Vật lý hạt nhân hiện đại - Phần I: Cấu trúc hạt nhân (Phần 2)

142 trang ngocly 2720

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Vật lý hạt nhân hiện đại - Phần I: Cấu trúc hạt nhân (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

vat_ly_hat_nhan_hien_dai_phan_i_cau_truc_hat_nhan_phan_2.pdf

Nội dung text: Vật lý hạt nhân hiện đại - Phần I: Cấu trúc hạt nhân (Phần 2)

Chương 3 Cấu trúc hạt nhân Hạt nhân nguyên tử là một hệ nhiều hạt phức tạp, được cấu trúc từ các nucleon liên kết với nhau bởi tương tác mạnh. Nói chung, để mô tả được cấu trúc hạt nhân trong một trạng thái vật lý, ta phải giải phương trình Schroedinger cho hàm sóng và năng lượng của hạt nhân trong trạng thái này HˆAΨA = EAΨA. (3.1) Từ chương 1.2 ta đã biết rằng năng lượng liên kết trung bình của một nucleon trong hạt nhân là khoảng 8 MeV, nhỏ hơn nhiều năng lượng nghỉ của nucleon (mc2 ≈ 938 MeV). Ngoài ra, động năng trung bình của một nucleon trong hạt nhân là khoảng E ≈ 20 ∼ 40 MeV nên vận tốc chuyển động của nucleon kin √ trong hạt nhân sẽ là khoảng v ≈ 2Ekin/m ≈ 0.2 c ∼ 0.3 c (tương ứng với v2/c2 ≈ 0.04 ∼ 0.09). Do đó, dạng phương trình Schroedinger của cơ học lượng tử không tương đối tính (non-relativistic quantum mechanics) là một điểm khởi đầu hợp lý của các phương pháp nghiên cứu cấu trúc hạt nhân. Cho đến nay, hai cách tiếp cận chính để giải phương trình (3.1) là các phương pháp vi mô (microscopic approach) và các mẫu tập thể (collective model). Trong các phương pháp vi mô, toán tử Hamiltonian HˆA được xây dựng trên các bậc tự do nucleon và hàm sóng ΨA cũng được tìm dưới dạng hàm phụ 95
thuộc tường minh vào các tọa độ không gian (r), spin (s) và spin đồng vị (t) của từng nucleon ∑A ~2 1 ∑A Hˆ = − ▽2 + v(i, j), (3.2) A 2m i 2 i=1 i≠ j ΨA = Ψ(r1, s1, t1; r2, s2, t2; ; rA, sA, tA). (3.3) Tương tác cặp v(i, j) = vNN(i, j) + vC(i, j), với vNN(i, j) là tương tác mạnh giữa hai nucleon i và j, vC(i, j) là tương tác tĩnh điện Coulomb giữa i và j khi cả hai đều là proton. Về nguyên tắc, phương trình (3.1)-(3.2) chỉ có thể giải chính xác được cho hạt nhân với A = 2 và A = 3. Đối với các hạt nhân có A > 4, phương trình chỉ có thể giải được bằng một phương pháp gần đúng (approximation) thích hợp. Ngoài ra, cơ chế tương tác mạnh giữa hai nucleon rất phức tạp nên mỗi một phương pháp gần đúng để giải bài toán cấu trúc hạt nhân còn phải được gắn với một mô hình tin cậy của vNN. Một phương pháp gần đúng như vậy thường được gọi là một mẫu cấu trúc vi mô (microscopic structure model). Khác với các mẫu vi mô, các mẫu cấu trúc tập thể được xây dựng từ các bậc tự do đặc trưng cho toàn bộ hạt nhân mà hay được gọi là các tọa độ tập thể (collective coordinates). Thí dụ như vector bán kính tâm khối R và moment điện tứ cực hạt nhân Q2 1 ∑A ∑A R = r ,Q = r2Y (rˆ ). (3.4) A i 2m i 2m i i=1 i=1 Sau khi hàm Lagrangian hạt nhân được xây dựng dựa trên các tọa độ tập thể và một vài thông số vật lý vĩ mô, hàm này được lượng tử hóa để thu được Hamiltonian HˆA cho phương trình (3.1). Từ hệ thức (3.4) ta dễ thấy là các tọa độ tập thể cũng có thể được biểu diễn qua các tọa độ tương ứng của từng nucleon trong hạt nhân và vì thế các mẫu cấu trúc tập thể thường có cơ sở vi mô xây dựng trên các bậc tự do nucleon. 96
3.1 Các mẫu cấu trúc hạt nhân vi mô Từ năm 1935 Hans Bethe (giải thưởng Nobel, cha đẻ của vật lý thiên văn hạt nhân) đã đưa ra giả thuyết rằng các nucleon trong hạt nhân có thể được mô tả gần đúng như hệ các nucleon không tương tác với nhau nhưng được liên kết bởi một thế đơn hạt (single-particle potential) Us.p Ta dễ dàng thu được mô hình đơn giản này khi biểu diễn Hamiltonian (3.2) dưới dạng [ ] ∑A ~2 1 ∑A ∑A Hˆ = − ▽2 + U (r ) + v(i, j) − U (r ). (3.5) A 2m i s.p. i 2 s.p. i i=1 i≠ j i=1 Nếu ta chọn một thế đơn hạt Us.p. sao cho hai số hạng cuối trong Hamiltonian (3.5) triệt tiêu nhau thì Hamiltonian hạt nhân có thể biểu diễn được dưới dạng tổng các Hamiltonian đơn hạt của từng nucleon trong hạt nhân [ ] ∑A ∑A ~2 Hˆ = Hˆ = − ▽2 + U (r ) . (3.6) A i 2m i s.p. i i=1 i=1 Phương trình Schroedinger (3.1) với Hamiltonian hạt nhân xác định theo (3.6) chính là mẫu đơn hạt độc lập (independent particle model, viết tắt là IPM) do Bethe đưa ra từ năm 1935. Tuy là một giả thuyết khá đơn giản, IPM chính là mẫu cấu trúc vi mô đầu tiên và là cơ sở nền tảng để xây dựng mẫu vỏ hạt nhân sau này. 3.1.1 Mẫu khí Fermi Dạng thế đơn giản nhất của mẫu IPM có thể được xét đến là hộp thế vuông (square potential well). Trong trường hợp này hạt nhân được xét gần đúng như một hộp khối chứa A nucleon chuyển động độc lập không tương tác với nhau và được liên kết bởi một hộp thế vuông cạnh a, với Us.p.(0 < x < a) = 0 và Us.p.(x = 0 hoặc x = a) = ∞ và tương tự cho các tọa độ y và z. Trong mẫu vi 97
mô đơn giản này, mà còn được gọi là mẫu khí Fermi (Fermi gas model), hàm sóng đơn hạt của mỗi nucleon được xác định từ phương trình Schroedinger sau ~2 − ▽2ψ(r) = Eψ(r), r = (x, y, z). (3.7) 2m Từ điều kiện biên ψ(r) = 0 trên bề mặt của hộp thế (khi một trong 6 điều kiện sau được thỏa mãn: x = 0, x = a, y = 0, y = a, z = 0, z = a), ta dễ dàng thu được nghiệm của phương trình (3.7) dưới dạng ψ(x, y, z) ∼ sin(kxx) sin(kyy) sin(kzz) (3.8) and kxa = nxπ, kya = nyπ, kza = nzπ, (3.9) với nx, ny và nz là các số nguyên dương. Trị riêng của phương trình (3.7) được xác định với mỗi bộ ba giá trị (nx, ny, nz) như sau ~2 ~2k2 E(n , n , n ) = (k2 + k2 + k2) ≡ . (3.10) x y z 2m x y z 2m Hệ thức (3.10) cho ta phổ gián đoạn (discrete spectrum) các mức năng lượng của các trạng thái đơn nucleon (3.8). Vector xung lượng của nucleon được xác định theo p = ~k. Trong không gian ba chiều của vector k mà được gọi là không gian xung lượng (momentum space) mỗi trạng thái đơn nucleon được hoàn toàn xác định trong một hình lập phương có cạnh π/a và thể tích là (π/a)3. Theo yêu cầu của nguyên lý Pauli, trạng thái đơn nucleon trên phải là duy nhất trong một hình lập phương như vậy và ta có số trạng thái đơn nucleon cho phép trong khoảng không gian xung lượng nằm giữa k và k + dk 1 4πk2dk dn(k) = ì 4 ì , k = |k|. (3.11) 8 (π/a)3 Hệ số 1/8 đảm bảo chỉ xét các giá trị dương của kx, ky và kz là đủ cho tất cả các trạng thái đơn nucleon cho phép trong toàn bộ lớp k nằm giữa k và k + dk; hệ số 4 là hệ số suy biến (degeneracy factor) spin và spin đồng vị của nucleon, 98
tương ứng với các hình chiếu sz = ±1/2 và tz = ±1/2. Tổng số các trạng thái đơn nucleon cho phép trong khoảng năng lượng 0 6 ε 6 E = ~2k2/(2m) được xác định theo ∫ k 3 ′ ′ 4π ì k (3.12) n(k) = dn(k )dk = 3 . 0 3 2(π/a) Nếu kF là xung lượng tương ứng với mức năng lượng đơn hạt cao nhất (năng lượng Fermi) thì số khối A của hạt nhân có thể được xác định như sau 4π k3 2V A = ì F ≡ k3 , (3.13) 3 2(π/a)3 3π2 F với V = a3 là thể tích của hộp khối vuông cạnh a. Từ đó, mật độ nucleon trong hộp khối và xung lượng Fermi có thể được biểu diễn qua nhau theo ( ) 2 3π2ρ 1/3 ρ = A/V = k3 ⇒ k = . (3.14) 3π2 F F 2 Với mật độ nucleon trung bình trong tâm các hạt nhân trung bình và nặng (A > 12) là ρ ≈ 0.17 nucleon/fm3 ta dễ dàng xác định được xung Fermi ≈ fm−1 và năng lượng Fermi ~2 2 ≈ MeV. Động kF 1.36 εF = kF/(2m) 38.7 năng trung bình của nucleon trong mẫu khí Fermi được xác định theo ∫ 1 εF 3 ⟨Ekin⟩ = εdn(ε)dε = εF ≈ 23.2 MeV. (3.15) A 0 5 Nếu ta mô tả hạt nhân gần dúng như một quả cầu với bán kính R và thể tích V = 4πR3/3, thì dễ thu được từ hệ thức (3.14) 1/3 R = r0A , r0 ≈ 1.12 fm, kFr0 ≈ 1.52. (3.16) Tuy là một mô hình cấu trúc vi mô đơn giản của hạt nhân, mẫu khí Fermi cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ sở tối thiểu để tiếp tục hiểu được các mẫu cấu trúc hạt nhân vi mô phức tạp. Ngoài ra, mẫu khí Fermi còn được dùng để tính toán mật độ các mức kích thích năng lượng cao trong các nghiên cứu phản ứng dẫn tới hạt nhân hợp phần (compound nucleus) hoặc để đánh giá số hạng đối xứng trong công thức khối bán thực nghiệm (1.11) của năng lượng liên kết hạt nhân 99
3.1.2 Mẫu đơn hạt độc lập và cơ sở của mẫu vỏ hạt nhân Từ những năm 50 của thế kỷ 20, khi những bằng chứng thực nghiệm xuất hiện ngày càng nhiều khẳng định rằng các nucleon trong hạt nhân được phân bố theo cấu trúc vỏ (shell structure) tương tự như cấu trúc các lớp vỏ electron trong nguyên tử, mẫu đơn hạt độc lập đã tiếp tục được phát triển để mô tả cấu trúc Hình 3.1: Độ phổ biến của các đồng vị hạt nhân chẵn-chẵn trong thiên nhiên. Các điểm cực đại tương ứng với các số neutron N và số proton Z bằng số magic hạt nhân. Minh họa từ tài liệu [8] 100
vỏ của hạt nhân. Bằng chứng thực nghiệm điển hình nhất là sự tồn tại của các số magic hạt nhân (nuclear magic number) 2, 8, 20, 28, 50, 82 và 126 có ý nghĩa vật lý tương tự như các số magic nguyên tử (atomic magic number) 2, 10, 18, 36, 54, 80, 86. Cụ thể, năng lượng liên kết của các hạt nhân có số neutron hoặc proton bằng số magic lớn hơn đáng kể so với các đồng vị hạt nhân nằm kề (xem hình 1.1), khi các lớp vỏ được lấp kín (fully occupied shells) bởi neutron hoặc proton. Đặc biệt, những hạt nhân magic kép (double-magic nuclei) với N và đều là số magic như 4He, 16O, 40Ca, 56Ni và 208Pb là những hạt nhân tồn Z 2 8 20 28 82 tại rất bền vững trong thiên nhiên nhờ có năng lượng liên kết lớn hơn so với đa số các hạt nhân không magic (non-magic nuclei). Năng lượng liên kết của một hạt nhân đương nhiên phải tỷ lệ thuận với độ phổ biến của nó trong thiên nhiên và hiệu ứng này được thể hiện rất rõ qua phân bố độ phổ biến các đồng vị hạt nhân chẵn-chẵn trong thiên nhiên (xem hình 3.1), với các điểm cực đại tương ứng với những hạt nhân có N hoặc Z là số magic. Tương tự như năng lượng ion hóa (ionization energy) nguyên tử (năng lượng tách một electron hóa trị lớp vỏ ngoài cùng) đạt các giá trị cực đại khi số electron bằng số magic nguyên tử, năng lượng tách neutron hoặc proton (neutron or proton separation energy) cũng tiến đến các giá trị cực đại của mình khi N hoặc Z bằng các số magic hạt nhân. Năng lượng tách neutron Sn hoặc proton Sp được xác định từ năng lượng liên kết B của hạt nhân như sau Sn = B(N, Z) − B(N − 1,Z) và Sp = B(N, Z) − B(N, Z − 1). (3.17) Do năng lượng liên kết hạt nhân có N là số magic phải lớn hơn so với các hạt nhân đứng bên cạnh trên trục số neutron, từ hệ thức (3.17) ta suy ra năng lượng tách neutron Sn của các hạt nhân có N lẻ phải đi qua các điểm cực tiểu mỗi khi N − 1 là số magic hạt nhân. Điều này có thể được khẳng định dễ dàng từ tập hợp các giá trị Sn thực nghiệm của các hạt nhân lẻ-chẵn trên hình 3.2. Một dữ kiện thực nghiệm quan trọng nữa là moment tứ cực điện Q2 của các 101
Hình 3.2: Năng lượng tách neutron Sn của các hạt nhân lẻ-chẵn (N là số lẻ và Z là số chẵn). Các điểm cực tiểu tương ứng với những hạt nhân có một neutron hóa trị nằm ngoài các lớp neutron được lấp đầy hoàn toàn, với N − 1 bằng số magic hạt nhân. Các số đứng cuối đường nối các điểm thực nghiệm là hiệu số N − Z. Minh họa từ tài liệu [17] 102
hạt nhân magic kép đều bằng không. Điều này khẳng định là các hạt nhân này có dạng hình cầu trong không gian tọa độ, thường được gọi ngắn là hạt nhân cầu (spherical nucleus), với hàm sóng trạng thái cơ bản có đối xứng cầu theo công thức (1.26). Như vậy thế trường trung bình (mean field potential) trong mẫu IPM cho các hạt nhân cầu sẽ phải có dạng thế xuyên tâm Us.p.(r) ≡ Us.p.(r). Từ những kiến thức cơ sở của cơ học lượng tử không tương đối tính ta biết rằng hàm sóng đơn hạt ψ của một nucleon chuyển động trong một thế xuyên tâm Us.p.(r) của trường trung bình hạt nhân được hoàn toàn xác định bởi số lượng tử chính (principal quantum number) n, moment quỹ đạo l và hình chiếu m của nó R (r) R (r) ψ (r) = nl Y (θ, φ) ≡ nl Y (rˆ), (3.18) nlm r lm r lm với Ylm(rˆ) là hàm cầu của góc thân rˆ = (θ, φ) xác định hướng của vector bán kính r trong hệ tọa độ cầu. Các mức năng lượng đơn hạt Enl tương ứng với các trạng thái (3.18) không phụ thuộc vào hình chiếu m của moment quỹ đạo và vì thế mỗi mức Enl có độ suy biến (degeneracy) bằng 2l + 1 (ta có nhiều nhất 2l + 1 nucleon có thể có cùng năng lượng Enl). Thành phần bán kính Rnl(r) của hàm sóng cùng các trị riêng tương ứng được xác định từ phương trình Schroedinger sau [ ] ~2 d2 ~2l(l + 1) − + + U (r) R (r) = E R (r), (3.19) 2m dr2 2mr2 s.p. nl nl nl với Rnl(0) = 0 và Rnl(r → ∞) → 0 vì đây là trạng thái liên kết (bound state) của nucleon trong hạt nhân. Ngoài ra, hàm Rnl(r) có thể bằng không tại các giá trị hữu hạn khác của r và số các điểm này được gọi là số nút (number of nodes) của hàm sóng. Số nút của một hàm sóng đơn hạt ψnl bằng số lượng tử chính n của nó (xem hình 3.3). Tương tự như ký hiệu phổ electron trong vật lý nguyên tử, các trạng thái với l = 0, 1, 2, 3 được ký hiệu trong VLHN bằng s, p, d, f và tương ứng ta có tập hợp các "quỹ đạo" 1s, 2s, 3s, 1p, 2p, 3p, 1d, 2d, 3d, Số hạng ~2l(l + 1)/(2mr2) tương ứng với một thế đẩy khi l ≠ 0 103
