›
›

Bài giảng Chuỗi lũy thừa

ppt 65 trang ngocly 2650
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Chuỗi lũy thừa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_chuoi_luy_thua.ppt

Nội dung text: Bài giảng Chuỗi lũy thừa

  1. CHUỖI LŨY THỪA
  2. ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng: n  an (), x− x0 aRn là giá trị cho trước n=1 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp: n D=  x R:() an x − x0 hoäi tuï n=1 n Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành  aXn , n=1 nên không mất tính tổng quát ta chỉ xét chuỗi này.
  3. Định lý Abel n Neáu  axn hoäi tuï taïi x0 0 thì hoäi tuï n=1 tuyeät ñoái trong (− xx00, ) Hệ quả: n Neáu  axn phaân kyø taïi x0 thì phaân kyø n=1 taïi moïi x − x0 , x0 
  4. Chứng minh định lý n n Neáu  an x hoäi tuï taïi x00 =0 thì limaxn 0 n=1 n→ n M 0: an x0 M ,  n nn nn xx ann x= a x0 M xx00 x x ( − x00, x ) : 1 x0 n x n  hoäi tuïaxn hoäi tuï nn==00x0
  5. Bán kính hội tụ n Soá R >0 sao cho  an x hoäi tuï trong (− R, R) n=1 vaø phaân kyø beân ngoaøi −RR,  goïi laø baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi. (−RR, ) goïi laø khoaûng hoäi tuï cuûa chuoãi. Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của chuỗi chỉ cần xét thêm tại R
  6. Trường hợp chuỗi tổng quát n  an () x− x0 n=1 n Soá R >0 sao cho  an () x− x0 hoäi tuï trong n=1 ( x0− R,, x 0 + R)vaø phaân kyø beân ngoaøi  x 0 − R x 0 + R goïi laø baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi. Khoảng hội tụ: (,)x00−+ R x R
  7. Cách tìm bán kính hội tụ n an+1 Tính: = lim an hoặc = lim n→ n→ an 0, = + 1 R = , 0 + (BKHT) + , = 0 Rx= 0: MHT = 0( hoaëc 0 cho chuoãi TQ) R = :, MHT = ( − + )
  8. Lưu ý 1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau: 1 a RR==lim hay limn nx→ n → an an+1 2. Trường hợp R = 0 hay R = , không được gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng. 3. Ta có thể tìm bán kính hội tụ để suy ra khoảng ht. Sau đó xét thêm 2 đầu khoảng này để chỉ ra MHT.
  9. Ví dụ n n (− 1) n (− 1) 1/ Tìm mieàn hoäi tuï  x an = n=1 n n 1 Rn=lim = limn = 1 Khoảng ht: (− 1,1) nn→ n → an (−1) n x =1:, chuoãi trôû thaønh  ht theo tc L. n=1 n 1 x =−1: chuoãi trôû thaønh  , phaân kyø n=1n Vaäy mieàn hoäi tuï laø: D =−( 1,1
  10. (n !)2 2/ Tìm baùn kính hoäi tuï:  xn n=1(2n )! (n !)2 an = (2n )! (n !)2 an (2n )! R = lim = lim n→ an+1 n→ (n + 1)!2 (2n + 2)! (2nn++ 1)(2 2) ==lim 4 n→ (n + 1)2
  11. (x − 1)n 1 an = 3/ Tìm mieàn hoäi tuï  2 n 2 n n=1 n 2 n 2 1 Rn=lim = limn 2 2n = 2 nn→ n → an Khoảng ht: (1−+ 2,1 2) =−( 1,3) (−− 2)nn ( 1) x =−1: 22n = , ht theo tc L. nn==11nn2 21n x = 3: 22n = ht . D =− 1,3 nn==11n 2 n
