Giáo trình Giải tích I

137 trang ngocly 2460

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích I", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_giai_tich_i.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích I

Giải tích 1 Mục lục MỤC LỤC Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 1
Giải tích 1 Lời nĩi đầu LỜI NĨI ĐẦU Với mục đích ghi lại một vài thu hoạch sau một năm cơng tác dưới vai trị giảng viên tập sự tại Khoa Tốn-Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tác giả biên soạn tài liệu Bài giảng giải tích I. Tài liệu gồm nội dung lý thuyết và bài tập phục vụ cho việc giảng dạy học phần Giải tích I tại trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tác giả biên soạn tập tài liệu này trước hết với mục đích sử dụng làm giáo án giảng dạy, đồng thời cũng hy vọng cĩ thể giúp đỡ được phần nào các giảng viên trẻ trong việc chuẩn bị bài giảng lên lớp. Tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp đã giúp đỡ rất nhiều trong thời gian tập sự tại Khoa Tốn-Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Đặc biệt tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS. Lê Trọng Vinh, TS. Phan Hữu Sắn, TS. Trần Xuân Tiếp, Ths. Lê Cường và nhiều anh chị và các đồng nghiệp trẻ thuộc seminar Bồi dưỡng cán bộ trẻ của Khoa Tốn-Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã cĩ những hướng dẫn đáng quý để tác giả cĩ những kinh nghiệm đầu tiên về kiến thức chuyên mơn cũng như kiến thức sư phạm. Tác giả cũng xin phép được gửi lời cảm ơn tới GS. Nguyễn Đình Trí, người đã giảng dạy mơn học giải tích 1 cho tác giả trong khi cịn đang ngồi trên ghế nhà trường. Hà Nội, tháng 8 năm 2006 Tác giả Lê Chí Ngọc Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 2
Giải tích 1 Tổng quan học phần TỔNG QUAN HỌC PHẦN 1. Tên học phần: Giải tích I 2. Hệ đào tạo: Chính quy 3. Chuyên ngành: Các chuyên ngành kỹ sư cơng nghệ, kỹ thuật 4. Trình độ: Sinh viên năm thứ nhất, học kỳ I 5. Phân bổ thời gian: Lý thuyết: 13 tuần x 3 tiết = 39 tiết Bài tập: 12 tuần x 3 tiết = 36 (03 tiết ơn tập, kiểm tra và dự trữ) 6. Điều kiện tiên quyết: Hồn thành chương trình phổ thơng 7. Nội dung vắn tắt: Các phép tính vi tích phân hàm một biến, các phép tính vi phân hàm nhiều biến. 8. Nhiệm vụ sinh viên: Lên lớp đầy đủ Làm bài tập theo yêu cầu của giáo viên 9. Tài liệu học tập: Đề cương bài tập do khoa soạn Các tài liệu tham khảo (ở phần tài liệu tham khảo) 10. Hình thức đánh giá: Thi viết (cĩ thể trắc nghiệm) cuối học phần 11. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về hàm số một biến số và nhiều biến số: Giới hạn, liên tục, đạo hàm, vi phân. Các ứng dụng của phép tính vi phân. Các kiến thức về tích phân bất định và tích phân xác định hàm một biến. Các ứng dụng của phép tính tích phân hàm một biến. Sơ lược về lý thuyết trường vơ hướng và trường véc tơ. Trên cơ sở đĩ, cĩ thể học tiếp các học phần sau về Tốn cũng như các mơn kỹ thuật khác, gĩp phần tạo nên nền tảng Tốn học cơ bản cho kỹ sư các ngành cơng nghệ. 12. Nội dung chi tiết: Khối lượng mơn học: 5 đvht Khối lượng lý thuyết: 39 tiết Khối lượng bài tập: 36 tiết Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 3
Giải tích 1 Tổng quan học phần 13. Phương tiện giảng dạy: Phấn, bảng 14. Bố cục các bài giảng: Các bài giảng được chia theo từng tuần. Mỗi bài giảng bao gồm ba phần: (1) Tổng quan về bài giảng; (2) Nội dung lý thuyết (3 tiết); (3) Nội dung bài tập (3 tiết). Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 4
Giải tích 1 Tuần I. Hàm số, dãy số Tuần I. Hàm số, dãy số A. Tổng quan 1. Nội dung vắn tắt: Sơ lược kiến thức về tập hợp. Dãy số. Hàm số 2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các kiến thức sơ lược về tập hợp, các tập số N, Z, Q, R. Dãy số: định nghĩa; các khái niệm: đơn điệu, bị chặn, giới hạn và các phép tốn; các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn: tiêu chuẩn kẹp, tiêu chuẩn đơn điệu, bị chặn, tiêu chuẩn Cauchy. Hàm số: định nghĩa; các khái niệm: tập xác định, tập giá trị, hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hồn, hàm hợp, hàm ngược; hàm số sơ cấp: khái niệm, các hàm số sơ cấp cơ bản. 3. Các kiến thức cần cĩ trước: Các kiến thức cơ bản về tập hợp, dãy số và hàm số đã được học trong chương trình phổ thơng. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 5
Giải tích 1 Tuần I. Hàm số, dãy số B. Lý thuyết I Tập hợp 1. Khái niệm tập hợp Tập hợp là một khái niệm cơ bản khơng định nghĩa của Tốn học. Trong chương trình phổ thơng, chúng ta đã quen thuộc với tập hợp các số tự nhiên N, tập hợp các số nguyên Z, tập hợp các số hữu tỉ Q và tập hợp các số thực R. Trong phần này, chúng ta sẽ khơng đi quá sâu vào tập hợp và các vấn đề liên quan mà chỉ nhắc lại một số khái niệm về tập con, tập rỗng, các phép tốn trên tập hợp và các tính chất, tích Decartes, ánh xạ. 2. Các phép tốn trên tập hợp A  B := {x | x A và x B} A  B := {x | x A hoặc x B} A\B := {x | x A và x B} A Δ B := (A  B)\(A  B) 3. Các tính chất với các phép tốn trên tập hợp a) A  B = B  A b) A  B = B  A c) (A  B)  C = A  (B  C) d) (A  B)  C = A  (B  C) e) (A  B)  C = (A  C)  (B  C) f) (A  B)  C = (A  C)  (B  C) g) A\(B  C) = (A\B)  (A\C) h) A\(B  C) = (A\B)  (A\C) II Dãy số* 1. Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1: Một dãy số thực (nĩi ngắn gọn là dãy số) là một ánh xạ từ N* vào R: n N* xn R Người ta thường dùng ký hiệu: {xn}, n = 1, 2, , hoặc x1, x2, , xn, để chỉ dãy số. Số i = 1, 2, , n, được gọi là chỉ số. * Khái niệm dãy số và giới hạn dãy đã được học trong chương trình phổ thơng, phần này chủ yếu mang tính chất nhắc lại và chính xác hĩa các khái niệm. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 6
Giải tích 1 Tuần I. Hàm số, dãy số Chú thích: Trong nhiều tài liệu, dãy số cũng cĩ thể bắt đầu từ chỉ số 0, khi đĩ, tập N* trong định nghĩa nĩi trên được thay bằng N. Ví dụ: 1 1 1 a) {xn}; xn = ; x1 = 1; x2 = ; ; xn = ; n 2 n b) {xn}; xn = 1; x1 = 1; x2 = 1; ; xn = 1; n n c) {xn}; xn = (-1) ; x1 = -1; x2 = 1; ; xn = (-1) ; 2 2 d) {xn}; xn = n ; x1 = 1; x2 = 4; ; xn = n ; n n 1 9 1 e) {xn}; xn = 1 ; x1 = 2; x2 = ; ; xn = 1 ; n 4 n 2. Định nghĩa giới hạn dãy Định nghĩa 1.2.2: Dãy {xn} gọi là hội tụ nếu  a  ε > 0 ( nε  n > nε => |xn - a| 0, với nε = thì  n > nε => |xn - a| |xn - a| > 2 1 ii) Nếu a |xn - a| > 2 Nghĩa là {xn} phân kỳ. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 7
Giải tích 1 Tuần I. Hàm số, dãy số 3. Các kết quả về giới hạn của dãy. Định lý 1.2.1: Nếu dãy hội tụ thì giới hạn là duy nhất. * (+)Chứng minh: Giả sử lim xn = a và lim xn = b. Khi đĩ,  ε > 0  n1 và n2 sao cho: n n n > n1 => |xn - a| n2 => |xn - b| với n > n0, ta cĩ: |a - b| ≤ |a - xn| + |xn - b| 0, vậy |a - b| = 0 hay a = b ■. Định lý 1.2.2: Nếu dãy {xn} hội tụ thì giới nội ({xn}  (b,c), với (b,c) là một khoảng nào đĩ). (+)Chứng minh: Giả sử lim xn = a. Khi đĩ  n0 sao cho n > n0 => |xn - a| 0,  n0 sao cho: n > n0 => |xn - x| 0, vậy x - M ≤ 0 m - x ≤ xn - x ≤ |xn - x| 0, vậy m - x ≤ 0 ■. Định lý 1.2.3: Cho hai dãy số hội tụ {xn}, {yn}, khi n → ∞ thì xn → y, yn → y. Khi đĩ: i) lim (xn+yn) = x+y ii) lim (Cxn) = Cx iii) lim (C + xn) = C + x n n n 1 1 x n x iv) lim (xnyn) = xy v) lim ( ) = (yn,y ≠ 0) vi) lim ( ) = (yn,y ≠ 0) n n n yn y y n y vii) xn → a, zn → a, xn ≤ yn ≤ zn  n => yn → a (+)Chứng minh: i)  ε > 0  n1 và n2 sao cho: * Các phần cĩ đánh dấu (+) chỉ giảng cho sinh viên nếu điều kiện thời gian cho phép. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 8
Giải tích 1 Tuần I. Hàm số, dãy số n > n1 => |xn - x| n2 => |yn - y| với n > n0, ta cĩ: |x + y - a - b| ≤ |a - xn| + |xn - b| 0  n0 sao cho: n > n0 => |xn - x| |Cxn - Cx| = |C||xn - x| lim (C + xn) = C + x n n iv) {xn} và {yn} hội tụ => giới nội =>  M > 0 để |xn|, |yn| 0  n0   sao cho: n > n0 => |xn - x| |xnyn - xy| = |(xn-x)yn + x(yn - y)| ≤ |xn - x||yn| + |x||yn - y| 0  n0 sao cho: n > n0 y y => |y| - |yn| ≤ |yn - y| |yn| > 2 2 y2 và |yn - y| = n ≤ n n* => xn ≥ yn thì lim xn ≥ lim yn. n n (+)Chứng minh: Đặt lim xn = x và lim yn = y, khi đĩ  ε > 0  n0 sao cho: n > n0 n n => y - x ≤ y - yn + xn - x ≤ |y - yn| + |xn - x| 0 => y - x ≤ 0, hay y ≤ x ■. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 9
Giải tích 1 Tuần I. Hàm số, dãy số Định lý 1.2.5 (Tiêu chuẩn kẹp): Cho ba dãy {xn}, {yn}, {zn}, lim xn = a, lim zn = a. Giả n n sử  n0 sao cho: n > n0 => xn ≤ yn ≤ zn thế thì lim yn = a. n (+)Chứng minh:  ε > 0,  n0 sao cho: n > n0 => a - ε ≤ xn ≤ yn ≤ zn ≤ a + ε hay lim yn = a ■. n cosn 1 cosn 1 1 1 Ví dụ: Xét dãy {xn}, xn = , ta cĩ: ≤ ≤  n mà lim = lim = 0 n n n n n n n n => lim xn = 0 n Định nghĩa 1.2.3: i) Dãy {xn} được gọi là tăng nếu xn xn+1  n iv) Dãy {xn} được gọi là khơng tăng nếu xn ≥ xn+1  n v) Dãy {xn} tăng, giảm, khơng giảm hay khơng tăng được gọi là đơn điệu. vi) Dãy {xn} được gọi là bị chặn trên nếu  c sao cho xn ≤ c  n vii) Dãy {xn} được gọi là bị chặn dưới nếu  d sao cho xn ≥ d  n Định lý 1.2.6: Dãy đơn điệu khơng giảm (tăng) bị chặn trên (dưới) thì hội tụ. Định nghĩa 1.2.4: Dãy {xn} là dãy Cauchy nếu:  ε > 0  nε ( m > n > nε => |xm - xn| < ε) Định lý 1.2.5: Dãy {xn} hội tụ khi và chỉ khi nĩ là dãy Cauchy. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 10
Giải tích 1 Tuần I. Hàm số, dãy số III Hàm số* 1. Khái niệm về tập xác định, tập giá trị 2. Khái niệm về hàm hợp. Định nghĩa 1.3.1: Cho g: X → Y và f: Y → R => xác định hàm: h = fog : X → R h(x) := f(g(x)) gọi là hàm số hợp của hàm f và hàm g. Ví dụ: Cho f(x) = x2, g(x) = x => f(g(x)) = x cĩ TXĐ [0,+∞), g(f(x)) = |x| cĩ TXĐ (-∞,+∞) 3. Khái niệm về hàm ngược Định nghĩa 1.3.2: Cho hàm số f: X → Y là một song ánh, khi đĩ xác định hàm g = f-1 : Y → X f-1(x) := y sao cho f(y) = x gọi là hàm số ngược (gọi tắt hàm ngược) của f. 1 1 Ví dụ: Hàm số y = f(x) = arcsin 1 cĩ TXĐ và TGT tương ứng là (-∞,- ] cĩ hàm x 2 1 ngược là y = f-1(x) = sin x 1 4. Khái niệm về hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hồn. Định nghĩa 1.3.3: Cho hàm số y = f(x) cĩ tập xác định đối xứng qua x = 0, khi đĩ i) f là hàm chẵn nếu f(-x) = f(x)  x TXĐ. ii) f là hàm lẻ nếu f(-x) = -f(x)  x TXĐ. (+)Mệnh đề 1.3.1:* Cho f(x), g(x) là hàm chẵn; h(x), k(x) là hàm lẻ; l(x) là hàm bất kỳ, thế thì, với x thuộc tập xác định của các hàm xét: * Các khái niệm về hàm số, tập xác định, tập giá trị, hàm hợp đã được học ở chương trình phổ thơng. Phần này mang tính chất nhắc lại, chính xác hĩa các khái niệm hàm hợp, hàm ngượcm hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hồn, cung cấp khái niệm về hàm sơ cấp. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 11
Giải tích 1 Tuần I. Hàm số, dãy số i) f(x) g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) là hàm chẵn ii) h(x) k(x) là hàm lẻ; h(x)*k(x) là hàm chẵn iii) f(x)*h(x) là hàm lẻ. iv) l(f(x)) là hàm chẵn v) f(h(x)) là hàm chẵn vi) h(k(x)) là hàm lẻ Định nghĩa 1.3.4: Cho hàm số y = f(x) i) f được gọi là tuần hồn với chu kỳ T > 0 nếu TXĐ của f tuần hồn với chu kỳ T nếu:  x TXĐ => x + T TXĐ và f(x+T) = f(x)  x TXĐ. ii) Cho f là hàm tuần hồn, T được gọi là chu kỳ cơ bản của f nếu T là chu kỳ bé nhất. Ví dụ: Hàm cosx là hàm chẵn, sinx là hàm lẻ, cos2x tuần hồn với chu kỳ cơ bản π 5. Khái niệm về hàm sơ cấp a) Các hàm sơ cấp cơ bản: luỹ thừa, mũ, lơga, lượng giác, lượng giác ngược. b) Các hàm sơ cấp: Các hàm số sơ cấp cơ bản, các phép tốn số học, hàm hằng, phép lấy hàm hợp. * Chứng minh mệnh đề này đơn giản, cĩ thể xem là bài tập cho sinh viên Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 12
