần bù đại số của aij. Ta gọi ma trận chuyển vị C của C là ma trận phụ hợp của A, ký hiệu là adj(A).  2 3 1  Ví dụ. Cho A =  2 −1 2 . 3 4 −2 Khi đó C = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 16 / 84
  81.  −6 10 7  Suy ra adj(A) =  10 −7 −2  . 11 1 −8 2. Định thức và ma trận khả nghịch 2. Định thức và ma trận khả nghịch Định nghĩa. i+j Cho A = (aij) ∈ Mn(R). Đặt C = (cij) với cij = (−1) |A(i, j)| là > phần bù đại số của aij. Ta gọi ma trận chuyển vị C của C là ma trận phụ hợp của A, ký hiệu là adj(A).  2 3 1  Ví dụ. Cho A =  2 −1 2 . 3 4 −2  −6 10 11  Khi đó C =  10 −7 1 . 7 −2 −8 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 16 / 84
  82. 2. Định thức và ma trận khả nghịch 2. Định thức và ma trận khả nghịch Định nghĩa. i+j Cho A = (aij) ∈ Mn(R). Đặt C = (cij) với cij = (−1) |A(i, j)| là > phần bù đại số của aij. Ta gọi ma trận chuyển vị C của C là ma trận phụ hợp của A, ký hiệu là adj(A).  2 3 1  Ví dụ. Cho A =  2 −1 2 . 3 4 −2  −6 10 11   −6 10 7  Khi đó C =  10 −7 1 . Suy ra adj(A) =  10 −7 −2  . 7 −2 −8 11 1 −8 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 16 / 84
  83. Định lý. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi |A|= 6 0.Hơn nữa, 1 A−1 = adj(A). |A|  1 1 1  Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 3 1  . 3 4 0 Giải. Ta có |A| = −2 6= 0. Suy ra A khả nghịch. 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3; 4 0 3 0 2. Định thức và ma trận khả nghịch Nhận diện ma trận khả nghịch Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 17 / 84
  84. Hơn nữa, 1 A−1 = adj(A). |A|  1 1 1  Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 3 1  . 3 4 0 Giải. Ta có |A| = −2 6= 0. Suy ra A khả nghịch. 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3; 4 0 3 0 2. Định thức và ma trận khả nghịch Nhận diện ma trận khả nghịch Định lý. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi |A|= 6 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 17 / 84
  85.  1 1 1  Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 3 1  . 3 4 0 Giải. Ta có |A| = −2 6= 0. Suy ra A khả nghịch. 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3; 4 0 3 0 2. Định thức và ma trận khả nghịch Nhận diện ma trận khả nghịch Định lý. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi |A|= 6 0.Hơn nữa, 1 A−1 = adj(A). |A| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 17 / 84
  86. Giải. Ta có |A| = −2 6= 0. Suy ra A khả nghịch. 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3; 4 0 3 0 2. Định thức và ma trận khả nghịch Nhận diện ma trận khả nghịch Định lý. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi |A|= 6 0.Hơn nữa, 1 A−1 = adj(A). |A|  1 1 1  Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 3 1  . 3 4 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 17 / 84
  87. 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3; 4 0 3 0 2. Định thức và ma trận khả nghịch Nhận diện ma trận khả nghịch Định lý. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi |A|= 6 0.Hơn nữa, 1 A−1 = adj(A). |A|  1 1 1  Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 3 1  . 3 4 0 Giải. Ta có |A| = −2 6= 0. Suy ra A khả nghịch. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 17 / 84
  88. 1+2 2 1 c12 = (−1) = 3; 3 0 2. Định thức và ma trận khả nghịch Nhận diện ma trận khả nghịch Định lý. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi |A|= 6 0.Hơn nữa, 1 A−1 = adj(A). |A|  1 1 1  Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 3 1  . 3 4 0 Giải. Ta có |A| = −2 6= 0. Suy ra A khả nghịch. 1+1 3 1 c11 = (−1) = −4; 4 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 17 / 84
  89. 2. Định thức và ma trận khả nghịch Nhận diện ma trận khả nghịch Định lý. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi |A|= 6 0.Hơn nữa, 1 A−1 = adj(A). |A|  1 1 1  Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 3 1  . 3 4 0 Giải. Ta có |A| = −2 6= 0. Suy ra A khả nghịch. 1+1 3 1 1+2 2 1 c11 = (−1) = −4; c12 = (−1) = 3; 4 0 3 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 17 / 84
