Giáo trình Đầu dò bán dẫn và ứng dụng (Phần 1)

Nội dung text: Giáo trình Đầu dò bán dẫn và ứng dụng (Phần 1)

1. NGUYỄN XUÂN HẢI Đầu dò bán dẫn và ứng dụng S¸ch dïng néi bé vµ ®Ó tÆng sinh viªn HÀ NỘI 2010 1
2. Mục lục Mục Trang Chương 1. Một số vấn đề cơ sở 6 1.1 Bức xạ điện từ 6 1.2. Sự phát triển của phép đo phổ tia X và tia g 7 1.2.1 Sự phát triển của đầu dò bức xạ 7 1.2.2 Các chuẩn năng lượng 10 1.3 Nguồn gốc, đặc điểm của tia X và tia gamma 11 1.3.1. Tia X 11 1.3.2 Tia gamma 14 1.3.2.1 Một số quá trình làm hạt nhân bị kích thích 14 1.3.2.2 Phân rã của hạt nhân kích thích 17 1.4 Tương tác của photon với vật chất 22 1.4.1 Hấp thụ quang điện 22 1.4.2 Tán xạ compton 23 1.4.3 Tạo cặp 25 1.4.4. Các quá trình tương tác khác 26 1.4.5 Sự suy giảm của số photon 26 1.5. Xử lý số liệu thống kê 27 1.5.1 Xác suất phân bố 27 1.5.1.1 Phân bố Gauss 28 1.5.1.2 Phân bố Poisson 29 1.5.2. Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn 30 1.5.3 Độ tin cậy của phép đo và số liệu thu được 31 1.5.3.1 Độ tin cậy 31 1.5.3.2 Truyền sai số 32 1.5.3.3 Tương quan giữa các đại lượng 33 1.5.4 Giới hạn phát hiện 34 1.6 Các phương pháp khớp 36 1.6.1 Khớp bình phương tối thiểu tuyến tính 36 1.6.2 Khớp bình phương tối thiểu phi tuyến 39 1.6.3 Nội suy và làm trơn số liệu 40 1.6.4 Chất lượng khớp số liệu 41 Chương 2. Thiết lập thực nghiệm 44 2.1 Đầu dò 44 2.1.1 Đặc điểm chung của đầu dò phôtôn 44 2.1.2 Quá trình vật lý trong các đầu dò bán dẫn 45 2.1.3 Độ phân giải 47 2.1.4. Các kiểu đầu dò 49 2.1.5 Lắp ráp đầu dò 51 2.1.6 Các ảnh hưởng đến biên độ xung của đầu dò 54 2.1.7 Các đặc trưng kỹ thuật của đầu dò 55 2.1.8 Tiêu chuẩn để chọn đầu dò 56 2.2 Các khối điện tử 58 2.2.1. Cao thế 58 2.2.2 Tiền khuếch đại 58 2
3. 2.2.3 Khuếch đại 60 2.2.4 ADC và lưu trữ số liệu 62 2.2.5 Thời gian tăng và chồng chập xung 63 2.2.6 Sử dụng máy phát xung 64 2.2.7 Sự ổn định của hệ số khuếch đại và ổn định không 64 2.3 Các nguồn tia X và gamma 65 2.3.1 Các loại nguồn 65 2.3.2 Các đặc trưng của nguồn 66 2.3.3 Bức xạ thứ cấp 67 2.3.4 Các nguồn chuẩn 68 2.3.4.1 Các nguồn chuẩn và tài liệu tham khảo 68 2.3.4.2 Các phép đo hoạt độ tuyệt đối 69 2.3.4.3 Các nguồn chuẩn đặc biệt 70 2.4 Bố trí nguồn - đầu dò 71 2.4.1 Vị trí nguồn 71 2.4.2 Hình học các nguồn thể tích 73 2.4.3 Giá để mẫu 74 2.4.4 Hấp thụ 74 2.4.5 Chuẩn trực 76 2.4.6 Che chắn 78 2.5 Kiểm tra hiệu suất 79 2.5.1 Hiệu suất 80 2.5.2 Đánh giá độ phân giải năng lượng và hình dạng đỉnh 80 2.5.3 Kiểm tra tinh thể của đầu dò 82 2.5.4 Cửa sổ và các lớp chết 83 2.5.5 Đánh giá phông 84 2.5.6 Qui trình kiểm tra 88 Chương 3. Phân tích phổ và các phép đo năng lượng 90 3.1 Hình dạng của phổ và các đỉnh 90 3.1.1 Hình dạng của phổ 91 3.1.2 Hình dạng của phổ phông 95 3.1.3 Hình dạng của các đỉnh 99 3.2 Xác định vị trí đỉnh 103 3.3 Đánh giá đỉnh 105 3.3.1 Các phương pháp đánh giá diện tích đỉnh đơn giản 105 3.3.2 Tính diện tích bằng khớp đỉnh 106 3.3.3 Phân tích các đỉnh chập 109 3.3.4 Hình dạng và phân tích các đỉnh tia X 110 3.4 Chuẩn năng lượng 112 3.4.1 Thang năng lượng 112 3.4.2 Hàm chuẩn năng lượng 114 3.5 Các phép đo năng lượng 115 3.5.1 Qui trình đo năng lượng 115 3.5.2 Các phép đo năng lượng chính xác 117 3.5.2.1 Thiết kế thực nghiệm 117 3.5.2.2. Các hiệu ứng do vị trí nguồn 119 3.5.2.3 Khớp sơ đồ phân rã 120 3
4. Chương 4. Chuẩn hiệu suất và xác định tốc độ phát 121 4.1 Các phương pháp chuẩn hiệu suất và giá trị các đại lượng vật lý đo được 121 4.1.1 Tính hiệu suất 122 4.1.2 Các phép đo hiệu suất 123 4.2. Chuẩn hiệu suất theo năng lượng 125 4.2.1. Hiệu suất trong vùng từ 60 keV đến 3 MeV 125 4.2.1.1 Nguồn chuẩn 125 4.2.1.2 Các hàm khớp 129 4.2.1.3 So sánh và đánh giá độ tin cậy 131 4.2.2 Hiệu suất dưới 60 keV 132 4.2.2.1 Các nguồn chuẩn 132 4.2.2.2 Các hàm khớp 135 4.2.2.3 Sai số 140 4.2.3. Chuẩn hiệu suất trên 3 MeV 141 4.2.3.1. Các nguồn chuẩn 141 4.2.3.2. Các hàm khớp 144 4.2.3.3 Hiệu suất các đỉnh thoát 144 4.3. Tổng hiệu suất 145 4.3.1 Các tính toán 145 4.3.2 Đo hiệu suất 146 4.4 Sự thay đổi hiệu suất theo hình học giữa nguồn và đầu dò 147 4.4.1 Hiệu suất với nguồn điểm ở các khoảng cách khác nhau 147 4.4.2 Hiệu suất với các nguồn diện tích 150 4.4.3 Các nguồn thể tích 153 4.5 Hiệu chỉnh hiệu ứng trùng phùng tổng 154 4.5.1. Hiệu chỉnh với sơ đồ phân rã đơn giản 154 4.5.2. Hiệu chỉnh với sơ đồ phân rã phức tạp 155 4.5.3 Tính toán cho các nguồn mở rộng 157 4.5.4 Kết quả tính toán hiệu chỉnh trong một số trường hợp đặc biệt 158 4.5.5 Tính tất yếu cần phải hiệu chỉnh của thực nghiệm 161 4.6 Hiệu chỉnh thời gian chết và chồng chập 162 4.6.1 Hiệu chỉnh thời gian chết 162 4.6.2 Hiệu ứng chồng chập 163 4.6.3 Hiệu chỉnh chồng chập dựa vào đo thời gian chết 165 4.6.4 Phương pháp hiệu chỉnh dùng máy phát xung 167 4.7 Hiệu chỉnh sự suy giảm của phôtôn 169 4.8 Xác định tốc độ phát 172 Chương 5. Các ứng dụng 175 5.1. Các chương trình máy tính cho phân tích hạt nhân phóng xạ 175 5.1.1. Đặc điểm chung 175 5.1.2 Các quá trình chuẩn 176 5.1.2.1 Chuẩn năng lượng và độ phân giải 176 5.1.2.2 Các hàm hiệu suất 178 5.1.2.3 Các hàm dạng đỉnh 178 5.1.3 Thư viện các số liệu phân rã 178 5.1.4 Các thao tác trước khi khớp đỉnh 178 4
5. 5.1.5 Phân tích đỉnh và nhận diện các hạt nhân phóng xạ 180 5.1.6 Tính toán hoạt độ tương ứng với từng hạt nhân phóng xạ 182 5.1.6.1 Phương pháp cơ bản 182 5.1.6.2 Phân tách ma trận hạt nhân-đỉnh và tính hoạt độ 183 5.1.6.3 Đánh giá độ tin cậy 185 5.1.7 Phân tích có lựa chọn 185 5.2 Một số ví dụ về phân tích nguyên tố và hạt nhân phóng xạ 187 5.2.1 Kiểm tra độ sạch phóng xạ 187 5.2.2 Phân tích kích hoạt 189 5.2.3 Phân tích tia X 192 5.2.4 Kiểm tra nhiên liệu hạt nhân 195 5.2.4.1 Đo Uran 195 5.2.4.2 Phân tích Plutôni 196 5.3 Các phương pháp đặc biệt 200 5.3.1 Đo phông thấp 200 5.3.2 Đo trong điều kiện hoạt độ cao 203 5.3.3 Phân tích thành phần phổ 204 Chương 6. Số liệu nguyên tử và hạt nhân 206 6.1 Các hệ số suy giảm 206 6.2 Số liệu liên quan tới các mức nguyên tử 211 6.3 Số liệu hạt nhân 211 Lời tựa: Quyển sách này được biên soạn trên cơ sở quyển “Gamma-And X-Ray spectrometry with semiconductor detectors” của tác giả Klaus Debertin và Richard G. Helmer. Về cơ bản những nội dung chính và cấu trúc của sách vẫn được giữ nguyên. Những thông tin mới về thiết bị và số liệu cũng được cập nhật. Theo kinh nghiệm của các tác giả thì đây là một tài liệu tham khảo rất tốt về ghi đo bức xạ với các đầu dò bán dẫn ở mức chuyên sâu đối với các sinh viên đại học, cao học và nghiên cứu sinh ngành vật lý nguyên tử và hạt nhân. Quyển sách cũng có thể xem là một tài liệu cẩm nang về ghi đo bức xạ khi sử dụng các đầu dò bán dẫn ở các phòng thí nghiệm. Trong lần biên dịch và xuất bản đầu tiên, do thời gian có hạn nên những kiến thức về sử dụng các chương trình đo và xử lý mới như Geni 2K, Gammavision chưa được cập nhật. Những kiến thức này sẽ được bổ sung cập nhật trong thời gian gần nhất để đảm bảo tính thời sự của một quyển cẩm nang về sử dụng đầu dò bán dẫn trong ghi đo bức xạ. Đà Lạt, 2011 Nguyễn Xuân Hải 5
6. Chương 1. Một số vấn đề cơ sở 1.1 Bức xạ điện từ Phổ của tia g và tia X là chủ đề được đề cập chính trong chuyên khảo và là một phần nhỏ của bức xạ điện từ. Mỗi bức xạ điện từ được mô tả bằng bước sóng l , tần số n hoặc năng lượng E. Trong chân không mối liên hệ giữa các đại lượng này như sau: l.n = c và E = h.n trong đó c là vận tốc của bức xạ điện từ, h là hằng số Plank. Sóng radio thường được mô tả theo đơn vị tần số (MHz), các bức xạ trung gian được mô tả theo bước sóng (cm) còn tia g và tia X được mô tả theo năng lượng (keV). Để mô tả định lượng bức xạ, có thể sử dụng tổng năng lượng hoặc số lượng của từng loại bức xạ (các photon). Hình 1.1. Phân loại bức xạ điện từ. Biểu diễn cường độ bức xạ phát ra từ một nguồn theo bước sóng, tần số hoặc năng lượng, phân bố (phổ) sẽ có dạng liên tục (hình 1.2a), rời rạc (hình 1.2b) hoặc kết hợp cả hai dạng (hình 1.2c). Mỗi vạch trong phổ bắt nguồn từ sự dịch chuyển giữa các trạng thái có năng lượng riêng biệt của hệ (được mô tả trong thuyết lượng tử). Ban đầu, hệ ở trạng thái có mức năng lượng xác định sau đó phân rã về các trạng thái có mức năng lượng thấp hơn. Có hai nguyên nhân chính để tạo ra phổ liên tục. Nguyên nhân thứ nhất: các trạng thái năng lượng của hệ là rời rạc nhưng khoảng cách giữa các mức quá nhỏ, các bức xạ xuất hiện có năng lượng phân bố gần như liên tục. Điều này thường xảy ra đối với các hạt nhân bị kích thích ở năng lượng cao (vài MeV) tại đó khoảng cách giữa các trạng thái có thể nhỏ hơn rất nhiều so với độ phân giải của thiết bị đo. Nguyên nhân thứ hai: bức xạ được tạo ra từ các quá trình ngẫu nhiên hoặc bức xạ phát ra do các electrôn năng lượng cao bị hãm rất nhanh trong điện trường. Khi xét một phổ, các thành phần sau thường được đề cập: 1. Năng lượng của bức xạ, 2. Độ rộng của vạch phổ, 3. Biên độ của vạch phổ, 4. Phân bố biên độ trong phần phổ liên tục. Hai nguyên nhân chính đóng góp vào độ rộng của vạch phổ là do bản chất của bức xạ (độ rộng tự nhiên) và do đóng góp của thiết bị đo. Mặc dù phổ tất cả các bức xạ đều có một độ rộng nhất định nhưng độ rộng này nhỏ hơn độ phân giải của thiết bị đo rất nhiều. Trong thực nghiệm vật lý hạt nhân, độ rộng của vạch phổ thu được chủ yếu phụ thuộc vào độ phân giải của thiết bị đo. 6
7. Hình 1.2 Mô tả chung các phổ bức xạ điện từ: (a) phổ liên tục; (b) phổ vạch; (c) phổ vạch và phổ liên tục; (d) phổ vạch b với giới hạn phân giải của thiết bị đo. Khi thiết bị đo có độ phân giải hạn chế, độ rộng vạch phổ đo được sẽ lớn hơn nhiều so với độ rộng thực của vạch phổ, các cấu trúc bội có thể không được nhận thấy và số liệu có thể bị giải thích sai. Với thiết bị có độ phân giải cao, các đỉnh thu được hẹp hơn, thông tin thu được có độ tin cậy cao hơn hơn. Tuy nhiên, chế tạo các thiết bị có độ phân giải cao đòi hỏi phải có công nghệ cao và do đó giá thành thiết bị cũng đắt hơn. Biên độ hoặc cường độ (thể hiện qua diện tích đỉnh) của một thành phần trong phổ bị ảnh hưởng bởi vùng dưới đỉnh hoặc phân bố liên tục. Trong hầu hết trường hợp, diện tích các đỉnh phụ thuộc mạnh vào hiệu suất theo năng lượng của thiết bị đo. Để thu được giá trị ban đầu, cần phải hiệu chỉnh diện tích thu được theo hiệu suất ghi của thiết bị đo. Thiết bị đo và các tương tác luôn gây ra sự khác biệt giữa phổ nguyên thủy và phổ thu được của các thiết bị đo. Ví dụ quan sát ánh sáng mặt trời, quang phổ gốc là quang phổ khi rời khỏi bề mặt mặt trời. Ánh sáng từ mặt trời đi qua không gian rồi đến người quan sát trên mặt đất nên rất nhiều photon bị tán xạ hoặc hấp thụ bởi các hạt trong không gian hay bầu khí quyển. Vì vậy, quang phổ tới dụng cụ đo trên bề mặt trái đất sẽ khác với quang phổ gốc. Mặt khác, bản thân dụng cụ đo cũng đưa ra một phổ khác với quang phổ mà nó ghi nhận. Về mặt toán học, phổ thu được là tập hợp của các phổ ghi nhận tương ứng với chức năng của thiết bị. Thông thường, thiết bị đo thường đổi một phổ vạch thành tập hợp các vạch và các thành phần liên tục. Nhiệm vụ của người làm thí nghiệm là phải hiệu chỉnh các phổ phức tạp để đưa ra thông tin chính xác về đặc điểm của nguồn phát hay đối tượng đo. 1.2. Sự phát triển của phép đo phổ tia X và tia Nhờ sự phát triển của thiết bị đo, ngày nay phép đo phổ đã có những tiến bộ đáng kể. Giai đoạn đầu, các đầu dò còn khá thô sơ và chỉ có thể dùng để xác định sự hiện diện của bức xạ; ở giai đoạn thứ hai các đầu dò có thể đo được cường độ bức xạ nhưng thông tin về năng lượng cung cấp được còn rất hạn chế. Ngày nay, các đầu dò hiện đại có độ phân giải tốt, hiệu suất ghi cao cho phép đo được chính xác cường độ và năng lượng của bức xạ. 1.2.1 Sự phát triển của đầu dò bức xạ Vào năm 1895 Roentgen đã bắt đầu đo các tia X khi ông phát hiện ra chúng phát ra từ 7