Giải tích 1 Tuần I. Hàm số, dãy số C. Bài tập 1. Chứng minh a) A\(A\B) = A  B b) A\(B  C) = (A\B)\C c) A  (B\A) = Ø 2. Tìm giới hạn của dãy {xn} (nếu hội tụ): 3n 2 5n 4 1 7 n 2 n 2n 5.6 n a) xn = 2 b) xn = n c) xn = d) xn = n n n 2 3 7 n 2 1 3 6 1 1 1 3 2 1 2n 1 5n 2 4 2 n 2 4 2n e) xn = e) xn = f) xn = 2n 2 3 5n 1 1 1 1 1 3 (2n 1) 1 3 9 3n 1 1 1 2 (n 3)! g) xn = + + + h) xn = n n -n i) xn = 1.2 2.3 (n 1)n 2(n 1)! (n 2)! 3. Tìm giới hạn dãy {xn} (nếu hội tụ) 3 n 2 sin n 2 n cosn n 1.arcsin x a) xn = b) xn = c) xn = n 1 n 1 n 4. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn dãy {xn} (nếu cĩ): n k a n b n n! n a) xn = (a > 1) b) xn = an c) xn = (a > 1) d) xn = e) xn = n! n! a n n n 5. Sử dụng tiêu chuẩn kẹp tìm giới hạn dãy sau 1 1 1 a) xn = + + + n 2 1 n 2 2 n 2 n 1 1 1 b) xn = + + + 2n 2 2n 2 1 2n 2 (n 1) 2 1 1 1 c) xn = + + + 3n 2 1 3n 2 2 2 3n 2 n 2 n n n d) xn =  (0 < α < β) Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 13
Giải tích 1 Tuần I. Hàm số, dãy số 6. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu cĩ) của các dãy sau: 1 a a) xn = a a a (n dấu căn) b) u1 > 0, un+1 = u n , n > 1, a > 0 2 u n 7. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu cĩ) của các dãy sau 1.3 (2n 1) 1 1 1 1 a) xn = b) xn = 1 + + + c) xn = 1+ + + 2.4 (2n) 2 n 22 n 2 8. Xét sự hội tụ của các dãy sau n 1 1 n a) xn = sinn b) xn = (-1) + sin c) xn = sin d) xn = cos n n 4 9. Tìm tập xác định của hàm số f(x) sau x 2x a) 4 lg(tgx) b) c) lncosx d) cos x 2 e) sin x f) arcsin sin x 1 x 2x 1 x 1 g) arccos(sinx) h) arctg i) ln sin j) arcsin k) ln(1 - cos2x) x 2 x x 1 x 2 4x 2x x 2 1 x l) arccos m) arccos n) arccos(2sinx) o) x 4 1 x 2 x 2 1 x p) sin 2x + sin 3x q) cotgπx + arccos(2x) r) lnsin(x-3) + 16 x 2 1 1 x 3 s) y = ln x 4 6 x t) + 2arcsinx + u) y = arcsin - ln(4-x) x x 2 2 10. Cho f(x) xác định trên [0,1]. Tìm miền xác định của các hàm 2 x 1 x a) f(3x ) b) f(tgx) c) f(arcsinx) d) f(lnx) e) f(e ) g) f 1 x 11. Tìm tập giá trị của hàm số x 2x 1 1 a) y = lg(1-2cosx) b) y = arcsin lg c) y = tg d) y = 10 x 2 2 cos3x x 2 1 2 2 x 1 | x | e) y = f) y = g) y = h) y = i) y = x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 1 | x | Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 14
Giải tích 1 Tuần I. Hàm số, dãy số 12. Tìm f(x) biết 1 2 1 x 2 a) f x = x + b) f = x c) f(arcsinx) = +x x x 2 1 x 2 13. Tìm hàm ngược của hàm số 1 x 1 x x a) y = 2x + 3 b) y = c) y = ln d) y = 1 x 1 x x 1 e x 1 1 2 arcsin x 1 e) y = ln f) y = (ex + e-x) g) y = 1 + h) y = e x 1 2 arctgx arcsin x 1 14. Tìm f(f(x)), g(g(x)), f(g(x)), g(f(x)) 1 a) f(x) = x2 g(x) = 2x b) f(x) = sgn(x) g(x) = x c) f(x) = g(x) = 1 x 2 d) f(x) = x5 g(x) = x + 5 x 15. Cho f(x) = , tìm fn(x) = f(f( f(x) )) (n lần). 1 x 2 16. Xét tính chẵn lẻ của hàm số a) f(x) = ax + a-x (a > 0) b) f(x) = ln(x + 1 x 2 ) c) f(x) = sinx + cosx x 2 3 x 1 d) f(x) = e) f(x) = ln f) f(x) = arcsinx + arctgx x 2 x 1 x 17. Chứng minh rằng bất cứ hàm số f(x) nào xác định trong một khoảng đối xứng (- a,a) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. 18. Xét tính tuần hồn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu cĩ) 1 1 a) f(x) = acosλx + bsinλx b) f(x) = sin2x c) f(x) = sinx+ sin2x+ sin3x 2 3 x x d) f(x) = 2tg - 3tg e) f(x) = sinx2 f) f(x) = sin x 2 3 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 15
Giải tích 1 Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn A. Tổng quan 1. Nội dung vắn tắt: Các khái niệm về giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn, dạng vơ định và khử dạng vơ định. 2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các kiến thức về giới hạn hàm số: các định nghĩa, các phép tốn và tính chất, giới hạn hàm hợp, giới hạn một phía, giới hạn ở vơ cực và giới hạn vơ cực; các khái niệm vơ cùng bé (VCB0, vơ cùng lớn (VCL); dạng vơ định và khử dạng vơ định. 3. Các kiến thức cần cĩ trước: Các kiến thức về hàm số. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 16
Giải tích 1 Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn B. Lý thuyết I Giới hạn hàm số* 1. Các định nghĩa Định nghĩa 2.1.1: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b); nĩi rằng f(x) cĩ giới hạn L khi x → x0, viết lim f(x) = L, nếu  {xn}  (a,b) mà xn → x0 thì lim f(xn) = L. x x0 n Định nghĩa 2.1.2: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b); nĩi rằng f(x) cĩ giới hạn L khi x → x0, viết lim f(x) = L, nếu: x x0 ( ε > 0) ( δ > 0 sao cho: |x - x0| |f(x) - L| 0) ( δ > 0 sao cho: 0 |f(x) - L| 0) ( δ > 0 sao cho: 0 |f(x) - L| 0) ( M > 0 sao cho: |x| > M => |f(x) - L| 0) (  δ > 0 sao cho: |x - x0| |f(x)| > M) * Giới hạn hàm số và các vấn đề liên quan tới khử dạng vơ định đã được học trong chương trình phổ thơng, phần này chỉ mang tính chất nhắc lại, cung cấp thêm khái niệm về giới hạn một phía, một số giới hạn cơ bản. † Từ đây, khi viết lim f(x) = L, chúng ta khơng loại trừ khả năng x0 = ∞ và/hoặc L = ∞. x x 0 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 17
Giải tích 1 Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn 2. Các tính chất của giới hạn* a) Giới hạn nếu cĩ là duy nhất b) Cho lim f1(x) = l1, lim f2(x) = l2, khi đĩ x a x a i) lim Cf1(x) = Cl1 ii) lim (f1(x) + f2(x)) = l1 + l2 x a x a f1 (x) l1 iii) lim f1(x)f2(x) = l1l2 iv) lim = x a x a f 2 (x) l 2 3.Tiêu chuẩn cĩ giới hạn† a) Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) và lim f(x) = lim h(x) = l thì lim g(x) = l x a x a x a b) Nếu hàm đơn điệu khơng giảm (khơng tăng) bị chặn trên (chặn dưới) thì cĩ giới hạn. 4. Một số giới hạn cơ bản x sin x 1 1 lim = 1 lim 1 = lim(1 x) x = e x 0 x x x x 0 II Vơ cùng bé (VCB) và vơ cùng lớn (VCL) 1. Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1: i) Hàm số f(x) được gọi là VCB khi x → x0, nếu lim f(x) = 0 x x0 ii) Hàm số f(x) được gọi là VCL khi x → x0, nếu lim |f(x)| = +∞ x x0 Định nghĩa 2.2.2: Cho f(x), g(x) là các VCB (VCL) khi x → x0 * Các tính chất của giới hạn đã được học ở trường phổ thơng, ở đây chỉ cần nhắc lại và liên hệ với giới hạn của dãy số. † Các tiêu chuẩn cĩ giới hạn của hàm số đã được học ở trường phổ thơng, ở đây chỉ cần nhắc lại và liên hệ với giới hạn của dãy số. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 18
Giải tích 1 Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn i) f(x) được gọi là VCB cấp cao hơn (VCL cấp thấp hơn) so với g(x) nếu: f (x) lim = 0. Khi đĩ g(x) cũng được gọi là VCB cấp thấp hơn (VCL cấp cao hơn) so x x0 g(x) với f(x). Nếu f(x) là VCB cấp cao hơn của g(x), ta cĩ ký hiệu: f(x) = o(g(x)) f (x) ii) f(x), g(x) được gọi là các VCB (VCL) cùng cấp nếu lim = C ≠ 0, đặc biệt nếu x x0 g(x) C = 1 thì f(x), g(x) được gọi là các VCB (VCL) tương đương, ký hiệu f(x) ~ g(x). Nếu f(x), g(x) là các VCB cùng cấp, ta cĩ ký hiệu f(x) = O(g(x)). 1 Hiển nhiên, trong một quá trình nào đĩ, nếu f(x) là một VCB thì F(x) = là f (x) 1 một VCL. Đảo lại, nếu F(x) là một VCB thì f(x) = là một VCB. F(x) 2. Các tương đương cơ bản*: a x 1 (1 x) 1 Khi x → 0: x ~ sinx ~ arcsinx ~ tgx ~ arctgx ~ ex-1 ~ ln(1+x) ~ ~ ln a và 1 - cosx ~ x2/2 3. Quy tắc thay thế VCB và VCL tương đương Khi x → x0, giả sử f(x), g(x), h(x), k(x) là các VCB; F(x), G(x), H(x), K(x) là các VCL. f (x) h(x) a) Nếu f(x) ~ h(x) và g(x) ~ k(x), thế thì lim = lim x x 0 g(x) x x 0 k(x) f (x) k(x) f (x) h(x) (+) Chứng minh: Ta cĩ: lim . = 1 => lim = lim x x x x x x 0 h(x) g(x) 0 g(x) 0 k(x) Tương tự, ta cũng cĩ các quy tắc về thay thế các VCB, VCL tương đương sau. F(x) H(x) b) Nếu F(x) ~ H(x) và G(x) ~ K(x), thế thì lim = lim x x 0 G(x) x x 0 K(x) * Cĩ thể yếu cầu sinh viên chứng minh các tương đương này như bài tập. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 19
Giải tích 1 Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn c) Nếu f(x) ~ h(x) và G(x) ~ K(x), thế thì lim f(x).G(x) = lim h(x).K(x) x x 0 x x 0 4. Quy tắc ngắt bỏ các VCB và VCL a) Trong cùng một quá trình nếu f(x) = o(g(x)) thì f(x) + g(x) ~ g(x) b) Trong cùng một quá trình nếu F(x) là VCL cấp thấp hơn so với G(x) thì: F(x) + G(x) ~ G(x) III Dạng vơ định* 0 a) - phân tích thành thừa số 0 x100 2x 1 x100 x (x 1) (x 1)(x(x98 x97  1) 1) Ví dụ: lim = lim = lim x 1 x 50 2x 1 x 1 x50 x (x 1) x 1 (x 1)(x(x 48 x 47 1) 1) 49 = 24 - nhân liên hợp (nếu biểu thức chứa căn) x 1 (x 1)( 6x 2 3 3x) (x 1)( 6x 2 3 3x) lim lim lim Ví dụ: = 2 2 = x 1 6x 2 3 3x x 1 6x 3 9x x 1 3(x 1)(x 1) 6x 2 3 3x = lim = -1 x 1 3(x 1) - thay tương đương - ngắt bỏ vơ cùng bé bậc cao tg 3x sin 2 x ln(x 1) x3 x 2 x 1 Ví dụ: lim = lim = x 0 sin 2 x e2x 1 x 0 x 2 2x 2 0 b) - quy về 0 3 x 2 1 3 y y3 1 Ví dụ: lim = lim = 0 (y = ) x x 1 y 0 y 1 x * Dạng vơ định và khử các dạng vơ định đã được học trong chương trình phổ thơng, phần này chỉ nhằm mục đích hệ thống lại cho sinh viên. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 20
Giải tích 1 Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn - ngắt bỏ vơ cùng lớn bậc thấp x x x Ví dụ: lim = 1 x x 1 0 c) 0. - quy về 0 x 1 x 2 Ví dụ: lim(1 x)tg = lim (1 - x)cotg (1-x) = lim = x 1 2 x 1 2 x 1 tg (1 x) 2 0 d) - quy về bằng nhân liên hợp hoặc quy đồng 0 x x 1 Ví dụ: a) lim x x x x = lim = x x 2 x x x x 1 1 1 cos x b) lim = lim = 0 x 0 sin x tgx x 0 sin x f) 1 - sử dụng limu(x)v(x) = elimv(x)lnu(x) = elimv(x)(u(x)-1), quy về 0. x 1 lim 1 Ví dụ: lim x 1 x = e x 11 x 1 = x 1 e Chú ý: a) lim f(x) = L khi và chỉ khi cĩ thể viết f(x) = L + α(x) trong đĩ α(x) là một VCB khi x x 0 x → x0. Thật vậy, giả sử f(x) = L + α(x) => lim f(x) = L + lim α(x) = L(x). Đảo lại, giả x x 0 x x 0 sử lim f(x) = L, khi đĩ nếu đặt α(x) = f(x) - L => lim α(x) = lim f(x) - L = 0. x x 0 x x 0 x x 0 b) Chỉ cĩ thể thay tương đương, ngắt bỏ các VCB, VCL đối với phép nhân và phép chia. Tổng (hiệu) của hai VCB (VCL) cùng bậc cĩ thể cho một VCB cấp cao hơn (VCL cấp thấp hơn). Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 21
Giải tích 1 Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn sin x tgx Ví dụ: lim , nếu thay sinx ~ x, tgx~ x ra kết quả bằng 0 là khơng đúng, giới x 0 x 3 sin x tgx sin x(cos x 1) 1 hạn này cĩ thể tìm như sau: lim = lim = - x 0 x 3 x 0 x 3 cos x 2 c) Tích của một hàm giới nội và một VCB là một VCB, nhưng tích của một hàm giới nội với một VCL chưa chắc đã là một VCL. Ví dụ: xcosx khơng phải là VCL khi x → ∞, vì khi x → ∞, vẫn chọn được dãy đển xcosx = 0. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 22
Giải tích 1 Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn C. Bài tập 1. Tìm giới hạn (x n a n ) na n 1 (x a) x x 2 x n n a) lim b) lim x a (x a) 2 x 1 x 1 2. Tìm giới hạn 2 x a) lim b) lim ( 3 x 3 x 2 1 - x) x 4 3 2x 1 x 1 4 c) lim x( x 2 2x 2 x 2 x x) d) lim x x 2 x 2 x 2 4 ln(x 2 x 1) e) lim f) lim 3 x 3 3x 2 x 2 2x x ln(x10 x 1) x 3. Tìm giới hạn sin(x 3) sin 2 (x 2) sin x sin a cotgx cotga a) lim b) lim c) lim d) lim x 3 x 2 4x 3 x 2 2x 2 8x 8 x a x a x a x a x cos x x 2 2 1 x 2 tg x cos x e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim x 0 x 1 x 1 x 2 2 1 cos x 1 x sin x x 2 x 3 2 (1 sin x) sin x x 6 x sin 2x 1 tg 2 x j) lim k) lim l) lim m) lim 4 x 0 x 3 2cos x x sin 3x x 2 cosx 1 x 3 6 4 4 sin x 4 x a x a n) lim x a x 2 a 2 4. Tìm giới hạn cosx 3 cos x 1 sin x 1 sin x x 2 a) lim b) lim c) lim x 0 sin 2 x x 0 x x 0 1 x sin x cos x 1 tgx 1 tgx 1 tgx 1 sin x 1 cos x cos2x cos3x d) lim e) lim f) lim x 0 sin 2x x 0 x 3 x 0 1 cos x Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 23
