Tuyển tập các hệ phương trình hay và khó - Phạm Kim Chung

Nội dung text: Tuyển tập các hệ phương trình hay và khó - Phạm Kim Chung

1. Tháng 08 – 2007 Phạm Kim Chung Hệ ph−ơng trình  I. Hệ ph−ơng trình dạng hoán vị vòng quanh. " Bài 1. ( Đề thi HSG quốc gia năm 1994 ) ⎧x32+ 33lnxxxy−+() −+ 1 = ⎪ ⎪ Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ y32+ 33lnyyyz−+() −+ 1 = ⎪ 32 ⎩⎪ zz+ 33ln−+() zz −+ 1 = x Giải : Xét hàm số : f33ln1()tt=+−+32 t( tt −+) 21t2 − Ta có : f'()tt=++ 32 1 > 0, ∀∈ x R tt2 −+1 Vậy hàm số f ()t đồng biến trên R. Ta viết lại hệ ph−ơng trình nh− sau : ⎧ f ()x = y ⎪ ⎨ f ()y = z ⎪ ⎩ f ()zx= Không mất tính tổng quát, giả sử : x = min{xyz , , }. Lúc đó : x ≤⇒yxyyzyzzx f() ≤ f () ⇒≤⇒ f( ) ≤ f( ) ⇒≤. Hay : x ≤ yzx≤≤ ⇒==x yz Với : x ==yz , xét ph−ơng trình : xx32+ 23ln−+( xx −+ 10) = Do hàm số : ϕ ()xx=+−+3223ln x( xx −+ 1) đồng biến trên R nên pt có nghiệm duy nhất : x = 1 . Vậy hệ ph−ơng trình có nghiệm duy nhất : x = yz==1. " Bài toán tổng quát 1 . Xét hệ ph−ơng trình có dạng : ⎧ fg(xx12) = ( ) ⎪ xx= ⎪ fg()23 () ⎪ ⎨ ⎪ fgxx= ⎪ ()()nn−1 ⎩⎪ fg()xxn = ()1 Nếu hai hàm số f và g cùng tăng trên tập A và ( x12,xx , n ) là nghiệm của hệ ph−ơng trình , trong đó xi ∈∀=Ai, 1,2, , n thì x12= xx== n . Chứng minh : Không mất tính tổng quát giả sử : x112= min{xx , , xn} . Lúc đó ta có : x12≤⇒xxf() 1 ≤ fg( x 2) ⇒( xxxxxx 2) ≤ g( 3) ⇒≤ 23 ⇒≤n 1. Vậy : x12≤≤≤≤xxx n 1 Từ đó suy ra : x12===xx n . 1
2. " Bài 2. 2 xx32+ ⎧⎛⎞1 ⎪⎜⎟ = y ⎪⎝⎠4 ⎪ 2yy32+ ⎪⎛⎞1 Giải hệ ph−ơng trình : ⎨⎜⎟ = z ⎪⎝⎠4 ⎪ 2zz32+ ⎪⎛⎞1 ⎜⎟ = x ⎪ 4 ⎩⎝⎠ Giải: Vì vế trái của các ph−ơng trình trong hệ đều d−ơng nên hệ chỉ có nghiệm : xyz,,> 0. 2tt32+ 2tt32+ ⎛⎞1 2 ⎛⎞1 Xét hàm số : f ()t = ⎜⎟ , ta có : f'()tttt= −+ ( 2 ln 4 )() 3 .⎜⎟ 0, 0 . ⎝⎠4 ⎝⎠4 Vậy hàm số f ()t nghịch biến trên khoảng (0; + ∞) . Không mất tính tổng quát, giả sử : x = min{xyz , , }. Lúc đó : x ≤⇒yxyyzy f() ≥ f () ⇒≥⇒ f( ) ≤ fz( ) ⇒≤ zx⇒=⇒x zx f() = fz () ⇒= yx. 1 Vậy hệ ph−ơng trình có nghiệm duy nhất : xyz= == . 2 " Bài toán tổng quát 2 . Xét hệ ph−ơng trình có dạng (với n lẻ ): ⎧ fg(xx12) = ( ) ⎪ xx= ⎪ fg()23 () ⎪ ⎨ ⎪ fgxx= ⎪ ()()nn−1 ⎩⎪ fg()xxn = ()1 Nếu hàm số f giảm trên tập A , g tăng trên A và ( x12,xx , n ) là nghiệm của hệ ph−ơng trình , trong đó xi ∈∀=Ai, 1,2, , n thì x12= xx== n với n lẻ . Chứng minh : Không mất tính tổng quát giả sử : x112= min{xx , , xn} . Lúc đó ta có : x12≤⇒xx f() 1 ≥ f () x 2 ⇒ g () xxxxxxx 2 ≥ g( 3) ⇒≥ 23 ⇒≤⇒nn 1 f( )() ≥ f xxx 1 ⇒≥ 12. ⇒ x12= x Từ đó suy ra : x12===xx n . " Bài 3. 2 ⎧()x −12= y ⎪ 2 ⎪()y −12= z Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ 2 ⎪ ()zt−12= ⎪ 2 ⎩⎪()tx−=12 2
