›
›

Bài giảng Đại số - Ma trận - Lê Xuân Đại

pdf 103 trang ngocly 2880
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số - Ma trận - Lê Xuân Đại", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_ma_tran_le_xuan_dai.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số - Ma trận - Lê Xuân Đại

  1. MA TRẬN Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 1 / 103
  2. Bài toán thực tế Lĩnh vực du lịch Để chuẩn bị cho chuyến du lịch của mình, đôi khi bạn quên những vật dụng cần thiết. Việc mua những vật dụng này ở những thành phố khác nhau sẽ có giá khác nhau. Giá trung bình các vật dụng này được liệt kê như sau: TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 2 / 103
  3. Bài toán thực tế Những dữ liệu này được mô tả bởi ma trận sau Atlanta LosAngeles Mexico Tokyo Film ảnh 4.03 4.21 3.97 7.08 Thuốc 6.78 7.41 7.43 36.57 Máy xấy tóc 18.98 20.49 32.25 63.71 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 3 / 103
  4. Bài toán thực tế Nội dung 1 Những khái niệm cơ bản về ma trận 2 Các phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận 3 Hạng của ma trận 4 Các phép toán trên ma trận TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 4 / 103
  5. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau:   a11 a1j a1n  . . .      A =  ai1 aij ain   . . .   . . . . .  am1 amj amn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 5 / 103
  6. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa Ma trận A có m hàng và n cột thường được ký hiệu A = (aij )m×n. Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là Mm×n(K). Định nghĩa Phần tử aij (i = 1 m; j = 1 n) được gọi là phần tử hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 6 / 103
  7. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng Ma trận cột, ma trận hàng Định nghĩa   a1    a2   .  được gọi là ma trận cột.  .  an  a1 a2 an được gọi là ma trận hàng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 7 / 103
  8. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng Mối quan hệ giữa ma trận và ma trận hàng, cột  Gọi Ai∗ = ai1 ai2 ain là hàng thứ i của ma trận   a1j  a   2j  A, 1 6 i 6 m, và gọi A∗j =  .  là cột thứ j của ma  .  amj trận A, 1 6 j 6 n thì   A1∗  A   2∗   A =  .  = A∗1 A∗2 A∗n  .  Am∗ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 8 / 103
  9. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng Ví dụ  1 −4 5  Ma trận A = gồm có: 0 3 −2 2×3 2 ma trận hàng 1 −4 5  , 0 3 −2   1   −4   5  và 3 ma trận cột , , 0 3 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 9 / 103
  10. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận không Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là aij = 0, ∀i, j. Ví dụ  0 0 0 0  A =  0 0 0 0  là ma trận không cỡ 3 × 4. 0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 10 / 103
  11. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đối Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−aij )m×n được gọi là ma trận đối của A. Ví dụ  1 2 3  B = là ma trận đối của ma trận 0 4 −5  −1 −2 −3  A = . 0 −4 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 11 / 103
  12. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa ma trận vuông Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông. Tập ma trận vuông cấp n được ký hiệu là Mn(K)   a11 a1i a1n  . . .      A =  ai1 aii ain  .  . . .   . . . . .  an1 ani ann Đường thẳng đi qua các phần tử a11, a22, , ann gọi là đường chéo chính TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 12 / 103
  13. Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ví dụ  1 2 3  A =  0 −3 −2  là ma trận vuông cấp 3. Các 5 4 −5 phần tử nằm trên đường chéo chính là 1, −3, −5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 13 / 103
