›
›

Giáo trình Giải tích 2 - Huỳnh Thế Phùng

pdf 42 trang ngocly 2230
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích 2 - Huỳnh Thế Phùng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_giai_tich_2_huynh_the_phung.pdf

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 2 - Huỳnh Thế Phùng

  1. GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH II Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế Ngày 26 tháng 9 năm 2006
  2. 1 Mục lục Chương 1 Tích phân 3 1.1. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Điều kiện khả tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Tính chất của tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Cách tính tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz. . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Phương pháp tích phân từng phần. . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Tích phân suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Ứng dụng của tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1. Tính diện tích hình phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2. Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3. Tính thể tích vật thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Thực hành tính toán trên Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.1. Xấp xỉ diện tích hình thang cong. . . . . . . . . . . . . . . . . 13 R b 1.5.2. Tính tích phân xác định a f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3. Ứng dụng tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.4. Tìm nguyên hàm của hàm y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Dãy hàm và Chuỗi hàm 19 2.1. Dãy hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2. Tính chất của dãy hàm hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . 20
  3. 2 2.2. Chuỗi hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Định nghĩa - Các tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Tính chất của chuỗi hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3. Chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . 24 2.3. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1. Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.3. Sự hội tụ của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1. Tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm . . . . . . . 29 2.4.2. Khai triển một hàm thành chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 3. Không gian Rn 32 3.1. Không gian vectơ Rn 32 3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.2. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.3. Độ dài vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. Hàm khoảng cách và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1. Hàm khoảng cách trong Rn 34 3.2.2. Sự hội tụ của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3. Tôpô trên Rn 35 3.3.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2. Tập liên thông - Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.1. Vec-tơ và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.2. Các phép toán trên vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.3. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
  4. Chương 1 TÍCH PHÂN 1.1. Tích phân xác định 1.1.1. Định nghĩa Giả sử [a, b] là một đoạn hữu hạn trong R. Ta chia đoạn này thành các đoạn con bởi các điểm chia a = x0 < x1 < ··· < xn = b. Lúc đó tập hợp P = {x0, x1, ··· , xn} được gọi là một phân hoạch của đoạn [a, b]. Ta dùng ký hiệu P[a, b] để chỉ tập hợp tất cả các phân hoạch của đoạn [a, b]. Một phân hoạch Q ∈ P[a, b], với Q = {y0, y1, ··· , yk}, được gọi là thô hơn phân hoạch P (hay P là mịn hơn Q) nếu Q ⊂ P , tức là với mọi j, tồn tại i sao cho yj = xi. Độ mịn của phân hoạch P thường được đặc trưng bởi giá trị δ(P ) = max{xi − xi−1 | 1 ≤ i ≤ n}. Dễ thấy rằng δ(P ) ≤ δ(Q) nếu P mịn hơn Q. Giả sử f là một hàm bị chặn trên [a, b]. Với mỗi phân hoạch P = {x0, x1, ··· , xn} của đoạn [a, b] ta đặt Mi := sup{f(x) | x ∈ [xi−1, xi]}, mi := inf{f(x) | x ∈ [xi−1, xi]}; 1 ≤ i ≤ n. Lúc đó, các tổng Xn Xn ∗ S (f; P ) := Mi(xi − xi−1),S∗(f; P ) := mi(xi − xi−1) i=1 i=1 lần lượt được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của f trên [a, b] tương ứng với phân hoạch P .
  5. 4 Ta gọi tích phân trên và tích phân dưới của hàm f trên đoạn [a, b] lần lượt là các giá trị sau Z + Z − ∗ f(x)dx := inf S (f; P ), f(x)dx := sup S∗(f; P ). [a,b] P ∈P [a,b] P ∈P Mệnh đề sau cho ta một đánh giá về các đại lượng này Mệnh đề 1.1. Nếu hàm f bị chặn dưới bởi m và bị chặn trên bởi M trên đoạn [a, b], thì Z − Z + m(b − a) ≤ f(x)dx ≤ f(x)dx ≤ M(b − a). [a,b] [a,b] Để chứng minh định lý này ta cần các bổ đề sau Bổ đề 1.1. Giả sử P, Q ∈ P[a, b] sao cho Q ⊂ P . Lúc đó ∗ ∗ S∗(f; Q) ≤ S∗(f; P ) ≤ S (f; P ) ≤ S (f; Q). ∗ Bổ đề 1.2. Với mọi P, Q ∈ P[a, b], ta luôn có S∗(f; P ) ≤ S (f; Q). Ta nói hàm f là khả tích Riemann trên đoạn [a, b] nếu Z + Z − f(x)dx = f(x)dx. [a,b] [a,b] Lúc đó, ta ký hiệu giá trị chung này bởi Z b f(x)dx a và gọi là tích phân của hàm f trên đoạn [a, b]. Z a Trong trường hợp a = b dễ thấy f(x)dx = 0. Ngoài ra, nếu b < a ta định a nghĩa Z b Z a f(x)dx := − f(x)dx. (1.1) a b Ví dụ 1.1. Z b + Hàm hằng f(x) = c khả tích Riemann trên mọi đoạn và cdx = c(b − a). a + Hàm Dirichlet ( 1 nếu x ∈ Q, f(x) := 0 nếu x ∈ R \ Q không khả tích trên mọi đoạn [a; b] với a < b.
  6. 5 1.1.2. Điều kiện khả tích. Định lý 1.2. Hàm bị chặn f trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khi, với mọi ² > 0, tồn tại một phân hoạch P ∈ P[a, b] sao cho ∗ S (f; P ) − S∗(f; P ) < ². Hệ quả 1.1. Mọi hàm liên tục trên [a, b] đều khả tích. Hệ quả 1.2. Mọi hàm bị chặn, liên tục trên [a, b], ngoại trừ một số hữu hạn điểm, đều khả tích. Hệ quả 1.3. Mọi hàm xác định và đơn điệu trên [a, b] đều khả tích. Định lý 1.3. Một hàm f bị chặn trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khi ∗ lim (S (f; P ) − S∗(f; P )) = 0. δ(P )→0 Giả sử P = {x0, x1, ··· , xn} là một phân hoạch của đoạn [a, b]. Ta chọn tập các điểm T = {t1, t2, ··· , tn} với ti ∈ [xi−1, xi] và lập tổng Xn S(f; P, T ) = f(ti)(xi − xi−1). i=1 Hệ quả 1.4. Hàm f khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi giới hạn sau tồn tại không phụ thuộc vào T : lim S(f; P, T ). δ(P )→0 1.1.3. Tính chất của tích phân xác định. Định lý 1.4. Nếu f, g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b] và λ là một số thực thì các hàm f ± g, λ.f cũng khả tích và ta có Z b Z b Z b a) (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx; a a a Z b Z b b) λf(x)dx = λ f(x)dx. a a Định lý 1.5. Cho hàm f bị chặn trên đoạn [a, b] và c ∈ (a, b). Lúc đó f khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi f khả tích trên cả hai đoạn [a, c], [c, b], hơn nữa, Z b Z c Z b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. (1.2) a a c Thật ra, bằng cách sử dụng (1.1), công thức (1.2) vẫn còn đúng với các vị trí khác của a, b, c.
