Giáo trình Giải tích hàm

212 trang ngocly 2490

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích hàm", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_giai_tich_ham.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm

Mở đầu Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô - Độ đo - Tích phân, giáo trình Giải tích Hàm đ−ợc tác giả biên soạn trong ch−ơng trình xây dựng bộ giáo trình hoàn chỉnh cho sinh viên hệ Đại học s− phạm ngành Toán Tr−ờng Đại học Tây Bắc. Học phần Giải tích Hàm hiện nay đang đ−ợc giảng dạy tại Tr−ờng Đại học Tây Bắc trong năm đơn vị học trình. Điều kiện tiên quyết là sinh viên đã học xong các học phần Lý thuyết tập hợp và Lôgic Toán, Đại số tuyến tính, Phép tính vi phân - tích phân hàm một biến, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến, Hàm biến phức, Không gian tôpô - Độ đo - Tích phân. Khi biên soạn giáo trình này, chúng tôi đã chú ý nhiều đến yếu tố s− phạm để đảm bảo cho việc trình bày các vấn cơ bản vừa tinh giản, logic mạch lạc vừa đảm bảo đ−ợc hàm l−ợng kiến thức cần thiết nhất, đồng thời chúng tôi chú ý nhiều đến việc hình thành cho sinh viên những ph−ơng pháp và kĩ năng cần thiết của môn học thông qua kĩ thuật chứng minh các định lý, mệnh đề quan trọng và qua việc s−u tầm, phân loại một hệ thống bài tập phong phú kèm theo h−ớng dẫn giải và lời giải chi tiết. Ngoài ra, nội dung của giáo trình là một đơn vị kiến thức trọn vẹn, có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều kiến thức toán học quen thuộc nên chúng tôi có thể tin t−ởng giáo trình sẽ trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu đối với sinh viên trong quá trình học tập. Nhân dịp giáo trình đ−ợc đ−a vào sử dụng, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn đối với những ng−ời thầy tôn kính đã dạy dỗ trực tiếp cũng nh− gián tiếp qua những tài liệu quý báu của họ mà tác giả đã sử dụng làm nguồn tài liệu tham khảo chính của giáo trình, qua đó tác giả đã đ−ợc trang bị những tri thức, ph−ơng pháp luận và sự tự tin sẵn sàng chia sẻ những kinh nghiệm và tri thức trong NCKH dẫn đến một trong các kết quả của sự dạy dỗ đó là chính là sự ra đời của giáo trình này. Tác giả xin cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ Giải tích khoa Toán - Lý - Tin, tr−ờng Đại học Tây Bắc đã dạy thực nghiệm và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích giúp 3
hoàn thiện giáo trình. Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Quản lý khoa học và Quan hệ quốc tế, các đồng nghiệp và sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin tr−ờng Đại học Tây Bắc về sự giúp đỡ quý báu cũng nh− sự tạo điều kiện thuận lợi để giáo trình này đ−ợc đ−a và sử dụng. Do kinh nghiệm khoa học của tác giả còn nhiều hạn chế, chắc chắn tài liệu không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong muốn tiếp tục nhận đ−ợc nhiều góp ý để tác giả hoàn thiện giáo trình, góp phần tốt hơn trong việc nâng cao chất l−ợng giảng dạy và học tập của sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Tr−ờng Đại học Tây Bắc. Sơn La, tháng 12 năm 2007 Tác giả Phạm Minh Thông 4
Mục lục 1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 9 1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Chuẩn trên không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . . 11 1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . 13 1.4 Một số ví dụ về không gian Banach . . . . . . . . . . . . . 14 2 Không gian các hàm khả tích bậc p 1 22 2.1 BấtđẳngthứcHolder 22 2.2 BấtđẳngthứcMinkowski 23 3 Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1 Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 ánhxạtuyếntínhliêntục 31 4.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Không gian L(E; F ) 34 4.3 Một số ví dụ về ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . 39 5
5 Không gian con và không gian th−ơng 45 5.1 Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Tổngtrựctiếptôpô 46 5.3 Siêuphẳng 48 5.4 Không gian th−ơng 50 6 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . 52 6.2 Không gian khả li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7Bàitậpch−ơng1 59 2 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm 64 1 Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.1 Nửachuẩnliêntục 64 2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1 Địnhlýánhxạmở 69 2.2 Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3 ĐịnhlýHahn-Banach 73 3.1 Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector thực . . . 73 3.2 Định lý Hahn- Banach đối với không gian vector phức . . 76 3.3 Một số hệ quả quan trọng của định lý Hahn-Banach . . . . 79 4Bàitậpch−ơng2 81 3 Toán tử trong không gian Banach 84 6
1 Toántửliênhợp 84 2 Toántửcompact 88 3 Toántửhữuhạnchiều 92 4 Phổcủatoántử 94 4.1 Mộtsốkháiniệmcầnthiết 94 4.2 Phổ của toán tử trong không gian Banach . . . . . . . . . . 96 4.3 Phổcủatoántửcompact 103 5Bàitậpch−ơng3 112 4 Không gian Hilbert và toán tử trong không gian Hilbert 116 1 Dạnghermite 116 1.1 Định nghĩa và các tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . 116 1.2 Hai bất đẳng thức quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2 Tíchvôh−ớng và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3 Hệ trực giao, trực chuẩn và phép chiếu trực giao . . . . . . . . . . 124 3.1 Hệtrựcgiaovàtrựcchuẩn 124 3.2 Phépchiếutrựcgiao 127 4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert . . . . . . . 131 5 Cơsởtrựcchuẩn 133 6 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 138 7 Toán tử tự liên hợp và toán tử compact trong không gian Hilbert . 143 7.1 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . 143 7
7.2 Toán tử tự liên hợp compact- Định lý Hilbert-Schmidt . . . 148 8Bàitậpch−ơng4 151 5H−ớng dẫn giải bài tập 157 1Ch−ơng1 157 2Ch−ơng2 172 3Ch−ơng3 182 4Ch−ơng4 197 8
Ch−ơng 1 Không gian định chuẩn và không gian Banach Trong suốt tài liệu này chúng ta kí hiệu K là tr−ờng số thực R hoặc tr−ờng số phức C và các không gian vector đ−ợc nói đến đều là không gian vector trên tr−ờng K. 1 Định nghĩa và ví dụ 1.1 Chuẩn trên không gian vector Định nghĩa 1.1. Hàm ρ xác định trên không gian vector E đ−ợc gọi là một chuẩn trên E nếu ρ thoả mãn các điều kiện sau: 1) ρ(x) 0 với mọi x ∈ E và ρ(x)=0⇒ x =0, 2) ρ(λx)=|λ|ρ(x) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E, 3) ρ(x + y) ρ(x)+ρ(y) với mọi x, y ∈ E. Khi ρ thoả mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện: 1’) ρ(x) 0 với mọi x ∈ E,thìρ đ−ợc gọi là một nửa chuẩn trên E. 9
Mệnh đề 1.2. Giả sử ρ là một nửa chuẩn trên E. Khi đó, với mọi x, y ∈ E ta có: |ρ(x) − ρ(y)| ρ(x − y) (3’) Chứng minh. Cho x, y ∈ E, từ điều kiện 3) ta có: ρ(x)=ρ(x − y + y) ρ(x − y)+ρ(y) suy ra ρ(x) − ρ(y) ρ(x − y)(∗) Thay đổi vai trò của x và y và kết hợp với điều kiện 2) ta nhận đ−ợc ρ(y) − ρ(x) ρ(y − x)=ρ(x − y)(∗∗) Cuối cùng, từ (∗) và (∗∗) ta có |ρ(x) − ρ(y)| ρ(x − y). Từ các tính chất của chuẩn và định nghĩa khoảng cách chúng ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3. Nếu ρ là một chuẩn trên E thì công thức: d(x, y):=ρ(x − y), (x, y ∈ E) (1.1) xác định một khoảng cách trên E thoả mãn: d(x + z,y + z)=d(x, y), ∀x, y, z ∈ E,∀λ ∈ K, (1.2) d(λx, λy)=|λ|d(x, y) Khoảng cách d xác định bởi công thức (1.1) đ−ợc gọi là khoảng cách sinh bởi chuẩn ρ. Cho E là không gian véc tơ và a, b ∈ K. Ta gọi tập hợp sau đây là đoạn với các mút a, b: [a, b]:={x = ta +(1− t)b ∈ E : t ∈ R, 0 t 1} 10
Định nghĩa 1.4. Tập con X trong không gian vector E đ−ợc gọi là: a) Tập lồi nếu [a, b] ⊂ X với mọi a, b ∈ X. b) Tập cân nếu λx ∈ X với mọi x ∈ X và với mọi λ ∈ K mà |λ| 1. c) Tập hút nếu với mỗi x ∈ E đều tồn tại số ε>0 sao cho λx ∈ X với mọi λ ∈ K mà |λ| ε. Mệnh đề 1.5. Giả sử ρ là một nửa chuẩn trên E. Khi đó các tập hợp: B = {x ∈ E : ρ(x) < 1}, B = {x ∈ E : ρ(x) 1} là lồi, cân, hút. Chứng minh. Tr−ớc tiên ta chứng minh B là tập lồi, cân và hút: Cho a, b ∈ B và 0 t 1.Tacó: ρ(ta +(1− t)b) ρ(ta)+ρ((1 − t)b)=tρ(a)+(1− t)ρ(b) <t+1− t =1 Mặt khác, ρ(λx)=|λ|ρ(x) ρ(x) < 1.SuyraB là lồi và cân. 1 Cuối cùng, nếu x ∈ E thì do λx ∈ B, ∀λ : |λ| < nên B là tập hút. ρ(x)+1 Việc chứng minh B là lồi, cân và hút hoàn toàn t−ơng tự. 1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach Định nghĩa 1.6. Không gian vector E cùng với một chuẩn ρ xác định trên E đ−ợc gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn. Một không gian tuyến tính định chuẩn th−ờng gọi ngắn gọn là không gian định chuẩn. Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn ρ thì với mỗi x ∈ E ta viết ρ(x)=x và gọi số x là chuẩn của vector x. 11
Theo mệnh đề 1.3, không gian định chuẩn E là một không gian metric với khoảng cách d sinh bởi chuẩn xác định bởi công thức: d(x, y):=x − y,x,y∈ E. Nh− vậy, trong không gian định chuẩn, khi nói tới các khái niệm về giới hạn của dãy điểm, dãy Cauchy, về tập mở, tập đóng, về giới hạn của ánh xạ giữa các không gian định chuẩn và các khái niệm liên quan khác thì chúng ta hiểu đó chính là những khái niệm t−ơng ứng trong không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn của không gian. Định nghĩa 1.7. Không gian tuyến tính định chuẩn E đ−ợc gọi là không gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric đầy. Mệnh đề 1.8. Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x →x là liên tục đều trên E. Chứng minh. Tr−ớc hết ta chú ý rằng tính liên tục đều ở đây theo nghĩa của ánh xạ liên tục đều giữa các không gian metric. Cho ε>0 bất kì, chọn δ = ε.Khi đó, theo mệnh đề 1.3, với mọi x, y ∈ E,nếud(x, y)=x − y <δthì |x−y| x − y = d(x, y)=δ = ε. Chứng tỏ hàm . : E → R liên tục đều trên E. Mệnh đề 1.9. Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vec tơ trong E là liên tục: Chứng minh. Nhờ các đánh giá d−ới đây (x + y) − (x0 + y0) x − x0 + y − y0 λx − λ0x0 |λ|x − x0 + |λ − λ0|x0 12
với chú ý E ì E hay K ì E đ−ợc xét nh− không gian metric tích của các không gian metric với khoảng cách trên E là khoảng cách sinh bởi chuẩn và khoảng cách trên K là khoảng cách Euclide thông th−ờng. 1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.10. Tập con X trong không gian định chuẩn E đ−ợc gọi là: a) tập bị chặn nếu: sup{x : x ∈ X} 0 tồn tại tập hữu hạn A ⊂ E sao cho (∀x ∈ X)(∃y ∈ A) |x − y 0 đều có thể chọn cho X một ε -l−ới hữu hạn A gồm toàn các phần tử của X. Thật vậy, cho ε>0 có thể chọn cho X một ε/2 l−ới hữu hạn A ⊂ E. Khi đó = ( ε) ∩ = ( ε) ∩ X B y, 2 X B y, 2 X y∈A y∈A ởđây ε = { ∈ : − ε} = { ∈ : ( ε) ∩ = ∅} B y, 2 x E x y < 2 ,A y A B y, 2 X ∈ ∈ ( ε ) ∩ { : ∈ }⊂ Với mỗi y A , chọn zy B y, 2 X.Takiểmlại zy y A X là ε-l−ới ∈ ∈ − ε ( ε )∩ = ∅ hữu hạn của X.Chox X, chọn y A để x y < 2 .SuyraB y, 2 X nên y ∈ A và − − + − ε + ε = x zy x y y zy < 2 2 ε 13
Nhận xét 2. Mọi tập hoàn toàn bị chặn đều là tập bị chặn. Thật vậy, nếu X là tậphoàntoànbịchặnthìvớiε =1tồn tại x1,x2, ,xn là ε -l−ới hữu hạn của X.Giảsửx ∈ X tuỳ ý, chọn 1 k n để x − xk < 1.Suyra x xk + x − xk xk +1 max xk| +1 1kn Do đó sup x max xk +1< +∞ 1 n∈X k n Vậy X là tập bị chặn. Đối với không gian định chuẩn, đặc tr−ng Hausdorff của tập compact đ−ợc phát biểu bởi định lý sau đây: Định lý 1.11 (Hausdorff). Tập con X trong không gian Banach E là compact nếu và chỉ nếu X là đóng và hoàn toàn bị chặn. 1.4 Một số ví dụ về không gian Banach Ví dụ 1. Không gian Euclide n- chiều Với mỗi số tự nhiên n,kýhiệuKn là tích Descartes của n lần tr−ờng vô h−ớng K: n K := {x =(x1,x2, ,xn):x1,x2, ,xn ∈ K} n Với mỗi x =(x1,x2, ,xn) ∈ K ,tađặt: n 1 2 2 x = |xi| . (1) i=1 Ta sẽ chứng tỏ công thức (1) xác định một chuẩn trên Kn, gọi là chuẩn Euclide. Thật vậy, hiển nhiên hàm x →x thoả mãn các tiên đề 1) và 2) trong định nghĩa chuẩn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski sau đây 1 1 n n 2 n 2 2 2 |aibi| |ai| . |bi| i=1 i=1 i=1 14
