Giáo trình Đại số tuyến tính

Nội dung text: Giáo trình Đại số tuyến tính

1. MU. C LU. C Mu. c lu. c 1 L`o.i n´oi d¯ˆa`u 4 . . . Chuong 0: Kiˆe´n th´uc chuˆa’n bi. 7 . §1. Tˆa.p ho. p . 7 §2. Quan hˆe. v`a Anh´ xa. 11 . . . . §3. Lu. c luo. ng cu’a tˆa.p ho. p . 15 §4. Nh´om,V`anhv`aTru.`o.ng . 18 . . . §5. Tru`ong sˆo´ thu. c . 26 §6. Tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c . 29 §7. D- a th´u.c . 35 B`aitˆa.p 40 Chu.o.ng I: Khˆonggian v´ecto. 45 . §1. Kh´ainiˆe.m khˆonggian v´ecto 45 §2. D- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhv`aphu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3. Co. so’. v`a sˆo´ chiˆe` u cu’a khˆonggian v´ecto. 56 . §4. Khˆonggian con - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe. v´ecto 63 . §5. Tˆo’ng v`atˆo’ng tru. c tiˆe´p 66 §6. Khˆonggian thu.o.ng . 69 B`aitˆa.p 72 . . Chuong II: Ma trˆa.n v`a Anh´ xa. tuyˆe´n t´ınh 77 §1. Ma trˆa.n 77 §2. Anh´ xa. tuyˆe´n t´ınh 83 §3. Ha.t nhˆanv`aa’nh cu’a d¯ˆo`ng cˆa´u 94 §4. Khˆonggian v´ecto. d¯ˆo´i ngˆa˜u 99 B`aitˆa.p 105 1
2. . . . . . Chuong III: D- .inh th´uc v`ahˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 §1. C´acph´epthˆe´ 113 . §2. D- .inh th´uc cu’a ma trˆa.n 116 §3. Anh´ xa. d¯atuyˆe´n t´ınhthay phiˆen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 . . §4. D- .inh th´uc cu’a tu. d¯ˆo`ng cˆa´u 125 . . §5. C´act´ınhchˆa´t sˆauhon cu’a d¯i.nh th´uc 128 . §6. D- .inh th´uc v`aha.ng cu’a ma trˆa.n 135 . . §7. Hˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınh- Quy t˘a´c Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 . . . . . §8. Hˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınh- Phuong ph´apkhu’ Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 139 . . §9. Cˆa´u tr´ucnghiˆe.m cu’a hˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 B`aitˆa.p 146 . . . Chuong IV: Cˆa´u tr´uccu’a tu. d¯ˆo`ng cˆa´u 155 . §1. V´ecto riˆengv`agi´atri. riˆeng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 . . . §2. Khˆonggian con ˆo’n d¯i.nh cu’a c´actu. d¯ˆo`ng cˆa´u thu. c v`aph´uc . . . . . . . . . . . 161 . . . §3. Tu. d¯ˆo`ng cˆa´u ch´eoho´ad¯uo. c 164 . §4. Tu. d¯ˆo`ng cˆa´u lu˜ylinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 . §5. Ma trˆa.n chuˆa’n Jordan cu’a tu. d¯ˆo`ng cˆa´u 172 B`aitˆa.p 179 Chu.o.ng V: Khˆonggian v´ecto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 §1. Khˆonggian v´ecto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 . §2. Anh´ xa. tru. cgiao 201 . . §3. Ph´epbiˆe´n d¯ˆo’i liˆenho. p v`aph´epbiˆe´n d¯ˆo’i d¯ˆo´i x´ung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 §4. V`ain´etvˆe` khˆonggian Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 B`aitˆa.p 225 . . . . Chuong VI: Da.ng song tuyˆe´n t´ınhv`ada.ng to`anphuong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 . . §1. Kh´ainiˆe.m da.ng song tuyˆe´n t´ınhv`ada.ng to`anphuong . . . . . . . . . . . . . . . 234 . . . §2. D- ua da.ng to`anphuong vˆe` da.ng ch´ınht˘a´c 237 2
3. . . §3. Ha.ng v`aha.ch cu’a da.ng to`anphuong 244 §4. Chı’ sˆo´ qu´ant´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 . . §5. Da.ng to`anphuong x´acd¯i.nh dˆa´u 252 B`aitˆa.p 254 . . Chuong VII: D- a.i sˆo´ d¯atuyˆe´n t´ınh 262 §1. T´ıch tenxo. . 263 §2. C´act´ınhchˆa´t co. ba’n cu’a t´ıch tenxo. . 267 . §3. D- a.i sˆo´ tenxo . 270 . §4. D- a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´ung 275 §5. D- a.i sˆo´ ngo`ai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 B`aitˆa.p 290 T`ailiˆe.u tham kha’o 292 3
4. . LO` INOI´ D- `Aˆ U . . . Theo d`ongli.ch su’ , mˆon -Da. i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh kho’ i d¯ˆa`u v´oi viˆe.c gia’i v`abiˆe.n luˆa.n . . c´achˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınh.Vˆe` sau, d¯ˆe’ c´othˆe’ hiˆe’u thˆa´u d¯´aocˆa´u tr´uccu’a tˆa.p . . . . nghiˆe.m v`ad¯iˆe` u kiˆe.n d¯ˆe’ mˆo.t hˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınhc´onghiˆe.m, ngu`oi ta xˆay . . . . . . . . du. ng nh˜ung kh´ainiˆe.m tr`uu tuo. ng hon nhu khˆonggian v´ecto v`a´anhxa. tuyˆe´n t´ınh. . . . Ngu`oi ta c˜ungc´onhu cˆa`u kha’o s´atc´ackhˆonggian v´oi nhiˆe` u thuˆo.c t´ınhh`ınhho.c . . . . . . . hon, trong d¯´oc´othˆe’ d¯od¯ˆo. d`aicu’a v´ecto v`ag´ocgi˜ua hai v´ecto. Xa hon, hu´ong . . . . . nghiˆenc´uu n`aydˆa˜n t´oi b`aito´anphˆanloa.i c´acda.ng to`anphuong, v`atˆo’ng qu´athon . . . phˆanloa.i c´actenxo, du´oi t´acd¯ˆo.ng cu’a mˆo.t nh´omcˆa´u tr´ucn`aod¯´o. . . . . Ng`aynay, D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c ´ung du. ng v`aoh`angloa.t l˜ınhvu. c kh´acnhau, . . . . t`u Gia’i t´ıch t´oi H`ınhho.c vi phˆanv`aL´ythuyˆe´t biˆe’u diˆe˜n nh´om,t`u Co ho.c, Vˆa.t l´y . . . . t´oi K˜ythuˆa.t V`ıthˆe´, n´od¯˜atro’ th`anhmˆo.t mˆonho.c co so’ cho viˆe.c d¯`aota.o c´ac gi´aoviˆentrung ho.c, c´acchuyˆengia bˆa.c d¯a.i ho.c v`atrˆend¯a.i ho.c thuˆo.c c´acchuyˆen . . . ng`anhkhoa ho.c co ba’n v`acˆongnghˆe. trong tˆa´t ca’ c´actru`ong d¯a.i ho.c. . . D- ˜ac´oh`angtr˘amcuˆo´n s´ach vˆe` D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c xuˆa´t ba’n trˆento`anthˆe´ . . . gi´oi. Ch´ungtˆoinhˆa.n thˆa´y c´ohai khuynh hu´ong chu’ yˆe´u trong viˆe.c tr`ınhb`aymˆon ho.c n`ay. . . . . . Khuynh hu´ong th´u nhˆa´t b˘a´t d¯ˆa`u v´oi c´ackh´ainiˆe.m ma trˆa.n, d¯i.nh th´uc v`ahˆe. . . . . . . . . phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınh,rˆo`i d¯it´oi c´ackh´ainiˆe.m tr`uu tuo. ng hon nhu khˆonggian . . . . v´ecto v`a´anhxa. tuyˆe´n t´ınh. Khuynh hu´ong n`ay dˆe˜ tiˆe´p thu. Nhung n´okhˆongcho . . . ph´eptr`ınhb`ayl´ythuyˆe´t vˆe` d¯i.nh th´uc v`ahˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınhb˘a`ng mˆo.t . ngˆonng˜u cˆod¯o.ng v`ad¯e.p d¯˜e. . . . . Khuynh hu´ong th´u hai tr`ınhb`ayc´ackh´ainiˆe.m khˆonggian v´ecto v`a´anhxa. . . . . . tuyˆe´n t´ınhtru´oc, rˆo`i ´apdu. ng v`aokha’o s´atd¯i.nh th´uc v`ahˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n . . . t´ınh.Uu d¯iˆe’m cu’a phuong ph´apn`ayl`a d¯ˆe` cao ve’ d¯e. p trong t´ınhnhˆa´t qu´anvˆe` cˆa´u . . . . . . tr´uc cu’a c´acd¯ˆo´i tuo. ng d¯uo. c kha’o s´at.Nhuo. c d¯iˆe’m cu’a n´ol`akhi x´ett´ınhd¯ˆo.c lˆa.p 4
5. . . . tuyˆe´n t´ınhv`aphu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh,thˆa.t ra ngu`oi ta d¯˜apha’i d¯ˆo´i m˘a.t v´oi viˆe.c gia’i . . hˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınh. C´ach tr`ınhb`ayn`aoc˜ungc´oc´ail´ycu’a n´o.Theo kinh nghiˆe.m cu’a ch´ungtˆoith`ı . . . . . nˆencho.n c´ach tr`ınhb`ayth´u hai cho c´acsinh viˆenc´okha’ n˘angtu duy tr`uu tuo. ng . . . . . . tˆo´t hon v`ac´omu. c d¯´ıch hu´ong t´oi mˆo.t m˘a.t b˘a`ng kiˆe´n th´uc cao hon vˆe` to´an. . . Cuˆo´n s´ach n`ayd¯uo. c ch´ungtˆoibiˆensoa.n nh˘a`m mu. c d¯´ıch l`am gi´aotr`ınh v`a s´ach . tham kha’o cho sinh viˆen,sinh viˆencao ho.c v`anghiˆenc´uu sinh c´acng`anhkhoa ho.c . . . . . tu. nhiˆenv`acˆongnghˆe. cu’a c´actru`ong d¯a.i ho.c khoa ho.c tu. nhiˆen,d¯a.i ho.c su pha.m . . . . v`a d¯a.i ho.c k˜ythuˆa.t. Cuˆo´n s´ach d¯uo. c viˆe´t trˆenco so’ c´ac b`aigia’ng vˆe` D- a.i sˆo´ tuyˆe´n . . t´ınhcu’a tˆoitrong nhiˆe` u n˘amcho sinh viˆenmˆo.t sˆo´ khoa cu’a tru`ong D- a.i ho.c Tˆo’ng . . . . . ho. p (nay l`aD- a.i ho.c khoa ho.c Tu. nhiˆen)H`aNˆo.i v`acu’a mˆo.t sˆo´ tru`ong d¯a.i ho.c su pha.m. D- ˘a.c biˆe.t, tˆoid¯˜agia’ng gi´aotr`ınhn`aytrong 3 n˘amho.c 1997-1998, 1998-1999, . . . 1999-2000 cho sinh viˆenc´acng`anhTo´an,Co, L´y,Ho´a,Sinh, D- .ia chˆa´t, Kh´ıtuo. ng . . . thuy’ v˘an cu’a Chuong tr`ınhd¯`aota.o Cu’ nhˆan khoa ho.c t`ain˘ang,D- a.i ho.c khoa . ho.c Tu. nhiˆenH`aNˆo.i. . . . . . Ch´ungtˆoicho.n khuynh hu´ong th´u hai trong hai khuynh hu´ong tr`ınhb`ayd¯˜a n´oio’. trˆen.Tˆa´t nhiˆen,v´o.i d¯ˆoich´utthay d¯ˆo’i, cuˆo´n s´ach n`ayc´othˆe’ d`ungd¯ˆe’ gia’ng . . . D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınhtheo khuynh hu´ong tr`ınhb`ayth´u nhˆa´t. . . . . . . Tu tuo’ ng cˆa´u tr´uc d¯uo. c ch´ungtˆoinhˆa´n ma.nh nhu mˆo.t ma.ch ch´ınhcu’a cuˆo´n . . . . . . . . s´ach. Mˆo˜i d¯ˆo´i tuo. ng d¯ˆe` u d¯uo. c nghiˆenc´uu trong mˆo´i tuong quan v´oi nh´omc´ac . . . ph´epbiˆe´n d¯ˆo’i ba’o to`ancˆa´u tr´uccu’a d¯ˆo´i tuo. ng d¯´o:Kha’o s´atkhˆonggian v´ecto g˘a´n liˆe` n v´o.i nh´omtuyˆe´n t´ınhtˆo’ng qu´at GL(n, K), khˆonggian v´ecto. Euclid v`akhˆong . . . . . . gian v´ecto Euclid d¯i.nh hu´ong g˘a´n liˆe` n v´oi nh´omtru. c giao O(n) v`anh´omtru. c giao . d¯˘a.c biˆe.t SO(n), khˆonggian Unita g˘a´n liˆe` n v´oi nh´omunita U(n) Kˆe´t qua’ phˆan . . . . loa.i c´acda.ng to`anphuong phu. thuˆo.c c˘anba’n v`aoviˆe.c qu´atr`ınhphˆanloa.i d¯uo. c . . . tiˆe´n h`anhdu´oi t´acd¯ˆo.ng cu’a nh´omn`ao(tuyˆe´n t´ınhtˆo’ng qu´at,tru. c giao ). Theo kinh nghiˆe.m, ch´ungtˆoikhˆongthˆe’ gia’ng hˆe´t nˆo.i dung cu’a cuˆo´n s´ach n`ay . . trong mˆo.t gi´aotr`ınhtiˆeuchuˆa’n vˆe` D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınhcho sinh viˆenc´actru`ong d¯a.i 5
