Giáo trình Toán cao cấp A2
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán cao cấp A2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- giao_trinh_toan_cao_cap_a2.pdf
Nội dung text: Giáo trình Toán cao cấp A2
- id11470750 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýu tầm by hoangly85 1 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 íếNG I: PHẫP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN CH ẬP HỢP RN À HÀM NHIỀU BIẾN I. T V n à cỏc tập con 1. R v ớ ộ ố ýừ ờ ệ Ởn ðýợ ðể ỉ ậ ợ ấ ả ộ ố V ự ậ ờ ýờ ọ Ởn ậ ự ấ ề ề ẩ ộ ố ự th , x , ) v l 1 ờ 2 ðýợn ðặ ỳ ế ầ (x1, x2, n) ờ P(x1, x2, n) ọ ộ ð ể Ởn V . ð ể ỳậ ờ ẵậ ờ n ả ữ ð ể Cho 2 , x , ) v , y , ) trong R , kho ẵờ ệ 1 2ậỳờ ẵấ nðýợ ðị 1 2 ĩ ởn P v i: d(P, Q) = ả ỏ ấ ðẳ ứ ð ầ Kho ≤ ậỳờ d(P, Q) R) + d(R, Q) ớ ĩ ð ể ỳờ ẵờ Ở ề v é ể ỳậ ờ ðýợ ế ọ ýớ ạ ụậ ờ ớ ụậ ờ , x , ) c , x , ) v , x , ụậ1 2 ờn ả ữ ðý1ợ 2 ế ởn ầ 1 2 xn) v 1, y2, n), kho – | x y |= ố ự ýừ ờ ậ ợ ðýợ Cho v B(P, r) = { | d(P, Q) < r} ọ ầ ở ỳ ờ ậ ủ ỳề g ậ ợ ừ Ởn ðýợ ọ ị ặ ế ễ ế ớ ẫ T , v ð ể ẫậếờ ếờ ờ ếấề àm nhiếu biến 2. H ộ ố ớ ≥ ịề ∞ộ ýừ ứ ầ Ởn ðýợ ọ ộ Cho n l R ế ề ậ ợ ð ể ậỳấ ðị ðýợ ọ ề ðị ủ ề n bi m ệ ề ðị ủ ắậ ấề k ụầ V ýu tầm by hoangly85 2 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ầ Ở2 1) H R (x, y) f(x, y)= ộ ị ế ề ðị ậ ợ ấ ả ð ể ỳậ ờ ấ L 2 2 ậ ắậ ấụửậếờ ịấờ ầ ở ẫ ị Ở2 4-x -y >0. V . 3 ớ ậ ờ ờ ấụ 2 ộ ế ề ðị 2) g : R R v +(y+z)/2 l 3 bi D(g)=R3. ỉ ể ể ễ ọ ờ ằ ẽ ðồ ịờ ị ế ụ ậ ờ ấề Ta ch éồ ị ủ ị ế ậ ợ ð ể Ở3 ð ầ sau G(f)={(x, y, f(x, y)) | } é ộ ặ ĩ ề ớ ệ ọ ðộ ắ ẫ ề ụầ ðồ ị ủ ụ ử ủ ặ ầ ẫ ữ V l ĩ ề ẫ ề trong kh ỚI HẠN VÀ TÍNH ấN TỤC II. GI LI éịnh nghĩa giới hạn 1. ế ụ ậ ờ ðị ộ ậ ủ ộ Cho h 1, x2, n) x h r c ể ể ðị ạ ỳề ụ ậ ờ ế ề di v , x , ) ti ớ ạ ỡấề ẩ ∞ ậ ờ ầ ðế ỳ ế 1 ớ 2 ọ ồ nễ ế ýớ ờ (hay c , x , ) d ồ ạ ọ ễ ế ầ 1 2 n t ọ ụễ ậ∞ấ – ồề 0 < d (P, M) < L | < ð ế ầ Khi ýờ ợ ị ế ụ ậ ờ ấ ớ ạ ể ðýợ ế ầ Trong tr ể ế ầ Hay c ýu tầm by hoangly85 3 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừ ự ý ðố ớ ộ ế ờ ũ ðị ĩ ớ ạ T ớ ạ ở ậ ý ầ gi ụầ V 1). 2). 3). 4). ự liờn tục 2. S éị ĩ ầ ố ụ ậ ờ ðýợ ọ ụ ạ ð ể s 1, x2, n) khi: ụầ ậ ờ ấ ụ ụ ạ ọ ð ể ậ ậếờ ếấề V li o, yo) kh ýừ ự ý ộ ế ụ ộ ð ạ ũ ấ ðạ T , ta c ị ớ ấ ỏ ấ ữ ề ð ị ặ ề gi éẠO HÀM VÀ VI P ÂN III. H éạo hàm riờng 1. éể ðừ ả ệ ờ ở ð ẽ ðạ ủ ị ế ề éố ta s ớ ế ýừ ựề v ýu tầm by hoangly85 4 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éị ĩ ầ ị ế ụ ậ ờ ấề éạ ế ạ ð ể ậ , y ) l ớ ạ ậ ế ấ ð ầ o o gi ðạ ế ðýợ ệ ắ ắ ’ v hay v t x (xo, yo). Ta ể ệ ðạ ở ’ c x (xo, yo) hay (xo, yo). éạ ế ủ ụ ậ ờ ấ ạ ậ ðýợ ðị ĩ ýừ ự , y ) g t ở ầ o o b = ậ ầ ể ấ ằ ’ Nh f x (xo, yo) = ừ ð ể ạ ế ạ ậ ằ ụ ằ T , y ) b l ố ðạ ủ ộ ế ậ ờ ạ ụ o o ýừ ựờ ðể ðạ o s ) t . T ế ạ ậ ðạ o ủ o ộ ế ậ ờ ạ ụ ri , y ) ta t ) t (xem ằ ốấề o o o o x = xo l ụầ V ’ ’ 2 1). Cho z = x y. T x v y ý ằ ố ðạ ế ’ Xem y nh ta c x = 2xy. ýừ ựờ ý ằ ố ðạ ế ầ ’ T y = x2. ’ ’ ’ ý ằ ốờ ầ 2) . T z x, z y v z x(4, ). Xem y nh ýu tầm by hoangly85 5 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ý ằ ốờ ầ Xem x nh ta c éạo hàm riờng cấp cao 2. ðạ ’ ’ ủ ðýợ ọ ðạ ấ ữề C z v z c z = f(x,y) éạ ấ ị x ủ yộ ðạ ậ ấ ủ ðạ ấ ữ p 1) c ủ ð ề ổ ị ế ố ðạ ấ ị ð ầ c z = f(x, y) c 1) éạ ấ ị ðýợ ệ ằ ý ầ nh 2) éạ ấ ị ðýợ ệ ở ầ 3) éạ ấ ị ðýợ ệ ở ầ 4) ðýợ ệ c . ýu tầm by hoangly85 6 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừ ự ũ ðị ĩ ệ ðạ Ho ngh ấ ừ ề ũ ẳ ạ ờ c hay ðạ ấ ĩ hay v ðýợ ế c . ụầ V 4 4 – 3 3 ầ 1) z = x + y 2x y . Ta c ’ 3 – 3 z x = 4x 4xy ’ 3 – 2 2 z y = 4y 6x y 2 – 3 z"xx = 12x 4y 2 – 2 z"yy = 12y 12x y 2 z"xy = -12y 2 z"yx = -12 y ố 2) X ờ ớ ậ ≠ ậếờ ếấ Ta c x, y) YjWҥ i (0, 0) th f(0, 0) = 0. ð ạ ậ ≠ ậếờ ếấ Do t x, y) ýu tầm by hoangly85 7 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 v suy ra ýừ ựờ ðýợ ầ Ho ạ ậ ờ ấ ≠ ậếờ ếấ t v ụ ấ ðạ ế ý ứ ự Qua v ả ờ ũ ằ ðị Oờ ð ð Ӆ kh . Tuy nhi sau u Ӌ ÿӇFi ðҥ Kj Yj ҵ ki n c o m ri z"xy z"yx b ng nhau. éӏ Oờ Ӄ ðạ ộ ậ ủ ð ể ậ nh : N u f(x, y) c f" v f" trong m x , y ) xy xy 0 0 th ằ ðị ũ ở ộ ðѭӧ ðạ ấ ừ ề ch r c ra cho c ế ừ ề bi õn toàn phần 3. Vi ph éịnh nghĩa: ố ðýợ ọ ả ạ ậ ế ố ầ H z = f(x, y) x0, y0) n n ph ố ủ ế ạ ậ ể ðýợ ế ýớ ạ theo c x, y c x, y t x0, y0) c ð ằ ố ậ ụ ộ trong A, B l x, y) v 0, 0 khi x 0, y 0. ýu tầm by hoangly85 8 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ể ứ ðýợ ọ ủ ố ạ ậ ệ Bi f t x0, y0), k df(x0, y0). éịnh lý: ế ả ạ ậ ðạ ấ ữ ạ ð (i) N f(x, y) kh x0, y0) th f c ế ðạ ữ ậ ủ ậ ’ ’ (ii) N f(x, y) c x , y ) v f , f li ụ ạ ậ ả ạ ậ 0 0 x y t x0, y0) th x0, y0). ằ ýờ ợ ðặ ệ ầ Ch c tr f(x, y) = x v g(x, y) = y ta c dx = ð ứ ấ ữ ủ ðýợ ế ýớ ạ x v dy = y. Do f(x, y) c ’ ’ df = f x.dx + f y.dy ðýợ ọ ầ ủ v f(x, y). ụầ ớ ầ V V , ta c ậ v ớnh chất: ýừ ự ý ðố ớ ộ ế ấ ð ủ T T ầ ph d(f + g) = df + dg d(f.g) = g.df + f.dg ớ (v g 0). ýu tầm by hoangly85 9 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 Ứ ụ ðể ầ ð ầ ả ử ả ạ ậ ð ờ ðị ĩ ủ Gi z = f(x, y) kh x , y ). Khi ể ầ ð ở ầ 0 0 th f(x, y) b ớ ậ ầ ậ v x, y) g x0, y0). ớ dụ: ầ ð V T ố ầ ð X f(x, y) = , ta t ý ầ A = f(1,02; 1,97) nh ’ ’ f(1,02; 1,97) f(1, 2) + f x(1, 2).(1,02 - 1) + f y(1, 2).(1,97 - 2) ớ v f(1, 2) = = 3 Suy ra õn cấp cao 4. Vi ph ị ế ụ ậ ờ ấề Cho h ả ũ ộ ị ế ờ B c ể ủ ề ỷế ậ ờ ấ ð ðýợ ọ ấ th i l ủ ậ ờ ấờ ệ 2 ắ ắ 2 ậ ầ 2 c f (x, y) hay v f. V d2f = d(df) ổ ờ ấ ậ ế ấ ủ ðýợ ðị ĩ ở ầ T ýu tầm by hoangly85 10 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ứ ấ ị ủ ụ ậ ờ ấầ C c ả ế ằ ờ ðạ ỗ ợ ụ ầ Gi ð ầ v ầ hay ta c ýờ ệ ỹ ừ ộ ứ ðể ế ạ ứ ấ ị Ng ýớ ạ ầ d ýừ ựờ ứ ấ ủ ụ ậ ờ ấ ể ðýợ ế ýớ ạ ầ T ứ ũ ð ýờ ợ ề ế ừ ề v hi éẠO HÀM CỦA HÀM ỢP IV. H ýờng hợp một biến ộc lập 1. Tr ả ử ụ ậ ờ ấ ờ ạ ầ ụ ậ ấờ ụ ậ ấề ậ ậ ấ ụ ậ ậ ấờ ậ ấấ Gi ữ ế ề éạ ủ ậ ấ ế ðýợ ứ ð ầ l ýu tầm by hoangly85 11 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ụầ V ế ð ụ ờ ụ ề T n , trong ế ð ụ T n trong ýờng hợp ều biến ộc lập 2. Tr nhi ả ử ụ ậ ờ ấ ờ ạ ế ờ ề ẩ ð ðể ðạ Gi ủ ợ ậ ậ ờ ấờ ậ ờ ấấ ũ ứ ýừ ự ý ri ðố ớ ộ ế ð ầ ụầ V ế ụ ậ ờ ấ ð ụ ề ụ T v n Ta c , , v . ð Do ýu tầm by hoangly85 12 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ð ụ ậ ấờ ụ ậ ấề Cho z = f(x,y,t), trong ðạ ủ ợ ầ T z(t) = f (x(t), y(t), t). ầ Ta c = = éẠO HÀM CỦA HÀM Ẩ V. N àm ẩn một biến 1. H ả ử ộ ệ ứ ữ ế ờ ạ Gi F(x,y) = 0 ð ≠ậ ờ ấ ị ế ðị ộ ậ ở ắ ủ ậ ≠ậ trong 0, y0) v 0, ả ế ằ ố ýừ ấ ậ ờ y ) = 0. Gi y duy nh 0 ≠ậ ờ ấ ụ ếề y) D v ý ậ ố ụ ậ ấ ðị ả ậ – ỏ ≠ậ ờ ậ ấấ Nh 0 s, x0 + s) v th ố ụ ậ ấ ðýợ ọ ẩ ế = 0 . H ðị ở ýừ ≠ậ ờ ấ ụ ếề ọ ýờ ọ ðị ẩ ðị ẳ ðị ự ồ ạ Trong to h l ủ ẩ ðạ ủ ề ắýớ ð ðị ừ ả ẩ ộ ế ề c éịnh lý: ả ử ≠ậ ờ ấ ỏ ị ð ề ệ ầ Gi ụ ở ửậỳờ ồấ ỳậ ồờ ớ ≠ậ (i) F li g h 0, y0) b 0, y0) = 0; ồ ạ ðạ ụ ồấ ≠ ếề (ii) T trong B(P, (x0, y0) ð ồễế ýừ ≠ậ ờ ấ ụ ế ðị ộ ẩ ậ ấ ả Khi ụ ậ – vi li 0 s, x0 + s) v ýu tầm by hoangly85 13 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 . ận xột: ế ừ ậ ự ồ ạ ủ ẩ ðạ ủ ứ Nh N ðạ ủ ẩ ðị ể ễ ừ ứ ðạ ủ ợ ầ c ’ ’ ’ 0 = F(x, y(x)) = F x + F y . y ’ ụ => y - ụầ ðạ ủ ẩ ạ ð ể ậữờ ðấ V T t ế ề – x ðề n e .sin y = ờ ấ ðạ ýừ ðýợ Coi y l tr ’ – x – x ’ ụ ế y + x.y e siny e cosy. y ạ ậ ờ ấ ụ ậữờ ðấ ầ T ð ự ’ ự ề ’ ụ ế ’ậữấ ụ Suy ra y ỳ: éể ðạ ấ ị ’’ ủ ẩ ờ ừ ệ ứ Ghi ch ’ ự ≠’ ề ’ 0 = F ể ế ụ ấ ðạ ðýợ ầ ta c ’ ự ậ≠ộ ’ấề ’ ự ≠’ 0 = F"xx + F"xy.y yx + F"yy. y y.y". ừ ð ẽ ”ề T àm ẩn 2 biến 2. H ýừ ự ý ýờ ợ ẩ ữ ế ờ ớ ộ ố ả ế ýừ T ýu tầm by hoangly85 14 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 F(x,y) = 0 ẽ ðị ộ ẩ ụ ậ ờ ấ ị ế ờ ề s éịnh lý : ả ử ≠ậ ờ ờ ấ ỏ ð ề ệ Gi n ụ ầ ở ửậỳ ồấ ỳ ồ (i). F li 0, 0(x0, y0,z0) b F(x0,y0,z0) = 0; ồ ạ ðạ ụ ≠’ ’ ’ ồấ ≠’ (ii) T F , F trong B(P (x ,y z ) ≠ ếề x, y z 0, z 0 0, 0 ð ồ ạ ọễế ýừ ≠ậ ờ ờ ấ ụ ế ðị ộ ẩ Khi n ậ ửậậ ủ ð ể ậ ừ ữ ẩ ụ ậ ờ ấ trong l ,y ), s) c , y ). H ðạ 0 0 ậ ầ 0 0 ; 9; ỳ éị ể ðýợ ở ộ ýờ ợ ẩ ề ế ừ Ghi ch : ờ ðị ở ýừ ầ = z(x1,x2, n) x ờ F(x1,x2, n, z) = 0 ớ dụ: V ẩ ụ ậ ờ ấ ðị ở ýừ z Cho h = x + y + z ’ờ T x x" v xy". éạ ýừ ế ðýợ ầ ’ ụ z ’ ụễ ’ ụ 1 + zx . zx x ế ụ ấ ðạ ðýợ ầ Ti z ’ấ2 z zxx" = e . (zx + e . zxx" ; z ’ ề ’ ự z zxy" = e . zy x . zxy" Suy ra: zxx" = ýu tầm by hoangly85 15 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 zxy" = ’ ýừ ự ý ệ ’ờ ầ T y x ’ ụ zy ð Do zxy" = ỰC TRỊ VI. C éịnh nghĩa và iều kiện cần 1. ụ ậ ờ ấề é ể ỳ ðýợ ọ ð ể ự ðạ ậðị ýừ ấ ủ X (x,y) ọễế ậ 0 ờ ấ ≤ ậ ớ ọ ậ ờ ấ ọấề f(x,y) khi c 0,y0) v B(P0, ýờ ợ Tr ọấ ỳ ð ể ự ðạ ậðị F(x,y) < f(x ,y ) (x,y) B(P , \ {P }th l ýừ ấ ặ0 0ủ ậ ờ ấề 0 0 0 ph ệ ự ể ậðị ýừ ấ ðýợ ðị ĩ ýừ ựề ũự ðạ ðị Kh ýừ ự ể ðị ýừ ðýợ ọ ự ị ðị ýừ ề ph éịnh lý: (Fermat) ế ậ ờ ấ ðạ ự ị ðị ýừ ạ ậ ðạ ạ ð N ,y ) v m ri ’ậ ’ậ 0 0 fx 0,y0) = fy 0,y0) = 0. é ể ạ ð ðạ ủ ðề ằ ế ðýợ ọ ð ể ừ ủ ề ằ ðị ỉ ð ề ệ ầ ðể ự ịờ ð ể ừ ý Ch ắ ð ể ự ịề éị ð ð ề ệ ðủ ðể ự ịề ch éịnh lý ( iều kiện ủ): ả ử ụ ậ ờ ấ ậ ậ ộ ð ể ừ ờ ậ ờ ấ ðạ ấ ị Gi y ) l ụ ộ ậ 0, ủ0 ậ éặ li x0, y0). A = fxx"(x0,y0), B = fxy"(x0,y0), C = fyy"(x0,y0), ýu tầm by hoangly85 16 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 2 – v = B A.C ð ầ Khi ế ố ðạ ự ị ạ ậ (i). N > 0 th 0,y0). ế ố ðạ ự ị ặ ạ ậ (ii). N < 0 th 0,y0). ừ ữ ầ H ð ể ự ðạ ồ ≥ (x0,y0) l 0; ð ể ự ể ồ ễ ếề (x0,y0) l ế ý ế ậ ðýợ ố ậ ờ ấ ðạ ự ị ạ ậ (iii). N = 0 th ,y ) ề 0 0 hay kh ừ ðị ể ự ị ủ ụ ậ ờ ấ ýớ ð ầ T ýớ ữầ ðạ B ýớ ịầ ð ể ừ ằ ả ệ ýừ ầ B ýớ ĩầ Ứ ớ ỗ ð ể ừ ậ ðặ B 0,y0), A = fxx"(x0,y0), B = fxy"(x0,y0), C = fyy"(x0,y0), 2 = B - AC ấ ủ ủ ồ ðể ế ậ ề X v ýu ý éể ế ậ ðầ ðủ ề ự ị ả ýờ ợ ð ể ừ L : ạ ð ð ể ạ ð ồ ạ ðạ ấ ữ ấ m = 0 v ng t 2. ớ dụ: V ự ị ủ ố ụ 3 2 – 1) T + 3xy 15x -12y ’ ụ ĩ 2 2 – Ta c x + 3y 15, ’ ụ ẳ – zy 12 zxx" = 6x, zxx" = 6y, zyy "= 6x ýu tầm by hoangly85 17 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éể ð ể ừ ờ ả ệ ýừ ầ ệ ýừ ở ệ ờ ở ð ể ừ ầ H M1(1, 2); M2(2, 1); M3(-1, -2); M4(-2, -1). ạ ∞ T 1(1, 2): A = zxx"(1, 2) = 6 2 – B = zxy"(1, 2) = 12 => = B AC >0 C = zyy"(1, 2) = 6 ố ðạ ự ị ạ ∞ H 1(1, 2). ạ ∞ T 2(2,1): A = zxx"(2, 1) = 12 2 – B = zxy"(2, 1) = 6 => = B AC 0 ố ðạ ự ể ạ ∞ ớ H 2(2, 1), v min = z(2, 1) = -28 ạ ∞ T 3(-1, -2): A = zxx"(-1, -2) = -6 2 – B = zxy"(-1, -2) = -12 => = B AC >0 C = zyy"(-1, -2) = -6 ố ðạ ự ị ạ ∞ H 3(-1, -2). ạ ∞ T 4(-2, -1): 9; ố ðạ ự ðạ ạ ∞ ớ H 4(-2, -1) v max = z(-2,-1) = 28 ýu tầm by hoangly85 18 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ả ự ị ủ ụ 4 4 – 2 – – 2 2) Kh + y x 2xy y ầ Ta c ả ệ ýừ ðể ð ể ừ ầ Gi ệ ýừ ĩ ệ ð ể ừ ầ H 3 P1(0, 0); P2(-1, -1); P3(1,1) ðạ ấ ịầ T h ạ ỳữậếờ ếấầ T 9; ý ế ậ ề ự ị ạ ỳ ả ả ự ế ề ậếờ ếấ ụ Ta ch 1 m ớ 0, v th ýừ ấ (n nguy ớ é ề ấ ằ V th . ọ ậ ủ ỳ ố ðề ị ýừ ị ề ậ ỳ m h (0, 0) ả ð ể 1 ự ị 1 kh ạ ỳ ỳ ồ ụ ữếờ ử ụ 2 – ạ ỳị T (-1, -1) v (1, 1) ta c -2, C = 10, =B AC = -96. Suy ra t ỳĩ2 ố ðạ 3ự ể ặ ớ ầ v ýu tầm by hoangly85 19 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 zmin = z(P2) = z(P3) = -2 ỰC TRỊ Cể éIỀU ỆN VII. C KI éịnh nghĩa 1. ố ụ ớ ð ề ệ ộ ầ X (x, y), v (x, y) = 0 (*) ầ Ta n ðạ ự ðạ ặ ạ ậ ớ ð ề ệ ậảấ (x, y) , y ) v ế ậ ỏ ậảấ ớ ọ 0 ậ ờ0 ấ ỏ ậảấ ầ ậ n 0, y0) th 0,y0) ta c (x, y) (x0, y0) ðạ ự ị ặ ạ ậ ớ ð ề ệ ậảấ (x, y) , y ) v ế ðạ ự ðạ ặ 0ự 0 ể ạ ậ ớ ð ề ệ ậảấ n (x, y) 0,y0) v ýừng phỏp nhõn tử Lagrange 2. Ph éịnh lý: ð ề ệ ầ ủ ự ị ð ề ệ ấ ( ả ửầ Gi ðạ ấ ữ ụ ộ ậ C (x, y) v (x, y) c ủ ð ể ậ ớ c 0,y0) v (x0, y0) = 0 hay . ð ờ ế ðạ ự ị ạ ậ ớ ð ề ệ ồ ạ Khi (x, y) ,y ) v (x ,y )=0 th ố ự 0 0 0 0 s sao cho: ố ỡậ ờ ờ ðýợ ọ éị H ) = (x, y) + (x,y) Lagrange. ð ð ề ệ ðủ ủ ự ị ð ề ệ ề éịnh lý: ( iều kiện ủ của cực trị cú iều kiện) ýu tầm by hoangly85 20 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ả ử ðạ ấ ị ụ ộ ậ ủ ậ Gi (x, y) v (x,y) c li ,y ) ớ ậ ð ể ừ ủ ỡ ề ẩ ð ầ 0 0 v (x0,y0) = 0, v 0,y0, ) l ế N ðị ýừ ộ ề ờ ỏ ộ ầ x 2 2 ðạ ự v +dy 0, th (x, y) ể ặ ạ ậ ớ ð ề ệ ti 0,y0) v (x0,y0) = 0. ế 2 ðị ữ ề ờ ỏ ộ ý N L(x ,y , ) x 0 0 ðạ ự ðạ ặ ạ ậ ớ ð ề ệ tr (x, y) 0,y0) v (x0,y0) = 0. ế 2 ðị ấ ề ự N L(x ,y , ) kh ị ð ề 0 ệ 0 ạ ậ tr c 0,y0). ừ ðị ể ự ị ð ề ệ ýừ ử ỡ T ý ầ nh ýớ ữầ ỡậ ỡ B L = (x, y) + (x,y) ( R) ýớ ịầ B ả ệ ýừ ð ðể ð ể ừ ậ ớ v ,y ) c ị ýừ ứ ề 0 0 gi 0 t ýớ ĩầ ấ ị ủ ỡ ụ ỡậ ờ ấ B ộ ầ v ( ) ýu tầm by hoangly85 21 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ ỗ ð ể ừ ậ ðýợ ýớ ịờ ồ ụ V 0,y0) v = 0 t x 2 ụ ộ ấề d L(x0,y0) (ph ế ồ ễ ế ớ ọ ờ ðồ ờ ằ ế ỏ ộ ậảảấ N ố ðạ ự ể ð ề ệ ạ ậ th 0,y0). ế ồ ≥ ế ớ ọ ờ ðồ ờ ằ ế ỏ ộ ậảảấ N ố ðạ ự ðạ ð ề ệ ạ ậ th u ki 0,y0). ế ấ ủ ồ ðị ðồ ờ ằ N ỏ ộ ậảảấ ố ðạ ự ị ạ ậ 0 th 0,y0). ớ dụ: V ự ị ủ ụ 2 2 ớ ð ề ệ ự ụ ở T r + y v ậ ỡ ầ L 2 2 L(x,y) = x + y + (x + y - 4) ầ Ta c ð ể ừ ằ ả ệầ T ộ ð ể ừ ∞ậịờịấ ứ ớ Ta c = -4. ðạ ấ ị ủ ỡậ ờ ấầ T , , 2 2 2 d L = 2dx + 2dy . ậ 2 ạ ∞ậịờịấ ố ðạ ự ể ậ ð ề ệ ấ ạ ð ớ V L > 0 t min = z(2,2) = 8. ýu ý: ýờ ợ ừ ệ ứ L Trong tr (x,y) = 0 ể ðýợ ữ ế ế ờ ẳ ạ ể ụ ằ ta c (x) th ế ụ ể ý ữ ế ầ c (x) v th z = z(x, (x)) ýu tầm by hoangly85 22 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ð ể ự ị ủ ý ữ ế ề Khi ạ ụ ờ ấ ầ X – x + y = 4 y = 4 x Suy ra z = x2 + y2 = x2 + (4-x)2. ữ ế ầ Xem z l ’ậ ấ ụ ị – – z 2(4 - x) = 4x 8 ’ậ ấ ụ ế z x = 2 ậ ả ế ờ ầ L X - 2 + ’ậ ấ Z - 0 + Z 8 ậ ụ 2 2 ðạ ự ể ậ ớ ð ề ệ ự ụ ởấ ạ ∞ậịờịấ ớ V + y min = 8 Á TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT VIII. GI 2 é ể ỳậ ờ ấ ðýợ ọ ộ ð ể ủ ồ ạ ộ Cho D . D D khi t n t ầ ở ửậỳờ ðề ứ ð ể ộ ð ể ộ ậ ợ h ) D v D . T ð ể ủ ðýợ ọ ủ ề ðýợ ị ề ð ứ D D. Mi D D ch ọ ð ể ủ ề m ể ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ộ ề ð Ta c (x,y) tr ị ặ ý ầ v D nh ýớ ữầ ’ ’ ề Ứ ả ệ ýừ B tr ðể ð ể ừ ở ầ ủ D ýớ ịầ ð ể ạ ð ðạ B c ýu tầm by hoangly85 23 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýớ ĩầ ị ớ ấ ủ ủ ðế ự ị B (x,y) tr D (li ð ề ệ ấ c ýớ ởầ ị ủ ố ạ ð ể ðýợ ở ýớ ữờ ýớ B ớ ị ớ ấ ỏ ấ ậở ýớ ĩấ ðể ị ớ ấ 2 v ỏ ấ ủ ốề v ớ dụ: ị ớ ấ ỏ ấ ủ ố V T 2 2 – z = x + y xy + x + y ề ớ ạ ỡ ầ tr D gi 0, y 0, x + y -3 ầ Ta c ả ệầ Gi x = -1, y = -1 ðýợ ữ ð ể ừ ∞ậ ớ ậ Ta t -1,-1) D, v -1,-1) = -1 ủ ề ồ ĩ ð ạ ẳ ẫồờ ẫử ồửề Bi D g ẫồ ầ Tr x = 0, -3 < y < 0 z = y2 ’ ụ ị ự ữ ụ ế z y = ộ ð ể ự ị ẫồ ớ m v ýừ ựờ T ẫử ự ị ạ ớ tr v ồử ự ị ạ ớ tr v . ạ ð ể ẫờ ồ ử ầ T ta c ýu tầm by hoangly85 24 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 z(0,0) = 0; z(0,-3) = 6; z(-3,0) = 6 ậ ị ớ ấ ỏ ấ ủ ầ ýợ ẳ V D l ị ụ ớ ị ớ ấ ủ ẳ ạ ồậếờ So s -1, z=6 v ta suy ra gi - ửậ ị ỏ ấ ủ – ạ ∞ậ 3) v -3, 0); g 1 t -1, -1). ÀI TẬP CHíếNG 01 B ề ðị ủ ốầ 1-T a) b) c) d) ðạ ủ ốầ 2-T e) f) g) h) ðạ ạ ủ ầ a) T c h ðạ ạ ậếờ ếấ ủ ầ b) T ýu tầm by hoangly85 25 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ầ ủ ốầ 3-T h i) j) ấ ị ủ ố 4- T k) l) m) n) ộ ế ả ề éặ ụ ậ 2 2 ứ ỏ ằ ả 5-Cho f(t) l -y ). Ch ýừ ầ ph ứ ầ Ch ớ a) v ớ b) v ự ị ủ ốầ 6- T o) p) ýu tầm by hoangly85 26 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 q) r) s) t) ự ị ð ề ệ ầ 7-T ớ ð ề ệ a) v ớ ð ề ệ b) v ị ớ ấ ỏ ấ ủ ốầ 8- T ớ ạ ở ðýờ c) trong tam gi ớ ạ ở ðýờ ụ d) trong h v ho ớ ạ ở ðýờ e) trong h ðạ ủ ợ 9-T ớ ð f) v trong v ớ ð g) v v trong v ầ ð ầ 10-T h) i) ðạ ’ ủ ẩ ụ ậ ấ ðị ở ýừ ầ 11-T ýu tầm by hoangly85 27 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 j) k) ẩ ụ ậ ờ ấ ðị ở ýừ 12-Cho h T v ýu tầm by hoangly85 28 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 íếNG II: TÍCH PHÂN BỘI CH Đ1. Tớch phõn kộp éỊNH NGHĨA VÀ CÁC ÍNH CHẤT I. T éịnh nghĩa 1. ðị ề ð ờ ị ặ ề ả ờ Cho h f(x,y) x D. Chia mi D th ệ ầ ýợ ỗ ả ấ nhau D , D , , D c S S , , S . Trong m D , l 1ộ ð2 ể n ậ ổ ậ ọ ổ 1 , 2 n ủ i t Mi(xi, yi). L c f(x,y)) ọ ả ớ ấ ữ ð ể ế ồ ạ ớ ạ G d(Di) l Di. N ữ ạ ờ ụ ộ ề ọ ð ể h D v M (x ,y ), th ọ ả ề ọ ủ i i i ề f(x,y) g D, v S g f(x,y) tr D, ệ k ế ả ề ụ ộ ề N f(x,y) kh D, th ð ờ ề ở ðýờ ẳ ớ ụ ọ ðộề ẩ ð ờ D. Do D b à dS = dx . dy Si = x y v ậ ể ế V ýờ ứ ðýợ ằ ầ ổ ụ ộ ề ð ờ ị ặ Ng f(x,y) li D ả ề ð ề th ớnh chất: T ệ ủ a) (di D) ýu tầm by hoangly85 29 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 b) c) ế d) N D = D1 D2 , D1 D2 = th ế e) N f(x,y) g(x,y) (x,y) D th ế ∞ ằ ốờ f) N f(x,y) M (x,y) D, m v ế ụ ề ð ờ ị ặ ồ ạ ð ể g) N f(x,y) li D th M(x ,y ) sao cho éị 0 0 ề ị ấề ( éạ ýợ ọ ị ủ g f(x,y) tr D. í nghĩa hỡnh học 2. ầ ộ ể ủ ậ ể ớ ạ ýớ ở ề ớ Ta x to gi D (Oxy), gi ạ ở ặ ýừ ớ ạ ở ặ h z = f(x,y) 0 v ụ ðýờ ớ ẫ ðýờ ẩ ủ ắ ộề tr ể ủ ằ ýừ ầ ð ề Ta t b ýu tầm by hoangly85 30 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ề ả ờ ệ ấ Chia mi D th D ,D , ,D c S , S , , S . L ỗ ả ỏ ð ờ ự ụ 1 2 ðnýờ 1 2ớ n ặ m Oz, m ớ ạ ở ặ tr z = f(x,y). ụ ứ ầ ð ấ ữ ð ể ∞ ể ụ X D , L (x ,y ). ta c ứ i i i i th Vi f(xi,yi). Si ể ầ ð ủ Th : ấ ỉ ế ớ ả ðýờ Ph D c ỏ ậ ðýờ ủ i nh d(Di): Di ) ậ V ÁCH TÍNH TÍCH P ÂN Kẫ II. C H P éýa về tớch phõn lặp 1. ế N th ýu tầm by hoangly85 31 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế N th ớ dụ 1: ðị ậ ủ ớ ề ðị ở V X v D x ðýờ y = 0, y = x, x = 2 y = 0, y = x2, x + y = 2 ải: Gi ể ễ C D: ặ ho ð Do ị ể ễ C D: ýu tầm by hoangly85 32 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 2: ớ ạ ở ðýờ – 2 V T , D gi y = x 4, y = 2x ải: ðộ ð ể ầ Gi Ho ð ờ ề ðýợ ể ễ Do D ậ V éổi biến trong tớch phõn kộp 2. éổi biến tổng ỏt a. qu ả ử ðạ ụ ề Gi x = x(u,v), y = y(u,v) l ð ờ ị ặ ọ Duv. G ế ả ðị ứ ỹ N f(x,y) kh Dxy v tr Duv th ýu tầm by hoangly85 33 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 3: ớ ớ ạ ở ðýờ V T v D gi ải: ðýờ ẳ ế ạ Gi C éặ – u = x + y, v = 2x y th ậ V ớch phõn kộp trong tọa ộ cực b. T ứ ệ ọ ðộ C x = r.cos y = r.sin ầ Ta c ậ ầ Do v ớ dụ 4: ớ ắ ớ ạ ở ầ ậ – 2 2 V T , v 1) + y 1, y 0 ải: Gi ýu tầm by hoangly85 34 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 R ậ – 2 2 ðýợ ụ ị Thay x = rcos , y = rsin v 1) + y = 1, ta ậ V ð ầ Do ớ dụ 5: ớ ắ 2 2 2 V T v + y R . ải: ể ệ ọ ðộ ự ờ ầ Gi Chuy ð ầ Do ÀI TẬP B 1 -T a) b) c) ýu tầm by hoangly85 35 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 d) 2-T 2 a) , D: 0 x 2; x y 2x b) , D: 0 x 2; -1 y 1 c) , D: xy = 1; y = ; x = 2 éổ ứ ự ế ấ 3- a) b) c) d) 4- T d) , D: ; y = 0 e) , D: y = x; ; y = 0 2 2 f) , D: x + y 1 g) , D: ; a, b > 0 ýu tầm by hoangly85 36 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 h) , D: – i) , D: y = x + 1; y = x 3; ệ ề ắ ớ ạ ở 5-T j) D: y = x2; y = x + 2 2 – 2 k) D: y = x; y = 2x x l) D: ; x = 1; y = -1 m) D: y = 2x; y = -2x; y = 4 Đ2 Tớ õn bội 3 ch ph éỊNH NGHĨA VÀ TÍNH C ẤT I. H éịnh nghĩa 1. ố ðị ề ð ờ ớ ộ ủ ẫ ề Cho h (x,y,z) x c ề ề ỏ ể ờ ấ ộ ð ể Chia mi th V , V . L ề ỏ ứ ề 1 n Mi(xi,yi,zi) trong mi ậ ổ L ế ớ ạ ữ ạ ờ ụ ộ ề N : h , ∞ ọ ả ề ỗ ọ ộ ĩ ủ v , th (x,y,z) g , v i ệ tr , k ýừ ự ý ờ ệ ộ ĩ ýờ T ế vi ýu tầm by hoangly85 37 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ầ ỷế ể ủ Ch (x,y,z) = 1 th (th ). ớnh chất 2. T ế N th ế N (x,y,z) g(x,y,z) (x,y,z) th ế ụ ề ð ị ặ ồ ạ ð ể ậ N (x,y,z) li ng, b th ,y ,z ) 0 0 0 sao cho éị ề ị ấ ( ÁCH TÍNH TÍCH P ÂN BộI 3 II. C H ớch phõn bội 3 trong hệ tọa ộ Descartes 1. T ớ ạ ỡ ầ Cho gi ặ ầ ụ M 2(x,y) ặ ýớ ầ ụ M 1(x,y) ặ ụ ðýờ ớ ụ ẫ ðýờ Xung quanh: m ẩ ủ ề ắ ộ ặ ẳ ẫ ề ậắ ế ủ chu ố ặ ẳ ẫ ấề xu ð Khi ýu tầm by hoangly85 38 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ề N th ớ dụ 1 ề Ù ớ ạ ở ặ ầ ụ ếờ ụ ếờ ụ ếờ ự ự ị ụ ịề V : Cho mi ế ộ ĩ ứ ự ầ Vi theo c a). dxdydz b). dxdzdy c). dydzdx ải: Gi ế ủ Ù ố ặ ẳ ẫ ề a). H c ớ ạ ủ Ùầ Gi ớ ạ ýớ ủ Ùầ Gi ậ ầ V ýu tầm by hoangly85 39 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ủ Ù ố ặ ẳ ẫ ề b). H ớ ạ ủ Ùầ Gi ớ ạ ýớ ủ Ùầ Gi h ậ ầ V ế ủ ố ặ ẳ ẫ c). H c ớ ạ ủ ầ ụ ị Gi l -y-2z ớ ạ ýớ ủ ầ ụ ế Gi l ậ V ớ dụ 2 ề ớ ạ ở ặ ầ V : T , l z = x2+y2; z = 4; x = 0; y = 0. ải: Gi ýu tầm by hoangly85 40 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ủ ề Ù ố ặ ẳ ẫ ầ H u h ặ ủ Ùầ ụởờ M ặ ýớ ủ Ùầ ụ 2 2 M +y . ậ V y: ớnh tớch phõn bội 3 trong hệ toạ ộ trụ 2. T ýu tầm by hoangly85 41 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ạ ðộ ụ ủ ð ể ∞ậ ờ ờ ấ ộ ố ậ ờửờ ấờ ớ ậ ờửấ ạ ðộ ự ủ ế To ủ ∞ ố ặ ẳ ẫ ậổ ẽấ c ầ ≥ ếủ ế≤ ử ≥ịðủ ∞≥ ≥ự∞ề Ta lu - ố ệ ữ ạ ðộ ắ ạ ðộ ụ M ử x = r cos ử y = r sin z = z ầ Ta c ớ dụ 3 ớ Ù ề ớ ạ ở ụ 2 2 V : T v +y ; z = 4 ải: Gi ế ủ Ù ố ặ ẳ ẫ 2 2 ≤ ở H +y ể ạ ðộ ụ Chuy ýu tầm by hoangly85 42 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 Ù ớ ạ ở ầ ≤ ử ≥ ịðủ ế ≤ ≤ ịủ 2 ≤ ≤ ởề ậ ầ V ớnh tớch phõn bội 3 trong hệ toạ ộ cầu 3. T ạ ðộ ầ ủ ộ ð ể ∞ậ ờ ờ ấ ộ ĩ ố ậ ờốờử ớ ụ ẫ∞ờ ố ữ ụ To ), v ử ữ ụ ẫ ớ ∞’ ế ủ ∞ ố ặ Oz v , , v chi ẳ ẫ ề ph ầ ớ ọ ð ể ∞ ≥ ếủ ế ≤ ố ≤ ðủ ế ≤ ử ≤ ịð Ta c ố ệ ữ ạ ðộ ắ ạ ðộ ầ ầ M ố ử x = r sin ố ử y = r sin ố z = r cos ứ ệ ạ ðộ ầ C ớ dụ 1 ớ Ù ề ớ ạ ở ặ ầ V : T v x2+y2+z2 = 1; x2+y2+z2 = 4. ể ệ ạ ðộ ầ ờ ầ Chuy ề Ù ðị ở ữ ≤ ≤ ịủ ế ≤ ố ≤ ðủ ế ≤ ử ≤ ịðề Mi ậ ầ V ýu tầm by hoangly85 43 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 4 ớ Ù ề ớ ạ ở 2 2 2 ≤ ề V : T v +y +z ể ệ ạ ðộ ầ ầ Chuy ề Ù ðị ở ế ≤ ≤ ốủ ế ≤ ố ≤ ≤ ử ≤ ịðề Mi ; 0 ậ ầ V Đ3 Ứng dụng của tớch phõn bội ỨNG DỤNG HèNH HỌC I. ớnh diện tớch hỡnh phẳng 1. T ệ ủ ề ắ ặ ẳ ẫ Di ể tớch vật thể 2. Th ậ ể Ù ẫ ầ V ế Ù ớ ạ ở ặ ụ ớ ạ ýớ ở ặ ụ ớ ạ N (x,y) , gi (x,y) v ở ặ ụ ðýờ 2 ớ ẫ ðýờ 1 ẩ xung quanh b ủ ề ắ ặ ẳ ẫ c ớ dụ 1 ể ầ ằ ặ ầ 2 2 2 V : T n +y +z = 4 ải: Gi ýu tầm by hoangly85 44 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ọ Ù ậ ể ằ ầ 2 2 2 ≤ ở G n +y +z ể ệ ạ ðộ ầ Chuy ề ớ ạ ở ế ≤ ≤ ịủ ế ≤ ố ≤ ≤ ử ≤ ịðề Mi ; 0 ậ V ớ dụ 2 ể ầ Ở V : T ải: Gi ể ầ ầ Ta c ầ Ùầ 2 2 2 ≤ Ở2 H +y +z ể ệ ạ ðộ ầ Chuy , ề Ùầ ế ≤ ≤ Ởờ ế ≤ ố ≤ ðờ ế ≤ ử ≤ ịð V ậ ầ V ỨNG DỤNG Cế HỌC II. ýu tầm by hoangly85 45 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớnh khối lýợng 1. T ố ýợ ủ ậ ể Ù ố ýợ ạ ð ể ∞ậ ờ ờ ấ ậ ờ ờ a. Kh v ầ z) th ế ả ẳ ắ ặ ẳ ẫ ố ýợ ậ ờ ấ b. N : ỏn tớnh của vật thể Ù với khối lýợng riờng ủ(x, y, z) ối với 2. Momem qu ụ ẫ ầ c. tr ụ ẫ ầ d. tr ụ ẫ ầ e. tr ðýờ ẳ ỡầ ả f. , r(x, y, z) l ừ ð ể ∞ậ ờ ờ ấ ðế ỡ t ặ ẫ ầ g. M ặ ẫ ầ h. M ặ ẫ ầ i. M ố ọ ðộầ j. G ĩnh của Ù với khối ýợng riờng ủ(x, y, z) ối với 3. Momen t l ặ ẫ ầ a) M ýu tầm by hoangly85 46 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ặ ẫ ầ b) M ặ ẫ ầ c) M ọng tõm của Ù với khối lýợng riờng ủ(x, y, z) là 4. Tr ÀI TẬP B ớ Ù 1- T v ớ ạ ở ế ≤ ≤ ữủ ữ ≤ ≤ ịủ ị ≤ ≤ ĩề a) gi ớ ạ ở ặ ầ ự ự ụ ữủ ụ ếờ ụ ếờ ụ ếề b) gi ầ 2-T Ùầ ụ 2 2 ấ ề ≥ ếờ ≥ ếấề a) , + y ; z = 4, x = 0, y = 0 (l Ùầ ụ 2 b) , , y + z = 1, z = 0. ầ 3- T Ùầ ụ 2 2 2 2 a) , + y ; x + y = 4; z = 0. Ùầ 2 2 b) , + z = 1, y = 0, y = 1. Ùầ 2 2 c) , , z = x + y . Ùầ ầ ứ ấ ủ ố ầ ðừ ịề d) , th Ùầ 2 2 2 e) , + y + z = 2; . ýu tầm by hoangly85 47 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 Ùầ 2 2 2 ≤ Ở2 ≤ ếề f) , + y + z , x ể ậ ớ ạ ở ầ 4-T 2 2 – 2 – 2 a) z = x + 3y , z = 8 x y – 2 ặ ẳ ọ ðộ ằ ầ ứ ấ b) y + z = 2; x = 4 y , c c) x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2. – 2 – 2 ặ ẳ ọ ðộ ằ ầ ứ ấ ề d) z = 4 x y , c ðố ớ ụ ẫ ờ ẫ ờ ẫ ủ ố ữ ậ ðồ ấ ¿ầ 5- T ọ ðộ ọ ủ ậ ể ðồ ấ ớ ạ ở ặ ụ ếờ 2 a) T + y2 + z2 = 4. ọ ðộ ọ ủ ử ầ 2 2 2 ≤ 2 ≥ ế ế ố b) T + y + z , z ýợ ạ ỗ ð ể ỷ ệ ớ ả ừ ð ể ð ðế ố ọ ðộề l ýu tầm by hoangly85 48 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 íếNG III: TÍCH PHÂN éíỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT CH ÍCH PHÂN éíỜNG L ẠI MỘT I. T O éịnh nghĩa 1. ậ∞ấ ðị ồửề ũ ầ ở ð ể Cho h th t ≥ ồ ụ ửề éặ ðộ ồ ồ ồ ồ ấ A = Ao < A < li l v l ộ ð ể ∞1 ờ ụ ữờ ị ờ ờ ề -1 -1 m ữềữấ (H ậ ổ ầ L ế ớ ạ ữ ạ ỗ ụ N sao cho max{ li } 0 v ộ ồ ồ ọ ∞ ờ ỗ ðýợ ọ thu -1 v ðýờ ạ ữ ủ ðýợ ệ ầ a f(M) tr v ậ ầ V ýu tầm by hoangly85 49 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ð ậ∞ấ ả ồửề Khi ế ộ ặ ẳ ị ế ậ ờ ấ ệ ầ N thu ờ ậ ờ ờ ấ ệ Trong kh í nghĩa thực tế: ậ ấ ạ ỡ ậ ðộ ố ýợ ậ∞ấ ụ ộ ð ể Xem 1 d ờ ố ýợ ủ ậ ấ ầ M tr ðýờ ạ ữ ề ứ ụ ự ếờ ðýợ ở ụ ỗề≤ T c t éịnh lý tồn tại 2. ế ậ∞ấ ụ ọ ừ ðýờ ạ ữ ồ ạ ề N th ỏc tớnh chất 3. C ðýờ ạ ữ ụ ộ ýớ ủ ờ ĩ T ầ l ế ờ ả ồử ằ ố ự ũ ả ầ N ế ả ồử ũ ữ ð ể ồử N ầ th ế ậ∞ấ ả ồử ầ N 0 kh ýu tầm by hoangly85 50 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ả ồử ũ ả ồử N c ầ v ýu ý: ế ồử ừ ừ ậ ĩ ồử ể ữ ố ữ L N ạ ừ ấ ậ∞ấ ụ ồử ðị ồ ạ ấ h ẫ ð ề tr éịnh lý (về giỏ trị trung bỡnh) 4. ế ậ∞ấ ụ ừ ồử ðộ ỡề ẩ ð ồ ạ ð ể ộ N thu ỏ ầ AB th ụng thức tớnh tớch phõn ýờng loại 1 trờn mặt phẳng 5. C ú phýừng trỡnh tham số : a) Cung c ố ậ ờ ấ ụ ừ ýừ Cho h , v c r ố ầ tham s ð ạ ở ð ể ầ Chia [a,b] th ≥ ụ ề a = to < t1< . ð ồử ðýợ ýừ ứ ở ð ể ồ ậ ậ ấờ Khi ềờ ề ðị ị ầ y(tk)), k= 0,1,2 ấ ð ể ữ ∞ ậ ậ ấờ ậ ấấ ổ ầ L ýu tầm by hoangly85 51 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ả ổ ðị ờ ớ ạ ờ ðýợ ầ V ú phýừng trỡnh: y = y(x), a b) Cung c x b : ð ừ ứ ờ ầ Khi ú phýừng trỡnh tọa ộ cực c) Cung AB c ế ốờ ầ N l ậ ầ V ụng thức tớnh tớch phõn ýờng loại 1 trong khụng gian 6. C ố ậ ờ ờ ấ ụ ừ ồử ề ũ Cho h c ýừ ố ầ ph ýừ ự ý ầ ỗềỏề ờ ầ Ho ỏc thớ dụ 7. C ýu tầm by hoangly85 52 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 1: ớ ũ ðýờ ạ ðỉ ẫậếờếấờ a) Th T V A(1,0), B(0,1) ữềịấ (H ầ Ta c ầ Tr : y=0, dl = dx n ầ Tr : x=0, dl = dy n Tr : y= 1-x ậ ầ V ýu tầm by hoangly85 53 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 2: ớ ũ ðýờ ýừ ầ b) Th T V ử ụ ọ ðộ ự ầ S ậ ầ V ớ dụ 3: ớ ýừ ầ ụ ờ ụ ờ ụ ờ c) Th T V c 0 t 3 ốờ ầ Xem t l ớ dụ 4: d) Th ớ ðýờ ỡ ầ ọ ðộ ứ ấ ủ ế T v ữ ặ ỳ ýừ ụ ị 2 2 ặ ụ gi - x -2y v 2 ừ ð ể ậếờữờếấ ðế ậữờếờữấ z = x t ố ụ ờ ầ D ýu tầm by hoangly85 54 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ỡ ằ ọ ðộ ứ ấ ờ ðýợ ýừ ố ầ V ð ầ Do ậ ầ V Ứ ụng của tớch phõn ýờng loại 1 8. ng d ối lýợng 1 cung: a). Kh ả ử ậ ấ ề ỡ ố ýợ ụ ộ ð ể ∞ Gi ð ớ ữ ỏ ồ ồ ầ d (M). Khi +1, c ậ ầ V ớ ạ ðýợ ầ Qua gi ĩnh (moment thu nhất), ọng tõm cung phẳng : b). Moment t tr ẳ ộ ặ ẳ ờ ố ýợ ụ ộ Cho 1 cung ph thu ð ể ∞ậ ờ ấ ðị ĩ ừ ọ ờ (x,y). Theo ýu tầm by hoangly85 55 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ứ ủ ðố ớ ụ ẫ ∞ ðố ớ ụ ẫ ta c ∞ ầ l ừ ð ọ ố ýợ ủ ồử ðýợ ðị ở ầ T ế ðồ ấ ờ ằ ố ờ ầ ∞ụ ề N l (x,y) = h .L (L l ọ ðộ ọ ẽ ầ cung AB), v ũ ớ ằ ầ ắ ụ ẫ ụ ẫ C kh ệ ặ ẳ ð ạ ầ di ừ ứ ạ ðộ ọ ờ ầ T ớ dụ 5 ọ ủ ử ẫ Ởề Th : T ả ầ ử ồử ếề ắ ðố ứ ọ ậ ờ ấ ả Gi X ằ ụ ẫ ậ ử ồử ụ ẫ ðýợ n ). Khi n ả ầ ệ ặ ầ ầ ụ ở 2 ðộ ử ồử ỡ ụ qu R , v ậ ọ ðộ ầ R. V ĩnh (moment thứ nhất), trọng tõm cung trong khụng gian: c). Moment t ýu tầm by hoangly85 56 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ớ ố ýợ ýừ ự N trong kh ri (x,y,z) th ýờ ợ ẳ ố ýợ ĩ ồử ðố ớ tr ặ ọ ðộ ế ờ ế ờ ế ầ c ọ ố ýợ ủ ứ ầ V cung c ế ồử ðồ ấ ậ ằ ốấ ầ N =h v ớ dụ 6 ử ằ ðặ ặ ẳ 0 ýừ Th : Cho n z c 2 2 ế ố ýợ – ố tr + z = 1, z 0. Bi t kh (x,y,z) = 2 z. H ýợ ọ ủ ử ð ề l ữềĩấ (H ử ằ ặ ẳ ờ ọ ụ ếề Do n Ngo ðố ứ ố ýợ ố ðố ứ ðố ụ ẫ ọ ýừ ố ủ ử ầ ụế ờ ụ ờ ụ ờ ế y=0. Ph t ậ ầ V ýu tầm by hoangly85 57 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ỏn tớnh (moment thứ hai) d). Moment qu ứ ớ ố ýợ ðố Ta c v (x,y,z) ớ ụ ạ ðộ ầ v ổ ờ ðố ớ ðýờ ẳ ðýợ ở ầ T ớ ậ ờ ờ ấ ầ ả ừ ð ể ðế ðýờ ẳ V m M(x,y,z) ẳ ệ ứ ýừ ựề Khi cung l ện tớch mặt trụ e). Di ộ ớ ế ố Cho m trong kh 0 c ặ ẳ ế ặ ụ ớ ðýờ ụ ẫ m Xem m z, ðýờ ẩ ũắ ớ ạ ũắờ ớ ạ ýớ ở ồửờ ớ ạ ở ðýờ ẳ ồũờ ửắ 2 b ýu tầm by hoangly85 58 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ữềở ấ (H ả ử ũắ ýừ ụ ậ∞ấờ∞ Gi AB ầ ở ð ể ồụồ ờ ồ ờ ồ ụ ử Chia cung AB th 1, ð ặ ụ ũ ðýợ ýừ ứ ặ ụ ỏờ ặ ụ ứ Khi ớ ð ồ ồ ệ ðýợ ầ ð ệ ữ ậ v c ng di ð +1 ề ậ∞ ấờ ớ ∞ ụ c i = AiAi+1 chi AiAi+1 l i x f(Mi). ð ệ ặ ụ ệ ầ ð ầ Khi ớ ạ ờ ầ Qua gi h ớ dụ 7 ệ ầ ặ ụ 2 2 2 ằ ữ ặ ụ ế Th : T + y = R n ở z= 0 , y 0. ải: ặ ụ ớ ạ ở ðýờ ụ ớ ạ ýớ ở Gi Do m , gi 2 2 2 ặ ẳ ờ ýừ ầ ụ Ở v + y = R trong m s t, y = Rsin t , 0 t /2 ậ ầ V ầ Ta c ýu tầm by hoangly85 59 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ÍCH PHÂN II. T éíỜNG LOẠI HAI éịn ĩa tớch phõn ýờng loại hai trong mặt phẳng 1. h ngh ỳậ ờ ấờ ẵậ ờ ấ ðị ộ ặ ẳ ề ũ Cho 2 h thu ầ ở ð ể ồ ụ ồ ≥ ồ ≥ ồ ụ ửờ ớ ồ ậ ờ ấ th < ỗ ấ ộ ð ể ∞ ậ ờ ấ 1 ờ ụ ữờ ị ờ ờ ðặ – m AiAi l xi = x –+1 i+1 xi , yi = yi+1 yi ậ ổ ầ L ế ớ ạ ữ ạ ỗ ớ ðộ N sao cho max{ li } 0 v li l ụ ộ ð ạ ồ ồ ọ cung AiAi v v ỗ ðý+1ợ ọ ðýờ ạ ị ủ ậ∞ấ ồ-1 ử ðýợ ệ Mi, th h ph ầ l ậ ầ V éịnh lý 2. ế ỳậ ờ ấ ờ ẵậ ờ ấ ụ ộ ề ở ứ ồử ừ ừ N u c ðýờ ạ ị ồ ạ ề kh lu ớnh chất 3. T ðổ ýớ ổ – a). Do khi th th xi = x xi , – ðýợ ằ ðýờ ạ ị ị ðổ iấ+ 1ề yi = yi yi - xi , - yi n ầ +1 c ýu tầm by hoangly85 60 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ð ðýờ ấ ðýờ ũờ ýớ ýớ ýừ ũ Do ýớ ð ọ ũ ề ị ặ ở ũ ằ ề ổýớ ýợ l mi ạ ýớ ề ýớ ýừ ðýợ ệ ầ l ịềữấ (h ế ỳậ ờ ấờ ẵậ ờ ấ ả ðýợ ị b). N , v ỳờ ẵ ũ ả ị ð ờ , th : ụng thức tớnh tớch phõn ýờng loại 2 trờn mặt phẳng 4. C ú phýừng trỡnh tham số : a). Cung AB c ố ỳậ ờ ấờ ẵậ ờ ấ ụ ề ở ắ ứ ừ Cho h . Cung c ýừ ố ầ ụ ậ ấ ờ ụ ậ ấ ờ ứ ớ ð ể ồ ụ ứ ớ ph t b, t=a b ð ể ửề ừ ðị ĩ ể ổ ủ ị ệ T l ớ ạ ủ ị ấ ầ (gi ýu tầm by hoangly85 61 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ð ạ ở ð ể ầ ụ ≥ ≥ ụ ề ẩ ð ồử Chia [a,b] th < ðýợ ýừ ứ ở ð ể 1ồ ậ ậ ấờ ậ ấấờ ụếờữờị ềờ ề ðị ỡ ầ ỏ ầ th ấ ð ể ữ ∞ ậ ậ ấờ ậ ấấ ầ L ýừ ự ầ T ý ậ ứ ðýờ ạ ị ðýợ Nh ðị ầ ế ýừ ụ ậ ấờ N c t b th ỳ ý : ứ ẫ ð ừ ừ ề Ch C tr ài toỏn cừ học dẫn tới tớch phõn ýờng loại 2: cụng do một lực sinh ra trờn 5. B ột cung m ự ọ X to sinh ra d . ế ự ðổ ðýợ ế ầ N kh ýờ ợ ổ ờ ở ð ể ồ ụ ồ ≥ ồ ≥ ồ ụ Trong tr b 1 < ỗ ồ ồ ấ ộ ð ể ∞ ờ ớ ụ ữờ ị ờ ờ ề ỷế B. Tr -1 l t ể ấ ỉ ð ạ ẳ ồ ồ ự ðổ ấ ỉ AiAi+1 kh +1 v l ýu tầm by hoangly85 62 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ở ð ồ ồ ðýợ ấ ỉ ở b . Khi g sinh ra tr +1 ð ờ ầ ồ ồ ≠ậ∞ ấ ề ồ ồ . Khi = xi + yi. v = P(x,y) +1 -1 xi + Q(x,y). yi ý ậ ồử ðýợ ấ ỉ ở ổ ầ V ế ớ ạ ữ ạ ỗ ớ ðộ N sao cho max{ li } 0 v li l ụ ộ ð ạ ồ ồ ọ ∞ ờ cung AiAi v v ỗ ðýợ -1ọ ðýờ ạ ị ủ ậ∞ấ ồử - 1 ðýợ ệ ầ th l ế ả ổ ðýờ ạ ị ủ ố ỳậ ờ ấờ ẵậ ờ ấ ọ V ớ ạ ðýợ ầ cung AB. Qua gi ừ ðýờ ạ ị ọ ằ ề T ự ế ũ ẫ ớ ệ ớ ạ ẫ ớ ệ ðýờ b ạ ịề lo ột số thớ dụ tớch phõn ýờng loại 6. M 2 ớ dụ 1 ðýờ ạ ị ầ ớ ồậếờếấờ ửậữờữấề ũ Th : T v ðýờ ầ AB l é ạ ẳ ồử ýừ ụ ờ ế a). x 1. éýờ ỳ ụ 2 b). . ải: Gi ớ ồử ầ ụ ờ ế ầ a). V x 1 th ýu tầm by hoangly85 63 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ ồử ầ ụ 2 ầ b). V , 0 x 1 th ụ ấ ðýờ ạ ị ụ ộ ð ể ðầ V y cho th ố ồờ ử ụ ộ ðýờ ố ị ð ể ðầ ố cu ớ dụ 2 ðýờ ạ ịầ ớ ũ ẫậếờếấ Th : T v ữờ ýừ ầ ụ ờ ụ ờ ế b t 2 ậ ầ V ớ dụ 3 ở ự ọ Th : T d : x = t, 2 y = t , 0 t 1 ầ Ta c ớch phõn ýờng loại 2 trong khụng gian 7. T ố ỳậ ờ ờ ấờ ẵậ ờ ờ ấờ Ởậ ờ ờ ấ ụ ề ở ắ ứ ừ Cho h , ýừ ự ý ặ ẳ ờ ðị ĩ ðýờ ạ th tr ầ kh ế ýừ ầ ụ ậ ấ ờ ụ ậ ấ ờ ụ ậ ấờ ứ ớ ð ể ồ N c t b, t=a ụ ứ ớ ð ể ửờ ðạ ụ ậ ồử ừ ấ ờ v ứ ầ th ýu tầm by hoangly85 64 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ự ọ ðýợ ở ầ C d ớ dụ 4: ỳ ụ ờ ẵ ụ ờ Ở ụ ọ ýừ Th T c ầ ụ ờ ụ ờ tr z = 3t , 0 t 2 ờn hệ giữa 2 loại tớch phõn ýờng loại 1 và loại 2 8. Li ả ử ồử ýừ ốầ ụ ậ ấ ờ ụ ậ ấ ờ ụ ậ ấờ ớ Gi t b, v ðộ ề ỡ ð ừ ầ ừ ế l vect ðừ ịề ẩ ð ế ọ ủ ðố ớ ụ ọ ðộ ẫ ờ ẫ ờ ẫ , , l ýừ ứ ờ ầ t ’ậ ấ ụ ’ậ ấ ụ ’ậ ấ ụ x s , y , z ậ ðýờ ạ ðýợ ằ ầ V ýu tầm by hoangly85 65 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớch phõn ýờng khụng phụ thuộc tham số của cung lấy tớch phõn. 9. T ả ử ồử ýừ ố ậ ấ ụ ậ ấ ự ậ ấ ự ậ ấ ờ Gi ph t b, t=a ứ ớ ð ể ồ ụ ứ ớ ð ể ửề ỷ ố ụ ệ ữ (s) li ố ờ ớ ð ồử ýừ tham s s , a= ( ), b= ( ). L ố ầ Ởậ ấ ụ s r( (s) ). ậ ðýờ ạ ủ ừ ≠ ồử ðýợ ở ứ ầ V ð ề ấ ðýờ ụ ộ ố ủ ấ ề ễNG THỨC GREEN III. C éịnh Lý Green 1. ề ð ớ ộ ặ ẳ ũ ðýờ ừ ừ ề Cho D l ỳậ ờ ấờ ẵậ ờ ấ ðạ ủ ụ ề ở ứ C ð ứ Ứ ầ D. Khi ð ầ ðýờ ạ ị ở ế ấ ýớ ýừ Trong ế ũ ể ồ ề ế ũữờ ũịờ ũĩờ ề ẩ ð ề ắ Ch : Chu tuy ọ ð ờ ỗ ề ế ũ ọ ữ ầ ề ∞ ề ắ g ọ ðừ ế ỉ ữ ầ ề g ýu tầm by hoangly85 66 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ĩềữ ấầ ðừ (h ĩềữ ấầ ð (h ớ dụ 1 ớ ỳậ ờ ấ ụ – ớ ắ ẫậếờếấ ữề Th : V y ; Q(x,y) = x. V ũ ýừ ầ ụ ờ ụ ờ ế Bi t 2 . ð ầ Khi ầ v ýu tầm by hoangly85 67 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 Ứng dụng éịnh Lý Green ể tớnh diện tớch phẳng 2. ứ Ứ ờ ấ ỳ ụ ầ Trong c -y, Q= x, ta c ậ ệ ề ắ ũ ầ V ớ dụ 2 ệ ừ ầ Th : T ế ừ ðýờ ừ ýừ ầ ụ ờ ụ ờ ế Ta bi t 2 ứ Ứ ờ ầ Theo c ớ dụ 3 ệ ẳ ằ ðýờ ọ ðộ ự ề Th : T ầ ụ ậ Ta c ) cos ; y= r( ) sin ầ ụ ’ậ ’ậ N ) cos - r( ) sin d ; dy= dr ) sin - r( ) sin d ð ừ ứ Ứ ệ ề ắ ầ Khi éIỀU KIỆN éỂ TÍC ÂN éíỜNG LOẠI 2 ễNG PHỤ IV. H PH KH ỘC éíỜNG LẤY TÍCH ÂN THU PH ụ ≤ ấ ðýờ ạ ữ ụ ộ Th kh ð ể ồờ ử ụ ộ ố ị ð ể ồờửề éị ế ð ề c ệ ðể ðýờ ạ ỉ ụ ộ ð ể ðầ ờ ð ể ố ki ụ ộ ố ị ð ể ð ề ph ýu tầm by hoangly85 68 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éịnh lý 1 1. ỳậ ờ ấờ ẵậ ờ ấ ðạ ấ ộ ủ ụ Cho c ộ ề ở ðừ ắề ũ ệ ðề ýừ ðýừ ầ m ụ ộ ðýờ ừ ừ ố ồờử i) T kh h ồ ạ ữ ậ ờ ấ ể ứ ỳậ ờ ấ ự ẵậ ờ ấ ii) T ầ ủ ờ ĩ ị ầ ụ ỳậ ờ ấ ự ẵậ ờ ấ ph iii) trong D ớ ọ ế ừ ừ ắ vi) v ýu ý éị ể ể ề ð ề ụ ấ ắ ề ị L : ờ ó ằ ữ ðồ ẫờ Ở li gi , R . X ầ 1 2 ph ấ ị ð ể ồờ ử ị ố ũ ý ởềữ L 1, C2 nh ởềữấ (H ũụ ũữ ự ậ ề ắờ ầ ỏ ậéẩ ấ Ta c -C2 ). Trong mi th ủ éị ữ c ý ầ Nh ýu tầm by hoangly85 69 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ĩ ụ ộ ðýờ ấ ề C ỏch tớnh tớch phõn của ịnh lý 1 2. C ả ử ỳậ ờ ấờ ẵ ỏ ðị ữờ ậ ỉ ụ ộ ồờ a). Gi (x,y) th ch ử ể ế ýớ ạ ầ v ả ử ồậ ð ể ðýờ ạ ị ðýờ ðừ Gi ,y ) B(x ,y ). Khi ả ấ 0ố ị0 ð ể 1 ồ1ờử ðýờ ấ ớ ụ ọ ðộờ ụ gi ấ ũậ ấ ðýờ ồũờ ũửề l 1,y0) v ởềịấ (H ð ầ Khi ớ dụ 1 Th : T ỳụ ờ ẵụ ặ ẳ ề ợ ầ Ta c trong to ýu tầm by hoangly85 70 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 2 Th : T ðýờ ắ ðýờ ẳ ự ụế ờ ầ Theo ậ ợ ầ V ế ỳờ ẵ ả ðị ữờ ế ðýợ ỏ ụ ỳ ự ẵ b). N ầ ta c ậ ậ ả ử ồử ýừ ầ ụ ậ ấờ ụ ậ ấờ ấ Th y , gi t b. Khi ầ c ớ dụ 3 Th : T ậ ấ ầ ự ụ ề ậ ậ ầ Ta nh ớ dụ 4 Th : T ầ Ta c ýu tầm by hoangly85 71 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ậ ầ V ớch phõn ýờng loại 2 trong khụng gian 3. T ờ ýừ ự ðị ữ ầ Trong kh t éịnh Lý 2 : 3.1 ỳậ ờ ờ ấờ ẵậ ờ ờ ấờ Ởậ ờ ờ ấ ðạ ấ ộ ủ Cho c ụ ộ ề ở ðừ ắề ũ ệ ðề ýừ ðýừ ầ t ụ ộ ðýờ ừ ừ i) T kh ố ồờử D n ồ ạ ữ ậ ờ ờ ấ ể ứ ỳậ ờ ờ ấ ự ẵậ ờ ờ ấ ự ii) T ầ ủ ờ ĩ ầ R(x,y,z)dz l dU = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz iii) Trong D ta c ớ ọ ế ừ ừ ắ vi) v ỳ ý : Ch ỏ ðị ị ðýợ ỏ ð ề Khi P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) th ệ ờ ð ầ ki ế ý ế ậ ờ ờ ấ ðýờ ể ðýờ N ấ ụ ọ ðộề Ứ ả ửờ ð ể ồậ g ,y z ), B(x ,y z ) th ấ ị ð ể ũậ 0 0, 0 1 1, 1 l 1,y0, z0), D(x1,y1,z0) ýu tầm by hoangly85 72 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ởềĩấ (h ð ầ v ớ dụ 5 Th : T ầ ự ự ụ ậ ấ Ta c ậ ầ V ớ dụ 6 Th : T ầ ỳ ụ ự ờ ẵ ụ ỏ ð ề ệ ấ Ta c - exsiny, R = xy+z th ủ éị ị ầ c ý ế ụ ðị ịờ ồ ạ ầ Nh ’ ’ ’ U x = y, U y = x, U z = 4 ýu tầm by hoangly85 73 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ừ ’ T x = y -> U(x,y,z) = yx+ f(y,z) ớ ’ ầ ’ ’ ụ ’ C y = x c y = x + f -> f y = 0 ụ ộ f kh ph -> f= h(z) -> U(x,y,z) = yz+h(z) ớ ’ ’ậ ấ ụ ở c z = 4 h h(z) =4z+ C ậ ậ ờ ờ ấ ụ ự ở ựũ V ệ ả ỏ ầ ụ ế V ’ yx + 4z = C ÍCH PHÂN MẶT LOẠ V. T I 1 éịnh nghĩa 1. ố ậ ờ ờ ấ ðị ặ ề ũ ặ ờ Cho h th S , S , Sn ồ ệ ýừ ứ ủ ặ ũ 1 ệ 2 kh S , ờ ỗ ặ ấ ộ ð ể ∞ ậ ờ ờ ấ ấ ỳề ỡậ ổ 1 S , Sn . Trong m Si l 2 ầ ph ðýờ ủ ặ ế ổ Khi cho max {d( Si) } -> 0 (d( Si) : Si ), n ế ớ ữ ị ữ ạ ụ ộ ặ ấ ð ể ∞ Sn ti h chia m ớ ạ ð ọ ặ ạ ữ ậ ọ ặ ệ ủ th ậ ờ ờ ấ ặ ấ ệ ầ h ð ả ề Khi ặ ðýợ ọ ặ ừ ế ừ ế ụ ế M li v ề é ứ ðýợ ằ ầ ế ậ ờ ờ ấ ụ ặ ừ tr ặ ạ ữ ủ ậ ờ ờ ấ ồ ạ ề ph ớnh chất 2. T ừ ðị ĩ ấ ầ T ýu tầm by hoangly85 74 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ờ ả ờ ự ũ ả ầ N ế ðýợ ị ầ ụ ầ N 1+S2 th ệ ặ ðýợ Di : ỏch tớnh tớch phõn mặt loại 1 3. C ả ử ặ ýừ ụ ậ ờ ấờ ớ ậ ờ ấ ụ ðạ Gi ụ ề ở ứ ế ắ ủ ố ặ ẳ ề ri S xu ầ ð ằ ả ẳ ế ýừ ứ ậ ýừ ữấ ầ g Si b ð ệ ế ủ ố ặ ẳ ề ỷ ý ậ Trong Di l Si xu ổ ặ ạ ữ ầ t ế ả ổ ờ ớ ạ ầ V ý ậ ặ ạ ữ ðýợ ể ễ ở ạ ế ề Nh ấ ụữ ạ ứ ệ ặ ở ýừ ữ Khi l ớ dụ 1 ặ ậ ể 2 2 Th : T S l : x +y z 1 ậ ể ờ ồ ị ặ ụ ữ ự ịờ ð ữ ụ ặ V l ờ ị ầ ặ ð ủ ờ ữờ ị ế ặ n ầ 2 2 ế ầ tr + y 1. V ớ ặ ữ ầ ụ V ýu tầm by hoangly85 75 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ ặ ð ị ầ ụ ữờ ụ ờ V ậ ầ ỗ ụ V ớ dụ 2 ặ ậ ýừ ầế Th : T S l x 1, 0 y 1, 0 z 1 ỏềữ ấ (H ẳ ặ ủ ậ ýừ ờ ý ụế ĩ ặ ằ ĩ ặ Do S l ẳ ọ ðộ ậ ờ ờ ấờ ỉ ầ ặ ấờ ấờ ấ ph ỏềữấ ầ (h ặ ấ ầ ụữờ ắầ ầ ế ặ ờ ầ M x,y 1 trong m ýừ ự ầ T ýu tầm by hoangly85 76 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ậ ỗ ụ V Ứng dụng của tớch phõn mặt loại 1 4. ặ ố ýợ ệ ạ ð ể ậ ờ ờ ấề ẩ ð ầ Cho m (x,y,z) t ố ýợ ủ ặ ầ Kh ĩ ðố ớ ặ ọ ðộ ủ ặ ầ Moment t ố ýợ ủ ặ ð ể ọ ðộ ầ T ðố ớ ụ ẫ ờ ẫ ờ ẫ ờ ớ ẫ ðýờ ẳ ầ Moment qu l ð ậ ờ ờ ấ ả ừ ð ể ∞ậ ờ ờ ấ ớ ðýờ ẳ Trong . ớ dụ 3 ọ ủ ử ặ ầ ẫậếềếờếấ ờ ớ ố ýợ Th : T ằ ốề ri = h ýu tầm by hoangly85 77 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ọ ∞ậ ờ ờ ấ ọ ủ ử ặ ầ ẫậếềếờếấ ề ẩ ð G ýừ ặ ầ ầ ị ự ị ự ị ụ ịờ ðố ứ ụ ếờ ph 0. Do t ỉ ầ ứ =0. ta ch c ệ ử ặ ầ ầ ụị 2 ắ ờ S l a , v ế ủ ặ ầ ặ ẳ chi ọ ọ ðộầ ậ Tr ÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 VI. T éịnh nghĩa mặt ịnh hýớng 1. ặ ậ ợ ð ể ∞ậ ờ ờ ấ ỏ ýừ ầ ≠ậ ờ ờ ấ ụế Xem m h ặ ọ ặ ừ ỉ ≠ậ ờ ờ ấ ðạ ≠’ ’ ’ M , F , F ụ ðồ ờ ằ ờ ừ Ứ x y z li F(x,y,z) = ’ ’ ’ ụ ế ặ ề (F x, F y, F z) li ýu tầm by hoangly85 78 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýờ ợ ặ ýừ ố ầ Trong tr x=x(u,v) , y=y(u,v) , z=z(u,v) ừ ầ ụ ậ ờ ấ ụ ậ ờ ấ ự ậ ờ ấ ự ậ ờ ấ X ð ặ ọ ừ ế ậ ờ ấ ả ụ ậ ứ ồ ạ ðạ Khi ’ ’ ụ ấ ’ ’ ri u, r v li u r v 0 éể ằ ặ ýờ ở ýừ ầ ụ ậ ờ ấ é ýờ ợ ủ ạ – F(x,y,z) = f(x,y) z = 0 c ’ ’ F(x,y,z) = (f x, f y , -1) ặ ũ ể ýờ ợ ủ ýừ ố ầ Ho ’ ’ ’ ’ ’ ’ x= x , y=y, z= f(x,y) c = (1,0,f ) , r = (0,1,f ) v r ’ ’ x x y y x y = (-f x, -f y , 1) ð ặ ặ ừ ỉ ðạ ’ ờ ’ ụ ậ V ừ ’ ’ ế ấ vect F(x,y,z), r x r y lu ặ ừ ọ ặ ðị ýớ ðýợ ặ ờ ế ạ ỗ ð ể ∞ ủ M i ðị ðýợ ộ ừ ế ðừ ị ừ ụ x , v l n ý ằ ừ ế ðừ ị ể ế ð ọ ữ S. L , - , v ừ ðị ờ ụ ọ ð ðị ýớ ặ ề ∞ặ ớ ừ vect c th ế ðừ ị ð ọ ðýợ ọ ặ ðị ớ ờ ọ ừ ph g ế ýừ ề Ứ ớ ð ọ ờ ýừ ýừ ứ ủ ặ ph h ðứ ở ð ờ ừ ýớ ừ ớ ðầ ề ỳ ýợ ạ ọ ph h ề ý ậ ộ ặ ðị ýớ ặ ừ ð ðị ýờ ừ ế ðừ ị Nh x ị ề ẩ ể ðề ậ ớ ýừ ủ , v ặ ề ẩ ặ ờ ðể ðế ýớ ð ọ ủ ặ ẽ m c ýớ ýừ ấ ýớ ậ ýớ ấề ẩ ặ ờ ðể ðế ýớ ð ọ (h ủ ặ ẽ ậ ýớ ýừ ấ ậ ýớ ấề c ộ ặ ðị ýớ ũ ðị ðýợ ýớ ðýờ ủ M a ề é ýớ ðýớ ở ýừ ủ ặ ð ðýờ n ở ề ổ ẳềữ ấ ặ ðị ýớ ðýờ ỡữờ ỡị ớ lu ýớ ðýợ ðị ề h ýu tầm by hoangly85 79 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ẳềữấ (H ũ ý ữ ặ ể ðị ýớ ðýợ ờ ụ ∞ ề ỡ ∞ C ể ạ ằ ấ ộ ữ ậ ồửũắ ậ ằ ấ ấ ð ặ c ữ ậ ðể ị ạ ồắ ớ ạ ũử ậồ ũờ ắ ử ấề ẩ ð ế ấ ữ h ừ ế ậ∞ấ ạ ữ ð ể ∞ ặ ể ờ vect ờ ð ộ ề ð ể ∞ ðầ ýớ ýợ ớ qua bi c ắ ðầ ể ề ớ ặ ðị ýớ ạ ữ ð ể ể ị ừ ế b ýợ ýớ ề ế ∞ ể ặ ðị ýớ ỉ ặ ộ ề ng ẳềịấ (H ể ở ộ ệ ặ ðị ýớ ýờ ợ ừ ừ ề Ta c ặ ừ ừ ọ ặ ðị ýớ ðýợ ế ứ ị ầ ừ ủ ố M ớ ọ ðýờ ũ ðề ðị ýớ ũ ýợ ề ẩ ð ừ v ế ở ầ ẽ ỉ ề ữ ủ ặ ề ụ ph ýu tầm by hoangly85 80 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ậ ýừ ồ ẳ ặ ừ ố ạ ề ∞ặ ðýợ ðị ýớ ýớ ặ l ph ế ạ ðị ýớ ừ ặ ngo ẳềĩấ (H éịnh nghĩa tớch phõn mặt loại 2. 