  7. 6 Định lý 1.6. Giả sử f và g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b]. Lúc đó, R b a) Nếu f ≥ 0 thì a f(x)dx ≥ 0. R b R b b) Nếu f ≥ g thì a f(x)dx ≥ a g(x)dx. Hệ quả 1.5. Giả sử f khả tích trên [a, b] sao cho m ≤ f(x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b]. Lúc đó Z b m(b − a) ≤ f(x)dx ≤ M(b − a). a Hệ quả 1.6 (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b]. Lúc đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho Z b f(x)dx = f(c)(b − a). a Định lý 1.7. Nếu f khả tích trên [a, b] thì |f| cũng khả tích. Lúc đó ¯Z ¯ Z ¯ b ¯ b ¯ ¯ ¯ f(x)dx¯ ≤ |f(x)|dx. a a 1.2. Cách tính tích phân xác định. 1.2.1. Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz. Cho hàm f bị chặn, khả tích trên đoạn [a, b]. Lúc đó, với mỗi t ∈ [a, b], f khả tích trên [a, t]. Ta định nghĩa hàm Z t Φ(t) := f(x)dx, t ∈ [a, b]. a Định lý sau cho ta thấy các tính chất quan trọng của hàm Φ. Định lý 1.8. a) Hàm Φ liên tục trên [a, b]. b) Nếu f liên tục tại x0 ∈ [a, b] thì Φ khả vi tại điểm đó và 0 Φ (x0) = f(x0), ở đây, nếu x0 trùng với a hoặc b thì đạo hàm của Φ được hiểu là đạo hàm một phía. Ta định nghĩa nguyên hàm của một hàm f trên khoảng [a, b] là một hàm F khả vi và có đạo hàm đúng bằng f trên khoảng đó. Dễ thấy rằng nếu f có một nguyên hàm là F trên một khoảng thì nó sẽ có vô số nguyên hàm trên khoảng đó; hơn nữa, tất cả các nguyên hàm của f đều có dạng F (x) + C, với C là hằng số tuỳ ý. Từ Định lý 1.8 ta nhận được các hệ quả sau
  8. 7 Hệ quả 1.7. Mọi hàm liên tục trên một khoảng (đóng hoặc mở) đều có nguyên hàm trên khoảng đó. Hệ quả 1.8 (Công thức Newton-Leibnitz). Nếu f là hàm liên tục trên [a, b] và F là một nguyên hàm bất kỳ của f thì Z b ¯ ¯b f(x)dx = F (x)¯ := F (b) − F (a). a a Công thức Newton-Leibnitz có một tiện lợi là cho chúng ta một cách tính chính xác giá trị tích phân xác định của một hàm không cần thông qua phép tính giới hạn nếu đoán nhận được nguyên hàm của nó. Để minh hoạ cho điều đó ta xét ví dụ sau Ví dụ 1.2. Z Z Z 1 1 b e 1 x2dx = ; sin(x)dx = cos(a) − cos(b); dx = 1. 0 3 a 1 x 1.2.2. Phương pháp đổi biến số. Định lý 1.9. Giả sử hàm x = ϕ(t) thoả mãn a) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α, β], b) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, ϕ(t) ∈ [a, b] với mọi t ∈ [α, β]. Khi đó, nếu f liên tục trên [a, b] thì Z b Z β f(x)dx = f[ϕ(t)]ϕ0(t)dt. a α Ví dụ 1.3. Z π Z 0 Z π 2 π 2 cosn(x)dx = cosn( − t)(−1)dt = sinn(t)dt. π 2 0 2 0 Đặc biệt, Z π Z π Z π 2 2 1 2 π cos2(x)dx = sin2(x)dx = dx = . 0 0 2 0 4 Z 2 Z π q Z π √ 2 2 4 − x2dx = 4 − 4 sin2(t)2 cos(t)dt = 4 cos2(t)dt = π. 0 0 0 Định lý 1.10. Cho hàm f liên tục trên [a, b] và phép đổi biến t = ϕ(x) thoả mãn: a) ϕ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b],
  9. 8 b) Tồn tại hàm g liên tục trên ϕ([a, b]) sao cho f(x) = g(ϕ(x)).ϕ0(x) với mọi x ∈ [a, b]. Lúc đó Z b Z ϕ(b) f(x)dx = g(t)dt. a ϕ(a) π Ví dụ 1.4. Với phép đổi biến t = sin(x), x ∈ [0, 2 ] ta được Z π Z 1 ¯ 2 cos(x) dt ¯1 π 2 dx = 2 = arctan(t)¯ = . 0 1 + sin (x) 0 1 + t 0 4 1.2.3. Phương pháp tích phân từng phần. Định lý 1.11. Nếu f và g là các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b] thì Z b Z b f(x)g0(x)dx = f(b)g(b) − f(a)g(a) − f 0(x)g(x)dx. a a Ví dụ 1.5. Z e ¯ Z e ¯e 1 ln(x)dx = x ln(x)¯ − x dx = 1. 1 1 1 x 1.3. Tích phân suy rộng. 1.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn. Giả sử f là hàm xác định trên khoảng [a, ∞) và khả tích trên mọi khoảng hữu hạn [a, b] với b > a. Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trên khoảng [a, ∞) là giới hạn sau Z ∞ Z b f(x)dx := lim f(x)dx. (1.3) a b→+∞ a R ∞ Ta nói tích phân suy rộng a f(x)dx là hội tụ nếu giới hạn (1.3) tồn tại hữu hạn, R ∞ phân kỳ nếu ngược lại, hội tụ tuyệt đối nếu a |f(x)|dx hội tụ. Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối của các tích phân suy rộng Z b Z b f(x)dx := lim f(x)dx. −∞ a→−∞ a Z ∞ Z 0 Z ∞ f(x)dx := f(x)dx + f(x)dx. −∞ −∞ 0
  10. 9 Nếu F là hàm có giới hạn (có thể bằng vô cùng) khi x → ∞ thì ta ký hiệu giới hạn này bởi F (∞). Vậy F (∞) := lim F (x). x→∞ Từ định nghĩa, ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên khoảng [a, ∞) thì Z ∞ ¯ ¯∞ f(x)dx = F (∞) − F (a) = F (x)¯ . a a Đẳng thức được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải tồn tại. Ví dụ 1.6. Z ∞ ¯ 1 ¯∞ dx = ln(x)¯ = ∞; (1.4) 1 x 1 Với α 6= −1, ta có ¯∞ ( Z ∞ α+1 ¯ α x ¯ ∞ nếu α > −1 x dx = ¯ = 1 (1.5) 1 α + 1¯ − nếu α 0, ∃M > a, ∀b ≥ M; ∀c ≥ M : ¯ f(x)dx¯ < ². b R ∞ Hệ quả 1.9. Nếu tích phân a f(x)dx hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Hơn nữa ¯Z ¯ Z ¯ ∞ ¯ ∞ ¯ ¯ ¯ f(x)dx¯ ≤ |f(x)|dx. a a Định lý 1.13. Cho f và g là các hàm có tích phân suy rộng hội tụ trên khoảng [a, ∞). Lúc đó, các hàm f ± g, λf (λ ∈ R) cũng có tích phân suy rộng hội tụ trên khoảng đó. Hơn nữa, Z ∞ Z ∞ Z ∞ (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx, a a a Z ∞ Z ∞ λf(x)dx = λ f(x)dx. a a
  11. 10 Định lý 1.14. Cho f là hàm không âm trên [a, ∞), khả tích trên mọi khoảng [a, b] R ∞ R b với b > a. Lúc đó, a f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi tập { a f(x)dx | b > a} bị chặn. Hệ quả 1.10. Cho f, g là các là hàm khả tích trên mọi khoảng [a, b] với b > a. R ∞ Hơn nữa, f(x) ≥ g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, ∞). Lúc đó, nếu a f(x)dx hội tụ thì R ∞ a g(x)dx cũng hội tụ. Hệ quả 1.11. Cho f, g là các là hàm không âm, khả tích trên mọi khoảng [a, b] với b > a. Hơn nữa, tồn tại giới hạn f(x) lim ∈ (0, ∞). x→∞ g(x) R ∞ R ∞ Lúc đó, các tích phân a f(x)dx, a g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ. Định lý 1.15. Cho f là hàm không âm, đơn điệu giảm trên [1, ∞). Lúc đó, Z ∞ X∞ f(x)dx và f(n) 1 1 đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ. Từ định lý này và từ (1.4)-(1.5) ta suy ra chuỗi số X∞ 1 nβ n=1 hội tụ khi và chỉ khi β > 1. 1.3.2. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn. Giả sử f là hàm xác định trên khoảng bị chặn [a, b), khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²] với a < b − ² < b nhưng không bị chặn trong lân cận của b (ta nói b là điểm bất thường của f). Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trên khoảng [a, b] là giới hạn sau Z b Z b−² f(x)dx := lim f(x)dx. (1.6) a ²→0+ a R b Ta nói tích phân suy rộng a f(x)dx là hội tụ nếu giới hạn (1.6) tồn tại hữu hạn, R b phân kỳ nếu ngược lại, hội tụ tuyệt đối nếu a |f(x)|dx hội tụ. Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối của các tích phân suy rộng trên [a, b] với a là điểm bất thường hoặc cả a và b đều bất thường: Z b Z b f(x)dx = lim f(x)dx. a ²→0+ a+²
  12. 11 Z b Z c Z b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx với c ∈ (a, b). a a c Trường hợp hàm f có điểm bất thường c ∈ (a, b) ta định nghĩa tích phân suy R b R c R b rộng a f(x)dx là tổng của hai tích phân suy rộng a f(x)dx và c f(x)dx Nếu F , một nguyên hàm của f trên khoảng (a, b), có giới hạn (có thể bằng vô cùng) khi x → a (x → b) thì ta cũng ký hiệu giới hạn này bởi F (a) (F (b)). Với cách ký hiệu như vậy ta cũng có công thức Newton-Leibnitz mở rộng: Z b ¯ ¯b f(x)dx = F (b) − F (a) = F (x)¯ . a a Đẳng thức được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải tồn tại. Ví dụ 1.7. Z 1 ¯ 1 √ ¯1 √ dx = 2 x¯ = 2, 0 x 0 Z 1 ¯ 1 ¯1 dx = − ln(1 − x)¯ = +∞, 0 1 − x 0 Z 1 ¯ dx ¯1 √ = arcsin(x)¯ = π. 2 −1 1 − x −1 R b Định lý 1.16. Nếu tích phân a f(x)dx hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Hơn nữa ¯Z ¯ Z ¯ b ¯ b ¯ ¯ ¯ f(x)dx¯ ≤ |f(x)|dx. a a Định lý 1.17. Cho f là hàm không âm trên [a, b), khả tích trên mọi khoảng [a, b−²] R b với a < b − ² < b. Lúc đó, a f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi tập hợp sau bị chặn R b−² { a f(x)dx | 0 < ² < b − a}. Hệ quả 1.12. Cho f, g là các là hàm khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²] với a < R b b − ² < b. Hơn nữa, f(x) ≥ g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b). Lúc đó, nếu a f(x)dx hội R b tụ thì a g(x)dx cũng hội tụ. Hệ quả 1.13. Cho f, g là các là hàm không âm, khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²] với a < b − ² < b. Hơn nữa, tồn tại giới hạn f(x) lim ∈ (0, ∞). x→b− g(x) R b R b Lúc đó, các tích phân a f(x)dx, a g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.
