Giáo trình Lý thuyết dẻo kỹ thuật (Phần 2) - Trương Tích Thiện

231 trang ngocly 1870

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lý thuyết dẻo kỹ thuật (Phần 2) - Trương Tích Thiện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_ly_thuyet_deo_ky_thuat_phan_2_truong_tich_thien.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lý thuyết dẻo kỹ thuật (Phần 2) - Trương Tích Thiện

180 Chöông 44 CAÙC QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT −−−BIEÁN DAÏNG ÑOÁI VÔÙI VAÄT LIEÄU CHAÛY DEÛO LYÙ TÖÔÛNG 4.1 GIÔÙI THIEÄU Ñoái vôùi nhieàu öùng duïng thöïc teá, moät vaät lieäu coù theå ñöôïc lyù töôûng hoùa vaø ñöôïc giaû ñònh coù hieäu öùng bieán cöùng coù theå boû qua, nghóa laø, bieåu ñoà öùng suaát −bieán daïng ñôn truïc cuûa noù vöôït qua ñieåm chaûy coù theå ñöôïc xaáp xæ bôûi ñöôøng thaúng naèm ngang, vôùi möùc öùng suaát haèng σ0 (hình 4.1a). Do ñoù, bieán daïng deûo ñöôïc giaû ñònh laø xaûy ra döôùi öùng suaát chaûy haèng. ÖÙng xöû naøy ñöôïc goïi laø öùng xöû chaûy deûo hoaøn haûo hay öùng xöû chaûy deûo lyù töôûng. Söï lyù töôûng hoùa chaûy deûo moät caùch hoaøn haûo coù theå daãn ñeán söï ñôn giaûn hoùa maïnh meõ trong vieäc phaân tích baøi toaùn keát caáu phöùc taïp. Cuï theå, ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng, nhöõng ñònh lyù giôùi haïn treân vaø döôùi ñaày hieäu löïc cuûa pheùp phaân tích giôùi haïn coù theå ñöôïc thieát laäp, töø ñoù caùc phöông phaùp ñôn giaûn, tröïc tieáp, vaø hieän thöïc ñoái vôùi vieäc öôùc löôïng khaû naêng mang taûi cuûa caùc caáu truùc theo phöông caùch tröïc tieáp coù theå ñöôïc khai trieån. Caùc lyù thuyeát giôùi haïn naøy vaø nhöõng öùng duïng cuûa chuùng cho caùc baøi toaùn kyõ thuaät keát caáu seõ ñöôïc baøn ñeán trong caùc taøi lieäu rieâng. Chöông naøy chæ ñeà caäp ñeán caùc quan heä öùng suaát −bieán daïng cuûa vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng. Quan heä öùng suaát −bieán daïng trong tröôøng hôïp ñôn truïc nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.1a thì khaù ñôn giaûn. Tuy nhieân, öùng xöû toång quaùt cuûa vaät lieäu döôùi moät traïng thaùi öùng suaát phöùc taïp thì khoâng deã hieåu, bôûi vì noù bao goàm saùu thaønh phaàn öùng suaát vaø saùu thaønh phaàn bieán daïng. Do ñoù, vaán ñeà naûy sinh ra laø laøm theá naøo töø caùc moái quan heä öùng suaát −bieán daïng ñôn giaûn ñöôïc khaûo saùt töø thí nghieäm öùng suaát ñôn truïc coù theå ñöôïc toång quaùt hoùa ñeå döï ñoaùn öùng xöû cuûa vaät lieäu döôùi traïng thaùi öùng suaát toå hôïp baát kyø. Chöông naøy ñöôïc chia thaønh ba phaàn. Phaàn ñaàu, töø muïc 4.2 ñeán 4.6, ñöôïc daønh heát cho lyù thuyeát bieán daïng deûo kinh ñieån. Caùc khaùi nieäm cô baûn cuûa quy luaät
181 chaûy vaø tính loài, tính phaùp tuyeán, vaø tính ñôn nhaát ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng ñöôïc baøn luaän moät caùch chi tieát. Phaàn hai, muïc 4.7, cung caáp moät thí duï ñôn giaûn vaø giôùi thieäu moät soá ñaëc tính cuûa öùng xöû ñaøn −deûo keát caáu. Phaàn cuoái, töø muïc 4.8 ñeán 4.11, ñeà caäp ñeán caùc quan heä cô sôû ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng. Caùc daïng rieâng bieät cuûa caùc quan heä öùng suaát −bieán daïng gia soá ñoái vôùi caùc moâ hình vaät lieäu khaùc nhau cuõng ñöôïc giôùi thieäu trong phaàn naøy. 4.1.1 Giôùi haïn ñaøn hoài vaø haøm chaûy Söï toång quaùt hoùa cuûa giôùi haïn ñaøn hoài ñaõ ñöôïc baøn luaän tröôùc ñaây trong chöông hai, nôi maø giôùi haïn ñaøn hoài cuûa vaät lieäu döôùi taát caû caùc toå hôïp coù theå cuûa öùng suaát ñaõ ñöôïc ñònh nghóa nhö laø moät haøm chaûy theo öùng suaát σij döôùi daïng: f( σij ) = F( σij ) − k = 0 (4.1) YÙ nghóa cuûa haøm chaûy naøy coù theå ñöôïc hieåu toát nhaát theo caùch hình hoïc nhö laø moät sieâu maët trong khoâng gian öùng suaát. Ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng, haøm chaûy ñöôïc giaû thieát giöõ khoâng ñoåi. Do ñoù, thoâng soá k trong phöông trình (4.1) laø haèng soá, vaø sieâu maët chaûy ñöôïc giöõ coá ñònh trong khoâng gian öùng suaát (hình 4.1b). σ dσij , ñaët taûi Ñaët taûi σij σ0 dσij , caát taûi σij Caát taûi Ñaøn hoài ε F( σij ) < k Beà maët chaûy F( σij ) = k a) b) Hình 4.1 Moät vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng a) Quan heä öùng suaát −bieán daïng ñôn truïc b) Söï bieåu dieãn hình hoïc cuûa maët chaûyvaø tieâu chuaån ñaët taûi vaø caát taûi 4.1.2 Tieâu chuaån ñaët taûi vaø caát taûi Bieán daïng deûo xaûy ra vôùi ñieàu kieän laø ñieåm öùng suaát ôû treân beà maët chaûy. Ñeå duy trì chaûy deûo, traïng thaùi öùng suaát phaûi giöõ nguyeân treân beà maët chaûy. Ñieàu kieän naøy ñöôïc goïi laø “ ñaët taûi ”. Traùi laïi, traïng thaùi öùng suaát phaûi giaûm döôùi beà
182 maët chaûy; trong tröôøng hôïp naøy, khoâng coù bieán daïng deûo xaûy ra nöõa vaø taát caû caùc bieán daïng gia taêng laø ñaøn hoài. Ñieàu kieän naøy ñöôïc goïi laø “ caát taûi ”. Khaùi nieäm veà ñaët taûi vaø caát taûi ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát phöùc taïp ñöôïc hieåu roõ nhaát khi f ñöôïc xem nhö laø moät beà maët vaø σij vaø d σij nhö laø vector öùng suaát vaø vectô gia soá öùng suaát trong khoâng gian öùng suaát (hình 4.1b). Thí duï, khaûo saùt moät phaân toá vaät lieäu trong traïng thaùi chaûy deûo, ñöôïc ñaët tröng bôûi vectô σij . Neáu ta theâm vaøo traïng thaùi öùng suaát hieän haønh σij moät gia soá öùng suaát voâ cuøng beù dσij (ñaët taûi boå sung). ÖÙng suaát boå sung naøy seõ gaây ra bieán daïng deûo nöõa hay khoâng? Ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng, ñieåm öùng suaát khoâng theå di chuyeån ra beân ngoaøi maët chaûy. Chaûy deûo coù theå xaûy ra chæ khi ñieåm öùng suaát ôû treân beà maët chaûy, vaø, do ñoù, vieäc ñaët taûi boå sung dσij phaûi di chuyeån doïc theo phöông tieáp tuyeán cuûa beà maët chaûy. Vì theá, ñieàu kieän cho söï tieáp tuïc chaûy deûo, hay tieâu chuaån ñaët taûi, laø: ∂f f( σij , k) = 0 vaø df = dσij = 0 (4.2) ∂σij vaø tieâu chuaån cho söï caát taûi laø: ∂f f( σij , k) = 0 vaø df = dσij < 0 (4.3) ∂σij Nhö vaäy, haøm chaûy f( σij ) cuõng phuïc vuï nhö laø tieâu chuaån ñaët taûi ñeå bieán daïng deûo tieáp tuïc, hay nhö laø tieâu chuaån caát taûi ñeå bieán daïng ñaøn hoài. Haøm hoaëc beà maët chaûy f( σij ) cuõng ñöôïc goïi laø haøm hoaëc maët ñaët taûi . 4.1.3 Tenxô gia soá bieán daïng ñaøn hoài vaø tenxô gia soá bieán daïng deûo p Do ñoä lôùn cuûa bieán daïng deûo εij khoâng bò giôùi haïn trong quaù trình chaûy deûo, do & ñoù, ta phaûi suy nghó veà maët caùc suaát bieán daïng εij hay caùc thay ñoåi bieán daïng voâ cuøng beù, hoaëc caùc gia soá bieán daïng, d εij . Tenxô gia soá bieán daïng toång ñöôïc giaû thieát laø toång cuûa tenxô gia soá bieán daïng ñaøn hoài vaø tenxô gia soá bieán daïng deûo: e p dεij = dεij + dεij (4.4) Vì ñònh luaät Hooke hay moâ hình ñaøn hoài phi tuyeán baát kyø khaùc (xem chöông 3) coù theå ñöôïc giaû ñònh ñeå cung caáp moái quan heä caàn thieát caùc thay ñoåi öùng suaát gia soá vaø bieán daïng ñaøn, quan heä öùng suaát −bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo quy veà moät quan heä bao goàm traïng thaùi hieän haønh vaø caùc thay ñoåi gia soá cuûa öùng suaát vaø bieán daïng deûo. Moái quan heä môùi naøy ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng seõ thu ñöôïc moät caùch chi tieát trong chöông naøy.
183 4.2 THEÁ NAÊNG CHAÛY DEÛO VAØ ÑÒNH LUAÄT CHAÛY Ñònh luaät chaûy laø söï giaû ñònh ñoäng hoïc caàn thieát ñöôïc quy ñònh cho bieán daïng deûo hay chaûy deûo . Noù ñöa ra tyû soá hay caùc ñoä lôùn töông ñoái cuûa caùc thaønh phaàn p p cuûa tenxô gia soá bieán daïng deûo dεij . Do gia soá dεij coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo caùch hình hoïc bôûi moät vectô vôùi chín thaønh phaàn trong khoâng gian bieán daïng, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.2, do ñoù, ñònh luaät chaûy cuõng ñònh nghóa höôùng p cuûa vectô gia soá bieán daïng deûo dεij trong khoâng gian bieán daïng. Chuùng ta ñaõ thaáy trong chöông 3 raèng, bieán daïng ñaøn hoài coù theå thu ñöôïc moät caùch tröïc tieáp baèng caùch laáy vi phaân haøm theá naêng ñaøn hoài hay haøm maät ñoä naêng löôïng buø ñoái vôùi caùc öùng suaát σij [xem phöông trình (3.118)]. Naêm 1928, von Mises ñaõ ñeà nghò khaùi nieäm töông töï cuûa haøm theá naêng deûo , noù laø haøm voâ höôùng cuûa caùc öùng suaát, g( σij ). Theá thì caùc phöông trình chaûy deûo coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng: p ∂g dεij = dλ (4.5) ∂σij ôû ñaây d λ laø heä soá voâ höôùng döông cuûa tính tyû leä, noù khaùc khoâng chæ khi chaûy deûo xaûy ra. Phöông trình g( σij ) = constant ñònh nghóa moät beà maët ( sieâu beà maët ) cuûa theá naêng deûo trong khoâng gian öùng suaát chín chieàu. Caùc cosine chæ phöông cuûa vectô phaùp vôùi beà maët naøy ôû ñieåm σij treân beà maët thì tyû leä vôùi ñoä doác p ∂g/ ∂σij . Quan heä (4.5) haøm yù raèng vectô chaûy deûo dεij , neáu ñöôïc veõ nhö moät vectô töï do trong khoâng gian öùng suaát, ñöôïc höôùng theo phaùp tuyeán cuûa beà maët theá naêng deûo (hình 4.2). Taàm quan troïng ñaëc bieät laø tröôøng hôïp ñôn giaûn nhaát khi haøm chaûy vaø haøm theá naêng deûo truøng nhau, f = g. Do ñoù: p ∂f dεij = dλ (4.6) ∂σij vaø chaûy deûo tieán trieån theo phöông phaùp tuyeán cuûa beà maët chaûy ∂f/ ∂σij (hình 4.2). Phöông trình (4.6) ñöôïc goïi laø ñònh luaät chaûy keát hôïp bôûi vì chaûy deûo ñöôïc keát noái hay lieân keát vôùi tieâu chuaån chaûy, trong khi quan heä (4.5) vôùi f ≠ g ñöôïc goïi laø ñònh luaät chaûy khoâng keát hôïp . von Mises ñaõ duøng ñònh luaät chaûy keát hôïp cho söï khai trieån caùc quan heä öùng suaát −bieán daïng ñoái vôùi caùc kim loaïi. Nhö sau naøy seõ ñöôïc chæ roõ raèng (1) ñònh luaät chaûy keát hôïp (4.6) phuø hôïp vôùi caùc vaät lieäu chaûy deûo khoâng thuaän nghòch nôi maø coâng ñöôïc tieâu toán trong bieán daïng deûo khoâng theå ñöôïc phuïc hoài; (2)
184 ñònh luaät öùng suaát −bieán daïng cuûa vaät lieäu ñöôïc döïa treân ñònh luaät chaûy keát hôïp seõ ñöa ñeán lôøi giaûi duy nhaát cho baøi toaùn trò bieân; vaø (3) ñònh luaät chaûy keát hôïp laøm cho noù coù theå vaø thuaän tieän ñeå trình baøy roõ raøng nhöõng söï toång quaùt hoùa khaùc nhau cuûa caùc phöông trình chaûy deûo baèng caùch khaûo saùt caùc beà maët chaûy vaø ñaët taûi coù daïng phöùc taïp hôn. p ∂f dεij = λ ∂σ ij Phaúng a Trôn p dεij b Theá naêng deûo dεp σb a ij c ij σij g( σij ) = f( σij ) = const c σij p σij , εij d Goùc p dεij Hình 4.2 Söï minh hoïa hình hoïc cuûa ñònh luaät chaûy keát hôïp 4.3 ÑÒNH LUAÄT CHAÛY KEÁT HÔÏP VÔÙI HAØM CHAÛY VON MISES Baây giôø ta laáy haøm chaûy von Mises 2 f( σij ) = J 2 − k = 0 (4.7) nhö laø theá naêng deûo. Theá thì ñònh luaät chaûy coù daïng ñôn giaûn: p ∂f dεij = dλ = dλsij (4.8) ∂σ ij ôû ñaây s ij laø tenxô leäch öùng suaát vaø d λ laø heä soá tyû leä vôùi giaù trò: = 0 ôû nôi coù J 0 ôû nôi coù J2 = k vaø dJ2 = 0 Phöông trình (4.8) cuõng coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo nhöõng thaønh phaàn cuûa caùc gia soá bieán daïng vaø caùc öùng suaát nhö:
185 p p σ1, dε1 τoct , dγoct dεp p ij dεij = λ s ij ° σij sij f( σij ) = k O O p σoct , dεoct p p σ2, dε2 σ3, dε3 a) b) Hình 4.3 Ñònh luaät chaûy ñöôïc keát hôïp vôùi haøm chaûy von Mises a) Maët phaúng thuûy tónh b) Maët phaúng leäch p p p dεp dε dεp dγ dγ p dγ x = y = z = yz = zx = xy = dλ (4.9) sx sy sz 2τyz 2τzx 2τxy Caùc quan heä (4.9) ñöôïc bieát nhö laø caùc phöông trình Prandtl −Reuss . Chính Prandtl , vaøo naêm 1924, ñaõ môû roäng caùc phöông trình Levy −von Mises [xem phöông trình (4.15)] vaø laø ngöôøi ñaàu tieân ñaõ ñeà nghò quan heä öùng suaát −bieán daïng trong tröôøng hôïp bieán daïng phaúng ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng. Reuss , vaøo naêm 1930, ñaõ môû roäng caùc phöông trình cuûa Prandtl cho tröôøng hôïp ba chieàu vaø ñöa ra daïng toång quaùt cuûa phöông trình (4.9). p Moái quan heä giöõa gia soá bieán daïng deûo dεij vaø haøm chaûy von Mises f = J 2 nhö ñöôïc cho bôûi caùc phöông trình (4.8) hay (4.9), hoaëc ñònh luaät chaûy ñöôïc keát hôïp vôùi ñieàu kieän chaûy von Mises coù theå ñöôïc bieåu thò baèng ñoà hoïa trong khoâng gian öùng suaát chính ba chieàu. Tuy nhieân, hình ba chieàu khoù veõ vaø thay cho vieäc naøy toát nhaát bieåu thò hình baèng maët caét treân maët phaúng thuûy tónh vaø baèng maët caét treân maët phaúng leäch cuûa beà maët ba chieàu nhö trong hình 4.3. Phaùp tuyeán cuûa beà maët chaûy nhö ñöôïc nhìn doïc theo truïc thuûy tónh laø moät ñöôøng höôùng kính (hình 4.3b) song song vôùi maët phaúng π. Do ñoù, höôùng cuûa noù song song vôùi höôùng cuûa hình chieáu cuûa vectô öùng suaát thích hôïp σij treân maët phaúng π, dó nhieân, hình chieáu naøy laø vectô thaønh phaàn öùng suaát leäch s ij cuûa vectô öùng suaát σij .
