Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Bài 7 - Nguyễn Quang Nam

Nội dung text: Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Bài 7 - Nguyễn Quang Nam

1. 408001 Bi ến đổi n ăng l ượng điện c ơ Gi ảng viên: TS. Nguy ễn Quang Nam 2013 – 2014, HK2 Bài gi ảng 7 1 Ổn định các h ệ th ống điện c ơ – Gi ới thi ệu
   Các mô hình động h ọc c ủa h ệ th ống điện được mô t ả bởi các ph ươ ng trình vi phân. Tính ổn định c ủa h ệ th ống phi tuy ến trong v ận hành được đặc bi ệt quan tâm. M ột s ố công cụ phân tích tính ổn định s ẽ được gi ới thi ệu.
   Nghi ệm trong mi ền th ời gian c ủa bài toán động h ọc h ệ th ống có được b ằng vi ệc tính tích phân s ố và các điểm cân bằng được xác định b ằng đồ th ị. V ới các h ệ th ống b ậc cao hơn, các k ỹ thu ật s ố được s ử dụng để tính các điểm cân bằng. Bài gi ảng 7 2
2. Ổn định các h ệ th ống điện c ơ – Gi ới thi ệu (tt)
   Sẽ có ích n ếu bi ết điểm cân b ằng t ĩnh là ổn định hay không. V ới các nhi ễu m ạnh c ủa tr ạng thái x hay ngõ vào u, luôn c ần các mô ph ỏng trong mi ền th ời gian.
   Với các thay đổi nh ỏ quanh điểm cân b ằng, m ột phân tích tuy ến tính hóa là đủ để xác định điểm cân b ằng là ổn định hay không.
   Đôi khi , các hàm n ăng l ượng có th ể được dùng để đ ánh giá tính ổn định c ủa h ệ th ống đối v ới nhi ễu m ạnh mà không cần các mô ph ỏng trong mi ền th ời gian. Bài gi ảng 7 3 Tuy ến tính hóa
   Điểm cân b ằng s ẽ bi ểu di ễn tr ạng thái v ận hành xác l ập của h ệ th ống, ch ẳng h ạn m ột l ưới điện. H ệ vật lý có th ể có thay đổi nh ỏ (ví dụ thay đổi t ải), v ốn có th ể dẫn đến dao động hay th ậm chí sụp đổ hệ th ống, ho ặc g ặp các nhi ễu m ạnh (ví dụ, s ự cố hay sét đánh).
   Với tr ường h ợp vô h ướng, mô hình h ệ th ống là x& = f (x,u) Bài gi ảng 7 4
3. Tuy ến tính hóa (tt)
   Để tuy ến tính hóa, khai tri ển f(x, u) thành 1 chu ỗi Taylor quanh điểm cân b ằng xe và ngõ vào u ˆ không đổi, và ch ỉ gi ữ lại các s ố hạng b ậc nh ất ∂f ∂f ∂f ∂f f ()x,u = f ()x e ,uˆ + ()x − x e + ()u − uˆ = f ()x e ,uˆ + ∆x + ∆u ∂ ∂ ∂ ∂ x 0 u 0 x 0 u 0 Hay ∂f ∂f ∆x& = f ()x,u − f ()x e ,uˆ = ∆x + ∆u ∂ ∂ x 0 u 0 Bài gi ảng 7 5 Tuy ến tính hóa h ệ bậc hai = ( ) x&1 f1 x1 , x2 ,u = ( ) x&2 f 2 x1 , x2 ,u ∆ = − e ∆ = − e ∆ = −
   Gọix1 x1 x1 ,x2 x2 x2 , vàu u uˆ . Tuy ến tính hóa h ệ quanh điểm cân b ằng d ẫn đến  ∂f ∂f  ∂f   1 1   1  ∆x&  ∂x ∂x ∆x  ∂u 1  1 0 2 0  1  0    =   + ∆u ∆x&  ∂f ∂f ∆x  ∂f  2  2 2  2  2  ∂ ∂ ∂  x1 0 x2 0   u 0  A Bài gi ảng 7 6
4. Tuy ến tính hóa h ệ bậc hai
   Để xét tính ổn định c ủa h ệ, c ần tìm tr ị riêng c ủa ma tr ận A.