  13. 12 1.4. Ứng dụng của tích phân xác định. 1.4.1. Tính diện tích hình phẳng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f1(x); y = f2(x); x = a và x = b được tính theo công thức sau: Z b S := |f2(x) − f1(x)|dx. a 1.4.2. Tính độ dài đường cong phẳng Cho C là đường cong phẳng có phương trình tham số ( x = ϕ(t); t ∈ [α, β]. y = ψ(t), Trong đó, ϕ và ψ là các hàm khả vi liên tục trên [α, β]. Độ dài đường cong C lúc đó được tính bằng công thức sau: Z β p l(C) = ϕ0(t)2 + ψ0(t)2dt. α Trường hợp đường cong là đồ thị hàm y = f(x) trên đoạn [a, b] thì độ dài đường cong lúc đó là: Z b p l(C) = 1 + f 0(x)2dx. a 1.4.3. Tính thể tích vật thể. Công thức tổng quát. Cho (T ) là một vật thể trong không gian nằm gọn giữa hai mặt phẳng x = a và x = b (a < b). Giả sử với mỗi t ∈ [a, b] mặt phẳng x = t cắt vật thể (T ) theo một thiết diện có diện tích S(t). Nếu S(t) là hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì thể tích vật thể (T ) được tính bởi công thức: Z b V (T ) = S(t)dt. a Trường hợp vật thể tròn xoay. Giả sử vật thể (T ) được tạo thành khi quay hình phẳng D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b; 0 ≤ y ≤ f(x)} quanh trục Ox. Lúc đó, với mỗi t ∈ [a, b] diện tích thiết diện là S(t) = πf(t)2. Do đó, nếu f là hàm liên tục thì tích phân vật thể (T ) được tính bởi Z b V (T ) = π f(t)2dt. a
  14. 13 1.4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay. Giả sử F là mặt được tạo thành khi quay cung C = {(x, f(x)) | a ≤ x ≤ b} quanh trục Ox. Lúc đó, nếu cung C trơn, tức hàm f khả vi liên tục, diện tích của mặt F được tính bởi công thức: Z b ¯ ¯p S(F) = 2π ¯f(x)¯ 1 + f 2(x)dx. a 1.5. Thực hành tính toán trên Maple. 1.5.1. Xấp xỉ diện tích hình thang cong. Trước khi thực hành các phép tính tích phân chúng ta nên trở lại khảo sát việc xấp xỉ diện tích hình thang cong bởi tổng diện tích của các hình chữ nhật. Ta đã biết, nếu f khả tích (và đặc biệt là liên tục) thì các phân hoạch đều vẫn cho những xấp xỉ tốt. Maple cho phép chúng ta dùng một trong ba lệnh rightbox/leftbox/middlebox để minh hoạ việc xấp xỉ đều một hàm f trên đoạn [a, b]. Cụ thể, Cú pháp: [> rightbox(f(x), x=a b, n, ’shading’=m1, color=m2); (tương tự, leftbox, middlebox) Lệnh này minh hoạ việc xấp hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a và x = b bằng một xấp xỉ đều gồm n hình chữ nhật có đáy bằng nhau (= (b − a)/n) và chiều cao của mỗi hình bằng giá trị hàm f tại mút phải của mỗi đoạn (đối với leftbox là mút trái và middlebox là điểm giữa). m1 là màu tô các hình chữ nhật còn m2 là màu vẽ đường cong (điều này chỉ được thấy trên màn hình, trong giáo trình này chỉ thấy màu đen). Mặc định n = 4. Chú ý rằng, trước khi thực hiện lệnh này cần khởi động gói lệnh student. Ví dụ: [> with(student); [> leftbox(exp(x)-2*x∧2, x=-1 1, ’shading’=cyan, color=green); Kết quả cho ở Hình 4.1. [> middlebox(exp(x)-2*x∧2, x=-1 1, 10, ’shading’=red, color=blue); R b 1.5.2. Tính tích phân xác định a f(x)dx Cú pháp: [> int(f(x), x=a b); (nếu dùng Int thì cho công thức hình thức) Ví dụ: [> int(x∧2, x=-1 2); 3
  15. 14 1 0.5 ±1 ±0.8 ±0.6 ±0.4 ±0.2 0.2 0.4x 0.6 0.8 1 ±0.5 ±1 ±1.5 Hình 1.1: Xấp xỉ tích phân xác định bởi 4 hình chữ nhật 1 0.5 ±1 ±0.8 ±0.6 ±0.4 ±0.2 0.2 0.4x 0.6 0.8 1 ±0.5 ±1 ±1.5 Hình 1.2: Xấp xỉ tích phân xác định bởi 10 hình chữ nhật [> int(sin(x)/x, x=0 2); Si(2) R t sin(x) Điều này có nghĩa là máy đã định nghĩa một hàm mới Si(t) = 0 x dx. Muốn tính xem Si(2) bằng bao nhiêu ta viết tiếp [> evalf(%,20); 1.6054129768026948486 Lệnh này có nghĩa là hãy tính giá trị biểu thức vừa tính với độ chính xác 20 chữ số lẻ (nếu không chỉ định rõ độ chính xác, máy sẽ tính với 10 chữ số lẻ). Lưu ý là câu lệnh tính tích phân xác định ở trên cũng được dùng để tính các tích phân suy rộng. Ví dụ: [> int(1/sqrt(x*(1-x)), x=0 1); π
  16. 15 [> int(1/x∧2,x=1 infinity); 1 [> int(1/x∧2,x=0 1); ∞ 1.5.3. Ứng dụng tích phân xác định. a) Tính diện tích hình phẳng. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a và x = b ta tính tích phân xác định trên đoạn [a, b] của hàm |f(x)| (ký hiệu là abs(f(x)). Còn muốn tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a và x = b ta dùng lệnh [> int(abs(f(x)-g(x)), x=a b); b) Tính độ dài đường cong phẳng. Cho đường cong C trong mặt phẳng có phương trình tham số: ( x = u(t), t ∈ [a, b]. y = v(t), Ở đây, u và v là các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b]. Để tính độ dài của C, trước tiên ta cần tính đạo hàm của u, v, sau đó mới áp dụng công thức được cho ở Mục 1.4.2 Cụ thể, ta thực hiện ba lệnh [> f(t):=diff(u(t), t); [> g(t):=diff(v(t), t); [> int(sqrt(f(t)∧2+g(t)∧2), t=a b); c) Tính thể tích hình tròn xoay. Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = 0, y = f(x), x = a, x = b. Hình phẳng này quay quanh trục Ox tạo nên vật thể tròn xoay T . Ta có thể dùng công thức trong 4.4.3 để tính thể tích vật thể này. Cụ thể, ta thực hiện lệnh [> Pi*int(f(x)∧2,x=a b); Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay cung parabol y = x2 −x, −2 ≤ x ≤ 1 quanh trục Ox. Ta dùng lệnh [> Pi*int((x∧2-x)∧2,x=-2 1); 171 π 10 d) Tính diện tích mặt tròn xoay.
  17. 16 Cho mặt tròn xoay F, được tạo thành khi quay cung C = {(x, f(x)) | x ∈ [a, b]} quanh trục Ox. Nếu f khả vi liên tục, ta dùng công thức trong 4.4.4 để tính diện tích của F. Cụ thể, ta thực hiện hai lệnh: [> g(x):=diff(f(x), x); [> 2*Pi*int(abs(f(x))*sqrt(1+g(x)∧2), x=a b); √ Chẳng hạn, mặt cầu đơn vị là mặt tròn xoay được tạo ra bởi hàm f(x) = 1 − x2. Ta viết [> f:=x->sqrt(1-x∧2): [> g(x):=diff(f(x),x): > 2*Pi*int(abs(f(x))*sqrt(1+g(x)∧2),x=-1 1); 4π 1.5.4. Tìm nguyên hàm của hàm y = f(x) Ta đã biết một hàm, nếu khả tích, sẽ có vô số nguyên hàm, sai khác nhau bởi các hằng số. Vì vậy chỉ cần biết một nguyên hàm nào đó của nó là đủ. Maple cho phép tìm một nguyên hàm của hàm f(x) thông qua lệnh int Cú pháp: [> int(f(x), x); (Nếu dùng Int sẽ hiển thị công thức hình thức) 1.6. Bài tập ∗ 1.1. Giả sử Pn là phân hoạch đều đoạn [0, 1]. Hãy tính các tổng Darboux S (f; Pn), 2 S∗(f; Pn) của hàm f(x) = x và tính giới hạn của các tổng này khi n → ∞. 1.2. Khảo sát tính khả tích của các hàm số sau trên [0, 1]: ( ( x; nếu x ∈ [0, 1] ∩ Q, x2; nếu x ∈ [0, 1] ∩ Q, g(x) := ; f(x) := 1; nếu x ∈ [0, 1] \ Q. 0; nếu x ∈ [0, 1] \ Q. 1.3. Cho hàm f xác định bởi ( |x2 − 1|; nếu x ∈ [−3, −1] ∪ [1, 2], f(x) := 1; nếu x ∈ (−1, 1). Hàm f có khả tích trên đoạn [−3, 2] hay không? 1.4. Cho hàm f xác định bởi ( |x|; nếu x ∈ [−2, −1] ∪ [1, 2], f(x) := 0; nếu x ∈ (−1, 1). Hàm f có khả tích trên đoạn [−2, 2] hay không?