8. ống phóng điện chứa khí. Những phép đo tia X đầu tiên sử dụng các phương pháp huỳnh quang, chụp ảnh và buồng ion hoá. Do bước sóng của tia X ngắn nên phương pháp tán sắc trong quang phổ không sử dụng được để xác định độ dài bước sóng (bước sóng cỡ 0.1 nm). Sau đó Bragg khám phá ra rằng có thể sử dụng mặt phẳng của tinh thể tự nhiên có độ sạch cao làm tinh thể nhiễu xạ. Phương pháp này được gọi là phương pháp nhiễu xạ Bragg, phương pháp Bragg có thể quan sát được cấu trúc liên tục và cấu trúc vạch của phổ. Vào thời điểm đó, các nghiên cứu về tia g cũng được tiến hành. Năm 1896, Becquerel tình cờ phát hiện ra hiện tượng phóng xạ tự nhiên nhờ sự làm đen phim ảnh của bức xạ phát ra. Năm 1900, Villard thấy rằng tia phóng xạ tự nhiên có tính chất đâm xuyên giống như hạt a và b nhưng đường đi không bị lệch trong từ trường và điện trường. Thành phần mới này được gọi là tia g . Sau những quan sát đầu tiên tia X và tia g bằng phim ảnh, những tiến bộ trong đo đạc đã dẫn đến sự phát triển đa dạng của các loại ống đếm chứa khí vào đầu năm 1908 (Rutherford và Geiger 1908). So với chụp ảnh, các ống đếm khí cho phép đo và xác định nhanh chóng sự hiện diện của bức xạ (không phải đợi tráng rửa phim). Với các tia X và tia g có năng lượng đủ thấp để có thể gây ra hiệu ứng quang điện, electrôn thứ cấp sinh ra có thể bị hấp thụ hoàn toàn trong thể tích khí, nên ống đếm tỉ lệ có thể đo phổ của các tia X và g năng lượng thấp. Nhìn chung các thiết bị ghi nhận này chỉ cho phép xác định được số sự kiện xảy ra trong ống đếm chứ không xác định được năng lượng của các photon. Hình 1.3. Phổ Co60 đo bằng đầu dò bức xạ nhấp nháy NaI(Tl). Vào khoảng năm 1948 (Hofstadter 1948), đầu dò NaI(Tl) ra đời đã mang lại những thay đổi căn bản trong phép đo phổ tia X và g . Các đầu dò nhấp nháy có khả năng đo phổ năng lượng trên một dải rộng. Sau một thời gian phát triển, các nhà sản xuất đã chế tạo được những tinh thể kích thước lớn có khả năng hấp thụ một tỉ lệ lớn các photon tới, thậm chí với các năng lượng trên 1 MeV. Ưu điểm của đầu dò nhấp nháy so với ống đếm chứa khí là độ phân giải tốt hơn (FWHM cỡ 7% ~ 45 keV ở năng lượng 662 keV của tia g ), hiệu suất ghi cao, hoạt động ổn định, tinh thể bền vững về mặt vật lý và hoá học. Sự phân giải tốt của các đầu dò nhấp nháy cho phép quan sát các đỉnh tách bạch khi năng lượng của các photon khác nhau rõ ràng. Hình 1.3 minh họa phổ biên độ của các tia gamma từ phân rã của nguồn 60Co, phân bố liên tục ở vùng năng lượng thấp là do tán xạ compton, các tia gamma sau tán xạ đã bay ra khỏi đầu dò nên chỉ có một phần năng lượng của tia gamma được hấp thụ. Ban đầu, phổ thu từ đầu dò NaI(Tl) được xử lý bằng cách tính diện tích các đỉnh năng lượng toàn phần. Sau đó, phương pháp khớp toàn phổ bằng một nhóm các thành phần đã 8
9. được xem là phương pháp chuẩn. Mỗi thành phần tương ứng với một hoặc một nhóm các tia gamma phát ra từ nhân phóng xạ (Davidon 1959, Burrus 1960, Salmon 1961, Salmon 1964, Schonfeld 1965 và Helmer 1967). Song song với sự phát triển đo phổ dùng đầu dò nhấp nháy NaI(Tl), các phương pháp khác cũng được phát triển để nghiên cứu các dịch chuyển gamma. Hạt nhân ở trạng thái kích thích khi trở về trạng thái cơ bản ngoài phát tia gamma còn phát electrôn biến hoán nội, do đó các tĩnh điện kế cũng được dùng để nghiên cứu đặc điểm của dịch chuyển gamma. Mặc dù vậy, rất ít tĩnh điện kế (electrostatic spectrometers) được thiết kế để đo phổ các electrôn năng lượng thấp, các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào thiết kế phổ kế có từ trường biến thiên để hội tụ và tách các electrôn theo các năng lượng khác nhau. Ở giai đoạn này, các phổ kế từ có nhiều ưu điểm hơn so với các phổ kế g vì: - Các phổ kế từ có thể tách toàn bộ các electrôn ra khỏi bức xạ gamma, đồng thời vẫn đảm bảo được tính chất đặc trưng của bức xạ. - Đa số các phổ kế từ có độ phân giải (FWHM) tốt hơn 1% (nhỏ hơn 7 keV ở 662 keV), độ phân giải này tốt hơn so với ở các đầu dò NaI(TI). Vào đầu những năm 60, phổ kế nhiễu xạ được đưa vào sử dụng. Nguyên tắc hoạt động của phổ kế này dựa trên hiện tượng nhiễu xạ Bragg của tia gamma trên bề mặt các tinh thể hình trụ hoặc phẳng. Các phổ kế này có độ phân giải rất cao đặc biệt là ở vùng năng lượng thấp (FWHM cỡ 1 eV ở 100 keV). Hạn chế của phổ kế này là hiệu suất rất thấp nên chỉ được sử dụng trong các phép đo với các nguồn có hoạt độ lớn. Trong thời đại của các đầu dò NaI(TI), phổ kế tinh thể chủ yếu được dùng để đo chính xác năng lượng của các tia gamma phát ra từ một số ít đồng vị phóng xạ. Có thể tham khảo thêm về sự phát triển của phổ kế tinh thể trong các tài liệu của Dumond (1955), Piller (1973) hoặc Borchert (1975, 1986). Đầu dò nhấp nháy đã thu được những thành công nhất định song vẫn tồn tại những hạn chế cần phải khắc phục. Các nghiên cứu chế tạo đầu dò bằng vật liệu có tỉ trọng lớn đã dẫn đến sự ra đời của đầu dò bán dẫn Ge(Li) vào khoảng năm 1962 (tham khảo Pell 1960, Freck và Wakefield 1962, Webb và Williams 1963, Tavendale và Ewan 1963). Để nâng cao hiệu suất thu góp các hạt mang điện thứ cấp, đầu dò bán dẫn cần được chế tạo bằng các vật liệu đơn tinh thể. Thực tế, nuôi cấy các đơn tinh thể có thể tích lớn là rất khó nên chỉ có các đơn tinh thể Si và Ge được sử dụng trong chế tạo các đầu dò có thể tích lớn và độ phân giải cao. Đầu dò Ge được sử dụng để đo năng lượng trong dải rộng còn đầu dò Si chủ yếu được sử dụng để đo các photon năng lượng thấp. Các đầu dò bán dẫn đầu tiên có độ phân giải khoảng 5 keV và hiện nay là nhỏ hơn 2 keV ở năng lượng 1332 keV. Sự cải thiện độ phân giải lên 10 lần của đầu dò bán dẫn so với đầu dò NaI(Tl) có ý nghĩa rất lớn trong nghiên cứu và ứng dụng của phép đo phổ gamma. Đầu dò bán dẫn đã cho phép các nhà phổ học phân tích hầu hết các nhóm năng lượng của các tia gamma đơn năng xuất hiện trong phổ. Sự phát triển của đầu dò Si là song song với đầu dò Ge. Tuy nhiên do Si dễ chế tạo hơn nên trong thực tế đầu dò Si ra đời sớm hơn. Các đầu dò Si đầu tiên có kích thước rất mỏng và sử dụng thế năng hàng rào mặt. Các đầu dò này thích hợp cho đo phổ các hạt mang điện hoặc các photon năng lượng thấp khoảng vài chục keV. Với các đầu dò Ge(Li), hạn chế lớn nhất là chúng cần phải bảo quản thường xuyên ở nhiệt độ nitơ lỏng. Hạn chế này đã được khắc phục khi đầu dò bán dẫn Ge siêu tinh khiết ra đời, các đầu dò này có thể bảo quản được ở nhiệt độ phòng. Đầu dò bán dẫn Ge siêu tinh khiết ra đời đã thay thế các đầu dò Ge(Li) và việc sản xuất các đầu dò này ở Mỹ đã bị dừng lại vào khoảng năm 1983. 9
10. Sau sự thành công trong chế tạo các đầu dò bán dẫn Si và Ge, các nghiên cứu chế tạo đầu dò bán dẫn bằng các vật liệu có số Z cao hơn đã được nghiên cứu. Mayer (1966), Sakai (1982) đã đề cập đến chế tạo đầu dò bằng các vật liệu GaAs, CdTe và HgI2. Đầu dò chế tạo bằng các vật liệu này có khả năng hoạt động ở nhiệt độ phòng. Tuy nhiên khả năng ứng dụng của các đầu dò này vẫn còn hạn chế do kích thước nhỏ, độ phân giải và khả năng sản xuất thương mại. 1.2.2 Các chuẩn năng lượng Trong các phép đo năng lượng, cần thiết phải có một thang năng lượng làm chuẩn để các vạch đo được căn cứ vào đó tham khảo. Với tia X và tia gamma thang năng lượng được tính theo đơn vị kiloelectrôn volt (keV). Vào thập niên 50 và 60 của thế kỷ trước, những người sử dụng phổ kế tinh thể (hình trụ) đã sử dụng tỉ số năng lượng giữa tia X và tia gamma làm thang chuẩn, độ chính xác được đánh giá cao hơn so với thang keV hoặc thang bước sóng có đơn vị mét. Để đảm bảo độ chính xác của các tỉ số năng lượng đo được, bước sóng đã được phân loại dựa trên đơn vị “A0”. Các năng lượng đo dựa trên thang đơn vị “A0” có giá trị rất chính xác. Để chọn một năng lượng gamma làm giá trị tham khảo, Marray và cộng sự (1963, 1965) đã sử dụng tĩnh điện kế có độ chính xác cao để đo năng lượng của tia gamma phát ra (411 keV) từ phân rã của 198Au so sánh với gamma 511 keV sinh ra do quá trình huỷ electrôn-pôsitrôn. Năng lượng của tia gamma sinh ra do huỷ cặp được xác định bằng các hằng số cơ bản vì vậy năng lượng 411 keV cũng được biểu diễn theo các hằng số này. Bảng 1.1 trình bày các giá trị đo của vạch 411 keV và 511 keV trong thời gian từ năm 1963 đến năm 1978. 198 2 Bảng 1.1 Các giá trị đo năng lượng của Au và m0c . Năng lượng 2 198 Tham khảo Năng lượng m0c Tham khảo gamma của Au 411.770(10) Murray (1963) 510.976(7) Cohen (1955) 411.795(9) Murray (1965) 511.006(5) Cohen and DuMond 411.794(8) Greenwood (1970) 511.0041(16) không (1963) Taylor (1969) 2 411.8044(11) Kessler (1978) phụ thuộc m0c Tĩnh điện kế và phổ kế tinh thể cong đã cung cấp những kết quả rất chính xác ở vùng năng lượng thấp. Để cung cấp các vạch chuẩn ở vùng năng lượng cao hơn (500 keV đến 3500 keV), cần phải sử dụng các phương pháp khác. 2 Đầu tiên, trong các đầu dò Ge người ta đã sử dụng các đỉnh thoát đơn Eg -m0c và thoát 2 đôi Eg -2m0c để làm các vạch chuẩn xác định năng lượng của tia gamma Eγ. Trong trường hợp thiết bị đo có độ tuyến tính tốt, có thể sử dụng các chuẩn năng lượng dưới 500 keV để xác định chính xác năng lượng của các tia gamma trong dải 3 hoặc 4 MeV (Gunnink 1968 và White 1968). Hạn chế của phương pháp này là sự tuyến tính của hệ đo không đảm bảo làm khoảng cách giữa các đỉnh toàn phần, đỉnh thoát đơn và đỉnh thoát đôi. Phương pháp này có độ chính xác không cao nên sau đó đã được thay thế bằng phương pháp dùng máy phát xung có biên độ chính xác (Alkemade (1982) và Kennett (1983)). Phương pháp thứ hai là sử dụng máy phát xung có biên độ xung chính xác. Bằng cách phát ra các xung gần đỉnh gamma quan tâm, ta có thể sử dụng tỉ số biên độ của các đỉnh phát để xác định tỉ số năng lượng của hai tia gamma. Về mặt lý thuyết, phương pháp này có thể sử dụng để mở rộng thang năng lượng đến giá trị bất kỳ (xem các ví dụ của Strauss 1969). Hạn chế của phương pháp là không thể tạo được máy phát các xung có dạng giống 10
11. dạng xung của đầu dò bức xạ. Vì vậy, phương pháp này vẫn chưa đạt được độ chính xác như mong muốn. Phương pháp thứ ba trong xây dựng chuẩn năng lượng cao là dùng mối quan hệ nối tầng giữa các tia gamma trong sơ đồ phân rã. Đo năng lượng của các tia gamma nối tầng có năng lượng thấp sau đó tính ra năng lượng của các tia gamma có năng lượng cao nhờ vào sơ đồ phân rã. Phương pháp này được Helmer (1971), Warburton và Alburger (1986), Mucciolo và Helene (1987) và một số nhà nghiên cứu khác khai thác. Phương pháp đã cung cấp được một số lớn năng lượng các gamma chuẩn. 1.3 Nguồn gốc, đặc điểm của tia X và tia gamma Để hiểu và mô tả đầy đủ về nguồn gốc, đặc điểm của tia X và tia gamma cần phải mô tả chi tiết nguyên tử và hạt nhân bằng cơ học lượng tử. Sự mô tả như vậy là tương đối phức tạp và vượt quá khuôn khổ của một tài liệu chuyên khảo mang tính chất thực nghiệm. Vì vậy, tài liệu này chỉ trình bày tóm lược về nguồn gốc, những tính chất cơ bản của tia X và tia gamma để người đọc có thể nắm và vận dụng trong đo đạc thực nghiệm. 1.3.1. Tia X Tia X là bức xạ điện từ phát ra do sự dịch chuyển của electrôn giữa các trạng thái khác nhau trong một nguyên tử. Sơ đồ mức năng lượng của các electrôn trong một nguyên tử được minh họa trong hình 1.4a (nguyên tử Niken có 28 electrôn). K, L, M, là các lớp electrôn. Trừ lớp K, các lớp còn lại tách ra thành một loạt các mức có khoảng cách gần nhau. Hình 1.4. Mức năng lượng của các electrôn trong nguyên tử Ni: (a) phân bố electrôn ở trạng thái cơ bản; (b) phân bố electrôn ở trạng thái kích thích (do một electrôn lớp K gây nên); (c) các bước trong quá trình phân rã của nguyên tử. 11
12. Hình 1.5. Phổ tia X phát ra từ phân rã của 207Bi đo bằng đầu dò Ge planar. Có thể đưa một hay nhiều electrôn của nguyên tử lên trạng thái kích thích bằng bức xạ điện từ, hạt mang điện hoặc các quá trình hạt nhân. Các electrôn liên kết càng mạnh thì cần năng lượng càng lớn để chuyển chúng sang trạng thái kích thích. Hình 1.4b là ví dụ về một electrôn lớp K trong nguyên tử Ni bị kích thích đến trạng thái tự do. Nó để lại một lỗ trống trong lớp vỏ K. Sự dịch chuyển của electrôn từ các lớp khác về lỗ trống này sẽ làm giảm năng lượng của hệ và hệ trở về trạng thái cơ bản. Để khử trạng thái kích thích, electrôn có thể dịch chuyển trực tiếp hoặc qua một số trạng thái trung gian khác nhau để về trạng thái cơ bản. Trong thực tế, kiểu phân rã phổ biến là dịch chuyển qua nhiều trạng thái trung gian khác nhau (hình 1.4c). Mỗi dịch chuyển của electrôn trong quá trình khử kích thích của nguyên tử có thể làm phát ra tia X có năng lượng xấp xỉ với năng lượng chênh lệch giữa hai trạng thái của nguyên tử (do định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng, trong quá trình bức xạ một lượng nhỏ năng lượng được truyền cho nguyên tử giật lùi). Hình 1.6. Minh hoạ thuật ngữ đặt cho các vạch của tia X (Bambynek 1984b). 12
