Giáo trình môn Cơ học

Nội dung text: Giáo trình môn Cơ học

1. TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT F 7 G GIAÙO TRÌNH CÔ HOÏC ÑOAØN TROÏNG THÖÙ 2002
2. Cô hoïc - 2 - MUÏC LUÏC MỤC LỤC 2 Phần I: TOÁN BỔ SUNG GIẢI TÍCH VECTOR 6 I. Hệ tọa độ Đề các (Descartes) 6 II. Hệ tọa độ trụ 6 III. Hệ tọa độ cầu 7 IV. Các phép tính vector 8 IV.1. Phân tích một vector ra các thành phần trực giao 8 IV.2. Phép cộng vector 9 IV.3. Hiệu hai vector 9 IV.4. Cộng nhiều vector 10 IV.5.Tích vô hướng 10 IV.6. Tích vector 11 IV.7. Vi phân vector 11 V. Các toán tử đặc biệt thường dùng trong vật lý 12 V.1. Gradient 12 V.2. Divergence 12 V.3. Rotationel (Curl) 12 Phần II: CƠ HỌC 14 Chương I:ĐỘNG HỌC 14 1.1 Khái niệm 14 1.1.1- Chuyển động cơ học 14 1.1.2 Hệ qui chiếu 14 1.1.3 Không gian và thời gian 15 1.2 Phương trình chuyển động và Phương trình quỹ đạo 15 1.2.1 Phương trình chuyển động 15 1.2 2 Phương trình quĩ đạo 16 1.3 Vận tốc 16 1.3.1 Định nghĩa vận tốc 16 1.3.2 Biểu thức của vận tốc trong các hệ tọa độ 18 a) Trong hệ tọa độ Đềcac : 18 b) Trong hệ tọa độ trụ 19 c) Trong hệ tọa độ cầu 20 1.3.3 Vận tốc góc và vận tốc diện tích 20 a) Vận tốc góc 20 b) Vận tốc diện tích 21 1.4 Gia tốc 22 1.4.1 Độ cong và bán kính chính khúc 22 1.4.2 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến 23 1.5 Các dạng chuyển động đơn giản 25 1.5.1 Chuyển động thẳng 25 1.5.2 Chuyển động biến đổi đều 25 1.5.3 Chuyển động tròn 26 Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
3. Cô hoïc - 3 - a) Vận tốc góc 26 b) Gia tốc góc 28 Chương II ĐỘNG LỰC HỌC 31 2.1 Định luật I Newton 31 2.1.1 Lực và chuyển động 31 2.1.2 Định luật I Newton 32 2.1.3 Hệ qui chiếu trái đất 32 2.2 Nguyên lý tương đương 33 2.3- Định luật II Newton 35 2.3.1 Lực và gia tốc : 35 2.3.2 Khối lượng : 35 2.3.4 Dạng khái quát định luật II Newton 36 2.4. Định luật III Newton 38 Chương III CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN 39 3.1 Khối tâm 39 3.1.1 Định nghĩa 39 3.1.2 Vận tốc của khối tâm 40 3.1.3 Phương trình chuyển động của khối tâm 42 3.2 Chuyển động của vật rắn 42 3.2.1 Chuyển động tịnh tiến 42 3.2.2 Chuyển động quay 43 3.3 Định luật biến thiên và bảo toàn động lượng 44 3.3.1 Khái niệm 44 3.3.2 Định luật bảo toàn động lượng của một cơ hệ 44 3.3.3 Xung lượng của ngoại lực 46 3.4 Chuyển động của vật có khối lượng thay đổi 46 3.5 Momen lực và momen động lượng 48 3.5.1 Momen lực 48 3.5.2 Momen động lượng 49 Chương IV TRƯỜNG LỰC THẾ – TRƯỜNG HẤP DẪN 53 4.1 Khái niệm và tính chất của trường lực thế 53 4.2- Thế năng và cơ năng của trường lực thế 55 4.2.1 Định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế 56 4.2.2 Sơ đồ thế năng 58 4.3 Trường hấp dẫn 60 4.3.1 : Định luật hấp dẫn vạn vật : 60 a) Sự thay đổi gia tốc trọng trường theo độ cao : 61 b) Tính khối lượng của thiên thể : 62 4.3.2 Trường hấp dẫn 62 a) Bảo toàn moment động lượng trong trường hấp dẫn : 63 b) Thế năng hấp dẫn 64 4.4 Chuyển động trong trường hấp dẫn 66 Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
4. Cô hoïc - 4 - Chương V CƠ HỌC CHẤT LƯU 69 5.1 Đại cương về cơ học chất lưu 69 5.2 Tĩnh học chất lưu 69 5.2.1 Áp suất 69 5.2.2 Công thức cơ bản của tĩnh học chất lưu 70 5.3 Động học chất lưu lý tưởng 71 53.1 Định luật bảo toàn dòng 71 5.3.2 Định luật Bernoulli 72 5.4 Hiện tượng nội ma sát (nhớt) 74 5.4.1 Hiện tượng nội ma sát và định luật newton 74 5.4.2 Sự chảy của lưu chất trong một ống trụ 75 CHƯƠNG VI CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI 79 6.1. Tính bất biến của vận tốc ánh sáng 78 6.1.1 Nguyên lý tương đối 78 6.1.2 Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng 78 6.2. Động học tương đối tính – phép biến đổi Lorentz 79 6.2.1 Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galilê với thuyết tương đối Einstein 79 6.2.2. Phép biến đổi Lorentz 80 6.2.3. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz 83 a/ Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả 83 b/ Sự co ngắn Lorentz 84 c/ Định lý tổng hợp vận tốc 86 6.2.3 Động lực học tương đối tính 87 a/ Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm: 87 b/ Động lượng và năng lượng. 88 c/ Các hệ quả 89 6.3 Lực quán tính 92 6.3.1- Không gian và thời gian trong hệ quy chiếu không quán tính 92 6.3.2- Lực quán tính 92 6.3.3- Lực quán tính trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng có gia tốc 93 6.3.4- Lực quán tính trong hệ quy chiếu chuyển động quay: 95 6.4 Nguyên lý tương đương 98 6.4.1 Trạng thái không trọng lượng 98 6.4.2 Nguyên lý tương đương 99 6.4.3 Lý thuyết tương đối rộng 100 6.5 chuyển động quay của Trái đất 101 6.5.1 Gia tốc trọng trường 101 6.5.2 Lực Côriôlit 103 6.5.3 Con lắc Fucô 104 Chương VII DAO ĐỘNG VÀ SÓNG 107 7.1 Dao động điều hòa 107 7.1.1 Hiện tượng tuần hoàn 107 7.1.2 Dao động điều hoà 107 7.1.3 Biểu thức toán học của dao động điều hòa : 108 Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
5. Cô hoïc - 5 - 7.1.4 Phương trình của dao động điều hòa 109 7.1.5 Năng lượng của dao động điều hòa 109 7.2 Ví dụ áp dụng 110 7.2.1 Dao động của một quả nặng treo ở đầu một lò xo 110 7.2.2 Con lắc vật lý 112 7.3 Tổng hợp dao động 114 7.3.1 Nguyên lý chồng chất 115 7.3.2 Tổng hợp hai dao động cùng phương và cùng chu kỳ 115 7.4 Tổng hợp hai dao động có chu kỳ khác nhau chút ít – Hiện tượng phách .118 7.5 Tổng hợp hai dao động có phương vuông góc 122 7.5.1 Tổng hợp hai dao động có phương vuông góc và cùng tần số 122 7.5.2. Tổng hợp hai dao động vuông góc và có tần số khác nhau 124 TÀI LIỆU THAM KHẢO 126 Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
6. Cô hoïc - 6 - PHAÀN I: TOAÙN BOÅ SUNG GIAÛI TÍCH VECTOR I. Heä toïa ñoä Ñeà caùc (Descartes) z Trong heä toïa ñoä Ñeà caùc, ba truïc Ox, Oy, Oz vuoâng goùc vôùi nhau. r k r A Vector OA = r coù theå bieåu dieãn : r r r r r i j y OA=xi +yj+zk (1) O r r r r Hay r = OA = xe x + ye y + ze z x, y, z : thaønh phaàn cuûa vector r treân ba truïc; r r r x i, j , k : Caùc vector ñôn vò. Vaäy coù theå bieåu dieãn vector r daïng r (x,y,z). Theå tích vi phaân dv ñöôïc tính : dv = dx dy dz II. Heä toïa ñoä truï z Trong heä toïa ñoä truï, vò trí cuûa ñieåm A baát kyø ñöôïc xaùc ñònh bôûi ba toïa ñoä ρ, ϕ, z. ρ : hình chieáu cuûa r treân maët phaúng xOy. A ϕ : goùc giöõa Ox vaø ρ. z r z : hình chieáu cuûa r treân truïc Oz. y ρ x Vaäy, vector baùn kính r cuûa ñieåm coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng : r r r r =ρeρ + zez (2) Bieát ba toïa ñoä truï cuûa moät ñieåm ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc ba toïa ñoä Ñeà caùc cuûa ñieåm aáy baèng pheùp bieán ñoåi : r r r OA =Aρeρ + Aϕeϕ + Azez (3) ⎧ρ = x2 + y2 ⎧x =ρcosϕ ⎪ ⎪ ⎪ y ⎨y =ρsinϕ hoaëc ⎨ϕ =arctg (4) ⎪ ⎪ x ⎩z= z ⎪z = z ⎩ ds = ρ dϕ dz : dieän tích vi phaân Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
7. Cô hoïc - 7 - dv = ds. dρ = ρ dϕdzdρ : Theå tích vi phaân. III. Heä toïa ñoä caàu z A θ r O y ϕ x Trong heä toïa ñoä caàu, vò trí cuûa ñieåm A baát kyø ñöôïc xaùc ñònh baèng toïa ñoä r, θ, ϕ. Trong ñoù : r : ñoä daøi cuûa vector baùn kính r θ : goùc giöõa Oz vaø r ϕ : ñònh nghóa nhö trong heä toïa ñoä truï. r r r Caùc vector ñôn vò trong heä toïa ñoä caàu laø : er ,eθ vaø eϕ . Trong ñoù : r r er : Vector ñôn vò doïc theo truïc r . r eθ : Vector ñôn vò naèm trong maët phaúng kinh tuyeán ñi qua A vaø r vuoâng goùc vôùi er , coù chieàu theo chieàu taêng cuûa θ. r eϕ : Vector ñôn vò ñöôïc ñònh nghóa nhö trong heä toïa ñoä truï. Vaäy, r r vector baùn kính cuûa ñieåm A coù daïng : r = r e r (5) Ta coù söï lieân heä giöõa ba toïa ñoä caàu vôùi ba toïa ñoä Ñeà caùc cuûa moät ñieåm nhö sau : r r r OA=Arer +Aθeθ +Aϕeϕ (6) Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
8. Cô hoïc - 8 - ⎧ ⎪ 2 2 2 ⎧x = r sinθ cosϕ ⎪r = x + y + z ⎪ ⎪ z ⎨y = rsinθ sinϕ ⎨θ = arccos (7) 2 2 2 (8) ⎪z= r cosθ ⎪ x + y + z ⎩ ⎪ y ⎪ϕ = arctg ⎩⎪ x dS = r sinθ dϕrdθ = r2 sinθdθdϕ ππ2 ⇒ S = ∫∫r 2 sinθ dθ dϕ = 4π r 2 0 0 r ππ2 4 dV = r2sinθdθdϕdz ⇒ V = ∫∫∫r 2 sin θdθdϕdr = πr 3 00 0 3 Nhaän xeùt : 1. Tuøy theo tính chaát cuûa chuyeån ñoäng, ta coù theå choïn heä toïa ñoä thích hôïp ñeå moâ taû chuyeån ñoäng. Thoâng thöôøng, neáu chaát ñieåm chuyeån ñoäng theo moät ñöôøng thaúng ta choïn heä toïa ñoä Ñeà caùc, neáu chaát ñieåm chuyeån ñoäng quanh moät truïc ta choïn heä toïa ñoä truï, coøn neáu chaát ñieåm chuyeån ñoäng quanh 1 taâm ta choïn heä toïa ñoä caàu. 2. Tröôøng hôïp chaát ñieåm chuyeån ñoäng trong moät maët phaúng ta thöôøng xeùt trong maët phaúng z = 0. Khi ñoù heä toïa ñoä Ñeà caùc coù 2 toïa ñoä x vaø y, coøn caùc heä toïa ñoä truï vaø caàu suy bieán thaønh heä toïa ñoä cöïc, töùc heä coù hai toïa ñoä laø r vaø ϕ. 3. Caùc heä toïa ñoä Ñeà caùc, truï vaø caàu ñeàu laø caùc heä toïa ñoä tröïc giao. Caùc vector ñôn vò doïc theo caùc truïc ñeàu vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät. IV. Caùc pheùp tính vector IV.1. Phaân tích moät vector ra caùc thaønh phaàn tröïc giao Thöôøng moät vector ñöôïc xaùc ñònh ñoái vôùi moät heä toïa ño. Moät vector coù theå ñöôïc phaân tích ra caùc thaønh phaàn theo caùc bieán soá khoâng gian cuûa heä toïa ñoä töông thích ñeå tieän vieäc phaân giaûi. Caùc heä toïa ñoä thöôøng duøng laø heä toïa ñoä Ñeà caùc, heä toïa ñoä truï vaø heä toïa ñoä caàu. r Moät vector A coù theå vieát daïng : r A = Aur ur goïi laø vector ñôn vò trong heä toïa ñoä Ñeà caùc Oxyz, ur song song vaø cuøng r chieàu A vaø ur =1. r r r Caùc vector ñôn vò i , j , k höôùng doïc theo 3 truïc Ox, Oy, Oz. Coù theå phaân tích : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
9. Cô hoïc - 9 - r r r OA = xi + yj + zk OA = x 2 + y 2 + z 2 IV.2. Pheùp coäng vector Ñeå xaùc ñònh pheùp coäng vector, ta xeùt tröôøng hôïp dòch chuyeån nhö sau : C r r r r d d2 V V2 A B r r d V 1 r 1 Neáu moät chaát ñieåm ñi töø A ñeán B ñöôïc bieåu dieãn bôûi d vaø sau ñoù chaát ñieåm r 1 ñi töø B → C ñöôïc bieåu dieãn bôûi d 2 . Vaäy coù theå xem ñieåm ñaõ dòch chuyeån moät r r r r khoaûng d ñeå ñi töø A → C. Coù theå vieát d = d1 + d 2 . Pheùp coäng vector coù tính giao hoaùn : r r r r r V =V1 + V2 = V2 + V1 2 2 2 Ta coù : AC = AD + DC AD = AB + BD = V1 + V2 cosθ Do vaäy : 2 2 2 V = (V1 + V2 cosθ ) + (V2sinθ) 1 2 = V1 + V2 + 2 V1 V2 cosθ 2 2 ⇒ V = V1 + V2 + 2V1V2 cos θ (8) r V C E V2 sinθ r V2 θ r A V1 B V2 cosθ D r r * Ñaëc bieät : V1 vaø V2 thaúng goùc nhau → θ = π/2 2 2 Khi ñoù : V = V1 + V2 IV.3. Hieäu hai vector Ta xem : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
10. Cô hoïc - 10 - r r r r r D = V1 − V2 = V1 + (− V2 ) 2 2 D = V1 + V2 + 2 V1 V2 cos(π−θ) (9) 2 2 D = V1 + V2 − 2 V1V2 cosθ Pheùp tröø vector khoâng coù tính chaát giao hoaùn. IV.4. Coäng nhieàu vector r r r r Ta môû roäng cho tröôøng hôïïp coäng hai vector V=V1 + V2 + V3 , deã thaáy raèng duøng pheùp tònh tieán ta laàn löôït saép xeáp sao cho muõi cuûa vector naøy truøng vôùi ñieåm ñaàu cuûa vector keá tieáp, vector toång seõ laø ñoaïn thaúng noái lieàn ñieåm ñaàu cuûa vector ñaàu tieân ñeán ñieåm muõi cuûa vector cuoái cuøng. Ñoái vôùi hình beân ta coù : r r r r r V = V1 + V2 + V3 + V4 r r V V4 r r V1 V3 r V2 Xeùt vector toång trong maët phaúng xOy ta coù : r r r r r V = (V1x i + V1y j)+(V2x i + V2y j)+ r r = (V1x + V1y + ) i +(V2x + V2y + ) j r r = Vx i + Vy j Trong ñoù : Vx = V1x + V2x + = ∑ Vix = ∑ Vi cosα i i i Vy = V1y + V2y + = ∑ Viy = ∑ Vi sin α i i i r αi laø goùc hôïp bôûi Vi vaø truïc Ox. r VicosαI , Visinαi laàn löôït laø thaønh phaàn cuûa Vi theo hai truïc Ox vaø Oy. IV.5.Tích voâ höôùng r r r r r r Tích voâ höôùng cuûa hai vector A vaø B kí hieäu A.B (ñoïc laø A chaám B) ñöôïc xaùc ñònh laø moät soá voâ höôùng nhö sau : r r r r A.B=A.B.cosθ vôùi θ laø goùc hôïp bôûi (A , B ) (10) Vôùi ñònh nghóa treân chuùng ta deã daøng suy ra moät soá tính chaát sau : Vôùi Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
11. Cô hoïc - 11 - ⎧ r r r r ⎪A = Ax i + Ay j + Azk ⎨r r r r ⎩⎪B= Bx i + By j + Bzk r r 2 2 2 2 A .A = A x + A y + A z = A r r A.B= AxBx + AyBy + AzBz r r r r Neáu A ⊥ B thì A.B=0 r r r r Tích voâ höôùng coù tính chaát giao hoaùn : A.B= B.A r r r r r r r Tích voâ höôùng coù tính chaát phaân phoái : A.(B.C )= A.B+ A.C v r r Caùc vector ñôn vò i , j ,k coù tính chaát : v r r r r r i . i = j. j = k.k =1 v r r r r v i . j = j.k = k. i = 0 IV.6. Tích vector r r r r r r r r Cho hai vector A vaø B. Tích vector A vaø B kí hieäu A × B (ñoïc A nhaân B) r r ñöôïc xaùc ñònh laø moät vector thaúng goùc vôùi maët phaúng chöùa A vaø B, coù chieàu tuaân theo qui taéc “vaën nuùt chai “ vaø coù ñoä lôùn : r r r r A×B = A.B.sin θ , θ : goùc hôïp bôûi ( A , B) (11) r r Töø ñònh nghóa treân ta coù caùc tính chaát sau : A × B r r r r r A×B= − B×A B r r r r r r r A×(B+ C )= A×B+ A×C θ r r r r r r r i × i = j× j = k× k = 0 A r r r r r r r r r r r i × j = k ; j × k = i ;k× i = j B × A Cho hai vector : r r r r A = Ax i + A y j + Azk r r r r B= Bx i + By j + Bz k r r r r r ⇒ A × B=(A y Bz − A zBy )i − (A x Bz − A zBx )j + (A x By − A y Bx )k r r r i j k r r Hay A× B= Ax A y A z Bx By Bz IV.7. Vi phaân vector r r Cho haøm soá vector f(s) , töùc vector f phuï thuoäc vaøo bieán soá s. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
