›
›

Giáo trình Giải tích mạng điện

pdf 143 trang ngocly 1720
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích mạng điện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_mang_dien.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích mạng điện

  1. LÊ KIM HÙNG GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH MẠNG ĐIỆN ĐÀ NẴNG 2003
  2. GIAÍI TÊCH MAÛNG GIẢI TÍCH MẠNG LỜI NÓI ĐẦU Hệ thống điện bao gồm các khâu sản xuất, truyền tải và phân phối điện năng. Kết cấu một hệ thống điện có thể rất phức tạp, muốn nghiên cứu nó đòi hỏi phải có một kiến thức tổng hợp và có những phương pháp tinh toán phù hợp. Giải tích mạng là một môn học còn có tên gọi “Các phương pháp tin học ứng dụng trong tính toán hệ thống điện”. Trong đó, đề cập đến những bài toán mà tất cả sinh viên ngành hệ thống nào cũng cần phải nắm vững. Vì vậy, để có một cách nhìn cụ thể về các bài toán này, giáo trình đi từ kiến thức cơ sở đã học nghiên cứu lý thuyết các bài toán cũng như việc ứng dụng chúng thông qua công cụ máy vi tính. Phần cuối, bằng ngôn ngữ lập trình Pascal, công việc mô phỏng các phần mục của bài toán đã được minh hoạ. Nội dung giáo trình gồm 2 phần chính: I. Phần lý thuyết gồm có 8 chương. 1. Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng. 2. Phương pháp số dùng để giải các phương trình vi phân trong giải tích mạng. 3. Mô hình hóa hệ thống điện. 4. Graph và các ma trận mạng điện. 5. Thuật toán dùng để tính ma trận mạng. 6. Tính toán trào lưu công suất. 7. Tính toán ngắn mạch. 8. Xét quá trình quá độ của máy phát khi có sự cố trong mạng. II. Phần lập trình: gồm có bốn phần mục: 1. Xây dựng các ma trận của 1 mạng cụ thể 2. Tính toán ngắn mạch. 3. Tính toán trào lưu công suất lúc bình thường và khi sự cố. 4. Xét quá trình quá độ của các máy phát khi có sự cố trong mạng điện. GV: Lê Kim Hùng CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức về đại số ma trận thông thường được ứng dụng trong giải tích mạng. 1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: 1.1.1. Kí hiệu ma trận: Trang 1
  3. GIAÍI TÊCH MAÛNG Ma trận chữ nhật A kích thước m x n là 1 bảng gồm m hàng và n cột có dạng sau: a11 a12 a1n a a a A = 21 22 2n = []a i j am1 am2 amn Nếu m = 1 và n >1 thì A gọi là ma trận hàng hoặc vectơ hàng. Ngược lại n = 1 và m > 1 thì A gọi là ma trận cột hoặc vectơ cột. 2 Ví dụ: A = 1 và A = 2 3 1 3 1.1.2. Các dạng ma trận: Ma trận vuông: Là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n). Ví dụ: a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Ma trận tam giác trên: Là ma trận vuông mà các phần tử dưới đường chéo chính aị j của ma trận bằng 0 với i > j. a11 a12 a13 A = 0 a22 a23 0 0 a33 Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính aịj của ma trận bằng 0 với i < j. a11 0 0 A = a21 a22 0 a31 a32 a33 Ma trận đường chéo: Là ma trận vuông nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính khác 0, còn các phần tử khác ngoài đường chéo chính của ma trận bằng 0 (aịj = 0 với i ≠ j ). a11 0 0 A = 0 a22 0 0 0 a33 Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận bằng 1 còn tất cả các phần tử khác bằng 0 (aij = 1 với i = j và aịj = 0 với i ≠ j ). 1 0 0 U = 0 1 0 0 0 1 Ma trận không: Là ma trận mà tất cả các phần tử của ma trận bằng 0. Trang 2
  4. GIAÍI TÊCH MAÛNG Ma trận chuyển vị: Là ma trận mà các phần tử aịj = aji (đổi hàng thành cột và ngược lại). a11 a12 T a11 a21 a31 A = a21 a22 và A = a12 a22 a32 a31 a32 T Cho ma trận A thì ma trận chuyển vị kí hiệu là At, A hoặc A’ Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau aịj = aji. Ví dụ: 1 5 3 A = 5 2 6 3 6 4 Chuyển vị ma trận đối xứng thì AT = A, nghĩa là ma trận không thay đổi. Ma trận xiên - phản đối xứng: Là ma trận vuông có A = - AT. Các phần tử ngoài đường chéo chính tương ứng bằng giá trị đối của nó (aịj = - aji) và các phần tử trên đường chéo chính bằng 0. Ví dụ: 0 5 − 3 A = − 5 0 6 3 − 6 0 Ma trận trực giao: Là ma trận có ma trận chuyển vị chính là nghịch đảo của nó. (AT .A = U = A .AT với A là ma trận vuông và các phần tử là số thực). Ma trận phức liên hợp: Là ma trận nếu thế phần tử a + jb bởi a - jb thì ma trận mới A* là ma trận phức liên hợp. Cho ma trận A thì ma trận phức liên hợp là A* j3 5 − j3 5 A = và A∗ = 4 + j2 1+ j1 4 − j2 1− j1 -Nếu tất cả các phần tử của A là thực, thì A = A* -Nếu tất cả các phần tử của A là ảo, thì A = - A*. Ma trận Hermitian (ma trận phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính là số thực còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức liên hợp, nghĩa là A = (A*)t. 4 2 − j3 A = 2 + j3 5 Ma trận xiên - Hermitian (ma trận xiên - phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 hoặc toàn ảo còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức, tức A = - (A*)t. 0 2 − j3 A = − 2 − j3 0 Nếu ma trận vuông phức liên hợp có (A*) t. A = U = A. (A*)t thì ma trận A được gọi là ma trận đơn vị. Nếu ma trận đơn vị A với các phần tử là số thực được gọi là ma trận trực giao. Bảng 1.1: Các dạng ma trận. Kí hiệu Dạng ma trận Kí hiệu Dạng ma trận Trang 3
  5. GIAÍI TÊCH MAÛNG A = -A Không A = (A*)t Hermitian A = At Đối xứng A = - (A*)t Xiên- Hermitian A = - At Xiên-đối xứng At A = U Trực giao A = A* Thực (A*)t A = U Đơn vị A = - A* Hoàn toàn ảo 1.2. CÁC ĐỊNH THỨC: 1.2.1. Định nghĩa và các tính chất của định thức: Cho hệ 2 phương trình tuyến tính a11x1 + a12x2 = k1 (1) (1.1) a21x1 + a22x2 = k2 (2) Rút x2 từ phương trình (2) thế vào phương trình (1), giải được: a22k1 − a12k2 x1 = a11a22 − a12a21 Suy ra: a11k2 − a21k1 x2 = a11a22 − a12a21 Biểu thức (a11a22 - a12a21) là giá trị định thức của ma trận hệ số A. Trong đó |A| là định thức. a a | A | = 11 12 a21 a22 Giải phương trình (1.1) bằng phương pháp định thức ta có: k1 a12 a11 k1 k2 a22 a22 .k1 − a12 .k2 a21 k2 a11.k2 − a21.k1 x1 = = và x2 = = A a11.a22 − a12 .a21 A a11.a22 − a12 .a21 • Tính chất của định thức: a. Giá trị của định thức bằng 0 nếu: - Tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bằng 0. - Các phần tử của 2 hàng (cột) tương ứng bằng nhau. - Một hàng (cột) là tương ứng tỉ lệ của 1 hoặc nhiều hàng (cột). b. Nếu ta đổi chổ 2 hàng của ma trận vuông A cho nhau ta được ma trận vuông B và có det(B) = - det(A). c. Giá trị của định thức không thay đổi nếu: - Tất cả các hàng và cột tương ứng đổi chổ cho nhau. - Cộng thêm k vào 1 hàng (cột) thứ tự tương ứng với các phần tử của hàng (cột) đó. d. Nếu tất cả các phần tử của hàng (cột) nhân với thừa số k, thì giá trị của định thức là được nhân bởi k. e. Tích của các định thức bằng tích của từng định thức. | A.B.C| = |A| .|B| .|C|. f. Định thức tổng khác tổng các định thức. |A + B - C| = |A| + |B| -|C|. 1.2.2. Định thức con và các phần phụ đại số. Xét định thức: a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Trang 4
  6. GIAÍI TÊCH MAÛNG Chọn trong định thức này k hàng, k cột bất kỳ với 1 [ k [ n. Các phần tử nằm phía trên kể từ giao của hàng và cột đã chọn tạo thành một định thức cấp k, gọi là định thức con cấp k của A. Bỏ k hàng và k cột đã chọn, các phần tử còn lại tạo thành 1 định thức con bù của định thức A. Phần phụ đại số ứng với phần tử aij của định thức A là định thức con bù có kèm theo dấu (-1)i+j. 2+1 a12 a13 a12 a13 A21 = (−1) = − a32 a33 a32 a33 Mối liên hệ giữa các định thức và phần phụ: - Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng bằng định thức |A|. - Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng trong hàng (cột) khác bằng 0. 1.3. CÁC PHÉP TÍNH MA TRẬN. 1.3.1. Các ma trận bằng nhau: Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu tất cả các phần tử của ma trận A bằng tất cả các phần tử của ma trận B (aij = bịj ∀ i, j; i, j = 1, 2, n). 1.3.2. Phép cộng (trừ) ma trận. Cộng (trừ) các ma trận phái có cùng kích thước m x n. Ví dụ: Có hai ma trận A[aij ]mn và B[bij ]mn thì tổng và hiệu của hai ma trận này là ma trận C[cij ]mn với cij = aij6 bij Mở rộng: R = A + B + C + + N với rij = aij 6 bij6 cij 6 6 nij . Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất giao hoán: A + B = B + A. Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C. 1.3.3. Tích vô hướng của ma trận: k.A = B. Trong đó: bij = k .aij ∀ i & j . Tính giao hoán: k.A = A.k Tính phân phối: k (A + B) = k.A + k B = (A + B) k. (với A và B là các ma trận có cùng kích thước, k là 1 hằng số ). 1.3.4. Nhân các ma trận: Phép nhân hai ma trận A.B = C. Nếu ma trận A có kích thước m x q và ma trận B có kích thước q x n thì ma trận tích C có kích thước m x n. Các phần tử cij của ma trận C là tổng các tích của các phần tử tương ứng với i hàng của ma trận A và j cột của ma trận B là: cij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + + aiq .bqj Ví dụ: a11 a12 a11.b11 + a12 .b21 a11.b12 + a12 .b22 b11 b12 A.B = a21 a22 x = a21.b11 + a22 .b21 a11.b12 + a12 .b22 b21 b22 a31 a32 a31.b11 + a32 .b21 a11.b12 + a12 .b22 Phép nhân ma trận không có tính chất hoán vị: A.B ≠ B.A Phép nhân ma trận có tính chất phân phối đối với phép cộng: A (B + C) = A.B + A.C. Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp: A (B.C) = (A.B) C = A.B.C. Tích 2 ma trận A.B = 0 khi A = 0 hoặc B = 0. Tích C.A = C.B khi A = B. Nếu C = A.B thì CT = BT.AT Trang 5
  7. GIAÍI TÊCH MAÛNG 1.3.5. Nghịch đảo ma trận: Cho hệ phương trình: a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2 (1.2) a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3 Viết dưới dạng ma trận A.X = Y Nếu nghiệm của hệ trên là duy nhất thì tồn tại một ma trận B là nghịch đảo của ma trận A. Do đó: X = B.Y (1.3) Nếu định thức của ma trận A ≠ 0 thì có thể xác định xi như sau: A A A x = 11 y + 21 y + 31 y 1 A 1 A 2 A 3 A A A x = 12 y + 22 y + 32 y 2 A 1 A 2 A 3 A A A x = 13 y + 23 y + 33 y 3 A 1 A 2 A 3 Trong đó: A11, A12, A33 là định thức con phụ của a11, a12, a13 và |A| là định thức của ma trận A. Ta có: A B = i j i, j = 1, 2, 3. i j A Nhân ma trận A với nghịch đảo của nó ta có A.A-1 = A-1.A = U Rút X từ phương trình (1.3) sau khi đã nhân cả hai vế cho A-1. A.X = Y A-1.A.X = A-1 .Y U.X = A-1.Y Suy ra: X = A-1 .Y Nếu định thức của ma trận bằng 0, thì ma trận nghịch đảo không xác định (ma trận suy biến). Nếu định thức khác 0 gọi là ma trận không suy biến và là ma trận nghịch đảo duy nhất. Giả sử 2 ma trận A và B cùng cấp và là khả đảo lúc đó: (A.B)-1 = B-1.A-1 Nếu AT khả đảo thì (AT)-1 cũng khả đảo: (At)-1 = (A-1)t 1.3.6. Ma trận phân chia: A1 A2 A = A3 A4 Tổng các ma trận đã phân chia được biểu diễn bởi ma trận nhỏ bằng tổng các ma trận nhỏ tương ứng. A1 A2 B1 B2 A16B1 A26B3 = A 6 B 3 A4 3 B4 A36B3 A46B3 Phép nhân được biểu diễn như sau: Trang 6
  8. GIAÍI TÊCH MAÛNG A1 A2 B1 B2 C1 C2 = A3 A4 B3 B4 C3 C4 Trong đó: C1 = A1.B1 + A2.B3 C2 = A1.B2 + A2.B4 C3 = A3.B1 + A4.B3 C4 = A3.B2 + A4.B4 Tách ma trận chuyển vị như sau: T T A A A 1 A 2 1 2 T A = A = T T A3 A4 A 3 A 4 Tách ma trận nghịch đảo như sau: A1 A2 -1 B1 B2 A = A = A3 A4 B3 B4 Trong đó: -1 -1 B1 = (A1 - A2.A4 .A3) -1 B2 = -B1.A2.A4 -1 B3 = -A4 .A3.B1 -1 -1 B4 = A4 - A4 .A3.B2 (với A1 và A4 phải là các ma trận vuông). 1.4. SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN: 1.4.1. Sự phụ thuộc tuyến tính: Số cột của ma trận A(m x n) có thể viết theo n vectơ cột hoặc m vectơ hàng. {c1}{c1} {c1} {r1}{r1} {r1} Phương trình vectơ cột thuần nhất. p1{c1} + p2{c2} + + pn{cn} = 0 (1.4) Khi tất cả Pk = 0 (k = 1, 2, , n). Tương tự vectơ hàng là không phụ thuộc tuyến tính nếu. qr = 0 (r = 1, 2, , n). q1{r1} + q2{r2} + + qn{rn} = 0 (1.5) Nếu pk ≠ 0 thỏa mãn phương trình (1.4), thì vectơ cột là tuyến tính. Nếu qr ≠ 0 thỏa mãn phương trình (1.5), thì vectơ hàng là tuyến tính. Nếu vectơ cột (hàng) của ma trận A là tuyến tính, thì định thức của A = 0. 1.4.2. Hạng của ma trận: Hạng của ma trận là cấp cao nhất mà tất cả các định thức con khác 0. 0 [ r(A) [ min(m, n) với A là ma trận kích thước m x n. 1.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: Hệ phương trình tuyến tính của m phương trình trong n hệ số được viết: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = y2 (1.6) am1x1 + am2x2 + + amnxn = ym Trong đó: ai j: Là hệ số thực hoặc phức ; xj: Là biến số ; yj: Là hằng số của hệ. Trang 7
  9. GIAÍI TÊCH MAÛNG Hệ phương trình được biểu diễn ở dạng ma trận như sau: A. X = Y (1.7) Ma trận mở rộng: a11 a12 a1n y1 a a a y Aˆ = 21 22 2n 2 am1 am2 amn ym Nếu yi = 0 thì hệ phương trình gọi là hệ thuần nhất, nghĩa là: A.X = 0. Nếu một hoặc nhiều phần tử của vectơ yi ≠ 0 thì hệ gọi là hệ không thuần nhất. Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng. Hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn hạng của ma trận mở rộng. Nếu hạng của ma trận r(A) = r(Â) = r = n (số ẩn) của hệ phương trình tuyến tính (1.6) thì hệ có nghiệm duy nhất (hệ xác định). Nếu r(A) = r(Â) = r < n thì hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm và các thành phần của nghiệm phụ thuộc (n - r) tham số tùy ý. Trang 8