  18. 17 1.5. Chứng minh tồn tại c ∈ [0, 2] sao cho Z c 1 2 4 dx = . 0 1 + x 17 1.6. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ [2, 3] sao cho Z c 1 1 3 dx = − . 2 1 − x 26 1.7. Sử dụng Hệ quả 1.4 để tính các giới hạn sau Xn 1 Xn 1 Xn 1 lim ; lim √ ; lim . n→∞ n + i n→∞ 2 2 n→∞ n2 + i2 i=1 i=1 4n − i i=1 R b 1.8. Cho f liên tục, không âm trên [a, b] thoả a f(x)dx = 0. Chứng minh f ≡ 0. R b 1.9. Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] (a < b) và a f(x)dx = 0. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0. R 1 1.10. Cho hàm f khả vi liên tục trên đoạn [−1, 1] sao cho −1 f(x)dx = 0. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (−1, 1) sao cho f 0(c) = 0. 1.11. Giả sử f là hàm khả tích trên đoạn [a, b] và g là hàm chỉ khác f tại một số hữu hạn điểm. Chứng minh g cũng khả tích. 1.12. Chứng minh một hàm xác định trên [a, b], có tập các điểm gián đoạn không quá đếm được, thì khả tích Riemann. 1.13. Cho f và g là các hàm khả tích trên [a, b] sao cho g(x) ≥ 0 và m ≤ f(x) ≤ M, với mọi x ∈ [a, b]. Chứng minh rằng tồn tại µ ∈ [m, M] và c ∈ [a, b] sao cho Z b Z b Z c Z b f(x)g(x)dx = µ g(x)dx = m g(x)dx + M g(x)dx. a a a c R x 1.14. Cho f liên tục trên [0, 1] và |f(x)| ≤ 0 f(t)dt với mọi x ∈ [0, 1]. Chứng minh f ≡ 0. 1.15. Tìm nguyên hàm của các hàm sau 1 + 3x2 sin(2x) 1 1 1 1 ; ; sin4 x; ; ; √ ; √ . x2(1 + 2x2) 1 + 2 cos2 x sin6 x cos x ex − 1 1 + 1 − x 1.16. Tính đạo hàm của các hàm số Z sin(x)+cos(x) F (x) := arctan(es + s2 + sin(s))ds; x ∈ R. 0 Z ln(x2+1) G(x) := sin(3 arctan(t) − cos(t) + 5et)dt; x ∈ R. 1
  19. 18 1.17. Cho các hàm Z 3 Z 3 x 1 − cos t x sin t F (x) := 2 dt, G(x) := dt. 0 t 0 t a) Chứng minh F , G là các hàm lẻ , xác định trên R. b) Chứng minh F , G khả vi trên R và tính F 0, G0. c) F và G có phải là các hàm đơn điệu hay không? 1.18. Tính các tích phân xác định sau Z Z 16 1 π 1 √ √ dx; dx; x + 9 + x 1 + sin x 0 0 √ Z π p Z ln 3 x x 3 e e + 1 sin x − sin x dx; x dx. 0 0 e + 3 1.19. Cho f là một hàm số dương, liên tục trên [0, 1]. Chứng minh µZ ¶ µZ ¶ 1 1 1 f(x)dx dx ≥ 1. 0 0 f(x) 1.20. Khảo sát sự hội tụ và tính (nếu tồn tại) các tích phân suy rộng sau Z +∞ Z +∞ Z π Z +∞ ln x sin x 2 sin x 1 dx; 2 dx; 3 dx; 2 dx; 0 x 1 x − π cos x 1 x ln x Z µ ¶ Z Z 2 Z +∞ 1 e ln2 x +∞ 1 1 1 tan dx; dx; 2 dx; 2 dx. 1 x 0 x 1 x − 1 0 1 − x 1.21. Cho Z 1 xn In := √ dx, n ∈ N. 2 0 1 − x a) Tính I0, I1. b) Khảo sát sự hội tụ của In. c) Thiết lập mối quan hệ giữa In và In−2. Từ đó, tính I2,I3, ··· . 1.22. Tính các tích phân suy rộng Z Z Z π/2 π/2 x 1 arcsin x ln(sin x)dx; dx; dx. 0 0 tan x 0 x
  20. Chương 2. DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM 2.1. Dãy hàm. 2.1.1. Các định nghĩa. Cho E là một tập con của R. Dãy hàm trên E là một họ đếm được các hàm (fn)n xác định trên E. Ta nói dãy hàm này hội tụ đơn giản (hay hội tụ điểm) đến một hàm f trên E nếu f(x) = lim fn(x); ∀x ∈ E n→∞ E Lúc đó, ta viết f = lim fn hay fn → f. Như vậy: n→∞ E fn → f ⇐⇒ ∀x ∈ E, ∀² > 0, ∃n0(², x) ∈ N, ∀n ≥ n0 : |fn(x) − f(x)| 0, ∃n0(²) ∈ N, ∀n ≥ n0, ∀x ∈ E : |fn(x) − f(x)| < ². Rõ ràng, một dãy hội tụ đều thì hội tụ. Tuy vậy điều ngược lại không đúng. Thật vậy, ta có thẻ chứng minh được dãy trong Ví dụ 2.1 không hội tụ đều trên [0, ∞) đến hàm f. Định lý sau đây sẽ cho ta một tiêu chuẩn để một dãy hàm là hội tụ đều
  21. 20 Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Một dãy hàm (fn) trên E là hội tụ đều khi và chỉ khi nó là một dãy Cauchy, theo nghĩa sau ¯ ¯ ¯ ¯ ∀² > 0, ∃n0(²) ∈ N, ∀m, n ≥ n0, ∀x ∈ E : ¯fm(x) − fn(x)¯ < ². Dãy hàm (fn) được gọi là bị chặn (đều) trên E nếu tồn tại số dương M sao cho |fn(x)| ≤ M với mọi n ∈ N và x ∈ E. Dãy (fn) được gọi là không giảm (không tăng) nếu fn ≤ fn+1 (fn ≥ fn+1) với mọi n. 2.1.2. Tính chất của dãy hàm hội tụ đều. Trong mục này ta luôn xem (fn) là dãy hàm xác định trên một khoảng (đóng hoặc mở, hữu hạn hay vô hạn) I trên R. Định lý 2.2. Nếu dãy (fn) gồm các hàm liên tục trên I, hội tụ đều về hàm f thì f cũng liên tục. Sử dụng định lý này ta có thể khẳng định dãy trong Ví dụ 2.1 không hội tụ đều(!). Chú ý rằng khẳng định của định lý này chỉ là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần. Ta xét thêm ví dụ sau x Ví dụ 2.2. Dãy hàm fn(x) = sin( n ) hội tụ đơn giản nhưng không đều về hàm không trên R. Tuy vậy hàm không vẫn là hàm liên tục trên R. Định lý 2.3. Nếu dãy (fn) gồm các hàm liên tục hội tụ đều trên khoảng đóng bị chặn R x [a, b] đến hàm f và x0 là một điểm bất kỳ thuộc [a, b] thì dãy hàm Fn(x) = fn(t)dt R x0 cũng hội tụ đều trên [a, b] đến hàm F (x) = x f(t)dt và vì vậy x0 Z x Z x lim fn(t)dt = lim fn(t)dt. n→∞ n→∞ x0 x0 Định lý 2.4. Giả sử (fn) là dãy gồm các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b] thoả mãn 0 a) Dãy (fn) hội tụ đều trên [a, b] đến hàm g; b) Tồn tại x0 ∈ [a, b] sao cho dãy số (fn(x0)) hội tụ. Lúc đó dãy hàm (fn) cũng hội tụ đều đến một hàm khả vi liên tục trên [a, b] mà chính là nguyên hàm của g. Tức là ³ ´0 0 lim fn (x) = lim fn(x). n→∞ n→∞
  22. 21 2.2. Chuỗi hàm. 2.2.1. Định nghĩa - Các tiêu chuẩn hội tụ. Giả sử (uk) là một dãy hàm xác định trên tập E ⊂ R. Với mỗi n ∈ N ta lập hàm tổng riêng Xn Sn(x) := uk(x). k=1 Như vậy ta được một dãy hàm mới xác định trên E. Nếu dãy hàm (Sn) hội tụ đến P∞ một hàm S thì S được gọi là tổng của chuỗi hàm k=1 uk(x) trên E và ta viết X∞ ³ X ´ S(x) = uk(x) hay gọn hơn: uk(x) . (2.1) k=1 P Nếu dãy (Sn) hội tụ đều đến S ta nói chuỗi hàm (2.1) hội tụ đều và nếu chuỗi |uk(x)| hội tụ ta nói chuỗi (2.1) hội tụ tuyệt đối. Rõ ràng một chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Định lý sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1 P Định lý 2.5 (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi hàm uk(x) hội tụ đều trên E khi và chỉ khi ¯ ¯ ¯ n+p ¯ ¯ X ¯ ∀² > 0, ∃n (²) ∈ N, ∀n ≥ n , ∀p ∈ N, ∀x ∈ E : ¯ u (x)¯ < ². 0 0 ¯ k ¯ k=n+1 P Hệ quả 2.1 (Tiêu chuẩn Weierstrass). Giả sử aPk là một chuỗi dương hội tụ và |uk(x)| ≤ ak với mọi k ∈ N và x ∈ E. Lúc đó chuỗi uk(x) hội tụ tuyệt đối và đều trên E. Định lý 2.6 (Tiêu chuẩn Dirichlet). Giả sử Pn a) Dãy các tổng riêng ( 1 uk(x)) bị chặn đều trên E; b) Dãy hàm (vk(x)) giảm, hội tụ đều về 0. Lúc đó, chuỗi hàm sau hội tụ đều X∞ uk(x)vk(x). (2.2) k=1 Định lý 2.7 (Tiêu chuẩn Abel). Giả sử P∞ a) Chuỗi hàm k=1 uk(x) hội tụ đều trên E; b) Dãy hàm (vk(x)) không tăng và bị chặn đều. Lúc đó, chuỗi hàm (2.2) hội tụ đều.
  23. 22 2.2.2. Tính chất của chuỗi hội tụ đều. P Định lý 2.8. Nếu uk(x) là chuỗi hàm hội tụ đều về hàm tổng S(x) trên một khoảng I và nếu uk(x) liên tục với mọi k, thì hàm S(x) cũng liên tục trên I. P Định lý 2.9 (Công thức tích phân từng từ). Nếu uk(x) là chuỗi hàm hội tụ đều trên đoạn [a, b³] và nếu các´ hàm thành phần uk(x) liên tục, thì với mọi x0 ∈ [a, b] P R x chuỗi hàm uk(t)dt cũng hội tụ đều trên [a, b] và ta có x0 µ ¶ à ! X∞ Z x Z x X∞ uk(t)dt = uk(t) dt. k=1 x0 x0 k=1 P∞ 1 Ví dụ 2.3. Tính k=1 k.2k . Ta có à ! à ! ∞ ∞ Z 1 Z 1 ∞ Z 1 X 1 X 2 2 X 2 1 = xk−1dx = xk−1 dx = dx = ln 2. k.2k 1 − x k=1 k=1 0 0 k=1 0 P Định lý 2.10 (Công thức đạo hàm từng từ). Cho chuỗi hàm uk(x) trên (a, b) thoả mãn a) uk(x) khả vi liên tục trên (a, b) với mọi k; P 0 b) Chuỗi hàm uk(x) hội tụ đều trên khoảng (a, b); P c) Chuỗi uk(x0) hội tụ với x0 ∈ (a, b). P Lúc đó chuỗi hàm uk(x) hội tụ đều trên (a, b); Hơn nữa à ! X∞ 0 X∞ 0 uk(x) = uk(x). k=1 k=1 2.2.3. Chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng X∞ k n ak.(x − x0) = a0 + a1.(x − x0) + ··· + an.(x − x0) + ··· , (2.3) k=0 trong đó ak là các hằng số còn x0 là một số thực cho trước. Khi x0 = 0 ta có chuỗi X∞ k n ak.x = a0 + a1.x + ··· + an.x + ··· . (2.4) k=0 Dễ thấy rằng, một số thực x là thuộc miền hội tụ của chuỗi (2.3) khi và chỉ khi x − x0 thuộc miền hội tụ của chuỗi (2.4). Nói cách khác, miền hội tụ của các chuỗi (2.3) và (2.4) chỉ sai khác một phép tịnh tiến. Vì vậy, để đơn giản, người ta thường chỉ khảo sát miền hội tụ của chuỗi (2.4) và ký hiệu hàm tổng của chuỗi là S(x).
  24. 23 Định lý 2.11 (Định lý Abel). Nếu chuỗi (2.4) hội tụ tại điểm x1 6= 0 thì nó cũng hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm x ∈ (−|x1|, |x1|). Hệ quả 2.2. Nếu chuỗi (2.4) phân kỳ tại điểm x1 thì nó cũng phân kỳ tại mọi điểm x nằm ngoài đoạn [−|x1|, |x1|]. Bây giờ nếu ký hiệu D là miền hội tụ của chuỗi (2.4) ta luôn có D 6= ∅ vì 0 ∈ D. Ta gọi bán kính hội tụ của chuỗi (2.4) là số thực mở rộng sau R := sup{|x| | x ∈ D} ∈ [0, ∞]. Từ Định lý 2.11 và Hệ quả 2.2 ta chứng minh được rằng i) Nếu R = 0 thì D = {0}; ii) Nếu R = ∞ thì D = R; iii) Nếu 0 < R < ∞ thì (−R, R) ⊂ D ⊂ [−R, R]. Khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi. Hiển nhiên, việc xác định miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa đòi hỏi trước tiên phải xác định được bán kính hội tụ của nó. Các kết quả sau đây cho ta một cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi. Định lý 2.12. Giả sử ρ là một trong ba giới hạn sau ¯ ¯ ¯ak+1 ¯ √ √ ¯ ¯ k k lim ¯ ¯ , lim ak, lim ak. k→∞ ak k→∞ k→∞ Lúc đó,  ∞ nếu ρ = 0; R = 0 nếu ρ = ∞;   1 ρ nếu ρ ∈ (0, ∞). Ví dụ 2.4. P a) Xét chuỗi xk. Ta tính được bán kính hội tụ R = 1. Mặt khác, với x = ±1 chuỗi phân kỳ. Vậy D = (−1, 1). P xk b) Tương tự với chuỗi k . Ta có R = 1. Mặt khác, với x = −1 chuỗi hội tụ còn với x = 1 chuỗi phân kỳ. Vậy D = [−1, 1). P xk c) Chuỗi k! có bán kính hội tụ R = ∞. Vậy D = (−∞, ∞). Định lý 2.13. Chuỗi (2.4) hội tụ đều trên mọi đoạn [a, b] ⊂ (−R, R). Hệ quả 2.3. Hàm tổng S(x) liên tục trên khoảng (−R, R).
  25. 24 Hệ quả 2.4. Nếu (2.4) hội tụ tại x = R thì chuỗi hội tụ đều trên [0,R] và do đó, hàm S(x) liên tục trên khoảng (−R, R]. Đặc biệt, X∞ k lim S(x) = S(R) = akR . x→R− k=0 Kết luận tương tự cũng đúng cho đầu mút −R. Hệ quả 2.5. Hàm tổng của chuỗi (2.4) khả tích trên mọi đoạn [a, b] ⊂ D và Ã ! µ ¶ Z b X∞ X∞ Z b k k ak.x dx = ak.x dx . a k=0 k=0 a Đặc biệt, Z Ã ! x X∞ X∞ xk+1 a tk dt = a , x ∈ D. k k k + 1 0 k=0 k=0 Hệ quả 2.6. Có thể lấy đạo hàm từng từ chuỗi (2.4) tại mọi điểm x ∈ (−R, R) và Ã ! X∞ 0 X∞ k k−1 ak.x = k.ak.x . k=0 k=1 Đây cũng là chuỗi lũy thừa, có bán kính hội tụ bằng R. Đặc biệt suy ra hàm tổng của một chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trên (−R, R). Nhận xét. Tất cả các kết quả từ Định lý 2.13 đến Hệ quả 2.6 vẫn còn đúng cho chuỗi (2.3), chỉ có điều tất cả các khoảng (−R, R) được thay bằng (x0 − R, x0 + R) vì miền hội tụ của (2.3) thoả mãn (x0 − R, x0 + R) ⊂ D ⊂ [x0 − R, x0 + R]. P∞ k−1 Ví dụ 2.5. Xác định miền hội tụ và hàm tổng của chuỗi 1 + k=2 k.x . Dễ tính được R = 1 và miền hội tụ là (−1, 1). Mặt khác, Ã !0 µ ¶ X∞ X∞ X∞ x 0 1 1 + k.xk−1 = (xk)0 = xk = = . 1 − x (1 − x)2 k=2 k=1 k=1 2.2.4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa. P k Như chúng ta đã thấy trong mục trước, một chuỗi lũy thừa ak.(x − x0) (với bán kính hội tụ R > 0) có tổng S(x) là một hàm khả vi vô hạn lần trên khoảng hội tụ là một lân cận của x0. Câu hỏi đặt ra là nếu cho trước một hàm f, khả vi vô hạn lần trong một lân cận của điểm x0, liệu có phải f là tổng của một chuỗi lũy thừa nào đó hay không? Chúng ta sẽ dần dần làm sáng tỏ câu hỏi này.
  26. 25 Định lý 2.14. Giả sử f là một hàm khả vi vô hạn lần trong Nδ(x0) và X∞ k f(x) = ak.(x − x0) , ∀x ∈ Nδ(x0). k=0 Lúc đó, ta phải có f (k)(x ) a = 0 , ∀k ∈ N. k k! Bây giờ nếu cho trước hàm f khả vi vô hạn lần trong Nδ(x0), ta thiết lập chuỗi lũy thừa X∞ f (k)(x ) S (x) := 0 (x − x )k. f k! 0 k=0 Sf (x) được gọi là chuỗi Taylor của hàm f trong lân cận điểm x0. Khi x0 = 0, Sf (x) được gọi là chuỗi MacLaurin của f: X∞ f (k)(0) S (x) := xk. f k! k=0 Từ Định lý 2.14 ta thấy nếu f được biểu diễn dưới dạng tổng của một chuỗi lũy thừa thì chuỗi lũy thừa đó nhất thiết phải là chuỗi Taylor của f trong lân cận điểm x0. Một điều không may là với một hàm f khả vi vô hạn lần trong một lân cận của x0, chuỗi Taylor Sf (x) khai triển tại điểm này không phải lúc nào cũng hội tụ, và nếu hội tụ thì chưa hẳn Sf (x) = f(x). Thật vậy, ta xét hàm sau ( − 1 e x2 nếu x 6= 0, f(x) = 0 nếu x = 0. Dễ thấy rằng hàm này khả vi vô hạn lần trên (−∞, ∞) và f (k)(0) = 0 với mọi k. Do đó chuỗi MacLaurin của f là hội tụ về hàm không trên toàn trục số. Nghĩa là Sf (x) 6= f(x) với mọi x 6= 0. Nhắc lại rằng nếu f là hàm khả vi vô hạn lần trong một lân cận Nδ(x0) thì với mọi x ∈ Nδ(x0) và số nguyên dương n, tồn tại ξ nằm giữa x0 và x sao cho Xn f (k)(x ) f (n+1)(ξ) f(x) = 0 (x − x )k + (x − x )n+1, k! 0 (n + 1)! 0 k=0 trong đó Xn f (k)(x ) f (n+1)(ξ) P (x ; f)(x) = 0 (x − x )k và R (x) = (x − x )n+1 n 0 k! 0 n (n + 1)! 0 k=0 lần lượt là đa thức Taylor cấp n và phần dư tương ứng của hàm f . Định lý sau đây là hiển nhiên
  27. 26 Định lý 2.15. Nếu lim Rn(x) = 0, ∀x ∈ Nδ(x0), n→∞ thì X∞ f (k)(x ) f(x) = 0 (x − x )k, ∀x ∈ N (x ). (2.5) k! 0 δ 0 k=0 Một hàm f khả vi vô hạn lần thoả mãn (2.5) được gọi là khai triển được thành chuỗi Taylor trong lân cận Nδ(x0) của điểm x0. Hệ quả 2.7. Nếu f khả vi vô hạn lần và tồn tại ρ > 0 sao cho (k) k |f (x)| = O(ρ k!), x ∈ Nδ(x0), 1 thì f khai triển được thành chuỗi Taylor trong Nα(x0) với α = min{δ, ρ }. Hệ quả 2.8. Nếu f khả vi vô hạn lần và dãy đạo hàm (f (k)(x)) bị chặn đều trong Nδ(x0) thì f khai triển được thành chuỗi Taylor trong lân cận đó. Sau đây là khai triển MacLaurin của một số hàm sơ cấp. x2 xn ex = 1 + x + + ··· + + ··· , x ∈ (−∞, ∞) 2! n! x2 x4 x2n cos(x) = 1 − + − · · · + (−1)n + ··· , x ∈ (−∞, ∞) 2! 4! (2n)! x3 x5 x2n−1 sin(x) = x − + − · · · + (−1)n−1 + ··· , x ∈ (−∞, ∞) 3! 5! (2n − 1)! 1 = 1 − x + x2 + ··· + (−x)n + ··· , x ∈ (−1, 1) 1 + x x2 x3 xn ln(1 + x) = x − + − · · · + (−1)n−1 + ··· , x ∈ (−1, 1] 2 3 n x3 x5 x2n+1 arctan(x) = x − + − · · · + (−1)n+1 + ··· , x ∈ [−1, 1]. 3 5 2n + 1 2.3. Chuỗi Fourier. 2.3.1. Chuỗi lượng giác. Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm với các hàm thành phần có dạng uk(x) = ak cos(kx) + bk sin(kx). Nói cách khác, chuỗi lượng giác được biểu diễn bởi a X∞ 0 + (a cos(kx) + b sin(kx)). (2.6) 2 k k k=1 Từ các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi hàm ta có các kết quả sau
  28. 27 Định lý 2.16. P P a) Nếu các chuỗi số ak và bk hội tụ tuyệt đối thì chuỗi (2.6) hội tụ tuyệt đối và đều trên mọi đoạn. b) Nếu các dãy số {ak} và {bk} đơn điệu giảm và dần về không thì chuỗi (2.6) hội tụ tại mọi điểm x 6= 2kπ. Định lý 2.17. Giả sử chuỗi (2.6) hội tụ đều trên đoạn [0, 2π]. Lúc đó, hàm tổng f(x) của nó là một hàm liên tục trên [0, 2π]. Hơn nữa, ta có Z 1 2π a = f(x) cos(kx)dx, k = 0, 1, 2, ··· , k π Z0 1 2π bk = f(x) sin(kx)dx, k = 1, 2, 3 ··· . π 0 Để chứng minh định lý trên ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.1. Với mọi số tự nhiên p, q ta có Z Z ( 2π 2π 0, khi p 6= q, sin(px) cos(qx)dx = 0; cos(px) cos(qx)dx = 0 0 π, khi p = q. 2.3.2. Chuỗi Fourier. Giả sử f là một hàm khả tích trên đoạn [0, 2π] và tuần hoàn với chu kỳ 2π. Lúc đó, ta có thể thiết lập được các dãy số Z 1 2π a = f(x) cos(kx)dx, k = 0, 1, 2, ··· , k π Z0 1 2π bk = f(x) sin(kx)dx, k = 1, 2, 3 ··· . π 0 và chuỗi lượng giác a X∞ 0 + (a cos(kx) + b sin(kx)). 2 k k k=1 Chuỗi này được gọi là chuỗi Fourier của hàm f và các hệ số ak, bk được gọi là các hệ số Fourier. Tổng riêng của chuỗi này là a Xn S (x) = 0 + (a cos(kx) + b sin(kx)). n 2 k k k=1 Câu hỏi đặt ra khá tự nhiên là khi nào thì chuỗi Fourier của hàm f hội tụ và hơn nữa, khi nào thì hàm tổng của chuỗi đó trùng với hàm f.
  29. 28 Bổ đề 2.2. Z 1 2π sin((2n + 1)u) S (x) = f(x + 2u) du, n π 2 sin(u) Z0 1 2π sin((2n + 1)u) Sn(x) − f(x) = [f(x + 2u) − f(x)] du. π 0 2 sin(u) Bổ đề 2.3. Với f khả tích thì ak → 0 và bk → 0 khi k → ∞. 2.3.3. Sự hội tụ của chuỗi Fourier. Bổ đề 2.4. Nếu l ∈ R là số sao cho hàm f(x + 2t) + f(x − 2t) − 2l ϕ(t) := sin(t) khả tích, thì chuỗi Fourier của hàm f tại điểm x hội tụ về l. Định lý 2.18. Nếu hàm f có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x, thì chuỗi Fourier của nó hội tụ tại điểm x đến giá trị f(x). Ví dụ 2.6. Cho hàm ( 1 nếu x ∈ (−π, π), f(x) = 0 nếu x = ±π. Ta tính được chuỗi Fourier của f là µ ¶ sin(2x) sin(3x) sin(nx) 2 sin(x) − + − · · · + (−1)n+1 + ··· . 2 3 n Vì hàm f thoả mãn tính chất của định lý trên nên µ ¶ sin(2x) sin(3x) sin(nx) x = 2 sin(x) − + − · · · + (−1)n+1 + ··· ; x ∈ (−π, π). 2 3 n Đặc biệt, µ ¶ π 1 1 1 = 2 1 − + − · · · + (−1)n + ··· 2 3 5 n + 1 và do đó µ ¶ π 1 1 1 = 1 − + − · · · + (−1)n + ··· . 4 3 5 n + 1
  30. 29 2.4. Thực hành tính toán trên Maple 2.4.1. Tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm Kỹ thuật tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm thực ra là mượn các câu lệnh đối với dãy số và chuỗi số. Cụ thể, nếu ký hiệu f(x) là giới hạn của dãy P∞ hãm (fn(x)) và s(x) là tổng của chuỗi hàm 1 un(x), thì để tính f và s ta thực hiện các câu lệnh [> f:=x− > limit(fn(x), n=infinity); [> s:=x− > sum(un(x), n=1 infinity); Ví dụ: [> f:=x− > limit((1+x/n)∧n, n=infinity); ³ x´n f := x → lim 1 + n→∞ n Đó chính là hàm ex, thật vậy, [> taylor(f(x), x); 1 1 1 1 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + O(x6) 2 6 24 120 [> s:=x− > sum((-1)∧n*x∧(2*n+1)/((2*n+1)!), n=0 infinity); X∞ (−1)nx(2n+1) s := x → (2n + 1)! n=0 Đây chính là hàm sin(x), thật vậy, [> plot(s(x), x=-2*Pi 2*Pi); 2.4.2. Khai triển một hàm thành chuỗi Cú pháp: [> series(f(x), x=a, n); Lệnh này có nghĩa là khai triển hàm f(x) thành chuỗi tại lân cận điểm a nhưng chỉ đến bậc n. Đối với các hàm khả vi vô hạn lần và có chuỗi Taylor hội tụ về f thì lệnh này cho ra một chuỗi luỹ thừa, do đó kết quả hoàn toàn giống với lệnh taylor(f(x), x=a, n). Tuy nhiên, đối với các hàm không khai triển được thành chuỗi Taylor tại a (chẳng hạn, không khả vi vô hạn lần tại đó) thì lệnh series vẫn hoạt động được nhưng thường như vậy thì chuỗi nhận được không phải là chuỗi luỹ thừa. Nếu không khai báo n thì mặc định n = 6. Nếu trong tham số thứ hai ta viết chỉ viết x thì máy sẽ hiểu là x = 0. Ví dụ:
  31. 30 1 0.5 ±6 ±4 ±2 2x 4 6 ±0.5 ±1 Hình 2.1: Đồ thị hàm số s(x) [> series(tan(x),x); 1 x + x3 + O(x5) 3 [> series(ln(x), x=1, 4); 1 1 x − 1 − (x − 1)2 + (x − 1)3 + O((x − 1)4) 2 3 [> series(sqrt(sin(x)), x, 4); 0 1 0 1 5 9 @ A µ @ A¶ √ 1 x − x 2 + O x 2 12 [> series(exp(x)/x, x=0, 4 ); 1 1 1 x−1 + 1 + x + x2 + x3 + O(x4) 2 6 24 2.5. Bài tập 2.1. Xét sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm (fn(x)), với n a) fn(x) = arctan (x), x ∈ [−1, 1], b) fn(x) = arctan(nx), x ∈ R, n c) fn(x) = arctan(x ), x ∈ [−1, 1]. (1 + nx)2 2.2. Tìm giới hạn của dãy hàm f (x) = . Chứng minh đãy hàm này hội n 1 + n2x2 tụ đều trên mọi khoảng [a, +∞), với a > 0, nhưng không hội tụ đều trên (0, +∞).
  32. 31 2.3. Cho hai dãy hàm (fn), (gn) hội tụ đều, trên khoảng I ⊂ R, lần lượt đến các hàm f và g. Có thể khẳng định được sự hội tụ đều của các dãy hàm fn ± gn, fngn, fn , f ∨ g , f ∧ g hay không? Nếu không thì cần bổ sung điều kiện gì cho mỗi gn n n n n trường hợp? 2.4. Chứng minh nếu một dãy, gồm các hàm liên tục đều, hội tụ đều về một hàm f trên khoảng I ⊂ R, thì f liên tục đều trên I. 2.5. Chứng minh dãy hàm fn(x) = sin(nx) là bị chặn đều trên [0, 2π] nhưng không tồn tại dãy con nào hội tụ. x 2.6. Chứng tỏ dãy hàm f (x) = hội tụ đều trên R về hàm f và n 1 + nx2 0 0 0 0 f (x) = lim fn(x), ∀x 6= 0; f (0) 6= lim fn(0). n→∞ n→∞ 2 2 n 2.7. Chứng tỏ dãy hàm fn(x) = n x(1−x ) hội tụ về một hàm f trên [0, 1], nhưng Z 1 Z 1 f(x)dx 6= lim fn(x)dx. 0 n→∞ 0 2.8. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm X∞ 3n(x + 1)n X∞ sin(nx) X∞ x + n ; ; n ; 5n2 n2 n2 + x2 n=1 n=1 n=1 µ ¶ X∞ 7(x − 2)n X∞ nx X∞ (2x + 1)n ; sin ; − √ . 2nn5 n2 + 1 2 n=1 n=1 n=2 3 n − 1 µ ¶ X∞ x X∞ (2 − 3x)n X∞ n3(x + 2)n sin ; √ ; ; n2 + x2 4n n=1 n=1 n n + 1 n=1 X∞ cos(n3x) X∞ sin(n2x) X∞ 11(3 − x)n ; ; . n2 1 + n2.x2 4nn3 n=1 n=1 n=1 µ ¶ X∞ x + 2 n X∞ (3 − x)n X∞ √ n2 ; ; (x + 1)n n. 2 n ln n n=1 n=1 n=1 2.9. Khai triển MacLaurin các hàm √ x cos x − sin x; (2 − ex)2; 4 + x; µ ¶ √ 1 + x ln(x + 1 + x2); ln ; ln(x2 + x + 1). 1 − x 2.10. Phân tích dưới dạng chuỗi Fourier các hàm sau, được cho trên [−1, 1]: f(x) = x2; g(x) = 1 − |x|; h(x) = x.
  33. Chương 3. KHÔNG GIAN RN 3.1. Không gian vectơ Rn 3.1.1. Định nghĩa Với R là tập số thực, ta ký hiệu Rn là tập hợp tất cả các bộ được sắp n số thực: x = (x1, x2, ··· , xn); xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. xi được gọi là toạ độ thứ i của x. n Với mỗi cặp phần tử trong R : x = (x1, x2, ··· , xn), y = (y1, y2, ··· , yn) ta gọi tổng x + y là phần tử trong Rn được cho bởi x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ··· , xn + yn). n Với mỗi cặp λ ∈ R, x = (x1, x2, ··· , xn) ∈ R ta gọi tích của x với số vô hướng λ là phần tử λx = (λx1, λx2, ··· , λxn). Đặc biệt, ta ký hiệu −x := (−1)x = (−x1, −x2, ··· , −xn) và 0 là phần tử có tất cả các toạ độ bằng 0: 0 := (0, 0, ··· , 0). Dễ kiểm chứng được rằng Rn cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên trường số thực R. Tức là, với mọi λ, µ ∈ R, x, y ∈ Rn ta có a) x + y = y + x; b) (x + y) + z = x + (y + z); c) 0 + x = x + 0 = x; d) x + (−x) = 0; e) λ(x + y) = λx + λy; f) (λ + µ)x = λx + µx; g) (λµ)x = λ(µx); h) 1x = x.
  34. 33 Từ đó, mỗi phần tử x ∈ Rn được gọi là một n−vectơ hay là một vectơ thực n chiều. 3.1.2. Tích vô hướng Với mỗi cặp vectơ x, y ∈ Rn ta định nghĩa tích vô hướng của x và y là số thực sau hx, yi := x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn. Rõ ràng, tích vô hướng h., .i là một ánh xạ từ Rn × Rn vào R. Các tính chất của tích vô hướng được thể hiện trong mệnh đề sau Định lý 3.1. Với mọi x, y, z ∈ Rn và λ ∈ Rn ta có a) hx, xi ≥ 0 ; b) hx, xi = 0 ⇔ x = 0; c) hx, yi = hy, xi; d) hλx, yi = hx, λyi = λhx, yi; e) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi. Hai vectơ x và y sẽ được gọi là trực giao (hay vuông góc) với nhau và được ký hiệu là x⊥y nếu hx, yi = 0. Bổ đề 3.1 (Bất đẳng thức Schwarz). Cho x và y là hai vectơ, ta có hx, yi2 ≤ hx, xi.hy, yi. 3.1.3. Độ dài vectơ Với mỗi vectơ x ∈ Rn, ta gọi độ dài (hay chuẩn) của x là số thực kxk được định nghĩa bởi: p q 2 2 2 kxk := hx, xi = x1 + x2 + ··· + xn. Định lý 3.2. Với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ R ta có a) kxk ≥ 0; b) kxk = 0 ⇔ x = 0; c) kλxk = |λ|.kxk; d) kx + yk ≤ kxk + kyk. Định lý 3.3 (Pythagore). Cho x, y ∈ Rn. Lúc đó, x⊥y ⇐⇒ kx + yk2 = kxk2 + kyk2 = kx − yk2. Định lý 3.4 (Đẳng thức hình bình hành). Cho x, y ∈ Rn. Lúc đó, ¡ ¢ kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 .
  35. 34 3.2. Hàm khoảng cách và sự hội tụ 3.2.1. Hàm khoảng cách trong Rn Dựa trên định nghĩa độ dài của các vectơ người ta đưa vào khái niệm khoảng cách giữa hai vectơ trong Rn. Cụ thể, ta định nghĩa ánh xạ d : Rn × Rn → R, xác định bởi d(x, y) := kx − yk; ∀x, y ∈ Rn. Lúc đó, d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y, và d được gọi là hàm khoảng cách (Euclide) trên Rn. Định lý sau đây có thể suy ra trực tiếp từ Định lý 3.2. Định lý 3.5. Với mọi x, y, z ∈ Rn ta có a) d(x, y) ≥ 0; b) d(x, y) = 0 ⇔ x = y; c) d(x, y) = d(y, x); d) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z). Bổ đề 3.2. Với mọi x, y, z ∈ Rn ta có a) d(x + z, y + z) = d(x, y); Pn b) i=1 |xi − yi| ≥ d(x, y) ≥ |xj − yj|, với mọi 1 ≤ j ≤ n. 3.2.2. Sự hội tụ của dãy k n n Cho (x )k∈N ⊂ R là một dãy các vectơ. Ta nói dãy này hội tụ về vectơ x¯ ∈ R , và ký hiệu x¯ = lim xk hay xk k−→→∞ x,¯ k→∞ k nếu dãy số thực (d(x , x¯))k∈N hội tụ về không. Tức là x¯ = lim xk ⇐⇒ lim d(xk, x¯) = 0. k→∞ k→∞ Một dãy (xk) ⊂ Rn được gọi là bị chặn nếu tồn tại số dương M sao cho kxkk ≤ M; ∀k ∈ N, và được gọi là dãy Cauchy nếu lim d(xm, xk) = 0. k,m→∞ Điều này được hiểu là: m k ∀² > 0, ∃n0 ∈ N, ∀m, k ≥ n0 : d(x , x ) < ².
  36. 35 Bây giờ ta để ý rằng việc cho một dãy vectơ (xk) ⊂ Rn tương đương với việc k cho n dãy số thực, đó là các dãy (xi )k∈N, 1 ≤ i ≤ n. Định lý sau cho mối quan hệ giữa các dãy này k Bổ đề 3.3. Cho dãy vectơ (x )k∈N. Lúc đó k k a) (x ) bị chặn (Cauchy) ⇐⇒ (xi )k∈N bị chặn (Cauchy) trong R, với mọi i. k k→∞ k k→∞ b) x −→ x¯ ⇐⇒ xi −→ x¯i, với mọi i. c) (xk) hội tụ ⇐⇒ (xk) là dãy Cauchy. k k k Hệ quả 3.1. Cho các dãy vectơ (x )k∈N, (y )k∈N và dãy số (λk) sao cho x → x¯; k ¯ y → y¯; λk → λ. Lúc đó a) xk ± yk → x¯ ± y.¯ b) d(xk, yk) → d(¯x, y¯). c) hxk, yki → hx,¯ y¯i. k ¯ d) λkx → λx.¯ Hệ quả 3.2 (Định lý Bolzano-Weierstrass). Mọi dãy bị chặn trong Rn đều tồn tại dãy con hội tụ. 3.3. Tôpô trên Rn 3.3.1. Các khái niệm cơ bản Giả sử x0 là một điểm trong không gian Rn và r là một số thực dương, ta gọi hình cầu mở, hình cầu đóng, mặt cầu tâm x0 bán kính r lần lượt là các tập sau đây: B(x0; r) ={x ∈ Rn | d(x0, x) 0 ta có B(x0; ²) ∩ A 6= ∅ và B(x0; ²) \ A 6= ∅. Tập các điểm trong, điểm ngoài, điểm biên của A lần lượt được gọi là phần trong, phần ngoài, biên của A và được ký hiệu là Int(A), Ext(A) và ∂A. Rõ ràng, ba tập này lập thành một phân hoạch của Rn (nghĩa là chúng rời nhau nhưng có hợp bằng Rn). Hơn nữa, từ định nghĩa ta cũng có: Int(A) ⊂ A ⊂ Int(A) ∪ ∂A; Ext(A) ⊂ Rn \ A.
