Những chướng ngại, khó khăn trong dạy học khái niệm xác suất

Nội dung text: Những chướng ngại, khó khăn trong dạy học khái niệm xác suất

1. Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Hoài Châu ___ NHỮNG CHƯỚNG NGẠI, KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM XÁC SUẤT LÊ THỊ HOÀI CHÂU* TÓM TẮT Cùng với Thống kê, Xác suất là một trong những nội dung toán học có tác động hầu như đến mọi lĩnh vực của khoa học và cuộc sống. Thế nhưng, việc chiếm lĩnh khái niệm xác suất và sử dụng nó trong thực tế luôn phải đương đầu với nhiều khó khăn khác nhau. Bài báo này phân tích các khó khăn đó, chỉ rõ nguồn gốc của chúng, với mong muốn mang lại cho các nhà nghiên cứu và giáo viên một số yếu tố không thể không tính đến trong dạy học xác suất. Những khó khăn đó đến từ nhiều phía: từ chính đặc trưng khoa học luận của tri thức, từ quan niệm của giáo viên và từ quan niệm của học sinh. Kết quả trình bày trong bài báo cũng cho phép ta đặt ra một dấu hỏi về đào tạo giáo viên ở các trường sư phạm. ABSTRACT Difficulties and obstacles in teaching probability concepts Together with Statistics, Probability is one of mathematic branches influencing virtually all areas of science and life. However, mastering probability concept and using it in reality is always a challenge in various difficult ways. This article analyzes those difficulties and traces their roots with the aim of making teachers and researchers aware of indispensible factors in teaching probability. Those difficulties come from various sources: characteristics of epistemology of knowledge, teachers’ and students’ viewpoints. The results in the article also raise a question about teacher training quality in training teachers’ colleges. Một số nghiên cứu ở nước ngoài đã luận và thực tế dạy học mà khuôn khổ có cho thấy việc dạy học xác suất luôn phải hạn của bài báo không cho phép trình bày đối diện với nhiều chướng ngại, khó chi tiết. khăn, dù ở bậc học nào, ở đất nước nào. Trước khi phân tích các khó khăn, Học sinh gặp những lập luận theo một chướng ngại mà việc dạy học xác suất kiểu lạ lẫm với kiểu họ biết từ trước, còn phải đương đầu, chúng tôi sẽ trình bày giáo viên thì bối rối vì phần này không một sự phân biệt hai khái niệm khó khăn “dễ chịu” như những phần khác của và chướng ngại. chương trình. Theo Từ điển tiếng Việt, khó khăn Các chướng ngại, khó khăn này có là điều gây trở ngại cho một hoạt động nhiều nguồn gốc. Chúng tôi sẽ chỉ rõ nào đó. Chẳng hạn, quan niệm xem “tiếp dưới đây những chướng ngại, khó khăn tuyến của đường tròn là đường thẳng có được rút ra từ một số nghiên cứu tri thức một điểm chung duy nhất với đường tròn đó” gây khó khăn cho việc hiểu khái * PGS TS, Khoa Toán - Tin học Trường niệm tiếp tuyến của đường cong theo Đại học Sư phạm TP HCM nghĩa tổng quát hơn; hay việc phải tuân 115
2. Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 24 năm 2010 ___ thủ các ràng buộc về thời gian là một khó đó mà việc dạy học không thể tránh khỏi, khăn trong dạy học những nội dung phức dù với cách chuyển hóa sư phạm nào. tạp. Dưới đây chúng tôi sẽ phân tích Thuật ngữ chướng ngại được các những chướng ngại, khó khăn gặp phải nhà nghiên cứu didactic sử dụng theo một trong dạy học xác suất ở bậc trung học. nghĩa hẹp hơn: không phải mọi khó khăn 1. Chướng ngại khoa học luận gắn đều được xem là chướng ngại. Cụ thể, liền với khái niệm xác suất các đặc trưng của chướng ngại đã được · Chướng ngại đầu tiên liên quan Brousseau xác định rõ qua những điểm đến khái niệm ngẫu nhiên. sau: Làm việc với các đại lượng ngẫu - Một chướng ngại là một kiến thức, nhiên không phải là đơn giản. Trước hết một quan niệm chứ không phải là một sự phải thừa nhận sự tồn tại của ngẫu nhiên. thiếu kiến thức. Thế nhưng, lịch sử toán học đã cho thấy - Kiến thức, quan niệm này tạo ra sự tồn tại đó không phải là hiển nhiên đối những câu trả lời phù hợp trong một tình với mọi người. Chẳng hạn, Poincare cho huống nào đó mà ta thường hay gặp. rằng: - Nhưng khi vượt khỏi tình huống ấy “Sự ngẫu nhiên thể hiện ở chỗ người ta thì nó sản sinh ra những câu trả lời sai. không thể nói trước được điều gì trong Để có câu trả lời đúng cho một (hay các tình huống phụ thuộc rất nhiều vào những) tình huống tổng quát hơn cần có những điều kiện “nhạy cảm” ban đầu, sự thay đổi đáng kể trong kiến thức hay nghĩa là một thay đổi khó nhận thấy của quan niệm. Nói cách khác, việc loại bỏ một điều kiện ban đầu có thể gây nên sự khác nhau rất lớn trong tình trạng cuối.” kiến thức, quan niệm ấy là cần thiết, là (J-C. Girard, tr. 216) yếu tố cấu thành nên tri thức mới. Laplace cũng có cùng quan điểm: - Thế nhưng, kiến thức, quan niệm ngẫu nhiên “chỉ là hệ quả của việc không này lại cản trở sự thiết lập một kiến thức biết” về cái mà chúng ta quan sát, “ta hoàn thiện hơn. phải xem xét tình trạng hiện tại của thế - Hơn thế, ngay cả khi chủ thể đã ý giới như là hệ quả của tình trạng trước thức được sự không chính xác của kiến đây của nó và là nguyên nhân của tình thức hay quan niệm ấ y, nó vẫn tiếp tục trạng tiếp theo”. xuất hiện dai dẳng trong những tình Người ta đã thăm dò ý kiến của một huống mới. số sinh viên Pháp bằng câu hỏi: Các chướng ngại được Brousseau “Trong số ba câu sau, câu nào tương (1976) phân loại theo nguồn gốc của ứng với quan điểm của bạn ? chúng. Chướng ngại sinh ra từ sự chuyển - Ngẫu nhiên chỉ là hệ quả của sự không hóa sư phạm gọi là chướng ngại sư biết của chúng ta. phạm. Chướng ngại khoa học luận là - Ngẫu nhiên che đậy mệnh lệnh của thần chướng ngại gắn liền với tri thức, và do thánh. 116
3. Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Hoài Châu ___ - Ngẫu nhiên đã tạo ra thế giới theo trật tự nhưng, ngay cả vào năm 1970, khi mà mà ta đang nhìn thấy.” định nghĩa tiên đề đã được Kolmogorov Hơn nửa số sinh viên chọn câu thứ đưa ra, Finetti vẫn viết (bằng chữ in) nhất. Lập luận chủ yếu của họ là “mọi cái trong lời đề tựa cho cuốn sách về Lý đều phải có nguyên nhân của nó”. Non thuyết xác suất của ông rằng “KHÔNG nửa chọn câu thứ ba. Những sinh viên TỒN TẠI XÁC SUẤT”. này nghĩ rằng sự ngẫu nhiên thực sự là có Hiểu khái niệm xác suất không phải tồn tại trong những cái gì đó và người ta là dễ. sẽ không thể biết hoặc tính toán được Phải chăng xác suất là một phần mọi điều. Họ đã nhắc đến