Giải tích 1 Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn 2sin 2 x sin x 1 tg3x 3tgx x 2 g) lim h) lim i) lim 2 x 0 x 2sin x 3sin x 1 x 1 x sin x cos x 6 3 cos x 6 tg(a x)tg(a x) tg2a cos(a 2x) 2cos(a x) cosa lim lim j) 2 k) 2 x 0 x x 0 x cotg(a 2x) 2cot g(a x) cot ga l) lim x 0 x 2 5. Tìm giới hạn 7x arctg 3x 2 x 8x 7 x 1 5x 4 a) lim b) lim c) lim d) lim x 0 2 x 1 x 0 6 x 5x x 0 1 e x x 0 e 2x 1 x 2 4 1 cos mx e4x 1 sin 5x e) lim f) lim 2 g) lim h) lim x 2 arctg(x 2) x 0 arcsin x x 0 tgx x 0 ln(1 4x) tgx sin x ln(1 3x ) emx 1 ex e x i) lim j) lim k) lim l) lim x 0 arctg3 x x ln(1 2x ) x 0 nx x 0 sin x 2 ex cosx e x ex e x ex esin 3x 1 m) lim n) lim o) lim p) lim x 0 x 2 x 0 x 3 arcsin x x 0 sin x sin x x 0 ln(1 tg2x) ln(1 sin 4x) ln(1 a sin x) ln(1 3x sin x) ln cosax q) lim r) lim s) lim t) lim x 0 sin(esin 5x 1) x 0 sin x x 0 tg 2 x x 0 ln cosbx 6. Tìm giới hạn arccos(1 x) cos4x cos 2x ln cos x b x b a a) lim b) lim c) lim d) lim x 0 x x 0 arcsin 2 3x x 0 x 2 x a x a 1 x ln ln cosax ln x ln a ln cos x e) lim f) lim g) lim 1 x h) lim x 0 x a x 0 x 0 4 2 ln cosbx x a x 1 x 1 x 2 sin sin tg 2 1 x x 1 1 sin 3x 1 2 i) lim j) lim k) lim x 0 sin 4x x 0 ln(1 tg2x) x 0 ln cos3x cos(xe x ) cos(xe x ) m 1 x n 1 x m 1 x n 1 x 1 l) lim m) lim n) lim x 0 x 3 x 0 x x 0 x Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 24
Giải tích 1 Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn 7. Tìm giới hạn cosx 2 a) lim cotg 2 x b) lim cot gx x 0 sin 2 x x 0 sin 2x 8. Tìm giới hạn 1 x a) lim x cot gx b) lim xarccot gx c) lim x e 1 d) lim x arctgx x 0 x x x 2 1 e) lim x 2 1 cos f) lim x[ln(x a) ln x] x x x 1 1 1 3 2 2 x x g) lim sin2x.cotgx h) lim x cos cos i) lim x a a 2 (a > 0) x x x x x 9. Tìm giới hạn a) lim (sin x 1 -sin x ) b) lim (sin(ln( x 1)) sin(ln x)) x x 10. Tìm giới hạn x 1 x3 x x 2 1 x 1 2 x 3x 2 x 1 1 x a) lim b) lim c) lim 2 2 x x 1 x 0 3 x x 2x x 1 x4 2 x2 x x x 1 x 2 d) lim e) lim x x 2x 1 2 x 1 11. Tìm giới hạn x 3 x 2 bx c x 1 2x x 2 x 1 a 2x 3 x 1 a) lim b) lim c) lim 1 d) lim e) lim x x 1 x x 3 x x x 0 2x 1 x x 3 1 x 1 7x 3 x 1 2x 1 1 3x 1 x 3x 1 x x 2 f) lim g) lim h) lim i) lim x 2x 5 x 2 3x x 3x 9 x 2 2 2 x 3 x x 1 x 2 1 1 1 j) lim k) lim l) lim(1 3x) x m) lim(1 2x) x 2 x x 2 x x 2 x 0 x 0 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 25
Giải tích 1 Tuần II. Giới hạn hàm số, vơ cùng bé, vơ cùng lớn 12. Tìm giới hạn x 1 tg 2 x 2a a) lim cos x arctgx b) lim(cosx)cot g x c) lim(sin x) tgx d) lim 2 x a x 0 x 0 x a 2 1 tg (2 x) tg x cot g x 1 tgx sin x e) lim(2 x) 2 f) lim (2 x) 2 g) lim 1 sin x h) lim x 1 x 1 x 1 x 0 1 sin x 1 1 3 x 2 1 tgx sin x 1 1 i) lim(2 cosx) arcsin x j) lim k) lim sin cos x 0 x 0 1 sin x x x x l) lim [(x 2)ln(x 2) 2(x 1)ln(x 1) x ln x] x 13. Khi x → 0, cặp VCB sau cĩ tương đương khơng? tg 2 x a) α(x) = x x , β(x) = esinx - cosx b) α(x) = ln(cosx), β(x) = - 2 c) α(x) = arctg(sin2x), β(x) = etgx - cos2x d) α(x) = 3 x x , β(x) = cosx - 1 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 26
Giải tích 1 Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm A. Tổng quan 1. Nội dung vắn tắt: Hàm số liên tục, đạo hàm và vi phân của hàm số. 2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các kiến thức về hàm số liên tục: các định nghĩa, các phép tốn và tính chất; điểm gián đoạn, phân loại điểm gián đoạn; đạo hàm, định nghĩa, ý nghĩa hình học và vật lý, đạo hàm một phía, mối quan hệ giữa đạo hàm và liên tục, đạo hàm hàm số ngược, các phép tốn và cơng thức đạo hàm cơ bản. 3. Các kiến thức cần cĩ trước: Các kiến thức về hàm số, giới hạn của hàm số. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 27
Giải tích 1 Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm B. Lý thuyết I Hàm số liên tục* 1. Các định nghĩa Định nghĩa 3.1.1: Cho f(x) xác định trên X i) x0 gọi là điểm tụ của X nếu  {xn}  X sao cho lim xn = x0. n ii) Giả sử x0 là điểm tụ của X và x0 X, nếu cĩ lim f(x) = f(x0), thì ta nĩi hàm số liên x x0 tục tại x0. Chú ý: Hàm số muốn liên tục tại x0, thì trước hết phải xác định tại x0, đồng thời x0 phải thuộc TXĐ và là điểm tụ của TXĐ. Định nghĩa 3.1.2: Cho f(x) xác định trên X. f(x) được gọi là liên tục trên X nếu nĩ liên tục tại mọi điểm thuộc X. Định nghĩa 3.1.3: Cho f(x) xác định trên (a,b) hoặc [a,b] hoặc [a,b) hoặc (a,b]. Cho điểm x0 (a,b). i) f(x) được gọi là liên tục phải tại x nếu lim f(x) = f(x ). 0 0 x x0 ii) f(x) được gọi là liên tục trái tại x nếu lim f(x) = f(x ). 0 0 x x0 Chú ý: Khái niệm liên tục một phía chỉ xét đối với các điểm trong mà khơng xét đối với các điểm biên. Định lý 3.1.1: Cho f(x) xác định trong (a,b). f(x) liên tục tại x0 (a,b) nếu và chỉ nếu f(x) liên tục trái và liên tục phải tại x0. Định nghĩa 3.1.4: Hàm số f(x) được gọi là liên tục đều trên TXĐ X nếu mọi điểm thuộc X đều là điểm tụ của X và nếu:  ε > 0  δ sao cho  x1, x2 X, |x1 - x2| |f(x1) - f(x2)| < ε. * Vấn đề hàm số liên tục đã được học trong chương trình phổ thơng, ở đây chúng ta chỉ nhắc lại và chính xác hĩa khái niệm. Cung cấp thêm khái niệm liên tục một phía và liên tục đều. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 28
Giải tích 1 Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm Chú ý: Hàm số liên tục đều trên TXĐ X thì liên tục trên X, điều ngược lại chưa chắc đúng.* 1 Ví dụ†: Hàm số y = liên tục trên X nhưng khơng liên tục đều trên X. x 2. Các tính chất của hàm số liên tục Định lý 3.1.2: Cho f(x) là một hàm số xác y định, liên tục trong khoảng (α,β) và a tồn tại c thuộc a O c b x (a,b) sao cho f(x) = 0 (Hình 3.1). Hệ quả 3.1.3: Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục trên đoạn [a,b], khi đĩ, f(x) nhận Hình 3.1 tất cả các giá trị từ f(a) tới f(b). Định lý 3.1.4‡: i) Nếu f(x) xác định, liên tục trong khoảng (α,β) thì af(x) cũng liên tục trong khoảng (α,β) với a là một hằng số nào đĩ. ii) Nếu f, g là các hàm liên tục trong khoảng (α,β) thì f(x) + g(x), f(x).g(x) cũng liên tục trong khoảng (α,β) iii) Nếu f, g là các hàm liên tục trong khoảng (α,β) đồng thời g(x) khác khơng trong khoảng đĩ thì f(x)/g(x) liên tục trong khoảng (α,β). iv) Nếu f, g là các hàm liên tục thì fog cũng liên tục. v) Các hàm số sơ cấp liên tục trên TXĐ. 3. Điểm gián đoạn của hàm số Định nghĩa 3.1.5: * Nhận xét này cĩ thể yêu cầu sinh viên xem như bài tập, hoặc minh họa một cách vắn tắt thơng qua ví dụ. † Ví dụ này chỉ mơ tả vắn tắt tính đúng đắn. ‡ Nếu cĩ thể, mơ tả vắn tắt chứng minh một số ý của định lý này dựa trên tính chất về giới hạn của hàm số. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 29
Giải tích 1 Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm i) f(x) gián đoạn tại x0 nếu khơng liên tục tại đĩ, khi đĩ x0 gọi là điểm gián đoạn của f(x). ii) x0 là điểm gián đoạn loại 1 nếu x → x0 y về phía nào thì cĩ giới hạn hữu hạn của f(x) trong quá trình đĩ. a b iii) x0 là điểm gián đoạn loại 1 gọi là gián O x0 x đoạn bỏ được nếu lim f(x) = lim f(x) x x0 x x0 iv) điểm gián đoạn khơng là gián đoại loại Hình 3.2 1 gọi là gián đoạn loại 2. Điểm gián đoạn loại 1 II Đạo hàm 1. Định nghĩa Định nghĩa 3.2.1: Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b], nĩi rằng hàm số cĩ đạo f (x) f (x 0 ) hàm tại điểm x0 [a,b] nếu tồn tại giới hạn lim hữu hạn. Khi đĩ, giá trị x x 0 x x 0 f (x) f (x 0 ) của lim được gọi là đạo hàm của f(x) tại x0, ký hiệu là f’(x0) hàm số f(x). x x 0 x x 0 2. Ý nghĩa hình học, cơ học của đạo hàm* a) Đạo hàm của hàm số tại một điểm là hệ số gĩc của đường tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đĩ. y b) Đạo hàm của toạ độ của một chất điểm theo f(x0+Δx) thời gian bằng với tốc độ tức thời của chất f(x0) điểm đĩ. c) Đạo hàm của vận tốc của một chất điểm O x0 x0+Δx x theo thời gian bằng với gia tốc tức thời của chất điểm đĩ. Hình 3.3 * Chú trọng vào ý nghĩa số gia của hàm trên số gia của đối Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 30
Giải tích 1 Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm 3. Đạo hàm một phía Định nghĩa 3.2.2: Cho hàm f(x) xác định trong (a,b), x0 [a,b]. f (x) f (x ) i) Giới hạn lim 0 , nếu tồn tại hữu hạn, được gọi là đạo hàm phải của f tại x x 0 x x 0 x0, ký hiệu f’( x 0 ). f (x) f (x 0 ) ii) Giới hạn lim , nếu tồn tại hữu hạn, được gọi là đạo hàm trái của f tại x0, x x 0 x x 0 ký hiệu f’( x 0 ). Định lý 3.2.1: Cho f(x) xác định trong (a,b). Hàm số cĩ đạo hàm tại x = x0 (a,b) nếu và chỉ nếu tồn tại đạo hàm ở cả hai phía tại x0, và f’( x 0 ) = f’( x 0 ). 4. Mối quan hệ giữa đạo hàm và liên tục Định lý 3.2.2: Hàm số cĩ đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0 (+)Chứng minh: Trước hết, theo định y nghĩa, để tồn tại đạo hàm thì x0 TXĐ, hơn thế, x0 là điểm tụ của TXĐ, đồng thời f (x) f (x ) để lim 0 tồn tại hữu hạn thì x x 0 x x 0 O x0 lim f(x) = f(x0) ■. x x 0 Chú ý rằng điều ngược lại nĩi chung Hình 3.3: Hàm số liên tục nhưng khơng cĩ đạo hàm khơng đúng, xét hàm số cĩ đồ thị như trong hình vẽ, liên tục tại x0 nhưng khơng cĩ đạo hàm. 5. Đạo hàm của hàm số ngược Định lý 3.2.3: f(x) cĩ đạo hàm tại lân cận x0, cĩ hàm ngược g(y) cĩ đạo hàm tại lân cận y0 = f(x0) => khi đĩ g’(y0) = 1/f’(x0). Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 31
Giải tích 1 Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm 6. Các phép tốn và cơng thức tính đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản* a) (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x) b) (f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x) c) (cf(x))’ = cf’(x) d) Hàm u = g(x) cĩ đạo hàm tại x0 và y = f(x) cĩ đạo hàm tại u0 = g(x0) => hàm hợp y = f(g(x)) cĩ đạo hàm tại x0 và (f(g(x)))’ = f’u(g(x))g’(x) e) Bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản i) y = c y’ = 0 ii) y = xa y’ = axa-1 iii) y = sinx y’ = cosx iv) y = cosx y’ = -sinx v) y = tgx y’ = 1/cos2x vi) y = cotgx y’ = -1/sin2x x x x x vii) y = a y’ = a lna viii) y = e y’ = e ix) y = logax y’ = 1/(xlna) x) y = lnx y’ = 1/x xi) y = arcsinx y’ = 1/ 1 x 2 xii) y = arccosx y’ = -1/ 1 x 2 xiii) y = arctgx y’ = 1/(1 + x2) * Phần này đã được học ở chương trình phổ thơng, ở đây chúng ta chỉ nhắc lại mang tính chất ơn tập. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 32
Giải tích 1 Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm C. Bài tập 1. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0 1 cos x khi x 0 ax 2 bx 1 khi x 0 a) f(x) = x 2 b) f(x) = a cos x bsin x khi x 0 a khi x 0 arctg(x 2 ) 1 a khi x 0 x sin khi x 0 1 cos x c) f(x) = x d) f(x) = e cos x 1 1 a khi x 0 2 khi x 0 tgx ln(x 1) 2 khi x 0 1 khi x 0 x 1 1 e) f(x) = e 1 f) f(x) = 1 e x a khi x 0 a khi x 0 2. Các hàm sau cĩ liên tục đều trên miền đã cho x tgx 2 a) y = ; -1 ≤ x ≤ 1 b) y = lnx; 0 < x < 1 c) y = , 0 < x < 1 4 x 2 1 cosx 3. Điểm x = 0 là gián đoạn loại gì của hàm số 1 sin 8 eax ebx 2x 3 a) y = b) y = x c) y = d) y = 1 2cot gx 1 x 2x 3 e x 1 1 1 4 4 e) y = arcsinx f) y = 2 ln( x +1) g) y = cot gx h) y = x x 1 2 tg(x ) 3 2 2 4. Xác định điểm gián đoạn và tính chất các điểm gián đoạn của các hàm số 1 1 1 1 1 a) cos2 b) arctg c) tg d) arctg e) x arctg x x x x 2 1 x 1 1 1 f) lnarctg g) h) arcsin(sinx).arctg x tg2x 2tgx 2 sin x Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 33