  12. (3x + )n 4 / Tìm mieàn hoäi tuï  n n=1 5 n n (xx++ 3) 3 n = : chuoãi caáp soá nhaân nn==105 5 x + 3 Điều kiện hội tụ: 1 − 8 x 2 5 Vaäy mieàn hoäi tuï laø: D =−( 8,2)
  13. Tính chất của chuỗi lũy thừa n Cho chuoãi luõy thöøacoù  baùnaxn kính n=1 hoäi tugoïï RS ,( x ) i laø toång ci huoã . 1/Sx ( ) lieân tuïc treân mieàn hoäi tu ï. n−1 2 /S ( x ) =  nanx , x ( −RR, ) n=1 x a 3 / S ( t ) dt=  n xn+1 ,  ( −R, R) 0 n=1 n +1
  14. Chú ý 1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định 2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân) của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tích phân) tương ứng. 3.Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi tích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu. n n−1 S()() x= an x S x = nan x nn==01
  15. Ví dụ áp dụng: tính tổng chuỗi Nhắc lại: 1 x xxnn==, nn==0111−−xx Điều kiện: |x| < 1
  16. xn 1/Sx()=  MHT: D =− 1,1) n=1 n 1 S () x=  xn−1 =  xn =, x ( − 1,1) n=1 n=0 1− x x dt =Sx()− S(0) = −ln(1 −xx ),  ( − 1,1) 0 1− t Do S(0) = 0 S( x ) = − ln(1 − x ), x 1 S(− 1) = lim S ( x ) = − ln 2 x→−1+
  17. 2 / S( x )=+ ( n 1) xn MHT: D =−( 1,1) n=1 x S( t ) dt= xn+1 , x ( − 1,1) 0  n=1 =x xn, x ( − 1,1) n=1 x2 =,x ( − 1,1) 1− x x2 2xx− 2 =S(x) =,x ( − 1,1) 1− x (1− x )2
  18. 3/S( x) =  nxn MHT: D =−( 1,1) n=1 S() x= x nxn−1 n=1 n x = x x =xx , ( − 1,1)  1− x n=1 x =,x ( − 1,1) (1− x )2
  19. CHUỖI TAYLOR Nhận xét: vì chuỗi đạo hàm của chuỗi lũy thừa có cùng khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên tổng chuỗi lũy thừa là hàm khả vi vô hạn trong khoảng htụ. 2 n fxaaxx()()()()=0 + 1 − 0 + axx 2 − 0 + + axxn − 0 + 2 f ( x )= a1 + 2. a 2 ( x − x 0 ) + 3. a 3 ( x − x 0 ) + ()n f( x )= n ! ann + ( n + 1)! a+10 ( x − x ) +
  20. f( x0 )= a 0 , f ( x 0 ) = a 1 , f ( x 0 ) = 2! a 2 , , ()n f( x0 )= n ! an , a0== f( x 0 ), a 1 f ( x 0 ) fx () a = 0 2 2! fx()n () a = 0 , n n!
  21. CHUỖI TAYLOR Cho hàm f khả vi vô hạn trong lân cận x0 khi đó, chuỗi Taylor của f trong lân cận này là ()n fx()0 n  ()xx− 0 n=0 n! Chuỗi Taylor trong lân cận x0 = 0 gọi là chuỗi Maclaurin.
  22. Định lý Nếu f khả vi vô hạn trong lân cận x0 và tồn tại C > 0, R > 0 sao cho ()nn f(),, x C  x ( x00 − R x + R) Khi đó ()n fx()0 n f( x )= ( x − x0 ) ,  x ( x 0 − R , x 0 + R) n=0 n!
  23. Định lý Nếu f khả vi vô hạn trong lân cận x0 và tồn tại C > 0, R > 0 sao cho ()n f(),, x C  x (x00 − R x + R) Khi đó ()n fx()0 n f( x )= ( x − x0 ) ,  x ( x 0 − R , x 0 + R) n=0 n!
  24. Yêu cầu của 1 bài khai triển chuỗi 1.Vận dụng được chuỗi Maclaurin cơ bản . n 2.Viết được dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0) với hàm f cho trước. 3.Chỉ ra miền hội tụ của chuỗi tìm được, đó chính là miền mà hàm f được khai triển thành chuỗi Taylor.