lý thuyết của của những đối tượng vật chất cụ thể mà Mendel, Darwin để minh họa cho ý kiến người ta có thể cầm nắm? Hiển nhiên là của mình. Chỉ có vài người “dũng cảm” không. Đó là một khái niệm để giải thích chọn câu thứ hai (tham khảo J-C. Girard, cho điều “nhận thức” hay “tri giác” được. tr. 216). Ở đây Emile BOREL đã lưu ý rằng “phải Các tình huống chứa tính ngẫu xem xác suất tương tự như số đo các đại nhiên, bấp bênh hầu như rất ít xuất hiện lượng vật lý, nghĩa là không bao giờ có ở bậc Tiểu học và Trung học cơ sở. thể biết nó một cách chính xác mà chỉ với Điều đó càng khiến cho học sinh khó một sự xấp xỉ nào đó”. chấp nhận sự ngẫu nhiên. Cũng vì thế Như vậy, không thể nghĩ một cách mà một số nhà nghiên cứu cho là trước đơn giản rằng khái niệm xác suất mà ta sẽ khi đề cập khái niệm Xác suất nên đưa dạy cho học sinh không cần đi xa hơn vào vài hoạt động nhằm chỉ ra rằng có cách tiếp cận của đại số tổ hợp, bao gồm những cái không phải bao giờ cũng việc liệt kê các cơ hội xuất hiện một biến chắc chắn xảy ra và trong mọi hiện cố ngay sau khi cho rằng các biến cố là tượng – xã hội, vật lý học, sinh học, di đồng khả năng xảy ra. Và như thế thì truyền học, đều tồn tại một sự biến càng không thể nghĩ là việc dạy học xác đổi ngẫu nhiên. suất không có vấn đề gì. · Chướng ngại thứ hai chính là bản 2. Khó khăn của sự chuyển hóa sư thân khái niệm xác suất. phạm: thế không lối thoát “Ở đây cũng thế, trước hết là phải thừa Trình bày khái niệm xác suất như nhận sự tồn tại của nó (xác suất).” (J-C. Girard, tr. 216) thế nào cho học sinh phổ thông ? Dường Mở đầu cho cuốn sách Tính toán như các nhà lập chương trình và tác giả xác suất của mình xuất bản năm 1908, viết sách giáo khoa chưa có được câu trả Poincare vào chương thứ nhất với câu: lời thỏa đá ng. Chúng tôi nói đây là một “Hầu như người ta không thể đưa ra một khó khăn chứ không phải là chướng ngại, định nghĩa hoàn hảo cho xác suất”. Tất vì vấn đề nằm ở thế không lối thoát trong nhiên là trước đó chưa có định nghĩa theo việc chọn cách đưa khái niệm xác suất tiên đề của Kolmogorov (1933). Thế vào trường phổ thông chứ không phải là 117
4. Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 24 năm 2010 ___ một kiến thức hay quan niệm cản trở sự có những tam giác vuông thực sự. Mặt xây dựng kiến thức mới ở học sinh. khác, làm sao để biết là có thể xem rằng · Nhiều chương trình (chẳng hạn con súc sắc hoàn toàn cân đối nếu như các chương trình bậc Trung học áp dụng không thực hiện một số lớn lần tung và quan sát xem có phải là tần suất xuất hiện từ năm 1991 ở Pháp) ưu tiên cách tiếp mỗi mặt đều xấp xỉ với 1/6 hay không ? cận tần số. Lại một vòng luẩn quẩn khác.” (J-C. Liệu điều đó có tự nhiên, có thỏa Girard, tr. 217) đáng không? Hai cách tiếp cận khái niệm xác Trước hết, cách tiếp cận này chỉ áp suất nêu trên được gọi là khách quan theo dụng được cho những biến cố có thể lặp nghĩa người ta giả định rằng tồn tại một lại. xác suất gắn liền với phép thử ngẫu nhiên Mặt khác, làm thế nào để hiểu được và hoàn toàn độc lập với người quan sát. nghĩa của “giới hạn” trong cách tiếp cận Nhưng điều này không phải dễ dàng này: nó