chúng ta có thể chứng minh tiên hàm . thoả mãn điều kiện 3) trong định nghĩa chuẩn: n Thật vậy, với mọi x =(x1,x2, ,xn),y=(y1,y2, ,yn) ∈ K ta có: n n n n n | + |2 (| | + | |)2 = | 2| +2 | | + | 2| xi yi xi yi xi xi yi yi i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 n n 1 n 1 n | 2| +2 | 2| 2 | 2| 2 + | 2| xi xi . xi yi =1 =1 =1 =1 ⎛i i ⎞i i 2 n n = ⎝ | 2| + | 2| ⎠ xi yi i=1 i=1 chứng tỏ x + y x + y với mọi x, y ∈ Kn Nh− vậy, hàm . thoả mãn cả ba điều kiện trong định nghĩa chuẩn nên nó là một chuẩn trên Kn - gọi là chuẩn Euclide, đồng thời Kn với chuẩn Euclide là một không gian định chuẩn - gọi là không gian Euclide n chiều. n n Cuối cùng, với x =(x1, ,xn) ∈ K ,y =(y1, ,yn) ∈ K ta có: max |xi − yi| x − y n. max |xi − yi|. 1in 1in n nên x − y→0 ⇔∀i = 1,n,|xi − yi|→0, suy ra, sự hội tụ trong K là sự hội tụ theo toạ độ và một dãy là dãy Cauchy trong Kn khi và chỉ khi tất cả các dãy toạ độ của nó đều là dãy Cauchy trong K.LạidoK là không gian metric đầy suy ra Kn là không gian đầy. Vậy Kn là không gian Banach. Ví dụ 2. Không gian các hàm liên tục Ký hiệu C[a; b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b].Đặt: f =sup{|f(x)| : x ∈ [a, b]},f∈ C[a; b] Dễ dàng thấy rằng hàm f →f xác định một chuẩn trên không gian C[a; b] và với chuẩn đó, C[a; b] trở thành một không gian định chuẩn. 15
Ta sẽ kiểm lại C[a; b] là một không gian Banach: Cho {fn} là một dãy Cauchy trong C[a; b], khi đó với mọi số ε>0 cho tr−ớc, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho ∗ với mọi m, n ∈ N ,m,n n0 ta đều có: fn − fm =supfn(x) − fm(x) sao cho với mọi x a b | − | ⇒| ( ) − ( )| x x0 <δ fn0 x fn0 x0 <ε (1.6) Từ các bất đẳng thức (1.4), (1.5) và (1.6) ta suy ra: Với mọi x ∈ [a; b] thoả mãn |x − x0| <δta đều có: | ( ) − ( )| | ( ) − ( )| + | ( ) − ( )| + | ( ) − ( )| 3 f x f x0 f x fn0 x fn0 x fn0 x0 fn0 x0 f x0 < ε Chứng tỏ f liên tục tại x0.Vìx0 ∈ [a; b] là điểm tuỳ ý ta suy ra f liên tục trên đoạn [a; b], nghĩa là f ∈ C[a; b]. 16
Cũng từ (1.4) suy ra fn − f =sup|fn(x) − f(x)| ε với mọi n n0. x∈[a,b] Chứng tỏ lim fn − f =0, nghĩa là dãy {fn} hội tụ đến f trong C[a; b]. n→∞ Ví dụ 3. Không gian các hàm bị chặn Giả sử S là tập tuỳ ý. Ký hiệu B(S) là không gian tất cả các hàm bị chặn trên S,tứclàsup{|f(s)| : s ∈ S} với p q thì với mọi α, β ta có: αp βq α.β + (1.9) p q 17
Chứng minh. Tr−ớc hết, nếu α =0hoặc β =0thì bổ đề hiển nhiên đúng. Giả sử α>0,β >0.Xéthàmsố tp t−q f(t)= + , (t>0) p q Do f (t)=t−q−1(tp+q −1) = 0 ⇔ t =1và f (t) 0 (1; +∞) (1) = 1 + 1 =1 trên khoảng nên f có giá trị cực tiểu là f p q .Nh− vậy tp tq + 1 với mọi t>0 p q 1 −1 Thay t = α q .β p vào bất đẳng thức trên ta đ−ợc p q q −1 p −1 α .β + β .α 1 p q p +1= q +1= Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với αβ và l−uýrằng q p, p q, ta đ−ợc αp βq + α.β p q ∈ R 1 1 + 1 =1 Bổ đề 1.13 (Bất đẳng thức Holder). Cho p, q ,p,q> , p q . Khi đó, nếu (xn) ∈ lp, (yn) ∈ lq thì: ∞ ∞ 1 ∞ 1 p p q q |xnyn| |xn| . |yn| (1.10) n=1 n=1 n=1 Gọn hơn, bằng cách sử dụng ký hiệu trong công thức (1.8) ta có: ∞ |xnyn| xp.yp. (1.11) n=1 Chứng minh. Hiển nhiên bổ đề đúng nếu xp =0hoặc yq =0. Vậy chỉ cần chứng minh tr−ờng hợp xp > 0, yq > 0. Với mỗi số tự nhiên n 1, áp dụng α = |xn| β = |yn| bổ đề 1.12 cho xp và yq ta đ−ợc | | 1 | |p 1 | |q xnyn xn + yn p q xpyq p xp q yq 18
Lấy tổng hai vế theo n ta đ−ợc ∞ | | xnyn ∞ ∞ =1 1 1 1 1 n . |x |p + . |y |q = + =1 x y px n qy n p q p q p n=1 q n=1 Suy ra ∞ ∞ 1 ∞ 1 p p q q |xnyn| |xn| . |yn| n=1 n=1 n=1 Bổ đề 1.14 (Bất đẳng thức Minkowski). Cho p ∈ R,p 1.Nếux, y ∈ lp thì x + y ∈ lp và x + yp xp + yp Chứng minh. Từ bất đẳng thức p p p p p |xn + yn| (|xn| + |yn|) 2 max{|xn| , |yn| } p p p 2 (|xn| + |yn| ), ∀n 1 ta có ∞ ∞ ∞ p p p p |xn + yn| 2 |xn| + |yn| , chọn q> để p q .Doq p p và do trên ta có ∞ ∞ (p−1)q p |xn + yn| = |xn + yn| < +∞ n=1 n=1 (| + |p−1)∞ ∈ ( ) ∈ Nghĩa là xn yn n=1 lq. áp dụng bất đẳng thức Holder tới xn lp và (| + |p−1) ∈ 1 = p−1 xn yn lq với l−uýthêmrằng q p ta đ−ợc ∞ ∞ 1 p−1 (p−1)q q |xn|.|xn + yn| xp |xn + yn| n=1 n=1 ∞ p−1 p p = xp |xn + yn| n=1 19
T−ơng tự ta có ∞ ∞ p−1 p−1 p p |yn|.|xn + yn| yq |xn + yn| n=1 n=1 Từ các bất đẳng thức trên ta nhận đ−ợc: ∞ ∞ ∞ p p−1 p−1 |xn + yn| |xn|.|xn + yn| + |yn|.|xn + yn| n=1 n=1 n=1 ∞ p−1 p p (xp + yp) |xn + yn| n=1 ∞ p−1 p p Chia hai vế bất đẳng thức trên cho |xn + yn| ta đ−ợc: n=1 x + yp = xp + yp. Mệnh đề 1.15. Nếu p 1 thì lp là một không gian Banach. Chứng minh. Tr−ớc hết, hiển nhiên .p thoả mãn điều kiện thứ nhất trong định nghĩa chuẩn. Cho x, y ∈ lp và λ ∈ K theo bổ đề 1.14 ta có x + y ∈ lp và hiển nhiên λx := (λxn) ∈ lp, đồng thời ta có ∞ 1 ∞ 1 p p p p p λxp = |λ| .|xn| = |λ|. |xn| = |λ|.xp n=1 n=1 Nh− vậy .p thoả mãn điều kiện thứ hai trong định nghĩa chuẩn. Sử dụng bất đẳng thức Minkowski ta có .p thoả mãn điều kiện còn lại. Vậy lp là một không gian định chuẩn với chuẩn .p. { (k)}∞ Bây giờ ta chứng minh lp là không gian Banach: Cho x k=1 là dãy Cauchy (k) =( (k))∞ 0 trong lp, x xn n=1, khi đó, với mọi số ε> cho tr−ớc, tồn tại số tự nhiên ∗ ∗ k0 sao cho với mọi k, l ∈ N : k, l k0 ta đều có: Suy ra, với mọi m ∈ N ta có: m 1 (k) − (l) = | (k) − (l)|p p x x xn xn <ε. n=1 20
Suy ra, với mọi m 1 và k, l k0 ta có: m 1 (k) − (l) = | (k) − (l)|p p x x xn xn <ε. (1.12) n=1 (k) Từ (1.12) suy ra với mọi n 1 dãy {xn }k1 là dãy Cauchy trong K.VìK là = lim (k) ∈ N∗ =( )∞ không gian Banach nên tồn tại xn xn ,n .Đặtx xn n=1,tasẽ k→∞ (k) chứng tỏ rằng x ∈ lp và x → x trong lp. Trong (1.12), cố định m 1 và k k0 cho l →∞ta đ−ợc m 1 | (k) − |p p 1 ∀ xn xn ε với mọi m , k k0 n=1 suy ra ∞ 1 | (k) − |p p (∀ ) xn xn ε, k k0 n=1 ( (k0) − )∞ ∈ Chứng tỏ xn xn n=1 lp. áp dụng bất đẳng thức Minkovski cho các dãy ( (k0))∞ ∈ ( (k0) − )∞ ∈ xn n=1 lp, xn xn n=1 lp ta đ−ợc: ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 p p p | |p | (k0)|p + | (k0) − |p +∞ xn xn xn xn < n=1 n=1 n=1 suy ra x ∈ lp. Cũng từ (1.12), cố định k k0 và cho l →∞ta đ−ợc (k) x − xp ε, ∀k k0 (k) (k) điều này chứng tỏ x − xp → 0 khi k →∞, nghĩa là x → x trong lp. Ví dụ 5. Không gian l∞ và không gian c0 Đặt N∗ l∞ = {(xn) ∈ K :sup|xn| < +∞} và c0 = {(xn) ∈ l∞ : lim xn =0}. n n→∞ ∗ ∗ Khi đó, l∞ = B(N ) không gian các hàm bị chặn trên N nên l∞ là không gian Banach với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên l∞. Có thể chứng minh rằng c0 là không gian con đóng của l∞ nên c0 cũng là không gian Banach. 21
2 Không gian các hàm khả tích bậc p 1 Cho X là tập đo đ−ợc Lebesgue trong Rk và μ là độ đo Lebesgue trên σ -đại k số L các tập đo đ−ợc Lebesgue trên R .Vớimỗip 1,kýhiệuLp(X) là tập tất cả các hàm khả tích (Lebesgue) bậc p trên X (hai hàm t−ơng đ−ơng xem là một) p Lp(X)={f : x → R đo đ−ợc : |f| dμ sao cho p q . Khi đó với mọi f Lp X ,g Lq(X),tacó 1 1 p q |f.g|dμ |f|pdμ |g|qdμ (2.1) X X X Hay với những ký hiệu đã nêu thì fg1 fpgq Chứng minh. Nếu f =0hoặc g =0thì f =0h.k.n hoặc g =0h.k.n. Suy ra f.g =0h.k.n. và do đó fg1 =0. Vậy bất đẳng thức Holder là đúng trong 22
tr−ờng hợp này. Xét tr−ờng hợp fp > 0, gq > 0.Vớimỗix ∈ X áp dụng bổ đề 1.12 với |f(x)| |g(x)| α = và β = fp gq ta đ−ợc | ( ) ( )| 1 | ( )|p 1 | ( )|q f x g x f x + g x p q fpgq p fp q gq Lấy tích phân hai vế theo độ đo μ ta có 1 1 1 | ( ) ( )| | ( )|p + | ( )|q f x g x dμ p f x dμ q g x dμ fpgq pfp qgq X X X Hay 1 |fp 1 |gq 1 1 fg 1 p + q = + =1 p q fpgq p |fp q |gq p q Suy ra fg1 fpgq Bất đẳng thức đ−ợc chứng minh. 2.2 Bất đẳng thức Minkowski Bổ đề 2.2. Nếu f,g ∈ Lp(X),p 1 thì f + g ∈ Lp(X) và λf ∈ Lp(X) với mọi λ ∈ K. Ngoài ra f + gp fp + gp và λfp = |λ|fp (2.2) Chứng minh. Do |f(x)+g(x)|p (|f(x)| + |g(x)|)p 2p max(|f(x)|p, |g(x)|p) 2p(|f(x)|p + |g(x)|p), ∀x ∈ X nên |f + g|pdμ 2p |f|pdμ +2p |g|pdμ < +∞ X X X 23
Suy ra f + g ∈ Lp(X). Hiển nhiên λf ∈ Lp(X) và λfp = |λ|fp, ∀λ ∈ K Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức: f + gp fp + gp Tr−ớc hết do (p − 1)q = p nên (|f + g|p−1)qdμ = |f + g|pdμ < +∞ X X p−1 p−1 Suy ra |f + g| ∈ Lq(X). áp dụng bất đẳng thức Holder tới f và |f + g| với l−uýrằng(p − 1)q = p 1 p−1 p p |f|.|f + g|p−1dμ |f|pdμ |f + g|pdμ X X X Hay | ( ) + |p−1 + p−1 f x f g dμ f p f g p X T−ơng tự | ( ) + |p−1 + p−1 g x f g dμ g p f g p X Các bất đẳng thức trên cho ta + p = | ( )+ ( )|p f g p f x g x dμ X |f(x)f + g|p−1dμ + |g(x)f + g|p−1dμ X X + p−1 + + p−1 f p f g p g p f g p suy ra f + gp fp + gp. 24
Định lý 2.3. Lp(X) là không gian Banach với chuẩn 1 p p fp = |f(x)| dμ (2.3) X Chứng minh. Bổ đề 2.2 chứng tỏ Lp(X) là không gian vector và hàm f →fp là một chuẩn trên Lp(X), ở đây cần chú ý phần tử 0 ∈ Lp(X) chính là hàm bất kỳ bằng không h.k.n. trên X. Bây giờ ta chứng minh Lp(X) là đầy, muốn vậy chỉ cần chứng minh mọi chuỗi trong Lp(X) hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Thật vậy, ∞ ∞ cho chuỗi fn trong Lp(X) với fnp < +∞.Tacóthểxemfn nhận giá n=1 n=1 trị hữu hạn khắp nơi. Với mỗi n 1,đặt n gn(x)= |fk(x)|,x∈ X k=1 Khi đó gn ∈ Lp(X) và n ∞ gnp fkp C := fkp < +∞ k=1 n=1 Suy ra p( ) p 1 gn x dμ C với mọi n X Bởivìvớimọix ∈ X,dãysốgn(x) đơn điệu tăng nên tồn tại ∞ g(x) = lim gn(x)= |fk(x)| với mọi x ∈ X n→∞ k=1 Do đó g và gp là đo đ−ợc. Theo bổ đề Fatou ta có p( ) = lim p( ) lim p( ) p g x dμ gn x dμ gn x dμ C n→∞ n→∞ X X X Bất đẳng thức này suy ra gp và vị vậy g là hữu hạn h.k.n. Nh− vậy tồn tại tập N ⊂ X với μ(N)=0sao cho ∞ g(x)= |fk(x)| < +∞ với mọi x ∈ X \ N k=1 25
∞ Suy ra chuỗi fn hội tụ h.k.n. đến hàm đo đ−ợc f. Hơn nữa n=1 |f(x)|pdμ |g(x)|pdμ Cp X X ∞ Nói cách khác f ∈ Lp(X). Tiếp theo chúng ta chứng minh fn hội tụ tới f n=1 trong Lp(X).Cóthểxemf hữu hạn khắp nơi. Với mỗi n 1 đặt n p hn(x)= fk(x) − f(x) ,x∈ X k=1 Khi đó {hn} là dãy các hàm đo đ−ợc hội tụ h.k.n. đến 0 và ∞ p p p |hn(x)| |fk(x)| + f(x)| 2 g (x), h.k.n k=1 Do gp khả tích, theo định lý Lebesgue và qua giới hạn d−ới dấu tích phân ta đ−ợc lim |hn(x)|dμ =0 n→∞ X n n p Do đó limn→∞ fk − fp = limn→∞ | fk(x) − f(x)| dμ =0. k=1 X k=1 3 Chuỗi trong không gian định chuẩn 3.1 Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi Định nghĩa 3.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn và {xn}n∈N∗ là một dãy các phần tử của E. Ta gọi tổng hình thức sau: ∞ x1 + x2 + + xn + = xn (3.1) n=1 là một chuỗi trong không gian định chuẩn E. 26
Phần tử xn đ−ợc gọi là phần tử tổng quát của chuỗi (3.1). ∗ Với mỗi n ∈ N ,phầntửsn = x1 + x2 + + xn đ−ợc gọi là tổng riêng thứ n và dãy {sn}n∈N∗ đ−ợc gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (3.1). Định nghĩa 3.2. Nếu dãy các tổng riêng {sn} hội tụ tới phần tử s ∈ E thì chuỗi (3.1) đ−ợc gọi là hội tụ về s và s đ−ợc gọi là tổng của chuỗi. Kí hiệu là: ∞ xn = s. n=1 Tr−ờng hợp ng−ợc lại, ta nói chuỗi (3.1) là phân kỳ. Mệnh đề 3.3. Nếu chuỗi (3.1) hội tụ thì phần tử tổng quát dần đến 0,tứclà lim xn =0 n→∞ ∞ Chứng minh. Giả sử xn = s, khi đó, gọi {sn} là dãy tổng riêng của chuỗi n=1 thì theo định nghĩa ta có lim sn = s.Doxn = sn − sn−1 với mọi n>1 nên n→∞ lim xn = lim [sn − sn−1] = lim sn − lim sn−1 = s − s =0 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ ∞ Định lý 3.4 (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi xn trong không gian Banach E hội n=1 tụ khi và chỉ khi (∀ε>0)(∃n0) | (∀n n0), (∀p 1)xn+1 + + xn+p 0, ∃n0, ∀n>n0, ∀p 1:sn+p − sn = xn+1 + + xn+p <ε. 27