   Tr ị riêng c ủa ma tr ận A có được b ằng cách gi ải ph ươ ng trình det(A – λI) = 0 .
   Hệ th ống là ổn định n ếu t ất c ả các tr ị riêng n ằm ở nửa trái của m ặt ph ẳng ph ức (ngh ĩa là, ph ần th ực < 0). Bài gi ảng 7 7 Ổn định c ủa h ệ bậc hai
   Xét mô hình m ột h ệ bậc hai d 2 x dx M + B = f ()x,u dt 2 dt có dạng tuy ến tính hóa d 2 ∆x B d 1 ∂f (x) + ∆x = ∆x = −ω 2 ∆x 2 ∂ 0 dt M dt M x 0 ∆ = ∆ ∆ = ∆
   Định ngh ĩax x1 vàx& x2 , d ạng không gian tr ạng thái tr ở thành ∆x&   0 1 ∆x  1 = 1 ∆  − ω 2 − ∆   x&2   0 B M  x2  Bài gi ảng 7 8
5. Ổn định c ủa h ệ bậc hai (tt)
   Phương tr ình đặc tính (để tìm tr ị riêng) có được − λ 1 B = 0 λ2 + λ + ω 2 = 0 −ω 2 − − λ 0 0 B M M
   Nghi ệm t ổng quát c ủa ph ươ ng trình đặc tính B B 2 λ ,λ = − ± − ω 2 1 2 2M 4M 2 0 ω 2 >
   Trường h ợp I ( B > 0, M > 0, 0 0) 2 2 2 B > ω 2 B = ω 2 B 0, M > 0, 0 0): h ệ không ổn định
   Trường h ợp đặc bi ệt ( B = 0, M > 0 ): h ệ là không ổn định ω 2 > ω 2 < nếu 0 0 , hay ở biên ổn định nếu 0 0 . Bài gi ảng 7 10
6. Ví dụ 5.1  Cho m ạch t ừ gi ống nh ư bài t ập 4.15, v ới đồng n ăng l ượng 1 L W ′ = 0 I 2 , x > 0 m 2 ()1+ x 0 a d 2 x và phương tr ình chuy ển động M = Mg + f e dt 2 e Hãy tìm các điểm cân b ằng x > 0, giá tr ị tối thi ểu c ủa I 0 để tồn tại điểm cân b ằng, và xác định tính ổn định c ủa điểm cân b ằng.
   Lực điện t ừ fe ∂W ′ 1 L I 2 1 f e = m = − 0 0 ∂ ()+ x 2 x 2 1 a a
   Để tìm điểm cân b ằng, đặt các đạo hàm b ằng 0, d ẫn đến Bài gi ảng 7 11 Ví dụ 5.1 (tt) 1 L I 2 1 Mg = 0 0 ()+ x 2 2 1 a a
   Gi ải theo x  2  e = − ± L0 I0  x a 1   2Mga   2  e = − + L0 I0 
   Ch ọn x > 0 nh ư yêu c ầu x a 1   2Mga  e
   Để tồn t ại x > 0, I 0 cần th ỏa điều ki ện > 2Mga I0 L0 Bài gi ảng 7 12
7. Ví dụ 5.1 (tt)
   Để xét tính ổn định t ại x e, tuy ến tính hóa pt chuy ển động 2∆ ∂ e 2 d x = f ∆ = L0 I0 1 ∆ M 2 x 3 2 x ∂ xe dt x e ()+ a x= x 1 a ω 2 0, và 0 0 . Do đó, h ệ th ống n ằm trên biên ổn định t ại x = x e. Bài gi ảng 7 13 Ph ươ ng pháp hàm n ăng l ượng cho h ệ phi tuy ến
   Với nhi ễu m ạnh, vi ệc phân tích ổn định c ủa h ệ phi tuy ến có th ể cần đến các k ỹ thu ật tính s ố vốn r ất t ốn kém s ức mạnh tính toán.
   Trong nhi ều tr ường h ợp, thông tin h ữu ích có th ể thu được bằng m ột ph ươ ng pháp tr ực ti ếp, tránh vi ệc ph ải tính tích phân s ố.