  90. c22 = −3; c23 = −1; c31 = −2; c32 = 1; c33 = 1. Suy ra  −4 3 −1   −4 4 −2  C =  4 −3 −1  và adj(A) =  3 −3 1  . −2 1 1 −1 −1 1 Ta có  −4 4 −2  1 1 A−1 = adj(A) = 3 −3 1 . |A| −2   −1 −1 1 2. Định thức và ma trận khả nghịch 1+3 2 3 2+1 1 1 c13 = (−1) = −1; c21 = (−1) = 4 3 4 4 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 18 / 84
  91. Suy ra  −4 3 −1   −4 4 −2  C =  4 −3 −1  và adj(A) =  3 −3 1  . −2 1 1 −1 −1 1 Ta có  −4 4 −2  1 1 A−1 = adj(A) = 3 −3 1 . |A| −2   −1 −1 1 2. Định thức và ma trận khả nghịch 1+3 2 3 2+1 1 1 c13 = (−1) = −1; c21 = (−1) = 4 3 4 4 0 c22 = −3; c23 = −1; c31 = −2; c32 = 1; c33 = 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 18 / 84
  92.  −4 4 −2  và adj(A) =  3 −3 1  . −1 −1 1 Ta có  −4 4 −2  1 1 A−1 = adj(A) = 3 −3 1 . |A| −2   −1 −1 1 2. Định thức và ma trận khả nghịch 1+3 2 3 2+1 1 1 c13 = (−1) = −1; c21 = (−1) = 4 3 4 4 0 c22 = −3; c23 = −1; c31 = −2; c32 = 1; c33 = 1. Suy ra  −4 3 −1  C =  4 −3 −1  −2 1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 18 / 84
  93. Ta có  −4 4 −2  1 1 A−1 = adj(A) = 3 −3 1 . |A| −2   −1 −1 1 2. Định thức và ma trận khả nghịch 1+3 2 3 2+1 1 1 c13 = (−1) = −1; c21 = (−1) = 4 3 4 4 0 c22 = −3; c23 = −1; c31 = −2; c32 = 1; c33 = 1. Suy ra  −4 3 −1   −4 4 −2  C =  4 −3 −1  và adj(A) =  3 −3 1  . −2 1 1 −1 −1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 18 / 84
  94.  −4 4 −2  1 3 −3 1 . −2   −1 −1 1 2. Định thức và ma trận khả nghịch 1+3 2 3 2+1 1 1 c13 = (−1) = −1; c21 = (−1) = 4 3 4 4 0 c22 = −3; c23 = −1; c31 = −2; c32 = 1; c33 = 1. Suy ra  −4 3 −1   −4 4 −2  C =  4 −3 −1  và adj(A) =  3 −3 1  . −2 1 1 −1 −1 1 Ta có 1 A−1 = adj(A) = |A| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 18 / 84
  95. 2. Định thức và ma trận khả nghịch 1+3 2 3 2+1 1 1 c13 = (−1) = −1; c21 = (−1) = 4 3 4 4 0 c22 = −3; c23 = −1; c31 = −2; c32 = 1; c33 = 1. Suy ra  −4 3 −1   −4 4 −2  C =  4 −3 −1  và adj(A) =  3 −3 1  . −2 1 1 −1 −1 1 Ta có  −4 4 −2  1 1 A−1 = adj(A) = 3 −3 1 . |A| −2   −1 −1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 18 / 84
  96. 1  d −b  A−1 = . ad − bc −c a  2 4  1  5 −4  Ví dụ. Cho A = . Suy ra A−1 = . 3 5 −2 −3 2 Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức của  1 2 1   11 1 −5  1 A = 2 3 −1 ⇒ A−1 = −7 −1 3 .   −2   3 5 2 1 1 −1 2. Định thức và ma trận khả nghịch  a b  Hệ quả. Ma trận A = khả nghịch khi và chỉ khi c d ad − bc 6= 0. Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 19 / 84
  97.  2 4  1  5 −4  Ví dụ. Cho A = . Suy ra A−1 = . 3 5 −2 −3 2 Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức của  1 2 1   11 1 −5  1 A = 2 3 −1 ⇒ A−1 = −7 −1 3 .   −2   3 5 2 1 1 −1 2. Định thức và ma trận khả nghịch  a b  Hệ quả. Ma trận A = khả nghịch khi và chỉ khi c d ad − bc 6= 0. Khi đó 1  d −b  A−1 = . ad − bc −c a Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 19 / 84
  98. 1  5 −4  Suy ra A−1 = . −2 −3 2 Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức của  1 2 1   11 1 −5  1 A = 2 3 −1 ⇒ A−1 = −7 −1 3 .   −2   3 5 2 1 1 −1 2. Định thức và ma trận khả nghịch  a b  Hệ quả. Ma trận A = khả nghịch khi và chỉ khi c d ad − bc 6= 0. Khi đó 1  d −b  A−1 = . ad − bc −c a  2 4  Ví dụ. Cho A = . 3 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 19 / 84
  99. Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức của  1 2 1   11 1 −5  1 A = 2 3 −1 ⇒ A−1 = −7 −1 3 .   −2   3 5 2 1 1 −1 2. Định thức và ma trận khả nghịch  a b  Hệ quả. Ma trận A = khả nghịch khi và chỉ khi c d ad − bc 6= 0. Khi đó 1  d −b  A−1 = . ad − bc −c a  2 4  1  5 −4  Ví dụ. Cho A = . Suy ra A−1 = . 3 5 −2 −3 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 19 / 84