6. . ho.c, ngay ca’ d¯ˆo´i v´oi sinh viˆenchuyˆenng`anhto´an.C´acchu’ d¯ˆe` vˆe` da. ng chuˆa’n t˘a´c . . . . Jordan cu’a tu. d¯ˆo`ng cˆa´u, da. ng ch´ınht˘a´c cu’a tu. d¯ˆo`ng cˆa´u tru. c giao, viˆe. c d¯ua d¯ˆo`ng . . . . . th`oi hai da. ng to`anphuong vˆe` da. ng ch´ınht˘a´c, d¯a. i sˆo´ tenxo, d¯a. i sˆo´ d¯ˆo´i x´ung v`ad¯a. i . sˆo´ ngo`ai nˆend`ungd¯ˆe’ gia’ng chi tiˆe´t cho c´ac sinh viˆencao ho. c v`anghiˆenc´uu sinh . c´acng`anhTo´an,Co ho.c v`aVˆa.t l´y. . Ch´ungtˆoicˆo´ g˘a´ng b`ınhluˆa.n ´yngh˜ıacu’a c´ackh´ainiˆe.m v`auu khuyˆe´t d¯iˆe’m . . . . . . cu’a c´acphuong ph´apd¯uo. c tr`ınh b`ay. Cuˆo´i mˆo˜i chuong d¯ˆe` u c´ophˆa`n b`aitˆa.p, . . . d¯uo. c tuyˆe’n cho.n chu’ yˆe´u t`u cuˆo´n s´ach nˆo’i tiˆe´ng “B`aitˆa.p D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh”cu’a . . I. V. Proskuryakov. D- ˆe’ n˘a´m v˜ung kiˆe´n th´uc, d¯ˆo.c gia’ nˆend¯o.c rˆa´t k˜yphˆa`n l´ythuyˆe´t . . . . tru´oc khi l`amc`angnhiˆe` u c`angtˆo´t c´acb`aitˆa.p cuˆo´i mˆo˜i chuong. . . . . Viˆe.c su’ du. ng cuˆo´n s´ach n`ays˜ed¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n lo. i nˆe´u ngu`oi d¯o.c coi n´ol`aphˆa`n . . mˆo.t cu’a mˆo.t bˆo. s´ach m`aphˆa`n hai cu’a n´ol`acuˆo´n -Da. i sˆo´ d¯a. i cuong cu’a c`ungt´ac gia’, do Nh`axuˆa´t ba’n Gi´aodu. c H`aNˆo.i ˆa´n h`anhn˘am1998 v`at´aiba’n n˘am1999. . . . . T´acgia’ chˆanth`anhca’m on Ban d¯iˆe` u h`anhChuong tr`ınhd¯`aota.o Cu’ nhˆankhoa . . ho.c t`ain˘ang,D- a.i ho.c Khoa ho.c tu. nhiˆenH`aNˆo.i, d¯˘a.c biˆe.t l`aGi´aosu D- `amTrung . . D- `ˆon v`aGi´aosu Nguyˆe˜n Duy Tiˆe´n, d¯˜ata.o mo.i d¯iˆe` u kiˆe.n thuˆa.n lo. i d¯ˆe’ t´acgia’ gia’ng . . da.y cho sinh viˆencu’a Chuong tr`ınhtrong ba n˘amqua v`aviˆe´t cuˆo´n s´ach n`aytrˆen co. so’. nh˜u.ng b`aigia’ng d¯´o. . . . . T´acgia’ mong nhˆa.n d¯uo. c su. chı’ gi´aocu’a c´acd¯ˆo.c gia’ v`ad¯ˆo`ng nghiˆe.p vˆe` nh˜ung thiˆe´u s´otkh´otr´anhkho’i cu’a cuˆo´n s´ach. H`aNˆo.i, 12/1999 6
7. Chu.o.ng 0 ´ . ’ KIEˆN THU´ C CHUAˆN BI. . . . . . . Nhiˆe.m vu. cu’a chuong n`ayl`atr`ınhb`aydu´oi da.ng gia’n luo. c nhˆa´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´n . . th´uc chuˆa’n bi. cho phˆa`n c`onla.i cu’a cuˆo´n s´ach: Tˆa.p ho. p, quan hˆe., ´anhxa., nh´om, . . . . . . . . . . . v`anh,tru`ong, d¯ath´uc Tru`ong sˆo´ thu. c s˜ed¯uo. c xˆaydu. ng ch˘a.t ch˜eo’ §5. Nhung . . . . v`ıc´act´ınhchˆa´t cu’a n´orˆa´t quen thuˆo.c v´oi nh˜ung ai d¯˜aho.c qua chuong tr`ınhtrung . . . . ho.c phˆo’ thˆong,cho nˆench´ungta vˆa˜n n´oit´oi tru`ong n`aytrong c´acv´ıdu. o’ c´ac tiˆe´t §1 - §4. . 1 Tˆa.p ho. p . Trong tiˆe´t n`ay, ch´ungta tr`ınhb`ayvˆe` tˆa.p ho. p theo quan d¯iˆe’m cu’a “L´ythuyˆe´t tˆa. p . . ho. p ngˆaytho”. . . . Cu. thˆe’, tˆa.p ho. p l`amˆo.t kh´ainiˆe.m “nguyˆenthuy’”, khˆongd¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıa,m`a . . . . . . d¯uo. c hiˆe’u mˆo.t c´ach tru. c gi´acnhu sau: Mˆo.t tˆa. p ho. p l`a mˆo.t su. quˆ`an tu. c´acd¯ˆo´i . . . . . . . tuo. ng c´oc`ungmˆo.t thuˆo.c t´ınhn`aod¯´o;nh˜ung d¯ˆo´i tuo. ng n`ayd¯uo. c go.i l`ac´ac phˆa`n . . tu’ cu’a tˆa.p ho. p d¯´o.(Tˆa´t nhiˆen,mˆota’ n´oitrˆenkhˆongpha’i l`amˆo.t d¯i.nh ngh˜ıacu’a . . . tˆa.p ho. p, n´ochı’ diˆe˜n d¯a.t kh´ainiˆe.m tˆa.p ho. p qua mˆo.t kh´ainiˆe.m c´ove’ gˆa`n g˜uihon . . . l`a “quˆa`n tu. ”. Tuy vˆa.y, ba’n thˆankh´ainiˆe.m quˆa`n tu. la.i chua d¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıa.) . . . . . Ngu`oi ta c˜ungthu`ong go.i t˘a´t tˆa.p ho. p l`a“tˆa.p”. . . . D- ˆe’ c´omˆo.t sˆo´ v´ıdu. , ch´ungta c´othˆe’ x´ettˆa.p ho. p c´acsinh viˆencu’a mˆo.t tru`ong . . d¯a.i ho.c, tˆa.p ho. p c´acxe ta’i cu’a mˆo.t cˆongty, tˆa.p ho. p c´acsˆo´ nguyˆentˆo´ . . . . . . . C´actˆa.p ho. p thu`ong d¯uo. c k´yhiˆe.u bo’ i c´acch˜u in hoa: A, B, C, , X, Y, Z . . . . . . . . . . C´acphˆa`n tu’ cu’a mˆo.t tˆa.p ho. p thu`ong d¯uo. c k´yhi.ˆeu bo’ i c´acch˜u in thu`ong: . . a, b, c, , x, y, z D- ˆe’ n´oi x l`amˆo.t phˆa`n tu’ cu’a tˆa.p ho. p X, ta viˆe´t x ∈ X v`ad¯o.c l`a 7
8. . “x thuˆo.c X”. Tr´aila.i, d¯ˆe’ n´oi y khˆongl`aphˆa`n tu’ cu’a X, ta viˆe´t y 6∈ X, v`ad¯o.c l`a “y khˆongthuˆo.c X”. . . . . D- ˆe’ x´acd¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho. p, ngu`oi ta c´othˆe’ liˆe.t kˆetˆa´t ca’ c´acphˆa`n tu’ cu’a n´o. Ch˘a’ ng ha.n, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. . . . . . Ngu`oi ta c˜ungc´othˆe’ x´acd¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho. p bo’ i mˆo.t t´ınhchˆa´t d¯˘a.c trung P(x) n`ao . . . . . d¯´ocu’a c´acphˆa`n tu’ cu’a n´o.Tˆa.p ho. p X c´acphˆa`n tu’ x c´ot´ınhchˆa´t P(x) d¯uo. c k´y hiˆe.u l`a X = {x| P(x)}, ho˘a.c l`a X = {x : P(x)}. V´ıdu. : . N = {x| x l`asˆo´ tu. nhiˆen}, Z = {x| x l`asˆo´ nguyˆen }, Q = {x| x l`asˆo´ h˜u.u ty’}, . R = {x| x l`asˆo´ thu. c}. . . . . Nˆe´u mo.i phˆa`n tu’ cu’a tˆa.p ho. p A c˜ungl`amˆo.t phˆa`n tu’ cu’a tˆa.p ho. p X th`ıta n´oi . . A l`amˆo.t tˆa. p ho. p con cu’a X, v`aviˆe´t A ⊂ X. Tˆa.p con A gˆo`m c´acphˆa`n tu’ x cu’a X . . c´ot´ınhchˆa´t P(x) d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a A = {x ∈ X| P(x)}. . . . . . Hai tˆa.p ho. p X v`a Y d¯uo. c go.i l`a b˘a`ng nhau nˆe´u mˆo˜i phˆa`n tu’ cu’a tˆa.p ho. p n`ay . . . . . c˜ungl`amˆo.t phˆa`n tu’ cu’a tˆa.p ho. p kia v`anguo. c la.i, t´uc l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂ X. Khi d¯´ota viˆe´t X = Y . . . . . . . . . Tˆa.p ho. p khˆongch´ua mˆo.t phˆa`n tu’ n`aoca’ d¯uo. c k´yhiˆe.u bo’ i ∅, v`ad¯uo. c go.i l`a . . . . tˆa. p rˆo˜ng. Ta quy u´oc r˘a`ng ∅ l`atˆa.p con cu’a mo.i tˆa.p ho. p. Tˆa.p ho. p rˆo˜ng rˆa´t tiˆe.n . . . . lo. i, n´od¯´ongvai tr`onhu sˆo´ khˆong trong khi l`amto´anv´oi c´actˆa.p ho. p. 8
9. . . . . . C´ac ph´epto´anho. p, giao v`ahiˆe.u cu’a hai tˆa.p ho. p d¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıanhu sau. . Cho c´actˆa.p ho. p A v`a B. . . . . . . . Ho. p cu’a A v`a B d¯uo. c k´yhiˆe.u bo’ i A ∪ B v`a d¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıanhu sau A ∪ B = {x| x ∈ A ho˘a.c x ∈ B}. . . . . . . Giao cu’a A v`a B d¯uo. c k´yhiˆe.u bo’ i A ∩ B v`a d¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıanhu sau A ∩ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B}. . . . . . . Hiˆe.u cu’a A v`a B d¯uo. c k´yhiˆe.u bo’ i A \ B v`a d¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıanhu sau A \ B = {x| x ∈ A v`a x 6∈ B}. ⊂ \ . . . . Nˆe´u B A th`ı A B d¯uo. c go.i l`a phˆa`n b`u cu’a B trong A, v`ad¯uo. c k´yhiˆe.u l`a CA(B). . . C´acph´epto´anho. p, giao v`ahiˆe.u c´oc´act´ınhchˆa´t so cˆa´p sau d¯ˆay: . Kˆe´t ho. p: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Giao ho´an: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A. Phˆanphˆo´i: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Cˆongth´u.c De Morgan: X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B), X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B). . . . . Gia’ su’ Ai l`a mˆo.t tˆa.p ho. p v´oi mˆo˜i i thuˆo.c mˆo.t tˆa.p chı’ sˆo´ I (c´othˆe’ h˜uu ha.n hay . . { } . . . vˆoha.n). Khi d¯´o,ho. p v`agiao cu’a ho. tˆa.p ho. p Ai i∈I d¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıanhu sau: [ { | ∈ . } Ai = x x Ai v´oi mˆo.t i n`aod¯´otrong I , ∈ i\I { | ∈ . ∈ } Ai = x x Ai v´oi mo.i i I . i∈I . Ta c´oda.ng tˆo’ng qu´atcu’a cˆongth´uc De Morgan: [ \ X \ ( Ai) = (X \ Ai), ∈ ∈ i\I i[I X \ ( Ai) = (X \ Ai). i∈I i∈I 9
10. . . . Viˆe.c su’ du. ng qu´arˆo.ng r˜aikh´ainiˆe.m tˆa.p ho. p d¯˜adˆa˜n t´oi mˆo.t sˆo´ nghi.ch l´y.Mˆo.t trong sˆo´ d¯´ol`anghi.ch l´yCantor sau d¯ˆay. . . . . Ta n´oitˆa.p ho. p X l`a b`ınhthu`ong nˆe´u X 6∈ X. X´ettˆa.p ho. p . . X = {X| X l`atˆa.p b`ınhthu`ong}. . . Nˆe´u X ∈ X th`ıtheo d¯i.nh ngh˜ıacu’a X , n´ol`amˆo.t tˆa.p b`ınhthu`ong. Do d¯´o,theo . . d¯i.nh ngh˜ıatˆa.p b`ınhthu`ong, X 6∈ X . Tr´aila.i, nˆe´u X 6∈ X , th`ı X l`amˆo.t tˆa.p khˆong . . . . . . b`ınhthu`ong, v`ado d¯´o X ∈ X . Ca’ hai tru`ong ho. p d¯ˆe` u dˆa˜n t´oi mˆauthuˆa˜n. . . . . D- ˆe’ tr´anhnh˜ung nghi.ch l´yloa.i nhu vˆa.y, ngu`oi ta s˜ekhˆongd`ungkh´ainiˆe.m tˆa.p . . . . . . . ho. p d¯ˆe’ chı’ “nh˜ung thu. c thˆe’ qu´al´on”. Ta s˜en´oi “l´op tˆa´t ca’ c´actˆa. p ho. p”, ch´u . . . . khˆongn´oi “tˆa. p ho. p tˆa´t ca’ c´actˆa. p ho. p”. Theo quan niˆe.m n`ay X chı’ l`amˆo.t l´op ch´u . . . khˆongl`amˆo.t tˆa.p ho. p. V`ıthˆe´, ta tr´anhd¯uo. c nghi.ch l´yn´oitrˆen. . . . . . . . . Phˆa`n c`onla.i cu’a tiˆe´t n`ayd¯uo. c d`anhcho viˆe.c tr`ınhb`ayso luo. c vˆe` luo. ng t`u phˆo’ . . . biˆe´n v`aluo. ng t`u tˆo`n ta.i. . . . . Ta thu`ong cˆa`n pha’i ph´atbiˆe’u nh˜ung mˆe.nh d¯ˆe` c´oda.ng: “Mo. i phˆa`n tu’ x cu’a tˆa. p . . . . . . ho. p X d¯ˆe` u c´ot´ınhchˆa´t P(x)”. Ngu`oi ta quy u´oc k´yhiˆe.u mˆe.nh d¯ˆe` d¯´onhu sau: ∀x ∈ X, P(x). . . . D˜ayk´yhiˆe.u trˆend¯uo. c d¯o.c l`a “V´oi mo. i x thuˆo. c X, P(x)”. . . . . . K´yhiˆe.u ∀ d¯uo. c go.i l`a luo. ng t`u phˆo’ biˆe´n. . . . . Tuong tu. , ta c˜unghay g˘a.p c´acmˆe.nh d¯ˆe` c´oda.ng: “Tˆo`n ta. i mˆo. t phˆa`n tu’ x cu’a . . . . . X c´ot´ınhchˆa´t P(x)”. Mˆe.nh d¯ˆe` n`ayd¯uo. c quy u´oc k´yhiˆe.u nhu sau: ∃x ∈ X, P(x). . . D˜ayk´yhiˆe.u d¯´od¯uo. c d¯o.c l`a “Tˆo`n ta. i mˆo. t x thuˆo. c X, P(x)”. . . . . . K´yhiˆe.u ∃ d¯uo. c go.i l`a luo. ng t`u tˆo`n ta. i. . . . Mˆe.nh d¯ˆe` “Tˆo`n ta. i duy nhˆa´t mˆo. t phˆa`n tu’ x cu’a X c´ot´ınhchˆa´t P(x)” d¯uo. c viˆe´t nhu. sau: ∃!x ∈ X, P(x). 10