3. Giải : Vì vế trái của các ph−ơng trình trong hệ không âm nên ph−ơng chỉ có nghiệm : xyzt , , ,≥ 0 . Xét hàm số : f1()ss=− ( )2 , ta có : f'(ss) = 2( − 1) . Do đó hàm số tăng trên khoảng (1; + ∞) và giảm trên [0; 1] ( Do f(s) liên tục trên R ). Không mất tính tổng quát, giả sử : x = min{xyzt , , , }. + Nếu xxyzt∈+∞⇒()1; , , , ∈+∞( 1; ) , do đó theo bài toán tổng quát 1, hệ có nghiệm duy nhất : xyzt===+23. + Nếu x ∈[0; 1] ⇒≤0 f( x) ≤⇒≤ 1 02y ≤ 1, hay y ∈[0;1] , t−ơng tự ⇒∈zt,0;1[ ]. Vậy xyzt,,,∈[ 0;1] . Do đó ta có : x ≤⇒yxyyzy f() ≥ f () ⇒≥⇒ f( ) ≤ fz( ) ⇒≤ zx⇒=x z . Với x = z ⇒=f()x fz () ⇒=yt. 2 2 ⎧()x −12= y ⎧⎪()xy−=12 ⎪ ⇔ ⇔==−xy Lúc đó hệ ph−ơng trình trở thành : ⎨⎨2 ⎡ xy= 23 ⎩⎪⎪()yx−=12 ⎢ ⎩ ⎣xy=− Vậy hệ ph−ơng trình đã cho có 2 nghiệm : xyzt===+23 và xy==−23. " Bài toán tổng quát 3 . Xét hệ ph−ơng trình có dạng (với n chẵn ): ⎧ fg(xx12) = ( ) ⎪ xx= ⎪ fg()23 () ⎪ ⎨ ⎪ fgxx= ⎪ ()()nn−1 ⎩⎪ fg()xxn = ()1 Nếu hàm số f giảm trên tập A , g tăng trên A và ( x12,xx , n ) là nghiệm của hệ ph−ơng trình , trong ⎡x13===xx n− 1 đó xi ∈∀=Ai, 1,2, , n thì ⎢ với n chẵn . ⎣ x24===xx n Chứng minh : Không mất tính tổng quát giả sử : x112= min{xx , , xn} . Lúc đó ta có :. x ≤⇒xxx f() ≥ f () ⇒ gg () xx ≥( ) 13 1 3 2 4 ⇒≥xx24 ⇒≤⇒≤ f()x f ()xxx gg () () 24 35 ⇒≤xx35 ⇒≤⇒≤ f()()()x fggxx( x) nnn−−211 ⇒≤xxn−11 ⇒≥⇒≥⇒≥ f()()()()xnnn−11 fggxxxxx 2 2 Vậy : x13≤≤≤xxxxxx nn−− 11 ≤⇒=== 13 1 ; x24≥≥≥≥⇒===xxxxxx nn 2 24 3
4. Phần bμi tập ứng dụng ph−ơng pháp ⎧2782x32− xx+−= y ⎪ ) 1. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨2782y32− yy+−= z ⎪ 32 ⎩ 2782zzz− +−= x ) 2. Chứng minh với mỗi aR∈ , hệ ph−ơng trình : ⎧x23= yya++ ⎪ ⎨ y23= zza++ có một nghiệm duy nhất . ⎪ 23 ⎩zxxa= ++ ⎧x2 = ya+ ⎪ ) 3. Cho hệ ph−ơng trình : ⎨y2 = za+ ⎪ 2 ⎩zxa= + Tìm a để hệ ph−ơng trình chỉ có nghiệm với dạng x ==yz. ) 4. Giải hệ ph−ơng trình : 3 ⎧ xx11−+=322 x 2 ⎪ xx3 −+=322 x ⎪ 22 3 ⎨ ⎪x3 −+=322xx ⎪ 99 99 100 3 ⎩⎪ x 100−+=322xx 100 1 ) 5. Cho n là số nguyên lớn hơn 1. Tìm a để hệ ph−ơng trình : 23 ⎧ x 12=−+xxax4 2 2 ⎪ 23 ⎪x 23=−+xxax4 33 ⎪ ⎨ có một nghiệm duy nhất . ⎪ x23=−+xxax4 ⎪ nnnn−1 23 ⎩⎪ x n =−+xxax1114 ) 6. Cho n là số nguyên lớn hơn 1 và a ≠ 0 . Chứng minh hệ ph−ơng trình : 23 ⎧ x 12=−+xxax4 2 2 ⎪ x23=−+xxax4 ⎪ 23 33 ⎨ có nghiệm duy nhất . ⎪ x23=−+xxax4 ⎪ nnnn−1 23 ⎩⎪ x n =−+xxax1114 ) 7. Chứng minh với mỗi aR∈ , hệ ph−ơng trình : ⎧x232= yyya+++ ⎪ ⎨ y232= zzza+++ có một nghiệm duy nhất . ⎪ 232 ⎩zxxxa= +++ 4
5.  Ii. Hệ ph−ơng trình giải đ−ợc bằng ph−ơng pháp l−ợng giác hoá. ⎪⎧xyyx111−+22 −= (1) " 1. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ ⎩⎪()()1−+=xy 1 2 (2) ⎧10−≥x2 ⎪⎧ x ≤ 1 Giải. ĐK : ⇔ ⎨⎨2 ⎩10−≥y ⎩⎪ y ≤ 1 Đặt x = cosα ; y=cosβ với α,0;βπ∈[ ] , khi đó hệ ph−ơng trình : ⎧ π ⎧cosαβ .sin+ cos βα .sin =1 ⎪αβ+= ⇔⇔⎨⎨2 ⎩()()1−+= cosαβ 1 cos 2 ⎪⎩sinαααα− cos−−= sin .cos 1 0 1− t2 Đặt t =−sinαα cos , t ≤⇒ 2 sin αα .cos = 2 1− t2 Khi đó ta có : tttt−−=⇔+−⇒=102 2 3 1 2 ⎛⎞ππ⎧x = 0 Với t = 1, ta có : 2sin⎜⎟ααβ−=⇒=⇒=⇒ 1 0 ⎨ ⎝⎠42⎩y = 1 Nếu : xaa≤ ( > 0) , ta đặt x = acosα , với α ∈[0; π ] ⎧⎪ 21431()()xy−+ xy = () " 2. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ 22 ⎩⎪ xy+=12() Giải . Do xy22+=⇒∈−1, xy[ 1;1] . Đặt x = sinα , y = cosα với α ∈[0; 2π ]. Khi đó (1) ⇔−+=2() sinαα cos( 1 2sin2 α) 3 ⎛⎞⎛π 1 ⎞ ⎛⎞⎛ππ ⎞ ⇔−2. 