  100.  11 1 −5  1 ⇒ A−1 = −7 −1 3 . −2   1 1 −1 2. Định thức và ma trận khả nghịch  a b  Hệ quả. Ma trận A = khả nghịch khi và chỉ khi c d ad − bc 6= 0. Khi đó 1  d −b  A−1 = . ad − bc −c a  2 4  1  5 −4  Ví dụ. Cho A = . Suy ra A−1 = . 3 5 −2 −3 2 Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức của  1 2 1  A =  2 3 −1  3 5 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 19 / 84
  101. 2. Định thức và ma trận khả nghịch  a b  Hệ quả. Ma trận A = khả nghịch khi và chỉ khi c d ad − bc 6= 0. Khi đó 1  d −b  A−1 = . ad − bc −c a  2 4  1  5 −4  Ví dụ. Cho A = . Suy ra A−1 = . 3 5 −2 −3 2 Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức của  1 2 1   11 1 −5  1 A = 2 3 −1 ⇒ A−1 = −7 −1 3 .   −2   3 5 2 1 1 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 19 / 84
  102.  1 2 1   1 1 1  B =  2 3 m   2 3 2  . 3 2 −1 5 7 5  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Tính:|A−1|; |5A−1|; |adj(A)|. 3 3 5 −1 Ví dụ. Cho A, B ∈ M3(R) và |A| = 3, |B| = −2. Tính |(4AB) | và |adj(AB)|. 2. Định thức và ma trận khả nghịch Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả nghịch  1 1 2 1   2 1 5 3  A =   .  5 0 7 m  −1 2 3 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 20 / 84
  103.  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Tính:|A−1|; |5A−1|; |adj(A)|. 3 3 5 −1 Ví dụ. Cho A, B ∈ M3(R) và |A| = 3, |B| = −2. Tính |(4AB) | và |adj(AB)|. 2. Định thức và ma trận khả nghịch Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả nghịch  1 1 2 1   2 1 5 3  A =   .  5 0 7 m  −1 2 3 −3  1 2 1   1 1 1  B =  2 3 m   2 3 2  . 3 2 −1 5 7 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 20 / 84
  104. −1 Ví dụ. Cho A, B ∈ M3(R) và |A| = 3, |B| = −2. Tính |(4AB) | và |adj(AB)|. 2. Định thức và ma trận khả nghịch Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả nghịch  1 1 2 1   2 1 5 3  A =   .  5 0 7 m  −1 2 3 −3  1 2 1   1 1 1  B =  2 3 m   2 3 2  . 3 2 −1 5 7 5  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Tính:|A−1|; |5A−1|; |adj(A)|. 3 3 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 20 / 84
  105. 2. Định thức và ma trận khả nghịch Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả nghịch  1 1 2 1   2 1 5 3  A =   .  5 0 7 m  −1 2 3 −3  1 2 1   1 1 1  B =  2 3 m   2 3 2  . 3 2 −1 5 7 5  1 1 1  Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Tính:|A−1|; |5A−1|; |adj(A)|. 3 3 5 −1 Ví dụ. Cho A, B ∈ M3(R) và |A| = 3, |B| = −2. Tính |(4AB) | và |adj(AB)|. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 20 / 84
  106. i) Nếu ∆ 6= 0 thì (∗) có một nghiệm duy nhất là: ∆ x = i , i ∈ 1, n. i ∆ ii) Nếu ∆ = 0 và ∆i 6= 0 với một i nào đó thì (1) vô nghiệm. iii) Nếu ∆ = 0 và ∆i = 0 ∀i ∈ 1, n thì hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. 3. Quy tắc Cramer 3. Quy tắc Cramer Định lý. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (∗) gồm n ẩn và n phương trình. Đặt ∆ = detA; ∆i = det(Ai), i ∈ 1, n, trong đó Ai là ma trận có từ A bằng cách thay cột i bằng cột B. Khi đó: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 21 / 84
  107. ii) Nếu ∆ = 0 và ∆i 6= 0 với một i nào đó thì (1) vô nghiệm. iii) Nếu ∆ = 0 và ∆i = 0 ∀i ∈ 1, n thì hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. 3. Quy tắc Cramer 3. Quy tắc Cramer Định lý. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (∗) gồm n ẩn và n phương trình. Đặt ∆ = detA; ∆i = det(Ai), i ∈ 1, n, trong đó Ai là ma trận có từ A bằng cách thay cột i bằng cột B. Khi đó: i) Nếu ∆ 6= 0 thì (∗) có một nghiệm duy nhất là: ∆ x = i , i ∈ 1, n. i ∆ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 21 / 84
  108. iii) Nếu ∆ = 0 và ∆i = 0 ∀i ∈ 1, n thì hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. 3. Quy tắc Cramer 3. Quy tắc Cramer Định lý. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (∗) gồm n ẩn và n phương trình. Đặt ∆ = detA; ∆i = det(Ai), i ∈ 1, n, trong đó Ai là ma trận có từ A bằng cách thay cột i bằng cột B. Khi đó: i) Nếu ∆ 6= 0 thì (∗) có một nghiệm duy nhất là: ∆ x = i , i ∈ 1, n. i ∆ ii) Nếu ∆ = 0 và ∆i 6= 0 với một i nào đó thì (1) vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 21 / 84