  10. GIAÍI TÊCH MAÛNG CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 2.1. GIỚI THIỆU. Nhiều hệ thống vật lý phức tạp được biểu diễn bởi phương trình vi phân nó không có thể giải chính xác bằng giải tích. Trong kỹ thuật, người ta thường sử dụng các giá trị thu được bằng việc giải gần đúng của các hệ phương trình vi phân bởi phương pháp số hóa. Theo cách đó, lời giải của phương trình vi phân đúng là một giai đoạn quan trọng trong giải tích số. Trong trường hợp tổng quát, thứ tự của việc làm tích phân số là quá trình từng bước chính xác chuổi giá trị cho mỗi biến phụ thuộc tương ứng với một giá trị của biến độc lập. Thường thủ tục là chọn giá trị của biến độc lập trong một khoảng cố định. Độ chính xác cho lời giải bởi tích phân số phụ thuộc cả hai phương pháp chọn và kích thước của khoảng giá trị. Một số phương pháp thường xuyên dùng được trình bày trong các mục sau đây. 2.2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ. 2.2.1 Phương pháp Euler: Cho phương trình vi phân bậc nhất. dy = f (x, y) (2.1) dx y y = g(x,c) Hình 2.1: Đồ thị của hàm số từ bài giải phương y0 Δy trình vi phân Δx x 0 x0 Khi x là biến độc lập và y là biến phụ thuộc, nghiệm phương trình (2.1) sẽ có dạng: y = g(x,c) (2.2) Với c là hằng số đã được xác định từ lý thuyết trong điều kiện ban đầu. Đường cong miêu tả phương trình (2.2) được trình bày trong hình (2.1). Từ chỗ tiếp xúc với đường cong, đoạn ngắn có thể giả sử là một đoạn thẳng. Theo cách đó, tại mỗi điểm riêng biệt (x0,y0) trên đường cong, ta có: dy Δy ≈ Δx dx 0 dy Với là độ dốc của đường cong tại điểm (x0,y0). Vì thế, ứng với giá trị ban dx 0 đầu x0 và y0, giá trị mới của y có thể thu được từ lý thuyết là Δx: dy y1 = y0 + Δy hay y1 = y0 + h (đặt h = Δx) dx 0 Khi Δy là số gia của y tương ứng với một số gia của x. Tương tự, giá trị thứ hai của y có thể xác định như sau. Trang 12
  11. GIAÍI TÊCH MAÛNG dy y2 = y1 + h dx 1 y y= g(x c) y 3 y2 Hình 2.2 : Đồ thị của lời y1 giải xấp xỉ y0 cho phương trình vi phân bằng phương h h h x dy 0 x0 x1 x2 x3 Khi = f (x1 , y1 ) dx 1 Quá trình có thể tính tiếp tục, ta được: dy y3 = y2 + h dx 2 dy y4 = y3 + h dx 3 Bảng giá trị x và y cung cấp cho toàn bộ bài giải phương trình (2.1). Minh họa phương pháp như hình 2.2. 2.2.2. Phương pháp biến đổi Euler. Trong khi ứng dụng phương pháp Euler, giá trị dy/dx của khoảng giả thiết tính toán bắt đầu vượt ra ngoài khoảng cho phép. Sự thay thế đó có thể thu được bằng cách tính toán giá trị mới của y cho x1 như trước. x1 = x0 + h (0) dy y1 = y0 + h dx 0 (0) Dùng giá trị mới x1 và y1 thay vào phương trình (2.1) để tính toán gần đúng giá trị của dy tại cuối khoảng. dx 1 (0) dy (0) = f (x1 , y1 ) dx 1 (0) (1) dy dy Sau đó tận dụng giá trị y1 có thể tìm thấy bởi dùng trung bình của và như dx 0 dx 1 sau: ⎛ dy dy (0) ⎞ ⎜ + ⎟ (1) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Trang 13
  12. GIAÍI TÊCH MAÛNG (1) (2) Dùng x1 và y1 , giá trị xấp xỉ thứ ba y1 có thể thu được bởi quá trình tương tự như ⎛ dy dy (1) ⎞ ⎜ + ⎟ (2) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ sau: y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ta được: ⎛ dy dy (2) ⎞ ⎜ + ⎟ (3) ⎜ dx 0 dx 1 ⎟ y1 = y0 + ⎜ ⎟h ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Quá trình có thể tính tiếp tục cho đến khi hai số liền nhau ước lượng cho y là ngang bằng nằm trong phạm vi mong muốn. Quá trình hoàn toàn lặp lại thu được giá trị y2. Kết quả thu được có sự chính xác cao hơn từ sự biến đổi của phương pháp Euler được minh họa trong hình 2.3. y = y g(x c) dy (0) y dx 1 2 Hình 2.3 : Đồ thị của lời giải xấp y1 (0) xỉ cho phương ⎛ dy dy ⎞ ⎜ + ⎟ trình vi phân ⎜ ⎟ dx 0 dx 1 bằng phương pháp y0 ⎜ ⎟ dy ⎜ 2 ⎟ biến đổi Euler. dx ⎜ ⎟ h 0 ⎝ ⎠ x 0 x0 x1 Phương pháp Euler có thể ứng dụng để giải hệ phương trình vi phân cùng lúc. Cho hai phương trình: dy = f1 (x, y,z) dx dz = f (x, y,z) dx 2 Với giá trị ban đầu x0, y0 và z0 giá trị mới y1 sẽ là: dz y1 = y0 + h dx 0 dy Với: = f1 (x0 , y 0 ,z 0 ) dx 0 Tương tự. dz z1 = z0 + h dx 0 dz Với: = f 2 (x0 , y0 , z0 ) dx 0 Trang 14
  13. GIAÍI TÊCH MAÛNG Cho số gia tiếp theo, giá trị x1 = x0 + h, y1 và z1 dùng để xác định y2 và z2. Trong phương pháp biến đổi Euler y1 và z1 dùng để xác định giá trị đạo hàm tại x1 cho đánh (1) (1) giá gần đúng cấp hai y1 và z1 . 2.2.3. Phương pháp Picard với sự xấp xỉ liên tục. Cơ sở của phương pháp Picard là giải chính xác, bởi sự thay thế giá trị y như hàm của x trong phạm vi giá trị x đã cho. y ⎟ g(x) Đây là biểu thức ước lượng bởi sự thay thế trực tiếp giá trị của x để thu được giá trị tương ứng của y. Cho phương trình vi phân (2.1). dy = f(x,y)dx Và tích phân giữa khoảng giới hạn cho x và y. y x 1 dy = 1 f (x, y)dx ∫∫y x 0 0 x Thì y − y = 1 f (x, y)dx 1 0 ∫ x 0 x1 Hay y1 = y0 + f (x, y)dx (2.3) ∫ x 0 Số hạng tích phân trình bày sự thay đổi trong kết quả của y với sự thay đổi của x từ x0 đến x1. Lời giải có thể thu được bởi sự đánh giá tích phân bằng phương pháp xấp xỉ liên tục. Ta có thể xem giá trị của y như hàm của x có thể đã thu được bởi sự thay thế y dưới dạng tích phân với y0, cho giá trị ban đầu như sau: x y(1) = y + 1 f (x, y )dx 1 0 ∫ x 0 0 Thực hiện biểu thức tích phân với giá trị mới của y bây giờ được thay thế vào phương trình (2.3) thu được lần xấp xỉ thứ hai cho y như sau: x y(2) = y + 1 f (x, y(1) ) dx 1 0 ∫ x 1 0 Quá trình này có thể lặp lại trong thời gian cần thiết để thu được độ chính xác mong muốn Thật vậy, ước lượng tích phân luôn luôn phức tạp thế nhưng phải giả thiết cho biến cố định. Khó khăn và cần thực hiện nhiều lần tích phân, nên đây là mặt hạn chế sự áp dụng của phương pháp này. Phương pháp Picard có thể áp dụng để giải đồng thời nhiều phương trình như sau: dy = f (x, y, z) dx 1 dz = f (x, y, z) dx 2 Theo công thức, ta có: x1 y1 = y0 + f1 (x, y0 , z0 ) dx ∫ x 0 x z = z + 1 f (x, y , z ) dx 1 0 ∫ x 2 0 0 0 Trang 15
  14. GIAÍI TÊCH MAÛNG 2.2.4. Phương pháp Runge- Kutta. Trong phương pháp Runge- Kutta sự thay đổi giá trị của biến phụ thuộc là tính toán từ các công thức đã cho, biểu diễn trong điều kiện ước lượng đạo hàm tại những điểm định trước. Từ mỗi giá trị duy nhất chính xác của y cho bởi công thức, phương pháp này không đòi hỏi thay thế lặp lại như phương pháp biến đổi Euler hay tích phân liên tiếp như phương pháp của Picard. Công thức rút gọn gần đúng xuất phát bởi sự thay thế khai triển chuổi Taylor. Runge- Kutta xấp xỉ bậc hai có thể viết trong công thức. y1 = y0 + a1k1 + a2k2 (2.4) Với k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h Các hệ số a1, a2, b1 và b2 là chính xác. Đầu tiên khai triển f(x0+ b1h, y0+ b2k1) trong chuổi Taylor tại (x0,y0), ta được: ⎧ ∂f ∂f ⎫ k2 = ⎨ f (x0 , y0 ) + b1 h + b2 k1 + ⎬ h x y ⎩ ∂ 0 ∂ 0 ⎭ Thay thế hai điều kiện k1 và k2 vào trong phương trình (2.4), thu được: ∂f 2 ∂f 2 y1 = y0 + (a1 + a2 ) f (x0 , y0 )h + a2b1 h + a2b2 f (x0 , y0 ) h (2.5) ∂x 0 ∂y 0 Khai triển chuổi Taylor của y tại giá trị (x0,y0) là: dy d 2 y h 2 y = y + h + + (2.6) 1 0 dx 2 2 0 dx 0 dy d 2 y ∂f ∂f Từ = f (x0 , y0 ) và 2 = + f (x0 , y0 ) dx 0 dx 0 ∂x 0 ∂y 0 Phương trình (2.6) trở thành. ∂f h 2 ∂f h 2 y 1 = y 0 + f (x 0 , y 0 )h + + f (x 0 , y 0 ) (2.7) ∂x 0 2 ∂y 0 2 Cân bằng các hệ số của phương trình (2.5) và (2.7), ta được: a1 + a2 =1; a2b1 = 1/2; a2b2 = 1/2. Chọn giá trị tùy ý cho a1 a1 = 1/2 Thì a2 = 1/2; b1 = 1; b2 = 1. Thay thế giá trị này vào trong phương trình (2.4), công thức gần đúng bậc hai Runge-Kutta là: y = y + 1 k + 1 k 1 0 2 1 2 2 Với k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0+ h, y0 + k1)h Vì thế. Δy = 1 (k + k ) 2 1 2 Áp dụng của phương pháp Runge-Kutta cho việc xấp xỉ bậc hai đòi hỏi sự tính toán của 3 k1 và k2. Sai số trong lần xấp xỉ là bậc h bởi vì chuổi đã cắt sau điều kiện bậc hai. Tông quát công thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta là: y1 = y 0 + a1 k1 + a 2 k 2 + a 3 k 3 + a 4 k 4 (2.8) Với k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h Trang 16
  15. GIAÍI TÊCH MAÛNG k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)h Tiếp theo thủ tục giống như dùng cho lần xấp xỉ bậc hai, hệ số trong phương trình (2.8) thu được là: a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6. Và b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = 1. Thay thế các giá trị vào trong phương trình (2.8), phương trình xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta trở thành. y = y + 1 (k + 2k + 2k + k ) 1 0 6 1 2 3 4 Với k1 = f(x0,y0)h h k k = f (x + , y + 1 )h 2 0 2 0 2 h k k = f (x + , y + 2 )h 3 0 2 0 2 k4 = f (x0 + h, y0 + k3 )h Như vậy, sự tính toán của Δy theo công thức đòi hỏi sự tính toán các giá trị của k1, k2, k3 và k4 : Δy = 1/6(k1+2k2+2k3+k4) Sai số trong sự xấp xỉ là bậc h5. Công thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta cho phép giải đồng thời nhiều phương trình vi phân. dy = f (x, y, z) dx dz = g(x, y, z) dx Ta co: y1 = y0+1/6 (k1+2k2+2k3+k4) z1 = z0+1/6 (l1+2l2+2l3+l4) Với: k1= f(x0,y0,z0)h h k l k = f (x + , y + 1 z + 1 )h 2 0 2 0 2 0 2 h k l k = f (x + , y + 2 z + 2 )h 3 0 2 0 2 0 2 k4 = f(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h l1 = g(x0,y0,z0)h h k l l = g(x + , y + 1 z + 1 )h 2 0 2 0 2 0 2 h k l l = g(x + , y + 2 z + 2 )h 3 0 2 0 2 0 2 l4 = g(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h 2.2.5. Phương pháp dự đoán sửa đổi. Phương pháp dựa trên cơ sở ngoại suy, hay tích phân vượt trước, và lặp lại nhiều lần việc giải phương trình vi phân. dy = f (x, y) (2.9) dx Trang 17
  16. GIAÍI TÊCH MAÛNG Được gọi là phương pháp dự đoán sửa đổi. Thủ tục cơ bản trong phương pháp dự dy đoán sửa đổi là xuất phát từ điểm (xn,yn) đến điểm (xn+1, yn+1). Thì thu được từ dx n+1 phương trình vi phân và sửa đổi giá trị yn+1 xấp xỉ công thức chính xác. Loại đơn giản của công thức dự đoán phương pháp của Euler là: yn+1 = yn + yn’h (2.10) ' dy Với: yn = dx n Công thức chính xác không dùng trong phương pháp Euler. Mặc dù, trong phương pháp biến đổi Euler giá trị gần đúng của yn+1 thu được từ công thức dự đoán (2.10) và giá trị thay thế trong phương trình vi phân (2.9) chính là y’n+1. Thì giá trị chính xác cho yn+1 thu được từ công thức biến đổi của phương pháp là: h y = y + (y' + y' ) (2.11) n+1 n n+1 n 2 Giá trị thay thế trong phương trình vi phân (2.9) thu được có sự đánh giá chính xác hơn cho y’n+1, nó luôn luôn thay thế trong phương trình (2.11) làm cho yn+1 chính xác hơn. Quá trình tiếp tục lặp lại cho đến khi hai giá trị tính toán liên tiếp của yn+1 từ phương trình (2.11) trùng với giá trị mong muốn chấp nhận được. Phương pháp dự đoán biến đổi kinh điển của Milne. Dự đoán của Milne và công thức biến đổi, theo ông là: 4h y (0) = y + (2y' −y' +2y' ) n+1 n−3 3 n−2 n−1 n h Và y = y + (y' +4y' + y' ) n+1 n−1 3 n−1 n n+1 (0) Với: y'n+1 = f (xn+1 , yn+1 ) Bắt đầu của sự tính toán đòi hỏi biết bốn giá trị của y. Có thể đã tính toán bởi Runge- Kutta hay một số phương pháp số trước khi sử dụng công thức dự đoán sửa đổi của Milne. Sai số trong phương pháp là bậc h5. Trong trường hợp tổng quát, phương pháp mong muốn chọn h đủ nhỏ nên chỉ vài lần lặp là đòi hỏi thu được yn+1 hoàn toàn chính xác như mong muốn. Phương pháp có thể mở rộng cho phép giải một số phương trình vi phân đồng thời. Phương pháp dự đoán sửa đổi là áp dụng độc lập đối với mỗi phương trình vi phân như một phương trình vi phân đơn giản. Vì vậy, thay thế giá trị cho tất cả các biến phụ thuộc vào trong mỗi phương trình vi phân là đòi hỏi sự đánh giá đạo hàm tại (xn+1, yn+1). 2.3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO. Trong kỹ thuật trước đây mô tả cho việc giải phương trình vi phân bậc nhất cũng có thể áp dụng cho việc giải phương trình vi phân bậc cao bằng sự đưa vào của biến phụ. Ví dụ, cho phương trình vi phân bậc hai. d 2 y dy a + b + cy = 0 dx 2 dx dy Với điều kiện ban đầu x0, y0, và thì phương trình có thể được viết lại như hai dx 0 phương trình vi phân bậc nhất. dy = y' dx Trang 18
  17. GIAÍI TÊCH MAÛNG d 2 y dy' by'+cy = = − dx 2 dx a Một trong những phương pháp mô tả trước đây có thể là việc làm đi tìm lời giải cho hai phương trình vi phân bậc nhất đồng thời. Theo cách tương tự, một vài phương trình hay hệ phương trình bậc cao có thể quy về hệ phương trình vi phân bậc nhất. 2.4. VÍ DỤ VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ. Giải phương trình vi phân sẽ minh họa bằng sự tính toán dòng điện cho mạch RL nối tiếp. t = R 0 Hình 2.4: Sự biểu diễn i(t của mạch điện RL e(t ) L ) Cho mạch điện RL trong hình 2.4 sức điện động hiệu dụng khi đóng khóa là: e(t) = 5t 0 [ t [ 0,2 e(t) = 1 t > 0,2 Điện trở cho theo đơn vị ohms là. R = 1+3i2 Và điện cảm theo đơn vị henrys là. L = 1 Tìm dòng điện trong mạch điện theo các phương pháp sau: a. Euler’s b. Biến đổi Euler. c. Xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta d. Milne’s e. Picard’s Bài giải: Phương trình vi phân của mạch điện là. di L + Ri = e(t) dt Thay thế cho R và L ta có: di + (1+ 3i 2 )i = e(t) dt Điều kiện ban đầu tại t = 0 thì e0 = 0 và i0 = 0. Khoảng chọn cho biến độc lập là: Δt = 0,025. a. Phương trình theo phương pháp Euler là. di Δin = Δt dt n in+1 = in +Δin di 2 Với = en − (1+ 3in )in dt n dy Thay thế giá trị ban đầu vào trong phương trình vi phân, = 0 và Δi0. Vì thế, dt 0 di 2 dòng điện i1 = 0. Tại t1 = 0,025; e1 = 0,125 và = 0,125 −{1+ 3(0) }0 = 0,125 dt 1 Trang 19