2sin⎜⎟⎜αα .2. sin2 += ⎟ 3 ⇔−4sin⎜⎟⎜αα sin2 += sin ⎟ 3 ⎝⎠⎝42 ⎠ ⎝⎠⎝46 ⎠ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ππ π ⎛⎞ππ⎡⎤ ⎛ π ⎞ ⇔−8sin⎜⎟⎜⎟⎜⎟αα sin − cos α −= 3 ⇔+4cos⎜⎟αα⎢⎥ cos −−= cos ⎜ 2 ⎟ 3 ⎝⎠⎝⎠⎝⎠41212 ⎝⎠12⎣⎦ 3 ⎝ 6 ⎠ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞πππ ⇔−−−2cos⎜⎟⎜⎟⎜⎟ααα 4cos cos 2 −= 3 ⎝⎠⎝⎠⎝⎠12 12 6 ⎛⎞πππ⎡⎤ ⎛ ⎞⎛⎞ ⎛⎞π ⇔−−−+−=2cos⎜⎟ααα 2⎢⎥ cos ⎜ 3 ⎟⎜⎟ cos 3 ⇔−2cos⎜⎟ 3α − = 3 ⎝⎠12⎣⎦ ⎝ 4 ⎠⎝⎠ 12 ⎝⎠4 ⎛⎞π 3 ⎡α =−3500 +k 120 cos 3α −=−⇔kR ∈ ⎜⎟ ⎢ 00() ⎝⎠42⎣α =+65k 120 Từ đó suy ra hệ có 6 nghiệm ( xy,) =− {( sin6500 , cos65) ,( sin35 00 , cos35)( , sin85 00 , cos85 ), ()−−sin500 , cos5 ,( -sin25 00 , − cos25) ,( sin305 00 , cos305) } 5
6. Nếu : xyaa22+=() >0 , ta đặt xa==sinα , ya cosα , với α ∈[0; 2π ] ⎧2x + xy2 = y ⎪ 2 " 3. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨2y + yz= z ⎪ 2 ⎩2zzxx+= Giải : Từ các ph−ơng trình của hệ , suy ra : xyz , ,≠ ± 1. Do đó ta có : ⎧ 2x ⎪y = 2 (1) ⎪ 1− x ⎪ 2y ⎨ z = 2 (2) ⎪ 1− y ⎪ 2z ⎪ x = (3) ⎩ 1− z2 ⎛⎞π π Đặt Đặt x = tgα với α ∈−⎜⎟; (4) và sao cho tgα, tg2,αα tg41≠± (5). ⎝⎠22 ⎛⎞kkkπππ24 T−ơng tự bài 2. Hệ ph−ơng trình có 7 nghiệm ⎜⎟xtg= , ytg== , ztg , k =±± 0, 1, , 3 ⎝⎠77 7 ⎛⎞π π Với mọi số thực x có một số α với α ∈−⎜⎟; sao cho x = tgα ⎝⎠22 ⎧ xzxzz− 3323−+= 0 ⎪ " 4. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨yxyxx− 3323−+= 0 ⎪ 23 ⎩zyzyy− 33−+= 0 Giải . Viết lại hệ ph−ơng trình d−ới dạng : ⎧ x ()13− zzz23=− 3 ⎪ ⎪ ⎨y ()13− xxx23=− 3 (I) ⎪ 23 ⎩⎪ zyyy()13− =− 3 1 Từ đó, dễ thấy nếu ()x,,yz là nghiệm của hệ đã cho thì phải có x, y, z ≠± . Bởi thế : 3 ⎧ 3zz− 3 ⎪ x = 2 (1) ⎪ 13− z ⎪ 3xx− 3 (I) ⇔ ⎨y = 2 (2) (II) ⎪ 13− x ⎪ 3yy− 3 ⎪ z = 2 (3) ⎩ 13− y ⎛⎞π π 1 Đặt x = tgα với α ∈−⎜⎟; (4) và sao cho tgααα , tg3 , tg9 ≠± (5). ⎝⎠22 3 Khi đó từ (2), (3), (1) sẽ có : yz= tg3α ,= tg9α và x = tg27α 6
7. Từ đây dễ dàng suy ra ()x,,yz là nghiệm của (II) khi và chỉ khi yz= tg3α ,= tg9α , x = tgα , với α đ−ợc xác định bởi (4), (5) và tgα = tg27α (6). Lại có : ()626⇔=απkkZ ( ∈ ) kπ Vì thế α thoả mãn đồng thời (4) và (6) khi và chỉ khi α = với k nguyên thoả mãn : 26 −≤≤12k 12 . Dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng, tất cả các giá trị α đ−ợc xác định nh− vừa nêu đều thoả mãn (5). Vậy tóm lại hệ ph−ơng trình đã cho có tất cả 25 nghiệm, đó là : ⎛⎞kkkπππ39 ⎜⎟xtg==, ytg , ztg = , k =±± 0, 1, 12 ⎝⎠26 26 26 " 5. Giải hệ ph−ơng trình : ⎧ ⎛⎞111⎛⎞ ⎛⎞ ⎪ 345⎜⎟xyz+=⎜⎟ += ⎜⎟ + ⎨ ⎝⎠xyz⎝⎠ ⎝⎠ ⎪ ⎩xy++= yz zx 1 Giải. Nhận xét : xyz≠ 0; x , y , z cùng dấu . Nếu ( x,,yz) là một nghiệm của hệ thì ()−−−x,,yz cũng là nghiệm của hệ, nên chúng ta sẽ tìm nghiệm x ,yz , d−ơng . Đặt xyz===<<tgαβγαβλ;tg ;tg (0,,900 ) . ⎧ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞111 ⎪ 3tg⎜⎟⎜⎟⎜⎟αβγ+= 4tg += 5tg + () 1 Hệ ⎨ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠tgαβγ tg tg ⎪ ⎩tgαβ tg++= tg βγ tg tg γα tg 1() 2 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞1tg+++222α 1tgβγ 1tg 