∞ ∞ Mệnh đề 3.5. Nếu xn và yn là hai chuỗi hội tụ trong không gian định n=1 n=1 ∞ chuẩn E thì chuỗi (αxn + βyn) hội tụ với mọi α, β ∈ K và n=1 ∞ ∞ ∞ (αxn + βyn)=α xn + β xn n=1 n=1 n=1 ∞ Chứng minh. Gọi an,bn,sn theo thứ tự là tổng riêng thứ n của chuỗi xn, n=1 ∞ ∞ yn và (αxn + βyn). Khi đó ta có: n=1 n=1 ∗ sn = αan + βbn với mọi n ∈ N . Theo giả thiết, tồn tại các giới hạn: lim an = a ∈ E, lim bn = b ∈ E n→∞ n→∞ nên tồn tại giới hạn lim sn và ta có: n→∞ lim sn = α lim an + β lim bn = αa + βb ∈ E. n→∞ n→∞ n→∞ ∞ Theo định nghĩa chuỗi (αxn + βyn) hội tụ và: n=1 ∞ ∞ ∞ (αxn + βyn)=αa + βb = α xn + β yn. n=1 n=1 n=1 ∞ Mệnh đề 3.6. Giả sử xn hội tụ trong không gian định chuẩn E, có tổng là s n=1 và 1 k1 <k2 < <kn < là một dãy tăng các số tự nhiên. Khi đó chuỗi ∞ yn với, với số hạng tổng quát: n=1 = + + = + + = + + ( ∈ N∗) y1 x1 xk1 ,y2 xk1+1 xk2 , ,yn xkn−1+1 xkn , n , cũng hội tụ và có tổng là s. 28
Với tính chất trên ta nói có thể nhóm một cách tuỳ ý các số hạng của chuỗi hội tụ. ∗ Chứng minh. Thật vậy, rõ ràng kn n với mọi n ∈ N nên kn →∞khi n →∞. ∞ ∞ Gọi sn,tn theo thứ tự là tổng riêng thứ n của chuỗi xn và chuỗi yn.Khi n=1 n=1 đó với mọi n 1 ta có: = + + =( + + )+ +( + + )= tn y1 yn x1 xk1 xkn−1+1 xkn skn Suy ra: ∞ ∞ yn = lim tn = lim skn = lim sn = xn n→∞ n→∞ n→∞ n=1 n=1 3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối ∞ Định nghĩa 3.7. Chuỗi xn trong không gian định chuẩn E gọi là hội tụ tuyệt n=1 ∞ đối nếu chuỗi số xn hội tụ. n=1 ∞ ∞ Bởi vì chuỗi xn là chuỗi số d−ơng nên chuỗi xn hội tụ tuyệt đối nếu n=1 n=1 ∞ và chỉ nếu dãy các tổng riêng của chuỗi số xn bị chặn, nghĩa là n=1 n sup xk < +∞ n1 k=1 ∞ Định lý 3.8. Trong không gian Banach mọi chuỗi xn hội tụ tuyệt đối đều hội n=1 tụ. Hơn nữa, tính chất hội tụ cũng nh− tổng của chuỗi không phụ thuộc vào thứ tự các phần tử. 29
∞ Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh rằng chuỗi xn hội tụ. Thật vậy, do E n=1 là không gian Banach nên chỉ cần chỉ ra rằng dãy các tổng riêng của chuỗi là dãy ∞ Cauchy. Cho ε>0,do xn hội tụ nên tồn tại n0 sao cho n=1 xn+1 + + xn+p n0, ∀p 1 Suy ra xn+1 + + xn+p 0 chọn n0 sao cho x n0 −1 Với mọi n>n0 sao cho A = σ ({1, ,n0}) ⊂{1, ,n} ta có n0 sn −tn = xk + xk − xσ(k) − xσ(k) 2 xk n0 ∞ ∞ Suy ra x = lim s = lim t = x ( ). k →∞ n →∞ n σ k k=1 n n k=1 Định lý sau đây có thể coi là định lý đảo của định lý 3.8. Định lý 3.9. Không gian định chuẩn E là đầy nếu mọi chuỗi trong nó hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Chứng minh. Cho {xn} là dãy Cauchy bất kỳ trong E.Nh− vậy với mỗi k 1 tồn tại nk k sao cho 1 x − x < với mọi p, q n p q 2k k 30
Bằng cách đặt = =max( )+1 =max( )+1 n1 n1,n2 n1,n2 , ,nk n1, ,nk , = − có thể xem n1 <n2 < <nk < Đặtyk xnk+1 xnk , khi đó ∞ ∞ ∞ 1 y = x − x < +∞ k nk+1 nk 2k k=1 k=1 n=1 ∞ nghĩa là chuỗi yk hội tụ tuyệt đối. Theo giả thiết chuỗi này hội tụ, vậy n=1 + + + =( − )+( − )+ +( − ) y1 y2 ym xn2 xn1 xn3 xn2 xnm+1 xn1 ∞ = − → = xnm+1 xn1 t yk. n=1 → + Suy ra xnm t xn1 và do đó − ( + ) − + − − →0 →∞ xm t xn1 xm xnm xnm t xn1 khi m . { }∞ + ∈ →∞ Vậy dãy xn n=1 hội tụ đến phần tử t xn1 E khi n , chứng tỏ mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ nên E là không gian Banach. 4 ánh xạ tuyến tính liên tục 4.1 Định nghĩa và các tính chất Cho E, F là các không gian định chuẩn trên tr−ờng K. Khi đó, E,F vừa là không gian vector vừa là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn trên E,F. Vì thế, trong bài này chúng ta sẽ khảo sát về các đặc tr−ng của một lớp các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian định chuẩn. ánh xạ f : E → F đ−ợc gọi là ánh xạ tuyến tính liên tục nếu: a) f là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vector, nghĩa là: f(αx + βy)=αf(x)+βf(y) với mọi x, y ∈ E và với mọi α, β ∈ K, 31
b) f là ánh xạ liên tục trên E theo nghĩa ánh xạ liên tục giữa các không gian metric, nghĩa là, với x0 ∈ E tuỳ ý và với bất kỳ ε>0 cho tr−ớc, tồn tại số δ = δ(x0,ε) > 0 sao cho: (∀x ∈ E)(x − x0 0 sao cho (∀x ∈ E)(x = x − 0 <δ⇒f(x) = f(x) − f(0) 1) ∈ 1 δ δ Suy ra, với mọi x E mà x thì 2 x 2 <δnên 2 δ 2 f(x) = f x δ 2 δ sup{ ( ) : 1} 2 +∞ suy ra: f x x δ < , nghĩa là f bị chặn trên hình cầu đóng đơn vị. d) ⇒ e) Theo giả thiết ta có 0 C =sup{f(x) : x 1} < +∞.Cho x x ∈ E,x =0, khi đó, do =1nên x f(x) x = f C. x x 32
Suy ra f(x) Cx. Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng trong tr−ờng hợp x =0.Nh− vậy ta có e) ⇒ a). Do f là ánh xạ tuyến tính nên với mọi cặp điểm x1,x2 ∈ E tuỳ ý cho tr−ớc ta có f(x1) − f(x2) = f x1 − x2 Cx1 − x2 Từ bất đẳng thức trên suy ra tính liên tục đều của f trên E. Sau này chúng ta sẽ gọi số f =inf{C 0:f(x) Cx với mọi x ∈ E} là chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục f : E → F . Nhận xét. Từ định lý 4.1 ta thấy: Nếu f : E → F là ánh xạ tuyến tính bị chặn thì ảnh qua f của mọi tập bị chặn trong E đều là tập bị chặn trong F .Vìlýdo đó, một ánh xạ tuyến tính liên tục còn đ−ợc gọi là ánh xạ tuyến tính bị chặn. Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa chuẩn của một ánh xạ tuyến tính trong không gian tất cả các ánh xạ tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn E đến không gian định chuẩn F . Bổ đề sau đây giúp cho việc tính toán đ−ợc linh hoạt hơn. Bổ đề 4.2. Giả sử f : E → F là ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó ta có các đẳng thức sau ( ) sup ( ) =sup ( ) =sup f x f x f x x1 x=1 x=0 x (4.1) =inf{C>0:f(x) C.x với mọi x ∈ E} 33
Chứng minh. Ký hiệu các số trong đẳng thức (4.1) lần l−ợt là α, β, δ, η: α =supf(x), x1 β =supf(x), x=1 f(x) x δ =sup =supf , x=0 x x=0 x η =inf{C>0:f(x) C.x với mọi x ∈ E}. Do x x ∈ E,x =0: ⊂{x ∈ E : x =1}⊂{x ∈ E : x 1} x nên ta có α β δ.Lạido η =inf{C>0:f(x) C.x với mọi x ∈ E} f(x) =inf{C>0: C, 0 = x ∈ E} x nên f(x) x η =inf{C>0: C, 0 = x ∈ E} sup f = δ x x=0 x Vậy α β δ η. f(x) Mặt khác, do f(x) η.x với mọi x ∈ E nên η với mọi x x ∈ E,x =0, do đó: f(x) f(x) α =supf(x) sup sup = δ η x1 0=x1 x x=0 x Từ các lập luận trên ta suy ra α = β = δ = η. 4.2 Không gian L(E; F ) Ký hiệu L(E; F ) tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E đến không gian định chuẩn F .Dễdàngkiểmtrađ−ợc rằng L(E; F ) 34
là không gian vector với hai phép toán cộng và phép nhân với vô h−ớng xác định theo từng điểm sau đây: (f + g)(x):=f(x)+g(x) ,f,g∈L(E; F ),α∈ K,x∈ E. (αf)(x):=αf(x) Bây giờ, nhờ định lý 4.1, với mỗi f ∈L(E; F ) có thể đặt t−ơng ứng với số thực f xác định bởi: f := sup{f(x) : x ∈ E,x 1} (4.2) Định lý (4.3) d−ới đây chỉ ra rằng công thức (4.2) thực sự xác định một chuẩn trên L(E; F ) và do đó L(E; F ) cũng là không gian định chuẩn. Định lý 4.3. L(E; F ) là không gian định chuẩn với chuẩn f xác định bởi công thức (4.2). Ngoài ra, nếu F là không gian Banach thì L(E; F ) cũng là không gian Banach. Chứng minh. Đầu tiên ta kiểm lại hàm f →f từ L(E; F ) đến R thoả mãn các điều kiện trong định nghĩa của chuẩn: +) Hiển nhiên f 0 với mọi f ∈L(E; F ).Nếuf =0thì do với mọi x ∈ E ta có f(x) f.x =0suy ra f =0∈L(E; F ).Nh− vậyđiềukiện 1) trong định nghĩa chuẩn thoả mãn. +) Điều kiện 2) thoả mãn một cách hiển nhiên. λf =sup{λf(x) : x 1} = |λ| sup{f(x) : x 1} = |λ|.f với mọi λ ∈ K, ∀f ∈L(E; F ) +) Cuối cùng ta kiểm tra điều kiện 3): ∀f,g ∈L(E; F ) ta có: f + g =sup{f(x)+g(x) : x 1} sup{f(x) + g(x) : x 1} sup{f(x) : x 1} +sup{g(x) : x 1} = f + g 35
Nh− vậy L(E; F ) là không gian định chuẩn với chuẩn f →f. Bây giờ giả sử F là không gian Banach và {fn} là dãy Cauhy trong L(E; F ), nghĩa là: ∗ (∀ε>0)(∃n0):(∀m, n ∈ N )(m, n n0) ⇒fn − fm ε) ∗ Suy ra: (∀ε>0)(∃n0):(∀m, n ∈ N ) m, n n0 ⇒fn(x) − fm(x) εx với mọi x ∈ E (1) Từ bất đẳng thức (1) ở trên ta suy ra với mỗi x ∈ E dãy {fn(x)} là Cauchy trong F .DoF là không gian Banach nên tồn tại giới hạn f(x) = lim fn(x),x∈ E n→∞ Vì fn là tuyến tính với mọi n 1 nên f : E → F là tuyến tính. Còn kiểm lại rằng f ∈L(E; F ) và fn → f trong L(E; F ). Bằngcáchcốđịnhx ∈ E và n n0 cho m →∞trong (1) ta nhận đ−ợc fn(x) − f(x) εx và với mọi x ∈ E (4.3) Nh− vậy ( ) ( ) − ( ) + ( ) ( + ) ∈ f x f x fn0 x fn0 x ε fn0 . x với mọi x E Suy ra f ∈L(E; F ). Lại theo (4.3) ta có fn − f ε, chứng tỏ fn → f trong L(E; F ).Địnhlýđ−ợc chứng minh. Không gian liên hợp tôpô: Cho E là không gian định chuẩn trên tr−ờng K. Chúng ta kí hiệu E = L(E,K) và gọi E là không gian liên hợp tôpô của E. Mỗi phần tử của E gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Chú ý. - Từ bổ đề 4.2, trong không gian L(E; F ) ta có: f(x) f =supf(x) =supf(x) =sup x1 x=1 x=0 x =inf{C>0:f(x) C.x với mọi x ∈ E} 36
- Đối với các ánh xạ tuyến tính liên tục f ∈L(E; F ) ta luôn có: f(x) f.x với mọi x ∈ E. -Nếuf : E → F là song ánh tuyến tính thì ánh xạ ng−ợc f −1 : F → E cũng là ánh xạ tuyến tính. Định nghĩa 4.4. Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính. Khi đó: a) f đ−ợc gọi là một đẳng cấu nếu f là song ánh tuyến tính liên tục hai chiều, nghĩa là f : E → F cùng với f −1 : F → E là liên tục. Kí hiệu f : E F . Hai không gian định chuẩn E và F đ−ợc gọi là đẳng cấu nếu tồn tại phép đẳng cấu giữa E và F .KíhiệuE F . b) f đ−ợc gọi là phép đẳng cự nếu f là đẳng cấu bảo toàn chuẩn, nghĩa là f là đẳng cấu thoả mãn: f(x) = x với mọi x ∈ E. ∼ Kí hiệu f : E = F . Hai không gian định chuẩn E và F đ−ợc gọi là đẳng cự nếu tồn tại phép đẳng ∼ cự giữa E và F .KíhiệuE = F . Nhận xét 1. Mọi ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn f : E → F đều liên tục và là đơn cấu. Từ đó suy ra, nếu f : E → F là toàn ánh tuyến tính bảo toàn chuẩn thì f là phép đẳng cự. Nhận xét 2. Nếu f : E → F là ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn thì f =1. Thật vậy, theo định nghĩa ta có: f =supf(x) =supx =1. x1 x1 Nhận xét 3. Nếu f : E → F là đẳng cấu thì ảnh qua f của mọi tập hoàn toàn bị chặn trong E là tập hoàn toàn bị chặn trong F ; nghịch ảnh qua f của mọi tập hoàn toàn bị chặn trong F là tập bị chặn trong E. 37
Mệnh đề 4.5. Giả sử f : E → F là song ánh tuyến tính. Khi đó f là đẳng cấu nếu và chỉ nếu tồn tại các số d−ơng C1,C2 sao cho C1x f(x) C2x với mọi x ∈ E Chứng minh. Giả sử f : E → F là đẳng cấu. Khi đó f(x) f.x với mọi x ∈ E và f −1(y) f −1.y với mọi y ∈ F. Thay y bởi f(x) vào bất đẳng thức thứ hai ở trên ta đ−ợc x f −1.f(x) với mọi x ∈ E. 1 1 = 2 = ∈ Do đó nếu C f −1 và C f thì với mọi x E ta có: C1x f(x) C2x Ng−ợc lại, nếu có C1,C2 > 0 để C1x f(x) C2x với mọi x ∈ E thì f : E → F là liên tục. Mặt khác nếu thay x bởi f −1(y),y∈ F , bất đẳng thức trên cho ta 1 f −1(y) y với mọi y ∈ F C1 suy ra f −1 : F → E liên tục. Vậy f là một đẳng cấu. Mệnh đề 4.6. Với mọi không gian định chuẩn F tồn tại một phép đẳng cự chính tắc ϕ : L(K,F) → F . Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh ánh xạ ϕ xác định nh− d−ới đây là phép đẳng cự: ϕ : L(K,F) → F f → f(1) 38