13. Hình 1.5 minh họa cho sự phức tạp của phổ tia X. Hình 1.6 minh hoạ cách đặt tên các vạch của tia X. Với mỗi nguyên tố, năng lượng của các tia X là khác nhau và tăng theo Z (hình 1.7). Đáng lưu ý là một vài chuyển dời về mặt năng lượng cho phép (ví dụ từ lớp L1 về lớp K) nhưng lại có xác suất rất thấp. Những dịch chuyển này có thể coi là bị “cấm”, sự cấm này được giải thích bằng các quy tắc cơ học lượng tử liên quan đến moment góc của trạng thái nguyên tử và tia X. Ngoài phát tia X, nguyên tử còn có thể phân rã bằng hiệu ứng Auger và dịch chuyển Coster-Kronig. Ví dụ trong nguyên tử chì, khi electrôn lớp L chiếm một lỗ trống lớp K, trong đa số trường hợp sẽ phát ra tia X Kα. Trong một số ít trường hợp tia X không phát ra, năng lượng này được truyền cho các electrôn khác, electrôn liên kết yếu sẽ bị thoát ra khỏi nguyên tử sau đó. Đây được gọi là hiệu ứng Auger. Electrôn thoát ra có động năng bằng năng lượng mà tia X có thể có trừ đi năng lượng liên kết của electrôn trước khi thoát ra. Hiệu ứng Auger tạo thêm một lỗ trống trong nguyên tử. Chẳng hạn khi electrôn ở lớp L chiếm lỗ trống trên lớp K, nó để lại một lỗ trống trong lớp L; sau đó nếu electrôn lớp M bị phát ra trong quá trình Auger, một hoặc cả hai lỗ sẽ được lấp đầy bằng quá trình Auger khác và các lỗ mới sẽ được tạo ra. Quá trình lấp đầy vô số các lỗ trống có thể tạo ra một phổ X và electron phức tạp năng lượng thấp. Xác suất chiếm một lỗ ở lớp K, L, làm phát tia X và không phát electrôn Auger được gọi là hiệu suất phát huỳnh quang ωK, ωL, ωK = N(XK)/N0 (1.1) Trong đó N(XK) là số tia XK phát ra, N0 là số lỗ trống trong lớp K. Các giá trị thực nghiệm tính toán giá trị ωK đã được Bambynek (1972), Krause (1979) và Bambynek (1984a) đánh giá. Các giá trị của Bambynek được trình bày trong phần 6.2, các giá trị này tăng theo số Z (0.05 với Z = 14, 0.70 với Z = 38, 0.93 với Z = 63 và 0,98 với Z = 92). Hiệu suất phát huỳnh quang ở các lớp dưới L là rất bé (khoảng 0,18 với Z = 63). Quá trình Auger luôn kèm theo phát tia X. Trường hợp này một lỗ trống được lấp và cả electrôn lẫn tia X được phát ra. Vì vậy, trong phổ đo bằng đầu dò bán dẫn, ta thu được các đỉnh phụ ở phía năng lượng thấp của tia X (Espen 1979, Marageter 1984 và Campbell 1986a). Nếu không chú ý đến các đỉnh phụ sẽ dẫn đến sự sai lệch giữa đo đạc và tính toán tỉ lệ cường độ của các tia Kα và Kβ (xem 6.2) . Hình 1.7. Sự phụ thuộc năng lượng tia X phát ra từ các lớp K, L và M vào Z (Sevier 1979). 13
14. Electrôn từ một lớp phụ có thể di chuyển về một lớp phụ thấp hơn trong cùng một lớp chính mà không phát tia X. Dịch chuyển này được gọi là dịch chuyển Coster Kronig. Ví dụ, một electrôn ở L3 có thể chiếm một lỗ trên L2. Quá trình này làm phức tạp thêm việc xác định hiệu suất phát huỳnh quang trong các lớp con của L và sử dụng sử dụng tốc độ phát tia XL để xác định tính chất của nguyên tử hoặc hạt nhân. Dịch chuyển Coster Kronig chỉ xảy ra trong một lớp vỏ chính nên nó không ảnh hưởng đến hiệu suất phát huỳnh quang của toàn bộ lớp. Mỗi mức năng lượng trong nguyên tử có một độ rộng nhất định. Sự phân bố năng lượng trong một mức tuân theo khai triển Lorentzian G / 2 L(E) = . (1.2) (E - E )2 + (G / 2)2 0 Trong đó E0 là năng lượng trung bình của mức, Г là độ rộng của vạch (FWHM). Độ rộng vạch của tia X thu được bằng khai triển Lorentzian giữa mức đầu và mức cuối của dịch chuyển. Sau khai triển ta thu được độ rộng w của tia X, đó là tổng độ rộng của các mức khác nhau, ví dụ: w(Kαl) = Г(K) + Г(L3). (1.3) Một số giá trị độ rộng mức của nguyên tử và các tia XK của Krause và Oliver (1979) được trình bày trong 6.2. Độ rộng các vạch XK tăng theo số Z và đạt tới 100 eV khi Z=92. Giá trị này là nhỏ, nhưng cũng đủ lớn để phải quan tâm trong đo phổ tia X (xem 3.34). 1.3.2 Tia gamma Tia gamma được sinh ra do sự dịch chuyển giữa các trạng thái khi hạt nhân khử kích thích. Trạng thái kích thích có thể tạo ra từ phản ứng hạt nhân hoặc do phân rã của hạt nhân. 1.3.2.1 Một số quá trình làm hạt nhân bị kích thích Hình 1.8 đến 1.12 minh họa một số kiểu phân rã làm hạt nhân bị kích thích. Bốn trường hợp đầu tiên, dịch chuyển gamma được tạo ra từ các phân rã β hoặc α. Phân rã β hoặc α là các phân rã có sự thay đổi về nguyên tố hoá học. Hạt nhân trước phân rã được gọi là hạt nhân mẹ và hạt nhân sau phân rã được gọi là hạt nhân con. Nguồn phóng xạ gamma được ký hiệu bằng tên của hạt nhân mẹ nhưng tia gamma thu được thì phát ra từ hạt nhân con. a. Phân rã β: Trong các hạt nhân thừa nơtrôn, một nơtron sẽ biến thành một prôtôn và hạt nhân phát ra một hạt β. Mặc dù hạt được phát là electrôn nhưng kí hiệu là “tia β” để phân biệt với các electrôn có nguồn gốc bên ngoài hạt nhân. Năng lượng cực đại của các tia β phát ra bằng tổng năng lượng phân rã trừ năng lượng kích thích của hạt nhân con sau phân rã. Trong quá trình này còn có một phản nơtrino được phát ra. Năng lượng phân rã được chia cho β và phản nơtrino, nên về mặt thống kê phổ năng lượng của β và phản nơtrino là liên tục và có phân bố từ không đến năng lượng cực đại. Xác xuất phân rã β ở một trạng thái bất kì của hạt nhân con phụ thuộc vào các trạng thái riêng của hàm sóng. Phân rã β thường tạo ra một số trạng thái kích thích đặc trưng riêng trong các hạt nhân con. 14
15. Hình 1.8. Sơ đồ phân rã b - của 60Co. Hình 1.9. Sơ đồ biến hoán trong của 57Co. b. Electrôn biến hoán trong (EC): Trong kiểu phân rã này, một electrôn của nguyên tử bị chiếm bởi hạt nhân và một prôtôn bị biến đổi thành một nơtron. Nếu không tính đến năng lượng liên kết của electrôn bị bắt thì năng của phân rã được nơtrinô phát ra mang đi. Khi năng lượng phân rã lớn hơn hai lần năng lượng liên kết của electrôn trong lớp K thì khoảng 90% electrôn bị bắt là từ lớp K, 10% còn lại là từ lớp L và các lớp cao hơn. Khi năng lượng phân rã bé hơn hai lần năng lượng liên kết của electrôn trong lớp K, xác suất bắt electrôn sẽ dịch chuyển đến các lớp cao hơn. Quá trình chiếm electrôn làm để lại một lỗ trống, sự dịch chuyển của electrôn từ các lớp ngoài về lấp lỗ trống làm phát tia X và electrôn Auger. Quá trình biến hoán trong làm điện tích của hạt nhân giảm đi một đơn vị nên nguyên tử vẫn trung hoà về 15
16. điện. Hình 1.10. Sơ đồ phân rã pôsitrôn của 22Na. c. Phân rã pôsitrôn: Với các hạt nhân thừa prôtôn, một prôtôn sẽ biến đổi thành một nơtron và hạt nhân phát ra một pôsitrôn (hạt mang điện tích dương tương đương với một electrôn được ký hiệu là β+). Phân rã pôsitrôn giống như quá trình hạt nhân chiếm electrôn. Trong hạt nhân, hai quá trình này đều có thể cùng xảy ra. Tuy nhiên, để tạo ra pôsitrôn đòi hỏi năng 2 lượng phân rã phải lớn hơn 2m0c (1022 keV) do đó phân rã pôsitrôn chỉ xảy ra khi năng lượng phân rã lớn. Trong phân rã pôsitrôn luôn có một nơtrinô phát ra vì vậy phổ của các pôsitrôn và nơtrinô là phổ liên tục. Khi pôsitrôn phát ra bị làm chậm đến năng lượng không, nó tương tác với một electrôn và huỷ cặp tạo ra các photon 511 keV. Hai photon này có thể được sử dụng như dấu hiệu của quá trình phân rã pôsitrôn và dùng để đo tốc độ phân rã trung bình. Phân rã pôsitrôn làm nguyên tử thừa một electrôn và nó sẽ thoát khỏi nguyên tử. Một phần nhỏ các pôsitrôn huỷ cặp với các electrôn khi chúng vẫn còn năng lượng (huỷ trong khi đang bay). Trong trường hợp này, hai photon sinh ra có phổ năng lượng là liên tục do đó nó không nằm trong các sự kiện tạo ra đỉnh 511 keV. Hiệu chỉnh (Kantele và Vanlkonen 1973) hiện tượng này là cần thiết khi sử dụng đỉnh 511 keV để xác định cường độ phân rã β+. d. Phân rã α: 4 Trong phân rã anpha, hạt nhân mẹ phát ra một hạt α (2He ), hạt nhân con sẽ có số Z bé hơn 2 và khối lượng bé hơn 4 so với hạt nhân mẹ. Đặc điểm nổi bật dễ thấy của phân rã là thường xảy ra ở một vài trạng thái năng lượng thấp. Trong quá trình phân rã chỉ có một hạt anpha phát ra nên phổ năng lượng của hạt anpha là rời rạc. 16
17. Hình 1.11 Sơ đồ phân rã anpha của 228Th. Khối lượng hạt alpha là đáng kể so với khối lượng của hạt nhân mẹ nên năng lượng còn lại của hạt nhân giật lùi cần phải được trừ khỏi năng lượng phân rã để xác định năng lượng của hạt alpha. e. Phân rã đồng phân: Trong các ví dụ phân rã β và alpha ở trên, đồng vị phóng xạ mẹ ở trạng cơ bản. Có một số trạng thái kích thích có chu kì phân rã tương đối dài và phân rã theo một trong bốn cách này. Tuy nhiên, trong thực tế một trạng thái kích thích như vậy thường phân rã bằng cách phát gamma; kiểu phân rã như vậy được gọi là phân rã đồng phân (hình 1.12). Phân rã đồng phân chỉ phát gamma nên không có sự thay đổi về Z hay A. Thuật ngữ “đồng phân” để chỉ thời gian sống của mức là dài so với thời gian sống của các mức khác. Thuật ngữ này không phải là duy nhất. Hình 1.12. Phân rã đồng phân của 123Tem. 17
18. Hình 1.13. Phân rã của 15N từ mức 10833 keV trong phản ứng 14N(n,γ)15N. Các phản ứng hạt nhân cũng tạo ra các hạt nhân kích thích phát gamma. Các phân rã gamma nối tầng thường được đo để thu thông tin về quá trình phản ứng hoặc về cấu trúc của hạt nhân. Sơ đồ phân rã từ mức kích thích cao của 15N trong phản ứng với các neutron nhiệt 14N(n,γ)15N được minh họa trong hình 1.13. Ban đầu hạt nhân bắt neutron và ở trạng thái kích thích sau đó phát gamma để về các trạng thái kích thích thấp hơn của 15N. Với các các hạt nhân trung bình và nặng một phản ứng (n,γ) có thể tạo ra hàng trăm tia gamma khác nhau. Trong các phản ứng (p,γ), bằng cách lựa chọn năng lượng prôtôn thích hợp, có thể tạo ra một trạng thái riêng trong hạt nhân sản phẩm, do đó phổ gamma đơn giản và có thể cung cấp được các thông tin chi tiết về tính chất của trạng thái đặc trưng. 1.3.2.2 Phân rã của hạt nhân kích thích Hạt nhân bị kích thích bằng các quá trình trên thường phân rã bằng cách chuyển về các trạng thái có năng lượng thấp hơn. Chúng phát tia gamma hoặc truyền năng lượng cho một electrôn của nguyên tử. Quá trình phân rã sau gọi là biến hoán trong. Sau khi phát gamma hoặc biến hoán trong, hạt nhân có thể ở trạng thái bền hoặc tiếp tục phân rã. 18
19. Hình 1.14. Năng lượng, spin, độ chẵn lẻ, thời gian sống của các mức, cường độ và bậc đa cực của các dịch chuyển. Hình 1.14 minh hoạ các đặc trưng của hạt nhân và tia gamma trong quá trình phân rã. Các đặc trưng của hạt nhân là mức năng lượng, thời gian sống (hoặc chu kỳ phân rã), spin và độ chẵn lẻ. Các đặc trưng của tia gamma là năng lượng, xác suất phát và bậc đa cực. Các đặc điểm này phụ thuộc vào các đặc trưng cụ thể của hàm sóng mô tả trạng thái và các toán tử dịch chuyển điện từ. Để tìm hiểu sâu hơn có thể tham khảo các tài liệu của Moszkowski (1965) hoặc Blatt và Weisskopf (1952). Thứ nhất, cần quan tâm đến năng lượng của tia gamma, lưu ý rằng các trạng thái hạt nhân là rời rạc và có năng lượng xác định. Do sự bảo toàn năng lượng và xung lượng trong quá trình phát gamma, hạt nhân phải giật lùi theo hướng đối diện với tia gamma phát ra và có xung lượng bằng với xung lượng của tia gamma phát ra. Vì “khối lượng” của photon là rất nhỏ nên xung lượng giật lùi của hạt nhân là không đáng kể. Nhưng năng lượng này cần được chú ý khi tính năng lượng của trạng thái kích thích từ năng lượng tia gamma đo được. Theo định luật bảo toàn: Eγ = Ei - Ef - ER (1.4) Trong đó Ei và Ef là năng lượng trạng thái đầu và cuối của hạt nhân, ER là năng lượng giật lùi của hạt nhân. E = 0.5368 ´ 10 - 6 E 2 / A R  r (1.5) Trong đó Ar là khối lượng nguyên tử, năng lượng của tia gamma được tính bằng keV. Thứ hai, cần quan tâm đến độ chẵn lẻ, xung lượng góc (angular momentum) hoặc spin của trạng thái và đặc điểm nối tầng của tia gamma. Spin hạt nhân và xung lượng góc của 19
20. tia gamma bay ra được biểu diễn bằng các véctơ J và L . Độ lớn (hình chiếu cực đại theo m J và L là [J(J+1)]1/2 à [L(L+1)]1/2 à h ột hướng) của .ћ v .ћ; ћ=h/2π (h l ằng số Plank), để đơn giản độ lớn của J và L được ký hiệu là J và L. Mỗi trạng thái có một giá trị spin gián đoạn J (là số nguyên nếu A chẵn, bán nguyên nếu A lẻ) và một độ chẵn lẻ π có giá trị + hoặc -. Đối với một dịch chuyển gamma bất kỳ, xung lượng góc và độ chẵn lẻ phải được bảo toàn nên: Ji = Jf + L (1.6) và πi = πf - πγ (1.7) các chỉ số i và f biểu thị các trạng thái đầu và cuối của hạt nhân. Về mặt độ lớn, ta có mối liên hệ - £ £ + J f L Ji J f L (1.8) Về mặt lý thuyết, một dịch chuyển gamma có thể có nhiều hơn một giá trị L, trừ một số trường hợp đặc biệt chỉ có một giá trị được phép. Nếu một trong các trạng thái có J=0, từ phương trình (1.8) mỗi tia gamma vào hay ra khỏi trạng thái đó sẽ có giá trị L bằng với giá trị J của trạng thái khác. Nếu Ji = Jf = 1/2 thì L = 1, còn Ji = Jf = 0 thì dịch chuyển gamma bị cấm vì một tia gamma phải có ít nhất một đơn vị xung lượng góc. Từ phương trình (1.7), nếu hai trạng thái có cùng độ chẵn lẻ thì πγ = +, và πγ = - nếu chúng khác nhau. Theo lí thuyết điện từ, tốc độ dịch chuyển điện từ được tính dưới dạng khai triển đa cực, trong đó các hệ số bậc thấp có xác suất dịch chuyển lớn hơn. Các hệ số này được phân biệt bằng ba đặc điểm: (1) dịch chuyển “điện” E và “từ” M; (2) dịch chuyển có thay đổi hoặc không thay đổi độ chẵn lẻ; (3) xung lượng góc L của tia gamma phát ra. Dịch chuyển có L = 1 là dịch chuyển lưỡng cực ký hiệu là E1 hay M1, L=2 là dịch chuyển tứ cực ký hiệu là E2 hay M2, L = 3 là dịch chuyển bát cực ký hiệu E3 hay M3, v.v. Các dịch chuyển E1, M2, E3, tương ứng với sự thay đổi độ chẵn lẻ còn M1, E2, M3, không thay đổi độ chẵn lẻ. Thứ ba, quan tâm đến thời gian sống hoặc chu kì bán rã của trạng thái hạt nhân. Mỗi dịch chuyển từ một mức có một xác suất dịch chuyển λi. Nếu một trạng thái kích thích phân rã về nhiều trạng thái năng lượng thấp hơn, các xác suất dịch chuyển là hoàn toàn độc lập. Xác suất dịch chuyển toàn phần λ là tổng của các xác suất dịch chuyển riêng: λ = λ1+λ2+ , (1.9) thời gian sống của trạng thái kích thích được tính: T1/2 = ln2/λ (1.10) Xác suất dịch chuyển của một tia gamma đặc trưng sẽ phụ thuộc vào hàm sóng đặc trưng của hai trạng thái hạt nhân, nếu biết được chính xác các hàm sóng này sẽ dự đoán được xác suất dịch chuyển. Trong trường hợp lý tưởng, tính toán đã được thực hiện với các giá trị riêng của hàm sóng (tham khảo Moszkowski 1965, Blatt và Wesskopf 1952). Với hạt nhân hình cầu khi xét biểu thức chỉ gồm bậc đa cực, khối lượng và năng lượng tia gamma, Weisskopf ước tính thời gian sống riêng của mức cho các dịch chuyển E1, E2 và M1 như sau: = - 6 3 2/3 T1/ 2 (E1) 6,764.10 / E .A (1.11a) = - 6 5 4/3 T1/ 2 (E2 ) 9,527.10 / E .A (1.11b) = - 5 3 T1/ 2 (M1) 2,202.10 / E . (1.11c) Trong đó thời gian sống được tính bằng giây, năng lượng tính bằng keV và A là số 20