11. . . . . . . Luo. ng t`u phˆo’ biˆe´n v`aluo. ng t`u tˆ`on ta.i c´omˆo´i quan hˆe. quan tro.ng sau d¯ˆay. Go.i P l`a phu’ d¯i.nh cu’a mˆe.nh d¯ˆe` P. Ta c´o ∀x ∈ X, P(x) ≡ ∃x ∈ X, P(x), ∃x ∈ X, P(x) ≡ ∀x ∈ X, P(x). . . . . Ch´ungtˆoid¯ˆe` nghi. d¯ˆo.c gia’ tu. ch´ung minh nh˜ung kh˘a’ ng d¯i.nh trˆenxem nhu mˆo.t b`ai tˆa.p. 2 Quan hˆe. v`a Anh´ xa. . . . T´ıch tru. c tiˆe´p (hay t´ıch Descartes) cu’a hai tˆa.p ho. p X v`a Y l`atˆa.p ho. p sau d¯ˆay: X × Y = {(x, y)| x ∈ X, y ∈ Y }. . . . . . Tru`ong ho. p d¯˘a.c biˆe.t, khi X = Y , ta c´ot´ıch tru. c tiˆe´p X × X cu’a tˆa.p X v´oi ch´ınh n´o. . . . D- .inh ngh˜ıa2.1 Mˆo˜i tˆa.p con R cu’a tˆa.p ho. p t´ıch X × X d¯uo. c go.i l`amˆo.t quan hˆe. . hai ngˆoi trˆen X. Nˆe´u (x, y) ∈ R th`ıta n´oi x c´oquan hˆe. R v´oi y, v`aviˆe´t xRy. . . . Nguo. c la.i, nˆe´u (x, y) 6∈ R th`ıta n´oi x khˆongc´oquan hˆe. R v´oi y, v`aviˆe´t xRy. . Ch˘a’ ng ha.n, nˆe´u R = {(x, y) ∈ Z × Z| x chia hˆe´t cho y}, th`ı6R2, nhung 5R3. . . . . . . D- .inh ngh˜ıa2.2 Quan hˆe. hai ngˆoi R trˆen X d¯uo. c go.i l`amˆo.t quan hˆe. tuong d¯uong nˆe´u n´oc´oba t´ınhchˆa´t sau d¯ˆay: (a) Pha’n xa.: xRx, ∀x ∈ X. (b) D- ˆo´i x´u.ng: Nˆe´u xRy, th`ı yRx, ∀x, y ∈ X. (c) B˘a´c cˆa`u: Nˆe´u xRy, yRz, th`ı xRz, ∀x, y, z ∈ X. 11
12. . . . . . . . . . C´acquan hˆe. tuong d¯uong thu`ong d¯uo. c k´yhiˆe.u bo’ i dˆa´u ∼. . . . . . . . . . . Gia’ su’ ∼ l`amˆo.t quan hˆe. tuong d¯uong trˆen X. L´op tuong d¯uong theo quan hˆe. . . . . ∼ cu’a mˆo.t phˆa`n tu’ x ∈ X d¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıanhu sau: [x] = {y ∈ X| x ∼ y} ⊂ X. . . . . . . Bˆo’ d¯ˆe` 2.3 Gia’ su’ ∼ l`amˆo. t quan hˆe. tuong d¯uong. Khi d¯´o,v´oi mo. i x, y ∈ X, c´ac . . . l´op [x] v`a [y] ho˘a. c tr`ungnhau, ho˘a. c r`oi nhau (t´uc l`a [x] ∩ [y] = ∅). . . . Ch´ung minh: Gia’ su’ [x] ∩ [y] =6 ∅. Ta s˜ech´ung minh r˘a`ng [x] = [y]. Lˆa´y mˆo.t phˆa`n tu’. z ∈ [x] ∩ [y]. Ta c´o x ∼ z v`a y ∼ z. . . . . . . Do t´ınhd¯ˆo´i x´ung cu’a quan hˆe. tuong d¯uong, x ∼ z k´eotheo z ∼ x. Gia’ su’ t ∈ [x], t´u.c l`a x ∼ t. Do t´ınhb˘a´c cˆa`u, z ∼ x v`a x ∼ t k´eotheo z ∼ t. Tiˆe´p theo, . y ∼ z v`a z ∼ t k´eotheo y ∼ t. Ngh˜ıal`a t ∈ [y]. Nhu vˆa.y, [x] ⊂ [y]. Do vai tr`o . . . . . nhu nhau cu’a c´acl´op [x] v`a[y], ta c˜ungc´obao h`amth´uc nguo. c la.i, [y] ⊂ [x]. Vˆa.y [x] = [y]. 2 Theo bˆo’ d¯ˆe` n`ay, nˆe´u y ∈ [x] th`ı y ∈ [x] ∩ [y] =6 ∅, do d¯´o[x] = [y]. V`ıthˆe´, ta c´othˆe’ d`ungt`u. l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng d¯ˆe’ chı’ l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a bˆa´t k`yphˆa`n tu’. n`ao . . . . . . . . . trong l´op d¯´o.Mˆo˜i phˆa`n tu’ cu’a mˆo.t l´op tuong d¯uong d¯uo. c go.i l`amˆo.t d¯a. i biˆe’u cu’a l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng n`ay. . . . . . . . Dˆe˜ d`angthˆa´y r˘a`ng X l`aho. p r`oi ra.c cu’a c´acl´op tuong d¯uong theo quan hˆe. ∼. . . . . . . . (N´oic´ach kh´ac, X l`aho. p cu’a c´acl´op tuong d¯uong theo quan hˆe. ∼, v`ac´acl´op n`ay . . . . . . . . . . . r`oi nhau.) Ngu`oi ta c˜ungn´oi X d¯uo. c phˆanhoa.ch bo’ i c´acl´op tuong d¯uong. . . . . . . . . D- .inh ngh˜ıa2.4 Tˆa.p ho. p c´acl´op tuong d¯uong cu’a X theo quan hˆe. ∼ d¯uo. c go.i . . . . l`a tˆa. p thuong cu’a X theo ∼ v`ad¯uo. c k´yhiˆe.u l`a X/∼. . . . V´ıdu. 2.5 Gia’ su’ n l`amˆo.t sˆo´ nguyˆenduong bˆa´t k`y.Ta x´ettrˆentˆa.p X = Z quan hˆe. sau d¯ˆay: ∼ = {(x, y) ∈ Z × Z| x − y chia hˆe´t cho n}. 12
13. . . . . . . R˜o r`angd¯´ol`amˆo.t quan hˆe. tuong d¯uong. Hon n˜ua x ∼ y nˆe´u v`achı’ nˆe´u x v`a y c´o . . c`ungphˆa`n du trong ph´epchia cho n. V`ıthˆe´, Z/∼ l`amˆo.t tˆa.p c´od¯´ung n phˆa`n tu’ : Z/∼ = {[0], [1], , [n − 1]}. . . . . . . N´od¯uo. c go.i l`a tˆa. p c´acsˆo´ nguyˆenmodulo n, v`athu`ong d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a Z/n. . . . D- .inh ngh˜ıa2.6 Gia’ su’ ≤ l`a mˆo.t quan hˆe. hai ngˆoitrˆen X. N´od¯uo. c go.i l`amˆo.t . . quan hˆe. th´u tu. nˆe´u n´oc´oba t´ınhchˆa´t sau d¯ˆay: (a) Pha’n xa.: x ≤ x, ∀x ∈ X. (b) Pha’n d¯ˆo´i x´u.ng: Nˆe´u x ≤ y v`a y ≤ x th`ı x = y, ∀x, y ∈ X. (c) B˘a´c cˆa`u: Nˆe´u x ≤ y, y ≤ z, th`ı x ≤ z, ∀x, y, z ∈ X. . . . . . . . . Tˆa.p X d¯uo. c trang bi. mˆo.t quan hˆe. th´u tu. d¯uo. c go.i l`amˆo.t tˆa. p d¯uo. c s˘a´p. Nˆe´u . . . . x ≤ y, ta n´oi x d¯´ung tru´oc y, hay x nho’ hon ho˘a.c b˘a`ng y. . . . . Ta n´oi X d¯uo. c s˘a´p to`anphˆa`n (hay tuyˆe´n t´ınh) bo’ i quan hˆe. ≤ nˆe´u v´oi mo.i . . . . x, y ∈ X, th`ı x ≤ y ho˘a.c y ≤ x. Khi d¯´o ≤ d¯uo. c go.i l`amˆo.t quan hˆe. th´u tu. to`an phˆa`n (hay tuyˆe´n t´ınh)trˆen X. . . . . . . Ch˘a’ ng ha.n, tru`ong sˆo´ h˜uu ty’ Q l`amˆo.t tˆa.p d¯uo. c s˘a´p to`anphˆa`n d¯ˆo´i v´oi quan . . . . . hˆe. th´u tu. ≤ thˆong thu`ong. Mˆo.t v´ıdu. kh´ac:nˆe´u X l`atˆa.p ho. p tˆa´t ca’ c´actˆa.p con . . cu’a mˆo.t tˆa.p A n`aod¯´o,th`ı X d¯uo. c s˘a´p theo quan hˆe. bao h`am.D- ˆaykhˆongpha’i l`a . . . . . mˆo.t th´u tu. to`an phˆa`n nˆe´u tˆa.p A ch´ua nhiˆe` u hon mˆo.t phˆa`n tu’ . . Bˆay gi`o ta chuyˆe’n qua x´etc´ac´anhxa . . . . . . Ngu`oi ta thu`ong mˆota’ c´ac´anhxa. mˆo.t c´ach tru. c gi´acnhu sau. . . . Gia’ su’ X v`a Y l`ac´actˆa.p ho. p. Mˆo.t ´anhxa. f t`u X v`ao Y l`amˆo.t quy t˘a´c d¯˘a.t . . . . . . tuong ´ung mˆo˜i phˆa`n tu’ x ∈ X v´oi mˆo.t phˆa`n tu’ x´ac d¯i.nh y = f(x) ∈ Y . Anh´ xa. . . . d¯´od¯uo. c k´yhiˆe.u bo’ i f : X → Y . 13
14. Tˆa´t nhiˆenmˆota’ n´oitrˆenkhˆongpha’i l`amˆo.t d¯i.nh ngh˜ıach˘a.t ch˜e,v`ıta khˆong biˆe´t thˆe´ n`aol`amˆo.t quy t˘a´c. N´oic´ach kh´ac,trong d¯i.nh ngh˜ıan´oitrˆenquy t˘a´c chı’ l`amˆo.t tˆengo.i kh´accu’a ´anhxa . . Ta c´othˆe’ kh˘a´c phu. c d¯iˆe` u d¯´ob˘a`ng c´ach d¯ua ra mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıach´ınhx´acnhung . . hoi cˆo`ng kˆe` nh vˆe` ´anhxa. nhu sau. . . . . Mˆo˜i tˆa.p con R cu’a t´ıch tru. c tiˆe´p X × Y d¯uo. c go.i l`amˆo.t quan hˆe. gi˜ua X v`a Y . . . . . Quan hˆe. R d¯uo. c go.i l`amˆo.t ´anhxa. t`u X v`ao Y nˆe´u n´oc´ot´ınhchˆa´t sau: v´oi mo.i . x ∈ X c´omˆo.t v`achı’ mˆo.t y ∈ Y d¯ˆe’ cho (x, y) ∈ R. Ta k´yhiˆe.u phˆa`n tu’ duy nhˆa´t d¯´ol`a y = f(x). Khi d¯´o R = {(x, f(x))| x ∈ X}. . . . . . . Anh´ xa. n`aythu`ong d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a f : X → Y v`aquan hˆe. R d¯uo. c go.i l`a d¯ˆo` thi. cu’a ´anhxa. f. . . . . C´actˆa.p X v`a Y d¯uo. c go.i lˆa`n luo. t l`atˆa.p nguˆo`n v`atˆa.p d¯´ıch cu’a ´anhxa. f. Tˆa.p . . . ho. p f(X) = {f(x)| x ∈ X} d¯uo. c go.i l`atˆa.p gi´atri. cu’a f. . . . Gia’ su’ A l`amˆo.t tˆa.p con cu’a X. Khi d¯´o, f(A) = {f(x)| x ∈ A} d¯uo. c go.i l`aa’nh . −1 . . cu’a A bo’ i f. Nˆe´u B l`amˆo.t tˆa.p con cu’a Y , th`ı f (B) = {x ∈ X| f(x) ∈ B} d¯uo. c . . . . go.i l`anghi.ch a’nh cu’a B bo’ i f. Tru`ong ho. p d¯˘a.c biˆe.t, tˆa.p B = {y} chı’ gˆo`m mˆo.t d¯iˆe’m y ∈ Y , ta viˆe´t d¯o.n gia’n f −1(y) thay cho f −1({y}). ´ . . . . D- .inh ngh˜ıa2.7 (a) Anh xa. f : X → Y d¯uo. c go.i l`amˆo.t d¯on ´anh nˆe´u v´oi mo.i x =6 x0,(x, x0 ∈ X) th`ı f(x) =6 f(x0). . . . (b) Anh´ xa. f : X → Y d¯uo. c go.i l`amˆo.t to`an´anh nˆe´u v´oi mo.i y ∈ Y tˆo`n ta.i (´ıt . nhˆa´t) mˆo.t phˆa`n tu’ x ∈ X sao cho f(x) = y. . . . . . (c) Anh´ xa. f : X → Y d¯uo. c go.i l`amˆo.t song ´anh (hay mˆo.t tuong ´ung mˆo. t-mˆo. t) . . . nˆe´u n´ov`ua l`amˆo.t d¯on ´anhv`ua l`amˆo.t to`an´anh. . . Gia’ su’ f : X → Y l`amˆo.t song ´anh.Khi d¯´o,v´oi mˆo˜i y ∈ Y tˆo`n ta.i duy nhˆa´t phˆa`n . . . −1 . tu’ x ∈ X sao cho f(x) = y. Ta k´yhiˆe.u phˆa`n tu’ x d¯´onhu sau: x = f (y). Nhu 14
