Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân - Phần 2

47 trang ngocly 2400

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân - Phần 2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_ly_thuyet_do_do_va_tich_phan_phan_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân - Phần 2

Chương 5 Tích phân Lebesgue trừu tượng. Hàm khả tích Bây giờ, ta xét trường hợp các hàm f định nghĩa trên E nhận giá trị trong R, R hoặc C. 5.1 Định nghĩa và tính chất 5.1.1 Định nghĩa ∗ Z Hàm f đo được từ (E, B, µ) vào ( , B ) gọi là µ − khả tích nếu f + dµ < +∞ và R R E ∗ Z f − dµ < +∞. E Ta đặt: ∗ ∗ Z Z Z L(f) = f dµ = f + dµ − f − dµ E E E Z Z = f + dµ − f − dµ E E Điều này mở rộng trường hợp một hàm f ≥ 0 (f − = 0). L(f) gọi là tích phân Lebesgue trừu tượng của f trên E. (Ta chỉ cần xét trường hợp E vì trên A ∈ B hệ thức: Z Z f dµ = f · 1A dµ A E đã thiết lập cho trường hợp hàm dương được suy rộng cho trường hợp tổng quát này). 5.1.2 Ví dụ Ta lấy lại các ví dụ đã nêu ở chương 4.
5.1 Định nghĩa và tính chất 60 Độ đo Dirac: δa khối lượng tại một điểm a. Với mọi A, ta có: ∗ ( Z 1 nếu a ∈ A 1A dδa = 1A(a) = δa(A) = 0 nếu a∈ / A E Mặt khác giả sử f ≥ 0. f 7−→ f(a) thỏa mãn điều kiện (i) và (ii) của định lý tồn tại, đẳng thức trên chứng tỏ nó cũng thỏa mãn cả (iii), do đó: ∗ Z f dδa = f(a) E Vậy f là δa − khả tích khi và chỉ khi f(a) < +∞.(f ≥ 0). Với f bất kỳ, f là δa − khả tích khi và chỉ khi |f(a)| < ∞. Độ đo rời rạc: µ hình thành bởi khối lượng αn đặt ở điểm xn với cùng phương pháp, ta có kết quả: ∗ Z X f dµ = αn · f(xn) E n P Như vậy f là µ − khả tích khi và chỉ khi αn · |f(xn)| < ∞, tức là họ này khả n ∗ ∞ Z X tổng. Trường hợp riêng f dµd = f(n). f là µ − khả tích khi và chỉ khi chuỗi n=1 N {f(n)} hội tụ tuyệt đối. Độ đo Borel và Lebesgue trên R: Đối với các độ đo này, ta sẽ thấy sau này một lớp quan trọng các hàm mà tích phân định nghĩa ở đây chính là tích phân Riemann. Tương tự đối với độ đo Borel-Stiltjes trên R với tích phân Riemann -Stieltjes. 5.1.3 Hệ quả Suy từ các tính chất của f + và f −: 1. Nếu f là một hàm giá trị thực (chứ không dương) thì ánh xạ υ : A 7−→ υ(A) = R f dµ A không còn là một độ đo dương nữa (mà có dấu). Nhưng nó vẫn luôn là một hàm tập σ − cộng tính, tức là: ∞ Z X Z f dµ = f dµ, Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j. ∞ i=1 Ai ∪ Ai 1 2. Mọi hàm f µ − khả tích là hữu hạn µ − hkn. 3. Nếu f = g µ−hkn và nếu f là µ−khả tích thì g µ−khả tích và ta có: L(f) = L(g).
5.1 Định nghĩa và tính chất 61 Định lý 5.1. (i) Không gian của các hàm thực µ−khả tích là một R−không gian tuyến tính và ánh xạ L : f 7−→ L(f) = R f dµ là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian E này. (ii) Nếu f là đo được, g là µ − khả tích và |f| ≤ g. Khi đó, f là µ − khả tích. (iii) Hàm f đo được là µ−khả tích khi và chỉ khi |f| cũng thế. Với mọi hàm f µ−khả tích, ta có |L(f)| ≤ L(|f|). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f có dấu không đổi µ − hkn. Chứng minh. (i) Giả sử: f = f1 − f2, nếu f1 và f2 ≥ 0, µ − khả tích. Khi đó, f là µ − khả tích. Thực vậy: + f = sup(f, 0) = f1 − inf(f1, f2) − f = sup(−f, 0) = f2 − inf(f1, f2) + − Do đó L(f ) ≤ L(f1) < ∞ và L(f ) ≤ L(f2) < ∞. Suy ra f là µ − khả tích. Hơn nữa + − + − L(f) = L(f1) − L(f2). Thực vậy f − f = f1 − f2, suy ra f + f2 = f + f1. Suy ra + − L(f + f2) = L(f + f1) (cộng tính đúng với các hàm dương). + − Do đó: L(f ) − L(f ) = L(f1) − L(f2) vì các số hạng là hữu hạn. Bây giờ giả sử f và g là µ − khả tích. Khi đó: + + − − h = f + g = f + g − (f + g ) = h1 − h2 và ta áp dụng kết quả ở phần trên: + + − − L(f + g) = L(h1) − L(h2) = L(f + g ) − L(f + g ) Suy ra L(f + g) = L(f) + L(g). Ta suy ra L(αf + βg) = αL(f) + βL(g). ∗ Z (ii) |f| ≤ g, f + + f − ≤ g, suy ra f + ≤ g và f − ≤ g. Khi đó f + dµ < ∞ và E ∗ Z f − dµ < ∞. Suy ra f khả tích. E (iii) Nếu f là µ − khả tích, f + và f − cũng thế nên |f| = f + + f − cũng khả tích (µ − khả tích). Ngược lại |f| khả tích, suy ra f là µ − khả tích theo (ii). Hơn nũa: Z Z Z Z Z + − + − f dµ = f dµ − f dµ ≤ f dµ + f dµ E E E E E Suy ra Z Z f dµ ≤ |f| dµ E E Ghi chú: f đo được, suy ra |f| đo được, nhưng ngược lại là sai. Từ đó cần thiết phải chính xác hóa f − đo được trong (ii) và (iii).
5.1 Định nghĩa và tính chất 62 Định lý 5.2. Nếu f là µ − khả tích thì với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε, f) sao cho với mọi A ∈ B với µ(A) ≤ δ thì: Z |f| dµ ≤ ε A Chứng minh. Phương pháp cắt cụt: Giả sử {fn} là một dãy định nghĩa bởi: ( |f(x)| nếu |f(x)| ≤ n fn(x) = n nếu |f(x)| ≥ n {fn} là một dãy hàm dương, đo được, {fn} tăng và ta có: sup fn = |f|. Theo định lý Beppo-Levi: Z Z |f| dµ = lim fn dµ n E E Z ε ε Giả sử n0 thỏa mãn (|f| − fn0 ) dµ ≤ . Xét tập A ∈ B của E sao cho µ(A) ≤ . 2 2n0 E Khi đó Z Z Z |f| dµ = (|f| − fn0 ) dµ + fn0 dµ A A A Suy ra Z ε |f| dµ ≤ + n µ(A) = ε 2 0 A 5.1.4 Hàm nhận giá trị trong C Giả sử f = R(f) + iJ(f), theo định nghĩa: Z Z Z f dµ = R(f) dµ + i J(f) dµ E E E Các tính chất thấy ở trên có thể mở rộng, vì chúng là đúng với các hàm R(f) và J(f) đều có giá trị thực. Đặc biệt, ta cũng có thể chứng minh được rằng: Z Z f dµ ≤ |f| dµ E E Giả sử L(f) 6= 0, giả sử α ∈ C: R(αL(f)) = L(R(αf)) ≤ L(|α| · |f|) = |α| · L(|f|) L(f) Đặt α = , ta có |α| = 1. Suy ra |L(f)| ≤ L(|f|). |L(f)| Bài tập: Chứng minh rằng: dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f = eiαϕ µ − hkn, α thực, ϕ là hàm nhận giá trị dương. (BT 3)
5.2 Định lý hội tụ 63 5.2 Định lý hội tụ Định lý 5.3. (Beppo-Levi) Giả sử {fn} là dãy tăng các hàm µ − khả tích, nhận giá trị trong . Khi đó: R Z Z lim fn dµ = lim fn dµ n→∞ n→∞ E E nếu lim fn là µ − khả tích. Chứng minh. Ta chỉ cần xét dãy {ϕn} định nghĩa bởi: ϕn = sup fn − fn, ϕn ≥ 0 và {ϕn} ∗ R là dãy giảm. Điều kiện ϕ1 dµ < ∞ thỏa mãn vì E ∗ Z Z Z ϕ1 dµ = (lim fn) dµ − f1 dµ < ∞ n E E E Áp dụng định lý 4.8, ta suy ra điều phải chứng minh. Định lý 5.4. (Định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue) Giả sử {fn} là một dãy hàm đo được thỏa mãn với mọi n, |fn| ≤ g µ − hkn, với g là µ − khả tích. Khi đó: Z Z (i) lim fn dµ ≤ lim fn dµ n→∞ n→∞ E E Z Z (ii) lim fn dµ ≤ lim fn dµ n→∞ n→∞ E E Z Z (iii) Đặc biệt nếu lim fn tồn tại µ − hkn thì lim fn dµ = lim fn dµ. n→∞ n→∞ n→∞ E E ∗ Chứng minh. Các fn là µ − khả tích với mọi n ∈ N . Ta có thể giả thiết |fn(x)| ≤ g(x), với mọi x ∈ E và với mọi n ∈ N∗. (i) Vì −g(x) ≤ fn(x) ≤ g(x), ta có: fn(x) + g(x) ≥ 0. Vậy ta có thể áp dụng bổ đề Fatou cho dãy {fn + g} vì đó là một dãy các hàm dương, khi đó: Z Z Z Z g dµ + ( lim fn) dµ ≤ g dµ + lim fn dµ n→∞ n→∞ E E E E Suy ra điều phải chứng minh. Nó được coi như một sự mở rộng của bổ đề Fatou với điều kiện phụ |fn| ≤ g. (ii) Ta biết rằng lim un = − lim (−un). Sử dụng (i) suy ra điều phải chứng minh. n→∞ n→∞ (iii) Suy từ (i) và (ii). Kết quả (iii) mở rộng cho trường hợp một dãy hàm nhận giá trị phức. Định lý 5.5. (Lebesgue hội tụ giới nội đều) Giả sử {fn} là một dãy hàm đo được ∗ thỏa mãn: lim fn = f µ−hkn, với |fn| ≤ M < ∞ với mọi n ∈ . Khi đó nếu µ(E) < ∞, n→∞ N ta có: Z Z Z lim fn dµ = lim fn dµ = f dµ E E E
5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng (Trong trường hợp độ đo Lebesgue) 64 Chứng minh. Đơn giản chỉ là hệ quả của định lý 5.4 vì hàm M là µ − khả tích trên E nếu độ đo µ(E) < ∞ (giới nội). −nx2 Ví dụ: fn(x) = e cos nx trên [0,A], |fn(x)| ≤ 1 trên [0,A]. Khi đó: Z e−nx2 cos nx dλ −−−→n→∞ 0 [0,A] 5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng (Trong trường hợp độ đo Lebesgue) 5.3.1 Nhắc lại tích phân Riemann Giả sử f là một hàm xác định và bị chặn trên [a, b], đoạn giới nội. Ta xét các phân hoạch P của đoạn [a, b] thành các khoảng {I1,I2, , In}. Độ dài mỗi khoảng Ip ký hiệu là |Ip|. Các tổng Darboux gắn với f và P được định nghĩa bởi: n n X X S(f, P ) = (sup f(x)) · |Ik| và s(f, P ) = (inf f(x)) · |Ik| I Ik k=1 k k=1 và khi đó ta xét: ∗ S∗(f) = inf S(f, P ) và s (f) = sup s(f, P ) P ∈P P ∈P trong đó P ký hiệu tập hợp tất cả mọi phân hoạch của [a, b]. Ta biết rằng f khả tích b Z ∗ Riemann khi và chỉ khi S∗(f) = s (f) và giá trị chung ký hiệu là f(x) dx, gọi là tích a phân Riemann của hàm f trên đoạn [a, b]. ∗ 5.3.2 Hàm f và f∗ ∞ nj Trong phần tiếp theo, ta sẽ sử dụng các phân hoạch {Pj}j=1 với Pj = {Ij,k}k=1 sao j cho sup |Ij,k| → 0 khi j → ∞, cũng như các hàm f và fj gắn với mỗi Pj như sau: k nj nj j X X f = (sup f(x)) · 1Ij,k và fj = (inf f(x)) · 1Ij,k I Ij,k k=1 j,k k=1 ∗ Định nghĩa của f và f∗, ta đăt: f ∗(x) = lim f(y) = lim sup f(y) y→x ε→0 y∈[x−ε,x+ε] f∗(x) = lim f(y) = lim inf f(y) y→x ε→0 y∈[x−ε,x+ε] Tính chất: ∗ (i) f∗(x) ≤ f(x) ≤ f (x).