Giải tích 1 Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm 5. Chứng minh rằng, nếu các hàm f(x), g(x) là liên tục thì các hàm min(f(x),g(x)) và max (f(x),g(x)) cũng liên tục 6. Tìm đạo hàm của hàm số 1 x khi x 1 (x a) 2 (x b) 2 khi a x b a) f(x) = (1 x)(2 x) khi 1 x 2 b) f(x) = 0 kh ix [a, b] x 2 khi x 2 sin 2 x sin 2 x khi x 1 khi x 1 c) f(x) = x 1 d) f(x) = x 1 0 khi x 1 0 khi x 1 1 2 x 2 x2 x e khi | x | 1 e) f(x) = 1 khi x 0 f) f(x) = x 1 1 khi x 0 khi | x | 1 e 7. Với điều kiện nào thì hàm số 1 x n sin : x 0 f(x) = x 0 : x 0 a) liên tục tại x = 0 b) cĩ đạo hàm tại x = 0 c) cĩ đạo hàm liên tục tại x = 0 8. Tính đạo hàm của các hàm số 1 1 1 ax 2 b 3 x a) y = x + x + 3 x b) y = + + c) y = + - 3 3 x x x x x x x 9. Tính đạo hàm của các hàm số y = f(x) với f(x) sau cosx 2 tgx 1 x 2 a) e sinx b) ln(sin x) c) d) arcsin e) log3(x - sinx) arcsin x 1 x x a x f) sin[cos2(tg3x)] g) arctg h) arctg i) arccos(cos2x) 1 ax 1 x 2 1 j) tgxcos2x k) ln(1 + arctg ) l) arcsin sin x x x x x 3 1 1 m) x + (x-1)arcsin n) - + sin2x o) - x 1 3 x x arctgx arcsin x Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 34
Giải tích 1 Tuần III. Hàm số liên tục, đạo hàm arctgx a a 2 x 2 p) + ln(x + 1 x 2 ) q) a 2 x 2 - aln x x x r) lg(arccosx) + lnsin4x s) x a 2 x 2 + a2arcsin a 10. Tính đạo hàm của hàm số 1 x 3 a) y = x 3e 4x sin x b) y = m n (1 x)m (1 x) n c) y = 3 1 x 3 5 (x 1) 2 d) y = (1+x) 2 x 2 3 3 x 3 e) y = f) y = sin2xsin3xsin5x 4 (x 2)3 3 (x 3)7 11. Tính đạo hàm của các hàm số 1 a) y = x x b) y = sinxx c) y = (sinx)arcsinx d) y = (cosx)sinx e) y = (1 + x )lnx 2 f) y = xsinx + arcsin(lnx) g) y = x e x + sinxarctgx h) y = (arctgx)arcsinx 12. Tính đạo hàm các hàm số a) y = x|x| b) y = |(x-1)(x+1)3| c) y = sin|x3| 1 d) y = [x]sin2(πx) e) y = ln|x| f) y = arcos | x | 13. Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x-a|φ(x) trong đĩ φ(x) là một hàm số liên tục và φ(a) ≠ 0, khơng cĩ đạo hàm tại x = a. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 35
Giải tích 1 Tuần IV. Vi phân, đạo hàm và vi phân cấp cao, định lý về hàm số khả vi Tuần IV. Vi phân, đạo hàm và vi phân cấp cao, định lý về hàm số khả vi A. Tổng quan 1. Nội dung vắn tắt: Vi phân, đạo hàm và vi phân cấp cao, định lý về hàm số khả vi. 2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các kiến thức về vi phân: định nghĩa, ý nghĩa hình học, ứng dụng để tính gần đúng, mối liên hệ giữa hàm số cĩ đạo hàm và hàm khả vi, vi phân của hàm hợp và tính bất biến của vi phân cấp 1; đạo hàm và vi phân cấp cao; các định lý về hàm khả vi và ứng dụng: định lý Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy. 3. Các kiến thức cần cĩ trước: Các kiến thức về hàm số, đạo hàm của hàm số. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 36
Giải tích 1 Tuần IV. Vi phân, đạo hàm và vi phân cấp cao, định lý về hàm số khả vi B. Lý thuyết I Vi phân 1. Định nghĩa Định nghĩa 4.1.1: Cho hàm số f(x), nếu tại một điểm x = x0 cĩ biểu diễn: f(x0 + h) - f(x0) = ch + o(h) khi h → 0 với c là hằng số thì f được gọi là khả vi một lần (gọi tắt là khả vi) tại x = x0, khi đĩ biểu thức df(x0) = cdx được gọi là vi phân của f(x) tại x = x0. Nếu hàm số f(x) khả vi tại mọi điểm thuộc TXĐ X thì f(x) được gọi là khả vi trên X. 2. Ý nghĩa hình học y Vi phân của hàm số tại một điểm chính là số f(x0+Δx) Δf gia của hàm số tại điểm đĩ bỏ qua một vơ df f(x0) cùng bé cấp cao hơn so với số gia của đối số. O x x +Δx x 3. Mối liên hệ giữa đạo hàm và vi phân 0 0 Định lý 4.1.1: Hàm số cĩ đạo hàm thì khả vi và ngược lại. Nếu hàm số f(x) cĩ đạo hàm tại Hình 4.1 điểm x0 thì vi phân của hàm số đĩ tại x0 bằng tích số của đạo hàm và số gia của đối số: df(x0) = f’(x0)dx (+)Chứng minh: Ta cĩ hàm số f(x) cĩ đạo hàm tại x = x0 khi và chỉ khi giới hạn: f (x h) f (x ) lim 0 0 = f’(x0) là một giá trị hữu hạn nào đĩ h 0 h f (x0 h) f (x 0 ) cĩ thể viết: = f’(x0) + α(h) với α(h) là một VCB khi h → 0 h hay f(x0 + h) - f(x0) = f’(x0)h + o(h) khi h → 0 4. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng Ta cĩ f(x0 + h) - f(x0) = df(x0) + o(h) => f(x0+h) ≈ f(x0) + df(x0) = f(x0) + f’(x0).h Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 37
Giải tích 1 Tuần IV. Vi phân, đạo hàm và vi phân cấp cao, định lý về hàm số khả vi Ví dụ: Tính gần đúng A = 3e0,04 (1,02) 2 3e2x x Xét hàm số f(x) = 3e2x x 2 => f’(x) = , ta cĩ: 3e2x x 2 3 A = f(0,02) ≈ f(0) + f’(0).0,02 = 3 + 0,02. = 1,02. 3 3 5. Vi phân của hàm hợp Xét hàm số u = g(x), và hàm hợp y = f(u) = f(g(x)) => dy = f’u(u)du = f’u(u)ux’(x)dx = (fog)’x(x)dx = f’x(x)dx Điều này thể hiện tính bất biến của vi phân cấp 1. II Đạo hàm và vi phân cấp cao 1. Đạo hàm cấp cao Định nghĩa 4.2.1: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b), hàm f(x) gọi là khả vi n lần (trong (a,b)) nếu f là khả vi (n - 1) lần (trong (a,b)) và đạo hàm cấp (n-1) của f cũng khả vi. Khi đĩ đạo hàm cấp n của f được đinh nghĩa bởi: f(n)(x) = [f(n-1)(x)]’ Với bất kỳ hàm số f, g khả vi n lần nào, chúng ta đều cĩ quy tắc Leibnitz: n (n) k (n k) (k) k (fg) = Cn f g với Cn là tổ hợp chập k của n. k 0 (+) Chứng minh: Ta cĩ (f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x). n 1 (n-1) k (n 1 k) (k) Giả sử (f(x)g(x)) =  Cn 1 f (x)g (x) , ta cĩ: k 0 n 1 n 1 (n) k (n 1 k) (k) k (n 1 k) (k) (f(x)g(x)) = (  Cn 1 f (x)g (x) )’ =  Cn 1 f (x)g (x) ' k 0 k 0 n 1 k (nk) (k) (n1k) (k1) =  Cn 1 f (x)g (x) f (x)g (x) k 0 n 1 (n) k (nk) (k) k1(n1(k1)) ((k1)1) = f (x)g(x) +  Cn 1 f (x)g (x)C n 1 f (x)g (x) + k 1 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 38
Giải tích 1 Tuần IV. Vi phân, đạo hàm và vi phân cấp cao, định lý về hàm số khả vi n (n) k (n k) (k) + f(x)g (x) = Cn f g k 0 Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp n của xex, ta cĩ x’ = 1, x(n) = 0  n > 1, và (ex)(n) = ex  n => Theo quy tắc Leibnitz (xex)(n) = xex + nex = (n+x)ex 2. Vi phân cấp cao Vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp n - 1: dn(f) = d(dn-1(f)) Chú ý: Vi phân cấp cao khơng bất biến như vi phân cấp một. Ví dụ: Xét hàm f(x) = x2, ta cĩ df = 2xdx và d2f = 2(dx)2 (*) Nếu đặt x = t2 => f = t4, khi đĩ df = 4t3dt và d2f = 12t2(dt)2, Nếu thế dx = 2tdt vào (*) thì ta cĩ : d2f = 2(2tdt)2 = 8t2(dt)2 ≠ 12t2(dt)2 Như thế, khi lấy vi phân cấp cao, cần phải xem kỹ xem lấy vi phân đối với biến nào, độc lập hay phụ thuộc để tránh nhầm lẫn. III Định lý các hàm số khả vi 1. Định lý Fermat Định nghĩa 4.3.1: Cho hàm số f(x) xác định trên TXĐ X, liên tục tại x0, khi đĩ: i) x0 được gọi là cực đại của f nếu  δ > 0 sao cho: f(x0) > f(x)  x X  (x0 - δ,x0 + δ) \ {x0} ii) x0 được gọi là cực tiểu của f nếu  δ > 0 sao cho: f(x0) 0 sao cho: f(c + h) - f(c) ≤ 0  -δ ≤ h ≤ δ f (c h) f (c) f (c h) f (c) nghĩa là: ≥ 0 khi h 0. h h Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 39
Giải tích 1 Tuần IV. Vi phân, đạo hàm và vi phân cấp cao, định lý về hàm số khả vi tức là: f’(c+) ≤ 0 và f’(c-) ≥ 0 Ta lại cĩ, f(x) khả vi tại c, nghĩa là: f’(c) = f’(c+) = f’(c-) = 0. Trường hợp f(x) đạt cực tiểu tại c, chứng minh tương tự ■. 2. Định lý Rolle* Định lý 4.3.2: Cho hàm số f(x) xác định, liên y tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b), khi đĩ  c (a,b) sao cho f’(c) = 0 f(a) Đặc biệt, trong khoảng hai nghiệm của a O c b x phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất một nghiệm của phương trình f’(x) = 0. Hình 4.2 3. Định lý Lagrange y Định lý 4.3.3: Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b), khi đĩ f (b) f (a)  c (a,b) sao cho f’(c) = b a a c b (+)Chứng minh: Xét hàm: O x f (b) f (a) g(x) = f(a) + (x - a) - f(x) b a Hình 4.2 ta cĩ: g(a) = g(b) = 0, hàm g(x) cũng liên tục f (b) f (a) trên [a,b], khả vi trong (a,b) và g’(x) = - f’(x). Nghĩa là, theo định lý Rolle, b a f (b) f (a) f (b) f (a)  c (a,b) sao cho: g’(c) = - f’(c) = 0, hay f’(c) = ■. b a b a a b a a b Ví dụ: Cho 0 < b < a, chứng minh bất đẳng thức: < ln < a b b * Định lý này chỉ minh họa hình học cho sinh viên. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 40
Giải tích 1 Tuần IV. Vi phân, đạo hàm và vi phân cấp cao, định lý về hàm số khả vi Xét hàm f(x) = lnx, ta cĩ f liên tục và khả vi trên [b,a] (do 0 = ln c a b a b c b a b a b a b Mặt khác, ta lại cĩ: b đpcm ■. a c b 4. Định lý Cauchy Định lý 4.3.4: Cho f(x), g(x) là hai hàm số xác định, liên tục trên [a,b], g(a) ≠ g(b), f(x), g(x) khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0  x [a,b]. Khi đĩ  c (a,b) sao cho: f (b) f (a) f '(c) = g(b) g(a) g'(c) (+)Chứng minh: Xét hàm f (b) f (a) h(x) = f(a) + (g(x) - g(a)) - f(x) g(b) g(a) Ta cĩ h(a) = h(b) = 0, hàm h(x) cũng liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f (b) f (a) h’(x) = g’(x) - f’(x) g(b) g(a) Vậy theo định lý Rolle,  c (a,b) sao cho: f (b) f (a) f (b) f (a) f '(c) h’(c) = g’(c) - f’(c) = 0, hay = ■. g(b) g(a) g(b) g(a) g'(c) Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 41
Giải tích 1 Tuần IV. Vi phân, đạo hàm và vi phân cấp cao, định lý về hàm số khả vi C. Bài tập 1. Tìm vi phân của hàm số 1 x x 1 x a a) y = arctg b) y = arcsin c) y = ln d) y = ln|x + x 2 a | a a a 2a x a 2. Tìm d 3 6 9 d sin x d(sin x) a) (x - 2x - x ) b) c) d(x 3 ) d(x 2 ) x d(cosx) sin x d x d( 1 x 2 ) d(tgx) d(arcsin x) d) e) f) g) d(x 2 ) d(arcsin x) d(cotgx) d(arccosx) 3. Tính gần đúng 2 0,02 10 0 a) lg11 b) 7 c) 3 1,02 d) 1000 e) sin29 2 0,02 f) arctg1.05 g) e0,02 h) arcsin0,51 i) 8e0,03 (0,97)2 4. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số x 2 1 x e x a) y = , tính y(8) b) y = , tính y(100) c) y = , tìm y(10) 1 x 1 x x c) y = x2e2x, tính y(10) d) y = x2sinx, tính y(50) 5. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) sau x x x 1 a) b) c) e) xn-1 e x f) ln(ax + b) x 2 1 3 1 x x(1 x) 1 1 g) sin2x h) i) j) xcosax x 2 3x 2 x 2 3x 2 k) excosx l) x2eax m) sin4x + cos4x n) eaxsin(bx + c) Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 42
Giải tích 1 Tuần IV. Vi phân, đạo hàm và vi phân cấp cao, định lý về hàm số khả vi 6. Chứng minh rằng phương trình xn + px + q = 0 với n nguyên dương khơng thể cĩ quá hai nghiệm thực nếu n chẵn, khơng cĩ quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ. f (b) f (a) f '(c) 7. Giải thích tại sao cơng thức Cauchy dạng = khơng áp dụng g(b) g(a) g'(c) được đối với các hàm số f(x) = x2, g(x) = x3, -1 ≤ x ≤ 1. 8. Chứng minh bất đẳng thức   a) |sinx - siny| ≤ |x-y| b) |arctgx - arctgy| 1 9. Cho f là một hàm số thực, khả vi trên [a,b] và cĩ đạo hàm f’’(x) trên (a,b), chứng minh rằng  x (a,b) cĩ thể tìm được ít nhất một điểm c (a,b) sao cho f (b) f (a) (x a)(x b) f(x) - f(a) - (x - a) = f’’(c) b a 2 10. Cho f(x), g(x) là các hàm khả vi đơn điệu tăng thoả mãn f(x0) = g(x0), đồng thời f’(x) ≤ g’(x) với mọi x ≥ x0. Chứng minh rằng f(x) ≤ g(x) với mọi x ≥ x0. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 43