345 (1) ⇔==345⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⇔== ⎝⎠⎝⎠⎝⎠tgαβγ tg tg sin2α sin2βγ sin2 (tgαβ+ tg ) Từ (2) suy ra : tgγ ()tgαβ+=−tg 1tg βαtg ⇒=cotgγ =+ tg()αβ 1tgtg− βα ⎛⎞π π ⇒−=+⇔++=tg⎜⎟γαβαβγ tg() . ⎝⎠22 ⎧ 345 == ⎪ sin2αβγ sin2 sin2 Do ⎨ nên 2,2,2α βγ là các góc của một tam giác có số đo 3 cạnh 3,4,5. π π ⎪0,,;<<++=αβγ α β γ ⎩⎪ 22 Do tam giác có 3 cạnh 3,4,5 là tam giác vuông nên 290γ=00 ⇒γ= 45ztg1 ⇒ = γ= 2tgα 3 2x 3 1 tg2α= = ⇔ = ⇒ x = 1tg−α22 4 1x − 4 3 2tgβ 4 2y 4 1 tg2β= = ⇔ = ⇒ y = 1tg−β22 3 1y − 3 2 7
8. Tuyển tập các bμi toán hay  II . Hệ ph−ơng trình 2 ẩn. ⎧ 698 ⎪ xy42+= (1) " 1. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ 81 22 ⎩⎪xyxyxy++−−+=3 4 4 0 (2) Giải : Giả sử hệ ph−ơng trình có nghiệm . Ta thấy (2) t−ơng đ−ơng với : xy2 +−()()320 xy +−2 = Để ph−ơng trình này có nghiệm đối với x ta phải có : 22 7 Δ=()()yy −34 − − 2 ≥ 01 ⇔ ≤ y ≤ (3) 3 Mặt khác ph−ơng trình (2) cũng t−ơng đ−ơng với : yx22+ ( −+−+=4340) yxx Để ph−ơng trình này có nghiệm đối với y ta phải có : 2 4 Δ=()xxxx −44 −()2 − 3400 + ≥ ⇔ ≤ ≤ (4) 3 256 49 697 698 Từ (3) và (4) ta có : xy42+≤ + = < , không thoả mãn (1). 81 9 81 81 Vậy hệ ph−ơng trình đã cho vô nghiệm . ) 2. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996.Bảng A ) ⎧ ⎛⎞1 ⎪ 31x ⎜⎟+= 2 ⎪⎝xy+ ⎠ Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ ⎛⎞1 ⎪ 71y −= 42 ⎪ ⎜⎟ ⎩ ⎝⎠xy+ " 3. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996.Bảng A ) Hãy biện luận số nghiệm thực của hệ ph−ơng trình với ẩn x, y : ⎧ xy342−= y a ⎨ 2232 ⎩x yxyyb+ 2 += Giải . Điều kiện có nghĩa của hệ : x, y ∈ R . Viết lại hệ d−ới dạng : ⎧ 33 2 ⎪ yx()−= y a () 1 ⎨ 2 2 ⎩⎪yx()+= y b () 2 Xét các tr−ờng hợp sau : è Tr−ờng hợp 1 : b = 0 . Khi đó : ⎪⎧ y = 0 ⎨ 33 2 ()I ⎧y = 0 ⎡ ⎩⎪yx()−= y a ()2 ⇔ ⎨ và do vậy : Hệ đã cho ⇔ ⎢ ⎩y =−x ⎣ ⎪⎧ yx=− ⎨ 33 2()II ⎩⎪yx()−= y a 8
9. ⎧ y =−x Có (II) ⇔ ⎨ 42 ⎩−=2x a Từ đó : + Nếu a ≠ 0 thì (I) và (II) cùng vô nghiệm, dẫn đến hệ vô nghiệm . + Nếu a = 0 thì (I) có vô số nghiệm dạng ( xRy∈ ,0= ), còn (II) có duy nhất nghiệm ()xy==0, 0 . Vì thế hệ đã cho có vô số nghiệm . è Tr−ờng hợp 2 : b ≠ 0 . Khi đó, từ (1) và (2) dễ thấy , nếu ( x, y) là nghiệm của hệ đã cho thì b phải có x, y >0 . Vì thế ()23⇔=xy − (). y 3 ⎡⎤⎛⎞b Thế (3) vào (1) ta đ−ợc : y ⎢⎥⎜⎟− yya−=32 ⎢⎥⎜⎟y ⎣⎦⎝⎠ Đặt yt=>0 . Từ (4) ta có ph−ơng trình sau : 3 ⎡⎤⎛⎞b 3 tttatbtat2262932⎢⎥⎜⎟−−=⇔−−+=() 05() t ⎣⎦⎢⎥⎝⎠ 3 Xét hàm số : f ()tt=−932() bt − + at xác định trên [0;+ ∞) có : 2 f'()t=+ 9 t8322 9() btta − +≥∀∈+∞ 0, t[ 0; ) . Suy ra hàm số f ()t đồng biến trên [0; + ∞) , và vì thế ph−ơng trình (5) có tối đa 1 nghiệm trong 3 3 [0; +∞) . Mà f0()=−b 2 0, nên ph−ơng trình (5) có duy nhất ⎛⎞b 22 nghiệm, kí hiệu là t0 trong (0; + ∞) . Suy ra hệ có duy nhất nghiệm ⎜⎟x =−tyt00, = . ⎝⎠t0 Vậy tóm lại : + Nếu ab==0 thì hệ đã cho có vô số nghiệm . ` + Nếu a tuỳ ý , b ≠ 0 thì hệ đã cho có duy nhất nghiệm . + Nếu ab≠=0, 0 thì hệ đã cho vô nghiệm . ⎧21xxyy22+ −= " 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ ph−ơng trình : (1) có nghiệm . ⎨ 22 ⎩ x + xy+= y m ⎧21x2 = 1 Giải . + Với y = 0 hệ trở thành . Hệ có nghiệm khi m = ⎨ 2 ⎩ x = m 2 x + Với y ≠ 0 , đặt = t , hệ trở thành y ⎧ 2 1 21tt+−= ⎧ 2 1 ⎪ 2 21tt+−= ⎪ y ⎪ 2 ⎨ ⇔ ⎨ y (2) ⎪ 2 m ⎪ 22 tt++=1 2 tt++12 = mtt() +− 1 ⎩⎪ y ⎩ Vậy hệ PT (1) có nghiệm ( x, y) khi và chỉ khi hệ PT (2) có nghiệm (ty, ) . 9
