Giáo trình Toán cao cấp (Phần 2) - Hoàng Xuân Quảng

Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp (Phần 2) - Hoàng Xuân Quảng

1. Ví dụ: Tìm ma trận đảo của ma trận Ta có: Vậy Chương III. Không gian vectơ Vectơ n - chiều 1. Định nghĩa Một bộ gồm n số x = (x1, x2, , xn) được gọi là một vectơ n chiều. Số xi được gọi là tọa độ thứ i của vectơ x. Ta có thể coi x như một ma trận cấp 1 x n. Ta cũng có thể coi như một ma trận cấp n x 1, khi đó ta viết:
2. Phép cộng vectơ và phép nhân một số với một vectơ tương tự như đối với ma trận. Cụ thể, với x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) và số λ ta có. x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) λx = (λx1, λx2, , λxn) • Vectơ n – chiều 0 = (0, 0, , 0) có tất cả các tọa độ bằng không gọi là vectơ không. • Vectơ –x = (-1)x gọi là vectơ đối của x. • Đặt x – y = x + (-y) và gọi là hiệu của x và y. Tương tự định lý 1 chương 2 ta có: Định lý 1: Với mọi vectơ n – chiều x, y, z và mọi số λ, µ ta có: 1. x + (y + z) = (x + y) + z 2. x + y = y + x 3. x + 0 = x 4. x + (-x) = 0 5. 1.x = x 6. (λ +µ)x = λ x + µx 7. λ (x + y) = λ x + λ y 8. λ (µx) = (λ µ)x 2. Sự phụ thuộc tuyến tính Cho một hệ gồm k vectơ n – chiều v1, v2, , vk Hệ này được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số λ1, λ2, , λk không đồng thời bằng không sao cho: λ1v1 + λ2v2 + + λkvk = 0 (1) Nếu (1) chỉ xảy ra khi λ1 = λ2 = = λk thì hệ vectơ gọi là độc lập tuyến tính. Vectơ v được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ v1, v2, , vk nếu tồn tại các số λ1, λ2, , λk sao cho: v = λ1v1 + λ2v2 + + λkvk Khi v là một tổ hợp tuyến tính của v1, v2, , vk thì ta cũng nói v biểu thị tuyến tính được qua v1, v2, , vk. Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của vectơ v1, v2, , vk ký hiệu là: V = = Ví dụ: a) Hệ ba vectơ ε1= (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3= (0, 0, 1) là độc lập tuyến tính, vì λ1ε1 + λ2ε2+ λ3ε3 = 0 → (λ1 λ2 λ3) = (0,0,0) → λ1 = λ2 = λ3 = 0
3. b) Hệ v1 = (1, 1, 1), v2 = (0. 1. 1), v3 = (1, 2, 2) là phụ thuộc tuyến tính vì 1.(1, 1, 1) + 1.(0.1.1) – 1.(1, 2, 2) = 0 Định lý 2: Cho hệ vectơ n – chiều v1, v2, , vk. Khi đó 1. Nếu k = 1 và v1 ≠ 0 thì hệ độc lập tuyến tính. 2. Nếu hệ độc lập tuyến tính thì mọi vi ≠ 0 3. Nếu một bộ phận của hệ là phụ thuộc tuyến tính thì hệ thụ thuộc tuyến tính. 4. Nếu hệ độc lập tuyến tính thì mọi bộ phận của hệ đều độc lập tuyến tính. 5. Nếu k>1 thì hệ phụ thuộc tuyến tính ↔ tồn tại ít nhất một vectơ trong hệ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. 3. Hạng của hệ vectơ Cho hệ vectơ v1, v2, , vk. Ta gọi số vectơ độc lập tuyến tính lớn nhất chọn được từ hệ này là hạng của hệ, ký hiệu là rank (v1, v2, , vk). Từ định nghĩa ta có: Hệ vectơ v1, v2, , vk độc lập tuyến tính ↔ rank (v1, v2, , vk) = k. Giả sử: Ký hiệu: là ma trận có các dòng là vectơ của hệ đã cho. Định lý 3: rank(v1, v2, , vk) = rank A Ví dụ: a) Xét hệ v1 = (2, 1, 1), v2 = (-1, 1. 4), v3 = (1, 1, 2) Bởi vì rank (v1, v2, v3) = rank = 3 nên hệ có hạng bằng 3 và hệ độc lập tuyến tính.