  14. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị Định nghĩa   10 0  01 0  Ma trận vuông I =   , có nghĩa là  . . .   . . .  0 0 1 (aii = 1, i = 1, n; aij = 0, ∀i =6 j) được gọi là ma trận đơn vị cấp n và được ký hiệu là I hay In TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 14 / 103
  15. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đơn vị Ví dụ  1 0 0  I =  0 1 0  là ma trận đơn vị cấp 3. 0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 15 / 103
  16. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận chéo Ma trận chéo Định nghĩa   α1 0 0  0 α 0  Ma trận vuông D =  2  , có  . . .   . . .  0 0 α n nghĩa là (aij = 0, ∀i =6 j; i, j = 1, n) được gọi là ma trận chéo cấp n và được ký hiệu là  D = dig α1 α2 . . . αn . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 16 / 103
  17. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận chéo Ví dụ  1 0 0  A =  0 −3 0  là ma trận chéo cấp 3. 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 17 / 103
  18. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang Ma trận dạng bậc thang Định nghĩa 1 Một hàng của ma trận gọi là hàng 0 nếu tất cả các phần tử của nó bằng 0. 2 Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng (tính từ trái sang phải) được gọi là phần tử cơ sở của hàng đó. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 18 / 103
  19. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang Định nghĩa Ma trận được gọi là có dạng bậc thang nếu 1 Các hàng bằng không phải nằm dưới các hàng khác không. 2 Phần tử cơ sở của hàng dưới phải nằm phía phải so với phần tử cơ sở của hàng trên nó. Ví dụ  213   021  và không có dạng bậc 152 310 thang vì không thỏa mãn điều kiện 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 19 / 103
  20. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang Ví dụ  0 0  không có dạng bậc thang vì không thỏa 15 điều kiện 1. Ví dụ  213   125   1234   052  ,  0 02  ,  0 021  có 0 03 0 0 0 0 0 06 dạng bậc thang. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 20 / 103
  21. Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang rút gọn Định nghĩa Ma trận được gọi là có dạng bậc thang rút gọn nếu 1 nó có dạng bậc thang 2 phần tử cơ sở của hàng khác 0 bằng 1, và là phần tử duy nhất khác 0 trong cột chứa nó. Ma trận có dạng bậc thang rút gọn hay không?  100   0120   1204   010  ,  0001  ,  0013  001 0000 0000 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 21 / 103
  22. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K) là những phép biến đổi sau: 1 hi ↔ hj (ci ↔ cj ) tức là đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau. 2 hi → λhi (ci → λci ) tức là nhân vào hàng i (cột i) một số λ =6 0. 3 hi → hi + λ.hj (ci → ci + λcj ), ∀λ tức là biến hàng thứ i (cột thứ i) thành hi + λ.hj (ci + λcj ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 22 / 103
  23. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định lý về việc đưa ma trận về dạng bậc thang Định nghĩa Ta ký hiệu A −→ B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên A. Định lý Mọi ma trận đều có thể đưa được về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 23 / 103
  24. Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Hạng của ma trận Định nghĩa Giả sử Am×n −→ Bm×n, với B là ma trận dạng bậc thang. Khi đó hạng của ma trận A là số hàng khác 0 của ma trận dạng bậc thang B. Kí hiệu r(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 24 / 103
  25. Hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận 1 r(A) = 0 ⇔ A = 0 2 0 6 r(Am×n) 6 min{m, n} các phép biến đổi sơ cấp 3 Nếu A −−−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì r(B) = r(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 25 / 103
  26. Hạng của ma trận Ví dụ Ví dụ   0 2 −4  −1 −4 5      Cho A =  3 1 7  . Đưa ma trận A về    0 5 −10  2 3 0 ma trận dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp. Từ đó suy ra hạng của A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 26 / 103