15. . . . −1 . . −1 thˆe´, tuong ´ung y 7→ x = f (y) x´acd¯i.nh mˆo.t ´anhxa., d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a f : Y → X . . . . −1 . v`ad¯uo. c go.i l`a´anhxa. nguo. c cu’a f. Hiˆe’n nhiˆen, f c˜ungl`amˆo.t song ´anh,hon n˜u.a (f −1)−1 = f. . . Cho c´ac´anhxa. f : X → Y v`a g : Y → Z. Khi d¯´o´anhxa. h : X → Z d¯uo. c x´ac . d¯i.nh bo’ i h(x) = g(f(x)), ∀x ∈ X, . . . . . d¯uo. c go.i l`a ´anhxa. t´ıch (hay ´anhxa. ho. p) cu’a f v`a g, v`ad¯uo. c k´yhiˆe.u l`a h = gf ho˘a.c h = g ◦ f. . . Ch´ungtˆoid¯ˆe` nghi. d¯ˆo.c gia’ tu. ch´ung minh hai mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay. . . . . Mˆe.nh d¯ˆe` 2.8 Ho. p th`anhcu’a hai d¯on ´anhla. i l`amˆo. t d¯on ´anh.Ho. p th`anhcu’a hai . to`an´anhla. i l`amˆo. t to`an´anh.Ho. p th`anhcu’a hai song ´anhla. i l`amˆo. t song ´anh. → . . . Go.i idX : X X l`a´anhxa. d¯ˆo`ng nhˆa´t trˆen X, d¯uo. c x´acd¯i.nh nhu sau idX (x) = x, ∀x ∈ X. . Mˆe.nh d¯ˆe` 2.9 (i) Gia’ su’ f : X → Y v`a g : Y → Z l`ac´ac´anhxa. . Khi d¯´o,nˆe´u . gf l`amˆo. t d¯on ´anhth`ı f c˜ungvˆa. y; nˆe´u gf l`amˆo. t to`an´anhth`ı g c˜ungvˆa. y. (ii) Anh´ xa. f : X → Y l`amˆo. t song ´anhnˆe´u v`achı’ nˆe´u tˆo`n ta. i mˆo. t ´anhxa. g : Y → X sao cho gf = idX , fg = idY . . . . . 3 Lu. c luo. ng cu’a tˆa.p ho. p . . . . . . . D- ˆo´i v´oi c´actˆa.p ho. p h˜uu ha.n, khi cˆa`n x´etxem tˆa.p n`aoc´onhiˆe` u phˆa`n tu’ hon, ngu`oi . . . . . . ta d¯ˆe´m sˆo´ phˆa`n tu’ cu’a ch´ung.Nhung d¯ˆo.ng t´acd¯on gia’n ˆa´y khˆongthu. c hiˆe.n d¯uo. c . . . . . d¯ˆo´i v´oi c´actˆa.p c´ovˆoha.n phˆa`n tu’ . D- ˆe’ so s´anh“sˆo´ luo. ng phˆa`n tu’ ” cu’a c´actˆa.p vˆo . . . . . . . ha.n, ngu`oi ta tro’ la.i v´oi c´ach l`amcu’a ngu`oi nguyˆenthuy’ khi chua biˆe´t d¯ˆe´m. Cu. . . . . thˆe’ l`a,nˆe´u muˆo´n xem sˆo´ r`ıutay c´od¯u’ cho mˆo˜i ngu`oi mˆo.t chiˆe´c hay khˆongngu`oi 15
16. . . . . . . . . . . ta ph´atcho mˆo˜i ngu`oi mˆo.t chiˆe´c r`ıu,t´uc l`alˆa.p mˆo.t tuong ´ung gi˜ua tˆa.p ho. p ngu`oi . v`atˆa.p ho. p r`ıu. . . . . . . D- .inh ngh˜ıa3.1 Ta n´oitˆa.p ho. p X c`unglu. c luo. ng v´oi tˆa.p ho. p Y nˆe´u tˆo`n ta.i mˆo.t song ´anht`u. X v`ao Y . . . . . . . . R˜or`angquan hˆe. c`unglu. c luo. ng l`amˆo.t quan hˆe. tuong d¯uong. . . . . . Gia’ su’ tˆa.p A c´o n phˆa`n tu’ .D- iˆe` u n`ayc´ongh˜ıal`ac´omˆo.t tuong ´ung mˆo.t-mˆo.t . . . . gi˜ua c´acphˆa`n tu’ cu’a A v´oi c´acsˆo´ tu. nhiˆen1, 2, 3, , n. N´oic´ach kh´ac, A c´o n phˆa`n . . . . . . tu’ nˆe´u v`achı’ nˆe´u n´oc`unglu. c luo. ng v´oi tˆa.p ho. p {1, 2, 3, , n}. . . . Sau d¯ˆaych´ungta s˜ekha’o s´atl´op c´actˆa.p ho. p vˆoha.n c´o“´ıtphˆa`n tu’ nhˆa´t”, d¯´o . . l`ac´actˆa.p d¯ˆe´m d¯uo. c. . . . . . . . . . D- .inh ngh˜ıa3.2 Tˆa.p X d¯uo. c go.i l`a d¯ˆe´m d¯uo. c nˆe´u n´oc`unglu. c luo. ng v´oi tˆa.p ho. p . N c´acsˆo´ tu. nhiˆen. . . . Ch˘a’ ng ha.n, Z l`amˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯uo. c. Thˆa.t vˆa.y, ´anhxa. f : N → Z x´acd¯i.nh bo’ i cˆongth´u.c f(2n − 1) = −n + 1, f(2n) = n (n = 1, 2, 3, ) l`amˆo.t song ´anh. . . . . . . . Tuong tu. , tˆa.p ho. p c´acsˆo´ tu. nhiˆench˘a˜n v`atˆa.p ho. p c´acsˆo´ tu. nhiˆenle’ d¯ˆe` u l`a . . c´actˆa.p d¯ˆe´m d¯uo. c. . . . . C´acv´ıdu. trˆencho thˆa´y mˆo.t tˆa.p vˆoha.n c´othˆe’ c´oc`unglu. c luo. ng v´oi mˆo.t tˆa.p . con thˆa.t su. cu’a n´o.Ta c´o . . Mˆe.nh d¯ˆe` 3.3 Mˆo˜i tˆa. p con vˆoha. n cu’a mˆo. t tˆa. p d¯ˆe´m d¯uo. c c˜ungl`amˆo. t tˆa. p d¯ˆe´m . . d¯uo. c. 16
17. . . { } . . Ch´ung minh: Gia’ su’ A = a1, a2, a3, l`amˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯uo. c, v`a B l`amˆo.t tˆa.p ´ . ´ ∈ ´ . con vˆoha.n cu’a A. Go.i i1 l`asˆo tu. nhiˆennho’ nhˆat sao cho ai1 B, i2 l`asˆo tu. nhiˆen ´ ∈ \{ } ´ . ´ nho’ nhˆat sao cho ai2 B ai1 . Mˆo.t c´ach quy na.p, in l`asˆo tu. nhiˆennho’ nhˆat sao ∈ \{ } cho ain B ai1 , ai2 , , ain−1 . . . B˘a`ng c´ach d¯´o,c´acphˆa`n tu’ cu’a B d¯uo. c xˆe´p th`anhmˆo.t d˜ayvˆoha.n { } B = ai1 , ai2 , , ain , . → . . . . . ´ ´ N´oic´ach kh´ac,c´omˆo.t song ´anh N B d¯˘a.t n tuong ´ung v´oi ain . Nhu thˆe B d¯ˆem . . d¯uo. c. 2 . . . . . Mˆe.nh d¯ˆe` 3.4 T´ıchtru. c tiˆe´p cu’a hai tˆa. p d¯ˆe´m d¯uo. c c˜ungl`amˆo. t tˆa. p d¯ˆe´m d¯uo. c. . . . . Ch´ung minh: Khˆonggia’m tˆo’ng qu´at,ta chı’ cˆa`n ch´ung minh N×N l`ad¯ˆe´m d¯uo. c. . Ta xˆe´p tˆa´t ca’ c´acphˆa`n tu’ (a, b) cu’a N × N th`anhmˆo.t d˜ayvˆoha.n b˘a`ng c´ach . . . . sau. Tru´oc hˆe´t ta xˆe´p c˘a.p (a, b) v´oi a + b = 2. Gia’ su’ d¯˜axˆe´p xong c´acc˘a.p (a, b) . . . . v´oi a + b = n − 1, ta xˆe´p tiˆe´p c´acc˘a.p (a, b) v´oi a + b = n, trong d¯´oc˘a.p (a, b) d¯uo. c . . 0 0 0 0 0 xˆe´p tru´oc c˘a.p (a , b ) nˆe´u a + b = a + b = n v`a a < a . . . . Nhu vˆa.y, N × N l`amˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯uo. c. 2 . . . . Hˆe. qua’ 3.5 Tˆa. p ho. p Q c´ac sˆo´ h˜uu ty’ l`amˆo. t tˆa. p d¯ˆe´m d¯uo. c. . . . + . . . . . Ch´ung minh: Ta s˜ech´ung minh tˆa.p ho. p Q c´ac sˆo´ h˜uu ty’ duong l`ad¯ˆe´m d¯uo. c. − + . . . . − − Do d¯´o Q = Q ∪ {0} ∪ Q c`unglu. c luo. ng v´oi Z = N ∪ {0} ∪ N, trong d¯´o Q l`a . . − . tˆa.p ho. p c´acsˆo´ h˜uu ty’ ˆamv`a N l`atˆa.p ho. p c´acsˆo´ nguyˆenˆam.V`ıthˆe´ Q l`ad¯ˆe´m . . d¯uo. c. ˜ ´ . ’ . . . . ’ ´ . . ´ p Mˆoi sˆo h˜uu ty duong d¯uo. c biˆeu thi. duy nhˆat du´oi da.ng mˆo.t phˆansˆo q , trong ∈ ´ . . . p 7→ d¯´o p, q N v`ac˘a.p p, q nguyˆentˆo c`ungnhau. Tuong ´ung q (p, q) l`amˆo.t song . + . ´anht`u Q lˆenmˆo.t tˆa.p con cu’a t´ıch tru. c tiˆe´p N × N. Do d¯´o,theo hai mˆe.nh d¯ˆe` trˆen + . . th`ı Q l`amˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯uo. c. 2 . . Ch´ungta th`ua nhˆa.n kˆe´t qua’ sau d¯ˆay, v`ımuˆo´n ch´ung minh n´ota cˆa`n mˆo.t hiˆe’u . . biˆe´t sˆaus˘a´c hon vˆe` c´acsˆo´ thu. c. 17
18. . . . . Mˆe.nh d¯ˆe` 3.6 Tˆa. p ho. p R c´acsˆo´ thu. c l`amˆo. t tˆa. p khˆongd¯ˆe´m d¯uo. c. . . . . . . . Ngu`oi ta n´oitˆa.p ho. p c´acsˆo´ thu. c c´olu. c luo. ng continum. 4 Nh´om,V`anhv`aTru.`o.ng . . . . . . . C´ackh´ainiˆe.m nh´om,v`anhv`atru`ong d¯uo. c gi´oi thiˆe.u trong tiˆe´t n`aychı’ d`ung o’ . m´uc d¯u’ d`ungcho c´acdiˆe˜n d¯a.t trong phˆa`n sau cu’a cuˆo´n s´ach. . . Gia’ su’ G l`amˆo.t tˆa.p ho. p. Mˆo˜i ´anhxa. ◦ : G × G → G . . . ’ d¯uo. c go.i l`amˆo.t ph´epto´anhai ngˆoi (hay mˆo.t luˆa. t ho. p th`anh) trˆen G.Anh cu’a c˘a.p . . . . . . phˆa`n tu’ (x, y) ∈ G × G bo’ i ´anhxa. ◦ s˜ed¯uo. c k´yhiˆe.u l`a x ◦ y, v`ad¯uo. c go.i l`a t´ıch . hay ho. p th`anh cu’a x v`a y. . . . D- .inh ngh˜ıa4.1 Mˆo.t nh´oml`amˆo.t tˆa.p ho. p kh´acrˆo˜ng G d¯uo. c trang bi. mˆo.t ph´ep to´anhai ngˆoi ◦ thoa’ m˜anba d¯iˆe` u kiˆe.n sau d¯ˆay: . (G1) Ph´epto´anc´ot´ınhkˆe´t ho. p: (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), ∀x, y, z ∈ G. . . . . . (G2) C´omˆo.t phˆa`n tu’ e ∈ G, d¯uo. c go.i l`a phˆa`n tu’ trung lˆa. p, v´oi t´ınhchˆa´t x ◦ e = e ◦ x = x, ∀x ∈ G. . . 0 . . (G3) V´oi mo.i x ∈ G, tˆo`n ta.i phˆa`n tu’ x ∈ G, d¯uo. c go.i l`anghi.ch d¯a’o cu’a x, sao cho x ◦ x0 = x0 ◦ x = e. Nhˆa.n x´et: 18
19. . 0 Phˆ`an tu’ trung lˆa.p cu’a mˆo.t nh´oml`aduy nhˆa´t. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u e v`a e d¯ˆe` u l`ac´ac . phˆa`n tu’ trung lˆa.p cu’a nh´om G th`ı e = e ◦ e0 = e0. . . 0 . V´oi mo.i x ∈ G, phˆa`n tu’ nghi.ch d¯a’o x n´oio’ mu. c (G3) l`aduy nhˆa´t. Thˆa.t vˆa.y, 0 0 . nˆe´u x1 v`a x2 l`ac´acphˆa`n tu’ nghi.ch d¯a’o cu’a x th`ı 0 0 ◦ 0 ◦ ◦ 0 0 ◦ ◦ 0 ◦ 0 0 x1 = x1 e = x1 (x x2) = (x1 x) x2 = e x2 = x2. . . . Trong nh´omc´oluˆa.t gia’n u´oc, t´uc l`a x ◦ y = x ◦ z =⇒ y = z, x ◦ z = y ◦ z =⇒ x = y. . . . . Thˆa.t vˆa.y, d¯ˆe’ c´oluˆa.t gia’n u´oc, chı’ cˆa`n nhˆanhai vˆe´ cu’a d¯˘a’ ng th´uc x ◦ y = x ◦ z v´oi 0 . . . nghi.ch d¯a’o x cu’a x t`u bˆentr´ai,v`anhˆanhai vˆe´ cu’a d¯˘a’ ng th´uc x ◦ z = y ◦ z v´oi 0 . nghi.ch d¯a’o z cu’a z t`u bˆenpha’i. Nˆe´u ph´epto´an ◦ c´ot´ınhgiao ho´an,t´u.c l`a x ◦ y = y ◦ x, ∀x, y ∈ G, . . th`ı G d¯uo. c go.i l`amˆo.t nh´om giao ho´an (hay abel). . . . . . Theo th´oiquen, luˆa.t ho. p th`anh ◦ trong mˆo.t nh´omabel thu`ong d¯uo. c k´yhiˆe.u . . . . . . theo lˆo´i cˆo.ng “+”. Ho. p th`anhcu’a c˘a.p phˆa`n tu’ (x, y) d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a x+y v`ad¯uo. c . . . . go.i l`atˆo’ng cu’a x v`a y. Phˆa`n tu’ trung lˆa.p cu’a nh´omd¯uo. c go.i l`a phˆa`n tu’ khˆong, k´y . . . . hiˆe.u 0. Nghi.ch d¯a’o cu’a x (x´acd¯i.nh bo’ i d¯iˆe` u kiˆe.n (G3)) d¯uo. c go.i l`a phˆa`n tu’ d¯ˆo´i cu’a x, k´yhiˆe.u (−x). . . . . . . . Tru`ong ho. p tˆo’ng qu´at,ph´epto´an ◦ trong nh´omthu`ong d¯uo. c k´yhiˆe.u theo lˆo´i . . . . . nhˆan“ · ”. Ho. p th`anhcu’a c˘a.p phˆa`n tu’ (x, y) d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a x · y, hay d¯on gia’n . . . . . xy, v`ad¯uo. c go.i l`at´ıch cu’a x v`a y. Phˆa`n tu’ trung lˆa.p cu’a nh´omd¯uo. c go.i l`a phˆa`n . . . . . −1 tu’ d¯on vi Phˆa`n tu’ nghi.ch d¯a’o cu’a x d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a x . V´ıdu. : 19