và vì thế được gọi là thế ly tâm (centrifugal potential). Hình 3.3: Tổng của thế trường trung bình (hộp thế vuông có bán kính R) và thế ly tâm cùng các mức năng lượng Enl và hàm sóng đơn hạt ψnl xác định từ nghiệm của phương trình (3.19). Minh họa từ tài liệu [24]. Về nguyên tắc, thế trường trung bình của nucleon trong hạt nhân phải được xác định vi mô từ tương tác của từng nucleon trong hạt nhân với (A−1) nucleon còn lại trên cơ sở một tương tác NN hiệu dụng chuẩn xác (xem phương pháp Hartree-Fock trình bày dưới đây). Tuy nhiên, các đặc trưng cơ bản của hàm sóng và phổ đơn hạt (single-particle spectrum) hạt nhân gắn liền với cấu trúc vỏ cũng có thể được mô tả trong IPM với một số mẫu đơn giản của Us.p.(r) như dạng hộp thế vuông trình bày trên hình 3.3 hoặc mẫu thế dao động tử điều hòa (harmonic oscillator, viết tắt là h.o.) mà thường được dùng để giới thiệu trình 104
tự các mức đơn hạt hạt nhân mω2r2 U (r) = −U + . (3.20) h.o. 0 2 Nếu ta lắp thế h.o. (3.20) vào phương trình (3.19) thì hàm sóng đơn hạt Rnl(r) có thể được xác định trong một dạng hàm giải tích của các đa thức Laguerre và tương ứng với năng lượng đơn hạt [ ] 3 E = ~ω 2(n − 1) + l + − U . (3.21) nl 2 0 Dễ thấy rằng các trạng thái đơn hạt có cùng số N = 2(n − 1) + l sẽ có cùng một giá trị năng lượng Enl. Do đó, mỗi một giá trị N được dùng để ký hiệu một lớp vỏ dao động tử điều hòa (h.o. shell) tương ứng. Các trạng thái thuộc về cùng một lớp dao động tử như 1d,2s hay 1g,2d,3s phải có cùng một độ chẵn lẻ (π = + nếu N là số chẵn và π = − nếu N lẻ). Mặc dù thế (3.20) không phải là mô hình thực tế của Us.p.(r), tập hợp đủ các hàm sóng h.o. vẫn được sử dụng rộng rãi trong VLHN như tập hợp các hàm cơ sở (basis) dùng để khai triển hàm sóng hạt nhân trong các tính toán cấu trúc. Ngoài ra, các lớp vỏ dao động tử N vẫn được dùng trong mẫu vỏ hạt nhân để phân chia các mức đơn hạt theo các nhóm lớp vỏ h.o. với năng lượng tăng dần (1~ω, 2~ω, 3~ω, , N~ω như minh họa trên hình 3.4). Cho đến nay, dạng thế bán thực nghiệm (empirical) phổ biến nhất của Us.p.(r) mà vẫn được dùng rộng rãi để tính toán cấu trúc các trạng thái đơn nucleon trong hạt nhân là thế Woods-Saxon (viết tắt là WS) −U U (r) = 0 . (3.22) WS 1 + exp[(r − R)/a] Đối với các hạt nhân có khối lượng trung bình và nặng, bán kính của thế R ≈ 1.3 ì A1/3 fm và độ nhòe (diffuseness) của thế a ≈ 0.65 fm. Các trạng thái đơn hạt đơn hạt của thế WS có cùng số N = 2(n − 1) + l không còn suy biến như trong trường hợp thế h.o. nữa và các mức Enl chỉ còn suy biến bậc 105
2l +1 ứng với các thành phần có hình chiếu m của l khác nhau trong hàm sóng đơn hạt ψnlm. Từ thực nghiệm ta có spin của các hạt nhân lẻ- chẵn (N hoặc Z là lẻ), cấu trúc bởi một nucleon hóa trị (valence nucleon) nằm ngoài một lõi chẵn-chẵn (N và Z đều là chẵn), luôn là một số bán nguyên (half-integer) như 1/2, 3/2, 5/2, 7/2 Như vậy, thành phần tương tác spin-quỹ đạo (spin-orbital interaction, viết tắt là tương tác l.s.) trong thế trường trung bình hạt nhân chắc chắn là mạnh và không thể bỏ qua được như trong các tính toán phổ đơn hạt electron trong nguyên tử. Nhờ tương tác Vl.s. giữa moment quỹ đạo và spin của nucleon, mỗi trạng thái đơn hạt trong hạt nhân được xác định bởi moment góc tổng j mà thường được gọi là spin của trạng thái đó, ψnlm → ψnljm. Hàm sóng đơn hạt bây giờ phải thỏa mãn phương trình Schroedinger sau [ ] ~2 − ▽2 + U (r) + V (r)ˆl.sˆ ψ (r) = E ψ (r). (3.23) 2m s.p. l.s. nljm nlj nljm Vì Us.p.(r) và Vl.s.(r) có đối xứng cầu, ta có thể biểu diễn ψnljm dưới dạng R (r) ∑ ψ (r) = nlj ⟨lm sm |jm⟩Y (rˆ)χ (m ), (3.24) nljm r l s lml s s mlms với ⟨lmlsms|jm⟩ là hệ số Clebsch-Gordan (định nghĩa ở chương tham khảo ˆ ˆ 4.2.1) của phép cộng vector góc j = l + sˆ và χs(ms) là hàm spinor (1.18) của nucleon. Tổng trong (3.24) được lấy theo tất cả các hình chiếu ml và ms của vector moment quỹ đạo l và spin s = 1/2. Tích vô hướng của toán tử moment quỹ đạo ˆl và spin sˆ tác dụng lên hàm sóng như sau ˆ 2 2l.sˆψnljm(r) = ∆ljψnljm(r) = ~ [j(j + 1) − l(l + 1) − 3/4]ψnljm(r) (3.25) Do s = 1/2, moment góc toàn phần chỉ có thể là j = l ± 1/2 và ta có { } ~2l nếu j = l + 1/2 ∆lj = . (3.26) −~2(l + 1) nếu j = l − 1/2 Phương trình (3.23) dễ dàng được rút gọn về dạng sau [ ] ~2 d2 ~2l(l + 1) ∆ − + + U (r) + lj V (r) R (r) = E R (r), 2m dr2 2mr2 s.p. 2 l.s. nlj nlj nlj (3.27) 106
Các tính chất đặc trưng của hàm sóng Rnlj(r) cũng tương tự như đã bàn ở trên đối với Rnl(r). Điều đáng chú ý ở đây là vai trò chủ chốt của tương tác spin-quỹ đạo Vl.s. trong mô tả chính xác spin bán nguyên j của các mức đơn hạt và thứ tự của chúng trong phổ hạt nhân xác định từ thực nghiệm. Do thế tương tác spin-quỹ đạo Vl.s.(r) là thế hút (attractive potential, Vl.s.(r) 0 đối với mức Enlj=l−1/2. Như vậy, trong phổ năng lượng đơn hạt hạt nhân ta luôn có Enlj=l+1/2 < Enlj=l−1/2 đối với bất kỳ cặp mức nào có cùng n và l. Ta có thể thấy rõ thứ tự tách mức này qua sơ đồ các mức năng lượng đơn proton Enlj trong hạt nhân trên hình 3.4, với khoảng cách giữa các mức được xác định từ nghiệm của phương trình (3.27) ứng với các thông số của thế trường trung bình UWS và thế tương tác spin-quỹ đạo Vl.s. được điều chỉnh theo phổ thực nghiệm. Chú ý là đối với các proton trong hạt nhân, ngoài thế (3.22) trường trung bình còn có thêm đóng góp của thế tương tác Coulomb giữa các proton mà có thể được xác định tương đối chính xác theo các phương pháp của điện động lực học. Trong trạng thái cơ bản của hạt nhân các nucleon sẽ lấp đầy các mức năng lượng đơn hạt Enlj theo thứ tự chiều tăng của năng lượng, bắt đầu từ mức thấp nhất 1s1/2. Nguyên lý Pauli cho phép số nucleon cùng loại lớn nhất có thể nằm cùng trong một lớp vỏ nlj bằng 2j + 1 và đây chính là độ suy biến của mức Enlj tương ứng với các giá trị m khác nhau của hình chiếu spin trạng thái j lên trục z. Thí dụ, cấu hình (configuration) các trạng thái đơn 18 2 4 2 proton và neutron trong hạt nhân O tương ứng là (1s1/2) (1p3/2) (1p1/2) và 2 4 2 2 18 (1s1/2) (1p3/2) (1p1/2) (1d5/2) . Như vậy 8 proton và 8 neutron trong O lấp đầy các mức s, p thấp nhất và các mức này tạo thành các lớp vỏ đóng (closed shell) đầu tiên của cấu trúc vỏ, giống như cấu hình trạng thái cơ bản của hạt 16 18 nhân magic kép O. Hai neutron hóa trị của O nằm trong trạng thái 1d5/2, tương ứng với lớp vỏ mở (open shell) có 4 vị trí trống vì số neutron cực đại cho 107
20 Hình 3.4: Sơ đồ các mức đơn hạt Enlj của proton trong hạt nhân xác định từ nghiệm của phương trình (3.27), với cường độ tương tác spin-quỹ đạo Vl.s. điều chỉnh theo đúng thứ tự các mức năng lượng xác định từ thực nghiệm. Cột ngoài cùng bên trái là trình tự các lớp dao động tử N~ω cùng độ chẵn lẻ của lớp (even → π = +, odd → π = −). Số trong ngoặc đơn là độ suy biến của mức và số trong ngoặc vuông là tổng số proton cần để lấp đầy các mức đơn hạt. Minh họa từ tài liệu [14]. 108
18 phép trong mức d5/2 là 6. Trong thực tế, nhiều tính chất cấu trúc của O có thể được mô tả dựa trên mô hình cấu trúc 16O + 2n. Theo thứ tự như vậy, hạt nhân magic kép 40Ca có cấu hình các trạng thái của 20 proton và 20 neutron 2 4 2 6 2 4 giống nhau là (1s1/2) (1p3/2) (1p1/2) (1d5/2) (2s1/2) (1d3/2) . Hạt nhân đồng khối với 40Ca là 40K với 19 proton và 21 neutron cũng có cấu trúc các lớp 40 vỏ đầu tiên giống như của Ca, nhưng lớp vỏ proton hóa trị 1d3/2 chỉ chứa 3 40 proton và có một vị trí trống. Hạt neutron hóa trị của K nằm trong mức 1f7/2 40 và cặp với proton hóa trị ở mức 1d3/2 để cho spin và độ chẵn lẻ của K trong trạng thái cơ bản là J π = 4−. Vì thế mà trạng thái cơ bản của 40K còn được ký hiệu ngắn là [πd3/2 ⊗ νf7/2]4− (với π và ν là hai ký hiệu phổ hay dùng trong cấu trúc hạt nhân cho các mức proton và neutron). Từ hình 3.4 ta cũng thấy các mức đơn hạt được quy tụ lại thành các lớp vỏ chính (major shell) cách nhau bởi những khoảng năng lượng lớn hơn khoảng cách trung bình giữa các mức trong một lớp vỏ mà thường được gọi là những khe lớp (shell gap). Nguyên lý Pauli đòi hỏi số các nucleon lấp đầy các mức đơn hạt sau mỗi lớp vỏ chính phải tuần tự bằng 2, 8, 20, 28, 50, 82 và 126. Đây chính là các số magic hạt nhân mà đã được khẳng định từ tập hợp nhiều số liệu thực nghiệm khác nhau như đã bàn ở trên. Do khe năng lượng giữa các lớp vỏ chính lớn, năng lượng tách neutron Sn hoặc proton khỏi hạt nhân đương nhiên phải lớn đối với các hạt nhân magic khi các neutron hoặc proton lấp đầy các mức kết thúc một lớp vỏ chính. Những kết quả mô tả phổ đơn hạt hạt nhân của mẫu IPM dựa trên nghiệm của phương trình Schroedinger (3.27) đã được Maria Goeppert-Mayer và J. Hans D. Jensen (các tác giả chính của mẫu vỏ hạt nhân) đưa ra lần đầu tiên từ những năm 50 của thế kỷ trước [14], dựa trên mô hình đối xứng hạt nhân của Eugene Paul Wigner (một nhà vật lý Mỹ gốc Hungary, cha đẻ của lý thuyết đối xứng trong vật lý lượng tử). Những đóng góp vô cùng quan trọng cho VLHN hiện đại của ba tên tuổi này đã mang lại cho họ giải thưởng Nobel vật lý năm 1963. 109
Hàm sóng toàn phần ΨA và năng lượng E của hạt nhân được xác định từ nghiệm của phương trình (3.27) cho các hàm sóng ψnljm và năng lượng Enlj đơn hạt. Cụ thể, nguyên lý Pauli đòi hỏi hàm sóng Ψ phải là tích phản đối xứng (antisymmetrized product) của các hàm sóng đơn hạt, còn năng lượng toàn phần E đơn giản bằng tổng các năng lượng đơn hạt 1 ∑ ∏A ∑A ΨA(r1, r2, , rA) = √ πP Pˆ ψj m (ri),EA = Ej . (3.28) A! i i i Pˆ i=1 i=1 Tập hợp số lượng tử của trạng thái đơn hạt được viết tắt là ji ≡ tzniliji, trong đó hình chiếu spin đồng vị của neutron tz = 1/2 và của proton tz = −1/2. Toán tử Pˆ là phép hoán vị (permutation) số thứ tự (i = 1, 2, , A) của hai chỉ số trạng thái jimi bất kỳ, với πP bằng +1 đối với một phép hoán vị chẵn và -1 đối với một phép hoán vị lẻ để thỏa mãn yêu cầu của nguyên lý Pauli. Theo định nghĩa này của Pˆ, hàm sóng ΨA chuẩn (normalized) và phản đối xứng chính là định thức dưới đây mà còn được biết đến trong cơ học lượng tử như định thức Slater (Slater determinant) ψ (r ) ψ (r ) ããã ψ (r ) j1m1 1 j1m1 2 j1m1 A 1 ψ (r ) ψ (r ) ããã ψ (r ) √ j2m2 1 j2m2 2 j2m2 A (3.29) ΨA = det . . . . A! . . . . ããã ψjAmA (r1) ψjAmA (r2) ψjAmA (rA) Trong biểu diễn lượng tử hóa thứ cấp (second quantization) của cơ học lượng tử (xem chi tiết trong phần tham khảo 4.3), mỗi trạng thái đơn hạt được biểu diễn ngắn gọn theo ≡ | ⟩ + | ⟩, với + là toán tử sinh (creation ψjm jm = ajm 0 ajm operator) trạng thái đơn hạt |jm⟩ và |0⟩ là hàm sóng chân không. Tương tự, ajm được dùng để ký hiệu toán tử hủy (annihilation operator) trạng thái đơn hạt | ⟩. Khi đó, tính chất phản giao hoán (4.67) của các toán tử + cho phép ta jm ajm 110
biểu diễn hàm sóng phản đối xứng (3.29) dưới dạng tích đơn giản sau ∏A |Ψ ⟩ = a+ a+ a+ a+ |0⟩ ≡ a+ |0⟩. (3.30) A j1m1 j2m2 j3m3 jAmA jimi i=1 Tóm lại, trạng thái cơ bản của các hạt nhân cầu (đặc biệt là các hạt nhân magic kép) có thể được mô tả chuẩn trong mẫu IPM bởi tập hợp các nghiệm của phương trình Schroedinger (3.23), khi ta có lựa chọn hợp lý cho thế trường trung bình và tương tác spin-quỹ đạo. Cho đến nay, mẫu IPM vẫn được sử dụng rộng rãi để xây dựng các hàm sóng đơn hạt làm hệ hàm cơ sở cho mẫu vỏ hạt nhân (nuclear shell model). Từ một phiên bản IPM đơn giản trong những năm 50 của thế kỷ trước, mẫu vỏ hạt nhân hiện đại đã được phát triển và hoàn thiện rất nhiều để mô tả không chỉ trạng thái cơ bản mà còn tập hợp phức tạp các trạng thái kích thích khác nhau của hạt nhân. 3.1.3 Phương pháp Hartree-Fock và trường trung bình hạt nhân Dạng thế hiện tượng luận WS của trường trung bình hạt nhân (3.22) đã và đang được sử dụng rộng rãi trong các tính toán IPM cho phổ đơn hạt của hạt nhân. Lý do chính để giải thích sự thành công này là thế WS có hình dạng (shape) rất tương tự với thế trường trung bình hạt nhân được tính toán vi mô từ các bậc tự do nucleon. Trong cơ học lượng tử không tương đối tính, phương pháp Hartree-Fock (HF) đã được dùng từ nhiều thập kỷ qua để nghiên cứu vi mô thế trường trung bình (mean-field potential) của một hệ đa fermion như tập hợp các electron trong nguyên tử hoặc các nucleon trong hạt nhân. Dạng phương trình HF cho các trạng thái đơn hạt trong hạt nhân có thể suy từ một phép biến đổi hình thức Hamiltonian hạt nhân (3.2) [ ] ∑A ~2▽2 ∑ i Hˆ = − + v(|r − r ′ |) . (3.31) A 2m i i i=1 i′<i 111