  27. Hạng của ma trận Ví dụ  0 2 −4   1 4 −5  h3→h3−3h1 h5→h5−2h1 −1 −4 5 h2→−h2 0 2 −4     h → 1 h   h2↔h1   2 2 2  3 1 7  −−−−→  3 1 7  −−−−−−→      0 5 −10   0 5 −10  2 3 0 2 3 0  1 4 −5   14 −5  h3→h3+11h2  0 1 −2  h4→h4−5h2  01 −2    h5→h5+5h2    0 −11 22  −−−−−−−→  0 0 0  .      0 5 −10   0 0 0  0 −5 10 0 0 0 Hạng của ma trận A là2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 27 / 103
  28. Hạng của ma trận Ví dụ Ví dụ  0 1 1 0 0   1 1 0 0 0     0 1 0 1 1  Cho A =   . Tìm hạng của ma trận A.  1 0 1 0 0   0 0 1 1 0  2 3 3 2 1 Giải.  0 1 1 0 0   1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0      h4→h4−h1  0 1 0 1 1  h1↔h2  0 1 0 1 1  h6→h6−2h1   −−−→   −−−−−−→  1 0 1 0 0   1 0 1 0 0   0 0 1 1 0   0 0 1 1 0  2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 28 / 103
  29. Hạng của ma trận Ví dụ  1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0  h3→h3−h2  0 1 1 0 0  h4→h4+2h3   h4→h4+h2   h5→h5+h3  0 1 0 1 1  h6→h6−h2  0 0 −1 1 1  h6→h6+2h3   −−−−−−→   −−−−−−→  0 −1 1 0 0   0 0 2 0 0   0 0 1 1 0   0 0 1 1 0  0 1 3 2 1 0 0 2 2 1  1 1 0 0 0   1 1 0 0 0   0 1 1 0 0   0 1 1 0 0    h5→h5−h4    0 0 −1 1 1  h6→h6−2h4  0 0 −1 1 1  h6→h6−h5   −−−−−−→   −−−−−−→  0 0 0 2 2   0 0 0 2 2   0 0 0 2 1   0 0 0 0 −1  0 0 0 4 3 0 0 0 0 −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 29 / 103
  30. Hạng của ma trận Ví dụ   11000  01100       0 0 −111    .Vậy r(A) = 5.  0 0 022     0 0 0 0 −1  0 0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 30 / 103
  31. Hạng của ma trận Ví dụ Ví dụ   3 1 1 4    λ 4 10 1  Cho A =   . Tìm hạng của A.  1 7 17 3  2 2 4 3     3 1 1 4 4 1 1 3      λ 4 10 1  c1↔c4  1 4 10 λ  c1↔c2   −−−→   −−−→  1 7 17 3   3 7 17 1  2 2 4 3 3 2 4 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 31 / 103
  32. Hạng của ma trận Ví dụ     1 4 1 3 h2→h2−4h1 1 4 1 3 h3→h3−7h1  4 1 10 λ  h4→h4−2h1  0 −15 6 λ − 12    −−−−−−→    7 3 17 1   0 −25 10 −20  2 3 4 2 0 −5 2 −4  1 4 1 3  h3→h3−5h2 h2↔h4  0 −5 2 −4  h4→h4−3h2 −−−→   −−−−−−→  0 −25 10 −20  0 −15 6 λ − 12  1 4 1 3   1413   0 −5 2 −4  h3↔h4  0 −52 −4    −−−→    0 0 0 0   0 0 0 λ  0 0 0 λ 0 0 0 0  2, nếu λ = 0 Biện luận. r(A) = 3, nếu λ 6= 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 32 / 103
  33. Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau Ma trận bằng nhau Định nghĩa Hai ma trận A và B gọi là bằng nhau nếu như A = (aij )m×n = B = (bij )m×n ⇔ aij = bij , ∀i, j. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 33 / 103
  34. Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau Ví dụ Tìm x, y, z, t sao cho  x + y 2z + t   3 7  = x − y z − t 1 5   x + y = 3 x = 2    x − y = 1  y = 1 ⇔ 2z + t = 7 z = 4    z − t = 5  t = −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 34 / 103
  35. Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), α ∈ K. Khi đó tích của số α với ma trận A là αA = (α.aij ) ∈ Mm×n(K) Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 35 / 103
  36. Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Ví dụ  1 2 3  Nếu A = thì 5 4 −5  3.13 .23 .3   3 6 9  3A = = 3.53 .43 .(−5) 15 12 −15 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 36 / 103
  37. Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Hệ quả Thừa số chung của tất cả những phần tử của ma trận có thể đưa ra khỏi dấu ma trận. Ví dụ  15 5 0   3 1 0   20 −5 0  = 5  4 −1 0  30 15 40 6 3 8 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 37 / 103
  38. Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Muốn cộng 2 ma trận A và B thì 1 A và B phải có cũng cỡ m × n 2 A + B = (aij + bij )m×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 38 / 103
  39. Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Tính chất Cho A, B, C là những ma trận cùng cỡ 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K. 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K. 5 A + 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 39 / 103