  18. GIAÍI TÊCH MAÛNG Δi1 = (0,125)0,025 = 0,00313 Thì i2 = 0 + 0,00313 = 0,00313 Lập bảng kê kết quả lời giải đưa vào trong bảng 2.1 Bảng 2.1: Giải bằng phương pháp Euler Thời gian Sức điện động Dòng n tn en di di 2 in = in−1 + Δt = en − (1 + 3in )in dt n−1 dt n 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 1 0,025 0,125 0,00000 0,12500 2 0,050 0,250 0,00313 0,24687 3 0,075 0,250 0,00930 0,36570 4 0,100 0,375 0,01844 0,48154 5 0,125 0,500 0,03048 0,59444 6 0,150 0.625 0,4534 0,70438 7 0,175 0,750 0,06295 0,81130 8 0,200 0,875 0,08323 0,91504 9 0,225 1,000 0,10611 0,89031 10 0,250 1,000 0,12837 0,86528 11 0,275 1,000 0,15000 0,83988 12 0,300 1,000 0,17100 b. Phương trình của phương pháp biến đổi Euler là. (0) di Δin = Δt dt n (0) (0) in+1 = in + Δin ⎛ di di (0) ⎞ ⎜ + ⎟ (1) ⎜ dt n dt n+1 ⎟ Δin = ⎜ ⎟Δt ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1) (1) in+1 = in + Δin (0) di (0) 2 (0) Với = en+1 −{1+ 3(in+1) }in+1 dt n+1 di Thay thế giá trị ban đầu e0 = 0 và i0 = 0 vào trong phương trình vi phân = 0 dx 0 (0) (0) Do đó: Δi0 = 0; i1 = 0 . (0) Thay thế vào trong phương trình vi phân i1 = 0 và e1 = 0,125 di (0) = 0,125 −{1+ 3(0)2}0 = 0,125 dt 1 0,125 + 0 Và Δi(1) = ( )0,025 = 0,00156 0 2 Nên Trang 20
  19. GIAÍI TÊCH MAÛNG (1) i1 = 0 + 0,00156 = 0,00156 (1) Trong lời giải ví dụ cho phương pháp, không thực hiện lặp lại in+1 = in+1 . Bài giải thu được bằng phương pháp biến đổi Euler được đưa vào trong bảng 2.2. Bảng 2.2: Bài giải bằng phương pháp biến đổi Euler. Thời Sức Dòng (0) di di n Gian điện điện in (0) (0) e (1) Δin n+1 in+1 dt Δi tn động en dt n n+1 n 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,00000 0,125 0,00000 0,12500 0,00156 1 0,025 0,125 0,00156 0,12344 0,00309 0,250 0,00465 0,24535 0,00461 2 0,050 0,250 0,00617 0,34383 0,00610 0,375 0,01227 0,36272 0,00758 3 0,075 0,375 0,01375 0,36124 0,00903 0,500 0,02278 0,47718 0,01048 4 0.100 0,500 0,02423 0,47573 0,01189 0,625 0,03612 0,58874 0,01331 5 0.125 0,625 0,03754 0,58730 0,01468 0,750 0,05222 0,69735 0,01606 6 0.150 0,750 0,05360 0,69594 0,01740 0,875 0,07100 0,80293 0,01874 7 0,175 0,875 0,07234 0,80152 0,02004 1,000 0,09238 0,90525 0,02133 8 0,200 1,000 0,09367 0,90386 0,02260 1,000 0,11627 0,87901 0,02229 9 0,225 1,000 0,11596 0,87936 0,02198 1,000 0,13794 0,85419 0,02167 10 0,250 1,000 0,13763 0,85455 0,02136 1,000 0,15899 0,82895 0,02104 11 0,275 1,000 0,15867 0,82935 0,02073 1,000 0,17940 0,80328 0,02041 12 0,300 1,000 0,17908 c. Phương trình dùng phương pháp Runge-Kutta để giải. di = e(t) − (1+ 3i2 )i dt Ta có: 2 k1 = {e(tn ) − (1+ 3in )in}Δt ⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎫ ⎪ Δt ⎛ k1 ⎞ ⎛ k1 ⎞⎪ k2 = ⎨e(t n + ) − ⎢1 + 3⎜i n + ⎟ ⎥.⎜i n + ⎟⎬Δt 2 2 2 ⎩⎪ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠⎭⎪ ⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎫ ⎪ Δt ⎛ k2 ⎞ ⎛ k2 ⎞⎪ k3 = ⎨e(t n + ) − ⎢1+ 3⎜i n + ⎟ ⎥ .⎜i n + ⎟⎬Δt 2 2 2 ⎩⎪ ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠⎭⎪ 2 k4 = {e(t n + Δt) − [1+ 3(i n + k3 ) ].(i n + k3 )}Δt Δi = 1 (k + 2k + 2k + k ) n 6 1 2 3 4 in+1 = in + Δin Với: e(tn) = en Δt e + e e(t + ) = n n+1 n 2 2 e(tn + Δt) = en+1 Thay thế giá trị ban đầu tìm được k1: k1 = 0. Tìm được k2: ⎧0 + 0,125 2 ⎫ k2 = ⎨ − []1 + 3(0) 0⎬0,025 = 0,00156 ⎩ 2 ⎭ Tìm được k3: Trang 21
  20. GIAÍI TÊCH MAÛNG ⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎫ ⎪0 + 0,125 ⎛ 0,00156 ⎞ 0,00156⎪ k3 = ⎨ − ⎢1+ 3⎜ ⎟ ⎥ ⎬0,025 = 0,00154 ⎩⎪ 2 ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 ⎭⎪ Tìm được k4: 2 k4 = {0 + 0,125 − [1 + 3(0,00154) ]0,00154}0,025 = 0,00309 Thì Δi = 1 (0 + 0,00312 + 0,00308 + 0,00309) = 0,00155 0 6 Và i1 = i0 + Δi0 = 0+ 0,00155 = 0,00155 Bài giải thu được bằng phương pháp Runge-Kutta được đưa vào trong bảng 2.3. d. Công thức dự đoán sửa đổi của phương pháp Milne là. 4Δt i(0) = i + (2i' −i' +2i' ) n+1 n−3 3 n−2 n−1 n Δt i = i + (i' +4i' +i' ) n+1 n−1 3 n−1 n n+1 Với di i'n = dt n Và di 2 = en − (1+ 3in )in dt n Các giá trị ban đầu đòi hỏi phải thu được từ lời giải của phương pháp Runge-Kutta. Với i0 = 0; i1 = 0,00155; i2 = 0,00615; i3 = 0,01372. Thay thế vào phương trình vi phân, ta có: i’0 = 0; i’1 = 0,12345; i’2 = 0,23485; i’3 = 0,36127. Bắt đầu tại t4 = 0,100 và thay thế vào trong công thức dự đoán, ước lượng đầu tiên cho i4 là: i(0) = 0 + 4 (0,025) 2(0,12345) − 0,24385 + 2(0,36127) = 0,02418 4 3 [] Thay thế e4 = 0,500 và i4 = 0,02418 vào trong phương trình vi phân, ta được: 2 i’4 = 0,500 [ 1 + 3(0,02418) ]0,02418 = 0,47578 Dự đoán và giá trị chính xác, chỉ khác nhau một số hàng thập phân vì vậy không đòi hỏi lặp lại nhiều lần. Kết quả sau từng bước được ghi vào bảng 2.4. Tại t9 giá trị dự đoán của dòng điện là 0,11742 nhưng trong khi giá trị chính xác là 0,11639. Việc thực hiện lặp lại bởi sự thay thế giá trị chính xác trong phương trình vi phân đã thu được i’9 = 0,87888. Cứ lần lượt dùng trong công thức sửa đổi để thu được ước lượng thứ hai cho i9 = 0,11640, trước khi kiểm tra giá trị chính xác. Thực hiện lặp lại trong tất cả các bước để đảm bảo yêu cầu chính xác. Trang 22
  21. Trang 23 GIAÍI TÊCHMAÛNG B Bảng 2.3: Giải bằng phương pháp Runge-Kutta ả ng 2.4: n Thời Sức Dòng en+ en+1 k1 k2 gian điện điện k1 in + k2 in + k3 en+1 in + k3 k4 Δin Bài gi tn động in 2 2 2 en ả i b ằ 0 0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,0625 0,00000 0,00156 0,00078 0,00154 0,125 0,00154 0,00309 0,00155 ng ph ng 1 0,025 0,125 0,00155 0,00309 0,1875 0,00310 0,00461 0,00386 0,00459 0,250 0,00614 0,00610 0,00460 2 0,050 0,250 0,00615 0,00610 0,3125 0,00920 0,00758 0,00994 0,00756 0,375 0,01371 0,00903 0,00757 ươ ng phápc 3 0,075 0,375 0,01372 0,00903 0,4375 0,01824 0,01048 0,01896 0,01046 0,500 0,02418 0,01189 0,01047 4 0,100 0,500 0,02419 0,01189 0,5625 0,03014 0,01331 0,03084 0,01329 0,625 0,03748 0,01468 0,01330 5 0,125 0,625 0,03749 0,01468 0,6875 0,04483 0,01606 0,04552 0,01604 0,750 0,05353 0,01740 0,01605 6 0.150 0,750 0,05354 0,01740 0,8125 0,06224 0,01874 0,06291 0,01872 0,875 0,07226 0,02004 0,01873 ủ a Milne. 7 0,175 0,875 0,07227 0,02004 0,9375 0,08229 0,02134 0,08294 0,02132 1,000 0,09359 0,02260 0,02133 8 0,200 1,000 0,09360 0,02260 1,0000 0,10490 0,02229 0,10475 0,02230 1,000 0,11590 0,02199 0,02230 9 0,225 1,000 0,11590 0,02199 1,0000 0,12690 0,02167 0,12674 0,02168 1,000 0,13758 0,02137 0,02168 10 0,250 1,000 0,13758 0,02137 1,0000 0,14827 0,02105 0,14811 0,02105 1,000 0,15863 0,02073 0,02105 11 0,275 1,000 0,15863 0,02073 1,0000 0,16900 0,02041 0,16884 0,02042 1,000 0,17905 0,02009 0,02041 12
  22. GIAÍI TÊCH MAÛNG Thời gian Sức điện Dòng điện Dòng điện N tn động en (dự đoán) in i’n (sửa đổi) in 4 0,100 0,500 0,02418 0,47578 0,02419 5 0,125 0,625 0,03748 0,58736 0,03748 6 0,150 0,750 0,05353 0,69601 0,05353 7 0,175 0,875 0,07226 0,80161 0,07226 8 0,200 1,000 0,09359 0,90395 0,09358 9 0,225 1,000 0,11742 0,87772 0,11639 0,87888 0,11640+ 10 0,250 1,000 0,13543 0,85712 0,13755 0,85464 0,13753+ 11 0,275 1,000 0,16021 0,82745 0,15911 0,82881 0,15912+ 12 0,300 1,000 0,17894 0,80387 0,17898 0,80382 0,17898+ + : giá trị sửa đổi thứ hai thu được bởi vòng lặp d. Phương trình dùng phương pháp Picard hàm tương đương khởi đầu cho i, cận i0 = 0 là: t 3 i = i0 + []e(t) − i − 3i dt ∫0 Thay thế e(t) = 5t và giá trị ban đầu i0 = 0 2 t 5t i (1) = 5 t dt = ∫0 2 Thay i(1) cho i trong phương trình tích phân, thu được: 2 6 2 3 7 t ⎛ 5t 375t ⎞ 5t 5t 375t i (2) = ⎜5t − − ⎟ dt = − − ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 8 ⎠ 2 6 56 Quá trình tiếp tục, ta được: 2 3 6 7 8 t ⎛ 5t 5t 375t 375t 125t ⎞ i (3) = ⎜5t − + − + − + ⎟ dt ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 6 8 7 8 ⎠ 5t 2 5t 3 5t 4 375t 7 = − + − + 2 6 24 56 2 3 4 6 7 t ⎛ 5t 5t 5t 375t 375t ⎞ i (4) = ⎜5t − + − − + + ⎟ dt ∫0 ⎜ ⎟ ⎝ 2 6 24 8 7 ⎠ 5t 2 5t 3 5t 4 t 5 375t 7 = − + − − + 2 6 24 24 56 Giới hạn chuổi sau số hạn bậc bốn là: 5t 2 5t 3 5t 4 i = − + 2 6 24 Nếu hàm dùng xấp xỉ i chính xác bốn số thập phân với số hạn xấp xỉ đầu tiên không chú ý đến sai số lớn thì . 5log t [ log0,00120 log t [ 9,415836 - 10 t [ 0,2605 Trang 24
  23. GIAÍI TÊCH MAÛNG Giá trị giới hạn là hàm xấp xỉ hợp lý. Vì vậy, trong ví dụ này hàm có thể dùng chỉ để thu được y cho trong khoảng 0 [ t [ 0,2; Bởi vì cho t > 0,2 thì e(t) = 1. Cho nên, hàm xấp xỉ khác phải chính xác cho trong khoảng 0,2 [ t[ 0,3 như sau: t i = 0,09367 + ()1− i − 3i 3 dt ∫0,2 t i (1) = 0,09367 + {}1 − 0,09367 − 3()0,09367 3 dt = 0,09367+ 0,90386(t- 0,2) ∫ 0,2 t i (2) = 0,09367 + {}1 − 0,09367 − 0,90386()t − 0,2 − 3[]0,09367 + 0,90386(t − 0,2) 3 dt ∫ 0,2 t = 0,09367 + 0,90386 {1 −1,07897(t − 0,2) − 0,76189()t − 0,2 2 − 2,45089(t − 0,2)3 }dt ∫ 0,2 = 0,09367 + 0,90386 x ⎧ (t − 0,2) 2 (t − 0,2)3 (t − 0,2) 4 ⎫ x ⎨( t − 0,2) −1,07897 − 0,76189 − 2,45089 ⎬ dt ⎩ 2 3 4 ⎭ Cuối cùng, ta có: i(3) = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - 0,48762(t - 0,2)2 - - 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 + 0,86646(t - 0,2)5 Chuỗi giới hạn, hàm xấp xỉ là: i = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - - 0,48762(t - 0,2)2 - 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 Cho i hiệu chỉnh trong bốn số thập phân, ta có: 0,86646(t - 0,2)5 [ 0,00005 (t - 0,2) [ 0,14198 Hàm hợp lý cho trong khoảng 0,2 [ t [0,342 Giá trị thu được bằng phương pháp Picard được đưa vào trong bảng 2.5. 2.5. SO SÁNH CÁC PHƯƠNG PHÁP. Trong bài giải của phương trình vi phân hàm quan hệ giữa biến phụ thuộc y và biến độc lập x cần tìm để thỏa mãn phương trình vi phân. Bài giải trong giải tích là rất khó và có một số vấn đề không thể tìm được. Phương pháp số dùng để tìm lời giải bằng cách biểu diễn y như một số hàm của biến độc lập x từ mỗi giá trị xấp xỉ của y có thể thu được bằng sự thay thế hoàn toàn hay biểu diễn tương đương quan hệ giữa các giá trị liên tiếp của y xác định cho việc chọn giá trị của x. Phương pháp Picard là phương pháp số kiểu đầu tiên. Phương pháp Euler, Runge-Kutta, và Milne là ví dụ cho kiểu thứ hai. Khó khăn chủ yếu phát sinh từ phương pháp xấp xỉ y bằng hàm số, như phương pháp Picard, tìm thấy trong lần lặp lại sự tích phân hiện tại phải thực hiện để thu được hàm thỏa mãn. Vì vậy phương pháp này là không thực tế trong hầu hết các trường hợp và ít được dùng. Bảng 2.5: Giải bằng phương pháp Picard. n Thời gian tn Sức điện động en Dòng điện in Trang 25
  24. GIAÍI TÊCH MAÛNG 0 0 0 0 1 0,025 0,125 0,00155 2 0,050 0,250 0,00615 3 0,075 0,375 0,01372 4 0,100 0,500 0,02419 5 0,125 0,625 0,03749 6 0,150 0,750 0,05354 7 0,175 0,875 0,07229 8 0,200 1,000 0,09367 9 0,225 1,000 0,11596 10 0,250 1,000 0,13764 11 0,275 1,000 0,15868 12 0,300 1,000 0,17910 Các phương pháp theo kiểu thứ hai đòi hỏi phép tính số học đơn giản đo đó thích hợp cho việc giải bằng máy tính số của các phương trình vi phân. Trong trường hợp tổng quát, đơn giản quan hệ đòi hỏi dùng trong một khoảng nhỏ cho các biến độc lập nhưng ngược lại nhiều phương pháp phức tạp có thể dùng trong khoảng tương đối lớn tốn nhiều công sức trong việc chính xác hóa lời giải. Phương pháp Euler là đơn giản nhất, nhưng trừ khi khoảng tính rất nhỏ thì dùng nó cũng không đúng với thực tế. Phương pháp biến đổi Euler cũng sử dụng đơn giản và có thêm thuận lợi kiểm tra hệ thống vốn có trong quá trình thu được để cải thiện sự ước lượng cho y. Phương pháp có sự chính xác giới hạn, vì vậy đòi hỏi dùng khoảng giá trị nhỏ cho biến độc lập. Phương pháp Runge-Kutta đòi hỏi số rất lớn của phép tính số học, nhưng kết quả cũng không chính xác. Phương pháp dự đoán sửa đổi của Milne là ít khó khăn hơn phương pháp Runge- Kutta và so sánh được độ chính xác của bậc h5. Vì vậy, phương pháp của Milne đòi hỏi có bốn giá trị ban đầu cho biến phụ thuộc phải thu được bằng một số phương pháp khác, hầu như phương pháp biến đổi Euler hay phương pháp Runge-Kutta, là như nhau. Trong sự ứng dụng máy tính cho phương pháp số. Chương trình đòi hỏi bắt đầu lời giải như phương pháp của Milne. Lời giải tiếp tục dùng công thức khác cho dự đoán và sau đó sửa chữa giá trị của y cung cấp quá trình hệ thống cho kiểm tra tốt bằng sửa chữa ước lượng ban đầu. Nếu sự khác nhau giữa dự đoán và giá trị chính xác là đáng kể, khoảng tính có thể được rút gọn lại. Khả năng trong phương pháp của Milne không có hiệu lực trong phương pháp Runge-Kutta. Bài tập: 2.1. Giải phương trình vi phân. dy = x2 − y dx Cho 0 [ t [ 0,3; với khoảng phương trình 0,05 và giá trị ban đầu x0 = 0 và y0 = 1, bằng các phương pháp số sau đây. a. Euler b. Biến đổi Euler. c. Picard d. Xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta Trang 26