không phải là sự hội tụ thuần túy được mọi người chấp nhận. (của dãy số), nó có thể không phải là duy · Đối với những người không thừa nhất theo nghĩa cổ điển mà học sinh đã nhận sự tồn tại của xác suất khách quan biết trong Giải tích, và vẫn có thể xảy ra thì có thể đưa ra một định nghĩa khác, gọi hiện tượng sau: với N , N , , N (khá 1 2 k là xác suất chủ quan: xác suất của một lớn) phép thử, người ta thấy tần suất dao biến cố là số đo sự chắc chắn mà ta có động trong một lân cận bán kính e cho khi thực hiện phép thử. Định nghĩa này trước của một giá trị p nào đó, nhưng khi kéo xác suất lại gần với một ước lượng thực hiện thêm một số phép thử nữa thì mà người ta có thể “đoán” trước khi thực tần suất lại vượt ra khỏi lân cận này. hiện phép thử. Và như thế thì có thể xác ‘‘Cuối cùng, đ ịnh nghĩa ấy (nối liền giữa tần suất quan sát được với xác suất lý định xác suất của một biến cố mà không thuyết) dựa trên việc hiểu một cách trực nhất thiết phải chấp nhận việc lặp lại giác về luật số lớn mà muốn chứng minh phép thử. thì lại phải dùng định nghĩa của Laplace Chẳng hạn, trong Kinh tế học, về xác suất. Một vòng tròn luẩn quẩn !’’ người ta gán cho các biến số sơ cấp một ((J-C. Girard, tr. 216) xác suất tiên nghiệm rồi dùng các định lý · Một định nghĩa khác dựa trên cổ điển để tính xác suất của các biến cố nguyên tắc đố i xứng – đó là “hình học khác, từ đó đưa ra quyết định trên những của sự ngẫu nhiên” – theo cách nói của cơ sở được xem là ít bấp bênh. Pascal. Với cách lập luận đối xứng thì “Phương pháp này khiến ta liên tưởng tung một con súc sắc 6 mặt, mỗi mặt có tới định nghĩa của Emil Borel: “mục đích xác suất xuất hiện là 1/6. chính của tính toán xác suất là tìm xác “Nhưng, tiếc rằng một con xúc sắc suất của một biến cố phức tạp tùy theo hoàn toàn cân đối lại không tồn tại, cũng xác suất của những hiện tượng đ ơn giản như không có con kiến dài 18 mét, không hơn mà ta giả định là đã biết”. 118
5. Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Hoài Châu ___ Khó khăn nằm ở chỗ là gán số nào cho quan trọng, chẳng hạn như xác suất trúng xác suất tiên nghiệm của các biến cố sơ xổ số hay nguy cơ có tai nạn máy bay cấp? Dựa vào đâu?” (J-C. Girard, tr. 218) (trong khi theo kết quả điều tra thống kê · Cách định nghĩa cuối cùng - bằng thì đó lại là một trong những phương tiện tiên đề - cho phép xác định một số quy vận tải an toàn nhất). tắc toán học gắn bó với nhau và không có · Một quan niệm khác gắn liền với mâu thuẫn. bản chất của sự ngẫu nhiên. Khi lặp lại “Lúc này thì chẳng cần biết xác suất là cùng một phép thử ngẫu nhiên, người ta gì, cũng không cần biết nó có tồn tại hay nghĩ rằng một biến cố đã gặp nhiều lần không. Giống như người ta không có nhu thì bây giờ sẽ tiếp tục xuất hiện, đồng cầu biết điểm là gì, có tồn tại hay không thời cũng muốn làm sao để tạo ra những khi dựa vào đó để xây dựng hình học Eucilde; hay không cần biết có hay không biến cố đã từ lâu không thấy. Hai quan một tam giác vuông thực sự khi chứng niệm sai lầm này về luật số lớn hoàn toàn minh định lý Pythagore.” (J-C. Girard, tr. mâu thuẫn với nhau, nhưng cả hai vẫn 218) được nghĩ đến trong