5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng (Trong trường hợp độ đo Lebesgue) 65 j ∗ (ii) lim f = f λ − hkn, lim fj = f∗ λ − hkn. j→∞ j→∞ ∗ (iii) f và f∗ là đo được. Z Z ∗ ∗ (iv) f dλ = S∗(f), f∗ dλ = s (f). [a,b] [a,b] ∗ Chứng minh. (i) suy trực tiếp, 3 trường hợp còn lại ta chứng minh cho f , với f∗ chứng minh tương tự. (ii) Giả sử x0 ∈ [a, b], x0 không thuộc đầu mút của một khoảng Ij,k, với mọi k = 1, 2, , nj và với mọi j. Khi đó tồn tại ε0 (phụ thuộc j và k) sao cho: [x0ε0, x0 + ε] ⊂ Ij,k. Khi đó ∗ j f (x0) ≤ sup f(y) ≤ sup f(x) = f (x0) y∈[x0−ε0,x0+ε0] x∈Ij,k ∗ j qua giới hạn trên j: f (x0) ≤ lim f (x0). Ngược lại với mọi ε > 0, điều kiện lim sup |Ij,k| = 0. j→∞ k Suy ra tồn tại j0 (phụ thuộc x0 và ε) và k sao cho Ij,k ⊂ [x0 − ε, x0 + ε] với j > j0. Suy ra bất đẳng thức: ∗ lim fj(x0) ≤ f (x0) j→∞ Suy ra điều phải chứng minh cho x0 ∈/ ∂Ij,k với mọi k, với mọi j. Do tập hợp các x ∈ ∂Ij,k với mọi k, với mọi j là tập hợp đếm được có độ đo Lebesgue bằng 0, ta có: (iii) Các hàm f j đo được, vì chúng là các hàm bậc thang trên các tập Lebesgue đo được. Từ (ii) suy ra rằng f∗ cũng đo được. (iv) Ta có thể áp dụng định lý hội tụ giới nội (định lý 5.5) đối với dãy hàm f j vì f giới nội. Khi đó Z Z lim f j dλ = f ∗ dλ [a,b] [a,b] Nhưng Z nj j X lim f dλ = lim (sup f(x)) · |Ij,k| = S∗(f) j→∞ j→∞ I k=1 j,k [a,b] theo các tính chất của S∗(f). 5.3.3 Hệ quả Từ các tính chất trên mà ta có: f khả tích Riemann khi và chỉ khi: Z Z ∗ f dλ = f∗ dλ [a,b] [a,b] ∗ nhưng mà f∗(x) ≤ f(x) ≤ f (x) và điều kiện: Z Z Z ∗ ∗ f dλ − f∗ dλ = (f − f∗) dλ = 0 [a,b] [a,b] [a,b]
5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số 66 ∗ Suy ra f = f∗ = f λ − hkn và ngược lại. Do đó f là R − khả tích suy ra f là đo được, là L − khả tích. Khi đó b Z Z f dλ = f(x) dx [a,b] a ∗ Hơn nữa f = f∗ λ − hkn khi và chỉ khi f liên tục λ − hkn. Suy ra định lý Lebesgue dưới đây: Định lý 5.6. (Lebesgue) Một hàm giới nội trên [a, b] là khả tích Riemann trên [a, b] khi và chỉ khi nó liên tục hầu khắp nơi đối với độ đo Lebesgue. Khi đó nó khả tích theo nghĩa Lebesgue và hai tích phân bằng nhau. Tính chất bằng nhau của hai tích phân suy rộng cho cả tích phân suy rộng của Riemann hội tụ tuyệt đối, nhưng nó không còn đúng đối với tích phân bán hội tụ. Thực vậy trong trường hợp đầu chỉ cần xét các hàm dương và định nghĩa dãy {fn}: ( f(x) nếu x ∈ [a, n] fn(x) = 0 nếu x > n n +∞ n Z Z Z Z Theo định lý trên f(x) dx = fn dλ nhưng f(x) dx = lim f(x) dx và n→∞ a [a,∞[ a a Z Z lim fn dλ = f dλ vì {fn} là một dãy tăng, suy ra dấu bằng. n→∞ [a,∞[ [a,∞[ Kết luận: Những định lý hội tụ đã chứng minh đối với độ đo Lebesgue là áp dụng được trong khuôn khổ tích phân Riemann. Trong thực hành, ta sẽ có lợi nếu sử dụng một cách hệ thống (nếu có thể) các định lý của Lebesgue (hội tụ bị trị, hội tụ bị chặn) cho phép "tiết kiệm" hội tụ đều. 5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số f là hàm từ E × [a, b] → R. Ta giả thiết rằng hàm x 7−→ ft(x) = f(x, t) đo được với mỗi t ∈ [a, b](ft ∈ M(E, B; R, B )) và ta quan tâm đến tính chất của hàm t 7−→ Z R f(x, t) dµ(x) với µ là một độ đo dương trên B. E Định lý 5.7. (Tính liên tục) Giả sử lim f(x, t) = l(x) với mọi x ∈ E, t0 ∈ [a, b], t→t0 |f(x, t)| ≤ g(x), g µ − khả tích với mọi t ∈ [a, b]. Khi đó Z Z lim f(x, t) dµ(x) = l(x) dµ(x) t→t0 E E Chứng minh. Giả sử {tn} ⊂ [a, b] và tn → t0 khi n tiến ra vô cùng. Ta xét dãy {fn}: fn : x 7−→ fn(x) = f(x, tn) và ta áp dụng định lý hội tụ bị trị.
5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số 67 Hệ quả: Nếu hàm t 7−→ f(x, t) liên tục trên đoạn [a, b] với mọi x ∈ E và nếu tồn tại một hàm g µ − khả tích trên E sao cho |f(x, t)| ≤ g(x). Khi đó hàm số: Z F : t 7−→ F (t) = f(x, t) dµ(x) E liên tục trên [a, b]. Ví dụ: a Z tf(x) π lim dx = f(0+) (f liên tục trên [0, a], đặt x = tX). a→0 t2 + x2 2 0 Định lý 5.8. (Tính khả vi) Với các điều kiện sau đây: (i) Tồn tại t0 ∈ [a, b] sao cho x 7−→ f(x, t0) là µ − khả tích trên E. ∂f (ii) tồn tại trên E × [a, b]. ∂t ∂f (iii) Tồn tại hàm g µ − khả tích trên E sao cho: (x, t) ≤ g(x) với mọi t ∈ [a, b]. ∂t Z Khi đó, hàm số t 7−→ F (t) = f(x, t) dµ(x) khả vi trên [a, b] và ta có: E dF (t) d Z Z df = f(x, t) dµ(x) = (x, t) dµ(x) dt dt dt E E ∂f f(x, tn) − f(x, t) f(x, tn) − f(x, t) Chứng minh. (x, t) = lim , x ∈ E. Nhưng ϕn(x) = ∂t tn→t tn − t tn − t ∂f là một hàm đo được (theo x). Suy ra (x, t) là đo được với mọi t ∈ [a, b]. Áp dụng định ∂t lý về số gia hữu hạn ∂f f(x, t) − f(x, t ) = (t − t ) · (x, θ) 0 0 ∂t ta có: |f(x, t)| ≤ |f(x, t0)| + (t − t0)g(x) (theo gt (iii)). Suy ra x 7−→ f(x, t) là µ − khả tích (giả thiết (ii)v(iii)) và đúng với mọi t ∈ [a, b]. Mà F (t ) − F (t) Z f(x, t ) − f(x, t) n = n dµ(x) tn − t tn − t E theo (iii), ta có thể áp dụng định lý hội tụ bị trị vì f(x, t ) − f(x, t) n ≤ g(x) tn − t Suy ra điều phải chứng minh. Ghi chú: Ta chú ý điều kiện (i): Không cần phải giả thiết rằng x 7−→ f(x, t) là µ − khả tích với mọi t. Điều này suy được từ (ii) và (iii).
5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số 68 Định lý 5.9. (Tính khả tích Riemann) Dưới các điều kiện sau: (i) t 7−→ f(x, t) là liên tục trên [a, b] với mọi x ∈ E. (ii) Tồn tại g µ − khả tích trên E sao cho: |f(x, t)| ≤ g(x). Khi đó, hàm số t 7−→ F (t) = R f(x, t) dµ(x) là khả tích Riemann trên [a, b] và ta có: E b b b Z Z h Z i Z h Z i F (t) dt = f(x, t) dµ(x) dt = f(x, t) dt dµ(x) a a E E a Chứng minh. Các tích phân theo t là tích phân Riemann. Đặt h là hàm định nghĩa trên E × [a, b] bởi: t Z (x, t) 7−→ h(x, t) = f(x, s) ds a ∂h Khi đó = f(x, t) (vì f : t 7−→ f(x, t) liên tục). Do tích phân Riemann tồn tại, nó ∂t là giới hạn của một dãy tổng Riemann. Suy ra ánh xạ x 7−→ h(x, t) là đo được với mọi t ∈ [a, b]. Mặt khác |f(x, t)| ≤ g(x), suy ra |h(x, t)| ≤ (b − a)g(x) nên x 7−→ h(x, t) là Z µ − khả tích trên E với mọi t ∈ [a, b]. Đặt H : t 7−→ H(t) = h(x, t) dµ(x), áp dụng lên E H định lý trước: dH(t) Z ∂h Z = (x, t) dµ(x) = f(x, t) dµ(x) = F (t) dt ∂t E E Từ đó, ta nhận được: b Z Z F (t) dt = H(b) − H(a) = (h(x, b) − h(x, a)) dµ(x) a E và b b Z Z h Z i F (t) dt = f(x, t) dt dµ(x) a E a Vấn đề ở đây liên quan đến một định lý về đổi thứ tự lấy tích phân giữa một tích phân Riemann và một tích phân Lebesgue. Trường hợp hai tích phân Lebesgue sẽ xét ở phần tích phân theo độ đo tích (Định lý Fubini, chương 8). Ghi chú: Các tính chất liên quan đến x có thể đòi hỏi chỉ với µ − hkn. +∞ Z e−tx2 Ví dụ: (BT 8) Xét tính liên tục và khả vi của hàm: t 7−→ F (t) = dx. Suy 1 + x2 0 ra √ π F 0 − F = − √ 2 t
5.5 Một ví dụ áp dụng: Phép biến đổi Fourier của hàm một biến 69 và biểu thức của F : π √ F (t) = · et[1 − θ( t)] 2 t 2 Z 2 với θ là hàm Gauss: θ(t) = √ e−τ dτ. π 0 5.5 Một ví dụ áp dụng: Phép biến đổi Fourier của hàm một biến 5.5.1 Định nghĩa Z −2iπxy Cho f là một hàm λ − khả tích trên R, xét hàm: y 7−→ fb(y) = f(x)e dλ. Để R fb tồn tại, cần và đủ là f λ − khả tích. fb hay Ff, gọi là phép biến đổi Fourier của f. (Tùy từng trường hợp người ta xét cả Z 1 Z phép biến đổi Fourier dưới dạng: f(x)e−ixy dλ hay √ f(x)e−2iπxy dλ). 2π R R Trong xác xuất, phép biến đổi Fourier của một hàm phân phối F được định nghĩa bởi: Z e−ixy dF (x) R Trong giáo trình lý thuyết xác xuất, ta sẽ thấy lợi ích của phép biến đổi này và khi đó gọi là hàm đặc trưng. 5.5.2 Tính chất trực tiếp của fˆ a) Nếu f là λ − khả tích thì fb là một hàm liên tục trên R và ta có: Z ||fb||∞ ≤ |f| dλ R (||.||∞ là chuẩn hội tụ đều). b) Nếu f là λ − khả tích trên R thì fb thuộc lớp C1 trên R và: dfb = −2iπxfb dy Tổng quát hơn nếu xkf là λ − khả tích trên R thì fb thuộc lớp Ck trên R và ta có: dpf = (−2iπ)pxdpf ∀p = 1, 2, , k dyp Chứng minh các tính chất này suy từ định lý 5.7 và 5.8 ở trên.
5.6 Mở rộng cho trường hợp hàm định nghĩa µ − hkn 70 5.5.3 Ví dụ α) Phép biến đổi Fourier của hàm χ(a,b) là: e−2iπay − e−2iπby χ : y 7−→ χ (y) = b(a,b) b(a,b) 2iπy β) Phép biến đổi Fourier của x 7−→ e−πx2 là: y 7−→ e−πy2 . 5.6 Mở rộng cho trường hợp hàm định nghĩa µ − hkn 5.6.1 Định nghĩa (*) Giả sử (E, B, µ) là một không gian có độ đo, f là một ánh xạ từ E vào F , định nghĩa trên A ∈ B với µ(A) = 0. Ta nói rằng f định nghĩa µ − hkn trên E. ( ) Giả sử (F, B0) là một không gian đo được, f là một ánh xạ từ A ∈ B vào F với µ(CA) = 0. Ta nói rằng f là đo được, định nghĩa µ − hkn nếu f là đo được khi A được trang bị σ − đại số cảm sinh bởi B. 5.6.2 Tính chất α) Ta có các tính chất trực tiếp sau: Để một ánh xạ từ E vào F định nghĩa µ − hkn là đo được cần và đủ là nó bằng µ − hkn với một hàm đo được từ E vào F . β) Giả sử F = R hoặc R. Từ quan hệ tương đương R: fRg khi và chỉ khi f(x) = g(x) µ − hkn, với g là một hàm số đo được từ E vào F . Ta xây dựng không gian vector của các lớp tương đương fe. Chúng gồm các hàm số đo được tương đương với f. (không gian thương). 5.6.3 Tích phân của một hàm đo được định nghĩa µ − hkn Ta định nghĩa tích phân này bằng cách làm lại các bước như trước, nhưng chuyển sang trung gian của một hàm g ∈ fe. Chỉ cần chứng minh được rằng kết quả không phụ thuộc vào đại diện được lựa chọn của lớp hàm fe. Thực vậy, ta có: ∗ ∗ Z Z g1 dµ = g2 dµ E E Z Z nếu g1 = g2 µ − hkn. Ta định nghĩa f dµ = g dµ, trong đó g là một hàm định nghĩa E E khắp nơi và g = f µ − hkn.