  25. GIAÍI TÊCH MAÛNG e. Milne dùng giá trị bắt đầu thu được phương pháp Runge-Kutta 2.2. Giải bằng phương pháp biến đổi Euler hệ phương trình vi phân. dx = 2y dt dy x = − dt 2 Cho 0 [ t [ 1,0; Với khoảng phương trình 0,2 và giá trị ban đầu i0 = 0,x0 = 0 và y0 = 1 2.3. Giải bằng xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta phương trình vi phân bậc hai. y’’ = y + xy’ Cho 0 [ x [ 0,4; Với khoảng phương trình 0,1 và giá trị ban đầux0 = 0,y0 = 1, và y’0 = 0 Trang 27
  26. GIAÍI TÊCH MAÛNG CHƯƠNG 3 MÔ HÌNH HÓA CÁC PHẦN TỬ TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN 3.1. GIỚI THIỆU: Trong hệ thống điện gồm có các thành phần cơ bản sau: a. Mạng lưới truyền tải gồm: - Đường dây truyền tải. - Biến áp. - Các bộ tụ điện tĩnh, kháng điện. b. Phụ tải. c. Máy phát đồng bộ và các bộ phận liên hợp: Hệ thống kích từ, điều khiển Các vấn đề cần xem xét ở đây là: Ngắn mạch, trào lưu công suất, ổn định quá độ. Mạng lưới truyền tải được giả thiết là ở trạng thái ổn định vì thời hằng của nó nhỏ hơn nhiều so với máy phát đồng bộ. 3.2. MÔ HÌNH ĐƯỜNG DÂY TRUYỀN TẢI. 3.2.1. Đường dây dài đồng nhất. Đường dây dài đồng nhất là đường dây có điện trở, điện kháng, dung kháng, điện dẫn rò phân bố đều dọc theo chiều dài đường dây, có thể tính theo từng pha và theo đơn vị dài. Trong thực tế điện dẫn rò rất nhỏ có thể bỏ qua. Chúng ta chỉ quan tâm đến quan hệ giữa điện áp và dòng điện giữa hai đầu đường dây, một đầu cấp và một đầu nhận. Khoảng cách tính từ đầu cấp đến đầu nhận. Để tính toán và xem xét mối quan hệ giữa điện áp và dòng điện trên từng điểm của đường dây ta có mô hình toán học như sau: (xem hình 3.1). Tại tọa độ x lấy vi phân dx trên mỗi pha so với trung tính và khảo sát phân tố dx. IS I + IR dI + + Hình 3.1 : Quan hệ điện áp VS V + V VR và dòng điện ở phân - dV - tố dài của đường x =1 dx x = 0 dây truyềntải Đầu cấp Đầu Vớ i phân tố dx này ta có thể viết: nhận dV = I .z .dx dV Hay = I .z (3.1) dx Và dI = V. y . dx Với z: Tổng trở nối tiếp của mỗi pha trên mỗi đơn vị dài y: Tổng dẫn rẽ nhánh của mỗi pha trên mỗi đơn vị dài dI Hay =V.y (3.2) dx Lấy vi phân bậc 2 của (3.1) và (3.2) theo x ta có: d 2V dI = z. (3.3) dx2 dx d 2 I dV = y. (3.4) dx2 dx Trang 29
  27. GIAÍI TÊCH MAÛNG Thế (3.1) và (3.2) vào (3.3) và (3.4) ta có: d 2V = z.y.V (3.5) dx2 d 2I = z.y.I (3.6) dx2 Giải (3.5) ta có dạng nghiệm như sau: V = A1 exp( zy.x) + A2 exp(− zy.x) (3.7) Thay (3.7) vào đạo hàm bậc nhất (3.1) ta có dòng điện 1 1 I = A exp( zy.x) − A exp(− zy.x) (3.8) z 1 z 2 y y A1 và A2 được xác định từ điều kiện biên: V = VR và I = IR ở x = 0; Thay vào (3.7) và (3.8) cân bằng ta được: z V + .I R y R A = (3.9) 1 2 z V − .I R y R A = (3.10) 2 2 Đặt Z = z : Gọi là tổng trở đường dây c y γ = z.y : Gọi là hằng số truyền sóng Vậy (3.9) và (3.10) được viết gọn như sau: V + I .Z V − I .Z V(x) = R R c exp(γ .x) + R R c exp(−γ .x) (3.11) 2 2 V V R + I R − I Z R Z R I (x) = c exp(γ .x) − c exp(−γ .x) (3.12) 2 2 Công thức (3.11) và (3.12) dùng để xác định điện áp và dòng điện tại bất cứ điểm nào của đường dây theo tọa độ x. Ta viết (3.11) lại như sau: V(x) =V . 1 .[]exp (γ . x) + exp ( − γ . x) + I .Z . 1 [ exp(γ . x) − exp(−γ . x)] R 2 R C 2 (3.13) =V .ch(γ . x) + I .Z .sh(γ . x) R R C Tương tự (3.12) VR I (x) = I R ch(γ . x) + .sh(γ . x) (3.14) ZC Khi x = 1 ta có điện áp và dòng điện ở đầu cấp: VS = VR .ch(γ .x) + I R .ZC .sh(γ .x) (3.15) VR I S = .sh(γ .x) + I R .ch(γ .x) (3.16) ZC 3.2.2. Sơ đồ tương đương đường dây dài (l > 240): Sử dụng công thức (3.15) và (3.16) để lập sơ đồ tương đương của đường dây dài như hình 3.2 (gọi là sơ đồ hình π). IS Zπ IR Trang 30 + + Hình 3.2 : Sơ đồ π của VS VR đường dây truyền tải Yπ1 Yπ2
  28. GIAÍI TÊCH MAÛNG Từ sơ đồ hình 3.2 ta có: VS =VR + Zπ . I R + VR.Yπ 2 .Zπ = (1 + Yπ 2 .Zπ )VR + Zπ .I R (3.17) I S = (I R +VR.Yπ 2 ) +VSYπ1 (3.18) Thay VS ở (3.17) vào (3.18) và đơn giản hóa ta được: I S = [](Yπ1 + Yπ 2 ) + Zπ .Yπ1.Yπ 2 .YR + (1+ Zπ .Yπ1 )I R (3.19) Đồng nhất (3.17) và (3.19) tương ứng với (3.15) và (3.16) ta có: Zπ = ZC sh (γ .l) (3.20) Yπ1 = Yπ2 = Yπ (3.21) (1+Zπ.Yπ) = ch (γ .l) (3.22) ch(γ .l) −1 1 ⎛ γ .l ⎞ Vậy: Yπ = = .th⎜ ⎟ (3.23) ZC .sh(γ .l) ZC ⎝ 2 ⎠ Viết gọn (3.20) và (3.23) lại ta có: sh(γ .l) z.l .sh(γ .l) Z = Z .y.l = (3.24) π C γ .l γ .l y. l th(γ . l ) th(γ . l ) 2 2 y.l 2 Yπ = . = . (3.25) ZC γ . l 2 γ . l 2 2 Sử dụng sơ đồ hình (3.3) và khai triển sh và ch ta có thể tính Yπ và Zπ đến độ chính xác cần thiết. Thông thường trong sơ đồ nối tiếp chỉ cần lấy 2 hay 3 phần tử là đạt yêu cầu chính xác: x3 x5 Sh(x) = x + + + + 3! 5! x2 x4 Ch(x) =1 + + + + (3.26) 2! 4! x3 2 17 Th(x) = x − + x5 − x7 + 3 15 315 sh(γ .l) z.l . I γ .l I s R + + y.( l ) th(γ . l ) th(γ . l ) V V S 2 2 y.l 2 R . . - Z γ . l 2 γ .( l ) - c 2 2 Nếu chỉ lấy hai số hàng đầu. Hình 3.3 : Sơ đồ π của 2 ⎡ (γ .l) ⎤ t ề tải Zπ ≈ z.l .⎢1+ ⎥ ⎣ 6 ⎦ Trang 31
  29. GIAÍI TÊCH MAÛNG 2 2 γ .l ⎡ 1 ⎛ γ .l ⎞ ⎤ γ .l ⎡ ⎛ γ .l ⎞ ⎤ Yπ ≈ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ (3.27) 2 ⎣⎢ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 3.2.3. Sơ đồ tương đương của đường dây trung bình: Gồm các đường dây có γ.l << 1 gọi là đường dây trung bình (240km) Zπ = z.l = Z (tổng các tổng trở nối tiếp) y.l Y Y = = (nửa của tổng dẫn rẽ) π 2 2 Z Z IS Z IR IS T1 T1 IR + + + + VS YT V V S VR R - Y/ Y/ - - - 2 2 Hình 3.4 : Sơ đồ đối Hình 3.5 : Sơ đồ đối xSứơng đồ πthu c đượủa c theo giả thiết gọi là sơ đồ đối xứngxứ πng (hình T 3.4)của và còn có một sơ đồ thể hi ệ n khác n ử a g ọ i làđư sờơn đồg đốdâi yxứ ng T (hình 3.5) đường Tính toán tương tự như sơ đồ π ta có (sơ đồ T) th(γ . l ) z.l 2 ZT1 = ZT 2 = ZT = . 2 γ . l 2 sh(γ .l) Và Y = y.l T γ .l Với sơ đồ đối xứng T (yl << 1) có thể rút gọn như hình 3.6 Hai sơ đồ tương xứng này có độ chính xác như nhau nhưng thông thường hay dùng sơ đồ p vì không phải tính thêm nữa. Trong trường hợp đường dây khá ngắn (l [ 80km) có thể bỏ qua tổng dẫn mạch rẽ ở cả hai sơ đồ p và T và thu gọn chỉ còn một tổng dẫn nối tiếp Z (hình 3.7) IS Z/ Z/ IR Z IS IR + 2 2 + + + V S Y V R VS VR - - - - Hình 3.7 : Sơ đồ tương đương Hình 3.6 : Sơ đồ của đường đố3.2.4.i xứ Thôngng T số A, B, C, D: Các thông số A, B, C, D được sử dụng dâyđể thiế tuyt lậpề ntcác ảphingươngắ trìnhn quan hệ giữa điện áp và dòng điện ở đầu cung cấp và đầu nhận của đường dây truyền tải. Bảng 3.1 : Tham số A, B, C, D cho từng loại sơ đồ Loại đường dây A B C D -Đường dây dài Y.Z Z .sh(γ.l) = Z(1+ sh(γ .l) ch(γ .l) = A ch(γ .l) =1 + C = Y(1+ đồng nhất 2 2 2 Y.Z Y .Z ZC 2 2 + + 2 2 Y .Z 6 240 Y.Z Y .Z + + 24 + + -Đường dây 6 120 trung bình .Sơ đồ đối xứng A Y Trang 32
  30. GIAÍI TÊCH MAÛNG T Y .Z Y .Z 1 + Z (1 + ) .Sơ đồ đối xứng Y .Z A 2 4 Y(1 + ) p 4 -Đường dây Y .Z Z 1 + ngắn 2 0 Z Ví dụ: Đẳng thức 3.15 và 3.16 được viết lại như sau: VS = A.VR + B.IR IS = C.VR + D.IR Bảng 3.1 cho giá trị A, B, C, D của từng loại đường dây truyền tải. Đường dây dài, đường dây trung bình và đường dây ngắn, các thông số này có đặc tính quan trọng là: A.D - B.C = 1 (3.28) Điều này đã được chứng minh. 3.2.5. Các dạng tổng trở và tổng dẫn: Xét các đường dây truyền tải theo các tham số A, B, C, D các phương trình được viết dưới dạng ma trận: ⎡VS ⎤ ⎡A B⎤ ⎡VR ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.29) ⎣I S ⎦ ⎣C D⎦ ⎣I R ⎦ Phương trình 3.29 được viết lại theo biến IS và IR sử dụng kết quả: A.D - B.C = 1 Như sau: ⎡VS ⎤ ⎡ZSS ZSR⎤ ⎡I S ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.30) ⎣VR ⎦ ⎣ZRS ZRR⎦ ⎣I R ⎦ Với ZSS = A/C; ZSR = -1/C; ZRS = 1/C; ZRR = -D/C Công thức (3.30) được viết dưới dạng kí hiệu: V = Z.I (3.31) Thêm một cách biểu diễn IS, IR theo biến VS, VR như sau: ⎡I S ⎤ ⎡YSS YSR⎤ ⎡VS ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ (3.32) ⎣I R ⎦ ⎣YRS YRR⎦ ⎣VR ⎦ Hay I = Y. V Với: YSS = D/B; YSR = -1/B; YRS = 1/B; YRR = -A/B Ở đây ma trận Z là ma trận tổng trở mạch hở, ma trận Y là ma trận tổng dẫn ngắn mạch và đảm bảo Z = Y-1 của mạng hai cửa. Ở chương sau sẽ tính mở rộng cho mạng n cửa. 3.2.6. Các thông số Z và Y dùng cho các giới thiệu khác: Từ bảng 3.1 các đẳng thức 3.30 và 3.31 thông số Z và Y được tính như sau (dùng cho sơ đồ p) Y .Z Y = D = (1 + ) / Z = 1 + Y SS B 2 2 2 Y = − 1 = − 1 ;Y = 1 (3.33) SR B 2 RS 2 Y .Z Y = − A = −(1 + ) / Z = −( 1 + Y ) RR B 2 2 2 Các tham số này có thể tính trực tiếp từ sơ đồ hình 3.4 viết ra các phương trình nút và loại dòng nhánh giữa. Trang 33
  31. GIAÍI TÊCH MAÛNG 3.3. MÁY BIẾN ÁP: 3.3.1. Máy biến áp 2 cuộn dây: Sơ đồ tương đương của máy biến áp (MBA) như hình 3.8. Các tham số được quy về phía sơ cấp (phía 1). 2 2 ⎛ N ⎞ ⎛ N ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ X ⎜ ⎟ R2 ⎜ ⎟ 2 R1 X1 ⎝ N 2 ⎠ ⎝ N2 ⎠ I1 + I2 + V Rm Xm V 1 2 - - Trong MBA lực, nhánh từ hóa có dòng khá nhỏ có thể lượt đi và sơ đồ tương Hình 3.8 : Sơ đồ tương đương của đương được rút gọn như hình 3.9 máy biến áp 2 2 ⎛ N ⎞ ⎛ N1 ⎞ 1 R + ⎜ ⎟ R X1 + ⎜ ⎟ X 2 1 ⎜ N ⎟ 2 ⎜ N ⎟ I1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ I2 + + V1 V2 - - R X I2 I1 + + V1 V2 - - 3.3.2. Máy biến áp từ ngẫu: Máy biếnHình áp từ 3.9ngẫu (MBATN): Sơ đồ gtồươm ngcó mđươột cungộn đơdâyn chunggiản có số vòng N1 và một cuộn dây nốhióa tiếp ccóủaMBA số vòng N2, sơ đồ 1 pha và 3 pha ở dưới. Đầu cực a-n đại diện cho phía điện áp thấp và đầu cực a’-n’ đại diện cho phía điện áp cao. Tỉ lệ vòng toàn bộ là: Va' N = 1+ 2 = 1+ a = N Va N Ia’ 1 (a (a (a N2 N2 IN1 ’) ’) ’ ) (a Va (c (b N1 ) Va N1 IN2 ’) ) (n (n (b ) (c ) ’) ) Hình 3.10 : MBA từ ngẫu Hình 3.11 : Sơ đồ 1 pha 3 pha của MBATN Sơ đồ tương đương của MBATN được mô phỏng như hình 3.12, trong đó Zex là tổng trở đo được ở phía hạ khi phía cap áp ngắn mạch. Hai tổng trở ngắn mạch nữa được tính là: Trang 34
  32. GIAÍI TÊCH MAÛNG - ZeH: Tổng trở đo được ở phía cao áp khi số vòng N1 bị ngắn mạch nối tắt cực a-n. Và dễ dàng chứng minh từ hình 3.12 (phép quy đổi) 2 ZeH = Zex N (3.34) - ZeL: Tổng trở đo được phía hạ áp khi số vòng N2 bị ngắn mạch nối tắt cực a-a’ hình 3.13. Ia Zex Ia 1:N Ia a a 1: a + + a ’ + I1 Zex N Ia +’ Va Va Va Va’ - - - ’ n n n n ’ ’ Hình 3.13 : Sơ đồ tương Hình 3.12 : Sơ đồ tương đương của Từ sơ đồ hình 3.13 ta có: đương khi MBATN nốia Va = Va’ V (N −1) I = (V − a' ) / Z =V / Z (3.35) 1 a N ex a N ex Đối với máy biến áp lý tưởng số ampe vòng bằng zero cho nên chúng ta có: I1 = Ia’ N Hay Ia’ = I1/N Với: Ia + Ia’ = I1 Vì vậy: N −1 I = I . a 1 N Tổng trở : 2 Va Va N ⎛ N ⎞ Z eL = = = ⎜ ⎟ Z ex I a I1 (N −1) ⎝ N −1⎠ Do đó: 2 ⎛ N −1⎞ Zex = ⎜ ⎟ ZeL (3.36) ⎝ N ⎠ Sử dụng (3.34) ta có: 2 2 ZeH = (N-1) Z eL = a ZeL * Nhược điểm của MBATN: - Hai phía cao và hạ áp không tách nhau về điện nên kém an toàn - Tổng trở nối tiếp thấp hơn MBA 2 cuộn dây gây ra dòng ngắn mạch lớn * Ưu điểm của MBATN: - Công suất đơn vị lớn hơn MBA 2 cuộn dây nên tải được nhiều hơn - Độ lợi càng lớn khi tỉ số vòng là 2:1 hoặc thấp hơn Ví dụ minh họa: Cho một MBA 2 cuộn dây có thông số định mức là 22KVA, 220/110V, f = 50Hz. Cuộn A là 220V có Z = 0,22 + j0,4 (Ω) cuộn B là 110V có tổng trở là Z = 0,05 + j0,09 (Ω). MBA đấu theo dạng từ ngẫu cung cấp cho tải 110V với nguồn 330V. Tính Zex, ZeL, ZeH dòng phụ tải là 30A. Tìm mức điều tiết điện áp. Giải: Cuộn B là cuộn chung có N1 vòng, cuộn A là cuộn nối tiếp có N2 vòng. Trang 35
  33. GIAÍI TÊCH MAÛNG Vậy N2 /N1 = 2 = a và N = a+1 = 3, do ZA = 0,24 + j0,4 (Ω), ZB = 0,05 + j0,09 (Ω) Nên: 2 ZeH = ZA + a ZB = 0,44+ j0,76 (Ω) 2 ZeL = ZB + ZA/a = 0,11+j0,19 (Ω) 2 ZeH ⎛ N −1⎞ Zex = = ZeL ⎜ ⎟ = 0,049 + j0,08(Ω) N 2 ⎝ N ⎠ I . R.cosθ + I . X .sinθ Mức điều chỉnh điện áp = .100% V 30 0,44.0,9 + 0,76.0,437 = . .100% = 2,21% 3 330 3.3.3. Máy biến áp có bộ điều áp: Do phụ tải luôn thay đổi theo thời gian dẫn đến điện áp của hệ thống điện cũng thay đổi theo. Để giữ cho điện áp trên các dây dẫn nằm trong giới hạn cho phép người ta điều chỉnh điện áp một hoặc hai phía của MBA bằng cách đặt bộ phân áp vào MBA nói chung là đặt phía cao áp để điều chỉnh mềm hơn. Khi tỉ số vòng N bằng tỉ số điện áp định mức ta nói đó là tỉ lệ đồng nhất. Khi chúng không bằng ta nói tỉ lệ là không đồng nhất. Bộ điều áp có hai loại: -Bộ điều áp dưới tải -Bộ điều áp không tải Bộ điều áp dưới tải có thể điều chỉnh tự động hoặc bằng tay, khi điều chỉnh bằng tay phải dựa vào kinh nghiệm và tính toán trào lưu công suất trước đó. Tỉ số đầu phân áp có thể là số thực hay số phức trong trường hợp là số phức điện áp ở hai phía khác nhau về độ lớn và góc pha. MBA này gọi là MBA chuyển pha. 3.3.4. Máy biến áp có tỉ số vòng không đồng nhất: Chúng ta xét trường hợp tỉ số vòng không đồng nhất là số thực cần xét hai vấn đề sau: - Giá trị tương đối của tổng trở nối tiếp của MBA đặt nối tiếp trong máy biến áp lý tưởng cho phép có sự khác nhau trong điện áp, tỉ lệ không đồng nhất được mô tả trên sơ đồ bằng chữ a và giả thiết rằng a nằm xung quanh 1 (a ≠ 1) - Giả thiết tổng trở nối tiếp của MBA không đổi khi đầu phân áp thay đổi vị trí. MBA không đồng nhất được mô tả theo hai cách như hình 3.14, tổng dẫn nối 2 tiếp trong hai cách có quan hệ là Y1’ = Y1/a . a: Y1 1 p q (1 Hình 3.14 : Hai cách ) giới thiệu a: Y’ máy biến áp 1 1 không p q Với tỉ lệ biến áp bình(2 thường là a:1 phía a gọi là phía điều áp.đồ nVìg vậnhy trongất sơ đồ 1 tổng dẫn nối tiếp được nố)i đến phía 1 còn sơ đồ 2 thì được nối đến phía a. a:1 Y1 p q a Hình 3.15 : Sơ đồ tương đương của MBA không đồng nhất Trang 36