21. khối. Theo cách tương tự, thời gian sống cho các chuyển dời bậc cao hơn cũng đã được tính. Các giá trị tính với A=100 của một số năng lượng từ 10 keV đến 10 MeV được trình bày trong bảng 1.3. Bảng 1.3. Giá trị tính thời gian sống của các mức với A=100 của Weisskopf. Bậc đa Thời gian sống (giây) cực Eγ = 10 keV 100 keV 1000 keV 10 000 keV E1 3,1. 10-10 3,1. 10-13 3,1. 10-16 3,1. 10-19 E2 1,9.10-1 1,9.10-6 1,9.10-11 1,9.10-16 E3 2,0.10+8 2,0.10+1 2,0.10-6 2,0.10-13 E4 3,0.10+17 3,0.10+8 3,0.10-1 3,0.10-10 M1 2,2.10-8 2,2.10-11 2,2.10-14 2,2.10-17 M2 1,4.10+1 1,4.10-4 1,4.10-9 1,4.10-14 M3 1,4.10+10 1,4.10+3 1,4.10-4 1,4.10-11 M4 2,1.10+19 2,1.10+10 2,1.10+1 2,1.10-8 Với các hạt nhân biến dạng, do chuyển động tập thể của các nucleon trong hạt nhân nên các công thức (1.11) không còn phù hợp cho tính thời gian sống. Ví dụ dịch chuyển E2 có thể nhanh hơn giá trị ước lượng cỡ 2 bậc. Các giá trị trong bảng 1.3 chỉ ra rằng thời gian sống của các dịch chuyển E2 có thể so sánh được với các dịch chuyển M1, thực tế cho thấy các dịch chuyển hỗn hợp M1+E2 là rất phổ biến. Trong các hạt nhân trung bình và nặng, các dịch chuyển E1 thường chậm hơn giá trị tính toán cỡ 5 bậc. Vì vậy gần như không thể tính thời gian sống theo lý thuyết để suy ra cường độ tương đối của các tia gamma mà phải xác định chúng bằng thực nghiệm. Các trạng thái kích thích của hạt nhân có thể khử kích thích bằng biến hoán trong mà không phát ra tia gamma. Trong quá trình này năng lượng phân rã được truyền cho các electrôn của nguyên tử và làm bật electrôn này ra khỏi nguyên tử. Theo định luật bảo toàn, động năng của electrôn phát ra bằng năng lượng kích thích của trạng thái trừ đi năng lượng liên kết của electrôn và năng lượng giật lùi của nguyên tử. Cả hai quá trình phân rã gamma và biến hoán trong đều có thể xảy ra, xác suất dịch chuyển toàn phần là tổng của xác suất dịch chuyển gamma và xác suất biến hoán trong. Vì vậy khi đo thời gian sống của trạng thái cần chú ý đến hiện tượng biến hoán trong. Tỉ số giữa số electrôn phát ra Ne và số tia gamma phát ra Ng được gọi là hệ số biến hoán trong a : a = N e / N g (1.12) Tương tự ta định nghĩa các hệ số a K = NeK/Ng ; a L = NeL/Ng , , là các hệ số biến hoán riêng trên từng lớp; NeK, NeL, là số electrôn biến hoán trên các lớp K, L, Giá trị a phụ thuộc vào năng lượng và bậc đa cực của chuyển dời. Hệ số biến hoán trong có thể tính theo lý thuyết với độ chính xác cao (Hager và Seltzer 1968, Band và Trzhaskovskaya 1978, Rosel và cộng sự 1978). Các số liệu trong bảng 1.4 cho thấy hệ số biến hoán toàn phần a thay đổi và phụ thuộc mạnh vào bậc đa cực, do đó phép đo a là một công cụ mạnh để xác định bậc đa cực. Có thể xác định bậc đa cực từ các tỉ số cường độ biến hoán trong trên các lớp (a L1/ a L2/ a L3) mà không cần tham khảo cường độ bức xạ g . Ngoài các mô tả trên, có thể mô tả dịch chuyển g như tương tác xảy ra giữa hai trạng thái hạt nhân có năng lượng xác định. Thực tế, các mức hạt nhân và các tia g có một độ rộng xác định. Nguyên lý bất định cho biết mối quan hệ giữa thời gian sống của một trạng thái và độ rộng của mức. Do nguyên lý bất định nên xác định chính xác độ rộng của một mức là rất khó. Độ rộng của một mức phản ánh sự trải rộng về mặt năng lượng của 21
22. các tia gamma phân rã. Giá trị độ rộng thường phổ biến trong khoảng từ neV đến meV, vì vậy độ phân giải của các thiết bị đo là cực kỳ quan trọng, đặc biệt trong các thực nghiệm liên quan đến tán xạ cộng hưởng và hiệu ứng Mossbauer. Các trình bày ở trên liên quan đến cường độ tia gamma và phân rã của trạng thái hạt nhân trong khuôn khổ mẫu đơn hạt. Hầu hết các ứng dụng đều cần giá trị xác suất phát pg của tia gamma trong phân rã của hạt nhân mẹ. Giá trị này cho biết xác suất phân rã của hạt nhân mẹ về mức của hạt nhân con và xác suất phát của tia gamma đặc trưng khi mức này phân rã. Giá trị pg có thể tính được từ lý thuyết với một số sơ đồ đơn giản. Trong trường hợp sơ đồ phân rã phức tạp, giá trị này được xác định từ thực nghiệm đo hoạt độ và tốc độ phát gamma của nguồn. Bảng 1.4. Các hệ số biến hoán trong tính theo lí thuyết cho một số giá trị năng lượng, bậc đa cực, số nguyên tử và các lớp con (Rosel và các cộng sự 1978). Z Eγ (keV) Đa cực αK αL1 αL2 αL3 Α 30 100 E1 0.054 0.0050 0.00018 0.00030 0.060 E2 0.579 0.0523 0.00770 0.0111 0.661 E3 5.16 0.452 0.230 0.305 6.30 M1 0.055 0.0055 0.00021 0.00009 0.062 M2 0.570 0.0618 0.00461 0.00396 0.651 M3 5.46 0.651 0.0789 0.139 6.47 220 E1 0.0051 0.00048 0.00001 0.00002 0.0056 E2 0.0303 0.00286 0.00018 0.00025 0.0341 E3 0.154 0.0144 0.00260 0.00268 0.177 M1 0.0071 0.00070 0.00002 0.00001 0.0080 M2 0.0390 0.00402 0.00020 0.00011 0.0440 M3 0.203 0.0218 0.00173 0.00175 0.232 60 100 E1 0.22 0.022 0.0041 0.0053 0.260 E2 1.20 0.109 0.326 0.348 2.21 E3 5.27 0.447 10.1 9.69 31.6 M1 1.23 0.158 0.0123 0.0024 1.45 M2 10.9 2.00 0.233 0.363 14.3 M3 65.0 19.7 3.36 16.7 117 220 E1 0.026 0.0029 0.00030 0.00036 0.031 E2 0.108 0.0114 0.00900 0.00750 0.143 E3 0.390 0.0412 0.136 0.0926 0.738 M1 0.137 0.0174 0.0012 0.00023 0.161 M2 0.683 0.104 0.0117 0.00823 0.842 M3 2.86 0.539 0.0920 0.168 0.90 680 E1 0.0017 0.00020 0.00001 0.00001 0.0020 E2 0.0045 0.00054 0.00009 0.00005 0.0054 E3 0.0106 0.00132 0.00054 0.00020 0.0133 M1 0.0075 0.00094 0.00004 0.00001 0.0088 M2 0.0208 0.00277 0.00021 0.00005 0.0247 M3 0.0490 0.00698 0.00079 0.00040 0.0594 90 100 E1 0.0 0.044 0.024 0.022 0.119 E2 0.0 0.228 4.80 3.38 11.5 E3 0.0 5.65 131 78.1 304 22
23. M1 0.0 2.76 0.292 0.016 4.07 M2 0.0 34.3 3.67 9.01 64.5 M3 0.0 281 38.3 474 1140 220 E1 0.060 0.0077 0.0024 0.0018 0.076 E2 0.134 0.0277 0.149 0.0729 0.476 E3 0.316 0.214 2.11 0.793 4.64 M1 1.72 0.290 0.031 0.0016 2.15 M2 5.95 1.58 0.221 0.188 8.65 M3 14.3 7.12 1.38 4.18 32.0 680 E1 0.0058 0.00080 0.00012 0.00006 0.0071 E2 0.0155 0.00257 0.00178 0.00044 0.0219 E3 0.0365 0.00789 0.0111 0.00180 0.0648 M1 0.0808 0.0133 0.0013 0.00006 0.100 M2 0.188 0.0362 0.0052 0.00089 0.244 1.4 Tương tác của photon với vật chất Tia X và tia gamma tương tác với nguyên tử của vật chất bằng nhiều quá trình khác nhau. Ba quá trình tương tác cơ bản là hấp thụ quang điện, tán xạ compton và hiệu ứng tạo cặp. Trong cả ba trường hợp, các electrôn tự do được sinh ra và bị làm chậm, trong quá trình di chuyển chúng gây ion hoá tạo ra các cặp electrôn-ion và electrôn-lỗ trống. Trong đầu dò photon, các cặp mang điện tạo ra do quá trình ion hoá được sử dụng để đo năng lượng của photon bằng cách xác định lượng điện tích do quá trình tương tác tạo ra. 1.4.1 Hấp thụ quang điện Trong quá trình hấp thụ quang điện, một photon tương tác và bị hấp thụ hoàn toàn năng lượng bởi electrôn ở lớp ngoài của nguyên tử. Electrôn thoát ra khỏi nguyên tử với năng lượng Ee xấp xỉ bằng: Ee = Eγ - Eb. (1.13) Trong đó Eb là năng lượng liên kết của electrôn. Ngoài ra, một phần nhỏ năng lượng được truyền cho nguyên tử, năng lượng này không được tính đến trong phương trình (1.13). Do định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng, hiện tượng hấp thụ quang điện không xảy ra với electrôn tự do. Electrôn phát ra để lại một lỗ trống ở lớp vỏ của nguyên tử. Các electrôn từ các lớp khác sẽ chuyển về lấp lỗ trống làm phát ra tia X hoặc electrôn Auger. Nếu tương tác này diễn ra trong một khối vật chất thì những tia X phát ra sẽ bị hấp thụ ở vật liệu phía ngoài. Do đó, trong hầu hết các trường hợp có thể xem như toàn bộ năng lượng của photon bị hấp thụ trong vật liệu ở xung quanh khu vực tương tác. Tiết diện tương tác phụ thuộc số Z của vật liệu và năng lượng của photon. Một cách gần đúng có thể mô tả tiết diện theo công thức: = 4.5 - 3  const.Z E . (1.14) Sự phụ thuộc mạnh vào Z cho thấy rằng vật liệu Z cao có tác dụng rất lớn trong hấp thụ và che chắn photon. Sự suy giảm mạnh theo năng lượng photon là lí do vì sao tương tác này lại chiếm ưu thế ở năng lượng thấp nhưng lại có thể bỏ qua ở năng lượng cao. Hình 1.15 và hình 1.16 mô tả sự phụ thuộc của hệ số suy giảm tuyến tính theo năng lượng của hai vật liệu được sử dụng phổ biến làm đầu dò là Ge và Si. 23
24. Hình 1.15. Hệ số suy giảm tuyến tính trong vật liệu Ge do hiệu ứng quang điện, tán xạ compton và tạo cặp (số liệu của Stom và Israel 1970). Hình 1.16. Hệ số suy giảm tuyến tính trong vật liệu Si do hiệu ứng quang điện, tán xạ compton và tạo cặp (số liệu của Stom và Israel 1970). Trong hình 1.15 và 1.16, trục trung biểu diễn hệ số suy giảm tuyến tính μτ. μτ = τ.ρ.NA/M, ρ là mật độ, NA là số Avogadro và M là khối lượng phân tử gam. Các điểm gián đoạn tương ứng với năng lượng liên kết của electrôn trên các lớp vỏ nguyên tử (với Ge lớp K là 11.1 keV và Si là 1.84 keV). Mép hấp thụ sinh ra do các photon có năng lượng ở dưới mép không thể tương tác với các electrôn ở lớp K. Các điểm gián đoạn tương tự khác có thể xảy ra ở vùng thấp hơn tương ứng với năng lượng liên kết của electrôn ở các lớp cao hơn trong nguyên tử. 1.4.2 Tán xạ compton Trong quá trình tán xạ compton, photon truyền một phần năng lượng cho electrôn, phần năng lượng còn lại sẽ do photon thứ cấp mang đi. Mối liên hệ giữa năng lượng và góc tán xạ được minh hoạ trong hình 1.17. Trong đó E là năng lượng của photon tới, E’ 2 2 và Ee là năng lượng của photon sau tán xạ và của electrôn, hệ số α = E/m0c , m0c là năng lượng tương ứng với khối lượng nghỉ của electrôn (511 keV). Giá trị năng lượng của photon thứ cấp: E’ = E/[1 + α(1 – cos θ)] (1.15) Năng lượng của electrôn sau tán xạ: 24
25. Ee = E.{1 - 1/ [1+ α(1 – cos θ)]} (1.16) Mối liên hệ giữa các góc tán xạ: tan F = 1/ [1 + α.tan(θ/2 )]. (1.17) Đối với các góc tán xạ rất nhỏ, năng lượng electrôn gần như bằng 0, khi đó photon thứ cấp có năng lượng gần bằng với năng lượng của photon ban đầu. Đối với góc tán xạ bằng 1800, photon thứ cấp có năng lượng khá lớn và bằng E/(1+2α). Hình 1.17. Ký hiệu các góc trong tán xạ compton. Bảng 1.5 Một số giá trị năng lượng của photon tới, photon thứ cấp và góc tán xạ. Góc (độ) Năng lượng photon tán xạ (keV) E=10 E=100 E=300 E=1000 E=3000 0.0 10.0 100 300 1000 3000 2.0 10.0 100 300 999 2989 5.0 10.0 99.9 299 993 2934 10.0 10.0 99.7 297 971 2754 22.5 9.99 98.5 287 871 2074 45.0 9.94 94.6 256 636 1103 67.5 9.88 89.2 220 453 649 90.0 9.80 83.6 189 338 437 112.5 9.73 78.7 166 270 329 135.0 9.67 74.9 150 230 272 157.5 9.63 72.6 141 210 244 180.0 9.62 71.8 138 204 235 Trên đây là quá trình tán xạ của một photon trong tương tác đầu tiên. Để theo dõi toàn bộ quá trình mất năng lượng của photon, phải theo dõi photon thứ cấp và tương tác của chúng. Một photon năng lượng cao cỡ 1 MeV, có thể có một chuỗi các quá trình tán xạ compton, mỗi lần tán xạ đều làm giảm năng lượng của photon thứ cấp, trước khi quá trình kết thúc, sẽ có một sự hấp thụ quang điện ở cuối của quá trình. Vì vậy, năng lượng của photon tới có thể phân bố trong một thể tích vật chất đáng kể. Hình 1.18. Đồ thị tiết diện tán xạ compton với một số năng lượng từ 1 keV đến 10 25