   Kỹ thu ật này d ựa trên các hàm n ăng l ượng, và được g ọi là ph ươ ng pháp Lyapunov.
   Có th ể thu được các l ời gi ải t ốt v ới các h ệ bảo toàn. Bài gi ảng 7 14
8. Ph ươ ng pháp hàm n ăng l ượng cho h ệ phi tuy ến
   Trong các h ệ bảo toàn, t ổng n ăng l ượng là không đổi, và điều này được dùng trong phân tích ổn định các h ệ này.
   Xét con l ắc trong hình 5.2, bao g ồm kh ối l ượng M nối vào một điểm t ựa không ma sát b ằng m ột thanh c ứng.
   Coi V( θ) = 0 tại θ = 0 , khi đó tại v ị trí bất k ỳ θ, th ế năng được cho b ởi V (θ ) = Mgl (1− cos (θ )) Bài gi ảng 7 15 Hệ bảo toàn
   Không có lực nào khác ngoài tr ọng l ực, và hệ là bảo toàn, vậy d 2θ J = −Mg ()l sin ()θ dt 2
   Vế ph ải có th ể được bi ểu di ễn nh ư m ột đạo hàm âm c ủa một hàm th ế vô hướng. Trong tr ường h ợp này, ∂ ∂V (θ ) − Mgl sin ()θ = − []Mgl ()1− cos ()θ = − ∂θ ∂θ Bài gi ảng 7 16
9. Hệ bảo toàn (tt) Dẫn đến d 2θ ∂V (θ ) J = − dt 2 ∂θ
   Các điểm cân b ằng là nghi ệm c ủa ∂V (θ ) − = −Mgl sin ()θ = 0 ∂θ
   Dựa vào l ược đồ, ch ỉ xét trong kho ảng –π đến +π, θ e = ±π , 0 Bài gi ảng 7 17 Năng l ượng c ủa h ệ d 2θ ∂V (θ )
   Xét J + = 0 dt 2 ∂θ dθ d 2θ ∂V (θ ) dθ
   Nhân v ới dθ/dt để có J + = 0 dt dt 2 ∂θ dt
   Tích phân theo t để thu được 1  dθ 2 J  + V ()θ = E 2  dt  { 14243 Potential energy Kinetic energy
   Vi ệc phân tích ổn định có th ể được th ực hi ện cho 3 trường hợp (xem sách), b ằng khái ni ệm gi ếng th ế năng . Bài gi ảng 7 18
10. Hàm n ăng l ượng trong h ệ điện c ơ
    Xét h ệ trong hình v ẽ bên dưới, gi ả thi ết c ả hệ điện l ẫn h ệ cơ đều không ch ứa các ph ần t ử tiêu tán n ăng l ượng.
    Nếu λ ho ặc i ở mỗi c ửa I được gi ữ không đổi, có th ể 1 + λ Te or f e dự đo án m ột d ịch chuy ển đều _1 Ghép + trong h ệ cơ . Không có dòng điện Mech. θ or x system I2 + cơ _ ch ảy n ăng l ượng hay đồng λ _2 năng l ượng vào c ửa điện. Ở hệ cơ , gi ả thi ết không có ph ần t ử tiêu tán n ăng l ượng. Bài gi ảng 7 19 Hàm n ăng l ượng trong h ệ điện c ơ
    Lực c ơ h ọc gây tác động ∂U (θ ) T m = − ∂θ
    Th ế năng tổng quát hóa: (θ ) = (θ )− ' ( θ ) (dòng h ằng i và i ) V U Wm I1 , I 2 , 1 2 (θ ) = (θ )+ (Λ Λ θ ) (t ừ thông móc vòng h ằng λ và λ ) V U Wm 1 , 2 , 1 2 Bài gi ảng 7 20
11. Quan h ệ gi ữa ổn định tuy ến tính hóa và th ế năng d 2θ ∂V (θ )
    Phương tr ình mômen J + = 0 dt 2 ∂θ ∂V (θ )
    Các điểm cân b ằng có được b ằng cách gi ải = 0 ∂θ
    Tuy ến tính hóa quanh m ột điểm cân b ằng θe cho ta d 2 ∆θ ∂ 2V (θ ) J + ∆θ = 0 2 ∂θ 2 dt θ =θ e ∂ 2V (θ )
    θe là ổn định n ếu> 0 , θe là không ổn định n ếu ∂θ 2 θ =θ e ∂ 2V (θ ) < 0 ∂θ 2 θ =θ e Bài gi ảng 7 21 Ví dụ 5.2 và 5.3 d 2θ  Cho h ệ phương tr ình = −4 +θi2 dt 2 d ()()2θi + iR = v t với R = 1 Ω và v(t) = 2 V. dt Hãy tìm các điểm cân b ằng, tuy ến tính hóa h ệ phương tr ình, bi ểu di ễn d ưới d ạng không gian tr ạng thái và tìm tr ị riêng.