  34. GIAÍI TÊCH MAÛNG Xét hình 3.15 của MBA không đồng nhất ở đây tổng trở nối tiếp được nối đến phía đơn vị của bộ điều áp. Mạng hai cửa tương đương của nó là: Ở nút p: 2 I pq = (Vp − aVq )Y1 / a V Y V Y (3.37) = p 1 − q 1 a2 a Ở nút q: V I ' = (V − p )Y pq q a 1 (3.38) V .Y =V .Y − p 1 q 1 a Y1 Y1/a Ip I’ Ip I’pq p q p q + + + + (1− a) (a −1) V Vp Vq Vp Y2 Y3 q Y1 Y1 - a2 a2 0 - - 0 0 - 0 (a (b ) ) Ip aY’1 I’p p q + + V (1- a(a- V p q - a)Y’ 1)Y’ - 0 0 Ở sơ đồ hình 3.16a ta có: (c ) Ipq = VpYHình2 + (V p3.16-Vq)Y 1 : S ơ đồ tương đươ ng củ a MBA (3.39) không đồng nhất I’pq = VqY3 + (Vq-Vp)Y1 (3.40) Đồng nhất (3.39) và (3.40) với (3.37) và (3.38) ta được: 2 Y1 + Y2 = Y1/a Y1 =Y1/a Y1 + Y3 = Y1 Y Y Y Y Giải ra ta được: Y = 1 ; Y = 1 − 1 ; Y = Y − 1 1 a 2 a2 a 3 1 a Sơ đồ là hình 3.16b. Chú ý tất cả tổng dẫn trong sơ đồ tương đương là hàm của tỉ số vòng a. Và dấu liên hợp giữa Y2 và Y 3 luôn ngược. Ví dụ: Nếu Y1 là điện kháng a > 1; Y2 là điện kháng; Y3 là điện dung; nếu a < 1; Y2 là dung kháng và Y3 là điện kháng. Sơ đồ hình 3.16c là sơ đồ tương đương theo Y’1 khi a → 1 thì tổng trở mạch rẽ → ∞ và tổng dẫn nối tiếp tiến đến Y1. 3.3.5. Máy biến áp chuyển pha: Trong hệ thống điện liên kết có mạch vòng hay đường dây song song, công suất thật truyền trên đường dây được điều khiển bằng máy biến áp chuyển pha, MBA có tỉ số vòng là số phức thì độ lớn và góc pha điện áp phụ thuộc vào vị trí của bộ điều áp. Khi cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp được quấn trên cùng một lõi thì chúng có cùng pha và tỉ lệ phân áp là thực. Tuy nhiên trong máy biến áp từ ngẫu chuyển pha cuộn sơ Trang 37
  35. GIAÍI TÊCH MAÛNG cấp và cuộn thứ cấp được bố trí tùy theo độ lệch pha để khi thay đổi đầu phân áp thì góc pha cũng thay đổi theo. Sơ đồ minh họa ở hình 3.17a, sơ đồ đơn giản hóa chỉ có một pha của MBATN chuyển pha là đầy đủ để cho gọn gàng, dễ thấy cuộn dây thứ 2 của pha a bị làm lệch điện áp đi 900 so với pha a. Ở sơ đồ vectơ hình 3.17b khi đầu phân áp chạy từ R → A thì điện áp thay đổi từ zero đến aa’ kết quả là điện áp thứ cấp thay đổi từ oa đến oa’. a A a’ R a a A ’ R b b’ c c R A b c (a ’ (b ) ) Hình 3.17 : Máy biến áp từ ngẫu chuyển pha gồm cả ba pha Như hình 3.17 ta thấyb. rằ Sngơ đđồiện ápđấ ởu cudâyộn n ối tiếp cao hơn bình thường cho phép công suất lớn hơn chạy trênc. đườ Sơng đ dâyồ vect nghĩaơ là: Thay vì lắp máy biến áp thường ta lắp máy biến áp chuyển pha sẽ cho phép nâng cao điện áp cấp và đường dây mang tải nhiều hơn. 3.3.6. Máy biến áp ba cuộn dây. Máy biến áp ba cuộn dây sử dụng trong những trường hợp cần cung cấp cho phụ tải ở hai cấp điện áp từ một cuộn dây cung cấp. Hai cuộn dây này gọi là cuộn thứ hai và cuộn thứ ba (hình 3.18). Cuộn thứ 3 ngoài mục đích trên còn có mục đích khác, chẳng hạn được nối vào tụ để chặn sóng bậc 3. Trên sơ đồ ta ký hiệu 11’ là cuộn sơ cấp (P), 22’ là cuộn thứ 2 (S), 33’ là cuộn thứ 3 (T). P S c d Hình 3.18 : Máy biến áp ba c d ’ ’ e T e Các tham số đo được từ thí nghiệm là: ZPS: Là tổng trở cuộn sơ cấp khi ngắn mạch cuộn 2 và hở mạch cuộn 3 ZPT: Là tổng trở cuộn sơ cấp khi ngắn mạch cuộn 3 và hở mạch cuộn 2 ’ Z ST: Là tổng trở cuộn thứ cấp khi cuộn sơ cấp hở mạch và cuộn 3 ngắn mạch 2 ⎛ N ⎞ ’ ⎜ P ⎟ Z ST’ quy đổi về phía sơ cấp là: ZST = ⎜ ⎟ .Z'ST ⎝ N S ⎠ Sơ đồ tương đương của MBA ba cuộn dây hình 3.19 ZPS, ZPT, ZST, quy đổi về phía sơ cấp. Theo cách đo ngắn mạch ta có: ZPS = ZP + ZS (3.41) ZPT = ZP + ZT (3.42) Trang 38
  36. GIAÍI TÊCH MAÛNG ZST = ZS + ZT (3.43) Trừ (3.42) đi (3.43) ta có: ZPT - ZST = ZP - ZS (3.44) Từ (3.41) và (3.44) ta có: ZP =1/2 (ZPS + ZPT -ZST) (3.45) ZS =1/2 (ZPS + ZST -ZPT) (3.46) ZT =1/2 (ZST + ZPT - ZPS) (3.47) Z Z p S ZT e e ’ Bỏ Hìnhqua tổ ng3.19 trở m :ạch S rơẽ nênđồ núttươ đấngt q táchđươ rngời đầcuủ acự cMBA 1 nố i với nguồn cung cấp, đầu cực 2 bavà 3 cunốội nđến dây tải, nếu cuộn 3 dùng để chặn sóng hài thì thả nổi. 3.3.7. Phụ tải: Chúng ta nghiên cứu về phụ tải liên quan đến trào lưu công suất và ổn định. Điều quan trọng là phải biết sự thay đổi của công suất tác dụng và công suất phản kháng theo điện áp. Ở các nút điển hình các loại tải gồm có: - Động cơ không đồng bộ 50÷70 % - Nhiệt và ánh sáng 20÷30 % - Động cơ đồng bộ 5÷10 % Để tính chính xác người ta dùng đặc tính P-V và Q-V của từng loại tải nhưng xử lý phân tích rất phức tạp. Vì vậy người ta đưa ra ba cách giới thiệu chính về tải dùng cho mục đích phân tích. - Giới thiệu theo công suất không đổi: Cả lượng MVA và MVAR đều bằng hằng số thường dùng để nghiên cứu trào lưu công suất. - Giới thiệu theo dòng điện không đổi: Dòng điện tải I trong trường hợp này được tính P − jQ I = |V | ∠(θ − Φ) V Ở đó V = |V|∠q và φ = tan-1 (Q/P) là góc hệ số công suất, độ lớn của I được giữ không đổi. - Giới thiệu theo tổng trở không đổi: Đây là cách giới thiệu thường xuyên khi nghiên cứu ổn định nếu lượng MVA và MVAR đã biết và không đổi thì tổng trở tải tính như sau: V |V |2 Z = = I P − jQ Và tổng dẫn: 1 P − jQ Y = = Z |V |2 3.4. KẾT LUẬN: Trang 39
  37. GIAÍI TÊCH MAÛNG Trong chương này ta xem xét các phần tử của hệ thống điện như đường dây truyền tải, biến áp, phụ tải. Mô hình hóa chúng trong hệ thống điện với trạng thái ổn định đủ để nghiên cứu các trạng thái cơ bản của hệ thống: Ngắn mạch, phân bố dòng chảy công suất, và ổn định quá độ. Trang 40
  38. GIAÍI TÊCH MAÛNG E E q p zpq e q p pq i pq vpq= Ep-Eq (a) j E pq p E y q pq i q p pq ipq+jpq v = E -E (b) pq p q Hình 4.7 : Thành phần biểu diễn mạng điện (a) Hình thức tổng trở; (b) Hình thức tổng dẫn Phương trình đặc tính của tổng trở nhánh là: vpq + epq = zpqipq (4.6) Hay tổng dẫn nhánh là: ipq + jpq = ypqvpq (4.7) Nguồn dòng mắc song song với tổng dẫn có liên hệ với nguồn áp mắc nối tiếp với tổng trở như sau: jpq = -ypqepq Tập hợp các thành phần không liên hệ với nhau được gọi là mạng gốc. Phương trình đặc tính của mạng gốc có thể xuất phát từ (4.6) hay (4.7) được biểu diễn bởi các biến là vectơ và các tham số là ma trận. Phương trình đặc tính của tổng trở là: G G G v + e = []z i Hay đối với tổng dẫn là: G G G i + j = []y v Thành phần trên đường chéo của ma trận [z] hay [y] của mạng gốc là tổng trở riêng zpq,pq hay tổng dẫn riêng ypq,pq. Các thành phần ngoài đường chéo là tổng trở tương hổ zpq,rs hay tổng dẫn tương hỗ ypq,rs giữa nhánh p-q và nhánh r-s. Ma trận tổng dẫn gốc [y] có thể thu được bằng cách nghịch đảo ma trận tổng trở gốc [z]. Ma trận [z] và [y] là ma trận đường chéo nếu không có thành phần tương hổ giữa các nhánh. Trong trường hợp này tổng trở riêng đúng bằng số nghịch đảo của tổng dẫn riêng tương ứng. 4.5. CÁCH THÀNH LẬP MA TRẬN MẠNG BẰNG SỰ BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP. 4.5.1. Phương trình đặc tính của mạng điện. Mạng điện là sự ghép nối tập hợp các nhánh có mối liên hệ với nhau. Trong cấu trúc nút qui chiếu, thành phần của mạng điện có mối liên hệ với nhau được diễn tả bởi n-1 phương trình nút độc lập, với n là số nút. Trong kí hiệu ma trận các thành phần của phương trình đối với tổng trở là: G G ENuït = ZNuïtI Nuït Trang 42
  39. GIAÍI TÊCH MAÛNG Hay đối với tổng dẫn là: G G I = Y E GNuït Nuït Nuït E : Là vectơ điện áp nút đo được với nút qui chiếu đã chọn. G Nuït I Nuït: Là vectơ dòng điện nút đưa vào. ZNút: Là ma trận tổng trở nút có các thành phần của ma trận là tổng trở truyền hở mạch giữa các điểm. YNút: Là ma trận tổng dẫn nút có các thành phần của ma trận là tổng dẫn truyền ngắn mạch giữa các điểm. Trong cấu trúc nhánh cây tham khảo thành phần của mạng điện có mối liên hệ với nhau được thể hiện bởi b phương trình nhánh cây độc lập. Với b là số nhánh cây. Trong kí hiệu ma trận các thành phần của phương trình đối với tổng trở là: G G Enhaïnhcáy = Znhaïnhcáy.I nhaïnhcáy Hay đối với tổng dẫn là: G G I nhaïnhcáy = Ynhaïnhcáy.Enhaïnhcáy G Với: Enhaïnhcáy: Là vectơ điện áp qua nhánh cây G I nhaïnhcáy : Là vectơ dòng điện đi qua nhánh cây Znhánh cây : Là ma trận tổng trở của nhánh cây có các thành phần của ma trận là tổng trở truyền hở mạch giữa các điểm của các nhánh cây trong mạng điện. Ynhánh cây : Là ma trận tổng dẫn của nhánh cây có các thành phần của ma trận là tổng dẫn truyền ngắn mạch giữa các điểm của các nhánh cây trong mạng điện. Trong cấu trúc vòng tham khảo các thành phần của mạng điện có mối liên hệ với nhau được thể hiện bởi l phương trình vòng độc lập. Với l là số nhánh bù cây hay số vòng cơ bản. Phương trình đặc tính đối với dạng tổng trở là: G G EVoìng = ZVoìng.I Voìng Hay đối với dạng tổng dẫn là: G G I Voìng = YVoìng.EVoìng G Trong đó: EVoìng: Là vectơ điện áp của vòng cơ bản G I Voìng: Là vectơ dòng điện của vòng cơ bản ZVòng: Là ma trận tổng trở vòng YVòng: Là ma trận tổng dẫn vòng. 4.5.2. Ma trận tổng trở nút và ma trận tổng dẫn nút. Ma trận tổng dẫn nút YNút có thể thu được bằng cách dùng ma trận nút A liên kết với các biến và tham số của mạng điện gốc với lượng nút của mạng điện kết nối. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc như sau: G G G i + j = []y v Nhân hai vế với At là ma trận chuyển vị của ma trận nút ta thu được: G G G At .i + At . j = At []y v (4.8) G Từ ma trận A cho thấy sự tác động của các nhánh với các nút, At i là vectơ ứng với mỗi nhánh nó là tổng đại số của dòng chạy qua các nhánh trong mạng tại mỗi nút khác nhau. Theo luật Kirchhoff về dòng điện (định luật Kirchhoff I) tổng đại số của dòng điện tại một nút là Gbằng 0 ta có: At .i = 0 (4.9) Trang 43
  40. GIAÍI TÊCH MAÛNG G Tương tự At j là tổng đại số của nguồn dòng tại mỗi nút bằng vectơ dòng điện nút. Vì Vậy: G t G I Nuït = A . j (4.10) Thay thế phương trình (4.9) và (4.10) vào trong phương trình (4.8) ta thu được: G G I = At []y v (4.11) Nuït G G * t Công suất trong mạng điện là (I Nuït) ENuït và tổng của công suất trong mạng điện nguồn G G là ( j * )t v . Công suất trong mạng điện nguồn và mạng điện kết nối phải bằng nhau, công suất phải không đổi khi có sự thay đổi của các biến. G G * t G* t G (I Nuït) ENuït = ( j ) v (4.12) Kết hợp với phương trình chuyển vị của (4.10) G * t G* t * (I Nuït) = ( j ) A Ma trận A là ma trận thực nên: A* = A G * t G * t Do đó: (I Nuït) = ( j ) A (4.13) Thay thế phương trình (4.13) vào trong (4.12) G G G G ( j * ) t AE = ( j * ) t v Nuït G Phương trình trên đúng cho tất cả các giá trị của j, đơn giản nó trở thành: G G A.ENuït = v (4.14) Thay thế phương trình (4.14) vào trong (4.11) G G t I Nuït = A []y A.ENuït (4.15) Từ phương trình đặc tính của mạng điện G G I Nuït = YNuït.ENuït (4.16) Từ phương trình (4.15) và (4.16) ta có: t YNuït = A []y A Ma trận nút A là ma trận đơn giản vì vậy At [y] A là đơn giản với phép biến đổi của [y] Ma trận tổng trở nút có thể thu được từ −1 t −1 ZNuït = YNuït = (A []y A) 4.5.3. Ma trận tổng trở nhánh cây và tổng dẫn nhánh cây. Ma trận tổng dẫn nhánh cây Ynhánh cây có thể thu được bằng cách dùng ma trận vết cắt cơ bản B liên kết các biến và tham số của mạng điện gốc với số nhánh cây của mạng điện kết nối. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc đối với tổng dẫn khi nhân cả hai vế với Bt thu được. G G G Bt .i + Bt . j = Bt []y v (4.17) G Từ ma trận B cho thấy sự liên hệ của các nhánh với các vết cắt cơ bản, Bt .i là vectơ ứng với mỗi nhánh nó là tổng đại số của dòng chạy qua các nhánh trong mạng tại mỗi vết cắt cơ bản khác nhau. Các nhánh của vết cắt cơG bản chia mạng điện ra thành hai mạng con liên kết. Vì vậy thành phần của vectơ Bt .i là tổng đại số của dòng điện đi vào mạng con và theo định luật KirchhoffG về dòng điện (định luật Kirchhoff I) ta có: Bt .i = G0 (4.18) Tương tự B t j là vectơ đối với mỗi nhánh là tổng đại số của nguồn dòng trong các nhánh với các vết cắt cơ bản và tổng nguồn dòng trong mạch mắc song song với nhánh cây là: Trang 44