  25. Chuỗi Maclaurin cơ bản xn 1/ex =  , MKT: DR= n=0 n! 1 n 1 2 /= x , =−( 1)nnx , D =−( 1,1) 1− x   n=0 1+ x n=0 ( − 1) ( −n + 1) 3 /( 1+xx) = 1 +  n n=1 n! RN, − 1,1 , 0 D = (−1,1 , − 1 0 (−1,1) , − 1
  26. xn 4 / ln(1+=x ) (−1,)n−1 D = (−1,1 n=1 n xn ln(1−x ) = − , D =− 1,1) n=1 n 21n+ n x 5 / sinx =−( 1) n=0 (2n + 1) ! 2n DR= n x cosx =−( 1) n=0 (2!n) 21n+ n x 6 / arctanx = (− 1) , D =− 1,1 n=0 21n +
  27. Ví dụ 1/ Tìm chuoãi Taylor trong laân caän x = 2 f( x )=+ ln( x 2) Đặt: Xx=−2 X f() x= ln4( + X ) = ln4ln1 + + 4 n−1 n (− 1) X X =+ln 4 , MKT : −( 1,1 n=1 n 4 4
  28. n−1 n (− 1) X X fx( )=+ ln 4 , MKT : −( 1,1 n=1 n 4 4 n−1 (− 1) n =ln 4 + n (x − 2) , n=1 n.4 x − 2 với −( 1,1 hay x −( 2,6 4
  29. x2 − 2 2 / Tìm chuoãi Maclaurin : fx ( ) = xx2 −+43 45x − fx( )=+ 1 xx2 −+43 45x − =+1 (xx−−13)( ) 1 1 7 1 =1 + + 2xx−− 1 2 3 1 1 7 1 =1 − − x 21− x 61− 3
  30. 1 1 7 1 fx( ) =1 − − x 21− x 61− 3 n 1 n 7 x =1 −  x −  2 n=0 63n=0 x Điều kiện: x 1 1 3 17 n 3 1 7 n f( x) =1 − + x = − − + x  2 n  n n=0 6.3 22n=1 6.3 Điều kiện: x 1
  31. 2 / Tìm chuoãi Maclaurin : f ( x )= ln(1 + x − 2 x2 ) 1 f( x )= ln − 2( x − 1) x + = ln(1 − x )(1 + 2 x ) 2 =ln(1 −xx ) + ln(1 + 2 ) ()−x n (2x )n =− ( 1)n−1 +− ( 1)n−1 n=1 n n=1 n Điều kiện: −11 −x và −1 2x 1 −11 −x 22
  32. (−xx )nn (2 ) fx( )= ( − 1)nn−−11 + ( − 1) nn==11nn −1 − ( − 2)n =  xn n=1 n −11 Với: −x 22
  33. 3/ Tìm chuoãi Maclaurin : f ( x )=+ e−x (1 x ) ()−x n f( x )=+ (1 x )  n=0 n! ()()−−xxnn =+x nn==00nn!! (−− 1)nn ( 1) =+xxnn+1 nn==00nn!! (−− 1)nn ( 1) −1 =+xxnn nn==01nn! (− 1)!
  34. (−− 1)nn ( 1) −1 (1+x ) e−x = x n + x n nn==01nn! (− 1)! (−− 1)nn ( 1) −1 =1 +xxnn + nn==11nn! (− 1)! nn−1 (−− 1) ( 1) n =1 + + x n=1 nn! (− 1)! (− 1)n =11 + ( − nx) n D = R n=1 n!
  35. Các ví dụ về tính tổng (n + 1).2n 1/ S =  n=1 n! 22nn 2n sn=+. = +e2 −1 nn==11nn!!n=1(n − 1)! 2n−1 =21 +e2 − n=1(n − 1)! n 2 2 =21 +e − =21ee22 + − =−3e2 1 n=0 n!