Dễ thấy ϕ là ánh xạ tuyến tính tuyến tính bảo toàn chuẩn vì với mọi f ∈L(K,F) ta có: ϕ(f) = f(1) =sup|λ|.f(1) =supf(λ) = f. |λ|1 |λ|1 Mặt khác với y ∈ F tuỳý,xétánhxạfy : K → F xác định bởi: fy(λ)=λy, λ ∈ K. Có thể kiểm tra trực tiếp thấy fy ∈L(K,F) và ϕ(fy)=fy(1) = 1.y = y, nghĩa là ϕ là toàn ánh. Nh− vậy ϕ : L(K,F) → F là toàn ánh tuyến tính bảo toàn chuẩn nên ϕ là phép đẳng cự. Định lý 4.7. Nếu f ∈L(E; F ),g ∈L(F, G) thì g ◦ f ∈L(E,G) và g ◦ f g.f Chứng minh. Hiển nhiên g ◦ f là tuyến tính. Mặt khác do (∀x ∈ E) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) g.f(x) g.fx. Suy ra g ◦ f liên tục và g ◦ f gf. 4.3 Một số ví dụ về ánh xạ tuyến tính liên tục Ví dụ 1. Giả sử Kn là không gian Euclide n chiều. Khi đó: n n a) Với mỗi a ∈ K cố định, ánh xạ fa : K → K xác định bởi: n n fa(x)= ai.xi,x=(x1, ,xn) ∈ K i=1 n là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên K thoả mãn fa = a. n n n n b) ánh xạ f : K → (K ) đặt t−ơng ứng mỗi a ∈ K với fa ∈ (K ) xác định nh− tronga)làphépđẳngcự. 39
Chúng ta lần l−ợt chứng minh các khẳng định trên: a) Dễ thấy fa là ánh xạ tuyến tính. Nhờ bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakowski, n với mọi x =(x1, ,xn) ∈ K ta có: n n n 2 1 2 1 2 2 |fa(x)| |ai|.|xi| ( |ai| ) .( |xi| ) = a.x i=1 i=1 i=1 n Suy ra fa ∈ (K ) và fa a. Ta thấy, nếu a =0thì fa =0và do đó fa = a =0.Giảsửa =0, chọn 1 x0 = (a1, a2, ,a ) a n khi đó ta có x0 =1nên a2 fa =supf(x) f(x0) = = a x1 a Suy ra fa = a. n n b) Dễ thấy ánh xạ f : K → (K ) xác định bởi f(a):=fa là ánh xạ tuyến tính. Theo chứng minh phần a) ở trên ta có n f(a) = fa = a với mọi a ∈ K . Nh− vậy, f là ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn nên f liên tục và là đơn cấu. Hơn nữa, chúng ta sẽ chỉ ra f là toàn cấu. Thật vậy, cho g ∈ (Kn),đặt n a =(g(e1), ,g(en)) ∈ K { }n Kn ( )= ởđây ei i=1 là cơ sở chính tắc trong , thì dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng f a g. Tóm lại, f : Kn → (Kn) là song ánh tuyến tính bảo toàn chuẩn nên f là phép đẳng cự. Ví dụ 2. Cho ξ =(ξn) ∈ l∞. Khi đó: 40
a) ánh xạ fξ : l1 → K xác định bởi công thức: ∞ ( )= =( )∞ ∈ fξ x ξnxn,x xn n=1 l1 n=1 xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l1 thoả mãn fξ = ξ∞. b) ánh xạ f : l∞ → (l1) đặt t−ơng ứng mỗi ξ =(ξn) ∈ l∞ với fξ xác định nh− trong a) là một phép đẳng cự. Chứng minh. a) Bằng định nghĩa, dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng fξ là ánh xạ tuyến tính. Với mọi x =(x1, ,xn, ) ∈ l1 ta có: ∞ ∞ |fξ(x)| |ξn||xn| |xn| sup |ξn| = ξ∞x1 n1 n=1 n=1 suy ra fξ liên tục và fξ ξ∞. { }∞ ⊂ =(0 0 ããã 1 0 ) =1 Chọn dãy en n=1 l1 với en , , , , , . Khi đó, en và thứ n fξ(en)=ξn với mọi n 1. Do đó: fξ =sup|fξ(x)| sup |fξ(en)| =sup|ξn| = ξ∞ x1 n1 n1 Vậy fξ = ξ∞ b) Dễ thấy ánh xạ f : l∞ → (l1) xác định bởi: f(ξ)=fξ là ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa, theo chứng minh trong phần a) ở trên ta có f(ξ) = fξ = ξ với mọi ξ ∈ l∞, chứng tỏ f bảo toàn chuẩn. Nh− vậy f là ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn nên f liên tục và là đơn cấu. Tiếp theo ta chứng minh f là toàn cấu: Cho g ∈ (l1) ,đặtξn = g(en),n 1 và chọn ξ =(ξn) thì do sup |ξn| =sup|g(en)| sup |g(x)| < +∞ n1 n1 x1 41
∗ nên ξ =(ξn) ∈ l∞.Tasẽchỉraf(ξ)=g. Thật vậy, với mọi m ∈ N ta có: m x − xnen1 = (x1, ,xm,xm+1, ) − (x1, ,xm, 0, )1 n=1 ∞ = (0, ,0,xm+1, )1 = |xn| n=m+1 ∞ ∞ Vì x =(xn) ∈ l1 nên chuỗi số |xn| hội tụ, do đó |xn|→0 khi m →∞. n=1 n=m+1 m ∞ Suy ra x − xnen1 → 0 khi m →∞, chứng tỏ chuỗi xnen hội tụ trong l1 n=1 n=1 ∞ tới x: xnen = x. n=1 Do g là ánh xạ tuyến tính và liên tục nên với mọi x =(xn) ∈ l1 ta có: ∞ m m g(x)=g xnen = g lim xnen = lim g xnen m→∞ m→∞ n=1 n=1 n=1 m ∞ ∞ = lim g(xnen)= xng(en)= ξnxn = fξ(x)=f(ξ)(x). m→∞ n=1 n=1 n=1 Suy ra f(ξ)=g, chứng tỏ f là toàn ánh. Nh− vậy f là song ánh tuyến tính bảo toàn chuẩn nên f là phép đẳng cự giữa l∞ và (l1) . Ví dụ 3. Nếu ξ =(ξn) ∈ l1 thì ánh xạ fξ : c0 → K xác định bởi công thức ∞ fξ(x)= ξnxn,x=(xn) ∈ c0, n=1 xác định một phiếm hàm tuyến tính trên c0 thoả mãn fξ = ξ1. Hơn nữa, ánh xạ f : l1 → (c0) đặt t−ơng ứng mỗi ξ ∈ l1 với fξ ∈ (c0) là đơn cấu tuyến tính bảo toàn chuẩn. Chứng minh. Bằng định nghĩa dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng fξ là ánh xạ tuyến tính. 42
Với mọi x =(xn) ∈ c0 ta có: ∞ ∞ |fξ(x)| |ξn||xn| (sup |xn|) |ξn| = ξ1x∞. n1 n=1 n=1 Suy ra fξ liên tục và fξ ξ1 (∗). Để chứng minh fξ = ξ1, nhờ bất đẳng thức (∗) ta chỉ cần chứng minh fξ ξ1. Thật vậy, với mỗi n 1 có thể chọn đ−ợc số εn ∈ K với |εn| =1 sao cho εnξn = |ξn|.Đặt k x0 =(ε1, ,εk, 0, 0, ),k=1, 2, k k ∗ ∗ Khi đó x0 ∈ c0 và x0 =1với mọi k ∈ N . Suy ra, với mọi k ∈ N ta có: k k k fξ |fξ(x0)| = εnξn = |ξn| n=1 n=1 Chuyển qua giới hạn khi k →∞ta đ−ợc: ∞ fξ |ξn| = ξ1 khi k →∞. n=1 Chứng tỏ fξ ξ1. Kết hợp với khẳng định fξ ξ1 ởtrêntacó fξ = ξ1. Có thể kiểm tra trực tiếp thấy ánh xạ f : l1 → (c0) đặt t−ơng ứng mỗi ξ ∈ l1 với fξ ∈ (c0) nh− trong a) là ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa, theo chứng minh trên ta có f(ξ) = fξ = ξ1 với mọi ξ ∈ l1 nên f bảo toàn chuẩn. Từ tính chất bảo toàn chuẩn suy ra f là đơn ánh tuyến tính liên tục. 1 1 + 1 =1 ∈ Ví dụ 4. Cho p, q > , p q . Khi đó với mọi ξ lq công thức ∞ fξ(x)= ξnxn,x=(xn) ∈ lp. n=1 là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên lp thoả mãn fξ = ξq. Hơn nữa, ánh xạ f : lq → (lp) đặt t−ơng ứng mỗi ξ =(ξn) ∈ lq với fξ ∈ (lp) là một phép đẳng cự. 43
Thật vậy, tr−ớc hết, dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng fξ là phiếm hàm tuyến tính trên lp. áp dụng bất đẳng thức Holder, với mọi x =(xn) ∈ lp ta có: 1 1 ∞ ∞ q ∞ p q p |fξ(x)| |ξn||xn| |ξn| . |xn| = ξqxp. n=1 n=1 n=1 Suy ra fξ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên lp và fξ ξq. Xét ánh xạ f : lq → (lp) đặt t−ơng ứng mỗi ξ ∈ lq với fξ ∈ (lp) .Dễthấyf là ánh xạ tuyến tính. Ta sẽ chỉ ra f làánhxạđẳngcự. ∈ ( ) { }∞ ⊂ Tr−ớc hết, f là toàn ánh: Cho g lp . Chọn dãy en n=1 lp với en =(0, 0, ããã , 1 , 0, ),n=1, 2, thứ n ∗ Đặt ξn = g(en),n 1,vàξ =(ξn)n1.Dovớimọim ∈ N ta có: m ∞ 1 p p x − xnenp = |xn| n=1 n=m+1 nên m ∞ 1 p p lim x − xnenp = lim |xn| =0 m→∞ m→∞ n=1 n=m+1 ∞ chứng tỏ chuỗi xnen hội tụ đến x trong lp.Lạidog là phiếm hàm tuyến tính n=1 liên tục nên với mọi x ∈ lp ta có: ⎫ ∞ ∞ ∞ ⎪ ( )= = ( )= ( )⎪ g x g xnen g xnen xng en ⎬⎪ n=1 n=1 n=1 ⇒ = ( ) ∞ ⎪ g f ξ . ⎪ = ξnxn = fξ(x)=f(ξ)(x) ⎭⎪ n=1 Nh− vậy, nếu ξ =(ξn)=(g(en))n1 ∈ lq thì ánh xạ f : lq → (lp) xác định bởi f(ξ)=fξ là toàn ánh. Ta sẽ đồng thời chứng minh ξ ∈ lq và fξ ξq. Thật vậy, với mỗi n 1 có thể chọn αn ∈ K với |αn| =1để αnξn = |ξn|.Đặt m q−1 q−1 q−1 q−1 xm = |ξn| αnen =(|ξ1| α1, |ξ2| α2, ,|ξm| αm, 0, 0, ) n=1 44
∗ Rõ ràng xm ∈ lp với mọi m 1.Do(q − 1)p = q nên Với mọi m ∈ N ta có: m 1 m 1 m 1 q−1 p p (q−1)p p q p xmp = |ξn| .|αn| = |ξn| = |ξn| . n=1 n=1 n=1 Mặt khác, với mọi m 1 ta có m m m 1 q q−1 q p |ξn| = |ξn| αnξn = |fξ(xm)| fξxm = fξ |ξn| n=1 n=1 n=1 Suy ra, với mọi m ∈ N∗ ta có m 1 m 1− 1 q q q p |ξn| = |ξn| fξ n=1 n=1 Cho m →∞ta đ−ợc ∞ 1 q q ξq = |ξn| fξ n=1 Nh− vậy ξ ∈ lq và fξ = ξq, đồng thời ánh xạ tuyến tính f : lq → (lp) đang xét là toàn ánh bảo toàn chuẩn nên là đẳng cấu. 5 Không gian con và không gian th−ơng 5.1 Không gian con Giả sử E là không gian định chuẩn và F là không gian vector con của E. Khi đó, F cũng là không gian định chuẩn với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên E. Không gian F nh− vậy gọi là không gian con của không gian định chuẩn E. Nhận xét 1. Chúng ta dễ dàng chứng minh đ−ợc các khẳng định sau: a) Nếu E là không gian Banach và F là không gian con đóng của E thì F cũng là không gian Banach. b) Nếu F là không gian con Banach của không gian định chuẩn E thì F là không gian con đóng của E. 45
Mệnh đề 5.1. Nếu F là không gian con của không gian định chuẩn E thì bao đóng F của F cũng là không gian con của E. Chứng minh. Thật vậy, rõ ràng F = ∅.Chox, y ∈ F , α, β ∈ K. Khi đó, tồn tại các dãy {xn}⊂F, {yn}⊂F để xn → x, yn → y. Suy ra dãy {αxn + βyn} là dãy phần tử của F hội tụ đến αx + βy nên αx + βy ∈ F . 5.2 Tổng trực tiếp tô pô Tr−ớc hết ta nhắc lại khái niệm tổng trực tiếp của các không gian vector con trong đại số tuyến tính: Ta nói không gian vector E là tổng trực tiếp của các không gian con M và N và đ−ợc kí hiệu là E = M ⊕ N, nếu mọi vector x ∈ E đều viết đ−ợc duy nhất d−ới dạng x = y + z, trong đó y ∈ M, z ∈ N. Nhận xét 2. a) E = M ⊕ N ⇔ E = M + N = {y + z : y ∈ M, z ∈ N} và M ∩ N = {0}.Thậtvậy,nếuE = M ⊕ N thì hiển nhiên E = M + N.Nếu x ∈ M ∩ N thì M + N x +0=0+x ∈ M + N. Do tính duy nhất của sự biểu diễn, suy ra x =0.Ng−ợc lại, giả sử E = M + N và M ∩ N = {0}. Khi đó với mọi x ∈ E tồn tại y ∈ M và z ∈ N để x = y + z.Nếuy ∈ M và z ∈ N dể x = y + z thì y − y = z − z ∈ M ∩ N = {0}.Suyray = y và z = z.Vậy E = M ⊕ N. b) Nếu E = M ⊕ N thì tồn tại hai ánh xạ p : E → M và q : E → N sao cho mọi x ∈ E đều viết đ−ợc dy nhất d−ới dạng x = p(x)+q(x).Hơn nữa, nhờ tính duy nhất của sự biểu diễn mỗi vector của E thành tổng của các vector của M và N, chúng ta suy ra p, q là các ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, nếu 46
x1,x2 ∈ E, α1,α2 ∈ K thì ∈M ∈N p(α1x1 + α2x2)+q(α1x1 + α2x2)=α1x1 + α2x2 = α1[p(x1)+q(x1)] + α2[p(x2)+q(x2)] =[ ( )+ ( )] +[ ( )+ ( )] ∈ ⊕ α1p x1 α2p x2 α1q x1 α2q x2 M N ∈M ∈N Do tính duy nhất của sự biểu diễn ta suy ra: p(α1x1 + α2x2)=α1p(x1)+α2p(x2) q(α1x1 + α2x2)=α1q(x1)+α2q(x2) Nh− vậy, p, q là các ánh xạ tuyến tính. c) p(x)=x với mọi x ∈ M, Im p = M, ker p = N. q(x)=x với mọi x ∈ N và Im q = N, ker q = M. Hai ánh xạ tuyến tính p : E → M và q : E → N gọi là các phép chiếu không gian E lên các không gian con M và N. Định nghĩa 5.2. Giả sử E là không gian định chuẩn còn M, N là các không gian con của E.NếuE = M ⊕ N và các phép chiếu p : E → M và q : E → N liên tục thì ta nói không gian định chuẩn E là tổng trực tiếp tôpô của các không gian con M và N của E.KíhiệulàE = M ⊕ N. Chú ý. Trong không gian định chuẩn chúng ta ký hiệu M ⊕ N để chỉ tổng trực tiếp tôpô, trong khi đó, đối với không gian vector, ký hiệu đó chỉ để chỉ tổng trực tiếp của của các không gian vector con nh− đã biết trong đại số tuyến tính. Mệnh đề 5.3. Nếu E là không gian định chuẩn và E = M ⊕ N thì M và N là các không gian con đóng của E. Chứng minh. Ta chứng minh M là không gian con đóng của E và đối với N chứng minh t−ơng tự: Cho {xn}⊂M và xn → x ∈ E.Dop là liên tục nên 47
p(x) = lim p(xn) = lim xn = x.Vìx = p(x) nên x ∈ Im p = M, chứng tỏ M n→∞ n→∞ là đóng trong E. 5.3 Siêu phẳng Định nghĩa 5.4. Không gian con H của không gian định chuẩn E đ−ợc gọi là siêu phẳng thuần nhất trong E nếu H là không gian con thực sự lớn nhất trong E, nghĩa là H là không gian con của E, H = E và nếu F là không gian con bất kỳ của E thoả mãn H ⊂ F ⊂ E thì hoặc H = F hoặc F = E. Nếu H là siêu phẳng thuần nhất của E và x ∈ E thì tập con M = x + H đ−ợc gọi là siêu phẳng trong E. Mệnh đề 5.5. Giả sử H là không gian con của không gian định chuẩn E.Khi đó các khẳng định sau là t−ơng đ−ơng a) H là siêu phẳng thuần nhất của E; b) E = Ka + H với mọi a ∈ E \ H; c) Tồn tại phiếm hàm tuyến tính f =0trên E sao cho H =kerf. Trong tr−ờng hợp này ta gọi ph−ơng trình f(x)=0hoặc gọi chính phiếm hàm tuyến tính f là ph−ơng trình của siêu phẳng thuần nhất H. Chứng minh. a)⇒ b) là hiển nhiên vì Ka + H = H với mọi a/∈ H. b)⇒ c). Cho a ∈ E \ H. theo giả thiết E = Ka + H.VìKa ∩ H = {0},nên E = Ka ⊕ H.Nh− vậy mọi x ∈ E viết duy nhất d−ới dạng x = f(x)a + y với y ∈ H và f ∈ E∗.Rõràngker f = H. c) ⇒ a) Do f =0nên H =kerf = E.GiảsửH ⊂ F ⊂ E với F là không gian con của E.NếuF = H thì tồn tại a ∈ F \ H.Dođóf(a) =0.Vìmọi 48