5.7 Bài tập chương 5 71 5.7 Bài tập chương 5 1 Bài 1. Nếu µ là một độ đo hữu hạn và f là một hàm đo được thì là µ−khả tích. 1 + |f| Z Bài 2. Nếu f là một hàm µ−khả tích sao cho f dµ = 0, với mọi A ∈ B, khi đó f = 0 A µ − hkn. Bài 3. Giải bài tập đề xuất ở cuối mục 5.1. Bài 4. Giả sử {fn} là một dãy tăng các hàm dương, µ − khả tích nhận giá trị trong R+, Z sao cho fn dµ ≤ M. E (a) Chứng minh rằng {fn(x)} là một dãy bị chặn µ − hkn. (Ta viết điều kiện cần và đủ để tại một điểm x dãy không bị chặn). (b) Suy ra tồn tại một hàm f : x 7−→ f(x) nhận giá trị trong R+ sao cho fn hội Z Z tụ đến f µ − hkn, fn dµ hội tụ đến f dµ. E E Bài 5. Suy từ bài tập 3 định lý hội tụ đơn điệu dưới dạng: Nếu {fn} là một dãy tăng các hàm µ − khả tích, nhận giá trị trong R sao cho: Z fn dµ ≤ M E Z Z Khi đó tồn tại một hàm f µ − khả tích sao cho fn dµ hội tụ đến f dµ. E E Bài 6. Giả sử p và q sao cho p > −1 và q là số tự nhiên. n Z xn (a) Chứng minh rằng xp(log x)q 1 − dx, n ∈ , có giới hạn là: n N 0 +∞ Z xp(log x)qe−x dx 0 khi n → +∞. +∞ Z (b) Từ đó suy ra rằng giá trị của tích phân e−x log x dx được tính bởi: 0 h 1 1 1 i lim log n− 1 + + + ··· + n→+∞ 2 3 n →+∞ Z Bài 7. Ký hiệu f(x) dx là tích phân suy rộng Riemann của hàm f trên R. →−∞
5.7 Bài tập chương 5 72 (a) Chứng minh rằng nếu f có tích phân suy rộng trên R thì f liên tục λ − hkn. Xét mệnh đề đảo. (b) Nếu f ≥ 0 và có tích phân suy rộng thì nó là λ − khả tích và hai tích phân bằng nhau. Cho một phản ví dụ khi f không dương. Bài 8. Giải bài tập nêu ở mục 5.4. Bài 9. λ là độ đo Lebesgue, f và g là các hàm đo được. Xét tích phân: Z f(t − x)g(x) dλ, t ∈ R. R (a) Chứng minh rằng x 7−→ f(t − x)g(x) và x 7−→ f(x)g(t − x) cùng λ − khả tích trên R và tích phân của chúng bằng nhau. (b) Giả sử f và g liên tục và g có giá compact. Ký hiệu h là hàm: Z t 7−→ h(t) = f(t − x)g(x) dx R Chứng minh rằng h là xác định hầu khắp nơi và liên tục trên R. Để chứng minh khẳng định cuối, ta sẽ chứng minh rằng trong một lân cận của một điểm t0 bất kỳ, ta có: |f(t − x)g(x)| ≤ K|g(x)| Bài 10. Tìm biến đổi Fourier của: (a) Hàm x 7−→ e−πx2 (b) x 7−→ χ[−1,1]. Giả sử χb là kết quả của biến đổi. Tìm biến đổi của χb.
Chương 6 Các không gian Lebesgue Lp và Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 6.1 Nửa chuẩn tổng quát Np Xét các hàm dương: f ∈ M (≡ M(E, B; , B )) và ta đặt: + R+ R+ ∗ Z 1 p p Np(f) = f dµ , 1 ≤ p 1 và q > 1 với + = 1, khi đó với mọi f, g ∈ M : p q + N1(fg) ≤ Np(f)Nq(g) (bất đẳng thức Ho¨lder) (iii) Với mọi f, g ∈ M+: Np(f + g) ≤ Np(f) + Np(g) (bất đẳng thức Minkovski) Nhận xét: p p (a) Ta xét hàm t 7−→ t (p ≥ 1) thác triển lên R+ bởi đặt ∞ = ∞ và hàm số f p : x 7−→ f p(x) = (f(x))p (b) Bất đẳng thức Young: với mọi α > 0 và β > 0 sao cho α + β = 1; a ≥ 0 và b ≥ 0 thì: aαbβ ≤ αa + βb (1) Chứng minh: do x 7−→ − log x là hàm lồi nên − log(αa + βb) ≤ −α log a − β log b ⇒ (1).
6.1 Nửa chuẩn tổng quát Np 74 Chứng minh định lý: (i) Suy từ tính chất của hàm t 7−→ tp và của tích phân trên. (ii) Bất đẳng thức Ho¨lder suy từ: ∗ ∗ ∗ Z Z α Z β f αgβ dµ ≤ f dµ g dµ , α > 0, β > 0, α + β = 1 (2) E E E 1 1 Nó còn có một dạng khác bằng cách đặt α = , β = và thay thế f và g tương ứng bởi p q f p và gq. Chứng minh bất đẳng thức (2): giả sử một trong hai tích phân ở vế phải bằng ∗ ∗ Z Z 0, chẳng hạn f dµ = 0 ⇒ f = 0 µ − hkn. Suy ra f α = 0 µ − hkn. Do đó f αgβdµ = 0 E E f g ⇒ bất dẳng thức. Nếu cả hai tích phân ở vế phải khác 0. Đặt f1 = ∗ , g1 = ∗ . R f dµ R g dµ E E ∗ Z α β Để chứng minh (2), ta chỉ cần chứng minh rằng f1 g1 dµ ≤ 1. Nhưng E ∗ ∗ ∗ Z Z Z α β α β f1 g1 ≤ αf1 + βg1 ⇒ f1 g1 dµ ≤ α f1 dµ + β g1 dµ E E E có nghĩa là: ∗ ∗ ∗ Z Z Z α β f1 g1 dµ ≤ α + β = 1 do f1 dµ = g1 dµ = 1. E E E (iii) Nếu một trong các số Np(f) hay Np(g) vô hạn thì Np(f + g) cũng thế ⇒ có dấu bằng. Trường hợp Np(f + g) = 0 cũng thế, ta có đẳng thức. Bây giờ giả sử: Np(f) < ∞ p và Np(g) < +∞ thì Np(f + g) < ∞. Thực vậy t 7−→ t là lồi nên với mọi a và b ≥ 0, ta có: a + bp 1 1 (a + b)p = 2p ≤ 2p ap + bp = 2p−1(ap + bp) 2 2 2 p p−1 p p Suy ra (f + g) ≤ 2 (f + g ). Vì vậy Np(f + g) < ∞. Ta viết (f + g)p = f(f + g)p−1 + g(f + g)p−1 ∗ ∗ Z Z và xét các tích phân trên f(f + g)p−1 dµ, g(f + g)p−1 dµ. Một mặt: E E ∗ ∗ Z Z 1− 1 p−1 p p f(f + g) dµ ≤ Np(f) (f + g) dµ E E 1 p − 1 áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder cho f và (f + g)p−1 với + = 1. Mặt khác: p p ∗ ∗ Z Z 1− 1 p−1 p p g(f + g) dµ ≤ Np(g) (f + g) dµ E E
6.1 Nửa chuẩn tổng quát Np 75 Cuối cùng ∗ ∗ Z Z 1− 1 p p p (f + g) dµ ≤ (Np(f) + Np(g)) (f + g) dµ E E ⇒ bất dẳng thức Minkovski vì ta có thể giả thiết Np(f + g) hữu hạn và khác 0. Ghi chú: (*) Các Np ngay từ đầu chưa phải là các nửa chuẩn vì giá trị của chúng có thể bằng +∞. ( ) Xuất phát từ bất đẳng thức Ho¨lder cho hai hàm có thể chứng minh bất đẳng thức Ho¨lder tổng quát: ∗ ∗ ∗ Z Z α1 Z αn α1 αn f1 ··· fn dµ ≤ f1 dµ ··· fn dµ ( xem BT 6.2) E E E Định lý 6.2. (Tính lồi đếm được) (i) Nếu {fn} là một dãy tăng các hàm trong M+, ta có: Np(sup fn) = sup Np(fn) n n (ii) Nếu {fn} là một dãy bất kỳ các hàm thuộc M+ thì ∞ ∞ X X Np( fn) ≤ Np(fn) n=0 n=0 p p p Chứng minh. (i) Vì t 7−→ t là một hàm liên tục nên lim fn = ( lim fn) , dãy {fn} tăng n→∞ n→∞ p nên dãy {fn} cũng tăng. Theo tính chất Beppo-Levy, ta có: ∗ ∗ ∗ Z Z Z p p p lim fn dµ = lim fn dµ = ( lim fn) dµ n→∞ n→∞ n→∞ E E E ∗ ∗ Z 1 Z 1 p p p p Suy ra lim fn dµ = (lim fn) dµ , tức là Np(sup fn) = sup Np(fn). n→∞ n n E E ∞ X (ii) Giả sử gn = f1 + f2 + ··· + fn, {gn} là dãy tăng và sup gn = fn. Áp dụng (i), n=0 n X Np(sup gn) = sup Np(gn) nhưng Np(gn) ≤ Np(fk). Suy ra n k=0 ∞ n ∞ X X X Np( fn) ≤ sup( Np(fk)) = Np(fn) n=0 k=0 n=0
6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 76 6.1.2 Ví dụ (*) E = R, B = Bb R, µ = λ. ∗ ∞ ∞ Z X X ( ) E = N, B = P(N), µ là độ đo đếm. Khi đó f dµ = f(n) = an, an ≥ 0 và n=0 n=0 E ∞ 1 X p p Np(f) = an . Các bất đẳng thức Ho¨lder và Minkovski là các bất đẳng thức n=0 đối với các chuỗi dương: ∞ ∞ 1 ∞ 1 X X p p X p p anbn ≤ an bn n=0 n=0 n=0 ∞ 1 ∞ ∞ h i p 1 1 X p X p p X p p (an + bn) ≤ ( an) + ( bn) n=0 n=0 n=0 6.1.3 Ghi chú Ta có bất đẳng thức lý thú trong thực hành: p p p 0 ≤ f ≤ g ⇒ (Np(f)) + (Np(g − f)) ≤ (Np(g)) suy từ bất đẳng thức sơ cấp: ap + bp ≤ (a + b)p, a > 0, b > 0 và với mọi p ≥ 1, áp dụng cho: g = f + g − f, f ≥ 0, g − f ≥ 0. Trường hợp 0 < p < 1, ta nhận được kết quả sau: Bất đẳng thức Ho¨lder cho 0 < p < 1: ∗ ∗ ∗ 1 1 Z Z p Z q fg dµ ≥ f p dµ gq dµ E E E 1 1 với + = 1. (ghi nhớ rằng lúc này q < 0). p q Bất đẳng thức Minkovski cho 0 < p < 1: ∗ ∗ ∗ Z 1 Z 1 Z 1 p p p p p p f dµ + g dµ ≤ (f + g) dµ ⇔ Np(f) + Np(g) ≤ Np(f + g) E E E cho các hàm dương. Bất đẳng thức quasi-normes (tựa chuẩn): Với 0 < p < 1 và với f, g bất kỳ, ta có: 1 −1 Np(f + g) ≤ 2 p (Np(f) + Np(g)) Điều này cho phép coi các không gian Lp (0 < p < 1) như các không gian tựa - định chuẩn. 6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) Cho (E, B, µ) là một không gian có độ đo và M = M(E, B; R, BR) của các hàm định nghĩa trên E nhận giá trị trong R, đo được. Nhớ lại rằng f ∈ M ⇒ |f| ∈ M+.
6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 77 6.2.1 Mở đầu Định nghĩa 6.1. Giả sử 1 ≤ p < ∞, thì Lp(E, B, µ) là một không gian vector con của M định nghĩa bởi: f ∈ Lp(E, B, µ) khi và chỉ khi f ∈ M và |f|p khả tích, tức là ∗ Z |f|p dµ < ∞. (Khẳng định Lp(E, B, µ) là một không gian vector con của M suy từ E định lý 6.1). Trong thực hành để đơn giản, ta viết Lp. Các phần tử của Lp gọi là các hàm lũy thừa p − khả tích. Với mọi f ∈ Lp, ta còn viết: Z 1 p p Np(f) = |f| dµ E Trong trường hợp các hàm nhận giá trị trong C, ta có thể mở rộng định nghĩa: p p f = f1 + if2, f ∈ L ⇔ f1 và f2 ∈ M và |f| khả tích Trong ví dụ E = N, B = P(N), µ là độ đo đếm, người ta thường sử dụng ký hiệu lp, ∞ X p đây là không gian các dãy {an}, an ∈ R sao cho: |an| < ∞. n=1 Các hàm µ − khả tích tương ứng với p = 1. Trong các nghiên cứu ở sau, ta sẽ gặp lại và tổng quát hóa các tính chất ở chương 5. Hệ quả: Từ các nghiên cứu ở mục 6.1 suy ra Lp là một không gian vector trên R và p p ánh xạ f ∈ L 7−→ Np(f) ∈ R+ là một nửa chuẩn trên L . Không gian topo mà ta xét p p trong phần tiếp theo luôn là L được trang nửa chuẩn trên Np. Ta sẽ vẫn ký hiệu là L . Không gian này không phải là không gian topo tách. Sự hội tụ của một dãy hay một lọc trong Lp gọi là hội tụ theo trung bình cấp p. Ghi chú: (*) Ta hạn chế xét ở đây trường hợp 1 ≤ p ≤ ∞. Trường hợp p = ∞ sẽ xét sau. Có những sự khác biệt đáng chú ý (chủ yếu theo quan điểm đối ngẫu) giữa các không p ∞ gian L và L , mà ta xây dựng từ các nửa chuẩn Np và N∞. ( ) Trường hợp 0 < p < 1 cho ra đời các không gian Lp là các ví dụ về các không gian tựa chuẩn. Đây là các không gian vector topo. Nhưng đối ngẫu của một không gian như thế chỉ bao gồm một phần tử O. Điều đó đã làm giảm lợi ích của việc nghiên cứu chúng trong giải tích hàm. Điều này dẫn đến các Lp với 0 < p < 1 không phải các không gian topo lồi địa phương (điều đó rõ ràng không dẫn đến sự không tồn tại của các tập lồi trong các không gian này!). 6.2.2 Tính chất Giả sử f ∈ M và g ∈ M thì: p p (i) f ∈ L , g(x) = f(x) µ − hkn, suy ra g ∈ L và Np(g) = Np(f).