12. Cô hoïc - 12 - r r r df f ()s + ds − f(s) r = lim : ñaïo haøm vector f (12) ds ∆s→0 ∆s Ta coù moät soá tính chaát sau : r r d r r dA dB ()A ± B = ± ds ds ds r r d r r dA r dB r ()A.B = .B + .A ds ds ds r r d r r dA r r dB ()A×B = × B + A× ds ds ds r d r dΦ r dA ()ΦA = A + Φ (vôùi φ voâ höôùng ) ds ds ds r r Ñaïo haøm rieâng phaàn : Cho A(x ,y,z). Vi phaân cuûa A theo moät bieán soá goïi laø ñaïo haøm rieâng phaàn : r r r ∂A A()x + ∆x ,y ,z − A(x ,y ,z ) = lim (13) ∂x ∆x→0 ∆x Tính chaát : vi phaân rieâng phaàn coù caùc tính chaát gioáng vi phaân vector noùi treân. V. Caùc toaùn töû ñaëc bieät thöôøng duøng trong vaät lyùù V.1. Gradient Cho moät haøm voâ höôùng U(x, y, z), gradient cuûa U ñöôïc kí hieäu laø gradU≡∇U, vôùi : ∂U r ∂U r ∂U r ∇U = i + j + k (14) ∂x ∂y ∂z V.2. Divergence r r r r Cho haøm soá vector A(x ,y,z), divergence cuûa A kí hieäu laø Div A ≡∇ A , vôùi : r ∂A ∂A y ∂A ∇ A = x + + z ∂x ∂y ∂z r r r r Trong ñoù A =Ax i + Ay j + Azk (15) V.3. Rotationel (Curl) r r r r Cho haøm soá vector A(x,y ,z), Curl cuûa A kí hieäu laø Rot A ≡∇× A , vôùi : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
13. Cô hoïc - 13 - r r r i j k r ∂ ∂ ∂ ∇× A = ∂x ∂y ∂z (16) A x A y A z Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
14. Cô hoïc - 14 - PHAÀN II: CÔ HOÏC CHÖÔNG I:ÑOÄNG HOÏC 1.1 Khaùi nieäm Trong chöông naøy, muïc tieâu laø nghieân cöùu söï chuyeån ñoäng cuûa vaät theå döôùi hình thöùc ñoäng hoïc chaát ñieåm, chuùng ta chæ giôùi haïn vieäc moâ taû chuyeån ñoäng maø chöa ñeà caäp ñeán nguyeân nhaân gaây ra chuyeån ñoäng. Ta xeùt moät vaøi khaùi nieäm cô baûn : 1.1.1- Chuyeån ñoäng cô hoïc Chuyeån ñoäng cô hoïc laø söï thay ñoåi vò trí cuûa vaät naøy ñoái vôùi vaät khaùc hoaëc cuûa phaàn naøy ñoái vôùi phaàn khaùc cuûa cuøng moät vaät. Chuyeån ñoäng cuûa moät vaät coù tính chaát töông ñoái, khi noùi ñeán chuyeån ñoäng cuûa moät vaät naøo ñoù phaûi xem noù chuyeån ñoäng ñoái vôùi vaät naøo. Khi ñoù chuyeån ñoäng cuûa vaät ñöôïc xem laø söï thay ñoåi toïa ñoä khoâng gian theo thôøi gian so vôùi vaät ñöôïc qui öôùc ñöùng yeân. Khaùi nieäm ñöùng yeân cuõng chæ coù tính chaát töông ñoái, cho ñeán nay ngöôøi ta chöa tìm ñöôïc vaät naøo ñöùng yeân tuyeät ñoái caû. Ngay maët trôøi cuõng chuyeån ñoäng xung quanh taâm thieân haø cuûa chuùng ta vaø thieân haø naøy cuõng chuyeån ñoäng töông ñoái so vôùi caùc thieân haø khaùc trong vuõ truï bao la. 1.1.2 Heä qui chieáu Chuyeån ñoäng cô hoïc coù tính chaát töông ñoái, vaäy khi xeùt chuyeån ñoäng cuûa moät chaát ñieåm caàn xaùc ñònh roõ ñieåm aáy chuyeån ñoäng so vôùi nhöõng vaät naøo ñöôïc xem laø ñöùng yeân. Heä vaät maø ta qui öôùc laø ñöùng yeân vaø duøng laøm moác ñeå khaûo saùt, xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm chuyeån ñoäng ñöôïc goïi laø heä qui chieáu. Khi khaûo saùt chuyeån ñoäng ta coù theå choïn heä qui chieáu naøy hay heä qui chieáu khaùc. Caàn choïn heä qui chieáu thích hôïp sao cho vieäc moâ taû vaø nghieân cöùu tính chaát chuyeån ñoäng ñöôïc ñôn giaûn nhaát. Ñeå moâ taû chuyeån ñoäng trong phaïm vi khoâng lôùn treân beà maët quaû ñaát, thöôøng ta choïn heä quy chieáu laø quaû ñaát hay moät heä vaät naøo ñoù khoâng chuyeån ñoäng ñoái vôùi traùi ñaát. Ví duï, ñeå nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa moät quaû ñaïn phaùo, coù theå choïn heä qui chieáu laø maët ñaát hay chính laø khaåu phaùo. Traùi ñaát chuyeån ñoäng chung quanh maët trôøi, do vaäy trong moät soá tröôøng hôïp khi nghieân cöùu caùc chuyeån ñoäng trong thaùi döông heä, taâm maët trôøi ñöôïc choïn laø heä qui chieáu. Ñaàu theá kyû 17, nhôø söû duïng heä qui chieáu maët trôøi (heä qui chieáu Copernic), Kepler môùi tìm ñöôïc qui luaät ñuùng ñaén moâ taû chuyeån ñoäng cuûa cuûa caùc haønh tinh trong Thaùi döông heä. Maëc duø ñöôïc moâ taû khaùc nhau trong caùc heä qui chieáu khaùc nhau, nhöng neáu bieát chuyeån ñoäng töông ñoái cuûa caùc heä qui chieáu, coù Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
15. Cô hoïc - 15 - theå töø caùch moâ taû chuyeån ñoäng ñoái vôùi heä qui chieáu naøy suy ra caùch moâ taû chuyeån ñoäng ñoái vôùi heä qui chieáu khaùc. Ví duï, bieát chuyeån ñoäng troøn cuûa moät ñieåm treân vaønh xe ñaïp ñoái vôùi xe ñaïp, bieát chuyeån ñoäng cuûa xe ñaïp ñoái vôùi maët ñöôøng, coù theå xaùc ñònh ñöôïc chuyeån ñoäng cuûa moät ñieåm treân vaønh xe ñaïp ñoái vôùi maët ñöôøng. Trong cô hoïc, khi nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa vaät theå ñôn giaûn, nhieàu luùc coù theå boû qua aûnh höôûng do kích thöôùc, hình daïng cuûa vaät vaø löïc caûn cuûa moâi tröôøng. Luùc ñoù xem vaät nhö laø moät chaát ñieåm. Trong thöïc teá, tuøy tröôøng hôïp cuï theå maø ta coù theå xem vaät laø chaát ñieåm hoaëc coá theå. Heä qui chieáu chuyeån ñoäng thaúng, ñeàu goïi laø heä qui chieáu quaùn tính. 1.1.3 Khoâng gian vaø thôøi gian Khi chaát ñieåm chuyeån ñoäng thì vò trí töông ñoái cuûa noù seõ thay ñoåi trong khoâng gian theo thôøi gian. Thôøi gian trong cô hoïc coå ñieån ñöôïc xem laø troâi ñeàu ñaën töø quaù khöù ñeán töông lai, ñoàng nhaát vaø khoâng quan heä ñeán chuyeån ñoäng cuûa vaät chaát. Khoâng gian cuõng ñöôïc xem laø troáng roãng, ñoàng nhaát, ñaúng höôùng, coù 3 chieàu vaø tuaân theo hình hoïc Eudide, khoâng lieân quan ñeán chuyeån cuûa vaät chaát. Vaät lyù hoïc hieän ñaïi chæ ra raèng thôøi gian vaø khoâng gian laø hai phaïm truø vaät chaát lieân quan nhau vaø chòu aûnh höôûng bôûi chuyeån ñoäng cuûa vaät chaát. Tuy nhieân, khi nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa nhöõng vaät vó moâ vôùi vaän toác raát beù so vôùi vaän toác aùnh saùng, caùc quan nieäm cuûa cô hoïc coå ñieån ñöôïc xem laø gaàn ñuùng vaø coù theå söû duïng ñeå moâ taû chuyeån ñoäng. Luùc ñoù coù theå xem caùc ñoä daøi vaø khoaûng thôøi gian laø nhö nhau trong moïi pheùp ño. 1.2 Phöông trình chuyeån ñoäng vaø Phöông trình quyõ ñaïo 1.2.1 Phöông trình chuyeån ñoäng Trong chuyeån ñoäng cô hoïc, vò trí cuûa moät chaát ñieåm seõ ñöôïc xaùc ñònh hoaøn toaøn neáu ta bieát 3 giaù trò veà soá ño cuûa toïa ñoä. Vaäy ñeå xaùc ñònh chuyeån ñoäng cuûa moät chaát ñieåm, ta caàn bieát vò trí cuûa ñieåm aáy taïi nhöõng thôøi ñieåm khaùc nhau, töùc caàn bieát vector baùn kính cuûa chaát ñieåm laø haøm cuûa thôøi gian : r = r(t) (1.1) Phöông trình treân bieåu dieãn vò trí cuûa chaát ñieåm theo thôøi gian vaø goïi laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm. Vaäy, trong heä toïa ñoä Ñeàcac ta coù : x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) (1.2) Töông töï trong heä toïa ñoä truï ta coù : ρ = ρ(t) ; ϕ= ϕ(t) ; z = z(t) (1.3) Trong heä toïa ñoä caàu ta coù : r = r(t) ; θ = θ(t) ; ϕ= ϕ(t) (1.4) Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
16. Cô hoïc - 16 - ÔÛ moãi thôøi ñieåm t, chaát ñieåm coù moät vò trí xaùc ñònh vaø khi t bieán thieân thì chaát ñieåm chuyeån ñoäng moät caùch lieân tuïc, vaäy haøm r(t) laø nhöõng haøm xaùc ñònh, ñôn trò vaø lieân tuïc cuûa t. 1.2 2 Phöông trình quó ñaïo Khi chuyeån ñoäng vò trí cuûa chaát ñieåm luoân luoân thay ñoåi, vaïch thaønh moät ñöôøng lieân tuïc trong khoâng gian, ñoù laø quó ñaïo cuûa chaát ñieåm chuyeån ñoäng. Hay coù theå xem quó ñaïo cuûa chaát ñieåm chuyeån ñoäng laø ñöôøng taïo bôûi taäp hôïp taát caû caùc vò trí cuûa noù trong khoâng gian trong suoát quaù trình chuyeån ñoäng. Bieát heä phöông trình chuyeån ñoäng coù theå suy ra ñöôïc phöông trình quó ñaïo baèng caùch khöû t khoûi caùc phöông trình ñoù. Chaúng haïn, trong heä toïa ñoä Ñeàcac, khöû t khoûi heä phöông trình (1.2) ta ñöôïc : f1(x,y) = 0 ; f2(y,z) = 0 f1(x,y) = 0 laø phöông trình ñöôøng cong C1 naøo ñoù trong maët phaúng (xOy), f2(y,z) = 0 laø phöông trình ñöôøng cong C2 naøo ñoù trong maët phaúng (yOz). Vaäy heä phöông trình moâ taû quó ñaïo chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm goàm hai phöông trình voâ höôùng ñoäc laäp, moãi phöông trình moâ taû moät maët cong trong khoâng gian. Quó ñaïo cuûa chaát ñieåm chính laø ñöôøng caét cuûa hai maët cong ñoù. Trong caùc heä toïa ñoä khaùc nhau, caùc phöông trình quó ñaïo noùi chung coù daïng khaùc nhau, nhöng chuùng cuøng moâ taû moät quó ñaïo xaùc ñònh. Quó ñaïo laø moät trong nhöõng ñaëc tröng cô baûn cuûa chuyeån ñoäng. Tuy nhieân, treân cuøng moät quó ñaïo, chaát ñieåm coù theå chuyeån ñoäng theo nhöõng qui luaät khaùc nhau. Vì vaäy, ngoaøi phöông trình quó ñaïo chuùng ta caàn phaûi bieát qui luaät chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm treân quó ñaïo ñoù. 1.3 Vaän toác 1.3.1 Ñònh nghóa vaän toác Ngoaøi vò trí, chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm coøn ñöôïc ñaëc tröng baèng vaän toác cuûa noù. Ñeå ñaëc tröng cho caû phöông, chieàu vaø ñoä nhanh chaäm cuûa chuyeån ñoäng chaát ñieåm, ngöôøi ta ñöa vaøo moät vector goïi laø vector vaän toác. Trong chuyeån ñoäng thaúng ñeàu vaän toác ñöôïc xaùc ñònh baèng tæ soá giöõa quaõng ñöôøng dòch chuyeån cuûa chaát ñieåm vaø khoaûng thôøi gian maø chaát ñieåm dòch chuyeån heát quaõng ñöôøng ñoù. Trong chuyeån ñoäng thaúng khoâng ñeàu, vaät chuyeån ñoäng luùc nhanh luùc chaäm vaø ôû moãi thôøi ñieåm chuyeån ñoäng ñöôïc ñaëc tröng baèng moät vaän toác khaùc nhau. *- Xeùt chuyeån ñoäng cuûa moät chaát ñieåm treân ñöôøng cong c : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
17. Cô hoïc - 17 - Ta choïn moät ñieåm O treân ñöôøng c laøm goác vaø choïn chieàu döông laø chieàu chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm. Giaû söû ôû thôøi ñieåm t, chaát ñieåm ôû vò trí M xaùc ñònh bôûi hoaønh ñoä cong s(t), ôû thôøi ñieåm t + ∆t chaát ñieåm ôû vò trí M’ töông öùng vôùi s + ∆s. Vaäy trong khoaûng ∆t chaát ñieåm dòch chuyeån ñöôïc moät quaõng ñöôøng ∆s. Quaõng ñöôøng trung bình chaát ñieåm dòch chuyeån ñöôïc trong moät ñôn vò thôøi gian ñöôïc ñònh nghóa laø vaän toác trung bình cuûa chaát ñieåm trong khoaûng ∆t : ∆s v = ∆t Xeùt tröôøng hôïp haït chæ dòch chuyeån theo phöông Ox. Neáu trong khoaûng thôøi gian voâ cuøng beù dt haït dòch chuyeån ñöôïc moät ñoaïn ñöôøng voâ cuøng beù dx thì trong khoaûng thôøi gian aáy chuyeån ñoäng coù theå xem laø ñeàu vaø coù theå xem vaän toác taïi thôøi ñieåm t laø : ∆x dx v = lim = ∆t→0 ∆t dt Vaäy vaän toác baèng ñaïo haøm cuûa toïa ñoä theo thôøi gian vaø noùi chung laø haøm cuûa thôøi gian v = v(t). Bieát bieåu thöùc vaän toác, coù theå xaùc ñònh ñöôïc quaõng ñöôøng ñi cuûa haït trong khoaûng thôøi gian cho tröôùc. Neáu choïn goác toïa ñoä taïi x = 0 laø vò trí cuûa haït ôû thôøi ñieåm t=0 thì vò trí cuûa haït ôû thôøi ñieåm t ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : t dx = vdt ⇒ x(t) = ∫ v(t)dt 0 Trong tröôøng hôïp toång quaùt, khi chuyeån ñoäng khoâng ñeàu vaø coù phöông thay ñoåi thì vaän toác cuûa haït ñöôïc ñònh nghóa laø moät vector, baèng tæ soá cuûa vector ñoä dôøi drs chia cho khoaûng thôøi gian voâ cuøng beù dt ñeå haït ñi ñöôïc ñoä dôøi aáy. Goïi vector vr laø vector vaän toác, ta coù : ∆s ds v = lim = ∆t →0 ∆t dt Neáu choïn taïi thôøi ñieåm t = 0 chaát ñieåm ôû goác 0 (s = 0), thì vò trí cuûa chaát ñieåm ôû thôøi ñieåm t ñöôïc xaùc ñònh : t s= ∫ v(t)dt 0 Xeùt caû phöông, chieàu ta coù : r r ds v = dt Chieàu cuûa vector vr truøng vôùi vector ñoä dôøi drs , töùc ôû moãi thôøi ñieåm, vaän toác höôùng theo phöông tieáp tuyeán vôùi quó ñaïo vaø theo chieàu chuyeån ñoäng cuûa haït. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
18. Cô hoïc - 18 - M τr vr(t) drs M’ r r r r + dr vr(t + ∆t) O Hình 1.1 Vector vaän toác taïi moät vò trí M laø moät vector vr coù phöông naèm treân tieáp tuyeán vôùi quó ñaïo taïi M, coù chieàu theo chieàu chuyeån ñoäng vaø coù giaù trò baèng trò tuyeät ñoái cuûa v. Goïi τr laø vector ñôn vò, tieáp tuyeán vôùi quó ñaïo taïi ñieåm M vaø höôùng theo chieàu chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm, thì : r r r ds v= v τ = (1.5) dt Vaäy vector vaän toác laø tæ soá giöõa vector dòch chuyeån voâ cuøng beù drs cuûa chaát ñieåm vôùi khoaûng thôøi gian voâ cuøng beù dt ñeå chaát ñieåm ñi ñöôïc ñoä dôøi ds. Baây giôø laáy hai vò trí voâ cuøng gaàn nhau cuûa haït, öùng vôùi caùc vector baùn kính r vaø r + dr . Roõ raøng laø vi phaân cuûa vector baùn kính dr baèng ñoä dôøi voâ cuøng beù drs cuûa haït : dr = drs Vaäy coù theå vieát bieåu thöùc vaän toác : r r dr v = dt Vaäy, vaän toác cuûa chaát ñieåm taïi moät ñieåm naøo ñoù baèng ñaïo haøm baäc nhaát theo thôøi gian cuûa vector baùn kính taïi ñieåm ñoù. −1 Thöù nguyeân cuûa vaän toác laø LT vaø ñôn vò laø (m/s). 1.3.2 Bieåu thöùc cuûa vaän toác trong caùc heä toïa ñoä a) Trong heä toïa ñoä Ñeàcac : Ñoä dòch chuyeån vi phaân cuûa chaát ñieåm : r r r r ds = dxex + dyey + dzez Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