Hình 3.5: Dạng thế trường trung bình của proton Up(r) và neutron Un(r) cho các trạng thái đơn hạt của một hạt nhân có khối lượng trung bình và nặng. Do có tương tác đẩy Coulomb giữa các proton, thế Up(r) không sâu bằng Un(r) và trở thành thế đẩy Up(r) > 0 ở khoảng cách lớn. Phần thế đẩy này thường được gọi là ngưỡng Coulomb (Coulomb barrier). ′ Nếu ta có thể kết nối tổng theo i của tương tác cặp v(|ri −ri′ |) giữa hai nucleon i′ và i với thế trường trung bình hạt nhân cho một trạng thái đơn hạt i bất kỳ Ui(ri) thì Hamiltonian (3.31) dễ dàng đưa được về dạng (3.6). Với mục đích như vậy, ta thay tổng tương tác cặp bằng tổng các giá trị trung bình của nó theo hàm sóng đơn hạt |i′⟩ như sau ∑ ∑ ′ ′ v(|ri − ri′ |) ⇒ Ui(ri) = ⟨i |v|i ⟩, (3.32) i′<i ∫ i′<i ′ ′ ∗ 3 với ⟨ | | ⟩ ′ | − ′ | ′ ′ ′ (3.33) i v i = ψi′ (ri )v( ri ri )ψi (ri )d ri . Nguyên lý Pauli yêu cầu hàm sóng của cặp NN tương tác phải là phản đối xứng và phép phản đối xứng hóa (antisymmetrization) hoàn toàn tương đương với việc dùng trong hệ thức (3.33) tương tác cặp v dưới dạng r σ τ | − ′ | ⇒ | − ′ | − ′ với ′ (3.34) v( ri ri ) v( ri ri )(1 Pii ), Pii = Pii′ Pii′ Pii′ . Trong đó, r σ và τ tương ứng là các toán tử trao đổi (4.62) - (4.63) Pii′ ,Pii′ Pii′ 112
các tọa độ không gian, spin và spin đồng vị giữa hai nucleon i và i′. Thí dụ, r ′ ′ ′ ′ và σ ′ ′ ′ ′ . Pii′ ψi(ri)ψi (ri ) = ψi(ri )ψi (ri) Pii′ χs(ms)χs (ms ) = χs(ms )χs (ms) Nếu là tương tác Coulomb giữa hai proton thì ′ ≡ r bởi vì lực tĩnh điện v Pii Pii′ không phụ thuộc vào spin và spin đồng vị của hai proton tương tác. Khi v là thành phần xuyên tâm (2.4) của tương tác NN ta có thể biểu diễn r σ τ r − ′ ≡ − (3.35) v(r)Pii vD(r)Pii′ Pii′ Pii′ = vEX(r)Pii′ , với là thành phần trực tiếp (direct) và ≡ − σ τ là thành vD(r) vEX(r) vD(r)Pii′ Pii′ phần trao đổi (exchange) của thế xuyên tâm (2.4). Tương tự, các thành phần spin-quỹ đạo và tensor cũng bao gồm các thành phần trực tiếp và trao đổi sau khi được phản đối xứng hóa theo (3.34). Sau khi thế trường trung bình (3.32) được "phản đối xứng hóa" theo (3.35), ta có thể biểu diễn phương trình Schroedinger (3.23) dưới dạng sau [ ] ∫ ~2▽2 − i + U (r) ψ (r) + U (r, r′)ψ (r′)d3r′ = E ψ (r). (3.36) 2m D i EX i i i Thành phần chứa thế trực tiếp UD được gọi là số hạng Hartree (Hartree term), với thế định xứ (local) UD được xác định theo ∑ ∫ ∗ ′ ′ ′ 3 ′ | − | ′ (3.37) UD(r) = ψi′ (r )vD( r r )ψi (r )d r . i′<i Thành phần chứa thế trao đổi UEX được gọi là số hạng Fock (Fock term), với thế phi định xứ (non-local) UEX được xác định theo ∑ ′ ∗ ′ ′ | − | ′ (3.38) UEX(r, r ) = ψi′ (r )vEX( r r )ψi (r). i′<i Ta thấy phương trình Schroedinger (3.36) thực tế là một phương trình vi tích phân (integro-differential equation) do có chứa thế trao đổi phi định xứ của trường trung bình. Phương trình (3.36) được gọi là phương trình Hartree- Fock vì nó có dạng hoàn toàn tương tự với phương trình HF xác định các trạng thái đơn electron trong nguyên tử do Douglas Rayner Hartree (một nhà vật lý 113
và toán học người Anh) và Vladimir Aleksandrovich Fock (một tên tuổi lớn trong lịch sử phát triển vật lý ở nước Nga) đưa ra từ những năm 30-40 của thế kỷ trước. Các phép biến đổi (3.32)-(3.35) thực ra chỉ là hình thức để minh họa cho bạn đọc cấu trúc của phương trình HF. Để thu được chính xác phương trình (3.36) người ta phải áp dụng phương pháp biến phân (variational method) của cơ học lượng tử đối với năng lượng trung bình của hạt nhân, dựa trên cơ sở Hamiltonian (3.31) và hàm sóng phản đối xứng (3.29) của hạt nhân. Hình 3.6: Phổ năng lượng các trạng thái đơn hạt của hạt nhân chì 208Pb thu được từ các tính toán HF sử dụng các phiên bản mới (M3Y-P5 và D1S) của tương tác NN hiệu dụng trong hạt nhân và các mức thực nghiệm (Exp) tương ứng. Minh họa từ tài liệu [35]. 114
Do cả hai thế trực tiếp và trao đổi chỉ có thể xác định được theo (3.37)- (3.38) khi ta đã biết dạng tường minh của hàm sóng đơn hạt ψi, phương trình HF là một bài toán tự hợp (self-consistency problem) và chỉ có thể giải được bằng một phương pháp lặp (iteration method) thích hợp. Cụ thể, người ta bắt đầu giải phương trình (3.36) dùng UD,UEX xác định bởi một hệ hàm sóng thử (trial wave function) mà thường là nghiệm của phương trình (3.23) với một thế WS, nghiệm vừa thu được từ phương trình HF sẽ được dùng để tính các thế UD,UEX theo (3.37)-(3.38) cho phương trình HF (3.36) tại vòng lặp tiếp theo để tìm hệ hàm sóng đơn hạt mới. Quá trình lặp này được dừng lại sau khi người ta đạt được độ hội tụ cần thiết trong nghiệm của phương trình HF. Với sự phát triển không ngừng của VLHN hiện đại, các mẫu tương tác NN hiệu dụng v cho các nucleon liên kết trong hạt nhân ngày càng được hoàn thiện và được dùng thường xuyên trong những tính toán HF để xác định phổ năng lượng và hàm sóng của các trạng thái đơn hạt (xem hình 3.6) và từ đó mô tả các tính chất cấu trúc của hạt nhân trong trạng thái cơ bản. Một trong các mẫu thường dùng cho tương tác NN hiệu dụng là tương tác Skyrme với khoảng cách tương tác bằng không, v(r) ⇒ Vs ì δ(r). Khi đó, UEX là một hàm thế định xứ giống như UD và thế trường trung bình hạt nhân Us.p. = UD + UEX sẽ có một dạng định xứ (local shape) rất gần với dạng thế bán thực nghiệm WS biểu diễn trên hình 3.5. 3.1.4 Hiệu ứng cặp trong hạt nhân và phương pháp BCS Mấu đơn hạt độc lập IPM cũng như phương pháp HF đều có thể dùng để mô tả rất thành công cấu trúc của các hạt nhân magic kép như 16O, 40Ca, 56Ni và 8 20 28 208Pb. Tuy nhiên, đối với các hạt nhân chẵn-chẵn có lớp vỏ nucleon hóa trị 82 chưa được lấp đầy như 18O, 42Ca thì các mẫu cấu trúc trên không thể giải 8 20 thích được tại sao spin và độ chẵn lẻ của các hạt nhân này trong trạng thái cơ bản luôn là +. Thí dụ, cấu trúc vỏ của các neutron trong hạt nhân 18O Jg.s. = 0 8 115
2 4 2 2 là (1s1/2) (1p3/2) (1p1/2) (1d5/2) , với 8 neutron lấp đầy các mức s và p thấp nhất ứng với số magic đầu tiên (N = 8) của cấu trúc vỏ còn 2 neutron hóa trị nằm trong lớp vỏ mở 1d . Đối với một lớp vỏ |j⟩ được lấp đầy bởi 2j + 1 5/2 ∑ neutron, spin toàn phần J = j bao giờ cũng bằng không vì các neutron này có j định hướng trong không gian sao cho m = −j, −j + 1, , j − 1, j. Tuy nhiên, đối với một lớp vỏ mở thì J không nhất thiết phải bằng không (xem hình 3.7) và spin tổng của 2 neutron trong lớp 1d5/2 về nguyên tắc có thể nằm trong khoảng 0 6 J 6 5. Do đó, ngoài trường trung bình hạt nhân chắc chắn còn tồn tại một tương tác cặp đặc biệt sao cho các nucleon trong lớp vỏ mở nlj của một hạt nhân chẵn-chẵn luôn từng đôi cặp với nhau cho spin tổng bằng không. Tương tác cặp này sẽ được thảo luận tiếp dưới đây như hiệu ứng cặp (pairing effect) để nhấn mạnh sự khác biệt của nó đối với phần tương tác cặp của vNN trong (3.31) mà đã có hiện diện trong thế trường trung bình hạt nhân. j j m=j m=j J j m=-j j m=-j+1 J=0 J=0 Hình 3.7: Sơ đồ hình học cặp spin của hai nucleon hóa trị trong một lớp vỏ mở với hai định hướng khác nhau của spin nucleon j. Spin toàn phần J có thể nằm trong khoảng 0 6 J 6 2j. 116
Ngoài dữ kiện về spin của các hạt nhân chẵn-chẵn, bằng chứng thực nghiệm điển hình nhất cho hiệu ứng cặp là độ khác biệt rõ ràng trong năng lượng liên kết của một hạt nhân chẵn-chẵn và một hạt nhân lẻ nằm kề (1.10) và vì thế mà năng lượng tách neutron Sn hoặc proton Sp (3.17) của các hạt nhân chẵn-chẵn cũng lớn hơn so với các hạt nhân lẻ bên cạnh. Hiệu ứng cặp chính là nguyên nhân của sự khác biệt này: do có một lực cặp mỗi đôi nucleon trong cùng một lớp vỏ mở để có spin tổng bằng không, ta cần phải có một năng lượng lớn hơn để tách một nucleon hóa trị ra khỏi hạt nhân. Cơ sở dữ liệu thực nghiệm của Sn(p) cho ta biết rằng cường độ của lực hút cặp (attractive pairing force) tạo ra một khe năng lượng (energy gap) khoảng 1 ∼ 2 MeV giữa trạng thái cơ bản và mức đơn hạt kích thích đầu tiên trong hạt nhân chẵn-chẵn. Hiệu ứng tương tác cặp này tương tự như hiệu ứng cặp hai electron thành một cặp Cooper (Cooper pair) trong các quá trình siêu dẫn và vì thế lý thuyết siêu dẫn (theory of superconductivity) do John Bardeen, Leon Neil Cooper và John Robert Schrieffer đưa ra năm 1957 (được gọi ngắn là lý thuyết BCS mà đã đem lại giải thưởng Nobel vật lý năm 1972 cho ba tác giả này) được dùng rộng rãi để nghiên cứu hiệu ứng cặp trong hạt nhân. Trước hết ta viết Hamiltonian và hàm sóng hạt nhân của IPM trong biểu diễn lượng tử hóa thứ cấp ∑ ∏ ˆ ≡ 0 + và ≡ + | ⟩ (3.39) H H0 = ϵj ajmajm Ψ Ψ0 = ajm 0 , jm jm với tổng và tích lấy theo tất cả các trạng thái đơn hạt |nljm⟩ ≡ |jm⟩ đã được lấp đầy bởi một nucleon. Do tương tác cặp Cooper thường được xét cho một cặp hai nucleon cùng loại (neutron-neutron hoặc proton-proton pairing), ta ký hiệu theo quy ước BCS chỉ số trạng thái đơn hạt nljm ≡ k và nlj − m ≡ −k. Với sự tồn tại của hiệu ứng cặp, Hamiltonian trong mẫu BCS phải có thêm một số hạng tương tác cặp Cooper như sau ∑ ∑ 0 + ′ ′ + + ˆ ⟨ − | | − ⟩ ′ ′ (3.40) H = H0 +Hpair = ϵkak ak + k k vpair k k ak a−ka−k ak . k k,k′>0 117
Trong mẫu này hàm sóng của một hạt nhân chẵn-chẵn có dạng ∏ ≡ | ⟩ + + | ⟩ (3.41) Ψ BCS = (uk + vkak a−k) 0 , k>0 với uk và vk là các thông số biến phân (variational parameter). Từ (3.41) ta có 2 2 |vk| là xác suất trạng thái cặp |k − k⟩ được lấp đầy và |uk| là xác suất trạng thái cặp này là rỗng. Sử dụng hệ thức phản giao hoán của các toán tử sinh và hủy nucleon (4.67) - (4.72), ta xác định được chuẩn của hàm sóng (3.41) ∏ ⟨ | ⟩ 2 2 nếu 2 2 (3.42) BCS BCS = (uk + vk) = 1 uk + vk = 1. k>0 Số nucleon trung bình N được xác định từ toán tử số hạt như sau ∑ ∑ ⟨ | ˆ| ⟩ ⟨ | + + | ⟩ 2 (3.43) BCS N BCS = BCS (ak ak + a−ka−k) BCS = 2 vk. k>0 k>0 Yếu tố ma trận của vpair được gọi là cường độ lực cặp (strength of the pairing force) và gần bằng nhau đối với các trạng thái với k khác nhau ′ ′ ⟨k − k|vpair|k − k ⟩ = −G, với Gp ≈ 17/A, Gn ≈ 23/A. (3.44) Từ (3.43) ta thấy số nucleon N là một đại lượng không được bảo toàn bởi hàm sóng |BCS⟩ vì xác suất trạng thái cặp được lấp đầy có thể khác 1 đối với các 2 nucleon ở lớp vỏ mở (|vk| < 1). Điều này khẳng định |BCS⟩ chỉ là một dạng hàm sóng thử và vì thế các tham số uk và vk phải được xác định bằng phương pháp biến phân của cơ học lượng tử δ⟨BCS|Hˆ − λNˆ|BCS⟩ = 0. (3.45) λ có thứ nguyên năng lượng và được biết đến như thừa số Lagrange (Lagrange multiplier). Do 2 − 2, phép biến phân (3.45) chỉ cần tiến hành với 2 là uk = 1 vk vk đủ và ta có thể thu được sau một vài phép biến đổi giải tích phương trình sau 2 − 2 (3.46) 2ϵkvkuk + (vk uk)∆ = 0, 118
∑ với 0 − − 2 và thông số khe (gap parameter) . Sau khi ϵk = ϵk λ Gvk ∆ = G ukvk k>0 bình phương 2 vế phương trình (3.46) ta có thể thu được 2 dưới dạng nghiệm vk của một phương trình trùng phương ( √ ) ( ) 1 ∆2 1 ϵ v2 = 1 ± 1 − = 1 ± √ k . (3.47) k 2 ϵ2 + ∆2 2 2 2 k ϵk + ∆ Từ điều kiện biên vk → 0 khi ϵk → ∞, ta chỉ giữ lại một nghiệm và thu được 1 1 1/2 0 λ 0 λ Hình 3.8: Sự phụ thuộc của xác suất hai nucleon lấp đầy trạng thái cặp 2 vào năng lượng đơn vk hạt 0 − trong hai trường hợp nghiệm và ̸ của phương trình khe (3.49). ϵk = ϵk λ ∆ = 0 ∆ = 0 biểu thức sau cho u và v ( k k ) ( ) 1 ϵ 1 ϵ v2 = 1 − √ k , u2 = 1 + √ k . (3.48) k 2 2 2 k 2 2 2 ϵk + ∆ ϵk + ∆ Với các giá trị xác định của và , ta có 2 2 khi hay là λ ∆ uk = vk = 1/2 ϵk = 0 0 − 2 . Đối với các mức đơn hạt thấp nhất trong hạt nhân ( → −∞) ϵk Gvk = λ ϵk ta có 2 ≈ và 2 ≈ . Ngược lại, đối với các mức nằm cao hơn nhiều so với uk 0 vk 1 mức Fermi (mức năng lương đơn hạt chứa các nucleon hóa trị) ta có 2 ≈ và uk 1 2 ≈ . Nếu ta không tính đến số hạng − 2 trong biểu thức của (có nghĩa vk 0 Gvk ϵk là mỗi mức năng lượng đơn hạt được xác định tương đối từ giá trị − 2) thì ta Gvk 119
có 0 ≈ khi 2 2 (tại mức đơn hạt chứa các nucleon hóa trị) và vì ϵk λ uk = vk = 1/2 thế λ được gọi là năng lượng Fermi. Tương ứng với các giá trị Gn và Gp trong (3.44) ta cũng có hai giá trị λn và λp khác nhau. Sự phụ thuộc của xác suất lấp đầy trạng thái cặp 2 vào năng lượng đơn hạt 0 − được trình bày trên vk ϵk = ϵk λ hình 3.8 và khi ̸ ta có 2 giảm dần từ 1 đến 0 trong khoảng năng lượng ∆ = 0 vk xung quanh λ có độ rộng xấp xỉ bằng ∆. Những nucleon hóa trị nằm trong lớp Hình 3.9: Phổ phân rã γ về các trạng thái kích thích của 196Pt đo được sau phản ứng bắt neutron cộng hưởng 195Pt→196Pt . Đỉnh phổ tại năng lượng 7923 keV tương ứng với dịch chuyển n+ 78 78 +γ γ về trạng thái cơ bản, đỉnh tại 6100 keV tương ứng với dịch chuyển về trạng thái kích thích 196 của Pt tại năng lượng Ex = 1823 keV. Minh họa từ tài liệu [24] vỏ mở thường có đóng góp quan trọng nhất vào cấu trúc các trạng thái kích thích đầu tiên của hạt nhân (với năng lượng kích thích thấp nhất trong phổ hạt nhân) mà còn hay được gọi là các kích thích nằm thấp (low-lying excitation). Sau khi lắp (3.48) vào biểu thức của ∆ ta thu được phương trình khe (gap equation) sau G ∑ ∆ ∆ = √ . (3.49) 2 2 2 k>0 ϵk + ∆ 120