  40. Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Ví dụ  1 4 3   3 1 1  + = 8 −3 2 4 −1 0  1 + 3 4 + 1 3 + 1   4 5 4  = = 8 + 4 −3 − 1 2 + 0 12 −4 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 40 / 103
  41. Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Ví dụ Tính C = 5A − 2B với  2 3 5   2 −2 5  A = , B = 1 4 −2 0 6 −4 Giải.  2 3 5   2 −2 5  C = 5 − 2 = 1 4 −2 0 6 −4  5.2 − 2.2 5.3 − 2.(−2) 5.5 − 2.5  = = 5.1 − 2.0 5.4 − 2.6 5.(−2) − 2.(−4)  6 19 15  = . 5 8 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 41 / 103
  42. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Bảng xếp hạng ngoại hạng Anh năm 2012-2013 Tên đội Thắng Hòa Thua Man. Utd 28 5 5 Man. City 23 9 6 Chelsea 22 9 7 Arsenal 21 10 7 Tottenham 21 9 8 Hãy tính tổng số điểm của các đội biết thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 42 / 103
  43. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận     28 5 5 28.3 + 5.1 + 5.0  23 9 6   3   23.3 + 9.1 + 6.0           22 9 7  .  1  =  22.3 + 9.1 + 7.0  =      21 10 7  0  21.3 + 10.1 + 7.0  21 9 8 21.3 + 9.1 + 8.0   89 (Man. Utd)  78 (Man. City)      =  75 (Chelsea)     73 (Arsenal)  72 (Tottenham) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 43 / 103
  44. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Nhân 2 ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n(K), B = (bij )n×p ∈ Mn×p(K).  a11 a12 a1n   . . .   b b b b   . . . .  11 12 1j 1p   . . . . . .  ai1 ai2 ain  .  . . . . . .  =    . . . . . .   . . .  b b b b  . . . .  n1 n2 nj np n×p a a a m1 m2 mn m×n  c11 c12 c1j c1p   . . . . .   . . . . . .     ci1 ci2 cij cip  . Khi đó tích của của 2 ma trận A và B là    . . . . . .   . . . . .  c c c c m1 m2 mj mp m×p n P ma trận C = A.B = (cij )m×p sao cho cij = aik .bkj , i = 1 m; j = 1 p k=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 44 / 103
  45. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý Nhân ma trận A cho ma trận B thì TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 45 / 103
  46. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Ví dụ Tính tích A.B với A = 2 −1 4 5  , 1×4  1   2  B =    0  −1 4×1  1    2  A.B = 2 −1 4 5 .   =  0  −1 (2.1 + (−1).2 + 4.0 + 5.(−1)) = (−5)1×1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 46 / 103
  47. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Ví dụ Tính tích C = A.B với  2 1 −1   2 3 1  A = , B = 1 3 −2 . −1 0 1   2×3 0 2 1 3×3  2 1 −1   2 3 1  . 1 3 −2 = −1 0 1   0 2 1  2   c11 = 2 3 1 .  1  = 2.2 + 3.1 + 1.0 = 7 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 47 / 103
  48. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận  1   c12 = 2 3 1 .  3  = 2.1 + 3.3 + 1.2 = 13 2  −1   c13 = 2 3 1 .  −2  = 2.(−1)+3.(−2)+1.1 = −7 1  2   c21 = −1 0 1 .  1  = (−1).2 + 0.1 + 1.0 = −2 0  1   c22 = −1 0 1 .  3  = (−1).1 + 0.3 + 1.2 = 1 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 48 / 103
  49. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận  −1   c23 = −1 0 1 .  −2  = 1 (−1).(−1) + 0.(−2) + 1.1 = 2 Vậy  7 13 −7  C = A.B = . −2 1 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 49 / 103
  50. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Ví dụ  3  Tính tích A.B với A =  −2  , 5 3×1 B = 1 −1 2 2  1×4 A3×1.B1×4 = C3×4 =  3.1 3.(−1) 3.2 3.2  =  (−2).1 (−2).(−1) (−2).2 (−2).2  = 5.1 5.(−1) 5.2 5.2  3 −3 6 6  =  −2 2 −4 −4  . 5 −5 10 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 50 / 103
  51. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C) = A.B.C 2 A.(B + C) = A.B + A.C. 3 (B + C).A = B.A + C.A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 51 / 103