19. Cô hoïc - 19 - r r ⎡i ⎤ ⎡ex ⎤ ⎢r ⎥ ⎢r ⎥ ⎢ey ⎥ = ⎢ j ⎥ ⎢r⎥ ⎢er ⎥ k ⎣ z ⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ Theo (1.5 ) ta coù : r r ds dx r dy r dz r v= = e + e + e (1.6) dt dt x dt y dt z r Goïi vx, vy, vz laø thaønh phaàn cuûa v treân caùc truïc toïa ñoä : r r r r v=vxex + vyey + vzez dx vx = = x& dt dy vy = = y& Vaäy : dt dz vz = = z& dt Chaát ñieåm chuyeån ñoäng baát kì trong khoâng gian coù theå xem ñoàng thôøi tham gia ba chuyeån ñoäng thaúng treân ba truïc toïa ñoä Ñeàcac vôùi caùc vaän toác töông öùng vx, vy, vz. Ñoä lôùn vector vaän toác : 2 2 2 v= vx + vy + vz (1.7) v cho bieát chaát ñieåm chuyeån ñoäng nhanh hay chaäm, coøn chieàu cuûa noù xaùc ñònh chieàu chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm treân quó ñaïo. v v v cos(Ox, vr)= x , cos(Oy,vr)= y , cos(Oz,vr)= z (1.8) v v v b) Trong heä toïa ñoä truï r r r r ds = dρeρ +ρdϕeϕ + dzez r dρ r dϕ r dz r ⇒ v= eρ + ρ eϕ + ez (1.9) dt dt dt Caùc thaønh phaàn cuûa vector vaän toác trong heä toïa ñoä truï : dρ vρ = =ρ& dt dϕ vϕ = =ρϕ& dt Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
20. Cô hoïc - 20 - dz vz = = z& dt Döïa treân tính chaát tröïc giao cuûa heä toïa ñoä truï, ta deã daøng suy ra giaù trò cuûa vector vaän toác : 2 2 2 2 2 2 2 v= vx + vy + vz = ρ& +ρ ϕ& + z& (1.10) c) Trong heä toïa ñoä caàu r r r r ds =dr er + rdθ eθ + rsin θ dϕ eϕ dr dθ dϕ ⇒ vr = er + r er + rsin θ er (1.11) dt r dt θ dt ϕ Caùc thaønh phaàn cuûa vector vaän toác trong heä toïa ñoä caàu : dr vr = =&r dt dθ vθ = r = r θ& dt dϕ vϕ = rsinθ = rsinθ ϕ& dt Döïa treân tính tröïc giao cuûa heä toïa ñoä caàu, suy ra ñöôïc giaù trò cuûa vector vaän toác : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v= vr + vθ + vϕ = &r + r θ& + r sin θϕ (1.12) 1.3.3 Vaän toác goùc vaø vaän toác dieän tích a) Vaän toác goùc Trong phaàn treân chuùng ta ñaõ ñöa vaøo caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cho söï thay ñoåi nhanh hay chaäm cuûa toïa ñoä goùc theo thôøi gian laø θ vaø ϕ, caùc ñaïi löôïng naøy ñöôïc goïi laø vaän toác goùc. Ñeå xaùc ñònh ñöôïc chieàu cuûa vaän toác goùc, ta qui öôùc nhö sau : Neáu vector baùn kính r quay moät goùc θ theo chieàu vaën ñinh oác thuaän thì ñinh oác tieán theo chieàu cuûa vector vaän toác goùc ωr . Goïi nr laø vector ñôn vò doïc theo ωr , ta coù : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
21. Cô hoïc - 21 - ωr dθ ωr = nr =θ& nr (1.13) vr dt r + dr O θ r Hình 1.2 Luùc ñoù vector vaän toác goùc ωr , vector baùn kính r vaø vector vaän toác vr cuûa chaát ñieåm chuyeån ñoäng taïo thaønh moät tam dieän thuaän, ta coù heä thöùc : vr = ωr × r (1.14) b) Vaän toác dieän tích Vaän toác dieän tích laø moät ñaïi löôïng coù giaù trò baèng dieän tích maø baùn kính vector queùt ñöôïc trong moät ñôn vò thôøi gian vaø coù chieàu cuøng chieàu vôùi vaän toác goùc : r dS r vs = n (1.15) dt Töø hình (1.2) ta coù : 1 dS= ()r + dr rsin(θ) 2 Boû qua caùc soá haïng voâ cuøng beù baäc hai ta ñöôïc : 1 dS= r2 dθ 2 r 1 2 dθ r 1 2 r Vaäy : vs = r n = r θ& n 2 dt 2 r 1 2 r vs = r ω 2 Coâng thöùc treân coù theå vieát döôùi daïng : r 1 r r r vs = r × []ω× r 2 Keát hôïp caùc coâng thöùc ta coù : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
22. Cô hoïc - 22 - 1 vr = [r×vr] s 2 (1.16) 1.4 Gia toác 1.4.1 Ñoä cong vaø baùn kính chính khuùc Xeùt chaát ñieåm chuyeån ñoäng treân ñöôøng cong C. Giaû söû ôû thôøi ñieåm t1 chaát ñieåm ôû P1. Sau ñoù, ôû thôøi ñieåm r r t2 = t1 + ∆t chaát ñieåm ôû P2. Xem P1P2 P1 ∆s τ1 v1 laø moät cung beù baát kì cuûa C. Qua C P 2 τr vr P1, P2 vaø moät ñieåm baát kyø P treân cung R ∆ϕ 2 2 ñoù ta veõ moät voøng troøn thì cung P1P2 coù theå xem gaàn ñuùng laø moät cung cuûa voøng troøn aáy vaø caøng ñuùng neáu P1 vaø P2 caøng gaàn nhau, töùc khi P1P2 caøng beù. Qua hình Hình 1.3 veõ ta thaáy vôùi cuøng ñoä daøi ∆s, goùc ∆ϕ seõ lôùn khi ñoaïn ∆s caøng cong. Ngöôøi ta ñònh nghóa ñoä cong trung bình K nhö sau : ∆ϕ K = (1.17) ∆s Khi P2 tieán ñeán P1 thì K ñaït ñeán giaù trò giôùi haïn goïi laø ñoä cong cuûa quó ñaïo. ∆ϕ dϕ K = lim = ∆s→0 ∆s ds Luùc ñoù voøng troøn treân ñeán moät vò trí giôùi haïn goïi laø ñöôøng troøn maät tieáp vôùi ñöôøng cong c taïi P1. Goïi R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn maät tieáp aáy thì : ds = R dϕ 1 dϕ Vaäy : K = = (1.18) R ds Ñoä cong cuûa quó ñaïo taïi moät ñieåm ñöôïc xaùc ñònh bôûi nghòch ñaûo cuûa baùn kính voøng troøn maät tieáp taïi ñieåm aáy. Maët phaúng chöùa ñöôøng troøn maät tieáp vôùi ñöôøng cong goïi laø maët phaúng maät tieáp vôùi ñöôøng cong taïi ñieåm töông öùng. Phaùp tuyeán vôùi ñöôøng cong taïi ñieåm aáy vaø naèm trong maët phaúng maät tieáp ñöôïc goïi laø phaùp tuyeán chính vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn maät tieáp töông öùng goïi laø baùn kính chính khuùc taïi ñieåm ñaõ cho. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
23. Cô hoïc - 23 - 1.4.2 Gia toác tieáp tuyeán vaø gia toác phaùp tuyeán Noùi chung, vaän toác cuûa moät haït luoân luoân bieán ñoåi caû veà ñoä lôùn laãn phöông chieàu. Ñaïi löôïng ñaëc tröng cho söï bieán thieân cuûa vaän toác theo thôøi gian goïi laø gia toác vaø ñöôïc xaùc ñònh baèng ñaïo haøm cuûa vaän toác theo thôøi gian. r r dv a = (1.19 ) dt Vaäy gia toác cuûa haït baèng ñoä bieán thieân cuûa vaän toác trong moät ñôn vò thôøi gian. r r ds Ta coù : v= dt Neáu goïi τr laø vector ñôn vò doïc theo phöông tieáp tuyeán cuûa quó ñaïo chuyeån r ds r r ñoäng thì : v= τ = v τ (1.20) dt Thay (1.20) vaøo (1.19) ta coù : r r dv r dτ a= τ + v (1.21) dt dt dτr drτ dϕ ds Ta coù : = (1.22) dt dϕ ds dt ds dϕ 1 Trong ñoù = v laø vaän toác cuûa haït, = vôùi R laø baùn kính chính khuùc cuûa dt ds R quó ñaïo taïi ñieåm ñang xeùt. drτ v dτr Vaäy : = (1.23) dt R dϕ dτr Ta xaùc ñònh phöông, chieàu vaø ñoä lôùn cuûa . Goïi τr vaø τr laø hai vector dϕ 1 2 r r r r r tieáp tuyeán ñôn vò ôû raát gaàn nhau, ta coù dτ= τ(s+ds)− τ(s)= τ2 − τ1 . Ta tònh tieán r r τ1 laïi gaàn τ2 sao cho chuùng coù chung moät goác. r r r r Vì dτ laø vector voâ cuøng beù vaø τ1 = τ2 = τ =1 neân ta coù : r τ1 dτr r dϕ τ2 Hình 1.4 r dτ =dϕ (1.24) Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
24. Cô hoïc - 24 - Maët khaùc vì bình phöông vector τr τr = (rτ)2 =1 neân : 2 d(τr) = 2 rτ drτ = 0 (1.25) Heä thöùc treân chöùng toû vector dτr vuoâng goùc vôùi τr . Neáu goïi nr laø vector ñôn vò vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán vaø höôùng vaøo taâm cuûa ñöôøng troøn maät tieáp doïc theo baùn kính chính khuùc cuûa quó ñaïo, ta coù theå vieát : r r dτ = n dϕ (1.26) Keát hôïp coâng thöùc treân vôùi (1.21) vaø (1.23) ta ñöôïc : dv v2 ar = rτ + nr dt R (1.27) Trong coâng thöùc treân thaønh phaàn : dv ar = rτ τ dt (1.28) höôùng theo tieáp tuyeán goïi laø gia toác tieáp tuyeán, coøn thaønh phaàn : v2 ar = nr n R (1.29) höôùng veà taâm chính khuùc cuûa ñöôøng cong vaø vuoâng goùc vôùi phöông cuûa vector vaän toác, goïi laø gia toác phaùp tuyeán. Vaäy gia toác ar ñöôïc phaân tích thaønh hai thaønh phaàn : r r r a= aτ + an (1.30) r Gia toác tieáp tuyeán aτ coù theå aâm hoaëc döông tuøy thuoäc vaøo höôùng cuûa vector gia toác. Neáu v = const thì gia toác tieáp tuyeán baèng khoâng vaø ta coù chuyeån ñoäng ñeàu. r Neáu v taêng daàn theo thôøi gian thì gia toác tieáp tuyeán lôùn hôn 0 vaø aτ cuøng höôùng vector vaän toác. Neáu v giaûm daàn theo thôøi gian thì gia toác tieáp tuyeán aâm vaø höôùng ngöôïc chieàu vector vaän toác, chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm trong tröôøng hôïp naøy laø chuyeån ñoäng chaäm daàn. Vaäy, gia toác tieáp tuyeán ñaëc tröng cho söï thay ñoåi veà ñoä lôùn cuûa vector vaän toác. r Gia toác phaùp tuyeán an bao giôø cuõng höôùng veà phía loõm cuûa quó ñaïo, veà phía taâm cuûa voøng troøn maät tieáp taïi ñieåm ñang xeùt. Gia toác phaùp tuyeán ñaëc tröng cho söï thay ñoåi veà phöông cuûa vector vaän toác. Trong tröôøng hôïp rieâng laø chuyeån ñoäng thaúng, baùn kính chính khuùc R=∞, r r vaäy an = 0 vaø vector gia toác chæ coøn moät thaønh phaàn laø aτ vaø höôùng doïc theo phöông cuûa chuyeån ñoäng thaúng. Khi haït chuyeån ñoäng troøn ñeàu, ñoä lôùn cuûa vaän toác khoâng ñoåi, gia toác tieáp tuyeán baèng khoâng, gia toác phaùp tuyeán seõ coù ñoä lôùn khoâng ñoåi, tyû leä nghòch vôùi R vaø luoân luoân höôùng vaøo taâm ñöôøng troøn. Vì vaäy gia toác phaùp tuyeán trong chuyeån ñoäng troøn coøn goïi laø gia toác höôùng taâm. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
25. Cô hoïc - 25 - 1.5 Caùc daïng chuyeån ñoäng ñôn giaûn 1.5.1 Chuyeån ñoäng thaúng Quó ñaïo cuûa haït laø moät ñöôøng thaúng, vaäy phöông cuûa vr khoâng thay ñoåi vaø r an luoân baèng khoâng. Ta coù : dv a = 0 ; a = a = n τ dt Khi a > 0 chaát ñieåm chuyeån ñoäng thaúng nhanh daàn, khi a 0 chaát ñieåm chuyeån ñoäng nhanh daàn ñeàu. Khi aτ < 0 chaát ñieåm chuyeån ñoäng chaäm daàn ñeàu. Caùc phöông trình chuyeån ñoäng bieán ñoåi ñeàu cuûa chaát ñieåm coù daïng : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
26. Cô hoïc - 26 - v= dv = a dt = a t + C ∫ ∫ τ τ 1 1 s = ds = v(t) dt = ()a t + C dt = a t 2 + C t + C Giaû söû ôû thôøi ∫ ∫ ∫ τ 1 2 τ 1 2 ñieåm t = 0 chaát ñieåm ôû vò trí s0 vaø coù vaän toác v0. Khi ñoù ta coù C1=v0 , C2 = s0. Vaän toác cuûa chaát ñieåm chuyeån ñoäng bieán ñoåi ñeàu ôû thôøi ñieåm t : v = v0 + aτt (1.36) Phöông trình chuyeån ñoäng bieán ñoåi ñeàu cuûa chaát ñieåm coù daïng 1 2 s=s0 + aτ t + v0t (1.37) 2 Töø ñoù ta suy ra : 2 2 v −v0 = 2aτ (s−s0 ) (1.38) Neáu choïn goác toïa ñoä luùc t = 0 coù s = s0 = 0 thì : 2 2 v −v0 = 2aτ s (1.39) v2 Khi aτ =a0 = const, a = vôùi R = const thì ta coù chuyeån ñoäng troøn bieán n R ñoåi ñeàu. Khi aτ = 0 thì chaát ñieåm chuyeån ñoäng troøn ñeàu. 1.5.3 Chuyeån ñoäng troøn Xeùt moät chaát ñieåm chuyeån ñoäng treân moät ñöôøng troøn taâm O coù baùn kính R. Vò trí cuûa chaát ñieåm M treân ñöôøng troøn ñöôïc xaùc ñònh bôûi baùn kính vector r R = OM . Ngöôøi ta thöôøng duøng caùc ñaïi löôïng vaän toác goùc vaø gia toác goùc ñeå ñaëc tröng cho chuyeån ñoäng aáy. a) Vaän toác goùc M’ Chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm M treân M ∆ϕ ñöôøng troøn ñöôïc khaûo saùt nhö chuyeån r r ñoäng quay cuûa baùn kính vector R xung R O quanh truïc vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng troøn vaø qua taâm O. Trong khoaûng ∆t = t' − t giaû söû chaát ñieåm ñi ñöôïc Hình 1.5 quaõng ñöôøng ∆s = MM' öùng vôùi goùc quay MOM' = ∆ϕ. Theo ñònh nghóa ñaïi ∆ϕ löôïng goïi laø vaän toác goùc trung bình trong khoaûng ∆t : ∆t Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
27. Cô hoïc - 27 - ∆ϕ ω = ∆t (1.40) Giaù trò cuûa ω bieåu thò goùc quay trung bình trong ñôn vò thôøi gian. Neáu cho ∆t → 0 thì vaän toác goùc cuûa chaát ñieåm taïi thôøi ñieåm t laø : ∆ϕ dϕ ω= lim = (1.41) ∆t → 0 ∆t dt Vaäy, vaän toác goùc coù giaù trò baèng ñaïo haøm baäc nhaát theo thôøi gian cuûa goùc quay. Ñôn vò ño cuûa ω laø rad/s. Noùi chung ω = ω (t) Ñoái vôùi chuyeån ñoäng troøn ñeàu thì ω = const, ngöôøi ta ñònh nghóa chu kyø laø thôøi gian chaát ñieåm ñi ñöôïc moät voøng : 2π 2π T = hay ω = (1.42) ω T Taàn soá laø soá chu kì trong moät ñôn vò thôøi gian : 1 ω γ = = ⇒ ω = 2πγ (1.43) T 2π Chuyeån ñoäng quay ñöôïc ñaëc tröng baèng truïc quay, chieàu quay vaø ñoä lôùn cuûa vaän toác goùc. ωr r Qui öôùc : Neáu baùn kính vevtor R vaø vr quay theo chieàu vaën ñinh oác thuaän dϕ thì ñinh oác tieán theo chieàu ωr . R Giaû söû chaát ñieåm dòch chuyeån ñöôïc M vr cung ds trong khoaûng dt, ta coù : Hình 1.6 ds = R dϕ ds dϕ v = = R = R ω (1.44) dt dt Vaäy, töø ñònh nghóa tích höõu höôùng cuûa hai vector, ta coù : r r dR r r v = = ω ×R (1.45) dt 2 2 v ()Rω 2 an = = = R.ω (1.46) R R Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
28. Cô hoïc - 28 - ωr vr r R r O Hình 1.7 r Khi goác O cuûa vector R tröôït treân truïc quay ta vaãn coù : dr vr = = ωr × r (1.47) dt b) Gia toác goùc Ñeå ñaëc tröng cho söï thay ñoåi cuûa vector vaän toác goùc, ngöôøi ta ñöa vaøo khaùi nieäm gia toác goùc. Giaû thieát trong khoaûng thôøi gian ∆t = t' − t vaän toác goùc cuûa ∆ω chuyeån ñoäng troøn bieán thieân moät löôïng ∆ω = ω' − ω . Theo ñònh nghóa goïi ∆t laø gia toác goùc trung bình trong khoaûng thôøi gian ∆t vaø kí hieäu : ∆ω β = (1.48) ∆t Neáu cho ∆t → 0 thì gia toác goùc cuûa chaát ñieåm taïi thôøi ñieåm t laø : ∆ω dω d2ϕ β = lim = = (1.49) ∆t → 0 ∆t dt dt2 Vaäy, gia toác goùc coù giaù trò baèng ñaïo haøm cuûa vaän toác goùc ñoái vôùi thôøi gian vaø baèng ñaïo haøm baäc hai cuûa goùc quay ñoái vôùi thôøi gian. Ñôn vò cuûa gia toác goùc laø rad/s2. Khi β > 0, ω taêng, chuyeån ñoäng troøn nhanh daàn. β < 0, ω giaûm, chuyeån ñoäng troøn chaäm daàn β = 0, ω = Const, chuyeån ñoäng troøn ñeàu. Tröôøng hôïp β = Const, ta coù chuyeån ñoäng troøn bieán ñoåi ñeàu. Ta coù theå chöùng minh ñöôïc caùc heä thöùc : ω = βt + ω0 (1.50) 1 2 ϕ = βt +ω0 t +ϕ0 (1.51) 2 Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