Phương trình (3.49) có thể giải bằng phương pháp lặp (iteration method) sử dụng các giá trị đã biết của và 0 và đồng thời đòi hỏi số nucleon của hệ G ϵk ( hoặc ) được xác định bởi các giá trị 2 theo hệ thức (3.43). Tương tự N Z vk như trong thuyết siêu dẫn, phương trình (3.49) bao giờ cũng có một nghiệm đơn giản ∆ = 0 ứng với các trạng thái không cặp (unpaired states) và nghiệm ∆ ≠ 0 ứng với các trạng thái cặp (paired states). Hai nghiệm này của phương trình khe không thể biến thiên liên tục sang nhau trong giới hạn ∆ → 0 và trong lý thuyết siêu dẫn người ta thường gắn hiệu ứng này với một quá trình chuyển pha (phase transition) từ trạng thái bình thường sang trạng thái cặp Cooper. Đối với hạt nhân thì nghiệm ∆ = 0 đương nhiên tương ứng với các hạt nhân magic kép còn nghiệm ∆ ≠ 0 thì ứng với các hạt nhân có từ 2 nucleon hóa trị trở lên nằm trong trạng thái đơn hạt của một lớp vỏ mở. Như đã bàn ở trên, các trạng thái kích thích đầu tiên của hạt nhân thương được cấu trúc từ những nucleon hóa trị này. Cụ thể, quá trình kích thích hạt nhân có thể hiểu trong một kịch bản vi mô là một vài nucleon hóa trị được nhấc từ các mức đơn hạt của trạng thái cơ bản lên các mức đơn hạt nằm ở năng lượng cao hơn nhờ một phản ứng hạt nhân nào đó. Nguyên lý Pauli đòi hỏi là các mức năng lượng cao hơn phải là rỗng (không có chứa nucleon) thì quá trình kích thích hạt nhân này mới xảy ra được, nghĩa là 2 ≈ đối với các trạng thái đơn hạt | ⟩ này. Từ hình 3.8 ta vk 0 k thấy rằng một mức năng lượng đơn hạt cao như vậy phải nằm cách mức ban đầu ít nhất một khoảng cách gần bằng ∆. Hiệu ứng này được minh họa khá rõ trên phổ phân rã của hạt nhân hợp phần (compound nucleus) 195Pt về các γ n+ 78 trạng thái kích thích khác nhau của hạt nhân platin (platinum) 196Pt (xem hình 78 3.9) đo được trong phản ứng bắt neutron cộng hưởng 195Pt(n, γ)196Pt. Ta thấy chỉ có thưa thớt vài đỉnh γ trong khoảng từ trạng thái cơ bản đến trạng thái kích thích tại năng lượng Ex ≈ 1.8 MeV và mật độ đỉnh tăng đột biến ngay sau trạng thái này. Một trạng thái kích thích thường được cấu trúc từ những cặp nucleon hóa trị khác nhau và vì thế năng lượng kích thích phải đủ lớn để "nhấc" 121
dược cặp nucleon từ lớp vỏ hóa trị lên một lớp vỏ rỗng nằm cao hơn, nghĩa là 196 Ex & 2∆. Từ phổ γ trên hình 3.9 ta có ∆ ≈ 0.9 MeV đối với hạt nhân Pt. Trong thực tế, người ta xác định được giá trị thực nghiệm của ∆ ≈ 0.7 ∼ 1 MeV từ những phổ γ tương tự như phổ của phản ứng 195Pt(n, γ)196Pt trên hình 3.9. Tóm lại, hiệu ứng cặp là một trong những đặc trưng cấu trúc rất quan trọng của các hạt nhân khối lượng trung bình và nặng. Chỉ sau khi áp dụng phương pháp BCS thì ta mới có thể xây dựng được các hàm sóng và năng lượng đơn hạt chuẩn để dùng tiếp tục trong các nghiên cứu cấu trúc hạt nhân ở các trạng thái kích thích khác nhau. 3.1.5 Cấu trúc hạt nhân kích thích và mẫu vỏ Trong các phần trên ta chủ yếu xét cấu trúc của một hạt nhân nằm trong trạng thái cơ bản của nó. Trên thực tế, phần phức tạp nhất của cấu trúc hạt nhân chính là cấu trúc các trạng thái kích thích khác nhau của hạt nhân như thí dụ của 196Pt trình bày trên hình 3.9. Cấu trúc vi mô của hạt nhân trong các trạng thái kích thích là vô cùng phức tạp, đòi hỏi những tính toán quy mô rất lớn trong khuôn khổ của mẫu vỏ hạt nhân (nuclear shell model, viết tắt là SM). Một trong những dạng kích thích hay gặp nhất là các trạng thái dao động (vibrational states) của hạt nhân mà thường quan sát được trong các phản ứng tán xạ phi đàn hồi của electron, proton và ion nặng trên hạt nhân. Trong các phản ứng này hạt nhân được chuyển dịch từ trạng thái ban đầu (với spin π và chẵn lẻ πi ) lên trạng thái kích thích (với spin và chẵn lẻ f ). Độ mạnh Ji Jf của một chuyển dịch như vậy được xác định qua cường độ xác suất chuyển (transition probability) mà có thể đo được từ thực nghiệm. Đối với các trạng 122
thái kích thích điện Eλ thì cường độ xác suất chuyển được xác định theo π π πi → f |⟨ f | ˆ | πi ⟩|2 trong đơn vị 2 2λ (3.50) B(Eλ; Ji Jf ) = Jf O(Eλ) Ji , e fm . π | πi ⟩ là hàm sóng hạt nhân trong trạng thái đầu (initial state) và | f ⟩ là hàm Ji Jf sóng hạt nhân trong trạng thái cuối (final state). Oˆ(Eλ) là toán tử chuyển dịch điện Eλ với λ là moment góc chuyển (angular momentum transfer). Giá trị λ phải thỏa mãn luật bảo toàn moment góc và độ chẵn lẻ trong chuyển dịch hạt π nhân | πi ⟩ → | f ⟩, nghĩa là | − | 6 6 và − λ ì . Ji Jf Ji Jf λ Ji + Jf πf = ( 1) πi Chi tiết về toán tử chuyển dịch điện từ Oˆ(E(M)λ) cùng các biểu thức tường Hình 3.10: Các trạng thái dao động bề mặt của hạt nhân được kích thích bởi một chuyển dịch điện Eλ với λ = 1 (dipole), 2 (quadrupole), 3 (octupole) và 4 (hexadecapole). Minh họa theo tài liệu [23] minh của xác suất chuyển dịch B(E(M)λ) được trình bày cụ thể trong phần tham khảo 4.4. Khi cường độ của chuyển dịch đủ mạnh, hạt nhân ở trong các trạng thái dao động Eλ được đặc trưng bởi các biến dạng động học (dynamic 123
deformation) bề mặt khác nhau như minh họa trên hình 3.10. Đối với một hạt nhân chẵn-chẵn ta có πi + (khi | πi ⟩ là trạng thái cơ bản) và các trạng thái Ji = 0 Ji kích thích trên hình 3.10 tương ứng có spin và độ chẵn lẻ πf − + − Jf = 1 , 2 , 3 và 4+. Sau đây chúng ta sẽ làm quen với những nét cơ bản của mẫu vỏ hạt nhân thường được dùng để nghiên cứu và mô tả cấu trúc các trạng thái kích thích của hạt nhân. Cơ sở vật lý chính của mẫu vỏ là mỗi hạt nhân được xét đến như một hệ kết cấu từ một hạt nhân lõi trơ hình cầu (spherical inert core) và các nucleon hóa trị (valence nucleon). Bản thân lõi được cấu trúc từ các nucleon chiếm giữ các trạng thái đơn hạt khác nhau, bắt đầu từ 1s1/2 cho đến lớp vỏ kín gần một số magic (xem hình 3.4). Hạt nhân lõi được xét riêng biệt cho các neutron và proton bởi vì trường trung bình của chúng có dạng khác nhau như minh họa trên hình 3.5. Tất cả các lớp vỏ đơn hạt trong lõi đều được lấp đầy bởi các nucleon và vì thế lõi có đối xứng cầu cùng spin và độ chẵn lẻ π +. Jcore = 0 Như vậy, spin và độ chẵn lẻ của một trạng thái kích thích bất kỳ phải được hình thành theo một sơ đồ cộng moment góc hay là cặp spin (spin coupling) giữa spin của các nucleon hóa trị. Mặc dù hạt nhân trong trạng thái cơ bản có thể được mô tả trong IPM hoặc HF qua chuyển động độc lập của các nucleon trong trường trung bình hạt nhân không có tương tác với nhau, sự tồn tại của phổ phức tạp các trạng thái kích thích hạt nhân chỉ ra rằng ngoài tác dụng của trường trung bình các nucleon trong hạt nhân (đặc biệt là các nucleon hóa trị) sẽ tương tác với nhau khi được kích thích bởi một dạng phản ứng hạt nhân để cấu trúc thành các trạng thái kích thích tương ứng. Tương tác ngoài khuôn khổ trường trung bình như vậy thường được gọi là tương tác thặng dư (residual interaction) và ký hiệu bằng vres. Như vậy, hiệu ứng tương tác cặp xét ở trên trong lý thuyết BCS cũng là một dạng đặc biệt của tương tác thặng dư mà còn được gọi là cặp đơn cực (monopole pairing) hiện diện ngay trong trạng thái cơ bản của hạt nhân. 124
Hình 3.11: Đa mức các trạng thái cặp nucleon với spin J tạo thành bởi tương tác thặng dư. Phần hình trên tương ứng với hai nucleon của cùng một mức đơn hạt ban đầu, phần dưới cho hai nucleon ban đầu thuộc hai mức đơn hạt khác nhau. Minh họa từ tài liệu [24] Hàm sóng hạt nhân trong mẫu vỏ được xác định bởi tập hợp các trạng thái khác nhau của các nucleon hóa trị. Ngay cả khi ta chỉ hạn chế ở một vài trạng thái đơn hạt nằm trên mức Fermi, số các trạng thái khả dĩ của các nucleon hóa trị có thể rất lớn. Thí dụ, 6 neutron nằm ngoài lõi neutron trơ cấu trúc từ 8 neutron trong hạt nhân silicon 28Si có thể nằm trên các mức 1d , 2s và 14 5/2 1/2 1d3/2 (xem hình 3.4), với 12 trạng thái đơn hạt khả dĩ tương ứng với các giá trị hình chiếu m khác nhau của j. Như vậy, số các trạng thái cho phép ứng với 6 neutron này sẽ bằng tổ hợp C6 . Do số các trạng thái khả dĩ cho 6 proton 12 = 924 hóa trị của 28Si cũng bằng 924, tổng số các trạng thái cho phép của tập hợp 6 neutron và 6 proton hóa trị trong hạt nhân 28Si sẽ bằng C6 ìC6 . 12 12 = 853776 125
Mỗi một trạng thái cho phép của 6 neutron hóa trị trong 28Si được mô tả bằng một định thức Slater (3.29) tức là tích phản đối xứng của 6 hàm sóng đơn neutron. Tương tự ta cũng có một định thức Slater của 6 hàm sóng đơn proton và thành phần tương ứng trong hàm sóng toàn phần của hạt nhân 28Si trong mẫu vỏ được xác định bởi tích của hai định thức Slater này. Như vậy, trong mẫu vỏ hạt nhân hàm sóng toàn phần của 28Si phải được tìm đưới dạng chồng chất (superposition) của 853776 tích các cặp định thức Slater của các neutron và proton hóa trị. Đối với mỗi trạng thái cho phép của các neutron hoặc proton hóa trị, tương tác thặng dư mà thường được xét đến dưới dạng tương tác hai hạt (two-body interaction) liên kết từng cặp hai nucleon vào đa mức các trạng thái với spin khác nhau như minh họa trên hình 3.11. Thí dụ hai neutron hóa trị nằm trên 28 mức 1d5/2 của hạt nhân Si có thể cặp với nhau, qua tương tác vres, thành các trạng thái cặp hai neutron với spin J π = 0+, 2+ và 4+. Những trạng thái thành phần này sẽ có đóng góp nhất định vào cấu trúc các trạng thái kích thích hạt nhân với spin πf + + và +. Như vậy, để hiểu được cấu trúc vi mô Jf = 0 , 2 4 của các trạng thái kích thích hạt nhân | πf ⟩ như chồng chất các trạng thái hai Jf nucleon khác nhau với spin π πf , ta cần biết những "qui tắc" lượng tử cho J = Jf quá trình cặp hai nucleon qua tương tác thặng dư (xem hình 3.11). Thí dụ khi hai nucleon nằm trên hai mức n1l1j1 ≡ j1 và n2l2j2 ≡ j2 của lớp vỏ hóa trị cặp với nhau thành trạng thái cặp hai nucleon với spin tổng J thì các định luật bảo toàn moment góc và độ chẵn lẻ đòi hỏi l1+l2 |j1 − j2| 6 J 6 (j1 + j2) và π = (−1) . (3.51) Các giá trị khả dĩ của J được xác định khác nhau trong trường hợp hai nucleon là đồng loại (identical nucleons, như p − p, n − n) và khác loại (non-identical nucleons, như p − n). Hai nucleon đồng loại luôn có spin đồng vị tổng T = 1 với χT là hàm đối xứng và vì thế nguyên lý Pauli yêu cầu hàm sóng của cặp 126
nucleon này trong không gian tọa độ phải là hàm phản đối xứng (xem mục tham khảo 4.2.3). Trong ký hiệu của mẫu vỏ hàm sóng phản đối xứng của cặp hai nucleon đồng loại thuộc về cùng một mức đơn hạt j được xác định theo ∑ ′ ′ ′ |jj; JM⟩ = C ⟨jmjm |JM⟩(|jm⟩1|jm ⟩2 − |jm ⟩1|jm⟩2) ′ m,m∑ ′ ′ ′ = C (⟨jmjm |JM⟩ − ⟨jm jm|JM⟩)|jm⟩1|jm ⟩2 ′ m,m ∑ 2j−J ′ ′ = C[1 − (−1) ] ⟨jmjm |JM⟩|jm⟩1|jm ⟩2. (3.52) m,m′ Do 2j là một số lẻ, ta có hàm sóng trên chỉ khác không khi J là một số chẵn. Nghĩa là J = 0, 2, 4, 6 đối với hàm sóng của một cặp hai nucleon cùng loại thuộc về cùng một mức đơn hạt nlj. Phần trên của hình 3.11 minh họa một số thí dụ điển hình của các trạng thái cặp như vậy. Nếu hai nucleon cùng loại nằm trong hai lớp vỏ đơn hạt n1l1j1 và n2l2j2 khác nhau thì spin J cùng với độ chẵn lẻ π của hàm sóng cặp chỉ cần thỏa mãn thỏa mãn điều kiện (3.51) là đủ (xem minh họa tại phần dưới hình 3.11). Đối với hai nucleon khác loại (p − n) với Tz = 0 ta phải xét riêng hai trường hợp spin đồng vị T = 0 và T = 1. Cụ thể, khi T = 1 (χT là hàm đối xứng) thì hàm sóng của cặp p − n trong không gian tọa độ được xác định hoàn toàn như trường hợp hai nucleon cùng loại ở trên. Khi T = 0 (χT là hàm phản đối xứng) thì hàm sóng của cặp p − n trong không gian tọa độ phải là hàm đối xứng ∑ |j1j2; JM⟩ = C ⟨j1m1j2m2|JM⟩(|j1m1⟩1|j2m2⟩2 + |j2m2⟩1|j1m1⟩2) m1,m2 (3.53) và J có thể nhận giá trị lẻ ngay cả khi j1 = j2. Thừa số ⟨j1m1j2m2|JM⟩ là hệ số Clebsch-Gordan của phép cộng hai moment góc j1 và j2 (xem định nghĩa trong mục tham khảo 4.2.1), hằng số C trong (3.52) và (3.53) được xác định từ điều kiện trực chuẩn của hàm sóng cặp trong từng trường hợp. Tuy mỗi một hàm sóng khả dĩ của các nucleon hóa trị đều phải có một giá 127