26. MeV trong hệ toạ độ cực (Davisson và Evan 1952). Hình 1.19. Phân bố năng lượng của các electrôn trong tán xạ compton của các photon 511, 1200, và 2760 keV (Davisson và Evans 1952). Nếu biết được năng lượng của một chùm photon, ta có thể biết được phân bố góc tán xạ θ của các photon. Biểu thức giải tích của phân bố này là công thức Klein - Nishina (Davisson 1995). Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ compton vào Z và E được tính gần đúng theo công thức: σ = const. Z . E-1. (1.18) Hệ số suy giảm tuyến tính μσ = σ.ρ.NA/M minh hoạ trong hình 1.15 và hình 1.16 cho thấy: Tiết diện tán xạ compton có thể so sánh được với tiết diện hấp thụ quang điện trong khoảng năng lượng 150 keV với Ge và 60 keV với Si. Tiết diện này sẽ tăng nhanh và chiếm ưu thế trong tiết diện toàn phần ở năng lượng cao hơn. 1.4.3 Tạo cặp Trong vùng năng lượng cao (vài MeV), tạo cặp là tương tác chủ yếu của các tia gamma. Trong quá trình này, năng lượng của một photon trong trường coulomb bị biến đổi thành một cặp electrôn-pôsitrôn. Vì thế năng lượng photon phải lớn hơn hai lần năng lượng tương ứng với khối lượng nghỉ của electrôn (1022 keV). Năng lượng còn lại Eγ - 2 2.m0c được chia cho hai hạt dưới dạng động năng. Hai hạt pôsitrôn và electrôn chuyển động chậm dần trong vật liệu sau đó sẽ tương tác với một electrôn và hủy cặp. Nếu quá trình diễn ra sau khi pôsitrôn hầu như đã mất hết toàn bộ động năng thì hai photon sinh ra có năng lượng cỡ m0c2 = 511 keV. Để bảo toàn xung lượng, hai photon này sẽ phát ra gần như ngược chiều nhau. Do electrôn liên kết chặt với nguyên tử nên một lượng nhỏ năng lượng được truyền cho nguyên tử tương ứng với xung lượng. Do sự mất năng lượng này 2 2 nên năng lượng của hai photon sẽ nhỏ hơn m0c một chút. So sánh với giá trị m0c = 511.0034 keV, Shizuma và cộng sự (1976) đã tính và đưa ra giá trị trung bình năng lượng bức xạ huỷ của nhôm là 510.9957 keV. Yoshizawa và các cộng sự (1984) đã đo giá trị năng lượng trung bình của photon huỷ cặp đối với một số vật liệu. Do hiệu ứng Doppler sinh ra trong chuyển động của các electrôn tại điểm huỷ cặp, độ rộng tự nhiên của vạch photon huỷ vào khoảng 2 keV. Như trong quá trình tán xạ compton, năng lượng ban đầu của photon không bị mất hết ở vị trí trương tác trong lần tương tác đầu tiên. Động năng của cặp pôsitrôn-electrôn sẽ bị 26
27. hấp thụ ở vị trí tương tác nhưng các photon 511 keV sẽ mang năng lượng của chúng đến vị trí khác và tiếp tục tương tác bằng tán xạ compton hoặc hấp thụ quang điện. Các tính toán tiết diện của quá trình tạo cặp cho thấy nó thay đổi theo Z và tỉ lệ với Z2. Sự phụ thuộc của hệ số suy giảm tuyến tính vào quá trình tạo cặp, μK = K.ρ.NA/M, được minh họa trên hình 1.15 (với Ge) và hình 1.16 (với Si). Có thể thấy rằng nó chiếm ưu thế trong tiết diện toàn phần ở năng lượng trên 10 MeV. Với các vật liệu có Z cao hơn sự chiếm ưu thế này sẽ xảy ra ở năng lượng thấp hơn. 1.4.4. Các quá trình tương tác khác Ngoài ba tương tác trên, photon còn có các quá trình tương tác khác, nó ít xảy ra hơn và không quan trọng lắm trong dải năng lượng được đề cập ở đây. Có hai quá trình làm thay đổi hướng của photon mà không làm mất năng lượng. Tán xạ Rayleigh xảy ra với các electrôn ở lớp ngoài và tán xạ Thompson xảy ra với các electrôn tự do. Hai tán xạ này thường bị bỏ qua trong rất nhiều trường hợp. Tất cả các quá trình vừa đề cập đều thuộc về tương tác của photon với electrôn. Rất hiếm trường hợp photon tương tác với hạt nhân. Trong tán xạ cộng hưởng hạt nhân, năng lượng của photon được truyền cho hạt nhân và hạt nhân bị dịch lên trạng thái kích thích. Hạt nhân sẽ phân rã bằng cách phát ra một hay nhiều tia gamma. Năng lượng toàn phần phát ra sẽ bằng năng lượng của photon ban đầu (ngoại trừ các photon bị tán xạ ngược). Photon cũng có thể tương tác với thế coulomb của hạt nhân (tán xạ Delbruck). Các quá trình này có thể được chú ý và giữ vai trò quan trọng trong những trường hợp rất đặc biệt nhưng chúng không thật sự quan trọng lắm trong các phép đo được đề cập ở đây. 1.4.5 Sự suy giảm của số photon Các tương tác đã đề cập là tương tác của từng photon riêng lẻ. Bây giờ ta sẽ đề cập đến các hiệu ứng suy giảm của một chùm photon đơn năng khi đi qua một lớp vật liệu. Nếu chùm này đập vào một lớp vật liệu mỏng (hình 1.20), phía sau lớp sẽ xuất hiện một số photon và electrôn có năng lượng khác nhau. Một sự mô tả đầy đủ quá trình suy giảm sẽ gồm có phân bố góc, năng lượng của các photon và electrôn sinh ra, mô tả này là rất phức tạp và chỉ có thể hoàn thiện bằng các tính toán Monte Carlo. Trong đo phổ gamma, thường chỉ chú ý đến phần các photon đơn năng đã truyền qua lớp mà không xảy ra tương tác. Thuật ngữ “suy giảm” biểu thị các photon còn lại sau khi đã bị hấp thụ hoặc tán xạ trong lớp vật liệu. Hệ số suy giảm tuyến tính toàn phần μ là tổng của ba hệ số suy giảm riêng phần, μ = μτ + μσ + μК. ( 1.19) Nếu một chùm photon (hình 1.20) đi vào trong một lớp vật chất có chiều dày t và vuông góc với bề mặt của nó, thì số các photon truyền qua N được tính theo số các photon ban đầu N0 theo công thức: -μt N = N0e . ( 1.20) μ có đơn vị tỉ lệ nghịch với chiều dày (cm-1). Để thuận tiện, μ có thể thay bằng μ/ρ và t thay bằng t.ρ. Khi đó μ/ρ được gọi là hệ số suy giảm khối lượng, đơn vị là diện tích/khối lượng (ví dụ cm2.g-1) và t.ρ là khối lượng trên đơn vị diện tích (g.cm-2). Hệ số suy giảm khối lượng không phụ thuộc khối lượng riêng của vật liệu, vật liệu có thể ở thể lỏng, thể khí, túi bột hay đơn tinh thể. 27
28. Hình 1.20. Tương tác của tia gamma trong một tấm mỏng. (1) tán xạ compton, photon sau tán xạ γ’ thoát ra khỏi tấm, e- tán xạ bị hấp thụ; (2) không tương tác; (3) tán xạ compton sau đó xảy ra hấp thụ quang điện phát tia X; (4) không tương tác; (5) tạo cặp (e- + ,e ) và huỷ cặp γa; (6) hiệu ứng quang điện phát eletron. Giá trị μ/ρ của hỗn hợp hoặc hợp chất được tính từ các thành phần theo công thức: =  å wi .( )i (1.21) i trong đó wi là tỉ lệ khối lượng, (μ/ρ)i là hệ số suy giảm khối lượng của nguyên tố thứ i. Sự thay đổi của các tiết diện (τ, σ, К) đã được tính (Storm và Israel 1970, Veigele 1973) và được thực nghiệm xác nhận là chính xác. Bảng 6.1 trình bày giá trị μ/ρ của một số vật liệu. Nếu biết được độ dày của thiết bị hấp thụ, thành phần các nguyên tố và giá trị N, thì có thể tính được N0 theo công thức (1.20). Tuy nhiên cũng cần phải chú ý khi photon đi qua vật chất ở những góc khác nhau. Khi đó cần sử dụng quãng chạy trung bình để tính toán và hiệu chỉnh sự suy giảm (xem 4.7). Trong thực nghiệm cần lưu ý các trường hợp photon bị tán xạ nhưng năng lượng không bị suy giảm nhiều. Thực tế không thể phân biệt được các photon này với các photon không tán xạ. Vì vậy trong đo đạc cần phải chuẩn trực và bố trí tốt thí nghiệm, trong tính toán cần phải chú ý đến hiện tượng này để hiệu chỉnh. 1.5. Xử lý số liệu thống kê Mục đích của hầu hết các phép đo là tìm ra giá trị của các đại lượng vật lý. Giá trị này có thể đo trực tiếp hoặc tính từ các đại lượng đo. Trong cả hai trường hợp, ta đều phải xử lý thống kê số liệu để thu được giá trị cuối cùng và sai số của nó. Thông thường, các phép đo được lặp lại và giá trị mong đợi được suy ra từ xử lý thống kê phân bố của các kết quả đo. Trong điều kiện đặc biệt, một số phép đo chỉ thực hiện được một lần và giá trị cần tìm phải suy ra từ lần đo duy nhất này. Trong đo phổ gamma và tia X, các đại lượng như năng lượng, hoạt độ thường được suy ra từ các giá trị đo khác. 1.5.1 Xác suất phân bố Nếu một đại lượng được đo nhiều lần bằng một hay nhiều phương pháp khác nhau ở một hay nhiều phòng thí nghiệm thì các giá trị thu được sẽ có sự khác nhau. Chúng có sự thăng giáng và do đó không biết được giá trị đúng của đại lượng cần đo. Độ lệch của giá trị đo được so với giá trị thực thường được gọi là sai số của phép đo. Độ lệch mang tính thống kê do sự thay đổi ngẫu nhiên của một hay nhiều yếu tố thực nghiệm, ví dụ của thiết bị đo, quan sát của người đo, của môi trường hoặc do bản chất của đại lượng đo (thăng 28
29. giáng trong tốc độ phân rã của chất phóng xạ). Trong đo ghi bức xạ, phân bố Gauss và phân bố Poisson thường hay được sử dụng. Phân Gauss hoặc phân bố chuẩn được áp dụng để tìm giá trị thực của đại lượng đo. Trong các phép đo mà kết quả chỉ có các giá trị nguyên dương thì các độ lệch ngẫu nhiên được mô tả bằng phân bố Poisson. Hai phân bố này là hoàn toàn khác nhau nhưng khi số đếm thống kê lớn hai phân bố này sẽ có giá trị gần nhau. Dưới đây là một số đặc điểm của các phân bố này. 1.5.1.1 Phân bố Gauss Phân bố Gauss được mô tả bằng hàm mật độ xác suất: 1 æ (x - m)2 ö f (x) = expç - ÷. (1.22)  2 è 2 2 ø Phân bố này được định nghĩa bằng hai tham số m và s . Trong đó m là giá trị mong đợi của đại lượng X khi các giá trị đo tương ứng là xi (i=1, 2, ), s là độ lệch (số đo độ rộng của phân bố). Hàm mật độ xác suất có cực đại tại x = m và giảm xuống các giá trị 60.7%, 13.5% và 1.1% tại x = m ± s , x = m ±2s và x = m ± 3s tương ứng. Dạng của hàm f(x) được minh hoạ trên hình 1.21. Hình 1.21. Hàm mật độ xác suất của phân bố Gauss f(x) và phân bố poisson F(x), m = 12 và s 2 = 12. Độ rộng và độ lệch của phân bố có giá trị khác nhau, w = 2.355s . Xác suất p(xa, xb) để một giá trị rơi vào khoảng [xa, xb] là xb = p(xa , xb ) ò f (x)dx (1.23) xa Phân bố Gauss là chuẩn hoá do đó xác suất để thu được một giá trị của X là xác định, p(-¥ , +¥ ) =1, p(-s ,+s ) = 0.68, p(-2s ,+2s ) = 0.95 và p(-3s ,+3s ) = 0.997. Trọng tâm thứ nhất của phân bố đưa ra giá trị mong đợi m: ¥ m = ò xf (x)dx (1.24) - ¥ Trọng tâm thứ hai của phân bố đưa ra giá trị bình phương của độ lệch chuẩn s : ¥  2 = ò (x - m)2 f (x)dx (1.25) - ¥ s 2 là giá trị mong đợi của (x-m)2 và được biết như phương sai. 29
30. Các giá trị đo là không chính xác như giá trị lý thuyết hoặc giá trị thực vì vậy phân bố là khả năng có thể có của tất cả các giá trị đo. Một tập hợp các giá trị xi là một mẫu của phân bố. Với một số lớn các giá trị xi, phân bố sẽ tập trung quanh một giá trị và có dạng của phân bố lý thuyết. Phân bố biên độ của các xung bức xạ trong đầu dò bán dẫn của một tia gamma đơn năng bị hấp thụ hoàn toàn năng lượng trong thể tích của đầu dò có dạng phân bố Gauss. Khi những biên độ xung này được số hoá bằng bộ đổi tương tự số, ta sẽ thu được một biểu đồ các độ cao có giá trị p(xj , xj +D x). Trong đó j là số kênh và D x là độ rộng kênh. Nếu đỉnh phân bố đủ rộng trên một số lớn kênh (cỡ 15 kênh) thì biểu đồ sẽ có dạng giống phân bố Gauss. 1.5.1.2 Phân bố Poisson Phân bố Poisson được mô tả bằng hàm mật độ xác suất: m xe- m F(x) = . (1.26) x! Hình 1.22. Hàm mật độ xác suất của phân bố Poisson với m = 2.5. Trong đó x là một số nguyên dương và m>0. Tham số m sẽ qui định dạng của phân bố. Hình 1.22 minh hoạ phân bố Poisson với m = 2.5. Khi m bé, F(x) rất bất đối xứng (hình 1.22). Hàm F(x) là chuẩn hoá nên tổng các F(x) trên đoạn từ x = 0 đến +¥ là xác định. Giá trị mong đợi của x được xác định từ trọng tâm thứ nhất của phân bố: ¥ m = å xF(x) . (1.27) x=0 Phương sai, hoặc bình phương độ lệch chuẩn được xác định từ trọng tâm thứ hai của phân bố: ¥  2 = å (x - m)2 F(x) . (1.28) x=0 Đặc điểm quan trọng của phân bố Poisson là phương sai bằng với giá trị trung bình, vì vậy độ rộng của phân bố không phụ thuộc biến số như trong phân bố Gauss. Nếu biết một đại lượng nào đó tuân theo phân bố Poisson thì có thể dự đoán về sự phân bố của các kết quả trước khi đo. Điều này không áp dụng được với phân bố Gauss. 30
31. Khi m tăng, độ lệch của phân bố Poisson sẽ giảm dần và bé hơn so với phân bố Gauss với cùng giá trị m (Hình 1.21 minh họa hai phân bố với m = 12 và s 2 = 12). 1.5.2. Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn Trong thực nghiệm hoặc tính toán nếu thu được một tập hợp các giá trị xi (i=1, 2, ,n) của một đại lượng X, giá trị trung bình số học x được tính: n = 1 x å xi . (1.29) n i=1 Trong trường hợp các giá trị xi có trọng số: n å wi xi = i=1 x n (1.30) å wi i=1 wi là trọng số của các giá trị xi. Nếu một đại lượng có phân bố Gauss hoặc Poisson và x1, x2, xn là các giá trị thu được bằng cách lặp lại phép đo trong cùng một điều kiện (các xi có độ tin cậy giống nhau), trung bình số học theo phương trình (1.29) là cách tốt nhất để ước lượng giá trị m của phân bố. Khi tăng số lần đo (n tăng), trung bình số học sẽ dần đến giá trị m. Phương sai s 2 của phân bố được xác định theo công thức: 1 n s 2 (x) = å (x - x)2 (1.31) - i n 1 i=1 s(x) Độ lệch chuẩn tương đối được gọi là hệ số phương sai v. x Phương sai thực nghiệm của giá trị trung bình s 2 (x) thường ký hiệu bằng var(x) , giá trị này bé hơn n lần so với s2(x), do đó: n å (x - x)2 s 2 (x) i s 2 (x) = = i=1 . (1.32) n n(n - 1) Để kiểm tra các số liệu thu được có phù hợp với phân bố Poisson hay không, cần kiểm tra xem s 2 có bằng m hay không. Nếu xem x là ước lượng của m và s2(x) là ước lượng của s 2, giá trị kỳ vọng của s 2 (x) sẽ xấp xỉ bằng x khi số các giá trị đo không quá ít. Nếu s 2 (x) lệch so với x một hệ số bằng hoặc lớn hơn 2 lần là dấu hiệu chứng tỏ phân bố thu được khác với phân bố Poisson. Sự khác nhau giữa s 2 (x) và x là dấu hiệu để quyết định kiểm tra sự phù hợp bằng khi c 2 2 bình phương. Khi bình phương và khi bình phương rút gọn  R cho phân bố Poisson được xác định như sau: - 2 n 2 = (n 1)s (x) = 1 - 2  å (xi x) (1.33) x x i=1  2 s2 (x)  2 = = (1.34) R (n - 1) x c 2 và công dụng của nó trong đánh giá số liệu sẽ được thảo luận trong phần 1.6.4. Nếu kết quả thực nghiệm chỉ có một giá trị chẳng hạn như số đếm N, khi đó coi N là giá trị ước lượng của m. Trong phân bố Poisson, m = s 2 và giá trị N được dùng như độ lệch chuẩn s(N) của thực nghiệm. 2 Khi mỗi giá trị của tập số liệu xi có phương sai si và không bằng nhau thì trung bình 31