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số Tuần V. Khai triển hữu hạn, ứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số A. Tổng quan 1. Nội dung vắn tắt: Các cơng thức khai triển hữu hạn, các quy tắc L’Hospital khử dạng vơ định, các lược đồ khảo sát hàm số. 2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các kiến thức về các cơng thức khai triển hữu hạn Taylor và Maclaurin; ứng dụng định lý các hàm số khả vi: quy tắt L’Hospital để khử dạng vơ định, các tính chất của hàm số: đơn điệu, lồi lõm, cực trị; các lược đồ khảo sát hàm số: hàm y = f(x), đường cong tham số, đường cong trong tọa độ cực và tọa độ cực suy rộng. 3. Các kiến thức cần cĩ trước: Các kiến thức về hàm số, giới hạn, đạo hàm của hàm số, các định lý về các hàm số khả vi. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 44
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số B. Lý thuyết I Khai triển hữu hạn 1. Khai triển Taylor * Định lý 5.1.1 : Cho hàm số f(x) cĩ đạo hàm liên tục đến cấp n + 1 trên [x0,x0+h] thì (n) f '(x 0 ) f ''(x 0 ) 2 f (x 0 ) n f(x0 + h) = f(x0) + h + h + + h + Rn(h), trong đĩ 1! 2! n! (n 1) f (x 0 h) n+1 Rn(h) = h số dư dạng Lagrăng (n 1)! n Rn(h) = o(h ) số dư dạng Peano 2. Khai triển Mac-Laurin Trong khai triển Taylor, nếu ta thay x0 = 0, h = x, thì ta cĩ khai triển Mac-Laurin (n) f '(0) f ''(0) 2 f (0) n f(x) = f(0) + x + x + + x + Rn(h) 1! 2! n! 3. Một số cơng thức khai triển Mac-Laurin thường dùng† α ( 1) 2 ( 1) ( n 1) n (1 + x) = 1 + x + x + + x + Rn(x) 1! 2! n! m nguyên dương m m(m 1) m(m 1) (m k 1) (1 + x)m = 1 + x + x2 + + xk + + xm 1! 2! k! m m(m 1) m(m 1) (m k 1) (1 - x)m = 1 - x + x2 - + (-1)k xk + + (-1)mxm 1! 2! k! 1 2 n n = 1 - x + x + + (-1) x + Rn(x) 1 x 1 2 n = 1+ x + x + + x + Rn(x) 1 x * Cĩ thể mơ tả vắn tắt chứng minh định lý này cho sinh viên. † Các cơng thức khai triển MacLaurin ở đây cĩ thể chứng minh vắn tắt, hoặc yêu cầu sinh viên xem là bài tập. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 45
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số 2 n x n-1 x ln(x + 1) = x - + + (-1) + Rn(x) 2 n 3 5 2n 1 x x n x arctgx = x - + + + (-1) + Rn(x) 3 5 2n 1 2 1 x 3x n 1.3.5 (2n 1) = 1 - + - + (-1) xn + Rn(x) 1 x 2 8 2.4.6 (2n) x 3 3.x 5 1.3.5 (2n 1) x 2n 1 arcsinx = x + + + + + Rn(x) 2.3 8.5 2.4.6 (2n) 2n 1 2 n x x x x e = 1 + + + + + Rn(x) 1! 2! n! 3 2n 1 x n-1 x sinx = x - + + (-1) + Rn(x) 3! (2n 1)! 2 2n x n x cosx = 1 - + + (-1) + Rn(x) 2! (2n)! II Ứng dụng định lý các hàm số khả vi 1. Quy tắc L’Hospital Định lý 5.2.1: Giả sử hàm số f(x) và g(x) khả vi tại lân cận x0, lim f(x) = lim g(x) = 0 x x 0 x x 0 f '(x) f (x) và g(x) khả vi tại lân cận x0, nếu lim = A thì lim = A. x x0 g'(x) x x0 g(x) Chú ý: Kết quả trên vẫn đúng khi A = ∞, khi x0 = ∞, và khi lim f(x) = lim g(x) = ∞ x x 0 x x 0 x sin x 1 cos x Ví dụ: a) lim = lim = 1 x 0 2x x 0 2 1 x ln(2 x) 2 b) lim tg ln(2 x) = lim = lim 2 x = - x 1 2 x 1 x x 1 1 cot g . 2 x 2 sin 2 2 x 1 x ln x (x 1) 1 ln x 1 c) lim = lim = lim = x 1 x 1 ln x x 1 (x 1)ln x x 1 x 1 ln x x Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 46
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số x ln x 1 ln x 1 = lim = lim = x 1 (x 1) x ln x x 1 1 1 ln x 2 1 ln x x lim lim 2 1 cos x sin x 2sin xcos x lim sin x ln x x 0 x 0 lim lim sinx 2 d) lim x = e x 0 = e sin x = e sin x = e x 0 x cos x = e x 0 cos x xsin x x 0 2cos 2x lim = e x 0 sin x x cos x sin x = +∞ x 1 x 2 ln lim 2 tgx 1 x 1 sin x 2sin x cos x lim tgx ln lim x 0 lim lim 1 x 0 cot gx 2 e) lim = e x 0 x = e = e sin x = e x 0 x = e x 0 1 x 0 x = 1 2. Ứng dụng khai triển hữu hạn để tìm giới hạn 2 ex 1 x 3 1 x 2 1 x 3 o(x 3 ) 1 x 2 1 x 3 o(x 3 ) * lim lim lim Ví dụ: a) 2 = 2 = 2 3 x 0 arcsin x x 0 x 3 x 0 x o(x ) 3 x o(x ) 6 = 1 x3 x x o(x3 ) 1 1 x sin x b) lim = lim = lim 3! x 0 sin x x x 0 x sin x x 0 x 3 3 x x o(x ) 3! x3 o(x3 ) = lim 3! = 0 x 0 x 2 o(x 3 ) sin(sin x) x3 1 x 2 c) lim = x 0 x 5 sin 3 x sin 5 x x 2 2x 4 2.5.x 6 sin x x 1 o(x 6 ) 3! 5! 3 3.3.2! 3.3.3.3! = lim x 0 x 5 * Đối với từng ví dụ, giải thích khai triển hữu hạn đến đâu là đủ. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 47
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số x3 x5 x 3 3x5 o(x 5 ) x 5 x 3 x 5 x o(x 5 ) o(x 5 ) x o(x5 ) = lim 3! 5! 3! 5! 3 9 x 0 x 5 1 1 1 1 x 5 o(x 5 ) 120 2 120 9 113 = lim = x 0 x 5 180 3. Sự biến thiên của hàm số Định lý 5.2.2: Cho f là hàm số xác định, liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b), khi đĩ: i) f(x) khơng giảm (tăng) trên [a,b] f’(x) ≥ 0 (f’(x) ≤ 0), x (a,b) ii) Nếu f’(x) ≥ 0 (f’(x) ≤ 0)  x (a,b) và nếu f’(x) > 0 (f’(x) f(a) (f(b) 0, và f(x + h) - f(x) ≤ 0  h ≥ 0  h, nghĩa là f’(x) ≥ 0. h Đảo lại, giả sử f’(x) ≥ 0, với x (a,b), ta cĩ, theo định lý Lagrange: f (x h) f (x)  h > 0 sao cho x + h (a,b),  0 < θ < 1, sao cho 0 ≤ cf’(x + θh) = . h Trường hợp f(x) khơng tăng chứng minh tương tự ■. ii) Nếu f’(x) ≥ 0  x (a,b), ta cĩ f(x) là khơng giảm trên [a,b], do đĩ f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)  x (a,b) Nếu f(b) = f(a) thì đạo hàm triệt tiêu với mọi x thuộc (a,b), mâu thuẫn, vậy ta cĩ đpcm ■. (+)Hệ quả: Nếu f(a) ≤ g(a) và f’(x) ≤ g’(x) (f’(x) < g’(x))  x (a,b) thì f(x) ≤ g(x) (f(x) < g(x))  x [a,b]. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 48
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số 4. Cực trị của hàm số y Định lý 5.2.3:* f xác định, liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) (cĩ thể trừ ra một số hữu hạn diểm), giả sử c là một điểm thoả a 0 và cực đại nếu f(n)(c)  δ > 0 sao cho: f(n)(x) cùng dấu với f(n)(c)  x (c - δ,c + δ). f(n) (c  h) i) Nếu n chẵn thì hn > 0, nếu f(n)(c) > 0 thì hn > 0, với |h| < δ hay f đạt cực n! tiểu tại c, tương tự, nếu f(n)(c) < 0 thì f đạt cực đại tại c. ii) Nếu n lẻ, ta cĩ hn đổi dấu qua h = 0, nghĩa là f khơng đạt cực trị tại c ■. * Minh họa cho sinh viên bằng hình học Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 49
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số 5. Tính lồi của hàm số* Định nghĩa 5.2.1: Cho hàm số f xác định trong khoảng I i) f được gọi là lồi nếu:  a,b I và  t [0,1], ta luơn cĩ: tf(a) + (1-t)f(b) ≥ f(ta + (1-t)b)† ii) f được gọi là lõm nếu:  a,b I và  t [0,1], ta luơn cĩ: tf(a) + (1-t)f(b) ≤ f(ta + (1-t)b) y y O x O x Hình 5.2 Định lý 5.2.5: Cho f là hàm số xác định, liên tục trong một khoảng I, cĩ đạo hàm cấp hai f’’ trong I. i) Nếu f’’ > 0 trong I thì với a 0 trong I, đặt g(t) = tf(a) + (1-t)f(b) - f(ta + (1-t)b), ta cĩ: g’(t) = f(a) - f(b) - (a-b)f’(ta + (1 - t)b) Theo định lý Lagrange, ta cĩ  c (a,b), hay c = t0a + (1 - t0)b sao cho: * Cần phân biệt cho sinh viên khái niệm hàm số lồi với khái niệm đường cong lồi đã được học ở phổ thơng. † Bất đẳng thức này thường được gọi là bất đẳng thức hàm lồi. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 50
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số f (a) f (b) f’(c) = , nghĩa là: g’(t) = (a - b)[f’(t0a + (1 - t0)b) - f’(ta + (1 - t)b)] a b Ta cĩ (a - b) 0, nên f’(x) tăng trên (a,b) => g’(t) ≥ 0 với t ≤ t0 và g’(t) ≤ 0 với t ≥ 0, vậy g(t) khơng giảm trên [0,t0] và khơng tăng trên [t0,1], mặt khác g(0) = g(1) = 0, nghĩa là g(t) > 0 trong (0,1), ta cĩ đpcm ■. ii) Chứng minh tương tự i) 6. Các bất đẳng thức lồi Định lý 5.2.6 (bất đẳng thức Jensen): Cho f là hàm lồi trên I = (a,b), x1, x2, , xn I, n λ1, λ2, , λn [0,1], i = 1, khi đĩ: i 1 n n f  i x i ≤ i f (x i ) i 1 i 1 Định lý 5.2.7 (bất đẳng thức trung bình): Cho a1, a2, a3, ,an ≥ 0, thế thì: 1 1 n n n ai ≤ ai n i 1 i 1 1 1 Định lý 5.2.8: Cho p, q > 1 sao cho + = 1, khi đĩ: p q 1 1 n n p n q p q i)  xi y i ≤ | xi | | yi | (Bất đẳng thức Hưlder) i 1 i 1 i 1 1 1 1 n p n p n p p p p ii) | xi y i | ≤ | xi | + | yi | (Bất đẳng thức Minkowski) i 1 i 1 i 1 III Các lược đồ khảo sát hàm số 1. Hàm y = f(x)* a) Miền xác định * Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) đã được thực hiện khá nhiều trong chương trình phổ thơng, ở đây chỉ nêu lại các bước, chọn một ví dụ minh họa, tránh sử dụng các hàm đa thức, phân thức dạng bậc nhất trên bậc nhất và bậc nhất trên bậc hai. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 51
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số b) Chiều biến thiên: tìm khoảng tăng, giảm của hàm số b) Cực trị (nếu cĩ) d) Tính lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu cĩ) e) Tiệm cận (nếu cĩ) f) Bảng biến thiên g) Vẽ đồ thị x 2 Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x 2 1 TXĐ: R x(x 2) x2 1 2 2x 1 Ta cĩ: f’(x) = x 1 = , vậy x2 1 (x2 1) 3/ 2 1 f’(x) > 0 (hàm đơn điệu tăng) với x > - 2 1 f’(x) < 0 (hàm đơn điệu giảm) với x < - 2 1 x = - là điểm cực tiểu. 2 x 2 x 2 Ta cĩ: lim = 1 và lim = -1, vậy đồ thị hàm số cĩ hai tiệm cận x x 2 1 x x 2 1 ngang y = 1 và y = -1 Bảng biến thiên x 1 - 2 y’ + 0 - -1 1 y - 5 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 52
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số 2. Phương trình tham số của đường cong x = x(t), y = y(t) a) Tìm miền xác định, các điểm gián đoạn của các hàm số x = x(t), y = y(t). Nhận xét các tính chất chẵn, lẻ, tuần hồn (nếu cĩ). b) Xét chiều biến thiên của x, y theo t bằng cách xét dấu các đạo hàm x’(t), y’(t) c) Hệ số gĩc của đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm x = x(t0) và y = y(t0) là: dy y'(t ) = 0 . dx x '(t ) t t0 0 c) Tìm các tiệm cận của đường cong d) Vẽ đường cong x a(t sin t) Ví dụ: Khảo sát và vẽ đường cong: (a > 0) y a(1 cos t) Ta cĩ x, y xác định với mọi t, và y tuần hồn với chu kỳ 2π Do y là hàm chẵn theo biến t, x là hàm lẻ theo biến t, nên đường cong đối xứng qua trục Oy. Ta cĩ: x’(t) = a(1 - cost) => x’(t) ≥ 0  t, ‘=’ t = 2kπ y’(t) = asint => y’(t) > 0 khi 2kπ = 0 khi t = (2k + 1) π và = ∞ khi t = 2kπ. dx 1 cos t dx dx Ta xét bảng biến thiên trong một chu kỳ t = 0 2π Bảng biến thiên t 0 π 2π x’ + + x 2aπ aπ 0 y’ + - y 2a 0 0 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 53
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số 2 2 2 Ví dụ: Khảo sát và vẽ đường cong: x 3 + y 3 = a 3 (a > 0), đường Axtroit. 3 x a cos t Tham số hĩa đường cong: (a > 0) 3 y a sin t Ta cĩ x, y xác định với mọi t, tuần hồn theo t với chu kỳ 2π x là hàm chẵn, y là hàm lẻ, vậy đường cong đối xứng qua trục Ox Với t1 = π - t2, ta cĩ x(t1) = -x(t2), y(t1) = y(t2), vậy đường cong đối xứng qua trục Oy. Với t1 = - t2, ta cĩ x(t1) = y(t2) và y(t1) = x (t2), vậy đường cong đối xứng qua đường 2 y = x. Chúng ta chỉ cần khảo sát trên đoạn 0 ≤ t ≤ , rồi dựa vào các nhận xét trên để vẽ đồ 4 thị. x’(t) = -3acos2tsint ≤ 0, ‘=’ khi t = 0 y’(t) = 3acostsin2t ≥ 0, ‘=’ khi t = 0 dy dy dy = -tgt => = 0 tại t = 0 và = -1 tại t = dx dx dx 4 Bảng biến thiên t 0 4 x’ - x a a 2 2 y’ + y a 2 2 0 Ví dụ: Khảo sát và vẽ đường cong: x3 + y3 - 3axy = 0 (a > 0), đường lá De’cartes. 3at x 1 t3 Tham số hĩa đường cong: ; t ≠ -1 3at2 y 1 t3 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 54