∑ trị hình chiếu moment góc M = mi xác định, trong các tính toán thực tế của mẫu vỏ người ta thường chỉ xét đến các hàm sóng thành phần với M = 0 nhờ tính bất biến quay của hàm sóng hạt nhân (2J + 1 thành phần của hàm sóng hạt nhân |JM⟩ với hình chiếu M khác nhau đều tương ứng với cùng một năng lượng kích thích EJ của hạt nhân). Tổng số các hàm sóng |JM⟩ với M = 0 cho tập hợp các giá trị được xét của spin hạt nhân J được gọi là kích thước của mẫu vỏ (shell model dimension). Trong thí dụ 28Si, số các trạng thái thành 28 Hình 3.12: Phổ các trạng thái kích thích khác nhau trong Si tính từ mức đơn hạt 1d5/2 của trạng thái cơ bản. Các kết quả tính toán sử dụng cơ sở mẫu vỏ với kích thước D khác nhau được so sánh với phổ thực nghiệm. Minh họa từ tài liệu [36] phần cho phép với M = 0 là 93710 (xem hình 3.12) gần 10 lần nhỏ hơn tổng số tất cả các trạng thái với các giá trị M khác nhau. Các trạng thái với M = 0 được dùng làm hệ hàm sóng cơ sở của mẫu vỏ (shell model basis) cho các tính toán cấu trúc hạt nhân. Như vậy, kích thước mẫu vỏ D được xác định theo D = Cnπ ì Cnν ì F, (3.54) Nπ Nν 128
với F là tỷ lệ các trạng thái thành phần với M = 0. Kích thước cơ sở mẫu vỏ D tăng với tốc độ bùng nổ cùng với độ tăng của số nucleon trong hạt nhân. Thí dụ, đối với hạt nhân nicken 56Ni ta có cho 8 neutron và 28 D = 1087455228 8 proton hóa trị nằm trong các lớp 2p-1f. Các tính toán với cơ sở mẫu vỏ lớn như vậy là thách thức kỹ thuật rất lớn và nhiều phương pháp tính toán số đã được phát triển để thực hiện các tính toán cấu trúc hạt nhân trong mẫu vỏ. Hàm sóng của hạt nhân Ψi trong một trạng thái kích thích i bất kỳ (với spin và độ chẵn lẻ J π) được xác định trong mẫu vỏ từ nghiệm của phương trình Schroedinger Hˆ Ψi = [Hˆ0 + Vˆres]Ψi = EiΨi, (3.55) với Hˆ0 là Hamiltonian của hạt nhân trong trường trung bình và Vˆres là thành phần mô tả tương tác thặng dư giữa các nucleon hóa trị. Hàm sóng Ψi được tìm trong dạng khai triển theo toàn bộ các hàm Φk của cơ sở mẫu vỏ mà có cùng spin và chẵn lẻ với , nghĩa là πk π, Ψi Jk = J ∑ Ψi = akiΦk. (3.56) k Điều kiện trực chuẩn của các hệ số aki được xác định từ các hệ thức trực giao của Ψi và Φk ∑ ⟨Ψi′ Ψi⟩ = δii′ , ⟨Φk′ Φk⟩ = δkk′ ⇒ akiak′i′ = δii′ . (3.57) kk′ Nhân vế trái phương trình (3.55) với ∗ và lấy tích phân theo toàn bộ không Ψi′ gian tọa độ, ta thu được ∑ ak′i′ Hk′kaki = Eiδi′i, với Hk′k = ⟨Φk′ |H|Φk⟩. (3.58) k′k 129
) ) + (2 x B(E2) E N Hình 3.13: Năng lượng kích thích (trong đơn vị MeV) của các trạng thái + trong các Ex 21 hạt nhân nhẹ cùng xác suất chuyển dịch → + 4/3 (trong đơn vị B(E2) = B(E2; g.s. 21 )/(5Z ) e2 fm4). Số liệu thực nghiệm được biểu diễn bằng điểm tròn đen còn các kết quả tính toán của mẫu vỏ hạt nhân là các hình vuông và dấu x. Minh họa từ tài liệu [37] Trong thực tế (3.58) là một phép nhân ma trận A−1HA = E         a a ããã H H ããã a a ããã E 0 ããã  11 21   11 12   11 12   1           a12 a22 ããã   H21 H22 ããã   a21 a22 ããã  =  0 E2 ããã  . . . . . . . . . . . . . . . . . (3.59) Ma trận A của các hệ số khai triển aki có kích thước Dk ì Di và các ma trận H và E có kích thước Di ì Di, với Dk là số các hàm cơ sở Φk có spin và chẵn lẻ πk π và là số các trạng thái có spin và độ chẵn lẻ πi π và Jk = J Di Ψi Ji = J 130
năng lượng kích thích Ei. Như vậy, việc giải phương trình Schroedinger (3.55) hoàn toàn tương đương với bài toán chéo hóa ma trận Hk′k để tìm hàm riêng Ψi qua triển khai (3.55) cùng các trị riêng Ei tương ứng. Bài toán chéo hóa ma trận H có kích thước lớn luôn là một thách thức rất lớn của các tính toán cấu trúc trong mẫu vỏ hạt nhân. Thí dụ các kết quả tính toán mẫu vỏ cho hạt nhân 28Si trình bày trên hình 3.12 cho ta thấy phổ thực nghiệm các trạng thái kích thích với spin khác nhau (J = 0, 2, 3, 4) chỉ có thể được mô tả tốt khi kích thước mẫu vỏ được chọn lớn nhất có thể (D = 93710 trong trường hợp này). Tuy nhiên, đối với các hạt nhân có số khối A lớn kích thước mẫu vỏ D có thể lên tới hơn 1 tỷ (như đối với hạt nhân 56Ni bàn ở trên) và bài toán chéo hóa ma trận (3.59) thường phải được thực hiện bằng một phương pháp tính toán phát triển chuyên cho mục đích này (phương pháp Lanczos) trong các tính toán song song (parallel computing) trên siêu máy tính (supercomputer). Đối với các hạt nhân nặng với kích thước mẫu vỏ quá lớn, bài toán chéo hóa ma trận (3.59) không thể giải được chính xác ngay cả trên những siêu máy tính lớn và khi đó người ta bắt buộc phải sử dụng các phương pháp gần đúng như phương pháp Monte Carlo để chọn lựa và xây dựng một hệ cơ sở gần đúng cho mẫu vỏ hạt nhân với kích thước hợp lý [36]. Đối với đa số các trạng thái kích thích dao động trong hạt nhân, các tính toán mẫu vỏ không chỉ mô tả tốt được năng lượng của một trạng thái kích thích qua trị riêng Ei tương ứng mà còn mô tả được cường độ chuyển dịch điện từ thực nghiệm (được xác định từ phổ rã γ của những trạng thái này). Độ tin cậy của các tính toán mẫu vỏ cho cấu trúc các trạng thái dao động 2+ đầu tiên ( πi +) trong hạt nhân được minh họa trên hình 3.13. Hàm sóng hạt i = 1,Ji = 2 nhân tính toán trong mẫu vỏ có thể được sử dụng trong các tính toán phản ứng hạt nhân để mô tả tiết diện phản ứng kích thích những trạng thái tương ứng được đo từ thực nghiệm [38, 39]. 131
3.1.6 Phương pháp giả hạt Bogolyubov Ngoài mẫu vỏ hạt nhân, một phương pháp phổ biến khác dùng để nghiên cứu cấu trúc vi mô của hạt nhân là phương pháp giả hạt Bogolyubov (Bogolyubov quasi-particle) dựa trên cơ sở thống kê lượng tử mà cũng được sử dụng trong vật lý chất rắn để nghiên cứu cấu trúc các trạng thái đa electron (khi số hạt fermion của hệ lớn hơn rất nhiều so với số nucleon trong một hạt nhân nặng). Nếu như trong mẫu vỏ hạt nhân ta phải xét đến tất cả các trạng thái khả dĩ của các nucleon hóa trị để xây dựng hàm sóng hạt nhân kích thích, thì trong phương pháp Bogolyubov các trạng thái kích thích của hạt nhân có thể được mô tả trên cơ sở bậc tự do của các giả hạt. Để hiểu được những nét chính của biểu diễn giả hạt ta cần nắm được khái niệm trạng thái lỗ (hole state) trong cấu trúc vỏ hạt nhân. Thí dụ của trạng thái lỗ có thể được minh họa trên phổ các trạng thái kích thích của những hạt nhân nhẹ đứng cạnh 16O trong bản tuần hoàn các nguyên tố (xem hình 3.14). Cụ thể, trạng thái cơ bản của 15O và 15N có thể được mô tả như trạng thái lỗ với j = 1/2 vì mức Fermi nlj=1p1/2 của neutron hóa trị trong 15O hoặc proton hóa trị trong 15N có một vị trí trống. Do đó, ký hiệu phổ của trạng thái cơ bản trong trường hợp hai hạt nhân này là p−1 . Trong khi hai trạng thái kích thích thấp nhất của 15O và 15N tương ứng với 1/2 hai trạng thái đơn hạt (nucleon trên mức đơn hạt 1d5/2 và 2s1/2), hai trạng thái kích thích tại 6.33 và 6.16 MeV tương ứng với trạng thái đơn lỗ 1p−1 thường 3/2 quan sát được trong các phản ứng lấy một nucleon (one-nucleon pickup) từ hạt nhân 16O. Ngược lại, trạng thái 3/2+ tại 5.1 MeV trong phổ của 17O hoặc 17 F tương ứng với trạng thái đơn hạt 1d3/2 quan sát được trong các phản ứng bắt một nucleon (one-nucleon capture) bởi 16O. Từ các thí dụ trình bày trên hình 3.11 ta thấy một nucleon hóa trị trên mức đơn hạt j1 cao hơn mức Fermi có thể cặp với một nucleon hóa trị trong một mức đơn hạt j2 với năng lượng thấp hơn (thuộc một lớp vỏ mở) để tạo thành một trạng thái cặp với spin tổng 132
Hình 3.14: Phổ các trạng thái kích thích của các hạt nhân nhẹ bên cạnh hạt nhân magic 16 16 kép O tính từ năng lượng của trạng thái cơ bản của mỗi hạt nhân: Eg.s.( O) ≈ −128 15 15 17 MeV, Eg.s.( O) ≈ −112.3 MeV, Eg.s.( N) ≈ −115.9 MeV, Eg.s.( O) ≈ −132.1 MeV và 17 Eg.s.( F) ≈ −128.6 MeV. Minh họa từ tài liệu [17] |j1 − j2| 6 J 6 j1 + j2. Một trạng thái cặp hai nucleon này có thể được mô tả như một trạng thái cặp giữa hạt nucleon ở mức j1 với một lỗ trống trong mức j2 hay là một kích thích hạt-lỗ (particle-hole excitation). Đây là bức tranh vật lý thường gặp trong các hệ đa fermion (electron trong hợp chất bán dẫn hoặc nucleon trong hạt nhân nguyên tử) và được sử dụng để xây dựng các phương pháp nghiên cứu vi mô cấu trúc hợp chất bán dẫn hoặc cấu trúc hạt nhân trên cơ sở biểu diễn giả hạt Bogolyubov. Phép biểu diễn giả hạt Bogolyubov được rút ra từ các biến đổi chính tắc (canonical transformation) của thống kê lượng tử và do Nikolay Nikolaevich 133
Bogolyubov (giáo sư, viện sỹ Viện hàn lâm khoa học Liên Xô cũ) đưa ra trong những năm 50 của thế kỷ trước. Hoàn toàn độc lập với Bardeen, Cooper và Schrieffer, phương pháp thống kê lượng tử này đã được Bogolyubov dùng để mô tả chuẩn xác hiệu ứng siêu dẫn của electron trong kim loại và thành tựu quan trọng này của ông đã được đánh giá bằng giải thưởng Lenin năm 1957 (giải thưởng cao quý nhất của Liên Xô cũ). Sau đây, chúng ta sẽ làm quen ngắn gọn với phương pháp Bogolyubov trong biểu diễn lượng tử hóa thứ cấp của cơ học lượng tử (xem phần tham khảo 4.3). Cụ thể, trong ký hiệu của các toán tử sinh và hủy hạt dùng trong các hệ thức (3.40)-(3.41), các toán tử sinh và hủy giả hạt Bogolyubov được xác định như sau + + − − + αk = ukak vka−k, αk = ukak vka−k, + + + (3.60) α−k = uka−k + vkak, α−k = uka−k + vkak . Như vậy, + sinh đồng thời một hạt trong trạng thái | ⟩ với biên độ (trạng αk k uk thái đang rỗng với xác suất 2) và một lỗ trong trạng thái | − ⟩ với biên độ uk k vk (trạng thái đang có hạt với xác suất 2). Các quy tắc giao hoán của các toán tử vk sinh và hủy fermion được thỏa mãn bởi + và nếu 2 2 αk αk uk + vk = 1 + + + { } { ′ } và { } ′ (3.61) αk , αk′ = αk, αk = 0 αk, αk′ = δkk . Các toán tử + và được biểu diễn ngược lại qua + và như sau ak ak αk αk + + + ak = ukαk + vkα−k, ak = ukαk + vkα−k, + + − − + (3.62) a−k = ukα−k vkαk, a−k = ukα−k vkαk . Tiếp đây ta xét Hamiltonian hạt nhân trong dạng tổng của Hamiltonian đơn hạt và thành phần tương tác hai hạt ∑ ∑ 0 + 1 ′ ′ + + Hˆ = Hˆ + Vˆ = ϵ a a + ⟨k k |v|k k ⟩a a a ′ a ′ . (3.63) 0 k k k 1 2 1 2 k1 k2 k2 k1 2 ′ ′ k k1,k2,k1,k2 Sau khi lắp (3.62) vào Hamiltonian (3.63) và thực hiện phép tính biến phân δ⟨0|Hˆ − λNˆ|0⟩ = 0 theo uk hoặc vk, với hàm sóng trạng thái cơ bản |0⟩ được 134
xét như chân không giả hạt (quasi-particle vacuum, αk|0⟩ ≡ 0), ta thu được các phương trình tương tự như (3.48) cho các hệ số u và v ( ) ( k k ) 1 ϵ 1 ϵ v2 = 1 − √ k , u2 = 1 + √ k . (3.64) k 2 2 2 k 2 2 2 ϵk + ∆k ϵk + ∆k Năng lượng đơn hạt trong (3.64) được xác định theo 0 − (3.65) ϵk = ϵk λ + Γkk, với Γkk là yếu tố đường chéo của thế Hartree-Fock-Bogolyubov (HFB) sau ∑ ′′ ′ ′′ 2 ′ ⟨ | | ⟩ (3.66) Γkk = kk v k k vk′′ . k′′ Thế HFB trên có thể thu được chính xác từ các phép biến đổi chính tắc Bo- golyubov của Hamiltonian hạt nhân trong trường trung bình Hartree-Fock. Ngoài ra phương trình khe để xác định ∆k cũng có dạng tương tự với (3.46) 1 ∑ ⟨k − k|v|k′ − k′⟩ ∆ = − √ ∆ ′ . (3.67) k 2 2 2 k k′>0 ϵk′ + ∆k′ Như vậy, phương pháp Bogolyubov đương nhiên dẫn tới phương trình dạng BCS mô tả hiệu ứng cặp qua thành phần ⟨k −k|v|k′ −k′⟩ của tương tác hai hạt trong Hamiltonian hạt nhân (3.63). Phương trình khe (3.67) sẽ trùng với phương trình ′ ′ khe (3.49) của mẫu BCS nếu ta cho ⟨k − k|v|k − k ⟩ ≈ −Gδkk′ và ∆k ≈ ∆. Rõ ràng mẫu BCS chỉ là một dạng gần đúng của phương pháp Bogolyubov khi ta dùng cùng một tương tác cặp cho tất cả các cặp nucleon trong các trạng thái |k − k⟩ khác nhau và cùng một giá trị ∆ cho các trạng thái đơn hạt |k⟩ khác nhau. Từ dạng tường minh (3.60) của αk ta dễ dàng suy ra αk|BCS⟩ = 0 và như vậy |BCS⟩ cũng có thể được xét gần đúng như chân không giả hạt mà là trạng thái cơ bản của một hạt nhân chẵn-chẵn trong hình thức luận Bogolyubov. Trong phép gần đúng này Hamiltonian (3.63) của một hạt nhân chẵn-chẵn có thể được biểu diễn dưới dạng ∑ ˆ ≈ ˆ + + (3.68) H H0 + Ek(αk αk + α−kα−k) + Vres, k>0 135
với Vres là phần tương tác thặng dư còn lại sau khi tách thành phần tương tác cặp ⟨k − k|v|k′ − k′⟩ để dùng xây dựng cơ sở các trạng thái giả hạt. Ngoài ra, H |BCS⟩ = E |BCS⟩ với E là năng lượng hạt nhân trong trạng thái cơ bản 0 √ 0 0 và 2 2 là năng lượng giả hạt (quasi-particle energy). Hàm sóng Ek = ϵk + ∆k một hạt nhân (chẵn-chẵn) kích thích phải được cấu trúc từ các trạng thái ∗ + + ∗ | ⟩ với năng lượng ′ ′ (3.69) Ψ = αk αk′ BCS , E = Ek + Ek > ∆k + ∆k . Như vậy mức năng lượng trạng thái kích thích nằm cách trạng thái cơ bản một khoảng ∆ ≥ ∆k + ∆k′ mà thường được gọi là khe năng lượng (energy gap). Đối với hạt nhân lẻ, hàm sóng trạng thái cơ bản được xác định theo ∼ +| ⟩ | ⟩ và trạng thái kích thích xuất hiện khi đơn hạt được Ψg.s. αk BCS = k nhấc từ mức |k⟩ lên một mức |k′⟩ cao hơn. Khi đó, năng lượng kích thích của ∗ hạt nhân lẻ là E = Ek′ − Ek, tương đương với khoảng cách trung bình giữa các mức đơn hạt và như vậy trong phổ năng lượng hạt nhân lẻ không tồn tại một khe năng lượng điển hình như ∆ trong trường hợp hạt nhân chẵn-chẵn. 3.1.7 Phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên Khác với mẫu vỏ khi trạng thái kích thích của hạt nhân được xây dựng trên cơ sở của một tập hợp rất lớn các hàm sóng đơn hạt của các nucleon hóa trị, trong biểu diễn giả hạt Bogolyubov hàm sóng một trạng thái kích thích của hạt nhân chẵn-chẵn có thể được xây dựng dưới dạng chồng chất của các trạng thái hai giả hạt (3.69). Với biên độ của mỗi trạng thái giả hạt |k⟩ được xác định từ nghiệm của phương trình HFB hoặc BCS, hệ các hàm sóng cơ sở (3.69) thường nhỏ hơn đáng kể so với cơ sở các hàm sóng nucleon phải xét đến trong mẫu vỏ hạt nhân. Đây là nét chính của phương pháp nghiên cứu vi mô cấu trúc hạt nhân dựa trên gần đúng pha ngẫu nhiên (random phase approximation, viết tắt là RPA) mà đã được dùng khá phổ biến để nghiên cứu cấu trúc các trạng 136