2 ỳậ ờ ờ ấờ ẵậ ờ ờ ấờ Ởậ ờ ờ ấ ðị ặ ðị ýớ ừ Cho c ế ðừ ị ph (cos , cos , cos ). ặ ạ ữ T ðýợ ọ ặ ạ ị ủ ỳờẵờỞ ặ ðị ýớ ề ðýợ ệ ầ tr ỏch tớnh tớch phõn mặt loại 2: ýa về tớch phõn kộp 3. C ả ử ầ Gi (1) ð ặ ýừ ụ ậ ờ ấ ậ ừ ặ ừ ừ ấ ớ ừ Trong ng tr ế ðị ýớ ậ ặ ạ ớ ýớ ýừ ụ ẫ ữ ph ọ ấ g ế ả ủ ậữấ ớ ạ ủ ổ ặ ạ ữ Do v ýu tầm by hoangly85 81 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 (2) ũ ế ậ ýừ ữấ Ta c (3) ớ ệ ả ệ ế ả V Si : di Si , Di l Si ố ặ ẳ ừ ế ạ ớ ụ ẫ ọ xu xy, th t >0 v ấ ấ ýừ ề ậĩấ ậịấ ớ ạ ðýợ ầ i Di l ð ắ ế ủ ố ặ ẳ ề Trong ế ðổ ýớ ặ ứ ấ ấ ầ N i < 0 v Di l ýừ ự ầ T c ð ắ ế ủ ố ặ ẳ ờ ýừ ứ ờ ọ Trong , D l ấ ự 1ấ –2 ọ ề d t v l ýu ý: ừ ứ ậ ấ ằ ế ặ ữ ầ ặ ụ ðýờ L T 2) th ụ ẫ ẫ ớ song song tr i = 0 , d ớ dụ 1 ớ ầ ặ ớ ạ ậ ể 2 2 2 Th : T v + y R , x 0, y 0, 0 z b ýu tầm by hoangly85 82 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ẳềởấ (H ặ ðýợ ỏ ặ ầ ð ữờ ị ờ ặ ĩờ ở ằ M hai m ặ ẳ ậ ụếấ ờ ậ ụếấ ýừ ứ ặ ụ ỏ m ầ Ta c ố ụ ế ặ ụ ðýờ ụ ẫ ề Ba t tr ặ ầ Tr 1 , do z= 0, n ặ ầ Tr 2 , do z=h, n ậ ỗ ụ V ớ dụ 2 ớ ầ ặ ủ ử ặ ầ Th : T v 2 2 2 2 x + y + z = R , z 0 ầ Ta c ýu tầm by hoangly85 83 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ð ầ ụ ầ ứ ớ ầ ứ ớ Trong + S v l 0, S l 0. ý ằ 1 ể 2 ề 1 ử 2 ặ ẳ L th : ấ ấ ýừ ờ ấ ấ ờ ýớ ấ ạ l l ẵ l ýừ ự ầ ỗ T 2 = ậ ỗ ụ V ớ dụ 3 ớ ầ ặ ủ ặ ầ 2 2 2 2 Th : T v + y + z = R ọ ử ặ ầ ứ ớ G 1 , S2 l 0 v 0. ầ Tr 1 ta c ầ ðý ề ấ ấ Tr ta c v 2 ừ ế ýớ ố ýớ ấờ ầ (do vect xu ýu tầm by hoangly85 84 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ậ ầ V ấN HỆ GIỮA TÍ ÂN KẫP VÀ TÍCH ÂN VII. LI CH PH PH éíỜNG ẠI éỊNH Lí STOKES LO HAI: ứ Ứ ố ệ ữ ðýờ ạ C ðýờ ủ ề ấ ề ũ ứ ýớ ð ự ở ộ tr ứ Ứ ýờ ợ ề ặ ề c éịnh ý Stokes 1. l ặ ðị ýớ ừ ừ ớ ế ũ ừ ừ Cho m ự ắ ậ ế ðừ ả ấề Ứ ả ử ỳờ ẵờ Ở ðạ kh ấ ộ ụ ộ ề ở ứ ề ẩ ð ầ c ð ýớ ủ ế ũ ðýợ ấ ýớ ýừ ứ ớ ặ ðị ýớ Trong S. ỳ ý ứ ýờ ở ạ ệ ữ ðýờ ạ Ch : C ặ ạ ộ ề v ớ ừ ế ðừ ị ứ ớ ủ ặ v : vect ớ dụ 2. Th ýu tầm by hoangly85 85 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ ũ ðýờ ặ ầ ầ 2 2 2 2 T v + y + z = R ặ ẳ ự ự ụ ế ýớ ýợ ề ðồ ồ ế ừ ýớ v ýừ ủ ụ ẫ d ọ ớ ðýờ ũề ðị ầ G bi ỉ ýớ ủ ừ ế ủ ặ ẳ ự cos , cos , cos : l ầ y + z = 0. Ta c ậ ỗ ụ V ễNG THỨC CHUYỂN TÍCH PHÂN BỘI BA Ề TÍCH VIII. C V ÂN MẶT THEO BIấN : éỊNH Lí GAUSS – PH OSTROGRATSKI éị ð ứ ể ộ ề ặ ặ ề ũ ứ ề ứ ụ ự ễ ề bi éịnh lý Gauss – 1. Ostrogratski ề ð ờ ị ậ ờ ớ ặ ừ ừ ậ Cho l S tr ể ữ ạ ặ ừ ấề ũ ỳờẵờỞ ðạ ấ ộ ụ th ề ở ứ ð ứ Ứ trong mi . Khi -Ostrogratski: ýu ý ờ ứ Ứ – ể ể ằ L : Nh Ostrogratski, ta c ặ ế ấ ỳ ụ ờ ẵ ụ ờ Ở ụ ề ẩ ð ứ ở ầ ph ậ ầ V ớ ặ ủ ấ V l ýu tầm by hoangly85 86 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 2. Th ð ặ ầ ầ T Trong ph x2 + y2 + z2 = R2 . ðị Ứ – ầ Theo Ostrogratski, ta c ể ọ ðộ ầ ờ ðýợ ầ Chuy ÀI TẬP CHíếNG 3 B ớch phõn ýờng loại 1 I. T ðýờ ạ ữầ T ở ỗ ủ ố ậếờếấ C : cung c n ðýờ ủ ậ ờ ờ ấ ụ ự 2 ố ị ð ể ậếờếờếấ 6) T n -z theo cung n ậữờữờữấ ðýờ ầ v ýu tầm by hoangly85 87 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ầ 7) T ố ýợ 8) Cho H C 9) Cho cung ọ ề T 10) Cho ọ T 2 2 2 ặ ẳ ờ 11) Cho C: x +y = a trong m = const. T ðố ớ ẫ ặ ẳ ờ 12) Cho trong m = const. ðố ớ ụ ọ ðộề T ðộ ầ ụ ừ ồậếờếờếấ ðế 13) T cos t , y = aet sint, z = aet t B(a,0,a) ýớ ẫ ầ ồ ứ ớ ớ (H 1 = - , B v 2 = 0 ) ọ ủ ụ ậ 14) T -sint), y = a(1-cost) 0 t , = const ớch phõn ýờng loại 2 II. T ðýờ ạ ị ð ầ T ðýờ ẳ ố ồậữờữấ ðế ửậĩờởấ theo ðýờ ấ ố ẫậếờếấờ ồậịờếấờ ửậởờịấề : ýu tầm by hoangly85 88 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 – ầ ụ ị – 2 ằ ụ ẫ ph x n ề ðồ ồ chi ế ớ ạ ở 2 2 ề ýợ : Chu tuy = x, x = y, Theo chi ề ðồ ồ chi ố ồậữờếấ ửậ ðýờ ầ : cung n -1,0) theo c ử 2 2 N + y = 1 éýờ ẳ ố ồờử éýờ ấ ừ ồờ ũậếờ ðế ử -1) ủ ụ 2 ụ ừ ð ể ậếờếờếấ ðế ậữờữờữấ : giao c v – ủ ẫờ ằ ở ỗờ ýợ cung c ề ðồ ồề chi ớnh cụng sinh ra bởi lực ọc theo ýờng ú phýừng trỡnh III. T d c ýu tầm by hoangly85 89 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ụng thức Green IV. C T h c ðị ở ụ ếờ ụ ếờ ự ụ ữ C : l ứ ớ ở ðỉ ồậữờếấờ ửậếờữấờ ũậ l -1,0), D(0,1) ề ớ ạ ụ 2 ụ ạ C: bi v ðạ ụ ầ 6) Cho f(x,y) c ứ ớ ọ ế ũ ử ụ ðýợ ứ Ch v Green Ứng dụng Cụng thức Green tớnh diện tớch miền phẳng V. ớ ạ ở ụ ờ ụ 2 ở ỗ 2) D gi ớ ạ ở ụ ờ 3) D: gi ýu tầm by hoangly85 90 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệ ề ắờ ðộ ọ ề ắ ớ ạ ở 4) Cho S l l ðýờ ðừ ả ừ ừ ũề ũ ứ ằ ầ – ðố ớ ụ ẫ ủ ề ắ ởề ũ ứ 5) Cho Iy m minh: ớch phõn khụng phụ thuộc ýờng lấy tớch phõn VI. T ðýờ ạ ị ð ầ T h ọ ð ạ ẳ ố ậếờếờếấ ậếờĩờởấ T ể ể ứ ả ầ ằ ỷế ð 8) Ki ầ ủ ph n ph ýu tầm by hoangly85 91 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớch phõn mặt loại 1 VII. T ệ ặ 2 2 – ắ ở ụ ị 1) T + y z = 0 c ệ ầ ặ ẳ ắ ở ụ 2 ụ ị 2 2) T x + 2y + 2z = 5 c v - y ệ ầ ặ ầ 2 2 2 ắ ở 3) T + y + z = 2 c ệ ầ ặ 2 2 ắ ở ặ ẳ ụ ế 4) T + y + x = t c m ặ ủ ậ ýừ ế 5) T S : m x,y,z a ặ ủ ộ ầ ế 6) T S : m x a , 0 y b , 0 z c ầ ặ ẳ ị ựị ự ụ ị ằ ở ầ 7) T S : ph ứ ấ t ầ ặ 2 ắ ở ặ ẳ 8) T S : ph + 4z =16 c = 0, x = 1, z = 0 ọ ủ ặ ầ 2 2 2 2 ằ ở ỗ 9) T + y + z = a n ọ ủ ầ ặ 2 2 ắ ở ụ ếờ ụ ĩ 10) T + z = 9, z 0 c ọ ðố ớ ụ ẫ ủ ặ 2 2 2 11) T + y - z = 0 ắ ở ụ ữờ ụ ị c ỗ ủ ặ ầ ở 2 2 2 ắ ở 2 2 12) T + 4y - z =0, z 0 c + y = 2x ớch phõn mặt loại 2 VIII. T ýu tầm by hoangly85 92 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ặ ầ 2 2 2 2 ở ầ ý ứ ỗ ậ ấ 1) T S : m + y + z = a ố ữ 2) T S : gi ố ữ 3) T S:gi ầ ặ ụ ở – 2 ớ ạ ở ụ 4) T S : ph y gi ấ 0,x = 1,z = 0 (ph ặ ậ ýừ 5) T S : m ở ế ≤ ờ ờ ≤ ề b ủ ặ ỏ ầ 2 2 2 6) T S : ph +y +z ≤ ịỏ ắ ở ụ ĩề ậ ầ ≥ ĩ ấ c éịnh lý Stokes IX. 2 2 ừ ố ũ ề 1) T C: x + y = 4, z = 0 Nh ýợ ề ðồ ồề ng 2) T ừ ýớ ýừ ụ ẫ ýợ ề ðồ ồ Nh 3) T C: ừ ýớ ýừ ụ ẫ ýợ ề ðồ ồề Nh ýu tầm by hoangly85 93 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ðýờ ủ ớ ðỉ ậữờếờếấờ 4) T C : – ừ ố ế ýợ ề ðồ ồề (0,1,0),(0,0,1) nh ý ở 5) T C : nh 2 2 ừ ố ẫ ýợ ề 6) T C : x + y = 1, z = 1 Nh ðồ ồề kim 2 2 ừ ố ẫ ýợ 7) T C: x + y = 1, z = y+1 nh ề ðồ ồ chi 2 2 2 – ừ ố ẫ ýợ 8) T x + y + z = 6z, z = x 3 nh g ề ðồ ồ chi ủ ớ ðỉ 9) T C : bi ừ ố ẫ ýợ ề ðồ ồề (2,0,0), (0,3,0), (0,0,6) nh 2 2 2 2 2 ừ ố ẫ ýợ 10) T C: x + y + z = a ,z = y nh ề ðồ ồề chi 2 2 2 ừ ố ẫ ýợ 11) T C: x + y = 1, z = y Nh g ề ðồ ồề chi ụng thức Gauss – X. C Ostrogratski ặ ạ ị ầ T ặ 1) S : ph ậ ýừ ≤ ờ ờ ≤ ữ l -1 ủ ặ ủ 2 2 ≤ 2) S : Ph : x + y ≤ ≤ 2 2 4, 0 + y ầ ặ ầ ẫờ ịờ ở 3) S : ph ỗờ ề g ýu tầm by hoangly85 94 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ủ ề 4) S - bi ằ ở ỗ ớ ạ ở 2 2 ề n +y = 4 , z = 3 , ph ủ ≤ 5) S : bi : 1 ≤ ịờ ủ ≤ 6) S : bi : 1 ≤ ởờ ủ ≤ 7) S : bi : 1 ≤ ởờ ờ ằ ứ 8) , ph ằ ự ế ề Gauss-Ostrogratski v ýu tầm by hoangly85 95 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 íếNG IV: PHíếNG TRèNH VI PHÂN CH ÁI NIỆM VỀ PHíế èNH VI PHÂN I. KH NG TR ỏi niệm 1. Kh ọ ờ ýừ ộ ể ờ ầ Trong to ọ ề ứ ụ ự ế ự ọ ỹ ậ ờ ếề éể tr ớ ệ ýừ ộ ố ẫ ớ ệ ế l ậ ýừ ýớ ð ề l g tr ột số bài toỏn dẫn tới phýừng trỡnh vi phõn 2. M ớ dụ 1 ộ ậ ố ýợ ừ ự ề Ứ ả ử ứ ả Th : Cho m ỉ ệ ớ ậ ố ừ ậ ấ ờ ờ ð ể ớ ệ ố ỉ ệ ễ ếề kh v(t). ậ ừ ự ụ ậ ồ ầ ự ủ ðấ Ta c ự ả ủ ậ ấề ắ ð ðị ậ ỷ ờ ầ ụ ≠ l ớ ố ủ ậ ừ ề ỷ ĩ ýừ ầ v c hay é ýừ ðể ậ ấề m h ớ dụ 2 ộ ạ ðýợ ðế ệ ðộ ĩếếo ðýợ ðặ Th : Cho m , v ýờ ðủ ộ ớ ệ ðộ ðổ ĩếo ệ ðộ ỏ ừ trong 1 m (v ra t ạ ðổ ệ ðộ ýờ ấề ậ ấ ệ ðộ ạ kim lo ạ ờ ð ể ề t ậ ỷ ố ðộ ả ệ ủ ạ ậ ỉ ệ ớ Theo quy lu ) t ệ ệ ðộ ủ ậ ể ậ ấ ệ ðộ ýờ ĩếo ð ầ ’ậ ấ ụ hi . Do - – k( T(t) 30o ) é ýừ ðể ậ ấờ ð ễế ệ ố ỉ ệ ð ề ệ ðầ ủ ề T(0) = 300 l ớ dụ 3 ýừ ụ ậ ấ ủ ộ ðýờ ế ằ ế ế ạ Th : T ỗ ð ể ẽ ắ ụ ạ ð ể ðộ ằ ầ ðộ ế ð ể ề m ýu tầm by hoangly85 96 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ằ ýừ ế ế ớ ðýờ ụ ậ ấ ạ ð ể ∞ ậ ờ ấ Bi ti ạ ạ ầ ’ậ ấậ t - yo = f - xo ) ð ể ủ ế ế ớ ụ ậ ụ ế ấ ðộ ầ Giao ’ậ ấậ ấ y1 = yo - f ả ế ầ ừ ð ýừ ầ ụ ’ậ ấậ ấ Theo gi 1 = 2 yo, t ớ ð ể ∞ ậ ờ ấ ấ ỳờ ýừ ầ V éịnh nghĩa phýừng trỡnh vi phõn – ệm, nghiệm tổng quỏt, nghiệm 3. Nghi ờng, nghiệm kỳ dị của phýừng trỡnh. ri éị ĩ ừ ả ýừ 3.1 ýừ ýờ ậ ọ ắ ýừ ấ ể ứ ệ ữ Ph ộ ế ðộ ậ ờ ả ðạ ủ ề m m c ế ýừ ứ ề ế ðộ ậ ớ ủ ế ầ ả N ðạ ủ ế ọ ð ýừ t ðạ ậ ọ ắ ýừ ðạ ấề ýừ ỉ ýừ ầ ậ ýờ ấề ũấ ậ ậ ấ ủ Trong ch c ýừ ấ ấ ủ ðạ ýừ ề ụ ph ýừ ở ụ ỗềị ýừ ấ ộ ề ph ổ ýừ ấ ộ ạ ầ T p m ’ấ ụ ế F(x,y,y ’ ụ ậ ờ ấ hay y ð ≠ ðộ ậ ĩ ế ờ ðộ ậ ị ế ề Trong ộ ổ ờ ýừ ấ ạ ầ M ’ờ ờ (n) F(x,y,y )=0 ặ (n) ’ờ ềềờ (n-1) ho = f(x,y,y ) ớ dụ 4 Th : ýừ ýừ ấ ữầ ’2 a) C + siny = 0 ýừ ýừ ấ ị ’’ụ ĩ ’ ự ị ự b) C au l ýu tầm by hoangly85 97 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệ ệ ổ ủ ýừ 3.2. Nghi - nghi c ệm: 3.2.1. Nghi ệ ủ ýừ ộ ụ ặ ạ Nghi (x) ( ho (x,y) = 0 ) m ýừ ộ ðồ ấ ứ ề ẩ ð ðồ ị ủ ụ khi thay v nh ặ ẳ ðýợ ọ ðýờ ủ ýừ (x) trong m ớ dụ 5 ố ụị ệ ủ ýừ Th : H ờ ụ ũ ờ ớ ằ ố ũ ấ ỳờ ũ ệ ủ ýừ Ngo ề ế ðặ ð ề ệ ệ ậ ấ ụ ậ ọ ph ð ề ệ ðầ ấ ỉ ữ ệ ỏ ụ ũ ớ ứ ỉ ữ , t ðýờ ð ð ể ∞ ậ ờ ấ ệm tổng quỏt – ệm riờng – ệm kỳ dị 3.2.2. Nghi nghi nghi ụ ỏ ở ấ ệ ủ ộ ýừ ể ạ ụ Qua th ớ ũ ằ ốờ ọ ð ệ ổ ề (x,C) , v ớ ỗ ũ ộ ệ ụ ọ ộ ệ ề ỷ ệ V (x,Co), v ủ ýừ ệ ậ ừ ệ ổ ằ ố ũ ri ộ ị ụ ểề m ể ữ ệ ủ ýừ ậ ðýợ ừ Tuy nhi ệ ổ ờ ọ ð ệ ỳ ịề nghi i ớ dụ 6 ýừ ệ ổ ụ ậ ựũấờ ý ụữ Th : ph c ẫ ữ ệ ủ ýừ ý ậ ðýợ ệ ổ ề v ề ặ ọ ờ ộ ệ ổ ộ ọ ðồ ị ủ ặ V ẳ ờ ọ ọ ðýờ ề ph ài toỏn Cauchy éịnh lý tồn tại duy nhất nghiệm 4. B - ụ ð ấ ộ ýừ ể ệ ờ ặ Hai th ệ ổ ề kh ớ dụ 7 ýừ ầ ’2 ệ ự ề Th : Ph = -1 kh ýừ ầ ệ ổ ỉ ấ ụ ế Ph kh ýu tầm by hoangly85 98 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ ð ề ệ ðầ ờ ọ ũ ờ ðị Tuy nhi ề ự ồ ạ ấ ệ ề v uy nh éị ồ ạ ấ ệ ậ éị ỳ ấ 4.1. ế ậ ờ ấ ụ ộ ề ữ ậ ắầ ∞ ậ ờ ấ N x b, c y d v ữ ð ể ủ ắề ẩ ð ũ ầ l m trong c ỏ ầ ’ ụ ậ ờ ấ ỏ ð ề ệ ụ ấ ộ ệ ụ ả t (x) kh ụ ộ ả ở ứ ề li ế ’ ũ ụ ắ ậ ể ộ ả ở ứ ề ỏ ừ ấ Ngo ệ ð ấ th i ớ dụ 8 ũ ầ Th : Xem b ệ ầ ụ ế ự ề ệ ấờ ý ậ ỏ C (th ấ ờ ụ ậ ð ể ậếờếấ t kh g l ớ dụ 9 ũ ầ Th : Xem b ớ ữ ệ ấ ụ ũ ờ V 0 c nh ớ ụ ếờ ệ ðýờ ụ ũ ể ð V 0 kh ớ ð ụ ạ ậếờ ấề ũ ạ ậếờếấ (0, yo) v 0 . Khi kh ạ ố ệ ờ ấ ả ðýờ ðề ð ậếờếấ b íếNG TRèNH VI ÂN CẤP 1 II. PH PH ýừng trỡnh tỏch biến (hay biến phõn ly) 1. Ph ýừ ạ ầ ’ ụ ế a) L 1(x) + f2(y).y 1(x)dx + f2(y)dy = 0 (1) ả ầ ỡấ ýừ ậữấ ầ b) C hay ýu tầm by hoangly85 99 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ dụ 1 ả ýừ ầ ‘ ụ ậ ữ ự 2 Th : Gi ). ex ýừ ðýợ ðý ề ạ ầ Ph ý ầ c) L ýừ ầ Ph 1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y). dy = 0 (2) ế ể ðý ýừ ề ạ ýừ N (y)f (x) 0 th a ph ế 1 ằ 2 ị ế ðýợ ầ t 1(y)g2(x) ta (3) ế ụ ệ ủ ậịấề ỷế ụ ệ N (y) = 0 th (x) = 0 th ủ ậịấề ũ1 ệ ðặ ệ ứ 2 ệ ổ ủ c ýừ ậĩấ ph ớ dụ 2 ả ýừ ầ ậ 2 2 Th : Gi - 1) dx - ( x + 1) y dy = 0 ớ 2 ầ V - 1 0 ta c ệ ổ ậ ấ ị ệ ầ ụữ Ngo = -1 ýừng trỡnh ẳng cấp cấp 1 2. Ph ýừ ạ ầ a). L (4) ýu tầm by hoangly85 100 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ừ ậởấ ầ ụ ’ ụ ự ’ề T > y ế ậởấ ầ ự ’ ụ ậ ấ Th ể ðý ề ạ ýừ ế ầ c ng ph (5) ýu ý: ả ýừ ậỏấ ậ ðýợ ệ ổ ậ ấ – ế L Khi gi u 0. N – ạ ụ ệ ụ ề f(u) u = 0 t ớ dụ 3 ả ýừ ầ Th : Gi éặ ụ ờ ýừ ầ ậ ấ ụ ệ ầ ụ Ngo tg u = 0 u = k x, n ớ ụ ếờ ề x, v 1, 2, ớ dụ 4 ả ýừ ầ Th : Gi ả ử ẫ ủ ế ả 2 ðýợ ầ Chia c ta éặ ụ ầ ấ ầ L ýu tầm by hoangly85 101 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ðýợ ầ th , ta ớ ð ề ệ ðầ ầ ụ ữờ ụ ữờ ðýợ ệ ầ 3 2 V + 3xy = 4 ỳ ý ýừ ầ b). Ch : ph ng tr (6) ể ðý ề ạ ýừ ðẳ ấ ý ầ c ế ị ðýờ ẳ ắ ạ b1) N x + b y + c = 0 , v x + b y + c = 0 c ðặ ụ 1 1 1 ýừ 2 2 ậẳấ ð2ýợ ðý ề ạ ầ (x1, y1), th - x1, Y = y - y1 , th ế ị ðýờ ẳ b2) N 1x + b1y + c1 = 0 , v 2x + b2y + c2 = 0 song song ð ầ ýừ ậẳấ ðýợ ðý ề ạ ầ nhau, khi n (7) ð ðặ ụ ýừ ậứấ ở ýừ ế ề khi , ph ớ dụ 5 ả ýừ ầ Th : Gi ả ệ ýừ ầ Gi ầ ta c 1=1, y1=2 éặ ụ ầ - 1, Y = y - 2 , th ýu tầm by hoangly85 102 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éặ ụ ầ , ta c ầ 2 – 2 hay l + 2xy y + 2x + 6y = C ýừng trỡnh vi phõn toàn phần 3. Ph ýừ ạ ầ a). L P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 (8) ế ế ầ ủ ộ ố ậ ờ ấờ ĩ ầ ậ ờ ấ ụ ỳậ ờ ấ N dx + Q(x,y) dy ýừ ĩờ ỗ ềữềờ ð ề ệ ầ ðủ ầ (theo ch ki ) ð ừ ậ≤ấ ờ ậạấ ầ ậ ờ ấ ụ ế Khi ế ế ậ ấ ệ ủ ậ≤ấ ậ ờ ậ ấấ ụ ế ầ ậ ờ ậ ấấ ụ ũ ậạấ V ýợ ạ ế ậ ấ ỏ ằ ấ ðạ ậạấ ậ≤ấề Ng a (9) th ý ậ ậ ờ ấ ụ ũ ệ ủ ýừ ậ≤ấ Nh ả ứ ấ ầ b). C ả ử ỳờ ẵ ậ≤ấ ỏ ỏ ầ Gi , ta c dU(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ýu tầm by hoangly85 103 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ấ ể ứ ðýợ ằ ố ầ L , th g s (10) ð ũậ ấ ấ ỳ ế ề ỡấ ðạ ể ứ ậữếấ ế trong ðýợ ầ y v , ta ừ ýừ ũậ ấ t ớ ụ 6 ả ýừ ầ ậ 2 2 Th d : Gi + y ) dx + (2xy + cos y) dy = 0 ầ Ta c ậ ẽ ậ ờ ấ ỏ ầ , v ấ ệ ứ ứ ấ ờ ầ L ấ ðạ ể ứ ờ ớ ầ ị ự L th ’ậ ấ ụ ị ự C ’ậ ấ ụ C C(y) = sin y + C ýu tầm by hoangly85 104 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ậ ệ ủ ýừ ầ V ả ứ ậ ðýờ ạ ịấầ c). C ậ ờ ấ ụ ỳậ ờ ấ ự ẵậ ờ ấ V ýừ ĩờ ỗ ềữềờ ð ề ệ ầ ðủ ầ (theo theo ch th ) ầ N (11) ớ dụ 7 Th : ả ýừ ầ ậ ự ự ữấ ự ậ – 2 Gi y + 3) dy = 0 ầ Ta c ậ ẽ ậ ờ ấ ỏ ầ , v ử ụ ứ ậữếấ ậ ớ ụ ếờ ụếấờ ầ S ậ ệ ủ ýừ ầ V ýu tầm by hoangly85 105 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừng trỡnh vi phõn tuyến tớnh cấp một 4. Ph ýừ ạ ầ ’ ự ậ ấ ụ ậ ấ ậữữấ a). L ð ậ ấờ ậ ấ ụ ề trong ế ậ ấụếờ ầ ’ ự ậ N x) y = 0 (12) ýừ ậữịấ ọ ýừ ế ầ ấ ề Ph ả ầ b). C ớ ýừ ậữịấờ V (13) ớ ýừ ậữữấờ ể ả ằ ýừ ế ằ ố ứ V ệ ủ ở ạ ậữĩấ ý ũ ốờ ạ ầ l (14) ấ ðạ ậữởấờ ậữữấờ ầ L hay : ừ ð ờ ầ t ậ ầ V (15) ứ ớờ ố ấ ầ ớ ýớ C (15) n ủ ýừ ế ằ ố ðể ặ ạ ề c ớ dụ 8 ả ýừ ầ ’ – Th : Gi y.cotg x = 2x.sinx ýừ ầ ấ ệ ầ Ph ýu tầm by hoangly85 106 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệ ýừ ầ ấ ở ạ ầ ụ ũậ ấề T ế ýừ ðầ ờ ðýợ ầ Th ’ậ ấ ự ũậ ấ – C C(x) cos x = 2x sin x ’ậ ấ ụ ị 2 C C(x) = x + C ậ ầ ụ 2 V sin x + C sin x ớ dụ 9 ả ýừ ầ ’ – 2 Th : Gi 3y = x éý ề ạ ẩ ầ ệ ổ ýừ ầ ấ ầ Nghi ệ ở ạ ụ ũậ ấ 3 ế ýừ ðầ ầ ũ’ậ ấ 3 T . Th 2 – 2 + 3C(x) x 3C(x) x = x ậ ầ V ỳ ý: ế ố ế ýừ ế ðố ớ ố Ch N th ạ ầ c ớ dụ 10 ả ýừ ầ Th : Gi r ýừ ế ề ế ờ ế Ph : é ạ ýừ ế ðố ớ ề ỷ ệ ổ ủ ýừ ầ ấ ạ ầ c ýu tầm by hoangly85 107 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệ ủ ýừ ầ ấ ạ ầ ðý T kh , ýừ ðầ ờ ầ v ậ ầ ụ ũ – – V 2siny 2 ýừng trỡnh Bernoulli 5. Ph ýừ ạ ầ ’ ự ậ ấ ụ ậ ấ a). L , 1 (16) ả ầ éý ề ạ ầ - ’ ự ậ ấ 1- b). C y = f(x) éặ ụ 1- ðýợ ’ ụ ậữ - ’ờ ýừ ậữẳấ ạ ế ầ , ta - ) y y ầ ’ ự ậữ hay l - )P(x) z = (1- )f(x) ớ dụ 11: ả ýừ ầ Th Gi é ýừ ử ớ ề ũ ị ế ðýợ ầ = ta ớ dụ 12 ả ýừ ầ Th : Gi ýừ ế ề ế ờ ế ầ Ph c éặ ế ýừ ờ ầ , th ýu tầm by hoangly85 108 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệ ổ ủ ýừ ầ ấ ýừ ứ ằ ầ Nghi ệ ýừ ầ ấ ạ ầ ụ ũậ ấề 2 T x ế ầ Th íếNG TRèNH VI ÂN CÂP HAI GIẢM CẤP éíỢC III. PH PH ỏc khỏi niệm cừ bản về phýừng trỡnh cấp hai 1. C ýừ ấ ạ ầ 1.1. Ph ’ờ ’’ấ ụ ế ’’ụ ậ ờ ờ ’ấ F(x,y,y ũ ủ ýừ ấ ệ ủ ýừ B ỏ ð ề ệ ðầ ầ ậ ấ ụ ờ tr ’ậ ấ ụ ’ y o ớ dụ 1 ả ýừ ầ Th : Gi ’’ ụ ự ờ ế ậếấ ụ ữ ờ ’ậếấ ụ ĩ y ầ Ta c ’ậếấ ụ ĩờ ũ ậ ệ ầ Cho x =0 , y =1 => C2 =1. Cho y 1 = 3. V ụ ữ ấ ýừ ấ ýờ ụ ộ ố Th ai tham s ðýợ ðị ờ C , C , v 1ð ề2 ệ ðầ ề ýu tầm by hoangly85 109 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éị ồ ạ ấ ệ ũ 1.2. ầ ’’ụ ậ ờ ờ ’ấ ậữấ B y ’ậ ấ ụ ’ y(xo) = yo , y o (2) ế ậ ờ ờ ’ấ ậ ĩ ế ờ ờ ’ấ ðạ ụ ề ĩ N li ề ậ ờ ờ ’ ộ ð ể ð ũ ấ chi , v ) l . Khi nh ộ ệ ụ o ðị ụ ờ ầ ả ộ ả ậ ờ ấ ứ m (x) x ố ụ ộ ằ ố ụ ọ ệ ổ ủ ýừ H (x,C , C ) g ấ ậ ề ế 1 2 ỏ ýừ ấ ớ tr ) n ọ ằ ố ũ ộ ộ ậ ợ ð ấ ýợ ạ ớ ọ ð ể ậ ờ ờ ’ m i h , C (thu ) ðề ạ 1 ạ 2 ấ ũ ệ ủ o trong , Co sao cho y = (x, Co , Co ) l ũ ớ ð ề ệ ðầ ề1 2 1 2 to ý ậ ừ ệ ổ ụ ị ụ ể ũ ’ờ ũ ’ Nh (x,C , C ) cho c r =C =C ệ ầ ụ ’ờ ũ ’ấ 1 2 1 1 2 2 c (x,C1 2 ýu ý: ế ệ ổ ở ạ ẩ ệ L N (x,y,C ,C ) = 0 th ũ ở ạ ẩ ’ờ ũ ’ấ ụ ế 1 2 c (x,y,C1 2 ýừng trỡnh cấp hai giảm cấp ýợc 2. Ph ýừ ạ ầ ’’ ụ ậ ấ Ph ễ ðýợ ệ ủ ýừ ầ ấ D d ớ dụ 2 ả ýừ ầ ’’ụ ự Th : Gi ầ Ta c ýu tầm by hoangly85 110 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừng trỡnh khuyết y 3. Ph ýừ ạ ầ ≠ậ ờ ’ờ ’’ấ ụ ế Ph ả ầ éặ ụ ’ ýừ ấ ộ ≠ậ ờ ờ ’ấ ụ ếờ ả ụ C m ð ầ (x,C1) v ớ dụ 3 ả ýừ ầ ’’ ự ’ ụ 2 Th : Gi r éặ ụ ’ ’ụ ’’ờ ầ p ð ýừ ế ề Ứ ả ðýợ ầ ð ờ ầ Qua ýừng trỡnh khuyết x 4. Ph ýừ ạ ầ ≠ậ ờ ’ờ ’’ấ ụ ế Ph ả ầ éặ ụ ’ờ ế ờ ố ế ề ầ C bi ý ậ ýừ ạ ấ ữầ Nh ớ dụ 4 ả ũ ầ Th : Gi ’’ ự ’2 ’ậữấ ụ yy = 0, y(1) =2 , y éặ ðýợ ầ , ta ýu tầm by hoangly85 111 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ừ ð ị ýờ ợ ầ T ĩ ’ ụếề ỷ ệ ỏ ð ề ệ ðầ ờ ỏ p = 0 , ngh d(py) = 0 yp = C1 ậ ụ ũ V 1 ’ụ ầ Khi x = 1 , y =2, y ầ Ta c ðýợ ũ Cho x= 1, y =2 ta 2= 1. ạ ệ ả ầ T íếNG TRèNH TUYẾN TÍNH CẤP HAI IV. PH ỏi niệm chung 1. Kh ýừ ế ấ ạ ầ 1.1. Ph ’’ự ậ ấ ’ ự ậ ấ ụ ậ ấ ậữấ y ớ ố ậ ấờ ậ ấờ ậ ấ ðị ụ ả ậ ờ ấề ẩ ấ ớ ọ v ọ ị ờ ’ ũ ð ề ệ ðầ ầ ậ ấ ụ ờ xo (a,b) v ta c ’ậ ấ ụ ’ o y o ệ ấ ậ ờ ấ c ýừ ’’ự ậ ấ ’ ự ậ ấ ụ ế ậịấ Ph éýợ ọ ýừ ầ ấ ýừ ứ ủ ýừ ậữấ l ýu tầm by hoangly85 112 