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số Ta cĩ: 1 2t3 1 1 1 x’(t) = 3a => x’(t) > 0 khi t , x’(t) = 0 khi t = (1 t3 ) 2 3 2 3 2 3 2 2 t3 y’(t) = 3a => y’(t) > 0 khi t 0 khi t > 3 2 , y’(t) = 0 khi t = 3 2 (1 t3 ) 2 y(t) t2 t t Ta cĩ: lim = -1 và lim (y(t) + x(t)) = 3a lim = 3a lim = -a t 1 x(t) t 1 t 1 1 t3 t 1 t2 t 1 3at 3at2 lim x(t) = lim = 0, và lim y(t) = lim = 0 t t 1 t3 t t 1 t3 Vậy đường cong cĩ tiệm cận xiên y = -x - a dy t(2 t3 ) dy dy 1 = , vậy = 0 tại t = 0, t = 3 2 và = ∞ tại t = ∞, t = dx 1 2t3 dx dx 3 2 Bảng biến thiên t 1 -∞ -1 0 3 2 +∞ 3 2 x’ + + + 0 - - x +∞ a 3 4 0 a 3 2 0 -∞ 0 y’ - - 0 + + + y 0 +∞ a 3 4 a 3 2 -∞ 0 0 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 55
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số 3. Đường cong trong toạ độ cực a) Hệ toạ độ cực  Trong mặt phẳng, chọn điểm O cố định, gọi là cực (gốc cực) và một véc tơ đơn vị OP ,  tia mang OP gọi là trục cực. Hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực được gọi là hệ tọa  độ cực. Vị trí của điểm M trong mặt phẳng được xác định bằng véc tơ OM , nghĩa là    xác định bởi gĩc cực φ = OP,OM và bán kính cực r = OM b) Mối liên hệ giữa hệ tọa độ cực và hệ tọa độ De’cartes vuơng gĩc: x r cos 2 2 2 y , 0 ≤ φ ≤ 2π; r ≥ 0, và r = x + y ; tgφ = y r sin x c) Hệ tọa độ cực suy rộng Hệ tọa độ cực suy rộng là hệ tọa độ cực, trong đĩ cĩ thể lấy: r ≤ 0 và φ ≤ 0, hoặc φ ≥ 2π. c) Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ cực r = f(φ) i) Tìm miền xác định của f(φ) ii) Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị iii) Lập bảng biến thiên, xét sự biến thiên của f(φ)  iv) Đặt V là gĩc giữa OM và véc tơ chỉ phương tiếp tuyến của đường cong, thì: r tgV = r ' Ví dụ: Khảo sát và vẽ đường cong r = aebφ (a, b > 0), đường xoắn ốc logarit r xác định với mọi φ, đơn điệu tăng theo φ: φ = 0 => r = a, lim r = +∞, lim r = 0. 1 tgV = , gĩc giữa tiếp tuyến và bán kính cực khơng a Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 56
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số đổi. Ví dụ: Khảo sát và vẽ đường cong r = asin3φ (a > 0), đường hoa hồng ba cánh 2 r là hàm tuần hồn chu kỳ , r là hàm lẻ theo φ vì thế chỉ cần khảo sát trên đoạn 3 [0, ]. 3 r’ = 3acos3φ => r’ = 0 khi φ = 6 tg3 tgV = 3 Bảng biến thiên φ 0 6 3 r’ 3a + 0 - -3a r a 0 0 tgV 0 ∞ 0 Ví dụ: Khảo sát và vẽ đường cong r = acos2φ (a > 0) Thực hiện các bước tương tự như trên, với chú ý, hàm tuần hồn chu kỳ π, r là hàm lẻ theo φ, r(φ) = -r( -φ). Ta cĩ 2 đường cong: Chú ý: Nếu xét đường cong trong hệ tọa độ cực thường (r ≥ 3 5 0), thì r chỉ xác định đối với - ≤ φ ≤ và ≤ φ ≤ , 4 4 4 4 ta được đường cong: Ví dụ: Khảo sát và vẽ đường cong r = 2a(1 + cosφ) (a > 0) r xác định với mọi φ, tuần hồn với chu kỳ 2π, r là hàm chẵn, ta chỉ cần khảo sát trên [0,π]. r’ = -2asinφ, r’ = 0 khi φ = 0 và φ = π tgV = -cotg , tgV = -∞ khi φ = 0, tgV = 0 khi φ = π 2 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 57
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số Bảng biến thiên φ 0 π r’ 0 - 0 r 4a 0 tgV -∞ 0 Ví dụ: Khảo sát và vẽ đường cong r2 = a2cos2φ (a > 0) Ta cĩ hàm a2cos2φ tuần hồn với chu kỳ π, mặt khác đường cong sẽ xác định nếu cos2φ ≥ 0, nghĩa là - ≤ φ ≤ , chúng ta cũng chỉ xét với r ≥ 0 (r ≤ 0 tương ứng với 4 4 việc quay đường cong một gĩc π), nghĩa là: a sin 2 r = a cos 2 , r’ = , r’ = 0 khi φ = 0, tgV = -cotgφ, tgV = ∞ khi φ = 0. cos 2 Bảng biến thiên φ - 0 4 4 r’ + 0 - 0 r a 0 0 tgV 1 ∞ -1 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 58
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số C. Bài tập 1. Tìm giới hạn 1 1 e x cos tg x x sin x arctgx a) lim x b) lim 2 c) lim d) lim x 1 x 1 ln(1 x) x 0 x tgx x 1 1 1 ln 1 x 2 x tg x e x ex etgx ex ex ea e) lim f) lim g) lim 2 h) lim x 0 x tgx x 0 tgx x x 1 ln(1 x) x a x a a x b x 3 x 1 1 sin x x x x i) lim j) lim k) lim l) lim x 0 x x x 0 x 1 c d x 1 x 2x ln x x 1 2 2arctgx x cot gx 1 1 cos3 x sin x tgx n) lim o) lim p) lim q) lim x 0 1 x 0 x 2 x 0 x sin x x 0 1 cos x ln 1 x x ln(1 x) tg ln x 1 x x 1 2 (a x)x a x r) lim s) lim 2 t) lim u) lim x 1 x 0 x 0 2 ln x x 1 cot g x x cos x x 2 2. Tìm giới hạn 1 a) lim e x2 x 100 b) lim [(π - 2arctgx)lnx] c) lim(ln x 1)ln | x e | x 0 x x e 3. Tìm giới hạn 1 1 1 1 1 a) lim b) lim cot gx c) lim x 0 x x x 0 x x 0 2 ln(1 x) e 1 ln x 1 x 1 1 ln(ex x) d) lim e) lim 3 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 x 0 2 ln(1 x) x x ln(x 1 x ) 4. Tìm giới hạn x 1 2 x x 1 sin x x a) lim x x 1 c) lim x x d) lim e) lim | x |sin x f) lim x 0 x 0 x 0 tgx x 0 x 0 x Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 59
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số 1 1 x 2 2x-π tgx 2arctgx arctgx x g) lim(e x x) x h) lim (tgx) i) lim (sinx) j) lim k) lim x 0 x 0 x x x x 2 2 1 1 1 arcsin x x 2 2arccosx x l) lim (x 2 x ) x m) lim(1 cos x) tgx n) lim o) lim x x 0 x 0 x x 0 1 1 1 1 x x2 2 x x a x ln a p) lim(arccosx) x q) lim tg r) lim s) lim(1 arctg2 x) x sin x x x 0 x 2x 1 x 0 b x ln b x 0 5. Viết khai triển Mac-Laurin hàm số f(x) (1 x)100 a) đến x2 b) 1 2x x 2 - 3 1 3x x 2 đến x3 (1 2x) 40 (1 2x) 60 2 2 1 x x c) tgx đến x3 d) e 2x x đến x5 e) đến x4 f) x(ex-1)-1 đến x4 1 x x 2 sin x g) 3 sin x3 đến x13 h) lncosx đến x6 i) sin(sinx) đến x3 j) ln đến x6 x 6. Tìm giới hạn 1 cos3 x 3 2x x 4 3 x ex sin x x(1 x) a) lim b) lim c) lim 3 x 0 x sin x x 1 1 4 x 3 x 0 x 7. Tìm giới hạn 1 1 1 1 2 3 a) lim b) lim 2 2 c) lim 3x x ln 1 x 0 sin x x x 0 sin x x x x 1 x 1 1 d) lim x3 x 2 e x x 6 1 e) lim cotgx x x 0 2 x x 8. Xác định a,b sao cho biểu thức sau cĩ giới hạn hữu hạn khi x → 0 1 1 a b f(x) = - - - sin 3 x x 3 x 2 x 9. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số y = f(x) sau a) x3 + x b) arctgx - x c) x + |sin2x| Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 60
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số 10. Chứng minh bất đẳng thức x 2 a) 2xarctgx ≥ ln(1 + x2)  x R b) x - ≤ ln(1+x) ≤ x  x ≥ 0 2 11. Tìm cực trị của hàm số 3x 2 4x 4 a) y = b) y = x - ln(1 + x) c) y = 3 (1 x)(x 2) 2 x 2 x 1 ln x d) y = (x - 2)2/3(2x + 1) e) y = 3 1 x 3 f) y = x x x 2 2arctgx 2 g) y = x2lnx h) y = i) y = x2 + 2arccotgx2 2 12. Tìm tiệm cận của các hàm số sau 3 2 -x 1 x 2 3 x x a) x e b) xlg 10 c) d) x e e) x x 2 1 x a 13. Tìm cực trị và tiệm cận của các hàm số sau ln x a) y = x + arccotg2x b) y = x2e-x c) y = x x1 x d) y = exlnx e) y = x - arctg2x f) y = (1 x) x 14. Giả sử f là hàm lồi trên đoạn [a,b]. Chứng minh rằng  c (a,b), ta cĩ f (c) f (a) f (b) f (a) f (b) f (c) ≤ ≤ c a b a b c 15. Cho x, y > 0, chứng minh các bất đẳng thức sau n x y x n yn x y e x e y x y a) ≥ b) ≥ e 2 c) xlnx + ylny ≥ (x + y)ln 2 2 2 2 16. Tìm tiệm cận các đường cong sau 3t 2t 2 t 2 t a) x = y = b) x = y = 4 t 2 4 t 2 t 1 t 2 1 c) x = t3 - 3π y = t3 - 6 arctgt d) x = t y = t + 2arctgt Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 61
Giải tích 1 Tuần V. Khai triển hữu hạn, tứng dụng các định lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số 17. Tính y’x và y’’xx biết x = tsin2t y = t + cost d) x = acost y = asint e) x = a(t - sint) y = a(1-cost) f) x = a(t - sint) y = a(1 - cost) g) x = t3 + 3t + 1 y = t3 - 3t + 1 18. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) với f(x) sau 1 x 2 4 1 x2 2 x x 8 1 2 2 2 1 e a) b) c) + 4x d) x lnx e) sin x f) x 1 g) 1 x 4 x 3 1 x x 1 x 2 h) arcsin(cosx) i) arccos(cosx) j) arctg(tgx) k) 3 x 3 x 2 x 1 19. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau t 2 t a) x = y = b) x = t + e-t y = 2t + e-2t c) x = 2t - t2 y = 3t - t3 1 t t 2 1 d) x = 2acost - acos2t y = 2asint - asin2t e) x = at - hsint y = a - hcost (0 0) c) r = a(1 - cosφ) cos3 d) r = φ e) r = f) r = 2 2 g) r2 = 2a2cos2φ h) r = acos4φ i) r = Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 62
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định A. Tổng quan 1. Nội dung vắn tắt: Nguyên hàm và tích phân bất định. 2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các khái niệm về nguyên hàm, họ nguyên hàm, tích phân bất định, bảng các tích phân các hàm số thơng dụng, các quy tắc tính tích phân bất định: tích phân từng phần, đổi biến số, tích phân các hàm phân thức hữu tỷ, vơ tỷ, lượng giác, phương pháp đổi biến Euler. 3. Các kiến thức cần cĩ trước: Các kiến thức về hàm số, liên tục, đạo hàm của hàm số. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 63
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định B. Lý thuyết* I Định nghĩa Định nghĩa 6.1.1: Cho f(x) xác định trong (a,b), F(x) xác định trong (a,b) gọi là nguyên hàm của f(x) nếu F(x) khả vi trong (a,b) và F’(x) = f(x)  x (a,b). Định lý 6.1.1: Giả sử F(x) khả vi trong (a,b), F(x) là nguyên hàm của f(x)  x (a,b). Khi đĩ: i)  hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x)  x (a,b). ii) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x)  x (a,b) đều cĩ dạng F(x) + C. Họ các nguyên hàm của f(x) cĩ dạng F(x) + C với C là một hằng số tuỳ ý được gọi là tích phân bất định của f(x), x (a,b), ký hiệu: f (x)dx = F(x) + C. Ký hiệu ∫ là dấu tích phân, x là biến lấy tích phân, f(x) là hàm số lấy tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân. II Tính chất Mệnh đề 6.2.1: Nếu F(x), G(x) là nguyên hàm của f(x) và g(x) tương ứng, thì aF(x), bG(x) và F(x) + G(x) là nguyên hàm của af(x), bg(x) và f(x) + g(x) tương ứng. Định lý 6.2.2: Mọi hàm số f(x) xác định, liên tục trong (a,b) thì cĩ nguyên hàm trong khoảng đĩ. 1. Đổi biến Nếu g(t)dt = G(t) + C thì g(w(x))w'(x)dx = G(w(x)) + C III Nguyên hàm các hàm thơng dụng x 1 a) 0dx = C b) 1dx = x + C c) x dx = , α ≠ -1 1 dx dx dx d) = ln|x| + C e) = arctgx + C f) = arcsinx + C 2 x 1 x 1 x 2 * Nguyên hàm và họ nguyên hàm đã được học trong chương trình phổ thơng, phần này chỉ mang tính chất hệ thống lại về các cơng thức cơ bản và các phương pháp tính tích phân. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 64
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định a x g) a x dx = + C h) ex dx = ex + C i) sin xdx = -cosx + C lna dx dx j) cosxdx = sinx + C k) = -cotgx + C l) = tgx + C sin 2 x cos2 x dx 1 x dx 1 a x m) = arctg , a ≠ 0 n) = ln + C, a ≠ 0 a 2 x 2 a a a 2 x 2 2a a x dx x dx o) = arcsin + C, a ≠ 0 p) = ln(x + x2 ) + C a 2 x 2 a x2 1 q) x2  dx = (x x2  + βln|x + x2  |) + C 2 1 a2 x r) a2 x 2 dx = x a2 x 2 + arcsin + C 2 2 a 8x15/8 Ví dụ: x x x dx = x7 / 8 dx = + C 15 sin x d cos x tgxdx = dx = - = -ln|cosx| + C cos x cos x 2 2 2 2 e cos x sin 2xdx = e cos x 2sin x cos xdx = e cos x d( cos 2 x) = e cos x + C dx 1 = - cotg3x + C sin 2 3x 3 dx 1 3 = arcsin x + c 2 3x 2 3 2 xdx 1 dx2 1 x2 = = arctg 4 x 4 2 4 x4 4 2 1 1 1 2 x dx 1 2 x = - 2x d = - x 2 x ln 2 dx d(ln x 1) = = tg(lnx+1) + C 2 2 x cos (1 ln x) cos (ln x 1) Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 65
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định IV Các phương pháp tính tích phân 1. Đổi biến Mệnh đề 6.4.1: Nếu g(t)dt = G(t) + C thì g(w(x))w'(x)dx = G(w(x)) + C, trong đĩ các hàm g(t), w(x), w’(x) được giả thiết là những hàm số liên tục. 2x dx Ví dụ: , đặt 2x = t => dt = d2x = ln2.2xdx 1 4x 2x dx 1 dt arcsin t arcsin 2x => = = + C = + C 1 4x ln 2 1 t2 ln 2 ln 2 2. Tích phân từng phần Mệnh đề 6.4.2: Nếu u, v là các hàm số khả vi cĩ các đạo hàm u’, v’ liên tục thì: udv = uv - vdu dx x x2 dx Ví dụ: In = = + 2n (x2 a 2 ) n (x2 a 2 ) n (x2 a 2 ) n 1 x dx 2 dx x = + 2n - 2na = + 2nIn -2a2In+1 (x2 a 2 ) n (x2 a 2 ) n (x2 a 2 ) n 1 (x2 a 2 ) n 1 x 2n 1 1 => In+1 = + In 2na2 (x2 a 2 ) n 2n a2 Đặc biệt: Cho Pn(x) là một đa thức bậc n đối với biến x. a) Pn (x)sinaxdx (hoặc trường hợp Pn (x)cosaxdx cũng tương tự) Đặt Pn(x) = u, sinaxdx = dv 1 1 => P (x)sinaxdx = - Qn-1(x)cosax + Q (x)cosaxdx n a a n 1 (trong đĩ Qn-1(x) là một đa thức bậc n-1) Ta thấy sau mỗi lần lấy tích phân từng phần theo quy tắc phần đa thức đặt là u, tích phần lượng giác và dx đặt là dv, bậc của đa thức giảm đi một, sin đổi thành cos và cos Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 66