thái đa electron trong vật lý chất rắn. Trong VLHN, phương pháp RPA đã được dùng rất hiệu quả để nghiên cứu cấu trúc vi mô của các trạng thái dao động bề mặt hạt nhân (xem hình 3.10). Phương pháp RPA trên cơ sở các bậc tự do giả hạt Bogolyubov đã được Vadim Georgievich Soloviev cùng cộng sự tại Viện liên hợp nghiên cứu Hạt nhân Dubna (Liên Xô cũ) xây dựng và phát triển rất thành công cho các tính toán cấu trúc hạt nhân [20]. X Y j1 Fermi j2 Hình 3.15: Sơ đồ minh họa trạng thái hai giả hạt (3.69) trong lớp vỏ nucleon hóa trị sinh bởi các thành phần X (trạng thái hạt-lỗ) và Y (trạng thái lỗ-hạt ) của toán tử sinh phonon (3.71). Trong ký hiệu tường minh của spin giả hạt j với hình chiếu m, một trạng thái cặp giả hạt (3.69) được xây dựng trong mẫu Soloviev như sau ∑ |j j ; JM⟩ = A+(j j ; JM)|BCS⟩ ≡ ⟨j m j m |JM⟩α+ α+ |BCS⟩, 1 2 1 2 1 1 2 2 j1m1 j2m2 m m 1 2 (3.70) với ⟨j1m1j2m2|JM⟩ là hệ số Clebsch-Gordan của phép cộng hai moment góc j1 và j2. Nếu ta xét một trạng thái dao động hạt nhân ν bất kỳ với spin J như một phonon (tương tự với khái niệm phonon dao động mạng tinh thể trong vật 137
lý chất rắn), thì trong biểu diễn lượng tử hóa thứ cấp toán tử sinh phonon này được xác định như sau ∑ [ ] Q+(JM) = XJν A+(j j ; JM) − (−)J−M Y Jν A(j j ; J − M) . ν j1j2 1 2 j1j2 1 2 j1j2 (3.71) Tính chất của + có thể được trình bày đơn giản như sau: nếu ≡ Qν (JM) j1 n1l1j1 là một mức đơn hạt nằm trên mức Fermi và j2 ≡ n2l2j2 là mức nằm dưới mức Fermi ( ≤ ≥ và ≥ ≤ trong trạng thái cơ bản) thì số uj1 1, vj1 0 uj2 0, vj2 1 hạng đầu trong tổng (3.71) sẽ tương ứng với quá trình sinh một hạt trên mức j1 và một lỗ trên mức j2 và ngược lại, số hạng thứ hai sẽ tương ứng với quá trình sinh một lỗ trên mức j1 và một hạt trên mức j2 như minh họa trên hình 3.15. Tuy nhiên, đối với một mức nucleon hóa trị như j1 thì biên độ thành phần XJν sẽ lớn hơn nhiều thành phần Y Jν do mức j thường là mức được lấp kín j1j2 j1j2 2 trong trạng thái cơ bản (trước khi hạt nhân chuyển sang trạng thái kích thích) và nguyên lý Pauli không cho phép mức này chứa thêm một nucleon nữa. Các trạng thái dao động bề mặt của hạt nhân hay là các phonon cấu trúc từ các cặp hạt-lỗ thường hay quan sát được trong các phản ứng tán xạ phi đàn hồi của nucleon, hạt α hay ion nặng trên hạt nhân. Thí dụ trình bày trên hình 3.16 là phổ năng lượng được đo với detector silicon tại góc tán xạ Θ = 65◦ của proton tán xạ phi đàn hồi trên 120Sn và kích thích các trạng thái dao động phonon trong hạt nhân này. Trừ các đỉnh phổ tương ứng với tán xạ đàn hồi của proton trên 12C, 16O và các nguyên tố thành phần khác (impurities) trộn lẫn trong mẫu thí nghiệm của hạt nhân bia (target nucleus) của phản ứng 120Sn(p, p′), các đỉnh tương ứng với năng lượng kích thích của các trạng thái dao động phonon của 120Sn được xác định khá rõ ràng cùng với spin và độ chẵn lẻ J π. Trong phương pháp RPA trạng thái cơ bản của một hạt nhân chẵn-chẵn |0⟩ được định nghĩa như chân không của phonon, nghĩa là Qν|0⟩ = 0 và trạng thái kích thích một phonon được xác định bởi +| ⟩ | ⟩. Trong phép gần đúng Qν 0 = ν 138
Hình 3.16: Phổ proton đo với detector silicon tại góc tán xạ Θ = 65◦ tương ứng với các trạng thái kích thích dao động (phonon) của hạt nhân 120Sn gây bởi phản ứng tán xạ proton phi đàn 120 hồi p+ Sn tại năng lượng Ep = 17.8 MeV. Minh họa từ tài liệu [19]. này ta có thể coi phonon như một hạt boson hiệu dụng với các toán tử sinh và hủy phonon (xem chi tiết trong phần tham khảo 4.3.3) thỏa mãn hệ thức giao hoán sau + ′ ′ ′ ′ ′ (3.72) [Qν(JM),Qν′ (J M )] = δνν δJJ δMM . Từ hệ thức (3.72) ta rút ra điều kiện chuẩn hóa cho các biên độ X và Y ∑ [(XJν )2 − (Y Jν )2] = 1. (3.73) j1j2 j1j2 j1j2 Nếu ta ký hiệu năng lượng trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích một phonon tương ứng là E0 và EJν thì Hˆ |0⟩ = E0|0⟩ và Hˆ |Jν⟩ = EJν|Jν⟩. (3.74) 139
Từ (3.74) ta có thể suy ra biểu thức "trung bình" sau ⟨ | ˆ + | ⟩ ⟨ | ˆ + | ⟩ − ⟨ | + | ⟩ 0 QJν[H,QJν] 0 = 0 [QJν, [H,QJν]] 0 = (EJν E0) 0 [QJν,QJν] 0 . (3.75) Phương trình RPA để xác định trị riêng EJν và các biên độ X và Y của hàm sóng trạng thái một phonon được suy từ phép tính biến phân sau ⟨ | ˆ + | ⟩ − ⟨ | + | ⟩ (3.76) 0 [δQJν, [H,QJν]] 0 = (EJν E0) 0 [δQJν,QJν] 0 , với + ≡ + . Phép biến phân được thực hiện lần lượt với biên QJν Qν (JM = 0) độ X và Y (nhưng không đồng thời cùng một lúc) và ta suy ra tương ứng hai phương trình RPA sau ∑ ( ) ′ ′ Jν ′ ′ Jν x Jν ⟨j1j2; J|B|j j ; J⟩X ′ ′ + ⟨j1j2; J|C|j j ; J⟩Y ′ ′ = E X 1 2 j1j2 1 2 j1j2 Jν j1j2 j′ j′ ∑1 2 ( ) ′ ′ ∗ Jν ′ ′ ∗ Jν x Jν ⟨j1j2; J|C|j j ; J⟩ X ′ ′ + ⟨j1j2; J|B|j j ; J⟩ Y ′ ′ = −E Y . 1 2 j1j2 1 2 j1j2 Jν j1j2 ′ ′ j1j2 (3.77) Năng lượng kích thích x của trạng thái | ⟩ được tính từ mức năng lượng EJν Jν của trạng thái cơ bản, nghĩa là x − . Chú ý là phương pháp RPA EJν = EJν E0 trên (sử dụng cơ sở các trạng thái giả hạt) thường chỉ được dùng để tính toán cấu trúc các trạng thái kích thích và không thể sử dụng để tính toán chính xác cả hàm sóng và năng lượng hạt nhân trong trạng thái cơ bản như mẫu vỏ. Các yếu tố ma trận B và C giữa các trạng thái cặp giả hạt j1j2 có spin tổng bằng J được xác định theo ′ ′ ′ ′ ⟨j j ; J|B|j j ; J⟩ = (E + E )δ ′ δ ′ + ⟨j j |v |j j ⟩ (3.78) 1 2 1 2 j1 j2 j1j1 j2j2 1 2 res 1 2 ⟨ | | ′ ′ ⟩ ⟨ ′ | | ′ ⟩ (3.79) j1j2; J C j1j2; J = j1j1 vres j2j2 Phương trình RPA (3.77) có thể biểu diễn qua phép nhân ma trận sau ( )( ) ( ) BC XJν XJν x (3.80) = EJν C∗ B∗ Y Jν Y Jν 140
Dạng phương trình RPA (3.80) được xây dựng đầu tiên trong vật lý chất rắn để nghiên cứu các hệ đa electron nhưng sau đó được dùng rất hiệu quả trong nghiên cứu cấu trúc hạt nhân. Phương pháp RPA trình bày ở đây còn được gọi là phương pháp RPA giả hạt (quasi-particle RPA, hay viết tắt là QRPA) để phân biệt với các phiên bản RPA được xây dựng trực tiếp trên cơ sở các trạng thái đơn hạt và đơn lỗ [23]. Hình 3.17: Biểu diễn đồ thị của nghiệm phương trình (3.84) với hai giá trị tham số khác nhau ( và ). Các giá trị tương ứng với năng lượng khác nhau của cặp hạt-lỗ. λ > 0 λ < 0 ε1,2, εj1j2 Minh họa từ tài liệu [21]. Trong nhiều trường hợp, các trạng thái kích thích thường có cấu trúc đặc trưng hạt-lỗ như đã bàn ở trên và biên độ Y có thể bỏ qua. Khi đó phương trình RPA (3.77) có thể được rút gọn về dạng phương trình Tamm-Dancoff sau ∑ [ ] ′ ′ Jν x Jν (Ej + Ej )δ ′ δ ′ + ⟨j1j2|vres|j j ⟩ X ′ ′ = E X . (3.81) 1 2 j1j1 j2j2 1 2 j1j2 Jν j1j2 ′ ′ j1j2 141
Để hiểu phương trình (3.81) mô tả các trạng thái hạt nhân kích thích như thế nào ta xét dạng gần đúng sau cho yếu tố ma trận của tương tác thặng dư ′ ′ ⟨j j |v |j j ⟩ ≈ λD D ′ ′ , (3.82) 1 2 res 1 2 j1j2 j1j2 với λ là thông số xác định cường độ của tương tác. Khi đó, phương trình (3.81) sẽ có dạng ∑ x Jν Jν (E − εj j )X = λDj j D ′ ′ X ′ ′ , với εj j = Ej + Ej . (3.83) Jν 1 2 j1j2 1 2 j1j2 j1j2 1 2 1 2 ′ ′ j1j2 Phương trình (3.83) dễ dàng được rút gọn về dạng phương trình cho năng lượng kích thích Ex như sau ∑ D2 1 j1j2 (3.84) − = . (Ex εj1j2 ) λ j1j2 Vế trái của (3.84) là hàm của năng lượng Ex với các điểm phân kỳ tại các giá trị năng lượng cặp hạt-lỗ . Các nghiệm x của phương trình εj1j2 = Ej1 + Ej2 EJν (3.84) được xác định từ các giao điểm của đường thẳng 1/λ với đường cong của hàm năng lượng bên vế trái như minh họa trên hình 3.17. Cũng như nucleon, hai giả hạt cũng có thể cặp với nhau thành 2 trạng thái với spin đồng vị tổng T = 0 hoặc 1. Do trạng thái hai nucleon với spin J và T = 1 có năng lượng kích thích nằm cao hơn so với năng lượng của trạng thái với spin J và T = 0, ta có λ > 0 đối với các trạng thái có T = 1 mà còn được gọi là các trạng thái đồng vị vector (isovector) và λ < 0 đối với các trạng thái đồng vị vô hướng (isoscalar) với T = 0. Thí dụ đối với hạt nhân 16O, trạng thái kích thích hạt-lỗ điển hình là trạng thái cặp giữa hạt trên mức 1d5/2 và lỗ trống trên mức 1p3/2. Một thái kích thích như vậy có thể có spin J π = 1−, 2−, 3−, 4− và được biểu −1 diễn dưới dạng [d ⊗p − − − − . Trong thực tế, hai trạng thái kích thích 5/2 3/2]1 ,2 ,3 ,4 của 16O với J π = 3− tại 6.13 MeV và với J π = 1− tại 7.12 MeV (xem hình 3.14) có thể được mô tả như các trạng thái kích thích đồng vị vô hướng hạt-lỗ [d ⊗p−1 . Trạng thái đồng vị vector với π − nằm ở năng lượng 5/2 3/2] J = 1 ,T = 1 cao hơn nhiều (∼ 22.6 MeV). 142
15000 RPA ) 4 10000 (fm 0 S 5000 0 15000 240 MeV data 386 MeV data /MeV) averaged RPA 4 10000 (fm x dE / 0 5000 dS 0 5 10 15 20 25 E (MeV) x Hình 3.18: Kết quả tính toán của phương pháp RPA (3.80) cho cường độ và năng lượng của các trạng thái kích thích dao động đơn cực với J π = 0+ trong vùng năng lượng cộng hưởng khổng lồ đơn cực của hạt nhân 208Pb và các số liệu thực nghiệm tương ứng rút ra từ phản ứng tán xạ α phi đàn hồi tại năng lượng Eα = 240 và 386 MeV. Minh họa từ tài liệu [40]. Ngoài cấu trúc các trạng thái kích thích tại năng lượng thấp, phương pháp RPA cũng có thể được dùng để nghiên cứu cấu trúc các trạng thái dao động cộng hưởng khổng lồ (giant resonance) của hạt nhân tại năng lượng kích thích cao (xem chi tiết ở mục 3.4 dưới đây) như tập hợp của một số lớn các trạng thái dao động hạt-lỗ có cùng spin J và spin đồng vị T . Thí dụ trên hình 3.18 cho thấy rằng phương pháp RPA có thể dùng để mô tả khá chuẩn xác cấu trúc vi mô của cộng hưởng khổng lồ đơn cực (giant monopole resonance) với π + 208 J = 0 ,T = 0 tại năng lượng Ex ≈ 14 MeV của hạt nhân chì Pb, một trong những trạng thái kích thích cộng hưởng khổng lồ đặc trưng của hạt nhân này [40]. 143
3.2 Mẫu kích thích dao động tập thể Mặc dù cấu trúc các trạng thái dao động kích thích của hạt nhân có thể được mô tả vi mô bởi mẫu vỏ hoặc phương pháp RPA Mẫu kích thích tập thể (collective excitation) cho các trạng thái dao động hạt nhân (xem minh họa trên hình 3.10) vẫn được sử dụng rộng rãi để mô tả vĩ mô các trạng thái kích thích này như những dao động tập thể của bề mặt hạt nhân và qua đó nghiên cứu hình dạng của hạt nhân kích thích mà thường rất khác biệt so với hình dạng hạt nhân trong trạng thái cơ bản. 3.2.1 Sự biến dạng của bề mặt hạt nhân Để hiểu được các mẫu kích thích tập thể hạt nhân, ta cần nắm được các nét chính về độ biến dạng của bề mặt hạt nhân (nuclear surface deformation) trên cơ sở mẫu giọt lỏng hạt nhân. Đối với hạt nhân nằm trong một trạng thái kích thích với năng lượng Ex thấp, hình dạng của hạt nhân có thể được xét đến như một giọt lỏng không nén với độ dày bề mặt rất mỏng (sharp surface). Khi đó, hình dạng bề mặt hạt nhân có thể được mô tả qua bán kính hạt nhân xác định theo   ∑∞ ∑λ  ∗  (3.85) R(θ, ϕ) = R0 1 + αλàYλà(θ, ϕ) , λ=0 à=−λ với R(θ, ϕ) là bán kính của hạt nhân trong hướng góc thân Ω = (θ, ϕ) và R0 là bán kính hạt nhân trong trạng thái cơ bản (có dạng hình cầu đối với đa số các hạt nhân có số proton Z và số neutron N gần với những số magic hạt nhân). Tổng trong (3.85) được lấy theo λ = 0, 1, 2, với à = −λ, −λ + 1, , λ. Ta thấy bề mặt của hạt nhân dao động được xác định bởi các thông số αλà và vì thế chúng còn được xét đến như là các tọa độ tập thể (collective coordinate) của hạt nhân. Tập hợp các thông số αλà là một tensor cầu bậc λ (xem định 144
nghĩa và các tính chất của tensor cầu trong phần tham khảo 4.2.2). Dưới đây là hai tính chất cơ bản của tọa độ αλà - Tính chất liên hợp phức: vì bán kính hạt nhân là một đại lượng thực nên ∗ ⇒ ∗ − à (3.86) R(θ, ϕ) = R (θ, ϕ) αλà = ( 1) αλ−à. - Biến đổi trong phép quay: do bề mặt hạt nhân vẫn có dạng (3.85) sau khi hạt nhân được quay một góc trong không gian R → R′ nên ∑ ∑ ′∗ ′ ∗ (3.87) αλàYλà(θ, ϕ) = αλàYλà(θ, ϕ). λà λà Như vậy, tập hợp các giá trị αλà với à = −λ, −λ + 1, , λ phải biến đổi trong một phép quay hoàn toàn giống như hàm cầu Yλà(θ, ϕ). Đây là một tính chất chung của αλà và Yλà(θ, ϕ) vì cả hai đại lượng này đều là tensor cầu bậc λ (xem phần tham khảo 4.2.2) và ta có ∑ ′ (λ) ′ (3.88) αλà = Dàà′ (θ)αλà . à′ (λ) là hàm Wigner của phép quay một góc Euler trong Dàà′ (θ) θ = (θ1, θ2, θ3) không gian ba chiều. Từ hệ thức (3.88) ta dễ thấy rằng αλà có độ chẵn lẻ π = (−1)λ. Các dạng bề mặt của hạt nhân biến dạng ứng với bán kính R(θ, ϕ) xác định bởi λ = 1, 2, 3, 4 được minh họa trên hình 3.10. Trong các biến dạng đa cực (multipole) này, biến dạng tứ cực (quadrupole) với λ = 2 là quan trọng nhất trong VLHN. Cụ thể, bề mặt của những hạt nhân có biến dạng tĩnh (static deformation) trong trạng thái cơ bản thường tương ứng với biến dạng tứ cực và vì thế những hạt nhân này luôn có một moment điện tứ cực Q2 có thể đo được từ thực nghiệm (như đã bàn ở trên trong chương 1.4). Ngoài ra, trong vùng năng lượng kích thích 0 ∼ 2 MeV của các hạt nhân chẵn-chẵn, trạng thái đầu tiên là trạng thái kích thích dao động điện tứ cực với J π = 2+ (xem hình 3.19) 145