  41. GIAÍI TÊCH MAÛNG G t G I nhaïnhcáy = B . j (4.19) Thay thế phương trình (4.18) và (4.19) vào trong (4.17) thu được: G t G I nhaïnhcáy = B []y v (4.20) G G * t Công suất trong mạng điện là (I nhaïnhcáy ) (Enhaïnhcáy ) và từ công suất không thay đổi ta có: G G * t G * t G (I nhaïnhcáy ) Enhaïnhcáy = ( j ) v G * t Thu được (I nhaïnhcáy ) từ phương trình (4.19) và thay vào phương trình trên ta có: G G * t * G * t G ( j ) B .Enhaïnhcáy = ( j ) v Từ ma trận B là ma trận thực, ta có: G G G G B* = B do đó ( j * ) t B.E = ( j * ) t v nhaïnhcáy G Phương trình trên đúng với mọi giá trị của j, đơn giản nó trở thành như sau: G G v = B.Enhaïnhcáy (4.21) Thay thế phương trình (4.21) vào trong (4.20) thu được: G G t I nhaïnhcáy = B []y B.Enhaïnhcáy (4.22) Mối liên hệ giữa dòng điện chạy qua nhánh cây và điện áp trên nhánh cây là: G G I nhaïnhcáy = Ynhaïnhcáy.Enhaïnhcáy (4.23) Từ phương trình (4.22) và (4.23) ta có: t Ynhaïnhcáy = B []y .B Ma trận vết cắt cơ bản B là ma trận đơn giản vì vậy Bt [y].B là đơn giản với sự biến đổi của [y] Ma trận nhánh cây có thể thu được từ −1 t −1 Znhaïnhcáy = Ynhaïnhcáy = (B [y].B) 4.5.4. Ma trận tổng trở vòng và ma trận tổng dẫn vòng. Ma trận tổng trở vòng ZVòng có thể thu được bằng cách dùng ma trận vòng cơ bản C liên kết các biến và tham số của mạng điện gốc với số vòng của mạng điện kết nối. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc là: G G G v + e = []z i Nhân hai vế phương trình với Ct ta thu được: G G G C t v + C t e = C t []z i (4.24) Trang 45
  42. GIAÍI TÊCH MAÛNG B• ng 4.1 : Thành lập ma trận mạng bằng phép biến đổi đơn giản Ma trận mạng Gốc Vòng Nút Nhánh cây ở t C [z] C ng tr Z Znhánh cây ổ Nút ••o [z ZVòng T ] ch ị [y n Ngh t Y Y Y ẫ ] Vòng Nút nhánh cây A [y] A ng d t ổ B [y] T B Bả ng 4.2 : Dòng điện và điện áp liên hệ giữa ma trận gốc và ma trận kết nối Cấu trúc tham khảo Vòng Nút Nhánh cây n ệ G G i G G G t G t đ i = C .I Voìng I Nuït= A .j I nhaïnhcáy = B . j Dòng G G t G G G G EVoìng = C .e v = A.E Nuït v = B.E n áp nhaïnhcáy ệ i Đ G Từ ma trận C cho thấy sự tác động của nhánh tới vòng cơ bản, C t .v là tổng đại số của điện áp vòng trong mỗi vòng lặp cơ bản. Nó phù hợp với định luật Kirchhoff về điện áp (định luật Kirchhoff II) là tổng đại số của điện áp vòng trong một vòng cơ bản là bằng 0. G Nên: C t .v = 0 (4.25) G Tương tự C t .e là tổng đại số của nguồn điện áp vòng trong mỗi vòng cơ bản. Vì vậy: G t G EVoìng = C .e (4.26) Từ công suất không đổi ta có: G * t t G G * t G (EVoìng) C .e = (i ) e G Phương trình trên đúng với mọi giá trị e nên ta đơn giản nó trở thành như sau: Trang 46
  43. GIAÍI TÊCH MAÛNG G G * t * t t (i ) = (EVoìng) C Nên: G G * i = C .I Voìng Từ ma trận thực C, ta có: * G G C = C và i = C.I Voìng (4.27) Thay thế phương trình (4.25), (4.26) và (4.27) vào trong (4.24) ta thu được: G G t EVoìng = C []z C.I Voìng (4.28) Phương trình đặc tính của mạng điện trong cấu trúc vòng tham khảo là: G G EVoìng = ZVoìng.I Voìng (4.29) Từ phương trình (4.28) và (4.29) ta có: t ZVoìng = C []z C Ma trận C là ma trận đơn giản, nên C t [z] C là đơn giản với sự biến đổi của [z] Ma trận tổng dẫn vòng có thể thu được từ −1 t −1 YVoìng = (ZVoìng) = (C [z]C) Ma trận mạng thu được từ phép biến đổi đơn giản được tổng kết trong bảng 4.1. Quan hệ dòng và áp giữa mạng điện gốc và mạng điện kết nối được tổng kết trong bảng 4.2. 4.6. CÁCH THÀNH LẬP MA TRẬN MẠNG BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI PHỨC TẠP. 4.6.1. Ma trận tổng trở nhánh và tổng dẫn nhánh Ma trận tổng dẫn nhánh Ynhánh cây cũng có thể thu được bằng cách dùng ma trận vết cắt tăng thêm Bˆ liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc với mạng điện liên thông thêm vào. Mạng điện thêm vào thu được bằng sự kết nối với một nhánh cây giả mắc nối tiếp với mỗi nhánh bù cây của mạng điện gốc. Để giữ nguyên các đặc tính trong mạng liên thông tổng dẫn của mỗi nhánh cây giả bằng 0 và nguồn dòng đúng bằng dòng qua nhánh bù cây liên kết, được biểu diễn trên hình 4.8a. Hiệu điện thế đi qua nhánh cây giả là bằng 0. Vết cắt ràng buộc được xem như vết cắt giữa nhánh bù cây liên thông với nhánh cây giả, được thể hiện trên hình 4.8b. Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc nhánh cây tham khảo như sau: ˆ ˆ ˆ I nhaïnhcáy = Ynhaïnhcáy.Enhaïnhcáy ˆ Ma trận Ynhánh cây sẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng dẫn Ynhaïnhcáy của mạng điện thêm vào. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc G G G i + j = []y v Nhân hai vế với Bˆ t thu được: G G G Bˆ t .i + Bˆ t . j = Bˆ t []y v (4.30) Phương trình (4.30) có thể viết lại với hình thức ma trận phân chia như sau: Nút gi• jl l i i l l v = 0 (a Nhánh Trang 47 ) 2 4 cây gi• V•t c•t Nú t
  44. GIAÍI TÊCH MAÛNG U B t i U B t j U B t b t b b t b b t + = y v (4.3 0 0 0 Ut it Ut jt Ut 1) G G G G Trong đó: Vectơ dòng gốc i và j được phân chia thành vectơ dòng i và j , nó liên G G b b kết với nhánh cây của mạng, vectơ dòng it và jt liên kết với nhánh bù cây. Vế trái của phương trình (4.31) là: t t ib+Bt jb+Bt + i j it jt G t G t G G t G t G Khi ib + Bt .it = B .i và j b + Bt . j t = B . j Tuy nhiên: G t G t G B .it = 0 và B . j = I nhaïnhcáy Thì vế trái của phương trình (4.31) là: Inhánh cây Inhánh cây 0 = + jt i + it t j G G G Từ mỗi thành phần của vectơ it là bằng nguồn dòng của nhánh cây giả, it + jt là vectơ trong đó mỗi thành phần của nó bằng tổng đại số nguồn dòng của nhánh cây giả với nhánh bù cây liên kết. Vì vậy: Inhánh cây ˆ I nhaïnhcáy = it+ Và phương trình (4.30)j trở thành. ˆ ˆ t G I nhaïnhcáy = B []y v (4.32) Hiệu điện thế qua nhánh cây giả là bằng 0, vectơ điện áp của mạng điện thêm vào là: Enhánh cây Eˆ = Trang 48 nhaïnhcáy 0
  45. GIAÍI TÊCH MAÛNG Điện áp qua các nhánh của mạng điện gốc theo phương trình (4.21) là: G G v = B.Enhaïnhcáy Tuy nhiên: G G ˆ B.Enhaïnhcáy = B.Enhaïnhcáy G G ˆ Nên v = B.Enhaïnhcáy (4.33) Thế phương trình (4.33) vào trong phương trình (4.32) ta được. G ˆ ˆ t ˆ I nhaïnhcáy = B []y B.Enhaïnhcáy (4.34) Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là G ˆ ˆ I nhaïnhcáy = Ynhaïnhcáy.Enhaïnhcáy (4.35) Từ phương trình (4.34) và (4.35) ta có ma trận tổng dẫn của mạng điện thêm vào là: ˆ ˆ t ˆ Ynhaïnhcáy = B []y B (4.36) Phương trình (4.36) có thể viết theo hình thức phân chia như sau: t Y Y U B y y U 0 1 2 b t bb bl b (4.3 = 7) Y3 Y4 0 Ut ylb yll Bt Ut Với: [ybb]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh cây t [ybl] = [ylb] : Là ma trận tổng dẫn gốc, mỗi thành phần là tổng dẫn tương hỗ giữa nhánh cây với nhánh bù cây. [yll]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh bù cây. Phương trình (4.37) viết lại như sau t t Y1 =[]ybb +Bt [][]ylb + ybl Bt +Bt[yll ]Bt (4.38) ˆ t Từ Ynhaïnhcáy = B []y B Hay t U B y y U b t bb bl b Ynhánh cây = ylb yll Bt t t Thì Ynhaïnhcáy = []ybb + B t []ylb + [ybl ]Bt + B t [yll ]Bt (4.39) Từ phương trình (4.38) và (4.39) ta có: Ynhánh cây = Y1 Ma trận tổng trở nhánh cây có thể thu được từ -1 Znhánh cây = Y1 4.6.2. Ma trận tổng trở vòng và tổng dẫn vòng. Ma trận tổng trở vòng ZVòng cũng có thể thu được bằng cách dùng ma trận tổng trở vòng thêm vào Cˆ liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc liên hệ với mạng điện thêm vào. Mạng điện thêm vào thu được bằng sự nối kết với một nhánh bù cây giả mắc song song với mỗi nhánh cây của mạng điện gốc. Giữ nguyên trật tự các thành phần liên kết trong mạng, tổng trở của mỗi nhánh bù cây giả bằng 0 và nguồn áp bằng nhưng ngược hướng với áp qua nhánh cây liên kết trình bày trên hình 4.9.a. Dòng qua Trang 49
  46. GIAÍI TÊCH MAÛNG nhánh bù cây giả bằng 0. Vòng hở có thể xem như vòng liên thông giữa nhánh cây và nhánh bù cây giả tưởng cho trên hình 4.9b. 1 vb vb eb i = 2 (a 0 ) Nhánh bù cây giả 2 1 4 3 Vòng (b hở A ) 0 Nhánh bù cây giả Hình 4.9 : Trình bày mạng điện thêm vào. (a) Nhánh bù cây giả song song với nhánh cây; (b) Thể hiện vòng hở. Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc vòng tham khảo như sau: ˆ ˆ ˆ EVoìng = ZVoìng.I Voìng ˆ Ma trận Zvòng sẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng trở ZVoìng của mạng điện thêm vào. Phương trình đặc tính cho mạng điện gốc là: G G G v + e = []z .i Nhân hai vế với Cˆ t ta thu được: G G G Cˆ t .v + Cˆ t .e = Cˆ t []z .i (4.40) Phương trình (4.40) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau: U 0 v U 0 e U 0 b b b b b (4.41 t + t = t z i C U v C U e C U ) b t t b G t Gt b t G G Trong đó: Vectơ điện áp gốc v và e được phân chia thành vectơ điện áp v và e liên G G b b kết với nhánh cây của mạng và vectơ điện áp vt và et liên kết với nhánh bù cây. Vế trái của phương trình (4.41) là. vb eb t + t Cb vb+v Cb eb+e Trang 50
  47. GIAÍI TÊCH MAÛNG t G G t G t G G t G Khi Cb .vb + vt = C .v và Cb .eb + et = C .e Tuy nhiên. G t G t G C .v = 0 và C .e = EVoìng Vế trái của phương trình (4.41) trở thành vb eb vb+eb + = 0 EVòng EVòng G G G Các thành phần của vb là bằng nguồn áp của nhánh bù cây giả tưởng, vb + eb là vectơ trong các nhánh, mỗi thành phần là bằng tổng đại số nguồn áp trong vòng hở. Vì vậy. vb + Eˆ = e (4.42 Voìng E Vòng ) Và từ phương trình (4.40) và (4.42) G ˆ ˆ t EVoìng = C []z .i (4.43) Ta có dòng trong vòng hở bằng 0, vectơ dòng của mạng điện thêm vào là: 0 ˆ I Voìng= IVòng Dòng điện đi qua các nhánh của mạng điện gốc từ phương trình (4.27) là G G i = C.I Voìng Tuy nhiên: G ˆ ˆ C. I Voìng = C.I Voìng G ˆ ˆ Thì i = C.I Voìng (4.44) Thay thế phương trình (4.44) vào trong phương trình (4.43) ˆ ˆ t ˆ ˆ EVoìng = C []z C.I Voìng (4.45) Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là: ˆ ˆ ˆ EVoìng = ZVoìng.I Voìng (4.46) Từ phương trình (4.45) và (4.46) ta có ma trận tổng trở của mạng điện thêm vào là: ˆ ˆ t ˆ ZVoìng = C []z .C (4.47) Phương trình (4.47) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau: Z Z U 0 z z U C 1 2 b bb bl b b (4.48 = t Z3 Z4 Cb Ut zlb zll 0 Ut ) Với: [zbb]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh cây t [zbl] = [zlb] : Là ma trận tổng trở gốc mỗi thành phần là tổng trở tương hỗ giữa nhánh cây và nhánh bù cây [zll]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh bù cây Phương trình (4.48) viết lại như sau: t t Z4 = Cb []zbb Cb + []zlb Cb + Cb [zbl ]+ [zll ] (4.49) t Từ ZVoìng = C []z C Trang 51
  48. GIAÍI TÊCH MAÛNG Hay t Ub Ut zbb zbl Cb Z = Vòng z lb zll Ut Thì t t ZVoìng = Cb []zbb Cb + []zlb Cb + Cb [zbl ]+ [zll ] (4.50) Từ phương trình (4.49) và (4.50) ta có Zvòng = Z4 Ma trận tổng dẫn vòng có thể thu được từ -1 Zvòng = Z4 4.6.3. Ma trận tổng dẫn vòng thu được từ ma trận tổng dẫn mạng thêm vào. Ma trận tổng dẫn vòng YVòng có thể thu được từ ma trận tổng dẫn thêm vào ˆ Ynhaïnhcáy . Từ phương trình (4.36) và (4.47). ˆ ˆ ˆ t ˆ ˆ t ˆ ZVoìng.Ynhaïnhcáy = C []z C.B [y]B (4.51) Hình thức phân chia là: U C U B t U B t +C b b b t b t b (4.52 ˆ t = = C.Bˆ 0 U 0 U 0 U ) t t t Dòng điện đi qua các nhánh của mạng gốc từ phương trình (4.27) là: G G i = C.I Voìng Nhân cả hai vế với Bt ta có: G t G t B i = B .C.I Voìng (4.53) Tuy nhiên, từ phương trình (4.18) vế trái của phương trình (4.53) là bằng 0. Vì vậy, phương trình (4.53) có thể viết lại như sau: G t (Cb + B t )I Voìng = 0 Suy ra: t Cb = −Bt (4.54) Thay thế phương trình (4.54) vào trong phương trình (4.52) Cˆ .Bˆ t = U (4.55) Một cách tương tự ta có thể biểu diễn như sau: Cˆ t .Bˆ = U (4.56) Thay thế phương trình (4.55) vào trong (4.51),ta được: ˆ ˆ ˆ t ˆ ZVoìng.Ynhaïnhcáy = C [][]z . y .B Từ [z].[y] = U Nên ˆ ˆ ˆ t ˆ ZVoìng.Ynhaïnhcáy = C .B Vì vậy theo phương trình (4.56) ta có ˆ ˆ ZVoìng.Ynhaïnhcáy = U (4.57) Phương trình (4.57) dưới hình thức phân chia như sau: Z1 Z2 Y1 Y2 Ub 0 = Trang 52 Z3 Z4 Y3 Y4 0 Ut
  49. GIAÍI TÊCH MAÛNG Nó biểu diễn: Z1 .Y1 + Z2 .Y3 = Ub (4.58) Z1 .Y2 + Z2 .Y4 = 0 Z3 .Y1 + Z4 .Y3 = 0 (4.59) Z3 .Y2 + Z4 .Y4 = Ut (4.60) Rút Z3 từ phương trình (4.59) -1 Z3 = -Z4 .Y3 .Y1 Thay thế vào trong phương trình (4.60) -1 -Z4 .Y3 .Y1 .Y2 + Z4 .Y4 = Ut Hay -1 Z4(Y4 - Y3 .Y1 .Y2) = Ut Từ Z4 .YVòng = Ut -1 Ta có: YVòng = Y4 - Y3 .Y1 .Y2 4.6.4. Ma trận tổng trở nhánh cây thu được từ ma trận tổng trở thêm vào: Ma trận tổng trở nhánh cây Znhánh cây có thể thu được từ ma trận tổng trở thêm ˆ vào ZVoìng. Kết hợp phương trình (4.58) và (4.59) ta có: -1 (Z1- Z2 .Z4 .Z3) Y1 = Ub Từ Znhánh cây .Y1 = Ub Ta có -1 Znhánh cây = Z1 - Z2 .Z4 .Z3 4.6.5. Thành lập ma trận tổng dẫn và tổng trở nhánh cây từ ma trận tổng dẫn và tổng trở nút. Sử dụng ma trận hướng đường - nhánh cây K, ma trận tổng dẫn nhánh cây Ynhánh cây có thể thu được từ ma trận tổng dẫn nút YNút. Từ phương trình (4.3) t Ta có: Ab .K =Ub Và từ phương trình (4.5) ta có: t B1 = A1 . K Nhân thêm với Kt vào sau A ta có: t A A K t b t b A. K K (4.61 = At = At t ) Thế phương trình (4.3) và (4.5) vàoK (4.61) ta có. U b A . K = B (4.62 t U = t ) Đảo phương trình này ta được: K .At = Bt Nhân phương trình này với [y].A.Kt ta có: K.At [y].A.Kt = Bt [y].A.Kt Hay K.(At [y].A).Kt = Bt [y].B (4.63) Từ các phép biến đổi đơn giản ta có. t Ynhánh cây = K.YNút .K (4.64) Trang 53