6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 78 p p (ii) f ∈ L suy ra |f| ∈ L và Np(f) = Np(|f|). (iii) f ∈ Lp, suy ra f + và f − ∈ Lp. (iv) f, g ∈ Lp, suy ra inf(f, g) và sup(f, g) ∈ Lp. + 1 − 1 Các khẳng định này được cm ngay từ định nghĩa. (iii) Có f = 2 (f +|f|), f = 2 (f −|f|). (iv) Có sup(f, g) = f + (g − f)+, inf(f, g) = − sup(−f, −g). Ta suy ra Lp là một dàn. 6.2.3 Định lý Riesz-Fischer Định lý 6.3. (Riesz-Fischer) Không gian Lp là đầy đủ. Kết quả này là một hệ quả trực tiếp của định lý 6.4 sau đây: p Định lý 6.4. Giả sử {fn} là một dãy Cauchy trong L , khi đó tồn tại một dãy con {fnk } sao cho: (i) Chuỗi với các số hạng tổng quát Np(fnk+1 − fnk ) hội tụ. (ii) Chuỗi với các số hạng tổng quát fnk+1 (x) − fnk (x) hội tụ tuyệt đối µ − hkn. p p (iii) Đặt f(x) = lim fn (x) µ − hkn thì f ∈ L và {fn} hội tụ về f trong L . k→∞ k Chứng minh. (i) Tồn tại một dãy con {fnk } sao cho: 1 N (f − f ) ≤ ∀k ∈ . p nk+1 nk 2k N ∞ X (ii) Đặt g = |fnk+1 − fnk |, fn ∈ M, suy ra g ∈ M+. Theo tính chất lồi đếm được: k=0 ∞ ∞ X X 1 N (g) ≤ N (|f − f |) ≤ < ∞ p p nk+1 nk 2k k=0 k=0 ⇒ Np(g) hữu hạn ⇒ g(x) hữu hạn µ − hkn. Suy ra sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi ∞ X (fnk+1 (x) − fnk (x)) µ − hkn. k=0 (iii) Giả sử f là hàm: lim fn (x) = f(x) µ − hkn. Khi đó: k→∞ k ∞ X f(x) = (fnk+1 (x) − fnk (x)) + fn0 (x) µ − hkn. k=0 Suy ra |f(x)| ≤ g(x) + |fn0 (x)| µ − hkn. Do đó Np(f) ≤ Np(g) + Np(fn0 ) < ∞, tức là p p f ∈ L . Chứng minh rằng {fn} hội tụ về f trong L : X Np(f − fnk ) = Np(f − (fnk0 − fnk0−1 ) − fn0 ) k0≤k
6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 79 Suy ra X Np(f − fnk ) ≤ Np(fnk0 − fnk0−1 ) (tính lồi đếm được). k0>k Suy ra 1 N (f − f ) ≤ p nk 2k Suy ra Np(f −fnk ) → 0 khi k → ∞. Vì {fn} là dãy Cauchy nên suy ra Np(f −fn) → 0 khi n → ∞. p Hệ quả: Nếu {fn} là một dãy Cauchy trong không gian L sao cho dãy số {fn(x)} p p hội tụ µ − hkn về f(x). Khi đó f ∈ L và dãy {fn} hội tụ về f trong L . Thật vậy tồn tại {fn } sao cho lim fn (x) = g(x) µ − hkn. Như vậy g(x) = f(x) k k→∞ k p p µ − hkn. Suy ra f ∈ L và {fn} hội tụ về f trong L . Ghi chú: 1). Nói chung ta không hy vọng một kết quả tốt hơn so với sự hội tụ µ−hkn của một dãy con của {fn}. (Xem ghi chú 2 cho một trường hợp riêng lý thú). Nói cách p khác, sự hội tụ của {fn} trong L không suy ra sự hội tụ của {fn} µ − hkn. Ví dụ sau (k) (k) chứng tỏ điều đó: E = [0, 1], B = B[0,1], λ là độ đo Lebesgue. Xét k hàm số sau: ϕ1 , ϕk định nghĩa bởi:  hj − 1 j i 1 nếu x ∈ ,  k k (k)  (k) ϕj (x) = nói cách khác ϕj (x) = 1hj − 1 j i  hj − 1 j i , 0 nếu x∈ / , k k k k (1) (2) (2) (3) (k) Ta xây dựng dãy {fn} như sau: f1 = ϕ1 , f2 = ϕ2 , f3 = ϕ1 , f4 = ϕ1 , , fn = ϕj (k) k(k − 1) với ϕj sao cho: n = + j, 1 ≤ j ≤ k. Như vậy fn = 1hj − 1 j i. 2 , k k Giả sử f = 0. Khi đó: Z 1 1 p 1 p N (f − f) = f p dλ ≤ p n n k [0,1] k(k − 1) với n ≥ . Như vậy f → 0 trong Lp. Tuy nhiên f không hội tụ về 0 λ − hkn trên 2 n n [0, 1] vì với mỗi x ∈ [0, 1] tồn tại một dãy con {fnm } sao cho fnm → 1(m → ∞), và một dãy con {fnm } sao cho fnm → 0(m → ∞). Ngược lại, ta có thể trích ra một dãy con hội tụ đến 0. 2). Liên quan đến chuỗi Fourier, ta biết kết quả sau: Xét các hàm liên tục tuần hoàn 2 2 chu kỳ 2π trên R lập nên một không gian con của L = L ([0, 2π], B[0,2π], λ). Chuỗi Fourier của một hàm f của L2 hội tụ về f trong L2. Theo định lý 6.4 trên đây, ta có thể khẳng định sự hội tụ đơn giản λ − hkn của một dãy con của dãy các tổng riêng {Sn}. Nhưng kết quả này chưa đủ vì L. Carleson đã chứng minh năm 1968 một giả thiết của Lusin: Chuỗi Fourier của một hàm f ∈ L2 hội tụ λ − hkn về f.
6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 80 6.2.4 Các định lý hội tụ Định lý 6.5. Định lý Beppo-Levi (hội tụ đơn điệu) Cho {fn} là một dãy tăng các p hàm dương fn ∈ L , sao cho sup Np(fn) < ∞. Khi đó (i) sup fn(x) < ∞ µ − hkn. n p n→∞ (ii) Giả sử f(x) = lim fn(x) µ − hkn thì f ∈ L , Np(f) = lim Np(fn) và fn −−−→ f n→∞ n→∞ trong Lp. Chứng minh. (i) Đặt f = lim fn(= sup fn) µ − hkn, f ∈ M+. f = sup fn ⇒ Np(f) = n→∞ n sup Np(fn) theo (i) của định lý 6.2. Suy ra Np(f) < ∞, từ đó sup fn(x) < ∞ µ − hkn. n n p p p p (ii) Np(f) = sup Np(fn) ⇒ (Np(f)) = sup[Np(fn)] = lim [Np(fn)] < ∞. Dãy {[Np(fn)] } n n n→∞ p hội tụ trong R+ về (Np(f)) theo bất đẳng thức trong mục 6.1.4 phần ghi chú: p p p [Np(fm − fn)] ≤ [Np(fm)] − [Np(fn)] p Khi đó {fn} là một dãy Cauchy trong L rồi ta sử dụng hệ quả của định lý 6.4. p p Hệ quả: Giả sử {fn} là một dãy giảm các hàm dương thuộc L , fn ∈ L . Khi đó f = p p inf fn ∈ L và dãy {fn} hội tụ về f trong L , và ta có Np(f) = lim Np(fn) = inf Np(fn). n n→∞ n Chứng minh. Ta xét dãy {gn}, gn = f1 − fn, gn ≥ 0, {gn} là dãy tăng và sup Np(gn) < ∞ n do Np(gn) = Np(f1 − fn) ≤ Np(f1). Nhưng sup gn = − inf(fn − f1) = f1 − inf fn = f1 − f n p p p p nên f1 − f ∈ L và f ∈ L . Do {f1 − fn} → f1 − f trong L , {fn} → f cũng trong L . Hơn nữa, do ánh xạ chuẩn là liên tục. Ta có: Np(f) = lim Np(fn) = inf Np(fn) n→∞ n Ghi chú: Tính chất này không đúng cho một dãy bất kỳ. (Xem phần ghi chú 1-mục 6.1.3) p Định lý 6.6. Định lý Lebesgue (hội tụ bị trị) Giả sử {fn} là một dãy hàm trong L và f ∈ M sao cho: (i) lim fn(x) = f(x) µ − hkn. n→∞ p (ii) Tồn tại g ∈ L sao cho |fn(x)| ≤ g(x) µ − hkn, với mọi n ∈ N. p p Khi đó f ∈ L và dãy {fn} hội tụ về f trong L .
6.3 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 81 p p Chứng minh. (i) và (ii) suy ra |f(x)| ≤ g(x) ⇒ f ∈ L . Đặt gn = f − fn ⇒ |gn(x)| ≤ p p 2 (g(x)) do |gn| ≤ |f| + |fn| ≤ 2|g|. Ta áp dụng định lý hội tụ bị trị với p = 1 cho hàm p p p 1 gn vì 2 gn ∈ L suy ra: Z Z p p lim |gn| dµ = lim |gn| dµ = 0 n→∞ n→∞ E E Nói cách khác: lim Np(f − fn) = 0. n→∞ Hệ quả: Suy rộng định lý trên lên một tập hợp có lọc. (Xem sách) 6.3 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 6.3.1 Định nghĩa Xuất phát từ một không gian nửa định chuẩn, ta có thể xây dựng một không gian định chuẩn bằng cách lấy thương qua quan hệ tương đương: R : f R g ⇔ ||f − g|| = 0 ||.|| ở đây ký hiệu nửa chuẩn. Quan hệ R có nghĩa là Np(f − g) = 0. Nó tương đương với f(x) = g(x) µ − hkn. Đặt Nµ là không gian con của M gồm các hàm µ − không. Khi đó: f(x) = g(x) µ − hkn ⇔ f − g ∈ Nµ ⇔ Np(f − g) = 0 p p . Khi đó, ta định nghĩa không gian L (E, B, µ) := L (E, B, µ) Nµ. Không gian này định chuẩn vì bằng cách đặt: ||fe||p = Np(f), f ∈ fe ta có một chuẩn trên Lp(E, B, µ). Lp(E, B, µ) ký hiệu là Lp, đây là tập hợp các lớp tương đương mà ta ký hiệu là fe. (Không có dấu ∼ nếu không có khả năng gây nên sự hiểu lầm). p . Như vậy, các L là các không gian con của M Nµ xác định bởi: p fe ∈ L ⇔ ||fe||p < ∞ (||fe||p = Np(f), f ∈ fe). Rõ ràng ta tự hạn chế chỉ sử dụng các hàm xác định µ − hkn và nghiên cứu các lớp tương đương tương ứng. 6.3.2 Các tính chất trực tiếp Lp là một không gian Banach: Lp là một không gian vector định chuẩn theo định nghĩa. Nó đầy đủ theo định lý Riesz-Fisher. Lp là không gian Riesz: Tức là một không gian vector sắp thứ tự, có dàn. (Không gian vector sắp thứ tự: fe ≤ ge ⇔ f(x) ≤ g(x) µ − hkn và ta kiểm tra được rằng quan hệ này tương thích với cấu trúc không gian vector). p p p Cấu truc dàn: fe và ge ∈ L ⇒ sup(f,e ge) ∈ L và inf(f,e ge) ∈ L . Điều này suy từ: p p sup(f, g) ∈ L , inf(f, g) ∈ L và sup(f,e ge) = sup(g f, g), inf(f,e ge) = inf(f f, g). Đẳng thức chứng minh bằng cách cổ điển dùng định nghĩa. Ta suy ra |ff| = |fe|, fe+ = |fe|+, fe− = |fe|−.