186 Phöông trình (4.8) hay (4.9) phaùt bieåu raèng moät gia soá nhoû cuûa bieán daïng deûo p dεij chæ phuï thuoäc vaøo traïng thaùi hieän haønh cuûa öùng suaát leäch s ij , chöù khoâng phuï thuoäc vaøo gia soá öùng suaát d σij ñöôïc yeâu caàu ñeå duy trì chaûy deûo. Ngoaøi ra, caùc p truïc chính cuûa öùng suaát σij hay s ij vaø gia soá bieán daïng deûo dεij truøng nhau. Chuù yù raèng, caùc phöông trình naøy chæ trình baøy veà tyû soá hoaëc caùc ñoä lôùn töông ñoái cuûa caùc thaønh phaàn trong tenxô gia soá bieán daïng deûo; chuùng khoâng cung caáp thoâng tin tröïc tieáp veà ñoä lôùn tuyeät ñoái cuûa noù. Theo phöông trình (4.8), khoâng coù bieán theå tích deûo; nghóa laø, p dε ii = dλsii = 0 (4.10) Ñieàu naøy cuõng coù theå ñöôïc thaáy trong hình 4.3a nôi maø vectô gia soá bieán daïng p deûo dεij vuoâng goùc vôùi truïc thuûy tónh, vaø do ñoù, thaønh phaàn bieán daïng thuûy tónh, p dεoct baèng zero . Gia soá bieán daïng toång d εij laø toång cuûa caùc gia soá bieán daïng ñaøn hoài vaø deûo (hình 4.4). Neáu ñònh luaät Hooke [caùc phöông trình (3.84) hay (3.96)] ñöôïc öùng duïng e cho thaønh phaàn bieán daïng ñaøn hoài dε ij vaø ñònh luaät chaûy [phöông trình (4.8)] p cho thaønh phaàn bieán daïng deûo dεij , ta coù: 1 + ν ν dσ dsij dε = dσ − dσ δ + dλs = kk δ + + dλs (4.11) ij E ij E kk ij ij 9K ij 2G ij Phöông trình (4.11) cuõng coù theå ñöôïc taùch thaønh caùc bieåu thöùc gia soá bieán daïng theå tích vaø leäch hay tröôït döôùi caùc daïng: 1 dε = dσ ii 3K kk 1 de = ds + dλs (4.12) ij 2G ij ij Trong caùc öùng duïng thöïc teá, ta khai trieån phöông trình (4.11) moät caùch roõ raøng theo caùc thaønh phaàn öùng suaát vaø bieán daïng, baèng ba phöông trình ñoái vôùi caùc gia soá bieán daïng phaùp döôùi daïng: 1 2  1  dε = []dσ − ν()dσ + dσ + dλ σ − ()σ + σ , (4.13) x E x y z 3  x 2 y z  vaø ba phöông trình ñoái vôùi caùc gia soá bieán daïng tröôït döôùi daïng: 1 dγ = dτ + 2dλτ , (4.14) yz G yz yz Trong nhöõng baøi toaùn chaûy deûo lôùn, bieán daïng ñaøn hoài coù theå ñöôïc boû qua. Trong tröôøng hôïp nhö theá, vaät lieäu coù theå ñöôïc lyù töôûng hoùa nhö vaät lieäu
187 cöùng −deûo lyù töôûng, vaø gia soá bieán daïng toång dεij baèng vôùi gia soá bieán daïng deûo p dεij . Caùc quan heä öùng suaát −bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu nhö theá coù theå ñöôïc vieát nhö: dεij = d λsij dε dε dε dγ dγ dγ hay: x = y = z = yz = zx = xy = dλ (4.15) sx s y sz 2τ yz 2τ xy 2τ xy trong ñoù caùc chæ soá treân, p, cuûa caùc phöông trình (4.8) vaø (4.9) ñaõ ñöôïc boû ñi. Caùc phöông trình (4.15) ñöôïc bieát nhö laø caùc phöông trình Levy −von Mises . Trong söï tieán trieån lòch söû cuûa chuùng, chính St. Venant , vaøo naêm 1870, laø ngöôøi ñaàu tieân ñaõ ñeà nghò raèng caùc truïc chính cuûa gia soá bieán daïng truøng vôùi caùc truïc chính öùng suaát. Caùc quan heä öùng suaát −bieán daïng toång quaùt naøy ñaõ thu ñöôïc sau naøy bôûi Levy vaøo naêm 1871 vaø moät caùch ñoäc laäp bôûi von Mises vaøo naêm 1913. Khai trieån quan heä Levy −von Mises theo caùc thaønh phaàn öùng suaát seõ daãn ñeán ba phöông trình ñoái vôùi caùc gia soá bieán daïng deûo phaùp döôùi daïng: 2  1  dεx = dλσ x − ()σ y + σz , (4.16) 3  2  vaø ba phöông trình ñoái vôùi caùc gia soá bieán daïng deûo tröôït döôùi daïng: dγyz = 2 τyz dλ, (4.17) 4.4 ÑÒNH LUAÄT CHAÛY KEÁT HÔÏP VÔÙI HAØM CHAÛY TRESCA Baây giôø laáy haøm chaûy Tresca nhö laø theá naêng chaûy deûo, trong khoâng gian öùng suaát chính noù laø hình laêng truï luïc giaùc thaúng goàm coù saùu maët phaúng. Maët caét leäch cuûa hình laêng truï ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.4a. Giaû söû raèng thöù töï ñoä lôùn cuûa caùc öùng suaát chính laø σ1 > σ2 > σ3; theá thì ta coù theå vieát haøm chaûy töông öùng hay haøm theá naêng chaûy döôùi daïng: f = F( σij ) − 2k = σ1 − σ3 − 2k = 0 (4.18) p p p Theo ñònh luaät chaûy keát hôïp, caùc gia soá bieán daïng deûo chính, dε1 , dε2 , dε3 , thoûa caùc quan heä sau: p ∂f dε1 = dλ = dλ ∂σ1 p ∂f dε2 = dλ = 0 ∂σ1 p ∂f dε3 = dλ == −dλ ∂σ3
188 b) Ñænh A nhö laø giôùi haïn cuûa beà maët trôn hay, trong daïng coâ ñoïng hôn, p p p (dε1 , dε2 , dε3 ) = dλ ,0,1( −1), dλ ≥ 0 (4.19) Nhöõng keát quaû töông töï coù theå thu ñöôïc ñoái vôùi naêm toå hôïp coù theå cuûa caùc thöù töï giaù trò ñaïi soá cuûa caùc öùng suaát chính σ1, σ2, vaø σ3. Do ñoù, caùc gia soá bieán daïng deûo coù theå ñöôïc minh hoïa baèng hình hoïc trong khoâng gian gia soá öùng suaát chính/bieán daïng chính toå hôïp nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.4a. Coù theå thaáy raèng, baát kyø ñieåm naøo treân maët phaúng AB, nôi coù σ1 > σ2 > σ3, caùc höôùng cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo thì song song vôùi nhau vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng AB cuûa luïc giaùc Tresca . Caùc moái quan heä töông töï coù theå ñöôïc trình baøy ñoái vôùi nhöõng maët phaúng khaùc cuûa luïc giaùc. Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät nôi maø, thí duï, σ1 > σ2 = σ3, tình huoáng seõ raéc roái hôn, bôûi vì öùng suaát tieáp cöïc ñaïi baèng vôùi giaù trò chaûy k khoâng chæ treân nhöõng maët 0 phaúng tröôït 45 song song truïc chính thöù hai x 2 maø coøn treân nhöõng maët phaúng 0 tröôït 45 song song truïc chính thöù ba x 3. Do ñoù, ta coù quyeàn giaû ñònh raèng söï tröôït coù theå xaûy ra doïc moät hay hai maët phaúng tröôït cöïc ñaïi coù theå: (i) σmax = σ1, σmin = σ3 p p p (dε1 , dε2 , dε3 ) = dλ ,0,1( − )1 , ñoái vôùi d λ ≥ 0 (ii) σmax = σ1, σmin = σ2 p p p (dε1 , dε2 , dε3 ) = dµ ,1( − )0,1 , ñoái vôùi d µ ≥ 0
189 Trong tröôøng hôïp naøy, ta seõ giaû ñònh raèng vectô gia soá bieán daïng deûo sinh ra laø toå hôïp tuyeán tính cuûa hai gia soá ñöôïc cho ôû treân, nghóa laø, p p p (dε1 , dε2 , dε3 ) = dλ ,0,1( − )1 + dµ ,1( − 0,1 ), ñoái vôùi d λ ≥ 0, d µ ≥ 0 (4.20) Tình huoáng naøy töông ñöông vôùi tröôøng hôïp ñaëc bieät nôi maø traïng thaùi öùng suaát hieän haønh σij naèm treân ñænh cuûa luïc giaùc. Nhö vaäy, vectô gia soá bieán daïng deûo phaûi naèm giöõa hai phöông phaùp tuyeán vôùi hai caïnh keà nhau cuûa luïc giaùc (hình 4.4a). Ñænh naøy hoaëc ñieåm suy bieán oå beà maët theá naêng cuõng coù theå ñöôïc xem nhö laø moät tröôøng hôïp giôùi haïn cuûa beà maët trôn ôû ñieåm goùc naøy (hình 4.4b). Toång quaùt, ôû ñieåm suy bieán nôi giao nhau cuûa moät vaøi beà maët chaûy trôn, caùc gia soá bieán daïng coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch toång quaùt nhö laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa nhöõng gia soá ñöôïc cho bôûi caùc phaùp tuyeán cuûa caùc beà maët töông öùng giao nhau ôû ñieåm, nghóa laø, n p ∂fk dεij = ∑ dλk (4.21) k=1 ∂σij Nhö vaäy, ôû ñænh, phöông cuûa vectô gia soá bieán daïng khoâng theå ñöôïc xaùc ñònh moät caùch duy nhaát. Hôn nöõa, neáu beà maët chaûy chöùa moät phaàn phaúng (hình 4.2 hay 4.4a), cuõng khoâng toàn taïi moái quan heä duy nhaát giöõa gia soá öùng suaát vaø bieán p daïng. Toång quaùt, söï töông öùng giöõa vectô gia soá bieán daïng deûo dεij vaø vectô öùng suaát σij khoâng luoân laø moái quan heä moät −moät. Tuy nhieân, ta coù theå thaáy trong thí duï döôùi ñaây coâng deûo gia soá dW p ñaõ ñöôïc thöïc hieän hay suaát tieâu toán naêng löôïng luoân ñöôïc xaùc ñònh moät caùch duy nhaát bôûi ñoä lôùn cuûa suaát bieán daïng deûo nhö ñöôïc cho bôûi: p p p p dWp = σ1dε1 + σ2dε2 + σ3dε3 = 2k max dε (4.22) ôû ñaây max dεp kyù hieäu giaù trò tuyeät ñoái cöïc ñaïi cuûa thaønh phaàn chính cuûa vectô gia soá bieán daïng deûo. Thí duï 4.1 Baèng caùch duøng ñònh luaät chaûy ñöôïc keát hôïp vôùi ñieàu kieän chaûy Tresca , a) Haõy chöùng toû raèng gia soá coâng deûo ñöôïc cho bôûi bieåu thöùc (4.22); b) Giaû söû raèng phaân toá vaät lieäu chaûy deûo ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng, σ1 = σ0 / 3 , σ2 = − σ0 / 3 , ôû ñaây σ0 laø öùng suaát chaûy trong keùo ñôn truïc, vaø p dε1 = c , vôùi c laø haèng soá, haõy tìm caùc gia soá bieán daïng deûo vaø gia soá coâng deûo. Giaûi
190 a) Ñoái vôùi moät ñieåm öùng suaát treân caïnh AB vôùi phöông trình σ1 − σ3 = 2k, caùc p p p thaønh phaàn cuûa vectô gia soá bieán daïng deûo laø dε2 = 0 vaø dε3 = −dε1 . Do ñoù, gia soá coâng deûo ñöôïc cho bôûi: p p p p p dWp = σ1dε1 + σ2dε2 + σ3dε3 = (σ1 − σ3 d) ε1 = 2kdε (4.23) p p do σ1 = σ3 + 2k treân AB. Chuù yù raèng max dε  = dε1 trong tröôøng hôïp naøy, keát p quaû laø 2k dε1 coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng cuûa phöông trình (4.22). Neáu ñieåm öùng suaát truøng vôùi ñænh A, theá thì, σ1 = σ3 + 2k vaø σ2 = σ3, do ñoù ta coù: p p p dWp = ()σ3 + 2k dε1 + σ3dε2 + σ3dε3 (4.24) Baèng caùch duøng ñieàu kieän khoâng neùn , p p p dε1 + dε2 + dε3 = 0 Phöông trình (4.24) taïo ra: p dWp = 2kdε1 (4.25) p Do dε1 laø thaønh phaàn chính coù giaù trò lôùn nhaát trong tröôøng hôïp naøy, phöông trình (4.25) cuõng coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng cuûa phöông trình (4.22). Trong caùch thöùc töông töï, ta coù theå thaáy raèng phöông trình (4.22) giöõ cho moãi ñieåm öùng suaát ôû treân luïc giaùc. b) Theo ñieàu kieän chaûy Tresca , ta coù: σmax − σmin 1  σ0 σ0  τmax = =  +  = k 2 2  3 3 Do ñoù, k = σ0 / 3 . Ñònh luaät chaûy ñöôïc keát hôïp vôùi ñieàu kieän chaûy naøy ñònh nghóa caùc gia soá cuûa caùc thaønh phaàn bieán daïng deûo trong caùc höôùng σ1 vaø σ2 nhö: p p (dε1 , dε2 ) = dλ ,1( − )1 = ,c( − )c Nhö theá, c laø thaønh phaàn bieán daïng deûo lôùn nhaát vaø gia soá coâng deûo thu ñöôïc nhö: p 2σ0c dWp = 2k max dε = 2kc = 3
191 4.5 ÑÒNH LUAÄT CHAÛY KEÁT HÔÏP VÔÙI HAØM CHAÛY MOHR −−−COULOMB Trong nhöõng öùng duïng cuûa phaân tích giôùi haïn, moät soá vaät lieäu nhö beâ toâng hay ñaát ñöôïc lyù töôûng hoùa nhö laø nhöõng vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng tuaân theo tieâu chuaån chaûy Mohr −Coulomb . Beà maët chaûy Mohr −Coulomb laø hình choùp luïc giaùc khoâng ñeàu. Caùc maët caét leäch cuûa noù laø nhöõng luïc giaùc khoâng ñeàu nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.5. Haøm chaûy coù daïng nhö sau [xem phöông trình (2.174)]: 1 + sin φ 1 − sin φ σ − σ = 1 (4.26) 1 2c cos φ 3 2c cos φ ôû ñaây φ laø goùc ma saùt noäi vaø c laø löïc coá keát . Phöông trình (4.26) cuõng coù theå ñöôïc vieát trong daïng neùn nhö [xem phöông trình (2.179)] mσ1 − σ3 = f’ c, ñoái vôùi σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 (4.27) ôû ñaây f’ c laø ñoä beàn neùn ñôn truïc vaø m laø heä soá ñoä beàn giöõa f’ c vaø f’ t, f’ t laø ñoä beàn keùo ñôn truïc (xem muïc 2.3.3). Ñeå thu ñöôïc bieåu thöùc cho gia soá bieán daïng deûo p p p d( ε1 , dε2 , dε3 ) , ba tröôøng hôïp sau ñaây phaûi ñöôïc khaûo saùt moät caùch taùch bieät. Tröôøng hôïp 1 . Ñieåm öùng suaát chaûy naèm treân maët phaúng beà maët cuûa hình choùp, thí duï, treân maët AB (hình 4.5), ôû ñaây σ1 > σ2 > σ3 vaø phöông trình (4.27) coù hieäu löïc. Theo ñònh luaät chaûy keát hôïp, ta coù caùc gia soá bieán daïng deûo nhö sau: p p p dε1 = md λ, dε1 = ,0 dε3 = −dλ , ñoái vôùi d λ ≥ 0 (4.28) hay, döôùi daïng neùn, p p p d( ε1 , dε2 , ε3 ) = dλ(m ,0, −1) , ñoái vôùi d λ ≥ 0 (4.29) Nhöõng keát quaû töông töï coù theå thu ñöôïc ñoái vôùi naêm thöù töï ñaïi soá khaùc coù theå cuûa caùc öùng suaát chính σ1, σ2, vaø σ3. Nhöõng keát quaû naøy ñöôïc toùm taét vaø ñöôïc bieåu thò baèng ñoà hoïa trong hình 4.5.
