Giáo trình Xử lý tín hiệu số 2

234 trang ngocly 1540

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Xử lý tín hiệu số 2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_xu_ly_tin_hieu_so_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 2

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG PHÙNG TRUNG NGHĨA, ĐỖ HUY KHÔI GIÁO TRÌNH XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 2 NĂM 2008
CHƯƠNG I THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ Như chúng ta đã phân tích trong các chương của Xử lý tín hiệu I, hầu hết các hệ thống LTI đều có chức năng của bộ lọc. Vì vậy, vấn đề thiết kế bộ lọc số đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu số. Có nhiều phương pháp thiết kế các bộ lọc số đã được đề xuất và ứng dụng trong thực tế. Chương này sẽ trình bày các phương pháp thiết kế cơ bản và ứng dụng của nó để thiết kế các bộ lọc khác nhau. 1.1. Thiết kế bộ lọc bằng cách đặt các cực và zeros trên mặt Đây là phương pháp thiết kế lọc số đơn giản và có thể áp dụng cho nhiều loại bộ lọc FIR cũng như IIR. Tuy nhiên, để có một đáp ứng tần số theo ý muốn, trong một số trường hợp, ta cần phải thêm vào các cực hoặc zero theo thủ tục thử và sai. Như chúng ta biết, vị trí của các cực và zeros trên mặt phẳng phức mô tả duy nhất hàm truyền đạt H(z), khi hệ thống có tính ổn định và nhân quả. Vì vậy nó cũng qui định đặc tính số của hệ thống. Phương pháp thiết kế mạch lọc số bằng cách đặt các cực và zeros trên mặt phẳng phức dựa trên nguyên lý cơ bản là: đặt các cực tại các điểm gần vòng tròn đơn vị và ở các vị trí tương ứng với các tần số trong dải thông, đặt các zeros ở các điểm tương ứng với các tần số trong dải triệt. Hơn nữa, cần phải tuân theo các ràng buộc như sau: 1. Tất cả các cực phải được đặt trong vòng tròn đơn vị để cho bộ lọc ổn định. Tuy nhiên, các zeros có thể đặt ở vị trí bất kỳ trong mặt phẳng z. 2. Tất cả các cực và các zeros phức phải xuất hiện với các cặp liên hợp phức để các hệ số của bộ lọc có giá trị thực. Với một tập cực - zeros đã cho, hàm truyền đạt H(z) của lọc có biểu thức: Ở đây G là hằng số độ lợi (gain constant) nó được chọn để chuẩn hóa đáp ứng tần số. Ở một tần số xác định nào đó, ký hiệu là ω0, G được chọn sao cho: |H(ω0)| = 1 Với ω0 là tần số trong dải thông của bộ lọc. Thông thường N (bậc của bộ lọc) được chọn bằng hoặc lớn hơn M để cho bộ lọc có số cực không tầm thường (nontrivial) bằng hoặc nhiều hơn zeros. 2
Phương pháp này được dùng để thiết kế một số bộ lọc đơn giản nhưng quan trọng như: lọc thông thấp, thông cao, thông dải, dải chặn, lọc răng lược, bộ cộng hưởng số, bộ dao động số, Thủ tục thiết kế cũng thuận tiện khi thực hiện trên máy tính. 1.1.1. LỌC THÔNG THẤP, THÔNG CAO VÀ THÔNG DẢI 1.1.1.1. Lọc thông thấp và thông cao: Với lọc thông thấp, khi thiết kế các cực phải được đặt ở các điểm gần vòng tròn đơn vị trong vùng tần số thấp (gần ω = 0) và các zeros phải được đặt gần hay trên vòng tròn đơn vị tương ứng với các điểm tần số cao (gần ω = π), ngược lại cho lọc thông cao. Hình 1.1 Minh họa cho việc đặt các cực và zeros của ba bộ lọc thông thấp và ba bộ lọc thông cao. Hình 1.1: Đồ thị cực zeros cho các bộ lọc (a) Lọc thông thấp; (b) Lọc thông cao Đáp ứng biên độ và pha cho bộ lọc đơn cực có hàm truyền đạt là: Được vẽ trong hình 1.1 với a = 0,9. Độ lợi G được chọn là 1- a, để cho lọc có độ lợi bằng 1 ở tần số ω = 0 và độ lợi ở tần số cao tương đối nhỏ. Thêm vào một zeros ở z = - 1 sẽ làm đáp ứng suy giảm nhiều hơn ở tần số cao khi đó lọc có hàm truyền đạt là: Đặc tuyến của đáp ứng tần số của hai bộ lọc H1(z) và H2(z) cùng được vẽ trên hình 1.2. Ta thấy, biên độ của H2(Z) giảm về 0 khi ω = n. Tương tự, ta thu được các bộ lọc thông cao đơn giản bằng cách lấy đối xứng các điểm cực - zero của mạch lọc thông thấp qua trục ảo của mặt phẳng z. Ta thu được hàm truyền đạt: 3
Đặc tuyến của đáp ứng tần số của mạch lọc thông cao được vẽ trong hình 1.3 với a = 0,9. 1− 0.9 Hình 1.2: Đáp biên độ, đáp ứng pha của bộ lọc 1 cực H1(z) = của bộ lọc 1 cực - 1− 0.9z −1 1− 0.9 1+ z −1 1 zero H2(z) = 2 1− 0.9z −1 4
Hình 1.3: Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của bộ lọc thông cao có hàm truyền đạt H = 1− 0.9 ⎡ 1− z −1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ −1 ⎥ ⎣ 2 ⎦⎣1+ 0.9z ⎦ L 2 JLI + o.9z-r -1 Ví dụ 1.1: G Một lọc thông thấp hai cực có hàm truyền đạt là: H(z) = (1− Pz −1)2 Hãy xác định giá trị của G và p sao cho đáp ứng tần số Hω thỏa điều kiện: Giải: Tại ω = 0, ta có: G H(0) = = 1. Suy ra: G = (1 -p)2. (1+ p)2 π Tại ω = ta có: 4 Giải phương trình trên ta được: P = 0,23. 0,458 Kết quả: H(0) = 1− 0,23z −1)2 1.1.1.2. Lọc thông dải: 5
Các nguyên tắc tương tự có thể được áp dụng để thiết kế mạch lọc thông dải. Một cách cơ bản, lọc thông dải chứa một hay nhiều cặp cực phức gần vòng tròn đơn vị, trong lân cận của băng tần mà nó hình thành dải thông của bộ lọc. Ví dụ 1.2: π Hãy thiết kế mạch lọc thông dải hai cực có tâm của băng tần ở ω = đáp ứng tần 2 1 4π số H(ω) = 0 khi ω = 0 và ω = π và đáp ứng biên độ của nó là tại ω = . 2 9 π π j j 2 2 Giải: Rõ ràng bộ lọc phải có 2 cực tại: p1 = re và p1 = re và zero tại z = 1 và z = - 1. Vậy hàm truyền đạt của nó là: π Hệ số khuếch đại G được xác định bằng cách tính H(ω) của bộ lọc ở tần số ω = . 2 Ta có: 4π Giá trị của r được xác định bằng cách tính H(w) tại ω = . Ta có: 9 Hay: 1,94(1 -r2)2 = 1 - 1,88r2 +r4. 1- z-2 Giải phương trình ta được r2 = 0,7. vậy: H(z) = 0,15 1+ 0,7z −2 6
Hình 1.4: Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của bộ lọc thông dải có hàm truyền đạt là: ⎡ 1- z-2 ⎤ H(z) = 0.15⎢ ⎥ ⎣1+ 0,7z ⎦ zero lên đáp ứng tân sô của hệ thống. Rõ ràng, đây chưa phải là phương pháp tốt cho việc thiết kế mạch lọc số, để có một đặc tuyến của đáp ứng tần số như ý muốn. Các phương pháp thiết kế tốt hơn, được ứng dụng trong thực tế sẽ được trình bài trong phần sau. 1.1.2. BỘ CỘNG HƯỞNG SỐ (DIGITAL RESONATOR) Một bộ cộng hưởng số là một bộ lọc thông dải có hai cực đặc biệt, đó là cặp cực phức được đặt ở gần vòng tròn đơn vị (hình 1.1.a). Biên độ của đáp ứng tần số được vẽ trong hình 1.1.b. Ta thấy, đáp ứng biên độ lớn nhất ở tần số tương ứng của cực và đây là tần số cộng hưởng của mạch lọc. Để thiết kế một bộ cộng hưởng số với đỉnh cộng hưởng ở tại hay gần tần số ω = ω0 ta chọn cặp cực phức như sau: jω -jω P1 = re và P2 = re với 0 < r < 1 (1.6) 7
Hình 1.5: (a) Đồ thị cực zeros. (b) Đáp ứng biên độ. (c) Đáp ứng pha của 2 bộ cộng hưởng: một bộ có r = 0.8, bộ còn lại có r = 0.95 Ngoài ra, ta có thể chọn thêm các zero. Mặc dù có nhiều khả năng chọn lựa khác nhau, nhưng có hai trường hợp thường được chọn. Một là thêm vào một zero tại gốc tọa độ. Hai là chọn một zero ở z = 1 và một zero ở z = -1. Sự chọn lựa này có thể khử hoàn toàn đáp ứng của bộ lọc tại ω = 0 và ω = π. 1.1.3. BỘ LỌC DẢI KHẤC (NOTCH FILTER) Bộ lọc dải khấc là một bộ lọc dải chân có dải tần số chẵn rất hẹp như một vết khấc. Hình 1.6 minh họa đặc tuyến đáp ứng tần số của một bộ lọc dải khấc có độ lợi giảm bằng 0 ở các tần số ω0 và ω1. Bộ lọc dải khấc được ứng dụng trong những trường hợp mà một vài thành phần tần số cần phải loại bỏ. 8
Hình 1.6: Minh họa đặc tuyến đáp ứng tần số của một bộ lọc dải khấc có độ lợi Để tạo một điểm không (null) trong đáp ứng tần số của một lọc ở tần số ω0, ta đưa vào một cặp zero phức trên vòng tròn đơn vị tương ứng với góc pha ω0. Đó là: jω0 -jω0 Z1 = re và Z2 = re (1.7) Nếu hệ thống là một bộ lọc FIR thì: jω0 -jω0 -l -2 H(z) = G(1 - e z - 1)(1 - e z - 1) = G(1 - 2cosω0z + z ) Hình 1.7 trình bày đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của một bộ lọc dải khấc có một π điểm không ở ω = . 4 Ta thấy, bộ lọc khấc FIR có băng tần khá rộng (dải chặn), nghĩa là các thành phần tần số xung qu /Anh điểm không (null) bị suy giảm nhiều. Đế giảm độ rộng băng tần của bộ lọc khấc, ta có thể chọn một bộ lọc FIR dài và phức tạp hơn. Ở đây, ta cố gắng cải tiến đáp ứng tần số bằng cách đưa vào hàm truyền một số cực. Giả sử ta đặt thêm vào một cặp cực phức tại: Các cực này gây ra một sự cộng hưởng trong vùng lân cận của điểm không và vì vậy nó làm giảm độ rộng băng tần của lọc khác. Hàm truyền của hệ thông bây giờ là: π Đáp ứng biên độ của bộ lọc (1.8) được vẽ trong hình 4.8 với ω0 = , r = 0,81 và 4 π với ω = , r = 0,91. So sánh với đáp ứng tần số của bộ lọc FIR trong hình 1.7, ta thấy tác 4 dụng của các cực là làm giảm băng tần của lọc khấc. Bên cạnh việc làm giảm băng tần lọc khấc, các cực được đưa vào còn gây ra một gợn sóng trong dải thông của mạch lọc, vì sự cộng hưởng gây ra bởi cực. Để h(n) chế ảnh hưởng gợn sóng này, ta lại có thể đưa 9
thêm vào các cực và/hoặc zeros nữa trong hàm truyền đạt. Ta thấy, phương pháp này mang tính thử và sai. Hình 1.7. Đặc tuyến đáp ứng tần số của một bộ lọc dải khấc có hàm truyền đạt là H(z) = -1 -2 π 1 G[1-2 cosω0 z + z ], với một vết khấc ở ω = hay f = . 4 8 10
Hình 1.8: Đặc tuyến đáp ứng tần số của 2 bộ lọc khấc với các cực ở: -1 -2 ±π/4 ±π/4 1- 2cosω0z + z (1) r = 0,85e và (2) r = 0,95 e , H(z) = G -1 2 -2 1- 2r cosω0z + r z 1.1.4. BỘ LỌC RĂNG LƯỢC (COMB FILTERS) Bộ lọc răng lược đơn giản nhất là bộ lọc có đáp ứng tần số giống như lọc khấc, nhưng các vết khấc (điểm không) xuất hiện một cách tuần hoàn trên suốt băng tần. Mạch lọc răng lược được ứng dụng trong trường hợp cần loại bỏ một thành phần tần số nào đó và các hài của tần số đó. Nó được ứng dụng rộng rãi trong thực tế như: nghiên cứu tín hiệu thu được từ tầng điện ly, tín hiệu radar. Để minh họa một dạng đơn giản của mạch lọc răng lược, ta xét một bộ lọc trung bình di chuyển được mô tả bởi phương trình sai phân: Hàm truyền đạt của hệ thống này là: Từ phương trình (1.10) ta thấy bộ lọc có các zero trên vòng tròn đơn vị tại: Chú ý rằng cực z = 1 bị khử bởi zero ở z = 1, vì vậy, ta có thể coi như bộ lọc này 11
không chứa cực nào ngoài z = 0. Đặc tuyến biên độ của (1.11) với M = 10 được vẽ trong hình 1,9 cho thấy sự tồn tại 2πk của các điểm không một các tuần hoàn ở các tần số ω = = 1,2, , M (M +1) Hình 1.9: Đặc tuyến đáp ứng biên độ của bộ lọc răng lược cho bởi pt (5.11) với M = 10. Tổng quát, ta có thể tạo ra một lọc răng lược bằng cách thực hiện một bộ lọc FIR với hàm truyền đạt là: Thay z bởi zL với L là một số nguyên dương ta thu được một bộ lọc FIR mới có hàm truyền đạt là: Gọi H(ω) là đáp ứng tần số của bộ lọc tương ứng với H(z) thì đáp ứng tần số của bộ lọc tương ứng với HL(z) là: Kết quả là, đặc tuyến đáp ứng tần số HL(ω) là sự lặp lại L lần của H(ω) trong dải tần số 0 £ w £ 2p. Ví dụ 1.3: Từ bộ lọc răng lược có hàm truyền đạt ở pt(1.10) và đáp ứng tần số ở pt(1.11). Ta thay z bởi z-L, ta được một lọc răng lược mới có hàm truyền đạt là: 12
và đáp ứng tần số là: Bộ lọc này có zeros trên vòng tròn đơn vị ở các vị trí: Với tất cả các giá trị nguyên của k, ngoại trừ k = 0, L, 2L, , ML Hình 1.10 vẽ đặc tuyến đáp ứng biên độ với L = 3 và M = 10. Hình 1.10: Đặc tuyến đáp ứng biên độ của bộ lọc răng tước cho bởi pt(5.17) với L = 3 và M = 10. 1.1.5. BỘ LỌC THÔNG TẤT (ALL-PT(SS FILTERS) Lọc thông tất là một ộ lọc có đáp ứng biên độ là hằng với tất cả các tần số, đó là: = 1 ; 0 £ w £ p. (1.19) Một số ví dụ đơn giản nhất cho lọc thông tất là một hệ thống thuần trễ (pure delay stystem) với hàm truyền đạt là: H(z) = z-k (1.20) 13
Hệ thống này cho qua tất cả tín hiệu mà không có thay đổi gì cả ngoại trừ việc làm trễ k mẫu. Đây là một hệ thống thông tất tầm thường (trivial) có pha tuyến tính. Một lọc thông tất được quan tâm nhiều hơn là lọc có hàm truyền đạt như sau: Tất cả các hệ số an đều là thực. Đặt: Thì phương trình (1.2 1) được viết lại: 2 -1 Vì |H(ω)| = H(z)H(z ) z = e jω = 1 nên hệ thống cho bởi pt(1.23) là lọc thông tất. Hơn nữa, nếu z0 là cực của H(z), thì 1/z0 là zero của H(z). Hình 1.11 minh họa đồ thị cực - zero của bộ lọc 1 cực 1 zero và bộ lọc 2 cực -2 zero. Đặc tuyến đáp ứng pha của các hệ thống này được vẽ trong hình 1.12 với a = 0,6 và r = 0,9. Hình 1.11: Đồ thị cực - zero (a) Lọc thông tất bậc 1 (b) Lọc thông tất bậc 2 Lọc thông tất được ứng dụng như là bộ cân bằng pha (pha se equalizers). Khi đó được mắc liên tiếp (cascade) với mét hệ thống có đáp úng pha không như mong muốn, bộ cân bằng pha được thiết kế để bù lại đặc tính pha "nghèo nàn" của hệ thống này và vì vậy toàn bộ hệ thống (hệ tương đương) có đáp ứng pha tuyến tính. 14
Hình 1.12. Đặc tuyến đáp ứng tần số của bộ lộc tất: −1 2 −1 −2 (0,6 + z ) (r − 2r cos ω0 z + z ) π (1) H(z) = −1 (2) H(z) = −1 2 −2 ; r = 0,9 ; ω0 = 1+ 0,6z 1− 2r cos ω0 z + r z 4 1.1.6. BỘ DAO ĐỘNG SIN SỐ Bộ dao động sin số có thể được coi như là dạng giới hạn của bộ cộng hưởng hai cực với các cực phức nằm trên vòng tròn đơn vị. Nhắc lại rằng, một hệ thống bậc hai có hàm truyền đạt là: 2 Và các tham số là: a1 = -2r cos w0; a2 = r (1.25) Các cực liên hợp phức là p = re±jω0 n b0r Đáp ứng xung là: h(n) = sin(n + 1) ω0u(n) (1.26) sin ω0 15