  50. GIAÍI TÊCH MAÛNG Ma trận tổng trở nhánh cây là: -1 t -1 -1 -1 Znhánh cây = Y nhánh cây = (k ) .YNút .K (4.65) Từ phương trình (4.4) t -1 K = Ab (4.66) Thế phương trình (4.66) vào (4.65) ta có: t Znhánh cây = Ab.ZNút .Ab 4.6.6. Thành lập ma trận tổng dẫn và tổng trở nút từ ma trận tổng dẫn và tổng trở nhánh cây. Phương trình (4.64) được nhân thêm K-1 vào phía trước và (Kt)-1 vào phía sau ta có. -1 t -1 K.Ynhánh cây (K ) = YNút (4.67) Thế phương trình (4.66) vào (4.67): t YNút = Ab .Ynhánh cây.Ab Vì -1 ZNút = - YNút Nên: t -1 ZNút = (Ab .Ynhánh cây.Ab) Hay t ZNút = K .Znhánh cây .K Các phép biến đổi phức tạp có được các ma trận mạng được trình bày trong bảng 4.3. Trang 54 nhánh cây nhánh cây Y Z b K A ánh cây y. ây . ây t â h
  51. GIAÍI TÊCH MAÛNG Trang 55
  52. GIAÍI TÊCH MAÛNG E E q p z pq q p epq ipq vpq= Ep-Eq (a) j E pq p E y q pq i q p pq ipq+jpq Phæång trçnh âàûc tênh cuía täøng tråí nhaïnh laì: v + e = z i v = E - E pq (b)pq pq pq pq p q (4.6) Hay täøngHçnh 4.7dáùn : nhaïnhThaình laì:pháön biãøu diãùn imaûngpq + j pqâiãûn = ypq vpq (a) Hçnh thæïc täøng tråí; (4.7) (b) Hçnh Nguäön doìng màõc song song våïi täøng dáùn coï liãn hãû våïi nguäön aïp màõc näúi tiãúp våïi täøng tråí nhæ sau: jpq = -ypqepq Táûp håüp caïc thaình pháön khäng liãn hãû våïi nhau âæåüc goüi laì maûng gäúc. Phæång trçnh âàûc tênh cuía maûng gäúc coï thãø xuáút phaït tæì (4.6) hay (4.7) âæåüc biãøu diãùn båíi caïc biãún laì vectå vaì caïc tham säú laì ma tráûn. Phæång trçnh âàûc tênh cuía täøng tråí laì: G G G v + e = []z i Hay âäúi våïi täøng dáùn laì: G G G i + j = []y v Thaình pháön trãn âæåìng cheïo cuía ma tráûn [z] hay [y] cuía maûng gäúc laì täøng tråí riãng zpq,pq hay täøng dáùn riãng ypq,pq. Caïc thaình pháön ngoaìi âæåìng cheïo laì täøng tråí tæång häø zpq,rs hay täøng dáùn tæång häù ypq,rs giæîa nhaïnh p-q vaì nhaïnh r-s. Ma tráûn täøng dáùn gäúc [y] coï thãø thu âæåüc bàòng caïch nghëch âaío ma tráûn täøng tråí gäúc [z]. Ma tráûn [z] vaì [y] laì ma tráûn âæåìng cheïo nãúu khäng coï thaình pháön tæång häø giæîa caïc nhaïnh. Trong træåìng håüp naìy täøng tråí riãng âuïng bàòng säú nghëch âaío cuía täøng dáùn riãng tæång æïng. 4.5. CAÏCH THAÌNH LÁÛP MA TRÁÛN MAÛNG BÀÒNG SÆÛ BIÃÚN ÂÄØI TRÆÛC TIÃÚP. 4.5.1. Phæång trçnh âàûc tênh cuía maûng âiãûn. Maûng âiãûn laì sæû gheïp näúi táûp håüp caïc nhaïnh coï mäúi liãn hãû våïi nhau. Trong cáúu truïc nuït qui chiãúu, thaình pháön cuía maûng âiãûn coï mäúi liãn hãû våïi nhau âæåüc diãùn taí båíi n-1 phæång trçnh nuït âäüc láûp, våïi n laì säú nuït. Trong kê hiãûu ma tráûn caïc thaình pháön cuía phæång trçnh âäúi våïi täøng tråí laì: Trang 52
  53. GIAÍI TÊCH MAÛNG G G ENuït = ZNuïtI Nuït Hay âäúiG våïiG täøng dáùn laì: I = Y E GNuït Nuït Nuït ENuït: Laì vectå âiãûn aïp nuït âo âæåüc våïi nuït qui chiãúuG âaî choün. I Nuït: Laì vectå doìng âiãûn nuït âæa vaìo. ZNuït: Laì ma tráûn täøng tråí nuït coï caïc thaình pháön cuía ma tráûn laì täøng tråí truyãön håí maûch giæîa caïc âiãøm. YNuït: Laì ma tráûn täøng dáùn nuït coï caïc thaình pháön cuía ma tráûn laì täøng dáùn truyãön ngàõn maûch giæîa caïc âiãøm. Trong cáúu truïc nhaïnh cáy tham khaío thaình pháön cuía maûng âiãûn coï mäúi liãn hãû våïi nhau âæåüc thãø hiãûn båíi b phæång trçnh nhaïnh cáy âäüc láûp. Våïi b laì säú nhaïnh cáy. Trong kê hiãûu ma tráûn caïc thaình pháön cuía phæångG trçnh Gâäúi våïi täøng tråí laì: Enhaïnhcáy = Znhaïnhcáy.I nhaïnhcáy Hay âäúiG våïi täøngG dáùn laì: I nhaïnhcáy = Ynhaïnhcáy.Enhaïnhcáy G Våïi: Enhaïnhcáy : Laì vectå âiãûn aïp qua nhaïnh cáy G I nhaïnhcáy : Laì vectå doìng âiãûn âi qua nhaïnh cáy Znhaïnh cáy : Laì ma tráûn täøng tråí cuía nhaïnh cáy coï caïc thaình pháön cuía ma tráûn laì täøng tråí truyãön håí maûch giæîa caïc âiãøm cuía caïc nhaïnh cáy trong maûng âiãûn. Ynhaïnh cáy : Laì ma tráûn täøng dáùn cuía nhaïnh cáy coï caïc thaình pháön cuía ma tráûn laì täøng dáùn truyãön ngàõn maûch giæîa caïc âiãøm cuía caïc nhaïnh cáy trong maûng âiãûn. Trong cáúu truïc voìng tham khaío caïc thaình pháön cuía maûng âiãûn coï mäúi liãn hãû våïi nhau âæåüc thãø hiãûn båíi l phæång trçnh voìng âäüc láûp. Våïi l laì säú nhaïnh buì cáy hay säú voìng cå baín. Phæång trçnh âàûc tênh âäúiG våïiG daûng täøng tråí laì: EVoìng = ZVoìng.I Voìng Hay âäúiG våïiG daûng täøng dáùn laì: I Voìng = YVoìng.EVoìng G Trong âoï: EVoìng: Laì vectå âiãûn aïp cuía voìng cå baín G I Voìng: Laì vectå doìng âiãûn cuía voìng cå baín ZVoìng: Laì ma tráûn täøng tråí voìng YVoìng: Laì ma tráûn täøng dáùn voìng. 4.5.2. Ma tráûn täøng tråí nuït vaì ma tráûn täøng dáùn nuït. Ma tráûn täøng dáùn nuït YNuït coï thãø thu âæåüc bàòng caïch duìng ma tráûn nuït A liãn kãút våïi caïc biãún vaì tham säú cuía maûng âiãûn gäúc våïi læåüng nuït cuía maûng Trang 53
  54. GIAÍI TÊCH MAÛNG âiãûn kãút näúi. Phæång trçnh âàûc tênh cuía maûng âiãûn gäúc nhæ sau: G G G i + j = []y v Nhán hai vãú våïi At laì ma tráûn chuyãøn vë cuía ma tráûn nuït ta thu âæåüc: G G G At .i + At . j = At []y v (4.8) Tæì ma tráûn A choG tháúy sæû taïc âäüng cuía caïc nhaïnh våïi caïc nuït, At i laì vectå æïng våïi mäùi nhaïnh noï laì täøng âaûi säú cuía doìng chaûy qua caïc nhaïnh trong maûng taûi mäùi nuït khaïc nhau. Theo luáût Kirchhoff vãö doìng âiãûn (âënh luáût Kirchhoff I) täøng âaûi säú cuía doìng âiãûnG taûi mäüt nuït laì bàòng 0 ta coï: At .i = 0 (4.9) G Tæång tæû At j laì täøng âaûi säú cuía nguäön doìng taûi mäùi nuïtG bàòng vectå doìng âiãûn nuït. Vç Váûy: t G I Nuït = A . j (4.10) Thay thãú phæång trçnh (4.9) vaì (4.10) vaìo trong phæång trçnh G (4.8) ta thu âæåüc: t G I Nuït = A []y v (4.11) G G * t Cäng suáút trong maûng âiãûn laì (I Nuït) ENuït vaì täøng cuía G G cäng suáút trong maûng âiãûn nguäön laì ( j * )t v . Cäng suáút trong maûng âiãûn nguäön vaì maûng âiãûn kãút näúi phaíi bàòng nhau, cäng suáút phaíi khäng âäøi khi coï sæû thay âäøi cuíaG Gcaïc biãún. * t G * t G (I Nuït) ENuït = ( j ) v (4.12) Kãút håüpG våïi phæång trçnh chuyãøn vë cuía (4.10) * t G * t * (I Nuït) = ( j ) A Ma tráûn A laì ma tráûn thæûc nãn: * A = GA G * t * t Do âoï: (I Nuït) = ( j ) A (4.13) Thay thãú phæång trçnh (4.13) vaìo trong (4.12) G G G G ( j * ) t AE = ( j * ) t v Nuït G Phæång trçnh trãn âuïng cho táút caí caïc giaï trë cuía j, âån giaín noï tråí thaình: G G A.ENuït = v (4.14) Thay thãúG phæångG trçnh (4.14) vaìo trong (4.11) t I Nuït = A []y A.ENuït (4.15) Tæì phæång trçnh âàûc tênh cuía maûng âiãûn Trang 54
  55. GIAÍI TÊCH MAÛNG G G I Nuït = YNuït.ENuït (4.16) Tæì phæång trçnh (4.15) vaì (4.16) ta coï: t YNuït = A []y A Ma tráûn nuït A laì ma tráûn âån giaín vç váûy At [y] A laì âån giaín våïi pheïp biãún âäøi cuía [y] Ma tráûn täøng tråí nuït coï thãø thu âæåüc tæì −1 t −1 ZNuït = YNuït = (A []y A) 4.5.3. Ma tráûn täøng tråí nhaïnh cáy vaì täøng dáùn nhaïnh cáy. Ma tráûn täøng dáùn nhaïnh cáy Ynhaïnh cáy coï thãø thu âæåüc bàòng caïch duìng ma tráûn vãút càõt cå baín B liãn kãút caïc biãún vaì tham säú cuía maûng âiãûn gäúc våïi säú nhaïnh cáy cuía maûng âiãûn kãút näúi. Phæång trçnh âàûc tênh cuía maûng âiãûn gäúc âäúi våïi täøng dáùn khi nhán caí hai vãú våïi Bt thu âæåüc. G G G Bt .i + Bt . j = Bt []y v (4.17) Tæì ma tráûn B cho tháúy sæûG liãn hãû cuía caïc nhaïnh våïi caïc vãút càõt cå baín, Bt .i laì vectå æïng våïi mäùi nhaïnh noï laì täøng âaûi säú cuía doìng chaûy qua caïc nhaïnh trong maûng taûi mäùi vãút càõt cå baín khaïc nhau. Caïc nhaïnh cuía vãút càõt cå baín chia maûng âiãûn ra thaình haiG maûng con liãn kãút. Vç váûy thaình pháön cuía vectå Bt .i laì täøng âaûi säú cuía doìng âiãûn âi vaìo maûng con vaì theo âënh luáût Kirchhoff vãö doìng âiãûn (âënh luáût KirchhoffG I) ta coï: Bt .i = 0 (4.18) G Tæång tæû B t j laì vectå âäúi våïi mäùi nhaïnh laì täøng âaûi säú cuía nguäön doìng trong caïc nhaïnh våïi caïc vãút càõt cå baín vaì täøng nguäön doìng trong maûch màõc song songG våïi nhaïnh cáy laì: t G I nhaïnhcáy = B . j (4.19) Thay thãú phæång trçnh (4.18) vaì (4.19) vaìo trong (4.17)G thu âæåüc: t G I nhaïnhcáy = B []y v (4.20) G G * t Cäng suáút trong maûng âiãûn laì (I nhaïnhcáy ) (Enhaïnhcáy ) vaì tæì cäng suáútG khängG thay âäøi ta coï: * t G * t G (I nhaïnhcáy ) Enhaïnhcáy = ( j ) v G * t Thu âæåüc (I nhaïnhcáy ) tæì phæång trçnh (4.19) vaì thay vaìo phæång trçnhG trãn ta coï: G * t * G * t G ( j ) B .Enhaïnhcáy = ( j ) v Tæì ma tráûn B laì ma tráûnG thæûc, ta coï: * G * t G * t G B = B do âoï ( j ) B.Enhaïnhcáy = ( j ) v Trang 55
  56. GIAÍI TÊCH MAÛNG G Phæång trçnh trãn âuïng våïi moüi giaï trë cuía j, âån giaín noï tråí thaình nhæ sau: G G v = B.Enhaïnhcáy (4.21) Thay thãúG phæång Gtrçnh (4.21) vaìo trong (4.20) thu âæåüc: t I nhaïnhcáy = B []y B.Enhaïnhcáy (4.22) Mäúi liãn hãû giæîa doìng âiãûn chaûy qua nhaïnh cáy vaì âiãûn G aïp trãn nhaïnhG cáy laì: I nhaïnhcáy = Ynhaïnhcáy.Enhaïnhcáy (4.23) Tæì phæång trçnh (4.22) vaì (4.23) ta coï: t Ynhaïnhcáy = B []y .B Ma tráûn vãút càõt cå baín B laì ma tráûn âån giaín vç váûy Bt []y .B laì âån giaín våïi sæû biãún âäøi cuía [y] Ma tráûn nhaïnh cáy coï thãø thu âæåüc tæì −1 t −1 Znhaïnhcáy = Ynhaïnhcáy = (B [y].B) 4.5.4. Ma tráûn täøng tråí voìng vaì ma tráûn täøng dáùn voìng. Ma tráûn täøng tråí voìng ZVoìng coï thãø thu âæåüc bàòng caïch duìng ma tráûn voìng cå baín C liãn kãút caïc biãún vaì tham säú cuía maûng âiãûn gäúc våïi säú voìng cuía maûng âiãûn kãút näúi. Phæång trçnh âàûc tênh cuía maûng âiãûn gäúc laì: G G G v + e = []z i Nhán hai vãú phæång trçnh våïi Ct ta thu âæåüc: G G G C t v + C t e = C t []z i (4.24) Baíng 4.1 : Thaình láûp ma tráûn maûng bàòng pheïp biãún âäøi âån giaín Ma tráûn maûng Gäú Voìn Nuï Nhaïnh c g t cáy Ct[z] C Z Z [z ZVoìng Nuït nhaïnh cáy Täøng tråí ] [y Nghëch âaío t YVoìng YNuït Ynhaïnh cáy ] A [y] A Bt[y] Täøng dáùn B Baíng 4.2 : Doìng âiãûn vaì âiãûn aïp liãn hãû giæîa ma tráûn gäúc vaì ma tráûn kãút näúi Cáúu truïc tham khaío Trang 56 Voìn Nuï Nhaïnh t á G G G G G G t I Bt j
  57. GIAÍI TÊCH MAÛNG Tæì ma tráûn C cho tháúy sæû taïc âäüng cuía nhaïnh G tåïi voìng cå baín, C t .v laì täøng âaûi säú cuía âiãûn aïp voìng trong mäùi voìng làûp cå baín. Noï phuì håüp våïi âënh luáût Kirchhoff vãö âiãûn aïp (âënh luáût Kirchhoff II) laì täøng âaûi säú cuía âiãûn aïp voìng trong mäüt voìng cå baín laì bàòng 0. G Nãn: C t .v = 0 (4.25) G Tæång tæû C t .e laì täøng âaûi säú cuía nguäön âiãûn aïp voìng trong mäùi voìng cå baín. Vç váûy:G t G EVoìng = C .e (4.26) Tæì cäng suáút khäng âäøi ta coï: G G G G (E* ) t C t .e = (i * ) t e Voìng G Phæång trçnh trãn âuïng våïi moüi giaï trë e nãn ta âån giaín noï tråíG thaình nhæ sau: G * t * t t (i ) = (EVoìng) C Nãn: G G * i = C .I Voìng Tæì ma tráûn thæûc C, ta coï: * G G C = C vaì i = C.I Voìng (4.27) Thay thãú phæång trçnh (4.25), (4.26) vaì (4.27) vaìo trong G(4.24) taG thu âæåüc: t EVoìng = C []z C.I Voìng (4.28) Phæång trçnh âàûc tênh cuía maûng âiãûn trong cáúu truïc voìng Gtham khaíoG laì: EVoìng = ZVoìng.I Voìng (4.29) Tæì phæång trçnh (4.28) vaì (4.29) ta coï: t ZVoìng = C []z C Ma tráûn C laì ma tráûn âån giaín, nãn C t [z] C laì âån giaín våïi sæû biãún âäøi cuía [z] Ma tráûn täøng dáùn voìng coï thãø thu âæåüc tæì −1 t −1 YVoìng = (ZVoìng) = (C [z]C) Ma tráûn maûng thu âæåüc tæì pheïp biãún âäøi âån giaín âæåüc täøng kãút trong baíng 4.1. Quan hãû doìng vaì aïp giæîa maûng âiãûn gäúc vaì maûng âiãûn kãút näúi âæåüc täøng kãút trong baíng 4.2. Trang 57
  58. GIAÍI TÊCH MAÛNG 4.6. CAÏCH THAÌNH LÁÛP MA TRÁÛN MAÛNG BÀÒNG PHEÏP BIÃÚN ÂÄØI PHÆÏC TAÛP. 4.6.1. Ma tráûn täøng tråí nhaïnh vaì täøng dáùn nhaïnh Ma tráûn täøng dáùn nhaïnh Ynhaïnh cáy cuîng coï thãø thu âæåüc bàòng caïch duìng ma tráûn vãút càõt tàng thãm Bˆ liãn kãút våïi caïc biãún vaì caïc tham säú cuía maûng âiãûn gäúc våïi maûng âiãûn liãn thäng thãm vaìo. Maûng âiãûn thãm vaìo thu âæåüc bàòng sæû kãút näúi våïi mäüt nhaïnh cáy giaí màõc näúi tiãúp våïi mäùi nhaïnh buì cáy cuía maûng âiãûn gäúc. Âãø giæî nguyãn caïc âàûc tênh trong maûng liãn thäng täøng dáùn cuía mäùi nhaïnh cáy giaí bàòng 0 vaì nguäön doìng âuïng bàòng doìng qua nhaïnh buì cáy liãn kãút, âæåüc biãøu diãùn trãn hçnh 4.8a. Hiãûu âiãûn thãú âi qua nhaïnh cáy giaí laì bàòng 0. Vãút càõt raìng buäüc âæåüc xem nhæ vãút càõt giæîa nhaïnh buì cáy liãn thäng våïi nhaïnh cáy giaí, âæåüc thãø hiãûn trãn hçnh 4.8b. Phæång trçnh âàûc tênh cuía maûng âiãûn thãm vaìo trong cáúu truïc nhaïnh cáy tham khaío nhæ sau: ˆ ˆ ˆ I nhaïnhcáy = Ynhaïnhcáy.Enhaïnhcáy Ma tráûn Ynhaïnh cáy seî thu âæåüc træûc tiãúp tæì ma tráûn ˆ täøng dáùn Ynhaïnhcáy cuía maûng âiãûn thãm vaìo. Phæång trçnh âàûc tênh cuía maûng âiãûn gäúc G G G i + j = []y v Nhán hai vãú våïi Bˆ t thu âæåüc: G G G Bˆ t .i + Bˆ t . j = Bˆ t []y v (4.30) Phæång trçnh (4.30) coï thãø viãút laûi våïi hçnh thæïc ma tráûn phán chia nhæ sau: Nuï jl t gia l il il v = 0 (a Nhaïn ) 2 4 h cáy giaí Vãút Nu càõt ït gi Nhaï raìng nh bGaí l cáy 2 1 4 3 (b Trang 58 ) 0 Hçnh 4.8 : Trçnh baìy maûng âiãûn thãm vaìo. (a) Nhaïnh cáy giaí näúi tiãúp våïi nhaïnh buì cáy;
