Tiểu luận Các mô hình lý thuyết giải quyết vấn đề năng lượng tối quan sát thấy trong thiên văn

Nội dung text: Tiểu luận Các mô hình lý thuyết giải quyết vấn đề năng lượng tối quan sát thấy trong thiên văn

1. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị CÁC MÔ HÌNH LÝ THUYẾT GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NĂNG LƯỢNG TỐI QUAN SÁT THẤY TRONG THIÊN VĂN I. Năng lượng tối là gì Năng lượng tối là dạng năng lượng không phát sáng, có áp suất âm và phân bố dàn trãi trong vũ trụ. Theo những số đo của kính thiên văn vũ trụ Hubble, năng lượng tối đang đẩy vũ trụ giãn ra, dường như là năng lượng không đổi mà Albert Einstein từng dự đoán. Năng lượng này là một dạng năng lượng lạ, tác động theo cách đối lập với năng lượng hấp dẫn. Năng lượng tối làm cho các thiên hà trong vũ trụ di chuyển ra xa nhau với tốc độ ngày càng tăng. Einstein đã ám chỉ năng lượng này bằng một hằng số gọi là "hằng số vũ trụ". Lý thuyết của ông cho rằng vũ trụ không có năng lượng tối sẽ tự sụp đổ do suy sụp hấp dẫn nên sự tồn tại của năng lượng tối là để làm cho vũ trụ cân bằng với lực hấp dẫn bình thường và làm cho nó khỏi tự sụp đổ. Cuối cùng, Einstein đã bác bỏ lý thuyết này do những quan sát thiên văn của Hubble chứng tỏ vũ trụ đang giản nở . Tuy nhiên, những quan sát về các vụ nổ siêu tân tinh hay những ngôi sao xa nổ tung cách đây từ lâu, đã tăng thêm tính tin cậy của lý thuyết trên. Các nhà khoa học cho rằng chính năng lượng tối là nguyên nhân làm vũ trụ giãn ra và tăng tốc độ. Theo tính toán của các nhà khoa học, năng lượng tối chiếm khoảng 73% vũ trụ, vật chất tối chiếm khoảng 23% vũ trụ, còn lại 4% là vật chất mà chúng ta thấy được hiện nay. Như đã biết năng lượng tối được giả thuyết như là một dạng của năng lượng và tạo ra áp suất âm. Thuyết tương đối rộng chỉ ra rằng, áp suất âm này có tác dụng nhưng ngược chiều với lực hấp dẫn ở thang đo khoảng cách lớn. Chính vì vậy nó là nguyên nhân gia tốc sự giãn nở của vũ trụ. Năng lượng tối có ở mọi nơi và choáng đầy vũ trụ của chúng ta. Để hiểu được bản chất của năng lượng tối chúng ta cần phải đi sâu vào vật lý lượng tử của Trang 1
2. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị thế giới hạ nguyên tử. Như chúng ta đã biết, ở thang vi mô, không gian được coi là trống rỗng hay chân không hoàn hảo thì không hoàn toàn trống rỗng mà được choáng đầy bởi một trường gọi là Higgs. Chính trường này đã đưa làm cho các quark và lepton có khối lượng . Trường Higgs làm chậm chuyển động của hạt, cho chúng khối lượng và giữ cho cấu trúc của nguyên tử ổn định. Nếu không có trường Higgs, electron có thể chuyển động với tốc độ ánh sáng, nguyên tử sẽ bị phá vỡ cấu trúc và tan rã ngay lập tức. Năng lượng chân không với các hạt lượng tử trong chân không hoàn hảo của thế giới vi mô có thể là nguồn gốc của năng lượng tối. Việc khám phá ra lý thuyết siêu đối xứng, một phát biểu quan trọng của lý thuyết dây, cho phép hiểu rõ mối liên hệ giữa