    Đặt các đạo hàm b ằng 0 để tìm điểm cân b ằng, rút ra i = v(t)/ R = ,2 θ = /4 i 2 =1
    Vậy, h ệ có 1 điểm cân b ằng ( θe, i e) = (1, 2). Bài gi ảng 7 22
12. Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt)
    Tuy ến tính hóa h ệ phương tr ình t ại điểm cân b ằng d 2∆θ = i2 ∆θ + ()2θi ∆i = 4∆θ + 4∆i dt 2 0 0 d ()2i ∆θ + 2θ ∆i + ∆i = 0 dt 0 0
    Phương tr ình đầu có bậc là 2 , do đó sẽ dẫn đến h ệ bậc 3. ∆θ ∆θ&
    Định ngh ĩa các bi ến tr ạng thái x1, x2, x3 lần l ượt là , , và ∆i, ta có mô hình không gian tr ạng thái nh ư sau Bài gi ảng 7 23 Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt) x&1  0 1 0 x1       & = x2  4 0 4 x2     − −   x&3  0 2 5.0 x3 
    Dẫn đến ph ươ ng trình đặc tr ưng để tìm tr ị riêng như sau λ3 + 5.0 λ2 + 4λ − 2 = 0
    Gi ải ra ta được 3 tr ị riêng: λ = λ = − ± 1 ,0 4515 , 3,2 ,0 4578 j ,2 0502 Bài gi ảng 7 24
13. Ví dụ 5.4  Cho quan h ệ dòng điện – từ thông c ủa h ệ trong hình i = λ2 + 2λ(1− x)2 Hãy vi ết ph ươ ng trình chuy ển động. V ới λ = 1, M = 1, và Mg = 2 trong m ột h ệ đơn vị nh ất quán nào đó, tìm điểm cân b ằng. Vi ết ph ươ ng trình th ế năng của h ệ và xác định tính ổn định của h ệ tại điểm cân b ằng trên.
    Tính l ực điện t ừ theo hàm n ăng l ượng λ λ3 = ()λ′2 + λ′()− 2 λ′ = + λ2 ()− 2 Wm ∫ 2 1 x d 1 x 0 3 Bài gi ảng 7 25 Ví dụ 5.4 (tt) ∂W f e = − m = −λ2 (1− x )(− 2 )= 2λ2 (1− x ) ∂x
    Phương tr ình chuy ển động d 2 x M = f e + Mg = 2λ2 ()1− x + Mg dt 2
    Điểm cân b ằng s ẽ th ỏa mãn (v ới λ, M, và Mg đã cho ) 2(1− x)+ 2 = 0 ⇒ xe = 2
    Hàm n ăng l ượng t ại λ đã cho W (λ, x) =1/ 3+ (1− x)2 m λ=1 Bài gi ảng 7 26
14. Ví dụ 5.4 (tt)
    Ch ọn U(x) ∂U (x) − = Mg ⇒ U ()x = −Mgx ∂x
    Xây d ựng hàm th ế năng V (x) V (x) = U (x)+W (λ, x) = −2x + /1 3+ (1− x)2 m λ=1
    Tính đạo hàm c ấp 2 c ủa V(x) ∂2V = ()2 = 2 > 0 ∂ 2 xe =2 x xe =2
    Vậy h ệ đã cho ổn định t ại điểm cân b ằng x e = 2. Bài gi ảng 7 27