  109. 3. Quy tắc Cramer 3. Quy tắc Cramer Định lý. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B (∗) gồm n ẩn và n phương trình. Đặt ∆ = detA; ∆i = det(Ai), i ∈ 1, n, trong đó Ai là ma trận có từ A bằng cách thay cột i bằng cột B. Khi đó: i) Nếu ∆ 6= 0 thì (∗) có một nghiệm duy nhất là: ∆ x = i , i ∈ 1, n. i ∆ ii) Nếu ∆ = 0 và ∆i 6= 0 với một i nào đó thì (1) vô nghiệm. iii) Nếu ∆ = 0 và ∆i = 0 ∀i ∈ 1, n thì hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 21 / 84
  110. Giải. Ta có 1 −1 −2 −3 −1 −2 ∆ = |A| = 2 −1 1 = −7; ∆1 = |A1| = 1 −1 1 = −7; 1 1 1 411 1 −3 −2 1 −1 −3 ∆2 = |A2| = 211 = −14; ∆3 = |A3| = 2 −11 = −7. 141 1 14 Vì ∆ 6= 0 nên hệ có nghiệm duy nhất ∆ ∆ ∆ x = 1 = 1; y = 2 = 2; z = 3 = 1. ∆ ∆ ∆ 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1)  x + y + z = 4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 22 / 84
  111. −3 −1 −2 ∆1 = |A1| = 1 −1 1 = −7; 411 1 −3 −2 1 −1 −3 ∆2 = |A2| = 211 = −14; ∆3 = |A3| = 2 −11 = −7. 141 1 14 Vì ∆ 6= 0 nên hệ có nghiệm duy nhất ∆ ∆ ∆ x = 1 = 1; y = 2 = 2; z = 3 = 1. ∆ ∆ ∆ 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1)  x + y + z = 4. Giải. Ta có 1 −1 −2 ∆ = |A| = 2 −1 1 = −7; 1 1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 22 / 84
  112. 1 −3 −2 1 −1 −3 ∆2 = |A2| = 211 = −14; ∆3 = |A3| = 2 −11 = −7. 141 1 14 Vì ∆ 6= 0 nên hệ có nghiệm duy nhất ∆ ∆ ∆ x = 1 = 1; y = 2 = 2; z = 3 = 1. ∆ ∆ ∆ 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1)  x + y + z = 4. Giải. Ta có 1 −1 −2 −3 −1 −2 ∆ = |A| = 2 −1 1 = −7; ∆1 = |A1| = 1 −1 1 = −7; 1 1 1 411 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 22 / 84
  113. 1 −1 −3 ∆3 = |A3| = 2 −11 = −7. 1 14 Vì ∆ 6= 0 nên hệ có nghiệm duy nhất ∆ ∆ ∆ x = 1 = 1; y = 2 = 2; z = 3 = 1. ∆ ∆ ∆ 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1)  x + y + z = 4. Giải. Ta có 1 −1 −2 −3 −1 −2 ∆ = |A| = 2 −1 1 = −7; ∆1 = |A1| = 1 −1 1 = −7; 1 1 1 411 1 −3 −2 ∆2 = |A2| = 211 = −14; 141 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 22 / 84
  114. Vì ∆ 6= 0 nên hệ có nghiệm duy nhất ∆ ∆ ∆ x = 1 = 1; y = 2 = 2; z = 3 = 1. ∆ ∆ ∆ 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1)  x + y + z = 4. Giải. Ta có 1 −1 −2 −3 −1 −2 ∆ = |A| = 2 −1 1 = −7; ∆1 = |A1| = 1 −1 1 = −7; 1 1 1 411 1 −3 −2 1 −1 −3 ∆2 = |A2| = 211 = −14; ∆3 = |A3| = 2 −11 = −7. 141 1 14 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 22 / 84
  115. ∆ ∆ ∆ x = 1 = 1; y = 2 = 2; z = 3 = 1. ∆ ∆ ∆ 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1)  x + y + z = 4. Giải. Ta có 1 −1 −2 −3 −1 −2 ∆ = |A| = 2 −1 1 = −7; ∆1 = |A1| = 1 −1 1 = −7; 1 1 1 411 1 −3 −2 1 −1 −3 ∆2 = |A2| = 211 = −14; ∆3 = |A3| = 2 −11 = −7. 141 1 14 Vì ∆ 6= 0 nên hệ có nghiệm duy nhất Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 22 / 84
  116. 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải phương trình   x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1)  x + y + z = 4. Giải. Ta có 1 −1 −2 −3 −1 −2 ∆ = |A| = 2 −1 1 = −7; ∆1 = |A1| = 1 −1 1 = −7; 1 1 1 411 1 −3 −2 1 −1 −3 ∆2 = |A2| = 211 = −14; ∆3 = |A3| = 2 −11 = −7. 141 1 14 Vì ∆ 6= 0 nên hệ có nghiệm duy nhất ∆ ∆ ∆ x = 1 = 1; y = 2 = 2; z = 3 = 1. ∆ ∆ ∆ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 22 / 84
  117. Giải. Ta có 1 1 −2 41 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; ∆1 = |A1| = 33 3 = −45; 5 7 4 57 4 Suy ra hệ phương trình vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (2)  5x + 7y + 4z = 5. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 23 / 84
  118. 41 −2 ∆1 = |A1| = 33 3 = −45; 57 4 Suy ra hệ phương trình vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (2)  5x + 7y + 4z = 5. Giải. Ta có 1 1 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; 5 7 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 23 / 84