20. . . (a) C´actˆa.p ho. p sˆo´ Z, Q, R lˆa.p th`anhnh´omabel d¯ˆo´i v´oi ph´epcˆo.ng. ∗ ∗ ∗ (b) C´actˆa.p Z = {±1}, Q = Q \{0}, R = R \{0} l`amth`anhnh´omabel d¯ˆo´i v´o.i ph´epnhˆan. . (c) Ta d¯i.nh ngh˜ıaph´epcˆo.ng trong Z/n nhu sau: [x] + [y] = [x + y]. . . . Dˆe˜ kiˆe’m tra r˘a`ng ph´epto´ann`aykhˆongphu. thuˆo.c d¯a.i biˆe’u cu’a c´acl´op tuong . . . . . d¯uong [x] v`a[y]. Hon n˜ua, Z/n c`ungv´oi ph´epcˆo.ng n´oitrˆenlˆa.p th`anhmˆo.t nh´omabel. . . . . (d) Mˆo˜i song ´anht`u tˆa.p ho. p {1, 2, , n} v`aoch´ınhn´od¯uo. c go.i l`amˆo.t ph´epthˆe´ . . (hay ph´epho´anvi.) trˆen n phˆa`n tu’ . Tˆa.p ho. p Sn tˆa´t ca’ c´acph´epthˆe´ trˆen n . . . phˆa`n tu’ l`amth`anhmˆo.t nh´omd¯ˆo´i v´oi ph´epho. p th`anhc´ac´anhxa. (α · β)(i) = α(β(i)), ∀α, β ∈ Sn, 0 ≤ i ≤ n. . . . . Sn d¯uo. c go.i l`a nh´omd¯ˆo´i x´ung trˆen n phˆa`n tu’ .D- ˆayl`amˆo.t nh´omkhˆongabel khi n > 2. (Xem chi tiˆe´t o’. Chu.o.ng III.) . . . (e) Trong Chuong II ch´ungta s˜ekha’o s´atmˆo.t l´op nh´omkhˆongabel rˆa´t quan . tro.ng d¯ˆo´i v´oi mˆonD- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh,d¯´ol`anh´om GL(V ) c´acbiˆe´n d¯ˆo’i tuyˆe´n t´ınhkhˆongsuy biˆe´n trˆenkhˆonggian v´ecto. V . . 0 . D- .inh ngh˜ıa4.2 Gia’ su’ G v`a G l`ac´acnh´om(v´oi ph´epto´anviˆe´t theo lˆo´i nhˆan). 0 . . Anh´ xa. ϕ : G → G d¯uo. c go.i l`amˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´om nˆe´u ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G. . . 0 0 Nhˆa.n x´et: D- `ˆong cˆa´u nh´om ϕ chuyˆe’n d¯on vi. e cu’a G th`anhd¯on vi. e cu’a G : ϕ(e) = e0. 20
21. . . N´o c˜ungchuyˆe’n phˆa`n tu’ nghi.ch d¯a’o cu’a x th`anhphˆa`n tu’ nghi.ch d¯a’o cu’a ϕ(x): ϕ(x−1) = ϕ(x)−1, ∀x ∈ G. . . . . D- .inh ngh˜ıa4.3 (a) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´omd¯ˆo`ng th`oi l`amˆo.t d¯on ´anhd¯uo. c go.i l`a . mˆo.t d¯on cˆa´u nh´om. . . . (b) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´omd¯ˆo`ng th`oi l`amˆo.t to`an´anhd¯uo. c go.i l`amˆo.t to`ancˆa´u nh´om. . . . (c) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´omd¯ˆo`ng th`oi l`amˆo.t song ´anhd¯uo. c go.i l`amˆo.t d¯˘a’ ng cˆa´u nh´om. . 0 . 0 Nˆe´u c´omˆo.t d¯˘a’ ng cˆa´u nh´omgi˜ua G v`a G th`ıta n´oi G d¯˘a’ ng cˆa´u v´oi G v`a viˆe´t ∼ 0 G = G . V´ıdu. : . . . (a) Ph´epnh´ung i : Z → Q d¯i.nh ngh˜ıabo’ i cˆongth´uc i(x) = x l`amˆo.t d¯on cˆa´u nh´om. . . (b) Ph´epchiˆe´u pr : Z → Z/n x´acd¯i.nh bo’ i cˆongth´uc pr(x) = [x] l`amˆo.t to`ancˆa´u nh´om. + x . (a) Anh´ xa. m˜u exp : R → R , exp(x) = e l`amˆo.t d¯˘a’ ng cˆa´u t`u nh´om cˆo.ng c´ac . . . . + sˆo´ thu. c R v`ao nh´omnhˆanc´acsˆo´ thu. c duong R . Bˆay gi`o. ta chuyˆe’n sang kha’o s´atc´acv`anhv`atru.`o.ng. . . . D- .inh ngh˜ıa4.4 Mˆo.t v`anhl`amˆo.t tˆa.p ho. p R =6 ∅ d¯uo. c trang bi. hai ph´epto´anhai ngˆoi,gˆo`m ph´epcˆo.ng + : R × R → R, (x, y) 7→ x + y, v`aph´epnhˆan · : R × R → R, (x, y) 7→ xy, thoa’ m˜anba d¯iˆe` u kiˆe.n sau d¯ˆay: 21
22. . (R1) R l`amˆo.t nh´omabel d¯ˆo´i v´oi ph´epcˆo.ng. . (R2) Ph´epnhˆanc´ot´ınhchˆa´t kˆe´t ho. p: (xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R. . (R3) Ph´epnhˆanphˆanphˆo´i vˆe` hai ph´ıad¯ˆo´i v´oi ph´epcˆo.ng: (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R. . . V`anh R d¯uo. c go.i l`a giao ho´an nˆe´u ph´epnhˆancu’a n´oc´ot´ınhgiao ho´an: xy = yx, ∀x, y ∈ R. . . . . . . V`anh R d¯uo. c go.i l`a c´od¯on vi. nˆe´u ph´epnhˆancu’a n´oc´od¯on vi., t´uc l`ac´ophˆa`n tu’ 1 ∈ R sao cho: 1x = x1 = x, ∀x ∈ R. V´ıdu. : . . . (a) C´actˆa.p ho. p sˆo´ Z, Q l`ac´acv`anhgiao ho´anv`ac´od¯on vi. d¯ˆo´i v´oi c´acph´epto´an . . . . cˆo.ng v`anhˆanthˆongthu`ong. Tˆa.p ho. p sˆo´ tu. nhiˆen N khˆongl`amˆo.t v`anh,v`ı . n´okhˆongl`amˆo.t nh´omd¯ˆo´i v´oi ph´epcˆo.ng. . (b) Ta d¯i.nh ngh˜ıaph´epnhˆantrˆennh´omcˆo.ng Z/n c´acsˆo´ nguyˆenmodulo n nhu sau: [x][y] = [xy], ∀x, y ∈ Z/n. . Ph´epnhˆann`aykhˆongphu. thuˆo.c d¯a.i biˆe’u cu’a c´acl´op [x] v`a[y]. N´obiˆe´n nh´om . . . cˆo.ng Z/n th`anhmˆo.t v`anhgiao ho´anv`ac´od¯on vi., d¯uo. c go.i l`av`anhc´acsˆo´ nguyˆenmodulo n. . . . . (c) Trong Chuong II ta s˜ex´etmˆo.t l´op v`anhd¯˘a.c biˆe.t quan tro.ng d¯ˆo´i v´oi mˆonD- a.i . sˆo´ tuyˆe´n t´ınh,d¯´ol`av`anh M(n × n, K) c´acma trˆa.n vuˆongcˆa´p n v´oi c´acphˆa`n tu’. trong tru.`o.ng K. 22
23. . 0 ´ 0 . . D- .inh ngh˜ıa4.5 Gia’ su’ R v`a R l`ac´acv`anh. Anh xa. ϕ : R → R d¯uo. c go.i l`amˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u v`anhnˆe´u ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R. . . . C´ackh´ainiˆe.m d¯on cˆa´u v`anh,to`ancˆa´u v`anh,d¯˘a’ ng cˆa´u v`anhd¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . tuong tu. nhu d¯ˆo´i v´oi tru`ong ho. p nh´om. . Ch˘a’ ng ha.n, ph´epnh´ung Z ⊂ Q l`amˆo.t d¯on cˆa´u v`anh.Ph´epchiˆe´u pr : Z → Z/n l`amˆo.t to`ancˆa´u v`anh. . . . . Phˆa`n tu’ x trong mˆo.t v`anhc´od¯on vi. R d¯uo. c go.i l`a kha’ nghi.ch nˆe´u tˆo`n ta.i phˆa`n tu’. x0 ∈ R sao cho xx0 = x0x = 1. . . 0 . Dˆe˜ ch´ung minh r˘a`ng phˆa`n tu’ x c´o t´ınhchˆa´t nhu vˆa.y nˆe´u tˆo`n ta.i th`ıduy nhˆa´t. N´o . . −1 d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a x . . . D- .inh ngh˜ıa4.6 Mˆo.t v`anhgiao ho´an,c´od¯on vi. 1 =6 0 sao cho mo.i phˆa`n tu’ kh´ac 0 . . . . trong n´od¯ˆe` u kha’ nghi.ch d¯uo. c go.i l`amˆo.t tru`ong. . . . . V`anh Q l`amˆo.t tru`ong. V`anhsˆo´ nguyˆen Z khˆongl`amˆo.t tru`ong, v`ıc´acsˆo´ kh´ac ±1 d¯ˆe` u khˆongkha’ nghi.ch trong Z. . . . . . . . D- .inh ngh˜ıa4.7 Gia’ su’ ≤ l`a mˆo.t quan hˆe. th´u tu. trˆentru`ong K. Khi d¯´o K d¯uo. c . . . . . . . . . go.i l`amˆo.t tru`ong d¯uo. c s˘a´p d¯ˆo´i v´oi th´u tu. ≤ nˆe´u c´acd¯iˆe` u kiˆe.n sau d¯ˆayd¯uo. c thoa’ m˜an: . (a) Nˆe´u x ≤ y th`ı x + z ≤ y + z, v´oi mo.i z ∈ K; (b) Nˆe´u x ≤ y v`a0 ≤ z th`ı xz ≤ yz. . . . . . . . . . . . . Tru`ong sˆo´ h˜uu ty’ Q l`amˆo.t tru`ong d¯uo. c s˘a´p d¯ˆo´i v´oi th´u tu. thˆong thu`ong. . . . . Du´oi d¯ˆayta s˜ex´etxem khi n`aoth`ıv`anh Z/n l`amˆo.t tru`ong. 23
24. . . D- .inh ngh˜ıa4.8 Nˆe´u v`anh R ch´ua c´acphˆa`n tu’ a =6 0, b =6 0 sao cho ab = 0 th`ıta n´oi R c´o u.´o.c cu’a khˆong. . . . Tr´aila.i, nˆe´u t`u d¯˘a’ ng th´uc ab = 0 (v´oi a, b ∈ R) suy ra ho˘a.c a = 0 ho˘a.c b = 0, . . . . th`ıv`anh R d¯uo. c go.i l`a khˆongc´ou´oc cu’a khˆong. V`anh Z/6 c´ou.´o.c cu’a khˆong,bo’.i v`ı[2] =6 0, [3] =6 0 v`a [2][3] = [6] = [0] = 0. . . . N´oichung, nˆe´u n l`amˆo.t ho. p sˆo´ th`ı Z/n c´ou´oc cu’a khˆong. Thˆa.t vˆa.y, v`ı n l`a . mˆo.t ho. p sˆo´ cho nˆen n = rs trong d¯´o0 < r, s < n. Khi d¯´o,[r] =6 0, [s] =6 0 v`a [r][s] = [n] = [0] = 0. . . . . Mˆe.nh d¯ˆe` 4.9 Mˆo˜i tru`ong d¯ˆe` u l`amˆo. t v`anhkhˆongc´ou´oc cu’a khˆong. . . . . . . Ch´ung minh: Gia’ su’ K l`amˆo.t tru`ong, a v`a b l`ac´acphˆa`n tu’ thuˆo.c K v´oi ab = 0. Nˆe´u a =6 0 th`ı a kha’ nghi.ch. Ta c´o b = 1b = (a−1a)b = a−1(ab) = a−10 = 0. . . Vˆa.y K khˆongc´ou´oc cu’a khˆong. 2 . . Mˆe.nh d¯ˆe` 4.10 Z/n l`amˆo. t tru`ong nˆe´u v`achı’ nˆe´u n l`amˆo. t sˆo´ nguyˆentˆo´. . . . . Ch´ung minh: Nˆe´u n l`amˆo.t ho. p sˆo´ th`ı Z/n c´ou´oc cu’a khˆong,do d¯´okhˆongl`a . . mˆo.t tru`ong. . . Gia’ su’ n = p l`amˆo.t sˆo´ nguyˆentˆo´. Mˆo˜i phˆa`n tu’ kh´ackhˆongtrong Z/p d¯ˆe` u c´o da.ng [q] trong d¯´od¯a.i biˆe’u q thoa’ m˜and¯iˆe` u kiˆe.n 0 < q < p. Khi d¯´o p v`a q nguyˆen tˆo´ c`ungnhau, v`ıthˆe´ c´oc´acsˆo´ nguyˆen k v`a ` sao cho kp + `q = 1. Hay l`a [`][q] = [1] − [kp] = [1] − trong Z/p.D- iˆe` u n`ayc´ongh˜ıal`a[q] kha’ ngi.ch, v`a[q] 1 = [`]. 2 24
25. . . . . . . Tru`ong Z/p thu`ong d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a Fp. . . Trong v`anh Z/n c´ohiˆe.n tuo. ng sau d¯ˆay: ··· |1 + 1 +{z + 1} = 0. n . Chuyˆe.n n`aykhˆongxa’y ra trong c´acv`anh Z v`a Q. Ta d¯it´oi d¯i.nh ngh˜ıasau d¯ˆay. . . . D- .inh ngh˜ıa4.11 Cho R l`amˆo.t v`anhc´od¯on vi Nˆe´u c´osˆo´ nguyˆenduong n sao ··· . . . . cho| 1 + 1 +{z + 1} = 0, th`ısˆo´ nguyˆenduong nho’ nhˆa´t c´ot´ınhchˆa´t d¯´od¯uo. c go.i l`a n . . . . . d¯˘a. c sˆo´ cu’a v`anh R. Nguo. c la.i, nˆe´u khˆongc´osˆo´ nguyˆenduong n n`ao nhu thˆe´ th`ı . . ta n´oi R c´o d¯˘a. c sˆo´ b˘a`ng 0. D- ˘a.c sˆo´ cu’a R d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a Char(R). V´ıdu. : Char(Z) = Char(Q) = 0, . . . Char(Z/n) = n, v´oi mo.i sˆo´ nguyˆenduong n. . . Mˆe.nh d¯ˆe` 4.12 Nˆe´u K l`amˆo. t tru`ong th`ı Char(K) ho˘a. c b˘a`ng 0 ho˘a. c l`amˆo. t sˆo´ nguyˆentˆo´. . · ··· ∈ . . Ch´ung minh: D- ˘a.t m 1 = 1| + 1 +{z + 1} K. Gia’ su’ n = Char(K) l`amˆo.t ho. p m sˆo´ v´o.i phˆant´ıch n = rs (0 < r, s < n). Dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng n · 1 = (r · 1)(s · 1) = 0. V`ı . . . . tru`ong K khˆong c´ou´oc cu’a khˆong,nˆenho˘a.c (r · 1) = 0 ho˘a.c (s · 1) = 0. D- iˆe` u n`ay . . . mˆauthuˆa˜n v´oi d¯i.nh ngh˜ıacu’a d¯˘a.c sˆo´, v`ı r v`a s l`ac´acsˆo´ tu. nhiˆennho’ hon n. 2 . . . 5 Tru`ong sˆo´ thu. c . Tˆa´t ca’ c´acho.c tr`otˆo´t nghiˆe.p trung ho.c phˆo’ thˆongd¯ˆe` u d¯˜at´ınhto´anthuˆa`n thu. c v´oi . . . c´ac sˆo´ thu. c. Thˆe´ nhung, nˆe´u ho’i ho. “Sˆo´ thu. c l`ag`ı?”th`ıch˘a´c ch˘a´n ho. s˜ekhˆongtra’ . . . l`oi d¯uo. c. Thˆa.t ra, d¯´ol`amˆo.t vˆa´n d¯ˆe` rˆa´t kh´o. . . . . . Trong tiˆe´t n`ay, ch´ungta s˜exˆaydu. ng tru`ong sˆo´ thu. c R nhu l`a mˆo.t “bˆo’ sung” . . . . cu’a tru`ong sˆo´ h˜uu ty’ Q, nh˘a`m gia’i quyˆe´t t`ınhtra.ng kh´oxu’ m`a Pythagore d¯˜ag˘a.p t`u. ho.n 2000 n˘amtru.´o.c, d¯´ol`a: Nˆe´u chı’ d`ungc´acsˆo´ h˜u.u ty’ th`ıd¯u.`o.ng ch´eocu’a 25