4. b) Hệ (2, -2, 5), (1, -2, 2), (1, 2, 4) có hạng rank nên hệ phụ thuộc tuyến tính. c) Hệ gồm n + 1 vectơ trong Rn là phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy gọi A là ma trận có các vectơ đó là các dòng thì A có cấp (n + 1) n. Vì rank A < n + 1 nên hệ phụ thuộc tuyến tính. Không gian vectơ n - chiều 1. Định nghĩa Tập tất cả các vectơ n – chiều cùng với phép cộng vectơ và phép nhân số với vectơ được gọi là không gian vectơ n – chiều Rn, gọi tắt là không gian Rn hay Rn. Không gian Rn có các tính chất (i) – (viii) trong định lý 1. 2. Cơ sở của Rn Hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính trong Rn gọi là một cơ sở của Rn. n Theo định lý 3, hệ v1, v2, , vn là cơ sở của R ↔ rank (v1, v2, , vn) = n. Bây giờ ta chứng minh điều sau đây: n Trong R cho một cơ sở v1, v2, , vn và một vectơ v. Khi đó tồn tại duy nhất các số λ1, λ2 , λn sao cho: v = λ1v1 + λ1v2 + + λnvn (2) Chứng minh: Thật vậy, nếu có một cách viết khác v = λ’1v1 + λ’2v2 + + λ’nvn thì lấy (2) trừ cho đẳng thức này ta được (λ1 - λ’1)v1 + (λ2 - λ’2)v2 + + (λn - λ’n)vn = 0 Vì v1, v2, , vn độc lập tuyến tính nên λ1 - λ’1 = 0 hay λ1 = λ’1 với i = 1, , n, tức cách viết (2) là duy nhất. Để chứng minh sự tồn tại ta xét hệ v1, v2, , vn, v Vì rank (v1, v2, , vn, v) = n nên hệ phụ thuộc tuyến tính. Từ đó tồn tại các số α1, α2, , αn , α không đồng thời bằng không sao cho: α1v1 + α2v2 + + αnvn + αv = 0 Nếu α = 0 thì α1v1 + α2v2 + + αnvn = 0 và do đó α1 = α2 = = αn = 0, ta gặp mâu thuẫn.
5. Vậy α ≠ 0 và tức v được viết dưới dạng (2) với Bộ số duy nhất ( λ1, λ2, , λn) gọi là tọa độ của vectơ v trong cơ sở V = {v1, v2, vn}, kí hiệu hoặc Ví dụ: a) ε1 = (1, 0, 0, , 0), ε2 = (0, 1, 0, , 0), , εn = (0, 0, 0, , 1) là một cơ sở của Rn. Cơ sở này gọi là cơ sở chính tắc hay cơ sở mẫu của Rn. Với mọi vectơ x = (x1, x2, , xn) ta có x = x1ε1 + x2ε2 + + xnεn do đó (x1, x2, , xn) cũng chính là tọa độ của x trong cơ sở chính tắc. b) V = {(1,1,1), (0,1,1) , (0,1,1)} là cơ sở của R3 vì rank(V) = 3. Vectơ v = (1,2,3) có tọa độ trong cơ sở V là (1,1,1). Do đó 3. Biến đổi tọa độ khi thay đổi cơ sở Xét hai cơ sở n V = {v1, v2, , vn}, W = { ω1 , ω2, , ωn} của R Khi đó với mọi j = 1, , n ta có
6. Ta gọi là ma trận chuyển từ cơ sở V sang cơ sở W. Xét một vectơ v. Giả sử Ta có: So sánh với ta được với mọi i = 1, , n Vì vậy (3) Biến đổi tuyến tính 1. Định nghĩa Một ánh xạ f : Rn → Rm được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu với mọi v, ω Є Rn và mọi số λ, ta có: 1. f (v + ω) = f(v) + f (ω) 2. f(λ v) = λ f(v) Từ định nghĩa trên dễ dàng suy ra: 3. f(0) = 0 4. f (v - ω) = f(v) - f (ω)
7. n 5. với mọi vi R , λi R, i = 1, , k Ví dụ: a) Các ánh xạ sau đây là tuyến tính: f : R2 → R1 , f(x,y) = 3x – 2y f : R2 → R2 , f(x,y) = (x – y, 2x + y) f : Rn → Rm , f(v) = 0 với mọi v Rn f : Rn → Rn , f(v) = v với mọi v Rn b) Các ánh xạ sau đây là không tuyến tính: f : R2 → R2, f(x,y) = (x – t, 2x + y + 1) f : R2 → R1, f(v) = x2 + y2 Trường hợp m = n: axtt f : Rn → Rn gọi là phép biến đổi tuyến tính trên Rn Trường hợp m = 1 ánh xạ tuyến tính. f : Rn → R1 được gọi là dạng tuyến tính trên Rn. 2. Ma trận của phép biến đổi tuyến tính n n n Xét biến đổi tuyến tính f : R → R và một cơ sở V = {v1, v2, vn} của R . Với mỗi x Rn, giả sử: Với mọi j = 1, , n, đặt: Ta được ma trận