29. Cô hoïc - 29 - 2 2 ω − ω0 = 2β(ϕ−ϕ0 ) (1.52) Neáu ta choïn goác toïa ñoä khi t = 0 coù ϕ0 = 0 thì : 2 2 ω − ω0 = 2β ϕ (1.53 ) Thöôøng ngöôøi ta bieåu dieãn gia toác goùc baèng moät vector goïi laø vector gia toác goùc. Vector naøy coù tính chaát : - Naèm treân truïc cuûa quó ñaïo troøn. - Cuøng chieàu vôùi ωr khi β > 0 (nhanh daàn) vaø ngöôïc chieàu vôùi ωr khi β< 0 (chaäm daàn). - coù giaù trò baèng β. Vaäy coù theå vieát heä thöùc vector sau : r dωr β = (1.54) dt Vaäy gia toác goùc baèng ñaïo haøm baäc nhaát theo thôøi gian cuûa vector vaän toác goùc, xaùc ñònh bieán thieân vaän toác goùc. Laáy ñaïo haøm theo thôøi gian ta coù : r r r r dv d r r ⎡dω r ⎤ ⎡r dR ⎤ a = = []ω×R = ⎢ ×R⎥ + ⎢ω × ⎥ (1.55) dt dt ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ r r r dω r dR r r Ta coù : β = ; v = = []ω×R dt dt Ta coù theå vieát : r r r a = aτ + an (1.56) r r r Trong ñoù : aτ = [β× R] , aτ = β.R (1.57) r r r r r r 2 an = []ω×v = [ω × [ω× R]] , an = Rω (1.58) Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
30. Cô hoïc - 30 - ωr ωr r β r R r R r aτ r aτ r β ω taêng ω giaûm Hình 1.8 r r Thaønh phaàn aτ coù phöông cuûa v goïi laø gia toác quay, thöïc chaát laø gia toác tieáp tuyeán trong chuyeån ñoäng troøn cuûa chaát ñieåm treân ñöôøng troøn taâm O. r Thaønh phaàn an höôùng vaøo truïc quay, thöïc chaát laø gia toác höôùng taâm trong chuyeån ñoäng troøn cuûa chaát ñieåm treân ñöôøng troøn taâm O, coøn goïi laø gia toác höôùng taâm. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
31. Cô hoïc - 31 - CHÖÔNG II: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC Trong chöông tröôùc, chuùng ñaõ nghieân cöùu phöông phaùp moâ taû chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm maø khoâng xeùt ñeán nguyeân nhaân gaây neân chuyeån ñoäng. Ñoäng löïc hoïc chaát ñieåm nghieân cöùu ñeán taùc nhaân laøm thay ñoåi chuyeån ñoäng vaø caùc qui luaät chi phoái chuyeån ñoäng. Quan saùt vaø nghieân cöùu chuyeån ñoäng caùc vaät theå ta thaáy caùc vaät chæ baét ñaàu chuyeån ñoäng hoaëc thay ñoåi chuyeån ñoäng khi chòu taùc duïng cuûa nhöõng vaät khaùc. Caùc ñònh luaät Ñoâäng löïc hoïc xaùc ñònh moái quan heä giöõa chuyeån ñoäng vaø nguyeân nhaân gaây ra hoaëc laøm thay ñoåi chuyeån ñoäng. Caùc ñònh luaät Ñoäng löïc hoïc laø nhöõng ñònh luaät veà quan heä giöõa löïc taùc duïng leân vaät vaø chuyeån ñoäng cuûa vaät. Cô sôû cuûa ñoäng löïc hoïc laø ba ñònh luaät Newton vaø nguyeân lyù töông ñoái Galileùo. Chuùng ta seõ nghieân cöùu ba ñònh luaät naøy trong tröôøng hôïp chaát ñieåm. 2.1 Ñònh luaät I Newton 2.1.1 Löïc vaø chuyeån ñoäng Trong töï nhieân coù nhieàu loaïi löïc : löïc haáp daãn, löïc töø tröôøng, löïc haït nhaân trong chöông naøy chuùng ta ñeà caäp chuû yeáu ñeán löïc cô hoïc. Löïc (cô hoïc) laø moät ñaïi löôïng vaät lyù ñaëc tröng cho töông taùc cô hoïc giöõa caùc vaät. Hay, löïc cô hoïc laø nguyeân nhaân vaät lyù laøm bieán daïng hoaëc laøm thay ñoåi traïng thaùi chuyeån ñoäng cuûa caùc vaät. Veà maët cô hoïc, ta coù theå phaân caùc löïc laøm hai loaïi, loaïi thöù nhaát goàm caùc löïc xuaát hieän khi coù tieáp caän giöõa caùc vaät töông taùc nhö löïc ñaøn hoài, löïc ma saùt ; loaïi thöù hai goàm caùc löïc xuaát hieän khi caùc vaät töông taùc khoâng tieáp caän vôùi nhau, söï phaân chia nhö vaäy chæ mang tính chaát qui öôùc. Trong cô hoïc chuùng ta chæ chuù yù xeùt trong töøng tröôøng hôïp cuï theå coù nhöõng löïc naøo xuaát hieän, ñoä lôùn cuûa caùc löïc ñoù vaø aûnh höôûng cuûa chuùng ñoái vôùi chuyeån ñoäng. Taùc duïng cuûa löïc ñöôïc ñaëc tröng bôûi boán yeáu toá : ñieåm ñaët, phöông, chieàu vaø cöôøng ñoä. Taùc duïng ñoàng thôøi nhieàu löïc leân moät chaát ñieåm töông ñöông vôùi taùc duïng cuûa moät löïc duy nhaát baèng toång hôïp vector cuûa caùc löïc noùi treân. Löïc laø moät ñaïi löôïng vector, ñöôïc bieåu dieãn baèng moät vector vaø tuaân theo caùc qui taéc bieán ñoåi veà vector. Ngoaïi löïc taùc duïng vaøo moät vaät coù aûnh höôûng ñeán toác ñoä chuyeån ñoäng cuûa vaät, nhöng noùi raèng vaän toác cuûa vaät tæ leä vôùi löïc laø khoâng chính xaùc. Khi nghieân cöùu quan heä giöõa löïc taùc duïng vaø chuyeån ñoäng, Newton ñaõ phaùt bieåu ba ñònh luaät cô baûn sau ñaây cuûa ñoäng löïc hoïc, phaûn aùnh ñaày ñuû moái quan heä giöõa löïc taùc duïng vaø chuyeån ñoäng. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
32. Cô hoïc - 32 - 2.1.2 Ñònh luaät I Newton Khi nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm, ñaàu tieân ta nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm töï do (chaát ñieåm coâ laäp). Quan saùt ñònh luaät chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm töï do trong nhöõng heä qui chieáu khaùc nhau laø khaùc nhau. Tuy nhieân, vaãn toàn taïi heä qui chieáu maø trong ñoù chaát ñieåm töï do hoaëc ñöùng yeân, hoaëc chuyeån ñoäng thaúng ñeàu töø moät vò trí ban ñaàu baát kì vôùi moät vaän toác naøo ñoù, goïi laø heä qui chieáu quaùn tính. Heä nhaät taâm coøn ñöôïc goïi laø heä qui chieáu Copecnic, goác ôû taâm maët trôøi vaø ba truïc höôùng veà ba ngoâi sao “coá ñònh”, vôùi ñoä chính xaùc khaù cao coù theå ñöôïc xem laø heä qui chieáu quaùn tính. Moïi heä qui chieáu chuyeån ñoäng thaúng ñeàu töông ñoái vôùi nhau ñeàu laø nhöõng heä qui chieáu quaùn tính. Ñònh luaät I Newton phaùt bieåu : “Trong heä qui chieáu quaùn tính chaát ñieåm khoâng chòu taùc duïng cuûa ngoaïi löïc seõ giöõ nguyeân traïng thaùi ñöùng yeân hoaëc chuyeån ñoäng thaúng ñeàu”. Ñònh luaät I Newton ñuùng cho moïi heä qui chieáu chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ñoái vôùi heä qui chieáu quaùn tính. Noùi moät caùch khaùc, moïi heä qui chieáu chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ñoái vôùi heä qui chieáu quaùn tính ñeàu laø nhöõng heä qui chieáu quaùn tính. 2.1.3 Heä qui chieáu traùi ñaát Heä qui chieáu Copecnic chæ thuaän tieän trong vieäc nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa thieân theå, hoaëc cuûa con taøu vuõ truï maø khoâng thích hôïp cho vieäc nghieân cöùu caùc chuyeån ñoäng treân traùi ñaát. Ñoái vôùi nhöõng chuyeån ñoäng naøy, ngöôøi ta thöôøng duøng moät heä qui chieáu gaén vôùi traùi ñaát. Do traùi ñaát quay quanh truïc cuûa noù vaø chuyeån ñoäng chung quanh maët trôøi, neân traùi ñaát chuyeån ñoäng coù gia toác, khoâng phaûi laø chuyeån ñoäng thaúng ñeàu. Vaäy, noùi thaät chaët cheõ thì heä qui chieáu gaén vôùi traùi ñaát maø chuùng ta thöôøng duøng khoâng phaûi laø heä qui chieáu quaùn tính. Tuy vaäy, chuùng ta haõy khaûo saùt moät heä qui chieáu gaén vôùi traùi ñaát trong chöøng möïc naøo thì coù theå ñöôïc xem laø heä qui chieáu quaùn tính. Do söï quay cuûa traùi ñaát quanh truïc cuûa noù vaø söï chuyeån ñoäng cuûa noù quanh maët trôøi, ôû xích ñaïo gia toác höôùng taâm cuûa moät ñieåm treân maët ñaát laø : 2 2 ⎛ 2π ⎞ 8 cm a = ω . R = ⎜ ⎟ . 6,4.10 cm ≅ 3,4 2 ⎝ 86400 s ⎠ s Gia toác cuûa traùi ñaát chuyeån ñoäng quanh maët trôøi laø : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
33. Cô hoïc - 33 - 2 2 v ()30 Km /s −6 a = = = 6.10 Km R 1,5 .108 Km s2 Gia toác naøy beù hôn raát nhieàu so vôùi gia toác rôi töï do treân maët ñaát, vì vaäy coù theå boû qua trong nhieàu thí nghieäm, nhieàu baøi tính cô hoïc. Caùc ñieåm khaùc nhau treân traùi ñaát coù vector vaän toác khaùc nhau vaø luoân bieán ñoåi. Tuy nhieân söï bieán ñoåi cuûa vaän toác aáy, veà ñoä lôùn vaø veà phöông laø nhoû vaø chaäm. Do ñoù, trong nhöõng chuyeån ñoäng thoâng thöôøng cuûa vaät, khi maø gia toác côõ 3,4 cm/s2 coù theå boû qua ñöôïc vaø trong khoaûng thôøi gian chuyeån ñoäng cuûa vaät khoâng quaù vaøi giôø thì heä qui chieáu gaén lieàn vôùi traùi ñaát gaàn ñuùng ñöôïc coi laø heä qui chieáu quaùn tính. 2.2 Nguyeân lyù töông ñöông Maëc duø toïa ñoä vaø vaän toác cuûa chaát ñieåm töï do trong nhöõng heä qui chieáu quaùn tính K vaø K’ laø khaùc nhau nhöng gia toác cuûa noù trong heä K vaø K’ ñeàu baèng khoâng : d2r d2r' = = 0 (2.1) dt2 dt2 Trong yù nghóa naøy, ta noùi raèng moïi heä qui chieáu quaùn tính laø töông ñöông vôùi nhau ñoái vôùi ñònh luaät chuyeån ñoäng thaúng ñeàu cuûa chaát ñieåm töï do. Moïi chuyeån ñoäng cô hoïc, cuõng nhö moïi hieän töôïng vaät lyù vaø töï nhieân khaùc, ñeàu xaûy ra gioáng nhau, theo nhöõng qui luaät nhö nhau trong nhöõng heä qui chieáu quaùn tính khaùc nhau. Noùi caùch khaùc, khoâng coù moät hieän töôïng vaät lyù hay töï nhieân naøo coù theå cho chuùng ta khaû naêng phaân bieät ñöôïc caùc heä qui chieáu quaùn tính vôùi nhau : chuùng hoaøn toaøn töông ñöông, hoaøn toaøn bình ñaúng. Ñoù laø noäi dung cuûa nguyeân lyù töông ñoái chuyeån ñoäng. Keát hôïp vôùi tieân ñeà veà khoaûng thôøi gian troâi qua trong moïi heä qui chieáu quaùn tính laø nhö nhau ( t=t’ ) vôùi nguyeân lyù töông ñöông ta coù nguyeân lyù töông ñoái Galileùo : Taát caû caùc ñònh luaät cô hoïc ñeàu gioáng nhau trong moïi heä qui chieáu quaùn tính. Xeùt heä quaùn tính K’ chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ñoái vôùi heä quaùn tính K vôùi vaän v ’ toác V . Giaû söû ban ñaàu heä K truøng vôùi heä K : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
34. Cô hoïc - 34 - y y’ Hình 2.1 M r r O ro = OO' = Vt K x O’ K’ x’ z z’ r ⎪⎧r ' = r − V t Vaäy : ⎨ ' (2.2) ⎩⎪t = t Neáu K’ chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ñoái vôùi K doïc theo truïc x ; ta coù : ⎧x' =x − V t ⎧ x = x' + Vt ⎪ ' ⎪ ⎪y = y ⎪y = y' ⎨ ' hay ⎨ ' (2.3) ⎪z = z ⎪z = z ⎪ ' ⎪ ' ⎩t = t ⎩t = t Caùc coâng thöùc (2.2) hay (2.3) goïi laø caùc coâng thöùc bieán ñoåi Galileùo. Chuù yù dt’= dt ta coù : r vr' = vr − V (2.4) dr' dr Trong ñoù : vr'= vaø vr = laàn löôït laø vaän toác cuûa chaát ñieåm M ñoái vôùi dt dt heä qui chieáu quaùn tính K’ vaø K. Caùc phöông trình moâ taû moät ñònh luaät cô hoïc trong heä quaùn tính K vaø trong heä quaùn tính K’ laø coù daïng gioáng nhau. Vaäy coù theå phaùt bieåu nguyeân lyù töông ñoái Galileùo moät caùch khaùc : Caùc ñònh luaät cô hoïc coå ñieån laø baát bieán ñoái vôùi caùc pheùp bieán ñoåi Galileùo. Khi chuyeån töø heä quaùn tính K sang heä quaùn tính K’ caùc ñaïi löôïng sau ñaây laø baát bieán : dvr' dvr Gia toác cuûa chaát ñieåm : ar'= = = ar (2.5) dt dt Vò trí töông ñoái giöõa hai chaát ñieåm : r r r r r r r'12 = r'2 − r'1 = r2 − r1 = r12 (2.6) Vaän toác töông ñoái cuûa hai chaát ñieåm : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
35. Cô hoïc - 35 - r r r r r r v'12 = v'2 − v'1 = v2 − v1 = v12 (2.7) 2.3- Ñònh luaät II Newton Ñònh luaät II Newton moâ taû taùc duïng cuûa löïc leân chuyeån ñoäng cuûa vaät. Chuùng ta khaûo saùt trong heä qui chieáu quaùn tính : 2.3.1 Löïc vaø gia toác : Khi chòu taùc duïng cuûa ngoaïi löïc, chuyeån ñoäng cuûa vaät thay ñoåi, noùi caùch khaùc vaät nhaän moät gia toác. Thöïc nghieäm chöùng toû raèng trong moät heä qui chieáu quaùn tính löïc taùc duïng leân moät chaát ñieåm laøm thay ñoåi traïng thaùi chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm ñoù, nghiaõ laø laøm cho vector vaän toác cuûa chaát ñieåm thay ñoåi. Hay noùi caùch khaùc : trong moät heä qui chieáu quaùn tính löïc taùc duïng leân moät chaát ñieåm laøm cho chaát ñieåm ñoù chuyeån ñoäng coù gia toác. Thöïc nghieäm chöùng toû raèng : Gia toác maø moät vaät thu ñöôïc taïi töøng thôøi ñieåm tæ leä vôùi löïc taùc duïng leân vaät taïi chính thôøi ñieåm aáy. Vaäy neáu moät löïc taùc duïng leân moät chaát ñieåm gaây ra vector gia toác ar thì : r r a ~ F 2.3.2 Khoái löôïng : r Thöïc nghieäm chöùng toû raèng cuøng moät löïc F khi taùc duïng leân caùc chaát ñieåm khaùc nhau seõ gaây ra nhöõng gia toác töông öùng khaùc nhau. Vaäy gia toác chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm coøn phuï thuoäc vaøo moät tính chaát vaät lyù cuûa baûn thaân chaát ñieåm ñoù. Tính chaát naøy ñöôïc ñaëc tröng bôûi moät ñaïi löôïng m goïi laø khoái löôïng cuûa vaät. Thöïc nghieäm cho ta keát quaû : Vôùi moät löïc taùc duïng xaùc ñònh, gia toác chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm tæ leä nghòch vôùi khoái löôïng cuûa noù. Töùc : 1 a ~ m Vì gia toác ñaëc tröng cho söï thay ñoåi traïng thaùi chuyeån ñoäng, vaäy khi khoái löôïng m cuûa chaát ñieåm caøng lôùn thì gia toác a caøng nhoû nghiaõ laø traïng thaùi chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm thay ñoåi caøng ít. Khoái löôïng xaùc ñònh theo gia toác maø vaät thu ñöôïc döôùi taùc duïng cuûa moät löïc laø khoái löôïng quaùn tính. Hay khoái löôïng quaùn tính laø moät ñaïi löôïng ñoäng löïc hoïc ñaëc tröng cho khaû naêng thu gia toác cuûa vaät. Ngöôøi ta nhaän thaáy chæ khi vaät chuyeån ñoäng vôùi vaän toác (v) nhoû so vôùi vaän toác (c) cuûa aùnh saùng thì khoái löôïng cuûa caùc vaät theå laø moät ñaïi löôïng khoâng ñoåi. Khi vaät chuyeån ñoäng vôùi vaän toác raát lôùn, so saùnh ñöôïc vôùi vaän toác aùnh saùng, thì khoái löôïng cuûa vaät phuï thuoäc vaøo vaän toác : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