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định đổi thành sin. Ta cứ tiếp tục quá trình này cho đến khi phần đa thức trở thành hằng số, tích phần cịn lại là dễ tính. Ví dụ: (x 2 2x 1)sin 2xdx , đặt x2 - 2x + 1 = u, sin2xdx = dv (x2 2x 1)cos2x => (x 2 2x 1)sin 2xdx = - + (x 1)cos 2xdx 2 (x2 2x 1)cos2x (x 1)sin 2x 1 = - + - sin 2xdx 2 2 2 (x2 2x 1)cos2x (x 1)sin 2x cos 2x = - + + + C 2 2 4 ax ax b) Pn (x)e dx , đặt Pn(x) = u, e dx = dv ax 1 ax 1 ax => P (x)e dx = Qn-1(x)e - Q (x)e dx n a a n 1 (trong đĩ Qn-1(x) là một đa thức bậc n-1) Ta thấy sau mỗi lần lấy tích phân từng phần theo quy tắc phần đa thức đặt là u, tích phần hàm mũ và dx đặt là dv, bậc của đa thức giảm đi một, phần hàm mũ khơng thay đổi dạng. Ta cứ tiếp tục quá trình này cho đến khi phần đa thức trở thành hằng số, tích phần cịn lại là dễ tính. x3 e 3x x3 e 3x x2 e 3x 2 Ví dụ: x3 e 3x dx = - x2 e 3x dx = - + xe3x dx 3 3 3 3 x3 e 3x x2 e 3x 2xe3x 2 x3 x2 2x 2 = - + - e3x dx = e3x( - + - ) + C 3 3 9 9 3 3 9 27 c) eax sin bxdx , đặt eax = u, sinbxdx = dv 1 a => eax sin bxdx = - eaxcosbx + eax cos bxdx , đặt eax = u, cosbxdx = dv b b 1 a a2 => eax sin bxdx = - eaxcosbx + eaxsinbx - eax sin bxdx b b2 b2 b a => eax sin bxdx = - eaxcosbx + eaxsinbx + C a2 b 2 a2 b 2 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 67
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định eax Tương tự, ta cũng cĩ: eax cos bxdx = (bsinbx + acosbx) + C a2 b 2 Trong tính tốn ở trên, chúng ta cũng cĩ thể thực hiện đặt phần lượng giác là u, tích phần hàm mũ và dx là dv, tuy nhiên cách đặt ở lần thứ hai sẽ phải nhất quán với cách đặt ban đầu. d) R(x)ln xdx , trong đĩ R(x) là một hàm hữu tỷ. S(x) Đặt lnx = u, R(x)dx = dv => R(x)ln xdx = S(x)lnx - dx , với S(x) là một hàm x hữu tỷ, tích phân sau chúng ta tính theo tích phân hàm hữu tỷ, hoặc đa thức. x3 Ví dụ: x 2 ln xdx , đặt lnx = u, x2dx = dv => v = 3 x3 x2 x3 x3 => x 2 ln xdx = lnx - dx = lnx - + C 3 3 3 9 e) R(x)arctgxdx (hoặc R(x)arcotgxdx ), trong đĩ R(x) là một hàm hữu tỷ. S(x) Đặt arctgx = u, R(x)dx = dv => R(x)arctgxdx = S(x)arctgx - dx , với S(x) là 1 x2 một hàm hữu tỷ, tích phân sau chúng ta tính theo tích phân hàm hữu tỷ, hoặc đa thức. Ví dụ: xarctgxdx , đặt arctgx = u, xdx = dv x2 arctgx 1 x2 dx x2 arctgx 1 1 => xarctgxdx = - = - x + arctgx + C 2 2 1 x2 2 2 2 f) R(x)arcsin xdx (hoặc R(x)arccos xdx ), trong đĩ R(x) là một hàm vơ tỷ. S(x) Đặt arcsin = u, R(x)dx = dv => R(x)arcsin xdx = S(x)arcsinx - dx , với S(x) 1 x2 là một hàm hữu tỷ, tích phân sau chúng ta tính theo tích phân hàm hữu tỷ, hoặc đa thức. arcsin x dx arcsin x arcsin x dx Ví dụ: dx , đặt arcsinx = u, = dv => dx = - + 2 2 2 x x x x x 1 x2 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 68
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định xdx Để tính tích phân sau, đặt 1 x2 = t => dt = 1 x2 dx dt t 1 1 x2 1 => = = ln + C = ln + C 2 x 1 x2 t 1 t 1 1 x2 1 arcsin x arcsin x 1 x2 1 Vậy: dx = - + ln + C 2 x x 1 x2 1 3. Tích phân hàm hữu tỷ Ta cĩ, giả sử q - p2/4 > 0 Adx a) = Aln|x-a| + C x a Adx A b) = + C (k ≠ 1) (x a)k (k 1)(x a)k 1 (Mx N)dx Mt (N Mp / 2) c) = dt (a = q p2 / 4 , đổi biến t = x + p/2) x 2 px q t2 a 2 Mtdt (N Mp / 2)dt = + t2 a 2 t2 a 2 M 1 t = ln(t2 + a2) + (N - Mp/2)arctg + C 2 a a M 2N Mp 2x p = ln(x2 + px + q) + arctg + C 2 4q p2 4q p2 (Mx N)dx Mt (N Mp / 2) d) = dt (a = q p2 / 4 , đổi biến t = x + p/2) (x 2 px q)m (t2 a 2 ) m Mtdt (N Mp / 2)dt = + (t2 a 2 ) m (t2 a 2 ) m Mtdt M Tích phân thứ nhất: = - + C (t2 a 2 ) m 2(m 1)(t2 a 2 ) m 1 Tích phân thứ hai cĩ thể tính theo phương pháp tích phân từng phần như ở ví dụ trong phần trước. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 69
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định Định lý 6.4.2: Mọi đa thức bậc n hệ số thực đều cĩ thể phân tích thành các thừa số là nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai khơng cĩ nghiệm thực. Hệ quả: Mọi phân thức thực sự đều cĩ thể phân tích thành các phân thức đơn giản 4. Tích phân hàm vơ tỷ m / n r / s ax b ax b ax b k a) R x, , , dx , cd ≠ 0. Đặt = t , với k là bội chung nhỏ cx d cx d cx d nhất của các chỉ số căn, đưa về dạng hữu tỉ với t. (R là hàm hữu tỉ) x 2dx Ví dụ: , đặt 2 x = t => x = 2 - t2, dx = -2tdt 2 x x 2dx 8 2 8 2 => = -2 (2 t2 ) 2 dt = -8t + t3 - t5 = -8 2 x + (2 - x)3/2 - (2 - x)5/2 2 x 3 5 3 5 b) R(x, a 2 x 2 )dx Đặt x = asint, hoặc x = acost dx Ví dụ: , đặt x = sint => dx = costdt (1 x 2 )3/ 2 dx dt => = = tgt + C = tg(arcsinx) + C (1 x 2 )3/ 2 cos2 t R(x, a 2 x 2 )dx Đặt x = atgt, hoặc x = acotgt dx dt Ví dụ: , đặt x = tgt => dx = 2 x 3 1 x 2 cos t dx dt d cos t 1 x2 1 => = = - = ln + C = ln + C 2 x 3 1 x 2 sin t 1 cos t (1 cos t)(1 cos t) | x | R(x, x 2 a 2 dx Đặt x = a/sint, hoặc x = a/cost 2cos t Ví dụ: x3 x 2 4dx , đặt x = 2/sint => dx = - dt sin2 t cos2 tdt => x3 x 2 4dx = -32 = 32 cot gt(1 cot g2 t)d cot gt sin6 t Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 70
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định x4 = 16cotg2t +8cotg4t + C = + C 2 c) R(x, ax 2 bx c)dx Đặt t = x + b/2a, đưa về dạng b d) Tích phân dạng c cĩ thể sử dụng phép thế Euler i) a > 0, ax 2 bx c = a x+t xdx Ví dụ: , đặt x2 x 2 = x + t x 2 x 2 t2 2 2t2 2t 4 => x2 + x + 2 = x2 + 2xt + t2 => x = => dx = dt 1 2t (1 2t)2 xdx 2t2 4 1 dt 7 dt => = dt = dt - - 2 2 x 2 x 2 (1 2t) 2 1 2t 2 (1 2t) 1 1 7 = t + ln(1 - 2t) - + C 2 2 4 8t 1 1 7 = ( x2 x 2 - x) + ln(1 - 2( x2 x 2 - x)) - + C 2 2 4 8 x2 x 2 8x ii) c > 0, ax 2 bx c = tx c x 2dx Ví dụ: , đặt x2 x 1 = tx + 1 => x2 + x + 1 = t2x2 + 2tx + 1 1 x x 2 2t 1 2t2 2t 2 => x = => dx = dt 1 t2 (1 t2 ) 2 x 2dx (2t 1)2 dt => = 2 2 3 1 x x 2 (1 t ) 2 2 iii) x0 là nghiệm tam thức bậc hai ax + bx + c, ax bx c = t(x - x0) xdx Ví dụ: , đặt 3 2x x2 = t(x - 1) => (1 - x)(x + 3) = t2(x - 1)2 3 2x x 2 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 71
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định x 3 2dx => t2 = => tdt = 1 x (1 x)2 xdx 6 2t2 dt dt 4t => = dt = -2 + 8 = 2arctgt + + C 2 2 2 2 2 2 3 2x x 2 (t 1) t 1 (t 1) t 1 x 3 = 2arctg + 3 2x x2 + C 1 x (Ax B)dx e) Đặt x - α = 1/t (x ) n ax 2 bx c f) x r (a bx p )q dx , với r, p , q là các số hữu tỉ i) q nguyên, s là mẫu số chung của r, p, thế x = ts ii) (r + 1)/p nguyên, s là mẫu số của q, thế a + bxp = ts iii) (r + 1)/p + q nguyên, s là mẫu số của q, thế a/xp + b = ts dx 1 1 Ví dụ: , đặt t3 = - + 1 => 3t2dt = dx 2 3 x 2 (1 x) x x 5 2 dx 3 3 5 3 2 3 1 3 3 1 3 => = 3t(t 1)dt = t - t + C = 1 - 1 + C 3 x 2 (1 x) 5 2 5 x 2 x 5. Tích phân hàm lượng giác x a) Dạng R(sinx,cos x)dx , R là biểu thức hữu tỷ. Đặt t = tg 2 2t 2t 1 t2 => dt = (t2 + 1)dx; tgx = ; sinx = ; cosx = 1 t2 1 t2 1 t2 2t 1 t2 dt => R(sinx,cos x)dx = R, 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 cos x x Ví dụ: dx , đặt t = tg sin x 1 2 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 72
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định 1 t2 1 1 cos x 2 dt dt 2dt 2dt 4tdt => dx = 1 t = -2 = + + 2t 2 2 2 2 2 2 sin x 1 11 t (t 1) (t 1) (t 1) 1 t 1 t 1 t2 2 2 1 = + 2arctgt + 2ln(1 + t2) + C = + x + 2ln x x 1 t 1 tg cos2 2 2 b) Đặc biệt i) Nếu R lẻ đối với sin thì đặt cosx = t ii) Nếu R lẻ đối với cos thì đặt sinx = t iii) Nếu R là chẵn đối với sin, cos thì đặt tgx = t c) sin m xcosn xdx i) Nếu m, n cĩ ít nhất một số lẻ, hoặc m, n đều chẵn và cĩ một số âm thì đặt như trường hợp b dx d sin x Ví dụ: = = ln 1 sin2 x + C cos x 1 sin2 x dx , đặt tgx = t => dt = (t2 + 1)dx cos6 x dx t5 2t3 tg5 x 2tg3 x => = (t2 1) 2 dt = + + t + C = + + tgx + C cos6 x 5 3 5 3 ii) Nếu m, n đều chẵn và dương thì hạ bậc sin2x = (1 - cos2x)/2 cos2x = (1 + cos2x)/2 sinxcosx = sin2x/2 1 1 1 Ví dụ: sin 4 xdx = (1 cos2x)2 dx = x - sin2x + cos2 2xdx 2 2 2 1 1 3 1 = x - sin2x + (1 cos4x)dx = x - sin2x + sin4x + C 2 4 4 16 d) Dạng tích cosax cosbxdx ; sin ax cosbxdx ; sin axsin bxdx Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 73
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định C. Bài tập 1. Tính các tích phân 1 (1 x 2 ) x 2 x 1 a) 1 x x dx b) dx c) dx x 2 x x x 2. Tính các tích phân dx x3dx xdx dx sin xdx (1 x)dx a) b) c) d) e) f) 8 4 3 2 1 sin x x 2 1 x x(1 x) cos x 1 x 1 dx xdx sin xdx 6 xdx g) cos h) i) tg5xdx j) k) l) sin 5 xdx 2 3 x x x 4 9 cos3 x 1 x dx sin xdx sin 2 x sin 4 x x 2dx dx m) n) o) dx p) dx q) r) 2x 4 6 6 2 1 e cos2x cos x cos x 1 x x x 1 dx dx sin 7 xdx cos3 xdx xdx s) cot g 2xdx t) u) v) x) y) 2 5 3 2 3 8 x x 1 sin x cos x sin x x 1 3. Tính các tích phân sau dx sin 2 xdx x 2dx x5 dx cos5 x dx a) b) c) d) e) dx f) x 6 2 2 1 e cos x 3 1 x3 1 x sin x 2 cos x 4 dx x 1 sin x sin 2xdx sin 3 xdx g) h) dx i) dx j) k) 2 5 2 3 x x 2 x 2 sin x 1 cos4 x cos x cos x xdx ln xdx arcsin x (1 x )dx l) m) n) x 2 9 x 6 dx o) dx p) (x 2 1)3/ 2 x 1 ln x 1 x 2 x 3 x dx dx x ln x cosxdx q) r) s) dx t) x3 1 x 2 dx u) 2 x 4 ln 2 x 3x 2x 1 x 2 cos2x xdx dx v) x) y) cos5 x sin xdx z) sin 5 x cos5 xdx (x 2)(x 5) 5 4x x 2 4. Tính các tích phân (sin x cosx)dx 3 arccotgx sin(a bln x) a) b) x3 4 x 2 dx c) dx d) dx 3 sin x cosx 1 x 2 x Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 74
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định sin x cos xdx 1 x dx dx 1 x x 2 e) f) ln g) h) dx 4 4 2 2 2 sin x cos x 1 x 1 x sin x 2cos x (1 x 2 )3 dx sin x cos xdx x 3 2x dx i) j) k) dx l) x ln x ln(ln x) sin 4 x cos4 x (x 2 1) 2 (x 2 1)(x 2 2) 2xdx xdx xdx arctg x dx m) n) o) p) x 4 3x 2 2 x 4 2x 2 1 (x 1)(x 1)2 x 1 x dx x 3dx tgx 1 ln tgx q) r) sin 4 x cos5 xdx s) t) dx 2 2 2 (x a) (x b) (a 2 x 2 ) a 2 x 2 cos x sin x cos xdx dx xdx u) v) x) 2 a 2 sin 2 x b2 cos2 x (x 1)(x 2)(x 3) x 2x cos 1 5. Tính các tích phân xdx dx ln 2xdx e2x dx dx x 2dx a) b) c) d) e) g) 12 3x 100 (1 x) 1 e x ln 4x 4 1 e x 1 ex (1 x) x5dx dx xdx x 2dx dx e2x dx h) i) j) k) m) n) 3 10 x 1 x 2 x(x 1) 1 3x (x 1) 1 a x 1 e x x 7dx x5dx x 4dx x 2dx o) dx p) q) r) s) 4 2 4 5 1 x (1 x ) 1 x 2 (x 1) (x 1) (1 x 7 )dx cos xdx (6 x 2 )dx e x 1 t) u) v) x) dx y) x(1 x)10 dx 7 x x(1 x ) esin x 1 4x x 2 e 1 6. Tính các tích phân dx dx (x 1)dx 1 x 6 xdx a) b) c) d) dx e) x x 2 3 x x 3 3 e e (1 x ) x(1 xe ) a x dx 2x 1 f) cos2 xdx g) x cos xdx h) x 2 5xdx i) j) dx x 2 2x 5 x dx dx (x 1)dx sin x cos3 x k) l) m) n) dx 2 2x x 2 x 3 x 2 1 2x 1 x 1 cos x Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 75