32. trọng số theo công thức (1.30) sẽ là ước lượng tốt hơn so với trung bình số học cho giá trị 2 m. Giá trị trọng số thường được sử dụng là nghịch đảo của các phương sai, wi = 1/si . Phương sai của x có thể suy luận theo hai cách. Phương sai “ngoại” thu được từ biểu thức (1.32) với các hệ số trọng số. n - 2 å wi (xi x) 2 = i=1 s (x,1) n (1.35) - (n 1)å wi i=1 Phương sai “nội” suy ra từ công thức (1.44) trong phần 1.5.3.2 2 = 1 s (x,2) n (1.36) å wi i=1 2 Từ (1.36) và (1.35) có thể thấy phương sai nội là giá trị mong đợi của phương sai si . Phương sai nội không phụ thuộc còn phương sai ngoại phụ thuộc vào sự phù hợp của số liệu thực nghiệm. Trong hai phương sai, phương sai nào lớn hơn sẽ được dùng làm phương sai của x . Với phân bố Gauss, nếu si bằng với độ lệch chuẩn s , mối liên hệ giữa khi bình phương và phương sai như sau: 1 n  2 = å w (x - x)2 (1.37) R - i i n 1 i=1 2 = 2 2 s (x,1)  R s (x,2) (1.38) 2 Giá trị  R có bậc tự do xác định được tra từ bảng và cho biết chất lượng của số liệu đo (xem 1.6.4) 1.5.3 Độ tin cậy của phép đo và số liệu thu được 1.5.3.1 Độ tin cậy Một kết quả đo thường được trình bày ở dạng x ± u . Giá trị x của đại lượng X có thể thu được từ một loạt các phép đo đại lượng X, hoặc suy ra từ các giá trị z1, z2, của các đại lượng Z1, Z2, có mối quan hệ với X theo một hàm X = F(Z1, Z2, ). Giá trị x ± u sẽ dao động quanh giá trị thực, do đó u thường được gọi là sai số. Cách gọi này có thể dẫn đến sự nhầm lẫn. Theo ISO 1984, sai số của phép đo là giá trị đo được trừ cho giá trị thực của đại lượng đo. Giá trị thực và sai số thường không được biết do đó ta chỉ biết rằng giá trị đo thu được là có chút ít sai lệch và tìm xác suất đóng góp của sai số vào kết quả đo. Để đánh giá mức độ sai lệch và sai số ta thường đánh giá độ tin cậy và khoảng tin cậy. Bảng 1.6. Một số hệ số Student. n Độ tin cậy ~ 68% ~ 95% ~99.7% 3 1.32 4.3 19.2 4 1.20 3.2 9.2 5 1.15 2.8 6.6 6 1.11 2.6 5.5 8 1.08 2.4 4.5 10 1.06 2.3 4.1 20 1.03 2.1 3.4 50 1.01 2.0 3.16 32
33. 100 1.00 2.0 3.1 Để thuận tiện người ta định nghĩa khoảng giá trị từ x - u đến x + u bao bọc giá trị thực m là khoảng tin cậy. Trong trường hợp đại lượng X có một số các giá trị đo xi, độ lệch chuẩn của giá trị trung bình là giá trị gần đúng của độ tin cậy. Kết quả của một chuỗi các phép đo có thể biểu diễn dưới dạng x + s(x) . Với phân bố Gauss khi số lần lặp lại phép đo n đủ lớn (n>20) trong cùng một điều kiện (trọng số bằng nhau với tất cả xi), xác suất để giá trị thực m rơi vào khoảng x + s(x) vào cỡ 68%. Nếu khoảng tin cậy được lên gấp đôi hoặc gấp ba thì xác suất để giá trị thực rơi vào sẽ tăng lên 95% và 99.7%. Để đảm bảo giá trị của phân bố ở mức “1s ” (68%), “2s ” (95%) hoặc “3s ” (99.7%), giá trị s(x) được nhân với hệ số Student t phụ thuộc n và mức tin cậy (bảng 1.6). Trong đo đạc thực nghiệm, khi áp dụng phân bố Poisson, kết quả của mỗi phép đo được đánh giá là N ± N . Từ đặc điểm của phân bố Poisson, nếu N không quá nhỏ (N>100), khoảng giữa N - N và N + N là xấp xỉ bằng khoảng tin cậy ứng với mức tin cậy 68%. Các trình bày về độ tin cậy của giá trị đo ở trên có liên quan đến bản chất thống kê của đại lượng đo. Trong thực nghiệm còn cần phải tính đến độ tin cậy của hệ thống. Độ tin cậy này đánh giá mức độ hoàn hảo của thực nghiệm, ví dụ một thiết bị chuẩn sai, chỉnh sai khi bố trí thí nghiệm hoặc đánh giá sai khi quan sát. Như vậy trong một kết quả đo sẽ có đóng góp của hai loại sai số: sai số thống kê và sai số hệ thống. Sự khác nhau giữa sai số thống kê và sai số hệ thống là không rõ ràng. Một chuỗi các phép đo lặp lại luôn tạo ra sai số thống kê. Nếu kết quả đo được sử dụng như một tham số trong phép đo khác, sai số thống kê trong thực nghiệm đầu tiên sẽ trở thành sai số hệ thống khi sử dụng trong tính toán kết quả của thực nghiệm thứ hai. Để phân biệt giữa sai số thống kê và sai số hệ thống, Văn phòng đo lường quốc tế - Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) đã đưa ra khái niệm “sai số loại A” và “sai số loại B”. “sai số loại A” là sai số đánh giá được bằng phương pháp thống kê qua một chuỗi các phép đo lặp lại. “Sai số loại B” là sai số có thể đánh giá được bằng các công cụ khác (Giacomo 1981). Sai số loại A được đánh giá bằng độ lệch chuẩn sA và sai số loại B đánh giá bằng độ lệch sB. Sai số hệ thống có thể đánh giá và loại trừ được bằng các mẫu chuẩn. Trong thực nghiệm nếu “nghi ngờ” có sai số hệ thống, cần phải đánh giá “độ lệch chuẩn”. Sai số của cả hai thành phần là = 2 + 2 u sA sB . (1.39) Cách viết kết quả đo và sai số: Sai số của một giá trị đo, ví dụ hoạt độ của một nguồn có thể biểu diễn ở một trong hai dạng sau: A = (75.5 ± 0.8)Bq hoặc A = 75.5(8)Bq. Giá trị 36.2(14) được qui đổi thành (36.2±1.4) và 7.125(5).10-3 thành (7.125 ± 0.005).10-3. 1.5.3.2 Truyền sai số Trong hầu hết các thực nghiệm, giá trị của đại lượng quan tâm thường không đo được trực tiếp mà phải suy ra từ giá trị của các đại lượng khác. Ví dụ hoạt độ A của nguồn gamma được tính từ tốc độ đếm n của một đầu dò có hiệu suất є, xác suất phát gamma p và hệ số hiệu chỉnh C (hoặc C = C1 C2 ) theo công thức nC A = (1.40) p Câu hỏi đặt ra là: mô tả sai số của đại lượng A theo sai số của n, C, p và є như thế nào? Vấn đề này tương tự như tính sai số của X là một hàm của các giá trị Z1, Z2, Zn 33
34. X = F(Z1, Z2, Zn) (1.41) trong đó mỗi giá trị Zk có một giá trị sai số tương ứng. Theo quy tắc truyền sai số, phương sai s2(X) được xác định theo biểu thức  æ ö 2 = ç F ÷ 2 s (x) å ç ÷ s (Z k ) . (1.42) k =1 è Z k ø Z k Phương trình (1.42) có thể được viết dưới dạng: 2 é s(x)ù 2 n æ s(Z ) ö ê ú = å ç k ÷ . (1.43) ë x û k =1 è Z k ø Trong trường hợp mức tin cậy lớn hơn 68% (Muller 1979) không được phép thay thế độ lệch chuẩn s(Zk) trong phương trình (1.42) bằng các đại lượng uk liên quan đến mức tin cậy. 1.5.3.3 Tương quan giữa các đại lượng Khi một giá trị x được tính theo phương trình X = F(Z1, Z2, ), để đánh giá mức độ tương quan giữa các giá trị Z, ta đánh giá phương sai s(zk,zl) và được ký hiệu là covar (zk, zl). Covar là thước đo sự tương quan giữa Zk và Zl. Từ qui tắc truyền sai số: 2 v æ ö v v 2 = ç F ÷ 2 + F F s (x) å ç ÷ s (zk ) 2å å zk s(zk , zl ) (1.44) k=1 Zk k=1 l<k Zk Zl è zk ø zl Các phương sai được định nghĩa tương tự như trong phương trình (1.31) 1 n s(z , z ) = å (z - z )(z - z ) (1.45) k l - ki k li l n 1 i=1 zki và zli là các giá trị của Zk và Zl thu được đồng thời trong phép đo thứ i, n là số phép đo, zk và zl là các giá trị trung bình tương ứng. Các độ lệch và phương sai có dạng ma 2 trận với các phần tử trên đường chéo là s (zk) = s(zk,zk). = s(zk , zl ) Tỉ số c(zk , zl ) (1.46) s(zk )s(zl ) được gọi là hệ số tương quan. Nó có giá trị bằng 0 nếu zk và zl không tương quan, bằng 1 nếu hoàn toàn tương quan với nhau. Nếu biểu diễn X dưới dạng một tỉ số của các đại lượng riêng Zk, ví dụ X = Z1.Z3/(Z2.Z4), ta có thể viết (1.44) dưới dạng (1.43) v v v 2 = 2 + v (x) å v (zk ) 2å å qkl c(zk , zl )v(zk )v(zl ) . (1.47) k =1 k =1 l<k Thay s(zk,zl) trong phương trình (1.44) bằng c(zk,zl)s(zk)s(zl) như trong phương trình (1.46), hệ số qkl bằng 1 nếu cả Zk và Zl cùng ở tử hoặc mẫu số; bằng -1 khi không cùng tử hoặc mẫu số. Thông thường ta chỉ đo một vài giá trị zk với sai số s(zk) (dưới dạng độ lệch chuẩn) cho mỗi đại lượng Zk. Nếu Zk và Zl là tương quan, chúng sẽ phụ thuộc chung vào một đại lượng bên ngoài Y với một ước số nhỏ nhất chung cho cả hai. Phương sai (độ lệch chung) trong trường hợp này được tính: = Zk Zl 2 s(zk , zl ) s (y) . (1.48) ZY y Y y Ví dụ đường chuẩn hiệu suất của đầu dò đo với nguồn hoạt độ A, có hai năng lượng E1 và E2. Để đơn giản, ta giả thuyết p1 = p2 = 0 và C1 = C2 = 1.0. Từ phương trình (1.40) ta có ε1 = n1/A và ε2 = n2/A. Giả thuyết thêm rằng các độ lệch chuẩn tương đối là v(n1) = 34
35. 2 2 v(n2) = 1% và v(A) = 3%, theo phương trình (1.43) ta có v(ε1) = v(ε2) = 3 +1 % = 3,16%. Sau đó sử dụng đầu dò này xác định tỉ số tốc độ phát gamma B1 và B2 của một nguồn ' ' khác có các năng lượng giống như chuẩn trên. Các tốc độ đếm thu được là n1 và n2 , sai số v(n1) = v(n2) = 1%. B n' 1 = 1 2 ' . (1.49) B2 n21 Nếu xem ε1 và ε2 là độc lập, theo quy tắc truyền sai số ta có: = 2 + 2 + 2 = v(B1 / B2 ) 1 (3,16) 1 % 4,69% Nhưng ε1 và ε2 được xác định với cùng nguồn chuẩn và có chung sai số nên là không độc lập. Đặt Zi = εi = niC/(piA); i = 1, 2 và Y = A từ phương trình (1.48) ta có: 2 s(ε1,ε2) = (ε1/A) (ε2/A)s (A) (1.50) là hệ số tương quan của ε1 và ε2. Các giá trị tương quan của n1 và n2, ni và εi là bằng không. Từ phương trình (1.46) ta có: 2 2 2 = 1  2 s (A) = s (A) = 3 = c(1, 2 ) 2 0,90 . (1.51) A A s(1 )s( 2 ) v(1 )v( 2 ) 3,16 Ứng dụng phương trình (1.47) ta có: æ B ö 2 ç 1 ÷= 2 ' + 2 ' + 2 + 2 - v ç ÷ v (n1 ) v (n2 ) v (1 ) v ( 2 ) 2c(1, 2 )v(1 )v( 2 ) è B2 ø = (1%)2 + (1%)2 + (3,16%)2 + (3,16%)2 - 2.(0,9).(3,16%).(3,16%) = (2%)2 Như vậy hiệu ứng tương quan đã làm giảm sai số từ 4,96% xuống 2%. Mối tương quan giữa các hệ số là một đặc trưng quan trọng trong hàm khớp số liệu và tính sai số. 1.5.4 Giới hạn phát hiện Trong các ứng dụng như đánh giá độ tinh khiết của nguồn bức xạ, giới hạn phát hiện đối với chất phóng xạ là vô cùng quan trọng. Giới hạn này được biết như là tốc độ phát thấp nhất mà thiết bị hoặc phương pháp có thể phát hiện được. Nó phụ thuộc vào thành phần mẫu, năng lượng của bức xạ, khoảng cách giữa nguồn và đầu dò, hiệu suất của đầu dò, phông bức xạ và thời gian đo. Trong đo tổng tích phân, ta thu được hai giá trị N và Nb tương ứng với trường hợp có mẫu và không mẫu, thời gian của hai phép đo là như nhau. Nếu độ lệch chuẩn của phông = là s(N b ) Nb và số đếm do các photon phát ra từ mẫu là Ns = N - Nb nằm trong khoảng thăng giáng của số đếm phông s(Nb) thì không có dấu hiệu rõ rệt sự tồn tại hiệu ứng của mẫu. Nếu Ns lớn hơn 3s(Nb), xác suất xuất hiện hiệu ứng mẫu là khá cao. Do đó, có thể trình bày đánh giá đầu tiên của giới hạn phát hiện là: = L 3 Nb . (1.52) Để chính xác hơn, hai khái niệm là giới hạn quyết định (decision limit) và giới hạn đo (detection limit) đã được đưa ra. Currie (1968) đã chỉ ra sự khác nhau giữa hai kiểu giới hạn này. Giới hạn quyết định Lc muốn nói rằng các kết quả đo N và Nb cung cấp một khả năng cho phép đánh giá kết quả. Giới hạn này được xác định theo công thức: = Lc k 2Nb . (1.53) Với phân bố Gauss, m + kασ là khoảng mà giá trị phân tích vượt ra với xác suất bằng α. Từ phương trình (1.23) ta có thể viết p(m + kασ, ∞) = α. Với α = 5%, kα = 1,65; α = 1%, kα = 2,33 (p(-∞, m + 1,65σ) = 0,95 và p(m-2σ, m + 2σ) = 0,95). Như vậy xác suất 35
36. phân bố của kết quả N - Nb = Lc là (1 - α). Nói cách khác, kết quả N - Nb = Lc có xác suất bị sai là α (sai số thuộc loại đầu tiên). Giới hạn quyết định (decision limit) thường chỉ áp dụng sau khi đo. Nếu trước khi đo câu hỏi đặt ra là: tốc độ phát của nguồn tối thiểu là bao nhiêu để kết quả có xác suất cần thiết? Vấn đề này giải quyết bằng giới hạn đo “detection limit” LD. = + 2 + + LD 0,5(k k ) (k k ) 2Nb (1.54) LD là tốc độ đếm thu được từ mẫu, β là sai số không do yếu tố thống kê (“sai số loại thứ hai”), α là xác suất để thu được tốc độ đếm có giá trị LD. Giả sử nếu sai số chỉ do phông gây nên (sai số loại đầu tiên), cho α = β, kα = kβ và chấp nhận sai số của cả hai loại là 5% thì kα = kβ = 1.65. LD = 5,4 + 3,3 2Nb (1.55) Phương trình (1.53) và (1.54) chỉ áp dụng khi Nb > 5 với điều kiện thời gian đo Nb và N bằng hoặc xấp xỉ bằng nhau. Công thức chính xác hơn cho Lc và LD được trình bày trong German standard DIN 1987. Thông thường tốc độ đếm phông nb được xác định từ phép đo có thời gian đo Tb lớn hơn thời gian đo mẫu T, do đó độ lệch chuẩn của Nb = nbT là bé hơn N b . Nếu Tb >> T thì s(Nb) << Nb và đóng góp vào sai số của số đếm phông có thể bỏ qua. Các trình bày ở trên đều tập trung vào trường hợp số đếm tích phân thấp. Trong trường hợp các đỉnh trong phổ bị ảnh hưởng bởi phân bố liên tục do tán xạ compton, giới hạn xác định của một đỉnh có cường độ bé phụ thuộc vào thiết bị đo và toàn bộ phổ. Trong minh họa ở hình 1.23, các xung tạo ra từ tia gamma quan tâm được tích lũy vào một đỉnh ở kênh k có độ phân giải W kênh. Câu hỏi đặt ra là các đóng góp xung quanh kênh k là của tia gamma quan tâm hay chỉ là thăng giáng của phông? Hình 1.23. Phân bố số đếm của một đỉnh có cường độ bé trong phổ, k và W là vị trí và FWHM; I là khoảng tính diện tích đỉnh; Nb,l + Nb,r = Nb là số đếm phông; N là số đếm trong khoảng I. Trong trường hợp này ta không thể đánh giá bằng hai phép đo riêng (có mẫu và không có mẫu) vì phông hầu như là do các bức xạ năng lượng cao của mẫu tạo ra. Giả sử phân bố của phông trong khu vực lân cận đỉnh là tuyến tính, số đếm phông Nb của đỉnh có thể 36