  52. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Ví dụ  cos α − sin α   cos β − sin β  Cho A = và B = . sin α cos α sin β cos β  cos α − sin α   cos β − sin β  Lúc này AB = . = sin α cos α sin β cos β  cos(α + β) − sin(α + β)  và sin(α + β) cos(α + β)  cos β − sin β   cos α − sin α  BA = . = sin β cos β sin α cos α  cos(α + β) − sin(α + β)  . Vậy AB = BA sin(α + β) cos(α + β) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 52 / 103
  53. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nói chung A.B =6 B.A Ví dụ  2 1 1  Cho ma trận A = và ma trận 0 3 2  0 3  B =  1 5  . Lúc này A2×3.B3×2 = C2×2, −1 1 trong khi đó B3×2.A2×3 = D3×3. Như vậy ma trận C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 53 / 103
  54. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tuy nhiên, ngay cả khi A và B là những ma trận vuông cùng cỡ thì tích AB và BA cũng có thể không bằng nhau. Ví dụ  2 1   1 0   01  = 0 1 −2 1 −21 trong khi đó  1 0   2 1   21  = −2 1 0 1 −4 −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 54 / 103
  55. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Ma trận đơn vị là ma trận có tính chất giao hoán với ma trận vuông A bất kỳ cùng cỡ: AI = IA = A Chú ý. A.B = A.C không suy ra được B = C TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 55 / 103
  56. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Ví dụ  1 0   1 1  Cho A = , B = , C = 0 0 1 2  1 1  . Lúc này 2 2  1 0   1 1   1 1  AB = . = và 0 0 1 2 0 0  1 0   1 1   1 1  AC = . = . 0 0 2 2 0 0 Vậy AB = AC nhưng B =6 C. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 56 / 103
  57. Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. A.B = 0 không suy ra được A = 0 ∨ B = 0 Ví dụ  1 0   0 0  Cho A = , B = là những ma 0 0 1 0 trận khác ma trận không. Khi đó  1 0   0 0   0 0  A.B = . = = 0 0 0 1 0 0 0 nhưng không thể suy ra được A = 0 ∨ B = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 57 / 103
  58. Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp Ma trận sơ cấp Định nghĩa Ma trận nhận được từ ma trận đơn vị I ∈ Mn(K) bằng các phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 58 / 103
  59. Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp Định lý 1 Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A tương đương với việc nhân bên trái A một ma trận sơ cấp tương ứng. 2 Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A tương đương với việc nhân bên phải A một ma trận sơ cấp tương ứng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 59 / 103
  60. Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp Ví dụ Cho A ∈ M3×4(R). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: cộng vào hàng thứ 3, hàng 1 đã được nhân với số 2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên trái ma trận A cho ma trận nào? h3→h3+2h1 A3×4 −−−−−−→ B3×4 ⇔ B3×4 = E3×3.A3×4 Trong đó, ma trận sơ cấp E thu được như sau:  1 0 0   1 0 0  h3→h3+2h1  0 1 0  −−−−−−→  0 1 0  = E 0 0 1 2 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 60 / 103
  61. Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp Thật vậy, giả sử   a11 a12 a13 a14 h3→h3+2h1 A =  a21 a22 a23 a24  −−−−−−→ B = a31 a32 a33 a34   a11 a12 a13 a14  a21 a22 a23 a24  a31 + 2a11 a32 + 2a12 a33 + 2a13 a34 + 2a14 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 61 / 103
  62. Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp     1 0 0 a11 a12 a13 a14 E.A =  0 1 0  .  a21 a22 a23 a24  = B = 2 0 1 a31 a32 a33 a34   a11 a12 a13 a14  a21 a22 a23 a24  a31 + 2a11 a32 + 2a12 a33 + 2a13 a34 + 2a14 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 62 / 103
  63. Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp Cho A ∈ M3×4(R). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: đổi chỗ cột 1 và cột 3 cho nhau. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên phải ma trận A cho ma trận nào? c1↔c3 A3×4 −−−→ B3×4 ⇔ B3×4 = A3×4.E4×4. Trong đó, ma trận sơ cấp E thu được như sau:     1 0 0 0 0 0 1 0      0 1 0 0  c1↔c3  0 1 0 0    −−−→   = E  0 0 1 0   1 0 0 0  0 0 0 1 0 0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 63 / 103