và đây là là một trong những trạng thái đặc trưng quan trọng nhất của cấu trúc hạt nhân. Trong mẫu kích thích dao động tập thể, một trạng thái dao động tứ cực 2+ của một hạt nhân chẵn-chẵn thường được xét đến như trạng thái kích thích của một dao động tử điều hòa (harmonic oscillator). 3.2.2 Hạt nhân như một dao động tử điều hòa Như vậy, một hạt nhân chẵn-chẵn nằm trong trạng thái kích thích với J π ≡ π + có thể được xét đến như một dao động tử điều hòa mà còn được gọi λ = 21 ngắn trong VLHN là vibrator. Hamiltonian của một vibrator 2λ cực như vậy có thể được biểu diễn dưới dạng ∑λ ∑λ 1 2 Cλ 2 Hˆ = |πλà| + |αλà| , (3.89) 2Bλ 2 à=−λ à=−λ với πλà là moment xung lượng tương ứng với tọa độ tập thể αλà và được xác định theo quy tắc thông thường sau của cơ học lượng tử ∂ πλà = −i~ và [αλà, πλà′ ] = i~δàà′ . (3.90) ∂αλà Dễ thấy từ (3.89) rằng Bλ là tham số khối lượng (mass parameter) và Cλ là hệ số lực phục hồi (restoring force) của dao động tử. Hoàn toàn tương tự như trong vật lý chất rắn, mỗi một trạng thái lượng tử sinh bởi Hamiltonian (3.89) có thể được xét đến như một giả hạt boson (được gọi là phonon). Trong biểu diễn lượng tử hóa thứ cấp (xem phần tham khảo 4.3.3), các toán tử sinh + và hủy phonon được xây dựng như sau [23] bλà bλà √ √ + Bλωλ 1 à b = α − i (−1) π − λà ~ λà ~ λ à √ 2 2Bλ √ω Bλωλ à 1 bλà = (−1) αλ−à + i πλà, (3.91) 2~ 2Bλ~ω 146
√ với tần số phonon . Toán tử + sinh một phonon với spin ωλ = Cλ/Bλ bλà nguyên λ và độ chẵn lẻ π = (−1)λ (độ chẵn lẻ của phonon được xác định bởi độ chẵn lẻ của tọa độ tập thể αλà tương ứng). Từ hệ thức (3.91) ta có hệ thức biểu diễn các tọa độ tập thể trong Hamiltonian (3.89) qua các toán tử sinh và hủy phonon √ ~ [ ] + − à αλà = bλà + ( 1) bλ−à 2Bλωλ √ [ ] ~B ω π = i λ λ (−1)àb+ − b . (3.92) λà 2 λ−à λà Trong mẫu dao động tử điều hòa, các toán tử sinh và hủy phonon thỏa mãn các hệ thức giao hoán (4.79) của các toán tử boson + + + ′ ′ và ′ ′ (3.93) [bλà, bλ à ] = [bλà, bλ′à′ ] = 0 [bλà, bλ′à′ ] = δλλ δàà . Sử dụng (3.92) - (3.93), ta có thể biểu diễn Hamiltonian (3.89) dưới dạng   ∑λ 5 Hˆ = ~ω  b+ b +  . (3.94) λ λà λà 2 à=−λ Với toán tử số hạt phonon Nˆ được định nghĩa tương tự như trong (4.81), năng lượng EN , trị riêng của Hamiltonian (3.94), được xác định theo ( ) ∑λ 5 Nˆ = b+ b ⇒ E = ~ω N + . (3.95) λà λà N λ 2 à=−λ Như vậy, năng lượng kích thích của hạt nhân được hoàn toàn xác định bởi số dao động tử (number of oscillation quanta) N. Cùng với N, các số lượng tử khác của một trạng thái dao động hạt nhân là spin J và hình chiếu M của nó và ta ký hiệu trạng thái này bằng |N, JM⟩. Ba trạng thái quan trọng của một hạt nhân chẵn-chẵn trong mẫu dao động tử điều hòa là - Trạng thái cơ bản được coi như chân không của phonon (phonon vacuum), với năng lượng E0 được gọi là năng lượng điểm không (zero-point energy) 5 Hˆ |N = 0,J = 0 M = 0⟩ ≡ Hˆ |0⟩ = E |0⟩ = ~ω |0⟩. (3.96) 0 2 λ 147
98Ru 102Ru 106Pd 108Pd 110Cd 112Cd 114Cd Hình 3.19: Phổ năng lượng kích thích của các trạng thái dao động với J π = 0+, 2+, 4+ trong các đồng vị hạt nhân chẵn-chẵn 98,102Ru, 106,108Pd và 110−114Cd. Minh họa từ tài liệu [2]. 44 46 48 - Trạng thái kích thích đầu tiên là trạng thái một phonon với spin J = λ | ⟩ + | ⟩ với − và ~ (3.97) N = 1, λà = bλà 0 , à = λ, , λ E1 = ωλ + E0. Như vậy, năng lượng kích thích của trạng thái (3.97) bằng chính năng lượng của một dao động tử hay là năng lượng photon trong bức xạ γ của chuyển dịch hạt nhân từ mức E1 về trạng thái cơ bản, Ex = E1 − E0 = ~ωλ. - Trạng thái kích thích hai phonon với năng lượng kích thích Ex = 2~ωλ. Đây là một trạng thái lượng tử của hai boson và vì thế hàm sóng của trạng thái hai phonon phải là một hàm đối xứng ∑ |N = 2,JM⟩ = C ⟨λà1λà2|JM⟩(|λà1⟩1|λà2⟩2 + |λà2⟩1|λà1⟩2). (3.98) à1,à2 148
Sau khi thay thế à1 à2 trong số hạng thứ 2 của (3.98) và áp dụng tính chất đối xứng của hệ số Clebsch-Gordan ta thu được ∑ J |N = 2,JM⟩ = C[1 + (−1) ] ⟨λà1λà2|JM⟩|λà1⟩1|λà2⟩2. (3.99) à1,à2 Ta dễ suy ra từ (3.99) rằng các trạng thái hai phonon với J lẻ không tồn tại. Ngoài ra, độ chẵn lẻ của trạng thái hai phonon bằng π = (−1)2λ = +1 và ta có J π = 0+, 2+, 4+, Trên thực tế, phonon với λ = 2 là trường hợp phổ biến nhất vì đa số các trạng thái + của các hạt nhân chẵn-chẵn đều có thể được mô tả 21 trong mẫu dao động tử điều hòa như một phonon tứ cực (quadrupole phonon). Khi đó, các trạng thái kích thích cấu trúc từ hai phonon tứ cực |N = 2,JM⟩ sẽ có spin J π = 0+, 2+ và 4+. Ba trạng thái này được xét đến như một tam mức hai phonon (two-phonon triplet) và thường được ký hiệu bằng + ⊗ + . Từ [21 21 ]0+,2+,4+ phổ thực nghiệm của các trạng thái kích thích dao động trong các đồng vị hạt nhân chẵn-chẵn 98,102Ru, 106,108Pd và 110−114Cd trên hình 3.19 ta có thể thấy các trạng thái thuộc các tam mức hai phonon với J π = 0+, 2+, 4+ nằm ở năng lượng + kích thích cao khoảng hai lần so với mức 2 , nghĩa là Ex ≈ 2E + = 2~ω2. 1 21 Đặc biệt, cả ba thành viên 0+, 2+ và 4+ của tam mức hai phonon này đều được quan sát thấy trong phổ thực nghiệm của hạt nhân cadmi (cadmium) 114Cd 48 (xem minh họa chi tiết trên hình 3.20). Đặc trưng cấu trúc cơ bản nhất của mỗi một trạng thái dao động là năng lượng kích thích Ex và xác suất chuyển dịch hạt nhân . Đối với trạng thái một phonon tứ cực | +⟩ và ba trạng B(Eλ) 21 thái | + + π⟩ của tam mức hai phonon với π + + + xác suất 21 , 21 ; J J = 0 , 2 , 4 B(E2) được xác định bởi toán tử moment tứ cực điện Qˆ2à ∫ 2 3 Qˆ2à = ρc(r)r Y2à(rˆ)d r, (3.100) với ρc(r) là mật độ điện tích hạt nhân (tham khảo chi tiết trong mục 4.4). Trong mẫu dao động tử tập thể người ta thường xét một mật độ điện tích đồng nhất 149
Hình 3.20: Phổ thực nghiệm (experiment) các trạng thái dao động J π = 0+, 2+, 4+ của hạt nhân cadmi 114Cd và sơ đồ mức các trạng thái một phonon +, hai phonon + ⊗ + 21 [21 21 ]0+,2+,4+ và ba phonon + ⊗ + ⊗ + theo mẫu dao động tử (spherical vibrator). Các mũi [21 21 21 ]0+,2+,3+,4+,6+ tên ký hiệu chuyển dịch điện Eλ giữa các trạng thái này. Minh họa từ tài liệu [23]. (uniform charge density) trong thể tích hạt nhân ≡ Ze Ze với 1/3 (3.101) ρc(r) ρ0 = = 3 , R0 = 1.2 A fm. V (4πR0/3) Khi đó, sau khi lắp các hệ thức (3.85) và (3.101) vào tích phân (3.100) và chỉ tính đến các số hạng ∼ 2, ta thu được α2 [ ] ∑ 5 10 Qˆ2à = ρ0R α2à − √ ⟨2à12à2|2à⟩α2à α2à . (3.102) 0 70π 1 2 à1à2 Tổng theo tương ứng với phép cặp moment góc của hai tọa độ tập thể à1à2 α2à1 và và thường được ký hiệu ngắn bằng ⊗ . Sau khi biểu diễn α2à2 [α2 α2]2à α2à trong (3.102) qua các toán tử phonon (3.92), xác suất chuyển dịch điện (4.100) 150
của các quá trình phân rã γ trên hình 3.20 được xác định như sau ( ) |⟨ +|| ˆ || +⟩|2 2 ~ + → + 01 Q2 21 3Ze 2 √ B(E2; 21 01 ) = = R0 , 5 4π 2 C2B2 |⟨ +|| ˆ || π⟩|2 π → + 21 Q2 J + → + (3.103) B(E2; J 21 ) = = 2B(E2; 21 01 ), 2J + 1 ( ) |⟨ +|| ˆ || +⟩|2 2 ~2 + → + 01 Q2 22 3Ze 2 √10 B(E2; 22 01 ) = = R0 , 5 4π 70π 4C2B2 với hàm sóng trạng thái hai phonon | π⟩ ≡ | + + π⟩ π + + +. Bây J 21 , 21 ; J ,J = 02 , 22 , 41 giờ ta xét cụ thể cấu trúc các trạng thái dao động này trên thí dụ hạt nhân 114Cd 48 trình bày trên hình 3.20. Trên cơ sở các giá trị thực nghiệm của năng lượng kích thích Ex và xác suất chuyển dịch điện B(E2) ta xác định được các thông số dao động tử C2 và B2 từ hai phương trình sau √ E (2+) = ~ C /B ≈ 0.558 MeV C ≈ 41.3 MeV, x 1 2 2 ⇒ 2 (3.104) + → + ≈ 2 4 ≈ ~2 B(E2; 21 01 ) 1018 e fm . B2 132 /MeV. Lắp các giá trị C2 và B2 vào (3.103) ta có + + + → + ≈ 2 4 + → + ≈ 2 4 B(E2; 02 , 22 , 41 21 ) 2036 e fm ,B(E2; 22 01 ) 3.1 e fm . So sánh những kết quả này với các số liệu thực nghiệm tương ứng (bên phải hình 3.20) ta thấy + + + → + lớn hơn các giá trị thực nghiệm B(E2; 02 , 22 , 41 21 ) ∼ lần trong khi + → + lại nhỏ hơn rất nhiều so với giá trị 2 10 B(E2; 22 01 ) thực nghiệm ∼ 1904 e2 fm4. Kết quả này cho thấy cấu trúc của các trạng thái | π⟩ với π + + + có cấu trúc phức tạp hơn cấu hình thuần túy từ hai J J = 02 , 22 , 41 phonon | +⟩. Những tính toán theo mẫu dao động tử phi điều hòa (anharmonic 21 oscillator) cho thấy các giá trị B(E2) thực nghiệm có thể mô tả được khi |J π⟩ là một trạng thái chồng chất của các thành phần 1 phonon, 2 phonon và cao hơn, |J π⟩ = a|N = 1,J π⟩ + b|N = 2,J π⟩ + Trong cấu trúc phức tạp của hạt nhân kích thích, có nhiều trường hợp người ta đã quan sát được các trạng thái hai phonon cấu trúc từ hai phonon với moment 151
góc khác nhau. Khi đó, người ta phải xét Hamiltonian hạt nhân như tập hợp các vibrator với λ khác nhau ( ) ∑ ∑ ∑λ 2 2 |πλà| Cλ|αλà| Hˆ = Hˆλ = + (3.105) 2Bλ 2 λ λ à=−λ và trạng thái cấu trúc từ hai phonon với moment góc khác nhau sẽ có năng lượng kích thích Ex = ~(ω1 + ω2) và hàm sóng dưới dạng đối xứng sau ∑ |N = 2,JM⟩ = C ⟨λ1à1λ2à2|JM⟩(|λ1à1⟩1|λ2à2⟩2 + |λ2à2⟩1|λ1à1⟩2). à1,à2 (3.106) Một trong những thí dụ điển hình của trạng thái (3.101) là trạng thái kích thích lưỡng cực điện (electric dipole) với J π = 1− và T = 0 quan sát được trong phổ rã lưỡng cực của một số hạt nhân chẵn-chẵn như 138Ba, 140Ce, 144Nd γ 56 58 60 và 144Sm. Năng lượng kích thích của các trạng thái này gần bằng tổng năng 62 lượng kích thích của các trạng thái phonon + và − và cấu trúc của chúng đã 21 31 được khẳng định qua các tính toán vi mô trong một phương pháp QRPA mở + − rộng [41] là dạng trạng thái hai phonon ⊗ − . Do các giá trị khả dĩ của [21 31 ]1 spin hạt nhân trong trường hợp này là 1 6 J 6 5, ta có thể xét một trạng thái 1− trên như một thành viên của ngũ mức hai phonon (two-phonon quintet) với J π = 1−, 2−, 3−, 4− và 5−. 3.3 Hạt nhân biến dạng và các trạng thái quay Trong các phần trên chúng ta đã xét đến cấu trúc của một hạt nhân có dạng cầu là chủ yếu. Đặc biệt, mẫu vỏ hạt nhân với tất cả độ phức tạp của các tính toán chéo hóa ma trận kích thước khổng lồ cũng chỉ dùng để nghiên cứu cấu trúc các hạt nhân cầu là chính. Đó là những hạt nhân có lớp vỏ hóa trị đóng kín tại các số nucleon magic hay là có một vài nucleon hóa trị nằm ngoài lớp vỏ đóng kín. Tuy nhiên, khi số nucleon hóa trị tăng lên đáng kể thì hình dạng 152
cầu của hạt nhân dần được thay thế bởi một hình biến dạng (deformed shape) mà thường giống hình ellipsoid của một quả bóng bầu dục. Một hạt nhân biến dạng (deformed nucleus) như vậy có thể được kích thích lên các trạng thái chuyển động quay tập thể đồng thời với những trạng thái dao động đã xét ở trên. Cần nhấn mạnh rằng đối xứng hay là bất biến quay (xem phần tham khảo 4.1.2) đòi hỏi hàm sóng hạt nhân là một đại lượng đẳng hướng trong không gian tọa độ và vì thế một trạng thái hạt nhân kích thích với spin J sẽ suy biến theo 2J + 1 hình chiếu M khác nhau của J. Do đó, một hạt nhân cầu không thể thực hiện chuyển động quay tập thể với một năng lượng kích thích xác định và sự hiện diện của các trạng thái quay hạt nhân là một đặc trưng cấu trúc riêng của hạt nhân biến dạng. 3.3.1 Biến dạng tĩnh và trường trung bình hạt nhân Ta có thể thấy từ minh họa trên hình 1.3 và từ hệ thức (1.27) trong chương 1.4.3 là moment tứ cực điện của một hạt nhân cầu trong trạng thái cơ bản luôn bằng không. Như vậy, đặc trưng chính của độ biến dạng tĩnh (static deformation) của hạt nhân là moment tứ cực điện Q2 (nhiều khi còn được ký hiệu đơn giản là Q) của hạt nhân trong trạng thái cơ bản mà có thể đo được khá chính xác bằng các phương pháp thực nghiệm khác nhau. Tập hợp các giá trị thực nghiệm của moment tứ cực điện của các hạt nhân chẵn-lẻ rút gọn theo hệ thức Q/(ZR2) được trình bày trên hình 3.21 và ta thấy các hạt nhân có một proton hóa trị lẻ nằm ngoài lớp vỏ đóng kín gần số magic như các hạt nhân đồng (copper) 62,65Cu hoặc bismut 209Bi có giá trị khá gần với moment tứ cực điện của một 29 83 Q proton hóa trị, trong khi giá trị Q của các hạt nhân có số nucleon hóa trị nằm xa các số magic như luteti (lutetium) 176Lu hay erbi (erbium) 167Er lớn hơn nhiều 71 68 so với giá trị đơn hạt của Q. Những đồng vị hạt nhân với giá trị Q lớn đã được khẳng định có một độ biến dạng tĩnh làm cho hình dạng hạt nhân trong trạng 153