37. tính từ số đếm phông ở vùng bên trái và vùng bên phải của đỉnh. Từ các giá trị của N và Nb, giới hạn quyết định và giới hạn đo được tính theo phương trình (1.53) và (1.54). Vấn đề còn lại là chọn khoảng tính diện tích I như thế nào cho phù hợp? Nếu chọn I quá nhỏ sẽ mất nhiều sự kiện thực, nếu chọn I quá lớn sai số phông Nb sẽ tăng. Về mặt toán học chọn I = 1,2W là đủ độ chính xác cần thiết. Trong trường hợp trọng tâm của đỉnh không trùng với kênh trung tâm, số kênh I sẽ được làm tròn với giá trị lớn hơn. Trường hợp trên hình 1.23, W = 3,8 kênh và I = (1,2).(3,8) + 1 = 5,56 được làm tròn là 6 kênh. 1.6 Các phương pháp khớp Nếu một tập hợp các điểm thực nghiệm được mô tả bằng các tọa độ (xi, yi ), i = 1, , n, để xác định được giá trị tốt nhất của y tại giá trị x bất kỳ, cần phải tìm một hàm f(x) liên tục và đi qua các điểm thực nghiệm yi. Trước hết cần phải xác định dạng của f (x) sau đó xác định các tham số bằng phương pháp khớp bình phương tối thiểu. Để đơn giản, ta giả thuyết rằng: - f(x) và đạo hàm bậc nhất của nó theo x là liên tục; - Các giá trị xi được biết chính xác; - Số m tham số trong hàm f(x) cần xác định là ít hơn số điểm thực nghiệm n; - Các giá trị yi là không tương quan với nhau và - Độ tin cậy (uncertainties) si của các giá trị yi là đã biết. Dưới đây ta sẽ trình bày trường hợp biểu thức giải tích là tuyến tính sau đó mở rộng cho trường hợp phi tuyến. 1.6.1 Khớp bình phương tối thiểu tuyến tính Nếu aj là các tham số của hàm f(x), j = 1, 2, , m, thì f (x) có thể được viết dưới dạng: m = f (x) å a j .g j (x) . (1.56) j=1 Về mặt toán học các hàm gj(x) có thể có dạng bất kỳ nhưng ở đây ta sẽ giới hạn các gj(x) là độc lập tuyến tính. Ví dụ điển hình của loại hàm này là đa thức của x trong đó 2 m-1 -λjx g1(x) = 1, g2(x) = x, g3(x) = x , gm(x) = x hoặc gj(x) = sin(jx) và gj(x) = e trong đó λj là các hằng số đã biết. Hai câu hỏi được đặt ra là: Xác định các giá trị tốt nhất của aj bằng tiêu chuẩn nào? Phải sử dụng phương pháp toán học nào để tính các giá trị ‘tốt nhất’ này? Thông thường, về mặt toán học ta tìm các dạng hàm gần đúng với các tham số aj sao cho bình phương phần dư là cực tiểu. ri = yi - f(xi) (1.57) Với mô tả có trọng số, khớp bình phương tối thiểu là làm cực tiểu hàm số: 2 n n é m ù 2 = 2 = - R å wiri å wi ê yi å a j g j (xi )ú . (1.58) i=1 i=1 ë j =1 û Trong đó wi là các trọng số. Như trong trường hợp trung bình trọng số (phần 1.5.2), ta = 2 chọn w i 1/ si trong đó si là độ tin cậy (dưới dạng độ lệch chuẩn) của yi. Ở trên đã giả thuyết các giá trị xi được biết chính xác, vì thế độ tin cậy của phép đo chỉ phụ thuộc vào các giá trị yi. Tại cực tiểu, đạo hàm riêng phần của R2 sẽ bằng không và ta có m phương trình dạng: dR 2 = 0 . (1.59 ) da j Giải hệ phương trình này sẽ thu được các giá trị aj. Nếu n < m, thì các phương trình 37
38. không có lời giải riêng. Trường hợp này ta có thể giảm bớt các hệ số của f(x) hoặc bằng cách tạo thêm nhiều điểm số liệu. Nếu m = n, hệ phương trình sẽ cho lời giải phù hợp với 2 các điểm số liệu, có nghĩa là cực tiểu của R bằng 0. Nếu n > m, các tham số aj là thừa điều kiện để xác định và giải pháp đưa ra có thể là một đường trung bình đi qua các điểm số liệu. Trong trường hợp f(x) có dạng tổng quát, theo (1.59), tại cực tiểu ta có tập hợp m các phương trình: n é m ù - = -2 å wi ê yi å ak gk (xi )ú g j (xi ) 0 (1.60a) i=1 ë k =1 û hoặc: m n n = å ak å wi gk (xi )g j (xi ) å wi yi g j (xi ) . (1.60b) k =1 i=1 i=1 Các phương trình này được biết như các phương trình chuẩn và có thể giải được bằng một chuỗi các phép biến đổi toán học. Dưới đây là một ví dụ đơn giản cho trường hợp một đường thẳng. Lời giải tổng quát được viết dưới dạng ma trận, các véc tơ A và V có độ dài m và có các phần tử: Aj = aj (1.61a) n Vj = å wi yi g j (xi ) (1.61b) i=1 Ma trận M có m × m phần tử Mkj = å wi g j (xi )gk (xi ) (1.61c) Các phương trình (1.60) và lời giải có thể viết đơn giản như sau M.A = V (1.62) A = M-1MA = M-1V (1.63) Nghĩa là cần tính ma trận M và nghịch đảo của M sau đó nhân ma trận để thu được kết quả. Chú ý rằng các phương pháp số học hay đại số tuyến tính có thể bị hạn chế về độ chính xác khi làm tròn các sai số trong tính toán. Trong trường hợp cần độ chính xác cao, có thể sử dụng một số phương pháp biến đổi phức tạp để làm giảm sai số. Giả sử hàm khớp có dạng đường thẳng f(x) = a1 + a2.x. Hai giá trị cần tìm là a1 và a2, từ (1.60b) ta có hai phương trình: + = a1 å wi a2 å wi xi å wi yi (1.64a) i i i + 2 = a1 å wi xi a2 å wi xi å wi xi yi (1.64b) i i i Theo phương pháp số học, nhân phương trình thứ nhất với - å wi xi và phương trình thứ i hai với å wi sau đó cộng hai phương trình thu được với nhau. i Đặt: æ ö 2 2 - ç ÷ D = å wi å wi xi å wi xi (1.65) i i è i ø ta suy ra: æ ö -1 ç - ÷ a2 = D . å wi å wi xi yi å wi xi å wi xi yi (1.66a) è i i i i ø tương tự như với a2, ta có: 38
39. æ ö -1 ç 2 - ÷ a1=D . å wi wi å wi yi å wi x å wi xi yi . (1.66b) è i i i i ø Theo phương pháp ma trận: æ å wi xi ö V= ç i ÷ (1.67a) ç å wi xi yi ÷ è i ø æ ö ç å wi å wi xi ÷ i i M= 2 (1.67b) ç å wi xi å wi xi ÷ è i i ø Ma trận nghịch đảo của M là: æ å w x 2 - å w x ö -1 -1ç i i i i ÷ M = D i i (1.67c) - ç å wi xi å wi ÷ è i i ø Nhân M-1 với V, kết quả thu được giống như kết quả trong (1.66). Hệ số D trong phương trình (1.65) được gọi là định thức của ma trận M. -1 Ma trận M và M là độc lập với các giá trị yi và phụ thuộc vào dạng hàm của gj do đó phụ thuộc vào giá trị xi. Đây là một điểm quan trọng khi thảo luận về độ tin cậy của giá trị aj. Độ chính xác của các giá trị aj phụ thuộc vào việc làm tròn trong quá trình tính. Nếu sai số của việc làm tròn là không lớn thì độ chính xác của kết quả phụ thuộc vào cách thực hiện phép tính. Khi đã xác định được các tham số aj thì giá trị và đạo hàm của f(x) có thể tính được với mọi giá trị của x. Tuy nhiên trong một số trường hợp ta sẽ cần ước lượng phương sai của các tham số và của giá trị tính. Với khớp đường thẳng, phương sai nội của các tham số được xác định như sau (Beers 1957): = -1 2 var (a1 ) D .å wi xi (1.68a) i = -1 var (a 2 ) D .å wi . (1.68b) i Các aj được tính từ cùng một tập số liệu nên có tương quan với nhau, sự tương quan trở nên quan trọng trong tính toán độ tin cậy của các đại lượng phụ thuộc vào nhiều hơn một số hạng aj. Tương quan này được gọi là hiệp phương sai - covar. Trường hợp đường thẳng: æ ö -1 ç - ÷ covar(a1, a2) =D . å wi xi . (1.68c) è i ø So sánh với phương trình (1.67c) có thể thấy rằng ba giá trị của các phương trình (1.68a-c) cũng là các phần tử của ma trận nghịch đảo M-1, các phần tử trên đường chéo là các phương sai nội và các hệ số ngoài đường chéo là phương sai. Mối liên hệ này đúng trong trường hợp tổng quát. Ma trận nghịch đảo và các phương sai nội phụ thuộc vào vị trí của các điểm số liệu (ví dụ các xi) nhưng không phụ thuộc vào các giá trị yi. Như đã đề cập trong phần 1.5.2, có thể tính hai phương sai cho mỗi tham số: phương sai nội s(aj,2) và phương sai ngoại s(aj,1). Hai phương sai này liên hệ với nhau theo công thức: 2 2 2 s(aj,1) = R .s(aj,2) (1.69) với mọi j ta có: 1 1  2 =  2 = å w [y - f (x )]2 . R - - i i i n m n m i 39
40. 2 Độ lớn của  R cung cấp thông tin về sự phù hợp của hàm f(x) với tập số liệu (xi,yi), giá 2 2 trị mong đợi của  R là 1. Nếu giá trị  R lớn hơn 1 thì độ tin cậy của yi cần phải được xem 2 2 xét lại. Nếu  R bằng 1 thì kết quả khớp được chấp nhận.  R được sử dụng nhiều hơn giá 2 trị phương sai nội và phương sai ngoại vì  R phụ thuộc vào yi còn phương sai ngoại phụ thuộc vào các điểm số liệu được khớp. Độ tin cậy của các đại lượng được suy ra từ các tham số aj được tính theo qui tắc truyền sai số (công thức 1.44). Ví dụ độ tin cậy của hàm f(x)= a1+a2x được tính đơn giản là căn bậc hai của: 2 var[f(x)] = var(a1) + x .var(a2) + 2.x.covar(a1, a2). (1.70) Một cách trực quan, trong trường hợp khớp đường thẳng hệ số covar sẽ âm nên làm giảm phương sai của hàm f(x). Cũng có thể chỉ ra rằng phương sai là cực tiểu tại “tâm” của các điểm số liệu và tăng đều theo mỗi hướng. Nếu các giả thuyết toán học đã đề cập ở đầu phần không đúng với các số liệu đang được xem xét thì cần sử dụng các phương pháp khác để xử lý. Hiệu ứng tương quan giữa các giá trị yi sẽ được thảo luận trong phần 4.2.1.3. Nếu một kết quả thực nghiệm có sai số trong cả yi và xi thì có thể tham khảo các nghiên cứu của Riggs và cộng sự (1978). 1.6.2 Khớp bình phương tối thiểu phi tuyến Phần trên đã trình bày cách xác định các tham số của một hàm tuyến tính, bây giờ ta sẽ trình bày tóm tắt về một số phương pháp được sử dụng để xác định các tham số của hàm phi tuyến. Các phương pháp phi tuyến được sử dụng trong hầu hết các quá trình xác định vị trí và diện tích đỉnh phổ. Ví dụ trường hợp f(x) là một hàm Gauss có dạng: - 2 (x a2 ) 2 = 2a3 f (x) a1e (1.71) các tham số cần phải xác định là biên độ a1, vị trí a2 và độ lệch chuẩn a3. Hoặc sự phụ thuộc của hoạt độ theo thời gian của một nguồn hỗn hợp: - -a2t a4t f(x)= a1e - a3e (1.72) trong đó a1 và a3 là các giá trị hoạt độ, a2 và a4 là các hằng số phân rã. Giống như trong trường hợp tuyến tính, giá trị “tốt nhất” của các tham số aj được xác định bằng cách cực tiểu hoá R2 theo phương trình (1.58). Tại R2 đạt cực tiểu, đạo hàm riêng theo các aj có giá trị bằng không. Khác với trường hợp tuyến tính là các đạo hàm này tạo ra một hệ các phương trình phức tạp không thể giải một cách đơn giản và đơn trị. Cách giải gần đúng và đơn giản là tìm một cách ngẫu nhiên trong khoảng không gian tham số các giá trị mà R2 là nhỏ nhất. Phương pháp tìm kiếm sẽ hiệu quả hơn khi f(x) là một hàm giải tích và có các đạo hàm xác định. Đơn giản nhất, có thể khai triển Taylor hàm f(x) trong khoảng không gian tham số, xác định điểm ban đầu a0trong không gian tham số và tính sự thay đổi của hàm f(x) tại điểm a0+δa. Khi đó: = 0 + df + df df + f(x,a) f(x,a ) å a j å å a j ak (1.73) j da j j k da j dak Nếu rút gọn chuỗi này ở gần đúng bậc nhất, biểu thức mới của f(x) là tuyến tính với 2 các tham số δaj. Thay thế biểu thức rút gọn này cho R (phương trình 1.58) bài toán trở về trường hợp bình phương tối thiểu tuyến tính. Khi đó: é ù 2 df R 2 = å w ê y - f (x ;a0 ) - å d a ú i ê i i da j ú i ë j j û (1.74) là một hàm của các δaj 40
41. dR2 = 0 d(d a ) j (1.75) Vì các hệ số đạo hàm bậc cao trong phương trình (1.73) đã bị bỏ qua nên không thu được cực tiểu của R2 theo phương trình (1.58) theo cách giải này. Để chính xác hơn ta phải thay a0 bằng a0+δa và lặp lại quá trình tính. Trên thực tế, quá trình lặp được tiến hành đến khi đạt giá trị gần với điểm cực tiểu xác định nào đó. Các nhà phân tích đưa ra một tiêu chuẩn hội tụ, quá trình lặp kết thúc khi các δaj đạt giá trị nhỏ hơn một giá trị cho -4 với mọi j. Quá trình lặp này chỉ được thực hiện nếu 10>׀aj׀/׀δaj׀ trước. Ví dụ qui định điểm ban đầu trong không gian tham số là “gần” hay “trong tầm” cực tiểu. Nếu trong không gian tham số tồn tại một số cực trị địa phương, quá trình lặp cũng có thể hội tụ tại các giá trị này. Phương pháp lặp hiệu quả và tin cậy hơn là tìm các khoảng sai phân theo hướng δa. Giá trị R2 được đánh giá tại điểm a0+α.δa với một số giá trị α và chọn α có R2 bé nhất. Vì thế R2 có thể được đánh giá nhanh hơn so với đánh giá theo từng hướng, sự tối ưu hoá độ dài của bước sẽ tiết kiệm thời gian tính của máy. Phương pháp khai triển Taylor, hoặc biến thể của nó sẽ hội tụ rất nhanh nếu các tham số ở “gần” các điểm cực tiểu của R2 khi f(x) là một hàm phù hợp, nhưng có thể rất chậm hoặc không hội tụ nếu a0 cách xa điểm cực tiểu. Để cải thiện tốc độ hội tụ của phương pháp khai triển Taylor, các phương pháp Levenberg (1944), Davidon (1959), Marquardt (1963), Fletcher và Powell (1963) đã được đề xuất. Các phương pháp này tập trung vào xác định sự thay đổi luân phiên của véc tơ tham số, chẳng hạn da thay đổi khoảng 900 với sự thay đổi của δa, và thường tiến nhanh hơn về điểm cực tiểu ngay từ đầu quá trình lặp. Bằng cách so sánh mức độ giảm của R2 theo hai hướng δa và da, quá trình có thể chọn một hướng tối ưu cho mỗi lần lặp. Độ tin cậy của các tham số aj thu được bằng độ tin cậy của các giá trị δaj trong lần lặp cuối cùng. Vì vậy, nó được tính từ ma trận nghịch đảo của lần lặp cuối như trong phần trước. Các phương pháp cải tiến không tạo hay nghịch đảo một ma trận. Vì vậy cần phải có một cách tính nhanh ma trận nghịch đảo để tính phương sai và hệ số tương quan. Giả thiết rằng hàm f(x) tồn tại các đạo hàm, chương trình máy tính sẽ tính các đạo hàm theo phương pháp số mà không cần tính theo phương pháp giải tích. Các đạo hàm được ước lượng bằng cách tính sự thay đổi của hàm f(x) ứng với một sự thay đổi nhỏ của từng tham số. Khi khớp các đỉnh bằng phương pháp bình phương tối thiểu, nếu số đếm yi trong mỗi kênh có giá trị nhỏ hơn 10, thì giá trị yi không được sử dụng để tính các trọng số wi. Khi đó cần sử dụng giá trị f (xi ) hoặc giá trị trung bình của số đếm trong vùng để tính trọng số. 1.6.3 Nội suy và làm trơn số liệu Một vấn đề mà người làm thí nghiệm đôi khi gặp phải là cần nội suy giá trị giữa các điểm số liệu (xi, yi) đã được làm trơn. Ví dụ giá trị hiệu suất của đầu dò, hệ số suy giảm của photon hoặc hệ số biến hoán trong từ các tính toán lý thuyết. Trong các trường hợp này cần khớp số liệu và nội suy để tính các giá trị ở khoảng giữa. Nếu muốn hàm khớp đi qua một cách chính xác các điểm số liệu, số tham số của hàm khớp cần bằng với số điểm số liệu. Khi yêu cầu này được thoả mãn, quá trình khớp sẽ 2 = [ - ]2 = cho giá trị R å yi f (xi ) 0 . Chất lượng của quá trình khớp phải được đánh giá bằng sự quan sát cẩn thận đồ thị hàm f(x) để xác định rằng không có bất cứ độ cong 41