10. ⎡t ⇔⎢ 1 . Do đó hệ (2) có nghiệm (ty, ) y2 ⎢ t > ⎣⎢ 2 tt2 ++1 ⎛⎞1 tt2 ++1 ⇔=m 2 có nghiệm t ∈−∞−(),1 ∪⎜⎟ , +∞ . Xét hàm số f ()t = 2 trên khoảng 21tt+− ⎝⎠2 21tt+− ⎛⎞1 tt2 + 62+ ⎡t =−37 − ()−∞,1 − ∪⎜⎟ , + ∞ . Ta có : f'()t =− 2 , f'()t =⇔ 0 ⎢ ⎝⎠2 ()21tt2 +− ⎣⎢t =−37 + Lập bảng biến thiên : −∞ −−37 -1 −−37 1 −∞ t 2 f’(t) - 0 + + 0 - 1 +∞ +∞ 2 f(t) 1 −∞ −∞ 14+ 5 7 2 28+ 11 7 14+ 5 7 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để hệ có nghiệm : m ≥ . 28+ 11 7 3 ⎪⎧xy(23+=) 1( 1) " 5. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ 3 ⎩⎪ xy()−=23() 2 Giải . Rõ ràng nếu y = 3 2 hệ vô nghiệm. 3 Với y ≠ 3 2 , từ (2) suy ra x = , thay vào (1) ta có : y3 − 2 27() 2+ 3y 27( 2+ 3y) 81() 8yy32+ 6+ 2 3 = 1 (3) . Xét hàm số : f1()y = 3 − , ta có : f'()y =− 3 ()y3 − 2 ()y3 − 2 ()y3 − 2 Suy ra : f'()yy=⇔=− 0 1 Ta có bảng biến thiên : 3 y −∞ -1 2 +∞ f’(y) + 0 - - 0 +∞ f (y) −∞ −∞ −∞ 10
11. Nhìn vào bảng biến thiên suy ra pt(3) không có nghiệm trên các khoảng ()−∞;1 − và (−1;3 2 ) . Ph−ơng trình có 1 nghiệm y = −1 và 1 nghiệm trong khoảng ( 3 2, +∞) Dễ thấy y = 2 là 1 nghiệm thuộc khoảng ( 3 2, + ∞) . ⎛⎞1 Vậy hệ ph−ơng trình đã cho có 2 nghiệm : (−1;− 1) và ⎜⎟;2 . ⎝⎠2 ) 6. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2004 –Bảng B ) ⎧ xxy32+=−349 Giải hệ ph−ơng trình sau : ⎨ 22 ⎩x −+=−8817xy y y x " 7. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1998-1999 –Bảng A ) ⎧ 21221xy− −+ xy xy −+ ⎪(14+=+) .5 12 Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ 32 ⎩⎪ yx+ 41ln2++() yx + = 0 Giải . ĐK: yx2 +>20 Đặt txy=−2 thì ph−ơng trình thứ nhất của hệ trở thành : tt+1 tt11−+ t 14++ 12 ()14.5+=+⇔= 12 t (1) 55 Vế trái là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến trên nên t=1 là nghiệm duy nhất của (1). y +1 Vậy 21xy−=⇒= x thế vào ph−ơng trình thứ hai của hệ ta đ−ợc : 2 yy32+++23ln( yy ++= 102) ( ) Vế trái là hàm đồng biến do đó y =-1 là nghiệm duy nhất của (2). Đáp số : xy==−0, 1 . " 8. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2000-2001 –Bảng B ) ⎧⎪ 725xy+ ++= xy Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ ⎩⎪ 22xyxy++−= Giải : ĐK có nghĩa của hệ ph−ơng trình : min7,2{ x xy} ≥− Đặt : 7x +=ya và 2x + yb= . Từ hệ ph−ơng trình đã cho ta có hệ : ⎪⎧ab+=51( ) ⎨ ⎩⎪bxy+−=22() (5 − x) Nhận thấy : ab22−=5 x . Kết hợp với (1) suy ra : b = , thế vào (2) ta đ−ợc : 2 5 − x +−=⇔xy2213 x = y − () 2 11− 77 Thế (3) vào (2) ta có : 52yy−+−=⇒= 12 y 2 11− 77 Thế vào (3) suy ra nghiệm của hệ là: x =−10 77, y = . 2 11