36. Cô hoïc - 36 - m0 m = (2.8) v2 1− c2 m0 : khoái löôïng cuûa vaät khi vaän toác baèng khoâng, goïi laø khoái löôïng nghæ. Vaän toác coù giaù trò töông ñoái tuøy thuoäc heä qui chieáu. Do khoái löôïng phuï thuoäc vaøo vaän toác, neân ñoái vôùi caùc heä qui chieáu khaùc nhau giaù trò cuõng khaùc nhau. TRONG CAÙC CHUYEÅN ÑOÄNG CÔ HOÏC THÖÔØNG GAËP TRONG KYÕ THUAÄT THÌ V << C. VAÄY MOÄT CAÙCH GAÀN ÑUÙNG COÙ THEÅ XEM KHOÁI LÖÔÏNG LAØ TUYEÄT ÑOÁI KHOÂNG PHUÏ THUOÄC HEÄ QUI CHIEÁU. 2.3.3 Ñònh luaät II Newton TRONG MOÄT HEÄ QUI CHIEÁU QUAÙN TÍNH, VECTOR GIA TOÁC CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA MOÄT CHAÁT ÑIEÅM TÆ LEÄ VÔÙI LÖÏC TAÙC DUÏNG VAØ TÆ LEÄ NGHÒCH VÔÙI KHOÁI LÖÔÏNG CUÛA CHAÁT ÑIEÅM ÑOÙ. r r F a = k (2.9) m K LAØ HEÄ SOÁ TÆ LEÄ PHUÏ THUOÄC VAØO ÑÔN VÒ DUØNG ÑEÅ ÑO KHOÁI LÖÔÏNG, GIA TOÁC VAØ LÖÏC. Trong heä SI, ñôn vò gia toác laø m/s2, ñôn vò khoái löôïng laø Kg thì k = 1. Vaäy coâng thöùc (2.9) trôû thaønh : r F = mar (2.10) COÂNG THÖÙC NAØY COØN ÑÖÔÏC GOÏI LAØ PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC. Löïc laø moät ñaïi löôïng daãn xuaát, ñôn vò ño löïc laø Newton (N). Newton laø löïc truyeàn cho vaät coù khoái löôïng 1kg nhaän ñöôïc gia toác 1m/s2. Trong tröôøng hôïp chaát ñieåm chòu taùc duïng ñoàng thôøi cuûa nhieàu löïc, ta vaãn coù r phöông trình daïng (2.10) trong ñoù F laø toång hôïp caùc löïc taùc duïng leân chaát ñieåm. 2.3.4 Daïng khaùi quaùt ñònh luaät II Newton TRONG TRÖÔØNG HÔÏP TOÅNG QUAÙT, KHOÁI LÖÔÏNG THAY ÑOÅI THEO VAÄN TOÁC. DÖÔÙI TAÙC DUÏNG CUÛA MOÄT NGOAÏI LÖC, KHOÂNG NHÖÕNG VAÄN TOÁC CUÛA CHAÁT ÑIEÅM THAY ÑOÅI, MAØ DO VAÄN TOÁC THAY ÑOÅI NEÂN KHOÁI LÖÔÏNG CUÕNG THAY ÑOÅI, TRAÏNG THAÙI CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA CHAÁT ÑIEÅM THAY ÑOÅI. ÑEÅ ÑAËC TRÖNG CHO TRAÏNG THAÙI Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
37. Cô hoïc - 37 - CHUYEÅN ÑOÄNG CÔ HOÏC TRONG TRÖÔØNG HÔÏP NAØY NGÖÔØI TA DUØNG ÑAÏI LÖÔÏNG ÑOÄNG LÖÔÏNG. ÑOÄNG LÖÔÏNG CUÛA MOÄT VAÄT CHUYEÅN ÑOÄNG TÒNH TIEÁN LAØ MOÄT ÑAÏI LÖÔÏNG VECTOR VEÀ TRÒ SOÁ BAÈNG TÍCH SOÁ CUÛA KHOÁI LÖÔÏNG VÔÙI VAÄN TOÁC, COÙ PHÖÔNG VAØ CHIEÀU TRUØNG VÔÙI PHÖÔNG VAØ CHIEÀU CUÛA VAÄN TOÁC. r P = mvr (2.11) TRONG HEÄ SI, ÑÔN VÒ ÑOÄNG LÖÔÏNG LAØ KG.M/S. TOÅNG QUAÙT : r r m0v P = (2.12) v2 1 − c2 Khi v << c thì : r r P ≈ m0v (2.13) Laáy ñaïo haøm hai veá (2.13) vaø chuù yù raèng theo ñònh luaät II Newton dvr r m = m ar = F ta thu ñöôïc : 0 dt 0 r dP r = F (2.14) dt VAÄY, ÑAÏO HAØM CUÛA ÑOÄNG LÖÔÏNG CUÛA CHAÁT ÑIEÅM THEO THÔØI GIAN BAÈNG LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN NOÙ. Trong tröôøng hôïp toång quaùt coù theå vieát : ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ r d ⎜ vr ⎟ = F ⎜m0 ⎟ (2.15) dt v2 ⎜ 1 − ⎟ ⎝ c2 ⎠ r Khi noùi ñònh luaät II Newton, neáu bieát daïng cuûa haøm F bieåu dieãn töông taùc giöõa chaát ñieåm vaø caùc vaät theå xung quanh, vaø bieát ñieàu kieän ñaàu, töùc vò trí vaø vaän toác cuûa chaát ñieåm ôû thôøi ñieåm ban ñaàu, thì phöông trình chuyeån ñoäng seõ cho pheùp xaùc ñònh vò trí vaø vaän toác cuûa chaát ñieåm ôû thôøi ñieåm t baát kyø, nghiaõ laø cho pheùp xaùc ñònh quõi ñaïo cuûa chuyeån ñoäng. r dvr F Ta coù :ar = ⇒dvr = ar dt = dt dt m Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
38. Cô hoïc - 38 - VAÄY, VAÄN TOÁC CHAÁT ÑIEÅM ÔÛ THÔØI ÑIEÅM T BAÁT KÌ : t r 1 r r v(t) = ∫ F.dt + v0 (2.16) m 0 Maø dr = vr .dt , chuùng ta xaùc ñònh ñöôïc r ôû thôøi ñieåm t : t r r r r(t)= ∫ v.dt + r0 (2.17) 0 2.4. Ñònh luaät III Newton TREÂN ÑAÂY CHUÙNG TA CHÆ MÔÙI XEÙT ÑEÁN MOÁI LIEÂN HEÄ GIÖÕA LÖÏC TAÙC DUÏNG VAØ GIA TOÁC MAØ VAÄT CHÒU TAÙC DUÏNG THU ÑÖÔÏC. THÖÏC RA KHI CAÙC VAÄT BEÂN NGOAØI TAÙC DUÏNG LEÂN CHAÁT ÑIEÅM THÌ CHAÁT ÑIEÅM CUÕNG TAÙC DUÏNG LEÂN VAÄT NGOAØI. MOÏI SÖÏ THAY ÑOÅI TRAÏNG THAÙI CHUYEÅN ÑOÄNG TRONG CAÙC HEÄ QUI CHIEÁU QUAÙN TÍNH ÑEÀU XAÛY RA DO KEÁT QUAÛ TÖÔNG TAÙC GIÖÕA CAÙC VAÄT. Ñònh luaät III Newton xeùt ñeán söï töông taùc giöõa caùc vaät : r Khi chaát ñieåm A taùc duïng leân chaát ñieåm B moät löïc FAB thì chaát ñieåm B r cuõng taùc duïng leân chaát ñieåm A moät löïc FBA cuøng phöông, ngöôïc chieàu vaø cuøng ñoä lôùn. r r FAB = − FBA (2.18) ÑÒNH LUAÄT III NEWTON KHOÂNG CHÖÙA ÑAÏI LÖÔÏNG NAØO MÔÙI, THÖÏC NGHIEÄM XAÙC NHAÄN ÑAÀY ÑUÛ SÖÏ ÑUÙNG ÑAÉN CUÛA ÑÒNH LUAÄT NAØY. ÑAÂY CUÕNG LAØ ÑÒNH LUAÄT CÔ BAÛN CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC. Tröôøng hôïp toång quaùt : Xeùt moät heä chaát ñieåm coâ laäp, nghóa laø moät heä khoâng chòu taùc duïng cuûa caùc ngoaïi löïc, trong heä chæ coù caùc noäi löïc töông taùc giöõa caùc chaát ñieåm cuûa heä. Neáu xeùt töøng ñoâi chaát ñieåm cuûa heä thì toång hai löïc töông taùc giöõa chuùng baèng khoâng. Neáu laáy toång cuûa taát caû caùc löïc ñoù, ta ñöôïc : Toång hôïp caùc noäi löïc cuûa moät heä chaát ñieåm coâ laäp (heä kín ) baèng khoâng. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
39. Cô hoïc - 39 - CHÖÔNG III CÔ HOÏC HEÄ CHAÁT ÑIEÅM – CAÙC ÑÒNH LUAÄT BAÛO TOAØN 3.1 Khoái taâm 3.1.1 Ñònh nghóa Giaû söû coù moät heä goàm hai chaát ñieåm M1 vaø M2 khoái löôïng töông öùng laø m1 vaø m2 ñaët trong M1 G M2 troïng tröôøng ñeàu. Troïng löïc taùc duïng leân caùc chaát ñieåm M1 vaø M2 r r laø hai vector m1g vaø m 2g song r r m1g m2g song cuøng chieàu. Ñieåm ñaët cuûa toång hôïp hai troïng löïc ñoù laø moät ñieåm G naèm treân M1M2 sao cho : Hình 3.1 M1G m2g m2 = − = − (3.1) M2G m1g m1 Hay : m1M1G + m2 M2G = 0 (3.2) Coù theå vieát (3.2) döôùi daïng vector : m1M1G + m2 M2G = 0 (3.3) Ñieåm G thoûa maõn (3.3) ñöôïc goïi laø khoái taâm cuûa heä hai chaát ñieåm M1M2. Tröôøng hôïp toång quaùt, ta ñònh nghóa khoái taâm cuûa heä nhö sau : Khoái taâm cuûa moät heä chaát ñieåm M1, M2, , Mn laàn löôït coù khoái löôïng m1, m2, , mn laø moät ñieåm G xaùc ñònh bôûi heä thöùc : m1M1G + m2 M2G + + mn MnG = 0 (3.4) n Hay : ∑ mi MiG = 0 (3.5) i = 1 Haõy xaùc ñònh toïa ñoä khoái taâm G ñoái vôùi goác toïa ñoä O naøo ñoù ta coù : OG = OMi + MiG (3.6) Nhaân hai veá (3.6) vôùi mi roài coäng caùc phöông trình nhaän ñöôïc veá vôùi veá töø 1 ñeán n ta ñöôïc : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
40. Cô hoïc - 40 - ⎛ n ⎞ n n ⎜ ⎟ ⎜ ∑ mi ⎟OG = ∑mi OMi + ∑ mi MiG (3.7) ⎝ i =1 ⎠ i =1 i =1 Hay theo (3.5 ) : ⎛ n ⎞ n ⎜ ⎟ ⎜ ∑ mi ⎟OG = ∑ mi . OMi ⎝ i = 1 ⎠ i = 1 n ∑ mi . OMi i = 1 Suy ra : OG = n (3.8) ∑ mi i = 1 r r Ñaët OG = R vôùi ba toïa ñoä X, Y, Z ; OMi = ri vôùi ba toïa ñoä laø xi, yi, zi thì (3.8 ) trôû thaønh : n ∑ mi . ri r i = 1 R = n (3.9) ∑ mi i = 1 Neáu chieáu treân ba truïc toïa ñoä : n n n m z ∑ mi xi ∑ mi yi ∑ i i i = 1 i = 1 Z = i = 1 X = n ; Y = n ; n (3.10) ∑ mi ∑ mi ∑ mi i = 1 i = 1 i = 1 Caùc coâng thöùc (3.9) hay (3.10) cho pheùp ta tính toïa ñoä khoái taâm cuûa moät heä chaát ñieåm. 3.1.2 Vaän toác cuûa khoái taâm Vector vaän toác cuûa khoái taâm ñöôïc xaùc ñònh : r r dR V = (3.11) dt Hay theo (3.9) : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
41. Cô hoïc - 41 - n dri ∑m i r i = 1 dt V = n (3.12) ∑m i i = 1 r dri r Trong ñoù : = v : vector vaän toác cuûa chaát ñieåm Mi . dt i n r ∑m i . vi r i = 1 V = Vaäy : n (3.13) ∑m i i = 1 r r Maët khaùc ∑m i .vi =∑ pi laø toång ñoäng löôïng P cuûa heä, do ñoù vaän toác khoái i i taâm laø : r r P V = (3.14) ∑ m i i r ⎛ ⎞ r Töø (3.14) suy ra : P = ⎜∑m i ⎟V (3.15) ⎝ i ⎠ VAÄY TOÅNG ÑOÄNG LÖÔÏNG CUÛA HEÄ BAÈNG ÑOÄNG LÖÔÏNG CUÛA MOÄT CHAÁT ÑIEÅM ÑAËT TAÏI KHOÁI TAÂM CUÛA HEÄ, COÙ KHOÁI LÖÔÏNG BAÈNG TOÅNG KHOÁI LÖÔÏNG CUÛA HEÄ VAØ COÙ VAÄN TOÁC BAÈNG VAÄN TOÁC KHOÁI TAÂM CUÛA HEÄ. Ñoái vôùi heä chaát ñieåm coâ laäp, toång ñoäng löôïng cuûa heä baûo toaøn : r P = const r Vaäy theo (3.14) : V = const KHOÁI TAÂM CUÛA MOÄT HEÄ CHAÁT ÑIEÅM COÂ LAÄP COÙ VECTOR VAÄN TOÁC KHOÂNG ÑOÅI. Thí duï, xeùt moät sao keùp töùc laø moät heä hai sao chuyeån ñoäng quanh khoái taâm cuûa chuùng; neáu chuùng ôû khaù xa caùc sao khaùc thì coù theå coi nhö chuùng hôïp thaønh moät heä coâ laäp, do ñoù khoái taâm cuûa chuùng hoaëc ñöùng yeân hoaëc chuyeån ñoäng thaúng ñeàu. Caùc quan saùt thieân vaên chöùng toû coù nhöõng sao keùp nhö vaäy. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
42. Cô hoïc - 42 - 3.1.3 Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa khoái taâm Giaû thieát caùc chaát ñieåm M , M , , M cuûa heä laàn löôït chòu taùc duïng cuûa caùc r r r 1 2 n löïc : F1,F2 , , Fn vaø chuyeån ñoäng vôùi nhöõng vector gia toác r r r a1 , a2 , , an thoûa maõn caùc phöông trình : r r r r r r m1 a1 = F1 , m2 a2 = F2 , mn an = Fn (3.16) Ñeå tìm phöông trình chuyeån ñoäng cuûa khoái taâm, ñaïo haøm (3.13) theo t n r dvi r ∑m i dV dt = i = 1 dt n (3.17) ∑m i i = 1 r ⎛ ⎞ dV r r Hay : ⎜∑m i ⎟ = ∑m i ai = ∑Fi (3.18) ⎝ i ⎠ dt i i ⎛ ⎞ r r Hay : ⎜∑mi ⎟ Γ = ∑Fi (3.19) ⎝ i ⎠ i r r dV Trong ñoù Γ = laø vector gia toác cuûa khoái taâm. Töø (3.19) coù theå keát luaän dt : Khoái taâm cuûa moät heä chuyeån ñoäng nhö moät chaát ñieåm coù khoái löôïng baèng toång khoái löôïng cuûa heä vaø chòu taùc duïng cuûa moät löïc baèng toång hôïp ngoaïi löïc taùc duïng leân heä. Chuyeån ñoäng khoái taâm cuûa heä ñöôïc xem laø chuyeån ñoäng toaøn theå cuûa heä. 3.2 Chuyeån ñoäng cuûa vaät raén Vaät raén laø moät heä chaát ñieåm trong ñoù khoaûng caùch giöõa caùc chaát ñieåm luoân luoân khoâng ñoåi. Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng chuyeån ñoäng cuûa vaät raén bao giôø cuõng coù theå qui veà tích cuûa hai chuyeån ñoäng cô baûn : Chuyeån ñoäng tònh tieán vaø chuyeån ñoäng quay. 3.2.1 Chuyeån ñoäng tònh tieán Khi vaät raén chuyeån ñoäng tònh tieán, moïi chaát ñieåm cuûa noù chuyeån ñoäng gioáng nhau; taïi moãi thôøi ñieåm, caùc chaát ñieåm cuûa vaät raén ñeàu coù cuøng vector vaän toác vaø r vector gia toác. Giaû thieát a laø vector gia toác chung cuûa caùc chaát ñieåm M1, M2, , Mn cuûa vaät raén, laàn löôït coù khoái löôïng m , m , , m vaø laàn löôït chòu taùc duïng cuûa r r r 1 2 n nhöõng ngoaïi löïc F1 , F2 , , Fn . Theo ñònh luaät II Newton ta coù : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
43. Cô hoïc - 43 - r r m1 a = F1 , r r m2 a = F2 , (3.20) r r mn a = Fn Caùc phöông trình naøy chöùng toû nhöõng ngoaïi löïc taùc duïng leân vaät raén r r r F1 , F2 , , Fn song song vaø cuøng chieàu, ñaây laø ñieàu kieän caàn ñeå moät vaät raén chuyeån ñoäng tònh tieán. Töø (3.20) ta coù : ⎛ ⎞ r r ⎜∑ mi ⎟ a = ∑ Fi (3.21) ⎝ i ⎠ i Ñoù laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa vaät raén tònh tieán; noù gioáng nhö phöông trình chuyeån ñoäng cuûa moät chaát ñieåm coù khoái löôïng baèng khoái löôïng toång coäng cuûa vaät raén vaø chòu taùc duïng moät löïc baèng toång ngoaïi löïc taùc duïng leân vaät raén. Ñaây cuõng laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa khoái taâm vaät raén. Vaäy, muoán khaûo saùt chuyeån ñoäng tònh tieán cuûa moät vaät raén ta chæ caàn xeùt chuyeån ñoäng cuûa khoái taâm cuûa noù. 3.2.2 Chuyeån ñoäng quay Khi moät vaät raén chuyeån ñoäng quay chung quanh moät truïc coá ñònh ∆ thì : rr β β ωr r vr a Hình 3.2 t ∆ Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
44. Cô hoïc - 44 - a/ Moïi ñieåm cuûa vaät raén vaïch nhöõng voøng troøn coù cuøng truïc ∆. b/ Trong cuøng moät khoaûng thôøi gian moïi ñieåm cuûa vaät raén ñeàu quay ñöôïc cuøng moät goùc θ. c/ Taïi cuøng moät thôøi ñieåm, moïi ñieåm cuûa vaät raén ñeàu coù cuøng vaän toác goùc dθ dω d2θ ω = vaø cuøng gia toác goùc β= = . dt dt dt2 d/ Taïi moät thôøi ñieåm, vector vaän toác thaúng vaø vector gia toác tieáp tuyeán cuûa moät chaát ñieåm baát kyø cuûa vaät raén caùch truïc quay moät khoaûng r ñöôïc xaùc ñònh bôûi : r r r v = ω × r (3.22) r r r at = β × r (3.23) 3.3 Ñònh luaät bieán thieân vaø baûo toaøn ñoäng löôïng 3.3.1 Khaùi nieäm Heä goàm nhieàu chaát ñieåm hoaëc nhieàu vaät töông taùc vôùi nhau ñöôïc goïi laø moät heä chaát ñieåm, hay moät cô heä. Thí duï, heä maët trôøi laø moät cô heä goàm maët trôøi vaø caùc haønh tinh töông taùc vôùi nhau baèng löïc haáp daãn. Löïc töông taùc giöõa caùc vaät trong moät cô heä ñöôïc goïi laø noäi löïc hay löïc trong. Löïc töông taùc giöõa moät vaät trong cô heä vaø caùc vaät ngoaøi cô heä ñöôïc goïi laø ngoaïi löïc hay löïc ngoaøi. Heä chæ goàm caùc vaät töông taùc vôùi nhau, ñöôïc goïi laø moät heä kín hay heä coâ laäp. Moïi löïc töông taùc trong moät heä coâ laäp ñeàu laø noäi löïc. 3.3.2 Ñònh luaät baûo toaøn ñoäng löôïng cuûa moät cô heä Ta bieát ñoäng löôïng cuûa moät chaát ñieåm coâ laäp laø baûo toaøn. Xeùt moät heä goàm nhieàu chaát ñieåm khoái löôïng m1, m2, m3, coù vaän toác laàn r r r r r r löôït laø v1, v2 , v3, Toång caùc ñoäng löôïng p1 , p2 , p3 cuûa caùc chaát ñieåm trong cô heä ñöôïc goïi laø ñoäng löôïng toaøn phaàn cuûa cô heä : r r r r r r r P = p1 + p2 + p3 + = m1 v1 + m 2 v2 + m 3 v3 + (3.24) *- Ta chöùng minh raèng, ñoäng löôïng cuûa moät heä coâ laäp laø baûo toaøn. Aùp duïng ñònh luaät II Newton ñoái vôùi tuøng chaát ñieåm trong cô heä : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