  59. GIAÍI TÊCH MAÛNG t t t Ub Bt ib Ub Bt jb Ub Bt + = y v (4.3 0 0 0 Ut it Ut jt G Ut G 1) Trong âoï: Vectå doìng gäúc i vaì j âæåüc phán chia thaình G G vectå doìng i vaì j , noï liãn kãút våïi nhaïnh cáy cuía b bG G maûng, vectå doìng it vaì jt liãn kãút våïi nhaïnh buì cáy. Vãú traïi cuía phæång trçnh (4.31) laì: t t ib+Bt jb+Bt + j G i G G G G G it t t jt t t Khi ib + Bt .it = B .i vaì j b + Bt . j t = B . j Tuy nhiãn: G t G t G B .it = 0 vaì B . j = I nhaïnhcáy Thç vãú traïi cuía phæång trçnh (4.31) laì: Inhaïnh cáy Inhaïnh cáy 0 = + jt i + G it t Tæì mäùi thaình pháön cuíaj vectå it laì bàòng nguäön doìng G G cuía nhaïnh cáy giaí, it + jt laì vectå trong âoï mäùi thaình pháön cuía noï bàòng täøng âaûi säú nguäön doìng cuía nhaïnh cáy giaí våïi nhaïnh buì cáy liãn kãút. Vç váûy: I nhaïnh cáy ˆ I nhaïnhcáy = it+ Vaì phæång trçnhj (4.30) tråí thaình. ˆ ˆ t G I nhaïnhcáy = B []y v (4.32) Hiãûu âiãûn thãú qua nhaïnh cáy giaí laì bàòng 0, vectå âiãûn aïp cuía maûng âiãûn thãm vaìo laì: E nhaïnh cáy Eˆ = nhaïnhcáy 0 Âiãûn aïp qua caïc nhaïnh cuía maûng âiãûn gäúc theo phæång trçnh (4.21) laì: G G v = B.Enhaïnhcáy Tuy nhiãn:G G ˆ B.Enhaïnhcáy = B.Enhaïnhcáy G G ˆ Nãn v = B.Enhaïnhcáy (4.33) Thãú phæång trçnh (4.33) vaìo trong phæång trçnh (4.32) ta âæåüc. G ˆ ˆ t ˆ I nhaïnhcáy = B []y B.Enhaïnhcáy (4.34) Phæång trçnh âàûc Gtênh cuía maûng âiãûn thãm vaìo laì ˆ ˆ I nhaïnhcáy = Ynhaïnhcáy.Enhaïnhcáy (4.35) Trang 59
  60. GIAÍI TÊCH MAÛNG Tæì phæång trçnh (4.34) vaì (4.35) ta coï ma tráûn täøng dáùn cuía maûng âiãûn thãm vaìo laì: ˆ ˆ t ˆ Ynhaïnhcáy = B []y B (4.36) Phæång trçnh (4.36) coï thãø viãút theo hçnh thæïc phán chia nhæ sau: Y Y U B t y y U 0 1 2 b t bb bl b (4.3 = 7) Y3 Y4 0 Ut ylb yll Bt Ut Våïi: [ybb]: Laì ma tráûn täøng dáùn gäúc cuía nhaïnh cáy t [ybl] = [ylb] : Laì ma tráûn täøng dáùn gäúc, mäùi thaình pháön laì täøng dáùn tæång häù giæîa nhaïnh cáy våïi nhaïnh buì cáy. [yll]: Laì ma tráûn täøng dáùn gäúc cuía nhaïnh buì cáy. Phæång trçnh (4.37) viãút laûi nhæ sau t t Y1 =[]ybb +Bt [][]ylb + ybl Bt +Bt[yll ]Bt (4.38) ˆ t Tæì Ynhaïnhcáy = B []y B Hay t Ub Bt ybb ybl Ub Y = nhaïnh cáy ylb yll Bt t t Thç Ynhaïnhcáy = []ybb + B t []ylb + [ybl ]Bt + B t [yll ]Bt (4.39) Tæì phæång trçnh (4.38) vaì (4.39) ta coï: Ynhaïnh cáy = Y1 Ma tráûn täøng tråí nhaïnh cáy coï thãø thu âæåüc tæì -1 Znhaïnh cáy = Y1 4.6.2. Ma tráûn täøng tråí voìng vaì täøng dáùn voìng. Ma tráûn täøng tråí voìng ZVoìng cuîng coï thãø thu âæåüc bàòng caïch duìng ma tráûn täøng tråí voìng thãm vaìo Cˆ liãn kãút våïi caïc biãún vaì caïc tham säú cuía maûng âiãûn gäúc liãn hãû våïi maûng âiãûn thãm vaìo. Maûng âiãûn thãm vaìo thu âæåüc bàòng sæû näúi kãút våïi mäüt nhaïnh buì cáy giaí màõc song song våïi mäùi nhaïnh cáy cuía maûng âiãûn gäúc. Giæî nguyãn tráût tæû caïc thaình pháön liãn kãút trong maûng, täøng tråí cuía mäùi nhaïnh buì cáy giaí bàòng 0 vaì nguäön aïp bàòng nhæng ngæåüc hæåïng våïi aïp qua nhaïnh cáy liãn kãút trçnh baìy trãn hçnh 4.9.a. Doìng qua nhaïnh buì cáy giaí bàòng 0. Voìng håí coï thãø xem nhæ voìng liãn thäng giæîa nhaïnh cáy vaì nhaïnh buì cáy giaí tæåíng cho trãn hçnh 4.9b. 1 v b vb eb Trang 60 i = 2 (a 0 ) Nhaïnh buì cáy ií
  61. GIAÍI TÊCH MAÛNG Phæång trçnh âàûc tênh cuía maûng âiãûn thãm vaìo trong cáúu truïc voìng tham khaío nhæ sau: ˆ ˆ ˆ EVoìng = ZVoìng.I Voìng Ma tráûn Zvoìng seî thu âæåüc træûc tiãúp tæì ma tráûn täøng ˆ tråí ZVoìng cuía maûng âiãûn thãm vaìo. Phæång trçnh âàûc tênh cho maûng âiãûn gäúc laì: G G G v + e = []z .i Nhán hai vãú våïi Cˆ t ta thu âæåüc: G G G Cˆ t .v + Cˆ t .e = Cˆ t []z .i (4.40) Phæång trçnh (4.40) coï thãø âæåüc viãút dæåïi daûng phán chia nhæ sau: U 0 v U 0 e U 0 b b b b b (4.41 t + t = t z i C U v C U e C U G G ) b t t b t t b t v e Trong âoï: Vectå âiãûn aïpG gäúcG vaì âæåüc phán chia thaình vectå âiãûn aïp v vaì e liãn kãút våïi nhaïnh cáy b b G G cuía maûng vaì vectå âiãûn aïp vt vaì et liãn kãút våïi nhaïnh buì cáy. Vãú traïi cuía phæång trçnh (4.41) laì. vb eb t + t Cbt vG b+vG Ctb Geb+e t G G t G Khi Cb .vb + vt = C .v vaì Cb .eb + et = C .e Tuy nhiãn. G t G t G C .v = 0 vaì C .e = EVoìng Vãú traïi cuía phæång trçnh (4.41) tråí thaình vb eb vb+eb + = 0 E E G Caïc thaình pháönVoìng cuíaVoìng v laì bàòng nguäön aïp cuía nhaïnh G b G buì cáy giaí tæåíng, vb + eb laì vectå trong caïc nhaïnh, mäùi thaình pháön laì bàòng täøng âaûi säú nguäön aïp trong voìng håí. Vç váûy. v + ˆ b (4.42 EVoìng= e Trang 61 EVoìng )
  62. GIAÍI TÊCH MAÛNG Vaì tæì phæångG trçnh (4.40) vaì (4.42) ˆ ˆ t EVoìng = C []z .i (4.43) Ta coï doìng trong voìng håí bàòng 0, vectå doìng cuía maûng âiãûn thãm vaìo laì: 0 ˆ I Voìng= IVoìng Doìng âiãûn âi qua caïc nhaïnh cuía maûng âiãûn gäúc tæì phæångG trçnhG (4.27) laì i = C.I Voìng Tuy nhiãn:G ˆ ˆ C. I Voìng = C.I Voìng G ˆ ˆ Thç i = C.I Voìng (4.44) Thay thãú phæång trçnh (4.44) vaìo trong phæång trçnh (4.43) ˆ ˆ t ˆ ˆ EVoìng = C []z C.I Voìng (4.45) Phæång trçnh âàûc tênh cuía maûng âiãûn thãm vaìo laì: ˆ ˆ ˆ EVoìng = ZVoìng.I Voìng (4.46) Tæì phæång trçnh (4.45) vaì (4.46) ta coï ma tráûn täøng tråí cuía maûng âiãûn thãm vaìo laì: ˆ ˆ t ˆ ZVoìng = C []z .C (4.47) Phæång trçnh (4.47) coï thãø âæåüc viãút dæåïi daûng phán chia nhæ sau: Z Z U 0 z z U C 1 2 b bb bl b b (4.48 = t Z3 Z4 Cb Ut zlb zll 0 Ut ) Våïi: [zbb]: Laì ma tráûn täøng tråí gäúc cuía nhaïnh cáy t [zbl] = [zlb] : Laì ma tráûn täøng tråí gäúc mäùi thaình pháön laì täøng tråí tæång häù giæîa nhaïnh cáy vaì nhaïnh buì cáy [zll]: Laì ma tráûn täøng tråí gäúc cuía nhaïnh buì cáy Phæång trçnh (4.48) viãút laûi nhæ sau: t t Z4 = Cb []zbb Cb + []zlb Cb + Cb [zbl ]+ [zll ] (4.49) t Tæì ZVoìng = C []z C Hay U t U z z C b t bb bl b ZVoìng = zlb zll Ut Trang 62
  63. GIAÍI TÊCH MAÛNG Thç t t ZVoìng = Cb []zbb Cb + []zlb Cb + Cb [zbl ]+ [zll ] (4.50) Tæì phæång trçnh (4.49) vaì (4.50) ta coï Zvoìng = Z4 Ma tráûn täøng dáùn voìng coï thãø thu âæåüc tæì -1 Zvoìng = Z4 4.6.3. Ma tráûn täøng dáùn voìng thu âæåüc tæì ma tráûn täøng dáùn maûng thãm vaìo. Ma tráûn täøng dáùn voìng YVoìng coï thãø thu âæåüc tæì ˆ ma tráûn täøng dáùn thãm vaìo Ynhaïnhcáy . Tæì phæång trçnh (4.36) vaì (4.47). ˆ ˆ ˆ t ˆ ˆ t ˆ ZVoìng.Ynhaïnhcáy = C []z C.B [y]B (4.51) Hçnh thæïc phán chia laì: U C U B t U B t +C b b b t b t b (4.52 t = = Cˆ .Bˆ ) 0 Ut 0 Ut 0 Ut Doìng âiãûn âi qua caïc nhaïnh cuía maûng gäúc tæì phæång trçnhG (4.27)G laì: i = C.I Voìng t Nhán caí hai Gvãú våïi B ta coï: t G t B i = B .C.I Voìng (4.53) Tuy nhiãn, tæì phæång trçnh (4.18) vãú traïi cuía phæång trçnh (4.53) laì bàòng 0. Vç váûy, phæång trçnh (4.53) coï thãø viãút laûiG nhæ sau: t (Cb + B t )I Voìng = 0 Suy ra: t Cb = −Bt (4.54) Thay thãú phæång trçnh (4.54) vaìo trong phæång trçnh (4.52) Cˆ .Bˆ t = U (4.55) Mäüt caïch tæång tæû ta coï thãø biãøu diãùn nhæ sau: Cˆ t .Bˆ = U (4.56) Thay thãú phæång trçnh (4.55) vaìo trong (4.51),ta âæåüc: ˆ ˆ ˆ t ˆ ZVoìng.Ynhaïnhcáy = C [][]z . y .B Tæì [z].[y] = U Nãn ˆ ˆ ˆ t ˆ ZVoìng.Ynhaïnhcáy = C .B Vç váûy theo phæång trçnh (4.56) ta coï Trang 63
  64. GIAÍI TÊCH MAÛNG ˆ ˆ ZVoìng.Ynhaïnhcáy = U (4.57) Phæång trçnh (4.57) dæåïi hçnh thæïc phán chia nhæ sau: Z Z Y Y U 0 1 2 1 2 b = Z3 Z4 Y3 Y4 0 Ut Noï biãøu diãùn: Z1 .Y1 + Z2 .Y3 = Ub (4.58) Z1 .Y2 + Z2 .Y4 = 0 Z3 .Y1 + Z4 .Y3 = 0 (4.59) Z3 .Y2 + Z4 .Y4 = Ut (4.60) Ruït Z tæì phæång trçnh (4.59) 3 -1 Z3 = -Z4 .Y3 .Y1 Thay thãú vaìo trong phæång trçnh (4.60) -1 -Z4 .Y3 .Y1 .Y2 + Z4 .Y4 = Ut Hay -1 Z4(Y4 - Y3 .Y1 .Y2) = Ut Tæì Z .Y = U 4 Voìng t -1 Ta coï: YVoìng = Y4 - Y3 .Y1 .Y2 4.6.4. Ma tráûn täøng tråí nhaïnh cáy thu âæåüc tæì ma tráûn täøng tråí thãm vaìo: Ma tráûn täøng tråí nhaïnh cáy Znhaïnh cáy coï thãø thu ˆ âæåüc tæì ma tráûn täøng tråí thãm vaìo ZVoìng. Kãút håüp phæång trçnh (4.58) vaì (4.59) ta coï: -1 (Z1- Z2 .Z4 .Z3) Y1 = Ub Tæì Znhaïnh cáy .Y1 = Ub Ta coï -1 Znhaïnh cáy = Z1 - Z2 .Z4 .Z3 4.6.5. Thaình láûp ma tráûn täøng dáùn vaì täøng tråí nhaïnh cáy tæì ma tráûn täøng dáùn vaì täøng tråí nuït. Sæí duûng ma tráûn hæåïng âæåìng - nhaïnh cáy K, ma tráûn täøng dáùn nhaïnh cáy Ynhaïnh cáy coï thãø thu âæåüc tæì ma tráûn täøng dáùn nuït Y . Tæì phæång trçnh (4.3) t Nuït Ta coï: Ab .K =Ub Vaì tæì phæång trçnh (4.5) ta coï: t B1 = A1 . K Nhán thãm våïi Kt vaìo sau A ta coï: t A A K A. Kt b Kt b (4.61 = At = At Thãú phæång trçnh (4.3)Kt vaì (4.5) vaìo (4.61) ta coï. ) U A . K b = B t (4.62 = Ut Âaío phæång trçnh naìy ta âæåüc: ) K .At = Bt Nhán phæång trçnh naìy våïi [y].A.Kt ta coï: K.At [y].A.Kt = Bt [y].A.Kt Trang 64
  65. GIAÍI TÊCH MAÛNG Hay K.(At [y].A).Kt = Bt [y].B (4.63) Tæì caïc pheïp biãún âäøi âån giaín ta coï. t Ynhaïnh cáy = K.YNuït .K (4.64) Ma tráûn täøng tråí nhaïnh cáy laì: -1 t -1 -1 -1 Znhaïnh cáy = Y nhaïnh cáy = (k ) .YNuït .K (4.65) Tæì phæång trçnh (4.4) t -1 K = Ab (4.66) Thãú phæång trçnh (4.66) vaìo (4.65) ta coï: t Znhaïnh cáy = Ab.ZNuït .Ab 4.6.6. Thaình láûp ma tráûn täøng dáùn vaì täøng tråí nuït tæì ma tráûn täøng dáùn vaì täøng tråí nhaïnh cáy. Phæång trçnh (4.64) âæåüc nhán thãm K-1 vaìo phêa træåïc vaì (Kt)-1 vaìo phêa sau ta coï. -1 t -1 K.Ynhaïnh cáy (K ) = YNuït (4.67) Thãú phæång trçnh (4.66) vaìo (4.67): t YNuït = Ab .Ynhaïnh cáy.Ab Vç -1 ZNuït = - YNuït Nãn: t -1 ZNuït = (Ab .Ynhaïnh cáy.Ab) Hay t ZNuït = K .Znhaïnh cáy .K Caïc pheïp biãún âäøi phæïc taûp coï âæåüc caïc ma tráûn maûng âæåüc trçnh baìy trong baíng 4.3. Trang 65
  66. Trang GIAÍI TÊCHMAÛNG Baíng 4.3: Ma tráûn maûng thu âæåüc bàòng sæû biãún âäøi phæïc taûp 66 Ma tráûn maûng Gäúc Thãm vaìo Voìng Nuït Nhaïnh cáy -1 Z1-Z2Z4 Z3 A Z A t Z Z b Nuït b = 1 2 [z] ZVoìng ZNuït Znhaïnh cáy Z3 Z4 t K Znhaïnh cáy .K Z4= ZVoìng -1 Y4-Y3Y1 Y2 t KYNuïtK Y1 Y2 [y] YVoìng YNuït Ynhaïnh cáy = Y3 Y4 t Ab Ynhaïnh cáy.Ab Y1= Ynhaïnh cáy
  67. GIAÍI TÊCH MAÛNG CHƯƠNG 5 CÁC THUẬT TOÁN DÙNG CHO VIỆC THÀNH LẬP NHỮNG MA TRẬN MẠNG 5.1. GIỚI THIỆU. Những phương pháp trình bày trong các mục trên đòi hỏi một sự chuyển đổi và đảo ngược những ma trận để có được những ma trận mạng. Một phương pháp thay thế dựa trên một thuật toán có thể được dùng để thành lập trực tiếp ma trận tổng trở nút từ những thông số hệ thống và số nút đã được mã hoá. Nguyên tắc của thuật toán là thành lập ma trận tổng trở nút theo từng bước, mô phỏng cấu trúc của mạng bằng cách thêm vào từng nhánh một. Một ma trận được thành lập cho mạng riêng được biểu thị sau khi mỗi phần tử được nối với mạng. Ngoài ra, một thuật toán được biểu thị để chuyển hóa ma trận tổng dẫn vòng từ ma trận tổng trở nút đã định. Các phương trình mạng: INút = YNút .ENút ENút = ZNút .INút t YNút = A .y. A -1 ZNút = (YNút) 5.2. XÁC ĐỊNH MA TRẬN YNÚT BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP. Gọi Ei, Ej, Ek là điện áp tại các nút khi bơm một dòng vào nút i. E i y I ij E i j i j y yiij yjji iik yik Yii ykki Ek yii k Hình 5.1 : Sơ đồ mô tả mạng điện tại 1 nút Ij = 0; ∀ j ≠ i I i = ∑(yiij .Ei ) + ∑(Ei − E j )yij j ≠i j ≠i = ∑ (yiij .Ei ) + ∑ yij Ei − ∑ yij E j j ≠i ji≠≠i j = Ei (∑∑yiij + yij ) + ∑ E j ( − yij ) ji≠≠i j j ≠i = Ei (yii + ∑ yij ).∑ E j ( − yij ) j ≠i j ≠i Ta có: Yii = ∑∑yiij + yij = yii + ∑ yij Trang 67
  68. GIAÍI TÊCH MAÛNG Yij = −yij Do đó: I i = Yii .Ei + ∑Yij E j = ∑Yij E j j ≠i Vậy : YNút là ma trận có các thành phần trên đường chéo chính là Yii thành phần ngoài đường chéo là Yij. Chú ý: Nếu có tương hổ thì chúng ta phải tính thêm các thành phần tương hỗ. Yii = ∑∑yiij + yij + ∑ yij , rs = yii + ∑ yij + ∑ yij , rs Yij = −(yij , ij + ∑ yij ,rs ) 5.3. THUẬT TOÁN ĐỂ THÀNH LẬP MA TRẬN TỔNG TRỞ NÚT: 5.3.1. Phương trình biểu diễn của một mạng riêng. Giả thiết rằng ma trận tổng trở nút ZNút được biết từ một mạng riêng m nút và một nút qui chiếu 0. Phương trình biểu diễn của mạng này cho trong hình (5.2) là: 1 I 1 2 I 2 E Mạng 1 E riêng 2 Im m Hình 5.2 : Sự biểu diễn của một mạng riêng Em G G Hệ qui chiếu E = Z .I 0 NuïtG Nuït Nuït Trong đó: E = m x 1 vectơ của các điện áp nút được đo đối với nút qui chiếu. G Nuït I Nuït= m x 1 vectơ của các dòng điện được bơm vào nút khi một nhánh p - q được thêm vào mạng riêng, nó có thể là một nhánh cây hoặc một nhánh bù cây như cho ở hình (5.3) (a) Sự thêm vào của một nhánh cây (b) Sự thêm vào của một nhánh bù cây - Nếu p - q là một nhánh cây, một nút mới q được thêm vào mạng riêng và tạo thành ma trận tổng trở nút kích thước là (m + 1) x (m + 1). Các vectơ điện áp mới và dòng điện mới có kích thước là (m + 1) x 1. Để xác định ma trận tổng trở nút mới yêu cầu chỉ tính các phần tử trong hàng và cột mới. - Nếu p - q là một nhánh bù cây, không có nút mới được thêm vào mạng riêng. Trong trường hợp này, kích thước của các ma trận trong phương trình biểu diễn được giữ nguyên, nhưng tất cả các phần tử của ma trận tổng trở nút phải được tính lại để bao hàm ảnh hưởng của nhánh bù cây được thêm vào. (a 1 (b ) ) 1 2 2 q # Trang 68 # p p Mạng Mạng Nhánh p- m # điện Nhánh p- điện q q