6.3 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 82 Định lý 6.7. Lp là một không gian có dàn đầy đủ. Nhắc lại: a) Không gian vector có thứ tự E có dàn đầy đủ khi và chỉ khi mọi tập con không rỗng bị làm già của E có một cận trên trong E. b) Để một không gian vector có thứ tự E là có dàn đầy đủ, cần và đủ là: (i) E là một không gian Riesz. (ii) Mọi tập con A của E không rỗng, gồm các phần tử dương, bị làm già và là một lọc theo quan hệ ≤ có một cận trên trong E. Ghi chú: (ii) có thể thay bằng điều kiện (ii)0: A bị làm non, là một lọc đối với quan hệ ≥ có một cận dưới trong E. Ta suy ra rằng mọi tập con bị làm non, không rỗng của E có một cận dưới trong E. Để chứng minh định lý, ta sẽ chứng minh bón tính chất chuẩn bị: p Tính chất 1. Topo định nghĩa trên L bởi chuẩn ||.||p là tương thích với cấu trúc không gian vector có thứ tự Lp. Ta chỉ cần chứng minh tiên đề về tương thích, tức là: Tập hợp các phần tử u dương trong E là đóng. Tính chất này suy từ tính chất 2 sau đây. Tính chất 2. Trong không gian Riesz Lp, ánh xạ u 7−→ |u| là liên tục đều. Thật vậy: ||u| − |v|| ≤ |u − v| ⇒ Np(|u| − |v|) ≤ Np(u − v) Từ đây suy ra tính chất 1 vì tập hợp các u ≥ 0 trùng với tập hợp {u : u = |u|}. Các ánh xạ u 7−→ |u| và u 7−→ u là liên tục (và Lp là tách). Ta có thể áp dụng các kết quả đã biết. Tính chất 3. Giả sử E là một tập hợp con của Lp gồm các phần tử dương và là một lọc với quan hệ ≤, nếu cái lọc của các lát cắt của E có một giới hạn trong Lp thì giới hạn này là cận trên của E. (Chứng minh xem sách). Tính chất 4. Giả sử E là một tập con của Lp gồm các phần tử dương lọc bởi quan hệ p ≤, để cho E có một cận trên trong L cần và đủ là sup ||u||p < ∞. u∈E 6.3.3 Quan hệ giữa hội tụ theo trung bình với hội tụ đều và hội tụ µ − hkn p a) µ là bất kỳ: {fn} hội tụ trong L ⇒ tồn tại dãy con {fnk } hội tụ µ − hkn. Ngược lại, theo định lý của Lebesgue (Hội tụ bị trị (bị làm già)) {fn} hội tụ µ − hkn và |fn| ≤ g, p p g ∈ L , thì {fn} hội tụ trong L . b) Nếu µ là bị chặn thì hội tụ đều suy ra hội tụ trong Lp. Thực vậy: Z 1 p p 1 ||f||p = |f| dµ ≤ (sup |f(x)|)(µ(E)) p (*) x∈E E
6.3 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 83 áp dụng (∗) với fn − f ⇒ điều phải chứng minh. Ta tóm tắt kết quả trên bởi sơ đồ sau: Hội tụ đều −→ hội tụ µ − hkn. Hội tụ µ − hkn −−−−−−−→hội tụ bị trị hội tụ trong Lp. Hội tụ trong Lp − → hội tụ µ − hkn. (Mũi tên ngắt quãng µ − bị chặn ký hiệu tính chất chỉ đúng với một dãy con). Hội tụ đều −−−−−−→ hội tụ trong Lp. Như vậy hội tụ trong Lp không suy ra hội tụ đều vì ta không có ngay cả hội tụ µ−hkn, dẫn đến vấn đề: Tìm các điều kiện đủ để định lý đảo này đúng. Tuy nhiên sự hội tụ đều không tương hợp với vấn đề của ta vì thực ra mà nói chúng ta làm việc với độ sai khác một tập có độ đo không. Ta sẽ đưa ra khái niệm hội tụ µ − hầu đều muộn hơn và sẽ trở lại vấn đề đã nêu lên. 6.3.4 Trường hợp L2 Định lý 6.8. L2(E, B, µ) với tích vô hướng (u, v) 7−→ (u, v) = R uv dµ là một không gian E Hilbert trên R. Z Z uv dµ định nghĩa bởi fg dµ, f ∈ u, g ∈ v. Kết quả này không phụ thuộc vào đại E E Z diện được lựa chọn. Giả sử f ∈ L2, g ∈ L2, khi đó fg ∈ L2 (Holder) nên fg dµ tồn tại Z E ⇒ uv dµ có nghĩa. Kiểm tra được rằng với tích vô hướng trên, chuẩn sinh từ nó trùng E Z 1 2 2 với ||.||2 vì ||f||2 = f · f dµ . Hơn nữa L là đầy đủ. E Mẫu cụ thể về các không gian Hilbert: Định lý 6.9 dưới đây là một định lý đảo của định lý 6.8 và cung cấp theo một cách nào đó một đại diện cụ thể (với sự trợ giúp của bộ ba (E, B, µ)) của tất cả các không gian Hilbert. Số chiều của không gian Hilbert: Số chiều Hilbertien của một không gian Hilbert H (ký hiệu là dimhH) là lực lượng chung của mọi cơ sở Hilbert của H (nghĩa là cơ sở topo của H). (Một họ {ej}j∈J gọi là cơ sở topo của một không gian X nếu [{ej}j∈J ] = X. Ký 2 hiệu [{ej}j∈J ] là không gian vector sinh bởi họ {ej}j∈J ). Ví dụ trong L ((0, 2π), λ), họ 2 {1, cos x, sin x, , cos nx, sin nx, } là một cơ sở Hilbert và ta có dimhL (0, 2π) = N0 (lực lượng của N). (Ta đã biết không gian này là khả ly). 2 Định lý 6.9. Mọi không gian Hilbert là isometric với một không gian L (E, P(E), µd), trong đó E là một tập mà cardE = dimhH còn µd là độ đo đếm trên P(E). Mọi không gian Hilbert có số chiều hữu hạn là isometric với Rn hoặc Cn và mọi không gian Hilbert có số chiều vô hạn khả ly là "đẳng cự" (isometric) với l2. Đối ngẫu: Trong trường hợp không gian Hilbert, ta chứng minh trực tiếp định lý Riesz về đối ngẫu. (Xem ). Ta suy ra định lý đáng nhớ sau: Định lý 6.10. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L2(E, B, µ) có dạng: Z L : f 7−→ L(f) = fg dµ E
6.4 Các không gian L∞ và L∞ 84 trong đó g là một hàm thuộc L2(E, B, µ). 6.3.5 Mở rộng p Đối với các hàm nhận giá trị phức, ta có thể xây dựng L (||f||p = |||f|||p, |f| là module của f) và chứng minh các tính chất liên quan đến topo, còn các tính chất liên quan đến thứ tự không có. 6.4 Các không gian L∞ và L∞ 6.4.1 Nửa chuẩn N∞ Định nghĩa 6.2. Giả sử f ∈ M+, ta đặt: −1 N∞(f) = inf{α : α ≥ 0, µ(f ([α, +∞])) = 0} N∞(f) gọi là cận trên theo độ đo của f hay còn gọi là cận trên căn bản (ký hiệu tương ứng: ess sup f, sup essf). Nói cách khác: N∞(f) là cận dưới đúng của các α thỏa mãn f(x) ≤ α µ − hkn, là cận trên đúng của các α sao cho độ đo của tập hợp các x thỏa mãn f(x) > α µ − hkn là khác không. Định lý 6.11. Ánh xạ N∞ : M+ 7−→ R+ định nghĩa bởi f 7−→ N∞(f) thỏa mãn: (i) N∞(0) = 0, N∞(f) = 0 ⇔ f = 0 µ − hkn. N∞(cf) = cN∞(f) với mọi c ∈ R+. Với mọi f và g ∈ M+, f ≤ g ⇒ N∞(f) ≤ N∞(g). (ii) N∞(f + g) ≤ N∞(f) + N∞(g) với mọi f, g ∈ M+. (iii) N∞(fg) ≤ N∞(f) · N∞(g) với mọi f, g ∈ M+. 1 1 1 (iv) Với mọi p, q: 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, + = 1. (quy ước = 0). Ta có: p q ∞ N1(fg) ≤ Np(f) · Nq(g), ∀f, g ∈ M+ (Ho¨lder) Chứng minh. Các chứng minh suy từ định nghĩa. Chứng minh (iv): nếu p ∈]1, ∞[ đã chứng minh. Nếu p = +∞: N1(fg) ≤ N∞(f)N1(g). Thực vậy N∞(f) = ∞, tầm thường. Nếu không N∞(f) = M < ∞ ⇒ f(x)g(x) ≤ Mg(x) µ − hkn, như vậy: N1(fg) ≤ MN1(g) = N∞(f)N1(g) Trong trường hợp riêng p = ∞, bất đẳng thức mà ta vừa nhận được: N1(fg) ≤ N∞(f)N1(g) gọi là bất đẳng thức trung bình.
6.5 Xấp xỉ trong Lp. Định lý trù mật. Tính khả ly 85 Quan hệ giữa N∞(|f|) với Np(f) và sup |f(x)| (= ||f||u) x∈E ˆ a) Nói chung N∞|f| ≤ sup |f(x)|. Trong trường hợp riêng E = R, B = BR và µ = λ x∈E là độ đo Lebesgue; N∞(|f|) trùng với chuẩn quen biết của sự hội tụ đều khi f là liên tục. (Ta ký hiệu ở đây ||f||u để tránh nhầm lẫn). 1 b) Giả sử µ giới nội (µ(E) 0 thì cũng có: 0 0 1 0 Np(f) ≥ M (µ(E )) p ⇒ M ≤ lim Np(f) p→∞ 0 Áp dụng hai bất đẳng thức này với N∞(|f|) thì lim Np(f) ≤ N∞(|f|) và lim Np(f) ≥ M p→∞ p→∞ 0 với mọi M < N∞(|f|). Do đó lim Np(f) = lim Np(f) = N∞(|f|) p→∞ p→∞ KL: Trong trường hợp µ giới nội: N∞(|f|) = lim Np(f). p→∞ 6.4.2 Các không gian L∞ và L∞ ∞ Với mọi f ∈ M, xét N∞(|f|) mà ta còn ký hiệu là N∞(f). L (E, B, µ) là không gian con của M xác định bởi: ∞ f ∈ L ⇔ f ∈ M,N∞(f) < ∞ ∞ ∞ ∞ L là một không gian vector con của M và N∞ là một nửa chuẩn trên L . f ∈ L gọi là hàm µ − bị chặn, hoặc bị chặn theo độ đo, hoặc căn bản bị chặn. Ta xét không gian ∞ . −1 ∞ ∞ thương L (E, B, µ) Nµ (ở đây Nµ = N∞ (0)) và ta ký hiệu là L (E, B, µ) hay là L . ∞ L là một không gian vector định chuẩn, chuẩn ||.||∞ suy từ N∞. 6.4.3 Tính chất của L∞ Chúng giống các tính chất của Lp chứng minh đơn giản. Cụ thể L∞ là một không gian Banach (Mọi dãy Cauchy trong L∞ là một dãy Cauchy µ − hkn trong E ⇒ đpcm). Ta cũng nhận được một tính chất phụ: L∞ là một đại số con của M vì với mọi f, g ∈ L∞ ⇒ fg ∈ L∞. Đây là một đại số con định chuẩn vì nửa chuẩn tương thích với cấu trúc đại số (xem định lý 6.1 ý (iii)) ⇒ L∞ là một đại số định chuẩn đầy đủ, tức là đại số Banach. 6.5 Xấp xỉ trong Lp. Định lý trù mật. Tính khả ly Định lý 6.12. Tập hợp E ∩ Lp của các lớp hàm bậc thang ϕ, đo được, nhận giá trị thực, thuộc Lp là trù mật trong Lp (1 ≤ p < ∞).