Nếu các cực nằm trên vòng tròn đơn vị (r = 1) và b0 = Asinω0 thì h(n) = A sin(n + 1)w0 u(n) (1.27) Vậy đáp ứng xung của một hệ thống bậc hai với các cực liên hợp phức nằm trên vòng tròn đơn vị có dạng sin và hệ thống này được gọi là bộ dao động sin số hay bộ phát tín hiệu sin số. Để lập sơ do khối của bộ dao động sin số ta viết lại phương trình sai phân: Y(n) = -a1y(n - 1) – y(n) - 2) + b0 d(n) (1.28) Với a1 = -2cos ω0; b0 = A sinω0 và thỏa điều kiện nghỉ y(- 1) = y(- 2) = 0 Dùng phương pháp đệ qui để giải phương trình sai phân ta thu được: Y(0) = Asinω0 y(1) = 2cosω0 y(0) = 2A sinω0 cosω0 = A sin2ω0 y(2) = 2cosω0 y(1) – y(0) = 2Acosω0 sin2ω0 - Asinω0 2 = A (4cos ω0 - 1)sinω0 3 = 3A sinω0 - Asin ω0 = A sin3ω0 Tiến trình được tiếp tục, ta thấy tín hiệu ra có dạng: y(n) = A sin(n + 1)ω0 Ta chú ý rằng, việc cung cấp xung ở thời điểm n = 0 nhằm mục đích khởi động cho bộ dao động sin. Sau đó, bộ dao động tự duy trì, bởi vì hệ thống không tắt dần (do r = 1). Từ hệ thống được mô tả bởi pt(1.21) ta cho tín hiệu vào bằng 0 và cho các điều kiện đầu là y(-1) = 0, y(2) = -Asinω0 thì đáp ứng tín hiệu vào bằng 0 của hệ thống bậc hai được mô tả bởi phương trình sai phân thuần nhất. y(n) = -a1 y(n - 1) – y(n - 2) (1.29) Đáp ứng của hệ thống được mô tả bởi pt(1.26) với các điều kiện đầu: y(1) = 0 và y(-2) = -A sinω0 (1.30) 16
giống một cách chính xác như là đáp ứng của hệ thống được mô tả bởi pt(1.28) với kích thích là tín hiệu xung đơn vị. 1.2. Thiết kế bộ lọc FIR 1.2.1. THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH DÙNG CỬA SỔ 1.2.1.1. Nguyên tắc: Từ đáp ứng tần số mong muốn Hd(ω) với các chỉ tiêu tương ứng, ta lấy biến đổi Fourier ngược để có đáp ứng xung hd(ω): Nói chung, hd(n) thu được sẽ có chiều dài vô h(n) và không nhân quả, ta không thể thực hiện được trong thực tế. Vì vậy, hệ thống phải được sửa lại thành nhân quả và buộc h(n) phải h(n) chế chiều dài của hd(n). Phương pháp đơn giản là cắt bỏ hd(n) từ giá trị n = M-1 và thu được bộ lọc FIR có chiều dài M. Sự "cắt ngọn" này tương đương với phép nhân h(n)g với một hàm cửa sổ (window). Hàm cửa sổ này được định nghĩa như sau: Như vậy, đáp ứng xung của bộ lọc FIR trở thành: h(n) = hd(n).w(n) (1.33) Gọi W(ω) là biến đổi Fourier của cửa sổ w(n), từ tính chất nhân của biến đổi Fourier, ta thu được đáp ứng tần số của bộ lọc như sau: 1.2.1.2. Các bước chính của phương pháp cửa sổ: Chọn 4 chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số: δ1, δ2, ωp, ωs. Xác định đáp ứng xung của mạch lọc lý tưởng. Chọn loại cửa sổ. Nhân với cửa sổ để có đáp ứng xung của mạch lọc: hd(n) = h(n).w(n). Thử lại trong miền tần số: Hd(ω) = H(ω)*W(ω). Nếu không thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật, ta tăng M và trở lại bước 2. 1.2.1.3. Cửa sổ chữ nhật Định nghĩa: Cửa sổ chữ nhật có chiều dài M được định nghĩa trong miền thời gian 17
như sau: M - 1 Trường hợp M lẻ, w(n) có dạng đối xứng với tâm đối xứng là n: . 2 Biến đổi Fourier của cửa sổ chữ nhật là: Cửa sổ này có đáp ứng biên độ là: và có đáp ứng pha tuyến tính từng đoạn: , khi sin (ωM)/2 ≥ 0 , khi sin (ωM)/2 < 0 1.38 Hình 1.14: (a) Cửa sổ chữ nhật có chiều dài M = 9 (b) Đáp ứng biên độ cửa sổ chữ nhật 18
Hình 1.15: Các đáp ứng biên độ (db) của cửa sổ chữ nhật với M = 9. M = 51 và M-101 19
Các tham số (các tham số này cũng được định nghĩa chung cho các loại cửa sổ khác): - Độ rộng của múi chính DW (được tính bằng 2 lần dải tần số từ ω = 0 đến ωp, tần số ωp tương ứng với giá trị zero của múi chính), đối với cửa sỗ chữ nhật: DW = 4p/M. (1.39) - Tỉ số giữa đỉnh của múi bên đầu tiên và đỉnh của múi chính, ký hiệu ta có: với ω1 là tần số tương ứng với đỉnh của múi bên đầu tiên, với cửa sổ chữ nhật w1 = 3p/M. Tham số này thường được tính theo dự như sau: Người ta cũng thường xét đến một đại lượng ngược lại, đó là tỉ số của đỉnh múi chính và đỉnh múi bên đầu tiên, ký hiệu h, ta có: đối với cửa sổ chữ nhật: Sau đây là giá trị của h tương ứng với các độ dài M khác nhau: M = 6 ® h = 4,2426; M = 9 ® h = 4,1000; M = 10 ® h = 4,7014; M = 100 ® h = 4,7106; và M ® ¥ ~ thì h » 4,712. Ta thấy, khi M > 10 tham số gần như không đổi. Hình 1.14.a trình bày cửa sổ chữ nhật trong miền thời gian, hình 1.14.b là đáp ứng biên độ của cửa sổ chữ nhật với M = 9. Các tham số tương ứng như sau: DW = 4p/M = 1,3963 rad; 1 = -13,0643dB; h = 4,1000 Hình 1.11 trình bày đáp ứng biên độ của cửa số chữ nhật với M lần lượt là: 9,11 và 101. Hiện tượng Gibbs 1 Để giới hạn chiều dài đáp ứng xung h(n) của bộ lọc lý tưởng, ta đã nhân với hàm cửa sổ w(n). Đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế có được từ tích chập (131). Đối với bộ lọc 20
lý tưởng, đáp ứng biên độ chuyển đột ngột từ 1 xuống 0 (hoặc ngược lại) ở tần số cắt. Nhưng đối với bộ lọc thực tế, do tích chập trong miền tần số sẽ gây dao động ở dải thông và dải chặn xung qu / Anh tần số cắt ωc. Sự phát sinh các dao động này được gọi là hiện tượng Gibbs. Ví dụ 1.4: Hãy thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính với các chỉ tiêu kỹ thuật sau đây: δ1 = 0.01, δ2 = 0.01, ωp = π/4 - π/10 = 0,7226, ω = π/4 + π/10 = 0,8482 và ω = (ωp + ωs/2 = π/4. Giải: - Chọn cửa sổ chữ nhật W(n) nhân quả và có tâm đối xứng tại (M- 1)/2. - Để minh họa hiện tượng Gibbs, ta chọn đáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng, ta có: Lấy biến đổi Fourier ngược, theo pt(1.28), ta được đáp ứng xung h(n): Ta thấy hd(n) có chiều dài vô h(n), không nhân quả và có tâm đối xứng là k trong miền thời gian. Nếu ta chọn k = (M- 1)/2 thì hơn có tâm đối xứng tại (M- 1)/2. Nhân h(n) với cửa sổ chữ nhật w(n), đáp ứng xung của bộ lọc trở nên nhân quả và có chiều dài hữu h(n): h(n) = hd(n) .w(n) Hình 1.16. Minh họa đáp ứng xung h(n) với M = 61. Hình 1.16: Đáp ứng xung h(n) được cắt từ hd(n) và cửa sổ chữ nhật M = 61 Đáp ứng tần số của hệ thống được thiết kế là: 21
Hình 1.18 vẽ đặc tuyến đáp ứng biên độ của bộ lọc với M = 9, M = 61 và M = 101. Ta thấy, khi tăng M, độ gợn sóng dải thông và dải chặn có biên độ không giảm và trong cả ba trường hợp, chỉ tiêu về độ gợn đã đề ra chưa được thỏa mãn. Tuy nhiên, độ rộng dải quá độ được cải thiện (thu hẹp lại) khi M tăng. Để làm giảm những gợn sóng lớn trong cả dải thông và dải chặn, chúng ta có thể sử dụng các hàm cửa sổ mà nó chứa đựng một đỉnh nhọn và suy giảm dần về zero thay vì đột ngột như hàm cửa sổ hình chữ nhật. Một số hàm cửa sổ tiêu biểu thường được dùng trong thiết kế mạch lọc FIR được trình bày trong bảng 1.1 và dạng của một số cửa sổ được trình bày trong hình 1.17. Những hàm cửa sổ này có các múi bên (sidelode) thấp hơn so với cửa sổ hình chữ nhật. Tuy nhiên, với cùng giá trị M chiều rộng của múi chính của các hàm cửa sổ này cũng rộng hơn so với cửa sổ hình chữ nhật. Do đó, các hàm cửa sổ này có tác dụng làm trơn (smoothing) đáp ứng tần số thông qua tích chập trong miền tần số, và kết quả là dải quá độ của lọc FIR rộng hơn. Để giảm độ rộng của dải quá độ, chúng ta tăng chiều dài cửa sổ, kết quả là mạch lọc lớn hơn. Hình 1.17. Dạng (bao hình) của một số hàm cửa sổ trong miền thời gian 22
Hình 1.18: Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp được thiết kế với cửa sổ chữ nhật. (a) M = 9, (b) M = 61, (c) M = 101 23
Bảng 1.1. Các hàm cửa sổ 2n M −1 , Với 0 ≤ n ≤ Bartlett M −1 2n (triangular) 2n 2n 2 - , Với < n ≤ M - 1 M −1 M −1 2π n 4π n Blackman w(n) = 0.42 - 0.5cos -+ 0.08 scos M −1 M −1 2π n Hamming w(n) = 0.54 - 0.46 cos M −1 1 2π n H(n)ning w(n) = (1 - cos ) 2 M −1 ⎡ M −1 ⎛ 2n ⎞⎤ I⎢β 1− ⎜ −1⎟⎥ ⎢ 2 ⎝ M −1 ⎠⎥ ⎣ ⎦ Kaiser ⎡ ⎛ M −1⎞⎤ I⎢β⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎧ ⎡ ⎛ M −1⎞⎤ ⎫ ⎪ 2π⎜n − ⎟ ⎪ ⎢ 2 ⎥ ⎪sin⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎪ ⎪ ⎢ M −1 ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ Lanczos w(n) = ⎨ ⎣ ⎦ ⎬ ⎛ M −1 ⎞ ⎪ ⎜ n − ⎟⎪ ⎪ 2π⎜ 2 ⎟⎪ ⎪ ⎜ M −1 ⎟⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ 2 ⎠⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ M −1 M −1 1, với n − ≤ α , 0 < α < 1 2 2 ⎡ ⎛ ⎛ M −1⎞ ⎞⎤ ⎢ ⎜ n − (1+ α)⎜ ⎟ ⎟⎥ 1 2 ⎢1+ cos⎜ ⎝ ⎠ ⎟⎥ , Tukey 2 ⎢ ⎜ ⎛ M −1⎞ ⎟⎥ ⎢ ⎜ (1+ α)⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠⎦ M −1 M −1 M −1 Với α ≤ n − ≤ 2 2 2 Ghi chú: Cửa sổ Kaiser là một cửa sổ gần tối ưu, nó được thành lập từ hàm Bessel biến dạng loại một bậc không I0(x). Trong công thức định nghĩa cửa sổ Kaiser (Bảng 24
1.1), tham số (có tác dụng sửa dạng cửa sổ. Với một chiều dài M xác định, độ rộng của múi chính DW trong đáp ứng biên độ của cửa sổ sẽ gia tăng theo β. Vì vậy, với cửa sổ Kaiser, ta có thể điều chỉnh DW và hệ số λ bằng cách thay đổi tham số. (Tuy nhiên, vì biểu thức đại số của cửa sổ này khá phức tạp, không thân thiện với người dùng, nên việc sử dụng nó cũng có h(n) chế. Bảng 1.2 trình bày các đặc tính quan trọng của một số hàm cửa sổ trong miền tần số: Bảng 1.2 Loại cửa sổ Độ rộng xấp xỉ của vùng quá độ Đỉnh múi trên (dB) Retangula 4p/M - 12 Bartlett 8p/M - 27 H(n)ning 8p/M - 32 Hamming 8p/M - 43 Blackman 12p/M - 18 Hình 1.19.a, b, c, d, e lần lượt trình bày đáp ứng biên độ (dB) của bộ lọc thông thấp có tần số cắt là ω = π/4= 0,7814 rad/sample (tương ứng với f = 0.121 cycle/sample), được thiết kế bằng các cửa sổ Rectangular, H(n)ning, Hamming, Blackman và Kaiser có cùng chiều dài M = 61. So sánh các bộ lọc b, c, d, e với bộ lọc được thiết kế bằng cửa sổ chữ nhật (a), ta thấy sự ảnh hưởng hiện tượng Gibbs ở cạnh dải thông được h(n) chế và kết quả là múi bên có đỉnh thấp hơn. Tuy nhiên, độ rộng của dải quá độ lại gia tăng. 25
(b) Bộ lọc thông thấp FIR được thiết kế với cửa sổ H(n)ning (M = 61) (c) Bộ lọc thông thấp FIR được thiết kế với cửa sổ Hamming (M = 61) (d) Bộ lọc thông thấp FIR được thiết kế với cửa sổ Blackman (M = 61) 26
(e) Bộ lọc thông thấp FIR được thiết kế với cửa sổ Kaiser (M = 61, β = 4) Hình 1.19: Đáp ứng biên độ (dB) của bộ lọc thông thấp có tần số cắt là ωc = π/4 = 0.7854 rad/sample được thiết kế bằng các loại cửa sổ khác nhau có cùng chiều dài M=61 1.2.2. THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU TRONG MIỀN TẦN SỐ Bộ lọc FIR pha tuyến tính (1inear-phase fir filters) là một loại bộ lọc đơn giản về mặt thiết kế lẫn thực hiện. Như ta sẽ thấy, chỉ có bộ lọc FIR mới có thể có pha tuyến tính và bộ lọc IIR không thể có pha tuyến tính. Trong nhiều ứng dụng thực tế, chẳng h(n) như thông tin số, sự méo pha (méo trễ) không thể chấp nhận được, vì vậy bộ lọc pha tuyến tính được dùng rộng rãi. Một bộ lọc FIR chiều dài M có đáp ứng tần số là: Các hệ số G của bộ lọc cũng chính là giá trị của các mẫu trong đáp ứng xung của nó: (Trong pt(1.46) chỉ số trên của tổng được chọn là M-1 để đáp ứng xung có chiều dài M). Bộ lọc có pha tuyến tính khi đáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn các điều kiện đối xứng. Ta xét 2 điều kiện đối xứng khác nhau như sau: 1.2.2.1: Điều kiện xung h(n) = h(M-1-n) (1.49) 27
Để chứng tỏ một bộ lọc thỏa điều kiện đối xứng này là bộ lọc pha tuyến tính ta xét hai trường hợp M lẻ và M chẵn. Ví dụ 1.1: Trường hợp M lẻ Giả sử chọn M = 1, điều kiện đối xứng là: h(0) = h(4); h(1) = h(3); h(2) là tâm đối xứng (không có mẫu tương ứng). Đáp ứng tần số H(ω) là: Vì h(0) = h(4) và h(1) = h(3) nên H(ω) có thể viết lại là: Trong pt(.50), thừa số trong dấu ngoặc có giá trị thực . Ta ký hiệu là: Biên độ của đáp ứng tần số là: ïH(w)ï = ïHr(w) (1.52) Đặc tính pha của mạch lọc là: Ta thấy, đặc tính pha q(w) là một hàm tuyến tính của ω trong cả hai trường hợp Hr(ω)dương hoặc âm. Khi Hr(ω) đổi dấu từ dương sang âm (hay ngược lại), q(w) thay đổi đột ngột một lượng là π radians. Nếu sự thay đổi pha này xuất hiện ở bên ngoài dải thông (trên dải chặn) ta sẽ không cần quan tâm, vì tín hiệu mong muốn đi qua bộ lọc không có nội dung tần số ở trong dải chặn. Ví dụ 1.6: Trường hợp M chẵn Giả sử chọn M = 4, điều kiện đối xứng là: h(0) = h(3) ; h(1) = h(2). Trong trường hợp này, mỗi mẫu của h(n) đều có mẫu đối xứng. Tương tự như trên ta tìm được đáp ứng của bộ lọc là: 28
Biên độ của đáp ứng tần số là: |H(ω)| = |Hr(ω)| và pha là: Một lần nữa, pha của bộ lọc là tuyến tính và nhảy một lượng là π ở những tần số mà Hr(π) đổi gấu. Từ hai hai ví dụ trên, ta có thể ngoại suy cho trường hợp tổng quát với chiều dài M bất kỳ. Tổng quát, đáp ứng tần số của một bộ lọc FIR có đáp ứng xưng h(n) thỏa điều kiện đối xứng (1.49) là: Đặc tính pha của bộ lọc cho cả hai trường hợp M chẵn và M lẻ là: 1.2.2.2. Điều kiện đối xứng: h(n) = -h(M-1-n) (1.61) Trong trường hợp này ta gọi đáp ứng xung là phản đối xứng (antisymmetric). Khi M −1 M lẻ, điểm trung tâm của h(n) phản đối xứng là n = . Điều kiện (118) hàm ý rằng: n 2 M −1 = = 0 Ví dụ, Nếu M = 1, ta có h(0) = - h(4); h(1) = h(3) và h(2) = 0. Khi M chẵn, 2 mỗi mẫu của h(n) có một mẫu tương ứng ngược dấu. Tương tự như trường hợp đối xứng thứ nhất, ta có thể chứng minh rằng, đáp ứng tần số của bộ lọc FIR với đáp ứng xung phản đối xứng có biểu thức là: 29