  36. 1 2/S =  n n=12 .nn .(+ 1) 11 S =− nn n=1 nn.2 (+ 1).2 xn S( x )= = − ln(1 − x ), x  − 1,1) n=1 n (1/ 2)nn( 1/ 2) +1 S =−2 nn==11nn+1
  37. (1/ 2)nn( 1/ 2) +1 S =−2 nn==11nn+1 (1/ 2)nn( 1/ 2) =−2 nn==12nn 1 1 1 = −ln 1 − − 2 − ln 1 − − = −ln 2 + 1 2 2 2 xn S( x )= = − ln(1 − x ), x  − 1,1) n=1 n
  38. Các ví dụ về tính tổng 2n n+1 + (1− ) n (1/ 3) 3 / S =  = −( −1) 3n (2n + 1)  n=0 n=0 21n + 21n+ + n (1/ 3) = −31 ( − ) n=0 21n + 13− = −3arctan = 3 6
  39. n−1 11 4 / S = ( − 1) 1 − n n=1 n 3 n 1 n nn−−11 1 3 S =( − 1) − ( − 1) nn==11 3 n −1/ 3 1 S = − −ln 1 + 1−−( 1/ 3) 3
  40. (3− )n 5 / S =  n+1 n=1nn(+ 2).5 n 1n 1 1 3 S = ( − 1) − 10n=1 nn+ 2 5 nn+2 33 2 15nn−+11 55 = −( − 1) + ( − 1) 10 nn==11nn 3+ 2
  41. nn+2 33 2 15nn−+11 55 = −( − 1) + ( − 1) 10 nn==11nn 3+ 2 n 3 1 3 25 n−1 5 = −ln 1 + + ( − 1) 10 5 9 n=3 n
  42. n 3 1 3 25 n−1 5 = −ln 1 + + ( − 1) 10 5 9 n=3 n 1 3 25 3 3 1 9 = −ln 1 + + ln 1 + − + . 10 5 9 5 5 2 25 16 8 7 =−ln 90 5 60
  43. Bài tập 1. Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi sau: n 2 n 21n +−( ) (n −1) n+1 ax) n bx)2  ( − )  3 2 2n !! n=2 nn− n=0 ( ) 2n n−1 1 x cx) − 1 1 − n d ( ) )  n n=1 n n=1 3.n 2 2nn−+ 3 1 2 n −1 n n fx) n ex)1 n+1 ( + )   n=2 n + 2 n=2 8+ 3lnn
  44. Hướng dẫn n 21n n2 +−( ) ax) n  3 2 n=2 nn− 1 n nn2/3− 1/2 R ==lim lim nn→ n → n ||an 11 n 2 n 21n +−2 n 2 n 2/3− 1/6 1/n nn(1− ) 1 ==lim n→ n 1/n 2 n 2 11 21n +−2 n 2
  45. (n −1) n+1 b)  (x − 2) n=0 (2n)!! an−1 (2n + 2) !! R ==limn lim . nn→ → an+1 (2 n) !! n n −1 =lim .( 2n + 2) = + n→ n
  46. n−1 2 n cx) ( − 1) 1 − n=1 n a n−+21 n R =limn = lim . = 1 nn→ → an+1 n n −1 x 2n d = ax2n )  n  n n=1 3.n n=1 1 R = lim = lim3n n = 3 n→ n n→ an
  47. 2 n n e x )  n+1 ( +1) n=2 8+ 3lnn 1n 8n+1 + 3ln n R ==lim lim nn→ n → n 2 an n 1/n ln n 8 8+ 3 n 8 8.80 = lim ==8 n→ n n2 1
  48. 2 2nn−+ 3 1 n −1 n f )  x n=2 n + 2 2nn2 −+ 3 1 1 n + 2 n R = lim = lim n→ n n→ n an −1 2nn2 −+ 3 1 3 n =+lim 1 n→ n −1 3 2nn2 −+ 3 1 . n−1 nn−1 3 3 =+lim 1 = e6 n→ n −1
  49. 2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: n n n (−1) x n + 3 n a) bx)1 −  n  ( ) n=1 (2n + 5) .3 n=1 21n + nn 2 n 23 cx) 2n + 5 dx) + n+1  ( )  n 2 n=0 n=1 3 n n (x −8) e)  2n n=1 (n!)
  50. Hướng dẫn n (−1) x n a) R = 3  n n=0 (23n + 5.) Khoảng hội tụ: (−3,3) nn (−−13) ( ) 1 x =−3 = n nn==11(2nn++ 5) .3( 2 5) 1 Chuỗi phân kỳ vì cùng bản chất với  1/2 n=1 n
  51. n (−1) x n  n n=0 (2n + 5) .3 nn (−−1) 3n ( 1) x = 3 = n nn==11(2nn++ 5) .3( 2 5) 1 Chuỗi đan dấu với an =0 (25n + ) Chuỗi ht theo tc Leibnitz. MHT: D =−( 3,3
  52. n n + 3 n b)  (x −1) R = 2 n=1 21n + Khoảng hội tụ: (1− 2,1 + 2) =( − 1,3) x =−1 nn nn++3 nn 2 6  (−21) =  ( −) = an n=1 2nn++ 1 n = 1 2 1 n = 1
  53. nn nn++3 nn 2 6  (−21) =  ( −) = an n=1 2nn++ 1 n = 1 2 1 n = 1 nn 2n + 6 5 =+ 1 2nn++ 1 2 1 5 .n 21n+ 21n+ 5 5 n→ 5/2 =+ 1 ⎯⎯⎯→ e 21n + →an 0 Chuỗi pk theo đk cần
  54. n n + 3 n  (x −1) n=1 21n + x = 3 nn nn++3 n 2 6  2 ==  an n=1 2nn++ 1 n = 1 2 1 n = 1 →an 0 Chuỗi pk theo đk cần MHT: D =−( 1,3)
  55. 2 n cx)  2n ( + 5) R = 0 n=0 Chuỗi chỉ hội tụ tại: x =−5
  56. nn nn2 2 3 n+1 2 .n + 9 d) + x = xn+1  3n n2  n 2 n=1 n=1 3.n 1 R = 3 n 1 2nn .n2 + 9 1 x =− −  n 2 3 n=1 3 .n 3 n n 2 (−1) = − + 2  n n=1 9 HT HT HT
  57. 1 2nn .n2 + 9 1 n x =  n 2 3 n=1 3 .n 3 n 21 =+ 2 n=1 9 n HT HT HT 11 MHT: D =− , 33
  58. n (x −8) e)  2n R = + n=1 (n!) MHT: D =( − , + )
  59. 3. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau: 2x a) f( x) = sin2 x b) f( x) = (1− x)2 c) f( x) =( 2 − x) ln( 1 − 2 x) 2x d) f( x) = 3+ x
  60. Hướng dẫn a) f (xx) = sin2 1 =−(1 cos2x) 2 2n 1 n (2x) = 11 −( − )  n 2 n=0 ( 2) !
  61. 2x b) f (x) = (1− x)2 (−2)( − 3) 23( − 2)( − 3)( − 4) =2x 1 − 2( − x) +( − x) +( − x) + 2! 3! =2x( 1 + 2 x + 3 x23 + 4 x + +( n + 1) x n + ) ĐKKT: −x ( −1,1)
  62. c) f( x) =(2 − x) ln( 1 − 2x) n n−1 (−2x) =(21 −x)( − ) −1 − 2x 1 n=1 n 1 = ( −22n++11xx n + n n ) n=1 n −2n+1 2nn−1 x =  xn +  n=1 n n=2 n −1
  63. 4. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau: 1 a) f( x) = , x = 3 x −1 0 b) f( x) = sin x , x = 2 c) f( x) = arctan x − , x = 44
  64. 4. Tính tổng của các chuỗi lũy thừa sau: xn 1)  ,x ( − 1,1) n=1 n( n++12)( n ) 1xn 1 x n++12 1 1 x n = − + 2 n=1 2n x n++ 1 x 2 n 2 n−1 nx( + 3) 2)  n=1 (n + 1)! 11 XXnn =−2 Xnn==12 n!! X n
  65. 4. Tính tổng của các chuỗi số sau: 1 43− n 1)  n 2)  n n=1 (−+3) (n 1)! n=1 (−7) n 1 −1 3) ( )  n 4)  n n=1 (−+3) (2n 1)! n=1 6!n 1 5)  n=1 n( n++12)( n )