  64. Các phép toán trên ma trận Ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Ma trận vuông A ∈ Mn(K) được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B ∈ Mn(K) sao cho BA = I , trong đó I là ma trận đơn vị. Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và ký hiệu là A−1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 64 / 103
  65. Các phép toán trên ma trận Ma trận nghịch đảo Chú ý. Không phải ma trận vuông nào cũng khả nghịch. Có nhiều ma trận vuông không khả nghịch. Định nghĩa Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến. Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 65 / 103
  66. Các phép toán trên ma trận Ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Định lý Cho ma trận vuông A ∈ Mn(K). Các mệnh đề sau đây tương đương 1 Tồn tại ma trận nghịch đảo (ma trận không suy biến) các phép biến đổi sơ cấp trên hàng 2 A −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ I 3 r(A) = n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 66 / 103
  67. Các phép toán trên ma trận Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Thuật toán các phép biến đổi sơ cấp trên hàng (A|I ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1) En.En−1 E2E1.A = I −1 ⇒ A = En.En−1 E2E1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 67 / 103
  68. Các phép toán trên ma trận Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Ví dụ   1 2 3 4  2 5 4 7  −1   Tìm A (nếu có) với A =    3 7 8 12  4 8 14 19   1 2 3 4 1 0 0 0 h2→h2−2h1 h3→h3−3h1  2 5 4 7 0 1 0 0  h4→h4−4h1 (A|I4) =   −−−−−−→  3 7 8 12 0 0 1 0  4 8 14 19 0 0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 68 / 103
  69. Các phép toán trên ma trận Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng   1 2 3 4 1 0 0 0 h1→h1−2h2  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h3→h3−h2   −−−−−−→  0 1 −1 0 −3 0 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1   1 0 7 6 5 −2 0 0 h1→h1−7h3 h2→h2+2h3  0 1 −2 −1 −2 1 0 0  h4→h4−2h3   −−−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 2 3 −4 0 0 1   1 0 0 −1 12 5 −7 0 h1→h1+h4 h2→h2−h4  0 1 0 1 −4 −1 2 0  h3→h3−h4   −−−−−→  0 0 1 1 −1 −1 1 0  0 0 0 1 −2 2 −2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 69 / 103
  70. Các phép toán trên ma trận Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng   1 0 0 0 10 7 −9 1    0 1 0 0 −2 −3 4 −1  −1   = (I4|A )  0 0 1 0 1 −3 3 −1  0 0 0 1 −2 2 −2 1   10 7 −9 1   −1  −2 −3 4 −1  ⇒ A =    1 −3 3 −1  −2 2 −2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 70 / 103
  71. Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị Định nghĩa Ma trận chuyển vị của ma trận A = (aij )m×n là ma T trận A = (aji )n×m     a11 a12 a1n a11 a21 am1  a a a   a a a   21 22 2n  T  12 22 m2  A =  . . .  , A =  . . .   . . . .   . . . .  am1 am2 amn a1n a2n amn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 71 / 103
  72. Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Ví dụ Cho  1 3 5  A = 2 4 6  1 2  T ⇒ A =  3 4  5 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 72 / 103
  73. Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị Tính chất T T 1 (A ) = A. T T 2 (λA) = λA . T T T 3 (A + B) = A + B . T T T 4 (A.B) = B .A . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 73 / 103
  74. Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Ma trận liên hợp Định nghĩa T Ma trận A = (aji )n×m được gọi là ma trận liên hợp của Am×n.  a11 a12 a1n   a11 a21 am1   a21 a22 a2n  T  a12 a22 am2  A =  . . . .  ⇒ A =  . . . .   . . .   . . .  am1 am2 amn m×n a1n a2n amn n×m TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 74 / 103
  75. Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp Ví dụ  −i 2 − i 3  A = 0 −3i 5 + i  i 0  T ⇒ A =  2 + i 3i . 3 5 − i TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 75 / 103