26. . . mˆo.t h`ınhvuˆongd¯on vi. s˜ekhˆongc´od¯ˆo. d`ai. N´oic´ach kh´ac,khˆongtˆo`n ta.i sˆo´ h˜uu ’ ’ . 2 ’ ’. ´ ´ ’ p . ty a thoa m˜anhˆe. th´uc a = 2. Thˆa.t vˆa.y, gia su a c´oda.ng phˆansˆo tˆoi gian q , v´oi ∈ 6 p 2 2 2 . ´ ˜ p, q Z, q = 0, khi d¯´o( q ) = 2. Hay l`a p = 2q . T`u d¯´osuy ra p l`amˆo.t sˆo ch˘an. ∈ - . . 2 2 Ta d¯˘a.t p = 2p1 trong d¯´o p1 Z.D˘a’ ng th´uc trˆentro’ th`anh2p1 = q . Do d¯´o q c˜ung ´ ˜ - ` ˜ . ’ ´ ` p ´ ´ l`amˆo.t sˆo ch˘an. Diˆeu n`aymˆauthuˆan v´oi gia thiˆet n´oir˘ang q l`amˆo.t phˆansˆo tˆoi gia’n. . . . . . D- .inh ngh˜ıasau d¯ˆayd¯uo. c go. i ´yt`u mˆo.t nhˆa.n x´ettru. c gi´acl`a:mˆo˜i l´atc˘a´t v`ao . . . . “d¯u`ong th˘a’ ng sˆo´ thu. c” d¯ˆe` u “cha.m” pha’i mˆo.t sˆo´ thu. c duy nhˆa´t. . . . . D- .inh ngh˜ıa5.1 (Dedekind). Tˆa.p ho. p α c´acsˆo´ h˜uu ty’ d¯uo. c go.i l`amˆo.t l´atc˘a´t (trong Q) nˆe´u: (a) α =6 ∅, α =6 Q, (b) Nˆe´u r ∈ α, v`a s ∈ Q, s < r, th`ı s ∈ α, (c) α khˆongc´ophˆa`n tu’. l´o.n nhˆa´t. √ . . . . Ch˘a’ ng ha.n, tˆa.p ho. p sau d¯ˆay(d¯uo. c k´yhiˆe.u bo’ i 2) l`amˆo.t l´atc˘a´t trong Q: √ 2 := {r ∈ Q| r2 < 2}. D- ˆo´i v´o.i mˆo˜i sˆo´ h˜u.u ty’ r, ta x´etl´atc˘a´t sau d¯ˆay r∗ = {s ∈ Q| s < r}. D- ˆe’ ´yr˘a`ng r = min(Q \ r∗). . . D- .inh ngh˜ıa5.2 Gia’ su’ α l`amˆo.t l´atc˘a´t. Nˆe´u c´osˆo´ nho’ nhˆa´t trong tˆa.p ho. p Q \ α . . . th`ı α d¯uo. c go.i l`amˆo.t l´atc˘a´t h˜uu ty’. Tr´aila.i, nˆe´u khˆongc´osˆo´ nho’ nhˆa´t trong tˆa.p . . . ho. p Q \ α th`ı α d¯uo. c go.i l`amˆo.t l´atc˘a´t vˆoty’. . ∗ . . Tˆa´t nhiˆen,mo.i l´atc˘a´t h˜uu ty’ d¯ˆe` u c´oda.ng r v´oi mˆo.t sˆo´ h˜uu ty’ r n`aod¯´o. . . . . . Tˆa.p ho. p c´acl´atc˘a´t d¯uo. c s˘a´p th´u tu. theo quan hˆe. ≤ sau d¯ˆay. 26
27. . D- .inh ngh˜ıa5.3 Gia’ su’ α, β l`ac´acl´atc˘a´t. Ta n´oi α α) nˆe´u β \α =6 ∅. . . . . Ta n´oi α ≤ β (hay β ≥ α) nˆe´u α < β ho˘a.c α = β. Mˆo.t l´atc˘a´t d¯uo. c go.i l`a duong hay ˆam tu`ytheo n´ol´o.n ho.n hay nho’ ho.n l´atc˘a´t 0∗. . . . Ph´epcˆo.ng c´acl´atc˘a´t d¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıanhu sau. . . . D- .inh ngh˜ıa5.4 Gia’ su’ α, β l`ac´acl´atc˘a´t. Khi d¯´ol´atc˘a´t sau d¯ˆayd¯uo. c go.i l`atˆo’ng cu’a α v`a β, k´yhiˆe.u l`a α + β: α + β = {r + s| r ∈ α, s ∈ β}. . Dˆe˜ d`angkiˆe’m tra la.i r˘a`ng tˆa.p ho. p α + β trong d¯i.nh ngh˜ıan´oitrˆenl`amˆo.t l´atc˘a´t trong Q. . . . V´oi mˆo˜i l´atc˘a´t α tˆo`n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t l´atc˘a´t, d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a −α, sao cho ∗ . . . α + (−α) = (−α) + α = 0 . L´atc˘a´t n`ayd¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıanhu sau: −α = {−r| r ∈ (Q \ α), r khˆongl`asˆo´ nho’ nhˆa´t trong Q \ α}. Ch´ungta g˘a.p mˆo.t sˆo´ kh´okh˘anvˆe` k˜ythuˆa.t khi d¯i.nh ngh˜ıat´ıch hai l´atc˘a´t. D- ˆe’ . . tr´anhnh˜ung kh´okh˘and¯´o,ch´ungta d¯ua ra kh´ainiˆe.m gi´atri. tuyˆe.t d¯ˆo´i. D- .inh ngh˜ıa5.5 Gi´atri. tuyˆe.t d¯ˆo´i (c`ongo.i t˘a´t l`a tri. tuyˆe.t d¯ˆo´i) cu’a l´atc˘a´t α l`al´at c˘a´t sau d¯ˆay:    α nˆe´u α ≥ 0, | | α =   −α nˆe´u α < 0. . . . Tˆa´t nhiˆen |α| ≥ 0 v´oi mo.i α, hon n˜ua |α| = 0 khi v`achı’ khi α = 0. . . ∗ ∗ . Gia’ su’ α v`a β l`ac´acl´atc˘a´t v´oi α ≥ 0 , β ≥ 0 . Khi d¯´otˆa.p ho. p sau d¯ˆayl`amˆo.t . . . . l´atc˘a´t, d¯uo. c go.i l`at´ıch cu’a α v`a β, v`ad¯uo. c k´yhiˆe.u l`a αβ: αβ = Q− ∪ {rs| r ∈ α, r ≥ 0, s ∈ β, s ≥ 0}. . . . . Bˆaygi`o t´ıch cu’a hai l´atc˘a´t bˆa´t k`yd¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıanhu sau: 27
28. . . . D- .inh ngh˜ıa5.6 Gia’ su’ α, β l`ac´acl´atc˘a´t. Khi d¯´ol´atc˘a´t sau d¯ˆayd¯uo. c go.i l`at´ıch cu’a α v`a β, k´yhiˆe.u l`a αβ:   ∗ ∗ ∗ ∗ |α||β| nˆe´u α ≥ 0 , β ≥ 0 ho˘a.c α < 0 , β < 0 , αβ =  ∗ ∗ ∗ ∗ −(|α||β|) nˆe´u α < 0 , β ≥ 0 ho˘a.c α ≥ 0 , β < 0 . . . D- .inh ngh˜ıa5.7 Ta k´yhiˆe.u bo’ i R tˆa.p ho. p tˆa´t ca’ c´acl´atc˘a´t trong Q. . . . . D- .inh l´ysau d¯ˆayd¯uo. c ch´ung minh khˆongmˆa´y kh´okh˘an,nhung d¯`oiho’i mˆo.t lao d¯ˆo.ng tı’ mı’. . . . D- .inh l´y5.8 Tˆa. p ho. p R d¯uo. c trang bi. hai ph´epto´ancˆo. ng v`anhˆann´oitrˆenl`a . . . . . . . . . mˆo. t tru`ong c´od¯˘a. c sˆo´ b˘a`ng 0. Tru`ong n`ayd¯uo. c s˘a´p d¯ˆo´i v´oi th´u tu. ≤. Anh´ xa. ∗ . . . . . Q → R, r 7→ r l`amˆo. t d¯on cˆa´u tru`ong ba’o to`anth´u tu. . . . . . . Trˆenco so’ d¯i.nh l´yn`ay, mˆo˜i l´atc˘a´t trong Q d¯uo. c go.i l`amˆo.t sˆo´ thu. c. Mˆo˜i l´at . ∗ . . . . . . c˘a´t h˜uu ty’ r d¯uo. c d¯ˆo`ng nhˆa´t v´oi sˆo´ h˜uu ty’ r. Mˆo˜i l´atc˘a´t vˆoty’ d¯uo. c go.i l`amˆo.t sˆo´ vˆoty’. . . . . . . . . . . So v´oi tru`ong sˆo´ h˜uu ty’ Q th`ıtru`ong sˆo´ thu. c R uu viˆe.t hon o’ t´ınhd¯u’.D- ˆe’ diˆe˜n d¯a.t t´ınhd¯u’ cu’a R ta cˆa`n d¯i.nh ngh˜ıal´atc˘a´t trong R. Ba.n d¯o.c h˜ayso s´anhd¯i.nh . ngh˜ıasau d¯ˆayv´oi D- .inh ngh˜ıa5.1 vˆe` l´atc˘a´t trong Q. . . . . D- .inh ngh˜ıa5.9 Tˆa.p ho. p α c´acsˆo´ thu. c d¯uo. c go.i l`amˆo.t l´atc˘a´t (trong R) nˆe´u: (a) α =6 ∅, α =6 R, (b) Nˆe´u r ∈ α, v`a s ∈ R, s < r, th`ı s ∈ α, (c) α khˆongc´ophˆa`n tu’. l´o.n nhˆa´t. . . Theo d¯i.nh ngh˜ıa,l´atc˘a´t α trong Q l`ah˜uu ty’ hay vˆoty’ tu`ytheo tˆa.p ho. p Q \ α . . c´ophˆa`n tu’ nho’ nhˆa´t hay khˆong. N´oimˆo.t c´ach tru. c gi´ac,c´acl´atc˘a´t vˆoty’ khˆong . . “cha.m” pha’i phˆa`n tu’ n`aocu’a Q. Mˆo.t trong nh˜ung biˆe’u hiˆe.n cu’a t´ınhd¯u’ cu’a . . . . tru`ong sˆo´ thu. c l`amo.i l´atc˘a´t trong R d¯ˆe` u “cha.m” pha’i mˆo.t sˆo´ thu. c n`aod¯´o. Cu. thˆe’, ta c´o 28
29. . . . . D- .inh l´y5.10 (T´ınhd¯u’ cu’a tru`ong sˆo´ thu. c). V´oi mo. i l´atc˘a´t α trong R, phˆa`n b`u cu’a n´o R \ α luˆonluˆonc´ophˆa`n tu’. nho’ nhˆa´t. . Ch´ung minh: D- ˘a.tα ¯ := α ∩ Q. Khi d¯´o¯α l`amˆo.t l´atc˘a´t trong Q. N´oic´ach kh´ac, . . . α¯ l`amˆo.t sˆo´ thu. c. Dˆe˜ d`angch´ung minh r˘a`ng v´oi mo.i s ∈ α v`amo.i t ∈ R \ α, ta . . . . . c´o s < α¯ ≤ t. Kˆe´t ho. p d¯iˆe` u d¯´ov´oi su. kiˆe.n α khˆongc´ophˆa`n tu’ l´on nhˆa´t, ta suy ra α¯ 6∈ α. V`ıthˆe´ α¯ = min(R \ α). 2 . . . . . Ch´ungta tro’ la.i v´oi b`aito´and¯od¯ˆo. d`aicu’a d¯u`ong ch´eocu’a h`ınhvuˆongd¯on vi Sˆo´ (l´atc´at)vˆoty’ √ 2 := {r ∈ Q| r2 < 2} . . . 2 ch´ınhl`asˆo´ thu. c thoa’ m˜anphuong tr`ınh X = 2. . . . . Mˆo.t c´ach tˆo’ng qu´at,c´othˆe’ ch´ung minh d¯uo. c r˘a`ng nˆe´u d¯˜acho.n mˆo.t d¯on vi. d¯ˆo. . . . d`aith`ımˆo˜i d¯oa.n th˘a’ ng d¯ˆe` u c´od¯ˆo. d`ail`amˆo.t sˆo´ thu. c n`aod¯´o. Nguo. c la.i, mˆo˜i sˆo´ . . . thu. c d¯ˆe` u l`ad¯ˆo. d`aicu’a mˆo.t d¯oa.n th˘a’ ng c´ohu´ong n`aod¯´o. 6 Tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c Mo’. d¯ˆa`u tiˆe´t tru.´o.c, ch´ungta d¯˜ach´u.ng minh r˘a`ng phu.o.ng tr`ınh X2 − 2 = 0 khˆong . . . . . . c´onghiˆe.m h˜uu ty’.D- ´och´ınhl`ad¯iˆe’m kho’ i d¯ˆa`u cho viˆe.c xˆaydu. ng tru`ong sˆo´ thu. c . . . . . . R nhu l`a mˆo.t “bˆo’ sung” cu’a tru`ong sˆo´ h˜uu ty’ Q, nh˘a`m t`ımnghiˆe.m cho phuong tr`ınhd¯´o. . . . . . 2 . C´omˆo.t t`ınhtra.ng tuong tu. l`a phuong tr`ınh X + 1 = 0 khˆongc´onghiˆe.m thu. c, . . . . bo’ i v`ıb`ınhphuong cu’a mo.i sˆo´ thu. c d¯ˆe` u khˆongˆam. D- ˆe’ tho´atra kho’i t`ınhtra.ng . . . . . . n`ay, ta cˆa`n “mo’ rˆo.ng” tru`ong sˆo´ thu. c R b˘`ang c´ach xˆaydu. ng thˆem“c´acsˆo´ m´oi”. . . . . . Ta go.i i l`amˆo.t k´yhiˆe.u h`ınhth´uc (t´uc mˆo.t “sˆo´ m´oi”) l`anghiˆe.m cu’a phuong tr`ınhn´oitrˆen,t´u.c l`a i2 = −1. . . . . Ta muˆo´n thu. c hiˆe.n d¯uo. c mo.i ph´epto´ancˆo.ng, tr`u, nhˆanv`achia (cho c´acsˆo´ kh´ac0) . . . . sau khi d¯˜agh´epthˆem i v`aotru`ong sˆo´ thu. c R. D- iˆe` u n`aydˆa˜n ta t´oi viˆe.c chˆa´p nhˆa.n 29
30. . . . c´ac“sˆo´ m´oi” da.ng a + bi, trong d¯´o a, b ∈ R. Tˆa.p ho. p c´acsˆo´ nhu vˆa.y kh´epk´ınd¯ˆo´i . . . 2 v´oi bˆo´n ph´epto´ann´oitrˆen.Thˆa.t vˆa.y, su’ du. ng hˆe. th´uc i = −1 ta c´o: (a + bi) ± (c + di) = (a + c) ± (b + d)i, (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, a + bi (a + bi)(c − di) = c + di c2 + d2 ac + bd (bc − ad)i = + , c2 + d2 c2 + d2 . . (v´oi c + di =6 0, t´uc l`a c =6 0 ho˘a.c d =6 0). Tuy nhiˆen,vˆa˜n c`onmˆo.t cˆauho’i: “Vˆa.y i l`ac´aig`ı?”. . . . D- ˆe’ tr´anht`ınhtra.ng kh´osu’ n`ayta h˜ayd¯ˆo`ng nhˆa´t a + bi v´oi c˘a.p sˆo´ thu. c (a, b). . . . Nh˜ung phˆant´ıch o’ trˆendˆa˜n ta t´oi d¯i.nh ngh˜ıasau d¯ˆay. . . . . . . D- .inh ngh˜ıa6.1 Mˆo.t c˘a.p c´oth´u tu. hai sˆo´ thu. c (a, b) d¯uo. c go.i l`amˆo.t sˆo´ ph´uc. . . . . . Tˆa.p ho. p tˆa´t ca’ c´acsˆo´ ph´uc d¯uo. c k´yhiˆe.u bo’ i C: C = {(a, b)|a, b ∈ R}. . . Ta d¯i.nh ngh˜ıac´acph´epto´ancˆo.ng v`anhˆanc´acsˆo´ ph´uc nhu sau: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc). . . Mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆayd¯uo. c kiˆe’m tra mˆo.t c´ach dˆe˜ d`ang. . . Mˆe.nh d¯ˆe` 6.2 Tˆa. p c´acsˆo´ ph´uc C c`ungv´oi hai ph´epto´ancˆo. ng v`anhˆand¯i.nh ngh˜ıa . . . o’ trˆenlˆa. p nˆenmˆo. t tru`ong c´od¯˘a. c sˆo´ b˘a`ng khˆong. 2 . . . Phˆa`n tu’ trung lˆa.p d¯ˆo´i v´oi ph´epcˆo.ng l`a0 = (0, 0). D- on vi. cu’a ph´epnhˆanl`a . 1 = (1, 0). Nghi.ch d¯a’o cu’a sˆo´ ph´uc (a, b) =6 0 l`a a −b (a, b)−1 = ( , ). a2 + b2 a2 + b2 30