Đặc tính pha của bộ lọc cho cả hai trường hợp M lẻ và M chẵn là: Các công thức đáp ứng tần số tổng quát này được dùng để thiết kế các bộ lọc FIR pha tuyến tính với đáp ứng xung đối xứng hoặc phản đối xứng. Chú ý rằng, trong các pt(1.11) và pt(1.16), số hệ số cần thiết để xác định đáp ứng M +1 M −1 tần số là khi M lẻ hay khi M chẵn. Trong các pt(1.63) và pt(1.64), vì n = , 2 2 M +1 nên có hệ số khi M lẻ và hệ số khi M chẵn cần được xác định. 2 1.2.2.3. Chọn đáp ứng xung và tính các hệ số từ các mẫu trong miền tần số Việc chọn đáp ứng xung đối xứng hay phản đối xứng tùy thuộc vào ứng dụng. Ví dụ, nếu h(n) = -h(M-1-n) và M lẻ, theo pt(1.60) thì Hr(0) = 0 và Hr(π) = 0, kết quả là đáp ứng xung phản đối xứng không phù hợp cho mạch lạc thông thấp hoặc thông cao. Tương tự, nếu chọn đáp ứng xung phản đối xứng và M chẵn, thì theo pt(1.60) ta có Hr(0) = 0. Kết quả là ta không thể chọn điều kiện phản đối xứng trong việc thiết kế bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tính. Ngược lại, nếu chọn điều kiện đối xứng h(n) = h(M-1-n) thì sẽ được bộ lọc FIR pha tuyến tính với đáp ứng tần số khác 0 ở ω = 0, đó là: Mỗi phương trình trong các pt(1.11), (1.16), (1.60) và (1.61) đóng góp một tập các phương trình tuyến tính để xác định các hệ số của mạch lọc FIR. Kết quả là, nếu ta xác M +1 M +1 định được đáp ứng tần số ở hay hay điểm trên trục ω, ta phải giải một tập 2 2 tương ứng các phương trình tuyến tính để tìm các hệ số. Mặc dù các giá trị của ω có thể 30
được chọn một cách tùy ý, nhưng ta thường muốn chọn những điểm cách đều nhau trên trục tần số, trong khoảng 0₤ w ₤ p (1ấy mẫu đều trong miền tần số). Vì vậy, ta sẽ chọn các tần số lấy mẫu như sau: Trường hợp chọn đáp ứng xung đối xứng Ta định nghĩa: Khi đó, các phương trình tuyến tính (1.11) và (1.16) cho bộ lọc FIR đối xứng trở thành: Trường hợp chọn đáp ứng xung phản đối xứng M +1 Trường hợp này, ta cần xác định các hệ số tương ứng với điểm khi M lẻ và 2 điểm khi M chẵn trên trục ω. Vì các pt(1.60) và pt(1.61) hàm ý rằng Hr(0) = 0, độc lập với sự chọn các hệ số {h(n)}. Vì vậy tần số ω = 0 không thể được dùng để xác định các thông số của đáp ứng tần số. Khi M lẻ thì rất dễ dàng, ta có thể xác định Hr(ω) ở điểm cách đều nhau trên trục tần số. Các điểm này có thể được chọn như sau: Khi M chẵn, ta cần G điểm tần số, vì ta không thể sử dụng ω = 0, ta có thể sử dụng w =p. a10h(0) + a11h(1) = Hr() = Trong đó: a00 = 2; a01 = 2; a10 = - 2 ; a11 = 2 . Các phương trình tuyến tính này 31
được viết dưới dạng ma trận: [A] [h] = [Hr] (1.17) trong đó: Giải phương trình ma trận trên ta được: Đáp ứng tần số của bộ lọc là: Đặc tuyến đáp ứng biên độ |hr(ω)| và 20log|Hr(ω)| được vẽ trong hình 1.20. Ta thấy đây là lọc thông thấp. Tóm lại, tập các điểm tần số được chọn như sau: Một sự chọn lựa khác hoàn toàn có thể tránh trường hợp H(ω) = 0 ở ω = 0 (và ω = π) đó là: 32
Với bất kỳ sự chọn lựa nào trong các trường hợp trên, ta định nghĩa: ⎛ M −1 ⎞ bkn = 2 sin ωk ⎜ − n⎟ (1.74) ⎝ 2 ⎠ Thì các phương trình tuyến tính.(4.71) và (4.76) cho bộ lọc FIR phản đối xứng trở thành: Tập tần số cho bởi pt(1.70) cũng có thể được đùng trong pt(1.73) và pt(1.74) thay vì dùng tập tần số cho bởi pt(1.61). Ví dụ 1.7: Hãy xác định đáp ứng xung h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tinh, có chiều dài M = 4. π Đáp ứng tần số H(ω) tại ω = 0 và ω = được xác định như sau: 2 Giải: Đây là bài toán thiết kế mạch lọc khá đơn giản, các thông số chưa biết là h(0) và h(1). Tập các phương trình tuyến tính là: a00h(0) + a01h(1) = Hr(0) = 1 33
Hình 1.20. Đặc tuyến ứng biên độ của bộ lọc FIR pha tuyến tính trong ví dụ 5.7 Ví dụ 1.8: Hãy xác định các hệ số của bộ lọc FIR tuyến tính pha có chiều dài M = 11, đáp ứng xung đối xứng và đáp ứng tần số thỏa mãn điều kiện: Giải: Đây là một mạch lọc khá dài, hơn không thể tìm được nếu không có sự hỗ trợ của máy vi tính trong việc giải hệ phương trình tuyến tính. Lập trình trên máy tính để giải hệ phương trình này, ta có thể thu được các nghiệm như sau: h(0) = h(14) = 0,04 981188 h(1) = h(13) = 0,04120224 h(2) = h(12) = 0,06666674 h(3) = h(11) = - 0,03648787 h(4) = h(10) = - 0,1078689 h(1) = h(9) = 0,03407801 h(6) = h(8) = 0,3188924 h(7) = 0,4666666 Đáp ứng tần số của mạch lọc thu được trong hình 1.21. Ta thấy, bộ lọc này có một vọt lố (overshoot) ở cạnh dải thông ở phía trước dải quá độ. Nó cũng có các múi bên (sidelobe) khá lớn trong dải chặn, múi bên lớn nhất là - 11 dB. 34
Hình 1.21: Đặc tuyến đáp ứng biên độ của bộ lọc FIR pha tuyến tính chiều dài M = 15. trong ví dụ 5.8 Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta đã minh họa bài toán thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính với đáp ứng tần số thay đổi đột ngột từ dải thông (Hr(ωr) = 1) sang dải chặn, trong dải chặn Hr(ω) được xác định bằng 0 ở các tần số rời rạc. Ta thấy bộ lọc có các múi bên khá lớn, đây là điều không mong muốn. Trong ví dụ sau đây, thay cho sự thay đổi đột ngột, ta xác định một giá trị trung gian của Hr(ω) trong dải quá độ. Đáp ứng tần số sẽ có các múi bên nhỏ hơn nhiều trong dải chặn. Ví dụ 1.9: Thực hiện lại bài toán thiết kế trong ví dụ 4.11 với các chỉ tiêu của đáp ứng tần số là: 35
Giải: Trong trường hợp này, các hệ số của bộ lọc thu được từ việc giải các phương trình tuyến tính là: h(0) = h(14) = - 0,01412893 h(1) = h(13) = - 0,001941309 h(2) = h(12) = 0,04000004 h(3) = h(11) = 0,01223414 h(4) = h(10) = - 0,09138802 h(1) = h(9) = - 0,01808986 h(6) = h(8) = 0,3133176 h(7) = 0,12 Nhận xét: Mạch lọc thu được có đáp ứng tần sổ được vẽ trong hình 1.22. Ta thấy các múi bên bây giờ thấp hơn trong ví dụ trước, múi bên lớn nhất là -41 dB. Trong ví dụ này, ta đã mở rộng dải quá độ đó là một sự bất lợi, nhưng ta đã thu được một lợi ích lớn hơn, đó là giảm được các múi bên một cách đáng kể. Như vậy, có hai hiệu ứng ngược nhau, nếu ta đưa thêm vào các chỉ tiêu của đáp ứng tần số trong dải quá độ thì biên độ của các múi bên sẽ giảm, trong khi đó bề rộng dải quá độ lại tăng. Tất nhiên ta cần có sự cân nhắc cho hợp lý. 36
Hình 1.22. Đặc tuyến đáp úng biên độ của bộ lọc FIR pha tuyến tính chiều dài M = 15, trong ví dụ 5.9. Ví dụ 1.10: Hãy xác định các hệ số của mạch lọc FIR pha tuyến tính M = 16 mà đáp ứng xung của nó đối xứng và đáp ứng tần số thỏa mãn điều kiện; Giải: Giải hệ thống các phương trình tuyến tính, ta thu được đáp ứng xung h(n): h(0) = h(11) = 0,01011716 h(1) = h(14) = 0,02774791 h(2) = h(13) = 0,04067173 h(3) = h(12) = - 0,02017317 h(4) = h(11) = 0,04840164 h(1) = h(10) = - 0,111712 h(6) = h(9) = - 0,266221 h(7) = h(8) = 0,3362424 Đây là mạch lọc thông dải, có đáp ứng tần số được vẽ tro ình 4.23 múi bên lớn nhất trong dải chặn giảm xuống còn -34dB. Cuối cùng, việc chọn các tần số ωk để xác định các chỉ tiêu của đáp ứng xung của bộ lọc cần dựa trên tần số cắt hay tần số cạnh dải thông ωp và cạnh dải chặn ωs. Ta có thể chọn chiều dài M của bộ lọc sao cho trong các tần số{ωr} có tần số trùng hoặc gần trùng với ωp, ωs. Người thiết kế cũng có thể chọn 1 tập tần số{ωr} tùy ý không cần phải cách đều, sao 37
cho nó phù hợp nhất với các chỉ tiêu của đáp ứng cho trước. Hình 1.23: Đặc tuyến đáp ứng biên độ của bộ lớn FIR pha tuyến tính chiều dài M = 16, trong ví dụ 5.10. 1.2.2.4. Công thức tính h(n) - Mục đích của ta là tìm đáp ứng xung h(n) của bộ lọc có đáp ứng tần số mong muốn, từ đó xác định hàm truyền đạt (hay phương trình sai phân) và xây dựng cấu trúc của bộ lọc. Trong mục 1.2.2.3. ta đã tính hận bằng cách giải các hệ phương trình tuyến tính (1.70), (1.71) hoặc (1.75), (176), tổng quát hơn là phương trình ma trận (1.77). Theo đó, ta phải xác định ma trận các hệ số akn (ma trận [A]) hay ma trận các hệ số bkn (ma trận [B]), và sau đó, để giải phương trình ma trận (1.77) (trường hợp chọn đáp ứng xung phản đối xứng ta thay ma trận [A] bằng ma trận [B]), ta phải tính ma trận nghịch đảo. Việc làm này rõ ràng là tốn nhiều thời gian và công sức. Vì vậy, ta muốn thiết lập một công thức sao cho có thể tính trực tiếp h(n)). Trước tiên, ta xác định đáp ứng tần số mong muốn ở một tập tần số rời rạc cách đều nhau {wk}: 2π 1 ωk = (k + α) với α = 0 hoặc α = - (1.7 8) M 2 38
M −1 M Và k = 0, 1, 2 khi M lẻ, k = 0, 1, 2, khi M chẵn. 2 2 Sau đó tìm đáp ứng xung h(n) của bộ lọc FIR từ các mẫu trong miền tần số đã chọn. Theo định nghĩa, đáp ứng tần số của bộ lọc FIR có chiều dài M là: Giá trị của đáp ứng tần số tại các tần số {ωr}là: M −1 Do H(k+α) có tính đối xứng, nên các tần số chỉ định có thể giảm xuống còn 2 M nếu M lẻ, nếu M chẵn. Tuy nhiên, ở đây ta muốn khảo sát đặc tính tần số ở M điểm 2 như đã chỉ định ở pt(1.80). e j2π2 m Để xác định được h(n) từ H(k+α), ta nhân hai vế của pt(1.80) với , trong đó m M = 0, 1, ,M-1, rồi lấy tổng trên k = 0, 1, , M- 1. Vế phải của pt(1.77) sẽ rút gọn về Mh(n) e j2π2 m và ta thu được: M Ta thấy trong trường hợp α = 0 thì H(k) = DFT[h(n)] và h(n) = IDFT[H(k)]. Đề tìm công thức tính h(n), ta sẽ dựa vào tính chất đối xứng của hơn và giá trị của a. Ta chia thành các trường hợp cụ thể như sau: - α = 0, hơn đối xứng. - α = 1/2, hơn đối xứng. - α = 0, h(n) phản đối xứng. - α = 1/2, h(n) phản đối xứng. 39
Cũng cần chú ý rằng, trong các điều kiện đối xứng và phản đối xứng đã xét, h(n) luôn luôn có giá trị thực. Xét trường họp α = 0, hơn đối xứng: h(n) = h (M-1-n) Vì h(n) thực, nên từ pt(1.77) ta dễ dàng suy ra được H(k) = H*(M-k), và vì hơn đối xứng nên từ pt(1.77) ta thu được: (1.82) Ta thấy các số hạng trong dấu ngoặc { } chính là các mẫu của Hr(ω) tại các tần số ωk =2πk/M. Vì vậy biểu thức của Hoá có dạng: Để thuận tiện, ta viết lại: Vì Hr(2πk/M) có giá trị thực, nên G(k) cũng là dãy thực. Hơn nữa, từ điều kiện H(k) = H*(M-k) dẫn đến kết quả là: G(k) = - G(M-k) (1.87) Khi M chẳn, thì pt(1.84) đòi hỏi rằng: G(M/2) = 0, mặt khác, mẫu của đáp ứng tần số tại ω = π phải là 0. Từ tính chất đối xứng của các mẫu tần số có giá trị thực G(k) trong pt(1.84), ta có thể thành lập công thức tính đáp ứng xung h(n) của bộ lọc FIR. Ta bắt đầu từpt(1.81) với α = 0 40
và Từ pt(1.89) và (1.90) ta có thể tính trực tiếp h(n) từ G(k) (hay Hr(2πk/M). Trong cách tính này, để xác định h(n) ta không cần phải tính ma trận nghịch đảo như đã làm trong các ví dụ 1.7, 1.8 và 1.9 (giải phương trình ma trận (1.77)). 1 Kế tiếp ta xét trường hợp α = . 2 Vì h(n) là dãy thực, nên từ pt(1.80) ta suy ra được H(k+( ) = H*(M-1-k( ), hay 1 1 H(k+ ) = H(M-k- ). 2 2 Bằng cách liên kết tính chất này với điều kiện đối xứng h(n) = h (M-1-n), ta thu được: trong đó: ωk = 2π(2 + k)/M; k = 0, 1, 2, , M-1, Hr(ωk) được cho bởi phí 11) cho trường hợp M lẻ và pt(1.16) cho trường hợp M chẵn. Ta thấy pt(1.88) có dạng của pt(1.81) với k được thay thế bằng (k + α). Một lần nữa, để đơn giản ta diễn tả H(k + α) dưới dạng: Trong đó: 1 1 Từ pt(1.92) ta suy ra được H(k + ) = h *(M-k- ), tính chất này hàm ý rằng: 2 2 41
1 1 G(k + ) = G(M-k- ) (1.94) 2 2 Dựa và tính chất đối xứng (1.94) và từ pt(1.81) ta có: Tương tự cho trường hợp đáp ứng xung phân đối xứng, ta thiết lập được biểu thức 1 tính h(n) tương ứng với α = 0 và α = . Cuối cùng công thức tích đáp ứng xung h(n) cho 2 4 trường hợp được tổng kết trong bảng 1. 3. 1.2.2.1. Các bước thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số Từ các phân tích vừa rồi, ta sẽ tổng kết thành các bước thiết kế bộ lọc FIR bằng cách lấy mẫu đáp ứng tần số. Bước 1: Chọn loại bộ lọc, chiều dài M của bộ lọc, tính chất đối xứng của h(n), tập tần số ω và chỉ định các mẫu của đáp ứng tần số tương ứng với tập tần số {ωk}. Bước 2: Tính các mẫu G(k) theo công thức tương ứng trong bảng 1.3. Bước 3: Tính đáp ứng xưng h(n) theo công thức tương ứng trong bảng 1.3. Bước 4: Tính đáp ứng tần số H(0) theo các pt(1.14), (1.11), (1.16), (1.17) hoặc pt(1.19), (1.63), (1.64), (1.65), kiểm tra lại trong miền tần số bằng cách vẽ đặc tuyến đáp ứng biên độ và đáp ứng pha. Nếu chưa thỏa các chỉ tiêu kỹ thuật, thì chọn lại M hay tập tần số {(} hay các mẫu Hr((k) và trở lại từ bước 2. Bảng 1.3: Công thức tính đáp ứng xung h(n) Đối xứng: h(n) = h(M-1-n) H(k) = G(k)ejπk/M ; k = 0, 1, , M-1 k ⎛ 2π k ⎞ G(k) = (-1) Hr ⎜ ⎟ ; G(k) = - G(M-k) a = 0 ⎝ M ⎠ 1 ⎧ U 2π k ⎛ 1 ⎞⎫ h(n) = ⎨G(0) + 2∑G(k)cos ⎜n + ⎟⎬ M ⎩ k−1 M ⎝ 2 ⎠⎭ 42
M -1 M U = khi M lẻ và - 1 khi M chẵn 2 2 ⎛ 1 ⎞ 1 -j /2 j (2k + 1)/2M H⎜k + ⎟ = G(k + )e π e π ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ 1 ⎞ k ⎡2π ⎛ 1 ⎞⎤ G⎜k + ⎟ = (-1) Hr ⎢ ⎜k + ⎟⎥ 1 ⎝ 2 ⎠ ⎣ M ⎝ 2 ⎠⎦ a = 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ G⎜k + ⎟ = ⎜M - k - ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 U ⎛ 1 ⎞ 2π ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ h(n) = ∑G⎜k + ⎟ sin ⎜k + ⎟⎜n + ⎟ M k=0 ⎝ 2 ⎠ M ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ Phản đối xứng: h(n) = -h(M-1-n) H(k) = G(k)e-jπ/2ejπ(2k + 1)/2M , k = 0, 1, , M-1 k ⎛ 2π k ⎞ G(k) = (-1) Hr ⎜ ⎟ ; G(k) = - G(M-k) ⎝ M ⎠ 1 ⎧ (M-1)/2 π k ⎫ a = 0 ⎨G(0) + 2 ∑ G(k)cos ()2n +1 ⎬ , M lẻ M ⎩ k−1 M ⎭ 1 ⎧ (M/2)-1 π k ⎫ ⎨G(0) + 2 ∑ G(k)cos ()2n +1 ⎬, M chẵn M ⎩ k−1 M ⎭ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ j (2k+2)/2M H⎜k + ⎟ = G⎜k + ⎟ e π ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ k ⎡2π ⎛ 1 ⎞⎤ G⎜k + ⎟ = (-1) Hr ⎢ ⎜k + ⎟⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎣ M ⎝ 2 ⎠⎦ 1 1 (M-1)/2 1 2π ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ a = ∑ G(k + )sin ⎜k + ⎟⎜n + ⎟ , G(M/2) = 0 với M lẻ 2 M k=0 2 M ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 2 V ⎛ 1 ⎞ 2π ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ h(n) = ∑G⎜k + ⎟cos ⎜k + ⎟⎜n + ⎟ M k-0 ⎝ 2 ⎠ M ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ M - 3 M V = khi M lẻ và V = - 1 khi M chẵn 2 2 Cuối cùng là khâu xây dựng cấu trúc và thi công bộ lọc. 43
Ghi chú: - Việc chọn tập tần số {ωk} và các mẫu Hr(ωk) tương ứng được dựa trên đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng. Tuy nhiên,.việc chọn Hr(ωk) thay đổi đột ngột ở tần số cắt sẽ làm phát sinh các gợn sóng trong dải thông và dải chặn không thể chấp nhận được. Để làm giảm biên độ các gọn sóng, ta phải mở rộng dải quá độ bằng cách thêm vào một số mẫu Hr(ωk) có giá trì trung gian trong dải quá độ (gọi là các tham số quá độ). Ta thấy để thực hiện tốt công việc này còn phụ thuộc vào kinh nghiệm của người thiết kế. Các tham số quá độ tối ưu đã được tổng kết bởi Rabiner (1970) (Tham khảo [11] trang 377). - Do tính đối xứng, thay vì phải xác định M mẫu của Hr(ωk) ta chỉ cần xác định M + 1 M − 1 M mẫu khi M lẻ [tương ứng với k = 0, 1, , ] và mẫu khi M chẵn [tương 2 2 2 M ứng với k = 0, 1, , - 1 ]. 2 Ví dụ 1.11: Hãy tính các hệ số của một bộ.lọc FIR pha tuyến tính chiều dài M = 32, có đáp ứng xung thỏa điều kiện đối xứng h(n) = h (M-1-n), và đáp ứng tần số thỏa điêu kiện: Trong đó hệ số quá độ là: T1 = 0,3789791 với α = 0 và T1= 0,3170496 với α = 1/2 (theo Rabiner - 1970). Giải: - Ta thấy đây là bộ lọc thông thấp và bước 1 đã hàm chứa trong các điều kiện M + 1 của đề bài. Ta thấy, chỉ cần chọn = 16 mẫu của Hr(ωk). 2 - Áp dụng công thức tính G(k) và sau đó là công thức tính hơn trong bảng 1.1, tương ứng với trường hợp h(n) đối xứng và M = 32 lần lượt cho 2 trường hợp α = 0 và α = ½. Kết quả lần lượt được trình bày trong sau đây: M=32, α = 0, T1 = 0.3789795 h(0) = h(31)= - 0.0071 h(8) = h(23) = 0.0254 h(1) = h(30)= - 0.0031 h(9) = h(22) = 0.0399 h(2) = h(29) = 0.0059 h(10) = h(21) = 0.0028 44
h(3) = h(28) = 0.0135 h(11) = h(20) = - 0.0591 h(4) = h(27) = 0.0081 h(12) = h(19) = -0.0684 h(5) = h(26) = - 0.0111 h(13) = h(18) = 0.0318 h(6) = h(25) = - 0.0242 h(14) = h(17) = 0.2081 h(7) = h(24) = - 0.0094 h(15) = h(16) = 0.3471 Hình 1.24. Đặc tuyến đáp ứng biên độ của bộ lọc PIR có đáp ứng xung đối xứng với M = 32,α. = 0, T1 = 0.3789795 Các kết quả trong ví dụ 1.11 thu được từ chương trình firsampled viết bằng ngôn ngữ Matlab (xem phụ lục 3). 1.2.3. THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH CÓ ĐỘ GỢN KHÔNG ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP Phương pháp cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tần số là kỹ thuật đơn giản cho việc thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính. Tuy nhiên, hai phương pháp này cũng có vài bất lợi nhỏ. Đó là thiếu sự điều khiển chính xác các tần số giới hạn như: tần số cạnh dải thông ωp và cạnh dải chặn ωs. Việc thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính có độ gợn không đổi được xem như bài toán gần đúng Chebyshev. Kết quả sẽ là tối ưu, nhưng chúng ta phải trả giá là việc tính toán sẽ khá phức tạp và phải có sự trợ giúp của máy tính. Theo đó, những sai lệch giữa đáp ứng tần số mong muốn với đáp ứng tần số thực được trải đều trên cả dải thông và dải chặn, và sai lệch cực đại sẽ được cực tiểu hóa. Kết quả là xuất hiện những gợn sóng có biên độ bằng nhau trong cả dải thông và dải chặn. Như ta đã trình bày trong mục 1.2.2, với một bộ lọc FIR pha tuyến tính có chiều dài M, Hr(ωk) được xác định từ h(n) với 4 trường hợp được tổng kết lại như sau: Trường hợp 1: Đáp ứng xung h(n) đối xứng, h(n) = h (M-1-n), và M lẻ 45
M −1 Nếu ta đặt k = ⎡ ⎤ và định nghĩa một tập tham số mới {a(k)} như sau: ⎣⎢ 2 − n ⎦⎥ Trường hợp 2: Đáp ứng xung h(n) đối xứng, h(n) = h(M-1-n), và M chẵn M Đổi chỉ số từ n thành k = và định nghĩa một bộ thông số mới {b(k)} như sau: 2 - n ⎛ M ⎞ M b(k) = 2h⎜ ⎟ ; k = 1, 2, , (1.100) ⎝ 2 - k ⎠ 2 Ta có: Để thực hiện việc tối ưu hóa, ta viết lại pt(1.98) dưới dạng: với các hệ số {b’(k)} quan hệ tuyến tính với các hệ số b{(k)} như sau: Trường hợp 3: Đáp ứng xung h(n) phản đối xứng, h(n) = - h(M-1-n), và M lẻ 46
Trong trường hợp này Hr(ωk)có biểu thức là: M −1 Ta cũng thay đổi chỉ số n của tổng bằng k = ⎡ ⎤ và định nghĩa tập thông số ⎣⎢ 2 − n ⎦⎥ mới: Pt(5.101) trở thành: Như trên, để thuận tiện, ta sắp xếp pt(1.106) dưới dạng: Với các hệ số {c'(k)} quan hệ tuyến tính với các hệ số {c(k)} như sau: Trường hợp 4: Đáp ứng xung h(n) phản đối xứng, h(n) = - h(M-1-n), và M chẵn Trong trường hợp này Hr(ωk)có biểu thức là: ⎡M ⎤ Ta cũng thay đổi chỉ số n của tổng bằng k = − n và định nghĩa tập thông số. ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 47
Pt (5.106) trở thành: Như trên, ta sắp xếp pt(1.108) dưới dạng: Với các hệ số {d'(k)} quan hệ tuyến tính với các hệ số {d(k)} như sau: Biểu thức Hr(ωk)trong bốn trường hợp có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau: Hr(w) = Q(w)p(w) (1.114) Với Q(ω) và P(ω) được định nghĩa trong bảng 1.4. Bảng 1.4 Trường hợp Loại mạch lọc Q(w) P(w) M−1 2 1 h(n) = h(M-1-n), M lẻ 1 ∑a(k) cosωk k−0 M −1 ω 2 2 h(n) = h(M-1-n), M chẵn cos 2 ∑ b'(k) cosωk k−0 M-3 2 3 h(n) = - h(M-1-n), M lẻ sinw ∑c'(k) cosωk k−0 M −1 2 4 h(n) = - h(M-1-n), M chẵn sin ∑d'(k) cosωo k−0 Tổng quát, Q(ω) và P(ω) có thể được diễn tả như sau: 48
với {a(k)} là các tham số đặc trưng cho bộ lọc mà nó có quan hệ tuyến tính với đáp ứng xung h(n) và: Hàm sai số có trọng số E(ω) Ta thấy Q(ω), P(ω) là các hàm có giá trị thực, trong đó, Q(ω) là một hàm cố định đã biết và P(ω) là một hàm cần phải tìm. Gọi Hdr(ω) là đáp ứng tần số mong muốn có giá trị thực, Hdr(ω) được chọn một cách đơn giản là bằng 1 trong dải thông, bằng zêro trong dải chặn (Xem đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng hình 4.7, chương4). Vấn đề của chúng ta là phải tìm các hệ số α(k) của P(ω) giữa đáp ứng tần số Hr(ω) của bộ lọc thực tế và đáp ứng tần số Hdr(ω) của bộ lọc lý tưởng là nhỏ nhất. Để thực hiện điều này, ta định nghĩa một hàm trọng số trên sai số gần đúng (the weighting function ơn the approximation error) W(ω).Từ việc chỉ định Hdr(ω) và W(ω), sai số giữa bộ lọc số thực tế và bộ lọc số lý tưởng được đánh giá hàm sai số có trọng số E(ω) như sau: Về mặt qui ước toán học, ta có thể định nghĩa một hàm trọng số biến dạng: Và đáp ứng tần số biến dạng: 49
Pt(1.120) được sử dụng cho tất cả 4 loại bộ lọc FIR pha tuyến tính đã trình bày ở trên. Bài toán gần đúng ở đây là xác định tập hệ số sao cho nó cực tiểu hóa được giá trị tuyệt dối của sai số E(ω) trong các dải tần mà ta thực hiện thực hiện phép tính gần đúng. Ta giải quyết vấn đề này bằng công thức toán học sau: Trong đó: S bao gồm dải thông và dải chặn của mạch lọc mong muốn. Xác định hàm trọng số W(ω): Hàm trọng số W(ω) có thể được xác định bằng cách so sánh đáp ứng biên độ của bộ lọc thực tế với đáp ứng biện độ của bộ lọc lý tưởng. Ví dụ, ta xét một bộ lọc thông thấp FIR thực tế với tần số cạnh dải thông là áp, tần số cạnh dải chặn là ωs (xem lại các tiêu chuẩn kỹ thuật được trình bày trong đặt tuyến đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp hình 4.9, chương 4). Trong dải thông, đáp ứng tần số thỏa điều kiện: Trong dải chặn, đáp ứng tần số thoả điều kiện: Ở đây: δ1 là gợn sóng dải thông, δ2 là gợn sóng dải chặn. (δs-δp) là độ rộng dải quá độ. Nói chung, d1d2 nên hàm trọng số có thể được chọn khác nhau trong dải thông và dải chặn và việc chọn W(ω) phụ thuộc vào giá trị của d1 và d2. Ta đặt: δ = max|E(ω)| (1.124) thì: d = max[d1, d2] (1-125) Giả sử d1 > d2 thì ta có: d1 = d2, khi đó hàm trọng số sẽ được chuẩn hóa bằng 1 ở dải 50
chắn và bằng d1 / d2 ở dải thông, tức là: Parks và McClellan (1972) đã vận dụng phép xấp xỉ Chebyshev, cụ thể là định lý xoay chiều (Alternation theorem) để giải bài toán này. Định lý xoay chiều: Gọi S là một tập con trong khoảng tần số [0,π), điều kiện cần L và miền đủ để cho P(ω) = ∑α(K) cos ωk xấp xỉ với Hdr(ω) một cách tốt và nhất và duy k =0 nhất theo nghĩa Chebyshev trong S là hàm sai số E(ω) tồn tại ít nhất L+2 thành phần tần số cực trị trong S. Nghĩa là phải tồn tại ít nhất L+2 tần số ωi trong S sao cho: và Ta thấy rằng, hàm sai số đổi dấu giữa hai tần số cực trị kề nhau nên định lý này được gọi là định lý xoay chiều. Để làm rõ định lý xoay chiều. Ta xét trường hợp thiết kế một bộ lọc thông thấp với dải thông là 0₤w₤wp và dải chặn là ws₤w₤wp . Ta có: Vì W(ω) và Hdr(ω) có giá trị hằng (trên từng đoạn) nên: Ta cho đạo hàm bằng 0 để tìm cực trị: Từ pt(1.123) ta thấy rằng các tần số ωi tương ứng với các đỉnh của E(ω) cũng tương ứng với các đỉnh của Hr(ω), với độ sai lệch cho phép. Vì Hr(ω) là một đa thức lượng giác bậc L, giả sử thiết kế bộ lọc ứng với trường hợp 1, ta có: Ta nhận thấy Hr(ω) có thể có (1-1) cực trị trong khoảng mở 0<ω<π, thêm vào đó ω 51
= 0 và ω = π thường là điểm cực trị của Hr(ω) và cũng là của E(ω). Ngoài ra, ω = ωp và ω = ωs cũng là điểm cực trị của Hr(ω). Vậy có nhiều nhất là L+3 tần số cực trị trong hàm sai số E(ω) cho sự xấp xỉ duy nhất và tốt nhất với bộ lọc thông thấp lý tưởng. Mặt khác, định lý xoay chiều phát biểu rằng phải có ít nhất L+2 tần số cực trị trong E((o). Vì vậy, E(ω) của bộ lọc có thể có L+3 hoặc L+2 cực trị. Đinh lý xoay chiều bảo đảm một lời giải duy nhất cho việc xấp xỉ tối ưu Chebyshev. Từ các tần số cực trị mong muống chúng ta có hệ thông phương trình: Của hàm sai số E(ω), nếu ta chọn W(ω) như trong pt(1.126) thì, hệ pt(1.129) có thể được viết lại: Nếu ta xem α|(k)| và (như là các tham số đã được xác định, pt(1.131) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận: Phương pháp lặp và thuật toán chuyển đổi Remez Khởi đầu, chúng ta không biết tập các tần số cực trị |ωn| cũng không biết các tham số |αa(k)| và δ. Để tìm các tham số này, chúng ta dùng mệt thuật toán lặp, gọi là thuật toán chuyển đổi Remez. Nội dung của thuật toán này được tóm tắt như sau: trước tiên, chúng ta dự đoán một tập tần số cực trị |ωn| sau đó lần lượt tính δ, P(ω) và hàm sai số E(ω). Từ hàm sai số E(ω) chúng ta xác định tập (1+ 2) tần số cực trị mới và tiến trình này dược lặp lại cho đến khi đạt được tập tần số cực trị tối ưu. Thuật toán chuyển đổi Remez được trình bày ở dạng lưu đồ: 52
Áp dụng thuật toán Remez vào phương pháp lặp để thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính theo các bước như sau: Bước l: Chọn loại bộ lọc lý tưởng và xác định đáp ứng biên độ |Hdr(ω)|, sau đó chọn hàm trọng số W(ω) (dựa theo các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc thực tế), chọn chiều dài của bộ lọc số M, suy ra L theo pt(1.116). Bước 2: Chọn loại bộ lọc theo các trường hợp trong bảng 1.4 và xác định bài toán gần đúng Bước 3: Sử dụng thuật toán Remez để giải bài toán gần đúng này. Cụ thể như sau: - Chọn ra tập hợp L+2 điểm tần số rời rạc ban đầu, trong dải tần số [0,π]. - Tính δ: Ta có thể tính δ bằng phương trình ma trận (1.132), tuy nhiên theo cách 53
này ta phải tính ma trận nghịch đảo, việc tính ma trận nghịch đảo làm hao phí thời gian và không hiệu quả. Vì vậy, từ pt(1.132), Rabiner, Mcclellan, và Parks (1971) đã đề ra công thức tính δ có hiệu quả hơn, như sau: Trong đó: Xác định P(ω) từ δ: Vì P(ω) là một đa thức lượng giác có dạng: Ngoài ra, từ pt(1.12 8) ta có: Ta có thể dùng công thức nội suy Lagrange để tính P(ω), đó là: Xác định được hàm lỗi E(ω) bởi công thức sau: trên một tập dày đặc các điểm tần số. Thông thường, số điểm tần số để tính E(ω)là 16M, với M là chiều dài của bộ lọc: Nếu |E(ω)| > δ ở một hay nhiều tần số trên hơn thì một tập (1+2) tần số cực trị mới được chọn và tiến trình được lặp lại từ pt(1.133). Và tập tần số cực trị mới được chọn tương ứng với các đỉnh của hàm sai số |E(ω)|, nên theo thuật toán này, giá trị của δ tăng lên sau mỗi lần lặp cho tới khi nó hội tụ đến một giới hạn trên, và đạt được lời giải tối ưu cho bài toán xấp xỉ Chebyshev. Khi, |E(ω)| ≤ δ với tất cả các tần số trong tập các điểm tần số, thì lời giải tối ưu đã tìm được. 54