192 Chuù yù raèng, gia soá bieán daïng theå tích deûo laø: p p p p dεv = dε1 + dε2 + dε3 = dλ(m − )1 (4.30) Do m = f’ c/f’ t ≥ 1, noù daãn ñeán moâ hình vaät lieäu Mohr −Coulomb vôùi tieâu chuaån chaûy keát hôïp luoân döï ñoaùn söï giaõn nôû theå tích tröø trong tröôøng hôïp ñaëc bieät m = 1, noù ruùt veà tröôøng hôïp cuûa moâ hình vaät lieäu Tresca . Töø phöông trình (4.30), ta coù theå taùch toång cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo chính thaønh hai phaàn: thaønh phaàn neùn p ∑ dεc = dλ (4.31) vaø thaønh phaàn keùo p ∑ dεt = mdλ (4.32) Moät söï taùch rôøi nhö theá cuõng coù theå ñöôïc thöïc hieän ñoái vôùi naêm maët phaúng khaùc cuûa hình choùp. Do ñoù ta coù: ∑ dεp t = m (4.33) p ∑ dεc p p p vaø dεv = ∑ dεt − ∑ dεc (4.34) Baây giôø, ta khaûo saùt theâm gia soá coâng deûo dW p. Theo ñònh nghóa, ta coù: p p p dWp = σ1dε1 + σ2dε2 + σ3dε3 = (σ1m − σ3 d) λ (4.35) Baèng caùch duøng caùc phöông trình (4.27) vaø (4.31), phöông trình (4.35) trôû thaønh: p dWp = 'f c ∑ dεc (4.36) f ' hoaëc dW = c ∑ dεp (4.37) p m t Tröôøng hôïp 2 . Ñieåm öùng suaát chaûy naèm treân caùc meùp cuûa hình choùp, thí duï, doïc theo meùp A (hình 4.5), ôû ñaây σ1 > σ2 = σ3 vaø hai beà maët mσ1 − σ3 = f’ c vaø mσ1 − σ2 = f’ c giao nhau. Trong tröôøng hôïp naøy, phöông trình (4.21) coù theå ñöôïc aùp duïng. Do ñoù, caùc gia soá bieán daïng deûo töông öùng ñöôïc bieåu dieãn nhö:
193 (dεp , dεp , dεp ) = dλ (m ,0, − )1 + dλ (m,− )0,1 1 2 3 1 2 (4.38) = []d( λ1 + dλ2 )m,−dλ2,−dλ1 Vectô bieán daïng naøy naèm giöõa caùc phöông phaùp tuyeán vôùi hai beà maët keà nhau. Caùc quan heä töông töï coù theå thu ñöôïc ñoái vôùi naêm caïnh khaùc. Söï thay ñoåi theå tích deûo thu ñöôïc töø phöông trình (4.38) nhö: p dεv = m d( λ1 + dλ2 ) − d( λ1 + dλ2 ) noù laø toång cuûa hai phaàn: phaàn neùn p ∑ dεc = dλ1 + dλ2 vaø phaàn keùo p ∑ dεt = m d( λ1 + dλ2 ) vaø chuùng ta coù theå thaáy raèng: p p p dεv = ∑ dεt − ∑ dεc (4.39) p Ta coù theå thaáy raèng dεv > 0 ñoái vôùi m > 1, vaø raèng caùc phöông trình (4.33) vaø (4.34) vaãn coøn giaù trò. Baèng pheùp vi phaân töông töï nhö phöông trình (4.35), ta coù theå thu ñöôïc bieåu thöùc gia soá coâng deûo dW p trong daïng nhö sau: dWp = (σ1m − σ3 )dλ1 + (σ1m − σ2 )dλ2 (4.40) , , p = fc d( λ1 + dλ2 ) = fc ∑ dεc Tröôøng hôïp 3 . Ñieåm öùng suaát chaûy truøng vôùi ñænh cuûa hình choùp, nôi saùu beà maët giao nhau. Theo thuû tuïc töông töï, moät bieåu thöùc töông töï vôùi phöông trình (4.38) p ñoái vôùi bieán daïng deûo dεi coù theå thu ñöôïc. Chuùng ta cuõng coù theå chæ ra raèng caùc phöông trình (4.34) vaø (4.36) vaãn coøn giaù trò. 4.6 TÍNH TRÖÏC GIAO, TÍNH LOÀI VAØ TÍNH ÑÔN TRÒ ÑOÁI VÔÙI VAÄT RAÉN ÑAØN −−−DEÛO LYÙ TÖÔÛNG Ñònh luaät chaûy keát hôïp hay ñònh luaät tröïc giao ñaõ ñöôïc thaûo luaän tröôùc ñaây ñaõ ñöôïc thieát laäp moät caùch vöõng chaéc trong lyù thuyeát toaùn cuûa bieán daïng deûo kim loaïi . Seõ ñöôïc chöùng toû trong phaàn sau ñaây raèng do ñieàu kieän khoâng hoài phuïc cuûa bieán daïng deûo nguï yù raèng coâng ñöôïc tieâu toán vaøo bieán daïng deûo trong moät chu kyø laø döông, coâng deûo döông daãn ñeán tính loài cuûa beà maët chaûy vaø
194 tính tröïc giao cuûa chaûy deûo, vaø raèng ñieàu kieän tröïc giao, hay ñònh luaät chaûy keát hôïp, ñaûm baûo tính duy nhaát cuûa lôøi giaûi cuûa baøi toaùn trò bieân ñaøn −deûo. Tính tröïc giao cuûa chaûy deûo vaø tính loài cuûa beà maët chaûy laø baûn chaát raát toång quaùt ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng cuõng nhö nhöõng vaät lieäu bieán cöùng. 4.6.1 Tính loài cuûa beà maët chaûy vaø tính tröïc giao cuûa chaûy deûo Bôûi vì ñaëc tính khoâng hoài phuïc cuûa bieán daïng deûo, coâng ñöôïc tieâu toán vaøo bieán daïng deûo khoâng theå ñöôïc phuïc hoài. Ñieàu naøy nghóa laø coâng cuûa caùc öùng suaát trong söï thay ñoåi cuûa bieán daïng deûo laø döông moãi khi söï thay ñoåi bieán daïng deûo xaûy ra. Trong chöông naøy, ta seõ nghieân cöùu caùc haïn cheá naøo maø ñieàu kieän khoâng hoài phuïc naøy ñaët choàng leân moái quan heä öùng suaát −bieán daïng deûo. p dεij D E σ f( σij ) = 0 ij σ∗ C ° ij A B a) O , p σij dεij p hay &p dεij εij p dεij ∗ p σij − σ ° dεij B ij A ° ∗ σij − σij Khoâng ñöôïc pheùp b) c) Hình 4.6 Tính loài cuûa beà maët chaûy vaø tính tröïc giao cuûa chaûy deûo Haõy khaûo saùt theå tích vaät lieäu ñôn vò, trong ñoù coù moät traïng thaùi öùng suaát ñoàng ∗ nhaát σij ôû treân hay ôû trong beà maët chaûy (hình 4.6a). Giaû söû moät taùc nhaân beân
195 ngoaøi laøm taêng caùc öùng suaát doïc theo loä trình ABC naèm beân trong beà maët cho ñeán khi σij naèm treân beà maët chaûy ñöôïc ñaït ñeán. Cho ñeán baây giôø chæ coù coâng ñaøn hoài ñaõ xaûy ra. Baây giôø giaû söû raèng taùc nhaân beân ngoaøi giöõ cho traïng thaùi öùng suaát σij naèm treân beà maët chaûy trong thôøi gian ngaén. Chaûy deûo phaûi xaûy ra, vaø chæ coù coâng chaûy deûo xaûy ra suoát quaù trình chaûy deûo. Tieáp theo taùc nhaân beân ∗ ngoaøi laøm giaûm σij vaø trôû laïi traïng thaùi öùng suaát σij doïc theo ñöôøng ñaøn hoài DE. Do taát caû caùc thay ñoåi ñaøn hoài thuaàn tuùy laø hoài phuïc hoaøn toaøn vaø ñoäc laäp vôùi loä ∗ ∗ trình töø σij ñeán σij vaø trôû veà σij , taát caû naêng löôïng ñaøn ñöôïc hoài phuïc. Coâng chaûy deûo ñöôïc thöïc hieän bôûi taùc nhaân beân ngoaøi treân chu kyø ñaët vaø caát taûi laø ∗ p tích voâ höôùng cuûa vectô öùng suaát σij − σij vaø vectô gia soá bieán daïng deûo dεij . Söï yeâu caàu coâng naøy laø döông ñoái vôùi bieán daïng deûo daãn ñeán: * p (σij − σij d) εij ≥ 0 (4.41) YÙ nghóa hình hoïc cuûa bieåu thöùc (4.41): Neáu caùc toïa ñoä bieán daïng deûo ñöôïc ñaët choàng leân caùc toïa ñoä öùng suaát, nhö hình 4.6, tích voâ höôùng döông ñoøi hoûi moät ∗ p goùc nhoïn giöõa vectô öùng suaát σij − σij vaø vectô gia soá bieán daïng deûo dεij . Do taát ∗ caû caùc vectô öùng suaát khaû dó, σij − σij , phaûi thoûa phöông trình (4.41), ñieàu naøy chaéc chaén daãn ñeán caùc heä quaû sau ñaây: 1- Tính loài: Beà maët chaûy phaûi loài. Neáu khoâng loài nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 0 4.6b, caùc phöông coù theå cuûa d σij bao truøm hôn 180 ñoái vôùi moät vaøi maët phaúng p ∗ p 0 ñi qua dεij . Do ñoù, goùc giöõa σij − σij vaø dεij coù theå lôùn hôn 90 . Tuy nhieân, phöông trình (4.41) yeâu caàu goùc giöõa chuùng nhoû hôn 90 0. Vì theá beà maët phaûi loài. p 2- Tính tröïc giao: Vectô gia soá bieán daïng deûo dεij phaûi vuoâng goùc vôùi beà maët chaûy ôû moät ñieåm trôn vaø naèm giöõa caùc phaùp tuyeán keà nhau ôû moät goùc. Nhö p ñöôïc bieåu thò trong hình 4.6c, neáu beà maët loài vaø phaúng ôû ñieåm A, dεij phaûi vuoâng goùc vôùi beà maët ñeå maø noù laøm vôùi taát caû caùc vectô öùng suaát khaû dó σij − ∗ σij moät goùc vuoâng hay nhoû hôn, vaø ñieàu kieän (4.41) ñöôïc thoûa. Neáu beà maët coù p moät goùc taïi ñieåm B, coù vaøi söï töï do veà phöông cuûa dεij nhöng vectô naøy phaûi naèm giöõa caùc phaùp tuyeán ôû ñieåm keà vôùi goùc ñeå cho phöông trình (4.41) ñöôïc thoûa. Ñaëc tröng khoâng hoài phuïc cuûa bieán daïng deûo ñoøi hoûi gia soá coâng deûo döông: p ∂f dWp = σijdεij = dλσ ij ≥ 0 (4.42) ∂σij Vì tích voâ höôùng cuûa vectô baùn kính σij treân beà maët chaûy vaø phaùp tuyeán ngoaøi
196 cuûa beà maët chaûy ∂f/ ∂σij khoâng aâm (hình 4.2), chuùng phaûi hôïp thaønh moät goùc nhoïn ñoái vôùi beà maët loài. Nhaân töû d λ trong phöông trình (4.6) ñöôïc xem laø coù lieân heä vôùi ñoä lôùn cuûa gia soá coâng deûo dW p, vaø heä soá d λ naøy phaûi luoân döông khi chaûy deûo xaûy ra ñeå ñaûm baûo baûn chaát khoâng hoài phuïc cuûa bieán daïng deûo. Chuù yù raèng, haøm chaûy laø f = F − k; do ñoù, ∂f/ ∂σij = ∂F/ ∂σij , vaø phöông trình (4.42) coù theå ñöôïc ruùt goïn veà: ∂F dWp = dλσ ij = dλnF (4.43) ∂σij khi F laø haøm ñaúng caáp caáp n theo caùc öùng suaát, nhö ñoái vôùi haàu heát caùc lyù thuyeát trong bieán daïng deûo kim loaïi. 4.6.2 Tính ñôn trò cuûa lôøi giaûi vaø ñieàu kieän tröïc giao cuûa chaûy deûo Tính ñôn trò cuûa lôøi giaûi cuûa baøi toaùn trò bieân ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài ñaõ ñöôïc thaûo luaän trong muïc 3.6.4. Trong muïc naøy, chuùng ta seõ xem xeùt raèng yeâu caàu tính ñôn trò cuõng ñöôïc thoûa ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng neáu ñieàu kieän tröïc giao ñöôïc ñaët choàng leân quan heä öùng suaát −bieán daïng. )a( )a( Chuùng ta haõy giaû ñònh raèng baøi toaùn trò bieân chöùa hai lôøi giaûi: dσij , dεij vaø )b( )b( dσij , dεij , caû hai töông öùng vôùi dT i treân A T, du i treân A u, vaø dFi trong V. Tieáp theo phöông trình coâng aûo ñöôïc aùp duïng, giaû söû u i lieân tuïc ôû khaép nôi trong V, dT*du dA + dT*du dA + dF*du dV = dσ* dε dV (4.44) ∫A i i ∫A i i ∫ i i ∫V ij ij TU V ôû ñaây caùc ñaïi löôïng ñöôïc ñaùnh daáu ngoâi sao ñöôïc quan heä thoâng qua söï caân baèng vaø caùc ñaïi löôïng khoâng ñaùnh daáu ngoâi sao laø töông thích. Khoâng caàn coù quan heä giöõa hai taäp hôïp gia soá. Do ñoù, hieäu giöõa hai traïng thaùi giaû ñònh a vaø b coù theå ñöôïc thay )b( )a( vaøo phöông trình (4.44) maëc duø dσij − dσij khoâng caàn vaø thöôøng khoâng gaây ra ( )b )a( dεij − dεij . Söï thay theá ñöa ñeán: d( σ )b( − dσ )a( )(dε( )b − dε )a( )dv = 0 (4.45) ∫v ij ij ij ij )a( ( )b )a( ( )b )a( ( )b bôûi vì dTi = dTi treân A T, dui = dui treânA u, vaø dFi = dFi trong V. Baèng caùch duøng söï bieåu dieãn hình hoïc cuûa muïc tröôùc, ta dieãn ñaït hieäu cuûa hai gia soá öùng suaát ôû moät ñieåm ñaõ cho cuûa vaät theå trong phöông trình (4.45) bôûi )b( )a( e ∆dσij = dσij − dσij , hieäu cuûa caùc gia soá bieán daïng ñaøn bôûi ∆dεij , vaø hieäu cuûa p caùc gia soá bieán daïng deûo bôûi ∆dεij . Baây giôø haøm bò tích phaân cuûa tích voâ höôùng trong phöông trình (4.45) phaûi trieät tieâu, nghóa laø
197 e p dl = ∆dσij∆dεij = ∆dσij (∆dεij + ∆dεij) = 0 (4.46) AÙp duïng quan heä öùng suaát −bieán daïng vaøo phöông trình (4.46), dI coù theå ñöôïc bieåu dieãn trong daïng baäc hai. Neáu ta coù theå chöùng toû raèng dI xaùc ñònh döông, phöông trình (4.46) seõ daãn ñeán ∆dεij = 0 vaø ∆dσij = 0, tính ñôn trò ñöôïc thoûa. Noùi caùch khaùc, baát cöù quan heä öùng suaát −bieán daïng gia soá noù ñaûm baûo raèng haøm bò tích phaân dI xaùc ñònh döông seõ thoûa ñieàu kieän ñôn trò. e Baây giôø ∆dεij ñöôïc quan heä vôùi ∆dσij bôûi ñònh luaät Hooke toång quaùt, vaø tích voâ e e höôùng ∆dσij ∆dεij xaùc ñònh döông. Ñoái vôùi tích voâ höôùng ∆dσij ∆dεij , ba tröôøng hôïp phaûi ñöôïc khaûo saùt moät caùch rieâng reû: Tröôøng hôïp 1: Caû hai lôøi giaûi caáu thaønh quaù trình ñaët taûi ôû ñieåm ñang ñöôïc xem xeùt. Trong tröôøng hôïp naøy, ∆dσij phaûi naèm treân maët phaúng tieáp tuyeán vôùi beà maët chaûy deûo lyù töôûng (hình 4.1b). Deã thaáy raèng neáu vectô gia soá bieán daïng deûo p p dεij vuoâng goùc vôùi beà maët chaûy, thì tích voâ huôùng ∆dσij ∆dεij seõ khoâng aâm ñoái vôùi taát caû caùc vectô ∆dσij chuùng tieáp tuyeán vôùi beà maët naøy. Tröôøng hôïp 2: Caû hai lôøi giaûi caáu thaønh quaù trình caát taûi. Trong tröôøng hôïp naøy, p e ∆dεij = 0, keát quaû laø dI xaùc ñònh döông do ∆dσij ∆dεij xaùc ñònh döông. Tröôøng hôïp 3: Moät lôøi giaûi caáu thaønh quaù trình ñaët taûi, lôøi giaûi khaùc caáu thaønh (b) p( b ) (a) quaù trình caát taûi. Neáu ta laáy dσij nhö laø ñaët taûi vôùi dεij vaø dσij nhö laø caát taûi p( a ) p vôùi dεij = 0 , tích voâ höôùng ∆dσij ∆d ε ij coù daïng: )b( )a( )b(p )b( )b(p )a( )b(p (dσij − dσij )dεij = dσij dεij − dσij dεij (4.47) ( )b ( )b Do dσij caáu thaønh quaù trình ñaët taûi neân vectô gia soá öùng suaát dσij phaûi naèm p( b ) treân maët phaúng tieáp tuyeán. Neáu vectô gia soá bieán daïng deûo dεij theo höôùng phaùp ( )b p( )b tuyeán ngoaøi cuûa beà maët chaûy (hình 4.2), tích voâ höôùng dσij dεij , soá haïng ñaàu ( )b tieân treân veá phaûi cuûa phöông trình (4.47), baèng khoâng bôûi vì dσij tröïc giao vôùi p( )b )a( dεij . Vectô gia soá öùng suaát khaùc dσij phaûi höôùng vaøo beân trong cuûa beà maët chaûy bôûi vì noù taïo thaønh quaù trình caát taûi (hình 4.1b). Neáu vectô gia soá bieán daïng p( )b )a( deûo dεij vuoâng goùc vôùi beà maët chaûy loài f, vectô gia soá öùng suaát dσij seõ luoân p( )b taïo thaønh goùc tuø vôùi dεij . Do ñoù, soá haïng thöù hai treân veá phaûi cuûa phöông trình (4.47) seõ moät ñaïi löôïng khoâng aâm. Trong tröôøng hôïp ñang khaûo saùt, thöù töï maø hai lôøi giaûi ñöôïc thöïc hieän khoâng aûnh höôûng ñeán daáu cuûa tích voâ höôùng ∆dσ p ij ∆dεij p bôûi vì caû hai ∆dσij vaø thay ñoåi daáu khi thöù töï naøy bò ñaûo ngöôïc. Do ñoù, ta coù ∆dεij
198 theå keát luaän raèng ñònh luaät chaûy keát hôïp thoûa ñieàu kieän ñôn trò. Neân chuù yù ôû ñaây raèng maëc duø soá haïng deûo trong phöông trình (4.46), ∆dσ p , ij ∆dεij coù theå baèng khoâng, soá haïng ñaøn hoài, ∆dσ e , luoân xaùc ñònh döông tröø khi ij ∆dεij ∆dσij = 0. Tính ñôn trò, trong yù nghóa naøy, ñöôïc thieát laäp ñoái vôùi tröôøng hôïp ñaøn −deûo nhöng khoâng ñöôïc thieát laäp ñoái vôùi tröôøng hôïp cöùng −deûo nôi maø soá haïng ñaøn baèng khoâng ôû moïi thôøi ñieåm. Baây giôø, chuùng ta coù theå phaùt bieåu raèng quan heä ñôn giaûn g = f coù moät yù nghóa ñaëc bieät trong lyù thuyeát toaùn hoïc cuûa chaûy deûo. Hai heä quaû tröïc tieáp cuûa ñieàu naøy baây giôø ñaõ roõ raøng. (1) Vectô gia soá bieán daïng deûo p phaûi vuoâng goùc vôùi dεij beà maët chaûy hoaëc beà maët ñaët taûi f( σij ) = 0. Ñieàu naøy baây giôø ñöôïc bieát nhö laø ñieàu kieän tröïc giao. (2) Loaïi caùc quan heä öùng suaát −bieán daïng naøy daãn ñeán tính ñôn nhaát cuûa lôøi giaûi cuûa baøi toaùn trò bieân. Nhö seõ ñöôïc thaáy trong nhöõng taøi lieäu lieân quan, quan heä tröïc giao (4.6) cuõng daãn ñeán moät caùch khaù tröïc tieáp söï thieát laäp caùc ñònh lyù maïnh meõ veà phaân tích giôùi haïn cuûa chaûy deûo lyù töôûng. Loaïi ñieàu kieän tröïc giao naøy laø moät baûn chaát raát toång quaùt. Trong chöông 5, taøi lieäu seõ chöùng toû raèng quan heä naøy cuõng thích hôïp ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu coù bieán cöùng. Ñieàu kieän tröïc giao ñöôïc aùp ñaët leân ñònh luaät öùng suaát −bieán daïng deûo coù nhöõng haøm yù maïnh meõ ñoái vôùi tính ñôn nhaát cuûa lôøi giaûi cho nhöõng vaät theå bieán cöùng vaø chaûy deûo lyù töôûng. Noù cuõng daãn ñeán caùc söï hình thaønh cuûa caùc nguyeân lyù bieán phaân vaø cöïc tieåu tuyeät ñoái. 4.7 BAØI TOAÙN ÑAØN −−−DEÛO ÑÔN GIAÛN: SÖÏ GIAÕN NÔÛ CUÛA HÌNH TRUÏ THAØNH DAØY Trong muïc naøy, ta seõ ñeà caäp moät caùch khaù töôøng taän öùng xöû cuûa moät keát caáu ñôn giaûn ñöôïc laøm baèng vaät lieäu ñaøn −deûo. Söï thaûo luaän naøy seõ giuùp chuùng ta hieåu moät soá ñaëc tính cô baûn vaø nhöõng khaùi nieäm höõu ích cuûa bieán daïng ñaøn deûo cuûa keát caáu. Thí duï ñöôïc löïa choïn ñeå phaân tích laø moät oáng thaønh daøy, vôùi hai ñaàu ñöôïc ñoùng kín, döôùi taùc ñoäng cuûa aùp suaát beân trong. OÁng coù baùn kính trong a vaø baùn kính ngoaøi b (hình 4.7). Ta seõ giaû ñònh raèng oáng ñuû daøi ñeå caùc aûnh höôûng cuûa ñaàu muùt khoâng ñöôïc caûm thaáy laø vuøng caàn ñöôïc nghieân cöùu. Ñoái vôùi baøi toaùn naøy, toát nhaát laøm vieäc trong toïa ñoä truï (r, θ, z); r laø khoaûng caùch baùn kính ñöôïc ño vuoâng goùc töø truïc cuûa oáng, θ laø toïa ñoä chu vi goùc ñöôïc ño töø moác (chuaån) tuøy yù, vaø z laø khoaûng caùch truïc ñöôïc ño töø moät maët phaúng moác tuøy yù song song vôùi truïc.