8. gọi là ma trận của phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở V. Chú ý rằng. so sánh với ta có: với mọi i = 1, , n Vì vậy: [f(x)]v = A[x]v (4) Ví dụ: a) Cho A là một ma trận vuông cấp n bất kỳ. Khi đó ánh xạ f: Rn →Rn, [f(v)] = A[v] là phép biến đổi tuyến tính. (cơ sở chính tắc). Thật vậy, với mọi v, ω Rn, ta có [f(v + ω] = A [v + ω] = A([v] + [ω]) = [v] + A [ω] = [f(v)] + [f(ω)] tức là f(v+w) = f(v)+f(w) với mọi v Rn và λ R ta có [f(λ v)] = A[λv] = A(λ[v]) = λA[v] = λ[f(v)] tức là f(λ v) = λ f(v) Kết hợp các điều vừa chứng minh, f là phép biến đổi tuyến tính. b) Cho phép biến đổi tuyến tính
9. 3 3 1 2 3 2 3 1 2 f : R → R , f(x1, x2, x3) = (5x - 3x + 2x , 4x – x , x + x ) Hãy tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc. Ta có: 1 f(ε1) = (5,0,1) = 5.ε + 0.ε2 + 1.ε3 f(ε2) = (-3,4,1) = -3.ε1 + 4.ε2 + 1.ε3 f(ε3) = (2,-1,0) = 2.ε1 - 1.ε2 + 0.ε3 Vì ma trận của f trong cơ sở chính tắc là Không gian vectơ 1. Định nghĩa Cho L là một tập khác rỗng. Ta gọi một phép cộng trên L là một quy tắc đặt tương ứng hai phần tử x, y L với một phần tử duy nhất x + y L, một phép nhân số với phần tử của L là một quy tắc đặt mỗi λ R, x L với một phần tử duy nhất λx L. Tập L cùng với hai phép toán cộng và nhân với số được gọi là một không gian vectơ hay không gian tuyến tính nếu với mọi x, y, z L và mọi λ, µ R thỏa mãn: 1. x + (y + z) = (x + y) + z 2. x + y = y + x 3. 4. 5. 1.x = x 6. (λ + µ)x = λ x + µ x 7. λ (x + y) = λ x + λ y 8. λ (µ x) = (λ µ)x Dễ dàng chứng minh rằng phần tử 0 trong (iii) là duy nhất, phần tử đối –x trong tính chất (iv) cũng duy nhất và –x = (-1)x. Khi L là một không gian vectơ thì các phần tử của nó gọi là các vectơ. Ví dụ: a) Theo định lý 1, không gian vectơ n – chiều Rn là một không gian vectơ. b) Theo định lý 1 chương 2, tập Mmxn tất cả các ma trận cấp m x n với phép cộng và phép nhân ma trận với số là một không gian vectơ.
10. c) Tập các đa thức với phép cộng và phép nhân đa thức với số thông thường là một không gian vectơ. 2. Sự phụ thuộc tuyến tính Hệ phần tử v1, v2, , vk trong không gian vectơ L được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số λ1, λ2, λk không đồng thời bằng không sao cho: λ1v1 + λ2v2 + + λkvk = 0 Nếu đẳng thức trên chỉ xảy ra khi λ1 = λ2 = = λk thì hệ được gọi là độc lập tuyến tính. 3. Cơ sở và tọa độ Cho L là một không gian vectơ. Nếu tồn tại số n sao cho mọi hệ độc lập tuyến tính của L chỉ có nhiều nhất là n phần tử thì L được gọi là không gian vectơ (hữu hạn) n – chiều. Ký hiệu: dim L = n Nếu L = {0} thì ta gọi L là không gian không chiều. Ký hiệu: dim L = 0 Trường hợp mọi số tự nhiên n đều tìm được một hệ độc lập tuyến tính trong L có n phần tử thì L được gọi là vô hạn chiều. Ví dụ: a) Không gian Rn là hữu hạn n – chiều. b) Không gian, Mmxn là m x n – chiều. c) Không gian vectơ các đa thức là vô hạn chiều, vì mọi n, hệ các đa thức 1, x, , xn-1 là độc lập tuyến tính. Cho L là một không gian vectơ n – chiều. Khi đó mỗi hệ độc lập tuyến tính gồm n phần tử của L được gọi là một cơ sở của L. Xét hệ vectơ: V = {v1, v2 , , vn} của L Định lý 4: Hệ V là cơ sở của L nếu và chỉ nếu mọi vectơ x L, toàn tại duy nhất bộ số (λ1, λ2, , λn) sao cho x = λ1v1 + λ2v2 + + λnvn (5) Nếu V là cơ sở thì bộ số (λ1, λ2, , λn) gọi là tọa độ của x trong cơ sở V, ký hiệu là hoặc là