Bước 4: Xác định đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thực tế. Ta có thể thực hiện bằng 2 cách: Từ P(ω) (theo lời giải tối ưu), ta sẽ lấy mẫu P(ω) theo M điểm, sau đó xác định các hệ số run) và dùng IDFT để tính h(n)). Từ P(ω) (theo lời giải tối ưu), ta sẽ tính trực tiếp h(n) mà không cần tính qua bước trung gian là α(n), bởi vì ta đã có: Hr(ω) = Q(ω)P(ω) tại các tần số ω = 2πk/M, k = 0, 1, ,(M- 1)/2 cho M lẻ hay k = 0, 1, , M/2 cho M chẳn. Sau đó hơn có thể được xác định bằng cách công thức trong bảng 1.3, tùy theo loại mạch lọc được thiết kế. Thí dụ 1.12: Một bộ lọc thông thấp có chiều dài M = 61 với tần số cạnh dải thông fp = 0.1 và tần số cạnh dải chặn fs = 0.11và δ1 = δ2 = 0.0011. Giải Bộ lọc thông thấp có 2 dải, gọi là bộ lọc 2 dải, gồm: dải thông có tần số f chuẩn hóa từ 0 đến 0.1 (tần số góc ω tương ứng từ 0 đến 2π/10), dải chặn tử 0.11 đến 0.1 (tương ứng với ω từ 3π/10 đến π). Các biên tần của dải thông là (0, 0.1) và các biên tần của dải chặn là (0.11, 1). Bộ lọc thông thấp có đáp ứng biên độ trong dải thông là 1 và trong dải chẵn là 0. Hàm trọng số được chọn trong dải thông là 1 và trong dải chặn cũng là 1, vì δ1 = δ2 chiều dài của bộ lọc là 61. Ta sử dụng hàm remez trong Signal Processing Toolbox của MATLAB. Hàm này có chức năng thiết kế bộ lọc FIR độ gợn bằng nhau dựa trên thuật toán chuyển đổi Remez. Nó có nhiều cú pháp với số đối số vào và ra khác nhau. Ở đây, ta sử dụng cú pháp sau đây để thiết kế bộ lọc FIR đáp ứng xung đối xứng: [hn,Err] = remez(N,F,A,W) Các đối số vào: N = M- 1, với M là chiều dài của bộ lọc. F = Vector các biên tần được tính theo tần số chuẩn hóa, được xếp theo thứ tự tăng dần từ 0 đến 1, 1 tương ứng với tần số Nyquist hay phân nửa tần số lấy mẫu. Vậy số phần tử của F là chẵn. A = Vector giá trị đáp ứng biên độ tại các biên tần. Vậy nó có cùng kích thước với F. W = Vector các giá trị của hàm trọng số, ứng với mỗi dải tần có một giá trị trọng số. Vậy số phần tử của W bằng phân nửa số phần tử của F hoặc A. Các đối số ra: hn = Đáp ứng xung h(n) đối xứng có chiều dài M. 55
Err = Giá trị cực đại của hàm sai số có trọng số. Trong ví dụ này, các đối số vào là: N = 60, F = [0.2.3 1], A = [1 1 0 0], W = [1 1] Lưu ý: Như ta biết, tần số dao động cao nhất của tín hiệu rời rạc f = 0.1 (tương ứng với phân nữa tần số lấy mẫu). Tuy nhiên, chương trình remez trong MATLAB qui ước tần số dao động cao nhất là 1. Vì vậy dải tần phải được kẻo dãn ra 2 lần, nghĩa là, thay vì nhập vector F = [0. 1. 11. 1] ta phải nhập F = [0.2. 3 1]. Kết quả là: hn = đáp ứng xung h(n)), được trình bày trong bảng 1.1. err = 0.0011 = -16.3919dB Đặc tuyến đáp ứng biên độ được vẽ trong hình 1.26. Ta thấy kết quả đã thỏa mãn một cách chính xác các chỉ tiêu đã đề ra. Ta thử tăng chiều dài của bộ lọc lên M = 101, khi đó sai số giảm xuống đến: err = 0.00001 = -81.6402 dB đặc tuyến đáp ứng biên độ ứng với M= 1 0 1 được vẽ trong hình 1. 27. Bảng 1.1 bảng 1.5 h(0) = h(60) = - 0.0012 h(1) = h(59) = - 0.0007 h(16) = h(44) = - 0.0147 h(2) = h(58) = - 0.0001 h(17) = h(43) = - 0.0120 h(3) = h(57) = 0.0014 h(18) = h(42) = 0.00003 h(4) = h(56) = 0.0023 h(19) = h(41) = 0.0157 h(5) = h(55) = 0.0020 h(20) = h(40) = 0.0257 h(6) = h(54) = 0.0001 h(21) = h(39) = 0.0211 h(7) = h(53) = - 0.0026 h(22) = h(38) = 0.0001 h(8) = h(52) = - 0.0045 h(23) = h(37) = - 0.0289 h(9) = h(51) = - 0.0038 h(24) = h(36) = - 0.0491 h(10) = h(50) = 0.0001 h(25) = h(35) = - 0.0227 h(11) = h(49) = 0.0052 h(26) = h(34) = - 0.0001 h(12) = h(48) = 0.0085 h(27) = h(34) = - 0.0001 h(13) = h(47) = 0.0070 h(28) = h(32) = 0.1578 h(14) = h(46) = 0.0001 h(29) = h(31) = 0.2247 h(15) = h(45) = - 0.0090 h(30) = h(30) = 0.2501 56
Hình 1.26: Đáp ứng biên độ của bộ lọc FIR có độ gọn bằng nhau với hiều dài M=61 trong ví dụ 5.12. 1.2.4. SO SÁNH CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH Về mặc lịch sử, phương pháp thiết kế bộ lọc số FIR pha tuyến tính sử dụng cửa sổ là phương pháp được để xuất đầu tiên. Phương pháp lấy mẫu trong miền tần số và phương pháp xấp xỉ Chebyshev được phát triển vào những năm 1970 và trở nên rất phổ biến trong thực tế. Điểm bất lợi chính của phương pháp cửa sổ là thiếu sự ấn định chính xác các tần số giới hạn, chẩn h(n) như ωpvà ωs. Nói chung, giá trị của ωp và ωs phụ thuộc vào loại cửa sổ và chiều dài của bộ lọc M. Phương pháp lấy mẫu tần số cung cấp một sự cải tiến trên phương pháp cửa sổ khi Hr(ω) được xác định ở các tần số ωk = 2πk/M và dải quá độ là là bội số của 2π/M. Phương pháp này đặc biệt tiện lợi khi bộ lộc FIR được thực hiện trong miền tần số bởi biến đổi Fourier rời rạc (DET). Một đặc điểm quan trọng là Hr(ω)k có giá trị 1 hoặc 0 ở các dải tần, ngoại trừ dải quá độ. Phương pháp xấp xỉ Chebyshev cung cấp sự điều khiển toàn bộ những chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số. Vì vậy phương pháp này thường được ưa chuộng hơn hai phương pháp trên. Chẩn h(n) như với một bộ lọc thông thấp, các tham số được cho là ωp, ωs, δ1, δ2, chúng ta có thể xác định các tham số M, δ và tối ưu hoá các bộ lọc tương ứng với δ2, với việc trải đều sai số trên dải thông và dải chặn của bộ lọc, kết quả là ta thu được một bộ lọc tối ưu, đó là mức cực đại của múi bên được cực tiểu hoá. Phương pháp thiết kế Chebyshev trên cơ sở thuật toán chuyển đổi Remez, yêu cầu chúng ta xác định các tần số δp, δs và tỉ số δ1/δ2. Nhưng thuận lợi hơn nếu chúng ta xác định được ωp, ωs, δ1, δ2. Và Chiều dài M của bộ lọc. Mặc dù không có công thức chính xác để tính chiều dài của bộ lọc, nhưng ta có thể xác định M một cách gần đúng từ ωp, ωs, δ1, δ2 theo công thức khá 57
đơn giản của Rabiner (1971): Trong đó: ∆f là độ rộng của dải quá độ được định nghĩa như sau: Một công thức chính xác hơn được đề xuất bởi Herrman (1973) là: Trong đó Các công thức này thật sự hữu dụng để đạt được một sự ước lượng tốt chiều dài M của bộ lọc để thu được các tham số ∆f, δ1, δ2 mà ta mong mong muốn. 1.3. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ IIR Cũng như khi thiết kế bộ lọc số FIR, để thiết kế bộ lọc số IIR, ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Nói chung, có hai kỹ thuật thiết kế, một là kỹ thuật thiết kế bộ lọc số IIR từ các bộ lọc tương tự. Theo kỹ thuật lấy, trước tiên ta thiết kế một bộ lọc tương tự có đáp ứng tần số mong muốn, sau đó dùng các phương pháp gần đúng để chuyển đổi sang bộ lọc số. Việc truyền đổi này cũng có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, chẩn h(n) như: phương pháp bất biến xung (Impulse invariance), phương pháp biến đổi song tuyến (Bilinear transformation), phương pháp tương đương vi phân (Approximation of derivatives), phương pháp biến đổi z tương thích (Matched- z transformation). Hai là kỹ thuật thiết kế trực tiếp bộ lọc số. Trong kỹ thuật thiết kế trực tiếp cũng có nhiều phương pháp khác nhau. Chẳng hạn như: phương pháp xấp xỉ Padé (Padé approximation), phương pháp bình phương cực tiểu (Least-squares), phương pháp thiết kế trong miền tần số. Kỹ thuật thứ nhất ít phức tạp về mặt toán học và được sử dụng rộng rãi hơn kỹ thuật thứ hai, thêm vào đó, việc thiết kế bộ lọc tương tự đã có một quá trình phát triển lâu dài và hoàn thiện. Vì vậy, giáo trình này sẽ không trình bày kỹ thuật thiết kế trực tiếp, ta sẽ tập trung thảo luận về các phương pháp thiết kế lộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự. Mặt khác, ta cũng chỉ nghiên cứu các bộ lọc FIR thực hiện được về mặt vật lý, đó là các bộ lọc số ổn định và nhân quả. 58
1.3.1. THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR TỬ BỘ LỌC TƯƠNG TỰ Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp chuyển đổi hàm truyền đạt của một hệ thống tương tự Ha(s) sang hàm truyền đạt của hệ thống số H(z). Như vậy, trước đó chúng ta đã thiết kế được bộ lọc tương tự, thư đã nói ở trên, việc làm này đã được phát triển từ lâu và đã đạt được các kết quả tốt đẹp, chúng ta sẽ tổng kết sơ lược trong phần sau. 1.3.1.1. Nguyên tắc: Hàm truyền đạt của bộ lọc tương tự (trong miền biến phức s) có dạng: trong đó {αk} {βk} là các hệ số của bộ lọc. Hàm truyền đạt cũng có thể được biểu diễn dưới dạng biến đổi Laplace của đáp ứng xung: Một bộ lọc tượng tự có hàm truyền đạt được mô tả như (1.143) cũng có thể được biểu diễn bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: với x(t), y(t) lần lượt là tín hiệu vào và tín hiệu ra của bộ lọc. Mỗi cách biểu hiện trong ba cách biểu diễn tương đương của bộ lọc tương tự như trên sẽ đưa đến một phương pháp chuyển đổi sang miền số. Ta nhớ lại rằng một hệ thống tương tự tuyến tính bất biến theo thời gian với hàm truyền đạt H(s) gọi là ổn định nếu tất cả các cực của H(s) đều nằm ở nửa trái của mặt phẳng s. Vì vậy, một phương pháp chuyển đổi từ miền tương tự sang miền số phải thỏa các nguyên tắc sau: Trục ảo in trong mặt phẳng s sẽ ánh xạ thành vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z. Nguyên tắc này bảo đảm có mối liên hệ trực tiếp giữa hai biến tần số trong hai miền. Phần nửa trái của mặt phẳng. s sẽ ánh xạ thành phần ở phía bên trong vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z. Nguyên tắc này bảo đảm một bộ lọc tương tự ổn định sẽ được chuyển thành một bộ lọc số ổn định. 1.3.1.2. Thiết kế bộ lọc IIR bằng phương pháp tương đương vi phân 59
Một trong những phương pháp đơn giản nhất để chuyển đổi một bộ lọc tương tự sang bộ lọc số là xấp xỉ phương trình vi phân bằng một phương trình sai phân. Phương pháp này giống như cách giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp số trên máy tính. Đạo hàm dy(t)/dt tại t = nTS, với TS là chu kỳ lấy mẫu, được thay bằng sai phân lùi [y(nTS)-y(nTS-TS)]/TS. Tức là: Với y(n) ≡ y(nTs) (1.145) Hệ thống vi phân tương tự với đáp ứn dy(t)/dt có hàm truyền đạt là H(s) = s, tương đương trong miền số là một hệ thống số với đáp ứng [y(n)-y(n- 1)]/T sẽ có hàm truyền -1 đạt là: H(z) = (1 - z )Ts (hình 1.29). Kết quả, ta thu được sự tương đương trong miền tần số của quan hệ (1.145) là: Đạo hàm bậc hai d2y(t)/dt2 được thay bằng sai phân bậc hai: Trong miền tần số, pt(1. 1 43) tương đương với: Từ đây có thể rút ra mối quan hệ tương trong miền tần số khi thay thế đạo hàm bậc k bằng sai phân bậc k như sau: 60
Kết quả là hàm truyền đạt của bộ lọc số IIR có được từ phép xấp xỉ đạo hàm bằng sai phân, đó là: trong đó Ha(s) là hàm truyền đạt của bộ lọc tương tự được đặc trưng bởi phương trình vi phân (1.144). Ta hãy xem ý nghĩa của phép ánh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z theo pt(1.46), ta viết lại: Nếu thay s = jΩ vào pt(5.149) ta có: Khi thay đổi từ - ∞ → +∞co thì quĩ tích tương ứng của các điểm trong mặt phẳng z là một vòng tròn có bán kính ½ và tâm đặt tại điểm z = ½ , xem hình 1.27. Dễ dàng chứng tỏ rằng phép ánh xạ Gbiến các điểm trong nửa trái trên mặt phẳng s thành các điểm tương ứng bên trong vòng tròn có bán kính ½ và tâm (1/2,0) trong mặt phẳng z và các điểm ở nửa phải của mặt phẳng s sẽ chuyển thành các điểm tương ứng ửng ở bên ngoài vòng tròn này, trong mặt phẳng z. Hình 1.27. Phép ánh xạ s = (1-z-1)/Ts biến nửa trái của mặt phẳng s thành miền trong vòng bán kính ½ , tâm z = ½ trên mặt phẳng z Điều này có nghĩa là một bộ lọc tương tự ổn định sẽ được chuyển đổi thành một bộ lọc số ổn định. Tuy nhiên, vị trí có thể có của các cực của bộ lọc số bị giới hạn trong các dải tần số khá nhỏ. Vì vậy, phép ánh xạ cũng bị giới hạn trong phạm vi thiết kế các bộ lọc hạ thông và các bộ lọc dải thông có tần số cộng hưởng tương đối nhỏ. Vì vậy, phép ánh 61
xạ này chỉ có thể dùng để thiết kế các bộ lọc thông thấp và thông dải có tần số cộng hưởng khá nhỏ. Nó không có khả năng chuyển đổi từ bộ lọc thông cao tương tự thành bộ lọc thông cao số. Ví dụ 1.13: Thay thế đạo hàm bằng sai phân ngược để chuyến đổi một bộ lọc thông thấp tương tự có hàm truyền đạt thành Ha(s) = 1 /(s + 1) bộ lọc số. Giải An dụng biểu thức ánh xạ từ miền s sang miền z: Bộ lọc số có một cực tại z = 1/(1 +TS). Để đạt được tần số cộng hưởng thấp, ta phải chọn Ts đủ nhỏ để cho vị trí của cực nằm gần vòng tròn đơn vị. Chẳng hạn, ta có thể chọn Ts = 0.1, ta được: Do cực của H(z) nằm ở tại điểm z = 0.909, nên đáp ứng tần số có một đỉnh tại (Hình 1.28). Hình 1.28. Các đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự (a) và bộ lọc số (b) trong ví dụ 1.13 Ví dụ l.14: Chuyên bộ lọc thông dải tương tự có hàm truyền đạt là: thành bộ lọc số IIR bằng cách thay thế đạo hàm bằng sai phân ngược. 1− z−1 Giải: Thay s = vào Ha(s) ta được: T 62