  119. Suy ra hệ phương trình vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (2)  5x + 7y + 4z = 5. Giải. Ta có 1 1 −2 41 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; ∆1 = |A1| = 33 3 = −45; 5 7 4 57 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 23 / 84
  120. 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (2)  5x + 7y + 4z = 5. Giải. Ta có 1 1 −2 41 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; ∆1 = |A1| = 33 3 = −45; 5 7 4 57 4 Suy ra hệ phương trình vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 23 / 84
  121. Giải. Ta có 1 1 −2 41 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; ∆1 = |A1| = 33 3 = 0; 5 7 4 107 4 14 −2 1 14 ∆2 = |A2| = 233 = 0; ∆3 = |A3| = 2 33 = 0. 5 104 5 7 10 Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 nên không kết luận được nghiệm của hệ. Do đó ta phải dùng Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải. 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (3)  5x + 7y + 4z = 10. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 24 / 84
  122. 41 −2 ∆1 = |A1| = 33 3 = 0; 107 4 14 −2 1 14 ∆2 = |A2| = 233 = 0; ∆3 = |A3| = 2 33 = 0. 5 104 5 7 10 Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 nên không kết luận được nghiệm của hệ. Do đó ta phải dùng Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải. 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (3)  5x + 7y + 4z = 10. Giải. Ta có 1 1 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; 5 7 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 24 / 84
  123. 14 −2 1 14 ∆2 = |A2| = 233 = 0; ∆3 = |A3| = 2 33 = 0. 5 104 5 7 10 Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 nên không kết luận được nghiệm của hệ. Do đó ta phải dùng Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải. 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (3)  5x + 7y + 4z = 10. Giải. Ta có 1 1 −2 41 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; ∆1 = |A1| = 33 3 = 0; 5 7 4 107 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 24 / 84
  124. 1 14 ∆3 = |A3| = 2 33 = 0. 5 7 10 Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 nên không kết luận được nghiệm của hệ. Do đó ta phải dùng Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải. 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (3)  5x + 7y + 4z = 10. Giải. Ta có 1 1 −2 41 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; ∆1 = |A1| = 33 3 = 0; 5 7 4 107 4 14 −2 ∆2 = |A2| = 233 = 0; 5 104 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 24 / 84
  125. Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 nên không kết luận được nghiệm của hệ. Do đó ta phải dùng Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải. 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (3)  5x + 7y + 4z = 10. Giải. Ta có 1 1 −2 41 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; ∆1 = |A1| = 33 3 = 0; 5 7 4 107 4 14 −2 1 14 ∆2 = |A2| = 233 = 0; ∆3 = |A3| = 2 33 = 0. 5 104 5 7 10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 24 / 84
  126. 3. Quy tắc Cramer Ví dụ. Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; (3)  5x + 7y + 4z = 10. Giải. Ta có 1 1 −2 41 −2 ∆ = |A| = 2 3 3 = 0; ∆1 = |A1| = 33 3 = 0; 5 7 4 107 4 14 −2 1 14 ∆2 = |A2| = 233 = 0; ∆3 = |A3| = 2 33 = 0. 5 104 5 7 10 Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 nên không kết luận được nghiệm của hệ. Do đó ta phải dùng Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 24 / 84
  127. Giải. Ta có 1 2 2 ∆ = |A| = −2 m − 2 m − 5 = m2 − 4m + 3 = (m − 1)(m − 3); m 1 m + 1 022 ∆1 = |A1| = 2 m − 2 m − 5 = −4m + 12; −21 m + 1 3. Quy tắc Cramer Biện luận hệ phương trình bằng Cramer Ví dụ. Giải và biện luận phương trình   x1 + 2x2 + 2x3 = 0; −2x1 + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 = 2;  mx1 + x2 + (m + 1)x3 = −2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 25 / 84
