Bài giảng Cơ học đất - Chương 6: Áp lực đất lên tường chắn

Nội dung text: Bài giảng Cơ học đất - Chương 6: Áp lực đất lên tường chắn

1. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn ch−ơng 6 áp lực đất lên t−ờng chắn Bμi 1 Các khái niệm cơ bản về t−ờng chắn vμ áp lực đất lên t−ờng chắn 1. áp lực đất chủ động - D−ới tác dụng của áp lực đất phía sau l−ng t−ờng lμm t−ờng chuyển vị từ đất ra phía ngoμi (chuyển vị tính tiến hoặc xoay quanh mép tr−ớc của chân t−ờng), lμm cho khối đất sau l−ng t−ờng sẽ giãn ra. - áp lực đất phía sau l−ng t−ờng do đó cũng giảm đi đến một trạng thái gọi lμ trạng thái cân bằng giới hạn chủ động thì áp lực đất giảm đến trị số nhỏ nhất. - Khối đất sau l−ng t−ờng bị tr−ợt xuống theo hai mặt tr−ợt: một nằm trong đất, vμ mặt kia lμ mặt phẳng l−ng t−ờng. - áp lực đất tăc dụng lên l−ng t−ờng đ−ợc gọi lμ áp lực chủ động (Ea) vμ c−ờng độ áp lực đất chủ động theo chiều sâu lμ (pa, σ’ha). 2. áp lực đất bị động - D−ới tác dụng của lực ngoμi lμm t−ờng chuyển vị ngang hoặc ngả về phía sau, lμm cho khối đất sau l−ng t−ờng bị ép lại. - áp lực đất phía sau l−ng t−ờng do đó cũng tăng lên đến một trạng thái gọi lμ trạng thái cân bằng giới hạn bị động thì áp lực đất đạt đến trị số lớn nhất. - Khối đất sau l−ng t−ờng bị tr−ợt lên theo hai mặt tr−ợt: một nằm trong đất, vμ mặt kia lμ mặt phẳng l−ng t−ờng. - áp lực đất tác dụng lên l−ng t−ờng đ−ợc gọi lμ áp lực bị động (Ep) vμ c−ờng độ áp lực đất chủ động theo chiều sâu lμ (pp, σ’hp). 3. áp lực đất tĩnh - D−ới tác dụng của các lực mμ t−ờng không có chuyển vị, do đó áp lực đất phía sau l−ng t−ờng ở trạng thái gọi lμ trạng thái cân bằng tĩnh. Lúc nμy áp
2. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn lực đất tác dụng lên l−ng t−ờng đ−ợc gọi lμ áp lực đất tĩnh (E0) vμ c−ờng độ áp lực đất chủ động theo chiều sâu lμ ( σ’h). Nếu rạng thái ứng suất trong khối đất nằm d−ới đ−ờng bao phá hoại Morh – Coulomb (đ−ờng sức chống cắt) thì đất còn ở trạng thái cân bằng đμn hồi. Trong điều kiện nμy, khối đất đ−ợc gọi lμ ở trạng thái tĩnh hay trạng thái Ko vμ quan hệ ứng suất hiệu quả nằm ngang σ’h t−ơng ứng với ứng suất hiệu quả thẳng đứng σ’v tại một điểm bất kỳ nh− sau: ' ' σ h = K 0 .σ v (61-1) Trong đó: Ko : hệ số áp lực đất tĩnh. Với đất cố kết thông th−ờng, Jaky (1944) vμ đ−a ra biểu thức tính Ko (phù hợp với gia strị quan sát của Bishop -1958 ; Brooker vμ Ireland – 1965) nh− sau: ' K 0 = 1− sinϕc (61-2) Trong đó: ϕ’c: giá trị ϕ’ ở trạng thái cực hạn. Ko tăng tới 1.0 cho đất hơi quá cố kết vμ tăng hơn nữa với hệ số quá cố kết OCR: K 0(OCR) = K 0(no) . (OCR) (61-3) Theo công thức lý thuyết đμn hồi , có thể xác định Ko nh− sau: ν ' K = 0 1−ν ' (61-4) Bằng thực nghiệm hiện tr−ờng, Mair vμ Wood (1987) đ−a ra giá trị điển hình của Ko: Loại đất Ko Cát rời 0.45 – 0.60 Cát chặt 0.30 – 0.50 Đất sét cố kết thông th−ờng 0.50 – 0.70 Đất sét quá cố kết 1.00 – 4.00 Đất sét đầm chặt 0.70 – 2.00
3. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn Bμi 3 lý thuyết C.A. coulomb về áp lực đất chủ động ( ở điều kiện thoát n−ớc ) I. tr−ờng hợp đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất 1. Điều kiện bμi toán Có một t−ờng chắn đất với chiều cao t−ờng lμ h, đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất (xem hình vẽ). Các ký hiệu sau đ−ợc qui định nh− sau: C Α β Κ α W h δ E α 90-ε R η ϕ ε X Β Hình 6-13 : Sơ đồ các lực tác dụng lên khối tr−ợt ABC α : Góc của mặt phẳng l−ng t−ờng so với ph−ơng thẳng đứng. β : Góc mái dốc của đất sau l−ng t−ờng so với ph−ơng nằm ngang. δ : Góc ma sát ngoμi (giữa đất vμ mặt phẳng l−ng t−ờng) ϕ’ : Góc ma sát có hiệu của đất. ε : Góc của mặt tr−ợt BC so với ph−ơgn ngang. η : Góc của mặt phẳng l−ng t−ờng so với ph−ơng ngang (tại điểm B) 2. Giả thiết tính toán • Đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất.
4. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn • Khối đất sau l−ng t−ờng ở trạng thái cân bằng giới hạn (chủ động hoặc bị động) tr−ợt nh− một cố thể với 2 mặt tr−ợt lμ mặt phẳng vμ đi qua chân t−ờng. • Trị số áp lực đất tính toán lμ các trị số lớn nhất khi tính áp lực chủ động vμ lμ trị số nhỏ nhất khi tính áp lực bị động. Bμi toán về t−ờng chắn, nói chung lμ bμi toán phẳng, nên trong tính toán th−ờng tính cho 1m dμi. 3. Thiết lập công thức: (1) Xét lăng thể tr−ợt ABC: C Α β Κ ε−ϕ R α ) ϕ W − ε N2 + W Ψ ( h δ T2 - E 0 N1 Ψ 8 1 T1 R E ϕ Β Hình 6-14 : Sơ đồ các lực tác dụng lên lăng thể tr−ợt ABC Các lực tác dụng lên lăng thể tr−ợt ABC gồm: - Trọng l−ợng lăng thể tr−ợt W = (dientich.ABC).γ - Phản lực của khối đất còn lại lμ R lên lăng thể tr−ợt ABC. Phản lực nμy có thể phân ra thμnh 2 thμnh phần lμ N1 vμ T1 vμ có ph−ơng lμm với pháp tuyến mặt tr−ợt BC một góc lμ ϕ. - Phản lực của mặt phẳng l−ng t−ờng E lên lăng thể tr−ợt ABC. Phản lực nμy có thể phân ra thμnh 2 thμnh phần lμ N2 vμ T2 vμ có ph−ơng lμm với pháp tuyến mặt AB một góc lμ δ. Vì l−ng t−ờng cố định nên ph−ơng của E không đổi. Khi khối đất sau l−ng t−ờng ở trạng thái cân bằng giới hạn thì 3 lực trên (W, R, E) sẽ đồng qui tại một điểm (K) vμ tạo thμnh tam giác lực khép kín. Theo hệ thức l−ợng trong tam giác th−ờng, có thể rút ra:
5. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn E W (63-1) = sin()ε −ϕ' sin[]180 − ()Ψ + ε −ϕ' W.sin()ε −ϕ' W.sin()ε −ϕ' E = = (63-2) sin[]180 − ()Ψ + ε −ϕ' sin()Ψ + ε −ϕ' Trong đó: ψ = 90o - α - δ Từ biểi thức (63-1), khi mặt tr−ợt BC thay đổi tức góc ε thay đổi vμ do đó E cũng thay đổi theo, dễ dμng nhận thấy: - Khi ε = η thì W = 0 ặ E = 0. vμ cũng có khi ε = ϕ thì (ε - ϕ) = 0 ặ E = 0. - Vậy khi ε biến thiên trong khoảng ϕ ặ η thì có lúc nμo đó E sẽ đạt đến giá trị lớn nhất. Trị số đó ứng với áp lực đất chủ động, ký hiệu lμ (Ea), mặt tr−ợt t−ơng ứng với Ea lμ mặt tr−ợt nguy hiểm nhất (mặt tr−ợt tính toán) Để tìm áp lực đất chủ động có thể dùng ph−ơng pháp giải tích hay đồ giải sau đây: (2) Ph−ơng pháp giải tích: Ta thấy rằng, nếu biết đ−ợc các góc (giả sử cả góc ε) vμ chiều cao l−ng t−ờng thì bằng quan hệ hình học dễ dμng tính đ−ợc dientich.ABC theo h vμ các góc kể trên. Nh− vậy E sẽ lμ một hμm của góc (ε), tức lμ : E = f(ε). (63-3) Muốn tìm cực trị, theo giải tích, chỉ việc đạo hμm (63-3) theo (ε), ròi cho nó bằng 0: dE = f '()ε = 0 dε (63-4) Từ ph−ơng trình (63-4) sẽ tìm đ−ợc góc ε = εo để đạo hμm f’(ε)=0. Sau đó thay giá trị (εo ) vừa tìm đ−ợc trở lại ph−ơng trình (63-3) ta nhận đ−ợc biểu thức tính Ea nh− sau: 1 2 (63-5) Ea = .γ .K a .h 2 Trong đó: Ka : lμ hệ số áp lực đất chủ động, tính nh− sau: ắ Khi α ≠ 0 ; β ≠ 0 ; δ ≠ 0 : cos 2 (ϕ'−α ) K a = 2 2 ⎡ sin()()δ + ϕ' .sin ϕ'−β ⎤ cos α.cos()α + δ .⎢1+ ⎥ (63-6) ⎣ cos()()α + δ .cos β −α ⎦ ắ Khi α ≠ 0 ; β = δ = 0 :
6. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn ⎛ ϕ'−α ⎞ cos 2 ⎜450 + ⎟ cos 2 ()ϕ'−α 1 ⎝ 2 ⎠ K = = . a cosα.(cosα + sinϕ') 2 cosα ⎛ ϕ'+α ⎞ cos 2 ⎜450 − ⎟ ⎝ 2 ⎠ (63-6b) ắ Khi α = β = δ = 0 : 2 ⎛ o ϕ' ⎞ K a = tg ⎜45 − ⎟ ⎝ 2 ⎠ (63-6c) - Góc ma sát ngoμi δ trong công thức trên có thể xác định bằng thực nghiệm. Khi l−ng t−ờng bằng bê tông hoặc bằng gạch, có thể chọn δ theo bảng 63-1 (theo qui phạm tạm thời thiết kế t−ờng chắn đất QP- 23-65 sau đây: * Nếu gọi θ lμ góc giữa mặt tr−ợt BC vμ ph−ơng thẳng đứng (hình 6-15) thì giá trị của nó xác định nh− sau: - Theo hệ thức l−ợng trong tam giác Α C th−ờng: W = tg()θ + ϕ' (a) E E ϕ + 1 θ W = .γ .h 2 .tgθ (b) h 2 W R θ+ϕ) W 1 2 2 ⎛ 0 ϕ' ⎞ E E = .γ .h .tg ⎜45 − ⎟ (c) . 90-( 2 ⎝ 2 ⎠ θ R ϕ - Đ−a (b) vμ (c) vμo (a) ta có tgθ = tg()θ + ϕ' (d) Β 2 ⎛ 0 ϕ' ⎞ tg ⎜45 − ⎟ Hình 6-15 ⎝ 2 ⎠ ϕ' Giải vμ biến đổi (d) , cuối cùng ta đ−ợc: θ = 450 − 2 Tức lμ mặt tr−ợt tạo với ph−ơng thẳng đứng (ph−ơng của W) một góc = 45o - ϕ’/2. - Để tiện tính toán, ng−ời ta lập sẵn bảng tra Ka theo ϕ’; α ; β vμ δ. Bảng 63-1 : Bảng tra giá tri góc ma sát ngoμi δ. β -ϕ ữ 0 0 0 + ϕ Ghi chú η < 90 - ϕ 0 0 0 Góc β lấy dấu d−ơng khi mặt đất đắp nằm cao hơn 90 - ϕ ữ 90 - ϕ/2 0 ϕ/4 ϕ/2 mặt nằm ngang đi qua
7. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn 90 - ϕ/2 ữ 90 + ϕ/2 ϕ/4 ϕ/2 2ϕ/3 đỉnh t−ờng vμ lấy dấu âm nếu ng−ợc lại. 90 + ϕ/2 ữ 90 + ϕ ϕ/3 ϕ/3 3ϕ/4 > 90 + ϕ ϕ/2 ϕ/4 ϕ C−ờng độ áp lực đất theo chiều sâu: ⎛ 1 2 ⎞ d⎜ .γ .K a .z ⎟ (63-7) dEa ⎝ 2 ⎠ p = = = γ .K .z a dz dz a Do đó, tại z = h thì : pa(h) = γ .K a .h z pa(z)=γ.Κa.z h Ea = 1/2.pa(h).h =h/3 0 z pa(h)= γ.Ka.h Hình 6-16 : Biểu đồ phân bố áp lực đất chủ động theo chiều sâu (3) Ph−ơng pháp đồ giải: - Ph−ơng pháp nμy vẫn dựa trên những giả thiết cơ bản vμ nguyên lý tính toán giống nh− trong ph−ơng pháp giải tích. Nh−ng ở đây sử dụng cách vẽ để xác định trị số áp lực đất chủ động vμ ph−ơng mặt tr−ợt nguy hiểm nhất. - Trong thực tế có nhiều ph−ơng pháp đồ giải khác nhau. D−ới đây trình bμy hai ph−ơng pháp hay dùng. • Ph−ơng pháp đồ giải đơn giản:
8. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn Cn C0 C2 C1 1 Α β W1 2 Κ W2 α R 3 0 W3 W δ E W0 E n R ϕ Wn ε i X W Β Hình 6-17 : Ph−ơng pháp đồ giải đơn giản xác định áp lực đất • Ph−ơng pháp đồ giải của Culman (1) Xác định ph−ơng các lực: - Ph−ơng R : lấy ph−ơng mặt tr−ợt BC lμm ph−ơng R. - Trục W : từ B kẻ đ−ờng thẳng hợp với trục nằm ngang (X) một góc ϕ ; Để ý thấy rằng, khi BCi (chính lμ Ri) thay đổi, thì Ri luôn tạo với Wi một góc lμ (εi- ϕ) - Ph−ơng Ea : từ B kẻ đ−ờng thẳng hợp với trục W một góc ψ = 90 - α- δ. (2) Xây dựng đ−ờng cong Ea~ε: - Giả sử mặt tr−ợt đầu tiên lμ BC1 , do đó xác định đ−ợc góc mặt tr−ợt BC1 với ph−ơng ngang lμ ε1 ; Xác định đ−ợc trọng l−ợng lăng thể tr−ợt ABC1 lμ W1. Trên trục BW lấy theo tỷ lệ định tr−ớc một đoạn bằng giá trị W1. Từ điểm W1 trên trục BW kẻ đ−ờng song song với ph−ơng của Ea, cắt đ−ờng BC1 tại điểm (1). - Lμm lần l−ợt t−ơng tự nh− vậy. Tức lμ giả sử mặt tr−ợt lại thay đổi thμnh BC2, BC3, BCn ta cũng xác định đ−ợc các góc ε2 , ε3 , εn. . Vμ cũng xác định đ−ợc trọng l−ợng các lăng thể ABC2 , ABC3 , ABCn lμ W2, W3, Wn . Trên trục BW cũng lần l−ợt từ các điểm W2, W3, Wn kẻ đ−ờng song song với ph−ơng Ea, cắt các đ−ờng BC2, BC3 BCn tại các điểm (2), (3), (n). - Nối các điểm (1) , (2) , (3 ), (n) lại ta đ−ợc đ−ờng cong quan hệ Ea~ε (tức lμ đ−ờng cong biểu thị giá trị Ea thay đổi khi ph−ơng mặt tr−ợt BC thay đổi).
9. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn Cn C0 Ci C4 C3 C2 C1 Ri R0 R4 Α β Α β R3 Rn R2 R1 α α 0 4 n 3 En E0 2 E3 E4 W W 1 E2 ε E1 i Wn ϕ W4 W0 δ X W3 − W2 W1 α Β − Β 0 9 = Ψ Ea Ea Hình 6-18 : Biểu đồ Culman xác định áp lực chủ động (3) Xác định trị só áp lực chủ động vμ ph−ơng mặt tr−ợt nguy hiểm nhất (εo) - Kẻ đ−ờng thẳng song song với trục BW vμ tiếp xúc với đ−ờng cong Ea~ε tại điểm (0). - Từ điểm (0) kẻ đ−ờng song song với ph−ơng Ea vμ cắt trục BW tại điểm Wo, Giá trị độ lớn đoạn 0Wo theo tỷ lệ chính lμ trị số áp lực chủ động Eamax. - Nối điểm B vμ điểm (0) trên đ−ờng cong Ea~ε vμ kéo dμi cắt mặt đất tại C0. Góc giữa BC0 vμ ph−ơng ngang chính lμ góc của mặt tr−ợt nguy hiểm nhất (εo) . II. tr−ờng hợp đất sau l−ng t−ờng lμ đất dính đồng nhất 1. Điều kiện bμi toán Có một t−ờng chắn đất với chiều cao t−ờng lμ h, đất sau l−ng t−ờng lμ đất dính đồng nhất (xem hình vẽ). Các ký hiệu về góc vẫn nh− tr−ờng hợp (I):
10. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn C c Α β Er c Ea E Ψ Κ Ec α c H D W c F h δ W E R Ec H c R ϕ ε−ϕ 9 C 0-ε ) .B D C c c ) B 80-(Ψ+ε−ϕ .( Β 1 90-ϕ c F Hình 6-19 : Sơ đồ các lực tác dụng lên khối tr−ợt ABC trong tr−ờng hợp đất sau l−ng tr−ờng lμ đất dính 2. Các giả thiết cơ bản - Vẫn gồm những giả thiết nh− trong tr−ờng hợp đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất. - Lực dính chỉ xuất hiện trên mặt tr−ợt BC. 3. Thμnh lập công thức: • Xét các lực tác dụng lên khối tr−ợt ABC: - Vẫn bao gồm các lực W, R, E. - Ngoμi ra còn có lực dính trên mặt tr−ợt BC lμ c.(BC) có xu h−ớng cản trở lại sự tr−ợt vμ tạo với ph−ơng thẳng đứng một góc = 90 - ε. • ở trạng thái cân bằng giới hạn các lực trên tạo thμnh một đa giác lực khép kín (hình 6-19) Trong tr−ờng hợp nμy, trị số áp lực đất chủ động đ−ợc tính nh− sau: Ea = Er −E c (63-8) Trong đó: Er: giá trị áp lực đất khi coi đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất. Ec: phần giá trị áp lực đất bị giảm do lực dính trên mặt BC.
11. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn Để tính giá trị Ec , (xem tam giác DHF, xác định đ−ợc các góc nh− hình vẽ 6-19) Theo hệ thức l−ợng trong tam giác th−ờng (DHF), ta có: E c.(BC) c.(BC) c = = sin()90 −ϕ' sin[]180 − ()Ψ + ε −ϕ' sin()Ψ + ε −ϕ' c.(BC).sin()90 −ϕ' E = (63-9) c sin Ψ + ε −ϕ' () Vμ do đó, từ (63-2) vμ (63-9) thay vμo (63-8), ta có: W.sin(ε −ϕ') c.(BC).sin(90 −ϕ') E = E − E = − = f (ε ) (63-10) a r c sin()Ψ + ε −ϕ' sin()Ψ + ε −ϕ' Trong đó: c.(BC): giá trị lực dình trên mặt tr−ợt BC. Nh− vậy E cũng lμ một hμm của góc (ε), tức lμ : E = f(ε). Muốn tìm cực trị, theo giải tích, chỉ việc đạo hμm (63-10) theo (ε), rồi cho nó bằng 0: dE = f '()ε = 0 dε Từ đó sẽ tìm đ−ợc góc ε = εo để đạo hμm f’(ε)=0. Sau đó thay giá trị (εo ) vừa tìm đ−ợc trở lại ph−ơng trình (63-10) ta nhận đ−ợc biểu thức tính Ea nh− sau: 1 c 2 (63-11) E = .γ .K .h 2 − C .c.h + D. a 2 a 0 γ C−ờng độ áp lực đất theo chiều sâu (z): pa = γ .K a .z − C0 .c (63-12) Trong đó: Ka : lμ hệ số áp lực đất chủ động. ắ Tr−ờng hợp β = δ =0 ; α ≠ 0. cosϕ C 2 C = ; D = 0 (63-13a) 0 ⎛ α + ϕ' ⎞ 2.K cos 2 ⎜450 − ⎟ a ⎝ 2 ⎠ ắ Tr−ờng hợp β = δ =0 = α = 0. 2 ⎛ 0 ϕ' ⎞ C0 (63-13b) C0 = 2.tg⎜45 − ⎟ = 2. K a ; D = = 2 ⎝ 2 ⎠ 2.K a - Lúc nμy giá trị Ea đ−ợc tính nh− sau: 1 2c 2 E = .γ .K .h 2 − 2c. K .h + (63-14) a 2 a a γ
12. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn Chiều sâu vách nứt thẳng đứng (hc) mμ tại đó pa = 0: (63-15) C0 .c hc = γ .K a - Điểm đặt của Ea ở chiều sâu ngang với trọng tâm diện tích biểu đồ h − h p , cách chân t−ờng một đoạn: h = c (63-16) a 0 3 -Co.c c h z pa(z)=γ.Κa.z − C0.c h Ea = 1/2.pa(h).(h-hc) )/3 c =(h-h 0 z pa(h)= γ.Ka.h-C0.c Hình 6-20 : Biểu đồ phân bố áp lực đất theo chiều sâu trong tr−ờng hợp đất sau l−ng t−ờng lμ đất dính III. tr−ờng hợp sau l−ng t−ờng có tải trọng rải đều kín khắp (q) A. tr−ờng hợp đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất 1. Điều kiện bμi toán Có một t−ờng chắn đất với chiều cao t−ờng lμ h, đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất (xem hình vẽ). Trên mặt đất có một tải trọng rải đều kín khắp với c−ờng độ phân bố lμ (q). Các ký hiệu về góc vẫn nh− tr−ờng hợp (I). 2. Ph−ơng pháp giải tích
13. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn q C Ea Ew Α β E Eq Ν Κ W α W W+Q W h δ R R E w Q α Q β− R R ϕ η R ε q X Β Hình 6-21 : Sơ đồ các lực tác dụng lên khối tr−ợt ABC trong tr−ờng hợp đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời vμ có tải trọng rải đều kín khắp (q) - Từ hình vẽ (6-21), ta có thể nhận thấy trong tr−ờng hợp nμy áp lực chủ động đ−ợc tính nh− sau: Ea = Ew + EQ (63-17) - Từ tam giác lực đồng dạng trên hình (6-21), ta có: Ea W + Q ⎛ Q ⎞ = hay Ea = Ew .⎜1+ ⎟ (63-18) Ew W ⎝ W ⎠ Q • Tính tỷ số , ta có: W Q = q.(AC).cos β (63-19) 1 1 W = .γ .(AC).(BN) = .γ .(AC).hh 2 2 (63-20) Trong đó: BN = AB.cos(β-α) h cos(β −α ) AB = ặ BN = h = h. (63-21) cosα h cosα - Thay (63-21) vμo (63-20) ta đ−ợc: (63-22)
14. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn 1 1 cos(β − α ) W = .γ .(AC).(BN) = .γ .(AC).h. 2 2 cosα Q - Lấy tỷ số , ta có: W (63-23) Q q.(AC).cos β 2q.cosα.cos β = = W 1 cos()β −α γ .h.cos β −α .γ .(AC).h. () 2 cosα - Biến đổi l−ợng giác biểu thức (63-23), cuối cùng ta đ−ợc: (63-24) Q 2q == W γ .h.()1+ tgα.tgβ - Thay biểu thức (63-24) vừa tìm đ−ợc vμo biểu thức (63-18), ta đ−ợc: ⎡ 2q ⎤ Ea = Ew .⎢1+ ⎥ ⎣ γ .h.()1+ tgα.tgβ ⎦ (63-25a) 1 2 ⎡ 2q ⎤ Ea = .γ .K a h .⎢1+ ⎥ 2 ⎣ γ .h.()1+ tgα.tgβ ⎦ 1 q.K .h E = .γ .K h 2 + a (63-25b) a 2 a ()1+ tgα.tgβ - C−ờng độ phân bố theo chiều sâu: dE q (63-26) p = a = γ .K .z + .K a dz a ()1+ tgα.tgβ a • Tr−ờng hợp đặc biệt, khi α = β = δ = 0, ta có: (63-27) pa = γ .K a .z + q.K a 1 (63-28) E = .γ .K h 2 + q.K .h a 2 a a • Biểu đồ phân bố áp lực đất theo chiều sâu (z) nh− sau:
15. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn q pa0=q.Ka Α z pa(z)=γ.Κa.z +q.Κa h Ea Β pa(h)= γ.Ka.h+q.Ka Hình 6-22 : Biểu đồ phân bố c−ờng độ áp lực đất theo chiều sâu tr−ờng hợp đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất vμ có tải trọgn rải đều kín khắp (q) 2. Ph−ơng pháp l−ng t−ờng ảo (a) Nguyên lý ph−ơng pháp: Quy đổi tải trọng rải đều kín khắp trên mặt đất thμnh một lớp đất t−ơng đ−ơng , có cùng tính chất cơ lý với lớp đất sau l−ng t−ờng vμ có chiều cao lμ (h0= q/γ). Nh− vậy để đỡ lớp đất ảo nμy, t−ởng t−ợng rằng t−ờng phải kéo dμi thêm một đoạn lμ (h’). Xem hình vẽ (6-23). - áp lực đất chủ động sẽ đ−ợc tính theo công thức sau: 1 2 Ea = .γ .K a .(h + h') (63-29) 2 - C−ờng độ áp lực đất chủ động theo chiều sâu sẽ lμ: pa = γ .K a .(z + h') (63-30) Nh− vậy, muốn xác định đ−ợc áp lực đất thì chúng ta phải xác định đ−ợc chiều cao t−ờng kéo dμi (h’). (b) Tính chiều cao t−ờng kéo dμi (h’):
16. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn h0= q/γ q Ν D h' D Α β N β M α z α . h0= q/γ pa(z)=γ.Κa.z +q.Κa . h' . h' h Ea A X Β pa(h)= γ.Ka.h+q.Ka Hình 6-23 : Sơ đồ xác định áp lực đất theo ph−ơng pháp l−ng t−ờng ảo Xét tam giác AND (hình vẽ 6-23), ta có: q (63-31) h = = AD = AM + MD = h'+MD o γ Tính MD, xét tam giác NMD vμ tam giác ANM, ta có: MD = NM.tgβ NM AM.tg ' = α ặ MD = h .tgα.tgβ (63-32) = h ' .tgα Thay biểu thức (63-31) vμo biểu thức (63-32), ta đ−ợc: q h = = h'+h' .tgα.tgβ = h ' .()1+ tgα.tgβ o γ h q h ' = 0 = ()1+ tgα.tgβ γ .()1+ tgα.tgβ (63-33) - Thay giá trị h’ tính đ−ợc từ (63-33) vμo các công thức (63-29) vμ (63- 30), đ−ợc kết quả: 2 1 2 1 ⎡ q ⎤ Ea = .γ .K a .(h + h') = .γ .K a .⎢h + ⎥ 2 2 ⎣ γ .()1+ tgα.tgβ ⎦ (63-34) ⎡ q ⎤ q.K a pa = γ .K a .(z + h') = γ .K a .⎢z + ⎥ = γ .K a .z + ⎣ γ .()1+ tgα.tgβ ⎦ ()1+ tgα.tgβ (63-35) B. tr−ờng hợp đất sau l−ng t−ờng lμ đất dính đồng nhất
17. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn 1. Điều kiện bμi toán Có một t−ờng chắn đất với chiều cao t−ờng lμ h, đất sau l−ng t−ờng lμ đất dính đồng nhất (xem hình vẽ). Trên mặt đất có một tải trọng rải đều kín khắp với c−ờng độ phân bố lμ (q). Các ký hiệu về góc vẫn nh− tr−ờng hợp (I). 2. Ph−ơng pháp giải tích C c Q) Α β W+ E( c Ea E Ψ Κ Ec α c H D W c F h δ W+Q E R c R η ϕ ε−ϕ ε 9 C 0-ε .B c c Β Hình 6-24 : Sơ đồ xác định áp lực đất tr−ờng hợp đất sau l−ng t−ờng lμ đất dính đồng nhất có tải trọng rải đều kín khắp (q) - Theo đa giác lực trên hình (6-24), t−ơng tự nh− tr−ờng hợp trên, áp lực đất chủ động đ−ợc tính nh− sau: ⎛W + Q ⎞ (63-36) Ea = E(W +Q) − Ec = EW .⎜ ⎟ −E c ⎝ Q ⎠ Vμ theo cách lμm t−ơng tự, cuối cùng đ−ợc kết quả: 1 q.K .h E = .γ .K .h 2 + a − C .c.h a 2 a ()1+ tgα.tgβ 0 (63-37) Vμ c−ờng độ áp lực đất theo chiều sâu (z): 1 q.K p = .γ .K .z + a − C .c (63-38) a 2 a ()1+ tgα.tgβ 0 • Tr−ờng hợp đặc biệt, khi α = β = δ =0, các biểu thức trên sẽ thμnh:
18. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn 1 E = .γ .K .h 2 + q.K .h − C .c.h a 2 a a 0 (63-39) p = γ .K .z + q.K − C .c a a a 0 (63-40) - Chiều sâu (hc) mμ tại đó biểu đồ pa = 0 sẽ lμ: C0 .c − q.K a (63-41) hc = γ .K a Trong đó: 2 ⎛ 0 ϕ' ⎞ ⎛ 0 ϕ' ⎞ K a = tg .⎜45 − ⎟ vμ C0 = 2.tg.⎜45 − ⎟ = 2. K a ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ • Biểu đồ phân bố áp lực đất theo chiều sâu, nh− sau: q pa(0)=(q.Ka-C0.c)>0 pa(0)=(q.Ka-C0.c)<0 Α c z h pa(z)=γ.Κa.z +q.Κa-C0.c z E1 pa(z)=γ.Κa.z + q.Ka−C0.c h Ea = 1/2.pa(h).(h-hc) 1 2 t E )/3 c 2 t =(h-h 0 Β z pa(h)= γ.Ka.h+q.Ka-Co.c pa(h)= γ.Ka.h+q.Ka-Co.c E1=pa(0).h t1=1/2.h Ea=E1+E2 E1*t1+E2*t2 E2=1/2.(pa(h) -pa(0)).h t2=1/3.h ta= Ea Hình 6-25 : Biểu đồ áp lực đất tr−ờng hợp đất sau l−ng t−ờng lμ đất dính đồng nhất có tải trọng rải đều kín khắp (q) IV. tr−ờng hợp l−ng t−ờng gẫy khúc: 1. Điều kiện bμi toán Có một t−ờng chắn đất với chiều cao t−ờng lμ h, l−ng t−ờng gãy (với hai góc vát khác nhau – xem hình vẽ) đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất. Xét tr−ờng hợp đơn giản mặt đất sau l−ng t−ờng nằm ngang. (các thông số khác α=β=δ=0) 2. Vẽ biểu đồ phân bố áp lức ngang của đất
19. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn A α1 1 h Ka1 pa(1)= Ka1.(γ.h1) α1>0 và α2>0 B Ka1 > Ka2 pa'(1)=Ka2.(γ.h1) pa(1)=Ka(1).(γ.h1) > p'a(1)=Ka(2).(γ.h1) Ka2 2 2 α h C pa'(2)=Ka2.γ.(h1+h2) Hình 6-26 : Biểu đồ áp lực đất tr−ờng hợp l−ng t−ờng gãy khúc. Để vẽ biểu đồ phân bố áp lực đất phía sau l−ng t−ờng, chia t−ờng thμnh hai đoạn vμ lấy điểm gãy sau l−ng t−ờng lμm ranh giới giữa hai đoạn. vμ chiều cao mỗi đoạn lμ h1 vμ h2. Vì l−ng t−ờng tạo với ph−ơng thẳng đứng trên mỗi đoạn lμ khác nhau, do đó ở đoạn AB gọi hệ số áp lực chủ động la Ka1, còn đoạn BC lμ Ka2. (chú ý ở đây α1 > 0 vμ α2 α2) Từ công thức tính hệ số áp lực chủ động: cos 2 (ϕ'−α ) K = a cosα.(cosα + sinϕ') 2 Nhận xét thấy : nếu góc α giảm thì trị số Ka cũng giảm. Do α1 > α2 nên Ka1 > Ka2. Bây giờ chúng ta vẽ biểu đồ, vμ chú ý đến điều kiện Ka1 > Ka2 nh− vừa thấy ở trên. (1) Tính giá trị c−ờng độ áp lực ngang cho đoạn t−ờng AB: - Công thức c−ờng độ áp lực ngang của đất theo chiều sâu cho đoạn AB: (63-42) pa = γ.K a1.z với (z = 0 ặ h1) Trong đó: 2 cos (ϕ'−α1 ) K a1 = 2 cosα1.(cosα1 + sinϕ') - Tại z = 0 ặ pa0 = 0
20. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn - Tại z = h1 ặ pa(1) = γ.Ka1.h1 = Ka1.(h1.γ ) (2) Tính giá trị c−ờng độ áp lực ngang cho đoạn t−ờng BC: - Coi trọng l−ợng của đất trong đoạn AB lμ tải trọng rải đều tác dụng trên mặt đoạn BC với c−ờng độ lμ: q = γ.h1 - Công thức c−ờng độ áp lực ngang của đất theo chiều sâu cho đoạn BC: (63-43) p'a = γ.Ka2.z + q.Ka2 với (z = 0 ặ h2) Trong đó: 2 cos (ϕ'−α 2 ) K a2 = 2 cosα 2 .(cosα 2 + sinϕ') - Tại z = 0 ặ p'a(1) = q.Ka2 = Ka2 .(h1.γ ) - Tại z = h2 ặ p'a(2) = γ.Ka2 .h2 + q.Ka2 = p'a(1) +γ.Ka2 .h2 (3) Vẽ biểu đồ phân bố c−ờng độ áp lực ngang của đất: - Từ kết quả tính toán ở trên, ta thấy giá trị c−ờng độ áp lực ngang tại điểm B của hai đoạn t−ờng có giá trị khác nhau. + Pa(1) = Ka1.(γ.h1) : c−ờng độ áp lực ngang tại đáy đoạn AB. + P ’a(1) = Ka2.(γ.h1) : c−ờng độ áp lực ngang tại đỉnh đoạn BC. A Chú ý đến quan hệ Ka1 > Ka2 ; do đó Pa(1) > P ’a(1). Vậy biểu đồ phân bố áp lực đất sau l−ng t−ờng có 1 b−ớc nhμy vμo trong, vμ vị trí h pa(1) b−ớc nháy tại điểm B của l−ng t−ờng. B 1 2 pa'(1) 3. ý nghĩa của l−ng từng gãy khúc 2 h Từ biểu đồ phân bố áp lực đất theo chiều C 4 3 sâu nhận thấy do l−ng t−ờng gãy khúc p'a(2) mμ biểu đồ có b−ớc nhảy vμo vμ lμm cho pa(2)=Ka1.γ.(h1+h2) giá trị áp lực đất lên l−ng t−ờng sẽ giảm đi. Hình 6-27 : Biểu đồ áp lực đất tr−ờng hợp l−ng t−ờng gãy khúc.
21. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn - Nếu giả sử l−ng t−ờng không gãy khúc thì giá trị biểu đồ tại chân t−ờng (điểm C) sẽ có giá trị lμ : pa(2) = K a1.γ .(h1 + h2 ) vμ giá trị áp lực đất đ−ợc tính lμ diện tích phần biểu đồ (AC3) - Vì l−ng t−ờng không gãy khúc thì giá trị biểu đồ tại chân t−ờng (điểm C) sẽ có giá trị lμ : p'a(2) = K a2 .(γ .h1 ) + K a2 .(γ .h2 ) = p'a(1) +K a2 .(γ .h2 ) vμ giá trị áp lực đất đ−ợc tính lμ diện tích phần biểu đồ (AC412A) - Phần diện tích biểu đồ giảm do l−ng t−ờng gãy khúc sẽ lμ: DT giảm = dientich(AC3) – dientich (AC412A) = dientich(1234) [(p − p' )+ (p − p' )] dientich(1234) = a1 a1 a2 a2 .h 2 2 V. tr−ờng hợp sau l−ng t−ờng gồm nhiều lớp đất 1. Điều kiện bμi toán Có một t−ờng chắn đất với chiều cao t−ờng lμ h. đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất gồm 2 lớp đất có các chỉ tiêu lần l−ợt lμ γ1, ϕ1 vμ γ2, ϕ2 ; vμ chiều dầy lμ h1 vμ h2. Xét tr−ờng hợp đơn giản mặt đất sau l−ng t−ờng nằm ngang. (các thông số khác α=β=δ=0) Để vẽ biểu đồ trong tr−ờng hợp nμy, dùng công thức tính hệ số áp lực đất sau: 2 ⎛ 0 ϕ' ⎞ K a = tg .⎜45 − ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2. Tr−ờng hợp hai lớp đất có γ1 = γ2 =γ vμ ϕ1 ≠ ϕ2 Sử dụng lý thuyết l−ng t−ờng gãy khúc để vẽ , chúng ta đ−ợc các dạng biểu đồ sau: a) Khi (ϕ1 Ka2) : dạng biểu đồ giống nh− tr−ờng hợp l−ng t−ờng gãy khúc (hình 6-28a). b) Khi (ϕ1 > ϕ2) ặ (Ka1 < Ka2) : biểu đồ có b−ớc nhảy ra tại điểm B, thể hiện trên hình 6-28b.
22. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn 2) Truờng hợp γ1 = γ2 =γ và ϕ1 ≠ ϕ2 Ka1 ≠ Ka2 A A 1 1 h h pa(1) pa(1) B 1 2 B 1 2 pa'(1) pa'(1) 2 2 h h C 4 3 C 4 3 a(2) p' pa(2)=Ka1.γ.(h1+h2) pa(2)=Ka1.γ.(h1+h2) p'a(2) a) Truờng hợp Ka1 > Ka2 b) Truờng hợp Ka1 γ2 b) Truờng hợp γ1 < γ2 Hình 6-29 : Biểu đồ áp lực đất khi sau l−ng t−ờng gồm nhiều lớp Tr−ờng hợp γ1 ≠ γ2 vμ ϕ1 = ϕ2 = ϕ
23. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn a) Khi (γ1 > γ2) ặ (Ka1 = Ka2) : dạng biểu đồ không có b−ớc nhảy, vμ lμ một đ−ờng gãy khúc vμo phía trong (hình 6-29a). b) Khi (γ1 < γ2) ặ (Ka1 = Ka2) : dạng biểu đồ không có b−ớc nhảy, vμ lμ một đ−ờng gãy khúc ra phía ngoμi (hình 6-29b).
24. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn Bμi 4 lý thuyết C.A. coulomb về áp lực đất bị động I. tr−ờng hợp đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất 1. Điều kiện bμi toán Có một t−ờng chắn đất với chiều cao t−ờng lμ h, đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất (xem hình vẽ). Các ký hiệu sau đ−ợc qui định nh− sau: C Α β ε+ϕ R α ) ϕ W + ε E Κ + δ Ψ ( - h 0 W R Ψ 8 1 α E ϕ η ε Ψ=90−α+δ X Β Hình 6-30 : Sơ đồ các lực tác dụng lên khối tr−ợt ABC - α : Góc của mặt phẳng l−ng t−ờng so với ph−ơng thẳng đứng. - β : Góc mái dốc của đất sau l−ng t−ờng so với ph−ơng nằm ngang. - δ : Góc ma sát ngoμi (giữa đất vμ mặt phẳng l−ng t−ờng) - ϕ’ : Góc ma sát có hiệu của đất. - ε : Góc của mặt tr−ợt BC so với ph−ơgn ngang. - η : Góc của mặt phẳng l−ng t−ờng so với ph−ơng ngang (tại điểm B) 2. Giả thiết tính toán • Đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất. • Khối đất sau l−ng t−ờng ở trạng thái cân bằng giới hạn (chủ động hoặc bị động) tr−ợt nh− một cố thể với 2 mặt tr−ợt lμ mặt phẳng vμ đi qua chân t−ờng.
25. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn • Trị số áp lực đất tính toán lμ các trị số lớn nhất khi tính áp lực chủ động vμ lμ trị số nhỏ nhất khi tính áp lực bị động. Bμi toán về t−ờng chắn, nói chung lμ bμi toán phẳng, nên trong tính toán th−ờng tính cho 1m dμi. 3. Thiết lập công thức (1) Xét lăng thể tr−ợt ABC: Các lực tác dụng lên lăng thể tr−ợt ABC gồm: - Trọng l−ợng lăng thể tr−ợt W = (dientich.ABC).γ - Phản lực của khối đất còn lại lμ R lên lăng thể tr−ợt ABC. - Phản lực của mặt phẳng l−ng t−ờng E lên lăng thể tr−ợt ABC. Khi khối đất dau l−ng t−ờng ở trạng thái cân bằng giới hạn thì 3 lực trên (W, R, E) sẽ đồng qui tại một điểm (K) vμ tạo thμnh tam giác lực khép kín. Theo hệ thức l−ợng trong tam giác th−ờng, có thể rút ra: E W (64-1) = sin()ε + ϕ' sin[]180 − ()Ψ + ε + ϕ' W.sin()ε + ϕ' W.sin()ε + ϕ' E = = (64-2) sin[]180 − ()Ψ + ε + ϕ' sin()Ψ + ε + ϕ' Trong đó: ψ = 90o - α + δ Ta thấy rằng, nếu biết đ−ợc các góc (giả sử cả góc ε) vμ chiều cao l−ng t−ờng thì bằng quan hệ hình học dễ dμng tính đ−ợc dientich.ABC theo h vμ các góc kể trên. Nh− vậy E sẽ lμ một hμm của góc (ε), tức lμ : E = f(ε). (64-3) Muốn tìm cực trị, theo giải tích, chỉ việc đạo hμm (64-3) theo (ε), rồi cho nó bằng 0: dE = f '()ε = 0 dε (64-4) Từ ph−ơng trình (64-4) sẽ tìm đ−ợc góc ε = εo để đạo hμm f’(ε)=0. Sau đó thay giá trị (εo ) vừa tìm đ−ợc trở lại ph−ơng trình (64-3) ta nhận đ−ợc biểu thức tính Ep nh− sau: 1 2 (64-5) E = .γ .K .h p 2 p Trong đó: Kp : lμ hệ số áp lực đất chủ động, tính nh− sau:
26. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn ắ Khi α ≠ 0 ; β ≠ 0 ; δ ≠ 0 : cos 2 (ϕ'+α ) K = p 2 (64-6a) 2 ⎡ sin()()ϕ'+δ .sin ϕ'+β ⎤ cos α.cos()α − δ .⎢1− ⎥ ⎣ cos()()α − δ .cos α − β ⎦ ắ Khi α = β = δ = 0 : 2 ⎛ o ϕ' ⎞ K p = tg ⎜45 + ⎟ (64-6b) ⎝ 2 ⎠ C−ờng độ áp lực đất theo chiều sâu: z pp(z)=γ.Κp.z h Ep = 1/2.pp(h).h =h/3 0 z pp(h)= γ.Kp.h Hình 6-31 : Biểu đồ phân bố áp lực đất bị động theo chiều sâu ⎛ 1 2 ⎞ d⎜ .γ .K p .z ⎟ (64-7) dE p ⎝ 2 ⎠ p = = = γ .K .z p dz dz p Do đó, tại z = h thì : p p(h) = γ .K p .h II. tính áp lực đấi bị động từ công thức áp lực đất chủ động Để tính áp lực đất bị động từ công thức của áp lực đất chủ động bằng cách trong công thức áp lực đất chủ động chỗ nμo có dấu (-) sẽ đ−ợc thay bằng dấu (+).
27. cơ học đất Ch−ơng 6 : áp lực đất lên t−ờng chắn Một cách tổng quát chúng ta có các công thức tính c−ờng độ áp lực đất theo chiều sâu (z) của áp lực đất bị động (tr−ờng hợp khi các góc α = β = δ = 0) nh− sau, còn giá trị áp lực bị động sẽ bằng diện tích của biểu đồ: • Khi đất sau l−ng t−ờng lμ đất rời đồng nhất có tải trọng rải đều kín khắp (q) : (64-8a) p p = γ .K p .z + q.K p • Khi đất sau l−ng t−ờng lμ đất dính đồng nhất : (64-8b) p p = γ .K p .z + C0 .c • Khi đất sau l−ng t−ờng lμ đất dính đồng nhất có tải trọng rải đều kín khắp (q) : p = γ .K .z + q.K − C .c p p p 0 (64-8c) Trong đó: 2 ⎛ 0 ϕ' ⎞ K p = tg ⎜45 + ⎟ (64-9) ⎝ 2 ⎠ ⎛ 0 ϕ' ⎞ (64-10) C0 = 2.tg⎜45 + ⎟ = 2. K p ⎝ 2 ⎠