cùng một tình Chỉ có vài ý tưởng trực giác ban huống. Chẳng hạn: khi đoán kết quả xổ đầu, còn lại là một lý thuyết toán học số, nhiều người nghĩ là cần phải đưa vào hình thức xây dựng theo logic của toán những số đã từ lâu không trúng (vì chúng học. Cách trình bày này không phù hợp sẽ phải xuất hiện), đồng thời cả những số với học sinh phổ thông vì quá trừu tượng. thường trúng trước đó. 3. Chướng ngại gắn với quan niệm · Còn có quan niệm sai lầm khác của học sinh cho rằng mỗi biến cố luôn luôn có 1/2 cơ · Dễ dàng chấp nhận là biến cố hội xảy ra. Học sinh thường nói: “bao giờ trống Æ thì có xác suất xảy ra bằng 0, cũng có hai trường hợp có thể: biến cố sẽ nhưng làm sao để chấp nhận là một biến xảy ra hoặc không xảy ra”. Không ít cố với xác suất bằng 0 lại có thể xuất người đã đưa ra con số 1/2 khi được hỏi hiện? “xác suất ngày mai trời nắng là bao Một ví dụ cho hiện tượng này: nếu nhiêu” với lập luận rằng chỉ có thể là một biến ngẫu nhiên liên tục có thể lấy nắng hay không nắng. mọi giá trị thực, thì xác suất xuất hiện 4. Khó khăn gắn với quan niệm của mỗi một trong các giá trị này bằng 0, thế giáo viên nhưng vẫn có một trong các giá trị xuất Nói chung là trước đây, trong hiện trong phép thử ngẫu nhiên ! trường đại học, giáo viên đã được đào tạo · Quan niệm sai lầm thứ hai là về xác suất theo quan điểm tiên đề, một người ta thường có khuynh hướng gán vô cách tiếp cận khác xa với những gì mà họ ý thức một giá trị khá lớn cho xác suất cần dạy cho học sinh phổ thông. Họ cho của một biến cố khi hệ quả (tích cực hoặc rằng phần này của chương trình phổ tiêu cực) của việc nó xuất hiện là khá thông chỉ đòi hỏi kiến thức về bốn phép 119
6. Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 24 năm 2010 ___ toán và khái niệm phần trăm – nếu cách nghĩa của các khái niệm toán học thì cần tiếp cận xác suất theo tần suất được ưu phải tìm một mô hình thực tế trước khi đi tiên, hay chỉ khai thác các kiến thức của vào mô hình toán học. đại số tổ hợp – nếu định nghĩa cổ điển “ Cần phải tìm một mô hình tốt nhất để của xác suất giữ vị trí trung tâm trong áp dụng vào thực tế, nói cách khác là tìm dạy học. một mô hình cho phép ta nhận thức thực “Một số giáo viên cho rằng không thể tế trước khi đi vào áp dụng toán học. Thế dạy xác suất một cách thực sự ở trường nhưng người ta lại không bao giờ chắc phổ thông, vì học sinh chưa học “Lý rằng một mô hình nào đó là thích đá ng thuyết độ đo”. Người ta đã không tự hỏi hay không. Mỗi lý thuyết chỉ áp dụng liệu có thể dạy chứng minh hình học trước được trong một phạm vi xác định (vì thế logic hình thức không, có thể dạy cộng số mà mới có việc sáng tạo ra các Hình học nguyên trước khi biết các tiên đề của khác nhau hay Logic mờ) và một lý Piano không, có thể tính chu vi của đường thuyết vẫn được xem là tốt cho đến tận tròn trước khi chứng minh tính siêu việt khi người ta tìm thấy điểm yếu của nó.” của số p không? Những ví dụ kiểu này thì (J-C. Girard, tr. 222) vô số. Chẳng hạn, ta sẽ gặp vấn đề này khi Hơn nữa, giáo viên cũng gặp khó khăn cần phải làm cho học sinh hiểu mô hình trong việc tìm những ví dụ “cụ thể” và có gắn với thực nghiệm