x ∈ E có thể viết nh− f(x)a f(x)a x = + x − ∈ Ka + H ⊂ F f(a) f(a) nên x ∈ F .VậyF = E. Hệ quả 5.6. Nếu f và g là hai ph−ơng trình của cùng một siêu phẳng thuần nhất H thì tồn tại α ∈ K \{0} để g = αf. Chứng minh. Lấy a ∈ E\H tuỳ ý. Do H là siêu phẳng thuần nhất nên theo mệnh ∈ = + ∈ K ∈ f(x) = = g(x) đề trên mọi x E viết nh− x λa y, λ ,y H.Suyraf(a) λ g(a) ∈ = g(a) ( )= ( ) ∈ với x E.Vậyvớiα f(a) ta có g x αf x với mọi x E, chứng tỏ g = αf. Định lý 5.7. Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính trên không gian định chuẩn E. Khi đó f liên tục khi và chỉ khi ker f là không gian con đóng của E. Chứng minh. Điều kiện cần là tầm th−ờng. Ng−ợc lại, giả sử ker f là đóng. Vì f =0nên tồn tại e ∈ E sao cho f(e)=1.Doker f là đóng và e/∈ ker f,tồn tại r>0 để B(e, r) ∩ ker f = ∅,ởđâyB(e, r)={x ∈ E : x − e <r} = e + B(0,r). Khi đó f(B(0,r)) ⊂{λ ∈ K : |λ| < 1}. x0 x0 ∈ B(0,r) |f(x0| 1 − ∈ B(0,r) Thật vậy, nếu trái lại, tồn tại để .Dođó f(x0) e − x0 ∈ B(e, r) ∩ ker f B(e, r) ∩ ker f = ∅ và vậy thì f(x0) . Trái giả thiết .Nh− vậy sup{|f(x)| : x r} 1. Điều này mâu thuẫn với |f(x0)| 1.Suyra 1 sup{|f(x)| : x 1} < +∞ r Chứng tỏ f liên tục trên E. 49
5.4 Không gian th−ơng Cho E là không gian định chuẩn và M là không gian con đóng của E.Ký hiệu E/M là tập th−ơng của E theo quan hệ t−ơng đ−ơng ∼ xác định bởi: x, y ∈ E : x ∼ y ⇔ x − y ∈ M. Khi đó E/M = {x + M : x ∈ E} và quan hệ bằng nhau trên E/M xác định bởi: x + M = y + M ⇔ x − y ∈ M. Dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng E/M là không gian vector với các phép toán vector xác định theo các phép toán giữa các phần tử đại diện của các phần tử của E/M. (x + M)+(y + M):=(x + y)+M, λ(x + M):=λx + M. Ta sẽ chứng tỏ công thức sau xác định một chuẩn trên E/M: x + M =dist(x, M)=inf{x − y : y ∈ M}. (5.1) Chú ý rằng do M là không gian con của E nên y ∈ M ⇔−y ∈ M, vì thế đẳng thức sau đúng: dist(x, M)=inf{x + y : y ∈ M}. Định lý 5.8. E/M là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức (5.1). Ngoài ra nếu E là Banach thì E/M cũng là Banach. Chứng minh. Tr−ớc tiên ta chứng minh hàm E/M x + M →x + M∈R là một chuẩn trên E/M bằng cách kiểm tra trực tiếp các điều kiện trong định nghĩa chuẩn: 1) Hiển nhiên x + M =dist(x, M) 0 với mọi x ∈ E và do M đóng nên nếu x + M =dist(x, M)=0suy ra x ∈ M và do đó x + M =0+M chính là vector không của E/M. 50
2) Cho λ ∈ K \{0} và x + M ∈ E/M.Tacó λ(x + M) = λx + M =inf{λx − y : y ∈ M} y = |λ| inf{x − : y ∈ M} λ = |λ| inf{x − z : z ∈ M} = |λ|.x + M Hiển nhiên đẳng thức này cũng đúng cả trong tr−ờng hợp λ =0. 3) Cho x1 + M, x2 + M ∈ E/M.Vớimọiε>0 cho tr−ớc, theo định nghĩa infimum, tồn tại y1,y2 ∈ M sao cho: x1 − y1 x1 + M + ε, x2 − y2 x2 + M + ε. Suy ra ∈M (x1 + x2)+M (x1 + x2) − (y1 + y2) x1 − y1 + x2 − y2 x1 + M + x2 + M +2ε. Cho ε → 0 ta đ−ợc: (x1 + M)+(x2 + M) = (x1 + x2)+M x1 + M + x2 + M. Từ các chứng minh trên suy ra E/M là không gian định chuẩn. Tiếp theo, giả sử E là không gian Banach, ta chứng minh E/M cũng là không gian Banach. Nhờ định lý 3.9 ch−ơng 1, chúng ta chỉ cần chứng minh mọi chuỗi ∞ ∞ trong E/M hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Cho (xn +M) với xn +M < +∞. n=1 n=1 Với mỗi số tự nhiên n 1, theo định nghĩa infimum có thể chọn yn ∈ M để 1 x − y x + M + n n n 2n ∞ ∞ ∞ 1 x − y x + M + < +∞ Suy ra n n n n . Điều này chứng tỏ chuỗi n=1 n=1 n=1 2 ∞ (xn − yn) trong E hội tụ tuyệt đối. Do E là không gian Banach nên chuỗi n=1 51
∞ ∗ đó hội tụ trong E.Đặtx = (xn − yn) ∈ E, khi đó với mọi m ∈ N ,do n=1 m yn ∈ M và theo định nghĩa chuẩn trên E/M ta có: n=1 m m m (x + M) − (xn + M) = x − xn + M =dist x − xn ,M n=1 n=1 n=1 m m m x − xn + yn = x − (xn − yn) n=1 n=1 n=1 m Cho m →∞ta đ−ợc lim (x + M) − (x + M) =0, chứng tỏ chuỗi →∞ n m n=1 ∞ (xn + M) hội tụ trong E/M đến x + M.Nh− vậy mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối n=1 trong E/M đều hội tụ nên E/M là không gian Banach. Định nghĩa 5.9. Không gian định chuẩn E/M đ−ợc gọi là không gian th−ơng của không gian định chuẩn E theo không gian con đóng M. Chú ý. Qua chứng minh định lý 5.8 chúng ta thấy điều kiện M là không gian con đóng là điều kiện đảm bảo cho công thức (5.1) xác định một chuẩn trên E/M. 6 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 6.1 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều Định lý 6.1. Mọi không gian định chuẩn n chiều trên K, (n 1), đều đẳng cấu với không gian Euclide n-chiềuKn. Chứng minh. Giả sử E là không gian định chuẩn n chiều trên K. Chúng ta sẽ chứng minh E Kn theo ph−ơng pháp quy nạp theo n: +) Giả sử E là không gian định chuẩn một chiều sinh bởi vector a ∈ E, a =0. Xét ánh xạ ϕ : K → E xác định bởi ϕ(λ)=λa, λ ∈ E.Dễthấyϕ là phép đẳng cấu nên E K.Nh− vậy định lý đúng trong tr−ờng hợp n =1. 52
+) Giả sử dim E = n>1 và định lý đúng với n − 1.Dodim E = n nên có thể chọn một cơ sở tuỳ ý e1,e2, ,en của E. Khi đó, mỗi x ∈ E đều biểu diễn đ−ợc một cách duy nhất d−ới dạng: n x = fi(x)ei i=1 trong đó fi : E → K,i= 1,n, là các phiếm hàm tuyến tính khác không. Do đó Hi =kerfi là siêu phẳng thuần nhất trong E nên Hi là không gian định chuẩn n−1 n − 1 chiều. Theo giả thiết qui nạp Hi K nên Hi là không gian Banach, và do đó là không gian con đóng của E. Từ đó, theo định lý 5.7, fi liên tục với mọi 1 i n. n Gọi {ei,i = 1,n} là cơ sở chính tắc của E và xét ánh xạ ϕ : K → E xác định bởi: n n ϕ(ξ)= ξiei,ξ=(ξ1, ,ξn) ∈ K . i=1 n Rõ ràng ϕ là ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa, với mọi ξ =(ξ1, ,ξn) ∈ K ta có: n n 1 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 ϕ(ξ) |ξi|ei ei . |ξi| = ei ξ i=1 i=1 i=1 i=1 chứng tỏ ϕ liên tục. Theo cách xác định ánh xạ ϕ,dễdàngkiểmtrađ−ợc rằng ϕ là song ánh và −1 n −1 ánh xạ ng−ợc ϕ : E → K xác định bởi ϕ (x)=(f1(x), ,fn(x)),x ∈ E. Do các ánh xạ fi liên tục nên với mọi x ∈ E ta có: n −1 2 ϕ (x) = (f1(x), ,fn(x)) = fj(x) j=1 n √ 2 2 fj .x n. max fj .x. j=1,n j=1 Chứng tỏ ánh xạ ϕ−1 liên tục. Vậy ánh xạ ϕ : Kn → E là đẳng cấu. 53
Hệ quả 6.2. Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là không gian Banach. Chứng minh. Cho E là không gian định chuẩn m chiều, m ∈ N. Khi đó, theo m định lý (6.1) tồn tại phép đẳng cấu ϕ : E → K .Giảsử{xn}n1 là dãy Cauchy bất kỳ trong E, khi đó với mọi số ε>0 cho tr−ớc, tồn tại số tự nhiên n sao cho: ∗ (∀k, l ∈ N )(k, l N ⇒xk − xl 0 để x2 Mx1 với mọi x ∈ E 54
Cũng vậy do id : (E,.2) → (E,.1) liên tục nên tồn tại m > 0 để x1 m x2 với mọi x ∈ E 1 1 2 ∈ = Suy ra m x x với mọi x E,ởđâym m . Thật vậy, giả sử e1, ,en là một cơ sở của E, khi đó mọi vector x ∈ E biểu n diễn đ−ợc duy nhất d−ới dạng x = fi(x)ei, trong đó các ánh xạ fi : E → i=1 K,i= 1,n, là các dạng tuyến tính trên E. Theo chứng minh định lý 6.1, hai ánh xạ n n (E,.1) −→ K và K → (E,.2) → ( ( ) ( )) =( ) → n x f1 x , ,fn x ξ ξ1, ,ξn i=1 ξiei là đẳng cấu. Mặt khác vì ánh xạ đồng nhất id : (E,.1) → (E,.2) có thể viết nh− n (E,.1) x → (f1(x), ,fn(x)) → fi(x)ei = x ∈ (E,.2) i=1 nênnólàđẳngcấu. Hệ quả 6.5. Mọi ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn hữu hạn chiều E vào không gian định chuẩn F là liên tục. Chứng minh. Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính. Khi đó công thức x1 = x + f(x),x∈ E xác định một chuẩn trên E.VìE hữu hạn chiều nên theo hệ quả 6.4 chuẩn này t−ơng đ−ơng với chuẩn đã cho trên E nên tồn tại số C>0 để x1 Cx với mọi x ∈ E Suy ra f(x) (C − 1).x với mọi x ∈ E, chứng tỏ f là liên tục. 55
Định lý 6.6 (Riesz). Cho E là không gian định chuẩn. Khi đó các khẳng định sau là t−ơng đ−ơng: a) E hữu hạn chiều. b) Mọi tập bị chặn trong E là hoàn toàn bị chặn. c) Hình cầu đơn vị B = {x ∈ E : x 1} của E là tập hoàn toàn bị chặn. Chứng minh. a)⇒ b). Giả sử dim E = n 0 inf − 3 Theo định nghĩa , có thể chọn y0 trong M sao cho d x y0 < 2 d.Đặt x − y0 !n = =1 ∈ ⊂ ( 1 ) z thì z nên z B B ai, 2 , do đó có thể chọn đ−ợc chỉ x − y0 i=1 1 :1 − số i i n, sao cho z ai < 2.Vì x − y0 y0 + x − y0ai ∈ M, khi đó z − ai = − ai x − y0 56
nên ta có x − y0.(z − ai)=x − (y0 + x − y0ai). Lấy chuẩn hai vế ta đ−ợc: x − y0.(z − ai) = x − (y0 + x − y0ai) 1 − + − ∈ Kết hợp với điều kiện z ai x y0 > x y z ai x y x y ai d Điều này không thể xảy ra với số d>0. Mâu thuẫn này do giả thiết phản chứng là sai, chứng tỏ M = E và do đó E là hữu hạn chiều. 6.2 Không gian khả li Định nghĩa 6.7. Không gian định chuẩn E gọi là khả li nếu E có một tập con đếm đ−ợc trù mật trong E Theo định nghĩa, không gian định chuẩn E là khả li nếu tồn tại một dãy {xn}n∈N∗ các phần tử của E sao cho với mỗi x ∈ E đều có ít nhất một dãy con ∗ {xkn }n∈N hội tụ đến x. Mệnh đề 6.8. Không gian c0 và không gian lp với p 1 là các không gian khả li. Chứng minh. Chúng ta có thể xem K = R. a) Đặt A = {x =(xn) ⊂ Q sao cho chỉ có một số hữu hạn xn =0}. Khi đó A là tập đếm đ−ợc chứa trong c0.Chox =(xn) ∈ c0 và ε>0 cho tr−ớc. Chọn n0 để |xn| n0.Vớimỗi1 n n0, chọn ξn ∈ Q để |xn − ξn| <ε. =( 0 ) ∈ Xét ξ ξ1, ,ξn0 , , A. Khi đó − = ( − − ) x ξ x1 ξ1, ,xn0 ξn0 ,xn0+1, <ε 57
b) Xét A nh− trong a). Rõ ràng A ⊂ l .Chox =(x ) ∈ l và ε>0. Chọn n0 p n p p p để |xn| n0 ε |xn − ξn| n0 Chứng tỏ A trù mật trong lp và do đó lp khả li. 58
7Bàitậpch−ơng 1 Bài 1. Cho E là không gian định chuẩn và X là một tập con đóng của E. Chứng minh rằng nếu x/∈ X thì tồn tại lân cận U của x và lân cận V của X sao cho U ∩ V = ∅. Bài 2. Cho E là không gian định chuẩn và A, B ⊂ E. Chứng minh rằng a) Nếu A là mở thì A + B là mở. b) Nếu A compact và B đóng thì A + B là đóng. c) Cho ví dụ A, B ⊂ R là các tập đóng mà A + B không đóng. d) Nếu A, B bị chặn, hoàn toàn bị chặn, compact thì A + B cũng vậy. Bài 3. Chứng minh rằng nếu M là không gian con đóng của không gian định 0 chuẩn E với M = ∅ thì M = E. Bài 4. Chứng minh rằng mọi không gian định chuẩn E đều không có không gian con thực sự nào là tập mở. Bài 5. Chứng minh rằng mọi không gian tuyến tính định chuẩn đều là không gian tôpô liên thông. Bài 6. Chứng minh rằng mọi dãy Cauchy trong không gian định chuẩn E nếu có một dãy con hội tụ thì dãy đó cũng hội tụ đến giới hạn đó. Bài 7. Cho A ⊂ E với E là không gian định chuẩn. Chứng minh rằng A là bị chặn khi và chỉ khi với mọi dãy số {λn} : λ → 0 và với mọi dãy {xn}⊂A,dãy {λnxn} đều hội tụ đến 0 trong E. Bài 8. Cho {Bn} là dãy các tập bị chặn trong không gian định chuẩn E. Chứng !∞ minh rằng tồn tại dãy số d−ơng εn → 0 sao cho εnBn là tập bị chặn. n=1 59
Bài 9. Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E đến không gian định chuẩn F . Chứng minh rằng f là liên tục khi và chỉ khi dãy {f(xn)} bị chặn với mọi dãy {xn} trong E hội tụ đến 0. Bài 10. Cho f : E → F là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F . Chứng minh rằng tính liên tục của f không thay đổi nếu thay các chuẩn trên E,F bởi các chuẩn t−ơng đ−ơng. Bài 11. Cho f : E → F là ánh xạ từ không gian định chuẩn thực E vào không gian định chuẩn thực F .Giảsửf thoả mãn a) f(x + y)=f(x)+f(y) với mọi x, y ∈ E. b) f bị chặn trên hình cầu đơn vị của E. Chứng minh rằng f là tuyến tính liên tục. ∞ Bài 12. Chuỗi xn gọi là hội tụ giao hoán trong không gian Banach E,nếu n=1 ∞ xσ(n) là hội tụ với mọi song ánh σ : N → N. Chứng minh rằng mọi chuỗi hội n=1 tụ tuyệt đối trong E là hội tụ giao hoán và tổng của nó không phụ thuộc vào song ánh σ. ∞ Bài 13. Trong không gian c0 tất cả các dãy số hội tụ về 0 cho dãy {en} =1 với ∞ n =( )∞ en en δkn k=1. Chứng minh rằng chuỗi n hội tụ giao hoán nh−ng không hội n=1 tụ tuyệt đối. Bài 14. Cho H là siêu phẳng thuần nhất đóng trong không gian định chuẩn E có ph−ơng trình f(x)=0, f ∈ E. Chứng minh rằng |f(a)| ρ(a, H):=inf{a − y : y ∈ H} = , ∀a ∈ E f Bài 15. Xác định ánh xạ ϕ : C0[0, 1] → c0 bởi 1 ϕ(f)={f( )} n 60
ởđâyC0[0, 1] = {f ∈ C[0, 1] : f(0) = 0}. Chứng minh rằng a) ϕ là tuyến tính liên tục từ C0[0, 1] lên c0. b) ϕ : C0[0, 1]/ ker ϕ → c0 là đẳng cấu bảo toàn chuẩn. Bài 16. Chứng minh rằng trong không gian định chuẩn E nếu mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ thì E là không gian Banach. Bài 17. Cho E là không gian véc tơ tất cả các hàm số thực khả tích Lebesgue trên đoạn [a; b] ⊂ R. Chứng minh rằng hàm ρ : E → R xác định bởi: ρ(f):= |f|dμ, f ∈ E [a;b] là một nửa chuẩn trên E nh−ng không là một chuẩn. Bài 18. Cho C[0; 1] là không gian tất cả các hàm số thực liên tục trên [0; 1] với chuẩn ∞. Chứng minh rằng công thức: 1 f1 := |f(x)|dx, f ∈ C[0; 1] 0 cũng là một chuẩn trên C[0; 1] nh−ng chuẩn này không t−ơng đ−ơng với chuẩn ∞. Bài 19. Cho f : E → F là toàn ánh tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E đến không gian định chuẩn F . Chứng minh rằng f là đẳng cấu khi và chỉ khi tồn tại số d−ơng m sao cho f(x) mx với mọi x ∈ E. Bài 20. Chứng minh rằng ánh xạ A :(C[a; b], ∞) → R xác định bởi: b A(f):= f(x)dx, f ∈ C[a; b] a là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C[a; b].TínhA. 61
Bài 21. Cho g ∈ C[a; b] cố định, g(x) 0 với mọi x ∈ [a; b]. Chứng minh rằng ánh xạ ϕg :(C[a; b], ∞) → R xác định bởi: b ϕg(f):= f(x)g(x)dx, f ∈ C[a; b] a là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C[a; b].Tínhϕg. Bài 22. Cho g ∈ C[a; b] cố định. Chứng minh rằng ánh xạ A :(C[a; b], ∞) → (C[a; b], ∞) xác định bởi: A(f)(x):=f(x)g(x),f∈ C[a; b],x∈ [a; b] là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên C[a; b].TínhA. Bài 23. Cho E,F là các không gian tuyến tính định chuẩn, y1, ,yn ∈ F , ϕ1, ,ϕn ∈ E cố định. Chứng minh rằng ánh xạ A : E → F xác định bởi: n A(x):= ϕk(x)yk,x∈ E k=1 là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Bài 24. Cho X = {x ∈ C[0; 1] | x(0) = x(1) = 0}. Chứng minh rằng: a) X là không gian con Banach của C[0; 1]. b) ánh xạ ϕ : X → X xác định bởi: ϕ(x)(t):=t2x(t),x∈ X, t ∈ [0; 1] là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính ϕ. c) ϕ là đơn ánh nh−ng không là toàn ánh. 62
Bài 25. Dạng tuyến tính F trên C[a; b] đ−ợc gọi là d−ơng nếu F (f) 0 với mọi f 0,f ∈ C[a; b]. Chứng minh rằng nếu F là dạng tuyến tính d−ơng trên C[a; b] thì F liên tục. Tính F . 63
Ch−ơng 2 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm Trong ch−ơng này chúng ta sẽ trình bày ba định lý quan trọng đ−ợc xem nh− những nguyên lý của Giải tích hàm. Đó là nguyên lý bị chặn đều, định lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng, và quan trọng nhất phải kể đến Định lý Haln- Banach và một số hệ quả quan trọng của nó. Các nguyên lý này có thể đ−ợc trình bày d−ới các dạng khác nhau trong các lớp không gian tổng quát hoặc trong lớp các không gian riêng biệt. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của giáo trình này chúng ta giới hạn việc trình bày các nguyên lý đó chỉ trong lớp các không gian định chuẩn hoặc không gian Banach. 1 Nguyên lý bị chặn đều 1.1 Nửa chuẩn liên tục Để phát biểu và chứng minh nguyên lý bị chặn đều, tr−ớc tiên chúng ta nêu khái niệm về nửa chuẩn liên tục trên một không gian định chuẩn E: Nửa chuẩn 64
ρ : E → R đ−ợc gọi là liên tục trên không gian định chuẩn E nếu và chỉ nếu (∀x0 ∈ E)(∀ε>0)(∃δ>0) : (∀x ∈ E), (x − x0 0 sao cho ρ(x) Cx với mọi x ∈ E. Kí hiệu: ρ =inf{C>0 | ρ(x) Cx với mọi x ∈ E} và gọi ρ là chuẩn của ρ. Hoàn toàn t−ơng tự nh− đối với các ánh xạ tuyến tính liên tục, ta có: ρ(x) ρ =sup =supρ(x)= sup ρ(x) E x=0 x x1 x=1 Bổ đề 1.2. Cho p, q là các nửa chuẩn liên tục trên không gian véc tơ E.Nếu p(x) 1 kéo theo q(x) 1 thì p(x) q(x) với mọi x ∈ E. Chứng minh. Giả sử trái lại, khi đó tồn tại x ∈ E và tồn tại số d−ơng c sao cho ( ) ( ) = x ( ) 1 ( ) 1 q x .Điềunàymâu thuẫn với giả thiết. Định nghĩa 1.3. Cho E là một không gian định chuẩn và {pα}α∈J là họ các nửa chuẩn liên tục trên E. Ta nói họ {pα}α∈J là a) bị chặn điểm nếu với mỗi x ∈ E cố định, tập {pα(x): α ∈ J} bị chặn trên R, nghĩa là: C(x)=sup{pα(x):α ∈ J} < +∞ với mọi x ∈ E. b) bị chặn đều nếu sup{pα : α ∈ J} < +∞. 65
Nhận xét 1. Nếu họ nửa chuẩn {pα}α∈J trên không gian định chuẩn E bị chặn đều thì bị chặn điểm vì pα(x) pαx với mọi x ∈ E. Các phản ví dụ trong các bài tập cuối ch−ơng đã chỉ ra rằng trong không gian định chuẩn khẳng định ng−ợc lại không đúng. Cụ thể hơn, một họ nửa chuẩn trên không gian định chuẩn E nếu bị chặn điểm thì nói chung không bị chặn đều. Tuy nhiên, khi E là không gian Banach, nguyên lý bị chặn đều d−ới đây chỉ ra rằng mọihọbịchặnđiểmtrênE đều bị chặn đều. Việc chứng minh nguyên lý này cần sử dụng đến Định lý Baire về phạm trù. Tr−ớc hết ta nhắc lại khái niệm về phạm trù: Tập con A của không gian metric ◦ X đ−ợc gọi là không đâu trù mật nếu A = ∅. Không gian metric X gọi là thuộc phạm trù một nếu nó có thể viết nh− hợp đếm đ−ợc các tập không đâu trù mật. Trái lại, X đ−ợc gọi là thuộc phạm trù hai. Định lý Baire về phạm trù: Mọi không gian metric đầy đều thuộc phạm trù thứ hai. Nh− vậy, nếu E là không gian Banach và {An}n1 là một dãy các tập con của !∞ = ∈ 0 E sao cho E An, thì tồn tại ít nhất một tập An0 và x0 E, r > sao cho n=1 ( ) ⊂ B x0,r An0 . Định lý 1.4 (Nguyên lý bị chặn đều). Mọi họ nửa chuẩn liên tục trên không gian Banach E nếu bị chặn điểm thì bị chặn đều. Chứng minh. Cho {pα}α∈J là họ nửa chuẩn liên tục, bị chặn điểm trên không gian Banach E: C(x)=sup{pα(x):α ∈ J} < +∞ với mọi x ∈ E 66
Với mỗi n 1 đặt " = { ∈ : ( ) ∈ } = −1((−∞; ]) An x E pα x n với mọi α J pα n α∈J Do p : E → R liên tục và mỗi khoảng (−∞; n] là tập đóng trong R nên α # −1((−∞; ]) = −1((−∞; ]) pα n đóng trong E,dođóAn pα n là tập đóng trong E. α∈J Mặt khác nếu x ∈ E thì theo giả thiết C(x) nào đó Suy ra, với mọi x ∈ E,x 1 va với mọi α ∈ J ta có: 1 1 n0 + C(x0) p (x)= p (rx) [p (x0 + rx)+p (x0)] α r α r α α r Vậy n0 + C(x0) sup pα < +∞ α∈J r Chứng tỏ họ {pα : α ∈ J} bị chặn đều. Định lý đ−ợc chứng minh. Định nghĩa 1.5. Cho E và F là các không gian định chuẩn. Khi đó a) Họ {fα}α∈J ⊂L(E,F) đ−ợc gọi là bị chặn điểm nếu với mỗi x ∈ E,tập {fα(x):α ∈ J} bị chặn trong F , nghĩa là C(x)=sup{fα(x) : α ∈ J} < +∞ với mọi x ∈ E, b) Họ {fα}α∈J ⊂L(E,F) đ−ợc gọi là bị chặn đều nếu sup{fα : α ∈ J} < +∞ Bởivì,vớimỗiα ∈ J, fα : E → F là tuyến tính liên tục nên hàm pα : E → R cho bởi công thức pα(x)=fα(x),x∈ E 67
là một nửa chuẩn liên tục trên E thoả mãn pα = fα với mọi α ∈ J.Rõràng họ {fα}α∈J ⊂L(E,F) bị chặn điểm nếu và chỉ nếu họ các nửa chuẩn {pα}α∈J bị chặn điểm và bị chặn đều nếu và chỉ nếu họ {pα}α∈J bị chặn đều. Từ nhận xét này chúng ta suy ra định lý quan trọng sau đây: Định lý 1.6 (Định lý Banach - Steinhaux). Giả sử E là không gian Banach và F là không gian định chuẩn tuỳ ý. Khi đó mọi họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E đến F nếu bị chặn điểm thì bị chặn đều. Hệ quả 1.7. Nếu {fn}n1 là dãy các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Banach E vào không gian định chuẩn F hội tụ điểm tới ánh xạ tuyến tính f : E → F : f(x) = lim fn(x),x∈ E n→∞ thì f ∈L(E; F ). Hơn nữa f lim fn. n→∞ Chứng minh. Vì với mọi x ∈ E,dãy{fn(x)}n∈N∗ hội tụ nên dãy {fn}n∈N∗ trong L(E,F) bị chặn điểm. Do E là không gian Banach nên theo Định lý Banach - Steinhaux đãy đó bị chặn đều, nghĩa là M =supfn < +∞ n1 Suy ra, với mọi X ∈ E ta có f(x) = lim f (x) = lim f (x) ( lim f )x Mx. →∞ n n n n n→∞ n→∞ Chứng tỏ f là liên tục và f lim fn. 2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng Trong bài này chúng ta sẽ trình bày hai định lý quan trọng tiếp theo, đó là định lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng đối với các ánh xạ giữa các không 68
gian định chuẩn. Chúng ta biết rằng ánh xạ f : E → F từ không gian tôpô E đến không gian tôpô F là liên tục nếu nghịch ảnh qua f của mọi tập mở trong F đều là tập mở trong E. Vấn đề đặt ra ở đây là: Đối với các ánh xạ liên tục f : E → F thì ảnh của những tập mở trong E có phải là tập mở trong F hay không ? Trong tr−ờng hợp riêng, khi f : E → F là toàn ánh tuyến tính giữa các không gian Banach, thì câu trả lời khẳng định đ−ợc chứng minh trong định lý ánh xạ mở. 2.1 Định lý ánh xạ mở Định nghĩa 2.1. Giả sử f : X → Y là ánh xạ giữa các không gian metric X và Y . Ta nói f là ánh xạ mở nếu ảnh f(G) của mọi tập mở G trong X là tập mở trong Y . Nhận xét 1. f : X → Y là mở nếu và chỉ nếu f(B(x, r)) là lân cận của f(x) với mọi x ∈ X và với mọi r>0. Nhận xét 2. Nếu f : E → F là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian định chuẩn E và F thì f là mở nếu và chỉ nếu f(B(0,r)) là lân cận của 0 ∈ F với mọi r>0. Định lý 2.2 (Định lý ánh xạ mở). Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f : E → F từ không gian Banach E lên không gian Banach F đều là ánh xạ mở. Chứng minh. B−ớc 1 Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại số δ>0 sao cho f({x ∈ E : x < 1}) ⊃{y ∈ F : y <δ} (1) !∞ 0 = { ∈ : 1 } = Với mỗi i đặt Bi x E x < 2i .Dof là toàn ánh và do E nB1, n=1 ta có ∞ F = f(E)= nf(B1) n=1 69
∗ Do F là không gian Banach nên theo Định lý Baire ắt tồn tại số n0 ∈ N để ◦ ◦ nf(B1)=nf(B1) = ∅ ◦ Suy ra f(B1) = ∅.Nh− vậy tồn tại v ∈ F và δ>0 sao cho {y ∈ F : y − v < 2δ}⊂f(B1) Từ bao hàm thức trên ta nhận đ−ợc {y ∈ F : y < 2δ}⊂f(B1) − v ⊂ f(B1) − f(B1) ⊂ f(B1 − B1) ⊂ f(B0) vì B1 − B1 = {x − x : x, x ∈ B1}⊂B0, nghĩa là {y ∈ F : y < 2δ}⊂f(B0) Chia hai vế của bao hàm thức trên cho 2n ta đ−ợc δ {y ∈ F : y < }⊂f(B ) với mọi n 1(2) 2n−1 n Cho y ∈ F, y <δ.Vớin =1áp dụng (2) tới y, ta tìm đ−ợc x1 ∈ B1 để − ( ) δ y f x1 < 2 Lại áp dụng (2) với n =2tới y − f(x1) ta tìm đ−ợc x2 ∈ B2 để δ y − f(x1) − f(x2) < 22 ∗ Tiếp tục nh− vậy ta lập đ−ợc dãy {xn} với xn ∈ Bn, ∀n ∈ N ,thoảmãn: δ y − f(x1) − − f(x ) < n 2n Do f là ánh xạ tuyến tính nên bất đẳng thức trên đ−ợc viết thành: δ y − f(x1 + + x ) < n 2n 70
∞ ∞ ∞ 1 =1 Do xn 0 để B(x0,r)=x0 + B(0,r) ⊂ G. Nhân hai vế của (1) với r ta đ−ợc {y ∈ F : y <rδ}⊂f(B(0,r)) Suy ra f(G) ⊃ f(B(x0,r)) = f(x0 + B(0,r)) = y0 + f(B(0,r)) ⊃ y0 + {y ∈ F : y <rδ} = {y ∈ F : y − y0 <rδ} = B(y0,rδ). Vì y0 ∈ f(G) tuỳýnênf(G) là mở trong F .Địnhlýđ−ợc chứng minh. Hệ quả sau đây còn đ−ợc gọi là nguyên lý Banach về ánh xạ mở. Hệ quả 2.3. Mọi song ánh tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach đều là đẳng cấu. Chứng minh. Giả sử E,F là các không gian Banach và f : E → F là song ánh tuyến tính liên tục. Cho G ∈ E là tập mở tuỳ ý. Theo định lý ánh xạ mở thì f là 71
ánh xạ mở nên f(G) là tập mở trong F . Nhờ cách biểu diễn (f −1)−1(G)=f(G) ta suy ra nghịch ảnh qua f −1 của mọi tập mở trong E là tập mở trong F , chứng tỏ f −1 : F → E liên tục. Nh− vậy, E → F là song ánh tuyến tính liên tục và f −1 : F → E liên tục nên f là một đẳng cấu. 2.2 Định lý đồ thị đóng Chúng ta biết rằng nếu E,F là các không gian định chuẩn thì tập hợp E ì F = {(x, y):x ∈ E,y ∈ F } là không gian định chuẩn với các phép toán vector và với chuẩn xác định bởi (x1,y1)+(x2,y2):=(x1 + x2,y1 + y2), λ(x, y):=(λx, λy), (x, y) := x + y. Định nghĩa 2.4. Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian định chuẩn E và F . Khi đó Γ(f):={(x, y) ∈ E ì F : y = f(x)} là không gian con của E ì F và gọi là đồ thị của f. Ta nói f : E → F có đồ thị đóng nếu Γ(f) là không gian con đóng của E ìF . Định lý 2.5. Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian tuyến tính định chuẩn đều có đồ thị đóng. Chứng minh. Giả sử f : E → F là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn E đến không gian định chuẩn F , ta chứng minh f có đồ thị đóng. Thật vậy, giả sử {(xn,yn)}⊂Γ(f) là dãy bất kì hội tụ tới (x, y) trong E ì F . Khi đó xn → x trong E và yn = f(xn) → y trong F .Vìf là liên tục nên y = lim f(xn)=f(x), chứng tỏ (x, y) ∈ Γ(f). Theo định nghĩa f có đồ thị n→∞ đóng. 72