12. ) 9. Cho hệ ph−ơng trình 2 ẩn x, y : ⎧ kx242+++=33 x x1 yx ⎪ ( ) ⎨ ⎪kx3382++ x x 2 ++−11() k 33 x 4 = 2 yx 4 ⎩ ( ) 1. Xác định k để hệ ph−ơng trình có nghiệm . 2. Giải hệ ph−ơng trình với k = 16. " 10. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996 –Bảng A ) ⎧ ⎛⎞1 ⎪ 3.1x ⎜⎟+= 2 ⎪⎝xy+ ⎠ Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ ⎛⎞1 ⎪ 7.1y −= 42 ⎪ ⎜⎟ ⎩ ⎝⎠xy+ Giải . ĐK có nghĩa của hệ : xy≥≥ 0, 0 và xy22+ ≠ 0 . Dễ thấy , nếu ( x, y) là nghiệm của hệ đã cho thì phải có x >0, y>0 . Do đó : ⎧⎛⎞12 ⎧ 1122 ⎪⎜⎟1+= ⎪ =− ()1 ⎪⎝⎠xy+ 3x ⎪ xy+ 37xy Hệ đã cho ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎛⎞142 122 ⎪ 1−= ⎪ ⎪⎜⎟ ⎪12=+ () ⎩⎝⎠xy+ 7y ⎩ 37xy Nhân (1) với (2) theo vế ta đ−ợc : 118 =−⇔21xyxyyx =+()()()() 7 − 3 ⇔− yxyx 6 7 + 4 =⇔= 0 yx 6 ( vì x >0, y>0) xy+ 37 x y 11++ 4 7 22 8 7 Thay vào (2) và giải ra ta đ−ợc : xy==, .Thử lại ta thấy thoả mãn yêu cầu bt. 21 7  Iii. Hệ ph−ơng trình 3 ẩn. ) 1. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ngãi 1995-1996) ⎧yx32− 61280+−= x ⎪ 32 Giải hệ ph−ơng trình : ⎨zy− 61280+−= y ⎪ 32 ⎩xz− 61280+−= z ⎧12x23−+= 48xy 64 ⎪ ) 4. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨12y23−+= 48yz 64 ⎪ 23 ⎩12zz−+= 48 64 x ⎧ xy19+= 51890 zz + 2001 ⎪ 19 5 2001 " 5. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ yz+=1890 xx + ⎪ 19 5 2001 ⎩zx+=1890 yy + Giải . Chúng ta sẽ chứng minh hệ ph−ơng trình trên có nghiệm duy nhất xyz=== 0 . 12
13. Giả sử ()x,,yz là một nghiệm của hệ ph−ơng trình khi đó (−x,,−−yz) cũng là một nghiệm của hệ ph−ơng trình , nên không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết : có ít nhất hai trong ba số x,,yz không âm. Ví dụ xy≥≥ 0, 0 . Từ ph−ơng trình thứ nhất ta suy ra z ≥ 0 . Mặt khác nếu 01 ≥ 2 18 + 4 Nếu u > 1 thì 1890+ uuuuuu2000>+ 1 2000 > 2. 2000 = 2. 1000 > 18 + 4 Do đó 1890uu+ 2001>+ u 19 u 5 với mọi u>0. Bởi vậy nếu cộng từng vế của HPT ta suy ra xyz= == 0 .đpcm ) 6. Tìm điều kiện cần và đủ của m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm duy nhất : ⎧x232=+(23my) − y + my ⎪ ⎨ y23=+()23mz −+ z mz ⎪ 23 ⎩ zmxxmx=+()23 −+ " 7. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2004 –Bảng A ) ⎧ xxyz3 + ()−=2 2 ⎪ ⎪ 2 Giải hệ ph−ơng trình sau : ⎨yyzx3 + ()−=30 ⎪ 2 zzxy3 + −=16 ⎩⎪ () ⎧xx23()+12=−+( y x) 1 ⎪ ⎪ " 8. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ yy23()+12=−+() z y 1 ⎪ 23 ⎩⎪ zz()+12=−+() x z 1 Giải . Viết lại hệ đã cho d−ới dạng : ⎧x32++xxy22 = 3 + 1⎧ f() xgy = () ⎪ ⎪ ⎨⎨y32++y22 y = z 3 + 1 hay f() y = g () z ⎪⎪32 3 ⎩ zz++22 z = x + 1⎩ f() zgx = () Trong đó f2()ttt=++32 t và g(tt) = 213 + . Nhận xét rằng g(t), f(t) là hàm đồng biến trên R vì : f'()ttt=++> 32 2 2 0, g60,(tt) = 2 ≥∀∈ tR. ⎧ xyz== Suy ra hệ đã cho t−ơng đ−ơng với hệ : ⎨ ()4 ⎩h0()x = Trong đó h()ttt=−−+32 2 t 1. Nhận xét rằng h(t) liên tục trên R và : h()− 0, h1()<> 0,h2 () 0 nên ph−ơng trình h0(t) = có cả 3 nghiệm phân biệt đều nằm trong (−2; 2) Đặt xuu=∈2cos ,() 0; π . Khi đó sinu ≠ 0 và (4) có dạng : ⎧xyz===2cos uu , ∈( 0; π ) ⎪⎧ xyz===2cos uu , ∈() 0; π ⎨ 32 hay ⎨ 32 ⎩8cosuuu−−+= 4cos 4cos 1 0 ⎩⎪sinuu() 8cos− 4cos uu−+= 4cos 1 0 ⎧xyz===2cos uu , ∈( 0; π ) Hay ⎨ (5). ⎩ sin4uu= sin3 13