6.5 Xấp xỉ trong Lp. Định lý trù mật. Tính khả ly 86 p Chứng minh. Ta chỉ cần xét trường hợp các hàm dương, tức là xét E+ và L+ do f = + − 0 p f − f . Ta đặt E+ = E+ ∩ L+. Do f ∈ M+, tồn tại một dãy tăng {ϕn} các hàm dương, 0 p p p bậc thang, đo được hội tụ đến f. Do đó ϕen ∈ E+ và |ϕn − f| ≤ f , f ∈ L+. Theo định lý Lebesgue (hội tụ bị làm già), ta có: lim ||ϕen − fe||p = 0 ⇒ dpcm. Tính chất này mở rộng cho hàm nhận giá trị phức. Ghi chú: 1. Một hàm bậc thang không nhất thiết thuộc vào Lp. Như vậy, định lý này không nói rằng E trù mật trong Lp. 2. Tuy nhiên đối với hàm bậc thang bằng không ngoài một tập có độ đo hữu hạn và thuộc vào Lp, nếu chúng không nhận các giá trị +∞ hoặc −∞ trên các tập có độ đo khác không, ta có định lý trù mật sau đây: Định lý 6.13. Không gian con của các hàm bậc thang đo được, nhận giá trị thực hữu hạn, thỏa mãn ghi chú 2 ở trên, là trù mật trong Lp. (1 ≤ p < ∞). p n Chứng minh. Ta chỉ cần xét trường hợp hàm dương. Giả sử f ∈ L+ và An = x : 1 o ≤ f(x) ≤ n ⇒ µ(A ) < ∞. Vì nếu không thì do n n Z 1 1 1 p p p [µ(A )] p ≤ f dµ ⇒ f∈ / L n n + E p p Ta đặt χn = χAn f, dãy {χn} là một dãy hàm hội tụ trong L về f vì χn ≤ f, f ∈ L+. Nhưng χn, hàm đo được bị chặn, là giới hạn đều của một dãy các hàm bậc thang mà ta có thể đặt bằng 0 ngoài An mà không làm thay đổi kết quả. Từ đó: χn = lim χn,j, với χn,j j là hàm bậc thang bằng 0 ngoài một tập có độ đo hữu hạn. Khi đó: Np(f − χn,j) ≤ Np(f − χn) + Np(χn − χn,j) ≤ 2ε p vì hội tụ đều trên An dẫn đến hội tụ trong L (An). Sử dụng cách cắt ngọn hàm χn cho phép ta nhận được một số kết quả thú vị từ ghi chú sau: p p q Ghi chú: Với f ∈ L , hàm χn = fχAn có tính chất: χn ∈ L ∩L với mọi q ∈ [1, ∞[. Thực q ∞ vậy, ta chỉ cần xét trường hợp f ≥ 0 và chứng tỏ χn ∈ L . (Thực vậy χn ∈ L (An) ⊂ q q q L (An) với mọi q ≥ 1 vì µ(An) < ∞, xem mục 6.8.1). Ta có χn = χAn f dẫn đến 1 Nq(χn) ≤ n(µ(An)) q < ∞ Do đó, ta có tính chất sau:
6.6 Không gian đối ngẫu 87 Tính chất: Lq ∩ Lp là trù mật trong Lp với mọi q thỏa mãn 1 ≤ q 1, bằng ||g||∞ nếu p = 1 nếu độ đo là σ − hữu hạn. Hệ quả: Dưới các điều kiện của định lý, ta có thể khẳng định rằng: Lq ⊂ (Lp)0, 1 1 L∞ ⊂ (L1)0, + = 1 và p q Z q ||g||q = sup f · g dµ (g ∈ L ). ||f||p≤1 E Ghi chú: Trong trường hợp p = 1, tính chất trên còn đúng với một độ đo có tính chất "tập con" có độ đo hữu hạn (xem BT 9). Đây thậm chí còn là điều kiện cần và đủ. Bây giờ, ta xét bao hàm thức ngược lại. Xét (E, B, µ): Định lý 6.16. (Định lý Riesz) Cho 1 ≤ p < ∞ và µ là một độ đo σ − hữu hạn trên B, khi đó mọi dạng (phiếm hàm) tuyến tính liên tục trên Lp có dạng: Z f 7−→ f · g dµ E 1 1 Trong đó g ∈ Lq được xác định một cách duy nhất với + = 1 . p q Ghi chú:
6.7 Quan hệ giữa các Lp 88 1. Trường hợp 1 ≤ p ≤ 2, ta có thể bỏ qua định lý Radon Nikodym bằng cách sử dụng định lý Riesz cho không gian Hilbert. 2. Trường hợp 1 1 và áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder: p Z Z 1 Z 1 Z p r 0 r0 q p p pr r q 1− q |f| dµ ≤ |f| dµ · χE dµ ≤ |f| dµ · (µ(E)) E E E E Suy ra 1 1 p − q ||f||p ≤ ||f||q · [µ(E)] Trường hợp q = ∞, ta có ||f||p ≤ µ(E) · ||f||∞. Ta nhớ lại rằng trong trường hợp này: ||f||∞ = lim ||f||q q→∞
6.8 Bài tập chương 6 89 6.7.2 Trường hợp µ không bị chặn Trong trường hợp đó, tình hình có thể hoàn toàn khác. Ví dụ E = N, B = P(N), µ là độ đo đếm. Các không gian tương ứng là lp. Ta chứng minh rằng lp ,→ lq với p 0, q > 0 và + = . p q r r Chứng minh rằng: fg ∈ L và Nr(fg) ≤ Np(f) · Nq(g) k X 1 Bài 2. Nếu {p } là một dãy các số dương sao cho: = 1 và {f }k là một dãy hàm j p j j=1 j=1 j pj 1 đo được sao cho fj ∈ L , ∀j. Chứng minh rằng f1f2 ··· fk ∈ L và ||f1 ··· fk||1 ≤ k Q ||fj||pj j=1 Bài 3. Chứng minh rằng nếu 1 ≤ p 2 }. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tập Ek có độ đo hữu hạn. Hướng dẫn: dùng phản 0 chứng dẫn đến tồn tại các tập Ek sao cho: k−1 0 0 1 0 1 Ek ⊂ Ek − ∪ Ej, ≤ λ(Ek) ≤ , k ∈ N j=1 2k−1 2k dẫn đến mâu thuẫn.
6.8 Bài tập chương 6 90 ˆ (b) Suy ra kết quả sau: Để một hàm f ∈ M(R, BR, λ) là khả tích địa phương (tức là: khả tích trên mọi tập có độ đo hữu hạn) cần và đủ là f có dạng: f = g + h, 1 ˆ ∞ ˆ trong đó g ∈ L (R, BR, λ) và h ∈ L (R, BR, λ). Bài 5. Bất đẳng thức Jensen: Cho f nhận giá trị thực, đo được và A ∈ B. Nếu f ≥ α và nếu Φ lồi với x ≥ α. Chứng minh rằng: 1 Z 1 Z Φ f dµ ≤ Φ(f) dµ µ(A) µ(A) A A Hướng dẫn: sử dụng các bất đẳng thức sau đúng với Φ lồi và u > β > α: Φ(u) − Φ(β) Φ(u) − Φ(α) Φ(β) − Φ(α) ≥ ≥ u − β u − α β − α Bài 6. Ta nói rằng một không gian Banach là lồi đều nếu: với mọi ε ∈]0, 2], tồn tại x + y δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y, ||x|| = ||y|| = 1, ||x − y|| ≥ ε ⇒ ≤ 1 − δ. 2 Cho các bất đẳng thức Clarkson: p p f + g f − g 1 p 1 p + ≤ ||f||p + ||g||p nếu p ≥ 2 2 p 2 p 2 2 1 p0 p0 f + g f − g h1 p 1 pi p−1 1 1 + ≤ ||f||p + ||g||p nếu 1 < p < 2, + = 1 2 p 2 p 2 2 p p0 Chứng minh rằng các Lp (1 < p < ∞) là lồi đều. p Bài 7. Cho 1 < p < 2 và f1 ··· fk ∈ L . Khi đó tồn tại một dãy εj = ±1, j = 1, 2, , k sao cho: k p X p ||ε1f1 + ··· εkfk||p ≤ ||fj||p j=1 Hướng dẫn: (suy luận theo cách truy hồi và sử dụng bất đẳng thức Clarkson). Chứng minh trực tiếp rằng bất đẳng thức này còn đúng với p = 2 và ta cũng có một dãy 0 εj = ±1, j = 1, 2, , k sao cho: 0 0 2 2 2 ||ε1f1 + ··· εkfk||2 ≥ ||f1||2 + ··· + ||fk||2 p Bài 8. Một dãy {fn} của các hàm trong L (E, B, µ) (1 < p < ∞) gọi là hội tụ yếu về f trong Lp khi: Z Z q 1 1 lim fng dµ = fg dµ, ∀g ∈ L , + = 1 n→∞ p q E E p Hội tụ theo chuẩn ||.||p trong L gọi là hội tụ mạnh. (a) Chứng minh rằng sự hội tụ mạnh của một dãy kéo theo hội tụ yếu. Để nghiên p 2 ˆ cứu mệnh đề đảo hãy xét phản ví dụ sau: L = L ([0, 2π], B[0,2π], λ), λ là độ đo Lebesgue và dãy fn : x → fn(x) = sin nx.
6.8 Bài tập chương 6 91 (b) Trong trường hợp p = 2. Chứng minh rằng điều kiện sau dẫn đến hội tụ mạnh: yếu (i) fn −−→ f (n → ∞). (ii) ||fn||2 → ||f||2 (n → ∞). Bài 9. (a) Ta đã thấy rằng phiếm hàm tuyến tính định nghĩa trên L1 bởi: Z f 7−→ Φ(f) = fg dµ, g ∈ L∞ E 1 là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L có chuẩn bằng ||g||∞ nếu µ là σ − hữu hạn. (b) Bây giờ, ta xét trong hoàn cảnh tổng quát hơn: giả sử rằng µ có tính chất tập con có độ đo hữu hạn, tức là: ∀A ∈ B, µ(A) > 0, ∃B ∈ B,B ⊂ A với 0 ||g||∞ − ε} như chứng minh định lý 6.11. (β) Chứng minh rằng nếu không có tính chất (F), ta có thể xác định một hàm ∞ R 1 g ∈ L sao cho: ||g||∞ = 1 và fg dµ = 0 với mọi f ∈ L . E ˆ Bài 10. Trong không gian có độ đo (R, BR, λ). (a) Giả sử {fn} là một dãy hàm định nghĩa trên R với n ≥ 1 bởi: nα f (x) = , β > 1. n (|x| + n)β p Chứng minh bằng cách tính ||fn||p rằng fn ∈ L , p ∈ [1, +∞] và với mọi α. (b) Chứng minh rằng với mọi γ, các hàm gn định nghĩa trên R bởi: γ −n|x| p gn(x) = n · e ∈ L , ∀p ∈ [1, ∞] (c) Suy từ (a) và (b) rằng nếu 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, các topo cảm sinh lên Lp ∩ Lq bởi topo của Lp và Lq là không so sánh được.
Chương 7 Các dạng hội tụ Ta cố định không gian xác xuất (E, B, µ). 7.1 Hội tụ µ − hầu đều 7.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 7.1. Ta nói rằng {fn} hội tụ µ − hầu đều trên E về f nếu với mọi ε > 0, c tồn tại Aε ∈ B với µ(Aε) ≤ ε sao cho {fn} hội tụ đều về f trên CAε = Aε. Ta viết {fn} hội tụ µ − hđ hay lim fn = f µ − hđ. n→∞ Chú ý là: hội tụ µ − hđ không phải là hội tụ đều ngoài một tập có độ đo không. Xem ví dụ sau: fn = n · 1h i 1 1 n , 2n fn → 0 µ − hđ trên R nhưng không có một tập µ − không để {fn} hội tụ đều ngoài tập đó. Hệ quả trực tiếp: • Hội tụ đều kéo theo hội tụ µ − hđ. • Hội tụ µ − hđ kéo theo hội tụ µ − hkn. Nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. c ∞ c A = ∩n≥1A 1 , µ(A) = 0, w ∈ A ⇔ w ∈ ∪n=1A 1 hay là tồn tại n ≥ 1 sao cho n n c n→∞ w ∈ A 1 ⇒ fn(w) −−−→ f(w). n 7.1.2 Định lý Egoroff Định lý 7.1. (Định lý Egoroff) Nếu µ là bị chặn và nếu {fn} hội tụ µ − hkn về f thì {fn} hội tụ µ − hđ về f. Chứng minh. Có thể giả thiết fn → f khắp nơi trên E. Cho K là một số tự nhiên cố định và 1 Am ∩ {x : |fn(x) − f(x)| m k
7.2 Hội tụ theo độ đo 93 ∞ ∞ ∞ {Am} là một dãy tăng và ∪ Am = E. Thật vậy vì ∪ Am ⊂ E, còn cm ∪ Am ⊃ E. m=1 m=1 m=1 1 x ∈ E ⇒ f (x) −−−→n→∞ f(x). Như vậy tồn tại n sao cho với n ≥ n ⇒ |f (x) − f(x)| 0, tồn tại mk sao cho n ≥ mk ⇒ sup |fn(x) − f(x)| 0, ∀ε > 0 tồn tại n0 sao cho: n, m ≥ n0 suy ra µ({x : |fn(x) − fm(x)| ≥ α}) ≤ ε (ii) Dãy {fn} gọi là hội tụ theo độ đo về một hàm f đo được khi và chỉ khi fn đo được, ∀α > 0: lim µ({x : |fn(x) − f(x)| ≥ α}) = 0. n→∞ Tính chất trực tiếp:
7.2 Hội tụ theo độ đo 94 • Hội tụ đều kéo theo hội tụ theo độ đo. • Hội tụ µ − hkn nói chung không kéo theo hội tụ theo độ đo. (Chỉ cần xét ví dụ trước: fn = 1[n,n+1], fn → 0 khắp nơi, tuy nhiên {fn} không hội tụ về 0 theo độ đo). Đồng thời hội tụ theo độ đo cũng không kéo theo hội tụ µ − hkn. Xem ví dụ sau: k k fn = 1[ j , j+1 ], với n = j + 2 , j = 1, 2, , 2 − 1, k ∈ N. 2k 2k 7.2.2 Tính chất a) Nếu {fn} hội tụ theo độ đo về f thì giới hạn này là duy nhất µ − hkn. Giả sử tồn tại f và g, khi đó: |f(x) − g(x)| ≤ |f(x) − fn(x)| + |fn(x) − g(x)| α α α Suy ra A(α) = {x : |f(x)−g(x)| ≥ α} ⊂ An( 2 )∪Bn( 2 ), với An( 2 ) = {x : |f(x)−fn(x)| ≥ α α α 2 } và Bn( 2 ) = {x : |fn(x) − g(x)| ≥ 2 }, với mọi α > 0. Như vậy µ(A(α)) = 0 với mọi α > 0, nên f = g µ − hkn. b) Mọi dãy hội tụ về f theo độ đo là một dãy Cauchy theo độ đo. Ta có thể giả thiết α α f = 0. Đặt An,m(α) = {x : |fn(x) − fm(x)| ≥ α}. Khi đó An,m(α) ⊂ An( 2 ) ∪ Am( 2 ) bằng α α cách đặt: An( 2 ) = {x : |fn(x)| ≥ 2 }. Do |fn(x) − fm(x)| ≤ |fm(x)| + |fn(x)| nên suy ra α α µ(A ) ≤ µ A + µ A ⇒ dpcm n,m n 2 m 2 c) Nếu {fn} là một dãy Cauchy theo độ đo và nếu tồn tại một dãy con {fnk } hội tụ theo độ đo về một hàm f đo được. Khi đó dãy {fn} hội tụ theo độ đo về f. Kỹ thuật chứng minh giống như ở trên, sử dụng: |fn(x) − f(x)| ≤ |fn(x) − fnk (x)| + |fnk (x) − f(x)| 7.2.3 Không gian metric của sự hội tụ theo độ đo a) Ánh xạ f, g ∈ M 7−→ d(f, g) = inf{δ : δ > 0 và µ(A(δ)) ≤ δ}, trong đó A(δ) = {x : |f(x) − g(x)| ≥ δ}, định nghĩa một nửa khoảng cách trên M (xem BT 2). Bằng cách . chuyển qua không gian thương M Nµ (f ∼ g ⇔ f − g ∈ Nµ), ta nhận được một khoảng cách và một không gian metric ⇒ đpcm. b) Nếu µ là một độ đo bị chặn, có thể chứng minh rằng: Z |f − g| (f, g) 7−→ d(f, g) = dµ 1 + |f − g| E cũng định nghĩa một khoảng cách tương đương đều với khoảng cách trước. (Xem BT 3). Định lý 7.2. Mọi dãy Cauchy theo độ đo là hội tụ. Nói cách khác, không gian metric của sự hội tụ theo độ đo là đầy đủ.