Ta thấy hàm truyền đạt thỏa mãn điều kiện để đa thức mẫu số có nghiệm phức. Vì vậy, nó có dạng của một bộ cộng hưởng nếu TS được chọn đủ nhỏ (ví dụ Ts ≤ 0.l), để các cực nằm gần vòng tròn đơn vị. Chẳng hạn, nếu Ts = 0.1 thì các cực sẽ đặt tại các điểm: 1.3.1.3 Thiết kế bộ lọc IIR bằng phương pháp bất biến xung. Phương pháp này xuất phát từ cách biểu diễn một hệ thống bằng ng xung. Theo đó, một bộ số IIR có đáp ứng xung hấp thụ được bằng cách lây mẫu đáp ứng xung ha(t) của bộ lọc tương tự. Ta có: h(n) = h(nTs), n = 0, 1, 2, (1.153) trong đó T là chu kỳ lấy mẫu. Từ mục 3.1 chương 3, đã biết rằng khi một tín hiệu liên tục trong miền thời gian (tín hiệu tự xa(t) có phổ Xa(F) được lấy mẫu với tốc độ = 1/T(samples/second) thì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự tập lại tuần hoàn của Xa(F) với chu kỳ Fs. Cụ thể thì quan hệ đó là: trong đó f = F/Fs là tần số chuẩn hoá. Hiện tượng biệt d /Anh xuất hiện nếu tốc độ lấy mẫu Fs nhỏ hơn hai lần thành phần tần số lớn nhất có trong Xa(F). Thể hiện dưới góc độ lấy mẫu đáp ứng xúng của một bộ lọc tương tự có đáp ứng tần số Xa(F) thì bộ lọc số với đáp ứng xung G sẽ có đáp ứng tần số là: Có thể thấy rõ là bộ lọc số với đáp ứng tần số sẽ có các đặc tính đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự tương ứng nếu chu kỳ lấy mẫu được chọn đủ nhỏ để tránh hoàn toàn hoặc 63
cực tiểu hóa hiện tượng biệt d /Anh. Ta cũng thấy rằng phương pháp bất biến xung là không thích hợp để thiết kế các bộ lọc thông cao, bởi vì hiện tượng biệt d /Anh sẽ xuất hiện từ quá trình lấy mẫu. Để xem xét sự ánh xạ giữa mặt phẳng s và mặt phẳng z được hàm chứa trong quá trình lấy mẫu, ta dựa vào sự tổng quát hóa pt(1.113) bằng cách liên kết biến đổi z của h(n) với biến đổi Laplace của h(n). Sự liên kết được thực hiện như sau: Khi s = jΩ, pt(1.118) được rút gọn thành pt(1.113) (thừa số j trong G được bỏ đi trong ký hiệu). Tính chất tổng quát của phép ánh xạ: có thể có được bằng cách thay s = σ + jΩ và biểu diễn biến phức z dưới dạng cực z = rejω = eσTs ⋅ e jΩΩs . Rõ ràng, ta có: Kết quả là khi σ thì 0 0 thì r > 1, khi σ thì r = 1. Vì vậy, nửa trái của mặt phẳng s được ánh xạ vào trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z, và nửa phải của mặt phẳng s sẽ được ánh xạ thành các điển nằm ngoài vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z. Đây là một trong số các đặc tính mong muốn của một phép ánh xạ tốt. Trục ảo cũng được ánh xạ thành vòng tròn đơn vị như đã chỉ ra ở trên. Tuy nhiên, đây không phải là phép ánh xạ một một. Vì π, nên phép ánh xạs hàm ý rằng khoảng ánh xạ vào các giá trị tương ứng trong khoảng - πω ≤ π. Hơn nữa, khoảng tần số cũng ánh xạ vào trong khoảng - πω ≤ π và điều này nói chung vẫn xay ra đối với khoảng với k là một số nguyên. Vì vậy phép ánh xạ từ biến tần số tương tự Ω sang biến tần số ω trong miền số là phép ánh xạ nhiều vào một (many- to- ghe), điều này thế hiện ảnh hưởng của hiện tượng biệt d /Anh do quá trình lấy mẫu. Hình 1.29 minh họa phép ánh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z. 64
sTs Hình 1.29. Phép ánh xạ z = e . Sẽ ánh xạ dãy có độ rộng 2∏/Ts (σ < 0) trong mặt phẳng s thành các điểm trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z. Để tìm hiểu sâu hơn nữa tác dụng của phương pháp bất biến xung lên các đặc tính của bộ lọc số IIR, ta hãy biểu diễn hàm hệ thống của bộ lọc tương tự dưới dạng tổng các phân thức. Với giả thiết là các cực của bộ lọc tương tự là khác. nhau, ta có thể viết: trong đoạt các cực của bộ lọc tương tự vàm các hệ số trong khai triển phân thức. Kết quả là: Nếu ta lấy mẫu ham một cách tuần hoàn tại các thời điểm ta sẽ được: Và hàm hệ thống của bộ lọc số IIR sẽ có dạng: Pk Ts Ta thấy bộ lọc số có các cực tại: zk = e , k = 1, 2, , N. Với hàm hệ thống như pt(1.168, bộ lọc số IIR dễ dàng được thực hiện bằng một dải ghép song song của các bộ lọc đơn cực. Nếu một số cực là các giá trị phức, chúng có thể được ghép thành từng cặp với nhau để tạo thành các bộ lọc thành phần có hai cực. Ngoài ra, hai thừa số chứa các cực có giá trị thực cũng có thể được kết hợp lại để tạo thành các bộ lọc thành phần có hai cực. Nên bộ lọc số IIR có thể được thực hiện bằng một dải song song của các bộ lọc thành phần có hai cực. 65
N C Mặc dù sự khai triển để đưa đến biểu thức H(z) = k được dựa trên một ∑ PkTs −1 k=1 1− e .z bộ lọc tương tự có các cực khác nhau, nhưng biểu thức trên cũng có thể tổng quát hóa đối với trường hợp các cực kép. Ví dụ 1.11: Chuyển một bộ lọc tương tự có hàm truyền đạm thành bộ lọc số IIR bằng phương pháp bất biến xung. Giải: Ta thấy bộ lọc tương tự có một zero tại s = -0.1 và một cặp cực liên hợp phức tại Pk = -0.1 ± β. Ta không phải xác định đáp ứng xung hàm để thiết kế bộ lọc số bằng phương pháp bất biến xung, mà thay vào đó ta sẽ xác định trực tiếp H(z) bởi pt(1.16 8) từ khai triển phân thức củs. Ta có: Do hai cực là liên hợp phức, nên ta có thể kết hợp chúng lại với nhau để tạo thành một bộ lọc có hai cực đơn giản có hàm truyền đạt là: Đáp ứng biên độ của bộ lọc này được vẽ trong hình 1.30.a với hai trường hợp Ts = 0.1 và Ts 0.5. Hình 1.30. (a) Đáp ứng biên độ của bộ lọc số (b) Đáp ứng biên độ của bộ lọc số Để có sự so sánh, ta vẽ thêm đáp ứng biên độ của bộ lọc tương tự trong hình 1.30.b. Từ đồ thị này, ta thấy sự ảnh hưởng hiện tượng biệt d /Anh (đáp ứng tần số bị biến đổi) khi = 0.1 âaїng kãø hản khi = 0.,và khi Ts thay đổi thì tần số cộng hưởng cũng thay đổi theo. Ví dụ trên cũng cho thấy tầm quan trọng trong n một giá trị Ts đủ nhỏ để giảm từ uống của hiện tượng biệt d /Anh. Do ảnh hưởng của hiện tượng d /Anh nên phương pháp bất biến chỉ thích hợp trong việc thiết kế các ứng thấp và thông dải. 1.3.1.4. Thiết kế bộ lọc số IIR bằng phép biến đổi song tuyến. Hai phương pháp thiết kế bộ lọc số IIR đã được giới thiệu có một hạn chế là chúng 66
chỉ thích hợp để thiết kế các bộ lọc hạ thông và một lớp hữu hạn các bộ lọc dải thông. Sự h(n) chế này là kết quả của việc ánh xạ để chuyển các điểm trong mặt phẳng s thành các điểm tương ứng trong mặt phẳng z. Phương pháp biến đổi song tuyến khắc phục được những hạn chế của hai phương pháp trên. Phép biến đổi song tuyến liên quan với việc tính tích phân bằng phương pháp số theo qui tắc hình thang. Ví dụ, ta xét một bộ lọc tương tự tuyến tính có hàm truyền đạt là: Hệ thống này cũng có thể đặc trưng bằng phương trình vi phân: Thay vì thay thế đạo hàm bằng một sai phân hữu hạn, ta hãy thử lấy tích phân của đạo hàm và tính xấp xỉ tích phân theo qui tắc hình thang. Ta có: trong đơn là đạo hàm của y(t). Tích phân trên được tính xấp xỉ theo qui tắc hình thang tại t0 và ta được: Tính phương trình vi phân (1.17 1) tại G ta được: Thay pt(1.174) vào pt(1.173) ta được một phương trình sai phân cho hệ thống rời rạc tương ứng: Biến đổi Z của phương trình vi phân này là: Kết quả, hàm truyền đạt của bộ lọc số tương đương là: 67
Như vậy, phép ánh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z là: Phép ánh xạ này được gọi là phép biến đổi song tuyến. Mặc dù ta rút ra phép biến đôi song tuyến từ phương trình vi phân bậc nhất, nhưng điều nảy cũng đúng đối với phương trình vi phân bậc N. Để tìm hiểu những tính chất của phép biến đổi song tuyến, ta đặt: Pt(1.173) có thể được viết lại như sau: Ta thấy rằng nếu r 1 thì σ > 0 nên nửa trái của mặt phẳng s ánh xạ vào bên trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng z, và nửa phải của mặt phẳng s ánh xạ thành các phần nằm ở phía ngoài vòng tròn đơn vị. Khi r = 1 thì σ = 0 và Quan hệ (1.183) giữa các biến tần số trong hai miền tương tự và số được minh họa ở hình 1.31. 68
Hình 1.31. Sự ánh xạ giữa miền tần số ω và miền tần số Ω trong phép biến đổi song tuyến. Ta thấy toàn bộ miền Ω được ánh xạ chỉ một lần vào ω < π, nên sẽ tránh được hiện tượng biệt d /Anh của các thành phần tần số. Tuy nhiên phép ánh xạ này có tính phi tuyến tính. Ta khảo sát sự nén tần số là do tính chất phi tuyến của hàm. Ngoài ra, phép biến đổi song tuyến sẽ ánh xạ điểm thành điểm z = - 1. Vì vậy, bộ lọc thông thấp đơn cực H(s) =b/(s+a) có một zero tại điểm s = ∞, sẽ đưa đến một bộ lọc số có một zero tại z = - 1. Ví dụ 1.16: Chuyển một bộ lọc tương tự có hàm truyền đạt là s +1 Ha(s) = thành bộ lọc số IIR có tần số cộng hưởng bằng phép biến đổi (s + 0.1)2 +16 song tuyến. Giải. Ta thấy bộ lọc tương tự có tần số cộng hưởng Ω = 4, tần số này được ánh xạ thành tần số bằng cách chọn giá trị của thông số Ts. Từ pt(1.182) ta phải chọn = ½ để có. ⎛1− z −1 ⎞ Vì thế biểu thức ánh xạ là: s = 4⎜ ⎟ và bộ lọc số có hàm truyền đạt: ⎜ −1 ⎟ ⎝1+ z ⎠ Ta thấy hệ số của số hạn gở mẫu của H(z) là rất nhỏ và có thể tính gần đúng bằng 0, ta được: ±jn/2 Bộ lọc này có các cực P1,2 = 0,987.e và các zero z1 = -1; z2 = 0.91. Trong ví dụ này, tần số Ts được chọn để ánh xạ tần số cộng hưởng của bộ lọc tương tự thành tần số mong muốn của bộ lọc số. Việc thiết kế bộ lọc số thường bắt đầu bằng các chỉ tiêu kỹ thuật trong miền tần số. Trong số các chỉ tiêu này có biến tần số ω. Những chỉ 69
tiêu này được chuyển sang miền tương tự nhờ pt(1.82). Sau đó, bộ lọc tương tự được thiết kế đã đáp ứng đúng các chỉ tiêu này. Sau cùng, bộ lọc tương tự được chuyển đổi sang bộ lọc số bằng biến đổi song tuyến (1.171). Trong tiến trình này, thông số G là "trong suốt" và có thể được gán cho bất cứ giá trị nào (chẳng hạn Ts =1). Ví dụ sau sẽ minh họa điều này. Ví dụ 1.17: Hãy thiết kế một bộ lọc số IIR thông thấp đơn cực có dải thông 3 do tại Ω tần số tại bộ lọc tương tự có hàm truyền là : H(s) = C , lai dải thông 3 dB của bộ lọc 1+ ΩC tương tự, bằng cách sử dụng phép biến đổi song tuyến. Giải. Bộ lọc số có độ lợi -3 dB tại. Trong miền tần số của bộ lọc tương tự, tương ứng với: 0.65 T Vì vậy, hàm truyền đạt của bộ lọc tương tự là : H(s) = s 0.65 s + T 0.245(1+ z-1) Áp dụng phép biến đổi song tuyến, ta có : H(z) = trong đó Ts đã được 1- 0.509z-1 đơn giản. 0.245(1+ e-jω ) Đáp ứng tần số của bộ lọc số là : H(ω) = . 1- 0.509e-jω Tại ω = 0, H(0) = 1 và tại ω = 0.2π ω, đó là đáp ứng mong muốn. 1.3.1.1. Thiết kế bộ lọc số IIR bằng biến đổi z-tương thích Một phương pháp khác để chuyên đổi một bộ lọc tương tự thành một bộ lọc số tương đương là ánh xạ trực tiếp các cực và zero của H(s) thành các cực và zero trong mặt phẳng z. Giả sử hàm truyền đạt của bộ lọc tương. tự được biểu diễn dưới dạng thừa số như sau : trong đó zk và pk là các cực và các zero của bộ lọc. Như vậy hàm truyền đạt của bộ lọc số là : 70
với T là chu kỳ lấy mẫu. Ta thấy các thừa số (s-a) trong H(s) được ánh xạ thành thừa số (1 - eaTs z -1). Phép ánh xạ này được gọi là phép biến đổi z tương thích. Ta thấy các cực thu được từ phép biến đổi này thì giống như các cực có được từ phương pháp bất biến xưng. Tuy nhiên, hai phương pháp này cho các zero khác nhau. Để giữ lại đặc tính đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự thì chu kỳ lấy mẫu trong phép biến đổi z - tương thích phải được chọn thích hợp để vị trí các cực và zero nằm ở vị trí tương đương trong mặt phẳng z. Vì thế có thể loại bỏ hiện tượng biệt gian bằng cách chọn chu kỳ lấy mẫu T đủ nhỏ. 1.4. ĐẶC TÍNH CỦA CÁC BỘ LỌC TƯƠNG TỰ THÔNG DỤNG Như đã giới thiệu, vấn đề thiết kế bộ lọc tương tự đã phát triển từ lâu, vì vậy có nhiều sách viết về chủ đề này. Với mục đích cung cấp tài liệu tham khảo cho việc thiết kế bộ lọc số IIR, trong phần này ta sẽ trình bày tóm tắt các đặc tính quan trọng của vài loại bộ lọc thông dụng và các tham số tương ứng. Mặt khác, ta cũng chi thảo luận giới hạn ở bộ lọc thông thấp, bởi vì có các phương pháp chuyển bộ lọc thông thấp thành lọc thông dải, thông cao hoặc triệt dải. 1.3.2.1. Bộ lọc Butterworth Bộ lọc Butterworth là bộ lọc toàn cực được đặc trưng bởi đáp ứng biên độ bình phương: trong đó N là bậc của bộ lọc và G là tần số cất. vì H(s).H(-s) được tính tạo bằng với nên ta có thể viết: Khoảng cách giữa các cực của H(s).H(-s) xuất hiện trên vòng tròn đơn vị là bằng nhau. Từ (12) ta thấy rằng : 71
Hình 1.32. Các vị trí của các cực của bộ lọc Butterworth N=4. Hình 1.32 minh họa vị trí của các cực của bộ lọc Butterworth với N=4. Đặc tuyến đáp ứng tần số của bộ lọc này với vài giá trị khác nhau của N (N = 1, N=2, N=4, N=1) được vẽ trong hình 1.32. Ta thấy đơn điệu ở dải thông và cả dải chặn. Bậc cần thiết của bộ lọc để đáp ứng yêu cầu về độ suy giảm δ2 tại một tần số cụ thể Ω3 có thể xác định một cách dễ dàng từ pt(1.186). Tại Ω = Ω3, ta có: Như vậy, bộ lọc Butterworth hoàn toàn được đặc trưng bởi các thông số N, δ2 và. Hình 1.33: Đặc tuyến đáp ứng của bộ lọc Butterworth Ví dụ 1.18: Xác định bậc và các cực của bộ lọc thông thấp Butterworth có tần số cộng hưởng 100 Hz và độ suy giảm 40 dB tại tần số 1000 Hz. Giải: Ta có: ΩC = 1000π, Ωs = 2000π Với độ suy giảm 40 dB, ta có : δ2 = 0.01. Chọn N=7, và các cực là : 72