  37. 36 Tập A được gọi là mở nếu A = Int(A) và được gọi là đóng nếu A = Int(A) ∪ ∂A, hay, một cách tương đương ∂A ⊂ A. Định lý 3.6. Với mọi A ⊂ Rn, Int(A) là mở và là tập con mở lớn nhất của A. Mệnh đề sau cho chúng ta mối quan hệ giữa hai khái niệm đóng và mở của tập hợp Mệnh đề 3.7. Cho A ⊂ Rn. Lúc đó A đóng nếu và chỉ nếu Rn \ A là mở. Tập hợp tất cả các tập con mở của Rn được gọi là tôpô trên Rn. Định lý sau cho ta tính chất của tôpô trên Rn. Định lý 3.8. a) ∅, Rn là các tập mở. b) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở. c) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở. Từ định lý này và từ Mệnh đề 3.7 ta có ngay các tính chất của họ các tập đóng, được phát biểu trong mệnh đề sau Hệ quả 3.3. a) ∅, Rn là các tập đóng. b) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. c) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng. Cho A ⊂ Rn. Ta gọi bao đóng của A là tập hợp được định nghĩa bởi \ A := B. B đóng và B⊃A Hệ quả 3.4. a) Với mọi A ⊂ Rn, A là đóng và là tập đóng bé nhất chứa A. b) A đóng khi và chỉ khi A = A. c) A = A ∪ ∂A. Một điểm x0 ∈ A được gọi là điểm dính của A. Mệnh đề sau cho ta đặc trưng của một điểm dính của A.
  38. 37 Mệnh đề 3.9. Cho A ⊂ Rn và x0 ∈ Rn. Lúc đó, x0 ∈ A ⇐⇒ ∃(xk) ⊂ A, xk → x0. Hệ quả 3.5. Một tập A ⊂ Rn là đóng khi, và chỉ khi, với mọi dãy (xk) ⊂ A hội tụ về x¯, ta có x¯ ∈ A. 3.3.2. Tập liên thông - Tập compact Tập A ⊂ Rn được gọi là không liên thông nếu tồn tại hai tập mở U, V sao cho U ∩ A 6= ∅; V ∩ A 6= ∅; U ∩ A ∩ V = ∅; U ∪ V ⊃ A. Ngược lại, A được gọi là liên thông. Một tập vừa mở vừa liên thông được gọi là một miền. Bao đóng của một miền được gọi là miền đóng. Từ định lý sau ta thấy một miền đóng cũng là tập liên thông. Định lý 3.10. Bao đóng của một tập liên thông là liên thông. Tập con A ⊂ Rn được gọi là compact nếu với mọi dãy (xk) ⊂ A tồn tại dãy con (xkm ) ⊂ (xk) hội tụ về một điểm x¯ ∈ A. Định lý 3.11. Một tập con của Rn là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn. Cho a, b ∈ Rn. Ta nói đoạn thẳng [a, b] là tập hợp [a, b] := {λa + (1 − λ)b | λ ∈ [0, 1]}. Hợp của một dãy liên tiếp các đoạn thẳng [ [a0, a1, ··· , am] := [ai−1, ai] 1≤i≤m được gọi là một đường gấp khúc nối a0 và am. Bổ đề 3.4. Một đường gấp khúc, và đặc biệt một đoạn thẳng, là compact và liên thông Định lý 3.12. Cho A ⊂ Rn là một tập mở. Lúc đó, A là một miền khi, và chỉ khi, với mọi cặp điểm a, b ∈ A tồn tại một đường gấp khúc nằm trọn vẹn trong A nối hai điểm đó.
  39. 38 3.4. Thực hành tính toán trên Maple 3.4.1. Vec-tơ và ma trận Để thực hiện các thao tác trên vec-tơ và ma trận trước tiên cần khởi động gói công cụ của đại số tuyến tính linalg bằng lệnh Cú pháp: [> with(linalg); a) Khai báo vec-tơ. Cú pháp: [> (tên vec-tơ):= [(liệt kê các thành phần của vec-tơ)]; Ví dụ: [> u:=[1, 2, x∧2]; u := [1, 2, x2] Thật ra, để định nghĩa vec-tơ u như trên ta còn có các cách khai báo khác. Chẳng hạn: [> u:=vector[1, 2, x∧2]; [> u:=array(1 3, [1, 2, x∧2]); [> u:=matrix(1,3, [1, 2, x∧2]); Tuy nhiên, cách dùng chúng vẫn khác nhau. Mặt khác nếu viết [> u:=matrix(3,1, [1, 2, x∧2]); ta được   1 u :=  2  x2 b) Khai báo ma trận. Cú pháp: [> (tên ma trận):= matrix(m, n, [ liệt kê các thành phần của ma trận]); Ví dụ: [> A:=matrix(3, 3, [1, 2, 1, a, x+1, 4, 1, x∧2, b]);   1 2 1 A := a x + 1 4 1 x2 b Thật ra, trong ví dụ trên ta có thể viết như sau và được kết quả tương tự [> A:=matrix([[1, 2, 1],[ a, x+1, 4],[1, x∧2, b]]); c) So sánh hai vec-tơ hoặc hai ma trận. Cú pháp: [> equal(biến 1, biến 2); Kết quả cho ra true hoặc false.
  40. 39 Ví dụ: [> A:=matrix(2,3,[1,2,3,4,5,6]); B:=matrix([[1,2,3],[4,5,6]]): [> equal(A, B); true 3.4.2. Các phép toán trên vectơ n a) Tính chuẩn của vec-tơ. Trên R có ba loại chuẩn thông thường là k · k1, k · k2 và k · k∞ được xác định bởi v u Xn uXn t 2 kxk1 := |xi|; kxk2 := xi ; kxk∞ := max |xi|. 1≤i≤n 1 1 Để tính chuẩn của x ta dùng lệnh Cú pháp: [> norm(x , loại chuẩn); (với loại chuẩn = 1, 2 hoặc infinity) Ví dụ: [> u:=[1, 2, 3]: [> norm(u, infinity); 3 [> norm(u, 2); √ 14 b) Khoảng cách giữa hai điểm. Điểm được xem như vec-tơ, nên khoảng cách giữa hai điểm cũng là khoảng cách giữa hai vec-tơ. Ở đây, khoảng cách được tính theo chuẩn Euclide. Trước tiên cần khởi động gói student: [> with(student); Cú pháp: [> distance(vec-tơ 1, vec-tơ 2); c) Tích vô hướng. Cú pháp: [> dotprod(vec-tơ 1, vec-tơ 2); hoặc innerprod(vec-tơ 1, vec-tơ 2); Ví dụ: [> u:=[1, 2, 3]: [> v:=[2, 0, 1]: [> dotprod(u,v); 5 d) Tích hữu hướng.
  41. 40 Cú pháp: [> crossprod(vec-tơ 1, vec-tơ 2); Ví dụ: Với u, v như trên: [> crossprod(u,v); [2, 5, −4] 3.4.3. Các phép toán trên ma trận a) Tổng, hiệu hai hoặc nhiều ma trận cùng cỡ. Cú pháp: [> evalm(A ± B ± C ); Ví dụ: [> A:=matrix([[1,x],[x,a],[0,1]]);B:=matrix([[x,a∧2],[x, 2],[a,b]]);   1 x A := x a 0 1   x a2 B := x 2  a b [> evalm(A-B);   1 − x x − a2  0 a − 2  −a 1 − b b) Nhân hai hoặc nhiều ma trận có cỡ phù hợp. Cú pháp: [> multiply(A, B, C ); c) Tích trong của ma trận và vec-tơ. Cho u ∈ Rm, A ∈ Rm×n, v ∈ Rn. Cú pháp: [> innerprod(u, A, v); (sẽ cho ra số thực bằng uT Av.) d) Tính định thức ma trận A. Cú pháp: [> det(A); Ví dụ: [> A:=matrix([[1,x],[x,a]]): [> det(A); a − x2
  42. 41 3.5. Bài tập 3.1. Trên Rn, chứng minh rằng nếu x1 ∈ B(x0; ²) thì B(x1; ²−kx1 −x0k) ⊂ B(x0; ²). 3.2. Chứng minh rằng với mọi x0 ∈ Rn và ² > 0, B(x0; ²) là tập mở, S(x0; ²) và B0(x0; ²) là các tập đóng. Hơn nữa, B0(x0; ²) = B(x0; ²) và B(x0; ²) = Int B0(x0; ²). 3.3. Cho hai tập hợp A, B ⊂ Rn. Chứng minh rằng a) Ext(A) = Int(Rn \ A); ∂(A) = ∂(Rn \ A). b) Nếu A ⊂ B thì Int(A) ⊂ Int(B) và A ⊂ B. c) Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ Int(B); A ∪ B = A ∪ B. d) Int(A ∪ B) ⊃ Int(A) ∪ Int(B); A ∩ B ⊂ A ∩ B. e) Tìm ví dụ cho thấy các dấu đẳng thức trong d) không nhất thiết xảy ra. 3.4. Cho A ⊂ Rn. Chứng minh các khẳng định sau tương đương a) A là tập đóng, b) ∀x 6∈ A, ∃² > 0,B(x; ²) ∩ A = ∅, c) ∀x ∈ Rn, (d(x, A) = 0 ⇒ x ∈ A). 3.5. Tìm ví dụ để chứng tỏ Định lý 3.12 không còn đúng nếu tập A không mở. 3.6. Một tập C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 − λ)y ∈ C. a) Chứng minh các hình cầu mở, đóng đều là các tập lồi. b) Chứng minh nếu C là tập lồi, thì C và Int C cũng là các tập lồi. c) Tìm một tập không lồi C ⊂ R2 sao cho C và Int C là các tập lồi. d) Cho C và D là các tập lồi. Chứng minh các tập C ± D, kC (k ∈ R) cũng lồi. 3.7. Giả sử C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn. Chứng minh rằng với mọi x ∈ Rn, tồn tại duy nhất c ∈ C sao cho kx − ck = d(x, C). Lúc đó, ta cũng có hx − c, c0 − ci ≤ 0 với mọi c0 ∈ C.