199 σr + d σr dr σθ σθ σr p a b Hình 4.7 Maët caét ngang cuûa oáng thaønh daøy chòu aùp suaát trong 4.7.1 Caùc phöông trình cô baûn Chæ coù moät phöông trình caân baèng coù giaù trò laø pöông trình caân baèng theo höôùng kính dσ σ − σ r − e r = 0 (4.48) dr r Caùc phöông trình töông thích bieåu dieãn caùc moái quan heä hình hoïc giöõa bieán daïng vaø chuyeån vò. Chuyeån vò vaãn ñöôïc giaû söû nhoû, vaø neáu u laø chuyeån vò höôùng kính cuûa ñieåm coù baùn kính ban ñaàu laø r, du ε = (4.49) r dr vaø, baèng caùch giaû ñònh bieán daïng ñoái xöùng, u ε = (4.50) r r Theo phöông doïc truïc, luùc naøy ta chæ coù theå phaùt bieåu ñieàu kieän “oáng daøi” ñoái vôùi söï giaõn daøi cuûa oáng khoâng uoán: εz = constant = C (4.51) Caùc quan heä naøy ñôn thuaàn laø hình hoïc, vaø do ñoù chuùng coù aûnh höôûng baát chaáp bieán daïng laø deûo hay ñaøn hoài. Vaät lieäu cuûa oáng ñöôïc giaû söû laø ñaøn −deûo lyù töôûng. Trong mieàn ñaøn hoài, öùng xöû cuûa vaät lieäu ñöôïc moâ taû theo hai haèng soá ñaøn hoài, moâñun Young’s E vaø heä soá Poisson ν. Bôûi vì r, θ, vaø z laø, do ñoái xöùng, nhöõng höôùng chính, ta coù theå vieát caùc quan heä cô baûn ñaøn hoài:
200 Eεr = σr − ν(σθ + σz) Eεθ = σθ − ν(σr + σz) (4.52) Eεz = σz − ν(σr + σθ) Ñieàu kieän chaûy laø cuûa Tresca , vaø ñònh luaät chaûy ñöôïc keát hôïp vôùi noù baèng caùch thöùc cuûa ñieàu kieän tröïc giao. Caùc ñieàu kieän bieân ñaëc bieät ñôn giaûn: σr = 0 taïi r = b (4.53) σr = −p taïi r = a (4.54) ôû ñaây p laø aùp löïc beân trong. Cuoái cuøng, theo phöông doïc truïc, söï caân baèng toaøn theå yeâu caàu: b 2 ρπ a = ∫ 2πσ zrdr (4.55) a 4.7.2 Lôøi giaûi ñaøn hoài Phaân tích ñaøn hoài cho baøi toaùn naøy thì khoâng phöùc taïp. Tröôùc tieân söû duïng phöông trình (4.51) ñeå khöû σz khoûi phöông trình (4.52). Roài tieáp tuïc khöû u khoûi caùc phöông trình (4.49) vaø (4.50) ñeå ñöa ñeán quan heä töông thích: d ε = r( ε ) (4.56) r dr e Thay εr vaø εθ theo σθ, σr, vaø C [phöông trình (4.51)], baèng caùch duøng caùc quan heä vöøa thu ñöôïc. Ñieàu naøy daãn ñeán phöông trình vi phaân tuyeán tính baäc nhaát theo σθ, σr, (d σr/dr) vaø (d σθ/dr), nhöng thöïc teá khoâng chöùa C. Khöû σθ vaø d σθ/dr baèng caùch duøng phöông trình naøy vaø phöông trình (4.48) ñeå daãn ñeán phöông trình vi phaân baäc hai theo σr. Giaûi phöông trình naøy vôùi caùc ñieàu kieän (4.53) vaø (4.54) ñeå coù: b2 − + 1 2 2 2 r2 pa r( − b ) σr = p = (4.57) b2 r2 b( 2 − a2 ) − 1 a2 Thay theá vaøo phöông trình (4.48) ñöa ñeán: b2 + 1 2 2 2 r2 pa r( + b ) σr = p = (4.58) b2 r2 b( 2 − a2 ) − 1 a2
201 Ñeå xaùc ñònh öùng suaát σz, ta duøng caùc keát quaû naøy thay vaøo phöông trình thöù ba cuûa caùc phöông trình (4.52) vaø chuù yù phöông trình (4.51). Vieäc naøy seõ taïo ra pa 2 σz = ν(σr + σe ) + EC = 2ν + EC (4.59) b( 2 − a 2 ) Thay theá σz vaøo phöông trình (4.55) ta coù: 2 1 − 2ν εz = C = pa E b( 2 − a 2 ) Neáu ta giaû söû bieán daïng phaúng, nghóa laø, εz = 0, theá thì ν = 0,5 vaø σz = 0,5( σr + σθ) (4.60) Phöông trình (4.60) nguï yù raèng, ñoái vôùi baøi toaùn naøy, ñeå thoûa caû hai ñieàu kieän εz = 0 vaø phöông trình (4.55), ν phaûi laáy giaù trò ñaëc bieät laø 0,5. Chuyeån vò höôùng kính, u, thu ñöôïc töø nhöõng phöông trình (4.50) vaø quan heä thöù hai cuûa (4.52): 1( + ν a) 2ρ  1( − 2ν r) b2  u = rεe =  +  (4.61) E b( 2 − a 2 )  1( + ν) r 2  Dó nhieân, söï phaân boá öùng suaát ñaøn hoài naøy chæ aùp duïng neáu p ñuû nhoû ñeå ñieåm öùng suaát ( σr, σθ, σz) ôû taát caû caùc baùn kính ôû beân trong thaønh oáng naèm trong quyõ ñaïo chaûy. Chuù yù raèng, töø phöông trình (4.60), σz luoân laáy giaù trò laø öùng suaát chính thöù hai, nghóa laø, σθ > σz > σr Do ñoù, ñieàu kieän chaûy cuûa Tresca laø σθ − σr = σ0 (4.62) ôû ñaây σ0 laø öùng suaát chaûy trong keùo ñôn truïc. Thay theá caùc phöông trình (4.57) vaø (4.58) vaøo phöông trình (4.62) daãn ñeán b2 r/ 2 σe − σr = 2p = σ0 (4.63) ( b2 / a2 ) − 1 Töø phöông trình (4.63), ta thaáy neáu aùp suaát ñöôïc gia taêng moät caùch ñeàu ñaën, öùng suaát chaûy tröôùc tieân seõ ñaït ñeán ôû beà maët trong, r = a. Do ñoù, duøng phöông trình (4.63) vôùi r = a, ta tìm thaáy raèng aùp suaát ñeå ñieåm chaûy ñaàu tieân xaûy ra ñöôïc cho bôûi
202  2  σ0  a  p = p c = 1 −  (4.64) 2  b2  Chuù yù raèng, aùp suaát ñoái vôùi chaûy deûo ñaàu tieân taïi r = a laø moät haøm cuûa tyû soá b/a vaø khoâng haøm cuûa kích thöôùc tuyeät ñoái cuûa oáng. 4.7.3 Söï giaõn nôû ñaøn −−−deûo Neáu aùp suaát ñöôïc gia taêng treân giaù trò cho chaûy deûo ñaàu tieân, vuøng chaûy deûo môû roäng seõ traûi ra phía ngoaøi töø beà maët beân trong. Ñeå phaân tích traïng thaùi moät phaàn ñaøn, moät phaàn deûo naøy, giaû söû raèng ôû moät soá traïng thaùi trong söï giaõn nôû cuûa oáng, bieân ñaøn −deûo coù baùn kính c. vôùi a ≤ c ≤ b, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.8. Taïi r = c, ñeå σr = −q; nghóa laø, xem aùp suaát höôùng kính q taïi baùn kính naøy. Vuøng ñaøn hoài phía ngoaøi khoâng theå phaân bieät giöõa aùp suaát q ñöôïc gaây ra bôûi vuøng chaûy deûo hoaëc q ñöôïc cung caáp bôûi chaát loûng. Do ñoù, ta coù theå thaáy raèng do maët ngoaøi khoâng chòu taûi, caùc phöông trình maø ta ñaõ thu ñöôïc aùp duïng trong mieàn ñaøn hoài vôùi kyù hieäu a ñöôïc thay theá bôûi c. Cuï theå, vì öùng suaát phaûi ôû taïi ñieåm chaûy taïi r = c, phöông trình (4.64) cho  2  σ0  c  q = 1 −  (4.65) 2  b2  a c ° b Vuøng deûo ° Vuøng ñaøn hoài Hình 4.8 Vuøng deûo ñöôïc chöùa beân trong vuøng ñaøn hoài Baây giôø baèng caùch quay laïi vuøng deûo, ta tìm thaáy raèng chìa khoùa cho traïng thaùi laø ñieàu kieän chaûy (4.62). Thay theá (4.62) vaøo phöông trình caân baèng (4.48), ta coù theå tích phaân tröïc tieáp ñeå thu ñöôïc σr = σ0lnr + constant (4.66)
203 Hình 4.9 Caùc phaân boá lieân tuïc cuûa caùc öùng suaát phaùp theo phöông chu vi vaø höôùng kính trong baøi toaùn giaõn nôû ñaøn −deûo cuûa oáng: b/a = 2 Haèng soá ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän bieân σr = −q taïi r = c. Sau cuøng, ta coù r σ = −q + σ ln r 0 c
204 Thay theá (4.65) ñoái vôùi q vaø söû duïng ñieàu kieän chaûy (4.62) seõ mang laïi caùc öùng suaát trong vuøng deûo nhö  r 1  c2  σ = σ ln − 1 −  r 0  2   c 2  b    (4.67)  r 1  c2  σ = σ ln + 1 +  e 0  2   c 2  b  Baây giôø ta coù theå duøng ñieàu kieän bieân σr = −p taïi r = a ñeå thu ñöôïc  2  c σ0  c  c p = q + σ0 ln = 1 −  + σ0 ln (4.68) a 2  b2  a Do ñoù, ñoái vôùi giaù trò baát kyø cuûa c giöõa a vaø b, aùp suaát töông öùng coù theå ñöôïc tính toaùn vaø caùc öùng suaát σθ vaø σr trong oáng cuõng coù theå ñöôïc xaùc ñònh vôùi moïi giaù trò cuûa c. Hình 4.9 chæ ra nhöõng keát quaû cho oáng vôùi b/a = 2 ñoái vôùi caùc giaù trò khaùc nhau cuûa c/a. Chuù yù raèng trong vuøng deûo caùc öùng suaát xaùc ñònh tónh , vaø, khi ñaõ cho aùp suaát ôû moät bieân thì aùp suaát ôû moät bieân khaùc ñöôïc xaùc ñònh. Do ñoù, caùc phöông trình trong vuøng deûo, ngoaøi tính ñôn giaûn hôn nhöõng phöông trình trong vuøng ñaøn hoài, laø loaïi khaùc. Thöïc teá phöông trình caân baèng vaø ñieàu kieän deûo coù theå ñöôïc giaûi moät caùch tröïc tieáp maø khoâng coù söï tham khaûo ñeán bieán daïng −nghóa laø, traïng thaùi laø xaùc ñònh tónh −laø keát quaû cuûa vieäc khoâng baét caëp öùng suaát vaø bieán daïng, noù sinh ra töø daïng khoâng bieán cöùng ñaëc bieät cuûa vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng. 4.7.4 Bieán daïng ñaøn deûo Caàn chuù yù raèng, söï giaõn nôû höôùng kính cuûa vuøng deûo ñöôïc ñieàu khieån bôûi bieán daïng ñaøn hoài cuûa vuøng ñaøn bao quanh hoaøn toaøn vuøng deûo. Vuøng ñaøn hoài coù theå ñöôïc xem nhö chòu ñöïng moät aùp suaát q gioáng nhö phaàn deûo beân trong cuûa oáng ñöôïc laøm ñaày chaát loûng. Ñieàu naøy daãn ñeán moâ hình bieán daïng beân trong oáng trong ñieàu kieän ñaøn −deûo laø moâ hình raát ñôn giaûn −khoâng coù söï giaõn daøi doïc truïc, vaø do vaät lieäu khoâng neùn trong caû hai mieàn ñaøn hoài vaø chaûy deûo, bieán daïng coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch deã daøng theo moät thoâng soá ñôn giaûn. Moät kyù hieäu tieän lôïi cuûa bieán daïng laø söï môû roäng höôùng kính cuûa oáng, u b, taïi r = b. 2 u 3 σ  c  b = 0   (4.69) b 4 E  b  Söû duïng keát quaû naøy vaøo phöông trình (4.68) vaø saép xeáp laïi, ta tìm ñöôïc   2p 4 E u b  4 E u b  b = 1 − + ln  + 2 ln (4.70) σ0 3 σ0 b  3 σ0 b  a
205 Moái quan heä giöõa aùp suaát vaø söï môû roäng höôùng kính naøy aùp duïng vôùi soá lieäu ñaõ cho a ≤ c ≤ b, töø ñoù, duøng phöông trình (4.69), ta thu ñöôïc a 2 4 E u ≤ b ≤ 1 (4.71) 2 b 3 σ0 b Khi öùng xöû laø ñaøn hoài hoaøn toaøn, phöông trình töông öùng laø 2p  b2  4 E u  =  − 1 b  (4.72)  2   σ0  a  3 σ0 b  Khi bieân ñaøn −deûo ñaït ñeán beà maët ngoaøi, c = b, vaø phöông trình (4.68) trôû thaønh 2p b c = 2 ln (4.73) σ0 a AÙp suaát “chaûy deûo hoaøn toaøn” p c = σ0ln(b/a) ñöôïc duy trì neáu oáng giaõn nôû theâm. Theo giaû thieát ñaøn −deûo lyù töôûng, coù khaû naêng caùc bieán daïng lôùn voâ haïn xaûy ra maø khoâng caàn voøng troøn ñaøn hoài bao quanh. Nhöõng keát quaû naøy ñöôïc veõ ñoái vôùi b/a = 2 nhö ñöôøng cong ORST trong hình 4.10. Sau cuøng, coù ba giai ñoaïn öùng xöû ñoái vôùi oáng khoâng öùng suaát ban ñaàu vôùi caùc ñaàu ñöôïc bòt kín, ñöôïc laøm baèng vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng vaø chòu moät aùp suaát beân trong gia taêng ñeàu ñaën: 1- Giai ñoaïn ñaøn hoài, trong ñoù taát caû vaät lieäu bieán daïng trong mieàn ñaøn hoài. 2p σ0 1,5 T S ° 1,0 R ° 0,5 U 0,5 1,0 4 E ub 3σ b 0
206 Hình 4.10 Ñöôøng cong giaõn nôû−aùp suaát ñaøn −deûo bieåu thò öùng xöû caát taûi 2- Giai ñoaïn ñaøn −deûo trong ñoù vuøng deûo phía trong ñöôïc chöùa trong mieàn ñaøn hoài. Vuøng deûo môû roäng khi aùp suaát gia taêng, nhöng caùc söï thay ñoåi daïng −noù ñöôïc ñieàu khieån bôûi vuøng ñaøn hoài −coù cuøng kieåu nhö trong giai ñoaïn ñaøn hoài. 3- Giai ñoaïn chaûy deûo hoaøn toaøn trong ñoù, vuøng ñaøn hoài phía ngoaøi ñaõ bieán maát, oáng khoâng bò raøng buoäc ñeå giaõn nôû baèng bieán daïng deûo vaø ñaït ñeán nhöõng thay ñoåi hình daùng lôùn hôn mieàn ñaøn hoài nhieàu. Ngoaïi tröø caùc aûnh höôûng baäc hai, söï giaõn nôû deûo xaûy ra ôû aùp suaát haèng ñöôïc goïi laø aùp suaát suy suïp deûo . ÔÛ aùp suaát naøy, ta döï ñoaùn, oáng seõ phoàng ra ñaùng keå, vaø coù theå vôõ ra . 4.7.5 Caát taûi Khi gia taûi Sau khi caát taûi Hình 4.11 Söï phaân boá cuûa öùng suaát phaùp theo phöông chu vi, höôùng kính, vaø doïc truïc ôû moät giai ñoïan cuï theå trong giaûn nôû ñaøn −deûo cuûa oáng vaø sau khi boû aùp suaát