Số nucleon lẻ Hình 3.21: Giá trị rút gọn của moment tứ cực điện Q của các hạt nhân chẵn-lẻ (có N chẵn và Z lẻ hoặc ngược lại), như hàm phụ thuộc vào số nucleon lẻ. Đại lượng không thứ nguyên Q/(ZR2) cho phép ta so sánh độ mạnh của Q không phụ thuộc vào kích thước của hạt nhân. Minh họa từ tài liệu [2]. 154
thái cơ bản hoàn toàn khác hình cầu. Độ biến dạng phổ biến nhất của hạt nhân được gắn liền với moment tứ cực điện Q ≠ 0 và được gọi là biến dạng tứ cực (quadrupole deformation). Trong những trường hợp này bán kính hạt nhân R được xác định chủ yếu bởi số hạng với λ = 2 trong công thức (3.85) và tọa độ α20 được gọi là thông số biến dạng (deformation parameter) tứ cực của hạt nhân và ký hiệu bằng β2. Trong thực tế, các độ biến dạng bậc cao hơn như biến dạng bát cực (octupole deformation, λ = 3) hoặc biến dạng thập lục cực (hexadecapole deformation, λ = 4) cũng đã được xác định cho một số hạt nhân nặng. Như đã minh họa trên hình 1.3, tùy theo dấu của thông số biến dạng tứ cực, hạt nhân sẽ có hình dáng "bóp dẹt" (oblate) theo hướng trục đối xứng khi β2 0. Đối với các hình dạng như vậy của hạt nhân biến dạng, moment tứ cực điện có thể được biểu diễn qua β2 như sau 3 2 Q ≈ √ ZR β2(1 + 0.16 β2). (3.107) 5π Như vậy, đại lượng Q/(ZR2) trên hình 3.21 cho ta độ biến dạng chỉ tỷ lệ thuận với thông số biến dạng và không phụ thuộc vào kích thước hạt nhân. Vì thế, ta có thể dùng đại lượng này để so sánh độ biến dạng giữa các hạt nhân với số khối rất khác nhau. Để hiểu được sự tồn tại của biến dạng tĩnh hạt nhân ta cần nhớ lại rằng trạng thái cơ bản (ground state, viết tắt là g.s.) của hạt nhân tương ứng với mức năng lượng thấp nhất E0 trong phổ hạt nhân và vì thế E0 phải là minimum của năng lượng hạt nhân: Hmin = ⟨g.s.|Hˆ = Kˆ + Vˆ |g.s.⟩. Đối với các hạt nhân có cùng một số khối A, động năng trung bình K gần bằng nhau và minimum của H được xác định chủ yếu bởi minimum của thế năng trung bình V . Từ độ phụ thuộc của thế năng hạt nhân vào thông số biến dạng β2 của các hạt nhân chẵn-chẵn minh họa trên hình 3.22 ta thấy minimum của V được hình thành khá rõ ràng tại các giá trị |β2| lớn (theo dọc hai chiều tương ứng với biến dạng 155
Hình 3.22: Sự phụ thuộc của thế năng hạt nhân vào thông số biến dạng β2 trong trường hợp các hạt nhân chẵn-chẵn nằm gần sát các lớp vỏ đóng kín (region I), không gần các lớp vỏ đóng kín (region II) và hoàn toàn xa khỏi các lớp vỏ đóng kín (region III). Minh họa từ tài liệu [2]. oblate với β2 0). Rõ ràng là đối với những hạt nhân có V min tại độ biến dạng tĩnh lớn, mẫu đơn hạt độc lập IPM sử dụng thế trường trung bình hạt nhân có đối xứng cầu như đã trình bày ở chương 3.1.2 không còn thích hợp để xây dựng các hàm sóng đơn hạt của nucleon trong hạt nhân. Trong những năm 50 của thế kỷ trước Sven Goesta Nilsson, một nhà toán học và vật lý học Thụy Điển, đã tìm ra lời giải cho thách thức quan trọng này của VLHN. Ông đã khẳng định được rằng các trạng thái đơn nucleon trong hạt nhân biến dạng về nguyên tắc vẫn được mô tả bởi một thế trường trung bình hạt nhân như đối với các hạt nhân cầu nhưng bán kính R của thế này không đẳng hướng trong không gian mà phụ thuộc vào thông số biến dạng tương tự 156
Hình 3.23: Giản đồ Nilsson của các mức đơn hạt trong hạt nhân biến dạng tại các giá trị khác nhau của thông số biến dạng β, với giá trị năng lượng được tính trong đơn vị ~ω0. Số lượng tử π được ghi cạnh từng mức đơn hạt. Tại điểm , các mức quay về vị trí của mình trong jz β = 0 phổ đơn hạt của hạt nhân cầu với các lớp vỏ được ký hiệu bởi cặp số lượng tử lj cùng các số magic tương ứng. Minh họa từ tài liệu [23]. 157
như bán kính hạt nhân (3.85). Trong phương pháp này mà nay thường được gọi là mẫu Nilsson, độ biến dạng của thế trường trung bình hạt nhân được xây dựng bởi một thế dao động tử điều hòa có tham số ω khác nhau trong ba hướng của không gian tọa độ. Cụ thể, thay cho (3.20) ta xét thế h.o. dưới dạng m U (r) = (ω2x2 + ω2y2 + ω2z2). (3.108) h.o. 2 x y z Nếu ta chọn trục đối xứng của hạt nhân là trục z thì độ biến dạng hạt nhân khỏi đối xứng cầu có thể được biểu diễn qua các tần số h.o. như sau 2 4 ω2 = ω2 = ω2(1 + δ), ω2 = ω2(1 − δ), (3.109) x y 0 3 z 0 3 với δ là thông số biến dạng. Trong trường hợp biến dạng tứ cực, ta có thể biểu diễn Hamiltonian đơn hạt với thế trường trung bình hạt nhân (3.108) dưới dạng 2 2 ~ ▽ m 2 Hˆ = − + ω2r2 − β mω2r2Y (θ, φ) − ~ω κ(2ˆl.sˆ + ηˆl ), (3.110) 2m 2 0 2 0 20 0 2 −1 với ω0 = ω0(1 + 2δ /9) và các thông số κ và η được chỉnh chuẩn theo phổ đơn hạt thực nghiệm. Chú ý là trong trường hợp hạt nhân biến dạng, số 2 hạng spin-quỹ đạo của Hamiltonian đơn hạt có chứa thành phần tỷ lệ với ˆl . Hamiltonian (3.110) thường được chéo hóa trên hệ hàm cơ sở trong các tọa độ trụ (cylindrical coordinates) và các trị riêng (các mức năng lượng đơn hạt) được gắn với tập hợp các số lượng tử π . Do đối xứng cầu bị phá vỡ, jz [Nnzm] mỗi một trạng thái đơn hạt không còn suy biến theo 2j + 1 hình chiếu của j và mỗi mức đơn hạt được xác định với một hình chiếu jz của j lên trục đối xứng hạt nhân. N, nz là hai số lượng tử h.o. chính và m = |lz| với lz là hình chiếu của l lên trục đối xứng. Sơ đồ các mức đơn hạt trong hạt nhân biến dạng tính với Hamiltonian (3.110) cho các trạng thái có spin j . 9/2 được minh họa trên hình 3.23. Một sơ đồ như vậy nay được gọi là giản đồ Nilsson (Nilsson diagram). Từ hình 3.23 ta thấy mỗi mức đơn hạt j trong giới hạn hạt nhân cầu đều bị tách ra thành đa mức tương ứng với các giá trị jz khác nhau bởi độ biến dạng tĩnh của hạt nhân 158
Trong các tính toán cấu trúc hạt nhân hiện đại, thế trường trung bình của hạt nhân biến dạng thường được xây dựng dưới dạng hàm Woods-Saxon biến dạng (với bán kính phụ thuộc vào β) để tính toán hệ hàm sóng đơn hạt cơ sở dùng trong mẫu vỏ cho các hạt nhân biến dạng. Tuy nhiên sơ đồ mức đơn hạt về căn bản vẫn giống như được biểu diễn trong các giản đồ Nilsson. Ngoài mẫu vỏ, các mẫu cấu trúc hạt nhân vi mô khác như QRPA cũng đã được xây dựng [20] trên cơ sở phương pháp Nilsson để mô tả cấu trúc các trạng thái kích thích dao động trong các hạt nhân biến dạng. 3.3.2 Các trạng thái quay tập thể của hạt nhân Phổ các trạng thái kích thích của một hạt nhân biến dạng thường phức tạp hơn phổ của các hạt nhân cầu vì nó còn bao gồm phổ năng lượng các trạng thái quay của hạt nhân (xung quanh trục vuông góc với trục đối xứng của hạt nhân). Ngoài ra, hạt nhân biến dạng cũng có những trạng thái dao động bề mặt tương tự như hạt nhân cầu và phổ các trạng thái dao động này thường nằm xen kẽ cùng phổ các trạng thái quay làm cho việc phân tích phổ hạt nhân khá phức tạp. Mặc dù phổ các trạng thái quay của hạt nhân rất phức tạp, các đặc trưng cơ bản của phổ quay có thể được mô tả bằng mẫu tập thể của quay tử (rotor) khi các trạng thái quay của hạt nhân được mô tả như các trạng thái lượng tử khác nhau của quay tử. Từ cơ học cổ điển ta biết rằng định hướng trong không gian ba chiều của một quay tử được hoàn toàn xác định bởi 3 góc Euler. Nếu ta xét hạt nhân với biến dạng prolate như một quay tử có hình dạng ellipsoid với trục lớn hướng dọc theo trục đối xứng của hạt nhân (xem hình 3.24) thì chuyển động quay thực sự của hạt nhân chỉ có thể là phép quay xung quanh một trục vuông góc với trục đối xứng của hạt nhân (trục z′ trên hình hình 3.24), bởi vì một phép quay hạt nhân xung quanh z′ không thể gây ra bất kỳ một thay đổi nào cho hàm sóng hạt nhân giống như quay hạt nhân cầu xung quanh một trục 159
J Hình 3.24: Moment góc J của hạt nhân biến dạng kích thích ở trong trạng thái quay. M là hình chiếu của J lên trục z của hệ tọa độ phòng thí nghiệm và K là hình chiếu của J lên trục z′ của hệ tọa độ gắn với hạt nhân (z′ là trục đối xứng hạt nhân). bất kỳ trong không gian ba chiều. Trong trường hợp này, moment quay của hạt nhân với moment góc toàn phần J được xác định hoàn toàn bởi moment góc thành phần của J mà vuông góc với z′. Cụ thể, trong hệ tọa độ (x′, y′, z′) gắn với hạt nhân (body-fixed system), Hamiltonian của hạt nhân quay tử này được xác định như sau 1 1 R2 Hˆ = (Jˆ′2 + Jˆ′2) ≡ (J 2 − Jˆ′2) = (3.111) rot 2I x y 2I z 2I với ˆ′2 ˆ′2 và ˆ′2 là toán tử moment góc thành phần trên trục ′ ′ và ′ của Jx , Jy Jz x , y z J trong hệ tọa độ gắn với hạt nhân và I là moment quán tính (moment of inertia) của quay tử. R được gọi là moment quay của hạt nhân. Vì năng lượng hạt nhân quay phải là một đại lượng không phụ thuộc vào định hướng của hạt nhân trong 160
2 không gian, nên trị riêng của J và Jz được hoàn toàn xác định bởi ~ J(J + 1) và ~ trong hệ tọa độ phòng thí nghiệm và trị riêng của ′ cũng là một số M Jz lượng tử tốt của quay tử và được xác định bởi ~K. Về nguyên tắc, hàm sóng của hạt nhân quay tử phải được tìm từ nghiệm của phương trình Schroedinger sau HˆrotϕJMK(θ) = ErotϕJMK(θ), (3.112) với θ = (θ1, θ2, θ3) là 3 góc Euler xác định hướng của hạt nhân trong không gian. Tuy nhiên, dạng tường minh của ϕJMK(θ) có thể được suy ra trực tiếp từ tính chất bất biến quay (rotational invariance) của hàm sóng hạt nhân. Cụ thể, nếu ta quay hạt nhân theo một góc Euler bất kỳ θx thì hàm sóng hạt nhân quay được xác định qua ma trận quay Wigner như sau ∑ ′ (J) ′ (3.113) ϕJMK(θ) = DMM ′ (θx)ϕJM K(θ). M ′ Mặt khác, ta có ′ ′ , với ′ là là góc Euler định hướng mới ϕJMK(θ) = ϕJMK(θ ) θ của hạt nhân sau khi hệ tọa độ được quay theo chính góc Euler θx. Do đó ∑ ′ (J) ′ (3.114) ϕJMK(θ ) = DMM ′ (θx)ϕJM K(θ). M ′ Ta xét tiếp ′ (với ′ ′ ′ ) và dễ suy ra hệ thức sau từ tính chất θ = 0 θ1 = θ2 = θ3 = 0 unita của ma trận quay Wigner ∑ (J)∗ ′ (3.115) ϕJMK(θ) = DMM ′ (θ)ϕJM K(0). M ′ Do các giá trị khác nhau của M ′ trong (3.115) tương ứng với các phép quay theo ′ ′ góc θ3 xung quanh trục z của hệ tọa độ gắn với hạt nhân nên ta có M ≡ K khi z′ là trục đối xứng của hạt nhân. Như vậy, hàm sóng chuẩn hóa của hạt nhân quay chính là ma trận quay Wigner (J)∗ ⇒ ∼ (J)∗ (3.116) ϕJMK(θ) = DMK(θ)ϕJKK(0) ϕJMK(θ) DMK(θ) 161
và trị riêng của phương trình Schroedinger (3.112) được xác định theo ~2 E = [J(J + 1) − K2]. (3.117) rot 2I Từ hệ thức trực giao của ma trận quay ∫ ′ 2 (J)∗ (J ) 3 8π D (θ)D ′ ′ (θ)d θ = δ ′ δ ′ δ ′ (3.118) MK M K 2J + 1 JJ MM KK ta có hàm riêng của phương trình (3.112) được xác định theo √ 2J + 1 ∗ ϕ (θ) = D(J) (θ). (3.119) JMK 8π2 MK Tập hợp các trạng thái quay hạt nhân (3.117) với K = 0 được gọi là dải quay cơ bản (ground-state rotational band). Ta dễ thấy rằng trạng thái của một hạt nhân biến dạng có trục đối xứng z′ trên hình 3.24 sẽ không thay đổi nếu trục z′ được lấy hướng ngược lại (z′ → −z′). Phép biến đổi đối xứng này đồng nhất với phép quay Rˆ1 làm thay đổi 3 góc Euler như sau Rˆ1(θ1, θ2, θ3) = (θ1 + π, π − θ2, −θ3). (3.120) Đối với các trạng thái thuộc dải quay cơ bản với K = 0 ta có J Rˆ1ϕJMK=0(θ) = (−1) ϕJMK=0(θ) (3.121) và vì thế J phải là một số chẵn (J = 0, 2, 4, ; M = −J, , J). Một thí dụ điển hình của dải quay cơ bản là phổ γ của hạt nhân urani kích thích 238U∗ minh họa trên hình 3.25. Ta thấy rằng spin cao nhất quan sát được cho một trạng thái quay trong trường hợp này là J π = 14+, với tất cả các chuyển dịch γ giữa các thành viên của dải quay cơ bản được xác định khá rõ ràng. Các mức quay với spin thấp có năng lượng kích thích hoàn toàn được xác định theo công thức (3.117). Đối với các trạng thái có spin cao, năng lượng kích thích có chứa bổ chính bậc cao hơn của mẫu quay tập thể tỷ lệ với J 2(J + 1)2. Ta dễ thấy từ hệ thức (3.117) rằng tỷ lệ năng lượng của hai trạng thái quay với spin thấp nhất 162
Hình 3.25: Phổ γ của các trạng thái kích thích quay trong dải quay cơ bản của hạt nhân 238U tạo bởi quá trình kích thích Coulomb trong phản ứng tán xạ phi đàn hồi của hệ ion nặng 40Ar+238U tại năng lượng Elab = 182 MeV. Minh họa từ tài liệu [19]. π + + trong dải cơ bản (J = 2 và 4 ) bằng E4+ /E2+ = 20/6 ≈ 3.33. Từ phổ năng lượng kích thích của đa số các hạt nhân với A ∼ 150 − 190 và A > 220, ta có π + tỷ lệ năng lượng E + /E + của các trạng thái kích thích đầu tiên với J = 2 41 21 và 4+ thực sự gần bằng 3.33 (trong thí dụ 238U trình bày trên hình 3.25 ta có E + /E + ≈ 148.2/44.7 ≈ 3.32). Đây là một trong những dữ kiện thực nghiệm 41 21 quan trọng nhất khẳng định cấu trúc các trạng thái kích thích quay và sự tồn tại của biến dạng hạt nhân tĩnh. Trong phép gần đúng bán cổ điển (semi-classical approximation) hạt nhân trong một trạng thái quay với spin J thuộc dải quay 163