11. Nhận xét: V là cơ sở của L nếu V độc lập tuyến tính và với mọi x L có biểu diễn (5). 4. Biến đổi tuyến tính Cho hai không gian vectơ L, M. Một ánh xạ f : L → M được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu: ƒ(v + ω) = ƒ(v) + ƒ(ω) với mọi v, ω L ƒ(λv) = λƒ(v) với mọi λ R, v L • Nếu M = R thì ánh xạ tuyến tính f : L → R được gọi là dạng tuyến tính trên L. • Nếu M = L thì ánh xạ tuyến tính f : L → L được gọi là phép biến đổi tuyến tính trên L. Cho phép biến đổi tuyến tính f : L → L và cơ sở V = { v1, v2, , vn} của L. Với mỗi j đặt: ta được ma trận: gọi ma trận của phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở V. Tương tự công thức (4) ta có: [f(x)]v = A[x]v Ví dụ: Gọi L là tập các đa thức bậc ≤ 3. Khi đó L là không gian vectơ 4 – chiều với phép tính cộng và nhân đa thức với số thông thường. Xét phép biến đổi:
12. (đạo hàm của P) Dễ dàng kiểm tra f là phép biến đổi tuyến tính trên L. Với cơ sở V={1, x, x2, x3} của L ta có Do đó ma trận của f trong cơ sở V là: Nhận xét: Cho không gian vectơ n-chiều L có cơ sở V={v1,v2, ,vn} và ánh xạ f : L |→ Rn x |→ x/V Dễ dàng kiểm tra f là ánh xạ tuyến tính và song ánh. Ta nói rằng L và Rn đẳng cấu tuyến tính với nhau. Do tính chất này, L có tất cả các khái niệm và tính chất tương tự như trong Rn, ở trên ta chỉ đưa ra một vài khái niệm và tính chất. 5. Không gian vectơ con Cho L là một không gian vectơ. Tập con M L được gọi là một không gian vectơ con của L nếu 0 M và với các phép toán trong L, M cũng là không gian vectơ. Từ định nghĩa ta thấy ngay L và 0 ≡ {0} là những không gian vectơ con của L, gọi là không gian con tầm thường. Không gian vectơ con thường gọi vắn tắt là không gian con. Định lý 5: Tập con M của không gian vectơ L là không gian vectơ con của L nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau đây: (i) M ≠ Ø và x + y M với mọi x, y M; λ x M với mọi λ R, x M (ii) 0 M và x + λ y M với mọi x, y M, λ R. Ví dụ:
13. a) Ký hiệu L là không gian vectơ tất cả các hàm xác định [a,b] với phép cộng và phép nhân hàm với số thông thường, L1 là tập các hàm khả tích, L2 là tập các hàm liên tục L3 là tập các hàm khả vi trên [a,b]. Ta có: • L1, L2, L3 là không gian vectơ con của L; • L2, L3 là không gian vectơ con của L1; • L3 là không gian vectơ con của L2. n b) Trong R xét hệ vectơ {v1, v2, , vk} Ký hiệu là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của v1, v2, , vk. Ta có L là không gian vectơ con của Rn và dim gọi là không gian con sinh bởi v1, v2, , vk. c) Trong R3 xét: M = {(x1, x2, x3)| x1 - 2x2 + x3 = 0 } M là không gian vectơ con của R3. Thật vậy, vì 0 – 2.0 + 0 = 0 nên 0 = (0,0,0) M. x = (x1, x2, x3) M, y = (y1, y2, y3) M và λ R, ta có x + λy = (x1 + λy1, x2 + λy2, x3 + λy3) Vì (x1 + λy1) – 2(x2 + λy2) + (x3 + λy3) = (x1 - 2x2 + x3) + λ (y1 – 2y2 + y3) = 0 nên ta cũng có: x + λy M Chương IV. Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm 1. Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số là hệ phương trình có dạng:
14. (1) Trong đó các aij, bi, i=1, m; j=1, , n là các hệ số xj, j= 1, , n là các ẩn số. Bộ số được gọi là một nghiệm của hệ (1) nếu thay các xi vào vị trí của xj trong hệ (1) ta được m đẳng thức đúng. Mỗi nghiệm của hệ (1) là một véc tơ của Rn, tập tất cả các nghiệm của hệ (1) là tập con của Rn. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ. Đặt: và gọi A là ma trận các hệ số, B là cột các hệ số tự do. Hệ phương trình (1) có thể viết dươí dạng ma trận AX = B (2) Ta gọi: là ma trận các hệ số bổ sung. Hệ (1) hoàn toàn được xác định khi biết ma trận các hệ số bổ sung của nó. 2. Hệ phương trình thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là thuần nhất nếu tất cả các hệ số tự do bằng không. Dưới dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trở thành AX = 0 (3) Hệ phương trình thuần nhất luôn có ít nhất một nghiệm, đó là X = 0, gọi là nghiệm tầm thường. Định lý 1: Tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một không gian véc tơ con của Rn. Chứng minh: Giả sử tập nghiệm của phương trình (3) là M. Ta có 0 M. Nếu X, M R và λ R thì:
15. A(X+ λY) = AX + λAY = 0 Do đó X + λY M. Vậy M là không gian véc tơ con. 3. Định lý Kronecker – Capelli Định lý 2 (Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm nếu và chỉ nếu rank A = rank Ā = r • Nếu r = n thì hệ có một nghiệm duy nhất. • Nếu r < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n – r tham số. Ví dụ: a) Hệ phương trình tuyến tính (1) luôn có nghiệm nếu rank A = m (số phương trình của hệ) Thật vậy, rank A ≤ rank Ā = m, do đó từ điều trên ta có rank A = rank Ā, nghĩa là hệ có nghiệm. b) Hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ nếu rank A < n. c)Hệ phương trình có rank A = 2, rank Ā = 3 vì vậy hệ vô nghiệm. d) Hệ phương trình có rank A = rank Ā = 2 < 4, do dó hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 1. Phương pháp ma trận đảo Xét hệ phương trình dưới dạng (2): AX = B Nếu A là ma trận vuông khả đảo thì A-1 (AX) = A-1 B, do đó X= A-1 B Vậy nghiệm có hệ duy nhất A-1 B Ví dụ: Giải hệ phương trình
16. Ta có Do đó nghiệm của hệ là Vậy hệ có nghiệm duy nhất: 2. Phương pháp Cramer Hệ phương trình tuyến tính gọi là hệ Cramer nếu nó có số phương trình bằng số ẩn và det A ≠ 0 Nếu hệ là Cramer thì ta đặt ∆ = det A trong đó ∆j là định thức của ma trận được nhận từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do. Định lý 3 (Cramer): Hệ Cramer có một nghiệm duy nhất là: Ví dụ: Giải hệ phương trình: Ta có Do đó hệ có nghiệm duy nhất là (7/ 2, 2, 5/ 2) 3. Phương pháp Gauss Xét ma trận hệ số bổ sung Ā của hệ (1) Các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận Ā đưa Ā thành ma trận hệ số của một hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ phương trình xuất phát.
17. Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp đưa Ā về dạng bậc thang, để đưa hệ đã cho về dạng bậc thang để giải, gọi là phương pháp Gauss. Ví dụ: a) Giải hệ: Ta có Hệ đã cho tương đương với hệ Vậy hệ có nghiệm duy nhất (-40, 15, 11) b) Giải hệ Ta có Hệ đã cho tương đương với hệ Vì phương trình thứ ba vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. c) Giải hệ
18. Ta có Hệ đã cho tương đương với Hệ đã cho có vô số nghiệm dạng (-2x2 - 2x4 +4, x2 , - x4 + 2, x4) trong đó x2, x4 tuỳ ý thuộc R. 4. Vài ví dụ ứng dụng a) Tìm tọa độ của một hệ vectơ trong một cơ sở Ví dụ: Tìm tọa độ của vectơ v = (1, 2, -1) trong cơ sở V = {(1, 1 , -1), (2,1, 1), (1,-2, 2)} Đặt: x1 (1, 1, -1) + x2 (2, 1, 1) + x3 (1, -2 , 2) = ( 1, 2, -1) ta được hệ phương trình tuyến tính Hệ này có nghiệm , đó chính là tọa độ của vectơ v trong cơ sở V. b) Tìm ma trận của một ánh xạ tuyến tính Ví dụ: Tìm ma trận của phép biến đổi tuyến tính f: R3 → R3 f(x1, x2, x3)= ( 2x1 - x2, 2x2 - x3, 2x3 - x1) trong cơ sở v1 = (1, 1 , 1), v2 =(0, 1 , 1) , v3 =(0, 0 , 1) Ta có: f(v1) = (1, 1, 1) = 1.v1 + 0.v2 + 0. v3 f(v1) = (-1, 1, 2) Đặt x1v1 + x2v2 +x3v3 = (-1, 1, 2), ta có hệ do đó f (v2 ) = -1. v1 + 2. v2 + 1. v3 Tương tự