207 Baây giôø giaû söû aùp suaát, ñaõ ñöôïc taêng leân ñeán mieàn ñaøn −deûo, ñöôïc giaûm moät caùch ñeàu ñaën cho ñeán khi aùp suaát baèng laïi zero . Ñieàu gì xaûy ra cho caùc öùng suaát trong oáng? Vì söï roõ raøng, ta khaûo saùt moät tröôøng hôïp cuï theå, b = 2a, vôùi aùp suaát (ñöôïc taùc ñoäng vaøo oáng khoâng coù öùng suaát ban ñaàu) ñaõ taêng ñeán giaù trò töông öùng vôùi c = 1,5a, nghóa laø, theo phöông trình (4.68), p = σ0[7/32 + ln(1,5)] = 0,624 σ0. Caùc phaân boá cuûa caùc öùng suaát chính döôùi nhöõng ñieàu kieän naøy ñöôïc bieåu thò trong hình 4.11 (caùc ñöôøng cong ñaày ñuû). Khi aùp suaát baét ñaàu giaûm, döôøng nhö laø vaät lieäu, noù ñaõ ôû öùng suaát chaûy, seõ coù “möùc” öùng suaát cuûa noù bò giaûm, vaø do ñoù seõ laïi trôû vaøo mieàn ñaøn hoài ngay laäp töùc. Bôûi vì baây giôø ta coù bieán daïng deûo vónh cöûu trong vuøng chaûy deûo ñaõ coù tröôùc ñaây, ta phaûi löu yù caùc quan heä ñaøn hoài (4.52) khi xem xeùt nhöõng thay ñoåi cuûa öùng suaát vaø bieán daïng. Khi taát caû vaät lieäu ñang öùng xöû ñaøn hoài, ta coù theå söû duïng nhöõng keát quaû töø (4.57) ñeán (4.59) ñeå tính toaùn nhöõng thay ñoåi veà σr, σθ, vaø σz ñoái vôùi caùc gia soá aùp löïc aâm. Thí duï, ñoái vôùi söï caát boû aùp suaát hoaøn toaøn, ta phaûi tröø khoûi phaân boá öùng suaát ñaøn −deûo trong hình 4.11 moät phaân boá öùng suaát seõ xaûy ra ôû cuøng aùp suaát neáu vaät lieäu vaãn ñaøn hoài. Ñieàu naøy ñöôïc bieåu thò trong hình 4.11 (nhöõng ñöôøng cong bò gaõy). Dó nhieân, baây giôø ta phaûi kieåm tra raèng nôi naøo vaät lieäu chòu taùc ñoäng öùng suaát maø khoâng chaûy deûo. Ñieàu naøy ñöôïc tieán haønh moät caùch deã daøng trong tröôøng hôïp hieän taïi vì −σz laø öùng suaát chính thöù hai −ta phaûi kieåm chöùng raèng σθ − σr < σ0 ôû moïi nôi; trong hình 4.11 ñieàu naøy thì roõ raøng. σz A A’ B’ C’ B ° °° ° ° O C σr σθ Hình 4.12 Caùc ñöôøng cong öùng suaát ñoái vôùi oáng chaûy deûo cuïc boä khi ñaët aùp suaát vaø sau khi caát boû aùp suaát
208 Hình 4.12 bieåu thò vieäc cung caáp döõ lieäu veõ caùc ñöôøng cong öùng suaát trong maët phaúng π. Do σz = ( σr + σθ)/2 ôû moïi nôi (ñieàu naøy chöùa ñöïng giaû thieát raèng ñaây laø tröôøng hôïp trong vuøng deûo cuûa quaù trình ñaët taûi ñaàu tieân), taát caû caùc ñieåm naèm treân ñöôøng thaúng ñi qua goác vuoâng goùc vôùi hình chieáu cuûa truïc σz. Caùc ñieåm A, B, vaø C töông öùng vôùi caùc baùn kính a, b, vaø c, khi p = 0,624 σ0, vaø A’, B’, vaø C’ töông öùng vôùi cuøng caùc baùn kính khi aùp suaát ñaõ ñöôïc caát boû. Roõ raøng laø ñieàu kieän chaûy khoâng bò vi phaïm trong traïng thaùi caát taûi. Baèng caùch ñaët taûi ñeå ñöa oáng vaøo mieàn chaûy deûo cuïc boä vaø roài caát taûi, ta taïo ra söï phaân boá öùng suaát dö . Baây giôø neáu ta gia taêng laïi aùp suaát, caùc ñieåm öùng suaát trong hình 4.12 seõ veõ laïi caùc loä trình cuõ cuûa chuùng giöõa A’, B’, C’ vaø A, B, C; chaûy deûo seõ baét ñaàu laïi ôû p = 0,624 σ0, vaø ôû caùc aùp suaát cao hôn öùng xöû seõ chính xaùc nhö theå laø aùp suaát ñaõ ñöôïc gia taêng vöôït qua ñieåm naøy ôû laàn ñaët taûi ñaàu tieân. ÖÙng xöû aùp suaát −chuyeån vò höôùng kính döôùi chöông trình ñaët taûi naøy ñöôïc bieåu thò bôûi ñöôøng cong ORSU trong hình 4.10; noù raát gioáng vôùi öùng xöû taûi−giaõn daøi trong thí nghieäm keùo cuûa vaät lieäu bieán cöùng. 4.7.6 Söï thích nghi Moät khía caïnh quan troïng khaùc cuûa hieän töôïng ñieàu chænh söï phaân boá öùng suaát laïi trong caùc keát caáu baèng chaûy deûo ñöôïc giôùi haïn cuûa vaät lieäu deûo ñöôïc thaáy trong nhöõng caáu truùc mang caùc taûi taùc ñoäng laëp laïi vaø laàn löôït. Moät moâ hình phaù huûy khaû dó döôùi nhöõng tình huoáng naøy laø hoûng do moûi chu kyø thaáp cuûa phaàn keát caáu qua bieán daïng deûo chu kyø. Ñieàu gì coù khuynh höôùng xaûy ra trong nhieàu caáu truùc trong khi moät soá taùc ñoäng ñaàu tieân cuûa taûi, keát caáu “laøm heát söùc cuûa noù”, baèng caùch thöùc chaûy deûo ñöôïc giôùi haïn, ñeå thieát laäp caùc phaân boá öùng suaát dö nhaèm cöïc tieåu hoùa caùc bieán daïng moûi deûo trong nhöõng chu kyø tieáp sau. Ñeå cung caáp moät minh hoïa ñôn giaûn veà ñieàu naøy, haõy khaûo saùt aùp suaát p = 0,624 σ0 taùc ñoäng laëp laïi leân oáng (b/a = 2). Giaû söû ban ñaàu oáng khoâng coù öùng suaát, chaûy deûo seõ ñaït ñöôïc ôû p = 0,375 σ0 [xem phöông trình (4.64)]: do ñoù coù theå nghó raèng −ít nhaát, theo nhöõng ngöôøi khoâng quen thuoäc vôùi phaân tích chaûy deûo −ñaây seõ laø giôùi haïn aùp suaát ñeå traùnh chaûy deûo laëp laïi trong quaù trình ñaët taûi aùp suaát laëp laïi. Tuy nhieân, vieäc phaân tích maø ta ñaõ tieán haønh chæ ra raèng taùc ñoäng ñôn giaûn cuûa p = 0,624 σ0 gaây ra maãu öùng suaát dö noù cho pheùp keát caáu ñaùp öùng laïi taùc ñoäng aùp suaát laëp laïi leân ñeán möùc naøy bôûi taùc ñoäng ñaøn hoài thuaàn. Chuùng ta noùi raèng keát caáu seõ thích nghi öùng xöû ñaøn hoài ñoái vôùi vieäc gaây aùp löïc laëp laïi giöõa p = 0 vaø p = 0,624 σ0; ta ruùt ra moät söï gioáng nhau vôùi öùng xöû cuûa mieáng ñeäm ñöôïc laøm ñaày baèng loâng noù “thích nghi” khi ñöôïc ngoài leân laïi.
209 Hình 4.12 gôïi yù raèng oáng ñang khaûo saùt cuûa chuùng ta seõ thích nghi ñoái vôùi ngay caû caùc aùp suaát cao hôn: thöïc teá, coù theå deã daøng thaáy ñöôïc söï thích nghi seõ xaûy ra ñoái vôùi taát caû caùc aùp suaát leân ñeán aùp suaát phaù huûy deûo. Tuy nhieân keát quaû naøy laø, veà moät yù nghóa naøo ñoù, keát quaû ñaëc bieät ñoái vôùi nhöõng giaù trò ñuû nhoû cuûa b/a. Ñoái vôùi caùc giaù trò cuûa tyû soá naøy lôùn hôn khoaûng 2,2, söï thích nghi thì chæ coù theå ñoái vôùi nhöõng aùp suaát thaáp hôn aùp suaát phaù huûy deûo (baøi taäp 4.6). Caàn nhaän ra raèng thí duï thích nghi coù tröôùc laø voâ cuøng ñôn giaûn: moät keát caáu ñôn giaûn chòu chæ moät loaïi ñaët taûi vôùi daáu khoâng heà thay ñoåi. Roõ raøng, moät söï baøn luaän ñaày ñuû veà vieäc thích nghi neân chöùa caùc heä ñaët taûi ñoäc laäp phöùc taïp vôùi khaû naêng thay ñoåi daáu. Tuy nhieân ñieàu naøy vöôït quaù phaïm vi cuûa taøi lieäu naøy. Moät öùng duïng thöïc teá cuûa söï thích nghi trong caùc oáng daøy laø quaù trình “autofrettage −söï ñoùng ñai töï ñoäng ”, noù ñaõ ñöôïc duøng trong nhieàu naêm trong vieäc cheá taïo caùc noøng suùng. Ta mong muoán noøng trong cuûa noøng suùng neân duy trì ñoä chính xaùc kích thöôùc cuûa noù treân vieäc gaây aùp löïc laëp laïi do chaùy. Baèng caùch baét noøng suùng chòu moät aùp suaát quaù möùc tröôùc khi vieäc vieäc gia coâng beà maët cuoái cuøng ñöôïc thöïc hieän, heä öùng suaát dö ñöôïc thieát laäp trong noøng ñaûm baûo raèng noøng trong khoâng bao giôø ñi vaøo mieàn chaûy deûo sau ñoù, döôùi caùc ñieàu kieän bình thöôøng. 4.8 CAÙC QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT −−−BIEÁN DAÏNG GIA SOÁ Trong phaân tích ñaøn deûo baèng pheùp tính gaàn ñuùng soá, kyõ thuaät thöôøng duøng nhaát laø phöông phaùp gia soá duøng ñoä cöùng tieáp tuyeán. Caùc phöông trình cô baûn ñöôïc cho trong caùc muïc 4.2 ñeán 4.5 khoâng theå ñöôïc aùp duïng moät caùch tröïc tieáp. Moät moái quan heä gia soá giöõa öùng suaát vaø bieán daïng ñöôïc caàn ñeán trong vieäc hình thaønh ma traän ñoä cöùng tieáp tuyeán. Nhöõng loaïi quan heä cô baûn naøy ñöôïc trình baøy trong muïc naøy. Nhö ñaõ ñöôïc baøn luaän tröôùc ñaây, öùng xöû chaûy deûo lyù töôûng ña truïc ñoøi hoûi raèng vectô gia soá öùng suaát tieáp tuyeán vôùi beà maët chaûy vaø gia soá bieán daïng deûo vuoâng goùc vôùi beà maët ñaët taûi. Theo khaùi nieäm chaûy deûo lyù töôûng, ñoä lôùn cuûa gia soá bieán daïng deûo khoâng theå ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn nhaát bôûi caùc öùng suaát hieän haønh ñaõ ñöôïc cho σij vaø gia soá öùng suaát d σij . Tuy nhieân, ñoái vôùi caùc öùng suaát hieän haønh p ñaõ ñöôïc cho σij vaø gia soá bieán daïng deûo ñaõ ñöôïc cho d ε ij thoûa ñònh luaät chaûy, gia soá öùng suaát d σij coù theå ñöôïc xaùc ñònh bôûi ñieàu kieän nhaát quaùn noù ñaûm baûo raèng traïng thaùi öùng suaát vaãn duy trì treân beà maët chaûy. 4.8.1 Daïng toång quaùt cuûa quan heä cô baûn Theo muïc 4.1, gia soá bieán daïng toång ñöôïc giaû söû laø toång cuûa gia soá bieán daïng ñaøn hoài vaø gia soá bieán daïng deûo [phöông trình (4.4)]:
210 e p dεij = dεij + dεij (4.74) Gia soá bieán daïng ñaøn hoài coù theå thu ñöôïc töø ñònh luaät Hooke [xem caùc phöông trình (3.89) vaø (3.96)]: e dεij = Dijkldσkl (4.75a) dI ds hay dεe 1 δ + ij (4.75b) ij 9K ij 2G vaø gia soá bieán daïng deûo ñöôïc thu töø ñònh luaät chaûy, phöông trình (4.6). Theá roài caùc quan heä bieán daïng −öùng suaát ñaày ñuû ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng ñöôïc bieåu dieãn nhö ∂f dεij = Dijkldσkl + dλ (4.76a) ∂σij ds dI1 ij ∂f hoaëc dεij = δij + + dλ (4.76b) 9K 2G ∂σij ôû ñaây d λ laø heä soá (thöøa soá) chöa xaùc ñònh vôùi giaù trò = 0 khi f 0 khi f = 0 vaø df = 0 Ta seõ xaùc ñònh daïng cuûa heä soá d λ döôùi ñaây. Vieäc naøy coù theå ñöôïc thöïc hieän baèng caùch keát hôïp caùc quan heä öùng suaát −bieán daïng (4.76) vôùi ñieàu kieän nhaát quaùn ∂f dλ = dσij = 0 (4.78) ∂σij noù ñaûm baûo raèng traïng thaùi öùng suaát ( σij + d σij ) toàn taïi sau khi söï thay ñoåi gia soá dσij ñaõ xaûy ra vaãn thoûa tieâu chuaån chaûy f f( σij + d σij ) = f( σij ) + df = f( σij ) (4.79) Giaûi phöông trình (4.76) ñoái vôùi d σij , hoaëc duøng tröïc tieáp ñònh luaät Hooke [phöông trình (3.72)], ñònh luaät chaûy [phöông trình (4.6)], vaø phöông trình (4.74), ta coù theå xaùc ñònh tenxô gia soá öùng suaát p ∂f dσij = Cijkl d( εkl − dεkl ) = Cijkldεkl − dλCijkl (4.80) ∂σkl Thay theá phöông trình (4.80) vaøo phöông trình (4.78) vaø giaûi ñoái vôùi d λ
211 ∂f C ldε l ∂σ ijk k dλ = ij (4.81) ∂f ∂f Crstu ∂σrs ε∂ tu Taát caû caùc chæ soá trong phöông trình (4.81) laø caùc chæ soá caâm, bieåu thò tính chaát voâ höôùng cuûa d λ. Do ñoù, neáu f ñöôïc ñònh nghóa cho vaät lieäu quan taâm cuï theå vaø caùc gia soá bieán daïng d εij ñaõ ñöôïc quy ñònh, heä soá d λ ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn nhaát. Phöông trình (4.81) baây giôø ñöôïc thay vaøo phöông trình (4.80); theá thì quan heä gia soá öùng suaát −bieán daïng coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch roõ raøng döôùi daïng sau  ∂f ∂f  C C l  ijmn ∂σ ∂σ pqk  dσ = C − mn pq dε (4.82a) ij ijkl ∂f ∂f kl  C   rstu   ∂σrs ε∂ tu  trong ñoù moät soá chæ soá caâm ñaõ ñöôïc bieán ñoåi moät caùch thích hôïp. Tenxô heä soá trong daáu ngoaëc bieåu dieãn tenxô caùc moâñun tieáp tuyeán ñaøn −deûo ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng: ∂f ∂f C C l ijmn ∂σ ∂σ pqk Cep = C − mn pq (4.82b) ijkl ijkl ∂f ∂f Crstu ∂σrs ε∂ tu Phöông trình (4.82) laø söï hình thaønh quan heä cô sôû toång quaùt nhaát ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng. Ta thaáy caùc gia soá öùng suaát coù theå ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn nhaát bôûi haøm chaûy f( σij ) vaø caùc gia soá bieán daïng d εij . Noùi caùch khaùc, neáu traïng thaùi öùng suaát hieän haønh σij ñöôïc bieát vaø caùc gia soá bieán daïng d εij ñaõ quy ñònh, caùc gia soá öùng suaát d σij töông öùng coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø phöông trình (4.82). Toång quaùt, neáu traïng thaùi öùng suaát hieän haønh ñöôïc bieát vaø caùc gia soá öùng suaát ñaõ quy ñònh, caùc gia soá bieán daïng töông öùng khoâng theå ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn trò bôûi vì caùc gia soá bieán daïng deûo khoâng theå ñöôïc xaùc ñònh chæ döïa vaøo heä soá voâ ñònh d λ [xem phöông trình (4.76)]. 4.8.2 Quan heä cô baûn döôùi daïng caùc moâñun ñaøn hoài E vaø ννν hoaëc G vaø K Baây giôø ta caàn bieåu dieãn tenxô ñaøn hoài, C ijk l, trong phöông trình cô baûn moät caùch roõ raøng theo caùc moâñun ñaøn hoài E vaø ν hoaëc G vaø K. Ta thay phöông trình (3.88) ñoái vôùi C ijk l vaøo phöông trình (4.81) ñeå thu ñöôïc bieåu thöùc ñoái vôùi heä soá