  76. Các phép toán trên ma trận Ma trận đối xứng Ma trận đối xứng Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng T nếu A = A tức là aij = aji , ∀i, j = 1, 2, , n. Chú ý. Mọi ma trận chéo là ma trận đối xứng. Ví dụ  1 5 −4  Ma trận A =  5 −2 7  là ma trận đối −4 7 3 xứng cấp 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 76 / 103
  77. Các phép toán trên ma trận Ma trận phản đối xứng Ma trận phản đối xứng Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận phản đối xứng nếu AT = −A tức là aij = −aji , ∀i, j = 1, 2, , n. Chú ý. Tất cả những phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận phản đối xứng đều bằng 0, có nghĩa là aii = 0, ∀i = 1, 2, , n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 77 / 103
  78. Các phép toán trên ma trận Ma trận phản đối xứng Ví dụ   02 −3 7    −20 −1 5  Ma trận A =   là ma trận  3 108  −7 −5 −80 phản đối xứng cấp 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 78 / 103
  79. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác trên Định nghĩa   a11 a12 a1n  0 a a  Ma trận vuông A =  22 2n  được  . . .   . . .  0 0 ann gọi là ma trận tam giác trên. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 79 / 103
  80. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên Tính chất 1 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác trên thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác trên. 2 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác trên thì A.B cũng là ma trận tam giác trên. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 80 / 103
  81. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên Ví dụ  2 1 1   1 2 1   2 5 8   0 1 2  .  0 1 3  =  0 1 9  0 0 2 0 0 3 0 0 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 81 / 103
  82. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới Ma trận tam giác dưới Định nghĩa   a11 0 0 0  a a 0  Ma trận vuông  21 22  được gọi là  . . .   . . .  an1 an2 ann ma trận tam giác dưới. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 82 / 103
  83. Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới Tính chất 1 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác dưới thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác dưới. 2 Nếu A, B ∈ Mn(K) là những ma trận tam giác dưới thì A.B cũng là ma trận tam giác dưới. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 83 / 103
  84. Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Nâng ma trận lên lũy thừa Định nghĩa Ma trận mũ không A0 = I , còn mũ nguyên dương Am(m > 0) của ma trận A là tích Am = A.A A | {z } m lần Chú ý. Mũ nguyên dương của ma trận chỉ có ý nghĩa khi số hàng và số cột của ma trận phải bằng nhau, có nghĩa là ma trận đó là ma trận vuông. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 84 / 103
  85. Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Tính chất m k m+k 1 A .A = A . m k mk 2 (A ) = A . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 85 / 103
  86. Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Ví dụ  1 1  Tìm An, với A = −1 −1 Giải.  1 1   1 1   0 0  A2 = . = = 0 −1 −1 −1 −1 0 0 n 2 n−2 n−2 Vậy A = A .A = 0.A = 0, ∀n > 3. Như vậy từ An = 0 không thể suy ra được A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 86 / 103
  87. Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa Ví dụ Tính f (A), với f (x) = x2 − x − 1 và  2 1 1  A =  3 1 2  f (A) = A2 − A − A0 1 −1 0  2 1 1   2 1 1  Giải. f (A) =  3 1 2  .  3 1 2  − 1 −1 0 1 −1 0  2 1 1   1 0 0   5 1 3   3 1 2  −  0 1 0  =  8 0 3  1 −1 0 0 0 1 −2 1 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 87 / 103
  88. Các phép toán trên ma trận Ma trận lũy linh Ma trận lũy linh Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu Ak = 0, k ∈ N. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa Ak = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 88 / 103