1.3.2.2. Bộ lọc Chebyshev Có hai loại bộ lọc Chebyshev. Loại 1 là các bộ lọc toàn cực có tính chất gợn sóng đều ở dải thông và tính đơn điệu ở dải chặn. Loại 2 là các bộ lọc chứa cả cực và zero, có tính đơn điệu ở dải thông và tính gợn sóng đều ở dải chặn. Các zero của bộ lọc Chebyshev loại 2 nằm trên trục ảo trong mặt phẳng s. Đặc tuyến đáp ứng biên độ bình phương của bộ lọc Chebyshev loại 1 được cho bởi biểu thức sau : trong đó δ là thông số của bộ lọc, nó có quan hệ với độ gợn sóng trong dải thông, và TN (xưa đa thức Chebyshev bậc N được đinh nghĩa như sau : Đa thức Chebyshev có thể được thành lập bằng phương trình đệ qui như sau : trong đó T0(x) = 0 vài T1(x) = 1 Các tính chất của đa thức Chebyshev : 2. TN (1) = 1, với mọi N. 3. Tất cả các nghiệm của đa thức đều nằm trong khoảng. Hình 1.34 minh họa sự ảnh hưởng của thông số lên độ gợn sóng dải thông tương ứng với hai trường hợp N chẳn và N lẻ. Hình 1.34: Đặc tuyến tần số của bộ lọc Chebyshev loại 1, ε = 0.8 73
2 2 1 Khi N lẻ, TN (0) = 0 ⇒ |H(0)| = 1 , khi N Chẵn TN (0) = 1, ⇒ |H(0)| = . Ở tần 1+ e2 số cạnh băng tần Ω = ΩC, ta có : Trong đó, δ1 là giá trị của độ gợn dải thông. Bộ lọc Chebyshev loại 2 có cả zero lẫn cực. Đáp ứng biên độ bình phương là : trong đó là đa thức Chebyshev bậc N và G là tần số cạnh dải chặn như được minh họa ở hình sau : Hình 1.35. Đặc tuyến tần số của bộ lọc hebyshev loại 1 Ta thấy các bộ lọc Chebyshev được đặc trưng bởi các thông số Nε N và tỉ số Ω, với một tập đặc tính kỹ thuật ε và Ω ta có thế xác định được bậc của bộ lọc từ biểu thức: Nói chung, với cùng các chỉ tiêu kỹ thuật, bộ lọc Chebyshev cỏ ít cực hơn (bậc thấp hơn) bộ lọc Butterworth. Nếu ta so sánh bộ lọc Butterworth với bộ lọc Chebyshev có cùng số cực, cùng dải thông và dải chặn thì bộ lọc Chebyshev có dải quá độ hẹp hơn. 1.3.3. CHUYỂN ĐỔI TẨN SỐ 1.3.3.1. Chuyển đổi tần số trong miền tương tự Giả sử ta có một bộ lọc hạ thông với tần số cắt óc và ta muốn chuyển bộ lọc này thành một bộ lọc hạ thông khác có tần số cắt ác. Sự chuyển đổi này được thực hiện bằng 74
phép biến đổi sau : Ω ⋅ Ω s → C C (Thông thấp thành thông thấp) (1.196) S Hàm hệ thống của bộ lọc hạ thông này là : H1(s) = HP(ΩC.ΩC/s), với Hp(s) là bộ lọc ban đầu có tần số cắt là WC. Phép biến đổi để chuyển một bộ lọc thông thấp tương tự có tần số cắt ác thành một bộ lọc thông dải có tần số cắt dưới và tần số cắt trên có thể được thực hiện bằng cách sau: Trước tiên ta chuyển một bộ lọc thông thấp thành một bộ lọc thông thấp khác có tần số cắt Ωc = l và sau đó thực hiện phép biến đổi: s2 + Ω Ω s → l u (Thông thấp thành thông dải) (1.197) s(Ωu − Ωl ) ⎛ s2 + Ω Ω ⎞ ⎜ l u ⎟ Khi đó hàm hệ thống của bộ lọc dải thông là : Hb(s) = Hp ⎜ΩC ⋅ ⎟ . Để ⎝ s(Ωu − Ωl ) ⎠ chuyển từ một bộ lọc thông thấp tương tự có tần số cắt Ωc thành bộ lọc dải chặn, ta thực hiện phép biến đổi : s(Ωu - Ωl ) s → ΩC . 2 (thông thấp thành dải chặn). (1.198) s + Ωu ⋅ Ωl ) ⎛ s(Ω - Ω ⎞ Hàm hệ thống của bộ lọc dải chặn : H (s) = ⎜Ω ⋅ u l) ⎟. bs ⎜ C 2 ⎟ ⎝ s + Ωl ⋅ Ωu ) ⎠ Ví dụ 1.19. Chuyển bộ lọc thông thấp đơn cực Butterworth có hàm hệ thống H(s) : - thành một bộ lọc dải thông có tần số cắt trên nữ và tần số cắt dưới (l. Giải: Bộ lọc thông dải có một zero tại s = 0, và hai cực tại : 1.3.3.2. Chuyển đổi Giống như trong miền tương tự, phép chuyển đổi tần số có thể được thực hiện trên một bộ lọc thông thấp số và chuyển nó thành một bộ lọc thông dải, dải chặn hay thông cao. Sự chuyển đổi này liên quan đến việc thay biến bằng một hàm hữu tỉ z-1 thỏa hai tính chất sau : (1) Phép ánh xạ z-1 -> z-1 phải ánh xạ các điểm bên trong vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z vào chính nó. 75
(2) Vòng tròn đơn vị cũng phải được ánh xạ vào chính nó. Từ điều kiện (2) ta thấy khi r =1 thì e-jω = g(e-jω) ≡ g(ω) = |g(ω)ejarg|g(ω)| |, rõ ràng ta phải có | g(ω) | = 1. Tức là phép ánh xạ phải là ánh xạ thông tất (all_pass). Nghĩa là: trong đó αk < 1 đảm bảo rằng một bộ lọc ổn định sẽ được chuyển thành một bộ lọc khác cũng ổn định (tức thỏa điều kiện 1). Sau đây là các phép biến đổi để chuyển một bộ lọc hạ thông số có tần số cắt ωc thành các bộ lọc khác (hạ thông, thượng thông, dải thông và dải chặn). Thông thấp → thông thấp : Thông thấp → thông cao : Thông thấp → thông dải : và ω1, ωu tương ứng là tần số cắt thấp và tần số cắt cao. Thông thấp → Chặn dải : Ví dụ 1.20 : Chuyển bộ lọc hạ thông đơn cực Butterworth có hàm hệ thống: 0.245(1 + z-1) H(z) = . thành một bộ lọc thông dải có tần số cắt dưới và tần số cắt 1- 0.509z-1 76
trên tương ứng là bộ lọc thông thấp có dải tần 3-dB với tần số cắt là. Giải : Áp dụng công thức biến đổi từ bộ lọc thông thấp sang bộ lọc thông dài: Bộ lọc dải thông có các zero tại và một cặp cực tùy thuộc vào việc chọn. Giả sử 2π 3π ω1 = , ωu = , ωC = 0.2π ⇒ k = 1, α1 = α2 = 0. Ta được : 5 5 0.245(1 - z-2 ) π H(z) = có các cực z = ± j0.71 và cộng hưởng ở tần số ω = . 1+ 0.592-2 2 77
CHƯƠNG II MÃ HOÁ BĂNG CON VÀ LÝ THUYẾT WAVELET 2.1. MÃ HOÁ BĂNG CON (SUBBAND CODING) 2.1.1. Cấu trúc. Trong các phần trên chúng ta đã nghiên cứu các banh lọc số nhiều nhịp. Một ứng dụng rất quan trọng của banh lọc số nhiều nhịp là dùng mã hóa băng con và giải mã băng con. Đơn giản nhất là dùng banh lọc số 2 kênh để mã hoá làm 2 băng con được minh hoạ trên hình 2.1 sau đây: Hình 2.1 Mã hoá băng con rất thuận lợi cho việc nén tín hiệu tiếng nói bởi vì với tín hiệu tiếng nói thông thường năng lượng của phổ tín hiệu phân bố không đều. Năng lượng của phổ tiếng nói chủ yếu tập trung ở miền tần số thấp, còn ở miền tần số cao năng lượng phổ tiếng nói rất nhỏ. Vậy sau khi qua bánh lọc số QMF trên hình 2.1 ta có hai tín hiệu băng jω con: X0(e ) là phổ tần số thấp sẽ có năng lượng lớn do đó ta mã hoá tín hiệu băng con jω x0(n) với số ít, còn X1(e ) là phổ tần số cao có năng lượng nhỏ do đó ta mã hoá tín hiệu băng con x1(n) với bịt ít hơn. Vậy tính tổng cộng số bịt để mã hoá tín hiệu xâu có phổ là X(ejω) sẽ nhỏ hơn so với khi ta mã hoá cho toàn bộ dải phổ của X(ejω) . Nói chung các tín hiệu trọng thực tế có phân bố phổ năng lượng là không đều nhau vì vậy mã hoá băng con rất thuận lợi cho việc nén tín hiệu. 2.1.2. Cấu trúc dạng cây đơn phân giải (Uniform Reslution) Vì năng lượng phổ tín hiệu thường phân bố rất không đông đều trên toàn bộ dải tần số, do đó để mã hoá băng con hiệu quả cao chúng ta sẽ mã hoà làm nhiều tâng. Tầng thứ π nhất chia làm hai băng con đều nhau (mỗi băng rộng là ), đến tầng thứ hai lại lại phân 2 hai băng con của tầng thứ nhất thành các băng con có bề rộng bằng nửa tầng thứ nhất 78
π (mỗi băng có bề rộng là ) cứ tiếp tục như vậy chúng ta sẽ dải phổ của tín hiệu thành rất 4 nhiều dải và sau khi ra khỏi banh lọc phân tích bề rộng phổ của mỗi tín hiệu băng con là bằng nhau do đó ta gọi là đơn phân giải. Hình 2.2 cho ta thấy cấu trúc dạng cây đơn phân giải của banh lọc phân tích 4 kênh (hình a) và đồ thị tần số để giải thích đáp ứng tần số của bộ lọc có trong banh lọc số 4 kênh (hình b). Hình 2.2 Hình 2.3 cho ta cấu trúc dang cây đơn phân giải của banh lọc số tổng hợp 4 kênh: 79
Hình 2.3 Từ hình 2.2 (a) và hình 2.3 ta có cấu trúc tương đương cau banh lọc số 4 kênh phân tích và tổng hợp như trên hình 2.4. Hình 2.4 2.1.3. Cấu trúc dạng cây đa phân giải (Multiresolution) Cấu trúc dạng cây đa phân dải được dùng trong trường hợp chúng ta phân hiệu thành các tín hiệu băng con có bề rộng phổ không bằng nhau, vì vậy ta gọi là đa phân giải. Hình 2.5 sẽ cho chúng ta cấu trúc dạng cây đa phân giải của banh lọc số phân tích 2 tâng (hình a) và đồ thị tần số giải thích đáp ứng tần số của các bộ lọc số có trong banh lọc số phân tích tích 2 tầng này. 80
Hình 2.5 Cấu trúc dạng cây đa phân giải của banh lọc số tổng hợp 2 tầng được minh hoạ trên hình 2.6 Hình 2.6 Kết hợp hình 2.5(a) với hình 2.6 ta sẽ suy ra cấu trúc tương đương của banh lọc số 2 tầng phân tích và tổng hợp được minh hoạ trên hình 2.7 81
Hình 2.7. Cấu trúc tương đương của bank lọc số 2 tầng phân tích và tổng hợp 2.2. WAVELET VÀ MỤC ĐÍCH CỦA PHÂN TÍCH WAVELET Biến đổi wavelet thực chất là một sự biểu diễn tín hiệu thành các băng tần Octave, nó dựa trên cơ sở của các banh lọc số và mã hoá băng con. Để hiểu rõ hơn về wavelet, chúng ta sẽ xét qua một số biến đổi truyền thống biểu diễn tín hiệu trong miền tần số và miền thời gian - tần số. 2.2.1. Biến đổi Fourier. Ta biết biến đổi Fourier truyền thống phân tích tín hiệu thành những đường sin liên tục ở các tần số khác nhau. Về mặt toán học, biến đổi này chuyển việc bảo dưỡng tín hiệu ở miền thời gian sang miền tần số. Đối với nhiều tín hiệu, phân tích Fourier rất có lợi do nội dung tần số của tín hiệu đóng vai trò rất quan trọng. Nhưng phân tích Fourier cũng có một hạn chế rất lớn là khi chuyển sang miền tần số thì thông tin thời gian bị mất đi. Nhìn vào biến đổi Fourier của một tín hiệu ta không thể xác định thời điểm xảy ra một sự kiện nào đó. Nếu tính chất của tín hiệu không thay đổi theo thời gian hay tín hiệu là ánh thì hạn chế này không quan trọng. Tuy nhiên, hầu hết các tín hiệu đều có những đặc tính động hay nhất thời, chớp nhoáng như là sự dịch chuyển, tạo các xu hướng khác nhau, những thay đổi đột ngột từ các thời điểm bắt đầu đến kết thúc của các sự kiện. Những đặc tính này thường là phần quan trọng nhất của tín hiệu và phân tích Fourier rõ ràng là không thích hợp để phát hiện chúng. 2.2.2. Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) Để khắc phục nhược điểm trên, Dennis Gobor (1946) đã sử dụng biến đổi Fourier để phân tích một vùng nhỏ của tín hiệu tại một thời điểm và gọi là kỹ thuật lấy cửa số tín hiệu. Đây chính là biến đổi Fourer thời gian ngắn, thực hiện ánh xạ một tín hiệu thành một hàm hai chiều thời gian - tần số 82
Cöa sæ ố độ ng s ổ T Biên Thời gian Thời gian Hình 2.8. Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT sử dụng các hàm cơ sở là những hàm mũ phức đã lấy cửa sổ và các hàm dịch của chúng để tạo nên biến đổi. Để có được biến đổi Fourier cục bộ, ta thực hiện như sau trước tiên, tín hiệu được nhân với một hàm cửa sổ ω(t - τ) và sau đố thực hiện biến đổi Fourier. Kết quả tạo ra một biến đổi hai chiều STFT ( ω, τ). Các tính chất của STFT - Biến đổi này đo lường sự giống nhau giữa tín hiệu với hàm cửa sổ ban đầu đã được dịch đi và điều chế, vậy biểu thức (2.1) có thể được viết lại. jωt Trong đó: glt = ω(t-τ).e - Ảnh phổ là sự phân bổ năng lượng và liên quan đến STFT. Do STFT có thể được xem như là một bánh lọc với các đáp ứng xung gω,τ(-t) = ω(-t – τ)ejωt, nên ảnh phổ là bình phương biên độ của các đầu ra bộ lọc - Hàm f(t) có thể khôi phục lại được theo công thức sau: 83
- STFT cũng có tính chất bảo toàn năng lượng Để có dược sự phân giải thời gian - tần số tốt, ta sử dụng cửa sổ Gausian và khi đó STFT được gọi là biến đổi Gabor. STFT được sử dụng để tạo ra giản đồ phổ trong phân tích thoại và cửa sổ hay được dùng là cửa sổ Hamming vì nó yêu cầu tính toán ít hơn so với cửa sổ Gausian. 2.2.3. Biến đổi khối (Block Transform) Trong một vài ứng dụng và mã hoá biến đổi, tín hiệu được phân tích thành các khối gần kề không chồng sát lên nhau. Sau đó áp dụng mã hoá biến đổi trên mỗi khối độc lập. Để thực hiện biến đổi ta đùng một hàm cửa sổ nhân với tín hiệu là một hàm chỉ thị trong khoảng [nT, (n + 1)T], chu kỳ hoá mỗi tín hiệu đã lấy cửa sổ với chu kỳ T và áp dụng khai triển như chuỗi Fourier trên mỗi tín hiệu đã lấy chu kỳ. Việc xử lý các khối một cách độc lập gây nên kết quả không mong muốn gọi là hiệu ứng blocking. Hiệu ứng blocking xuất hiện do các mẫu cuối cùng của một khối hầu như không phù hợp với các mẫu đầu tiên của khối tiếp theo. Điều này có thể hiểu là do việc phân đoạn tuỳ ý tại các điểm ni và dẫn đến vấn đề đường biên giả tạo. Tuy nhiên cũng có những biến đổi được sử dụng dựa trên tính toán đơn giản hoá này. Ví dụ, biến đổi Karhunen - Loeve và phép tính xấp xỉ của nó là một trong các biến đổi khối được sử dụng phổ biến cho các tín hiệu rời rạc theo thời gian. Để hạn chế hiệu ứng blocking, các nhà nghiên cứu đã đưa ra phép biến đổi trực giao xếp chồng LOT. Các hàm cơ sở được sử dụng trong biến đổi LOT dài hơn chiều dài biến đổi và có sự chuyển tiếp xung quanh giá trị không ở cuối mỗi khối trơn hơn. Như vậy, những hàm cơ sở của một khối sẽ xếp chồng với các hàm cơ sở qua các khối gần kề. Ban đầu các hàm cơ sở được chọn có chiều dài gấp đôi chiều dài các khối, khi đó biến đổi LOT của một khối tín hiệu x được tính bằng: X = PTX Trong đó x là khối mở rộng có 2N mẫu, P là ma trận LOT (2N x N) Để thoả mãn yêu cầu khôi phục hoàn hảo (PR) của hệ thống, ma trận P phải thoả mãn các quan hệ. PT.P = I và PT.W. P = 0 Trong đó I là ma trận đơn vị, W là toán tử dịch có dạng: 2.2.4. Phân bố Wigner - Ville Thay thế các khai triển tuyến tính tín hiệu là khai triển song tuyến tính và phân bố Wigner - Ville là một đặc trưng cho kiểu khai triển đó. Việc biểu diễn song tuyến tính thay thời gian - tần số bậc hai xuất phát từ ý tưởng về phổ công suất tức thời, ví dụ là ảnh 84