Khi E và F là các không gian Banach chúng ta có định lý sau mà có thể coi nh− hệ quả của định lý ánh xạ mở. Định lý 2.6 (Định lý đồ thị đóng). Mọi ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng giữa các không gian Banach đều liên tục. Chứng minh. Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng từ không gian Banach E vào không gian Banach F .DoE ì F là không gian Banach và Γ(f) là đóng trong E ì F nên Γ(f) cũng là không gian Banach. Xét các ánh xạ tuyến tính liên tục p :Γ(f) → E q :Γ(f) → F và (x, f(x)) → x (x, f(x)) → f(x). Rõ ràng p là song ánh tuyến tính liên tục từ Γ(f) lên E. Theo hệ quả 2.3 của định lý ánh xạ mở, ánh xạ p−1 : E → Γ(f):x → (x, f(x)) là liên tục. Do tính liên tục của p−1 và q và do f = q ◦ p−1,suyraf liên tục. 3 Định lý Hahn- Banach Định lý Hahn-Banach d−ới đây nói về sự thác triển một phiếm hàm tuyến tính và nó có rất nhiều ứng dụng quan trọng, đ−ợc hầu hết các tài liệu về giải tích hàm gần đây phát biểu và chứng minh d−ới hai dạng cơ bản là dạng hình học và dạng giải tích trong các lớp không gian khác nhau. Trong bài này chúng ta sẽ trình bày Định lý Hahn-Banach d−ới dạng phổ biến nhất, đó là dạng giải tích trong không gian tuyến tính định chuẩn. 3.1 Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector thực Định lý 3.1. Giả sử F là không gian véc tơ con của không gian vectơ thực E và p là nửa chuẩn trên E. Khi đó, đối với mọi phiếm hàm tuyến tính f : F → R 73
thoả mãn f(x) p(x) với mọi x ∈ E. đều tồn tại phiếm hàm tuyến tính fˆ : E → R sao cho fˆ(x)=f(x) với mọi x ∈ F và fˆ(x) p(x) với mọi x ∈ E. Chứng minh. Để chứng minh định lý chúng ta cần sử dụng Bổ đề Zorn sau đây: Nếu mọi tập con thứ tự tuyến tính của tập sắp thứ tự bộ phận X = ∅ đềucócận trên thì X có phần tử cực đại. B−ớc 1. Chúng ta gọi một mở rộng của f cặp (D, g), trong đó D là không gian con của E chứa F còn g : D → R là ánh xạ tuyến tính thoả mãn: = ( ) ( ) ∈ g F f và g x p x với mọi x D. Ký hiệu F là tập tất cả các mở rộng của f.Rõràng(F, f) là một mở rộng của f nên F = ∅.TrongF ta đ−a vào quan hệ thứ tự ””xác định bởi: (D1,g1) (D2,g2) ⇔ D1 ⊂ D2 và g2 | D1 = g1 Ta sẽ chứng tỏ rằng F có phần tử cực đại. Theo bổ đề Zorn chỉ cần chỉ ra mọi tập con thứ tự tuyến tính của nó có cận trên. Cho {Dα,gα}α∈I ⊂ F là tập con ! sắp thứ tự tuyến tính bất kỳ của F.ĐặtB = Dα.Nếux, y ∈ B và r, s ∈ R α∈I ta chọn α, β ∈ I để x ∈ Dα,y∈ Dβ.Do{(Dα,gα)}α∈I là thứ tự tuyến tính nên có thể xem (Dα,gα) (Dβ,gβ).Suyrax, y ∈ Dβ và do đó rx + sy ∈ Dβ ⊂ B. Nh− vậy B là không gian vectơ con của của E chứa mọi Dα. Ngoài ra trên B có thể xác định phiếm hàm h : B → R xác định bởi: Nếu x ∈ B và α ∈ I sao cho x ∈ Dα thì ta đặt h(x)=gα(x). Sự xác định giá trị của h nh− vậy không phụ thuộc vào α ∈ I để x ∈ Dα.Thậtvậy,nếuβ ∈ I mà x ∈ Dβ thì do tập {(Dα,gα)}α∈I sắp thứ tự tuyến tính nên luôn xảy ra một trong hai khả năng (Dα,gα) (Dβ,gβ) hoặc (Dβ,gβ) (Dα,gα). Trong cả hai tr−ờng hợp ta đều 74
có gβ(x)=gα(x) vì khi đó hoặc x ∈ Dα ⊂ Dβ hoặc x ∈ Dβ ⊂ Dα. Hơn nữa, do các gα là tuyến tính nên dễ thấy h cũng là phiếm hàm tuyến tính. Đồng thời, từ tính chất của các gα ta suy ra h thoả mãn: h(x) p(x) với mọi x ∈ B. Nh− vậy (B,h) ∈ F vàlàcậntrêncủa{(Dα,gα)}α∈I. TheobổđềZornthìF có phần tử cực đại (D, g). B−ớc 2. Gọi (D, g) là phần tử cực đại của F. Chúng ta sẽ chứng minh D = E, khi đó đặt fˆ = g định lý sẽ đ−ợc chứng minh hoàn toàn. Thật vậy, giả sử ng−ợc lại: D = E, khi đó có thể chọn đ−ợc phần tử v ∈ E\D. Xét không gian con H = Rv + D.Dov/∈ D nên H = Rv ⊕ D,vìvậymỗi x ∈ H đềubiểudiễnđ−ợc duy nhất d−ới dạng x = λv + y với λ ∈ R,y∈ D. Với mọi y,z ∈ D ta có: g(y)+g(z)=g(y + z) p(y + z) p(y + v)+p(z − v). Suy ra g(z) − p(z − v) p(y + v) − g(y) với mọi y,z ∈ D. (3.1) Từ bất đẳng thức (3.1) suy ra: ⎫ =sup{ ( ) − ( − )} (0) − (0 − )=− ( ) −∞ ⎪ α g z p z v g p v p v > ,⎪ z∈D ⎬⎪ β =inf{p(y + v) − g(y)} p(0 + v) − g(0) = p(v) < +∞, (3.2) y∈D ⎪ ⎪ α =sup{g(z) − p(z − v)} inf {p(y + v) − g(y)} = β. ⎭⎪ z∈D y∈D Chọn điểm bất kỳ ξ ∈ [α, β], khi đó từ (3.2) suy ra, với mọi y,z ∈ D ta có: g(z) − p(z − v) ξ p(y + v) − g(y). (3.3) Vì với mọi x ∈ H đều viết đ−ợc duy nhất d−ới dạng x = λv +y với λ ∈ R,y ∈ D, nêntacóthểxácđịnhánhxạk : H → R bởi k(x)=k(λv + y)=λξ + g(y). 75
= Dễ dàng kiểm tra thấy k là phiếm hàm tuyến tính trên H và k D g. Chúng ta sẽ chứng minh k(x) p(x) với mọi x ∈ H. Thật vậy, với mỗi x = λv + y ∈ H = Rv ⊕ D, xét các tr−ờng hợp có thể xảy ra sau đây: +) Nếu λ =0thì k(x)=g(x) p(x). 0 y ∈ +) Nếu λ> , áp dụng vế thứ hai của (3.3) trong đó y thay bởi λ D ta đ−ợc y $ y y y % k(x)=λξ + g(y)=λ[ξ + g( )] λ p + v − g + g λ λ λ λ $ y % = λ p + v = p(λv + y)=p(x). λ = − 0 ( 0) = y ∈ +) Nếu λ μ , áp dụng vế thứ nhất của (3.3) cho z μ D ta đ−ợc $ y % k(x)=λξ + g(y)=−μξ + g(y)=μ − ξ + g μ $ y y y % μ − g + p − v + g μ μ μ y = μp( − v)=p(−μv + y)=p(λv + y)=p(x). μ Nh− vậy (H, k) ∈ F và (D, g) (H, k). Trái với tính cực đại của (D, g) ∈ F. Mâu thuẫn này chứng tỏ phải có D = E.Địnhlýđãđ−ợc chứng minh. 3.2 Định lý Hahn- Banach đối với không gian vector phức Xét không gian véc tơ phức E. Chúng ta có thể xem E là không gian véc tơ thực bằng cách xem phép nhân với vô h−ớng R ì E → E là thu hẹp của phép nhân với vô h−ớng C ì E → E, đồng thời ánh xạ f : E → R đ−ợc gọi là phiếm hàm tuyến tính thực trên không gian véctơ phức E nếu f(αx + βy)=αf(x)+βf(y) với mọi x, y ∈ E,α,β ∈ R. Để nhận đ−ợc định lý Hahn- Banach đối với không gian vectơ phức từ định lý Hahn - Banach thực ta cần bổ đề sau. 76
Bổ đề 3.2. Cho E là không gian vectơ phức. Khi đó ánh xạ f : E → C là ánh xạ tuyến tính (phức) khi và chỉ khi f có thể biểu diễn đ−ợc d−ới dạng f(x)=f1(x) − if1(ix),x∈ E với f1 : E → R là tuyến tính thực. Chứng minh. Giả sử f : E → C là tuyến tính phức. Bằng cách viết f(x)= f1(x)+if2(x),ởđâyf1(x)=Ref(x) và f2(x)=Imf(x).Rõràngf1,f2 : E → R là các ánh xạ tuyến tính thực. Ta chỉ còn phải chứng minh f2(x)= −f1(ix). Thật vậy, thay x bởi ix vào đẳng thức f(x)=f1(x)+if2(x),tađ−ợc f(ix)=f1(ix)+if2(ix). Mặt khác, do f là tuyến tính phức nên f(ix)=if(x)= if1(x) − f2(x),từđótacó f1(ix)+if2(ix)=−f2(x)+if1(x) với mọi x ∈ E. Đồng nhất phần thực hai vế ta đ−ợc: f1(ix)=−f2(x) hay là f2(x)=−f1(ix) với mọi x ∈ E. Ng−ợc lại, giả sử f(x)=f1(x) − if1(ix),x∈ E với f1 : E → R là ánh xạ tuyến tính thực. Khi đó f(x + y)=f(x)+f(y) với mọi x, y ∈ E (3.4) Giả sử λ = α + iβ,α,β ∈ R và x ∈ E, khi đó ⎫ ( )= ( + ) − ( − ) f λx f1 αx iβx if1 αx iβx ⎪ ⎪ ⎬⎪ = αf1(x)+βf1(ix) − iαf1(ix)+iβf1(x) (3.5) =( + ) ( ) − ( + ) ( ) ⎪ α iβ f1 x α iβ if1 ix ⎪ ⎭⎪ =(α + iβ)[f1(x) − if1(ix)] = λf(x) Từ các đẳng thức (3.4) và (3.5) suy ra f : E → C là ánh xạ tuyến tính phức. 77
Định lý 3.3 (Hahn - Banach). Giả sử F là không gian vectơ con của không gian vectơ phức E và p là một nửa chuẩn trên E. Khi đó, với mọi phiếm hàm tuyến tính phức f : F → C thoả mãn |f(x)| p(x) với mọi x ∈ F tồn tại một phiếm hàm tuyến tính fˆ : E → C sao cho fˆ = f |fˆ(x)| p(x) x ∈ E F và với mọi Chứng minh. Do f : F → C là phiếm hàm tuyến tính phức nên theo bổ đề 3.2 tồn tại phiếm hàm tuyến tính thực f1 : F → R sao cho f(x)=f1(x) − if1(ix),x∈ F Do f1(x) |f1(x)| |f(x)| nên f1(x) p(x) với mọi x ∈ F .Theođịnhlý3.1, ˆ tồn tại phiếm hàm tuyến tính thực f1 : E → R sao cho ˆ 1 = 1 | 1( )| ( ) ∈ f F f và f x p x với mọi E. ˆ ˆ ˆ ˆ Đặt f(x)=f1(x)−if1(ix),x∈ E. Khi đó, theo bổ đề 3.2, f là phiếm hàm tuyến tính phức và ˆ ˆ ˆ f(x)=f1(x) − if1(ix)=f(x) với mọi x ∈ F. Cho x ∈ E với fˆ(x) =0.Tacóthểviếtfˆ(x)=|fˆ(x)|.eiϕ,ởđâyϕ là argument của fˆ(x).Suyra ˆ −iϕ ˆ ˆ −iϕ ˆ −iϕ ˆ −iϕ |f(x)| = e f(x)=f(e x)=f1(e x) − if1(ie x) ∈ R. ˆ ˆ −iϕ Do f1(x) ∈ R với mọi x ∈ E nên f1(ie x)=0,vìthế ˆ ˆ −iϕ −iϕ |f(x)| = f1(e x) p(e x)=p(x). ˆ Vậy |f(x)| p(x) với mọi x ∈ E. 78
3.3 Một số hệ quả quan trọng của định lý Hahn-Banach Hệ quả 3.4. Giả sử F là không gian con của không gian định chuẩn (thực hoặc phức) E và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục fˆ trên E sao cho ˆ = ˆ = f F f và f f Chứng minh. Đặt p(x)=fx,x∈ E, khi đó p là nửa chuẩn trên E thoả mãn: |f(x)| p(x) với mọi x ∈ F . Theo định lý 3.3, tồn tại phiếm hàm tuyến ˆ tính f trên E sao cho ˆ = | ˆ( )| ( ) ∈ f F f và f x p x với mọi x E Suy ra fˆ f. Mặt khác, do F ⊂ E nên f =sup|fˆ(x)| sup |f(x)| = fˆ. x∈F,x1 x∈E,x1 Do đó f = fˆ. Hệ quả 3.5. Giả sử F là không gian con đóng của không gian định chuẩn E và x0 ∈ E \ F . Khi đó tồn tại f ∈ E để =0 =1 ( 0)=dist( 0 )=inf{ 0 − : ∈ } f F , f và f x x ,F x y y F Chứng minh. Đặt δ =inf{x0 − y : y ∈ F },doF đóng và x0 ∈/ F nên δ>0. Xét D = Kx0 + F và phiếm hàm g : D → K xác định bởi g(λx0 + y)=λδ. Do x0 ∈/ F nên D = Kx0 ⊕ F và do đó mỗi x ∈ D viết đ−ợc duy nhất d−ới dạng x = λx0 + y với λ ∈ K và y ∈ F ,suyrag là phiếm hàm tuyến tính. Hơn nữa y |g(λx0 + y)| = |λ|δ |λ|x0 + = λx0 + y với mọi λx0 + y ∈ D, λ =0 λ 79
Suy ra g liên tục và g 1(∗). Mặt khác với 0 rx0 − y.Vìx0 − y >δ>0 nên g(x) g(x0 − y) g =sup >r. x=0 x x0 − y Chuyển qua giới hạn khi r → 1− ta đ−ợc g 1(∗∗). Kết hợp các bất đẳng thức (∗) và (∗∗) ta đ−ợc g =1. Cuối cùng, áp dụng hệ quả (3.4) tồn tại f ∈ E để f = g và f = g =1. D f =0, f =1 f(x0)=δ =inf{x0 − y : y ∈ F } Suy ra F và . Hệ quả 3.6. Giả sử E là không gian định chuẩn và x ∈ E, x =0. Khi đó tồn tại f ∈ E để f(x)=x và f =1 Chứng minh. Chỉ việc áp dụng hệ quả 3.5 tới F = {0} và x0 = x ta tìm đ−ợc f ∈ E thoả mãn. Nhận xét. Nhờ hệ quả 3.4, với mỗi x ∈ E,x =0tồn tại f ∈ E sao cho f =1 và |f(x)| = x.Từđósuyra: x sup{|f(x)| : f ∈ E và f 1} sup{f.x : f ∈ E, f 1} x Nh− vậy ta có bất đẳng thức quan trọng sau: x =sup{|f(x)| : f ∈ E và f 1} 80
4Bàitậpch−ơng 2 Bài 1. Xét không gian con cf của không gian c0 cho bởi N∗ cf := {x =(ξn) ∈ K sao cho ∃n0 với mọi n>n0 : ξn =0} { }∞ ⊂ ( )= =( ) ∈ ∈ N∗ và dãy fk k=1 cf với fk x kξk,x ξn cf ,k . Chứng minh rằng dãy {fk} bị chặn điểm trên cf nh−ng không bị chặn đều. E = {f ∈ C[0; 1] : ∃δ = δ(f) > 0 f =0} Bài 2. Đặt sao cho [0,δ] a) Chứng minh rằng & 1 ' D = f ∈ E : n|f | 1 với mọi n ∈ N∗ . n là cân, đóng, hút trong E,nh−ng không là lân cận của 0 ∈ E,ởđâyD là hút trong E nếu ∀f ∈ E, ∃ε>0: λf ∈ D với mọi λ : |λ| <ε b) Với mọi n 1,đặt 1 ϕ (f)=nf( ),f∈ E n n { }∞ ⊂ Chứng minh rằng dãy ϕn n=1 E là bị chặn điểm nh−ng không bị chặn đều. Bài 3. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn và g : E → F là song ánh tuyến tính sao cho g−1 : F → E liên tục. Chứng minh g có đồ thị đóng. Bài 4. Chứng minh rằng mọi phiếm hàm tuyến tính khác không trên không gian định chuẩn đều là ánh xạ mở. Bài 5. Dựa vào Định lý Banach về ánh xạ mở, chứng minh rằng không gian định chuẩn C[0; 1] với chuẩn 1 f1 = |f(x)|dx, f ∈ C[0; 1] 0 không phải là không gian Banach. 81