42. không phù hợp nào giữa các điểm số liệu. Trong trường hợp này, trọng số của các điểm số liệu là không có ý nghĩa vì từng số hạng của R2 không phụ thuộc vào trọng số. Một cách khác để tiếp cận vấn đề nội suy là phương pháp spline. Hàm nội suy là tổ hợp của các đa thức (thường là bậc ba), mỗi đa thức được xác định bằng một tập hợp các khoảng liên tục. Trong nội suy rời rạc spline bậc ba của Lyche (1976), các vùng ở giữa hai giá trị lân cận được chọn như các đoạn giữa, vì vậy các hàm khớp sẽ nối và đi qua từng giá trị. Nếu sử dụng số liệu đo thì sẽ xuất hiện các thăng giáng do tương quan thống kê của các điểm số liệu như hình 1.24a. Trong kỹ thuật làm trơn spline bậc ba của Duris (1977), các thăng giáng này bị loại trừ để thu được một đường trơn nhẵn như hình 1.24b. Bằng cách thay đổi tham số làm trơn, người sử dụng có thể quyết định là nội suy giữa các điểm lân cận hoặc làm trơn. 1.6.4 Chất lượng khớp số liệu Cách đánh giá chất lượng khớp đơn giản nhất là kiểm tra trực giác trên đồ thị giá trị của hàm f(x) cùng các điểm số liệu và các thanh sai số. Khi đó cần lựa chọn thang chia phù hợp để có thể quan sát dễ dàng. Hình 1.24. Khớp spline bậc ba số liệu hiệu suất tương đối: (a) không làm trơn; (b) có 42
43. làm trơn. Ngoài cách kiểm tra bằng trực giác, chất lượng khớp được đánh giá qua việc giảm giá 2 2 trị  R . Khi khớp bằng các hàm khác nhau trên cùng một tập số liệu, giá trị R sẽ là tiêu chí 2 để đánh giá chất lượng của các quá trình khớp và chọn hàm nội suy. Độ lớn của R là quan trọng, nhưng phải chú ý đến ý nghĩa của nó bởi vì các giá trị quá lớn hay quá nhỏ có thể chỉ ra rằng số liệu đưa vào khớp chưa được phù hợp. Nếu việc lựa chọn hàm khớp là 2 phù hợp nhưng giá trị R vẫn bất thường thì có thể có một số điểm số liệu không phù hợp, cần phải xem xét và loại bỏ các số liệu này ra khỏi tập số liệu. 2 Giá trị  R cũng có thể so sánh với các giá trị thu được từ lý thuyết thống kê. Khi đó cần giả thuyết: - Hàm giải tích được sử dụng là phù hợp với số liệu; có nghĩa là nếu số liệu càng chính xác thì sẽ càng gần với hàm này hơn; - Sai số của các điểm số liệu biểu diễn một cách chính xác sai số thống kê ở mức độ lệch chuẩn. Nếu có n điểm số liệu và m biến số, số bậc tự do là v = n - m. Từ lý thuyết, ta thu được biểu thức xác suất phân bố p(χ2,v) của giá trị χ2 tại số bậc tự do v. Tích phân của phân bố này từ χ2 đến vô cùng ¥ P( 2 ,v) = ò p(w2 ,v)d(w2 ) (1.76)  2 là xác suất thu được giả thuyết trên. Bảng 1.7 trình bày một số giá trị χ2 của Bevington (1969). Với cột P(χ2,v) = 0.5 các giá trị đều gần bằng 1.0 ngoại trừ các trường hợp có số 2 bậc tự do bé. Điều này có nghĩa là R có xác xuất gần 50% là nhỏ hơn 1.0 và 50% là lớn 2 » hơn 1.0. Trong phần trước ta đã đề cập quá trình khớp có R 1.0 là một quá trình khớp 2 tốt. Với giá trị R = 2.0 theo giả thuyết ở trên là một quá trình khớp tồi. Với số bậc tự do 2 bằng 10, xác suất để  R lớn hơn 2.0 là khoảng 3% và thậm chí ngay cả với một bậc tự do, 2 thì chỉ có 15% khả năng có giá trị lớn hơn. Khi thu được một giá trị R có xác suất thấp, cần phải xem xét khả năng số liệu có thể không hợp với hàm giải tích được chọn, hoặc do các sai số được xác định không đúng. Nếu chỉ so sánh giữa các hàm thì điều này có thể không quan trọng nhưng nếu giả thuyết rằng ta đang sử dụng một hàm giải tích đúng thì điều này là quan trọng. 2 2 Bảng 1.7. Xác suất P(χ ,v) vượt quá giá trị  R với một số bậc tự do ν (Bevington 1969). v P=0.99 0.95 0.90 0.80 0.60 0.50 0.40 0.20 0.10 0.05 0.01 0.001 1 0.00016 0.0039 0.016 0.064 0.275 0.455 1.708 1.64 2.71 3.84 6.64 10.83 2 0.0100 0.0515 0.105 0.223 0.511 0.693 1.916 1.61 2.30 3.00 4.60 6.91 3 0.0383 0.117 0.195 0.335 0.623 0.789 1.982 1.55 2.08 2.60 3.78 5.42 4 0.0742 0.178 0.266 0.412 0.688 0.839 1.011 1.50 1.94 2.37 3.32 4.62 5 0.111 0.229 0.322 0.469 0.731 0.870 1.026 1.46 1.85 2.21 3.02 4.10 6 0.145 0.273 0.367 0.512 0.762 0.891 1.035 1.43 1.77 2.10 2.80 3.74 7 0.177 0.310 0.405 0.546 0.785 0.907 1.040 1.40 1.72 2.01 2.64 3.48 8 0.206 0.342 0.436 0.574 0.803 0.918 1.044 1.38 1.67 1.94 2.51 3.27 9 0.232 0.369 0.463 0.598 0.817 0.927 1.046 1.36 1.63 1.88 2.41 3.10 10 0.256 0.394 0.487 0.618 0.830 0.934 1.047 1.34 1.60 1.83 2.32 2.96 15 0.349 0.484 0.570 0.687 0.869 0.956 1.049 1.29 1.49 1.67 2.04 2.51 20 0.413 0.543 0.622 0.729 0.890 0.967 1.048 1.25 1.42 1.57 1.88 2.27 30 0.498 0.616 0.687 0.779 0.915 0.978 1.044 1.21 1.34 1.46 1.70 1.99 50 0.594 0.695 0.754 0.829 0.937 0.987 1.038 1.16 1.26 1.35 1.52 1.73 43
44. 100 0.701 0.779 0.824 0.879 0.958 0.993 1.029 1.12 1.18 1.24 1.36 1.49 2 Bảng 1.8. Các trọng số trung bình của hai tập số liệu minh họa việc sử dụng  R để đánh giá quá trình khớp. Tập hợp 1 Tập hợp 2 Số dư trọng số 105 ± 5 105 ± 5 0.71 120 ± 15 120 ± 15 1.24 90 ± 20 90 ± 20 -0.57 100 ± 7 100 ± 7 -0.20 95 ± 5 95 ± 5 -1.29 110 ± 2 110 ± 2 4.29 85 ± 8 85 ± 8 -2.05 98 ± 4 98 ± 4 -0.86 102 ± 5 102 ± 5 0.11 95 ± 2 95 ± 2 -3.21 Trọng số trung bình 100.6 101.4 Phương sai nội 1.3 1.2 2  R 1.23 4.2 Phương sai ngoại 1.5 2.4 2 Nếu  R bé hơn nhiều so với 1.0 sai số có thể là quá lớn hoặc có thể có sai số chung. Một sai số chung như vậy phải được loại bỏ vì nó không tương quan với các điểm số liệu. Sai số chung có thể là sai số của một hệ số chuẩn. Nếu các giá trị yi liên hệ với nhau một cách phức tạp thì ta không thể loại bỏ sai số chung một cách đơn giản. Do đó, các mối tương quan cần phải được chú ý đến trong quá trình khớp. Xét các trung bình trọng số của hai tập số liệu trong bảng 1.8, trường hợp thứ nhất 2 2  R =1.23 ứng với 9 bậc tự do. Số liệu trong bảng 1.7 chỉ ra rằng có 25% xác suất  R có thể lớn hơn. Điều này chỉ ra sự phù hợp của các số liệu, nghĩa là không có lý do gì để nghi ngờ các giá trị riêng lẻ và các sai số của chúng. Trung bình trọng số cùng với phương sai 2 ngoại có giá trị 100.6(15). Với tập số liệu thứ hai  R =4.2, bảng 1.7 chỉ ra rằng xác suất để có một giá trị lớn hơn là nhỏ hơn 0.1% rất nhiều. Để phân tích các nguyên nhân làm tăng 2 χ R ta có thể xem các số dư trong bảng. Rõ ràng nguyên nhân chủ yếu là do đóng góp từ hai giá trị có sai số nhỏ nhất là 110(2) và 95(2), nhưng chúng không tương quan với nhau. Để hiểu thêm về trường hợp này ta có thể chọn và xử lý các giá trị trung bình. Khi 2 2 bỏ bớt giá trị 110(2), R =1.21 và khi bỏ bớt giá trị 95(2), R =2,75. Ngoài việc loại bỏ các giá trị này, các cố gắng để thu được giá trị trung bình tốt nhất đòi hỏi một số quyết định 2 phức tạp. Vì giá trị 110(2) đóng góp lớn nhất vào R , sau khi bỏ qua giá trị này ta sẽ có một tập số liệu phù hợp. Tuy nhiên, trong thực tế giá trị này có thể là giá trị tốt nhất, khi đó phải sử dụng một quá trình phán đoán phức tạp hơn. Giả sử ta có hai phán đoán sau đây: - Hai giá trị không tương thích đã được đo tốt và ta mong muốn thu được cả hai, - Sai số của hai giá trị này là không phù hợp và có thể nằm dưới ước lượng. Bây giờ sai số của các giá trị này được tăng một lượng tỉ lệ với số dư trọng số của chúng như sau: giá trị 110(4) và 95(3). Với hai giá trị mới này, trung bình trọng số là 99.6 2 ứng với R =1.88 phương sai nội là 1.6 và phương sai ngoại là 2.2. Từ phương sai ngoại, 44
45. 2 giá trị trung bình cuối cùng có thể là 99.6(22). Như vậy chỉ còn 5% xác suất R cho một giá trị lớn hơn, vì thế ta có thể chọn để tăng thêm nữa hai sai số này. Qua trên ta thấy giá 2 trị R là một công cụ quan trọng để xem xét đánh giá lại số liệu và sự tương quan. 2 Trong phân tích phổ gamma, một số tác giả cho rằng R không phải là đại lượng tốt nhất để đánh giá chất lượng khớp khi phân tích các đỉnh trong phổ gamma. Quan điểm này cho rằng quá trình khớp chỉ tốt đối với các kênh có giá trị số đếm lớn. Ngược lại, họ thấy rằng các sai số nhỏ nhất được quy định bởi các kênh có số đếm phông bé nhất và phông chính là nguyên nhân ảnh hưởng lớn đến kết quả (Balian và Eddy (1977), Misra và Eddy (1979), Aarnio (1981)). 45
46. Chương 2. Thiết lập thực nghiệm Các thành phần thiết bị cơ bản trong đo phổ tia X và γ là đầu dò, các khối điện tử và nguồn phôtôn. Trong chương này ta mô tả ba phần này, cách bố trí nguồn - đầu dò và giới thiệu một số phép đo kiểm tra. 2.1 Đầu dò 2.1.1 Đặc điểm chung của đầu dò phôtôn Quá trình phát hiện và đo của các đầu dò phôtôn hiện đại dựa vào một loạt các bước giống nhau. Ta sẽ mô tả đặc điểm chung của các bước này để hiểu tại sao các loại đầu dò khác nhau thì có đặc điểm vận hành khác nhau. Các đầu dò được trình bày ở đây gồm đầu dò khí, đầu dò nhấp nháy NaI(Tl), đầu dò Ge(Li), đầu dò Ge siêu tinh khiết và đầu dò bán dẫn Si(Li). Rất nhiều các đầu dò trong số này cũng được dùng để đo electrôn và các hạt mang điện nặng, nhưng ở đây sẽ giới hạn ở việc đo phôtôn. Các thảo luận rộng hơn về đặc điểm của các đầu dò sẽ được giới thiệu trong quyển sách của Knoll (1979) và các tài liệu chuyên khảo khác. Hoạt động của các đầu dò này như sau: - Thứ nhất, chuyển năng lượng phôtôn thành động năng của các electrôn (và pôsitrôn) bằng hấp thụ quang điện, tán xạ compton hoặc tạo cặp; - Thứ hai, tạo các cặp ion-electrôn, electrôn-lỗ trống hoặc các phân tử bị kích thích bằng các electrôn này; - Thứ ba, thu góp và đo các hạt mang điện hoặc ánh sáng phát ra khi các phân tử khử kích thích. Trước khi xem xét các đầu dò khác nhau, ta cần chú ý đến các đặc điểm mà ta muốn so sánh. Như đã nói ở phần 1.1, phổ phôtôn phát ra từ một nguồn thường được tạo thành từ một số nhóm phôtôn, mỗi nhóm có một năng lượng xác định. Đầu dò sẽ đổi các vạch phổ thành một tổ hợp các vạch và các thành phần liên tục. Các vạch quan sát được có thể được sử dụng để xác định năng lượng và cường độ của các phôtôn ban đầu. Khả năng tạo ra các đỉnh ứng với các phôtôn đơn năng của đầu dò được đặc trưng bằng độ phân giải (FWHM) và hiệu suất đỉnh. Độ phân giải là độ rộng tại nửa chiều cao của đỉnh, đơn vị tính bằng keV. Hiệu suất đỉnh của đầu dò là tỉ lệ giữa số đếm thu được tương ứng với sự hấp thụ hoàn toàn năng lượng phôtôn (đỉnh năng lượng toàn phần) và số các phôtôn ứng với năng lượng đó do nguồn phát ra. Độ rộng và hiệu suất đỉnh là các hàm phụ thuộc năng lượng của phôtôn. Trong quá trình đầu tiên, tỉ trọng của vật liệu, số nguyên tử và thể tích của đầu dò là quan trọng. Nếu đầu dò làm bằng vật liệu có tỉ trọng thấp, số Z thấp và thể tích nhỏ thì xác suất để một phôtôn xảy ra tương tác với đầu dò sẽ thấp, do đó khả năng giữ lại toàn bộ năng lượng phôtôn trong đầu dò sẽ thấp. Một đầu dò như vậy chỉ có thể đo các phôtôn năng lượng thấp. Với các phôtôn có năng lượng cao, các vạch đơn năng có thể bị mất và chỉ quan sát được một dải liên tục. Vì thế, các đầu dò làm bằng vật liệu tỉ trọng thấp, số Z thấp và thể tích nhỏ có thể dùng làm máy đếm số phôtôn có mặt nhưng rất hạn chế trong đo phổ năng lượng. Một ống đếm khí tiêu biểu là buồng ion hoá, nó gồm một thể tích khí và một điện trường đặt lên. Thể tích khí thường có dạng hình trụ, đường kính khoảng 2 hoặc 3 cm, chất khí sử dụng có thể là mêtan hoặc hỗn hợp mêtan-agon. Một điện cực là vỏ buồng và đầu kia là một dây kim loại nằm dọc theo hình trụ. Các đầu dò này sử dụng vật liệu tỉ trọng thấp và có độ dày vừa phải nên có hiệu suất thấp khi đo phôtôn và xác suất hấp thụ 46