212 dλ: ∂f ν ∂f dε + dε δ ∂σ ij 1 − 2ν kk ∂σ ij dλ = ij ij (4.83a)  2 ∂f ∂f ν  ∂f  +  δrs  ∂σ rs ∂σ rs 1 − 2ν  ∂σ rs  Chuù yù raèng ν = 0,5(3K − 2G)/(3K + G). Do ñoù, bieåu thöùc treân coù theå ñöôïc vieát laïi nhö ∂f 3K − 2G ∂f dε + dε δ ∂σ ij 6G kk ∂σ ij dλ = ij ij (4.83b)  2 ∂f ∂f 3K − 2G  ∂f  +  δrs  ∂σrs ∂σrs 6G  ∂σrs  Ngoaøi ra, ta coù theå thay phöông trình (3.88) ñoái vôùi C ijk l vaøo phöông trình (4.80) ñeå thu ñöôïc bieåu thöùc ñoái vôùi d σij theo E vaø ν nhö E νE dσ = dε + dε δ − ij 1 + ν ij 1( + ν)(1 − 2ν) kk ij (4.84a)  E ∂f νE ∂f  − dλ + δmnδij  1 + ν ∂σij 1( + ν)(1 − 2ν) ∂σ mn  hoaëc theo G vaø K nhö  2  ∂f ∂f  dσij = 2Gdeij + Kdεkk δij − dλK − G δmnδij + 2G  (4.84b)  3  ∂σmn ∂σij  Ñoái vôùi moät soá vaät lieäu, haøm chaûy ñöôïc bieåu dieãn toång quaùt theo caùc baát bieán öùng suaát I 1 vaø J 2 döôùi daïng (f σij ) = F(I1 J2 ) − k = 0 (4.85) Noù daãn ñeán ∂f ∂f ∂I ∂f ∂ J = 1 + 2 (4.86) I ∂σ ij ∂ 1 ∂σ ij ∂ J2 ∂σ ij ∂f ∂f 1 ∂f hay = δ + s (4.87) I ij ij ∂σij ∂ 1 2 J2 ∂ J2 Vôùi bieåu thöùc naøy,phöông trình (4.84b) trôû thaønh  ∂f G ∂f  dσ = 2Gde + Kdε δ − dλ3K δ + s  (4.88) ij ij kk ij  ∂I ij ij   1 J2 ∂ J2 
213 ôû ñaây d λ coù daïng ∂f G ∂f 3Kdε kk + smn demn ∂I1 J ∂ J dλ = 2 2 (4.89) 2 2  ∂f   ∂f  9K  + G   ∂I     1   ∂ J2  Trong hai muïc tieáp theo, ta seõ baøn luaän caùch thöùc duøng nhöõng phöông trình ñoái vôùi nhöõng haøm chaûy ñaëc tröng. 4.9 MOÂ HÌNH VAÄT LIEÄU PRANDTL −−−REUSS (LYÙ THUYEÁT J 2) Haàu heát nhöõng ñieåm ñaëc tröng caàn thieát cuûa lyù thuyeát deûo gia soá coù theå ñöôïc minh hoïa bôûi daïng cô baûn nhaát, F = F(J 2). Daïng ñôn giaûn nhaát cuûa F(J 2) laø J2 , baây giôø ñöôïc bieát nhö laø tieâu chuaån chaûy von Mises . Caùc quan heä öùng suaát −bieán daïng ñaøn −deûo lyù töôûng ñaõ nhaän ñöôïc treân cô sôû cuûa tieâu chuaån chaûy von Mises f = J2 − k = 0 (4.90) vaø ñònh luaät chaûy keát hôïp cuûa noù baây giôø ñöôïc bieát nhö laø moâ hình vaät lieäu Prandtl −Reuss . Moâ hình naøy haàu nhö laø moâ hình ñöôïc söû duïng roäng raõi nhaát vaø coù leõ moâ hình vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng ñôn nhaát. Ñeå tìm ra caùc quan heä öùng suaát −bieán daïng hoaøn chænh cuûa vaät lieäu Prandtl −Reuss , ta thay phöông trình (4.90) ñoái vôùi haøm chaûy f vaøo phöông trình (4.89) ñeå nhaän ñöôïc d λ vaø roài thay d λ vaøo caùc phöông trình (4.76b) vaø (4.88) ñeå thu ñöôïc ds ij dI1 smndemn dεij = + δij + sij (4.91) 2G 9K 2k2 Gsmndemn dσij = 2Gdeij + Kdεkkδij − sij (4.92) k2 Khi nhöõng ñieàu kieän ñeå chaûy deûo xaûy ra ñöôïc thoûa, 2 ∂f J2 = k vaø df = dσij = sijdsij = 0 (4.93) ∂σij Ñaïi löôïng s mn de mn trong soá haïng thöù ba cuûa caùc phöông trình (4.91) vaø (4.92) ñöôïc nhaän ra nhö laø suaát cuûa coâng do leäch (thay ñoåi hình daùng). Khai trieån ñaïi löôïng naøy theo caùc gia soá bieán daïng deûo vaø ñaøn hoài, ta nhaän ñöôïc e p smndemn = smn (demn + demn ) (4.94)
214 Khi ta chuù yù ñeán ds dee = mn (4.95) mn 2G vaø söû duïng söï kieän dJ 2 = s mn ds mn = 0 (4.96) Phöông trình (4.94) ruùt goïn thaønh p smndemn = smndemn (4.97) noù chæ ra raèng suaát cuûa coâng leäch trong mieàn chaûy deûo thì chæ do bieán daïng deûo. Hôn nöõa, töø nhöõng phöông trình (4.91) vaø (4.92) ta coù: dI dε = 1 = dεe (4.98) kk 3K kk noù nguï yù raèng p e dε kk = dε kk − d kk = 0 (4.99) Söï thay ñoåi theå tích thuaàn laø ñaøn hoài vaø khoâng coù söï thay ñoåi theå tích deûo xaûy ra ñoái vôùi moâ hình vaät lieäu Prandtl −Reuss . Suaát bieán daïng deûo chæ coù moät thaønh phaàn leäch, noù ñöôïc ñònh nghóa bôûi ñònh luaät chaûy [xem phöông trình (4.8)]: p ∂f ∂J2 dεij = dλ = dλ = dλsij (4.100) ∂σij ∂σij Suaát cuûa coâng deûo coù theå nhaän ñöôïc moät caùch ñôn giaûn: p 2 dWp = σijdεij = dλσ ijsij = 2dλJ2 = 2dλk (4.101) Töø keát quaû naøy, ta xaùc ñònh heä soá d λ dW s dep s de dλ = p = mn mn = mn mn (4.102) 2k 2 2k 2 2k 2 Khi d λ = 0, caùc phöông trình (4.91) vaø (4.92) bieán ñoåi thaønh ñònh luaät Hooke döôùi daïng vi phaân. Do ñaïi löôïng d λ tyû leä vôùi gia soá s mn de mn , roõ raøng laø caùc gia soá bieán daïng d εij trong phöông trình (4.91) khoâng ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn trò ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát σij ñaõ cho; nhöng neáu caùc gia soá bieán daïng d εij vaø traïng thaùi öùng suaát hieän haønh σij ñöôïc cung caáp, caùc gia soá öùng suaát töông öùng ñöôïc xaùc ñònh moät caùch duy nhaát bôûi phöông trình (4.92). Sau cuøng, caùc ñaëc tröng cuûa vaät lieäu Prandtl −Reuss coù theå ñöôïc toùm taét nhö sau:
215 1- Caùc gia soá bieán daïng deûo phuï thuoäc vaøo caùc giaù trò hieän thôøi cuûa traïng thaùi öùng suaát leäch, maø khoâng phuï thuoäc vaøo gia soá öùng suaát trong quaù trình ñaït ñeán traïng thaùi naøy. 2- Caùc truïc chính cuûa tenxô öùng suaát vaø tenxô gia soá bieán daïng deûo truøng nhau. 3- Söï thay ñoåi theå tích deûo trieät tieâu trong suoát quaù trình chaûy deûo. 4- Caùc tyû soá cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo theo nhöõng höôùng khaùc nhau coù giaù trò xaùc ñònh, nhöng caùc ñoä lôùn thöïc cuûa chuùng phuï thuoäc nhaân töû baát ñònh d λ, (d λ lieân heä vôùi coâng bieán daïng deûo dW p). Thí duï 4.2 Haõy khaûo saùt öùng xöû cuûa vaät lieäu Prandtl −Reuss döôùi nhöõng ñieàu kieän cuûa bieán daïng ñôn truïc. Giaûi: Döôùi nhöõng ñieàu kieän cuûa bieán daïng ñôn truïc, caùc gia soá bieán daïng vaø caùc öùng suaát ñöôïc cho nhö dεij = [d ε1, 0, 0]; de ij = (1/3)d ε1[2, −1, −1] σij = [ σ1, σ2, σ3]; s ij = [s 1, s 2, s 2] (4.103) vaø tieâu chuaån chaûy von Mises coù daïng ñôn giaûn 1 J2 = σ1 − σ2 = k (4.104) 3 Trong mieàn ñaøn hoài, caùc quan heä öùng suaát −bieán daïng gia soá ñöôïc cho bôûi  4  3K + 4G dσ = K + Gdε = Bdε = dI (4.105a) 1  3  1 1 9K 1 2G vaø dσ − dσ = 2Gdε = dI (4.105b) 1 2 1 3K 1 Baèng caùch thay tieâu chuaån chaûy (4.104) vaøo caùc phöông trình (4.105), giaù trò öùng suaát doïc σ1 luùc chaûy deûo nhaän ñöôïc: 3(3 K + 4G) 3B σ = k = k (4.106) 1 6G 2G ôû ñaây B = K + (4/3)G ñöôïc bieát döôùi teân laø moâñun raøng buoäc . Do ñoù, khi σ1 ñaït ñeán giaù trò ñöôïc cho trong phöông trình (4.106), vaät lieäu seõ chaûy deûo, vaø vieäc gia taêng öùng suaát doïc theâm gaây ra caû bieán daïng deûo vaø ñaøn hoài khi traïng thaùi öùng suaát di chuyeån doïc beà maët chaûy deûo lyù töôûng. Trong mieàn chaûy deûo, caùc quan heä öùng suaát −bieán daïng (4.92) ñoái vôùi caùc thaønh phaàn öùng suaát tröôït coù daïng
216 G s( 1de 1 + 2s2de 2 ) ds 1 = 2Gde 1 − s1 (4.107) k 2 Khi ta söû duïng thöïc teá ds ii = de ii = 0 vaø de 1 = 2d ε1/3, phöông trình (4.107) trôû thaønh 2 4G Gs 1 ds 1 = dε1 − dε1 = 0 (4.108) 3 k 2 2 2 do k = J 2 = (3/4)s 1 trong mieàn chaûy deûo. Phöông trình (4.108) nguï yù raèng ds 2 = 0 bôûi vì ds ii = 0. Vì theá, trong thí nghieäm bieán daïng ñôn truïc, caùc thay ñoåi öùng suaát vöôït quaù chaûy deûo ban ñaàu laø loaïi thuaàn aùp löïc thuûy tónh: dσ1 = ds 1 + (3/4)dI 1 = (1/3)dI 1 (4.109a) dσ2 = ds 2 + (3/4)dI 1 = (1/3)dI 1 (4.109b) Vaät lieäu öùng xöû nhö theå noù laø chaát loûng khi maø noù ñaõ ñaït ñeán söùc beàn tröôït giôùi haïn cuûa noù, vaø caùc thay ñoåi theå tích töông öùng thuaàn laø ñaøn hoài (1/3)dI 1 = Kd ε1 (4.110)
217 Hình 4.13 ÖÙng xöû cuûa cuûa vaät lieäu Prandtl −Reuss döôùi nhöõng ñieàu kieän cuûa bieán daïng ñôn truïc a) Quan heä öùng suaát −bieán daïng doïc b) Quan heä hieäu öùng suaát −hieäu bieán daïng chính c) Quan heä aùp löïc −bieán daïng theå tích d) Quan heä hieäu öùng suaát chính −aùp löïc (loä trình öùng suaát) Thay phöông trình (4.110) vaøo phöông trình (4.109a) seõ daãn ñeán quan heä öùng suaát −bieán daïng doïc trong mieàn chaûy deûo dσ1 = Kd ε1 (4.111) Hình 4.13 moâ taû döôùi daïng ñoà thò öùng xöû cuûa vaät lieäu Prandtl −Reuss trong thí nghieäm bieán daïng ñôn truïc. Ñoä doác cuûa ñöôøng cong σ1 theo ε1 (hình 4.13a) gaõy, hoaëc meàm, khi chaûy deûo xaûy ra vaø trôû neân töông ñöông vôùi moâñun khoái. Do ñoù, nhöõng ñoä doác ñaët taûi cuûa ñöôøng cong ( σ1 − σ2) theo ( ε1 − ε2) vaø ñöôøng cong ( σ1 − p σ2) theo I 1/3 trôû thaønh zero (hình 4.13b vaø d). Do d ε kk = 0, ñoä doác cuûa ñöôøng cong I 1/3 theo εkk vaãn duy trì haèng soá (hình 4.13c). Moãi laàn caát taûi vaät lieäu, vaät lieäu theo caùc quan heä ñaøn hoài tuyeán tính (4.105) cho ñeán khi noù laïi ñaït ñeán beà maët chaûy treân caïnh ñoái dieän cuûa beà maët chaûy, töông öùng vôùi 1 (σ1 − σ2 ) = −k (4.112) 3 vaø roài vaät lieäu laïi chaûy deûo, töông öùng vôùi caùc phöông trình (4.92). ÖÙng xöû caát taûi naøy cuõng ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.13. Thí duï 4.3 Haõy khaûo saùt öùng xöû cuûa vaät lieäu Prandtl −Reuss döôùi ñieàu kieän öùng suaát phaúng ñöôïc ñònh nghóa bôûi σij = [ σ1, 0, σ3]. Giaûi Ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát naøy, vaät lieäu seõ chaûy deûo khi 1 2 2 2 J = (σ + σ − σ σ ) = k (4.113) 2 3 1 3 1 3 Phöông trình (4.113) dieãn taû moät ellipse trong khoâng gian öùng suaát ( σ1, σ3) (hình 4.14). Baây giôø chuùng ta khaûo saùt thí nghieäm keùo −keùo song truïc vôùi öùng suaát phöông ngang σ3 ñöôïc giöõ khoâng ñoåi ôû giaù trò k trong khi öùng suaát phöông ñöùng ñöôïc gia taêng töø ñieåm A ñeán ñieåm B. Tröôùc khi ñaït ñeán ñieåm chaûy B, öùng xöû cuûa vaät lieäu laø ñaøn hoài tuyeán tính vôùi 9KG dσ = dε = Edε 1 3K + G 1 1
218 3K − 2G dε = dε = −νdε (4.114) 3 6K + 2G 1 1 dε2 = dε3 ÔÛ ñieåm B, vaät lieäu chaûy deûo, vaø bieán daïng deûo khoâng giôùi haïn xaûy ra ôû σ1 = 2k, σ3 = k; caùc thaønh phaàn töông öùng cuûa gia soá bieán daïng deûo laø p ∂J2 dλ dε3 = dλ = 2( σ3 − σ1 ) = 0 ∂σ3 3 (4.115) p p dε2 = −dε1 = −kdλ do tính khoâng neùn p Chuù yù raèng, ta khoâng theå thu ñöôïc d ε 2 baèng caùch laáy vi phaân ñieàu kieän chaûy (4.113) bôûi vì noù laø daïng ñöôïc cho chæ trong khoâng gian öùng suaát ( σ1, σ3). Tuy 2 2 nhieân, ta coù theå laáy vi phaân J 2 trong daïng goác (1/6)[( σ1 − σ2) + ( σ2 − σ3) + ( σ3 − 2 p σ1) ] ñeå nhaän ñöôïc d ε 2 = −dλ(σ1 + σ3)/3 = −kd λ. Neáu chuùng ta laëp laïi thí nghieäm töông töï vaø thay ñoåi höôùng cuûa σ1 (thí nghieäm keùo −neùn song truïc), ta tìm ra raèng vaät lieäu chaûy deûo khi σ1 = −k vaø σ3 = k (ñieåm C trong hình 4.14). ÔÛ ñieåm C, chaûy deûo khoâng giôùi haïn coù giaù trò p p p dε2 = ,0 dε1 = −dε3 = −kdλ (4.116) Neáu caùc toïa ñoä gia soá bieán daïng deûo ñöôïc ñaët choàng leân caùc toïa ñoä öùng suaát, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.14, khaùi nieäm tính phaùp tuyeán hoaëc ñònh luaät chaûy keát hôïp coù theå ñöôïc chöùng minh moät caùch roõ raøng töø thí duï ñôn giaûn naøy. p p Trong thí duï keùo −keùo song truïc, d ε 3 = 0, vaø vectô gia soá bieán daïng deûo d ε 1 thì vuoâng goùc vôùi beà maët chaûy ôû ñieåm B. Maët khaùc, trong thí duï keùo −neùn song truïc, p p dε 1 = d ε 3, chæ ra raèng vectô gia soá bieán daïng deûo thì vuoâng goùc vôùi beà maët chaûy ôû ñieåm C.