45. Cô hoïc - 45 - dpr d r r 1 = (m vr ) = F + F + dt dt 1 1 21 31 dpr d r r 2 = (m vr ) = F + F + dt dt 2 2 12 32 (3.25) dpr d r r 3 = (m vr ) = F + F + dt dt 3 3 13 23 Coäng veá vôùi veá taát caû phöông trình (3.25) : d r r r r ( p1 + p2 + p3 + )=∑∑Fij (3.26) dt iij≠ Veá traùi chính laø ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa ñoäng löôïng cô heä, veá phaûi laø toång caùc löïc taùc duïng trong heä coâ laäp neân chuùng baèng 0. Vaäy : r dP = 0 dt Töùc laø : r r r r P = p1 + p 2 + p3 + = const (3.27) Ñoäng löôïng toaøn phaàn cuûa moät heä coâ laäp laø moät vector khoâng ñoåi. Hay : ñoäng löôïng toaøn phaàn cuûa moät heä coâ laäp ñöôïc baûo toaøn. Vì ñoäng löôïng toaøn phaàn laø vector khoâng ñoåi, neân caùc thaønh phaàn cuûa ñoäng löôïng theo caùc phöông cuõng khoâng ñoåi. r dP r x = 0 → P = const dt x r dPy r = 0 → P = const dt y (3.28) r dP r z = 0 → P = const dt z Ñoái vôùi tröôøng hôïp heä khoâng coâ laäp, coù phöông trình : d r r r r r n ( p1 + p2 + p3 + )= ∑∑Fij + ∑ Fi (3.29) dt iij≠ i r Toång caùc noäi löïc baèng khoâng : ∑∑Fij = 0 iji≠ r n r n Toång caùc ngoaïi löïc : ∑ Fi = F i r dP r Vaäy : = Fn (3.30) dt Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
46. Cô hoïc - 46 - Ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa ñoäng löôïng toaøn phaàn moät cô heä, baèng toång caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân heä. 3.3.3 Xung löôïng cuûa ngoaïi löïc Ta coù theå bieåu dieãn ñònh luaät II Newton döôùi daïng : r r dP = Fdt (3.31) r r Fdt ñöôïc goïi laø xung löôïng cuûa löïc F trong khoaûng thôøi gian dt. Noù ñaëc r tröng cho taùc duïng cuûa löïc F trong khoaûng thôøi gian dt. t 2 r t 2 r ∫∫dP = F dt t1 t1 (3.32) r r t 2 r r P2 − P1 = ∫ F dt = A t1 r r P2 − P1 laø ñoä bieán thieân cuûa ñoäng löôïng trong khoaûng thôøi gian töø t1 t 2 r r ñeán t2. Coøn ∫ Fdt = A laø xung löôïng cuûa löïc taùc duïng trong khoaûng thôøi gian töø t1 t1 Æ t2 . Coù theå phaùt bieåu : ÑOÄ BIEÁN THIEÂN ÑOÄNG LÖÔÏNG CUÛA CHAÁT ÑIEÅM TRONG MOÄT KHOAÛNG THÔØI GIAN BAÈNG XUNG LÖÔÏNG CUÛA LÖÏC TAÙC DUÏNG VAØO CHAÁT ÑIEÅM TRONG KHOAÛNG THÔØI GIAN AÁY. Ñoái vôùi moät cô heä, theo (3.30) : r r dP = Fndt t 2 r t 2 r dP = Fn dt ∫∫ (3.33) t1 t1 t 2 r r r n r P2 − P1 = ∫ F dt = A t1 Vaäy : Ñoä bieán thieân ñoäng löôïng toaøn phaàn cuûa moät cô heä trong moät khoaûng thôøi gian baèng toång xung löôïng cuûa caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân heä trong khoaûng thôøi gian aáy. 3.4 Chuyeån ñoäng cuûa vaät coù khoái löôïng thay ñoåi Thöïc teá ta thöôøng gaëp nhöõng heä coù khoái löôïng bieán ñoåi theo thôøi gian : Khoái löôïng cuûa teân löûa ñang chuyeån ñoäng, khoái löôïng caùc thieân theå khi tieáp nhaän caùc Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
47. Cô hoïc - 47 - thieân thaïch Ngöôøi ta thöôøng duøng ñònh luaät III Newton vaø ñònh luaät baûo toaøn ñoäng löôïng ñeå giaûi thích caùc chuyeån ñoäng phaûn löïc. Chuùng ta haõy thieát laäp phöông trình chuyeån ñoäng cuûa teân löûa. Giaû thieát coù moät vaät chöùa moät hoãn hôïp khí noùng, ban ñaàu ñöùng yeân. Neáu hoãn hôïp khí ñöôïc phuït ra phía sau thì vaät seõ tieán leân phía tröôùc. Goïi khoái löôïng toång coäng ban ñaàu cuûa teân löûa laø m0. Trong quaù trình chuyeån ñoäng, teân löûa luoân phuït khí ra phía sau, khoái löôïng giaûm daàn vaø vaän toác taêng daàn. Haõy tính vaän toác vr cuûa teân r r löûa khi khoái löôïng cuûa noù laø m. Ñoäng löôïng cuûa teân löûa luùc ñoù laø p1 = mv . Sau thôøi gian dt teân löûa phuït ra khoái löôïng khí dm. Xem vaän toác phuït khí ñoái vôùi teân löûa luoân khoâng ñoåi vaø baèng ur thì vaän toác phuït khí ñoái vôùi heä qui chieáu ñang quan saùt baèng ur + vr vaø ñoäng löôïng cuûa khí phuït ra laø : dm(ur + vr) Sau khi phuït khí, khoái löôïng teân löûa giaûm ñi coøn (m – dm), vaän toác cuûa noù taêng leân thaønh (vr + dvr) , vaäy ñoäng löôïng teân löûa sau khi phuït khí laø(m − dm)(vr + dvr) . Ñoäng löôïng cuûa heä sau khi phuït khí laø : r r r r r p2 =dm(u+v)+(m −dm)(v+dv ) Giaû söû khoâng coù thaønh phaàn löïc taùc duïng theo phöông chuyeån ñoäng, theo r r ñònh luaät baûo toaøn ñoäng löôïng : p1 = p2 . Vaäy : dm (ur + vr )+ (m − dm)(vr + dvr) = mvr (3.34) Boû qua soá haïng voâ cuøng beù baäc hai − dmdv , coù : mdvr = − ur dm (3.35) Vì caùc vector ñeàu cuøng phöông neân veà giaù trò : mdv = - udm dm dv = − u (3.36) m Tích phaân (3.36), chuù yù ñeán ñieàu kieän ban ñaàu, t = 0 coù v = v0 vaø m=m0 ta thu ñöôïc : m m v − v = u ln o ⇒ v = v + u ln o (3.37) o m o m Coâng thöùc naøy laàn ñaàu tieân do K.E.Xioânkoâpski laäp neân. Vaäy muoán vaän toác m teân löûa lôùn thì vaän toác phuït khí (ñoái vôùi teân löûa) u phaûi lôùn vaø tæ soá 0 cuõng phaûi m lôùn. Phöông phaùp ñöôïc duøng hieän nay laø xaây döïng teân löûa nhieàu taàng, loaïi boû daàn nhöõng thieát bò ñaõ laøm xong nhieäm vuï ñeå giaûm nhanh hôn khoái löôïng coøn laïi m. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
48. Cô hoïc - 48 - 3.5 Momen löïc vaø momen ñoäng löôïng 3.5.1 Momen löïc r Momen cuûa moät löïc F , µr ñoái vôùi moät goùc O choïn tröôùc, laø moät vector ñöôïc xaùc ñònh : r r µr = r × F (3.38) o r α F Trong ñoù (r) laø baùn kính vector vaïch töø O ñeán ñieåm ñaët h r cuûa F . Phöông vaø chieàu cuûa ñöôïc xaùc ñònh theo qui taéc vaën nuùt chai, ñoä lôùn cuûa µr laø : Hình 3.3 µ = rFsinα = hF (3.39) r Trong ñoù α laø goùc taïo bôûi r vaø F ; h laø hình chieáu cuûa r leân phöông vuoâng r goùc vôùi F . r Töø (3.38) ta suy ra raèng momen cuûa löïc F khoâng thay ñoåi khi ñieåm ñaët A cuûa löïc dòch chuyeån doïc theo phöông taùc duïng cuûa löïc. r r r r r Neáu F = F1 + F2 + Fn = ∑ Fi thì töø tính chaát ñaõ bieát cuûa tích i vector, ta coù : r r r r r r r r r µ = r × F = (r ×F1) + (r ×F2 ) + (r ×Fn ) r r r (3.40) = ∑(r ×Fi ) = ∑ µi i i Vaäy, momen ñoái vôùi ñieåm O cuûa nhieàu löïc taùc duïng ñoàng thôøi baèng toång hình hoïc cuûa caùc momen caùc löïc thaønh phaàn ñoái vôùi ñieåm ñoù. r Momen cuûa löïc F , ñoái vôùi moät truïc Oz naøo ñoù, laø thaønh phaàn µz treân truïc Oz cuûa vector momen löïc µr ñoái vôùi moät ñieåm O. Ta thaáy raèng momen löïc ñoái vôùi moät ñieåm laø moät vector, coøn momen cuûa cuøng löïc ñoù ñoái vôùi moät truïc baát kyø ñi qua ñieåm treân laø moät voâ höôùng. Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng : trong moät heä chaát ñieåm hay vaät raén toång momen cuûa caùc noäi löïc µr t - coøn ñöôïc goïi laø momen toång hôïp cuûa caùc noäi löïc - ñoái vôùi moät ñieåm baát kì, luoân luoân baèng khoâng. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
49. Cô hoïc - 49 - 3.5.2 Momen ñoäng löôïng r Momen ñoäng löôïng L cuûa moät chaát ñieåm coù khoái löôïng m, chuyeån ñoäng vôùi vaän toác v, ñoái vôùi ñieåm O naøo ñoù, laø moät vector ñöôïc xaùc ñònh baèng bieåu thöùc : r r r r r L = r × mv = r × p Trong ñoù r laø baùn kính vector vaïch töø O ñeán vò trí cuûa chaát ñieåm. pr = mvr laø ñoäng löôïng chaát ñieåm. Momen ñoäng löôïng, ñoái vôùi moät truïc Oz naøo ñoù, laø thaønh phaàn L treân truïc r z Oz cuûa momen ñoäng löôïng L ñoái vôùi ñieåm O. r Momen ñoäng löôïng toaøn phaàn L cuûa moät heä chaát ñieåm hay vaät raén, ñoái vôùi r moät ñieåm O naøo ñoù, laø toång hình hoïc caùc vector momen ñoäng löôïng L ñoái vôùi O cuûa caùc chaát ñieåm mi trong heä : r r r r r r L = ∑∑Li = ri ×pi = ∑(ri ×mvi ) (3.41) ii i *- Ñònh luaät bieán thieân vaø baûo toaøn momen ñoäng löôïng : - Ñoái vôùi chaát ñieåm : r r dL d r r ⎛ d r r ⎞ ⎛r dp ⎞ Töø (3.41) ta coù : = (r ×p) = ⎜ r×p⎟ + ⎜ r × ⎟ dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ r ⎛ dr r ⎞ r r r r r r Ta coù : ⎜ × p⎟ = (v × p) = (v× mv) = m(v× v) = 0 ⎝ dt ⎠ dpr r Vaø = F dt r Trong ñoù F laø löïc taùc duïng leân chaát ñieåm, thì : r r dp r r r (r × ) = (r × F)= µ dt r dL Vaäy : = µr (3.42) dt Ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa momen ñoäng löôïng cuûa chaát ñieåm ñoái vôùi moät ñieåm coá ñònh O baèng momen ñoái vôùi O cuûa löïc taùc duïng leân chaát ñieåm. Khi momen löïc taùc duïng leân chaát ñieåm baèng 0 thì : r dL r = 0 ⇒ L = const (3.43) dt r Nghóa laø L khoâng ñoåi theo thôøi gian. Vaäy ta coù ñònh luaät baûo toaøn momen ñoäng löôïng : Momen ñoäng löôïng cuûa chaát ñieåm ñoái vôùi moät chaát ñieåm coá ñònh, khoâng thay ñoåi theo thôøi gian neáu momen löïc ñoái vôùi ñieåm aáy luoân luoân baèng khoâng. Ñoái vôùi heä chaát ñieåm hay vaät raén : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
50. Cô hoïc - 50 - r dL d r r d r r r Ta coù : = ∑(ri ×pi ) = ∑ (ri ×pi ) = ∑µ i dt dt i i dt i r Trong ñoù µi laø momen löïc taùc duïng leân chaát ñieåm thöù i. Vaäy, veá phaûi cuûa phöông trình treân laø toång caùc momen löïc taùc duïng leân cô heä, nhö ta bieát laø toång momen cuûa caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân heä, thì : r dL r r n r = ∑(ri ×Fi ) = µ (3.45) dt i r n r Trong ñoù Fi laø toång caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân chaát ñieåm thöù i vaø µ laø toång caùc momen ngoaïi löïc taùc duïng leân cô heä. Ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa toång momen ñoäng löôïng cuûa moät heä chaát ñieåm hay moät vaät raén, ñoái vôùi moät ñieåm coá ñònh O, baèng toång caùc momen ngoaïi löïc ñoái vôùi O. - Tröôøng hôïp rieâng neáu µr = 0 thì : r dL r = 0 ⇒ L = const (3.45) dt Ta coù ñònh luaät baûo toaøn momen ñoäng löôïng ñoái vôùi heä chaát ñieåm : MOMEN ÑOÄNG LÖÔÏNG CUÛA MOÄT HEÄ CHAÁT ÑIEÅM HAY MOÄT VAÄT RAÉN ÑOÁI VÔÙI MOÄT ÑIEÅM COÁ ÑÒNH O KHOÂNG THAY ÑOÅI THEO THÔØI GIAN, NEÁU TOÅNG MOMEN CAÙC NGOAÏI LÖÏC ÑOÁI VÔÙI ÑIEÅM O BAÈNG KHOÂNG. Momen ñoäng löôïng cuûa moät vaät raén quay quanh moät truïc coá ñònh : Tröôùc heát ta haõy xeùt tröôøng hôïp cuûa moät heä chaát ñieåm, sau seõ xeùt tröôøng hôïp rieâng ñaëc bieät ñoù laø tröôøng hôïp cuûa vaät raén. Xeùt chaát ñieåm khoái löôïng m quay theo ñöôøng troøn taâm O baùn kính r vôùi vaän toác v, vaäy momen ñoäng löôïng cuûa chaát ñieåm ñoái vôùi truïc quay ∆ vuoâng goùc vôùi maët phaúng quyõ ñaïo laø : l = mvr Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
51. Cô hoïc - 51 - vr r Hình 3.4 OO Neáu goïi ω laø vaän toác goùc thì : 2 v = ωr ⇒ l = mr ω Môû roäng keát quaû naøy cho tröôøng hôïp moät heä chaát ñieåm, momen ñoäng löôïng cuûa heä ñoái vôùi truïc ∆ baèng : 2 L = ∑ miri ω (3.46) i Trong ñoù toång ñöôïc laáy theo moïi chaát ñieåm cuûa heä. Do ω nhö nhau vôùi moïi chaát ñieåm. Vaäy : 2 L = ω ∑ miri = ωI (3.47) i 2 Vôùi I = m r goïi laø momen quaùn tính cuûa heä ñoái vôùi truïc quay ∆. ∑ i i i Theo (3.47) thì momen ñoäng löôïng cuûa heä ñoái vôùi truïc quay baèng momen quaùn tính cuûa heä ñoái vôùi truïc quay aáy nhaân vôùi vaän toác goùc cuûa heä. dL d Coù theå thaáy : = (Iω) = µ (3.48) dt dt Vaäy ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa momen ñoäng löôïng cuûa heä baèng momen cuûa ngoaïi löïc ñoái vôùi truïc quay. Tröôøng hôïp rieâng neáu momen ngoaïi löïc ñoái vôùi truïc quay baèng 0 thì momen ñoäng löôïng baûo toaøn. Tröôøng hôïp vaät raén quay quanh moät truïc coá ñònh, thì do vaät raén coù theå xem laø ñoái vôùi ñieåm O moät heä chaát ñieåm coá keát neân momen quaùn tính I cuûa heä laø khoâng ñoåi vaø phöông trình (3.48) trôû thaønh : dω I =µ ⇒ Iβ = µ (3.49) dt Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
52. Cô hoïc - 52 - r Xeùt veà giaù trò vector : Iβ = µr VAÄY, TÍCH CUÛA MOMEN QUAÙN TÍNH CUÛA VAÄT RAÉN ÑOÁI VÔÙI MOÄT TRUÏC QUAY COÁ ÑÒNH VÔÙI GIA TOÁC GOÙC BAÈNG MOMEN CUÛA NGOAÏI LÖÏC ÑOÁI VÔÙI TRUÏC QUAY. Ñaây laø ñònh luaät cô baûn veà chuyeån ñoäng quay cuûa vaät raén quanh moät truïc quay. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
53. Cô hoïc - 53 - CHÖÔNG IV: TRÖÔØNG LÖÏC THEÁ – TRÖÔØNG HAÁP DAÃN 4.1 Khaùi nieäm vaø tính chaát cuûa tröôøng löïc theá Moät chaát ñieåm ñöôïc goïi laø chuyeån ñoäng trong moät tröôøng löïc neáu taïi moãi r vò trí cuûa chaát ñieåm ñeàu coù moät löïc F taùc duïng leân chaát ñieåm aáy. r Löïc F taùc duïng leân chaát ñieåm noùi chung phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa chaát r ñieåm, F laø moät haøm cuûa toïa ñoä cuûa chaát ñieåm vaø cuõng coù theå laø moät haøm cuûa thôøi r gian t. ÔÛ ñaây ta chæ xeùt tröôøng hôïp F chæ phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa chaát ñieåm maø khoâng phuï thuoäc vaøo thôøi gian. r r r F = F(r) = F(x, y,z) (4.1) Khi chaát ñieåm chuyeån ñoäng trong tröôøng löïc töø vò trí M ñeán vò trí N baát kyø r thì coâng cuûa löïc F baèng : r r AMN = ∫ Fds MN r Trong tröôøng hôïp coâng A cuûa löïc F khoâng phuï thuoäc ñöôøng dòch chuyeån MN r MN maø chæ phuï thuoäc vò trí cuûa ñieåm M vaø ñieåm N thì ta noùi raèng : F laø löïc cuûa moät tröôøng theá. Ví duï : tröôøng tónh ñieän Coulomb; Troïng tröôøng ñeàu laø nhöõng tröôøng hôïp cuûa tröôøng löïc theá. a) Xeùt tröôøng hôïp tröôøng tónh ñieän Coulomb Taïi ñieåm O coá ñònh, ñaët moät ñieän tích +q, ñieän tích naøy seõ sinh ra moät ñieän tröôøng chung quanh noù. Moät ñieän tích q taïi vò trí baát kyø caùch q moät khoaûng r. Ñieän 0 r tích q0 seõ chòu taùc duïng moät löïc ñieän coulomb F coù phöông laø ñöôøng thaúng noái qq0, vaø coù ñoä lôùn : qq F = k 0 εr2 (4.2) r Giaû söû q >0 : F seõ laø löïc ñaåy. Giaû söû q dòch chuyeån töø M ñeán N, ta tính 0 r 0 coâng cuûa löïc ñieän coulomb F trong dòch chuyeån naøy. Coâng vi phaân trong chuyeån dôøi nhoû AB = ds laø : r dA = Fdrs = F.AB.cosα = F.AH r AH laø hình chieáu cuûa AB leân phöông cuûa F . Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