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định x 2x 3 e x dx o) dx p) x3 (1 5x 2 )10 dx q) e x 1 dx r) 3 x 1 x 1 x x 1 dx s) t) x5 (2 5x 2 )2/ 3 dx u) (x 1) 1 x 2 dx x 1 x 1 dx xdx v) x) 2x 3 2x 1 1 x 2 (1 x 2 )3 7. Tính các tích phân 2 2 2 xdx ln xdx x dx 2 x dx a) b) c) d) x sin 3 xdx e) x 7e x dx f) 2 2 2 3 cos x x x 1 x 2 (1 x ) x sin x g) sin(ln x)dx h) cos3 xdx i) arctg xdx j) dx k) x3arctgxdx cos2 x l) x cos xdx m) x sin xdx n) sin(ln x)dx o) (x 2 1)e2x dx p) 3 2x 1 dx xe arctgx dx arcsin xdx q) e x cos2xdx r) x arcsin xdx s) t) (x 1)2 ex dx u) 2 3/ 2 (1 x ) (1 x 2 )3 8. Tính các tích phân sau arccos x arcsin x ln(sin x) a) dx b) (arcsin x)2 dx c) dx d) arctg xdx e) dx 2 2 2 x x sin x dx f) x sin xdx g) eax sin bxdx h) xtg 2xdx i) j) e2x sin 2 xdx x 6 (1 x 2 ) 1 k) x arccos dx l) cos2 ln xdx m) x 2 arcsin xdx n) e x 1 sin xdx o) e5x cos3xdx x 2 x arcsin x x arccosxdx x arctgx arctgx arctgx p) dx q) r) dx s) e dx t) (2x 3)e3xdx 2 3/ 2 2 2 1 x 2 (1 x ) 1 x 1 x dx u) (x 2 1)ln xdx v) sin(1 ln x)dx x) y) x3 ln(x 2 3)dx (x 2 2x 2)2 9. Tính các tích phân x 1 a) arcsin dx b) x 2 a 2 x 2 dx c) x 2 arccosxdx d) x arccos dx x 1 x Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 76
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định 1 sin x e) (x x 2 )sin xdx f) (1 x 2 )cos2xdx g) ex dx h) (x 2 1)ln xdx 1 cos x x ln(x 1 x 2 ) i) x 1 x 2 arcsin xdx j) dx k) ln 2 (x 1 x 2 )dx 1 x 2 ln(x 1 x 2 ) x xdx l) xarctgx ln(1 x 2 )dx m) dx n) ln . 2 3/ 2 (1 x ) 1 x 1 x 2 10. Tính các tích phân x 2 x dx dx x 4 1 x 2n 1 x 2 1 a) dx b) c) d) dx e) dx f) dx x 6 1 x 4 8x (x 3 1)2 x 6 1 x n 1 x 4 1 dx x 4dx x 2dx x 5 x xdx dx g) h) i) j) dx k) l) x5 x 2 (x 1)4 (x 1)5 x8 1 x 3 1 x 4 1 dx dx dx x 8dx x8dx dx m) n) o) p) q) r) x 3 1 x 4 1 (x 4 1)2 (x 3 1)3 (x 4 1)3 x5 x 2 x 4dx x 2 x x 2dx (x 3 2x) dx s) t) dx u) v) dx x) (x10 10)2 x 6 1 (x 1)5 (x 2 1)2 x5 x 2 11. Tính các tích phân x 4dx (x 1)dx x 5dx xdx (3x 2)dx a) b) c) d) e) x 4 5x 2 4 x 2 x 1 x 6 x 3 2 x 3 3x 2 2x 2 x 3 (2x 3 3x)dx dx dx (x 1)dx (1 x 7 )dx f) g) h) i) j) 4 2 5 2 4 2 2 7 x x 1 x(x 2) x x 1 x x 1 x(1 x ) (2x 1) 4 dx (x 2) 2 dx dx (x 3 x 2 )dx k) l) m) n) (x 1)6 x(x 1)2 x(x10 1)2 x 2 x 1 x 2dx (3x 1)dx dx (2x 2 5)dx o) p) q) r) 2 2 2 4 2 x 6x 10 x 4x 8 x 6x 25 x 5x 6 dx dx x 2 5x 9 dx s) t) u) dx v) (x 2)2 (x 3)3 (x 2 2x 5)2 x 2 5x 6 x 4 13x 2 36 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 77
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định 12. Tính các tích phân (x 4 1)dx (x 2 1)dx (x 3 1)dx (x 2 1)dx a) b) c) d) (x 1)(x 4 1) (x 1)3 (x 3) x3 5x 2 6x x 4 x 2 1 x5 3x3 x dx x 2dx (3x 2 x 3)dx e) dx f) g) h) 2 2 2 3 2 2 3 2 (x 1) (x 2) (x 3) (x 6x 8) (x 1) (x 1) 2xdx dx (x 1)dx x 2dx i) j) k) l) x 4 3x 2 2 x 4 2x3 2x 1 5x 2 2x 1 x 2 4x 3 xdx (5x 3)dx (x 2 2x 1)dx (5x 1)dx m) n) o) p) 4 2 2 2 2 2 x 6x 5 x 10x 29 (x 1)(x 1) (x 2) (x 1) x5 3x3 x (x 4 3)dx 2x 2 4x 3 dx q) dx r) s) dx t) (x 2 1)2 x(x8 3x 4 2) x 4 x 2 (x 2 1)(x 2 4) dx dx dx u) v) x) (x 2)2 (x 3)2 (x 1)2 (x 2 1) (x 2 1)(x 2 2) 13. Tính các tích phân (x 2 2x 6)dx dx (2x 2 x 3)dx a) b) c) 4 3 2 3 2 (x 1)(x 2)(x 4) x 2x 2x x x 3x 3x 2 x 3 3x 2 5x 7 x 2dx dx d) dx e) f) 2 3 2 2 3 x 2 x 5x 8x 4 (x 1)(x 2) (x 3) dx dx dx g) h) i) 2 5 4 3 2 2 2 2 x(1 x)(1 x x ) x x x x x 1 x(4 x ) (1 x ) (x 2 1)dx (2x 2 x 3)dx (x5 x 2 1)dx j) k) l) 4 3 2 3 2 5 4 3 x x x x 1 x 3x 3x 2 x x x x 1 (x3 x)dx dx (x 2 1)dx m) n) o) 6 4 2 2 2 4 3 2 x 4x 4x 1 (x 1)(x 2) (x 3) x x x x 1 dx (x 4 1)dx p) q) x(x 1)(x 2 x 1) x(x 4 5)(x 5 5x 1) x3 3x2 5x 7 dx r) dx s) 2 2 2 x 2 (x 4x 4)(x 4x 5) Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 78
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định 14. Tính các tích phân x 4dx dx x 2dx dx x 1 x 2dx a) b) c) d) e) 3 dx f) 3 3 1 x 2 1 x x 2 2 3x 2 2 x 1 4 x 2 xdx dx a 2 x 2 dx 1 x dx g) h) i) j) dx k) 3 2 x 1 x 2 3 x (1 x) x 4 x (1 x ) dx xdx xdx dx l) 4x x 2 dx m) n) o) p) 3 2 4 2 3 2 (1 x ) 2 2 3 x 1 x 1 x (x a ) 1 x6 dx x 2dx q) dx r) 3 3x x 3 dx s) t) x3 x 4 dx u) 3 2 x x x x 2 2 15. Tính các tích phân x3 2 xdx xdx x 1 1 x 1 x 1 1 a) b) c) dx d) x dx e) dx 3 3 4 x 2 x 4 x (4 x) 1 x 1 x 1 x 1 1 x dx 1 x dx dx dx dx f) 5 g) h) i) j) 3 3 3 x 1 x 1 x x x 4 1 x 3 x(1 x ) x 3 3 2 x3 x 3dx 3 1 x 3 (x 2 4x)dx x 3dx k) l) 3 1 4 x dx m) dx n) o) 2 2 3 / 2 1 2x x 2 x x 2 2x 2 (a bx ) x3dx dx x 3dx dx xdx p) q) r) s) t) 3 2 11 4 3 4 3 2 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x4 (x 1)3 (1 x ) 1 x x3dx 3 x 2 3 1 x (x 2)dx u) v) dx x) 3 ax x3 dx y) dx z) 3 3 x 2 1 1 x x 2 x x 2 5x 6 16. Tính các tích phân x 2 1 x x x 1 x 2 xdx a) dx b) (x a)(b x)dx c) dx d) 3 3 1 x 1 x 2 x 1 x 1 dx dx ( x 1 2)dx e) f) g) x 2 a 2 x 2 dx h) 3 5 2 (x a)(b x) x x x (x 1) x 1 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 79
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định dx x x3 x x (x 2)dx i) j) dx (a > 0) k) dx l) 3 (x 1) 1 x 2 a x x(1 x ) x 2 4x 3 (x 1)dx x 2x 3 (1 x 2 )3 (x 2 1)dx m) n) dx o) dx p) 2 x 1 x 2 2 (x 1) 1 x x 2x 3 (x 4)dx dx x 2 1 x xdx q) r) s) dx t) 4 3 3 x 2 2x 3 x( x 1) 1 x 3 2x x 2 dx (5x 3)dx (3x 4)dx x 2 2x 2 u) v) x) y) dx 3x 2 4x 1 2x 2 8x 1 x 2 6x 8 x 17. Tính các tích phân dx dx dx a) 3 4x 4x2 dx b) c) d) 2 2 2 (x 1) x x 1 (x 2) x 2x x 5x 2x 1 dx xdx dx e) f) g) x x2 2x 2dx h) 3 (x 1)2 (x 1)4 4 x x 2 x 2 2x 2 xdx dx i) 5 4x x 2 dx j) x 2 x 1dx k) l) x 2 4x 5 x x 2 x 1 dx x5dx dx dx m) n) o) p) 2 2 2 2 x 1 2 x 3 x (a x ) a x 1 1 x x 1 1 2x x dx xdx xdx q) r) s) t) x x 2 3x 2dx 1 x 2 2x 2 5 x x 2 x 2 x 2 dx x 1 x 1 dx x 2 2 u) v) dx x) y) dx 7 5 2 6 (x 7) (x 5) x 1 x 1 3 (2x 1) 2 2x 1 x 1 18. Tính các tích phân (3x 2)dx dx dx a) b) c) 2 2 (x 1) x 3x 3 (1 x) 3 2x x 2 1 x 1 x x x 2 3x 2 dx dx d) dx e) f) 2 3 2 2 x x 3x 2 4x 4x 1 2x 1 (x 1) x 2x 3 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 80
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định xdx dx xdx g) h) i) (x 1) 2 1 2x x 2 x x 2 x 1 x 2 2 2 1 x 2 x 3dx dx j) k) x x 2 2x 2dx l) 4 (1 x) 1 2x x 2 1 2x 1 2x 19. Tính các tích phân dx dx cos4 x dx dx a) b) cos6 xdx c) d) dx e) f) 1 sin x sin 4 x sin 3 x sin 3 x 4 3tgx cos3 x dx dx dx g) cot g6 xdx h) dx i) j) k) 3 2 3 sin x sin x sin a 1 sin x sin x cos x dx sin 7 xdx dx dx dx l) m) n) o) p) 2 4 2 sin x cosx 3 cos2 x sin x cos 2x sin x cos x sin x cos x dx sin x cos x sin 2xdx sin xdx q) tgxdx r) s) dx t) u) 2 4 tg x 4tgx 1 sin x 1 cos4 x 2 sin 2x dx dx dx dx v) x) y) z) 3 5 4 3 3 cos3x3 sin 2 x sin x cos x (sin x cosx) sin x cos x 20. Tính các tích phân (sin x cos)dx cos3 xdx cosx sin x dx a) b) c) dx d) (sin x 2cos x)2 sin 2 x sin x sin 2x sin x 1 cosx dx dx dx e) cot g 2x cosxdx f) g) h) sin 3 x cos5 x 3sin x 4cos x sin x(1 cos x) cos2xdx sin 2xdx dx (1 sin x)dx i) j) k) l) 3 cosx sin x sin 4 x cos4 x sin 6 x cos6 x sin 2x 2sin x sin x cos xdx dx m) n) o) tgxtg(x a)dx p) sin x sin(x y)dx sin x cos x cos x3 sin x sin 2 x cos2 xdx (sin x cos x)dx sin 2 xdx sin xdx q) r) s) t) 8 8 2 sin x cos x sin x 2cos x cos x tgx cos x 1 sin 2 x sin xdx dx dx dx u) v) x) y) 2 sin 2x (sin x cosx)4 sin 3 x cos2 x cos5 x sin 5 x Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 81
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định 21. Tính các tích phân dx cosx sin x a) b) dx c) sin 3x sin xdx d) sin 2 x cos4 xdx sin 4 x cos x sin 2x cos3 xdx sin xdx dx dx e) f) g) h) 4sin 2 x 1 1 sin x cos x sin 2 x cos x sin 4 x cos x dx sin xdx sin x cos3 x (2 sin x)dx i) j) k) dx l) sinx(1 cosx) 2 sin 2x 1 cos2 x sin x(1 cos x) sin x sin 3 x dx sin 2 x cos2 x cos3 cos5 x m) dx n) o) dx p) dx 4 4 2 4 cos2x 3 2sin x cos x sin x cos x sin x sin x sin x 2cos x 3 (2sin x cos x)dx (sin x 2cos x)dx q) dx r) s) sin x 2cos x 3 3sin 2 x 4cos2 x 1 4sin x cos x x x sin xdx t) sin x sin sin dx u) sin 3 2x cos2 3xdx v) 2 3 (1 cos x sin x)2 (2sinx sin2x)dx dx dx x) y) z) sin3 x (1 cos x) 3 3sin x 4cos x 5 2sin x 3cos x 3 22. Tính các tích phân dx dx a) cosx cos2x cos3xdx b) b) sin 2 x sin 2x cos2 x 3 5sin x 3cos x sin 2xdx cos5 x cos3 x sin xdx c) d) dx e) 3 2 4 2 cos x sin x 1 sin x sin x cosx sin x 2 (2sin x 3cos x)dx sin xdx (2sin x sin 2x)dx f) g) h) sin 2 x cos x 9cos3 x (1 cosx sin x)2 sin 3 x (1 cosx)3 dx dx dx i) j) k) 4sin x 3cos x 5 sin x 2cos x 2 2sin x cos x 5 dx dx l) m) cosx cos3x cos5xdx n) 4sin x 3cos x 5 3 5sin x 3cos x cos2 xdx dx o) p) sin 2 x 4sin x cos x 3sin 2 x 8sin x cos x 5sin 2 x Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 82
Giải tích 1 Tuần VI. Nguyên hàm và tích phân bất định dx q) sin x cos x cos4 x sin 4 x 23. Tính các tích phân ln xdx arctgex arcsin e x x 4arctgx a) b) dx c) dx d) xtg 2xdx e) dx 2 3/ 2 x x 2 (1 x ) e e 1 x x 2ex dx xarctgxdx x cos x arctgex / 2dx f) g) h) dx i) 2 2 2 x / 2 x (x 2) (1 x ) 1 sin x e (1 e ) cos8x cos7x sin xdx cos xdx j) dx k) l) 1 2cos5x cos x 1 sin 2 x sin x 1 cos2 x x3 arccosx sin x cos x m) dx n) dx 1 x 2 x sin 2 x dx x ln(x 1 x 2 ) o) p) dx x x 2 2 1 e 1 e (1 x ) 24. Tính các tích phân dx a) x n ex dx b) sin n xdx c) d) ln n xdx cosn x e) tgn xdx f) x lnn xdx g) xn sin xdx xn dx dx h) i) j) sin n 1 x sin(n 1)xdx 2 n ax bx c (asinx bcosx) Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 83
Giải tích 1 Tuần VII. Tích phân xác định Tuần VII. Tích phân xác định A. Tổng quan 1. Nội dung vắn tắt: Tích phân xác định* 2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các kiến thức về tích phân xác định: định nghĩa, ý nghĩa hình học, cơ học, tiêu chuẩn khả tích; các tính chất của tích phân xác định; cơng thức đạo hàm theo cận; cơng thức Newton-Leibnitz; các phương pháp tính: tích phân từng phần, đổi biến số. 3. Các kiến thức cần cĩ trước: Các kiến thức đã học ở phổ thơng về tích phân, các kiến thức về hàm số, liên tục, đạo hàm, nguyên hàm, họ nguyên hàm, tích phân bất định. * Tích phân xác định đã được học ở chương trình phổ thơng. Phần này chỉ mang tính chất hệ thống lại, cung cấp thêm về tiêu chuẩn khả tích, cơng thức đạo hàm theo cận. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 84
Giải tích 1 Tuần VII. Tích phân xác định B. Lý thuyết I Định nghĩa tích phân xác định 1. Bài tốn diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) xác định, liên tục y trên khoảng đĩng [a,b], giả sử f(x) B khơng âm trên [a,b]. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị A Pi của hàm số f(x) (trên [a,b]), các Pi-1 đường thẳng x = a; x = b và Ox. Bài tốn đặt ra là tìm cách tính diện tích S O b a x1 x2 xi xi-1 xn-1 của hình thang cong AaaB. x Ta chia [a,b] thành n đoạn nhỏ Hình 7.1 nhỏ bởi các điểm chia: x0 = a < x1 < x2 < < xn-1 < xn = b. Ta gọi cách chia đĩ là một phân hoạch P. Từ các điểm chia xi (i = 0, n ), dựng các đường x = xi cắt đồ thị của f(x) tại các điểm Pi. Xét các hình thang cong nhỏ Pi-1xi-1xiPi, cĩ đáy: Δxi = xi - xi-1. Trong mỗi đoạn [xi-1,xi], chọn điểm ξi tuỳ ý. Ta cĩ f(ξi)Δxi là xấp xỉ với diện tích của hình thang cong n Pi-1xi-1xiPi (i = 0, n ). Như thế, diện tích S ≈  f (i ) x i . Tổng này được gọi là tổng tích i 1 phân của hàm f ứng với phân hoạch P. Dựa vào các giả thiết của hàm f, người ta đã chứng minh được rằng: n S = lim f (i ) x i n  i 1 max xi 0 1 i n nghĩa là diện tích của hình thang cong AabB bằng giới hạn của tổng tích phân khi số điểm chia ra vơ cùng sao cho độ dài các đoạn tiến tới 0. Người ta cũng chứng minh được, giới hạn này khơng phụ thuộc cách chia đoạn [a,b] cũng như cách chọn các điểm trong ξi. Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 85