19. f (v3 ) = (0, -1, 2) =0. v1 -1. v2 + 3. v3 Từ đó ma trận của phép biến đổi tuyến tính trong cơ sở V là Chương V. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương Giá trị riêng, vectơ riêng 1. Định nghĩa Cho phép đổi tuyến tính f : Rn → Rn Số λ được gọi là một giá trị riêng của f nếu tồn tại một vectơ x ≠ 0 sao cho f(x) = λx (1) Vectơ x thỏa (1) được gọi là vectơ riêng của f tương ứng với giá trị riêng λ. Ký hiệu: Sλ là tập tất cả các vectơ riêng của f tương ứng với giá trị riêng λ cùng với vectơ 0. n Định lý 1: Sλ là một không gian vectơ con của R và Chứng minh: Ta có 0 Sλ . Nếu x, y Sλ và a R thì f (x+ay) = f(x) + a f(y) = λ x + a λ y = λ (x+ay) nghĩa là x+ay Sλ. Vậy Sλ là không gian vectơ con. Mặt khác nếu x Sλ thì f(x) = λx Sλ do đó f (Sλ) Sλ Do bao hàm thức f(Sλ) Sλ, người ta nói Sλ là một không gian con bất biến của f. 2. Phương trình đặc trưng Giả sử A là ma trận của phép biến đổi tuyến tính f trong một cơ sở V. Khi đó: [f(x)]V =A[x]V Ta cũng có [λx]V = λ I [x]V do đó f(x) = λ x ↔ A [x]V = λ I [x]V và cuối cùng ( A – λ I ) [x]V = 0 (2) Đẳng thức (2) là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất dưới dạng ma trận. λ là giá trị riêng ↔ (2) có nghiệm không tầm thường ↔ rank (A – λI) < n ↔ det (A – λI) =0
20. Đặt: (3) PA(λ) là một đa thức bậc n của λ, gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A và cũng gọi là đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính f. Các giá trị riêng của f cũng gọi là giá trị riêng của ma trận A. Bằng cách giải phương trình đặc trưng PA(λ) = 0 Ta tìm được các giá trị riêng của f (có nhiều nhất là n giá trị riêng). Thay các giá trị riêng tìm được vào phương trình (2), ta tìm được tọa độ của các vectơ riêng trong cơ sở đang xét. Ta gọi các nghiệm không tầm thường của (2) là các vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ. Như vậy vectơ riêng của ma trận A là tọa độ của vectơ riêng của f trong cơ sở đang xét. Trường hợp cơ sở là chính tắc thì chúng trùng nhau. Ví dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở R3 có ma trận trong cơ sở V = {v1, v2, v3} là Hãy tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f. Đa thức đặc trưng của A là: Do đó f có giá trị riêng là 1 (bội 2) và –2 Để tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ =1, ta lập hệ ↔ Giải hệ này ta được nghiệm (2c, c, 0) , c tùy ý. Do đó vectơ riêng của ma trận A ứng với λ = 1 là c(2v1+v2) , c ≠ 0 Để tìm vectơ riêng ứng với λ = -2 ta lập hệ
21. Hệ có nghiệm là (28c, 44c, 9c), với c tùy ý. Do đó vectơ riêng của ma trận A ứng với λ = -2 là: (28c, 44c, 9c), c ≠ 0 và vectơ riêng của f ứng với λ = -2 là c (28v1+ 44v2 + 9v3) Nếu cho cụ thể chẳng hạn v1=(1,1,1), v2= (0,1,1), v3 =(0,0,1) thì vectơ riêng của f • ứng với λ = 1 là x = c(2, 3, 3), c ≠ 0; • ứng với λ = -2 là x = c( 28, 72, 81), c ≠ 0 3. Giá trị riêng của ma trận đồng dạng Hai ma trận vuông cấp n A và B được gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại ma trận T không suy biến sao cho. B = T–1AT Định lý 2: Các ma trận của một phép biến đổi tuyến tính f trong các cơ sở khác nhau là đồng dạng với nhau. Chứng minh: Giả sử B là ma trận của f trong cơ sở W. Ta cần chứng minh A đồng dạng với B. (A là ma trận của f trong cơ sở V) Theo (4) trong chương 3, ta có. [f(x)]V = A[x]V; [f(x)]W = B[x]W; [x]V = T[x]W Gọi T là ma trận từ V sang W. Theo (3) chương 3, ta có -1 -1 [f(x)]W = T [f(x)]V = T A [x]V -1 -1 = (T A) (T[x]W) = (T AT) [x]W Vì ma trận của f trong cơ sở W là duy nhất nên B = T-1AT (4) nghĩa là A và B đồng dạng nhau. Định lý 3: Các ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng. Chứng minh: Giả sử B= T-1AT. Khi đó -1 -1 PB(λ ) = det (B –λ I) = det (T AT – T λ IT) = det [ T-1(A - λ I) T] = det T-1 det (A – λ I) det T = det (A – λ I) = PA (λ) Từ định lý 2 và 3 ta thấy rằng đa thức đặc trưng của một phép biến đổi tuyến tính là duy nhất.