tung hai con súc sắc nguy cơ bị mất thể diện trước học sinh khi và nghiên cứu tổng số chấm xuất hiện. họ liên hệ với những môn học khác mà họ Một số học sinh nghĩ là các kết quả 6 + 5 không nắm vững như toán học.” (J-C. và 5 + 6 phải được xem là khác nhau, số Girard, tr. 221) khác thì lại đồng nhất chúng. Sự mập mờ Chính quan niệm ấ y của giáo viên ở đây lớn đến nỗi học sinh có thể nghĩ và khó khăn trong việc tìm những ví dụ đến là có nhiều thực tế, tùy theo chỗ hai cụ thể đang cản trở việc dạy học xác suất con súc sắc cùng màu hay khác màu, thế theo đúng bản chất của nó. Một số giáo nhưng điều đó có làm thay đổi tổng số viên nghĩ rằng lợi ích của phần xác suất chấm đâu. Nguyên nhân là người ta nghĩ này rất khó chỉ ra. Ấy thế mà, theo J-C. Girard, khả năng lập luận theo tư duy rằng mình đang làm việc trên thực tế, thống kê và xác suất lại là một trong nhưng thực ra thì lại đã ở trong một mô những biểu hiện của năng lực trí tuệ. Thật hình. Nhiều mô hình có thể gắn với thực là sai lầm khi học sinh không được đào tế, nhưng chỉ có một thực tế thôi. Như tạo về khả năng này. thế, ta không chỉ làm việc với xác suất 5. Khó khăn gắn với vấn đề mô hình mà còn với vấn đề mô hình hóa. hóa thực tế Để kết luận, chúng tôi nhắc lại câu Xác suất - Thống kê là một trong hỏi của J-C. Girard: nếu ta gặp nhiều khó những phần hiếm hoi của toán học trong khăn đến thế trong dạy học xác suất, phải đó người ta quan tâm nhiều đến thực tế. chăng là vì rất khó lĩnh hội khái niệm Trong dạy học, để học sinh hiểu được ngẫu nhiên? Phải chăng ta đang có 120
7. Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Hoài Châu ___ khuynh hướng đánh giá thấp những khó chiếm lĩnh khái niệm xác suất cần phải khăn liên quan đến quan niệm về sự ngẫu được tính đến khi thiết kế các tình huống nhiên và xác suất? Đó là một sai lầm. dạy học. Những chướng ngại, khó khăn của việc TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Lê Thị Hoài Châu (2010), Dạy học Xác suất - Thống kê ở trường phổ thông, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Bộ, Đại học Sư phạm TP HCM. 2. GIRARD Jean-Claude (1997), « Quelques hypothèses sur les difficultés rencontrées dans l’enseignement des probabilités », Enseigner les probabilités au lycée, Commission Inter-IREM Statistique et Probabilités. 3. GUY Brousseau (1976), « Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques », In: (1983) Recherches en didactique des mathématiques, n°4(2), pp. 164-198. 4. HENRY Michel (1994), L’enseignement du calcul des probabilités dans le second degré, perspectives historiques, épistémologiques et didactiques, Editions IREM de Besançon. 5. PARZYSZ Bernard (2003), « L'enseignement des probabilités et de la statistique en France: évolution au cours d’une carrièe d’enseignant (période 1965-2002).» Probabilité au lycée, Commission Inter-IREM Statistique et Probabilités, Brochure APMEP n°143. 6. PICHARD Jean-François, « La théorie des probabilités au tournant du XVIIe siècle et Frise historique sur la probabilité et la statistique », Probabilité au lycée, Commission Inter-IREM Statistique et Probabilités, Brochure APMEP n°143. 121