  89. Các phép toán trên ma trận Ma trận lũy linh Ví dụ  −2 1 1  Tìm chỉ số của ma trận A =  −3 1 2  −2 1 1  −2 1 1   −2 1 1  Giải. A2 =  −3 1 2  .  −3 1 2  = −2 1 1 −2 1 1  −1 0 1   −1 0 1  . −1 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 89 / 103
  90. Các phép toán trên ma trận Ma trận lũy linh  −2 1 1   −1 0 1  A3 = A.A2 =  −3 1 2  .  −1 0 1  = −2 1 1 −1 0 1  0 0 0   0 0 0  . Vậy k = 3 là số nguyên dương nhỏ 0 0 0 nhất để Ak = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 90 / 103
  91. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Vết của ma trận Định nghĩa Vết của ma trận A ∈ Mn×n(K) là một số bằng tổng tất cả các phần tử aii , i = 1 n thuộc đường chéo chính của ma trận n X Tr A = aii i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 91 / 103
  92. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Ví dụ  5 1 3  Cho A =  8 0 3  . Khi đó vết của A là −2 1 −2 Tr A = 5 + 0 + (−2) = 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 92 / 103
  93. Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Tính chất 1 Tr (αA + βB) = αTr A + βTr B. T 2 Tr A = Tr A. 3 Tr (A.B) = Tr (B.A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 93 / 103
  94. Các phép toán trên ma trận Chuẩn Frobenius Chuẩn Frobenius Định nghĩa pTr(AT .A) là chuẩn Frobenius của ma trận A. Ví dụ  3 4 6  Tìm chuẩn Frobenius của A =  2 1 7  −2 5 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 94 / 103
  95. Các phép toán trên ma trận Chuẩn Frobenius  3 2 −2   3 4 6  Giải. AT .A =  4 1 5  .  2 1 7  = 6 7 3 −2 5 3  17 4 26   4 42 46  . Vậy chuẩn Frobenius của ma 26 46 94 trận A bằng √ √ pTr (AT .A) = 17 + 42 + 94 = 153. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 95 / 103
  96. Các phép toán trên ma trận Chuẩn Frobenius Ví dụ  1 0 0  Cho ma trận A =  2 1 0  . Tìm vết của ma 3 2 2 trận A100.  1 0 0   1 0 0  Giải. A2 = A.A =  2 1 0  .  2 1 0  = 3 2 2 3 2 2  1 0 0   4 1 0  ⇒ Tr A2 = 1 + 1 + 22 13 6 22 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 96 / 103
  97. Các phép toán trên ma trận Chuẩn Frobenius  1 0 0   1 0 0  A3 = A2.A =  4 1 0  .  2 1 0  = 13 6 22 3 2 2  1 0 0   6 1 0  ⇒ Tr A3 = 1 + 1 + 23. Bằng 37 14 23 phương pháp quy nạp ta sẽ được Tr A100 = 1 + 1 + 2100 = 2 + 2100. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 97 / 103
  98. Thực hành MatLab Khai báo ma trận Thực hành MatLab Ví dụ A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16] 1 2 3 4 5 6 7 8 A = 9 10 11 12 13 14 15 16 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 98 / 103
  99. Thực hành MatLab Các ma trận đặc biệt Các ma trận đặc biệt 1 Tạo ma trận không: zeros(số dòng, số cột) 2 Tạo ma trận vuông không cấp n: zeros(n) 3 Tạo ma trận đơn vị cấp n: eye(n) 4 Tạo ma trận chéo: diag([các phần tử trên đường chéo chính]) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 99 / 103
  100. Thực hành MatLab Các phép toán đối với ma trận 1 Hạng của ma trận: rank(A) 2 Tìm dạng bậc thang rút gọn: rref (A) (Reduced row echelon form) 3 Phép cộng: A + B 4 Phép trừ: A − B 5 Phép nhân: A ∗ B 6 Lũy thừa: Aˆn 7 Nhân với 1 số: k ∗ A 0 0 8 Chuyển vị: A. Liên hợp A 9 Vết của ma trận: trace(A) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 100 / 103
  101. Thực hành MatLab Các phép biến đổi sơ cấp Các phép biến đổi sơ cấp 1 Biến dòng i thành k lần dòng i: A(i, :) = A(i, :) ∗ k 2 Biến dòng i thành dòng i cộng k lần dòng j: A(i, :) = A(i, :) + A(j, :) ∗ k 3 Hoán vị các dòng A = A([thứ tự dòng], :) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 101 / 103
  102. Thực hành MatLab Các phép biến đổi sơ cấp 1 2 3 4 5 6 7 8 A = 9 10 11 12 13 14 15 16 Khi viết A([1 3 2 4], :) ta được 1 2 3 4 9 10 11 12 5 6 7 8 13 14 15 16 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 102 / 103
  103. Kết thúc THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 103 / 103