31. . Nhˆa.n x´et: Theo d¯i.nh ngh˜ıa,hai sˆo´ ph´uc (a, b) v`a(c, d) b˘a`ng nhau nˆe´u v`achı’ nˆe´u a = c, b = d. Ta c´o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). N´oic´ach kh´ac,´anhxa. ι : R → C, a 7→ (a, 0) . . . . l`amˆo.t d¯on cˆa´u v`anh.V`ıthˆe´, ta c´othˆe’ d¯ˆo`ng nhˆa´t sˆo´ thu. c a ∈ R v´oi sˆo´ ph´uc c´o . . . . . . . da.ng (a, 0). Khi d¯´otˆa.p ho. p c´acsˆo´ thu. c R d¯uo. c d¯ˆo`ng nhˆa´t v´oi tˆa.p ho. p c´acsˆo´ ph´uc . . . . . . . . . da.ng {(a, 0)|a ∈ R}. Ngu`oi ta n´oitru`ong sˆo´ thu. c R l`a mˆo.t tru`ong con cu’a tru`ong sˆo´ ph´u.c C. 2 . D- ˘a.t i = (0, 1) ∈ C. Ta c´o i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) ≡ −1. Nhu thˆe´, ta d¯˜ac´o . . . “vˆa.t liˆe.u” d¯ˆe’ xˆaydu. ng “sˆo´ m´oi” i. Ta go.i i l`a d¯on vi. a’o. . . . Mˆo˜i sˆo´ ph´uc z = (a, b) c´othˆe’ viˆe´t du´oi da.ng z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi. . . trong d¯´o a, b ∈ R.D- ´ol`a da. ng d¯a. i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´uc. Ta go.i a l`aphˆa`n thu. c cu’a z, k´y hiˆe.u a = Rez, c`on b l`aphˆa`n a’o cu’a z, k´yhiˆe.u Imz. . . . . . Sˆo´ ph´uc z m`a Imz = 0 ch´ınhl`amˆo.t sˆo´ thu. c. Sˆo´ ph´uc z c´o Rez = 0 d¯uo. c go.i l`amˆo.t sˆo´ thuˆa`n a’o. . . Bˆaygi`o ta x´et biˆe’u diˆe˜n h`ınhho. c cu’a c´acsˆo´ ph´uc. . Trˆenm˘a.t ph˘a’ ng x´etmˆo.t hˆe. tru. c toa. d¯ˆo. Descartes vuˆongg´oc Oxy. Sˆo´ ph´uc . . . . z = a + bi d¯uo. c biˆe’u diˆe˜n trˆenm˘a.t ph˘a’ ng bo’ i d¯iˆe’m M c´otoa. d¯ˆo. (a, b), ho˘a.c bo’ i . . . . v´ecto O~M d¯it`u d¯iˆe’m gˆo´c toa. d¯ˆo. O t´oi d¯iˆe’m M. Cˆo.ng c´acsˆo´ ph´uc ch´ınhl`acˆo.ng c´acv´ecto. tu.o.ng ´u.ng v´o.i ch´ung. 31
32. y 6 z = M(a, b) >     b       ϕ - Z x O Z a Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ~ z¯ . . . . . . M˘a.t ph˘a’ ng toa. d¯ˆo. d¯uo. c go.i l`a m˘a. t ph˘a’ ng ph´uc. C´acsˆo´ thu. c d¯uo. c biˆe’u diˆe˜n . . . . . trˆentru. c Ox, d¯uo. c go.i l`a tru. c thu. c. C´acsˆo´ thuˆa`n a’o d¯uo. c biˆe’u diˆe˜n trˆentru. c Oy, . . d¯uo. c go.i l`a tru. c a’o. . . . . . . . Ph´epd¯ˆo´i x´ung qua tru. c thu. c d¯uo. c go.i l`aph´epliˆenho. p ph´uc. Cu. thˆe’ hon, ta c´o . . . . . D- .inh ngh˜ıa6.3 Sˆo´ ph´ucz ¯ = a − bi d¯uo. c go.i l`a liˆenho. p cu’a sˆo´ ph´uc z = a + bi, . trong d¯´o a, b l`ac´acsˆo´ thu. c. Ta dˆe˜ d`angkiˆe’m tra la.i r˘a`ng z + t =z ¯ + t,¯ zt =z ¯t.¯ . . . . Phˆa`n cuˆo´i cu’a tiˆe´t n`ayd¯uo. c d`anhcho viˆe.c kha’o s´at da. ng luo. ng gi´ac cu’a sˆo´ . . . . ph´uc. Da.ng luo. ng gi´acd¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n tiˆe.n cho viˆe.c nˆanglˆenlu˜yth`ua v`akhai c˘an c´acsˆo´ ph´u.c. Gia’ su’. z = a + bi =6 0 (t´u.c l`a a2 + b2 =6 0). Ta c´o √ a b z = a2 + b2(√ + √ i). a2 + b2 a2 + b2 32
33. √ Ta d¯˘a.t r = a2 + b2 v`a nhˆa.n x´etr˘a`ng tˆo`n ta.i g´oc ϕ x´acd¯i.nh sai kh´ac2kπ (k ∈ Z) sao cho a b cos ϕ = √ , sin ϕ = √ . a2 + b2 a2 + b2 Khi d¯´o z = r(cos ϕ + i sin ϕ). √ . 2 2 . . . D- .inh ngh˜ıa6.4 Sˆo´ thu. c khˆongˆam r = a + b d¯uo. c go.i l`a mˆod¯un cu’a sˆo´ ph´uc . . z = a+bi, k´yhiˆe.u r = |z|; c`ong´oc ϕ d¯uo. c go.i l`a argument cu’a z, k´yhiˆe.u ϕ = arg z. . . . Argument cu’a sˆo´ ph´uc z = 0 khˆongd¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıa. Gia’ su’. z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), t = |t|(cos ψ + i sin ψ). Khi d¯´o zt = |z||t|[(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)] = |z||t|(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)). N´oic´ach kh´ac |zt| = |z||t|, arg(zt) = arg(z) + arg(t), . . . trong d¯´od¯iˆe` u kiˆe.n d¯ˆe’ c´od¯˘a’ ng th´uc cuˆo´i l`a arg(z) v`a arg(t) d¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıa. N´oiriˆeng,ta c´o zn = (|z|(cos ϕ + i sin ϕ))n = |z|n(cos nϕ + i sin nϕ). . . D- ˘a.c biˆe.t, v´oi |z| = 1, ta c´o Cˆongth´uc Moivre: (cos ϕ + i sin ϕ))n = cos nϕ + i sin nϕ. . . Tiˆe´p theo, ta x´etb`aito´an khai c˘anbˆa. c n cu’a sˆo´ ph´uc z, t´uc l`at`ımtˆa´t ca’ c´ac sˆo´ ph´u.c u sao cho un = z. Nˆe´u z = 0 th`ı u = 0 l`al`o.i gia’i duy nhˆa´t. . . Nˆe´u z =6 0, ta d¯˘a.t z = |z|(cos ϕ+i sin ϕ) v`at`ım u du´oi da.ng u = |u|(cos θ+i sin θ). Ta c´o un = z ⇐⇒ |u|n(cos nθ + i sin nθ) = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) 33
34.    |u|n = |z|, ⇐⇒   nθ = ϕ + 2kπ (k ∈ Z)  q   |u| = n |z| (c˘ansˆo´ hoc), ⇐⇒ .  ϕ+2kπ ∈ θ = n (k Z). . . . . Nhu vˆa.y, c´od¯´ung n c˘anbˆa.c n cu’a mˆo˜i sˆo´ ph´uc z =6 0, ´ung v´oi c´acgi´atri. k = . 1, 2, , n − 1. C´acc˘ann`aylˆa.p nˆen n d¯ı’nh cu’a mˆo.t d¯agi´acd¯ˆe` u n ca.nh v´oi tˆamta.i gˆo´c toa. d¯ˆo . N´oiriˆeng,c´od¯´ung n c˘anbˆa.c n cu’a d¯on vi. 1, d¯´ol`a 2kπ 2kπ ω = cos + i sin (k = 1, 2, , n − 1). k n n . . C˘an ωk d¯uo. c go.i l`amˆo.t c˘annguyˆenthuy’ bˆa.c n cu’a 1 nˆe´u mo.i c˘anbˆa.c n cu’a 1 d¯ˆe` u . l`amˆo.t lu˜yth`ua n`aod¯´ocu’a ωk.D- iˆe` u n`ayxa’y ra khi v`achı’ khi k v`a n nguyˆentˆo´ c`ungnhau. . . . Tˆa´t ca’ c´acc˘anbˆa.c n cu’a mˆo˜i sˆo´ ph´uc z d¯ˆe` u nhˆa.n d¯uo. c b˘a`ng c´ach nhˆanmˆo.t . . . c˘annhu thˆe´ v´oi tˆa´t ca’ c´acc˘anbˆa.c n cu’a d¯on vi . . . . . Viˆe.c kha’o s´atc´acc˘anph´uc d¯˜acho thˆa´y tru`ong sˆo´ ph´uc “phong ph´u”hon rˆa´t . . . . . . . 2 nhiˆe` u so v´oi tru`ong sˆo´ thu. c. Tro’ la.i x´etphuong tr`ınh X + 1 = 0, ta d¯˜abiˆe´t r˘a`ng . n´oc´od¯´unghai nghiˆe.m ph´uc (±i), l`ac´acc˘anbˆa.c hai cu’a (−1). Trong tiˆe´t sau ta . . . . . s˜ethˆa´y tru`ong sˆo´ ph´uc cung cˆa´p “d¯u’ nghiˆe.m” cho tˆa´t ca’ c´acd¯ath´uc hˆe. sˆo´ ph´uc. 7 D- a th´u.c . . . Ch´ungta tr`ınhb`ayo’ d¯ˆaymˆo.t c´ach hiˆe’u tru. c gi´acnhˆa´t vˆe` d¯ath´uc. . . . . . Gia’ su’ K l`amˆo.t tru`ong. Biˆe’u th´uc h`ınhth´uc n n−1 f(X) = anX + an−1X + ··· + a1X + a0, ∈ . . . . trong d¯´o a0, a1, , an K, d¯uo. c go.i l`amˆo.t d¯ath´uc cu’a ˆa’n X (hay biˆe´n X) v´oi hˆe. sˆo´ trong K. 34
35. 6 . . Nˆe´u an = 0 th`ıta n´oi f(X) c´obˆa.c n, v`aviˆe´t deg f(X) = n; c`on an d¯uo. c go.i l`a ··· . . hˆe. sˆo´ bˆa.c cao nhˆa´t cu’a f(X). Nˆe´u a0 = a1 = = an = 0 th`ı f(X) d¯uo. c go.i l`ad¯a . . . th´uc 0, v`ad¯uo. c coi l`ac´obˆa.c b˘a`ng −∞. . . . . . Tˆa.p ho. p c´acd¯ath´uc ˆa’n X v´oi hˆe. sˆo´ trong K d¯uo. c k´yhiˆe.u l`a K[X]. Ta trang . . bi. cho tˆa.p ho. p n`ayhai ph´epto´ancˆo.ng v`anhˆannhu sau: Ph´epcˆo.ng: n n (anX + ··· + a0) + (bmX + ··· + b0) n m+1 m := anX + ··· + am+1X + (am + bm)X + ··· + (a0 + b0), (o’. d¯ˆayta gia’ su’. khˆong gia’m tˆo’ng qu´at n ≥ m). Ph´epnhˆan: n n n+m (anX + ··· + a0)(bmX + ··· + b0) := cn+mX + ··· + c0, P trong d¯´o ck = i+j=k aibj. . Mˆe.nh d¯ˆe` 7.1 K[X] c`ungv´o i hai ph´epto´ann´oitrˆenlˆa. p nˆenmˆo. t v`anhgiao ho´an, . . . . c´od¯on vi., khˆongc´ou´oc cu’a khˆongv´oi d¯˘a. c sˆo´ CharK[X] = CharK. . . . Ch´ung minh: Nhˆa.n x´etr˘a`ng d¯ˆo´i v´oi c´acd¯ath´uc f(X) v`a g(X) ta c´o deg(f(X)g(X)) = deg f(X) + deg g(X). . . . . T´ınhchˆa´t n`aydˆa˜n t´oi su. kiˆe.n K[X] khˆongc´ou´oc cu’a khˆong. C´ackh˘a’ ng d¯i.nh c`onla.i cu’a mˆe.nh d¯ˆe` d¯ˆe` u dˆe˜ kiˆe’m tra. 2 . Ta th`ua nhˆa.n d¯i.nh l´ysau d¯ˆay. . . . . D- .inh l´y7.2 (Ph´epchia Euclid v´oi du). Gia’ su’ f(X) v`a g(X) =6 0 l`ac´acd¯ath´uc . cu’a v`anh K[X]. Khi d¯´otˆo`n ta. i duy nhˆa´t c´acd¯ath´uc q(X) v`a r(X) trong K[X] sao cho f(X) = g(X)q(X) + r(X), trong d¯´o deg r(X) < deg g(X). 35
36. . . . . . . . . . C´acd¯ath´uc q(X) v`a r(X) d¯uo. c go.i tuong ´ung l`a thuong v`a phˆa`n du trong ph´epchia f(X) cho g(X). Nˆe´u r(X) = 0, t´u.c l`a f(X) = g(X)q(X), ta n´oi f(X) . . chia hˆe´t cho g(X) trong K[X], ho˘a.c g(X) l`amˆo.t u´oc cu’a f(X) trong K[X]. . ∈ . . . n ··· Phˆa`n tu’ c K d¯uo. c go.i l`amˆo.t nghiˆe. m cu’a d¯ath´uc f(X) = anX + +a1X+a0 nˆe´u n f(c) = anc + ··· + a1c + a0 = 0 ∈ K. . . Ta c´od¯i.nh l´ysau d¯ˆayliˆenhˆe. gi˜ua nghiˆe.m v`at´ınhchia hˆe´t cu’a d¯ath´uc. . D- .inh l´y7.3 (B´ezout). -Da th´uc f(X) ∈ K[X] nhˆa. n c ∈ K l`amˆo. t nghiˆe. m nˆe´u v`a . chı’ nˆe´u tˆo`n ta. i mˆo. t d¯ath´uc q(X) ∈ K[X] sao cho f(X) = (X − c)q(X). Ch´u.ng minh: Nˆe´u f(X) = (X − c)q(X) th`ı f(c) = (c − c)q(c) = 0 ∈ K. Do d¯´o c l`amˆo.t nghiˆe.m cu’a f(X). . . . . Nguo. c la.i, gia’ su’ c l`amˆo.t nghiˆe.m cu’a f(X). Ta chia f(X) cho d¯ath´uc kh´ac khˆong(X − c): f(X) = (X − c)q(X) + r(X), trong d¯´o q(X), r(X) ∈ K[X] v`adeg r(X) < deg(X − c) = 1. Nhu. thˆe´, deg r(X) . . . . ho˘a.c b˘a`ng 0 ho˘a.c b˘a`ng −∞. Trong ca’ hai tru`ong ho. p r(X) d¯ˆe` u l`ad¯ath´uc h˘a`ng, r(X) = r ∈ K. Ta c´o 0 = f(c) = (c − c)q(c) + r = r. . Vˆa.y r = 0. T`u d¯´o f(X) = (X − c)q(X). 2 . . . . D- .inh ngh˜ıa7.4 Phˆa`n tu’ c ∈ K d¯uo. c go.i l`amˆo.t nghiˆe. m bˆo. i k cu’a d¯ath´uc f(X) nˆe´u f(X) chia hˆe´t cho (X − c)k, nhu.ng khˆongchia hˆe´t cho (X − c)k+1 trong K[X]. . 2 . . V´ıdu. : D- a th´uc f(X) = X(X − 1) c´oc´acnghiˆe.m X = 0 v´oi bˆo.i 0 v`a X = 1 v´oi bˆo.i 2. 36