54. Cô hoïc - 54 - r F H M A α q0 r ds B s r r r r + dr O N Gb +q0 Hình 4 1 OA = r ; OB = r + dr ≈ OH ; AH ≈ OB – OA = dr kqq0 dA = Fdr = dr εr2 Coâng cuûa löïc ñieän coulomb trong quaù trình dòch chuyeån cuûa q0 töø M ñeán N : N rN qq k 0dr AMN = AMN = ∫ Fdr = ∫ 2 εr M rM qq qq ⎛ 1 1 ⎞ qq0 0 0 ⎜ ⎟ AMN = k − k = k ⎜ − ⎟ (4.3) εrM εrN ε ⎝ rM rN ⎠ Ta thaáy coâng AMN chæ phuï thuoäc vò trí hai ñieåm ñaàu vaø cuoái MN : Vaäy tröôøng tónh ñieän Coulomb laø moät tröôøng theá. b) Tröôøng hôïp chuyeån ñoäng döôùi taùc duïng cuûa moät troïng tröôøng ñeàu Xeùt moät chaát ñieåm m luoân luoân chòu taùc duïng cuûa troïng löïc : r P = mgr (4.3’’) Trong phaïm vi khoâng gian khoâng lôùn, gr luoân luoân thaúng ñöùng höôùng xuoáng vaø coù ñoä lôùn khoâng ñoåi, luùc naøy ta coù troïng tröôøng ñeàu. r Ta haõy tính coâng cuûa troïng löïc P khi chaát ñieåm m chuyeån ñoäng töø ñieåm M ñeán N : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
55. Cô hoïc - 55 - N r r A MN = ∫ Pds (4.4) M z zM M z A r z+dz α ds Hình 4.2 C B r zN P N r Trong chuyeån dôøi nhoû AB = ds Coâng vi phaân : r dA = Pdrs = P.AB.cosα dA = P.AC = -Pdz dz = zB – zA daáu tröø ôû veá thöù hai coù nghóa khi dz 0. Coâng cuûa troïng löïc khi dòch chuyeån töø M ñeán N laø : N A = − Pdz = P(z − z ) MN ∫ M N M AMN = mg(ZM - ZN) (4.5) Ta thaáy coâng AMN chæ phuï thuoäc ZM vaø ZN nghóa laø chæ phuï thuoäc vò trí cuûa M, N maø khoâng phuï thuoäc ñöôøng dòch chuyeån. Vaäy troïng löïc ñeàu laø moät tröôøng löïc theá. 4.2- Theá naêng vaø cô naêng cuûa tröôøng löïc theá Trong tröôøng löïc theá, khi moät chaát ñieåm dòch chuyeån töø vò trí M sang vò trí N thì coâng AMN cuûa tröôøng löïc chæ phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa M, N. Löïc taùc duïng vaøo chaát ñieåm trong tröôøng hôïp naøy chæ phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa chaát ñieåm, ta goïi laø löïc baûo toaøn. Coâng cuûa löïc baèng hieäu soá giöõa hai soá haïng Ep(x,y,z) phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm ñaàu vaø ñieåm cuoái. Moät caùch toång quaùt ta vieát : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
56. Cô hoïc - 56 - N v r AMN = ∫ Fdr = EP (M) − EP (N) (4.6) M Ñaïi löôïng EP(x,y,z) goïi laø theá naêng cuûa chaát ñieåm. Theá naêng cuûa moät chaát ñieåm trong tröôøng löïc theá laø moät haøm EP(x,y,z) phuï thuoäc vò trí cuûa chaát ñieåm sao cho : AMN = EP(M) - EP(N) (4.7) Noùi caùch khaùc : Theá naêng laø moät haøm soá cuûa toïa ñoä, sao cho hieäu soá giaù trò cuûa noù ôû vò trí ñaàu vaø vò trí cuoái trong moät tröôøng löïc theá baèng coâng cuûa tröôøng löïc thöïc hieän khi laøm dòch chuyeån chaát ñieåm töø vò trí ñaàu ñeán vò trí cuoái. Töø ñònh nghóa naøy ta thaáy raèng neáu ñoàng thôøi coäng EP(M) vaø EP(N) vôùi cuøng moät haèng soá thì heä thöùc (4.7) vaãn khoâng ñoåi : Theá naêng cuûa moät chaát ñieåm taïi moät vò trí ñöôïc ñònh nghóa sai khaùc moät haèng soá. Ví duï : Trong troïng tröôøng ñeàu, döïa vaøo bieåu thöùc (4.5) ta suy ra bieåu thöùc theá naêng cuûa chaát ñieåm taïi vò trí coù ñoä cao z : EP(z) = mgz + C Trong ñieän tröôøng coulomb döïa vaøo bieåu thöùc (4.3) ta suy ra bieåu thöùc theá naêng cuûa ñieän tích q0 taïi vò trí caùch q moät khoaûng r : q0q E (r) = k + C P εr Vaäy theá naêng taïi moät vò trí ñöôïc xaùc ñònh sai khaùc moät haèng soá coäng nhöng hieäu theá naêng giöõa hai vò trí thì hoaøn toaøn xaùc ñònh. Giöõa coâng cuûa tröôøng löïc vaø theá naêng coù heä thöùc sau : r r AMN = ∫ Fds = EP (M) − EP (N) MN Neáu cho chaát ñieåm dòch chuyeån theo moät voøng troøn kín (ñieåm M truøng vôùi N) thì heä thöùc treân trôû thaønh : r r r v AMN = ∫ Fds = ∫ Fds = 0 (4.8) MN *- YÙ nghóa cuûa theá naêng : Theá naêng laø moät daïng naêng löôïng ñaëc tröng cho töông taùc, ví duï daïng theá naêng cuûa chaát ñieåm trong troïng tröôøng cuûa Quaû ñaát laø naêng löôïng ñaëc tröng cho töông taùc giöõa Quaû ñaát vôùi chaát ñieåm. Theá naêng cuûa ñieän tích q0 trong ñieän tröôøng coulomb cuûa ñieän tích q laø theá naêng töông taùc giöõa q vaø q0. 4.2.1 Ñònh luaät baûo toaøn cô naêng trong tröôøng löïc theá Khi moät chaát ñieåm khoái löôïng m chuyeån ñoäng töø vò trí M ñeán vò trí N trong moät tröôøng löïc theá, thì coâng cuûa tröôøng löïc laø (theo 4.7) : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
57. Cô hoïc - 57 - AMN = EP(M) – EP(N) Neáu chaát ñieåm chæ chòu taùc duïng cuûa tröôøng löïc theá, ta coù : AMN = Ek(N) - Ek(M) Vôùi M laø ñieåm ñaàu, N laø ñieåm cuoái cuûa quaù trình dòch chuyeån. Vaäy : EP(M) – EP(N) = Ek(N) - Ek(M) Hay EP(M) + Ek(M) = Ek(N) + EP(N) (EP + Ek)M = (EP + Ek)N (4.9) Vôùi (Ep + Ek)M laø toång theá naêng vaø ñoäng naêng cuûa chaát ñieåm taïi vò trí M trong tröôøng löïc. Ñaïi löôïng (Ep + Ek) ñöôïc goïi laø cô naêng cuûa chaát ñieåm baèng toång ñoäng naêng vaø theá naêng cuûa chaát ñieåm taïi vò trí ñang xeùt, kyù hieäu E : 2 E = (EP + Ek) = EP(x,y,z) + mv /2 (4.10) Töø (4.9) ta coù theå phaùt bieåu : “Khi moät chaát ñieåm chuyeån ñoäng trong moät tröôøng theá (maø khoâng chòu taùc duïng cuûa moät löïc naøo khaùc) thì cô naêng cuûa chaát ñieåm laø moät ñaïi löôïng baûo toaøn”. Ví duï trong tröôøng hôïp chaát ñieåm rôi töï do trong troïng tröôøng ñeàu, cô naêng cuûa chaát ñieåm m taïi ñoä cao z laø : E = mgz + mv2/2 (4.11) Taïi vò trí z0 giaû söû vaän toác ban ñaàu cuûa chaát ñieåm baèng khoâng, taïi moät vò trí coù ñoä cao z ta coù theo (4.11) : 2 Mgz0 = mgz + mv /2 2 Hay : v = 2g(z0 - z) = 2gh TRONG TRÖÔØNG HÔÏP CHAÁT ÑIEÅM CHUYEÅN ÑOÄNG THAÚNG, THEÁ NAÊNG CHÆ PHUÏ THUOÄC MOÄT BIEÁN SOÁ TOÏA ÑOÄ TRONG TRÖÔØNG LÖÏC. TA XEÙT TOÏA ÑOÄ X CHAÚNG HAÏN, CÔ NAÊNG BAÂY GIÔØ VIEÁT THEO (4.10) : 2 E = mv /2 + EP(x) (4.12) Vôùi E laø cô naêng, laø moät haèng soá. Trong chuyeån ñoäng thaúng v=dx/dt, (4.12) ñöôïc vieát : 2 1 ⎛ dx ⎞ E = m⎜ ⎟ + EP (x) 2 ⎝ dt ⎠ Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
58. Cô hoïc - 58 - 1/ 2 dx ⎧ 2 ⎫ Suy ra : = ⎨ [E − EP (x)]⎬ (4.12’) dt ⎩m ⎭ Phöông trình naøy cho pheùp ta thu ñöôïc heä thöùc lieân heä giöõa toïa ñoä x vaø thôøi gian t : dx t ∫1/ 2 = ∫dt = t (4.13) ⎧ 2 ⎫ 0 ⎨ []E − EP (x) ⎬ ⎩m ⎭ 4.2.2 Sô ñoà theá naêng Theá naêng EP cuûa moät chaát ñieåm trong tröôøng löïc theá laø haøm cuûa toïa ñoä ñöôïc bieåu dieãn : EP(x,y,z). Trong tröôøng hôïp theá naêng chæ phuï thuoäc vaøo moät toïa ñoä (x chaúng haïn) thì : EP = EP(x) Ta coù theå veõ ñoà thò cuûa haøm EP(x) theo x; ñoà thò ñoù laø sô ñoà theá naêng. Khaûo saùt sô ñoà theá naêng cuûa chaát ñieåm trong tröôøng löïc theá ta coù theå suy ra moät soá keát luaän ñònh tính veà chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm ñoù. Tröôùc heát ta xaùc ñònh giôùi haïn cuûa chaát ñieåm, giaû thuyeát cô naêng cuûa chaát ñieåm trong tröôøng löïc theá coù moät trò soá xaùc ñònh baèng E : 2 mv /2 + EP(x) = E = const (4.14) 2 Vì mv /2 ≥ 0 neân ta coù ñieàu kieän EP(x) ≤ E (4.15). Baát ñaúng thöùc (4.15) coù nghóa laø trong quaù trình chuyeån ñoäng, chaát ñieåm chæ ñi qua nhöõng vò trí maø taïi ñoù theá naêng cuûa chaát ñieåm khoâng vöôït quaù cô naêng cuûa noù. (4.15) xaùc ñònh giôùi haïn cuûa chuyeån ñoäng. Xeùt tröôøng hôïp ñöôøng cong theá naêng EP = EP(x) coù daïng nhö hình veõ : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
59. Cô hoïc - 59 - p EP E4 K (4) H I E3 M2 (3) E2 C D F G (2) E A B M (1) 1 3 E k E Ep M1 O A’ B’ x Hình 4.3 Taïi baát kyø vò trí cuûa chaát ñieåm, ta coù Ek = E – Ep laø ñoäng naêng cuûa chaát ñieåm. Treân sô ñoà caùc ñöôøng naèm ngang bieåu dieãn cô naêng E, ta laàn löôïc xeùt caùc cô naêng coù giaù trò taïi E1, E2, E3, E4. Tröôøng hôïp cô naêng cuûa chaát ñieåm E=E1, ñöôøng thaúng E1 caét ñöôøng bieåu dieãn cuûa theá naêng taïi hai ñieåm A vaø B. Taïi hai vuøng treân, ñöôøng theá naêng beân traùi 2 cuûa A vaø beân phaûi cuûa B ta coù Ek = Et - Ep 0 do ñoù chaát ñieåm chæ dao ñoäng trong vuøng coù toïa ñoä A’ vaø B’. Taïi caùc ñieåm x=A’ vaø x=B’ vaän toác trieät tieâu. Caùc ñieåm naøy goïi laø ñieåm luøi. Tröôøng hôïp E=E2 ta thaáy coù hai vuøng chaát ñieåm coù theå chuyeån ñoäng ñoù laø vuøng CD vaø FG. Löu yù raèng chaát ñieåm khoâng theå di chuyeån töø vuøng naøy sang vuøng kia, vì nhö theá chaát ñieåm seõ vöôït qua vuøng DF, taïi ñaây ñoäng naêng coù giaù trò aâm laø vuøng bò caám. Ta noùi hai vuøng CD vaø FG bò phaân ly bôûi moät haøng raøo theá naêng töông hôïp E=E3. * Chaát ñieåm dao ñoäng trong vuøng HI : Neáu E=E4 chaát ñieåm khoâng coøn dao ñoäng maø chuyeån ñoäng töø ñieåm k ñeán voâ cuøng. Treân sô ñoà caùc ñieåm M1, M2, M3 theá naêng coù giaù trò cöïc ñaïi hoaëc cöïc tieåu, taïi ñoù dEp/dx=0, do ñoù F=0 chính laø nhöõng vò trí caân baèng cuûa chaát ñieåm. Taïi caùc ñieåm M1 vaø M3 theá naêng coù giaù trò cöïc tieåu, caùc vò trí ñoù laø nhöõng ñieåm caân baèng beàn. Taïi M2 theá naêng coù giaù trò cöïc ñaïi, laø ñieåm caân baèng khoâng beàn. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
60. Cô hoïc - 60 - 4.3 Tröôøng haáp daãn Nhieàu hieän töôïng töï nhieân chöùng toû raèng caùc vaät coù khoái löôïng luoân luoân töông taùc leân nhau nhöõng löïc huùt. Troïng löïc laø löïc huùt cuûa Quaû ñaát ñoái vôùi caùc vaät chung quanh noù. Quaû ñaát quay chung quanh Maët trôøi laø do löïc huùt cuûa Maët trôøi; Maët traêng quay chung quanh Quaû ñaát laø do löïc huùt cuûa Quaû ñaát. Moïi vaät trong vuõ truï ñeàu huùt laãn nhau, goïi laø löïc haáp daãn vaïn vaät. Newton laø ngöôøi ñaàu tieân neâu leân ñònh luaät cô baûn veà löïc haáp daãn vaïn vaät, vôùi ñònh luaät naøy ñaõ giaûi thích ñöôïc ba ñònh luaät Kepler, ba ñònh luaät naøy ñöa ra sau khi phaân tích nhieàu soá lieäu ño ñaïc thieân vaên trong Thaùi döông heä. Ba ñònh luaät Kepler : I- Quyõ ñaïo cuûa caùc haønh tinh laø nhöõng elipse, maø Maët trôøi laø moät tieâu ñieåm. II- Dieän tích queùt bôûi baùn kính vector veõ töø Maët trôøi ñeán haønh tinh laø baèng nhau trong nhöõng khoaûng thôøi gian baèng nhau (coøn goïi laø ñònh luaät dieän tích). III- Bình phöông chu kyø quay cuûa haønh tinh tyû leä vôùi tam thöøa baùn kính truïc lôùn cuûa quyõ ñaïo. 4.3.1 : Ñònh luaät haáp daãn vaïn vaät : r r m F F' m’ r hình 4.4 Hai chaát ñieåm coù khoái löôïng m vaø m’ ñaët caùch nhau moät khoaûng r seõ huùt nhau baèng nhöõng löïc coù phöông laø ñöôøng thaúng noái lieàn hai ñieåm ñoù, coù cöôøng ñoä tyû leä thuaän vôùi tích hai khoái löôïng m vaø m’ vaø tæ leä nghòch vôùi bình phöông khoaûng caùch r : mm' F = F’ = G r2 (4.16) G laø moät haèng soá tæ leä, phuï thuoäc vaøo caùc ñôn vò, goïi laø haèng soá haáp daãn vaïn vaät. Trong heä SI, thöïc nghieäm cho ta giaù trò: 1 G = 6,67.10-11Nm2/kg2 ≈ 10-9 Nm2/kg2. 15 Coâng thöùc (4.16) chæ aùp duïng cho tröôøng hôïp nhöõng chaát ñieåm. Muoán tính löïc haáp daãn vaïn vaät giöõa caùc vaät coù kích thöôùc, ta phaûi duøng phöông phaùp tích phaân. Ngöôøi ta ñaõ chöùng minh ñöôïc raèng vì lyù do ñoái xöùng, neân coâng thöùc (4.16) Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