phổ. Ngoài ra phân bố thời gian - tần số TFDf(ω, τ) của một tín hiệu f(t) có thể biến đổi Fourier F(ω) phải thoả mãn các tính chất đường biên. Tích phân theo τ với co cho trước phải bằng |F(ω)|2 và tích phân theo ω với τ cho trước phải bằng |F(τ)|2 Phải thoả mãn tính bất biến dịch chuyển thời gian - tần số, nghĩa là nếu g(t) = f(t - jωτ τ0). e thì TFDg(ω, τ) = TFDf(ω - ω0, τ - τ0). Phân bố Wigner - Ville phải thoả mãn những điều kiện trên và một số điều kiện khác. Phân bố Wigner - Ville cho một tín hiệu f(t) được định nghĩa. Đặc tính nổi bật của phân bố Wigner - Ville là khả năng nâng cao độ phân giải thời gian - tẩn số. Với các tín hiệu đơn thì phân bố này cho ra dãy năng lượng tập trung và rất rõ ràng trong mặt phẳng thời gian - tần số. Tuy nhiên ưu điểm này dẫn đến nhiễu giao thoa đối với các tín hiệu nhiều thành phần. Mặc dù có thể loại bỏ các nhiễu này nhưng nó sẽ lại dẫn đến làm giảm sự phân giải. 2.2.5. Biến đổi Wavelet. Phân tích Wavelet ưu việt hơn STFT ở chỗ nó cung cấp một kỹ thuật lấy cửa sổ với kích thước cửa sổ có thể thay đổi được. Phân tích wavelet cho phép sử dụng khoảng thời gian dài trên một đoạn tín hiệu mà chúng ta mong muốn có thông tin tần số thấp chính xác hơn. Và ngược lại sử dụng khoảng thời gian ngắn hơn ở nơi mà chúng ta muốn có thông tin tần số cao rõ ràng hơn. Nói cách khác, phân tích wavelet cung cấp khả năng định vị tần số và định vị thời Có một điểm chú ý ở đây là phân tích Wavelet không ánh xạ tín hiệu sang miền thời gian - tần số mà thay vào đó là miền thời gian - tỷ lệ (time- scale). 2.3. KHÁI NIỆM VỀ WAVELET Wavelet là những hàm cơ sở ψmn(t) liên tục theo thời gian. Cơ sở là tập các hàm độc lập tuyến tính dùng tạo ra hàm f(t) nào đó: 85
f(t): tổ hợp các hàm cơ sở = ∑bmnψ mn (t) m,n (2.3) Tính chất đặc biệt của cơ sở wavelet là tất cả các hàm ψmn(t) này được xây dựng từ một wavelet mẹ ψ(t). Wavelet này là một sóng nhỏ được định vị, thay vì dao động mãi mãi, nó suy giảm nhanh xuống không. Thông thường nó bắt đầu thời điểm t = 0 và kết thúc tại t = N. Wavelet dịch ψ0n(t) bắt đầu tại t = n và kết thúc tại t: n + N, đồ thị của chúng được m dịch sang phải n lần. Wavelet tỷ lệ ψ0n(t) bắt đầu tại t = 0 và kết thúc tại t = N.2 , đồ thị của chúng được nén lại 2m lần. Mức phân tích với hệ số a < 1 tương ứng với tần số cao tần số sóng mẹ Hình 2.10 m Một wavelet thuần ψmn(t) được nén ại 2 lần và dịch n lần m ψmn(t) = ψ(2 t – n) Một thuộc tính nổi bật của wavelet là tính trực giao (orthogonality). Các wavelet trực giao khi tính vô hướng của chúng bằng không. 86
n ∫ ψmn(t)ψMN(t)dt = tích vô hướng của ψmn và ψMN(t) = 0 −m Nhờ đó, có thể tính được hệ số bình một cách đơn giản hơn: nhân f(t) trong biểu thức (4.3) với ψMN(t) và lấy tích phân ta được: (2.4) Nhờ tính trực giao, biểu thức (4.4) loại bỏ tất chuyển các tích phân với ψMN trừ 2 trường hợp m = M và n = N, tương ứng sẽ tạo ra thành phần (ψMN(t)) . Khi đó bMN là tỷ số của hai tích phân trong biểu thức (2.4). 2.4. XÂY DỰNG WAVELET BẰNG PHÂN TÍCH ĐA PHÂN GIẢI Hầu hết các kỹ thuật phân tích ngày nay đều mong muốn tìm ra phương pháp để phân tích các hàm tuỳ ý thành tổng của những hàm riêng có đầy đủ các ưu điểm của phân tích Fourier và phân tích Haar. Mỗi phân tích này đều có những hạn chế. - Các hàm cơ sở của phân tích Fourier có tính định vị tần số, nhưng không định vị chính xác theo thời gian. - Ngược lại các hàm cơ sở của phân tích Haar thì định vị hoàn hảo theo không gian nhưng không định vị theo tần số. Biến đổi wavelet ưu việt ở chỗ nó tạo ra một lớp trực giao mở rộng của các hàm trong L2(R) với các tính chất đều, xấp xỉ và định vị tốt theo thời gian và tần số. Trong khi đó, STFT không đáp ứng được một hệ thống trực chuẩn hoàn hảo của các hàm định vị trong R. Chúng ta sẽ làm rõ đặc điểm này ở phần dưới đây. 2.4.1. Phân tích đa phân giải (MRA) Kỹ thuật phân tích đa phân giải cũng giống như hoạt động phân tích băng con và mã hoá. Để mã hoá một cách hiệu quả tín hiệu được phân chia thành tập hợp các băng con. Khi đó số lượng bit/pixel để mã hoá các thành phần tần số thấp sẽ nhiều hơn đối với các thành phần tần số cao, điều này sẽ dẫn đến số lượng bịt tổng cộng dùng để mã hoá tín hiệu sẽ giảm xuống. Tín hiệu cho trước sẽ được biểu diễn dưới dạng một xấp xỉ trung bình (phần thô) cộng với các chi tiết (phần mịn) hay còn gọi là sai số dự đoán bằng hiệu số giữa tín hiệu gốc với phần dự đoán dựa trên phần thô. Các không gian xấp xỉ và không gian chi tiết trực giao. Khi áp dụng các phép xấp xỉ liên tiếp đệ qui, ta sẽ thấy không gian của các tín hiệu vào L2(R) có thể được bao bởi các không gian chi tiết liên tiếp ở tất cả các mức phân giải. Lý do là khi cấp phân giải chi tiết tăng tới vô cùng, sai số xấp xỉ (phần thô) sẽ tiến tới giá trị không. 87
Trong hình 2.11, dãy tín hiệu vào sao với n = 0, 1, 2, ,N- 1 được giới hạn băng từ 0 đến 1. Hệ thống có sơ đồ như trên chỉ sử dụng các bộ lọc thông thấp g(l) , các bộ lọc thông cao h(l) và các bộ phân chia (decimation) thực hiện phép phân tích sau thành các 1 l thành phần chi tiết dn , ,dn (phần mịn) và có đại diện cho phần thô nhất khi L →∞ thi có thể xin như thành phần một chiều. Hình 2. 11. Sơ đồ phân tích đa phân giải Bộ thu có thể khôi phục tín hiệu gốc s(n) ở đầu bên kia từ các thành phần băng con theo sơ đồ trên hình 2.12. Sau bộ nội suy là các bộ lọc thông dải hay thông thấp để loại bỏ thành phần hư danh (aliasing). Hình 2.12. Khôi phục giải Trong cấu trúc trên, tại mỗi mức phân giải m của tín hiệu thì bước thời gian tại mức đó là 2m. Các hàm tỷ lệ Ψ(2mt – n) là một cơ sở cho tập các tín hiệu dùng để biểu diễn lại 88
thành phần trung bình. Các chi tiết tại mức m được biểu diễn lại bởi các wavelet Ψ(2mt – n). Khi đó tín hiệu trung bình kết hợp với các chi tiết tại mức j để cho ra tín hiệu tại mức m - 1. Các giá trị trung bình thu được từ các hàm tỷ lệ và các chi tiết thu được từ các wavelet. Cấu trúc đa phân giải cho một tín hiệu như sau; Khi chúng ta áp dụng cấu trúc này cho tất cả các tín hiệu thì ta có được độ phân giải cho không gian các hàm: Cấu trúc đa phân giải là một cơ sở tất yến cho phân tích tỷ lệ phân giải khác nhau hơn các tần số khác nhau. Mặt phẳng thời gian - tỷ lệ đặc trưng cho các Wavelet mặt phẳng thời gian - tần số đặc trưng cho các bộ lọc. Đa phân giải tần số thành các băng octave (quãng tám), từ ω đến 2ω, thay cho các băng đều từ ω đến ω+∆ω. Đồ thị được nến lại khi f(t) được thay bởi f(2t), nghĩa là biến đổi F của nó thay đổi 1 ⎛ ω ⎞ từ F(ω) đến F⎜ ⎟ . Giá trị tần số được dịch lên trên một octave khi giá trị thời gian 2 ⎝ 2 ⎠ được chia 2. Khi đó mặt phẳng tần số - thời gian được phân chia lại thành các ô chữ nhật. Sự kết hợp hài hoà giữa khoảng cách thời gian dài với tần số thấp và khoảng thời gian ngắn với tần số cao xảy ra một cách tự nhiên trong wavelet. Đó là một trong những điểm hấp dẫn của phân tích wavelet. Hình 2.13: Các ô vuông cố định trong mặt phẳng thời gian - tần số trong phân tích Fourier trở thành các ô chữ nhật trong phân tích wavelet. 89
2.4.2. Các tiền đề của phân tích đa phân giải (MRA) Kỹ thuật phân giải trực giao phân tích một tín hiệu sai hành các thành phần tỷ lệ tần số khác nhau 2m (với m nguyên). Tương ứng với mỗi tỷ lệ (dải tần) là một khoảng không gian con kín Vm, m ∈ Z, các không gian còn này là các hàm thời gian thoả mãn các tiền đề sau: 1. Tính bao hàm (containment) Kết hợp với tình toàn vẹn (completeness) và tính rỗng (emptiness) Mỗi không gian con tỷ lệ Vm được chứa trong không gian con kề cận Vm-1. Nghĩa là nếu một hàm ở trong không gian con đó thì nó cũng ở trong ở trong tất cả các không gian con mức cao hơn. Các không gian con này bắt đầu với không gian rỗng {0} và khai triển thao tỷ lệ 2 để đạt tới không gian của tất cả các hàm khả tích bình phương L2(R). Tính rỗng nghĩa là ||fm(t)||→ 0 khi m → +∞ và tính toàn vẹn nghĩa là fm(t) → f(t) khi m → -∞. {0} → Vm ⊂ Vm-1 ⊂ ⊂ V0 ⊂ V-1 ⊂ V-2 ⊂ → L2(R). Một hàm f(t) nghĩa trong không gian toàn vẹn sẽ có một ảnh fm(t) trong mỗi không gian con Vm. Đây chính là chiếu của f(t) lên không gian con Vm: ikl 2 Các hàm e trực giao nhau nên năng lượng trong (fm(t) bằng ∑| ck | một tổng |k|≥m trong miền tần số thấp trong miền tần số thấp |k| ≥ m, và năng lượng trong f(t) - fm(t) bằng một tổng trấn miền tần số cao |k| < m, nó sẽ bằng 0 khi m →∞ . Vì vậy chuỗi Vm trọn vẹn trong toàn bộ không gian L2 (R) tuần hoàn 2π. Tiếp theo xác định họ không gian con thứ hai là không gian Wavelet Wm chứa chi tiết tại mức m: ∆fm(t) = fm-1(t) - fm (t). Nếu xét về khía cạnh không gian thì: Khi trong đó mỗi hàm trong Vm-1 là tổng của 2 thành phần trực giao fm(t) trong Vm 90
và Wm. Khai triển công thức cho đến giá trị tối đa m = M, ta có: Và đối với hàm trong các không gian con đó, phương trình trở thành: FM(t) = ∆FM(t) - ∆ FM-1(t)+ + ∆ Fm(t) = ∆Fm-1(t) Ta rút ra được nhận xét quan trọng: - Không gian Wm là hiệu số giữa các không gian Vm - Không gian Vm chính là tổng của các Wm. - Từ tính trực giao của mỗi mảnh fm(t) với chi tiết ∆fm(t) dẫn đến những không gian con này là trực giao nhau. Nếu Wm trực giao với Vm thì Wm sẽ tự động trực giao với tất cả Vk (k > m). Điều kiện toàn vẹn có thể được phát triển lại như sau: Tuy nhiên điều kiện trực giao là không cần thiết, Giả sử với một cơ sở không trực giao binh) thì ta vẫn có được không gian con Vm-1 là tổng trực tiếp của Vm và Wm giao nhau tại véc tơ không và khi đó góc giữa các không gian nhỏ hơn 900. Hình 2.14: Phổ của các không gian con 2. Tính bất biến tỷ lệ 2.8 Hình 2.15: Tính bất biến tỷ lệ của hàm hằng từng mẫu f(t) 91
Nếu một hàm f(t) nằm trong không gian con Vm thì f(2t) nằm trong không gian Vm- 1. Điều này xuất phát từ điều kiện giãn: Vm-1 chứa tất cả các hàm tỷ lệ trong Vm. Đồ thị của f(2t) thay đổi nhanh gấp 2 lần so với đồ thị của f(t). Ví dụ minh hoạ điều kiện giãn của một hàm hằng mẫu f(t) trên hình 2.15. 3. Tính bất biến dịch chuyển. F(t) ∈Vm ⇔ f(t – n) ∈Vm (2.9) Là yêu cầu cơ bản về tính bất biến thời gian trong xử lý tín hiệu. Gọi f(t) nằm trong V1 thì f(2t) và cả f(2t-n) cũng nằm trong V0 (với n ∈ Z). Đây chính là tính bất biến dịch chuyển của các không gian con, nghĩa là các hàm trong các không gian con đó không thay đổi trên từng khoảng tịnh tiến. Nhờ sự dịch chuyển mà ta có thể làm việc trên toàn bộ trục thời gian -∞ < t < + ∞. 4. Sự tồn tại của các hàm tỷ lệ trực chuẩn Yêu cầu tồn tại một hàm tỷ lệ φ (t) ∈ V0, nó thuộc tập (2.10) Là một hàm cơ sở trực chuẩn để bao không gian Vm. Ví dụ gọi Vm là không gian con của các hàm hằng từng mẫu, khi đó hàm tỷ lề có dạng. Hình 2.16.Các hàm cơ sở trực chuẩn Từ đồ thị ta dễ dàng thấy hàm φmn(t) hình thành nên một cơ sở trực chuẩn trong không gian con Vm để cho ∫φmn(t)φmk(t) = δn-k Do đó, bất kỳ một tín hiệu f(t) nào trong không gian Vm cũng có hể lược biểu diễn 92
lại một cách chính xác như là một tổ hợp tuyến tính của φmn(t). 5. V0 có một cơ sở ổn định (cơ sở Riesz) Điều kiện 4 và 5 có thể hoán đổi cho nhau. Một cơ sở ổn định có thể được trực giao hoá trong một đoạn có sự dịch chuyển bất biến. Ta định nghĩa: ổn định = Riesz = độc lập đồng dạng. Thực tế, ta chọn một cơ sở thích hợp, trực giao hoặc không. Khi đó Vm có m − ∞ 2 −m một cơ sở φmn(t) = 2 φ()2 t − m và fm (t) = ∑a φmn (t). mn Trong trường hợp trực giao năng lượng của mảnh này là: Nhận xét - Nếu chúng ta ký hiệu ProjVm[f(t)] là hình chiếu trực giao của f(t) lên Vm thì (4.6) Proj f t = f(t). có thể được phát biểu lại như sau: lim Vm [ ( )] . n→−∞ - Khái niệm đa phân giải có hiệu lực chỉ với (4.8) vì tất cả các không gian đều là bản ảnh tỷ lệ của không gian trung tâm V0. - Hàm φ(t) trong (2.10) được gọi là hàm tỷ lệ - Khi dùng công thức Poisson, tính trực giao trong (2.10) của m ⎧ − ⎫ 2 m ⎨φmn (t) = 2 φ(2 t − n)⎬ là một cơ sở của khả năng V-m, nó chỉ thu được nếu sử dụng các ⎩ ⎭ điều kiện (2.5 - 2.10). - Tính trực giao của φ(t) là không cần thiết vì một cơ sở không trực giao (với tính chất dịch) luôn luôn có thể được trực giao hoá. 2.4.3. Xây dựng wavelet bằng MRA Các wavelet xây dựng trên phương pháp phân tích đa phân giải cần đến các phương trình giãn và phương trình wavelet. Mục đích của phương trình giãn dùng để giải ra các nghiệm φ(t) và ψ(t) (dãn theo nghĩa bước thời gian ∆t = 2m dãn ra. Khi dịch chuyển từ mức m thấp sang mức m cao trong phân tích MRA). * Phương trình giãn (the dilatioin equitioin) Vì φ0n(t) bao không gian V0 và φ-0n(t) bao không gian V-l, đồng thời V0 ∈ V-l, nên hàm tỷ lệ φ0n(t) cũng nằm trong V-l. Như vậy φ00(t) = φ(t) phải là một tổ hợp tuyến tính 1 2 của các hàm cơ sở trực chuẩn φ−1n (t) = 2 φ(2t − n) của không gian V-l: 93