7.2 Hội tụ theo độ đo 95 Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại một dãy con {fnk } hội tụ theo độ đo về một hàm f đo được. (i) Tồn tại một dãy con {gk} hội tụ µ − hkn về một hàm f đo được. Với mọi k, tồn ∞ 1 1 tại {gk} sao cho µ(Ak) ≤ với Ak = {x : |gk+1(x) − gk(x)| ≥ k }. Xét ∪ Aj = Bk ⇒ 2k 2 j=k 1 µ(B ) ≤ với i ≥ j ≥ k và x∈ / B , ta nhận được bất đẳng thức: k 2k−1 k i−1 X 1 1 1 |g (x) − g (x)| ≤ |g (x) − g (x)| ≤ + ··· + ≤ (1) i j p+1 p 2i−1 2j 2j−1 p=j ∞ Đặt B = ∩ Bk (µ(B) = 0 vì µ(B) = lim µ(Bk) = 0). Vậy {gk(x)} là một dãy Cauchy với 1 k→∞ mọi x ∈ CB. Đặt f như sau: ( lim g (x) nếu x ∈ CB f(x) = k 0 nếu x ∈ B Suy ra {gk} hội tụ về f µ − hkn, f đo được. (ii) {gk} hội tụ µ − hầu đều về f. Suy từ bất đẳng thức (1): 1 1 |g (x) − f(x)| ≤ ≤ j 2j−1 2k−1 1 Suy ra {g } hội tụ đều về f trên CB với µ(B ) ≤ ⇒ đpcm. i k k 2k−1 1 (iii) {g } hội tụ theo độ đo về f. Chọn k sao cho µ(B ) ≤ ≤ inf(α, ε). Với j ≥ k, k k 2k−1 ta có: n 1 o {x : |f(x) − g (x)| ≥ α} ⊂ x : |f(x) − g (x)| ≥ j j 2k−1 Suy ra µ({x : |f(x) − gj(x)| ≥ α}) ≤ µ(Bk) < ε, ∀j ≥ k ⇒ dpcm. Hệ quả: Ta suy từ các điểm (i) và (ii) trong chứng minh trên kết quả sau: • Hội tụ theo độ đo suy ra hội tụ µ − hkn của một dãy con (Định lý Riesz). • Hội tụ theo độ đo suy ra hội tụ µ − hđ của một dãy con (Không có khả năng có sự hội tụ của dãy. Xem phản ví dụ mục 7.2.1). 7.2.4 Hội tụ theo độ đo và µ − hầu đều Định lý 7.3. Nếu một dãy {fn} của các hàm đo được, hội tụ µ − hầu đều về f thì nó hội tụ theo độ đo. Ngược lại nếu một dãy hội tụ theo độ đo thì tồn tại một dãy con hội tụ µ − hầu đều. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh phần đầu. Tồn tại Aε sao cho µ(Aε) ≤ ε và {fn} hội tụ đều về f trên CAε, nên với n ≥ n0, tập hợp {x : |fn(x) − f(x)| ≥ α} được chứa trong Aε và độ đo của nó nhỏ hơn ε.
7.3 Bài tập chương 7 96 7.2.5 Hội tụ theo độ đo và µ − hầu đều Định lý 7.4. Nếu một dãy {fn} hội tụ theo độ đo về f thì tồn tại một dãy con hội tụ µ − hkn về f. Ngược lại nếu {fn} hội tụ µ − hkn về f và nếu µ(E) 0 sao cho: ||fnk − f||p > ε với k = 1, 2, Vì {fnk } là một dãy con, nó hội tụ theo độ đo về f ⇒ tồn tại dãy con 0 0 p {gk} của {fnk } hội tụ µ − hkn về f. Vậy {gk} hội tụ về f trong L (định lý hội tụ bị trị p 0 0 làm già trong L ). Nhưng điều này mâu thuẫn với ||gk − f||p > ε với mọi k . Vậy {fn} hội tụ về f trong Lp. 7.3 Bài tập chương 7 Bài 1. Chứng minh rằng định nghĩa của sự hội tụ theo độ đo của dãy {fn} về f tương đương với định nghĩa sau: ∀ε > 0, ∃n0 sao cho n ≥ n0 ⇒ µ(Aε) 0 : µ(Aδ) ≤ δ) δ
7.3 Bài tập chương 7 97 trong đó Aδ = {x : |f(x) − g(x)| ≥ δ}. Chứng minh rằng d là một nửa metric trên M. Từ đó suy ra, ta có thể xây dựng một không gian metric bằng cách chuyển qua không gian thương. Không gian này là không gian metric của sự hội tụ theo độ đo. Bài 3. Giả sử (E, B, µ) là một không gian xác xuất (µ(E) = 1), f là một hàm số đo được và Φ là một hàm Borel dương định nghĩa trên R. (a) Ta giả sử Φ là một hàm chẵn và không giảm trên [0, ∞[. Chứng minh bất đẳng thức kép với mọi α ≥ 0: ∗ ∗ R Φ(f(x)) dµ − Φ(α) R Φ(f(x)) dµ E E ≤ µ(Aα) ≤ N∞(Φ(f)) Φ(α) trong đó Aα = {x : |f(x)| ≥ α}. Chỉ ra bất đẳng thức kép khi E có độ đo hữu hạn. (b) Nếu f ∈ Lp, p > 0. Chứng minh rằng: p p α µ(Aα) ≤ Np (f), ∀α ≥ 0. |x| Bài 4. Giả sử µ(E) < ∞, sử dụng (a) trong bài tập trên và hàm x 7−→ Φ(x) = . 1 + |x| Chứng minh tính chất sau: Không gian các lớp tương đương của M modulo theo quan hệ: f = g µ − hkn là một không gian metric đầy đủ định nghĩa bởi khoảng cách: Z |f − g| d(f,e g) = dµ e 1 + |f − g| (fe và ge là các lớp tương đương của f và g). Hội tụ trong không gian này là tương đương với hội tụ theo độ đo. Bài 5. Cho không gian ([0, 1], Bb [0,1], λ), ta xét dãy hàm: ( i m−1 m i 1 nếu x ∈ n ; n , m = 1, 2, , n; n = 1, 2, fn,m(x) = 0 ngược lại p Nghiên cứu sự hội tụ của dãy {fn,m} này trong L , theo độ đo, λ − hkn, λ − hđ. p p 1 Bài 6. Cho L = L ( , Bb , λ), 1 < p < ∞. Ta xét fn = √ · 1[1,en]. Chứng minh rằng R R n 1 f ∈ Lp và f hội tụ đều trên . Với sự trợ giúp của hàm g : x 7−→ g(x) = · 1 . n n R x [1,∞] p Chứng minh rằng {fn} không hội tụ yếu trong L . Chứng minh rằng trong trường hợp µ bị chặn: sự hội tụ đều kéo theo hội tụ yếu. p p Bài 7. L = L ([0, 1], Bb [0,1], λ), fn = n · 1 1 . Chứng minh rằng fn → 0 λ − hkn và theo [0, n ] độ đo, fn không hội tụ yếu về 0. p Bài 8. Chứng minh định lý sau: {fn} ⊂ L (E, B, µ), 1 < p < ∞ thỏa mãn:
7.3 Bài tập chương 7 98 (i) ||fn||p ≤ M, M là hằng số hữu hạn. n→∞ (ii) fn −−−→ f µ − hkn. yếu p Khi đó fn −−→ f trong L . 0 Bài 9. Chứng minh định lý tương tự bài tập 8 bằng cách thay (ii) bởi (ii) : fn → f theo độ đo. p p Bài 10. L = L ([a, b], Bb [a,b], λ), 1 < p < ∞, a và b hữu hạn. Chứng minh rằng dãy p p {fn} ⊂ L hội tụ yếu về f trong L khi và chỉ khi: (i) ||fn|| ≤ M. Z Z (ii) fn(x) dλ → f(x) dλ, ∀y ∈ [a, b]. [a,y] [a,y]
Chương 8 Độ đo tích. Độ đo ảnh. Độ đo cảm sinh 8.1 Độ đo tích. Định nghĩa và tính chất 8.1.1 Nhập môn Xét hai không gian đo được (E1, B1), (E2, B2), với Bi là các σ − đại số. E1 × E2 trang bị σ − đại số tích B = B1 ⊗ B2. B là σ − đại số sinh bởi các tập có dạng A1 × A2, Ai ∈ Bi, i = 1, 2. (E1, B1, µ1), (E2, B2, µ2) là hai không gian có độ đo tương ứng. Rõ ràng trên (E1 × E2, B1 ⊗ B2), ta có thể định nghĩa nhiều độ đo khác nhau nhưng sẽ thú vị hơn nếu xét độ đo mà có thể xây dựng từ µ1 và µ2 khi điều này xảy ra và nó cho phép tổng quát hóa các tính chất cơ bản của tích phân bội. Ta sẽ hoán vị thứ tự lấy tích phân trước tiên. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất một độ đo, ký hiệu là µ1 ⊗ µ2 sao cho ∀A ∈ B ta có : Z Z Z Z Z 1A(x)d(µ1 ⊗ µ2) = dµ1 1A dµ2 = dµ2 1A dµ1 E1×E2 E1 E2 E2 E1 khi µ1 và µ2 là σ − hữu hạn. Ký hiệu: x ∈ E1, y ∈ E2, A ∈ B, ta gọi nhát cắt của A bởi x (hay bởi y) là tập hợp: Ax = {y :(x, y) ∈ A} (Ay = {x :(x, y) ∈ A}) 8.1.2 Định nghĩa và tính chất của µ1 ⊗ µ2 Định lý 8.1. Giả sử µ1 và µ2 là hai độ đo σ − hữu hạn trên B1 và B2. Khi đó với mọi A ∈ B, ta có: (i) Ax ∈ B2 với mọi x ∈ E1, Ay ∈ B1 với mọi y ∈ E2. (ii) x 7−→ µ2(Ax) là hàm đo được của x (B1 -đo được). y 7−→ µ1(Ay) là hàm đo được của y (B2 - đo được). ∗ ∗ Z Z (iii) µ2(Ax) dµ1 = µ1(Ay) dµ2. E1 E2
8.1 Độ đo tích. Định nghĩa và tính chất 100 n Chứng minh. Bước 1. Giả sử µ1 và µ2 là hữu hạn. Đặt A = ∪ (Aj × Bj), Aj ∈ E1, j=1 Bj ∈ E2, Aj × Bj từng đôi không giao nhau. Rõ ràng n X 1A(x, y) = 1Aj (x) · 1Bj (y) j=1 Do đó n X 1Ax (y) = 1Aj (x) · 1Bj (y) ⇒ 1Ax là B2 -đo được. j=1 Như vậy ∗ n Z X µ2(Ax) = 1Ax dµ2 = 1Aj (x) · µ2(B) j=1 E2 Suy ra x 7−→ µ2(Ax) là một hàm B1 đo được và ∗ n Z X µ2(Ax) dµ1 = µ1(Aj) · µ2(Bj) j=1 E1 Bằng cách đổi vai trò của x và y ta nhận được kết quả tương tự: ∗ n ∗ Z X Z µ1(Ay) dµ2 = µ1(Aj) · µ2(Bj) = µ2(Ax) dµ1 j=1 E2 E1 Để kết luận phần này, ta chỉ ra rằng định lý đúng đối với µ1 và µ2 hữu hạn và đối với các tập của σ − đại số C tạo bởi các hợp hữu hạn các tập có dạng Aj × Bj, Aj ∈ B1, Bj ∈ B2. Ta ký hiệu P là tập hợp các tính chất (i), (ii), (iii) của định lý. (∗) Họ các tập của B có tính chất P là một lớp đơn điệu. Giả sử {An} là một họ đếm ∞ ∞ được tăng các hàm An có tính chất P sao cho: A = ∪ An. Khi đó Ax = ∪(An)x, {(An)x} là n=1 1 họ đếm được tăng. {(An)x} là B2 - đo được ⇒ Ax là B2 - đo được. µ2(Ax) = lim µ2[(An)x] n→∞ ⇒ x 7−→ µ2(Ax) là B1 - đo được. Hơn nữa ∗ ∗ ∗ Z Z Z lim µ2(An)x dµ1 = lim µ2[(An)x] dµ1 = µ2(Ax) dµ1 n→∞ n→∞ E1 E1 E1 theo định lý Beppo -Levi hội tụ đơn điệu. Tương tự cho A2, ta có: ∗ ∗ Z Z µ2(A) dµ1 = µ1(Ay) dµ2 E1 E2 Vậy A có tính chất P. (∗∗) Trường hợp một dãy (đếm được) giảm, ta có chứng minh tương tự bằng cách áp ∗ Z dụng định lý hội tụ cho dãy giảm. (Tích phân thứ nhất µ1[(A1)y] dµ2 là hữu hạn vì µ1 E1
8.1 Độ đo tích. Định nghĩa và tính chất 101 và µ2 là các độ đo hữu hạn). ⇒ Tính chất P đúng cho mọi tập thuộc B vì M(C) = σ(C) = B. ∞ ∞ Bước 2. µ1 và µ2 là σ−hữu hạn. Ta cần chứng minh E1 = ∪ Fk, E2 = ∪ Gk với µ1(Fk) 1 1 ∞ và µ2(Gk) hữu hạn, {Fk}, {Gk} tăng. Đặt C = ∩ Cn, {Cn} là dãy giảm. Trong không n=1 gian Fk × Gk, tính chất trên đúng với mọi tập Cn ∩ (Fk × Gk), nhưng {Cn ∩ (Fk × Gk)} giảm về {C ∩ (Fk × Gk)} ⇒ Kết quả được chứng minh cho {C ∩ (Fk × Gk)} nên đúng cho C vì C là giới hạn của dãy C ∩ (Fk × Gk). Ghi chú: Ví dụ sau chứng minh rằng giả thiết µ1 và µ2 σ − hữu hạn là cần thiết. Giả sử (R, Bb R, λ) và (R, P(R), µd), µd là độ đo đếm. C = {(x, y): x = y}, C ∈ BR ⊗ P(R). Cx = {(x, x)}, Cy = {(y, y)}, do Cx và Cy chỉ chứa một điểm duy nhất nên: ∗ ∗ Z Z µd(Cx) dλ và λ(Cx) dµd = 0. R R Trong phần tiếp theo, ta giả thiết µ1 và µ2 σ − hữu hạn. Định lý 8.2. (Định lý tồn tại và định nghĩa) Tồn tại một độ đo duy nhất trên k k P B1 ⊗ B2 sao cho độ đo của ∪(Aj × Bj) bằng µ1(Aj) · µ2(Bj) với µ1 và µ2 là độ đo σ 1 j=1 - hữu hạn. Độ đo này gọi là độ đo tích của µ1 và µ2 trên B và ký hiệu là µ1 ⊗ µ2, thỏa mãn tính chất: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Z Z Z Z Z 1E(x, y) d(µ1 ⊗ µ2) = dµ2 1E dµ1 = dµ1 1E dµ2 , ∀E ∈ B. E1×E2 E2 E1 E1 E2 ∗ ∗ Z Z Chứng minh. Sự tồn tại: Giả sử E ∈ B, E 7−→ µ2(Ex) dµ1 = µ1(Ey) dµ2 (theo E1 E2 định lý trước). Quan hệ này xác định một độ đo, tính σ − cộng tính suy từ định lý Beppo - Levi. Tính duy nhất: Nếu tồn tại hai độ đo υ1 và υ2 thỏa mãn hai đẳng thức sau: k k X k υ1(∪(Aj × Bj)) = µ1(Aj) · µ2(Bj) = υ2(∪(Aj × Bj)) 1 1 j=1 Chúng trùng nhau trên σ −vành C có đơn vị, tạo bởi các hợp hữu hạn các tập có dạng Aj × Bj. Vì µ1 và µ2 là σ − hữu hạn và υ1, υ2 cũng thế nên theo định lý Hahn, υ1 và υ2 trùng nhau trên σ − đại số sinh bởi C. Ta ký hiệu độ đo này là µ1 ⊗ µ2 trên B, định nghĩa một cách duy nhất và sự tồn tại được chứng minh.