  128. 022 ∆1 = |A1| = 2 m − 2 m − 5 = −4m + 12; −21 m + 1 3. Quy tắc Cramer Biện luận hệ phương trình bằng Cramer Ví dụ. Giải và biện luận phương trình   x1 + 2x2 + 2x3 = 0; −2x1 + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 = 2;  mx1 + x2 + (m + 1)x3 = −2. Giải. Ta có 1 2 2 ∆ = |A| = −2 m − 2 m − 5 = m2 − 4m + 3 = (m − 1)(m − 3); m 1 m + 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 25 / 84
  129. 3. Quy tắc Cramer Biện luận hệ phương trình bằng Cramer Ví dụ. Giải và biện luận phương trình   x1 + 2x2 + 2x3 = 0; −2x1 + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 = 2;  mx1 + x2 + (m + 1)x3 = −2. Giải. Ta có 1 2 2 ∆ = |A| = −2 m − 2 m − 5 = m2 − 4m + 3 = (m − 1)(m − 3); m 1 m + 1 022 ∆1 = |A1| = 2 m − 2 m − 5 = −4m + 12; −21 m + 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 25 / 84
  130. 3. Quy tắc Cramer Biện luận hệ phương trình bằng Cramer Ví dụ. Giải và biện luận phương trình   x1 + 2x2 + 2x3 = 0; −2x1 + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 = 2;  mx1 + x2 + (m + 1)x3 = −2. Giải. Ta có 1 2 2 ∆ = |A| = −2 m − 2 m − 5 = m2 − 4m + 3 = (m − 1)(m − 3); m 1 m + 1 022 ∆1 = |A1| = 2 m − 2 m − 5 = −4m + 12; −21 m + 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 25 / 84
  131. 1 20 ∆3 = |A3| = −2 m − 22 = 2m − 6 = 2(m − 3). m 1 −2 Biện luận:  m 6= 1 . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ .Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là m 6= 3  −4 2  (x , x , x ) = , 0, . 1 2 3 m − 1 m − 1  m = 1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 3 • Với m = 1, ta có ∆1 = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer 102 ∆2 = |A2| = −22 m − 5 = 0; m −2 m + 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 26 / 84
  132. Biện luận:  m 6= 1 . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ .Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là m 6= 3  −4 2  (x , x , x ) = , 0, . 1 2 3 m − 1 m − 1  m = 1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 3 • Với m = 1, ta có ∆1 = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer 102 ∆2 = |A2| = −22 m − 5 = 0; m −2 m + 1 1 20 ∆3 = |A3| = −2 m − 22 = 2m − 6 = 2(m − 3). m 1 −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 26 / 84
  133. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là  −4 2  (x , x , x ) = , 0, . 1 2 3 m − 1 m − 1  m = 1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 3 • Với m = 1, ta có ∆1 = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer 102 ∆2 = |A2| = −22 m − 5 = 0; m −2 m + 1 1 20 ∆3 = |A3| = −2 m − 22 = 2m − 6 = 2(m − 3). m 1 −2 Biện luận:  m 6= 1 . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ . m 6= 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 26 / 84
  134.  m = 1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 3 • Với m = 1, ta có ∆1 = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer 102 ∆2 = |A2| = −22 m − 5 = 0; m −2 m + 1 1 20 ∆3 = |A3| = −2 m − 22 = 2m − 6 = 2(m − 3). m 1 −2 Biện luận:  m 6= 1 . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ .Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là m 6= 3  −4 2  (x , x , x ) = , 0, . 1 2 3 m − 1 m − 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 26 / 84
  135. • Với m = 1, ta có ∆1 = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer 102 ∆2 = |A2| = −22 m − 5 = 0; m −2 m + 1 1 20 ∆3 = |A3| = −2 m − 22 = 2m − 6 = 2(m − 3). m 1 −2 Biện luận:  m 6= 1 . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ .Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là m 6= 3  −4 2  (x , x , x ) = , 0, . 1 2 3 m − 1 m − 1  m = 1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 26 / 84
  136. 3. Quy tắc Cramer 102 ∆2 = |A2| = −22 m − 5 = 0; m −2 m + 1 1 20 ∆3 = |A3| = −2 m − 22 = 2m − 6 = 2(m − 3). m 1 −2 Biện luận:  m 6= 1 . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ .Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là m 6= 3  −4 2  (x , x , x ) = , 0, . 1 2 3 m − 1 m − 1  m = 1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 3 • Với m = 1, ta có ∆1 = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 26 / 84