14. ⎧xyz===2cos uu , ∈( 0; π ) ⎧π 35ππ⎫ ⎪ Giải hệ ph−ơng trình (5) ta thu đ−ợc u∈ ⎨ ;;⎬ và ⎨ ⎧⎫πππ35 ⎩⎭77 7 ⎪u∈⎨⎬;; ⎩ ⎩⎭77 7 " 9. Tìm tất cả các bộ ba số d−ơng ( x,,yz) thoả mãn hệ ph−ơng trình : ⎧2x2004= yz 6+ 6 ⎪ ⎨2y2004= zx 6+ 6 ⎪ 2004 6 6 ⎩2zxy= + Giải : Giả sử ()x,,yz là một bộ ba số d−ơng thoả mãn hệ PT đã cho . Không mất tính tổng quát , giả sử 0 <≤≤x yz. Nh− vậy : ⎧2x2004=+≥+yzxx 6 6 6 6 ⎧xx2004≥ 6 ⎧x ≥ 1 ⇒⇒⇒===x yz1 ⎨ 2004 6 6 6 6 ⎨⎨2004 6 ⎩ 2zxyzz=+≤+ ⎩ zz≤ ⎩z ≤ 1 Đảo lại, dễ thấy x ===yz1 là một bộ ba số d−ơng thoả mãn yêu cầu bài toán . ) 10. Tìm điều kiện của m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm : ⎧xyzxyyzzx222+ −+ −−=1 ⎪ 22 ⎨yzyz++=2 ⎪ 22 ⎩xzxzm++= ⎧xx54− +=22 xy 2 ⎪ ) 11. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ yy54− +=22 yz 2 ⎪ 54 2 ⎩ zz− +=22 zx ⎧x32(yy++=333) y 2 ⎪ ⎪ ) 12. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ y32()zz++=333 z 2 ⎪ 32 2 ⎩⎪zx()++=333 x x " 13. Tìm tất cả các số thực a sao cho hệ ph−ơng trình sau có nghiệm thực x, y, z : ⎪⎧ x −1111+−+−=−yza ⎨ ⎩⎪ x +1111++++=+yza Giải. ĐK: x ≥≥≥ 1,yz 1, 1 Hệ ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với hệ ph−ơng trình : ⎧ x −+xyyzza + + −+ + + −+ + = ⎪()11( 11) ( 112) ⎨ ⎪ xx+−11 − + yy +− 11 − + zz +− 112 − = ⎩()()() Đặt u = xx−+11 + ; vy=−++11 y ; sz= −+11 z + Do x ≥≥≥1,yz 1, 1 nên uvs≥≥≥2, 2, 2 . Ng−ợc lại nếu uvs≥≥≥2, 2, 2 , ta có : 22 12⎛⎞ 1 ⎛2 4 ⎞ xx+−11 −= = ⇒+=+⇒=xuxu11⎜⎟ ⎜ +2 ⎟ ≥ xx++11 − u 24⎝⎠uu ⎝ ⎠ T−ơng tự đối với y, z . 14
15. Do đó bài toán của ta đ−a về bài toán t−ơng đ−ơng : Tìm tất cả các số thực a sao cho hệ ph−ơng trình sau có nghiệm uvs≥≥≥2, 2, 2 : ⎧uvs++=2 a ⎪ ⎨ 111 ()1 ++=1 ⎩⎪ uvs + Điều kiện cần : Giả sử hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm . Theo bất đẳng thức Bunhia ta có : ⎛⎞111 9 29auvs=++()⎜⎟ ++≥⇒≥ a ⎝⎠uvs 2 9 + Điều kiện đủ : Giả sử a ≥ . Chúng ta sẽ chứng minh hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm 2 ⎧ uv+ =−23 a ⎪ Lấy s = 3 ( thoả mãn s ≥ 2 ) . Khi đó (1) t−ơng đ−ơng với : ⎨ 32()a − 3 ⎪uv. = ⎩ 2 32( a − 3) ⇔ uv, là hai nghiệm của tam thức bậc hai : tat2 −−+22() 3 2 23aaa−±()() 2329 − − ⇒=uv, 2 2 Chú ý : Đặt ha=−≥⇒+−290() h 622 >+()() h 32 > hh + 6. Tức là : ()23222329aaa−− >()() − − ⇒>uv2, > 2 . Nh− vậy hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm uvs≥≥≥2, 2, 2 . 9 Tóm lại các số thực a cần tìm là tất cả các số thực a ≥ . 2 " 14. Giải hệ ph−ơng trình : ⎧ ⎛⎞11⎛⎞ ⎛⎞ 1 ⎪20⎜⎟xy+ =+= 11⎜⎟ 2007 ⎜⎟ z + ⎨ ⎝⎠x ⎝⎠yz ⎝⎠ ⎪ ⎩ xy++= yz zx 1 " 15. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 –Bảng A ) ⎧ x2 − 26.log6xyx+−=() ⎪ 3 ⎪ 2 Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ y − 26.log6yzy+−=3 () ⎪ zz2 − 26.log6+−= xz ⎩⎪ 3 () Giải . ĐK xác định xyz , ,< 6 . Hệ đã cho t−ơng đ−ơng với : ⎧ x ⎪ log3 ()61−=y () ⎪ xx2 −+26 ⎪ y ⎨ log3 ()62−=z () ⎪ yy2 −+26 ⎪ ⎪ z log3 ()63−=x () ⎩⎪ zz2 −+26 15
16. x Nhận thấy f ()x = là hàm tăng, còn glog6( x) = 3 ( − x) là hàm giảm với x<6. xx2 −+26 Nếu ()x,,yz là một nghiệm của hệ ph−ơng trình ta chứng minh x=y=z.Không mất tính tổng quát giả sử x = max{xyz , , } thì có hai tr−ờng hợp : 1) x ≥≥yz . Do g()x là hàm giảm, suy ra : log333( 6− y)()≥−≥− log 6zx log( 6 ) ⇒≥≥x zy. Do y ≥ z nên zy= . Từ (1) và (2) suy ra : x=y=z. 2) x ≥≥zy. T−ơng tự log333( 6− y) ≥−≥− log( 6xz) log( 6 ) ⇒≥≥zxy. Do x ≥ z nên zx= . Từ (1) và (3) suy ra : x=y=z. Ph−ơng trình fg()x = ( x) có nghiệm duy nhất x=3. Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất : x=y=z=3. " 16. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 –Bảng B ) ⎧x32+ 325xx+−= y ⎪ Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ y32+ 325yy+−= z ⎪ 32 ⎩ zzz+ 325+−= x Giải . Giả sử x = max{xyz , , }. Xét hai tr−ờng hợp : 1) x ≥≥yz ⎧x32+ 325xx+−≤ x Từ hệ trên ta có : ⎨ 32 ⎩ zzz+ 325+−≥ z ⎧ xx−++≤1210⎡⎤2 ⎪⎣()() ⎦ ⎧x ≤ 1 ⇒⇒⎨⎨ ⎪ zz−++≥1210⎡⎤2 ⎩1 ≤ z ⎩()()⎣⎦ 2) x ≥≥zy ⎧x32+ 325xx+−≤ x Từ hệ trên ta có : ⎨ 32 ⎩y + 325yy+−≥ y ⎧ xx−++≤1210⎡⎤2 ⎪⎣()() ⎦ ⎧x ≤ 1 ⇒⇒ ⎨⎨2 ⎪ yy−++≥1210⎡⎤⎩1 ≤ y ⎩()()⎣⎦ Cả hai tr−ờng hợp đều cho xzy=== 1. Thử lại ta thấy xzy= == 1 là nghiệm của hệ ph−ơng trình . Tóm lại hệ đã cho có nghiệm duy nhất : xzy= == 1. ) 17. Giải hệ ph−ơng trình : ⎧ 1118 ⎪ xyz++− − −= ⎪ xyz3 ⎪ 111118 ⎨ xyz+++ + + = ⎪ xyz 9 ⎪ 111728 ⎪xx++−− yy zz −= ⎩⎪ xx yy zz 27 16
17. " 18 . Giải hệ ph−ơng trình : ⎧ xy22+=−+ yxz( ) ⎪ ⎨ xxy2 ++=−2 yz ⎪ 22 ⎩3888242x + yxyyzxz++=++ Giải . Hệ đã cho t−ơng đ−ơng với : ⎧ xx()()++ y yy += z 0 ⎪ ⎨ xx()()++1210 y z += ⎪ 2222 ⎩⎪44()()()()xy++ yz +=+++ x 121 z GG G G GGGGG22 Xét : axybxyyzcx==++=++();, ( ; ) ,( 1;21 z) ⇒=ab.0,.0,4 ac = b = c GG 1 + Nếu a = 0 thì xy= ==−0, z . 2 GG G G G G 1 + Nếu a ≠ 0 thì b và c cộng tuyến nên : cb= ±2 , từ đó ta có : xyz===0, . 2 ⎛⎞⎛⎞111 Tóm lại hệ có hai nghiệm : ⎜⎟⎜⎟0; 0;− , 0; ; . ⎝⎠⎝⎠222  iV. Hệ ph−ơng trình n ẩn. ( n >3, n∈N ) " 1. Giải hệ ph−ơng trình : 1996 ⎧ xx12+= x 3 ⎪ 1996 ⎪xxx23+= 4 ⎪ ⎨ ⎪ xxx+=1996 ⎪ 1995 1996 1 1996 ⎩⎪xxx1996+= 1 2 Giải : Gọi X là giá trị lớn nhất của các nghiệm xii ,= 1, 1996 và Y là giá trị bé nhất của chúng. Thế thì từ ph−ơng trình đầu ta có : 1996 2X ≥+=xx12 x 3 1996 Từ đó đối với các ph−ơng trình của hệ ta có : 2X ≥∀=xkk , 1,2, ,1996 Hay là ta có : 2X ≥ X1996 suy ra : 2≥ X1995 ( vì X >0 ) (1) Lập luận một cách t−ơng tự ta cũng đi đến : 2≤ Y1995 (2) Từ (1) và (2) suy ra XY21995== 1995 1995 Nghĩa là ta có : xx1=== 2 x 1996 = 2 ⎧ xa11−− xa 22 xnn− a ⎪ === " 2. Giải hệ ph−ơng trình : ⎨ bb12 bn ⎪ ⎩ xx12+++= xn c n với bb12, , , bni≠ 0,∑ b≠ 0 i=1 17
18. xa−− xa xa− Giải . Đặt : 11=== 22 nnt bb12 bn ⎛⎞n ca− nn n nn ⎜⎟∑ i x =+⇒tb a x = a + t b ⎝⎠i=1 Ta có : iii∑∑∑ i i i ⇒=catbt∑∑ii + ⇒= n ii==11 i = 1 ii==11 ∑ bi i=1 ⎛⎞n ⎜⎟ca− ∑ i ⎝⎠i=1 ⇒=+xabiii n ∑ bi i=1 18