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 éị ữầ ề ệ ổ ủ ỳ ýừ ầ ấ ấ 1.2. (V ệ ổ ủ ýừ ầ ấ ậữấ ạ ầ ụ ự Nghi thu ð ệ ổ ủ ýừ ầ ấ ýừ ứ ậịấ ữ trong ệ ð ủ ýừ ậữấ nghi ýừng trỡnh thuần nhất, nghiệm tổng quỏt 2. Ph éị ịầ 2.1. ế ệ ủ ýừ ầ ấ ậịấ ụ ũ N (x), y (x) l y (x) + C y (x) ũ 1 2ệ ủ ýừ ậịấ 1 1 2 2 c ứng minh: ậ ậ ờ ầ Ch Th ’’ự ậ ấ ’ ự ậ ấ ụ ũ ’’ự ũ ’’ ự ậ ấ ũ ’ự ũ ’ ữ’ ự ậ ấ ũ y 1y1 2y2 1y1 2y2 1y1+ C2y2] ’’ự ậ ấ ’ ự ậ ấ ’’ự ậ ấ ’ ự ậ ấ = C1[y1 1 1 ] + C2[y2 2 2] = 0 + 0 = 0 ệ ủ ậịấ ể ứ ủ ể ứ ố ằ ế ấ (do y1(x), y2(x) l ậ ụ ũ ữ ệ ủ ậịấ V 1y1(x) + C2y2(x) l éị ĩ ầ 2.2. ðýợ ọ ðộ ậ ế ả ậ ờ ấ ế ồ C (x), y (x) ạ ằ 1 ố 2 ðồ ờ ằ ế ầ t 1, 2 kh ậ ờ ấ 1y1(x) + 2y2(x) = 0 tr é ề ýừ ðýừ ớ ầ ậ ờ ấ ấ ( tr ớ dụ Th 1: 2 ðộ ậ ế + C 1(x) = x , y2(x)= x l ụ ộ ế + C 1(x)= ex, y2(x)= 3 ex l éị ĩầ 2.3. ýu tầm by hoangly85 113 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệ ủ ýừ ầ ấ ậịấề ẩ ð Xem c (x), y (x) l c ðộ ậ 1 ế 2 ớ ỉ ðị ứ ầ ch ðị ứ ọ ðị ứ ấ ( éị ởầ ấ ệ ủ ýừ ầ ấ ấ 2.4. (C ế ệ ðộ ậ ế ủ ýừ ầ N (x), y (x) l ấ ậịấờ ầ 1 2 nh ớ ằ ố ấ ỳ ũ ẽ ệ ổ ủ y = C y (x) + C y (x) v , C s ýừ 1 1 ð 2ề 2 1 2 ph ớ dụ 2 ứ ỏ ằ ýừ ’’ – ệ ổ ụ ũ 2x Th : Ch 4y = 0 c 1e + -2x C2 e ậ ậ ờ ể ự ế ễ ấ ằ 2x -2x ệ ủ Th t v 1 = e v 2 = e l ýừ ề ∞ặ ờ ðộ ậ ế ề ậ ầ ụ ph n 2x -2x C1e + C2 e ệ ổ ủ ýừ ề l ế ộ ệ ủ ậịấờ ệ ứ ðộ ậ ế ớ 2.5. Bi n ả ử ộ ệ ủ ýừ ầ ấ ậịấề ð ể Gi (x), l Khi ệ 1 ứ ị ðộ ậ ế ớ ở ạ ầ ð ậ ấ nghi 1(x) 2(x) = u(x) y1(x), trong const . ớ dụ 3 ế ýừ ’’ – ’ ự ụ ế ữ ệ ệ ứ Th : Bi 2y = ex. T ðộ ậ ế ớ 1 hai 1(x). ệ ể ạ ữ ệ ễ ề Vi 1 = ex l 2(x) = u(x) ex ’ ’ ờ ’’ ’ ự ị ’’ y 2 = ex u + ex u 2 = ex u + 2ex u u ýừ ð ờ ầ Thay v ’’ ự ị ’ ự ấ ’ấ ự ex (u - 2ex (u + u ex u = 0 ’’ ụ ếờ ’’ ụế ờ ụ ũ 2ex u 1x + C2 ầ ể ấ ũ ĩ ụ ờ V const, n 1 = 1 , C2 = 0, ngh 2 = x ex ýu tầm by hoangly85 114 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ệ ổ ạ ầ ụ ũ Nghi 1ex + C2x ex ýừng phỏp biến thiờn hằng số tỡm nghiệm riờng 3. Ph éể ả ýừ ầ ấ ầ ả ế ệ ổ ủ ýừ nh ầ ấ ừ ể ở ụ ịề ỷ ầ ữ ệ ủ tr ể ở ạ ố ý ệ ổ ủ ýừ ầ ấ ờ ứ n ở ạ ầ ụ ũ l 1y1(x) + C2 y2(x) (3) ð ðộ ậ ế ờ ý ũ ố ũ trong 1(x), y2(x) 1, C2 l 1(x), C2(x). éể ễ ũ ðý ð ề ệ ầ 1(x), C2(x) ta ’ ’ C 1(x) y1(x) + C 2(x) y2(x) = 0 (4) ớ ð ề ệ ậởấờ ấ ðạ ậĩấờ ðýợ ầ V ’ ụ ũ ’ ’ y 1y 1(x) + C2 y 2(x) (5) ’’ ụ ũ ’’ ’’ậ ấ ự ũ’ ’ ’ ’ y 1y1 ( x) + C2 y2 1y 1(x) + C 2 y 2(x) (6) ậữấờ ầ Thay (3), (5),(6) v ’’ậ ấ ự ũ ’’ậ ấ ự ũ’ ’ ’ ’ ’ ’ C1y1 2 y2 1y 1(x) + C 2 y 2(x) + p[C1y 1(x) + C2 y 2(x) ] + q[C1y1(x) + C2 y2(x) ] = f(x) Hay: ’’ậ ấ ự ũ ’ ’’ậ ấ ự ’ C [ y y (x) + qC y (x) ] C [ y (x) + q y (x) ] + ’1 ’1 ’ ’1 1 1 1 2 2 2 2 C 1y 1(x) + C 2 y 2(x) = f(x) ệ ủ ậữấ ầ Do y1, y2 l ’ ’ ’ ’ C 1y 1(x) + C 2 y 2(x) = f(x) (7) ý ậ ũ’ ’ ỏ ệ ầ Nh 1 , C 2 th ớ dụ 4 ả ýừ 2 ’’ ự ’ 2 Th : Gi y - y = x éý ề ạ ắ ầ ýớ ế ýừ ầ ấ ýừ ứ ầ Tr hu ýu tầm by hoangly85 115 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ể ðýợ ữ ệ ủ ệ ứ ðộ ậ ế C = x. Nghi ớ ạ ầ 1 v 2 = xu(x) ’ ’ ờ ’’ ’ ự ’’ y 2 = u + xu 2 = 2u ế ýừ ầ ấ ờ ðýợ ầ th o ph é ýừ ấ ả ấ ðýợ ằ ðặ ụ ’ ðýợ ầ ầ Cho n ỉ ầ ữ ệ ọ ũ Do u const v 1=1, n ậ ệ ổ ủ ýừ ầ ấ . V ạ ầ c ệ ạ ầ ộ ệ ủ ýừ ầ ấ Vi ằ ýừ ằ ốờ ạ ầ b ớ ũ ỏ ầ V 1, C2 th ýu tầm by hoangly85 116 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ỉ ầ ọ ữ ệ ờ ể ọ ụ ể ậ V 1 = 0 , c2 = 0. v ầ , cho n ý ậ ệ ổ ủ ýừ ðầ ầ v ýu ý: ế ế ả ủ ýừ ạ ổ ủ ị ố ậ ấ ụ L N s (x) ð ể ả ýừ ớ ế ả ừ 1 ðể + f (x), th (x), f (x) 2 ệ ố ễ ể ạ ầ ệ ủ 1 ýừ 2 t , yr . Cu ðầ ụ 1 2 ồ ấ ệ ấề ban 1, yr2 (theo nguy íếNG TRèNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ ẰNG V. PH H ỏi niệm chung 1. Kh (n) (n-1) (n-2) ề ự ụ ậ ấ ậữấ y + a1y + a2y + ð ềềờ ằ ố trong 1, a2, ầ ỹ ýừ ấ ề Trong ph ýừng trỡnh cấp hai thuần nhất 2. Ph ýừ ầ ’’ ự ’ ự ụ ậ ấ ậịấ X ð ờ ằ ố trong ệ ủ ở ạ ầ ụ ậĩấ Ta t ế ậĩấ ậịấ ầ ậ 2 Th + pk +q) ekx = 0 (k2 + pk +q) = 0 (4) ýu tầm by hoangly85 117 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừ ậởấ ọ ýừ ðặ ý ủ ýừ ậịấờ ũ ừ ậ Ph 4) ấ ụ ệ ủ ậịấ ỉ ệ ủ ậởấề ắ ð ự cho th ệ ả ýừ ậ ị ờ ả ó ầ vi ýừ ðặ ý ậởấ ị ệ ệ ð ị ệ a). Ph 1,k2 ( > 0): Khi 1x 2x ị ệ ủ ậịấờ ị ệ y1 = ek , y2 = ek l nghi n ðộ ậ ế ề ậ ð ệ ổ ủ ậịấ ẽ ầ ụ ũ 1x ri 1ek + 2x C2ek ýừ ðặ ý ậởấ ữ ệ ậ ð ệ b). Ph hi = 0). Khi = ekx l ệ ủ ậịấờ ệ ứ ðộ ậ ế ớ 1 ạ ụ 1 nghi = u(x).y1 u(x).ekx ’ ụ ề ề ậ ấ ự ’ậ ấề y2 ’’ụ 2 ’ậ ấề ự ề ậ ấ’’ y2 .ekx.u(x) + 2ku ế ýừ ậịấ ầ Th c 2 ’ự ’’ấ ự ậ ự ’ấ ự ụ ế (k .u + 2ku ’’ ự ậị ự ấ ’ ự ậ 2 u + pk + q)u = 0 ệ ủ ậởấ ầ Do k l ậ 2 k = -p/2 2k +p = 0 v + pk + q) =0 ừ ð ầ ’’ ụ ế t u = C1x + C2 ỉ ầ ọ ữ ệ ấ ũ ý ế ầ Do ch 1 = 1, C2 =0 , v h 2 = x ekx ệ ổ ủ ậịấ ầ ụ ậ ũ V 1+ C2x) ekx ýừ ðặ ý ậởấ ị ệ ứ ệ c). Ph = , 0 ( < 0). ð ị ệ ủ ậịấ ạ ầ 1,2 Khi ð ầ Khi ýu tầm by hoangly85 118 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ũ ị ệ ủ ậịấ ðộ ậ ế ề c n ừ ð ệ ổ ủ ậịấ ầ ụ ậ ũ x T 1cos x + C2 sin x) e ớ dụ 1 ả ýừ ầ ’’ ự ĩ ’ – Th : Gi 4y = 0 ýừ ðặ ý ýừ ứ ạ ầ Ph 2 k + 3k -4 = 0 k1 =1 , k2= -4 ậ ệ ổ ủ ýừ ầ ấ ầ ụ ũ -4x V 1ex + C2e ớ dụ 2 ả ýừ ầ ’’ ự ở ’ ự ở ụ ế Th : Gi ýừ ðặ ý ýừ ứ ạ ầ Ph 2 k + 4k +4 = 0 k1,2 =2 ậ ệ ổ ủ ýừ ầ ụ ậũ 2x V 1 + C2 x)e ớ dụ 3 ả ýừ ầ ’’ ự ẳ ’ ự ữĩ ụ ế Th : Gi ýừ ðặ ý ýừ ứ ạ ầ Ph 2 k + 6k +13 = 0 k1,2 =-3 2 i ậ ệ ổ ủ ýừ ầ ấ ầ V -3x y = ( C1 cos 2x + C2 sin 2x)e ýừng trỡnh cấp hai khụng thuần nhất vế phải cú dạng ặc biệt 3. Ph ýừ ấ ệ ố ằ ầ ấ ầ X ’’ ự ’ ự ụ ậ ấ ậỏấ y ệ ệ ổ ủ ýừ ấ ầ ấ ýừ Qua vi ứ ờ ự ðị ịờ ụ ỗỗềữ ằằ ðể ệ ổ ủ ậỏấ ầ ðýợ ữ ệ ủ ậỏấề ýừ ế ằ ố ð ờ ýớ ð ýừ Ngo ệ ố ấ ðị ðể ộ ệ ậỏấ ế ả ạ ðặ ệ ýờ h c ặ ề g ýu tầm by hoangly85 119 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ế ả ậ ấ ụ 3.1 V x Pn(x) ð ỳ ậ ấ ð ứ ấ ờ ộ ố ự ề trong l ð ệ ủ ậỏấ ở ạ ầ ụ ậ ấ ẵ ậ ấ ậẳ Khi ) ớ ẵ ậ ấ ð ứ ấ ậ ựữấ ệ ố ðýợ ðị ằ ậẳấ ậỏấ v ðồ ấ ị ế ậ ựữấ ýừ ðạ ố ế ðể ậ ựữấ ệ ốề ổ ạ ụ ể ầ u(x) c ế ệ ðừ ủ ýừ ðặ ý ậởấờ ậ ấ x a). N l = xe v ð ầ ụ x Qn(x) ế ệ ủ ýừ ðặ ý ậởấờ ậ ấ ụ 2 x b). N l e v ð ầ ụ 2 x e Qn(x) ế ệ ủ ýừ ðặ ý ậởấờ ậ ấ ụ x c). N kh v ð ầ ụ x Qn(x) ớ dụ 4 ả ýừ ầ ’’ ’ ự ĩ ụ ĩ 2x Th : Gi -4y ýừ ðặ ý ýừ ứ ạ ầ Ph 2 ệ k - 4k +3 = 0 c 1 =1 , k2= 3 ệ ổ ủ ýừ ầ ấ ýừ ứ ầ ụ ũ 3x n 1ex + C2e ặ ố ệ ủ ýừ ðặ ý ờ ệ M = 2 kh ở ạ ụ ồ 2x ð ứ ậ ế ấờ ýừ ð ầ (do Pn(x) =3 4Ae2x - 8Ae2x + 3Ae2x = 3e2x A = -3 ậ ệ ổ ủ ýừ ầ V ng tr 3x – 2x y = C1ex + C2e 3e ớ dụ 5 ả ýừ ầ ’’ ự ụ ự ĩ -x Th : Gi ýừ ðặ ý ýừ ứ ạ ầ Ph 2 2 k +1 = 0 k1,2 = i ệ ổ ủ ýừ ầ ấ ýừ ứ ầ ụ ũ n ghi 1cos x C2 sin x ế ả ổ ủ ị -x ầ ýợ ệ ủ Do v = xex , f = 2e n ýừ ầ ýợ ứ ớ 1ế ả 2 ph 1, v 2 : ýu tầm by hoangly85 120 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ớ ệ ủ ýừ ðặ ý ờ ỳ ậ ấ ụ + V = xex th = 1 kh ghi 1 ệ ạ ầ x n 1 = (Ax+B)ex ớ -x ũ ệ ủ ýừ ðặ ý ờ + V 2 = 2e th = -1 c ệ ạ ầ -x Pn(x) = 2 n 2 = Ce ế ồ ờ ệ ủ ýừ ð ðýợ ở ạ ầ Theo nguy h yr = (Ax+B)ex + Ce-x ’ ụ ậồ ựửấ -x yr - Ce + Aex ’’ ụ ậồ ựửấ -x yr + Ce + 2Aex ế ýừ ð ờ ầ Th 2Axex + (2A+2B)ex + 2Ce-x = xex + 2e-x ừ ð ờ ầ ịồ ụữờ ịồ ự ịử ụ ế ờ ịũ ụị T ậ ệ ổ ủ ýừ ầ V ế ả ậ ấ ụ 3.2. V x [ Pn(x) cos x +Qm(x) sin x ] ð ỳ ậ ấờ ẵ ậ ấ ð ứ ậ ờ ýừ ứ ờ ố ự ề Trong , l ð ệ ủ ậỏấ ở ạ ầ Khi yr = u(x) [ Rs(x) cos x + Hs(x) sin x ] (7) ẽ ýừ ứ ýờ ợ ð ở ấờ ớ ụ ờ ờ Ở ậ ấờ ổ ậ ấ ð ( = 0 s ứ ậ ớ ịậ ựữấ ðýợ ðị ằ ậứấ ậỏấ ðồ ấ ị ế th ýừ ðạ ố ế ðể ệ ốề ổ ậ ấ ạ ụ ể c : ế ệ ủ ýừ ðặ ý ýừ ứ ờ ậ ấ ụ x a). N l v ð ụ x khi [ Rs(x) cos x + Hs(x) sin x ] ế ệ ủ ýừ ðặ ý ýừ ứ ờ ậ ấ ụ b). N kh x ð ầ xe v x yr = e [ Rs(x) cos x + Hs(x) sin x ] ớ dụ 6 ả ýừ ầ ’’ ự ụ Th : Gi ýu tầm by hoangly85 121 S
- ÁO TRèNH TOÁN CAO CẤ GI P A2 ýừ ðặ ý ýừ ứ ạ ầ Ph 2 ệ 2 k +1 = 0 c 1,2 = i ệ ổ ủ ýừ ầ ấ ýừ ứ ầ ụ ũ n tr 1cos x C2 sin x Ở ð ệ ủ ýừ ðặ ý ề ∞ặ ờ = 0, =1, n i = i l ụ ếề ậ ệ ổ ðýợ ở ạ ầ ụ do n =m=0, cho n x(Acosx+Bsinx) ’ ụ ậ yr -Asinx + Bcosx) + (Acosx+Bsinx) ’’ ụ ịậ yr -Asinx + Bcosx) + x( -Acosx - Bsinx) ’ ự ụ yr -2Asinx + 2Bcosx = sinx -2A = 1, 2B =0 A= -1/2 , B = 0 ậ ệ ầ V ệ ổ ầ V t l ýu tầm by hoangly85 122 S