năng lượng tối và trường Higgs. Nếu tồn tại, các boson Higgs sẽ đóng một vai trò quan trọng về thành phần năng lượng tối.Sau đây chúng ta đi tìm hiểu một số mô hình năng lượng tối hiện nay. II. Các mô hình năng lượng tối 1. Mô hình hằng số vũ trụ Λ Mô hình đơn giản nhất để giải thích cho sự tồn tại của năng lượng tối là hằng số vũ trụ.Thuyết tương đối rộng của Einstein đã chỉ ra rằng, vũ trụ sẽ phải suy sụp bởi chính sức mạnh hấp dẫn của nó. Cũng như nhiều khoa học gia thời đó, ông đã cố chỉnh sửa các phương trình của thuyết tương đối rộng bằng cách thêm vào một hằng số, gọi là hằng số vũ trụ , để mô tả một vũ trụ tĩnh tại không thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, hằng số này lại ám chỉ một lực đẩy cân bằng với lực hấp dẫn ở khoảng cách lớn để giữ cho vũ trụ không giãn nở và không co lại theo thời gian (nghiệm của các phương trình Einstein là nghiệm dừng). Lúc đó, Einstein chỉ cho đó là một hiệu chỉnh toán học chứ không hề nghĩ rằng hằng số đó lại phản ánh một sự thực nào đó. Năm 1929, nhà thiên văn người Mỹ Endwin Hubble khám phá ra sự giãn nở của vũ trụ thì Einstein mới nói rằng, đó là ngu ngốc lớn nhất của đời ông. Các quan sát với kính thiên văn trong không gian cũng như trên mặt đất đã khẳng định chắc chắn thực tế đó, và hơn nữa, cho thấy, vũ trụ đang tăng tốc. Các thiên hà đang lao vút trong không gian và rời xa nhau. Trang 2
3. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Nhưng ngày nay, hằng số vũ trụ học lại hồi sinh và có vẻ như Einstein đã đúng. Nó liên hệ chặt chẽ với một loại năng lượng của chân không lượng tử đang tràn ngập vũ trụ của chúng ta, mà ta gọi năng lượng tối. Chúng ta đang thử xem liệu rằng hằng số vũ trụ học đóng vai trò gì về lực đẩy bí mật của năng lượng tối gia tốc sự giãn nở của vũ trụ hay không. Như đã đề cập ở trên, để có một vũ trụ là tĩnh Einstein đã đưa vào phương trình một số hạng vũ trụ để thực hiện cơ chế đẩy. Chúng ta biết rằng sự phân kỳ hiệp biến của tensor Einstein Gμν và tensor năng-xung lượngTμν triệt tiêu như nhau; tensor mêtric cũng có sự phân kỳ hiệp biến zero. Vì thế ta có một số sữa đổi trong phương trình trường nhưng vẫn phù hợp với các định luật bảo toàn: 18πG R −+Λ=−gg T (1.1) μνμνμνμν2 c4 Λ trong phương trình trên được gọi là hằng số vũ trụ. c4 Vì Λ có dạng giống như tensor năng-xung lượng, nên các nhà vật lý cho rằng hằng 8πG số vũ trụ hiện diện ngay cả khi vũ trụ là hoàn toàn không có vật chất và bức xạ, và Λ có thể được dùng như là mật độ năng lượng của chân không. c4 e = Λ (1.2) V 8πG Trong mô hình vũ trụ có chứa hằng số vũ trụ Λ , độ cong của không gian không còn phụ thuộc vào một mình mật độ khối lượng nữa; mật độ tới hạn ρc và tham số mật độ Ω0 được cho: 22 3Hc0 − Λ 8πGρ o ρc = , Ω=0 22 (1.3) 8πG 3Hc0 − Λ Để ước lượng Λ , ta dựa vào điều kiện là mật độ tới hạn ρc ≥ 0 , suy ra: Trang 3
4. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị 3H 2 Λ≤0 ≈3.5 × 10−56cm− 2 (1.4) c2 Chú ý rằng căn bậc hai của nghịch đảo của Λ có thứ nguyên là độ dài. Với sự hiện diện của hằng số khác không Λ thì tương lai của vũ trụ không thể chỉ được suy luận bằng mật độ vật chất. Hằng số vũ trụ cũng được xem lại trong lý thuyết trường lượng tử. Trong lý thuyết trường lượng tử thì chân không được xác định như là một trạng thái có năng lượng thấp nhất. Bất cứ dạng nào đóng góp vào mật độ năng lượng chân không cũng đều đóng góp vào hằng số vũ trụ. Có ba đóng góp khác nhau: Λtot=Λ ein +Λ quan +Λ int (1.5) Trong đó Λein được đưa vào bởi Einstein; Λquan là hằng số lệ thuộc vào các thăng giáng lượng tử; Λint là hằng số ( tương tự như Λint ) lệ thuộc vào các hạt và tương tác như là trường Higgs và boson Higgs.lượng tử Chúng ta có thể bỏ qua Λint và chỉ khảo sát Λquan . Các thăng giáng lượng tử được biểu thị như là các cặp hạt ảo xuất hiện tự phát, tương tác trong thời gian ngắn và sau đó biến mất. Mặc dù các hạt ảo không thể được phát hiện bằng sự quan sát trong không gian trống rỗng, nhưng nó có tác dụng đo được trong vật lý, và đặc biệt nó đóng góp vào mật độ năng lượng chân không. Sự đóng góp tạo bởi các thăng giáng chân không trong mô hình chuẩn phụ thuộc một cách phức tạp vào khối lượng và cường độ tương tác của tất cả các hạt mà ta đã biết. Một ví dụ đơn giản, chúng ta xem xét một dao động điều hòa lượng tử. Giá trị của nó được cho bởi: ⎛⎞1 Enn =+⎜⎟hω , n=0,1,2 ⎝⎠2 Trang 4
5. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Chân không ( n = 0 ) có một lượng năng lượng xác định. Một trường vô hướng có thể được xem như là tổng của các dao động điều hòa theo tất cả các tần số có thể có . Năng lượng chân không được cho bởi tổng: 1 E0 = ∑ hω j j 2 Tổng này có thể được viết lại như tích phân bằng cách đặt hệ trong một vùng có thể tích L3 và cho . Nếu ta dùng điều kiện biên tuần hoàn, thì tổng trên trở thành: 1 dk3 EL= 3 ω 0 ∫ 3 k 2 ()2π 2π Đặt ==1, k và sử dụng mối quan hệ: ω 22= km+ 2. Ta có: h λ k kmax 2 4 Ek0max41π k 22 ρV ==lim dk k += m ; ( kmmax ) (1.6) L→∞ 32∫ 3 L 0 ()2π 216π Tính tương đối rộng có giá trị phía trên thang đo Planck, đặt klmax = p ta được: 92− 3 ρV ≈10 g.cm (1.7) Kết quả (1.7) bằng 121 lần giá trị thực nghiệm. Dĩ nhiên là không chính xác nhưng nó có thể mô tả được một cách định tính sự tồn tại của năng lượng tối. Mặc dù việc đưa vào hằng số vũ trụ Λ như là một bằng chứng chứng tỏ sự có hiện diện của năng lượng tối nhưng mà kịch bản dựa trên nó lại vấp phải sự khó khăn trong vấn đề điều chỉnh. Để hiểu rỏ điều này chúng ta hãy xem xét tỉ lệ bên dưới: 2 ρ ⎛⎞H Λ =Ω ⎜⎟o (1.8) 2 Λ ⎜⎟ 3Ht() ⎝⎠Ht() 8πG Trang 5
6. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị ρΛ Với Ω=Λ ≈0.7 nếu giả sử là ngày nay bức xạ chiếm ưu thế. Ta có: ρc 2 ρΛ ⎛⎞To = 0.7⎜⎟ (1.9) 3Ht()2 ⎝⎠T 8πG T0 −31 ρΛ -123 Tại thời đại Planck thì 10 tỉ lệ là cỡ 10 . Trên lý thuyết sự tinh chỉnh T 3Ht()2 8πG liên quan đến mô hình hằng số vũ trụ đối với năng lượng tối như thế này là không thể chấp nhận được. Điều này dẫn đến sự khảo sát các mô hình trường vô hướng cho năng lượng tối theo hướng rộng hơn. Các mô hình mà sau đây ta sẽ đề cập đến. 2. Các mô hình trường vô hướng cho năng lượng tối 2.1 Mô hình nguyên tố thứ năm (Quintessence) Thay vì cố đưa hằng số vũ trụ vào để giải thích sự tồn tại của năng lượng tối, ta cũng có đi đến các mô hình trường vô hướng tổng quát hơn để giải thích sự tồn tại của dạng năng lượng mới này. Một trong các mô hình trường vô hướng tiêu biểu là mô hình nguyên tố hạt thứ năm (Quintessence). Quintessence là một trường vô hướng φ đồng nhất trong không gian là liên kết với trường hấp dẫn thông qua một thế đặc biệt V(φ ) Hàm tác dụng Quintessence được cho bởi: ⎡ 1 2 ⎤ Sdx-g=−Δ−4 ()φ V ()φ (2.1) ∫ ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 2 μν μν Với ()Δ=∂∂φ g μφφν , và gg= det Trang 6
7. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Lấy biến phân hàm tác dụng (2.1) theo những số hạng của g μν ta được: ⎛⎞11⎡ ⎛ ⎞⎤ δδφφφφφSdx=−4 -ggμν ∂∂−∂∂+ g g αβ V ∫ ⎜⎟⎢ μν μν ⎜ α β () ⎟⎥ ⎝⎠22⎣ ⎝ ⎠⎦ Đại lượng: ⎛⎞1 αβ TggVμν=∂ μφ ∂ νφφφφ − μν⎜⎟ ∂ α ∂ β + () (2.2) ⎝⎠2 là tenxơ năng-xung lượng của trường Quintessence. Từ tensor năng-xung lượng ta có thể tìm được mật độ và áp suất của Quintessence 2 222⎡ dr 2222⎤ Trong mêtric FRW ds=− dt + a() t⎢ 2 + r() dθθφ + sin d ⎥ Ta có: ⎣1− Kr ⎦ - Mật độ năng lượng: 00000ii⎡11 00 ⎤ ρ =−Tg0000000 =− ∂φφ ∂ + δ g ∂ φφδ ∂ + g ∂ii φφ ∂ + V() φ ⎣⎢22 ⎦⎥ 00 Với g = −1, ∂iφ = 0 , (i =1, 2, 3) Ta được: φ&2 ρ =+V ()φ (2.3) 2 - Mật độ áp suất được tính: iii i⎡1100 0 ii ⎤ pTg=−=iiii ∂∂−φ φδ g ∂∂000 φφδ + g ∂∂+ ii φφ V() φ ⎣⎢22 ⎦⎥ Nên Trang 7
8. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị φ&2 pV=−()φ (2.4) 2 Thế (2.3) và (2.4) phương trình liên tục ρρ& + 30Hp( +=) ta được phương trình chuyển động của trường φ là: dV φφ&&+ 30H & += (2.5) dφ Phương trình (2.5) cho thấy mối quan hệ giữa sự thay đổi giá trị của trường φ với thế V (φ ) và hệ số giản nở Hubble. Tiếp theo, ta biểu diễn phương trình Friedmann và phương trình gia tốc trong mô hình Quintessence. 2 2 ⎛⎞aGK& 8πρ - Phương trình Friedmann H = ⎜⎟=−2 đối với vũ trụ phẳng thì K = 0 ⎝⎠aa3 8πGρ nên H 2 = sử dụng (2.3) ta thu được phương trình Friedmann trong mô hình 3 Quintessence cho vũ trụ phẳng 2 2 8πφG ⎡ & ⎤ HV=+⎢ ()φ ⎥ (2.6) 32⎣ ⎦ aG4π - Phương trình gia tốc & =−()ρ +3p , sử dụng (2.3) và (2.4) ta được: a 3 aG8π && =−⎡φ&2 −V ()φ ⎤ (2.7) a 3 ⎣ ⎦ 2 Phương trình (2.7) cho thấy vũ trụ giản nở tăng tốc khi at&& ( ) > 0 tức là φ& < V ()φ , như vậy thế của trường vô hướng phải thỏa muốn gây sự giản nở tăng tốc phải thỏa điều kiện: Trang 8
9. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị φ&2 < V (φ ) (2.8) Phương trình trạng thái của trường φ p φ&2 − 2V (φ ) ω == (2.9) φ ρ φφ&2 + 2V () Phương trình trạng thái của Quitessence nằm trong miền −11≤≤ωφ . Mật độ năng lượng ρ trong mô hình Quitessence được biểu diển theo ωφ và a(t) bằng cách lấy tích phân phương trình liên tục: ⎡ da ⎤ ρρ=−+0 exp 3() 1 ωφ (2.10) ⎣⎢ ∫ a ⎦⎥ Phương trình (2.10) cho thấy nếu xác định cụ thể phương trình trạng thái của trường Quintessence, ta có thể xác định được sự tiến triển của mật độ năng lượng ρ của trường theo hệ số kích thước vũ trụ a(t). 2 2 φφ& − 2V ( ) • Trường hợp φ& V ()φ khi đó ωφ = 2 →−1 kết hợp với (2.10) ta được φφ& + 2V () ρ ==ρ0 co nst , tức là mật độ năng lượng không phụ thuộc vào hệ số kích thước a(t) cũa vũ trụ. 2 2 φφ& − 2V ( ) • Trường hợp φφ& V ()khi đó ωφ = 2 →1 kết hợp với (2.10) ta được φφ& + 2V () −6 ρρ= 0a −m • Trong các trường hợp khác khi −11<<ωφ thì mật độ năng lượng ρ ∝ a , 06< m < Trang 9
10. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị 1 Ta đã biết sự giản nở tăng tốc xảy ra khi ω < − ứng với m = 2 kết hợp những trường φ 3 1 hợp trên ta suy ra khi −≤1 ω ≤− thì vũ trụ xuất hiện sự giản nở tăng tốc và mật độ φ 3 năng lượng lúc đó ρ ∝ a−m với 02≤ m ≤ . 2.2 Trường Tachyon Trường Tachyon tác động như một nguồn của năng lượng tối phụ thuộc vào một dạng thế thích hợp. Hàm tác dụng cho trường Tachyon được đề nghị bởi Sen có dạng: 2 ⎪⎧ M p ⎪⎫ Sdx-gRV=−+∂∂4 φ det g φφ (2.11) ∫ ⎨ () ()μν μ ν ⎬ ⎩⎭⎪ 2 ⎪ Với V ()φ là thế Tachyon, φ là trường Taychyon liên kết với trườnng hấp dẫn, Mp là khối lượng Plank và R là độ cong vô hướng. Tenxơ năng xung lượng của trường có dạng: V (φφφ)∂∂ T-gVg=+∂∂μν ()φ 1 αβ φφ (2.12) μναβ μν α β 1+∂∂g αβφφ 2 222⎡ dr 2222⎤ 00 Trong mêtric FRW ds=− dt + a() t⎢ 2 + r() dθθφ + sin d ⎥ với g =−1, ∂iφ = 0 , ⎣1− Kr ⎦ ()i =1, 2, 3 ta thu được: - Mật độ năng lượng trường Tachyon: V (φ ) ρ = (2.13) 1−φ&2 Trang 10
11. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị - Mật độ áp suất: pV= ()φ 1−φ&2 (2.14) - Phương trình chuyển động trường Tachyon có được bằng cách thế (2.13) và (2.14) vào phương trình liên tục ρρ& + 30Hp( +=) φ&& 1 dV + 30Hφ& += (2.15) 1−φφφ& Vd() Ta cũng thu được phương trình Friedmann cho vũ trụ phẳng và phương trình gia tốc trong mô hình Tachyon như sau: - Phương trình Friedmann cho vũ trụ phẳng: 8πGV (φ ) H 2 = (2.16) 31−φ&2 - Phương trình gia tốc: a&& 8πφGV ( ) ⎛⎞3 2 =−⎜⎟1 φ& (2.17) a 31−φ&2 ⎝⎠2 Điều kiện để giản nỡ tăng tốc là khi at&&()> 0 từ đây suy ra 2 φ&2 < (2.18) 3 Trang 11
12. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị - Phương trình trạng thái: 2 −−V ()φφ1 & 22 ωφφφ = =−()11 −&& = − (2.19) V ()φ 1−φ&2 Phương trình trạng thái của trường Tachyon biến đổi giữa 0 và -1. Từ phương trình (2.10) ta suy ra mật độ năng lượng của trường Tachyon là ρ ∝ a−m với 03< m < . 2.3 Mô hình K-essence Mô hình K-essence được đặc trưng bởi hàm tác dụng: Sdx-gpX= ∫ 4 (φ, ) (2.20) Trong đó p()φ, X là hàm mật độ Lagrangian tương đương với mật độ áp suất, φ là 1 2 trường vô hướng, X =−() ∇φ là số hạng động năng. 2 Thông thường trong mô hình K-essence, mật độ Lagrangian được giới hạn ở dạng: p(φφ, Xf) = ( ) pX& ( ) (2.21) Mô hình tiêu biểu của mật độ Lagrangian K-essence là p(φφ, Xf) =−+( )( XX2 ) (2.22) - Mật độ năng lượng của trường: ∂p ρφ=−=−+23X pf()() X X2 (2.23) ∂X Trang 12
13. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị - Phương trình trạng thái của trường: fXX(φ )(−+2 ) ()X −1 ω == (2.24) φ fXX()φ ()−+3 2 ()31X − Phương trình trên chứng tỏ rằng động năng X giữ một vai trò quan trọng trong việc 12 xác định hương trình trạng thái ω của trường K-essence φ . Nếu < X < φ 23 1 thì −<1 ω <− khi đó trường φ biểu diễn năng lượng tối gây ra sự giản nở gia tốc φ 3 của vũ trụ. 2.4 Trường Plantom Những mô hình trường vô hướng mà ta đã đề cập đến đều có phương trình trạng thái ω ≥−1. Mô hình trường vô hướng dựa trên những dữ liệu quan sát gần đây chứng tỏ rằng phương trình trạng thái có thể nhỏ hơn -1. Trường Plantom cho năng lượng tối là một trường vô hướng có động năng âm. Hàm tác dụng của trường Phantom liên kết với trường hấp dẫn cho bởi: ⎡1 2 ⎤ Sdx-g=Δ−4 ()φ V ()φ (2.25) ∫ ⎣⎢2 ⎦⎥ Trang 13
14. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Với dấu của số hạng động năng trái dấu với số hạng động năng trong mô hình Quintessence. Từ mật năng lượng và áp suất trong mô hình Quintessence, ta có mật độ năng lượng và mật độ áp suất trong trường Phantom là φ&2 ρ =− +V ()φ (2.26) 2 φ&2 pV=− − ()φ (2.27) 2 Phương trình trạng thái: p φ&2 + 2V (φ ) ω == (2.28) φ ρ φφ&2 − 2V () φ&2 Khi đó để ω <−1 thì < V ()φ . 2 Thế của trường Phantom gây ra sự giản nở gia tốc là: −1 ⎡ ⎛⎞αφ ⎤ VV()φ = ⎢cosh ⎜⎟⎥ (2.29) 0 ⎜⎟M ⎣⎢ ⎝⎠p ⎦⎥ Với Mp khối lượng Planck, α là hằng số Trang 14
15. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị 3. Mô hình Brans- Dicke cho năng lượng tối Lý thuyết Brans-Dicke (BD) là sự mở rộng của lý thuyết tương đối tổng quát với hàm tác dụng : ⎡ ω ⎤ SdxgR=−+∂∂+4 ϕϕϕ gμν L (3.1) ∫ ⎢ μν M ⎥ ⎣ ϕ ⎦ Đưa vào trường vô hướng mới φ với : φ 2 ϕ = (3.2) 8ω Hàm tác dụng theo trường vô hướng mới: 42⎛⎞11μν Sdxg=−−∂∂+⎜⎟φφφ Rgμν LM (3.3) ∫ ⎝⎠82ω Với R là độ cong vô hướng và φ là trường vô hướng Brans-Dicke. Số hạng kết hợp không cực tiểu ( non-coupling term ) φ 2 R thay thế cho số hạng Einstein-Hilbert theo 2πφ 2 G1 = , với G là hằng số hấp dẫn hiệu dụng dọc theo trường vô hướng động lực học eff ω eff biến đổi chậm. Dấu của số hạng kết hợp không cực tiểu và dấu của số hạng động năng tùy thuộc vào dấu của mêtric ()+−−− . Năng lượng tối theo biểu đồ tuổi (agegraphic dark energy ) nhận được trong mô hình vũ trụ Friedmann-Robertson-Walker ( FRW) đươc diễn tả bởi yếu tố: 2 22⎛⎞dr 22 ds= dt−+Ω a() t⎜⎟2 r d (3.4) ⎝⎠1− kr Trang 15
16. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Với a(t) là hệ số kích thướt, k = −1, 0,1 là thông số độ cong tương ứng với các vũ trụ mỡ, phẳngvà đóng. Biến đổi hàm hàm tác dụng (3.3) đối với metric (3.4) cho vũ trụ được chiếm đầy bởi bụi và trường năng lượng tối theo agegraphic: 31322⎛⎞k 2 φ ⎜⎟HH+ 2 −+φφφρρ&& =+mD (3.5) 422ωω⎝⎠a −1111122⎛⎞ak&& ⎛⎞ 2 φ ⎜⎟21+ HH+−2 φφ&&&& − φφ −+ ⎜⎟ φ = ρ D (3.6) 422ωωωω⎝⎠aa ⎝⎠ 3 ⎛⎞ak&& 2 φφ&&+−30HH & ⎜⎟ ++=2 φ (3.7) 2ω ⎝⎠aa a Với H = & gọi là thông số Hubble, ρ , p và ρ tương ứng với mật độ năng lượng tối, áp a D D m suất năng lượng tối và mật độ năng lượng bụi. Giả sử trường Brans-Dicke được miểu ta theo một hàm của hệ số kích thước φ ∝ aα . Lấy đạo hàm đối với thời gian mối quan hệ φ ∝ aα ta có: φ& = αφH (3.8) φ&& =+αφαφ22HH& (3.9) Trong thuyết tương đối rộng, ta có thể đo không thời gian mà không có bất kỳ một giới hạn nào về độ chính xác. Tuy nhiên , trong cơ học lượng tử nguyên lý bất định Heisenberg có những giới hạn về độ chính xác của các phép đo. Đối với sự thăng giáng lượng tử của thời gian, nhóm Karolyhazy nói rằng khoảng thời gian t trong không thời 2/3 1/3 gian Minkowski không thể có độ chính xác hơn δβttt= p với β là một hằng số không có thứ nguyên bậc 1. Dựa trên mối quan hệ Krolyhazy, Maziashvili chứng tỏ rằng mật độ năng lượng của sự thăng giáng không-thời gian là: Trang 16
17. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị 2 1 mp ρD 22 2 (3.10) ttp t Với t p là thời gian Planck rút gọn. Ta sử dụng hệ đơn vị uk= h ==b 1. Vì thế ta có 1 ltpb== với lp và mGp =1/ 8π tương ứng với chiều dài Planck rút gọn và khối lượng. mp Trên cơ sở đó , Cai đã ghi lại mật độ năng lượng tối của các thăng giáng lượng tử trong vũ trụ là: 3nm22 ρ = p (3.11) D T 2 Yếu tố 3n2 là một thông số bất định có thể đặc trưng cho trường lượng tử của vũ trụ, hiệu ứng không–thời gian cong ( vì mật độ năng lượng được rút ra cho không-thời gian Minkowski), Ở đây T là thang thời gian cho tuổi của vũ trụ a da Tdt==∫ ∫ (3.12) 0 Ha Theo Cai ta giả sử mật độ năng lượng agegraphic trong khuôn khổ của vũ trụ Brans-Dicke cho dưới dạng: 3n22φ ρ = (3.13) D 4ωT 2 2 Với φωπ= /2 Geff . Đối với hấp dẫn EinsteinGGeff → , biểu thức (13) tìm lại được mật độ năng lượng chuẩn trong hấp dẩn Einstein ( biểu thức (11)). Ta xác định mật độ năng lượng tới hạn ρcr và mật độ năng lượng của độ cong ρk như sau: 3φ 22H 3kφ 2 ρ = , ρ = (3.14) cr 4ω k 4ωa2 Trang 17
18. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Các tỉ số theo mật độ năng lượng là: ρmm4ωρ -Đối với vật chất: Ω=m = 22 (3.15) ρφcr 3 H ρk k -Đối với thành phần do độ cong: Ω=k = 2 (3.16) ρcr Ha 2 ρD n -Đối với năng lượng tối: Ω=D = 22 (3.17) ρcr HT 4. Mô hình các chiều ngoại phụ (extra dimension) Lý thuyết này cho rằng năng lượng tối mà chúng ta nghiên cứu là do tính không đồng nhất và không đẳng hướng của vũ trụ. Vũ trụ trong mô hình này bao gồm này bao gồm vũ trụ 4 chiều (4D) Einstein ( 3 chiều không gian với 1 chiều thời gian) và các chiều ngoại phụ (extra dimensions) được thêm vào do tính không đồng nhất, không đẳng hướng của vũ trụ. Mô hình dựa trên không-thời gian 13+ + n chiều với n là số chiều ngoại phụ. Với giả thuyết rằng khi thêm vào số các chiều ngoại phụ thì vũ trụ sẽ trở thành đồng nhất và đẳng hướng, lúc đó mêtric mỡ rộng Robertson- Walker diễn tả bởi không thời gian có dạng: 22 222⎛⎞⎛⎞drab 222 dr 22 ds=− dt a() t⎜⎟⎜⎟22 +Ω− raa d b () t +Ω r bb d (4.1) ⎝⎠⎝⎠11−−kraa kr bb Trang 18
19. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Với rrab,,ΩΩ a , b lần lượt là bán kính và tọa độ góc của các chiều củ và các chiều ngoại phụ at(),,, bt () kab klần lượt là yếu tố kích thước và độ cong của không gian ba chiều củ và các chiều ngoại phụ. Thành phần vật chất của vũ trụ được giả thuyết là một chất lõng lý tưởng tương ứng với tensơ ứng suất -xung lượng (stress-energy tensor): M TdiagPPPPPNaaabb=−−−−−(ρ,, , , ) (4.2) Với ρ là mật độ năng lượng chiều lớn ( high dimensional energy density) và PPab, là áp suất trong các chiều cũ và các chiều ngoại phụ. Sau đó, từ phương trình Einstein ta dẫn đến phương trình Friedmann-Robertson-Walker (FRW) theo 1+3+n chiều: ⎡⎤2 ⎛⎞a& k a 38⎢⎥⎜⎟+=2 Gρ +ρ%eff (4.3) ⎣⎦⎢⎥⎝⎠aa ⎡⎤2 aa&&⎛⎞ & k a 28++=−−⎢⎥⎜⎟ 2 πGPaaeff P% , (4.4) aaa⎣⎦⎢⎥⎝⎠ ⎡⎤2 aa&&⎛⎞ & k a 33++=−−⎢⎥⎜⎟ 2 8πGPbbeff P% , (4.5) aaa⎣⎦⎢⎥⎝⎠ Với G là hằng số hấp dẫn chiều lớn hơn (higher dimension gravitational constant): Trong đó: 2 nn 1 ⎡⎤ ()− ⎛⎞bab&&k b & ρ%eff ≡−⎢⎥⎜⎟ + −3n (4.6) 2 bb2 ab ⎣⎦⎢⎥⎝⎠ 2 nn 1 ⎡⎤ bb&&()− ⎛⎞ &k b ab& & Pn%aeff, ≡+⎢⎥⎜⎟ + +2 n (4.7) bbbab2 2 ⎣⎦⎢⎥⎝⎠ Trang 19
20. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị 2 nn12⎡⎤ bb&&()()−−⎛⎞ &k b ab& & Pn%beff, ≡−()131 +⎢⎥⎜⎟ + +() n − (4.8) bbbab2 2 ⎣⎦⎢⎥⎝⎠ Nhớ lại rằng trong lý thuyết liên quan đến chiều ngoại phụ, mật độ năng lượng 1+3D và n n hằng số hấp dẫn Newton lần lượt là ρ,GN liên hệ với ρ,GN bởi ρ = ρV và GGV= N / , với V n là thể tích của chiều ngoại phụ, ta có thể thay thế Gρ trong phương trình (4.3) bởi GN ρ . Hiển nhiên, vế trái của phương trình (4.3) và (4.4) có dạng giống như trong phương trình FRW 1+3D. Hiệu ứng cho chiều ngoại ngoại phụ được tóm lượt trong ρ%eff và P%aeff, có thể được giải thích như là mật độ năng lượng và áp suất do hình học- vật chất gây ra. Trong ý nghĩa này phương trình FRW 1+3D được tái lập như là một phần của một cái có chiều lớn hơn và một cách tự nhiên chúng ta cho rằng năng lượng tối có thể được giải thích bởi hiệu ứng của chiều ngoại phụ. Đây là mô hình còn nhiều vấn vấn đề hiện nay thế giới đang nghiên cứu nên ta sẽ không đi vào chi tiết mô hình này giải thích vấn đề năng lượng tối như thế nào. Chỉ biết rằng nó cũng là một lý thuyết giải quyết vấn đề năng lượng tối hiện nay. Trang 20
21. Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị Tài liệu tham khảo: [1]. L. Papantonopoulos, The Invisible Universe:Dark Matter and Dark Energy, Lect. Notes Physics.720 ( Springer, Berlin Heidelberg 2007) [2]Tai L. Chow, Gravity, Black Holes and TheVery Early Universe,(Springer; 1st Edition,2007) [3] Nguyễn Ngọc Giao, Lý thuyết trường hấp dẫn,NXB ĐHQG TPCM-2003 [4]Ahmad Sheykhi, Agegraphic dark energy in Brans- Dicke cosmoloy,[arXiv:gr- qc/0908.0606v2] , 9 Aug 2009. [5] B.Li, M-C. Chu, K.C Cheung, and A.Tang, Dark Energy as a Signature of Extra Dimensions ,[arXiv:astro-ph/0501367v2] , 19 Jan 2005. Trang 21