22. Chéo hóa ma trận 1. Định nghĩa Ma trận vuông A gọi là có dạng chéo nếu tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính của nó đều bằng không, nghĩa là (A)ij =0 với mọi i ≠ j, i, j =1, , n Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận vuông không suy biến T sao cho T-1AT là ma trận chéo. 2. Điều kiện để một ma trận chéo hóa được Định lý 4: Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được nếu và chỉ nếu A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính trong Rn. Nếu λ là giá trị riêng đơn thì ứng với nó chỉ có duy nhất một vectơ riêng độc lập tuyến tính. Nếu λ là giá trị riêng bội m thì ứng với nó có số vectơ riêng độc lập ≤ m. Dựa vào định lý 4 ta có kết quả như sau: Định lý 4’: M trận vuông A cấp n chéo hóa được nếu và chỉ nếu A có n giá trị riêng (kể cả số lần bội) và ứng với vectơ riêng bội m có m vectơ riêng độc lập tuyến tính. Ví dụ: Cho ma trận Chứng tỏ A chéo hóa được. Tìm ma trận khả đảo T sao cho A =TBT-1 với B là ma trận chéo. Ta có PA(λ) = 0 ↔ λ = 1, 3, -4 Với λ = 1, vectơ riêng tương ứng là v = c(1,0,3), c ≠ 0, ta chọn v1 = (1,0,3) Với λ = 3, vectơ riêng tương ứng là v = c(-3,-2,1), c ≠ 0, ta chọn v2 = (-3,-2,1) Với λ = -4, vectơ riêng tương ứng là v = c(-3,5,1), c ≠ 0, ta chọn v3 = (-3,5,1) 3 Ta được cơ sở V = {v1,v2,v3} của R (V chọn bằng phương pháp trên luôn là cơ sở, nhưng ta không đi sâu vào vấn đề này).
23. Theo chứng minh định lý 4, với thì B = T-1AT hay A = TBT-1 trong đó B là ma trận chéo. 3. Chéo hóa ma trận đối xứng Ma trận vuông A gọi là đối xứng nếu AT = A. Ma trận vuông A gọi là trực giao nếu ATA = A AT = I, nói cách khác, A là trực giao nếu AT = A-1. Định lý 5: Mọi ma trận đối xứng A đều chéo hóa được, hơn nữa luôn có thể tìm được ma trận trực giao T sao cho TTAT là có dạng chéo. n Cho x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) là các vectơ trong R . Ta gọi tích vô hướng của x và y là = x1y1 + x2y2 + + xnyn x và y gọi là trực giao (hay vuông góc) nếu = 0. Ta gọi môđun của x là Một cơ sở của Rn được gọi là cơ sở trực chuẩn nếu các vectơ trong cơ sở có môđun bằng 1 và đôi một vuông góc nhau. Nếu A là đối xứng thì có thể tìm được một cơ sở trực chuẩn của Rn gồm các vectơ riêng của A với cơ sở này, ma trận T nói trong định lý 4 là trực giao. Ví dụ: Chéo hóa ma trận đối xứng Ta có Vì vậy A có giá trị riêng là –1 (bội) và 2. Với trị riêng 2, ta có vectơ riêng là (c, c, c), c ≠ 0 ta chọn vectơ có môđun bằng 1 là
24. Với trị riêng –1 ta có vectơ riêng là (c1, c2, -c1 –c2), c1, c2 không đồng thời bằng 0. Ta có thể chọn 2 vectơ riêng vuông góc là (1, 0 ,-1), (1, -2, 1). Vì vậy ta có hai vectơ trực giao có môđun 1 là Ta có {v1, v2, v3} là cơ sở trực chuẩn. Với thì T-1 = TT và là ma trận chéo 4. Tính lũy thừa ma trận Cho ma trận A chéo hóa được, khi đó tồn tại ma trận vuông T sao cho A = TBT-1 với là ma trận chéo. Dễ dàng thấy rằng do đó ta tính được An một cách khá đơn giản. Ví dụ: Tính
25. Đặt A có 2 giá trị riêng là 1, -3 với các vectơ riêng độc lập tương ứng là (1 , 0) và (1 , -2). Ta có và Từ đó 5. Ma trận xác định dương Ma trận đối xứng được gọi là xác định dương nếu ∆1 = a11 > 0 ∆n = det A > 0 Ví dụ: Ma trận đối xứng Có 17 > 0, , det A = 2187 >0, do đó xác định dương. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 1. Dạng song tuyến tính Một ánh xạ f: Rn x Rn → R được gọi là một dạng song tuyến tính trên Rn nếu với mọi x, y, z Rn , λ R ta có