219 Hình 4.14 Ñöôøng cong chaûy deûo von Mises ñoái vôùi ñieàu kieän öùng suaát phaúng ñaëc bieät; AB vaø AC laø caùc loä trình öùng suaát; d εp laø vectô gia soá bieán daïng deûo 4.10 MOÂ HÌNH VAÄT LIEÄU DRUCKER −−−PRAGER Tieâu chuaån chaûy Drucker −Prager f coù daïng (xem muïc 2.3.4) f = J2 + αI1 − k = 0 (4.117) ôû ñaây α vaø k laø hai haèng soá döông cuûa vaät lieäu. Nhö ñaõ ñöôïc moâ taû trong chöông 2, beà maët chaûy, f = 0, trong khoâng gian öùng suaát chính laø maët noùn tieát dieän troøn vôùi truïc cuûa noù nghieâng ñeàu so vôùi caùc truïc toïa ñoä vaø ñænh cuûa noù trong phaàn taùm keùo. Theo caùc phöông trình (4.76) vaø (4.89), quan heä öùng suaát −bieán daïng töông öùng vôùi haøm chaûy (4.117) laø ds dI  s  dε ij + 1 δ + dλ ij + αδ  (4.118) ij 2G 9K ij  ij  2 J2  (G / J s) de + 3Kαdε ôû ñaây dλ = 2 mn mn kk (4.119) G + 9Kα2 Moät ñaëc ñieåm raát quan troïng cuûa phöông trình (4.118) laø suaát giaõn nôû khoái deûo ñöôïc cho bôûi soá haïng thöù ba ôû veá phaûi cuûa phöông trình naøy laø
220 p dαkk = 3αdλ (4.120) Phöông trình (4.120) chæ ra raèng bieán daïng deûo phaûi ñöôïc keøm theo söï gia taêng theå tích neáu α ≠ 0. Ñaëc tính naøy ñöôïc xem nhö laø söï giaõn nô û; noù laø heä quaû cuûa söï phuï thuoäc cuûa haøm chaûy deûo vaøo aùp löïc thuûy tónh. Ñoái vôùi söï môû roäng beà maët chaûy baát kyø veà höôùng truïc thuûy tónh aâm, söï giaõn nôû theå tích deûo xaûy ra luùc chaûy deûo vôùi ñònh luaät chaûy keát hôïp.Ñieàu naøy coù leõ thaáy deã hôn töø caùc luaän cöù hình hoïc. Caùc kinh tuyeán cuûa beà maët chaûy laø nhöõng ñöôøng cong giao nhau giöõa beà maët chaûy vaø maët phaúng (maët phaúng kinh tuyeán) chöùa truïc thuûy tónh; nghóa laø, θ = const trong haøm chaûy toång quaùt. Hình 4.15 chæ ra moät kinh tuyeán ñieån hình cuûa söï môû roäng beà maët chaûy Drucker −Prager theo höôùng truïc thuûy tónh aâm. Ñieàu kieän phaùp tuyeán hoaëc ñònh luaät chaûy keát hôïp ñoøi hoûi raèng vectô gia soá bieán p daïng deûo d ε ij vuoâng goùc vôùi beà maët chaûy ôû ñieåm chaûy thöïc P. Do ñoù, noù cuõng p vuoâng goùc vôùi kinh tuyeán ñi qua P. Vectô dε ij baây giôø ñöôïc phaân tích thaønh caùc pa pb thaønh phaàn ñöùng vaø ngang dεij vaø dεij laàn löôït song song vôùi caùc truïc ρ vaø ξ. pb Thaønh phaàn ngang dεij bieåu dieãn söï thay ñoåi theå tích deûo, noù luoân luoân döông khi beà maët chaûy môû roäng theo höôùng truïc thuûy tónh aâm (hình 4.15). Ñieàu naøy haøm yù raèng chaûy deûo phaûi luoân ñöôïc ñi keøm söï gia taêng theå tích. ρ = 2J pb 2 dεij = Giaõn nôû theå tích dεp pa ij dεij ° P ξ = 1 I1 3 Hình 4.15 Söï giaõn nôû theå tích deûo ñöôïc lieân keát vôùi beà maët chaûy Drucker −Prager e p Söï gia taêng bieán daïng theå tích toång dεkk =ε d kk +ε d kk coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø phöông trình (4.118) vaø d λ töø (4.119). Töø phöông trình (4.118), ta coù dI1 (G / J2 )[]σmndεmn − I1 d( εkk / )3 + 3Kαdεkk dεkk = + 3α (4.121) 3K G + 9Kα2
221 Giaûi phöông trình treân ñeå tìm d εkk vaø duøng phöông trình (4.117), ta thu ñöôïc J dI 2 3α dε = 2 1 (G + 9Kα ) + σ dε (4.122) kk 3KGk k mn mn Thay haøm chaûy (4.117) vaøo caùc phöông trình (4.88) vaø (4.89), ta nhaän ñöôïc moái quan heä sau ñaây cho tenxô gia soá öùng suaát ñoái vôùi vaät lieäu Drucker −Prager    G  dσij = 2Gdeij + Kdεkkδij − dλ sij + 3Kαδ ij  (4.123)  J2  ôû ñaây d λ ñöôïc cho bôûi phöông trình (4.119). Phöông trình (4.123) coù theå ñöôïc vieát laïi döôùi daïng thích hôïp hôn ep dσij = Cijmndεmn (4.124) nhaèm söû duïng tröïc tieáp trong vieäc thieát laäp phaàn töû höõu haïn, ôû ñaây ep  2  C = 2Gδ δ + K − G δ δ − ijmn im in  3  ij mn (4.125) (G / J2 s) ij + 3Kαδ ij  G  −  s + 3Kαδ  2  mn mn  G + 9Kα  J2  ep Tenxô Cijmn laø daïng rieâng cuûa tenxô caùc moâñun tieáp tuyeán ñaøn −deûp ñoái vôùi moâ ep hình vaät lieäu Drucker −Prager . Daïng toång quaùt cuûa Cijmn ñöôïc cho bôûi phöông trình (4.82b). Thí duï 4.4 Haõy vieát moät caùch roõ raøng ma traän cô baûn bieán daïng phaúng ñoái vôùi vaät lieäu Drucker −Prager . Giaûi Ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán daïng phaúng ( γyz = γxz = εz = 0), ta coù theå vieát quan heä öùng suaát −bieán daïng döôùi daïng ma traän dσ x    dε  dσ  x   y  ep = []C dε y  (4.126) dτ   xy    dε xy  dσz  ôû ñaây truïc z vuoâng goùc vôùi maët phaúng vaø d γxy ñöôïc goïi laø gia soá bieán daïng tröôït kyõ thuaät dγxy = 2d εxy (4.127)
222 vaø [C ep ] = [C] + [C p]  4 2   K + G K − G 0   3 3   2 4  K − G K + G 0 trong ñoù [C] =  3 3  (4.128)    0 0 G   2 2   K − G K − G 0   3 3   H2 H H H H   1 1 2 1 3   2  − 1 H2H1 H2 H2H3 []Cp =   (4.129) G + 9Kα 2  2  H3H1 H3H2 H3    H4H1 H4H2 H4H3  G G vaø H1 = 3Kα + sx , H2 = 3Kα + sy J2 J2 G G H3 = τxy , H4 = 3Kα + sz J2 J2 Thí duï 4.5 Haõy khaûo saùt öùng xöû cuûa vaät lieäu Drucker −Prager döôùi thí nghieäm bieán daïng ñôn truïc: dεij = [d ε1, 0, 0] de ij = (1/3)d ε1[2, −1, −1] (4.130) σij = [ σ1, σ2, σ3] Giaûi ÖÙng xöû ñaøn hoài cuûa vaät lieäu ñöôïc chi phoái bôûi caùc phöông trình (4.105), chuùng coù theå ñöôïc vieát laïi nhö 3K + 4G σ = I (4.131a) 1 9K 1 2G vaø σ − σ = I (4.131b) 1 2 3K 1 Baèng caùch duøng phöông trình (4.131a), phöông trình (4.131b) coù theå ñöôïc vieát laïi nhö 6G σ − σ = σ (4.131c) 1 2 3K + 4G 1
223 Ñieàu kieän chaûy Drucker −Prager trong tröôøng hôïp bieán daïng ñôn truïc trôû thaønh 1 αI1 + J2 = α(σ1 + 2σ2 ) + σ1 − σ2 = k (4.132) 3 Thay phöông trình (4.131a) ñoái vôùi I 1 vaø phöông trình (4.131c) ñoái vôùi J2 hay σ1 − σ2 vaøo phöông trình (4.132) daãn ñeán 3 3( K + 4G k) 3 Bk σ1 = = (4.133) 6G ± 9 3 Kα 2G ± 3 3 Kα trong ñoù daáu phía treân töông öùng vôùi tröôøng hôïp σ1 > 0 vaø daáu phía döôùi töông öùng vôùi tröôøng hôïp σ1 0 trong khi daáu phía döôùi duøng cho tröôøng hôïp d σ1 0. Quan heä öùng suaát −bieán daïng trong thí nghieäm neùn −bieán daïng ñôn truïc ñöôïc bieåu thò trong hình 4.16 ñoái vôùi caû hai moâ hình Prandtl −Reuss vaø Drucker −Prager. Ñoái vôùi moâ hình Prandtl −Reuss (hình 4.16a), ñöôøng cong laø ñaøn hoài cho ñeán khi ñieàu kieän chaûy ñaït ñöôïc ôû öùng suaát tæ leä vôùi k [phöông trình (4.106)]. Trong mieàn chaûy deûo, ñoä doác laø moâñun khoái K. Quaù trình caát taûi laø ñaøn hoài cho ñeán khi caïnh ñoái dieän cuûa beà maët chaûy ñöôïc ñaït ñeán vaø roài chaûy
224 deûo laïi xaûy ra vôùi ñoä doác K. Luùc hoaøn thaønh chu kyø öùng suaát neùn, moät bieán daïng (neùn) thöôøng tröïc (dö) vaãn duy trì. Tröôøng hôïp moâ hình Drucker −Prager ñöôïc ñaët taûi khoâng vöôït quaù xa mieàn ñaøn hoài thì töông töï (hình 4.16b). Ñeå hieåu ñieàu naøy, ta khaûo saùt ñoä doác cuûa ñöôøng cong σ1−ε1 trong mieàn chaûy deûo. Do theo thöù töï ñoái vôùi loä trình bieán daïng −öùng suaát ñôn truïc ñeå ñaït ñeán beà maët chaûy trong thí nghieäm neùn, ñieàu kieän sau ñaây phaûi giöõ vöõng: 2G > 3α (4.136) 3 K do ñoù, töø phöông trình (4.135) ñoä doác cuûa ñöôøng cong σ1−ε1 trong quaù trình chaûy deûo seõ lôùn hôn K trong quaù trình ñaët taûi neùn (daáu phía treân, ñoái vôùi d σ1 0). Bieán daïng thöôøng tröïc (dö) ôû cuoái chu kyø ñaët −caát taûi vaãn laø neùn neáu vaät lieäu ñöôïc ñaët taûi vöôït khoâng quaù xa öùng suaát chaûy ban ñaàu vaø roài caát taûi, nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 4.16b. Tuy nhieân, khi vaät lieäu naøy ñöôïc ñaët taûi vöôït xa mieàn ñaøn hoài (hình 4.16c), söï thieát laäp thöôøng tröïc trôû thaønh keùo. Ñieàu naøy coù theå ñöôïc xem laø tröôøng hôïp moät chieàu cuûa hieän töôïng phình ra ba chieàu. Ñeå khaûo saùt gia soá bieán daïng theå tích trong quaù trình ñaët taûi neùn, ta ñaët i = j trong phöông trình (4.123) vaø chuù yù raèng ñoái vôùi tröôøng hôïp σ1 A 2 ÖÙng suaát Chaûy deûo chaûy ε c) 1 A2 Thieát laäp = keùo
225 Hình 4.16 Bieán daïng ñôn truïc ñoái vôùi caùc moâ hình Prandtl −Reuss vaø Drucker −Prager a) Prandtl −Reuss, ñaøn deûo, k lôùn; b) Drucker −Prager, öùng suaát nhoû c) Drucker −Prager, öùng suaát lôùn (2G / 3 − 3Kα) dλ = dε1 , G + 9Kα2 ta coù theå thu ñöôïc moái quan heä gia soá giöõa aùp löïc thuûy tónh vaø bieán daïng theå tích neùn ñoái vôùi caùc thí nghieäm bieán daïng ñôn truïc nhö 9Kα{[ 2( /)3 3]G − 3Kα} dI1 = dεkk + 3Kdεkk (4.137) G + 9Kα2 Khi α ñöôïc thieát laäp baèng zero , phöông trình (4.137) quy veà bieåu thöùc töông öùng ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài. Gia soá bieán daïng theå tích d εkk coù theå tìm ñöôïc töø phöông trình (4.137); theá thì gia soá bieán daïng theå tích deûo seõ thu ñöôïc baèng caùch e 1 tröø phaàn ñaøn hoài, dε = dI / K , khoûi d εkk : kk 3 1 p α 2( 3 G − 9Kα) dεkk = dI1 (4.138) 3KG 1( + 2 3 α) Chuù yù phöông trình (4.136), ta thaáy raèng gia soá bieán daïng theå tích deûo döông (giaõn nôû) nhö ñöôïc mong ñôïi. 4.11 VAÄT LIEÄU ÑAÚNG HÖÔÙNG TOÅNG QUAÙT Caùc beà maët chaûy ñöôïc xem xeùt trong nhöõng muïc tröôùc ñaây ñöôïc ñònh nghóa chæ theo caùc baát bieán I 1 vaø J 2, vaø ñoäc laäp vôùi baát bieán J 3, hay töông öùng goùc θ. Tuy nhieân, ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng toång quaùt, beà maët chaûy laø moät haøm cuûa I 1, J2, vaø J 3, ñöôïc bieåu dieãn bôûi f(I 1, J 2, J 3) = 0 (4.139) Ñoä doác ( gradient ) trong tröôøng hôïp naøy coù theå ñöôïc vieát nhö ∂f ∂f ∂I ∂f ∂J ∂f ∂J = 1 + 2 + 3 (4.140a) ∂σij ∂I1 ∂σij ∂J2 ∂σij ∂J3 ∂σij ∂f hoaëc = B0δij + B1sij + B2t ij (4.140b) ∂σij ôû ñaây B 0, B 1, vaø B 2 töông öùng kyù hieäu caùc ñaïo haøm rieâng ∂f/ ∂I1, ∂f/ ∂J2 ∂f/ ∂J3, vaø
226 δij laø kyù hieäu Kronecker , s ij laø tenxô öùng suaát leäch, vaø t ij laø ñoä leäch cuûa bình phöông cuûa leäch öùng suaát s ij : ∂J3 2 t ij = = sikskj − J2δij (4.141) ∂σij 3 Thöïc teá, caùc tieâu chuaån chaûy deûo cuûa Tresca vaø Mohr −Coulomb ñöôïc duøng thoâng duïng nhaát thuoäc loaïi naøy. Nhö moät minh hoïa, ta xem laïi phöông trình (2.180), noù laø moät bieåu thöùc daïng khaùc cuû tieâu chuaån Mohr −Coulomb : 1  π  J2  π  (f σij ) = I1 sin φ + J2 sinθ +  + cosθ +  − c cos φ = 0 (4.142) 3  3  3  3  vaø chuù yù raèng 3 3 J cos 3θ = 3 (4.143) 2/3 2 J2 Do ñoù, ta coù ∂θ 3 3 J cot 3θ = 3 = ∂J 4 sin 3θ /5 2 2J 2 J2 2 (4.144) ∂θ 3 1 cot 3θ = − = − /3 2 ∂J3 2 sin 3θ J2 3J3 Laáy ñaïo haøm rieâng cuûa phöông trình (4.142) theo I 1, J 2, vaø J 3, ta thu ñöôïc ∂f sin φ B0 = = ∂I1 3 ∂f sin()θ + π 3   π   B1 = = 1 + cotθ +  cot 3θ ∂J2 2 J2   3   (4.145) sin φ   π   + cotθ +  − cot 3θ 3   3   ∂f sin()θ + π 3 sin φ − 3 cos()θ + π 3 B2 = = ∂J3 2J2 sin 3θ Baûng 4.1 Caùc haèng soá B i ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc beà maët chaûy khaùc nhau Haøm chaûy B0 B1 B2 von Mises 0 1 0 (2.143) π   π   sin θ +   −3 cos  θ +   3  π   3  Tresca 0   1+ cot θ+  cot 3 θ    J  3   J2 sin3 θ  2    (2.138)    
227 Mohr- sinφ 3 π   π  π  sin θ +   sinθ+ sin φ− 3 cos  θ+  Coulomb 3  π   3  3   1+ cot θ+  cot3 θ    2 J  3   2J2 sin3 θ  (2.180) 2        Drucker-  α π    Prager +φsin cot θ+  − cot3 θ  3  3    (2.185) 0 1( 2 J 2 ) Töø phöông trình (4.140), ta coù theå thaáy raèng chæ nhöõng haèng soá B i caàn ñöôïc ñònh nghóa bôûi beà maët chaûy. Noùi caùch khaùc, chæ ba ñaïi löôïng naøy phaûi ñöôïc bieán ñoåi giöõa beà maët chaûy naøy ñeán beà maët chaûy khaùc. Nhöõng haèng soá B i ñöôïc cho trong baûng 4.1 ñoái vôùi boán haøm chaûy ñöôïc khaûo saùt trong muïc naøy. Nhöõng haøm chaûy khaùc coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch deã daøng trong cuøng daïng. Trong caùc öùng duïng phaàn töû höõu haïn, quan heä cô baûn cuûa vaät lieäu ñöôïc phaûn ep aùnh bôûi ma traän ñoä cöùng vaät lieäu Cijk l , noù ñöôïc duøng trong vieäc hình thaønh ñoä cöùng tieáp tuyeán. Ma traän ñoä cöùng naøy lieân heä gia soá bieán daïng vôùi gia soá öùng suaát ñöôïc cho bôûi phöông trình (4.82a): ep dσij = Cijkldεkl (4.146) ep Ñeå thu ñöôïc daïng toång quaùt cuûa tenxô Cijk l , ta vieát laïi phöông trình (4.82b) nhö ep p Cijkl = Cijkl + Cijkl (4.147) trong ñoù C ijk l laø tenxô ñaøn hoài ñöôïc cho bôûi phöông trình (3.88) nhö E  2ν  Cijkl =  δijδkl + δik δil + δil δ jk  (4.148) 1(2 + ν)  1( − 2ν)  p trong khi Cijkl laø tenxô deûo ñöôïc bieåu dieãn nhö H H Cp = ih kl (4.149) ijkl h ∂f ∂f ôû ñaây h = Crstu (4.150) ∂σ rs ∂σtu ∂f vaø Hij = Cijmn (4.151) ∂σmn Thay caùc phöông trình (4.148) ñoái vôùi C ijk l vaø (4.140) ñoái vôùi ∂f/ ∂σij vaøo caùc phöông trình (4.150) vaø (4.151), sau pheùp ñaïo haøm daøi doøng nhöng khoâng phöùc
228 taïp (xem baøi taäp 4.13), ta ñaït ñeán caùc bieåu thöùc sau ñaây cho h vaø H ij theo caùc haèng soá ñaøn hoài G vaø ν vaø caùc heä soá B 0, B 1, vaø B 2:  1 + ν 2  h = 2G3B2 + 2B2 J + B2J2 + 6B B J  (4.152)  0 1 − 2ν 1 2 3 2 2 1 2 3   1 + ν  H = 2GB δ + B s + B t  (4.153) ij  0 1 − 2ν ij 1 ij 2 ij  Neáu tenxô gia soá öùng suaát d σij vaø tenxô gia soá bieán daïng d εij ñöôïc bieåu dieãn roõ raøng theo daïng vectô nhö {d σij } = { d σx, d σy, d σz, d τyz , d τzx , d τxy } {d εij } = { d εx, d εy, d εz, d γyz , d γzx , d γxy } (4.154) ôû ñaây d γxy = 2 d εxy , laø caùc bieán daïng tröôït kyõ thuaät, vectô töông öùng ñoái vôùi tenxô Hij coù daïng [H ij ] = { H x, H y, H z, H yz , H zx , H xy } (4.155)  1 + ν  2 2 2 2  ôû ñaây Hx = 2GB0 + B1sx + B2 sx + sxy + sxz − J2 ,  1 − 2ν  3  vaø Hyz = 2G[B 1syz + B 2(s xy sxz + s ysyz + s yz sz)], ep Do ñoù, tenxô Cijk l coù theå ñöôïc bieåu dieãn trong daïng ma traän nhö [C ep ] = [C] + [C p] (4.156) ôû ñaây  4 2 2  (K + G) (K − G) (K − G) 0 0 0   3 3 3  2 4 2 (K − G) (K + G) (K − G) 0 0 0   3 3 3   2 2 4  [C] = (K − G) (K − G) (K + G) 0 0 0  (4.157)  3 3 3   0 0 0 G 0 0     0 0 0 0 G 0     0 0 0 0 0 G vaø
229  H2 H H H H H H H H H H   x x y x z x yz x 2x x xy   H2 H H H H H H H H   y y z y yz y zx y xy   2  1 Hz HzHyz HzHzx HzH xy [Cp ] = −   (4.158) h  2   Hyz HyzHzx H yxH xy   2  sym Hzx H2xH xy   2   H xy  4.12 BAØI TAÄP 4.1 Moät bình aùp löïc thaønh moûng troøn daøi chòu aùp löïc beân trong p vaø bò chaûy deûo. Tìm heä soá cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo theo ba höôùng chính theo phöông trình Prandtl −Reuss . 4.2 Moät oáng thaønh moûng chòu keùo doïc truïc haèng vaø xoaén thay ñoåi. ÖÙng suaát phaùp höôùng truïc laø σz = 0,5 σ0. Theo tieâu chuaån von Mises , haõy tìm ñoä lôùn cuûa öùng suaát tieáp τ ñeå oáng baét ñaàu chaûy deûo. Haõy xaùc ñònh heä soá cuûa caùc p gia soá bieán daïng deûo dεij khi oáng ñöôïc chaûy deûo. 4.3 Moät phaân toá vaät lieäu chòu ba quaù trình ñaët taûi tyû leä. Caùc heä soá cuûa caùc öùng suaát chính ñoái vôùi ba tröôøng hôïp gia taûi ñöôïc cho nhö (1) (2 σ, σ, 0); (2) ( σ, σ, 0); (3) (0, −σ, −σ). Theo 2 a) Tieâu chuaån von Mises : J 2 = k ; b) Tieâu chuaån Tresca : τmax = ( σmax − σmin )/2 = k; c) Tieâu chuaån Drucker −Prager : αI1 + J 2 = k ; d) Tieâu chuaån Mohr −Coulomb : (m σmax − σmin )/2 = k, Haõy tìm ñoä lôùn cuûa σ ñoái vôùi moãi tröôøng hôïp ñaët taûi ñeå vaät lieäu baét ñaàu p p p chaûy deûo. Haõy tìm vectô gia soá bieán daïng deûo chính d( ε1 , dε2 , dε3 ) trong quaù trình chaûy deûo döïa treân ñònh luaät chaûy keát hôïp. 4.4 Haõy chöùng toû raèng gia soá bieán daïng deûo ôû ñænh hình choùp luïc giaùc Mohr −Coulomb coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö p dε1 = (dλ1 + dλ 2 )m − (dλ 4 + dλ5 ) p dε 2 = ()()dλ5 + dλ 6 m − dλ 2 + dλ 3 p dε 3 = ()()dλ 3 + dλ 4 m − dλ1 + dλ 6 Haõy chöùng toû raèng caùc phöông trình (4.34) vaø (4.36) vaãn ñuùng trong tröôøng hôïp naøy (hình 4.5).