  137.  1 2 2 0   −2 1 −2 2  3 1 4 −2 5 Nghiệm của hệ là (x , x , x ) = (3t − 2, t, 1 − t) với t tự do. 1 2 3 2 Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:   (m − 7)x + 12y − 6z = m; −10x + (m + 19)y − 10z = 2m; (1)  −12x + 24y + (m − 13)z = 0. m − 7 12 −6 Giải. ∆ = −10 m + 19 −10 = (m − 1)2(m + 1) −12 24 m − 13 3. Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Khi đó hệ phương trình là: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 27 / 84
  138. 5 Nghiệm của hệ là (x , x , x ) = (3t − 2, t, 1 − t) với t tự do. 1 2 3 2 Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:   (m − 7)x + 12y − 6z = m; −10x + (m + 19)y − 10z = 2m; (1)  −12x + 24y + (m − 13)z = 0. m − 7 12 −6 Giải. ∆ = −10 m + 19 −10 = (m − 1)2(m + 1) −12 24 m − 13 3. Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Khi đó hệ phương trình là:  1 2 2 0   −2 1 −2 2  3 1 4 −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 27 / 84
  139. Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:   (m − 7)x + 12y − 6z = m; −10x + (m + 19)y − 10z = 2m; (1)  −12x + 24y + (m − 13)z = 0. m − 7 12 −6 Giải. ∆ = −10 m + 19 −10 = (m − 1)2(m + 1) −12 24 m − 13 3. Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Khi đó hệ phương trình là:  1 2 2 0   −2 1 −2 2  3 1 4 −2 5 Nghiệm của hệ là (x , x , x ) = (3t − 2, t, 1 − t) với t tự do. 1 2 3 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 27 / 84
  140. m − 7 12 −6 Giải. ∆ = −10 m + 19 −10 = (m − 1)2(m + 1) −12 24 m − 13 3. Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Khi đó hệ phương trình là:  1 2 2 0   −2 1 −2 2  3 1 4 −2 5 Nghiệm của hệ là (x , x , x ) = (3t − 2, t, 1 − t) với t tự do. 1 2 3 2 Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:   (m − 7)x + 12y − 6z = m; −10x + (m + 19)y − 10z = 2m; (1)  −12x + 24y + (m − 13)z = 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 27 / 84
  141. 3. Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Khi đó hệ phương trình là:  1 2 2 0   −2 1 −2 2  3 1 4 −2 5 Nghiệm của hệ là (x , x , x ) = (3t − 2, t, 1 − t) với t tự do. 1 2 3 2 Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:   (m − 7)x + 12y − 6z = m; −10x + (m + 19)y − 10z = 2m; (1)  −12x + 24y + (m − 13)z = 0. m − 7 12 −6 Giải. ∆ = −10 m + 19 −10 = (m − 1)2(m + 1) −12 24 m − 13 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 27 / 84
  142. 3. Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Khi đó hệ phương trình là:  1 2 2 0   −2 1 −2 2  3 1 4 −2 5 Nghiệm của hệ là (x , x , x ) = (3t − 2, t, 1 − t) với t tự do. 1 2 3 2 Ví dụ. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:   (m − 7)x + 12y − 6z = m; −10x + (m + 19)y − 10z = 2m; (1)  −12x + 24y + (m − 13)z = 0. m − 7 12 −6 Giải. ∆ = −10 m + 19 −10 = (m − 1)2(m + 1) −12 24 m − 13 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 27 / 84
  143. m − 7 m −6 ∆2 = −10 2m −10 = 2m(m − 1)(m − 14) −12 0 m − 13 m − 7 12 m ∆3 = −10 m + 19 2m = 36m(m − 1) −12 24 0 Biện luận: . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ m 6= −1 và m 6= 1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là  ∆ m(m2 − 18m + 17) m(m − 17)  x = 1 = = ;  2 2  ∆ (m − 1)(m − 1) m − 1  ∆ m(m2 − 15m + 14) m(m − 14) y = 2 = = ; ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1   ∆3 −36m(m − 1) −36m  z = = = .  ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1 3. Quy tắc Cramer m 12 −6 ∆1 = 2m m + 19 −10 = m(m − 1)(m − 17) 0 24 m − 13 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 28 / 84
  144. m − 7 12 m ∆3 = −10 m + 19 2m = 36m(m − 1) −12 24 0 Biện luận: . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ m 6= −1 và m 6= 1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là  ∆ m(m2 − 18m + 17) m(m − 17)  x = 1 = = ;  2 2  ∆ (m − 1)(m − 1) m − 1  ∆ m(m2 − 15m + 14) m(m − 14) y = 2 = = ; ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1   ∆3 −36m(m − 1) −36m  z = = = .  ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1 3. Quy tắc Cramer m 12 −6 ∆1 = 2m m + 19 −10 = m(m − 1)(m − 17) 0 24 m − 13 m − 7 m −6 ∆2 = −10 2m −10 = 2m(m − 1)(m − 14) −12 0 m − 13 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 28 / 84
