Giáo trình Điện động lực học

101 trang ngocly 2330

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Điện động lực học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_dien_dong_luc_hoc.pdf

Nội dung text: Giáo trình Điện động lực học

ĐOÀN THẾ NGÔ VINH Giáo trình ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC Vinh, 2010
Mục lục Giới thiệu 1 1 Các phương trình cơ bản của trường điện từ 2 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Trường điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Các đại lượng điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Điện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Dòng điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Định luật Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Định luật Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Dạng vi phân của định luật tĩnh điện Gauss . . . . . . . . 5 1.3 Định luật dòng toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Định luật bảo toàn điện tích . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Dòng điện dịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.3 Dạng vi phân của định luật dòng toàn phần . . . . . . . . 7 1.4 Nguyên lý về tính liên tục của từ thông . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Định luật cảm ứng điện từ Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Định luật Ohm và định luật Joule – Lentz . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.1 Dạng vi phân của định luật Ohm . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.2 Dạng vi phân của định luật Joule – Lentz . . . . . . . . . 9 1.7 Hệ phương trình Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7.1 Hệ phương trình Maxwell dạng vi phân . . . . . . . . . . 10 1.7.2 Hệ phương trình Maxwell dạng tích phân . . . . . . . . . 10 1.7.3 Ý nghĩa và điều kiện áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Năng lượng của trường điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9 Xung lượng của trường điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.10 Các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.10.1 Điều kiện biên của véctơ B~ . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.10.2 Điều kiện biên của véctơ D~ . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10.3 Điều kiện biên của véctơ E~ . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10.4 Điều kiện biên của véctơ H~ . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Trường điện từ tĩnh 17 2.1 Các phương trình của trường điện từ tĩnh . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Định nghĩa trường điện từ tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Các phương trình của trường điện từ tĩnh . . . . . . . . . 17 2.2 Thế vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 Trường điện tĩnh trong môi trường đồng chất. Thế vô hướng 18 i
2.2.2 Phương trình vi phân của thế vô hướng . . . . . . . . . . 18 2.3 Điện thế của một hệ điện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1 Điện thế của một điện tích điểm . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.2 Điện thế của hệ n điện tích điểm . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.3 Điện thế của một hệ điện tích phân bố liên tục . . . . . . 20 2.3.4 Điện thế của một lưỡng cực điện . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Vật dẫn trong trường điện tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.1 Vật dẫn trong trường điện tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2 Điện dung của một vật dẫn cô lập . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.3 Hệ số điện dung và hệ số cảm ứng của hệ vật dẫn . . . . 22 2.5 Điện môi đặt trong trường điện tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.1 Sự phân cực của điện môi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.2 Thế vô hướng tại mỗi điểm trong điện môi . . . . . . . . 24 2.5.3 Mối liên hệ giữa độ cảm điện môi và hệ số điện môi . . . 25 2.6 Năng lượng của trường điện tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.1 Biểu diễn năng lượng của trường điện tĩnh qua thế vô hướng 26 2.6.2 Năng lượng của một hệ điện tích điểm . . . . . . . . . . . 26 2.6.3 Năng lượng của một hệ vật dẫn tích điện . . . . . . . . . 27 2.6.4 Năng lượng của hệ điện tích đặt trong điện trường . . . . 27 2.7 Lực tác dụng trong trường điện tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Trường điện từ dừng 29 3.1 Các phương trình của trường điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 Trường điện từ dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2 Các phương trình của trường điện từ dừng . . . . . . . . 29 3.2 Các định luật cơ bản của dòng điện không đổi . . . . . . . . . . . 30 3.2.1 Định luật Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.2 Định luật Joule – Lentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.3 Định luật Kirchhoff thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.4 Định luật Kirchhoff thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Thế vectơ. Định luật Biot – Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.1 Thế vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.2 Phương trình vi phân của thế vectơ . . . . . . . . . . . . 33 3.3.3 Định luật Biot – Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4 Từ trường của dòng nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5 Từ môi trong từ trường không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5.1 Sự từ hóa của từ môi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5.2 Thế véctơ của từ trường khi có từ môi . . . . . . . . . . . 37 3.5.3 Mối liên hệ giữa độ cảm từ và độ từ thẩm . . . . . . . . . 39 3.6 Năng lượng của từ trường dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6.1 Biểu diễn năng lượng của từ trường dừng qua thế véctơ . 39 3.6.2 Năng lượng của hệ dòng dừng. Hệ số tự cảm và hệ số hỗ cảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.7 Lực tác dụng trong từ trường dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.7.1 Lực của từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.7.2 Lực từ tác dụng lên dòng nguyên tố . . . . . . . . . . . . 42 3.7.3 Năng lượng của dòng nguyên tố đặt trong từ trường ngoài 44 3.7.4 Mômen lực tác dụng lên dòng nguyên tố . . . . . . . . . 44 ii
4 Trường điện từ chuẩn dừng 45 4.1 Các phương trình của trường chuẩn dừng . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1 Các điều kiện chuẩn dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.2 Các phương trình của trường chuẩn dừng . . . . . . . . . 46 4.1.3 Thế véctơ và thế vô hướng của trường điện từ chuẩn dừng 47 4.1.4 Các phương trình vi phân của thế . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Các mạch chuẩn dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.1 Hệ dây dẫn có cảm ứng điện từ . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.2 Mạch điện có điện dung và tự cảm . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3 Hiệu ứng mặt ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4 Năng lượng của các mạch chuẩn dừng . . . . . . . . . . . . . . . 54 5 Sóng điện từ 56 5.1 Các phương trình của trường điện từ biến thiên nhanh . . . . . . 56 5.1.1 Các phương trình của trường biến thiên nhanh . . . . . . 56 5.1.2 Thế vô hướng và thế vectơ của trường điện từ biến thiên nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.1.3 Phương trình vi phân của thế vô hướng và thế vectơ . . 57 5.1.4 Nghiệm của phương trình thế. Thế trễ . . . . . . . . . . . 58 5.2 Sự bức xạ của lưỡng cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2.1 Định nghĩa lưỡng cực bức xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2.2 Thế vô hướng của lưỡng cực bức xạ . . . . . . . . . . . . 60 5.2.3 Thế véctơ của lưỡng cực bức xạ . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2.4 Điện từ trường của dao động tử tuyến tính . . . . . . . . 61 5.2.5 Tính chất điện từ trường của dao động tử tuyến tính . . . 63 5.2.6 Lưỡng cực bức xạ tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.3 Trường điện từ tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3.1 Các phương trình của trường điện từ tự do . . . . . . . . 64 5.3.2 Sóng điện từ phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4 Sóng điện từ phẳng đơn sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.5 Sóng điện từ trong chất dẫn điện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.6 Sự phản xạ và khúc xạ sóng điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.6.1 Điều kiện biên đối với các véctơ sóng . . . . . . . . . . . . 68 5.6.2 Các định luật phản xạ và khúc xạ sóng điện từ . . . . . . 69 5.6.3 Hệ số phản xạ và khúc xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6 Tương tác giữa điện tích và điện từ trường 73 6.1 Các phương trình cơ bản của thuyết electron . . . . . . . . . . . 73 6.1.1 Đặc điểm của điện động lực học vĩ mô và vi mô . . . . . . 73 6.1.2 Các phương trình cơ bản của thuyết electron . . . . . . . 73 6.2 Mối quan hệ giữa điện động lực học vĩ mô và vi mô . . . . . . . 75 6.2.1 Giá trị trung bình của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2.2 Phép lấy trung bình điện từ trường . . . . . . . . . . . . . 75 6.2.3 Phép lấy trung bình mật độ dòng điện . . . . . . . . . . . 76 6.2.4 Phép lấy trung bình mật độ điện tích . . . . . . . . . . . 76 6.2.5 Mối quan hệ giữa các phương trình Maxwell và các phương trình Maxwell – Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.3 Chuyển động của điện tích tự do trong trường điện từ . . . . . . 78 iii
6.3.1 Phương trình chuyển động của điện tích trong trường điện từ 78 6.3.2 Chuyển động của điện tích trong trường tĩnh điện . . . . 78 6.3.3 Chuyển động của điện tích trong từ trường dừng . . . . . 79 6.4 Chuyển động của electron trong nguyên tử đặt vào từ trường ngoài 81 6.4.1 Ảnh hưởng của từ trường ngoài lên dao động và bức xạ của nguyên tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.4.2 Chuyển động tiến động của electron . . . . . . . . . . . . 82 7 Điện môi và từ môi 85 7.1 Sự phân cực của điện môi trong điện trường . . . . . . . . . . . . 85 7.1.1 Sự phân cực của các điện môi có phân tử không cực . . . 85 7.1.2 Sự phân cực của các điện môi có phân tử có cực . . . . . 87 7.1.3 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2 Thuyết cổ điển về tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2.1 Hiện tượng tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2.2 Hiện tượng tán sắc thường và tán sắc dị thường . . . . . 90 7.3 Nghịch từ và thuận từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.3.1 Nghịch từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.3.2 Thuận từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.4 Thuyết cổ điển về sắt từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 iv
Giới thiệu Điện động lực là học thuyết về trường điện từ và sự liên hệ giữa nó với điện tích và dòng điện. Điện động lực học cổ điển được xét theo hai quan điểm vĩ mô và vi mô. Điện động lực học vĩ mô nghiên cứu các hiện tượng điện từ không quan tâm tới tính gián đoạn của các điện tích và cấu trúc phân tử, nguyên tử của môi trường vật chất. Các vật thể được coi là các môi trường liên tục, và điện tích cũng được coi là phân bố liên tục trong không gian. Điện động lực học vĩ mô dựa trên hệ phương trình Maxwell, được xem như một tiên đề tổng quát, từ đó bằng suy luận logic và bằng phương pháp chứng minh toán học chặt chẽ để rút ra các kết luận khác về các hiện tượng điện từ. Điện động lực học vi mô nghiên cứu các hiện tượng điện từ có xét đến cấu trúc phân tử, nguyên tử của môi trường vật chất và tính gián đoạn của các điện tích. Ở đây dựa trên hệ phương trình Maxwell – Lorentz để khảo sát. Phương pháp này cho phép giải thích được cơ cấu và hiểu được bản chất của nhiều hiện tượng điện từ mà điện động lực học vĩ mô chỉ có thể mô tả về mặt hình thức. Điện động lực học vi mô có quan hệ với điện động lực học vĩ mô qua việc lấy trung bình các đại lượng điện từ vi mô để nhận được các đại lượng điện từ vĩ mô tương ứng. Trong giáo trình này phần điện động lực học vĩ mô được trình bày trong năm chương đầu Chương 1 Các phương trình cơ bản của trường điện từ. Chương 2 Trường điện từ tĩnh. Chương 3 Trường điện từ dừng. Chương 4 Trường điện từ chuẩn dừng. Chương 5 Sóng điện từ. phần điện động lực học vi mô được trình bày trong hai chương cuối Chương 6 Tương tác giữa điện tích và điện trường. Chương 7 Điện môi và từ môi. Để học được học phần này người học phải được trang bị các kiến thức cơ sở như toán cao cấp đặc biệt là giải tích véctơ, điện đại cương, cơ học đại cương, cơ học lý thuyết. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng chắc giáo trình này sẽ không tránh khỏi các hạn chế. Tác giả chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp từ độc giả để giáo trình này ngày càng được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến xin gủi về Đoàn Thế Ngô Vinh, Khoa Vật lý, Đại học Vinh, hoặc email: doanvinhdhv@gmail.com TP Vinh, tháng 9 năm 2010. Đoàn Thế Ngô Vinh 1
Chương 1 Các phương trình cơ bản của trường điện từ 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.1 Trường điện từ Trường điện từ là khoảng không gian vật lý trong đó có tồn tại lực điện và lực từ. Tại mỗi điểm của trường điện từ được đặc trưng bởi bốn véctơ: véctơ cường độ điện trường E~ , véctơ cảm ứng điện (còn gọi là véctơ điện dịch) D~ , véctơ cường độ từ trường H~ , véctơ cảm ứng từ B~ . Bốn véctơ này là những hàm của tọa độ và thời gian, chúng không biến thiên một cách bất kỳ mà tuân theo những quy luật nhất định, những quy luật đó được mô tả dưới dạng các phương trình Maxwell mà ta sẽ nghiên cứu trong chương này. 1.1.2 Các đại lượng điện từ Các đại lượng véctơ E~ , D~ , H~ và B~ nói chung là các hàm của tọa độ và thời gian, chúng xác định mọi quá trình điện từ ở trong chân không cũng như trong môi trường vật chất. Đối với môi trường đẳng hướng ta có: D~ = εE~ (1.1) B~ = µH~ (1.2) Trong đó ε và µ tương ứng là hệ số điện thẩm và hệ số từ thẩm của môi trường, các hệ số này nói chung là những hàm của tọa độ, thời gian và cường độ của trường điện từ. Tuy nhiên để đơn giản chỉ xét trường hợp ε và µ là các hằng số. Trong hệ đơn vị SI các đại lượng trên có đơn vị và thứ nguyên như sau: E~ Vm−1 [m.kg.s−3.A−1] D~ Cm−2 [m−2.s.A] H~ Am−1 [m−1.A] B~ T [kg.s−2.A−1] ε Fm−1 [m−3.kg−1.s4.A2] µ Hm−1 [m.kg.s2.A−2] 2