26. 1. f(x+z, y) = f(x, y) + f(z, y) f(λ x, y) = λ f(x,y) 2. f(x, y+z) = f(x, y) + f (x,z) f(x, λ y) = λ f(x,y) Như vậy f(x,y) là một dạng song tuyến tính f trên Rn nếu với mọi y cố định f là một dạng tuyến tính trên Rn theo biến x, và với mỗi x cố định f là một dạng tuyến tính trên Rn theo biến y. n Cho một dạng song tuyến tính f trên R và xét một cơ sở V={v1, v2, , vn} của Rn. Đặt f(vi, vj) = aij. Khi đó ta được ma trận Ta gọi A là ma trận của dạng song tuyến tính f. Ký hiệu [x]v, [y]v là tọa độ của x và y trong cơ sở V, ta có Vì vậy Ví dụ: Cho f(x,y) = x1y1 - 2x1 y2 +3x2 y1 - 4x2 y2 2 với mọi x = (x1, x2), y = (y1, y2) là một dạng song tuyến tính trên R . Trong cơ sở chính tắc ε1 = (1,0), ε2= (0,1) ta có f(ε1, ε1) = 1, f(ε1, ε2) = -2, f(e2, e1) = 3, f(ε2, ε2) = -4. Do đó ma trận của f trong cở sở chính tắc là
27. và ta có thể viết Một dạng song tuyến tính f(x,y) trên Rn gọi là đối xứng nếu f(x,y) = f(y,x) với mọi x,y Rn Ta có tính chất sau đây Định lý 1: Dạng song tuyến tính là đối xứng nếu và chỉ nếu ma trận của nó trong cơ sở bất kỳ là đối xứng. 2. Dạng toàn phương Cho f(x,y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên Rn. Khi đó ω(x) = f( x, x) gọi là một dạng toàn phương trên Rn Ma trận của dạng song tuyến tính f cũng là ma trận của dạng toàn phương ω. Vậy ma trận của dạng toàn phương là một ma trận đối xứng. Ví dụ: a) Trên R3 f(x,y) = x1y1- x1y2 -x2y1 + x2y3 + x3y2 + x3y3 là dạng song tuyến tính, có ma trận trong cơ sở chính tắc là vì A là đối xứng nên f là dạng song tuyến tính đối xứng. Từ đó là một dạng toàn phương b) Cho dạng toàn phương trên R3. Ta có do đó ma trận ω(x) là
28. Dạng toàn phương ω(x) gọi là xác định dương nếu ω(x) >0 với mọi x ≠ 0, gọi là bán xác định dương nếu ω(x) ≥ 0 với mọi x. Đổi chiều bất đẳng thức, ta có khái niệm xác định âm và bán xác định âm. Nếu ω(x) có dấu thay đổi thì ta nói nó không xác định. 3. Dạng chính tắc của dạng toàn phương Dạng toàn phương gọi là có dạng chính tắc. Cơ sở của Rn để xác định ω(x) có dạng chính tắc gọi là cơ sở chính tắc của dạng toàn phương. Nếu ω(x) có dạng chính tắc thì ta thấy ngay • ω(x) xác định dương nếu mọi bi > 0 • bán xác định dương nếu mọi bi ≥ 0 • xác định âm nếu mọi bi < 0 • bán xác định âm nếu mọi bi ≤ 0 • không xác định nếu có các bi trái dấu Để xét tính xác định của một dạng toàn phương bấy kỳ, ta tìm cách đưa nó về dạng chính tắc, khi đó ta kết luận theo cách trên. 4. Phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Lagrange: Nếu trong dạng toàn phương ω(x) có a11 ≠ 0 thì ta viết Đặt Với j = 2, , n ta có trong đó g1 là một dạng toàn phương không chứa x1 Nếu a11= 0 nhưng a12 ≠ 0 thì đặt • x1 = x’1 + x’2 • x2 = x’1 - x’2
29. Khi đó . Theo trường hợp a11 ≠ 0 ta cũng có với g1 là dạng toàn phương không chứa x1. Tiếp tục quá trình này, ta sẽ đưa được ω(x) về dạng Ví dụ: Ta có Đặt ta có Ta cũng có kết luận ω(x) xác định dương ↔ a > 0 và ac-b > 0. Phương pháp Jacobi Giả sử dạng toàn phương ω(x) có ma trận là Đặt Khi đó nếu mọi ∆i ≠ 0 thì tồn tại một cơ sở để ω(x) có thể viết dưới dạng Ví dụ: Có dạng toàn phương có ma trận là Ta có ∆1 =1, ∆2 = -1, ∆3 = -2, do đó trong một cơ sở nào đó, ω(x) có dạng