61. Cô hoïc - 61 - cuõng aùp duïng ñöôïc cho hai quaû caàu ñoàng chaát, khi ñoù r laø khoaûng caùch giöõa hai taâm cuûa hai quaû caàu ñoù. Nhieàu thí nghieäm ñaõ tieán haønh nhaèm kieåm chöùng söï ñuùng ñaén cuûa ñònh luaät sau khi Newton coâng boá ñònh luaät naøy vaøo naêm 1687. Thí nghieäm kieåm chöùng ñaàu tieân ñöôïc tieán haønh ôû phoøng thí nghieäm do Cavendish thöïc hieän. Ngaøy nay, ñònh luaät haáp daãn vaïn vaät laø coâng cuï heát söùc quan troïng trong thieân vaên hoïc, vuõ truï hoïc vaø giaûi thích nhieàu hieän töôïng cuõng nhö tính toaùn caùc ñaëc tröng cuûa caùc haønh tinh. Caùc ñònh luaät cuûa Kepler veà chuyeån ñoäng cuûa caùc haønh tinh trong Thaùi Döông Heä ñöôïc chöùng minh moät caùch deã daøng thoâng qua löïc haáp daãn vaïn vaät. *- Vaøi öùng duïng : a) Söï thay ñoåi gia toác troïng tröôøng theo ñoä cao : Xeùt moät vaät coù khoái löôïng m treân maët ñaát, giaû söû Quaû ñaát hình caàu baùn kính r vaø kích thöôùc cuûa vaät khoâng lôùn laém so vôùi baùn kính r cuûa Quaû ñaát. Löïc do Quaû ñaát taùc duïng vaøo vaät laø : F = GmM/R2 (M : khoái löôïng traùi ñaát) (4.17). Löïc haáp daãn naøy chính laø löïc troïng tröôøng ñaët leân vaät m : F = P = mg0 (4.18) Vôùi g0 goïi laø gia toác troïng tröôøng ôû maët ñaát. Töø (4.17) vaø (4.18) ta coù: 2 g0 = GM/R (4.19) Giaù trò g0 ñöôïc ño baèng thöïc nghieäm, phuï thuoäc vó ñoä cuûa nôi ño, neáu 2 6 laáy giaù trò trung bình g0 = 9,8m/s , baùn kính Quaû ñaát R = 6,37.10 m. G=6,67.10-11m3kg-1s-1 (hay Nm2kg-2) ta tính ñöôïc khoái löôïng cuûa Quaû ñaát : Töø (4.19) ta coù : 2 24 M = g0r /G ≈ 5,98.10 kg Taïi moät ñieåm caùch maët ñaát ñoä cao h, löïc troïng tröôøng taùc duïng leân vaät khoái löôïng m tính bôûi : P = GmM/(R+h)2 = mg (4.20) Suy ra gia toác troïng tröôøng taïi ñoä cao h : R 2 g = g0 ( ) (4.21) R + h (4.19) vaø (4.21) cho : R 1 h g = g ( )2 = g ( )2 = g (1+ )−2 0 R + h 0 h 0 R (4.22) 1+ R Do h<<r, suy ra h/r<<1; do ñoù (1+h/r)-2 ≈ 1 – 2h/r , (4.22) trôû thaønh : g = g0(1 – 2h/R) (4.23) Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
62. Cô hoïc - 62 - Coâng thöùc (4.23) cho thaáy caøng leân cao, g caøng giaûm. Coâng thöùc naøy chæ ñuùng khi h<<R. b) Tính khoái löôïng cuûa thieân theå : Ta coù theå tính khoái löôïng cuûa Maët Trôøi thoâng qua löïc haáp daãn. Goïi R laø khoaûng caùch töø taâm Quaû ñaát ñeán taâm Maët Trôøi, giaû söû traùi ñaát quay quanh Maët Trôøi theo quyõ ñaïo troøn, goïi M laø khoái löôïng Traùi Ñaát, M0 laø khoái löôïng Maët Trôøi. Traùi ñaát quay quanh Maët Trôøi do löïc haáp daãn cuûa Maët Trôøi leân Traùi Ñaát, löïc haáp daãn aáy laø : 2 F = GMM0/R (4.24) Löïc naøy ñoùng vai troø laø löïc höôùng taâm. Trong chuyeån ñoäng troøn ñeàu ta ñaõ bieát löïc höôùng taâm laø : F = MV2/R (4.25) V : laø vaän toác cuûa Quaû ñaát treân quyõ ñaïo, lieân heä vôùi chu kyø quay T cuûa Quaû ñaát : V = 2πR/T (4.26) 2 2 2 Suy ra : GMM0/R = M(2πR) /RT (4.27) Suy ra khoái löôïng Maët Trôøi : 2 3 2 M0 = 4π .R /T G 30 Tính cuï theå baèng soá ta ñöôïc M0 ≈ 2.10 kg. 4.3.2 Tröôøng haáp daãn Ñeå giaûi thích löïc haáp daãn, ngöôøi ta cho raèng chung quanh moät vaät coù khoái löôïng toàn taïi moät tröôøng haáp daãn, töông töï chung quanh moät vaät mang ñieän tích toàn taïi ñieän tröôøng. Baát kyø moät vaät naøo coù khoái löôïng ñaët taïi moät vò trí trong khoâng gian cuûa moät tröôøng haáp daãn moät vaät khaùc, ñeàu chòu taùc duïng cuûa löïc haáp daãn. Tröôøng haáp daãn cuûa Quaû ñaát chính laø troïng tröôøng cuûa noù. Ñaïi löôïng ñaëc tröng cho tröôøng haáp daãn laø cöôøng ñoä tröôøng haáp daãn taïi moät ñieåm trong khoâng gian. Xeùt moät chaát ñieåm khoái löôïng m, cöôøng ñoä haáp daãn taïi moät ñieåm trong khoâng gian caùch chaát ñieåm m moät khoaûng r ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : r r m H m’ u r Hình 4.5 Ñaët vaøo tröôøng haáp daãn cuûa m moät chaát ñieåm khoái löôïng m’ caùch m moät khoaûng r. löïc haáp daãn do m taùc duïng leân m’ laø : r mm' F = −G ur r2 r Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
63. Cô hoïc - 63 - r U r laø vector ñôn vò coù phöông truøng vôùi ñöôøng thaúng noái mm’ vaø chieàu höôùng ra xa m. r Cöôøng ñoä tröôøng haáp daãn taïi ñieåm P nôi ñaët m’ kyù hieäu H , coù ñoä lôùn: H = F/m’ = Gm/r2 (4.28) Bieåu dieãn baèng vector : r v F m r H = = −G 2 ur (4.29) m' r Bieåu thöùc (4.29) laø vector cöôøng ñoä tröôøng haáp daãn taïi ñieåm P do m gaây ra. r r Bieát ñöôïc H ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc löïc haáp daãn F taùc duïng leân m’ taïi moät vò trí r caùch m : r r F = m’ H (4.30) Ñôn vò cuûa H laø N/kg hoaëc m/s2 coù cuøng thöù nguyeân vôùi gia toác. Taïi moät ñieåm P trong khoâng gian, neáu coù nhieàu tröôøng haáp daãn do nhieàu chaát ñieåm gaây ra thì cöôøng ñoä tröôøng haáp daãn toång coäng baèng toång vector cöôøng ñoä tröôøng haáp daãn do töøng chaát ñieåm taïo neân : r r r r m i ' r H = H 1 + H 2 + + H n = -G ∑ 2 ui (4.31) i ri Do ñoù löïc haáp daãn toång coäng seõ laø : r r r r r F = m’ H 1 + m’ H 2 + + m’ H n = m’ H (4.32) a) Baûo toaøn moment ñoäng löôïng trong tröôøng haáp daãn : Xeùt moät chaát ñieåm khoái löôïng m ñaët trong tröôøng haáp daãn cuûa moät chaát ñieåm khoái löôïng M ñaët taïi ñieåm O coá ñònh laø goác toïa ñoä : r L r O F r P Hình 4.6 m AÙp duïng ñònh lyù moment ñoäng löôïng aùp duïng cho chaát ñieåm m ñoái vôùi ñieåm O, ta coù : r dL r r = rXF (4.33) dt r dL r Löïc F luoân luoân höôùng taâm do ñoù dt = 0 (4.34) Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
64. Cô hoïc - 64 - r Suy ra L khoâng ñoåi. Vaäy khi moät chaát ñieåm m chuyeån ñoäng trong tröôøng haáp daãn cuûa moät chaát ñieåm M thì moment ñoäng löôïng cuûa m laø moät ñaïi löôïng baûo toaøn, töùc laø giaù trò cuûa r moment ñoäng löôïng khoâng ñoåi vaø vector L coù phöông, chieàu cuõng khoâng ñoåi trong khoâng gian. Chaát ñieåm chuyeån ñoäng trong moät maët phaúng, maët phaúng ñoù thaúng goùc r vôùi vector L . Quaû ñaát chuyeån ñoäng chung quanh Maët trôøi döôùi taùc duïng cuûa löïc haáp daãn cuûa Maët trôøi neân quyõ ñaïo cuûa Quaû ñaát laø moät quyõ ñaïo phaúng. Bieåu thöùc moment ñoäng löôïng cuûa Quaû ñaát cho bôûi : L = mr2ω = const (4.35) Chöùng toû khi chuyeån ñoäng gaàn maët trôøi (r giaûm), vaän toác goùc ω caøng lôùn vaø ngöôïc laïi. b) Theá naêng haáp daãn Ta bieát raèng löïc haáp daãn thuoäc loaïi löïc xuyeân taâm, chæ phuï thuoäc khoaûng caùch, vì vaäy theá naêng haáp daãn ñöôïc xaùc ñònh qua bieåu thöùc : r ∂Ep F = − ur ∂r r (4.36) r r Vôùi U r laø vector ñôn vò coù chieàu ngöôïc chieàu vôùi F . Xeùt moät chaát ñieåm m chuyeån ñoäng trong tröôøng haáp daãn do M taïo ra, di chuyeån töø A ñeán B nhö hình veõ : A α P H r r F O r + dr Q B r r r Coâng cuûa löïc F trong chuyeån dôøi vi phaân dS = PQ r r r dA = F dS = F.PQ = F.PQ.cosα Töø hình veõ ta coù : PQ.cosα = - PH ; ( PH laø ñoä daøi ñaïi soá, chieàu döông OÆ P). Vaäy dA = - F.PH (4.37) Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
65. Cô hoïc - 65 - Ñaët OP = r , OH ≈ OQ = r + dr Vaø PH = OH − OP = r + dr − r = dr Mm dA = - Fdr = - G dr r 2 Coâng cuûa löïc F trong chuyeån dôøi m töø A ñeán B : rB rB Mm A = − Fdr = − G dr AB ∫∫r2 rA rA Mm Mm AAB = G − G rB rA Mm Mm A AB = −G − (−G ) (4.38) rA rB Coâng cuûa löïc haáp daãn F chæ phuï thuoäc vò trí ñieåm ñaàu A vaø ñieåm cuoái B. vaäy tröôøng haáp daãn cuûa M laø moät tröôøng theá. Theo ñònh nghóa cuûa theá naêng, ta coù theå xaùc ñònh theá naêng cuûa chaát ñieåm m trong tröôøng haáp daãn cuûa M taïi vò trí A : Mm Ep(A) = - G + C (4.39) rA Taïi B : Mm + Ep(B) = - G C (4.40) rB Thoûa maõn heä thöùc : ABA = Ep(A) – Ep(B) Toång quaùt, theá naêng cuûa m taïi moät vò trí caùch O moät khoaûng r : Mm E (r) = -G + C (4.41) p r C laø haèng soá tuøy yù, coù giaù trò baèng theá naêng taïi voâ cuøng : Ep(∞) = C Tröôøng haáp daãn laø moät tröôøng theá, do ñoù khi m chuyeån ñoäng, cô naêng baûo toaøn : E = Ep + Ek Mm mv2 E = - G + = const , choïn C = 0 (4.42) r 2 Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
66. Cô hoïc - 66 - 4.4 Chuyeån ñoäng trong tröôøng haáp daãn Ta bieát raèng, tröôøng haáp daãn laø moät tröôøng theá. Do ñoù, cô naêng baûo toaøn theo (4.42). ta coù cô naêng cuûa chaát ñieåm m chuyeån ñoäng trong tröôøng theá gaây bôûi chaát ñieåm M laø : 1 2 Mm E = mv − G (4.42’) 2 r Neáu m chuyeån ñoäng vôùi quyõ ñaïo troøn thì löïc höôùng taâm seõ laø : F=mv2/r , vôùi r : khoaûng caùch töø m ñeán M. mv2 Mm Ta coù : = G r r2 mv2 Mm Do ñoù : = G 2 2r (4.42) trôû thaønh : E = -GMm/2r (4.43) (4.43) chöùng toû raèng cô naêng coù giaù trò aâm. Toång quaùt, caùc chuyeån ñoäng trong tröôøng haáp daãn vôùi quyõ ñaïo laø elipse thì cô naêng coù giaù trò aâm. Trong tröôøng hôïp cô naêng E>0 : Tröôøng hôïp naøy Ek>Ep. xeùt khi r tieán ñeán voâ cuøng. Luùc naøy töø (4.42) ta coù : 2 E = mv ∞/2 Hay v∞ = 2E / m (4.44) Quyõ ñaïo cuûa m baây giôø laø moät hypecbol. Trong tröôøng hôïp E = 0 : tröôøng hôïp naøy, taïi voâ cuøng, chaát ñieåm m coù vaän toác trieät tieâu (v∞=0) quyõ ñaïo cuûa m laø moät parabol (xem hình). E 0 E=0 0 r 0 r 0 r Ek Ek Mm Ek E = −G p r 2 Hình 4.8 Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
67. Cô hoïc - 67 - m m m M M M Elipse Hyperbol Parabol Tröôøng hôïp ñaëc bieät ñoái vôùi vieäc phoùng veä tinh ôû Quaû ñaát : taïi moät ñieåm ôû ñoä cao h so vôùi maët ñaát, veä tinh ñöôïc phoùng ra vôùi vaän toác ban ñaàu v0 vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñöùng. Tuøy thuoäc vaøo cô naêng E cuûa veä tinh maø noù seõ coù quyõ ñaïo elipse, hyperbol hay parabol, trong ñoù taâm Quaû ñaát laø moät tieâu ñieåm cuûa quyõ ñaïo. Goïi v0 laø vaän toác ban ñaàu cô naêng cuûa veä tinh seõ laø, theo (4.42) : Mm E = mv2 /2 + (- G ) 0 R + h v0 E>0 Hyperbol E=0 Parabol Hình 4.9 E 7,9 km/s (nhöng nhoû hôn vaän toác caáp hai vII) thì veä tinh seõ chuyeån ñoäng xung quanh Quaû ñaát theo quõy ñaïo elipse. * Vaän toác vuõ truï caáp II : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
68. Cô hoïc - 68 - Trong tröôøng hôïp naøy cô naêng cuûa veä tinh E ≥ 0; vaãn giaû söû raèng veä tinh xuaát phaùt taïi nôi caùch taâm Quaû ñaát moät khoaûng R baèng baùn kính Quaû ñaát, ta coù : 2 2 mV 0/2 + (- GMm/R) = mV ∞/2 + (-GMm/∞) 2 Vì GMm/∞ = 0 ; mV ∞/2 ≥ 0, do ñoù : 2 mV 0/2 ≥ GMm/R 2 Theo (4.19) : g0 = GM/R Do ñoù : V0 ≥ 2Rg 0 (4.46) Giaù trò toái thieåu cuûa V0 chính laø vaän toác vuõ truï caáp II. VII = 2g0 R (4.47) Giaù trò cuï theå : VII = 11,2 km/s ≈ 40.320 km/h. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
69. Cô hoïc - 69 - CHÖÔNG V CÔ HOÏC CHAÁT LÖU 5.1 Ñaïi cöông veà cô hoïc chaát löu CHAÁT LÖU BAO GOÀM CAÙC CHAÁT LOÛNG VAØ CHAÁT KHÍ. VEÀ MAËT CÔ HOÏC, MOÄT CHAÁT LÖU COÙ THEÅ QUAN NIEÄM LAØ MOÄT MOÂI TRÖÔØNG LIEÂN TUÏC TAÏO THAØNH CAÙC CHAÁT ÑIEÅM LIEÂN KEÁT VÔÙI NHAU BAÈNG NHÖÕNG NOÄI LÖÏC TÖÔNG TAÙC. CAÙC CHAÁT LÖU COÙ NHÖÕNG TÍNH CHAÁT TOÅNG QUAÙT SAU : 1. Chuùng khoâng coù hình daïng nhaát ñònh nhö moät vaät raén. 2. Caùc chaát löu bao goàm caùc chaát löu deã neùn (chaát khí) vaù caùc chaát löu khoù neùn (chaát loûng). 3. Khi moät chaát löu chuyeån ñoäng, caùc lôùp cuûa noù chuyeån ñoäng vôùi nhöõng vaän toác khaùc nhau, neân giöõa chuùng coù nhöõng löïc töông taùc goïi laø löïc noäi ma saùt hay löïc nhôùt. Chaát löu lyù töôûng : moät chaát löu goïi laø lyù töôûng khi chaát aáy hoøan toøan khoâng neùn ñöôïc vaø trong chaát aáy khoâng coù caùc löïc nhôùt. Moät chaát löu khoâng lyù töôûng goïi laø chaát löu thöïc. Theo ñònh nghóa treân ñaây, moïi chaát löu ñeàu laø chaát löu thöïc. Tuy nhieân moät chaát loûng raát löu ñoäng (khoâng nhôùt) coù theå taïm coi nhö moät chaát löu lyù töôûng. 5.2 Tónh hoïc chaát löu 5.2.1 AÙp suaát Xeùt trong loøng chaát löu moät khoái chaát löu ñöôïc bao quanh bôûi moät maët kín S (maët S coù tính chaát töôûng töôïng), goïi dS laø moät dieän tích vi phaân bao quanh moät ñieåm baát kyø treân maët S. S r dF M dS Hình 5.1 Thöïc nghieäm chöùng toû raèng phaàn chaát löu beân ngoaøi maët S taùc duïng leân dS r moät löïc dF goïi laø aùp löïc (löïc neùn) treân dS. Trong tröôøng hôïp chaát löu naèm yeân, r dF vuoâng goùc vôùi dS ta coù theå ñònh nghóa aùp suaát taïi ñieåm M. dF p = (5.1) dS Thöïc nghieäm cuõng chöùng toû raèng vôùi chaát löu lyù töôûng, aùp suaát p taïi M laø moät ñaïi löôïng xaùc ñònh (chæ phuï thuoäc vò trí ñieåm M) khoâng phuï thuoäc höôùng cuûa r dF . Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
70. Cô hoïc - 70 - 5.2.2 Coâng thöùc cô baûn cuûa tónh hoïc chaát löu Xeùt moät chaát löu naèm yeân trong troïng tröôøng. Laáy moät khoái chaát löu naèm trong hình truï thaèng ñöùng coù ñoä cao dz ñaùy laø dS. Goïi aùp suaát ôû ñaùy döôùi laø p, ôû ñaùy treân laø p + dp. Toång aùp löïc neùn vaøo hai ñaùy khoái chaát löu laø : pdS – (p + dp)dS (5.2) z z+dz dS p+dp Hình 5.2 Ñoù cuõng laø aùp löïc cuûa chaát löu neùn vaøo hình truï (vì toång aùp löïc neùn vaøo maët beân trieät tieâu nhau) khi chaát löu naèm caân baèng, toång aùp löïc neùn vaøo khoái chaát löu phaûi caân baèng vôùi troïng löïc cuûa chaát löu. Goïi dm laø khoái löôïng chaát löu cuûa khoái chaát löu hình truï : (dm)g = (ρdS.dz )g Trong ñoùρ laø khoái löôïng rieâng cuûa chaát löu; dS.dz laø theå tích cuûa khoái chaát löu coù chieàu cao dz vaø maët ñaùy dS. Ta coù phöông trình : pdS –(p + dp)dS = ρdSdz.g (5.3) dp = - ρ gdz (5.4) (5.4) laø coâng thöùc cô baûn cuûa tónh hoïc chaát löu. * Heä quaû : neáu trong chaát löu caân baèng coù hai ñieåm ôû ñoä cao z0 vaø z. Hai ñieåm aáy coù aùp suaát lieân heä nhau bôûi phöông trình : z p(z) – p(z0) = - ∫ ρgdz (5.5) z 0 Neáu chaát löu hoaøn toaøn khoâng neùn ñöôïc (ρ khoâng ñoåi) vaø gia toác troïng tröôøng khoâng ñoåi ta coù : p(z) – p(z0) = - ρ g(z-z0) Hay p(z) = p(z0) - ρg∆z (5.6) Hay p(z) + ρgz = p(z0) + ρ gz0 (5.7) Nhö vaäy nhöõng ñieåm naøo caøng ôû döôùi aùp suaát caøng lôùn. * Töø (5.7) suy ra : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù