Tính toán kết cấu tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên FGM có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Nội dung text: Tính toán kết cấu tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên FGM có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ bằng phương pháp phần tử hữu hạn

1. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM LÀM BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN FGM CÓ KỂ ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ThS. NGUYỄN TRÍ DŨNG Viện KHCN Xây dựng TS. Đại Úy. ĐẶNG SỸ LÂN Đại học Phòng cháy chữa cháy Tóm tắt: Bài báo sử dụng phương pháp phần tử Trên thế giới có nhiều nghiên cứu về ứng xử hữu hạn (PP PTHH) để tính toán độ võng và ứng suất cơ nhiệt của tấm FGM trong môi trường nhiệt độ. của tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên Wang và Tarn [1, 2] sử dụng phương pháp khai triển (Functionally graded material-FGM) chịu tải trọng cơ tiệm cận (asymptotic expansion) phân tích ba học và nhiệt độ. Phần tử đẳng tham số chín nút mỗi chiều tấm không đồng nhất. Thay vì giải chính nút gồm năm bậc tự do được sử dụng để mô hình xác phương trình truyền nhiệt, các tác giả giả định phần tử tấm. Kết quả số được khảo sát với các trường trước trường nhiệt độ trong vật liệu FGM. Aboudi và hợp khác nhau và được so sánh với các kết quả đã cộng sự [3] phân tích ứng xử đàn - nhiệt của tấm được công bố của tác giả khác cho thấy độ tin cậy của thuật toán và chương trình. FGM theo lý thuyết bậc cao. Đáp ứng phi tuyến đàn - nhiệt của tấm FGM gốm/kim loại được khảo Từ khóa: FGM, vật liệu có cơ tính biến thiên, phần tử hữu hạn, tải trọng nhiệt độ. sát bởi Praveen và Reddy [4] bằng phương pháp phần tử hữu hạn theo lý thuyết tấm von-Karman. 1. Mở đầu Reddy và Chin [5] tiến hành nghiên cứu lý thuyết Vật liệu FGM là một loại composite thế hệ mới, cũng như phân tích phần tử hữu hạn ứng xử nhiệt - được ứng dụng trong kỹ thuật hàng không (chế tạo cơ của ống trụ và tấm FGM. Biến dạng nhiệt - cơ của thân vỏ máy bay), trong y học (chế tạo răng, xương tấm e-lip ngàm trên chu vi được phân tích bởi Cheng nhân tạo), trong quốc phòng (áo giáp chống đạn), và Batra [6]. trong công nghiệp năng lượng (tấm cách nhiệt, tua bin, lò phản ứng) Vật liệu FGM được kết hợp từ 2 Ở Việt Nam, các công bố của các tác giả trong vật liệu trong đó tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần biến nước về các kết cấu bằng vật liệu FGM trong thời đổi một cách trơn và liên tục từ mặt này sang mặt kia gian gần đây tăng nhanh. Các tác giả Đào Huy Bích theo chiều dày thành kết cấu (hình 1). Hàm đặc trưng và cộng sự [7], Trần Ích Thịnh [8], Trần Minh Tú, cho các hằng số vật liệu FGM giả thiết dưới dạng: Nguyễn Bích Phượng [9] phân tích trường chuyển vị và ứng suất trong tấm FGM theo lý thuyết tấm cổ (1) V( z ) ( Vc V m ). g ( z ) V m p điển. Huỳnh Vinh [10], Trần Thị Nhật Nguyên [11] z 1 (2) g() z phân tích tĩnh và động tấm FGM theo lý thuyết biến h 2 dạng cắt bậc nhất. Tuy nhiên, trong các nghiên cứu Trong đó:Vm - hằng số vật liệu của vật liệu mặt này, yếu tố nhiệt độ chưa được xét đến. trên tấm (-h/2); V - hằng số vật liệu của vật liệu mặt c Bài báo này sử dụng phương pháp PTHH với dưới tấm (+h/2); V(z) - hằng số vật liệu của vật liệu tại phần tử đẳng tham số 9 nút, mỗi nút 5 bậc tự do dựa tọa độ z bất kỳ; p - tham số vật liệu (chỉ số tỉ lệ thể trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để tính độ võng tích); h - chiều dày. và ứng suất trong tấm làm bằng vật liệu FGM chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ. 2. Cơ sở lý thuyết 2.1 Sự thay đổi tính chất của vật liệu FGM theo nhiệt độ Với tấm bằng vật liệu FGM, các hằng số vật liệu biến thiên liên tục theo tọa độ chiều dày tấm, chẳng hạn mô-đun đàn hồi E=E(z). Ta có công thức xác định các hằng số vật liệu (mô-đun đàn hồi E và hệ số giãn Hình 1. Mô hình kết cấu làm từ vật liệu FGM nở nhiệt ) như sau: 16 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014
2. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG p p z 1 ; z 1 (3) E (Et . Eb ) Eb ( t . b ) b h 2 h 2 Ngoài ra, khi làm việc trong môi trường nhiệt độ, các hằng số vật liệu cũng là hàm số của nhiệt độ tuyệt đối T (theo nhiệt độ Kelvin, 0o C ứng với 273K). Theo Yang J. và Shen H. S [12], các hằng số vật liệu E, được biểu diễn dưới dạng: t t 1 t t 2 t 3 b b 1 b b 2 b 3 Et E0 E 1T 1 E1T E2T E3T , Eb E0 E 1T 1 E1 T E2 T E3 T (4) t t 1 t t 2 t 3 b b 1 b b 2 b 3 t 0 1T 1 1T 2T 3T , b 0 1T 1 1T 2T 3T (5) trong đó, uxyzt(,,,),,,, uxyt0 z x xyt E-1, E1, E2, α-1, α1, α2, α3 - các hằng số phụ thuộc vxyzt(,,,),,,, vxyt0 z y xyt (6) vào từng loại vật liệu; w(,,,)(,,) x y z t w0 x y t E0, α0 - Giá trị của hằng số vật liệu tại nhiệt độ 0 u,, v w - các thành phần chuyển vị của mặt phòng T0 (T0 27 C 300K ); 0 0 0 trung bình theo các phương x, ,z. T - Nhiệt độ khảo sát, tính theo Kelvin y ,  - các góc xoay của mặt pháp tuyến quanh (T T0 T ). x y 2.2 Mô hình phần tử hữu hạn tấm FGM chịu tác hai trục y, x. dụng đồng thời của tải trọng cơ – nhiệt Biến dạng được suy ra từ chuyển vị bằng cách sử 2.2.1 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Reissner – dụng quan hệ chuyển vị - biến dạng trong lý thuyết Mindlin [13] đàn hồi. Khi có tác dụng đồng thời của tải trọng cơ Reissner, Mindlin giả thiết trường chuyển vị bậc học và nhiệt độ thì trường biến dạng được xác định nhất dưới dạng sau: bằng nguyên lý cộng tác dụng. u   0 z. x T x x v0  y c.h T  xy  z. T     y y c.h yy   : Biến dạng do tải trọng cơ học gây ra. => u0 v0  x y (7)  xy  z. T  T y x y x  : Biến dạng do nhiệt gây ra .  xz w 0   yz  x x w0  y y  Với giả thiết bỏ qua thành phần ứng suất theo phương z, biểu thức ứng suất trong phân tố tấm FGM được xác định như sau:  xx  C11 C12 0 0 0  xx  1  C C 0 0 0  yy 12 22 yy 1  0 0 C 0 0  0 T (8) xy  66 xy    xz 0 0 0 C 0  xz 0 66   yz  0 0 0 0 C66 yz  0 Trong đó các số hạng của ma trận [C] xác định như sau: E(z)  (z) E(z) C C ; C E(z); C (9) 11 22 1  2 (z) 12 1  2 (z) 66 2.1  (z) Tích phân biểu thức (8) dọc theo chiều dày tấm ta thu được biểu thức biểu diễn các thành phần nội lực: Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014 17
3. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG N  A B   N ND     (10) M  B D  M ND  Q S (11) t t Trong đó: N N x , N y , N xy ; M M x , M y , M xy  (12) t 0 0 0 t   x, y , xy ;   x , y , xy  (13) ND ND   N x M x h / 2 C11 C12 0 x ND ND N M C C 0 1, z Tdz (14) y y  12 22 y  ND ND h / 2 N xy N xy  0 0 C66 xy  t t Q Qyz ,Qxz ;   yz , xz  (15) A11 A12 0 B11 B12 0 D11 D12 0 A A A 0 ; B B B 0 ; D D D 0 (16) 12 22 12 22 12 22 0 0 A66 0 0 B66 0 0 D66 S 66 0 S (17) 0 S 66 h / 2 Với A , B , D C 1, z, z 2 dz (i, j=1,2,6) (18) ii ij ij ij h / 2 5 h / 2 5 S C dz ( là hệ số hiệu chỉnh cắt) (19) 66 66 6 h / 2 6 2.2.2 Mô hình phần tử hữu hạn a. Lựa chọn phần tử 7(-1, 1) 6(0, 1) 5(1, 1) 5 6 4 3 y 7 9 8(-1, 0) 9(0, 0) 4(1, 0) 8 2 1 1(-1, -1) 2(0, -1) 3(1, -1) x (a) (b) Hình 2. Phần tử tứ giác đẳng tham số 9 nút Với phần tử tứ giác đẳng tham số 9 nút, phần tử quy chiếu là hình vuông có các toạ độ nút theo hệ toạ độ tự nhiên cho trong hình 2b còn phần tử thực là phần tử tứ giác 9 nút có biên cong hoặc thẳng như trong hình 2a. Chuyển vị của một điểm bất kỳ trong phần tử có thể viết dưới dạng sau: 9 q [N] qi  (20) i 1 t Với qi  u0i ,v0i , w0i , xi , yi  là chuyển vị tại các nút phần tử. 18 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014
4. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG N1 0 0 0 0 N9 0 0 0 0 0 N 0 0 0 0 N 0 0 0 1 9 N 0 0 N1 0 0 0 0 N9 0 0 là ma trận các hàm dạng. 0 0 0 N1 0 0 0 0 N 9 0 0 0 0 0 N1 0 0 0 0 N9 Từ đó, ta có:  B1  qe ;  B2  qe ;   B3  qe  (21) Trong đó:   0 0 0 0 0 0 0 0  x x 0 0 0 0   y B  0 0 0 0 ; B  0 0 0 0 ; B  1 3x45 y 2 3x45 y 3 2x45  0 0 0 0     0 0 0 0 0 0 x (9) y x (9) y x (9) Là các ma trận tính biến dạng. Thế năng biến dạng đàn hồi trong phần tử tấm được viết như sau: 1 U e  t A  t B  t B  t D  t S  t N ND  t M ND dA (22) 2 Thay (21) vào (22), thế năng biến dạng đàn hồi được viết lại như sau: 1 U e q t  K  q  f (23) 2 e e e e Trong đó: K B t A B B t B B B t B B B t D B Bt S B (24)  e   1   1   1   2   2   1   2   2   3   3  Là ma trận độ cứng phần tử. Véc tơ lực nút phần tử được tính theo công thức sau: t f N q B t N ND Bt M ND dA (25) e    0   1   2  Ae Hệ phương trình cân bằng nhận được khi cực tiểu hóa thế năng toàn phần của phần tử có dạng: K e  qe  f e  (26) Bằng phép ghép nối các ma trận độ cứng phần tử thông thường, ta nhận được phương trình PTHH cho toàn tấm: K q F (27) với [K], {q}, {F} lần lượt là ma trận độ cứng tổng thể, véc tơ chuyển vị nút tổng thể và véc tơ lực nút tổng thể. 3. Kết quả số Bài toán 1: Kiểm chứng thuật toán và chương trình Để kiểm chứng độ tin cậy của thuật toán và chương trình đã xây dựng, bài báo so sánh kết quả tính toán với kết quả tính theo lý thuyết bậc nhất đơn giản (FSDT) của Huu-Tai Thai, Dong-Ho Choi [14]. Cụ thể là khảo a sát độ võng không thứ nguyên lớn nhất tại tâm của tấm vuông có tỷ lệ chiều dài/ chiều dầy là 10 . Công h 10h3 E a b thức tính độ võng không thứ nguyên là: c . w 4 w , q0b 2 2 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014 19
5. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Bảng 1. So sánh độ võng w h p Tác giả  xx 2 Bài báo 0.4666 2.8837 0 Thai-Choi[24] 0.4666 2.8732 (ceramic) Độ lệch 0% 0.36% Bài báo 0.9288 4.4569 1 Thai-Choi[24] 0.9288 4.4070 Độ lệch 0.00% 1.12% Bài báo 1.1909 5.2042 2 Thai-Choi[24] 1.1909 5.1852 Độ lệch 0.00% 0.37% Nhận xét: Từ bảng 1 nhận thấy chênh lệch giữa (Al2O3) có Ec=380 (GPa). Mặt dưới là nhôm - kim loại kết quả của tác giả và của Huu-Tai Thai, Dong-Ho (Al) có Em=70 (GPa ). Kích thước tấm h=10cm, Choi là rất nhỏ, điều đó chứng tỏ thuật toán và b=100cm. Tải trọng phân bố đều trên mặt tấm q=1 chương trình có độ tin cậy. Mpa. Nhiệt độ ban đầu To=300K và biến thiên nhiệt độ T=300K, T=500K, T=800K, T=1000K. Bài toán 2: Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ võng Khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ võng lớn của tấm FGM nhất trong tấm FGM (chỉ số tỷ lệ thể tích p=1), kết quả Xét tấm hình vuông bốn biên tựa khớp làm bằng được thể hiện trong bảng 2 và biểu diễn bằng đồ thị vật liệu P-FGM. Mặt trên là nhôm ô xit - ceramic (hình 3). Bảng 2. Độ võng không thứ nguyên w tại mặt cắt y=b/2 dưới tác dụng của tải phân bố đều và nhiệt độ x/a T=300K T=500K T=800K T=1000K 0 0 0 0 0 0.1 -0.0053 -0.0158 -0.0491 -0.0868 0.2 -0.0091 -0.0271 -0.0840 -0.1485 0.3 -0.0116 -0.0346 -0.1071 -0.1895 0.4 -0.0130 -0.0388 -0.1203 -0.2127 0.5 -0.0135 -0.0402 -0.1245 -0.2203 0.6 -0.0130 -0.0388 -0.1203 -0.2127 0.7 -0.0116 -0.0346 -0.1071 -0.1895 0.8 -0.0091 -0.0271 -0.0840 -0.1485 0.9 -0.0053 -0.0158 -0.0491 -0.0868 1 0 0 0 0 Hình 3. Biểu đồ độ võng không thứ nguyên w tại mặt cắt y=b/2 ở các mức nhiệt độ khác nhau 20 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014
6. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Nhận xét: Bài toán 3: Ảnh hưởng của nhiệt độ đến ứng suất trong tấm FGM Từ kết quả trong bảng 2 và hình 3 ta nhận thấy khi tấm chịu tải trọng nhiệt độ thì độ võng lớn nhất Kết cấu, vật liệu và các điều kiện khác như trong vẫn ở vị trí giữa tấm. Khi nhiệt độ tuyệt tối thấp thì độ bài toán 2. Khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ T ứng võng tăng nhỏ ngay cả khi chênh lệch nhiệt độ là lớn suất không thứ nguyênxx (chỉ số tỷ lệ thể tích p=5), nhưng khi nhiệt độ tuyệt đối cao thì độ võng tăng kết quả được tính toán và thể hiện trong bảng 3 và nhanh hơn nhiều mặc dù chênh lệch nhiệt độ là thấp. biểu diễn bằng đồ thị như hình 4. Bảng 3. Ảnh hưởng của nhiệt độ đến ứng suất không thứ nguyên tại tâm của tấm z/h T=300K T=500K T=800K T=1000K -0.5 3.2616 3.6020 4.6331 5.7229 -0.4 2.6126 2.9259 3.8709 4.8768 -0.3 1.9635 2.2497 3.1083 4.0300 -0.2 1.3137 1.5726 2.3439 3.1802 -0.1 0.6636 0.8947 1.5768 2.3250 0 0.0166 0.2195 0.8101 1.4662 0.1 -0.6164 -0.4416 0.0579 0.6181 0.2 -1.2122 -1.0629 -0.6464 -0.1811 0.3 -1.7276 -1.5966 -1.2378 -0.8540 0.4 -2.0915 -1.9633 -1.6059 -1.2663 0.5 -2.1946 -2.0403 -1.5780 -1.2044 Hình 4. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên ứng suất Nhận xét: FGM khi mỗi vật liệu thành phần là tuyến tính nhưng vật liệu tạo thành lại là phi tuyến. Từ bảng kết quả và đồ thị biểu diễn ta có thể thấy ứng suất tại mặt trên của tấm chịu ảnh hưởng của 3. Kết luận nhiệt độ ít hơn so với mặt dưới, điều đó cho thấy sự Mô hình phần tử hữu hạn sử dụng phần tử đẳng khác biệt giữa hai loại vật liệu ở hai mặt trên và dưới tham số 9 nút, mỗi nút 5 bậc tự do dựa trên lý thuyết của tấm. Đây chính là đặc trưng cơ bản của vật liệu biến dạng cắt bậc nhất Reissner-Mindlin đã được thiết Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014 21
7. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG lập để tính toán độ võng và ứng suất cho kết cấu tấm 6. CHENG ZQ, BATRA RC. Three-dimensional được làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên FGM khi thermoelastic deformations of a functionally graded chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ. Từ các kết quả số elliptic plate. Compos Part B: Eng 2000;13:97–106. 82 có thể rút ra các kết luận sau: 7. DAO HUY BICH, VU DO LONG, “Non-linear dynamical - Nhiệt độ ảnh hưởng đến ứng suất trong kết cấu analysis of imperfect functionally graded material tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên tại các vị shallow shells”, Vietnam Journal of Mechanics VAST trí khác nhau dọc theo chiều dày của tấm là khác 32(1), pp. 65-79, 2010. nhau và thể hiện rõ nhất là tại mặt trên và mặt dưới 8. TRẦN ÍCH THỊNH, Vật liệu Compozit – Cơ học và tính của tấm. Dọc theo chiều dày của tấm thì ứng suất toán kết cấu, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội, 1994. biến thiên phi tuyến; 9. NGUYỄN THỊ BÍCH PHƯỢNG, TRẦN MINH TÚ. Tính - Độ võng của kết cấu tấm FGM tăng chậm trong toán tấm chịu uốn làm bằng vật liệu có cơ tính biến môi trường có nhiệt độ thấp và tăng nhanh khi đặt thiên. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, Đại học trong môi trường nhiệt độ cao. Xây dựng, số 13/2012. TÀI LIỆU THAM KHẢO 10. HUỲNH VINH. Phân tích tấm chịu uốn làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên. Tạp chí Khoa học Công nghệ 1. WANG Y. M. and TARN J. Q. A three-dimensional Xây dựng, Đại học Xây dựng, 10/2013. analyses of anisotropic inhomogeneous and laminated plate. Int J Solids Struct 1994, 31:497–515. 11. TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN. Nghiên cứu tần số dao động riêng của tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên. Luận 2. WANG Y.M, and TARN J. Q. Asymptotic văn Thạc sỹ Kỹ thuật, Đại học Đà Nẵng, 2013. thermoelastic analyses of anisotropic inhomogeneous and laminated plate. J Therm Stress 1995, 18:35–58. 12. YANG J,. SHEN H. S. Vibration characteristics and trasient response of shear-deformable functionally 3. ABOUDI J,, PINDERA M. J. and ARNOLD S.M. graded plates in thermal enviroment. Soud and Thermoelastic theory for the response of materials Vibration (2002) 255(3), 579-602. functionally graded in two directions with applications to the free edge problem. Int J Solids 13. REDDY JN, CHIN CD. Thermo-mechanical analysis of Struct 1996 33:931–66. functionally graded cylinders and plates. Int J Solids Struct 1998;21:593–626. 4. PRAVEEN G. N. and REDDY J.N. Nonlinear transient thermoelastc analysis of functionally graded ceramic– 14. HUU-TAI THAI, DONG-HO CHOI. A simple first-order metal plates. Int J Solids Struct 1998, 35:4457–4476. shear deformation theory for the bending and free vibration analysis of functionally graded plates. 5. REDDY JN, CHIN CD. Thermo-mechanical analysis of Composite Structures Vol 101, 2013, Pages 332–340. functionally graded cylinders and plates. Int J Solids Struct 1998;21:593–626. Ngày nhận bài sửa:10/9/2014. 22 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014