8.2 Tích phân đối với độ đo tích 102 Tính chất: ∗ ∗ ∗ Z Z Z 1E(x, y) d(µ1 ⊗ µ2) = (µ1 ⊗ µ2)(E) = µ2(Ex) dµ1 = µ1(Ey) dµ2 E1×E2 E1 E2 với ∗ ∗ ∗ Z Z Z 1E dµ2 dµ1 = µ2(Ex) dµ1 E1 E2 E1 và ∗ ∗ ∗ Z Z Z 1E dµ1 dµ2 = µ1(Ey) dµ2 E2 E1 E2 Ghi chú: (*) Ta vừa chứng minh µ1 ⊗ µ2 là σ − hữu hạn. ( ) Nếu µ1 và µ2 là đủ thì µ1 ⊗ µ2 chưa chắc đủ trên B. ( ) Nếu ta có λ⊗λ, λ là độ đo Lebesgue trên Bb R, ta không tự động có (Bb R ×Bb R, λ⊗λ) ≡ 2 (Bb R , λ(2)). Thật ra ta chỉ có bao hàm thức: không gian thứ nhất nằm trong cái thứ hai. 8.2 Tích phân đối với độ đo tích Định lý 8.3. (Định lý Fubini) Giả sử f là một hàm dương, (x, y) 7−→ f(x, y) B - đo đươc. Khi đó: ∗ R (i) Với mọi x ∈ E1: y 7−→ f(x, y) là một hàm B2 - đo được và f(x, y) dµ2 là một E2 hàm B1 đo được. ∗ R (ii) Với mọi y ∈ E2: x 7−→ f(x, y) là một hàm B1 - đo được và f(x, y) dµ1 là một E1 hàm B2 đo được. ∗ ∗ ∗ Z Z Z Z Z (iii) f(x, y)d(µ1 ⊗ µ2) = dµ1 f(x, y) dµ2 = dµ2 f(x, y)dµ1 E1×E2 E1 E2 E2 E1 Theo định lý trước, mệnh đề này đúng với các hàm chỉ tiêu của các tập B − đo được ⇒ đúng với hàm bậc thang đo được, rồi qua giới hạn ⇒ đúng với các hàm B − đo được dương. 1 Bây giờ, ta quan tâm đến các hàm khả tích. Ta xét L (E1 × E2, B, µ1 ⊗ µ2) và ta ký 1 hiệu là L (µ1 ⊗ µ2). 1 Định lý 8.4. (Định lý Fubini) Giả sử f ∈ L (µ1 ⊗ µ2). Khi đó
8.3 Độ đo ảnh 103 ∗ Z 1 1 (i) f(x, y) ∈ L (µ2) µ1 − hkn và f(x, y) dµ2 ∈ L (µ1). E2 ∗ Z 1 1 (ii) f(x, y) ∈ L (µ1) µ2 − hkn và f(x, y) dµ1 ∈ L (µ2). E1 (iii) Hơn nữa Z Z Z Z Z f(x, y) d(µ1 ⊗ µ2) = dµ1 f(x, y)dµ2 = dµ2 f(x, y)dµ1 E1×E2 E1 E2 E2 E1 Chỉ cần xét f + và f − theo định lý trên. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Z Z Z Z Z + + + f d(µ1 ⊗ µ2) = dµ1 f dµ2 = dµ2 f dµ1 E1×E2 E1 E2 E2 E1 Z Z + 1 + 1 + 1 do f ∈ L (µ1⊗µ2), số hạng thứ nhất hữu hạn ⇒ f dµ2 ∈ L (µ1) và f dµ1 ∈ L (µ2). E2 E1 + 1 + 1 + − Suy ra f ∈ L (µ1) µ2 − hkn theo y và f ∈ L (µ2) µ1 − hkn theo x. Do f = f − f ⇒ đpcm. Hệ quả: kết quả sau hữu ích trong thực hành: Giả sử f là B - đo được, nếu một trong ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Z Z Z Z Z 3 tích phân sau hữu hạn |f| d(µ1 ⊗ µ2); dµ1 |f| dµ2; dµ2 |f| dµ1 thì hai E1×E2 E1 E2 E2 E1 tích phân còn lại cũng thế và ta có đẳng thức: Z Z Z Z Z f d(µ1 ⊗ µ2) = dµ1 f dµ2 = dµ2 f dµ1 E1×E2 E1 E2 E2 E1 Ghi chú: (∗) Các định lý 8.3 và 8.4 còn đúng đối với σ − đại số Bb và độ đo µ\1 ⊗ µ2 là các bổ sung của B và µ1 ⊗ µ2, khi µ1 và µ2 là đủ. (BT 3 và 4). Ghi chú này rất quan trọng trong thực hành để áp dụng độ đo Lebesgue trên R2 (tổng quát hơn trong Rn). (∗∗) Trong trường hợp một hàm liên tục bị chặn trên một tập mở bị chặn, có biên chính quy trong R2 thì tích phân Riemann trùng với tích phân Lebesgue. 8.3 Độ đo ảnh 8.3.1 Mở đầu Xét hai không gian (E1, B1), (E2, B2), µ1 là độ đo trên B1, π :(E1, B1) 7−→ (E2, B2) là ánh xạ đo được. Xét ánh xạ: −1 A 7−→ µ(π (A)),A ∈ B2 −1 −1 đây là một độ đo trên B2 theo quan hệ: π (∪ An) = ∪ π (An). n n
8.3 Độ đo ảnh 104 Định nghĩa 8.1. Giả sử (E1, B1), (E2, B2) là hai không gian khả xác xuất, µ1 là độ đo trên B1, π :(E1, B1) 7−→ (E2, B2) là ánh xạ đo được. Độ đo ảnh của độ đo µ1 là độ đo µ2 định nghĩa trên B2 bởi: −1 µ2(A) = µ1(π (A)),A ∈ B2 và ký hiệu là π(µ1). Tính chất: π2(π1(µ1)) = (π2 ◦ π1)(µ1). Suy từ định nghĩa và từ quan hệ: −1 −1 −1 π1 (π2 (A)) = (π2 ◦ π1) (A) 8.3.2 Tích phân đối với độ đo ảnh Định lý 8.5. Trong các điều kiện của định nghĩa ở trên nếu f : E2 → R+ là B2 -đo được, thì f ◦ π là B1 -đo được trên (E1, B1) và ta có: ∗ ∗ Z Z f dµ2 = f ◦ π dµ1 E2 E1 Chứng minh. Để chứng minh, ta dùng kỹ thuật đã sử dụng khi chứng minh định lý Fubini trong mục 8.2: (i) Đẳng thức đúng đối với hàm f có dạng hàm chỉ tiêu 1A, A ∈ B2 theo định nghĩa và quan hệ: 1A ◦ π = 1π−1(A). (ii) Do tính tuyến tính, định lý đúng cho hàm bậc thang rồi đúng cho hàm đo được do tính trù mật và định lý Beppo -Levi. Định lý 8.6. Với các điều kiện trong định nghĩa, giả sử f : E2 7−→ R là B2 - đo được. Khi đó: 1 1 (i) f ∈ L (E2, B2, µ2) khi và chỉ khi f ◦ π ∈ L (E1, B1, µ1). Z Z (ii) f dµ2 = f ◦ π dµ1. E2 E1 ∗ Z 1 Do f là đo được, f ∈ L (E2, B2, µ2) khi và chỉ khi |f| dµ2 < ∞, suy ra (i) do định E2 lý 8.5. Bằng cách viết f = f + − f −, ta suy ra (ii) sử dụng định lý 8.5.
8.4 Độ đo cảm sinh 105 8.4 Độ đo cảm sinh 8.4.1 Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 8.2. Giả sử B là một σ − đại số các tập con của E và A ∈ B, tập hợp các tập B ∈ B và B ⊂ A là một σ − đại số trên A mà ta ký hiệu là BA. Rõ ràng BA ⊂ B và hạn chế của một độ đo µ trên B lên BA là một độ đo mà ta ký hiệu là µA. BA gọi là σ − đại số cảm sinh của B lên A. µA gọi là độ đo cảm sinh của µ lên A. Tính chất: Nếu A2 ⊂ A1 ⊂ E, A1, A2 ∈ B thì µA2 = (µA1 )A2 . Để hạn chế của f lên A là thuộc vào M(A, B ; , B ) cần và đủ là f ∈ (E, B; , B ). A R R XA R R 8.4.2 Tích phân theo độ đo cảm sinh Định lý 8.7. Giả sử f : E 7−→ R+ là đo được, khi đó fA :hạn chế của f lên A thuộc vào M(A, BA; R, B ) và ta có R ∗ ∗ Z Z fA dµ = fXA dµ A E Ta cần chứng minh các tích phân bằng nhau theo phương pháp đã sử dụng trong 8.2 và 8.3 cho các định lý tương tự. Ta chỉ cần chứng minh tính chất này cho các hàm chỉ tiêu. Giả sử f = 1B trong đó B ⊂ B, B ⊂ A, ta có µA(B) = µ(B) nên: ∗ ∗ Z Z (1B)A dµA = 1B dµ ⇒ dpcm. A E Định lý 8.8. Trong các điều kiện của định nghĩa, giả sử f : E 7−→ R là đo được. Khi đó: 1 1 (i) fA ∈ L (A, BA, µA) khi và chỉ khi f1A ∈ L (E, B, µ). Z Z (ii) fA dµA = f1A dµ A E ∗ ∗ Z Z Chứng minh. (i) |fA| dµ < ∞ khi và chỉ khi |f|1A dµ < ∞ theo định lý 8.5. A E (ii) Ta dùng f = f + − f − ∗ ∗ ∗ ∗ Z Z Z Z Chú ý: Ta đã ký hiệu f dµ = f1A dµ. Ta cũng ký hiệu fA dµA bởi f dµ, Z A E A A tương tự đối với f dµ. A