Bài 6. Chứng minh rằng mọi không gian con đóng thực sự của không gian định chuẩn E là giao của một họ các siêu phẳng đóng trong E. Bài 7. Cho E = C[0; 1].Vớimỗin 1 xét ánh xạ fn : E → E cho bởi 1+ 1 n fn(x)(t)=x(t ),x∈ C[0; 1],t∈ [0; 1]. Chứng minh rằng a) fn : E → E là tuyến tính liên tục. b) {fn} hội tụ điểm tới ánh xạ đồng nhất, nghĩa là fn(x) → x với mọi x ∈ E. c) {fn} không hội tụ theo chuẩn tới ánh xạ đồng nhất. Bài 8. Cho E,F,G là các không gian tuyến tính định chuẩn. Chứng minh rằng nếu j : F → G là một đơn ánh tuyến tính liên tục và f : E → F là một ánh xạ tuyến tính sao cho ánh xạ j ◦ f : E → G liên tục, thì f có đồ thị đóng. Bài 9. Cho E,F là các không gian Banach và ϕ : E → F là một ánh xạ tuyến tính. Chứng minh rằng ϕ ∈L(E; F ) khi và chỉ khi f ◦ ϕ ∈ E với mọi f ∈ F . ở đây E,F là không gian liên hợp của E,F. Bài 10. Xét không gian con C1[0; 1] các hàm số khả vi liên tục trên [0; 1] của không gian C[0; 1] các hàm số liên tục trên đoạn [0; 1] và ánh xạ ϕ : C1[0; 1] → C[0; 1] x(t) → x(t) Chứng minh rằng: a) ϕ là ánh xạ tuyến tính. b) ker ϕ là không gian con đóng của C1[0; 1] và ϕ có đồ thị đóng. c) ϕ không liên tục. d) C1[0; 1] không phải là không gian con Banach của C[0; 1]. 82
Bài 11. Ta gọi tập con S của không gian véc tơ E là cơ sở Hamel nếu S là tập độc lập tuyến tính trong E và mọi véc tơ của E đều là tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các véctơ nào đó của S. Chứng minh rằng nếu E là không gian Banach vô hạn chiều thì E không có cơ sở Hamel đếm đ−ợc. Bài 12. Tập con L trong không gian tuyến tính định chuẩn E đ−ợc gọi là một đa tạp tuyến tính nếu và chỉ nếu L có dạng: L = M + x0, trong đó x0 ∈ E còn M là không gian con của E. Chứng minh rằng Tập con L trong không gian định chuẩn E là đa tạp tuyến tính khi và chỉ khi αx + βy ∈ L với mọi x, y ∈ L, ∀α, β ∈ K : α + β =1. Bài 13. Siêu phẳng H trong không gian định chuẩn E có ph−ơng trình f(x)=0 (trong đó f : E → K là phiếm hàm tuyến tính khác không trên E)đ−ợc gọi là siêu phẳng thuần nhất. Một cách tổng quát, ta gọi đa tạp tuyến tính có dạng H + x0, trong đó H là siêu phẳng thuần nhất là một siêu phẳng trong E. Chứng minh rằng đa tạp L trong không gian định chuẩn E là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại phiếm hàm tuyến tính khác không f trên E và tồn tại số α ∈ K sao cho L = {x ∈ E : f(x)=α}. Bài 14. Chứng minh rằng không gian định chuẩn E hữu hạn chiều khi và chỉ khi mọi phiếm hàm tuyến tính trên E đều liên tục. Bài 15. Chứng minh rằng tập M ⊂ lp,p 1 là compact t−ơng đối trong lp khi và chỉ khi: ∞ (∀ 0)(∃ ∈ N∗):sup | |p =( )∞ ∈ ε> n0 xn <ε, x xn n=1 lp. x∈M n=n0 +1 83
Ch−ơng 3 Toán tử trong không gian Banach Trong ch−ơng này chúng ta sẽ nghiên cứu về tính chất của các ánh xạ tuyến tính đặc biệt trong không gian Banach, đ−ợc gọi chung là toán tử tuyến tính, đồng thời, để đơn giản trong cách viết, nếu A : E → F là toán tử tuyến tính và x ∈ A thì đôi khi chúng ta viết là Ax thay cho A(x) để chỉ ảnh của x qua A.Đólàtoán tử liên hợp, toán tử compact, toán tử hữu hạn chiều. Đặc biệt, chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm về phổ của toán tử tuyến tính và các tính chất tổng quát của phổ, đồng thời cũng nghiên cứu về đặc tr−ngphổcủamộtsốtoántửtuyếntínhđặc biệt đã giới thiệu ở trên. Để đơn giản trong cách viết, nếu A : E → F là toán tử tuyến tính và x ∈ A thì đôi khi chúng ta viết là Ax thay cho A(x) để chỉ ảnh của x qua A. 1 Toán tử liên hợp Định nghĩa 1.1. Giả sử E là không gian định chuẩn. Ta gọi không gian liên hợp tôpô E = L(E,K) của E là không gian liên hợp thứ nhất của E. Không gian liên hợp của E đ−ợc ký hiệu là E và gọi là không gian liên hợp thứ hai của E. Nh− vậy E =(E) = L(E; K). 84
Mệnh đề 1.2. Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ ηE : E → E xác định bởi công thức: ηE(x)(f)=f(x),x∈ E, f ∈ E là đơn cấu giữ nguyên chuẩn từ E vào E . Nói cách khác ηE là phép nhúng đẳng cự không gian E vào E. Chứng minh. Hiển nhiên với mọi x ∈ E, phiếm hàm ηE(x) là tuyến tính trên E và do |ηE(x)(f)| = |f(x)| xf với mọi f ∈ E nên ηE(x) là liên tục trên E và ηE(x) x với mọi x ∈ E, nghĩa là ηE(x) ∈ E. Mặt khác, với mỗi x ∈ E,x =0, theo hệ quả của định lý Hahn- Banach, tồn tại f ∈ E sao cho f =1 và f(x)=x Từ đó, theo định nghĩa chuẩn ta có: ηE(x) |ηE(x)(f)| = |f(x)| = x với mọi x ∈ E. Vậy ηE(x) = x với mọi x ∈ E nên ηE : E → E là đơn cấu giữ nguyên chuẩn từ E vào E. Ví dụ 1. TừcácvídụởCh−ơng 1 mục 4.3 chúng ta đã biết các cặp không gian đẳng cự sau đây: 1 1 n ∼ n ∼ ∼ (K ) = K , (1) = ∞, ( ) = với p, q ∈ R,p,q>0, + =1. p q p q 85
Định nghĩa 1.3. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn và f ∈L(E; F ). Khiđótoántửtuyếntínhf : F → E xác định bởi f (u):=u ◦ f, u ∈ F , đ−ợc gọi là toán tử liên hợp thứ nhất của f.Toántửf =(f ) : E → F đ−ợc gọi là toán tử liên hợp thứ hai của f. Mệnh đề 1.4. Nếu f ∈L(E; F ) thì f ∈L(E; F ) và f = f. Đồng thời, ηF ◦ f = f ◦ ηE, ởđóηE : E → E là phép nhúng đẳng cự E vào không gian liên hợp thứ hai E của E. Chứng minh. Do f (u)=u ◦ f, u ∈ F , nên dễ thấy f là ánh xạ tuyến tính. Ta có: f (u) = u ◦ f fu với mọi u ∈ F . Suy ra f liên tục và f f. Để chứng minh f = f ta chỉ còn phải chỉ ra f f.Tr−ớc hết ta chỉ ra η ◦ f = f ◦ η mà có thể viết ngắn F E f = f E η (E) ⊂ E gọn E nếu ta đồng nhất với E . Thật vậy, từ định nghĩa của ηE,ηF và do f =(f ) nên với mọi x ∈ E và với mọi u ∈ F ta có: $ % $ % $ % ( ◦ )( ) ( )= ( ( )) ( )= ( ) ◦ ( ) −−−f → f ηE x u f ηE x u ηE x f u E F ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ηE) )ηF = ηE(x) f (u) =[f (u)](x)=u(f(x)) $ % $ % ←−−− = ηF (f(x)) (u)= (ηF ◦ f)(x) (u) E F f Suy ra f ◦ ηE = ηF ◦ f. Bây giờ áp dụng bất đẳng thức f f với f thay bởi f ta có f f . Mặt khác, từ đẳng thức f ◦ ηE = ηF ◦ f và từ tính giữ nguyên chuẩn của ηE và ηF ta có f =supf(x) =supηF (f(x)) =sup(ηF ◦ f)(x) x∈E,x1 x∈E,x1 x∈E,x1 = ηF ◦ f = f ◦ ηE ηF .f = f f Từ các chứng minh trên suy ra f = f . 86
Mệnh đề 1.5. Nếu f,g : E → F là các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian định chuẩn E và F thì với mọi α, β ∈ K ta có: (αf + βg) = αf + βg. Chứng minh. Theo định nghĩa ta có (αf + βg)(u)(x)=u((αf + βg)x)=u(αf(x)+βg(x) = αu(f(x)) + βu(g(x)) = α(f u)(x)+β(gu)(x) ∀u ∈ F , ∀x ∈ E Nghĩa là (αf + βg) = αf + βg. Mệnh đề 1.6. a) Nếu f ∈L(E; F ),g∈L(F ; G) thì (g ◦ f) = f ◦ g. b) (1E) =1E . Chứng minh. a) Từ định nghĩa toán tử liên hợp ta có: (g ◦ f)(v)(x)=[v(g ◦ f)](x)=v(g(f(x))) =(gv)(f(x)) = f (gv)(x) =(f ◦ g)(v)(x) với mọi v ∈ G và với mọi x ∈ E Nghĩa là (g ◦ f) = g ◦ f . b) Xét ánh xạ bất kỳ f ∈L(E; E). Theo a) ta có: * f =(f ◦ 1 ) =(1 ) ◦ f ∈L(E; E) E E ⇒ (1 ) =1 . E E f =(1E ◦ f) = f ◦ (1E) ∈L(E ; E ) Mệnh đề 1.7. Giả sử E và F là các không gian Banach và f ∈L(E,F). Khi đó f : E → F là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f : F → E là đẳng cấu. Khi đó (f )−1 =(f −1) 87
Chứng minh. Giả sử f : E → F là đẳng cấu, khi đó tồn tại ánh xạ g : F → E thoả mãn g ◦ f =1E,f◦ g =1F ởđây1E và 1F ký hiệu các ánh xạ đồng nhất của E và F . Từ mệnh đề 1.6 ta có: f ◦ g =(g ◦ f) =(1E) =1E g ◦ f =(f ◦ g) =(1F ) =1F Suy ra f : F → E là đẳng cấu. Ng−ợc lại, giả sử f : F → E là đẳng cấu. Do f =(f ) nên theo chứng : → = : → Im minhởtrênsuyraf E F là đẳng cấu. Do f E f nên f E F là đẳng cấu. Suy ra Im f là không gian Banach và do đó là không gian con đóng của F . Ta sẽ chứng minh Im f = F .Thậtvậy,giảsửIm f = F , theo hệ quả 3.5, ch−ơng 2 (hệ quả của định lý Hahn-Banach), tồn tại v ∈ F , v =0sao cho v =0 f (v)=v ◦ f =0 f f (v)=0 Im f .Suyra .Do là đơn ánh nên từ suy ra v =0. Điều này trái với giả thiết v =0. Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng sai. Vậy Im f = F và f : E F . 2 Toán tử compact Trong bài này chúng ta đi nghiên cứu về một số tính chất quan trọng của toán tử compact giữa các không gian định chuẩn và không gian Banach. Đó là: đặc tr−ng của toán tử compact; các phép toán đối với toán tử compact; toán tử nghịch đảo của một đẳng cấu compact và đặc biệt là Định lý Schauder về toán tử liên hợp của một toán tử compact. Định nghĩa 2.1. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính f đ−ợc gọi là toán tử compact nếu ảnh qua f của hình cầu đóng đơn vị trong E B[0, 1] = {x ∈ E : x 1} 88
là tập compact t−ơng đối trong F . Chú ý rằng tập con X của F đ−ợc gọi là compact t−ơng đối trong E nếu bao đóng X của X là tập compact trong F . Nhận xét 1. Nếu f là toán tử compact thì f(B[0, 1]) bị chặn trong F nên f liên tục, vì vậy toán tử compact còn đ−ợc gọi là toán tử hoàn toàn liên tục. Mệnh đề 2.2. Giả sử E vào F là các không gian định chuẩn. Khi đó đối với toán tử tuyến tính f : E → F , các khẳng định sau là t−ơng đ−ơng: a) f là toán tử compact; b) Nếu A là tập bị chặn trong E thì f(A) là tập compact t−ơng đối trong F ; { }⊂ { } { ( )} c) Với mọi dãy bị chặn xn E, tồn tại một dãy con xnk để f xnk hội tụ trong F . Chứng minh. b) ⇒ a). Lấy n ∈ N∗ sao cho A ⊂ nB[0, 1].Vìf là ánh xạ tuyến tính nên f(A) ⊂ f(nB[0, 1]) ⊂ nf(B[0, 1]).Lạidoánhxạy → ny là đẳng cấu nêntừtínhcompactt−ơng đối của f(B[0, 1]) suy ra tính compact t−ơng đối của nf(B[0, 1]).Từđósuyratậpf(A) ⊂ nf(B[0, 1]) cũng là tập compact t−ơng đối trong F . b) ⇒ c). Hiển nhiên. c) ⇒ a). Lấy dãy (yn)n∈N∗ ⊂ f(B[0, 1]) tùy ý, khi đó tồn tại dãy (xn)n∈N∗ ⊂ B[0, 1] sao cho f(xn)=yn, (∀n). Theo giả thiết, dãy (xn) có dãy con (xkn ) sao cho ykn = f(xkn ) → y ∈ F , nghĩa là dãy (yn)n có dãy con hội tụ trong F ,do vậy f(B[0, 1]) là compact t−ơng đối. Ví dụ 1. Từ định lý Riesz suy ra nếu E là vô hạn chiều thì ánh xạ đồng nhất trên E liên tục nh−ng không phải là toán tử compact. Ví dụ 2. Không gian định chuẩn E hữu hạn chiều khi và chỉ khi toán tử đồng nhất trên E là toán tử compact. 89
Mệnh đề 2.3. Nếu f,g là các toán tử compact từ không gian định chuẩn E đến không gian định chuẩn F thì αf + βg cũng là toán tử compact. Chứng minh. Thật vậy, cho {xn}⊂E bị chặn. Do f là compact tồn tại dãy con { } ( ) → ( ) → xnk để f xnk y. Cũng vậy do g là compact tồn tạixnkj để g xnkj z. ( )+ ( ) → + + Suy ra αf xnkj βg xnkj y z.Vậyαf βg là compact. Mệnh đề 2.4. Nếu f ∈L(E,F), g ∈L(F, G) ở đây E, F, G là các không gian định chuẩn, thì g ◦ f : E → G là compact nếu f hoặc g là compact. Chứng minh. Cho {xn}⊂E là dãy bị chặn trong E. Đầu tiên giả sử f là { } ( ) → compact. Khi đó có dãy con xnk để f xnk y.Dog là liên tục nên ( ◦ )( )= ( ( )) → ( ) ∈ ◦ : → g f xnk g f xnk g y G.Vậyg f E G là toán tử compact. Tiếp ∗ theo, giả sử g là compact. Do f là tuyến tính liên tục và tập {xn : n ∈ N }⊂E bị chặn nên tập {f(xn)}⊂F bị chặn. Vậy, do g là compact tồn tại dãy con ( ( )) → ⇔ ( ◦ )( ) → ◦ g f xnk z g f xnk z.Suyrag f là compact. Định lý 2.5. Nếu {fn}⊂L(E,F) là dãy các toán tử compact từ không gian Banach E vào không gian Banach F hội tụ tới f trong L(E,F) thì f cũng là toán tử compact. Chứng minh. Do F là đầy, theo đặc tr−ng Hausdorff về tính compact của một tập con trong không gian metric đầy, chỉ cần chứng minh f(BE) là hoàn toàn bị chặn, với BE = {x ∈ E : x 1}. Cho ε>0, chọn n0 để − ⇒ ( ) − ( ) ∈ f fn0 <ε f x fn0 x ε với mọi x BE ∈ Do fn0 là compact, tồn tại x1, ,xn BE để ∀ ∈ ∃1 : ( ) − ( ) x BE, i n fn0 x fn0 xi <ε 90
Cho x ∈ BE. Chọn 1 i n thoả mãn bất đẳng thức trên. Ta có ( ) − ( ) ( ) − ( ) + ( ) − ( ) 2 f x f xi f x fn0 x fn0 x fn0 xi 0,dof(BE) là hoàn toàn bị chặn trong F nên tồn tại ε-l−ới hữu hạn n {y1, ,yn} của f(BE).XéttậpconL ⊂ K cho bởi L = {(v(y1), ,v(yn)) : v ∈ BF } Do sup{|v(yj)| :1 j n, v ∈ F , v 1} =maxyj < +∞ 1jn nên L bị chặn trong Kn và do đó hoàn toàn bị chặn trong Kn,ởđâyKn xét với chuẩn max: (ξ1, ,ξn) =max|ξj |. 1jn 91