230 4.5 Beà maët chaûy ñöôïc Mohr −Coulomb hieäu chænh laø beà maët Mohr −Coulomb mσmax − σmin = f’ c ñöôïc keát hôïp vôùi maët phaúng giôùi haïn keùo σmax = f’ t. Beà maët chaûy naøy goàm chín maët phaúng, chín caïnh, vaø baûy ñænh. Haõy phaân tích gia soá bieán daïng deûo ôû caùc maët phaúng giôùi haïn vaø caùc caïnh vaø caùc ñænh coù lieân quan. Haõy chöùng toû raèng a) Caùc gia soá bieán daïng deûo thoûa ∑ dεp t > m p ∑ dεc b) Gia soá coâng deûo coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi , p , p p dWp = fc ∑ dεc + ft (∑ dεt − m ∑ dεc ) 4.6 Moät oáng daøy ñaàu tieân ñöôïc ñaët taûi ñeán mieàn ñaøn −deûo vôùi aùp suaát beân trong p, p e ≤ p ≤ pc, vaø roài ñöôïc caát taûi hoaøn toaøn. a) Haõy tìm caùc öùng suaát dö. b) Haõy xaùc ñònh aùp suaát cao nhaát ñeå vaät lieäu cuûa oáng seõ khoâng chaûy deûo laïi khi caát taûi. c) Haõy chöùng toû raèng neáu tyû soá cuûa baùn kính ngoaøi vaø baùn kính trong cuûa oáng, b/a, nhoû hôn 2,2; vaät lieäu seõ laéng xuoáng öùng xöû ñaøn hoài ñoái vôùi vieäc taïo aùp löïc giöõa p = 0 vaø p = p c. 4.7 Moät oáng daøy laøm baèng vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng chòu ñöïng aùp suaát beân trong chaûy deûo hoaøn toaøn ñöôïc cho bôûi phöông trình (4.73). Haõy khaûo saùt beà maët chaûy Tresca cuûa caùc ñieåm öùng suaát ñoái vôùi nhöõng baùn kính khaùc nhau, aùp duïng tính phaùp tuyeán ñeå thu ñöôïc thoâng tin veà bieán daïng deûo döông, vaø kieåm chöùng raèng bieán daïng deûo nhö theá töông thích vôùi moâ hình phaù huûy cuûa oáng. 4.8 Moät oáng composite bao goàm n oáng ñöôïc laøm cuøng vaät lieäu loàng leân nhau. Baùn kính trong vaø ngoaøi cuûa n oáng töông öùng laø (r i, r 1), (r 1, r 2), , (r n−1, re). OÁng composite chòu aùp suaát beân trong p. Vaät lieäu tuaân theo tieâu chuaån chaûy Tresca . Giaû söû raèng chaûy deûo xaûy ra moät caùch ñoàng thôøi ôû nhöõng maët trong cuûa moãi oáng. Haõy chöùng toû raèng: a) AÙp suaát beân trong ñoái vôùi chaûy deûo ñaàu tieân ñöôïc cho bôûi   2 2  2  σ   r   r   r   p = 0 n −  i  +  1   + L +  n −1   2  r   r    r    1   2    e  
231 trong ñoù σ0 laø öùng suaát chaûy trong keùo ñôn truïc. b) Neáu tyû soá cuûa caùc baùn kính ngoaøi vaø trong cuûa moãi oáng laø  1 / n rk  re  =   k = 1, 2, , n; r 0 = r i, r n = r e rk −1  ri  aùp löïc p laáy giaù trò cöïc ñaïi ñoái vôùi chaûy deûo ñaàu tieân, vaø  2 / n  nσ  r  ()p = 0 1 −  i   e max 2   r     e   c) AÙp suaát chaûy deûo hoaøn toaøn p ñöôïc cho bôûi pc = σ0ln(r e/r i) 4.9 Cho hình caàu roãng coù baùn kính trong a vaø baùn kính ngoaøi b. Haõy phaân tích öùng xöû cuûa hình caàu döôùi aùp suaát beân trong. a) Haõy tìm caùc öùng suaát vaø chuyeån vò ñaøn hoài. Haõy xaùc ñònh aùp suaát cöïc ñaïi p e ñeå lôøi giaûi ñaøn hoài naøy ñuùng. b) Haõy tìm lôøi giaûi ñaøn −deûo vaø aùp suaát cöïc ñaïi p e ñeå lôøi giaûi naøy ñuùng. c) Neáu vaät lieäu ñöôïc giaû thieát khoâng neùn trong caû mieàn ñaøn hoài vaø chaûy deûo, nhöõng tröôøng hôïp ñôn giaûn hoùa naøo seõ xaûy ra? d) Haõy tìm caùc öùng suaát dö sau quaù trình caát taûi hoaøn toaøn vaø xaùc ñònh aùp suaát cao nhaát ñeå söï laéng xuoáng xaûy ra. e) Haõy tìm caùc öùng suaát vaø caùc suaát bieán daïng ñoái vôùi chaûy deûo khoâng kieàm cheá. 4.10 Trong thí nghieäm keùo/xoaén keát hôïp oáng thaønh moûng tieát dieän troøn, goïi σ vaø ε töông öùng laø öùng suaát phaùp vaø bieán daïng daøi theo phöông doïc truïc, τ vaø γ töông öùng laø öùng suaát tieáp vaø bieán daïng tröôït. Giaû söû raèng oáng ñöôïc laøm baèng vaät lieäu Prandtl −Reuss vôùi ν = 0,5. Haõy tính caùc öùng suaát σ vaø τ töông öùng vôùi traïng thaùi bieán daïng ( ε, γ) = ( σY/E, σY/ 3 G) ñoái vôùi ba loä trình ñaët taûi sau ñaây (hình P4.10): a) Bieán daïng daøi doïc truïc ε ñaàu tieân ñöôïc taêng leân giaù trò chaûy deûo ε = σY/E, roài ñöôïc giöõ khoâng ñoåi, trong khi bieán daïng tröôït ñöôïc taêng leân ñeán giaù trò cuoái cuøng cuûa noù γ = σY/ 3 G. b) Nghòch ñaûo loä trình ñaët taûi treân: bieán daïng tröôït ñaàu tieân ñöôïc taêng leân ñeán giaù trò cuoái cuøng cuûa noù γ = σY/ 3 G, roài ñöôïc giöõ haèng soá, trong khi bieán daïng daøi doïc truïc ε ñöôïc taêng leân giaù trò cuoái cuøng cuûa noù σY/E. c) Caû hai bieán daïng ε vaø γ ñöôïc gia taêng moät caùch tyû leä vôùi tyû soá ε/γ = 3
232 G/E = 1/ 3 , cho ñeán khi giaù trò cuoái cuøng cuûa chuùng ñaït ñeán. Gôïi yù: Chuù yù raèng σmn de mn = σmn dεmn , do ñoù d λ coù theå thu ñöôïc theo k, σ, dε, τ vaø d γ. Do ñieàu kieän khoâng neùn, caùc phöông trình (4.91) hoaëc (4.92) seõ daãn ñeán moät nhoùm caùc phöông trình vi phaân lieân heä vôùi σ(ε, γ) vaø τ(ε, γ). Haõy cho d ε = 0 hay d γ = 0; caùc phöông trình vi phaân coù theå ñöôïc tích phaân ñoái vôùi caùc tröôøng hôïp (a) vaø (b). 4.11 Haõy khaûo saùt öùng xöû cuûa vaät lieäu Prandtl −Reuss vaø Drucker − Prager döôùi ñieàu kieän öùng suaát phaúng ñöôïc ñònh nghóa bôûi σij = [ σ1, 0, σ3]. So saùnh caùc keát quaû. 4.12 Haõy chöùng minh caùc phöông trình (4.145). 4.13 Haõy chöùng minh caùc phöông trình (4.152) vaø (4.153). Hình P4.10 4.14 Moät oáng beâ toâng thaønh daøy daøi khoâng ñaùy ( σ2 = 0) chòu aùp suaát beân trong p. Caùc baùn kính beân trong vaø ngoaøi töông öùng laø a vaø b. Giaû söû vaät lieäu beâ toâng tuaân theo tieâu chuaån Rankine vôùi ñoä beàn keùo ñôn truïc f’ t. a) Haõy xaùc ñònh aùp suaát beân trong giôùi haïn ñaøn hoài. b) Haõy xaùc ñònh moái quan heä giöõa bieân ñaøn −deûo r = c vaø aùp suaát beân trong p ñoái vôùi p > p c. c) Haõy xaùc ñònh aùp suaát beân trong giôùi haïn deûo. d) Ñoái vôùi tröôøng hôïp b/a = 2, haõy veõ caùc ñöôøng cong σr vaø σθ theo r ñoái vôùi bieân ñaøn −deûo töông öùng ôû c = a, c = (a + b)/2, vaø c = b. 4.15 Moät loã hình truï ñöùng daøi vôùi baùn kính trong a trong nöûa khoâng gian cuûa ñaù chòu aùp suaát beân trong p nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình P4.15. Giaû söû raèng
233 vaät lieäu ñaù tuaân theo tieâu chuaån Rankine , vôùi ñoä beàn keùo ñôn truïc f’ t. Haõy xaùc ñònh moái quan heä giöõa baùn kímh cuûa vuøng deûo vôùi aùp suaát beân trong. 4.16 Giaûi laïi baøi taäp 4.15 baèng caùch duøng tieâu chuaån chaûy Tresca . Chöùng toû raèng moái quan heä giöõa baùn kímh cuûa vuøng deûo vôùi aùp suaát beân trong coù theå thu ñöôïc baèng caùch cho b → ∞ trong phöông trình (4.68). Hình P4.15 4.17 Giaû söû raèng vaät lieäu beâ toâng tuaân theo tieâu chuaån Mohr −Coulomb , giaûi laïi baøi taäp 4.14. Caùc ñoä beàn keùo vaø neùn ñôn truïc cuûa vaät lieäu töông öùng laø f’ t vaø f’ c. Haõy veõ caùc ñöôøng cong σr vaø σθ theo r baèng caùch duøng f’ c/f’ t = 10. 4.18 Giaûi laïi baøi taäp 4.15 baèng caùch duøng tieâu chuaån Mohr −Coulomb . Giaû söû caùc ñoä beàn keùo vaø neùn ñôn truïc cuûa ñaù töông öùng laø f’ t vaø f’ c. 4.19 Chuù yù raèng tieâu chuaån Tresca vaø Rankine laø nhöõng tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa tieâu chuaån Mohr −Coulomb , haõy chöùng toû raèng: a) Caùc lôøi giaûi ñaøn −deûo cuûa oáng truï thaønh daøy ñöôïc moâ taû trong muïc 4.7 vaø baøi taäp 4.14 laø nhöõng tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa lôøi giaûi baøi taäp 4.17. 4.20 Haõy tìm bieåu thöùc heä soá voâ höôùng d λ ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn −deûo lyù töôûng toång quaùt baèng caùch duøng ñònh luaät chaûy keát hôïp p ∂f dεij = dλ ∂σij
234 ÔÛ ñaây f = f( σij ) laø haøm chaûy. Giaû söû raèng öùng xöû ñaøn hoài cuûa vaät lieäu laø tuyeán tính vaø ñaúng höôùng, haõy bieåu dieãn heä soá voâ höôùng d λ theo hai haèng soá ñaøn hoài K vaø G. 4.21 Haõy vieát chöông trình ñeå tính ma traän cöùng vaät lieäu [C ep ] cuûa phöông trình (4.156) ñoái vôùi boán haøm chaûy ñöôïc cho trong baûng 4.1.
235 Chöông 55 CAÙC QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT −−−BIEÁN DAÏNG ÑOÁI VÔÙI CAÙC VAÄT LIEÄU BIEÁN CÖÙNG 5.1 GIÔÙI THIEÄU Vaät lieäu kyõ thuaät thöôøng bieåu loä öùng xöû bieán cöùng. Vieäc gia taêng öùng suaát vöôït qua beà maët chaûy ban ñaàu vaø vaøo mieàn bieán cöùng (gia taûi) gaây ra caû bieán daïng deûo vaø ñaøn hoài. ÔÛ moãi traïng thaùi bieán daïng deûo, moät beà maët chaûy môùi, ñöôïc goïi laø beà maët ñaët taûi tieáp theo , ñöôïc hình thaønh. Neáu baây giôø traïng thaùi öùng suaát ñöôïc thay ñoåi sao cho ñieåm öùng suaát ñaïi dieän cho noù trong khoâng gian öùng suaát di chuyeån vaøo beân trong beà maët chaûy môùi (caát taûi), öùng xöû cuûa vaät lieäu seõ trôû laïi ñaøn hoài, vaø bieán daïng deûo seõ khoâng xaûy ra. ÖÙng xöû öùng suaát −bieán daïng ñöôïc lieân heä vôùi vieäc ñaët taûi hay caát taûi töø beà maët chaûy môùi thì phuï thuoäc loä trình ñaët taûi hay phuï thuoäc lòch söû ñaët taûi . Trong vieäc thieát laäp caùc phöông trình cô sôû cho nhöõng vaät lieäu bieán cöùng, hai phöông caùch tieáp caän cô baûn ñaõ ñöôïc söû duïng. Phöông caùch ñaàu tieân laø lyù thuyeát bieán daïng trong daïng quan heä öùng suaát −bieán daïng toång. Lyù thuyeát naøy giaû söû raèng traïng thaùi öùng suaát xaùc ñònh duy nhaát traïng thaùi bieán daïng vôùi ñieàu kieän laø bieán daïng deûo tieáp tuïc. Ñieàu naøy thì ñoàng nhaát vôùi quan heä öùng suaát −bieán daïng ñaøn hoài phi tuyeán cuûa chöông 3 quaù trình caát taûi khoâng xaûy ra. Do ñoù, daïng toång quaùt nhaát cuûa lyù thuyeát naøy trong quaù trình ñaët taûi coù theå ñöôïc vieát nhö p e εij = εij − εij(σij) (5.1) p e ôû ñaây εij vaø εij laàn löôït laø nhöõng thaønh phaàn deûo vaø ñaøn hoài cuûa bieán daïng toång εij . Phöông trình (5.1) bieåu thò öùng xöû ñoäc laäp −loä trình −ñaët taûi . Noù khoâng theå moâ taû thoûa ñaùng caùc hieän töôïng ñöôïc keát hôïp vôùi vieäc ñaët taûi vaø caát taûi gaàn beà maët chaûy doïc theo loä trình ñaët taûi trung hoøa. Tuy nhieân, nhöõng lyù thuyeát nhö theá ñaõ ñöôïc söû duïng moät caùch roäng raõi trong thöïc teá cho vieäc giaûi caùc baøi toaùn ñaøn −deûo bôûi vì söï ñôn giaûn töông ñoái cuûa noù. Tuy vaäy, quan heä öùng suaát −bieán daïng ñöôïc döïa treân lyù thuyeát bieán daïng chæ ñuùng trong tröôøng hôïp ñaët taûi tyû leä.
236 Loaïi lyù thuyeát thöù hai laø lyù thuyeát gia soá hay lyù thuyeát chaûy . Lyù thuyeát naøy lieân p heä gia soá cuûa caùc thaønh phaàn bieán daïng deûo dεij vôùi traïng thaùi öùng suaát, σij , vaø gia soá öùng suaát, d σij . Moät soá lôùn caùc phöông phaùp kyõ thuaät ñöôïc duøng trong baøn luaän veà chaûy deûo lyù töôûng tröôùc ñaây ñöôïc aùp duïng ôû ñaây vôùi moät ít thay ñoåi ñoái vôùi chaûy deûo bieán cöùng. Söï khaùc nhau cô baûn laø beà maët chaûy baây giôø khoâng coá ñònh trong khoâng gian, maø ñieåm öùng suaát σij ñöôïc pheùp di chuyeån ra ngoaøi beà maët chaûy ban ñaàu. Ñaùp öùng cuûa vaät lieäu sau chaûy deûo ban ñaàu ñöôïc moâ taû baèng caùch chæ roõ moät beà maët chaûy môùi ñöôïc goïi laø beà maët chaûy deûo tieáp theo , vaø quy luaät chæ roõ ñaùp öùng haäu chaûy deûo naøy ñöôïc goïi laø quy luaät bieán cöùng . Nhöõng giaû thieát cô baûn ñöôïc söû duïng trong vieäc xaây döïng lyù thuyeát gia soá veà chaûy deûo bieán cöùng bao goàm: a) Söï toàn taïi cuûa moät beà maët chaûy ban ñaàu xaùc ñònh giôùi haïn ñaøn hoài cuûa vaät lieäu trong traïng thaùi öùng suaát ña truïc. Khaùi nieäm beà maët chaûy ñaõ ñöôïc thaûo luaän trong chöông 2. b) Quy luaät bieán cöùng moâ taû söï tieán trieån cuûa nhöõng beà maët chaûy tieáp theo. Vaøi quy luaät bieán cöùng ñaõ ñöôïc ñeà nghò tröôùc ñaây vaø seõ ñöôïc baøn luaän trong chöông naøy. c) Quy luaät chaûy deûo ñöôïc lieân heä vôùi haøm theá naêng deûo vaø ñònh nghóa höôùng cuûa vectô bieán daïng deûo gia soá trong khoâng gian bieán daïng. Khaùi nieäm veà quy luaät chaûy deûo ñaõ ñöôïc thaûo luaän khaù tæ mæ trong chöông 4 ñoái vôùi caùc vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng. Ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu bieán cöùng, quy luaät chaûy keát hôïp moâ taû keát quaû cuûa ñònh ñeà oån ñònh cuûa Drucker . Ñieàu naøy seõ ñöôïc nghieân cöùu trong phaàn sau cuûa chöông naøy. Chöông naøy ñeà caäp ñeán vieäc xaây döïng caùc quan heä cô baûn cuûa nhöõng vaät lieäu bieán cöùng. Ñaàu tieân lyù thuyeát bieán daïng ñöôïc giôùi thieäu trong muïc 5.2. Sau ñoù, nhöõng khaùi nieäm cô sôû cuûa lyù thuyeát gia soá ñöôïc baøn luaän. Lyù thuyeát gia soá laø cô sôû ñeå giaûi thích veà ñaët taûi, caát taûi, vaø ñaët taûi laïi vaø thích hôïp ñoái vôùi vieäc moâ taû öùng xöû phuï thuoäc −lòch söû−öùng suaát cuûa vaät raén chaûy deûo bieán cöùng. Ñaây laø chuû ñeà chính cuûa chöông naøy. 5.2 LYÙ THUYEÁT BIEÁN DAÏNG DEÛO 5.2.1 Lyù thuyeát bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu J 2 Lyù thuyeát bieán daïng ñôn giaûn vaø phoå bieán nhaát laø lyù thuyeát bieán daïng J 2. Lyù thuyeát ñöôïc döïa treân boán giaû thieát sau ñaây: (i) vaät lieäu ban ñaâu ñaúng höôùng; (ii) bieán daïng deûo chæ bao goàm söï thay ñoåi hình daùng maø khoâng coù söï thay ñoåi theå tích, vaø bieán daïng ñaøn hoài ñöôïc lieân heä vôùi öùng suaát bôûi ñònh luaät Hooke ; (iii) caùc truïc chính cuûa bieán daïng deûo vaø öùng suaát truøng nhau; (iv) caùc giaù trò chính