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 3 1 −9 −1 −7 −1 Trong chân không ε0 = 4π 9.10 Fm ; µ0 = 4π.10 Hm . Thực nghiệm 1 1 chứng tỏ rằng ε0µ0 = c2 , c là vận tốc ánh sáng trong chân không . Ngoài ra người ta còn định nghĩa: ε µ ε0 = ; µ0 = ε0 µ0 là hệ số điện môi tỷ đối và hệ số từ thẩm tỷ đối của môi trường. Chúng là những đại lượng không có thứ nguyên. 1.1.3 Điện tích Trong điện động lực học vĩ mô điện tích được coi là phân bố liên tục trong không gian. Nếu điện tích phân bố liên tục trong một thể tích V nào đó, ta định nghĩa mật độ điện tích khối tại mỗi điểm là: ∆q ρ = lim (1.3) ∆V →0 ∆V Trong đó ∆V là thể tích nhỏ bất kỳ bao quanh điểm quan sát, ∆q là lượng điện tích chứa trong thể tích đó. Đơn vị mật độ điện tích khối Cm−3. Nếu điện tích phân bố liên tục trên một mặt S nào đó ta định nghĩa mật độ điện tích mặt tại mỗi điểm là: ∆q σ = lim (1.4) ∆S→0 ∆S trong đó ∆S là diện tích nhỏ bất kỳ bao quanh điểm quan sát, ∆q là điện tích có ở trong ∆S. Đơn vị của mật độ điện tích mặt là Cm−2. Đối với điện tích điểm thì điện tích tập trung tại một điểm, mật độ điện tích bằng dần tới vô cùng tại nơi có điện tích điểm. Khi đó ta có thể biểu diễn mật độ điện tích dưới dạng hàm Delta2 . X ρ = qiδ (~r − ~ri) (1.5) ~ri là bán kính véctơ của điện tích còn ~r là bán kính véctơ của điểm quan sát. Do các định nghĩa trên, giá trị của điện tích nguyên tố có thể viết: dq = ρ dV (1.6) dq = σ dS (1.7) 1.1.4 Dòng điện Trong điện động lực học vĩ mô dòng điện cũng được xem là phân bố liên tục trong không gian và đó là dòng chuyển dời có hướng của các điện tích. Nếu dòng điện phân bố liên tục trong thể tích nào đó, ta định nghĩa mật độ dòng điện khối ~j tại mỗi điểm bằng hệ thức: ∆I ~j = lim (1.8) ∆S→0 ∆S 1vận tốc ánh sáng trong chân không xấp xỉ 3.108ms−1 ( 2 ∞ (~r = ~ri) Hàm Delta δ (~r − ~ri) = 0 (~r 6= ~ri)
4 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH trong đó ∆I là cường độ dòng điện chạy qua mặt nhỏ bất kỳ ∆S chứa điểm quan sát và vuông góc với phương của dòng điện tại điểm quan sát. Phương và chiều của véctơ ~j trùng với phương và chiều của dòng điện tại điểm quan sát. Đơn vị của mật độ dòng điện là Am−2. Nếu dòng điện được phân bố liên tục trên một mặt bất kỳ nào đó. Ta định nghĩa mật độ dòng điện mặt ~i tại mỗi điểm bằng hệ thức: ∆I |~i| = lim (1.9) ∆l→0 ∆l trong đó ∆I là cường độ dòng điện mặt chạy qua một đoạn bất kỳ ∆l chứa điểm quan sát và vuông góc với dòng điện tại điểm quan sát. Phương, chiều của véctơ ~i trùng với phương và chiều của dòng điện tại điểm quan sát. Do các định nghĩa trên, giá trị của dòng điện nguyên tố là: dI = ~j dS~ = jndS = jdS cos α (1.10) ~ dI =~i dl = indl = idl cos α (1.11) α là góc hợp bởi véctơ ~j (hoặc véctơ ~i ) với pháp tuyến ~n của dS~ (hoặc d~l ). 1.2 Định luật Coulomb 1.2.1 Định luật Coulomb Lực tác dụng giữa hai điện tích điểm q và q0 đặt trong môi trường đồng nhất có hệ số điện thẩm ε cho bởi 1 qq0 F = (1.12) 4πε r2 r là khoảng cách giữa hai điện tích Trên cơ sở lý thuyết trường tương tác giữa hai điện tích điểm q và q0 có thể giải thích: (a) điện tích điểm q tạo ra quanh nó điện trường có cường độ điện trường 1 q ~r E~ = (1.13) 4πε r2 r ~r là bán kính véctơ tính từ điện tích q đến điểm tính trường (b) điện tích điểm q0 đặt trong điện trường chịu tác dụng của lực F~ = q0E~ (1.14) Có thể coi (1.14) là cách biểu diễn khác của định luật Coulomb, nó phù hợp với nguyên lý tác dụng gần, đúng cho mọi trường hợp và không phụ thuộc vào nguyên nhân gây ra điện trường E~ . Còn (1.12) phù hợp với nguyên lý tác dụng xa, biểu diễn tương tác tức thời giữa hai điện tích và chỉ đúng trong trường hợp các điện tích chuyển động chậm và khoảng cách giữa chúng không lớn lắm. Theo (1.13) cường độ điện trường phụ thuộc vào phân bố điện tích trong không gian và hệ số điện thẩm của môi trường. Để thuận tiện tính toán người
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 5 ta đưa vào véctơ cảm ứng điện hay véctơ điện dịch theo (1.1). Đối với điện tích điểm q ta có 1 q ~r D~ = (1.15) 4π r2 r Véctơ cảm ứng điện chỉ phụ thuộc vào phân bố điện tích trong không gian mà không phụ thuộc tính chất của môi trường. 1.2.2 Dạng vi phân của định luật tĩnh điện Gauss Giả sử trong mặt kín S có một lượng điện tích q. Theo định luật tĩnh điện Gauss ta có I N = D~ dS~ = q (1.16) S N là thông lượng của véctơ cảm ứng điện D~ gửi qua mặt kín S. Ta có q = R R dq = V ρ dV nên (1.16) trở thành I Z D~ dS~ = ρ dV S V H ~ ~ R ~ R ~ R Mặt khác S D dS = V divD dV nên V divD dV = V ρ dV . Do mặt S và thể tích V do nó bao bọc được chọn bất kỳ nên divD~ = ρ (1.17) đó là dạng vi phân của định luật tĩnh điện Gauss. Từ (1.17) nếu trong thể tích V nào đó mà ρ = 0 thì thông lượng của véctơ cảm ứng điện gửi qua mặt kín S bao thể tích V bằng không, nghĩa là đường sức của véctơ D~ không bắt đầu và cũng không kết thúc trong V . Tại những điểm có ρ 6= 0 thì đường sức của véctơ D~ bắt đầu (ρ > 0) hoặc kết thúc (ρ < 0) tại đó. Như vậy mật độ điện tích ρ là nguồn của véctơ D~ 1.3 Định luật dòng toàn phần 1.3.1 Định luật bảo toàn điện tích Xét thể tích V không đổi được giới hạn bởi mặt kín S không đổi, trong đó R chứa điện tích q = V ρ dV . Giả sử điện tích trong V thay đổi theo thời gian, trong đơn vị thời gian nó biến đổi một lượng dq d Z Z ∂ρ = ρ dV = dV dt dt V V ∂t Điện tích được bảo toàn nên phải có dòng điện tích (dòng điện) chảy qua mặt kín S. Dòng điện chảy vào nếu điện tích trong V tăng, chảy ra nếu điện tích trong V giảm. Xét nguyên tố mặt dS trên mặt kín S. Trong đơn vị thời gian điện lượng chảy qua dS (chính là cường độ dòng điện chảy qua dS) là dI = ρ~vdS~ = ~j dS~. Với ~v là vận tốc của điện tích tại dS. Do đó ~j = ρ~v (1.18)
6 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH Điện lượng chảy qua mặt kín S trong đơn vị thời gian là Z I I I = dI = ρ~vdS~ = ~j dS~ S S Do chiều dương của mặt S hướng từ trong ra ngoài nên cường độ dòng điện là dương khi chảy từ trong ra ngoài và âm khi chảy từ ngoài vào trong. Định luật bảo toàn điện tích viết dạng dq = −I dt Z ∂ρ I dV = − ~j dS~ V ∂t S H ~ ~ R ~ R ∂ρ R ~ Mặt khác S j dS = V divj dV do đó V ∂t dV = − V divj dV . Do thể tích V bất kỳ nên ta có ∂ρ = −div~j ∂t ∂ρ div~j + = 0 (1.19) ∂t Tại một điểm nào đó điện tích biến đổi theo thời gian thì phải có dòng điện chảy tới điểm đó hoặc từ điểm đó chảy đi. (1.19) là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích, còn gọi là phương trình liên tục. 1.3.2 Dòng điện dịch Đối với dòng điện không đổi thì mật độ điện tích tại mỗi điểm không phụ thuộc vào thời gian do đó (1.19) trở thành div~j = 0, nghĩa là đường sức của véctơ ~j khép kín, không có điểm đầu và không có điểm kết thúc. ~ ∂ρ ~ Đối với dòng điện biến đổi divj = ∂t 6= 0. Đường sức của véctơ j không khép kín mà xuất phát hoặc kết thúc ở những nơi có mật độ điện tích biến đổi theo thời gian. Xét một mạch điện có tụ điện, đối với dòng điện không đổi đường sức của nó khép kín nên dòng điện không đổi không thể chạy trong mạch này. Còn dòng điện biến đổi có thể chảy qua mạch này, đường sức của nó bắt đầu và kết thúc ở hai bản tụ điện, nơi có điện tích thay đổi theo thời gian. Do véctơ ~j liên quan tới sự chuyển động của điện tích nên gọi nó là mật độ dòng điện dẫn. Giữa hai bản tụ không có điện tích chuyển động nên không có dòng điện dẫn, nhưng dòng điện vẫn chạy trong mạch. Do đó cần giả thiết tồn tại quá trình nào đó giữa hai bản tụ tương đương với sự có mặt của dòng điện dẫn. Người ta nói giữa hai bản tụ tồn tại dòng điện dịch. Nó có nhiệm vụ khép kín dòng điện dẫn trong mạch. Ta tìm biểu thức của dòng điện dịch. Đạo hàm (1.17) theo thời gian được ∂D~ ∂ρ ~ div ∂t = ∂t = −divj hay ∂D~ div +~j = 0 (1.20) ∂t Từ (1.20) ta có ∂D~ có thứ nguyên như của ~j (thứ nguyên mật độ dòng điện). ∂t ∂D~ ∂D~ ~ Do đó ∂t gọi là véctơ mật độ dòng điện dịch. ∂t + j là véctơ có đường sức khép kín và gọi là véctơ mật độ dòng toàn phần.
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 7 Như vậy trường của dòng điện toàn không có nguồn, nghĩa là các đường sức của dòng toàn phần phải là những đường khép kín hoặc đi ra vô cực. Do đó, nơi nào các đường sức của dòng điện dẫn gián đoạn thì các đường sức của dòng điện dịch nối tiếp ngay với chúng. Mặc dù dòng điện dẫn và dòng điện dịch có tên gọi “dòng điện” như nhau, nhưng chúng là những khái niệm vật lý khác nhau. Đặc trưng tổng quát duy nhất của chúng là ở chỗ là chúng đã gây ra từ trường như nhau. Dòng điện dịch và dòng điện dẫn có bản chất vật lý hoàn toàn khác nhau. Dòng điện dẫn tương ứng với sự chuyển động của các điện tích, còn dòng điện dịch tương ứng với sự biến thiên của cường độ điện trường và không liên quan đến sự chuyển động của điện tích hay bất cứ hạt vật chất nào khác. 1.3.3 Dạng vi phân của định luật dòng toàn phần Đối với dòng điện không đổi định luật dòng toàn phần3 được phát biểu “Lưu thông cường độ từ trường quanh đường cong kín L bằng tổng đại số các dòng điện xuyên qua đường cong kín đó ”. Dạng toán học I H~ d~l = I (1.21) L I là tổng đại số các dòng điện xuyên qua đường cong kín, chiều dương của đường cong hợp với chiều dương dòng điện theo quy tắc vặn nút chai (Hình 1.1). Ta có Z I = ~j dS~ S I Z Hình 1.1: H~ d~l = rotH~ dS~ L S do đó (1.21) viết lại Z Z rotH~ dS~ = ~j dS~ S S Do mặt S là bất kỳ nên rotH~ = ~j (1.22) (1.22) là dạng vi phân của định luật dòng toàn phần đối với dòng điện không đổi. Đối với dòng biến đổi ngoài dòng điện dẫn còn có dòng điện dịch. Dòng điện dịch này cũng gây ra xung quanh nó một từ trường xoáy như dòng diện dẫn bằng nó. Vì vậy (1.22) cần tổng quát hoá dạng ∂D~ rotH~ = ~j + (1.23) ∂t (1.23) là dạng vi phân của định luật dòng toàn phần, nó có ý nghĩa vật lý: giống như dòng điện dịch sự biến thiên của điện trường theo thời gian cũng sinh ra từ trường xoáy. 3Định lý Ampere
8 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 1.4 Nguyên lý về tính liên tục của từ thông Đường sức từ trường là liên tục nghĩa là nó không có điểm xuất phát và điểm kết thúc. Xét mặt kín S bất kì thì số đường sức đi vào mặt S phải bằng số đường sức đi ra khỏi mặt S. Nghĩa là tổng đại số các đường sức xuyên qua mặt kín S bằng 0. Hay I φ = B~ dS~ = 0 (1.24) S (1.24) biểu diễn nguyên lý về tính liên tục của từ thông H ~ ~ H ~ Ta có S B dS = V divB dV = 0 nên divB~ = 0 (1.25) (1.25) là dạng vi phân của nguyên lý về tính liên tục của từ thông. So sánh (1.25) với (1.17) dễ dàng thấy được sự khác nhau giữa điện trường và từ trường. Đường sức của véctơ D~ không liên tục, nguồn của nó là các điện tích tự do. Còn đường sức của véctơ B~ là liên tục. 1.5 Định luật cảm ứng điện từ Faraday Xét diện tích S bất kỳ giới hạn bởi đường cong kín L. Nếu từ thông qua S biến thiên theo thời gian thì trên L xuất hiện suất điện động cảm ứng. dφ E = − (1.26) dt E là suất điện động cảm ứng xuất hiện trên đường cong kín L. Chiều dương của L và chiều dương của mặt S chọn theo quy tắc vặn nút chai. Dấu trừ chỉ chiều của suất điện động cảm ứng. φ là thông lượng của véctơ cảm ứng từ B~ qua mặt S, được tính theo (1.24). Mặt khác suất điện động cảm ứng bằng công lực điện F~ dịch chuyển điện tích dương bằng đơn vị dọc theo L đúng một vòng. F~ = qE~ = (+1)E~ nên I I E = F~ d~l = E~ d~l L L Do đó (1.26) trở thành I d Z E~ d~l = − B~ dS~ (1.27) L dt S Áp dụng định lý Stokes ta có Z Z ∂B~ rotE~ dS~ = − dS~ S S ∂t Do S bất kì nên ∂B~ rotE~ = − (1.28) ∂t Nếu từ trường biến thiên theo thời gian thì nó sẽ gây ra một điện trường xoáy. (1.28) là dạng vi phân của định luật cảm ứng điện từ Faraday.
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 9 1.6 Định luật Ohm và định luật Joule – Lentz 1.6.1 Dạng vi phân của định luật Ohm Định luật Ohm đối với đoạn dây dẫn có dạng ∆ϕ = IR (1.29) ∆ϕ là hiệu điện thế hai đầu dây, R là điện trở của dây và I là cường độ dòng điện chảy qua dây. Gọi λ là điện dẫn suất ta có R = l , l và S là chiều dài và Hình 1.2: λS tiết diện của dây. Xét một điểm P trong lòng vật dẫn tại đó có cường độ điện trường E~ . Lấy hình trụ vô cùng nhỏ bao quanh P sao cho đường sinh song song với E~ , chiều dài và tiết diện hình trụ là ∆l và ∆S (Hình 1.2). Hình trụ vô cùng nhỏ nên trong đó có thể coi E~ , I, λ là không đổi. Áp dụng định luật Ohm cho đoạn dây hình trụ. ∆l ∆ϕ = IR = I λ∆S Mặt khác I = j∆S; ∆ϕ = E∆l, nên ta có j = λE hay ~j = λE~ (1.30) (1.30) là dạng vi phân của định luật Ohm. 1.6.2 Dạng vi phân của định luật Joule – Lentz Định luật Joule – Lentz đối với đoạn dây dẫn có dạng ∆Q = I2R∆t (1.31) ∆Q là nhiệt lượng toả ra trên dây trong thời gian ∆t. Xét một điểm P trong lòng vật dẫn tại đó có véctơ mật độ dòng điện ~j. Xét hình trụ vô cùng bé bao quanh điểm P tương tự như mục trước trong đó có thể coi ~j, λ là không đổi. Ta có 1 ∆l ∆V ∆t ∆Q = (j∆S)2 ∆t = j2 λ ∆S λ ∆Q j2 Với ∆V là thể tích hình trụ nhỏ, gọi q = ∆V.∆t = λ là nhiệt lượng toả ra trên một đơn vị thể tích trong một đơn vị thời gian q = ~jE~ (1.32) (1.32) là dạng vi phân của định luật Joule – Lentz
10 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 1.7 Hệ phương trình Maxwell 1.7.1 Hệ phương trình Maxwell dạng vi phân ∂B~ rotE~ = − (1.33) ∂t ∂D~ rotH~ = ~j + (1.34) ∂t divD~ = ρ (1.35) divB~ = 0 (1.36) 1.7.2 Hệ phương trình Maxwell dạng tích phân I d Z E~ d~l = − B~ dS~ (1.37) L dt S I d Z H~ d~l = I + D~ dS~ (1.38) L dt S I D~ dS~ = q (1.39) S I B~ dS~ = 0 (1.40) S Các phương trình Maxwell trên cùng với các phương trình liên hệ D~ = εE~ B~ = µH~ tạo thành hệ đủ các phương trình Maxwell 1.7.3 Ý nghĩa và điều kiện áp dụng Các phương trình (1.33) và (1.37) diễn tả định luật cảm ứng điện từ Faraday, các phương trình (1.34) và (1.38) diễn tả định luật dòng toàn phần. Các phương trình trình trên còn diễn tả mối quan hệ giữa điện trường và từ trường: điện trường biến thiên theo thời gian sinh ra từ trường xoáy và ngược lại từ trường biến thiên theo thời gian cũng sinh ra điện trường xoáy. Các phương trình (1.35) và (1.39) diễn tả định luật tĩnh điện Gauss, chúng cũng cho biết đường sức của véctơ cảm ứng điện xuất phát hoặc kết thúc ở điện tích Các phương trình (1.36) và (1.40) có nghĩa là đường sức của véctơ cảm ứng từ không có điểm xuất phát hoặc kết thúc, chúng khép kín hoặc đi xa vô tận Hệ đủ các phương trình Maxwell cho phép xác định được trạng thái của trường điện từ một cách đơn giá. Điều kiện áp dụng • Các vật thể đứng yên hoặc chuyển động chậm trong điện từ trường. • ε; µ không phụ thuộc thời gian và các véctơ đặc trưng cho từ trường. • Trong điện từ trường không có nam châm vĩnh cửu hoặc sắt từ.
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 11 1.8 Năng lượng của trường điện từ Thực nghiệm cho biết muốn tạo ra trường điện từ cần tiêu tốn một năng lượng nhất định. Ngược lại trường điện từ cũng có khả năng cung cấp năng lượng (ví dụ nhiệt năng ). Ta sẽ khảo sát về mặt lý thuyết điện từ trường có năng lượng không và năng lượng của trường điện từ được bảo toàn như thế nào. Nếu trường điện từ có năng lượng thì năng lượng đó sẽ phân bố liên tục trong không gian với mật độ năng lượng w. Nói chung w là hàm của toạ độ và thời gian. Năng lượng trường điện từ trong thể tích V bất kỳ là Z W = w dV V Giả sử năng lượng trường điện từ được bảo toàn thì nó phải tuân theo một định luật có dạng toán học là phương trình liên tục. Đặt P~ là véctơ mật độ dòng năng lượng thì ta phải viết được phương trình định luật bảo toàn năng lượng dạng ∂w + divP~ = 0 (1.41) ∂t Xuất phát từ hệ phưng trình Maxwell ta sẽ tìm lại (1.41). Ta có ∂B~ ∂B~ rotE~ = − ⇔ H~ rotE~ + H~ = 0 ∂t ∂t ∂D~ ∂D~ rotH~ = ~j + ⇔ −E~ rotH~ + E~ +~j.E~ = 0 ∂t ∂t Cộng từng vế hai phương trình trên ta có ∂B~ ∂D~ H~ rotE~ − E~ rotH~ + H~ + E~ +~j.E~ = 0 ∂t ∂t Mặt khác H~ rotE~ − E~ rotH~ = div[E~ × H~ ]; ∂D~ ∂E~ 1 ∂(εE~ 2) 1 ∂ E~ = εE~ = = (E~ D~ ); ∂t ∂t 2 ∂t 2 ∂t ∂B~ ∂(µH~ ) 1 ∂(µH~ 2) 1 ∂ H~ = H~ = = (B~ H~ ) ∂t ∂t 2 ∂t 2 ∂t Do đó ∂ E~ D~ + B~ H~ + div[E~ × H~ ] + ~jE~ = 0 (1.42) ∂t 2 Ba số hạng vế trái (1.42) phải có cùng một thứ nguyên. Thứ nguyên số hạng thứ ba là năng lượng mật độ năng lượng = (thể tích).(thời gian) thời gian Vì vậy hai số hạng đầu cũng phải có thứ nguyên như vậy, do đó:
12 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 1 ~ ~ ~ ~ Số hạng 2 (ED + HB ) phải có thứ nguyên mật độ năng lượng. Ta gọi 1 w = E~ D~ + H~ B~ (1.43) 2 là mật độ năng lượng trường điện từ Số hạng [E~ × H~ ] phải có thứ nguyên (mật độ năng lượng).(độ dài) = (mật độ năng lượng).(vận tốc) thời gian người ta gọi nó là véctơ mật độ dòng năng lượng, còn gọi là véctơ Umôp - Poynting P~ = [E~ × H~ ] (1.44) Phương trình (1.42) trở thành ∂w + divP~ +~jE~ = 0 (1.45) ∂t Lấy tích phân theo thể tích bất kì V d Z Z Z w dV + divP~ dV + ~jE~ dV = 0 dt V V V dW I + P~ dS~ + Q = 0 (1.46) dt S Nếu năng lượng điện từ trường trong V biến thiên theo thời gian thì phải có dòng năng lượng chảy qua mặt kín S bao thể tích V và phải có nhiệt lượng Joule – Lentz toả ra trên V Nếu chỉ có điện từ trường, không có dòng điện (~j = 0) ∂w + divP~ = 0 (1.47) ∂t Tại một điểm bất kì, nếu mật độ năng lượng điện từ trường thay đổi theo thời gian thì phải có một dòng năng lượng từ nơi khác chảy đến hoặc từ điểm đó chảy đi. Như vậy năng lượng của trường điện từ được bảo toàn, nó được chuyển từ nơi này đến nơi khác hoặc chuyển hóa thành nhiệt lượng Joule – Lentz. 1.9 Xung lượng của trường điện từ Xét vật có thể tích V bất kỳ mang điện tích tương tác với trường điện từ, ngoài ra không có tương tác nào khác. Lực Lorentz tác dụng lên nguyên tố thể tích dV mang điện tích ρ dV chuyển động với vận tốc ~v trong điện từ trường dF~ = ρE~ dV + [(ρ~vdV ) × B~ ] Định nghiã mật độ lực Lorentz dF~ f~ = = ρE~ + [ρ~v × B~ ] (1.48) dV
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 13 ~ ~ ∂D~ ~ Để ý ρ~v = j = rotH − ∂t ; ρ = divD nên h ∂D~ i f~ = E~ divD~ + rotH~ − × B~ ∂t ~ ~ ∂B~ Mặt khác divB = 0; rotE = − ∂t ∂ h∂D~ i h ∂B~ i h∂D~ i [D~ × B~ ] = × B~ + D~ × = × B~ + [rotE~ × D~ ] ∂t ∂t ∂t ∂t h∂D~ i ∂ − × B~ = [rotE~ × D~ ] − [D~ × B~ ] ∂t ∂t do đó ∂ f~ = E~ divD~ + H~ divB~ + [rotE~ × D~ ] + [rotH~ × B~ ] − [D~ × B~ ] (1.49) ∂t Chiếu (1.49) lên trục Ox ∂ f = E divD~ + H divB~ + [rotE~ × D~ ] + [rotH~ × B~ ] − [D~ × B~ ] (1.50) x x x x x ∂t x Dễ thấy 4 số hạng đầu của vế phải (1.50) là dive của véctơ X~ 1 X~ E D + H B − (E.~ D~ + H.~ B~ ); E D + H B ; E D + H B x x x x 2 y y x y x z x z (1.50) viết lại ∂ f = divX~ − [D~ × B~ ] (1.51) x ∂t x ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ Trong chân không [D × B ] = ε0µ0[E × H ] = c2 [E × H ] nên lực tác dụng lên thể tích V theo phương Ox Z Z Z ~ d 1 ~ ~ Fx = fx dV = divX dV − 2 [E × H ]x dV V V dt V c Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss Z Z I d 1 ~ ~ ~ ~ fx dV + 2 [E × H ]x dV = X dS (1.52) V dt V c S Chọn S là mặt bao toàn bộ điện từ trường và điện tích. Trên mặt S đó E~ = D~ = B~ = H~ = 0, do đó (1.52) trở thành Z Z d 1 ~ ~ fx dV + 2 [E × H ]x dV = 0 (1.53) V dt V c Tương tự khi chiếu (1.49) lên trục Oy và Oz Z Z I d 1 ~ ~ ~ ~ fy dV + 2 [E × H ]y dV = Y dS (1.54) V dt V c S Z Z I d 1 ~ ~ ~ ~ fz dV + 2 [E × H ]z dV = Z dS (1.55) V dt V c S
14 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH Với các vectơ Y~ và Z~ cho bởi 1 Y~ E D + H B ; E D + H B − (E~ D~ + H~ B~ ); E D + H B y x y x y y y y 2 y z y z 1 Z~E D + H B ; E D + H B ; E D + H B − (E~ D~ + H~ B~ ) z x z x z y z y z z z z 2 Chọn S là mặt bao toàn bộ điện từ trường và điện tích Z Z d 1 ~ ~ fy dV + 2 [E × H ]y dV = 0 (1.56) V dt V c Z Z d 1 ~ ~ fz dV + 2 [E × H ]z dV = 0 (1.57) V dt V c (1.53), (1.56) và (1.57) viết gộp lại dạng một phương trình véctơ Z Z ~ d 1 ~ ~ f dV + 2 [E × H ] dV = 0 (1.58) V dt V c Gọi G~ h là xung lượng toàn phần của các hạt điện tích trong V Z d ~ G~ h = F~ = f dV dt V (1.58) trở thành Z d ~ 1 ~ ~ Gh + 2 [E × H ] dV = 0 dt V c hay Z ~ 1 ~ ~ −−−→ Gh + 2 [E × H ] dV = const (1.59) V c Đặt Z ~ 1 ~ ~ Gt = 2 [E × H ] dV (1.60) c V thì nó phải có thứ nguyên xung lượng, người ta gọi nó là xung lượng của trường điện từ trong thể tích V . (1.59) có thể viết lại −−−→ G~ h + G~ t = const (1.61) Đối với hệ cô lập chỉ có điện từ trường tương tác với các điện tích thì xung lượng tổng cộng của các hạt tích điện và xung lượng của trường điện từ là đại lượng không đổi. 1.10 Các điều kiện biên Các phương trình Maxwell chỉ áp dụng được trong môi trường vật chất liên tục, trong đó đại lượng ε, µ là các hằng số hoặc là hàm của toạ độ nhưng biến thiên liên tục từ điẻm này sang điểm khác. Trong trường hợp những môi trường không liên tục, tại mặt giới hạn giữa chúng đại lượng ε, µ biến đổi không liên tục và các véctơ E,~ D,~ B,~ H~ cũng biến đổi không liên tục. Các phương trình xác định sự biến thiên của các véctơ đó tại các mặt giới hạn gọi là các điều kiện biên. 1.10.1 Điều kiện biên của véctơ B~
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 15 Xét một điểm P bất kì ở mặt phân cách hai môi trường 1 và 2, quy ước pháp tuyến mặt phân cách hướng từ môi trường 1 sang môi trường 2. Lấy một một hình trụ vô cùng nhỏ chưa điểm P có trục song song với pháp tuyến tại P , đáy S1 nằm trong môi trường 1 và đáy S2 nằm trong môi trường 2 (Hình 1.3). Ta có I Z Z Z Hình 1.3: B~ dS~ = B~ 1 dS~1 + B~ 2 dS~2 + B~ dS~ = 0 S S1 S2 Sxq Do hình trụ vô cùng nhỏ nên có thể coi véctơ B~ là không đổi trên các mặt đáy, và giới nội trên mặt xung quanh. Z Z Z B~ 1 dS~1 + B~ 2 dS~2 + B~ dS~ = −B1nS1 + B2nS2 + BSxq = 0 S1 S2 Sxq Cho chiều cao hình trụ h → 0 thì S1 → S0; S2 → S0; Sxq → 0 khi đó B2nS0 − B1nS0 = 0 B2n − B1n = 0 (1.62) Dạng véctơ ~n.(B~ 2 − B~ 1) = 0 (1.63) 1.10.2 Điều kiện biên của véctơ D~ ~ H ~ ~ Lập luận tương tự như đối với véctơ B, ta có S D dS = q, với q là điện tích trong hình trụ. I Z Z Z D~ dS~ = D~ 1 dS~1 + D~ 2 dS~2 + D~ dS~ = −D1nS1 +D2nS2 +DSxq = q S S1 S2 Sxq qm Cho chiều cao hình trụ h → 0 thì D2nS0 −D1nS0 = qm hay D2n −D1n = S . q 0 Do m = σ nên S0 D2n − D1n = σ (1.64) Dạng véctơ ~n.(D~ 2 − D~ 1 ) = σ (1.65) σ là mật độ điện tích mặt tại mặt phân cách 1.10.3 Điều kiện biên của véctơ E~ Xét một điểm P bất kì ở mặt phân cách hai môi trường 1 và 2, pháp tuyến của mặt phân cách tại P là ~n hướng từ môi trường 1 sang môi trường 2. ~τ là véctơ là tiếp tuyến tại P . Xét hình chữ nhật vô cùng nhỏ chứa điểm P nằm trong mặt phẳng Hình 1.4: tạo bởi ~n và ~τ. Hai cạnh l1 và l2 của hình chữ nhật song song với mặt phân
16 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH cách và lần lượt nằm trong môi trường 1 và môi trường 2. giao tuyến giữa mặt phân cách và hình chữ nhật là l0 (Hình 1.4). Sử dụng phương trình (1.37) lấy tích phân hai vế trên diện tích S của hình R ~ ~ R ∂B~ ~ chữ nhật S rotE dS = − S ∂t dS. Áp dụng định lý Stokes Z I Z Z Z ~ ~ ~ ~ rotE~ dS~ = E~ dl = E~1 dl1 + E~2 dl2 + E~ dl S l l1 l2 lb Vì hình chữ nhật vô cùng nhỏ nên có thể coi E~ không đổi trên hai cạnh l1 và l2 của hình chữ nhật, trên các cạnh bên E~ giới nội và giá trị trung bình trên cạnh bên là E¯, trên diện tích S véctơ B~ cũng giới nội và giá trị trung bình trên diện tích S là B¯. Z Z Z ~ ~ ~ E~1 dl1 + E~2 dl2 + Ed~ l = E2tl2 − E1tl1 + Elb l1 l2 lb Z ∂B~ ∂B dS~ = − .S S ∂t ∂t do đó ∂B E l − E l + El¯ = − .S 2t 2 1t 1 b ∂t Cho cạnh bên hình chữ nhật lb → 0 thì l1 → l0; l2 → l0; lb → 0; S → 0 khi đó E2tl0 − E1tl0 = 0 hay E2t − E1t = 0 (1.66) Dạng véctơ [~n × (E~2 − E~1 ) ] = 0 (1.67) 1.10.4 Điều kiện biên của véctơ H~ Lập luận tương tự như đối với véctơ E~ . Lấy tích phân hai vế phương trình (1.34) trên diện tích S của hình chữ nhật kết quả ∂D H l − H l + Hl = I + S 2t 2 1t 1 b ∂t Cho cạnh bên hình chữ nhật lb → 0 thì l1 → l0; l2 → l0; lb → 0; S → 0 khi đó Im H2tl0 − H1tl0 = Im hay H2t − H1t = . Vậy l0 H2t − H1t = im (1.68) im là mật độ dòng điện mặt tại mặt phân cách giữa hai môi trường Dạng véctơ h i ~n × (H~ 2 − H~ 1) =~im (1.69)
Chương 2 Trường điện từ tĩnh 2.1 Các phương trình của trường điện từ tĩnh 2.1.1 Định nghĩa trường điện từ tĩnh Trường điện từ tĩnh là trường điện từ thoả mãn hai điều kiện (a) Các đại lượng điện từ không biến đổi theo thời gian (b) Các điện tích không chuyển động 2.1.2 Các phương trình của trường điện từ tĩnh Áp dụng các phương trình Maxwell cho trường điện từ tĩnh với các đạo hàm riêng theo thời gian bằng không và ~j = 0 và có thể chia thành hai nhóm: (a) Nhóm phương trình của trường điện tĩnh rotE~ = 0 (2.1) divD~ = ρ (2.2) D~ = εE~ (2.3) (b) Nhóm phương trình trường từ tĩnh rotH~ = 0 (2.4) divB~ = 0 (2.5) B~ = µH~ + M~ 0 (2.6) trong đó M~ 0 là véctơ không đổi theo thời gian xuất hiện do môi trường tự phát sinh từ trường phụ ngay cả khi không có trường ngoài tác dụng lên chúng Trường điện tĩnh là điện trường của điện tích đứng yên, từ trường tĩnh là từ trường của các nam châm vĩnh cửu. Trường tĩnh điện và trường tĩnh từ không có quan hệ với nhau. Đối với điện trường H~ = 0, đối với từ trường E~ = 0 do đó mật độ dòng năng lượng P~ = [E~ ×H~ ] = 0. Đối với trường điện từ tĩnh năng lượng của trường điện từ không được truyền đi trong không gian. 17
18 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 2.2 Thế vô hướng 2.2.1 Trường điện tĩnh trong môi trường đồng chất. Thế vô hướng Từ (2.1) ta có rotE~ = 0 ⇒ H E~ d~l = 0 nên trường tĩnh điện là trường thế. Xét hai điểm A, B bất kì trong trường tĩnh điện, l1 và l2 là hai đường cong bất Hình 2.1: kỳ đi từ A đến B tạo thành một chu tuyến khép kín. I Z Z Z Z E~ d~l = E~ d~l + E~ d~l = E~ d~l − E~ d~l = 0 l1 −l2 l1 l2 Z Z E~ d~l = E~ d~l (2.7) l1 l2 Trong (2.7) vế trái và vế phải lần lượt là công của điện trường dịch chuyển điện tích q = +1C từ A tới B theo l1 và l2. Như vậy trong trường tĩnh điện công để di chuyển một điện tích từ điểm này đến điểm khác không phụ thuộc dạng đường đi, chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối. Đó là tính chất của trường thế. Đặt E~ = −gradϕ (2.8) Trong đó ϕ(~r ) là một hàm vô hướng của toạ độ, hàm ϕ(~r) thỏa mãn (2.8) gọi là thế vô hướng của trường tĩnh điện. Ta có ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz = gradϕ d~l ∂x ∂y ∂z Z B Z B Z B E~ d~l = − grad ϕ d~l = − dϕ = ϕ(A) − ϕ(B) (2.9) A A A Công của lực điện trường di chuyển điện tích dương bằng đơn vị từ A đến B bằng hiệu điện thế giữa A và B. Do gradϕ = grad (ϕ + C) nên phải định cỡ điện thế (quy ước cho điện thế ở nơi nào đó một giá trị xác định). Nếu quy ước ϕ(∞) = 0 thì Z ∞ ϕ(A) = ϕ(A) − ϕ(∞) = E~ d~l (2.10) A Điện thế tại một điểm bất kỳ bằng công của điện trường dịch chuyển điện tích dương bằng đơn vị từ điểm đó đến vô cực. 2.2.2 Phương trình vi phân của thế vô hướng ~ ρ ~ ρ Ta có divE = ε , thay E = −grad ϕ được div grad ϕ = − ε hay ρ ∇2ϕ = − (2.11) ε (2.11) là phương trình Poisson của thế vô hướng. Tại điểm không có điện tích (2.11) trở thành ∇2ϕ = 0 (2.12)
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 19 (2.12) là phương trình Laplace đối với thế vô hướng. Hàm ϕ phải thoả mãn điều kiện hữu hạn, liên tục và đạo hàm theo toạ độ phải hữu hạn. Các phương trình (2.11) và (2.12) cùng với các điều kiện biên cho phép ta tính được thế ϕ tại mọi điểm. Từ đó suy ra E~ theo (2.8) Ví dụ Tính điện thế và điện trường gây ra bởi bản phẳng vô hạn dày 2a. Mật độ điện tích ρ không đổi trong bản. Hệ số điện thẩm trong và ngoài bản đều bằng ε. Điện thế ở mỗi miền 1, 2 và 3 tương ứng là ϕ1; ϕ2; ϕ3. Chọn mặt trung bình của bản trùng với mặt Oxy. Do điện tích phân bố đối xứng nên thế chỉ phụ thuộc vào toạ độ z, do đó ϕ = ϕ(z). Phương trình vi phân của thế Hình 2.2: 2 ∇ ϕ1 = 0 (z a) Trong hệ tọa độ Descartes d2ϕ 1 = 0 ⇐⇒ ϕ = A z + B dz2 1 1 1 d2ϕ ρ ρ 2 = − ⇐⇒ ϕ = − z2 + A z + B dz2 ε 2 2ε 2 2 d2ϕ 3 = 0 ⇐⇒ ϕ = A z + B dz2 3 3 3 Định cỡ cho ϕ(0) = 0 ⇒ ϕ2(0) = 0 ⇒ B2 = 0 Do sự phân bố đối xứng của điện tích nên cường độ điện trường tại mặt dϕ2 z = 0 phải bằng 0 hay −ε = 0 ⇒ A2 = 0 dz z=0 Áp dụng điều kiện liên tục của thế và điều kiện biên Tại z = −a a2 ϕ (−a) = ϕ (−a) ⇐⇒ −A a + B = −ρ 1 2 1 1 2ε ∂ϕ1 ∂ϕ2 εE2n − εE21n = σ = 0 ⇐⇒ = ∂z z=−a ∂z z=−a ρa ρa2 ⇒ A = ; B = 1 ε 1 2ε Tương tự tại z = a ρa ρa2 A = − ; B = 3 ε 3 2ε Kết quả ρa ρa2 dϕ ρa ϕ = z + =⇒ E~ = −gradϕ = − 1 ~k = − ~k 1 ε 2ε 1 1 dz ε ρz2 dϕ ρz ϕ = =⇒ E~ = −gradϕ = − 2 ~k = − ~k 2 2ε 2 2 dz ε
20 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH ρa ρa2 dϕ ρa ϕ = − z + =⇒ E~ = −gradϕ = − 3 ~k = ~k 3 ε 2ε 3 3 dz ε 2.3 Điện thế của một hệ điện tích 2.3.1 Điện thế của một điện tích điểm Cường độ điện trường của một điện tích điểm cho bởi (1.13). Áp dụng (2.10) Z ∞ Z ∞ ~ Z ∞ ~ ~ q ~rdl q dr q ϕ(~r) = E dl = 3 = 2 = r 4πε r r 4πε r r 4πεr q ϕ(~r ) = (2.13) 4πεr Hình 2.3: R~ là bán kính r là khoảng cách từ điện tích điểm đến điểm tính điện véctơ xác định tọa độ thế. 0 điểm tính thế ϕ; ~ri là bán kính véctơ xác định 2.3.2 Điện thế của hệ n điện tích điểm toạ độ điện tích dq = ~ 0 ρ dV ; ~r = R − ~ri là bán Điện thế của hệ điện tích điểm bằng tổng các điện kính véctơ từ điện tích thế của từng điện tích dq đến điểm tính thế n ϕ(R~ ) 1 X qi ϕ = (2.14) 4πε r i=1 i ri là khoảng cách từ điện tích điểm thứ i đến điểm tính điện thế. Nếu chọn gốc toạ độ tại O điện thế tại điểm quan sát P là n 1 X qi ϕ(R~ ) = (2.15) 4πε ~ 0 i=1 |R − ~ri | ~ 0 R là toạ độ điểm quan sát, ~ri là toạ độ điện tích qi 2.3.3 Điện thế của một hệ điện tích phân bố liên tục Hệ điện tích phân bố liên tục trên thể tích V với mật độ ρ (Hình 2.3) 1 Z ρ dV ϕ(R~ ) = (2.16) 4πε V |R~ − ~r 0| Hệ điện tích phân bố liên tục trên mặt S với mật độ σ 1 Z σdS ϕ(R~ ) = (2.17) 4πε S |R~ − ~r 0| Nếu điện tích vừa phân bố trên V và phân bố trên S 1 Z ρ dV Z σdS ϕ(R~ ) = + (2.18) 4πε V |R~ − ~r 0| S |R~ − ~r 0|
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 21 2.3.4 Điện thế của một lưỡng cực điện Lưỡng cực điện gồm hai điện tích bằng nhau và khác dấu, ~l là bán kính véctơ từ điện tích âm đến điện tích dương. Người ta định nghĩa mômen lưỡng cực điện là ~p = q~l. Điện thế tại P q 1 1 q r − r ϕ = − = 1 2 4πε r2 r1 4πε r1r2 Nếu P ở cách xa lưỡng cực l ~r1, ~r2, ~r; ~r1 ' ~r2 ' ~r ; 2 2 2 2 r1 − r2 r1 − r2 r1 − r2 = ' 3 r1r2 r1r2(r1 + r2) 2r Hình 2.4: 2 2 ~ r1 − r2 = (~r1 + ~r2)(~r1 − ~r2) ' 2l~r do đó q ~r~l 1 ~p~r ϕ = = (2.19) 4πε r3 4πε r3 Điện trường gây bởi lưỡng cực điện 1 ~p~r 1 3(~p~r )~r ~p E~ = −gradϕ = − ∇ = − (2.20) 4πε r3 4πε r5 r3 2.4 Vật dẫn trong trường điện tĩnh 2.4.1 Vật dẫn trong trường điện tĩnh Vật dẫn là vật khi có điện trường thì trong nó có điện tích chuyển động. Đối với vật dẫn điện dẫn suất λ 6= 0. Trong tĩnh điện ta chỉ xét trường hợp không có dòng điện trong vật dẫn (vật dẫn cân bằng tĩnh điện) Các tính chất của vật dẫn (a) Khi vật dẫn đặt vào trường tĩnh điện, bên trong vật dẫn điện trường bằng 0. Theo định luật Ohm ~j = λE~ , Trong trường tĩnh điện ~j = 0; λ 6= 0 ⇒ E~ = 0 (b) Trong vật dẫn không có điện tích khối. Tất cả điện tích phân bố một lớp mỏng trên bề mặt vật dẫn có bề dày cỡ kích thước nguyên tử. Do E~ = 0 ⇒ D~ = 0 nên divD~ = ρ = 0 (c) Điện trường ở mặt ngoài vật dẫn σ E~ = ~n (2.21) ε áp dụng điều kiện biên εE2n − εE1n = σ; E2t − εE1t = 0, Trong vật dẫn ~ σ E = 0 ⇒ E2t = E1t = E1n = 0; E2n = ε (d) Vật dẫn là vật đẳng thế. Trong vật dẫn E~ = −gradϕ = 0 ⇒ ϕ = const, do tính chất liên tục của điện thế nên điện thế trên mặt vật dẫn ϕm = ϕ
22 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 2.4.2 Điện dung của một vật dẫn cô lập Xét vật dẫn cô lập, điện tích của vật dẫn I I I ∂ϕ q = σ dS = εEn dS = −ε dS (2.22) S S S ∂n Trong vật dẫn và trên mặt vật dẫn điện thế ϕ = V (V là điện thế của vật dẫn). Bên ngoài vật dẫn điện thế tho mãn phương trình Laplace ∇2ϕ = 0. Tìm ϕ dạng ϕ = V ϕ1 với ϕ1 là hàm không thứ nguyên thoả mãn ϕ1(S) = 1; ϕ1(∞) = 0, khi đó (2.22) trở thành: I ∂ϕ q = − ε 1 dS V (2.23) S ∂n Đặt I ∂ϕ C = −ε 1 dS (2.24) S ∂n C gọi là điện dung của vật dẫn cô lập. Nó phụ thuộc vào hình dạng, kích thước vật dẫn và tính chất môi trường. Đối với mỗi vật dẫn nhất định đặt trong một điện môi nhất định thì điện dung C là một hằng số. (2.23) có thể viết lại q C = (2.25) V 2.4.3 Hệ số điện dung và hệ số cảm ứng của hệ vật dẫn Xét hai vật dẫn bất kỳ đặt trong điện môi có hệ số điện thẩm ε. Điện thế trên vật 1 và 2 lần lượt là V1 và V2. Điện thế ngoài 2 vật dẫn thỏa mãn phương 2 trình Laplace ∇ ϕ = 0 và ϕ(S1) = V1; ϕ(S2) = V2; ϕ(∞) = 0. Tìm nghiệm dạng ϕ = V1ϕ1 +V2ϕ2 với ϕ1; ϕ2 là các hàm của toạ độ không thứ nguyên thoả mãn phương trình Laplace và ϕ1(S1) = 1; ϕ2(S2) = 1; ϕ1(S2) = 0; ϕ2(S1) = 0; ϕ1(∞) = ϕ2(∞) = 0 Mật độ điện tích mặt trên hai vật ∂ϕ ∂ϕ1 ∂ϕ2 σ1 = −ε = −εV1 − εV2 (2.26) ∂n1 ∂n1 ∂n1 ∂ϕ ∂ϕ1 ∂ϕ2 σ2 = −ε = −εV1 − εV2 (2.27) ∂n2 ∂n2 ∂n2 Điện tích của mỗi vật I I I ∂ϕ1 ∂ϕ2 q1 = σ1 dS1 = − ε dS1 V1 − ε dS1 V2 (2.28) S1 S1 ∂n1 S1 ∂n1 I I I ∂ϕ1 ∂ϕ2 q2 = σ2 dS2 = − ε dS2 V1 − ε dS2 V2 (2.29) S2 S2 ∂n1 S2 ∂n2 Đặt I I ∂ϕ1 ∂ϕ2 C11 = −ε dS1; C22 = −ε dS2 S1 ∂n1 S2 ∂n2 I I ∂ϕ2 ∂ϕ1 C12 = −ε dS1; C21 = −ε dS2 S1 ∂n1 S2 ∂n2
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 23 Các hệ số C11; C22 gọi là hệ số điện dung của vật dẫn, C12; C21 gọi là hệ số cảm ứng giữa các vật dẫn. Chúng phụ thuộc hình dạng, kích thước vị trí tương đối giữa hai vật. Áp dụng định lý Green cho ϕ1 và ϕ2 Z I 2 2 ∂ϕ2 ∂ϕ1 (ϕ1∇ ϕ2−ϕ2∇ ϕ1) dV = ϕ1 − ϕ2 dS (2.30) V S ∂n ∂n V là toàn bộ không gian ngoài hai vật dẫn. Mặt S bao gồm 3 mặt S1, S2 và 2 2 mặt vô cùng. Dễ thấy vế trái của (2.30) bằng 0 do ∇ ϕ2 = ∇ ϕ1 = 0. Vế phải (2.30) tách thành 3 tích phân. Tích phân theo mặt ∞ bằng 0 do ϕ1(∞) = ϕ2(∞) = 0 Trên mặt S1 và S2 do ϕ1(S2) = 0; ϕ2(S1) = 0 I I ∂ϕ2 ∂ϕ1 ∂ϕ2 ϕ1 − ϕ2 dS1 = ϕ1 dS1 S1 ∂n1 ∂n1 S1 ∂n1 I I ∂ϕ2 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ϕ1 − ϕ2 dS2 = − ϕ2 dS2 S2 ∂n2 ∂n1 S2 ∂n2 Do đó (2.30) trở thành I I ∂ϕ2 ∂ϕ1 dS1 = − dS2 S1 ∂n1 S2 ∂n2 hay C12 = C21 Mặt khác do ϕ1 giảm theo chiều dương của ~n1 do đó I ∂ϕ1 ∂ϕ1 0 ∂n1 S1 ∂n1 Theo chiều dương của ~n1 thì ϕ2 tăng do đó I ∂ϕ2 ∂ϕ2 > 0 ⇒ C12 = −ε dS1 < 0 ∂n1 S1 ∂n1 Đối với tụ điện q = C11V1 + C12V2 −q = C21V1 + C22V2 (C11 + C21) V1 + (C22 + C12) V2 = 0 Để thoả mãn ∀V1; V2 thì C11 = C21 = C22 = C12 = C, C gọi là điện dung của tụ q C = (2.31) |V1 − V2|
24 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 2.5 Điện môi đặt trong trường điện tĩnh 2.5.1 Sự phân cực của điện môi Khi đặt điện môi vào trường tĩnh điện trong điện môi xuất hiện mômen lưỡng cực (điện môi bị phân cực). Sự phân cực của điện môi tại mỗi điểm đặc trưng bởi véctơ phân cực ∆~p d~p P~ = lim = (2.32) ∆V →0 ∆V dV Véctơ phân cực là mômen lưỡng cực của một đơn vị thể tích bao quanh điểm quan sát. Tại mỗi điểm trong điện môi véctơ phân cực tỉ lệ với véctơ cường độ điện trường tại điểm đó P~ = αε0E~ (2.33) α gọi là độ cảm điện môi. 2.5.2 Thế vô hướng tại mỗi điểm trong điện môi Đặt điện môi vào điện trường, do phân cực trong điện môi xuất hiện điện trường phụ, đó là điện trường của các lưỡng cực trong điện môi. Do đó trường tại mỗi điểm là tổng của hai điện trường: trường do điện tích tự do và trường do phân cực gây ra ϕ = ϕt + ϕf trong đó ϕt cho bởi (2.18), còn điện thế do lưỡng cực gây ra Z Z 1 P~r~ ϕf = dϕf = 3 dV (2.34) V V 4πε0 r Tích phân (2.34) lấy theo các nguyên tố thể tích dV nên các phép tính phải lấy theo biến ~r 0 là toạ độ của dV (giống quy ước trên Hình 2.3). Ta có 1 ∂ 1 ∂~r ~r ~r grad 0 = = − (−1) = ~r r ∂~r r ∂~r 0 r3 r3 P~ ~r 1 P~ 1 = P~ grad = div − divP~ r3 r r r Do đó (2.34) trở thành 1 Z −divP~ 1 Z P~ ϕf = dV + div dV (2.35) 4πε0 V r 4πε0 V r Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho tích phân thứ 2 trong (2.35). Nếu có mặt S mà véctơ P~ không liên tục thì có thể lấy mặt S0 rất gần mặt S để tách S ra khỏi phần Hình 2.5:
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 25 không gian ở đó véctơ P~ biến đổi không liên tục (Hình 2.5). Khi đó Z P~ I P~ I P~ div dV = dS~0 + dS~00 V r S0 r S00 r I ~ Z ~ Z ~ P ~0 P ~0 P ~0 dS = dS1+ dS2 0 r 0 r 0 r S S1 S2 0 0 00 Cho S1; S2 → S I ~ Z ~ Z ~ Z P ~0 P ~0 P ~0 (P1n − P2n) dS = dS1+ dS2 = dS 0 r 0 r 0 r r S S1 S2 S 00 H P~ ~00 Lấy mặt S bao toàn bộ không gian chứa điện môi thì S00 r dS = 0 (do trên 00 S Pn = 0). Do đó (2.35) trở thành Z Z 1 −divP~ 1 (P1n − P2n) ϕf = dV + dS 4πε0 V r 4πε0 S r Đặt ρl = −divP~ (2.36) gọi là mật độ điện tích liên kết khối, và σl = − (P2n − P1n) gọi là mật độ điện tích liên kết mặt. Z Z 1 ρ + ρl 1 σ + σl ϕ = ϕt + ϕf = dV + dS (2.37) 4πε0 V r 4πε0 S r Trong sự tạo ra điện trường phụ điện tích liên kết có vai trò giống như các điện tích tự do. Tuy nhiên điện tích liên kết gắn với sự có mặt của điện môi và chỉ xuất hiện trong các điện môi không đồng nhất hoặc trong các điện trường không đồng nhất (đối với các điện tích khối liên kết) và trên bề mặt giữa hai điện môi (đối với điện tích mặt kiên kết). Các điện tích liên kết không di chuyển tự do trong chân không. 2.5.3 Mối liên hệ giữa độ cảm điện môi và hệ số điện môi Trong chân không điện trường do các điện tích tự do gây ra ρ div E~0 = ε0 Trong điện môi điện trường do cả điện tích tự do và các điện tích liên kết gây ra. Nếu coi điện môi gồm điện tích tự do và điện tích liên kết đặt trong chân không thì ρ + ρ 1 divE~ = l = ρ − divP~ ε0 ε0 div(ε0E~ + P~ ) = ρ Mặt khác trong điện môi divD~ = ρ do đó D~ = εE~ = ε0E~ + P~ = ε0E~ + αε0E~ ε = ε0 (1 + α) (2.38)
26 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 2.6 Năng lượng của trường điện tĩnh 2.6.1 Biểu diễn năng lượng của trường điện tĩnh qua thế vô hướng 1 ~ ~ Mật độ năng lượng của trường tĩnh điện w = 2 ED. Năng lượng trường tĩnh điện trong thể tích V Z 1 Z W = w dV = E~ D~ dV (2.39) V 2 V Thay E~ = −gradϕ 1 Z W = − D~ gradϕ dV 2 V Ta có div(ϕD~ ) = ϕdivD~ + D~ gradϕ = ϕρ + D~ gradϕ 1 Z 1 Z W = ϕρ dV − div(ϕD~ ) dV 2 V 2 V R ~ H ~ Nếu môi trường liên tục V div(ϕD) dV = S ϕD dS. Lấy S là mặt bao toàn ~ H ~ bộ điện trường, trên mặt S đó D = 0. Do đó S ϕD dS = 0 1 Z W = ϕρ dV (2.40) 2 V Nếu có mặt S mà véctơ D~ không liên tục thì có thể lấy mặt S0 (Hình 2.5, trang 24) rất gần mặt S để tách S ra khỏi phần không gian ở đó véctơ D~ biến đổi không liên tục. Lý luận tương tự như mục 2.5.2 và sử dụng điều kiện biên R ~ R D2n − D1n = σ ta có V div(ϕD) dV = S ϕσdS. Kết quả 1 Z 1 Z W = ϕρ dV + σϕ dS (2.41) 2 V 2 S (2.39) (2.40) và (2.41) tương đương nhau về mặt toán học nhưng có ý nghĩa vật lý khác nhau. Theo (2.39) năng lượng điện trường phân bố liên tục trong không gian. Còn theo (2.40) và (2.41) năng lượng điện trường là năng lượng tương tác giữa các điện tích. 2.6.2 Năng lượng của một hệ điện tích điểm Giả sử trong chân không có điện trường q1. Đưa q2 từ vô cùng tới điểm cách q1 khoảng r12 thì cần phải cung cấp năng lượng q1q2 W12 = q2ϕ2 = 4πε0r12 Đưa q3 từ đến cách q1, q2 khoảng r13 và r23 cần cung cấp năng lượng. q q 1 q q q q W = 1 2 + 1 3 + 2 3 4πε0r12 4πε0 r13 r23 1 1 h q2 q3 q1 q3 q1 q2 i = q1 + + q2 + + q3 + 2 4πε0 r12 r13 r12 r23 r13 r23 1 = (q ϕ + q ϕ + q ϕ ) 2 1 1 2 2 3 3
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 27 Mở rộng cho hệ n điện tích điểm n 1 X W = q ϕ (2.42) 2 i i i=1 Năng lượng hệ điện tích điểm bằng năng lượng tiêu hao để thiết lập hệ đó từ các điện tích riêng lẻ. 2.6.3 Năng lượng của một hệ vật dẫn tích điện Đối với vật dẫn ρ = 0, năng lượng của vật dẫn 1 I W = σϕ dS 2 S Trong hệ vật dẫn, trên vật dẫn thứ i 1 I 1 I 1 Wi = σiϕi dSi = ϕi σi dSi = qiϕi 2 Si 2 Si 2 Hệ có n vật dẫn thì năng lượng của hệ X 1 X W = W = q ϕ (2.43) i 2 i i i i Đối với tụ điện 1 1 W = (qV − qV ) = q(V − V ) 2 1 2 2 1 2 Sử dụng (2.31) ta có 1 1 1 q2 W = qU = CU 2 = (2.44) 2 2 2 C 2.6.4 Năng lượng của hệ điện tích đặt trong điện trường Xét hệ điện tích đặt trong điện trường ngoài1. Giả thiết hệ điện tích không bị biến dạng và trường của hệ đủ nhỏ để không làm biến đổi trường ngoài Hệ n điện tích điểm thì thế năng của hệ trong trường ngoài X U = qiϕi (2.45) i Hệ điện tích phân bố liên tục trong V với mật độ ρ đặt trong điện trường ngoài thì thế năng của hệ Z U = ρϕ dV (2.46) V Lưỡng cực điện đặt trong điện trường ngoài thì thế năng của nó U = qϕ(~r + ~l ) − qϕ(~r ) = q ϕ(~r + ~l ) − ϕ(~r ) Nếu kích thước lưỡng cực đủ nhỏ và trường ngoài biến thiên không đáng kể trong phạm vi lưỡng cực, sử dụng khai triển Taylor ϕ(~r + ~l ) − ϕ(~r ) = (~l ∇)ϕ(~r ) = ~l gradϕ U = q~l gradϕ = −~pE~ (2.47) 1không phải điện trường gây ra bởi hệ điện tích
28 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 2.7 Lực tác dụng trong trường điện tĩnh Lực điện trường tác dụng lên điện tích điểm q là F~ = qE~ (2.48) Nếu điện tích phân bố liên tục trong thể tích V thì lực điện trường tác dụng lên thể tích V Z F~ = ρE~ dV (2.49) V Lực điện trường tác dụng lên lưỡng cực điện F~ = q E~ (~r + ~l ) − E~ (~r ) (2.50) Nếu kích thước lưỡng cực đủ nhỏ thì có thể khai triển Taylor E~ (~r + ~l ) − E~ (~r ) = (~l ∇)E~ (~r ), khi đó F~ = q(~l ∇)E~ (~r ) = (~p ∇)E~ (~r ) (2.51) Cũng có thể tích được lực tác dụng nếu biết biểu thức năng lượng của hệ điện tích. Nếu năng lượng W là hàm của các tọa độ suy rộng qi thì lực suy rộng bằng ∂W Fi = − (2.52) ∂qi Nếu năng lượng W là hàm của các tọa độ thường thì lực thông thường F~ = −gradW (2.53)
Chương 3 Trường điện từ dừng 3.1 Các phương trình của trường điện từ 3.1.1 Trường điện từ dừng Trường điện từ dừng là trường thỏa mãn các điều kiện sau: (a) Các đại lượng điện từ không biến đổi theo thời gian, tức là đạo hàm riêng theo thời gian của các đại lượng đó bằng không. (b) Có các dòng điện dừng (dòng điện không đổi). 3.1.2 Các phương trình của trường điện từ dừng Với các điều kiện của trường điện từ dừng thì điện trường và từ trường độc lập với nhau, như vậy các phương trình của trường điện từ dừng có thể chia làm hai nhóm cho trường điện dừng và trường từ dừng. (a) Nhóm các phương trình trường điện dừng Các phương trình trường điện dừng chia làm hai nhóm: • Nhóm các phương trình trường điện dừng trong điện môi (ở ngoài môi trường dẫn) divD~ = ρ ; rotE~ = 0 ; D~ = εE~ (3.1) D2n − D1n = σ ; E2t − E1t = 0 (3.2) • Nhóm các phương trình trường điện dừng trong vật dẫn divD~ = ρ ; rotE~ = 0 ; ~j = λ(E~ + E~n) (3.3) j2n − j1n = 0 ; E2t − E1t = 0 (3.4) (b) Nhóm các phương trình trường từ dừng divB~ = 0 ; rotH~ = ~j ; B~ = µH~ (3.5) B2n − B1n = 0 ; H2t − H1t = iN (3.6) 29
30 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 3.2 Các định luật cơ bản của dòng điện không đổi 3.2.1 Định luật Ohm Phương trình liên hệ giữa mật độ dòng điện và cường độ trường điện có dạng: ~ ~ ~ j = λ(E + E(n)) (3.7) (3.7) là phương trình của định luật Ohm suy rộng viết dưới dạng vi phân. Lấy tích phân hai vế phương trình (3.7) dọc theo chiều dương của đường dòng khép kín của véctơ ~j ta có: I I I ~ ~ ~ ~ ~ ~ j dl = λ E dl + λ E(n) dl (3.8) L L L Vì E~ là trường thế (trường có nguồn gốc tĩnh điện) nên tích phân thứ nhất trong vế phải của (3.8) bằng không. Còn tích phân thứ hai được gọi là thế điện động ngoại lai: I ~ ~ E(n) = E(n) dl (3.9) L ~ ~ ~j d~l jdl dl Vì j và dl cùng phương và chiều nên λ = λ = jS λS = IdR, trong đó S là tiết diện của dòng điện. Do đó I ~j d~l I = IdR = IR (3.10) L λ L với R là điện trở của toàn mạch. Và (3.8) trở thành E(n) = IR (3.11) (3.11) là dạng tích phân của định luật Ohm đối với toàn mạch. Ta thấy rằng dòng điện dừng do thế điện động ngoại lai sinh ra. Độ lớn của nó tỉ lệ với độ lớn của thế điện động ngoại lai. Đối với một đoạn mạch AB nào đó ta có thể rút ra định luật Ohm như sau: lấy tích phân (3.7) dọc theo đường sức của véctơ ~j từ A đến B ta có Z B ~ ~ Z B Z B j dl ~ ~ ~ ~ = E dl + E(n)dl A λ A A = ϕ(A) − ϕ(B) + E(n) R B ~ ~ ϕ(A) − ϕ(B) là hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch, E(n) = A E(n) dl là thế R B ~j d~l điện động ngoại lai trên đoạn mạch AB, A λ = IRAB, trong đó RAB là điện trở của đoạn mạch AB. Do đó IRAB = ϕ(A) − ϕ(B) + E(n) (3.12) (3.12) là biểu thức toán học của định luật Ohm cho dòng điện I chảy qua đoạn mạch AB.
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 31 3.2.2 Định luật Joule – Lentz Ta xét một thể tích V bất kỳ chứa những dòng dừng (không có dòng chảy ra hoặc chảy vào thể tích đó). Nhiệt lượng Joule – Lentz tỏa ra trong một đơn vị thời gian trong thể tích V là Z Z j2 Q = q dV = dV (3.13) V V λ Áp dụng định luật Ohm suy rộng ta có: j2 ~jλ(E~ + E~ ) = (n) = ~jE~ +~jE~ λ λ (n) và (3.13) trở thành: Z Z ~ ~ ~ ~ Q = jE dV + jE(n) dV (3.14) V V Để ý div~j = 0, nên ~jE~ = −~jgradϕ = −div (ϕ~j) − ϕdiv~j = −div (ϕ~j) nên Z Z I ~jE~ dV = − div(ϕ~j) dV = − ϕjndS = 0 V V S Vì trên mặt kín S thì jn = 0 (do giả thiết không có dòng chảy ra hoặc chảy vào). Do đó (3.14) trở thành: Z ~ ~ Q = jE(n) dV (3.15) V (3.15) là biểu thức toán học của định luật Joule – Lentz suy rộng dạng tích phân. Ta thấy rằng nhiệt tỏa ra nhờ sự tiêu hao năng lượng do điện trường ngoại lai cung cấp, và không tiêu hao năng lượng của điện trường tĩnh hoặc từ trường dừng. Do đó quá trình tỏa nhiệt từ trường của dòng dừng không thay đổi. 3.2.3 Định luật Kirchhoff thứ nhất Đối với dòng điện không đổi div~j = 0 nên Z I div~j dV = − ~j dS~ = 0 (3.16) V S Ở đây V là một thể tích nào đó, còn S là mặt kín bao bọc thể tích V đó. Nếu chúng ta giả thiết rằng có n dòng điện chảy qua mặt kín đó thì: n I X I ~j dS~ = ~j dS~ S i=1 Si R ~ ~ Si j dS = Ii là cường độ dòng điện chảy qua phần điện tích Si. Do đó (3.16) có thể viết thành: n X Ii = 0 (3.17) i=1 Chọn ~n là pháp tuyến của mặt S thì Ii > 0 khi dòng điện chảy ra và Ii < 0 khi dòng chảy vào mặt S. Như vậy định luật Kirchhoff thứ nhất có thể phát biểu: Ở chỗ mạch rẽ tổng đại số các dòng điện bằng không
32 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 3.2.4 Định luật Kirchhoff thứ hai Đối với trường điện dừng ta cũng có E~ = −gradϕ cho nên I E~ d~l = 0 (3.18) H ~ Pn R ~ Nếu mạch điện khép kín gồm n đoạn mạch li(i = 1, n) thì E~ dl = E~ dl. i=1 li Biễu diễn qua và lấy tích phân theo từng đoạn mạch ta được: I n ~ X E~ dl = (ϕ1 − ϕ2)i (3.19) L i=1 H ~ ở đây E~ dl = (ϕ1 −ϕ2)i là hiệu điện thế giữa điểm đầu (chỉ số 1) và điểm cuối li (chỉ số 2) của đoạn mạch thứ i . Như vậy đoạn mạch nào mà E~ và ~l cùng chiều ~ thì (ϕ1 −ϕ2)i > 0 còn đoạn mạch nào mà E~ và l ngược chiều thì (ϕ1 −ϕ2)i < 0. (3.18) có thể viết thành: n X (ϕ1 − ϕ2) = 0 (3.20) i=1 (3.20) là biểu thức của định luật Kirchhoff thứ hai. Định luật Kirchhoff thứ hai có thể phát biểu Trong mạch điện kín tổng đại số các độ giảm thế ở các đoạn mạch bằng không. Sử dụng (3.12) thì (3.20) có thể viết dạng n n X X (IR)i = E(n)i (3.21) i=1 i=1 (3.21) là cách biểu diễn khác của định luật Kirchhoff thứ 2. Trong một mạch điện kín, tổng các độ giảm thế IR bằng tổng các sức điện động của trường lạ trên mạch đó. 3.3 Thế vectơ. Định luật Biot – Savart 3.3.1 Thế vectơ Nếu A~ = A~(~r ) là một hàm vectơ của tọa độ thì ta có thể đặt B~ = rotA~ (3.22) Khi đó B~ luôn thỏa mãn phương trình divB~ = 0.(div rotA~ = ∇ (∇ × A~ ) = 0). Hàm vectơ A~(~r ) thỏa mãn các điều kiện như trên được gọi là thế vectơ của từ trường dừng. Giả sử ta chọn được một hàm vectơ A~ 0 liên hệ với A~ bằng biểu thức: A~0 = A~ + gradu Trong đó u là một hàm vô hướng của tọa độ. Hàm vectơ A~0 xác định từ trường B~ 0 = rotA~0. Ta có B~ 0 = rot(A~ + grad u) = rotA~ + rot grad u = rotA~ = B~
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 33 Như vậy hàm vectơ A~0 cũng là thế vectơ của từ trường B~ . Thế vectơ không được xác định một cách đơn giá. Ứng với từ trường B~ có vô số thế vectơ A~ sai khác nhau một gradien của một hàm vô hướng bất kỳ. Muốn xác định thế vectơ A~ một cách đơn giá thì phải quy ước điều kiện định cỡ cho nó. Thông thường chọn điều kiện định cỡ divA~ = 0 (3.23) Thế vectơ là một đại lượng trung gian, không có ý nghĩa vật lý. Trong thực nghiệm ta đo được từ trường B~ mà không đo trực tiếp được thế vectơ A~. 3.3.2 Phương trình vi phân của thế vectơ Ta có rotµH~ = rotB~ = rot rotA~ = µ~j. Để ý rot rotA~ = grad divA~ − ∇2A~, và điều kiện định cỡ (3.23). Ta có: ∇2A~ = −µ~j (3.24) (3.24) là phương trình Poisson của thế vectơ, tương tự như phương trình Poisson của thế vô hướng. Ở những điểm có A~ = 0, phương trình (3.24) trở thành. ∇2A~ = 0 (3.25) (3.25) là phương trình Laplace của thế vectơ. Nếu chiếu (3.24) và (3.25) xuống ba trục tọa độ ta cũng được ba phương trình vô hướng giống như phương trình vi phân của thế vô hướng (2.11) và (2.12). 3.3.3 Định luật Biot – Savart Ta có thể tìm nghiệm của phương trình thế vectơ bằng cách đối chiếu với nghiệm của phương trình thế vô hướng. Ta thấy ở đây A~ và ~j tương tự như ϕ 1 và ρ, còn µ tương tự với ε . Do đó đối chiếu với nghiệm của phương trình thế vô hướng là (2.16) ta viết được µ Z ~j dV A~ = (3.26) 4π V |R~ − ~r 0| Trong trường hợp dòng điện là dòng mặt có mật độ bằng ~i, đối chiếu với (2.17) ta cũng viết được: µ Z ~idS A~ = (3.27) 4π S |R~ − ~r 0| Các vectơ R~ và ~r 0 được chỉ rõ ở Hình 2.3 (trang 20). Trong trường hợp tồn tại cả dòng điện khối lẫn dòng điện mặt thì: µ Z ~j dV µ Z ~idS A~ = + (3.28) 4π V |R~ − ~r 0| 4π S |R~ − ~r 0| Biết được A~ ta tính được B~ theo hệ thức B~ = rotA~.
34 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH Tính B~ trong trường hợp chỉ có mật độ dòng điện khối ~j. µ Z ~j dV B~ = rotA~ = rot 4π V r Vì A~ là thế vectơ của từ trường dừng tại điểm quan sát P nên A~ là hàm của R~, vậy rotA~ phải lấy theo tọa độ R~. Tích phân lấy theo các nguyên tố dV là hàm của ~r 0. Do đó phép tính rota và phép lấy tích phân ở đây độc lập với nhau nên ta có thể đưa phép tính rota vào trong dấu tích phân µ Z ~j B~ = rot dV (3.29) 4π V r h i ~j 1 ~ ~ 1 ~ ~ 0 Ta có rot r = r rot j − j × grad r . Vì rota lấy theo R mà j là hàm của ~r nên rot~j = 0. Mặt khác 1 1 d~r ~r ~r gradR = gradr = − (1) = − r r dR~ r3 r3 h 1i h ~r i [~j × ~r] − ~j × grad = − ~j × − = r r3 r3 nên (3.29) trở thành: Z ~ ~ µ [j × ~r ] B = 3 dV (3.30) 4π V r (3.30) là biểu thức của định luật Biot – Savart. Định luật Biot – Savart cho phép ta xác định véctơ cảm ứng từ B~ tại một điểm bất kì trong không gian khi biết phân bố dòng điện. Trong trường hợp có cả dòng điện khối và dòng điện mặt thì Z ~ Z ~ ~ µ [j × ~r ] µ [i × ~r ] B = 3 dV + 3 dS (3.31) 4π V r 4π S r Định luật Biot – Savart cũng cho phép xác định véctơ cường độ từ trường Z ~ Z ~ ~ 1 [j × ~r ] 1 [i × ~r ] H = 3 dV + 3 dS (3.32) 4π V r 4π S r Từ các công thức trên ta thấy rằng véctơ cảm ứng từ B~ phụ thuộc tính chất từ của môi trường, véctơ cường độ từ trường H~ không phụ thuộc tính chất từ của môi trường. So sánh với trường điện tĩnh ta thấy B~ giữ vai trò của E~ (phụ thuộc môi trường). Lẽ ra phải gọi B~ là từ trường còn H~ là cảm ứng từ mới phản 1 ánh đúng thực chất các vectơ đó. Cũng như vậy µ giữ vai trò như ε, nên đáng 1 1 lẽ phải gọi µ là độ từ thẩm mới đúng thực chất của nó . Đối với dòng tuyến tính2, gọi S là tiết diện và dl là nguyên tố chiều dài của dây dẫn ta có dV = Sdl, ~j dV = ~jSdl = jS d~l = I d~l. Các công thức (3.30), 1từ ban đầu người ta đã quen gọi ngược lại và theo thói quen nên vẫn giữ cách gọi như thế 2dòng chảy trong vật dẫn là dây dẫn có tiết diện rất nhỏ so với chiều dài của chúng, khi đó mật độ dòng điện phân bố đều theo tiết diện của dây
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 35 (3.32) trở thành: Z ~ ~ µI [dl × ~r ] B = 3 (3.33) 4π L r Z ~ ~ I [dl × ~r ] H = 3 (3.34) 4π L r 3.4 Từ trường của dòng nguyên tố Ta định nghĩa dòng nguyên tố3 là một dòng điện khép kín chảy trong một miền có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách từ dòng tới điểm quan sát. Với cách định nghĩa đó, bất kỳ một dòng khép kín nào cũng có thể gọi được là một dòng nguyên tố. Đối với dòng nguyên tố (3.26) trở thành: µI I d~l µI I d~r 0 A~ = = (3.35) ~ 0 ~ 0 4π |R − ~r | 4π |R − ~r | Hình 3.1: Lấy gốc tọa độ O trong miền chứa dòng nguyên tố (Hình 3.1). Ta có r0 R, khai triển hàm trong dấu tích phân theo chuỗi Taylo và bỏ qua các vô cùng bé bậc cao (chỉ lấy tới số hạng chứa đạo hàm hạng nhất) ta có: 1 1 1 1 ~r 0R~ = − (~r 0∇) + ··· = + + ··· |R~ − ~r 0| R R R R3 (3.35) trở thành µI I µI I A~ = d~r 0 + (R~r~ 0) d~r 0 (3.36) 4πR 4πR3 Tích phân thứ nhất trong vế phải của (3.36) là tích phân theo đường kín của vi phân toàn phần một vectơ, do đó nó bằng không. Biến đổi hàm dưới dấu tích phân thứ hai và chú ý rằng tích phân đó lấy theo d~r nên R~ coi như một hằng số. 1 1 (R~r~ 0)d~r 0 = (R~r~ 0)d~r 0 + (Rd~r~ 0)~r 0 + (R~r~ 0)d~r 0 − (Rd~r~ 0)~r 0 2 2 1 1 h i = d (R~r~ 0)~r 0 + [~r 0 × d~r 0] × R~ 2 2 I 1 I 1 I h i (R~r~ 0) d~r 0 = d (R~r~ 0)~r 0 + [~r 0 × d~r 0] × R~ 2 2 Hàm dưới dấu thứ nhất là vi phân toàn phần của một vectơ, nếu lấy tích phân theo đường kín sẽ bằng không. Do đó (3.36) sẽ trở thành: 1 µI h I i A~ = [~r 0 × d~r 0 ] × R~ (3.37) 2 4πR3 3khác với nguyên tố dòng Hình 3.2:
36 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH ở đây ta đưa được dấu tích phân vào trong dấu tích vectơ vì thừa số thứ hai của phép nhân là R~ được coi như hằng số đối với phép lấy tích phân. Đặt: I I M~ = [~r 0 × d~r 0] (3.38) 2 (3.37) trở thành µ [M~ × R~ ] A~ = (3.39) 4π R3 A~ theo (3.39) có dạng gần giống như ϕ theo (2.19) của lưỡng cực điện. Vectơ định nghĩa bằng (3.38) được gọi là mômen từ của dòng nguyên tố. Biết được mômen từ của dòng nguyên tố ta tính được từ trường của nó µ [M~ × R~] µ 3(M~ R~)R~ M~ B~ = rotA~ = rot = − (3.40) 4π R3 4π R3 R3 (3.40) có dạng tương tự như (2.20) của điện trường một lưỡng cực điện. Theo 1 0 0 ~ Hình 3.2 thì 2 [~r × d~r ] = dS là vi phân vectơ diện tích (diện tích hình tam 1 H 0 0 ~ giác có gạch chéo). Do đó 2 [~r × d~r ] = S là vectơ diện tích của mặt do dòng nguyên tố bao quanh, chiều của vectơ S~ và chiều của dòng nguyên tố được xác định bằng quy tắc vặn nút chai. Do đó (3.38) trở thành: M~ = IS~ (3.41) Công thức (3.41) tương tự như công thức định nghĩa mômen lưỡng cực điện P~ = q~l. Vì thế cũng được gọi là mômen lưỡng cực từ và một dồng điện khép kín có thể được coi là một lưỡng cực từ. Mặt thuận của dòng điện (mặt theo đó ta nhìn thấy dòng điện chảy ngược chiều kim đồng hồ) ứng với “từ tích” dương (từ cực bắc), mặt kia ứng với “từ tích” âm (từ cực nam). Chú ý rằng chỉ có ở miền xa lưỡng cực mới có sự tương tự giữa hình ảnh các đường sức điện trường và từ trường, ở gần lưỡng cực thì đường sức điện trường của lưỡng cực điện bắt đầu và kết thúc ở các điện tích còn đường sức từ trường của lưỡng cực từ là khép kín. 3.5 Từ môi trong từ trường không đổi 3.5.1 Sự từ hóa của từ môi Khi đặt từ môi vào một từ tường ngoài không đổi, trong từ môi xuất hiện một mômen từ. Ta nói rằng từ môi đã bị từ hóa. Mức độ từ hóa tại mỗi điểm của từ môi được đo bằng vectơ từ hóa I~ , là mômen từ của một đơn vị thể tích bao quanh điểm quan sát. ∆M~ dM~ I~ = lim = (3.42) ∆V →0 ∆V dV Như vậy mômen từ của một nguyên tố thể tích dV là: dM~ = I~ dV (3.43)
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 37 Mômen từ của từ môi gây ra một từ trường phụ bổ sung vào từ trường ngoài. Ảnh hưởng của từ môi đối với từ trường tương tự như ảnh hưởng của điện môi đối với điện trường. Tuy nhiên thực nghiệm cho biết rằng có một khác nhau căn bản giữa điện môi và từ môi, đó là là điện trượng phụ (do phân cực) bao giờ cũng ngược chiều với điện trường ngoài và làm nó yếu đi, nhưng từ trường phụ (do từ hóa) có thể cùng chiều hoặc ngược chiều với từ trường ngoài và làm nó mạnh lên hoặc yếu đi. Từ môi gây ra từ trường phụ cùng chiều với từ trường ngoài gọi là chất thuận từ, từ môi gây ra từ trường phụ ngược chiều với từ trường ngoài gọi là chất nghịch từ. Đối với tất cả các chất nghịch từ và phần lớn các chất thuận từ, từ trường phụ rất yếu so với từ trường ngoài và nó cũng mất đi khi từ trường ngoài mất đi. Còn một loại từ môi thứ ba có từ trường phụ rất lớn so với từ trường ngoài và không mất đi khi từ trường ngoài mất đi, đó là chất sắt từ. Thực nghiệm cho biết giữa véctơ từ hóa I~ và từ trường ngoài có hệ thức I~ = βH~ (3.44) Hệ số β gọi là độ cảm của từ môi. Nó có thể âm hoặc dương. 3.5.2 Thế véctơ của từ trường khi có từ môi Khi ta đặt một từ môi vào từ trường ngoài, từ trường tại mỗi điểm của từ môi là tổng của hai trường: từ trường ngoài do dòng điện dẫn gây ra và từ trường phụ do sự từ hóa của từ môi gây ra. Do đó thế véctơ tại mỗi điểm bằng A~ = A~d + A~t (3.45) Trong đó A~d là thế véctơ do dòng điện dẫn gây ra và được xác định theo (3.26) và (3.27) hoặc (3.28). Ta phải tìm thế véctơ A~t do sự từ hóa của môi trường gây ra. Theo (3.39) và (3.43) ta có Z Z ~ Z ~ ~ ~ µ0 [dM × ~r ] µ0 [I × ~r ] At = dAt = 3 = 3 dV V V 4π r 4π V r Tích phân lấy theo dV là của hàm ~r 0 và véctơ từ hóa Hình 3.3: I~ của nguyên tố dV cũng là hàm của ~r 0, (Hình 3.3). Để ý 1 1 d~r ~r ~r grad 0 = grad = − (−1) = r r r r d~r 0 r3 r3 I~ 1 h 1i 1 [I~ × ~r ] rot = rotI~ − I~ × grad = rotI~ − r r r r r3 Do đó Z ~ Z ~ Z ~ ~ µ0 [I × ~r ] µ0 rotI µ0 I At = 3 dV = dV − rot dV 4π V r 4π r 4π r Ta có: Z I~ I [dS~ × I~ ] rot dV = V r S r
38 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH I~ Muốn áp dụng được phép biến đổi trên rot( r ) phải liên tục trên toàn thể tích V lấy tích phân. Nhưng trong thực tế ở các mặt giới hạn giữa hai điện môi hoặc giữa điện môi và chân không thì véctơ I~ gián đoạn. Trong trường hợp này ta dùng phương pháp như mục 2.5.2 (hình 2.5, trang 24) khi tính ρl và σl. Ta có: I [dS~ × I~ ] I [dS~0 × I~ ] I [dS~00 × I~ ] = + S r S0 r S00 r Lấy mặt S00 bao toàn thể không gian chứa từ môi, tích phân theo mặt kín S00 bằng không. I [dS~0 × I~ ] Z [dS~0 × I~ ] Z [dS~0 × I~ ] = 1 1 + 2 2 0 r 0 r 0 r S S1 S2 Cho S0 −→ S tích phân theo S0 trở thành: Z [dS~ × (I~ − I~ )] Z [~n × (I~ − I~ )] 1 2 = 1 2 dS S r S r Kết quả ta có: µ Z rotI~ µ Z [~n × (I~ − I~ )] A~ = 0 dV + 0 2 1 dS t 4π r 4π r V S trong đó tích phân thứ nhất lấy theo thể tích V chứa các từ môi, và tích phân thứ hai lấy theo tất cả các mặt giới hạn S của các từ môi. Chúng ta biết rằng trong tự nhiên không có các “từ tích” vì vậy từ trường phụ trong từ môi phải do những dòng điện nào đó gây ra. Dòng điện dẫn do các điện tích tự do gây ra, còn dòng điện ở đây do các điện tích liên kết gây ra, các điện tích liên kết trong các phân tử gây ra điện tích này nên ta gọi nó là dòng phân tử (hay dòng liên kết). Đặt: h~jf i = rotI~ (3.46) gọi là mật độ dòng phân tử trung bình (mật độ dòng liên kết) và: h i h~if i = ~n × I~2 − I~1 (3.47) là mật độ dòng mặt phân tử trung bình (mật độ mặt dòng liên kết). Ta nói đến dòng trung bình vì dòng phân tử biến đổi rất nhanh theo tọa độ và thời gian, trong khi đó thì véctơ từ hóa I~ có một giá trị ổn định và phải do giá trị trung bình của các dòng phân tử gây ra. Biểu thức của A~t có dạng: µ Z h~j i µ Z h~i i A~ = 0 f dV + 0 f dS (3.48) t 4π r 4π r Và biểu thức của (3.45) có dạng: µ Z ~j + h~j i µ Z ~i + h~i i A~ = 0 f dV + 0 f dS (3.49) 4π V r 4π S r Trong việc tạo ra từ trường phụ các dòng phân tử có vai trò giống như các dòng điện dẫn. Khác với dòng điện dẫn, các dòng phân tử gắn liền với sự có mặt của từ môi và chỉ xuất hiện ở trong các từ môi không đồng nhất hoặc từ trường không đồng nhất (đối với dòng phân tử trung bình) và trên mặt giữa hai từ môi hoặc giữa từ môi và chân không (đối với dòng mặt phân tử trung bình).
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 39 3.5.3 Mối liên hệ giữa độ cảm từ và độ từ thẩm Trong chân không, từ trường do các dòng điện dẫn gây ra rotB~ 0 = µ0~j Trong từ môi từ trường do dòng điện dẫn và dòng phân tử gây ra. Nếu coi từ môi gồm dòng điện dẫn và dòng phân tử đặt trong chân không thì rotB~ = µ0(~j + rotI~ ) B~ rot − I~ = ~j µ0 Trong từ môi thì rotH~ = ~j, do đó B~ rot − I~ = rotH~ µ0 B~ = µ0H~ + µ0I~ = µ0H~ + µ0βH~ Mặt khác B~ = µH~ , do đó ta có: µ = µ0(1 + β) (3.50) Độ từ thẩm tỷ đối: µ µ0 = = 1 + β (3.51) µ0 3.6 Năng lượng của từ trường dừng 3.6.1 Biểu diễn năng lượng của từ trường dừng qua thế véctơ Ta đã biết mật độ năng lượng của từ trường dừng 1 w = H~ B~ (3.52) 2 Do đó năng lượng của từ trường trong một thể tích V bất kỳ bằng: 1 Z W = H~ B~ dV (3.53) 2 V Ta có H~ B~ = H~ rotA~ = div [A~ × H~ ] + A~ rotH~ = div[A~ × H~ ] + A~ ~j. Do đó (3.53) có thể viết lại dạng 1 Z 1 Z W = div[A~ × H~ ] dV + A~~j dV (3.54) 2 V 2 V Nếu môi trường liên tục lấy mặt S là mặt bao hết toàn bộ từ trường, trên ~ ~ R ~ ~ H ~ ~ ~ mặt S đó thì [A × H ] = 0, do đó V div[A × H ] dV = S[A × H ] dS = 0. Vì vậy năng lượng của từ trường dừng là 1 Z W = A~~j dV (3.55) 2
40 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH Nếu trong thể tích V có các mặt phân cách giữa các môi trường (tức là môi trường không liên tục) thì ta phải tách các mặt đó ra khỏi thể tích V lấy tích phân. Lý luận tương tự như mục 2.5.2 (Hình 2.5, trang 24) và sử dụng điều kiện biên [~n × (H~ 2 − H~ 1)] =~iN được: I Z Z [A~ × H~ ] dS~ = A~ [~n × (H~ 2 − H~ 1)] dS = A~~iN dS S0 S S vậy năng lượng của từ trường dừng là:: 1 Z 1 Z W = A~~iN dS + A~ ~j dV (3.56) 2 S 2 V Hai công thức (3.53) và (3.55) hoặc (3.56) tương đương nhau về mặt toán học, nhưng có ý nghĩa vật lý khác nhau. Theo (3.53) năng lượng từ trường là năng lượng phân bố liên tục trong không gian với mật độ năng lượng xác định bằng (3.52) Theo (3.55) hoặc (3.56) năng lượng từ trường là năng lượng tương tác giữa các dòng điện. Trong đố ~j dV hoặc ~iN dS là dòng điện chảy trong nguyên tố dV hoặc d~l và A~ là thế véctơ do tất cả các nguyên tố dòng khác gây ra tại điểm có nguyên tố dV hoặc dS. Ta nói được rằng năng lượng từ trường đúng bằng năng lượng tương tác của hệ dòng dừng sinh ra trường. Đối với dòng tuyến tính chảy trong dây dẫn khép kín thì ~j dV = Id~l năng lượng của từ trường dừng là: I I W = A~ d~l (3.57) 2 Li 3.6.2 Năng lượng của hệ dòng dừng. Hệ số tự cảm và hệ số hỗ cảm Theo (3.57), năng lượng từ trường hệ dòng dừng tuyến tính 1 X I W = I A~ d~l (3.58) 2 i i Li Trong đó Ii là cường độ dòng điện trong dây dẫn thứ i và A~ là thế véctơ của hệ dòng tại các điểm chứa nguyên tố d~l của dây thứ i. Áp dụng định lý Stokes I Z Z ~ A~ dl = rotA~ dS~ = B~ dS~ = φi Li Si Si φi là từ thông qua mặt Si do dây dẫn thứ i giới hạn. Do đó: 1 X W = I φ (3.59) 2 i i i Nếu chỉ có một dây dẫn thì: 1 W = Iφ (3.60) 2 Trong đó φ là từ thông do chính dòng điện gây ra qua mặt mà nó giới hạn.
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 41 Trong phương trình (3.58) nếu ta thay A~ bằng giá trị của nó theo (3.35) được I I ~ ~ µ X dli dlk W = I I (3.61) 8π i k r i,k Li Lk Trong đó r là khoảng cách giữa hai nguyên tố d~l và d~l 0. Tích phân phải lấy theo chiều dài của tất cả các dây dẫn, ta phân tích nó thành tổng các tích phân ~ ~ theo từng dây dẫn. Trong đó r là khoảng cách giữa hai nguyên tố dli và dlk. Hai nguyên tố đó thuộc hai dây khác nhau khi i 6= k, thuộc cùng một dây khi i = k. Đặt I I ~ ~ µ dlidlk Lik = (3.62) 4π Li Lk r (3.61) viết được thành: 1 X W = L I I (3.63) 2 ik i k i,k Trong (3.62) các hệ số Lik chỉ phụ thuộc hình dạng kích thước và vị trí tương đối của các dây dẫn, không phụ thuộc dòng điện chảy trong các dây dẫn đó. Do đó đối với mỗi hệ dây dẫn cố định, các hệ số Lik có giá trị nhất định không đổi. Khi i 6= k, hệ số Lik được gọi là hệ số hỗ cảm giữa dây i và dây k. Theo (3.62) dễ thấy Lik = Lki. Khi i = k, hệ số L = Lii gọi là hệ số tự cảm của dây thứ i. Công thức (3.62) dùng để tính các hệ số hỗ cảm của các dây4 nhưng không dùng để tính hệ số tự cảm vì khi cho i = k thì r = 0 và tích phân trở thành vô cực. Đối với một dây dẫn (3.63) trở thành 1 W = LI2 (3.64) 2 Trong đó L là hệ số tự cảm. Nếu tính được hoặc đo trực tiếp được W , có thể dùng (3.64) để tính ra hệ số tự cảm5. Đối chiếu (3.63) với (3.59) ta có: 1 X X 1 X W = I L I = I φ 2 i ik k 2 i i i k i Do đó X φi = LikIk (3.65) k Đối với một dây dẫn (3.65) trở thành: φ = LI (3.66) (3.65) và (3.66) thường dùng để tính hệ số hỗ cảm Lik và hệ số tự cảm L . 4Phép tính hệ số hỗ cảm bằng (3.62) rất phức tạp nên nói chung người ta cũng hay dùng phương pháp thực nghiệm để suy ra hệ số hỗ cảm 5Đó là phương pháp thường dùng để tính hệ số tự cảm
42 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 3.7 Lực tác dụng trong từ trường dừng 3.7.1 Lực của từ trường Thực nghiệm cho biết lực do từ trường tác dụng lên nguyên tố ~j dV là: dF~ = [~j × B~ ] dV (3.67) Do đó lực tác dụng lên vật dẫn Z F~ = [~j × B~ ] dV (3.68) V Nếu ta có nguyên tố dòng tuyến tính Id~l thì dF~ = I[d~l × B~ ] lực tác dụng lên một đoạn dây dẫn Z F~ = I [d~l × B~ ] (3.69) L Nếu có điện tích điểm q chuyển động với vận tốc ~v trong từ trường thì lực từ tác dụng lên điện tích điểm q là: F~ = q[~v × B~ ] (3.70) Chú ý rằng lực từ chỉ tác dụng lên điện tích chuyển động trong từ trường, nó không phải là loại lực xuyên tâm như lực của trường tĩnh điện hoặc các loại lực quen thuộc khác trong cơ học và từ trường không tác dụng lực nào lên điện tích đứng yên. 3.7.2 Lực từ tác dụng lên dòng nguyên tố Xét một dòng nguyên tố nhỏ, không biến dạng và không làm thay đổi từ trường ngoài. Ta giả thiết rằng trong phạm vi kích thước của dòng, từ trường ngoài biến thiên rất ít. Chọn gốc O trong miền có dòng nguyên tố và gọi B~ (O) là cảm ứng từ tại gốc O (Hình 3.4), khai triển từ trường ngoài B~ (~r ) theo chuổi Taylor và bỏ qua các vô cùng bé bậc cao B~ (~r) = B~ (O) + (~r ∇)B~ (O) + ··· Lực của từ trường ngoài tác dụng lên dòng nguyên tố bằng: I F~ = I [d~r × B~ (~r )] L I I ~ h ~ i = I [d~r × B(O)] + I d~r × (~r ∇)B(O) Hình 3.4: L L ~ H H ~ hH ~ i do B(O) và d~r = 0 là hằng số nên L [d~r × B(O)] = L d~r × B(O) = 0 nên I h i F~ = I d~r × (~r ∇)B~ (O) (3.71) L
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 43 Ta có I I I xdx = ydy = zdz = 0 L L L 1 1 xdy = (xdy − ydx) + (xdy + ydx) 2 2 xdy + ydx = grad (xy) d~r I I Z (x dy + y dx) = grad (xy) d~r = rot grad (xy) dS~ = 0 L L S nên I 1 I x dy = (x dy − y dx) L 2 L Tương tự I 1 I I 1 I x dz = (x dz − z dx); y dz = (y dz − z dy) L 2 L L 2 L Chiếu (3.71) lên trục Oz I Fz = I {dx(~r ∇)By(O) − dy(~r ∇)Bx(O)} L I h ∂B ∂B ∂B ∂B ∂B ∂B i F = I dx x y + y y + z y − dy x x + y x + z x z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z hI ∂B I ∂B I ∂B I ∂B I ∂B I ∂B i F = I xdx y + ydx y + zdx y − xdy x − ydy x − zdy x z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Để ý phép lấy đạo hàm của B~ tính tại gốc O nên phép tính đạo hàm độc lập với phép tính tích phân theo d~r. Do đó phép lấy đạo hàm của B~ (O) có thể đưa ra ngoài dấu tích phân. Tích phân thứ nhất và thứ năm của Fz bằng không vì chứa các tích phân H xdx và H ydy. Các tích phân còn lại có thể được biến đổi nhờ các phép biến đổi trung gian I h∂B I ∂B I F = x (ydz − zdy) + y (zdx − xdz)+ z 2 ∂z ∂z ∂B I ∂B I i + y (ydx − xdy) + x (ydx − xdy) ∂y ∂x ~ ∂Bx ∂By ∂Bz Do divB = 0 nên ∂x + ∂y = − ∂z nên I h ∂B I ∂B I ∂B I i F = x (ydz − zdy) + y (zdx − xdz) + z (xdy − ydx) z 2 ∂z ∂z ∂z Theo định nghĩa của mômen từ (3.38) ta có ∂B ∂B ∂B ∂B~ F = M x + M y + M z = M~ z x ∂z y ∂z z ∂z ∂z Vì dòng nguyên tố ta xét không biến dạng, mômen từ của nó không đổi nên ∂ F = (M~ B~ ) z ∂z
44 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH Tương tự chiếu (3.71) xuống trục Ox và Oy ta được ∂ ∂ F = (M~ B~ ); F = (M~ B~ ) x ∂x y ∂y Từ đó lực từ tác dụng lên dòng nguyên tố viết dưới dạng véctơ có dạng: F~ = grad (M~ B~ ) (3.72) 3.7.3 Năng lượng của dòng nguyên tố đặt trong từ trường ngoài Ta có F~ = −grad W , ở đây W = U là thế năng của dòng nguyên tố đặt trong từ trường ngoài. Đối chiếu với (3.72) W = U = −M~ B~ (3.73) 3.7.4 Mômen lực tác dụng lên dòng nguyên tố Gọi θ là góc giữa từ trường B~ và mômen từ của dòng nguyên tố M~ ta có W = −MB cos θ (3.74) Lấy tọa độ suy rộng là góc θ thì lực suy rộng tương ứng là mômen lực N~ ∂W ∂ N = − = − (MB cos θ) ∂θ ∂θ N = MB sin θ (3.75) Tác dụng của mômen lực lên dòng nguyên tố nó có xu hướng làm cho mômen từ M~ của dòng nguyên tố xoay trùng với phương của từ trường ngoài B~ . Khi M~ cùng phương chiều với B~ thì thế năng của dòng nguyên tố đặt trong từ trường ngoài là cực tiểu (dòng nguyên tố ở trạng thái cân bằng bền). Khi M~ cùng phương ngược chiều với B~ thì thế năng của dòng nguyên tố đặt trong từ trường ngoài là cực đại (dòng nguyên tố ở trạng thái cân bằng không bền). Có thể viết lại (3.75) dưới dạng véctơ N~ = [M~ × B~ ] (3.76)
Chương 4 Trường điện từ chuẩn dừng Trong chương 2 và chương 3 chúng ta đã nghiên cứu các trường tĩnh và trường dừng là những trường không biến thiên theo thời gian. Đối với các trường này điện trường và từ trường là độc lập với nhau và ta có thể khảo sát chúng một cách riêng rẽ. Sau đây ta sẽ nghiên cứu các trường biến thiên theo thời gian. Các phương trình Maxwell (1.33) và (1.34) cho ta thấy mối liên hệ giữa từ trường và điện trường biến thiên theo thời gian, chúng không tồn tại độc lập với nhau và do đó không thể khảo sát riêng rẽ. Trong chương này sẽ khảo sát trường điện từ chuẩn dừng, đó là trường biến thiên chậm theo thời gian. 4.1 Các phương trình của trường chuẩn dừng 4.1.1 Các điều kiện chuẩn dừng Trường chuẩn dừng là trường biến thiên chậm theo thời gian, thỏa mãn hai điều kiện sau: Điều kiện chuẩn dừng thứ nhất: Dòng điện dịch rất nhỏ, có thể bỏ qua được so với dòng điện dẫn. ∂D~ |~j |max (4.1) ∂t max Điều kiện chuẩn dừng thứ hai: Trong miền quan sát có thể bỏ qua hiệu ứng trễ, phụ thuộc vào vận tốc truyền hữu hạn của sóng điện từ. Xét ví dụ về trường hợp thường gặp là trường biến thiên điều hòa với tần số góc bằng ω khi đó iωt E~ = E~0e ∂D~ = iωεE~ eiωt; ~j = λE~ = λE~ eiωt ∂t 0 0 Do đó điều kiện chuẩn dừng thứ nhất có thể viết lại λ ωε λ ⇔ ω ε 45
46 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 7 −1 −1 λ 18 −1 Đối với dây dẫn bằng kim loại ε ≈ ε0 và λ ≈ 10 Ω m do đó ε ≈ 10 s , điều kiện chuẩn dừng thứ nhất tương ứng với ω 1018s−1 hay γ 1017Hz và bước sóng ` 10−9m. Như vậy đối với dòng xoay chiều và sóng vô tuyến điện đều thỏa mãn điều kiện chuẩn dừng thứ nhất. Giả sử điện trường biến thiên kể trên truyền đi theo trục x với vận tốc c dưới dạng sóng phẳng đơn sắc. Điện trường tại điểm quan sát cách nguồn một khoảng x n xo x n ωx o E(x, t) = E exp iω t − = E eiωtexp iω = E eiωt 1 − i + ··· 0 c 0 c 0 c ωx ~ ~ iωt Ta thấy rằng nếu c 1 thì E(x, t) có dạng E = E0e , hay ta có thể bỏ qua hiệu ứng trễ. Khi đó ω 2π 2π = = c cT ` Trong đó T là chu kỳ dao động của sóng điện từ, điều kiện chuẩn dừng thứ hai có dạng x ` Nghĩa là kích thước miền quan sát phải rất nhỏ so với bước sóng khảo sát. Dòng điện xoay chiều trong kỹ thuật có tần số cỡ 50Hz ứng với bước sóng 6000km và những sóng vô tuyến điện thường có bước sóng từ vài chục mét đến vài nghìn mét thì phần lớn điện từ trường dùng trong vô tuyến điện kỹ thuật và nhất là trong điện kỹ thuật đều thuộc lĩnh vực trường chuẩn dừng. 4.1.2 Các phương trình của trường chuẩn dừng Nếu bỏ qua dòng điện dịch so với dòng điện dẫn các phương trình Maxwell viết cho trường chuẩn dừng có dạng: ∂B~ rotE~ = − (4.2) ∂t rotH~ = ~j (4.3) divD~ = ρ (4.4) divB~ = 0 (4.5) Các phương trình liên hệ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ D = εE; B = µH; j = λ(E + E(n)) Phương trình liên tục trong trường chuẩn dừng có dạng ∂ρ ∂ ∂D~ div~j + = div~j + (divD~ ) = div ~j + ≈ div~j ∂t ∂t ∂t div~j = 0
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 47 4.1.3 Thế véctơ và thế vô hướng của trường điện từ chuẩn dừng Nếu A~ = A~(~r, t) là hàm véctơ của cả tọa độ và thời gian và thỏa mãn B~ = rotA~ (4.6) gọi là thế véctơ của trường điện từ chuẩn dừng. Đối với thế véctơ A~ ta cũng đặt điều kiện định cỡ divA~ = 0 (4.7) Từ phương trình (4.2) rút ra ∂B~ ∂ ∂A~ rotE~ + = rotE~ + rotA~ = rot E~ + = 0 ∂t ∂t ∂t ~ ~ ∂A~ ~ ∂A~ E không phải là véctơ thế mà E + ∂t mới là véctơ thế. Đặt E + ∂t = − grad ϕ hay: ∂A~ E~ = −gradϕ − (4.8) ∂t trong đó ϕ = ϕ(~r, t) là hàm vô hướng của tọa độ và thời gian và được gọi là thế vô hướng của trường điện từ chuẩn dừng. Nó cũng được định cỡ giống như thế vô hướng của trường tĩnh điện. 4.1.4 Các phương trình vi phân của thế Phương trình vi phân của thế vô hướng ~ ρ ~ ∂A~ 2 Ta có divE = ε . Thay E trong (4.8) ta có div − gradϕ − ∂t = −∇ ϕ − ∂ ~ ρ ∂t divA = ε . Sử dụng điều kiện định cỡ (4.7) ta có: ρ ∇2ϕ = − (4.9) ε (4.9) là phương trình Poisson của thế vô hướng của trường điện từ chuẩn dừng, có dạng tương tự như đối với trường tĩnh điện. Phương trình vi phân của thế véctơ Ta có rotB~ = µ~j. Thay B~ trong (4.6) ta có rot (rotA~) = grad divA~ − ∇2A~ = µ~j. Sử dụng điều kiện định cỡ (4.7) ta có: ∇2A~ = −µ~j (4.10) (4.10) là phương trình Poisson đối với thế véctơ. 4.2 Các mạch chuẩn dừng 4.2.1 Hệ dây dẫn có cảm ứng điện từ Xét một hệ gồm nhiều dây dẫn liên kết hỗ cảm với nhau. Do hiện tượng cảm ứng điện từ, dòng điện chảy trong mỗi dây dẫn phụ thuộc vào các dòng khác
48 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH trong dây dẫn khác. Áp dụng định luật Ohm suy rộng (3.7) cho dây dẫn thứ i và viết nó dưới dạng tích phân tương tự như (3.8) I ~ ~ I I j dl ~ ~ ~ ~ = E dl + E(n) dl (4.11) `i λ `i `i Theo (3.10) thì I ~j d~l = IiRi `i λ Tích phân thứ hai ở vế phải của (4.11) là thế điện động ngoại lai trên dây thứ i. I ~ ~ E(n) dl = E(n)i `i ~ ∂A~ Sử dụng E = −gradϕ − ∂t , tích phân thứ nhất trong vế phải của (4.11) có thể biến đổi được thành: I I I ∂A~ E~ d~l = − gradϕ d~l − d~l `i `i `i ∂t Để ý I I gradϕ d~l = dϕ = 0 `i `i I ∂A~ d I d Z d Z dφ d~l = A~ d~l = rotA~ dS~ = B~ dS~ = i `i ∂t dt `i dt Si dt Si dt Trong đó φi là từ thông qua mặt Si do dây dẫn thứ i giới hạn. Nên (4.11) viết lại dφ I R = E − i (4.12) i i (n)i dt P Theo (3.65) ta có φi = k LikIk. Do đó (4.12) cũng viết được thành: X dIk I R = E − L (4.13) i i (n)i ik dt k Nếu ta có một hệ gồm N dây dẫn và các lượng Ri, Lik và E(n)i là cho trước, ta viết được một hệ phương trình theo kiểu (4.13) chứa N ẩn I1,I2 IN . Hệ phương trình đó cho phép tính được cường độ dòng điện trong từng dây dẫn. 4.2.2 Mạch điện có điện dung và tự cảm Trên hình 4.1 là một mạch điện đơn giản có điện dung C và độ tự cảm L. lấy tích phân định luật Ohm suy rộng (3.7) dọc theo mạch điện từ bản này đến bản kia của tụ điện (từ điểm 1 đến điểm 2) Z 2 ~ ~ Z 2 Z 2 j dl ~ ~ ~ ~ = E dl + E(n) dl 1 λ 1 1 Hình 4.1:
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 49 Thực hiện các phép biến đổi Z 2 Z 2 d Z 2 E~ d~l = − gradϕ d~l − A~ d~l 1 1 dt 1 Z 2 Z 2 ~ gradϕ dl = dϕ = ϕ2 − ϕ1 1 1 Vì thế véctơ A~ là một hàm liên tục và khoảng cách giữa hai bản tụ điện (điểm 1 và điểm 2) là rất nhỏ so với độ dài của toàn mạch, ta có thể coi tích phân R 2 ~ ~ 1 A dl là tích phân theo đường kín. Z 2 I Z Z A~ d~l = A~ d~l = rotA~ dS~ = rotB~ dS~ = φ 1 S S Trong đó φ là từ thông qua mặt do mạch điện (bao gồm cả khoảng cách rất nhỏ giữa hai bản của tụ điện) giới hạn. kết quả ta có: dφ IR = E − (ϕ − ϕ ) − (4.14) (n) 2 1 dt q Gọi q là điện tích trên tụ, ta có ϕ − ϕ = và φ = LI do đó (4.14) thành: 2 1 C dI q L + + RI = E (4.15) dt C (n) dq Lấy đạo hàm (4.15) theo thời gian và chú ý rằng = I ta có: dt d2I dI I d L + R + = E (4.16) dt2 dt C dt (n) Nếu biết trước E, R, L, C giải phương trình (4.16) sẽ tính được cường độ dòng điện I trong mạch. Phương trình (4.15) còn có thể viết dưới dạng: d2q dq q L + R + = E (4.17) dt2 dt C (n) Nếu biết trước E, R, L, C giải phương trình này sẽ tính được điện tích q của tụ điện. Ở trên ta viết các phương trình cho một mạch điện có chứa điện dung và tự cảm. Trong trường hợp nếu có một hệ gồm N mạch điện kiểu như trên thì ta có thể viết được các phương trình cho mạch điện thứ i như sau: dφ I R = E − (ϕ − ϕ ) − i i i (n)i 2 1 i dt P Thay φi = k LikIk ta có: qi d X IiRi + + LikIk = E(n)i (4.18) Ci dt k Lấy đạo hàm hai vế (4.18) theo thời gian ta có: N 2 X d Ik dIi Ii d E(n)i Lik 2 + Ri + = (4.19) dt dt Ci dt k=1
50 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH Thay i = 1, 2 N ta được hệ N phương trình vi phân xác định các dòng Ii trên mỗi mạch. Nếu biết trước E(n)i, Ri, Lik, Ci giải hệ N phương trình (4.19) sẽ tính được cường độ dòng điện Ii trong mỗi mạch. Nếu biểu diễn qua điện tích trên các tụ ta có: N 2 X d qk dqi qi Lik 2 + Ri + = E(n)i (4.20) dt dt Ci k=1 Thay i = 1, 2 N ta được hệ N phương trình vi phân xác định điện tích qi trên tụ Ci của mạch thứ i. Tương tự nếu biết trước E(n)i, Ri, Lik, Ci giải hệ N phương trình (4.20) sẽ tính được điện tích qi trên tụ Ci của mạch thứ i. 4.2.3 Các ví dụ Ví dụ 1 Xét một mạch điện chỉ có R, L không có C. Tại thời điểm t = 0 ta tác dụng vào mạch một thế điện động ngoại lai không đổi E(n) = E0 = const. Tính cường độ dòng điện chảy trong mạch. Áp dụng phương trình (4.15), ta có: dI L + RI = E dt 0 Với điều kiện ban đầu I(0) = 0. Nghiệm của tổng quát của phương trình vi phân trên có dạng E0 − R t I = + Ae L R E0 E0 Sử dụng điều liện đầu I(0) = R + A = 0 =⇒ A = − R . Do đó E0 − R t I(t) = 1 − e L R Ta thấy rằng cường độ dòng điện I trong mạch tăng theo thời gian, khi t khá E0 lớn để có thể coi t −→ ∞ thì I0 = R . Dòng I0 gọi là dòng ổn định. Còn dòng − R t Ic = I0e L xuất hiện do hiện tượng tự cảm, nó được gọi là dòng cảm ứng Hình 4.2 là đồ thị của I. Khi đóng mạch điện có thể coi dòng điện I chảy trong mạch là tổng của hai − R t dòng: dòng ổn định I0 và dòng cảm ứng Ic = I0e L . Dòng cảm ứng chảy ngược chiều với dòng ổn định và tắt dần theo thời gian. Sau mỗi khoảng thời gian L 4t = R nó giảm e lần. Trong trường hợp ta ngắt mạch điện (lúc đầu có Hình 4.2: E(n) = E(0) = const) bài toán cũng được giải tương tự như trên. Bây giờ phương trình (4.15) trở thành: dI L + RI = 0 dt E(0) Với điều kiện ban đầu I(0) = R . Nghiệm của phương trình vi phân với điều kiện đầu trên là: E(0) − R t I(t) = e L R
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 51 Nghĩa là ngay sau khi ngắt mạch điện thì cường độ dòng điện trong mạch không lập tức bị tắt (bằng 0) mà do hiện tượng tự cảm nó tắt dần theo quy luật hàm mũ (Hình ??) Ví dụ 2 Xét dòng điện chảy trong một mạch có L, C và điện trở nhỏ không đáng kể R = 0 trong trường hợp không có thế điện động ngoại lai E(n) = 0. Trong trường hợp này phương trình (4.16) có dạng: d2I 1 + I = 0 dt2 LC Nghiệm của tổng quát của phương trình vi phân trên có dạng I = A sin ωt + B cos ωt Trong đó ω là tần số góc của dòng điện 2π 1 ω = = √ T LC A và B là biên độ của dao động, có giá trị xác định bằng những điều kiện ban đầu. Như vậy dòng điện trong mạch dao động với chu kỳ bằng: √ T = 2π LC Dao động đó có thể được kích thích lúc đầu bằng cảm ứng điện từ và những điều kiện kích thích sẽ xác định biên độ A và B. Một mạch điện như trên gọi là mạch dao động và dòng điện trong mạch không bao giờ tắt. Trong thực tế mạch bao giờ cũng có một giá trị điện trở nào đó, dù rất nhỏ và dòng điện trong mạch là dòng tắt dần vì năng lượng của dòng điện biến dần thành nhiệt năng theo định luật Joule – Lentz. Ví dụ 3 Xét dòng điện chảy trong mạch có R, L, C trong trường hợp thế điện động ngoại lai biến thiên tuần hoàn với tần số góc ω theo quy luật E(n) = E(0) cos(ωt). −iωt Viết E(n) lại dưới dạng phức E(n) = E(0)e và tìm nghiệm của (4.16) dưới dạng: −iωt I(t) = I0e Thay nghiệm I(t) vào (4.16) và thực hiện các phép đạo hàm được phương trình: h 1 i R − i ωL − I = E ωC (n) ∗ −iα 1 Đặt Z = Ze = R − i ωL − ωC , định luật Ohm cho toàn mạch có dạng E I = (n) Z∗
52 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH Trong đó Z∗ gọi trở kháng phức và Z là trở kháng của mạch. Ta có h 1 ih 1 i Z2 = Ze−iαZeiα = R − i ωL − R + i ωL − ωC ωC 1 2 = R2 + ωL − ωC s 1 2 Z = R2 + ωL − ωC −iα 1 Mặt khác Ze = Z cos α − iZ sin α = R − i ωL − ωC do đó R 1 1 1 1 cos α = ; sin α = ωL − ; tg α = ωL − Z Z ωC R ωC Từ đó E e−iωt E I = (0) = (0) e−i(ωt−α) Ze−iα Z Hay viết dưới dạng lượng giác E I(t) = (0) cos (ωt − α) Z Dòng điện trong mạch cũng dao động với tần số ω như dao động của thế điện động ngoại lai, nhưng nó lệch pha so với thế điện động ngoại lai. Độ lệch pha α phụ thuộc vào R, L, C và tần số ω của thế điện động ngoại lai. Độ lệch pha α = 0 khi tgα = 0 tức là khi: 1 ω = √ = ω0 LC Trong trường hợp đó trong mạch có hiện tượng cộng hưởng và tần số ω0 gọi là tần số cộng hưởng. Khi đó E Z = Z = R; I = I = 0 min 0 max R 4.3 Hiệu ứng mặt ngoài Chúng ta biết rằng dòng điện không đổi được phân bố đều theo tiết diện của dây dẫn. Nhưng đối với dòng điện biến thiên, sự phân bố thay đổi khác hẳn, phần lớn dòng điện tập trung ở lớp ngoài của dây dẫn và tần số của dòng điện càng lớn thì lớp ngoài của dây dẫn chứa dòng điện càng mỏng. Hiện tượng đó gọi là hiệu ứng mặt ngoài 1. Giả sử ta có một dây dẫn đồng chất và vô hạn chiếm một nửa không gian ứng với z ≥ 0, và dòng điện chảy theo phương trục x song song với mặt ngoài của dây dẫn. Dòng điện biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số góc bằng ω và chỉ là hàm của một tọa độ z theo iωt ~j = ~j(z, t) = J~0(z)e (4.21) 1cũng gọi là hiệu ứng lớp da
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 53 Các thành phần của nó là: iωt jx = J0(z)e ; jy = jz = 0 (4.22) Sử dụng các phương trình Maxwell ∂H~ rot H~ = ~j; rotE~ = −µ ∂t lấy đạo hàm theo thời gian phương trình đầu kết hợp với phương trình thứ hai ta có: ∂H~ 1 1 1 ∂~j rot = − rot rotE~ = − grad divE~ + ∇2E~ = ∂t µ µ µ ∂t Vì trong dây dẫn ~j = λE~ và từ phương trình liên tục div~j = divλE~ = 0 ta có ∂~j ∇2~j = λµ (4.23) ∂t iωt Theo giả thiết ~j chỉ có một thành phần jx(z) = J0(z)e 6= 0 nên (4.23) trở thành ∂2J (z) 0 = 2ip2J (z) (4.24) ∂z2 0 trong đó 1 p2 = λµω (4.25) 2 Nghiệm tổng quát của (4.24) là √ √ 2ip2 z − 2ip2 z J0(z) = A0e + B0e √ Chú ý rằng p2ip2 = p 2i = p(1 + i) nên pz ipz −pz −ipz J0(z) = A0e e + B0e e (4.26) Số hạng thứ nhất của (4.26) dần tới vô cùng khi z dần tới vô cùng, điều đó không có ý nghĩa vật lý. Vì vậy phải chọn A0 = 0 và (4.26) trở thành −pz −ipz J0(z) = B0e e (4.27) Khi z = 0 thì B0 = J0 là biên độ của dòng điện tại mặt ngoài của dây dẫn. Do đó −pz −ipz J0(z) = J0e e iωt −pz i(ωt−pz) jx = J0(z)e = J0e e Biểu diễn dưới dạng lượng giác −pz jx = J0e cos(ωt − pz) (4.28) Như vậy càng đi sâu vào trong dây dẫn thì biên độ dòng điện càng giảm 1 theo quy luật hàm mũ. Ở độ sâu d = p biên độ dòng điện giảm đi e lần so với giá trị của nó ở mặt ngoài. Theo (4.25) ta có s 1 r 1 T d = = = (4.29) p λµω πλµ
54 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH Nhận xét 7 −1 −1 −5 1. Đối với kim loại µ ≈ µ0, λ ≈ 10 Ω m và với dòng điện có T = 10 s ứng với bước sóng ` = cT = 3km ta tính được d ≈ 0, 5mm. Đối với dòng điện có tần số rất cao ω rất lớn thì d → 0 tức là dòng điện chỉ tập trung ở lớp mỏng bên ngoài của dây dẫn. Đối với dòng điện không đổi ω = 0 thì d → ∞, tức là không có hiệu ứng mặt ngoài. 2. Điện trở của dây dẫn được tính theo công thức Z dl R = λS S là tiết diện dây dẫn. Ở tần số càng cao dòng điện tập trung ở lớp ngoài của dây dẫn nên tiết diện của nó giảm và điên trở của nó tăng. Tần số dòng điện chảy dây dẫn càng cao càng cao thì điện trở dây dẫn càng lớn. 3. Năng lượng từ trường của dòng điện là 1 W = LI2 2 L là hệ số tự cảm của dây dẫn. Nếu dòng điện chảy theo lớp ngoài của dây dẫn thì từ trường ở bên trong dây dẫn bằng không, còn từ trường ở phía bên ngoài dây không thay đổi. Như vậy năng lượng của từ trường bên trong dây dẫn giảm đi, còn năng lượng của từ trường bên ngoài dây vẫn như cũ. Kết quả là năng lượng toàn phần giảm đi trong khi độ lớn dòng điện không đổi. Nên thì hệ số tự cảm của dây cũng giảm. Tần số của dòng điện trong chảy dây dẫn càng cao thì hệ số tự cảm của nó càng nhỏ. 4.4 Năng lượng của các mạch chuẩn dừng Xuất phát tư phương trình (4.18), nhân hai vế của nó với Ii và lấy tổng theo tất cả các mạch điện ta được: 2 d 1 X 1 X qi X 2 X LikIiIk + + RIi = E(n)iIi dt 2 2 Ci i,k i i i Hay dW + Q = N (4.30) dt 0 Trong đó 2 1 X 1 X qi W = LikIiIk + (4.31) 2 2 Ci i,k i là năng lượng từ trường của tất cả các cuộn dây và năng lượng điện trường của tất cả tụ điện trong hệ mạch. X 2 Q = RIi (4.32) i
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 55 là nhiệt lượng Joule – Lentz tỏa ra trên tất cả các mạch. X N0 = E(n)iIi (4.33) i (4.30) là biểu thức của định luật bảo toàn năng lượng đối với hệ các mạch chuẩn dừng. Công suất của trường lạ thực hiện đối với các dòng điện trong hệ mạch bằng sự biến đổi năng lượng trường điện từ trong hệ mạch trong một đơn vị thời gian và nhiệt lượng Joule – Lentz do hệ mạch tỏa ra.
Chương 5 Sóng điện từ Điện trường và từ trường trong trường điện từ tĩnh và dừng chỉ tồn tại khi có các nguồn là điện tích và dòng điện. Chúng không thể tồn tại biệt lập khỏi nguồn này. Trong trường điện từ chuẩn dừng ta cũng mới chỉ xét hiện tượng cảm ứng điện từ, tức là sự gây ra điện trường do từ trường biến thiên theo thời gian, mà chưa xét đến sự xuất hiện từ trường do điện trường biến thiên. Nhưng đối với trường điện từ biến thiên nhanh ta xét đầy đủ cả hai quá trình tương tác giữa điện trường và từ trường. Do đó trường điện từ biến thiên nhanh có thể tồn tại biệt lập khỏi các nguồn là điện tích và dòng điện dưới dạng sóng điện từ. Sóng điện từ là trường điện từ tự do lan truyền trong không gian hay trường điện từ biến thiên nhanh theo tọa độ và thời gian biệt lập khỏi các nguồn. 5.1 Các phương trình của trường điện từ biến thiên nhanh 5.1.1 Các phương trình của trường biến thiên nhanh Nếu muốn nghiên cứu sự bức xạ sóng điện từ, tức là nghiên cứu đến những nguyên nhân phát sinh ra sóng điện từ, ta phải dùng các phương trình Maxwell tổng quát nhất, trong đó phải xét đến điện tích và dòng điện ∂B~ rotE~ = − (5.1) ∂t ∂D~ rotH~ = ~j + (5.2) ∂t divD~ = ρ (5.3) divB~ = 0 (5.4) và các phương trình liên hệ D~ = εE~ ; B~ = µH~ 56
GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 57 5.1.2 Thế vô hướng và thế vectơ của trường điện từ biến thiên nhanh Tương tự với trường điện từ chuẩn dừng, khi chỉ có các nguồn điện ta có thể đưa vào thế vô hướng ϕ và thế vectơ A~ theo các công thức sau: B~ = rotA~ (5.5) ∂A~ E~ = −grad ϕ − (5.6) ∂t Dễ thấy rằng thế vô hướng ϕ và thế vectơ A~ xác định trường điện từ theo (5.5) và (5.6) là không đơn trị. Thật vậy nếu ta cho một hàm vô hướng bất kì của tọa độ và thời gian u(~r, t) thì ∂u ϕ0 = ϕ − , A~0 = A~ + grad u ∂t cũng là thế của trường điện từ đó. Thật vậy B~ 0 = rotA~0 = rot (A~ + grad u) = rotA~ = B~ ∂A~0 ∂u ∂ ∂A~ E~ 0 = −grad ϕ0 − = −grad ϕ − − A~ + grad u = −grad ϕ − = E~ ∂t ∂t ∂t ∂t như vậy các thế ϕ0 và A~0 cũng mô tả trường điện từ như các thế ϕ và A~ Đối với trường điện từ biến thiên nhanh chúng ta sử dụng điều kiện định cỡ Lorentz: ∂ϕ divA~ + εµ = 0 (5.7) ∂t 5.1.3 Phương trình vi phân của thế vô hướng và thế vectơ Ta có ∂E~ rotµH~ = µ~j + εµ ∂t sử dụng thế vectơ A~ và thế vô hướng ϕ theo (5.5) và (5.6) ta có ∂ ∂A~ rot rotA~ = µ~j + εµ −grad ϕ − ∂t ∂t ∂ϕ ∂2A~ grad divA~ − ∇2A~ = µ~j − εµ grad − εµ ∂t ∂t2 ∂2A~ ∂ϕ ∇2A~ − εµ − grad divA~ + εµ = −µ~j ∂t2 ∂t Sử dụng điều kiện định cỡ Lorentz (5.7) ta có ∂2A~ ∇2A~ − εµ = −µ~j (5.8) ∂t2 ~ ~ ρ Thay E trong (5.5) vào phương trình divE = ε ta có ∂A~ ρ div −grad ϕ − = ∂t ε ∂ ∂ ρ div grad ϕ + divA~ = ∇2ϕ + divA~ = − ∂t ∂t ε
58 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH ∂ ~ ∂2ϕ Theo điều kiện định cỡ Lorentz ∂t divA = −εµ ∂t2 . Do đó ∂2ϕ ρ ∇2A~ − εµ = − (5.9) ∂t2 ε Các phương trình (5.8) và (5.9) được gọi là các phương trình vi phân của thế vectơ và thế vô hướng của trường điện từ biến thiên nhanh. 5.1.4 Nghiệm của phương trình thế. Thế trễ Các phương trình (5.8) và (5.9) có thể viết chung lại dưới dạng: ∂2ψ ∇2ψ − εµ = −f(~r 0, t) (5.10) ∂t2 ~ 0 ~ ρ trong đó ψ là thế vectơ A hoặc thế vô hướng ϕ và f(~r , t) là µj hoặc ε . Phương trình (5.10) gọi là phương trình sóng d’ Alembert có vế phải. Nếu f(~r 0, t) = 0 trong toàn thể không gian ta xó phương trình d’Alembert không có vế phải, đó là phương trình của dòng điện từ tự do ta sẽ nghiên cứu sau này. Nếu f(~r 0, t) 6= 0 trong một miền V hữu hạn nào đó của không gian thì nghiệm của phương trình Đalămbe đối với toàn không gian có dạng: 0 r 1 Z f ~r , t ± ψ(R,~ t) = v dV (5.11) 4π V r Trong đó R~ là bán kính vectơ của điểm quan sát, t là thời điểm quan sát, ~r 0 là bán kính vectơ của thể tích dV (chứa ~j hoặc ρ), |~r | = |R~ − ~r 0| là khoảng cách từ nguyên tố thể tích dV tới điểm quan sát 1 (Hình 5.1) và v = √ là vận tốc truyền sóng εµ điện từ. Trong nghiệm (5.11) hàm ψ(R,~ t) biểu diễn 0 r Hình 5.1: trạng thái điện từ trường và f ~r , t ± v là hàm biểu diễn trạng thái nguồn gây ra điện từ trường. Như vậy trạng thái của điện từ trường tại thời điểm t do r trạng thái của nguồn tại thời điểm t ± v xác định. Xét các nghiệm r ~ 0 µ Z j ~r , t − A~(R,~ t) = v dV (5.12) 4π V r 0 r 1 Z ρ ~r , t − ϕ(R,~ t) = v dV (5.13) 4πε V r Do đó vi phân thế véctơ dA~ do nguồn nguyên tố ~j dV và vi phân thế vô hướng dϕ do nguồn nguyên tố ρ dV gây ra là r ~ 0 µ j ~r , t − dA~(R,~ t) = v dV 4πε r 0 r 1 ρ ~r , t − dϕ(R,~ t) = v dV 4πε r