  145. Biện luận: . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ m 6= −1 và m 6= 1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là  ∆ m(m2 − 18m + 17) m(m − 17)  x = 1 = = ;  2 2  ∆ (m − 1)(m − 1) m − 1  ∆ m(m2 − 15m + 14) m(m − 14) y = 2 = = ; ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1   ∆3 −36m(m − 1) −36m  z = = = .  ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1 3. Quy tắc Cramer m 12 −6 ∆1 = 2m m + 19 −10 = m(m − 1)(m − 17) 0 24 m − 13 m − 7 m −6 ∆2 = −10 2m −10 = 2m(m − 1)(m − 14) −12 0 m − 13 m − 7 12 m ∆3 = −10 m + 19 2m = 36m(m − 1) −12 24 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 28 / 84
  146.  ∆ m(m2 − 18m + 17) m(m − 17)  x = 1 = = ;  2 2  ∆ (m − 1)(m − 1) m − 1  ∆ m(m2 − 15m + 14) m(m − 14) y = 2 = = ; ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1   ∆3 −36m(m − 1) −36m  z = = = .  ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1 3. Quy tắc Cramer m 12 −6 ∆1 = 2m m + 19 −10 = m(m − 1)(m − 17) 0 24 m − 13 m − 7 m −6 ∆2 = −10 2m −10 = 2m(m − 1)(m − 14) −12 0 m − 13 m − 7 12 m ∆3 = −10 m + 19 2m = 36m(m − 1) −12 24 0 Biện luận: . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ m 6= −1 và m 6= 1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 28 / 84
  147. 3. Quy tắc Cramer m 12 −6 ∆1 = 2m m + 19 −10 = m(m − 1)(m − 17) 0 24 m − 13 m − 7 m −6 ∆2 = −10 2m −10 = 2m(m − 1)(m − 14) −12 0 m − 13 m − 7 12 m ∆3 = −10 m + 19 2m = 36m(m − 1) −12 24 0 Biện luận: . Nếu ∆ 6= 0 ⇔ m 6= −1 và m 6= 1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là  ∆ m(m2 − 18m + 17) m(m − 17)  x = 1 = = ;  2 2  ∆ (m − 1)(m − 1) m − 1  ∆ m(m2 − 15m + 14) m(m − 14) y = 2 = = ; ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1   ∆3 −36m(m − 1) −36m  z = = = .  ∆ (m − 1)(m2 − 1) m2 − 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 28 / 84
  148.  m = −1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 1 • Với m = −1, ta có ∆1 = −36 6= 0 nên hệ (1) vô nghiệm. • Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Hệ (1) trở thành   −6x + 12y − 6z = 1; −10x + 20y − 10z = 2;  −12x + 24y − 12z = 0 Hệ vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 29 / 84
  149. • Với m = −1, ta có ∆1 = −36 6= 0 nên hệ (1) vô nghiệm. • Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Hệ (1) trở thành   −6x + 12y − 6z = 1; −10x + 20y − 10z = 2;  −12x + 24y − 12z = 0 Hệ vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer  m = −1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 29 / 84
  150. • Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Hệ (1) trở thành   −6x + 12y − 6z = 1; −10x + 20y − 10z = 2;  −12x + 24y − 12z = 0 Hệ vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer  m = −1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 1 • Với m = −1, ta có ∆1 = −36 6= 0 nên hệ (1) vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 29 / 84
  151. Hệ vô nghiệm. 3. Quy tắc Cramer  m = −1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 1 • Với m = −1, ta có ∆1 = −36 6= 0 nên hệ (1) vô nghiệm. • Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Hệ (1) trở thành   −6x + 12y − 6z = 1; −10x + 20y − 10z = 2;  −12x + 24y − 12z = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 29 / 84
  152. 3. Quy tắc Cramer  m = −1 . Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 1 • Với m = −1, ta có ∆1 = −36 6= 0 nên hệ (1) vô nghiệm. • Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Hệ (1) trở thành   −6x + 12y − 6z = 1; −10x + 20y − 10z = 2;  −12x + 24y − 12z = 0 Hệ vô nghiệm. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2. Định thức [email protected] 29 / 84