37. . . . D- .inh ngh˜ıa7.5 D- a th´uc f(X) ∈ K[X] d¯uo. c go.i l`a bˆa´t kha’ quy trˆen K nˆe´u n´o . . . c´obˆa.c duong v`anˆe´u n´okhˆongth`ua nhˆa.n mˆo.t phˆant´ıch n`aoc´oda.ng f(X) = . . g(X)h(X), trong d¯´oc´acd¯ath´uc g(X), h(X) ∈ K[X] d¯ˆe` u c´obˆa.c nho’ hon deg f(X). . . . Mˆo.t d¯ath´uc d¯uo. c go.i l`a kha’ quy trˆen K nˆe´u n´okhˆongbˆa´t kha’ quy trˆen K. . N´oic´ach kh´ac,d¯ath´uc f(X) ∈ K[X] l`a bˆa´t kha’ quy trˆen K nˆe´u n´oc´obˆa.c . . . . . duong v`achı’ chia hˆe´t cho c´acd¯ath´uc bˆa.c duong c´oda.ng kf(X) ∈ K[X], trong d¯´o k ∈ K \{0}. V´ıdu. : . (1) Mo.i d¯ath´uc bˆa.c nhˆa´t d¯ˆe` u bˆa´t kha’ quy. . (2) D- a th´uc bˆa.c hai bˆa´t kha’ quy trˆen K nˆe´u v`achı’ nˆe´u n´ovˆonghiˆe.m trong K. . . . (3) D- a th´uc bˆa.c l´on hon 1 c´onghiˆe.m trong K th`ıkhˆongbˆa´t kha’ quy trˆen K (4) D- a th´u.c X2 − 2 bˆa´t kha’ quy trˆen Q nhu.ng kha’ quy trˆen R. (5) D- a th´u.c X2 + 1 bˆa´t kha’ quy trˆen R, nhu.ng kha’ quy trˆen C. . . . Ch´ungta th`ua nhˆa.n d¯i.nh l´ysau d¯ˆay, n´oivˆe` t´ınh d¯´ongd¯a. i sˆo´ cu’a tru`ong sˆo´ ph´u.c. . D- .inh l´y7.6 (D- .inh l´yco ba’n cu’a D- a.i sˆo´ ho.c). . . . . . . Mo. i d¯ath´uc bˆa. c duong v´oi hˆe. sˆo´ ph´uc d¯ˆe` u c´onghiˆe.m ph´uc. . . N´oi c´ach kh´ac,mˆo.t d¯ath´uc hˆe. sˆo´ ph´uc l`abˆa´t kha’ quy trˆen C khi v`achı’ khi n´o . l`amˆo.t d¯ath´uc bˆa.c nhˆa´t. . . Nhu vˆa.y, nˆe´u f(X) ∈ C[X] c´obˆa.c n th`ın´oth`ua nhˆa.n phˆant´ıch f(X) = an(X − z1) ··· (X − zn) 6 . trong d¯´o an = 0 l`ahˆe. sˆo´ bˆa.c cao nhˆa´t cu’a f(X), v`a z1, , zn l`ac´acsˆo´ ph´uc n`aod¯´o. 37
38. . . Cho t´oi nay, mo.i ch´ung minh d¯˜abiˆe´t cu’a d¯i.nh l´yn`ayd¯ˆe` u mang ba’n s˘a´c Tˆopˆo, . . H`ınhho.c ho˘a.c Gia’i t´ıch. Chua c´omˆo.t ch´ung minh thuˆa`n tu´yd¯a.i sˆo´ n`aocho d¯i.nh l´yn`ay. . . 2 . Nh˘a´c la.i r˘a`ng tam th´uc bˆa.c hai hˆe. sˆo´ thu. c aX + bX + c khˆongc´onghiˆe.m thu. c . 2 nˆe´u v`achı’ nˆe´u biˆe.t th´uc cu’a n´o∆ = b − 4ac < 0. . . Mˆo.t ´ung du. ng cu’a d¯i.nh l´yco ba’n cu’a d¯a.i sˆo´ ho.c l`akh˘a’ ng d¯i.nh sau d¯ˆay. . . D- .inh l´y7.7 Mˆo. t d¯ath´uc hˆe. sˆo´ thu. c l`abˆa´t kha’ quy trˆen R nˆe´u v`achı’ nˆe´u n´oho˘a. c . . . . . . l`amˆo. t d¯ath´uc bˆa. c nhˆa´t ho˘a. c l`amˆo. t d¯ath´uc bˆa. c hai v´oi biˆe. t th´uc ˆam.Hon n˜ua, . . mo. i d¯ath´uc f(X) ∈ R[X] d¯ˆe` u th`ua nhˆa. n phˆant´ıch k1 kr 2 `1 2 `s f(X) = an(X − x1) ··· (X − xr) (X + b1X + c1) ··· (X + bsX + cs) , P P r s trong d¯´o an l`ahˆe. sˆo´ bˆa. c cao nhˆa´t cu’a f(X), i=1 ki + j=1 `j = n = deg f(X), . . . 2 x1, , xr l`ac´acsˆo´ thu. c v`ac´actam th´uc bˆa. c hai hˆe. sˆo´ thu. c (X + biX + ci) d¯ˆe` u . khˆongc´onghiˆe.m thu. c. . . . . . Ch´ung minh: R˜or`angmo.i d¯ath´uc hˆe. sˆo´ thu. c bˆa.c nhˆa´t ho˘a.c bˆa.c hai v´oi biˆe.t th´uc . . . . ˆamd¯ˆe` u bˆa´t kha’ quy trˆen R. Kh˘a’ ng d¯i.nh nguo. c la.i d¯uo. c bao h`amtrong phˆant´ıch . cˆa`n t`ımcho mo.i d¯ath´uc f(X) n´oitrong d¯i.nh l´y. . . . . . Go.i x1, , xr l`atˆa´t ca’ c´acnghiˆe.m thu. c cu’a f(X) v´oi bˆo.i tuong ´ung b˘a`ng k1, , kr. Ta c´o k1 kr f(X) = an(X − x1) ··· (X − xr) P (X), . . . . . trong d¯´o P (X) l`amˆo.t d¯ath´uc hˆe. sˆo´ thu. c nhung khˆongc´onghiˆe.m thu. c. Gia’ su’ z1 . l`amˆo.t nghiˆe.m ph´uc cu’a P (X), khi d¯´o¯z1 c˜ungl`amˆo.t nghiˆe.m cu’a P (X). Thˆa.t vˆa.y, P (X) c´oda.ng m P (X) = dmX + ··· + d1X + d0, . . ¯ trong d¯´o dm, , d0 l`ac´acsˆo´ thu. c, t´uc l`a di = di. Dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng m ··· 0 = P (z1) = dmz1 + + d1z1 + d0 38
39. ¯ m · ·· ¯ ¯ = dmz1 + + d1z¯1 + d0 m ··· = dmz¯1 + + d1z¯1 + d0 = P (¯z1). − . Theo d¯i.nh l´yB´ezout P (X) = (X z1)P1(X). T`u d¯´o P (¯z1) = (¯z1 − z1)P1(¯z1) = 0. . − 6 ´ V`ı z1 khˆongpha’i l`asˆo´ thu. c, nˆen(¯z1 z1) = 0. Do d¯´o P1(¯z1) = 0. Ap du. ng d¯i.nh l´y . . . B´ezoutmˆo.t lˆa`n n˜ua cho P1(X) ta nhˆa.n d¯uo. c P (X) = (X − z1)(X − z¯1)Q(X), . trong d¯´o Q(X) l`amˆo.t d¯ath´uc. Nhˆa.n x´etr˘a`ng 2 (X − z1)(X − z¯1) = X − (z1 +z ¯1)X + z1z¯1 2 2 = X − 2(Re(Z1)X + |z1| . . . . l`amˆo.t tam th´uc bˆa.c hai hˆe. sˆo´ thu. c nhung khˆongc´onghiˆe.m thu. c. Do t´ınhduy nhˆa´t . . 2 2 cu’a ph´epchia d¯ath´uc P (X) cho d¯ath´uc X − 2(Re(Z1)X + |z1| trong c´acv`anh . . R[X] v`a C[X], ta kˆe´t luˆa.n Q(X) c˜ungl`amˆo.t d¯ath´uc hˆe. sˆo´ thu. c. N´okhˆongc´o . . . . . nghiˆe.m thu. c v`ı P (X) c˜ungvˆa.y. Nhu thˆe´, c´othˆe’ l˘a.p la.i nh˜ung lˆa.p luˆa.n o’ trˆenv´oi . . . Q(X) thay cho P (X). Bo’ i v`ıdeg Q(X) < deg P (X), cho nˆenta nhˆa.n d¯uo. c phˆan . t´ıch cu’a f(X) nhu n´oi trong d¯i.nh l´yb˘a`ng c´ach quy na.p theo deg P (X). 2 B`aitˆa.p . . 1. Ch´ung minh c´act´ınhchˆa´t kˆe´t ho. p, giao ho´an,phˆanphˆo´i cu’a c´acph´epto´an . . . . ho. p v`agiao trˆentˆa.p ho. p. Ch´ung minh cˆongth´uc d¯ˆo´i ngˆa˜u De Morgan cho . . hiˆe.u cu’a ho. p v`agiao cu’a mˆo.t ho. tu`y´yc´actˆa.p ho. p. 39
40. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng (a) (A \ B) ∪ (B \ A) = ∅ ⇐⇒ A = B, (b) A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), (c) (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B), (d) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C), (e) A ∪ (B \ A) = (A ∪ B), (f) A \ (A \ B) = A ∩ B. 3. Ch´u.ng minh r˘a`ng (a) (A × B) ∩ (B × A) 6= ∅ ⇐⇒ A ∩ B =6 ∅, (b) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D). . . 4. Gia’ su’ f : X → Y l`amˆo.t ´anhxa. v`a A, B ⊂ X. Ch´ung minh r˘a`ng (a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B), (b) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B), (c) f(A \ B) ⊃ f(A) \ f(B). . . H˜ayt`ımc´acv´ıdu. d¯ˆe’ ch´ung to’ r˘a`ng khˆongc´odˆa´u b˘a`ng o’ c´acmu. c (b) v`a(c). . 5. Cho ´anhxa. f : X → Y v`ac´actˆa.p con A, B ⊂ Y . Ch´ung minh r˘a`ng (a) f −1(A ∪ B) = f −1(A) ∪ f −1(B), (b) f −1(A ∩ B) = f −1(A) ∩ f −1(B), (c) f −1(A \ B) = f −1(A) \ f −1(B). . . 6. Ch´ung minh hai mˆe.nh d¯ˆe` vˆe` ´anhxa. o’ cuˆo´i §2. 40
41. . . 2 7. X´etxem ´anhxa. f : R → R x´acd¯i.nh bo’ i cˆongth´uc f(x) = x −3x+2 c´opha’i . −1 l`amˆo.t d¯on ´anhhay to`an´anhhay khˆong. T`ım f(R), f(0), f (0), f([0, 5]), f −1([0, 5]). . . . . 8. Gia’ su’ A l`a mˆo.t tˆa.p gˆo`m d¯´ung n phˆa`n tu’ . Ch´ung minh r˘a`ng tˆa.p ho. p P(A) n . c´ac tˆa.p con cu’a A c´od¯´ung2 phˆa`n tu’ . . . + . . . . . . 9. Ch´ung minh r˘a`ng tˆa.p ho. p R c´ac sˆo´ thu. c duong c´olu. c luo. ng continum. . + . x (Go. i ´y:X´et´anhxa. exp : R → R , v´oi exp(x) = e .) . . . . 10. Cho hai sˆo´ thu. c a, b v´oi a < b. Ch´ung minh r˘a`ng khoa’ng sˆo´ thu. c (a, b) = {x ∈ . . . . + R| a < x < b} c´olu. c luo. ng continum. (Go. i ´y:X´et´anhxa. ϕ :(a, b) → R ’. a−x x´acd¯i.nh boi ϕ(x) = x−b .) . . . . . 11. Mˆo.t sˆo´ thu. c d¯uo. c go.i l`amˆo.t sˆo´ d¯a. i sˆo´ nˆe´u n´ol`anghiˆe.m cu’a mˆo.t phuong . . . tr`ınhd¯ath´uc n`aod¯´ov´oi c´achˆe. sˆo´ nguyˆen.Ch´ung minh r˘a`ng tˆa.p c´acsˆo´ d¯a.i . . . . . sˆo´ l`amˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯uo. c. T`u d¯´osuy ra r˘a`ng tˆa.p ho. p c´acsˆo´ thu. c khˆongpha’i . . l`asˆo´ d¯a.i sˆo´ l`amˆo.t tˆa.p vˆoha.n khˆongd¯ˆe´m d¯uo. c. . . 12. Lˆa.p ba’ng cˆo.ng v`aba’ng nhˆancu’a v`anh Z/n v´oi n = 12 v`a n = 15. Du. a v`ao . . ba’ng, t`ımc´acphˆa`n tu’ kha’ nghi.ch d¯ˆo´i v´oi ph´epnhˆantrong hai v`anhd¯´o. ∗ . . . 13. Go.i (Z/n) l`atˆa.p ho. p c´acphˆa`n tu’ kha’ nghi.ch d¯ˆo´i v´oi ph´epnhˆantrong Z/n. Ch´u.ng minh r˘a`ng (Z/n)∗ = {[x]| x v`a n nguyˆentˆo´ c`ungnhau}. . ∗ . . 14. Cho R l`amˆo.t v`anhc´od¯on vi Go.i R l`atˆa.p ho. p c´acphˆa`n tu’ kha’ nghi.ch d¯ˆo´i . . ∗ . v´oi ph´epnhˆantrong R. Ch´ung minh r˘a`ng R l`amˆo.t nh´omd¯ˆo´i v´oi ph´epnhˆan cu’a R. . . . 15. Cho R l`amˆo.t v`anhc´od¯on vi. 1 =6 0 v`ac´acphˆa`n tu’ x, y ∈ R. Ch´ung minh r˘a`ng 41
42. (a) Nˆe´u xy v`a yx kha’ nghi.ch th`ı x v`a y kha’ nghi.ch. . . (b) Nˆe´u R khˆongc´ou´oc cu’a khˆongv`a xy kha’ nghi.ch th`ı x v`a y kha’ nghi.ch. . . 16. Cho R l`amˆo.t v`anhh˜uu ha.n. Ch´ung minh r˘a`ng . . . . (a) Nˆe´u R khˆongc´ou´oc cu’a khˆongth`ın´oc´od¯on vi. v`amo.i phˆa`n tu’ kh´ac . khˆongcu’a R d¯ˆe` u kha’ nghi.ch. (Go. i ´y:C´acph´epnhˆanbˆenpha’i ho˘a.c bˆen . . tr´aiv´oi mˆo.t phˆa`n tu’ cˆo´ d¯i.nh kh´ackhˆongd¯ˆe` u l`ac´acsong ´anh R → R.) . . (b) Nˆe´u R c´od¯on vi. th`ımo.i phˆa`n tu’ kha’ nghi.ch mˆo.t ph´ıatrong R d¯ˆe` u kha’ nghi.ch. . . . 17. Ch´ung minh r˘a`ng tˆa.p ho. p c´acsˆo´ thu. c √ √ Q( 2) = {a + b 2| a, b ∈ Q} . . . . . lˆa.p nˆenmˆo.t tru`ong v´oi c´acph´epto´ancˆo.ng v`anhˆanthˆongthu`ong. √ √ 18. Ch´u.ng minh r˘a`ng c´actru.`o.ng Q( 2) v`a Q( 3) khˆongd¯˘a’ ng cˆa´u v´o.i nhau. . . . . . 19. Ch´ung minh r˘a`ng nˆe´u sˆo´ ph´uc z 6∈ R th`ıtru`ong gˆo`m c´acphˆa`n tu’ c´oda.ng R(z) = {a + bz| a, b ∈ R} tr`ungv´o.i tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C. 20. Ch´u.ng minh r˘a`ng c´actru.`o.ng C v`a Z/p, v´o.i p nguyˆentˆo´, khˆongl`atru.`o.ng . . . . . d¯uo. c s˘a´p to`anphˆa`n d¯ˆo´i v´oi bˆa´t k`yth´u tu. n`ao. . ∗ . . 21. Ch´ung minh r˘a`ng ´anhxa. ϕ : R → C x´acd¯i.nh bo’ i cˆongth´uc ϕ(x) = . . ∗ . cos x + i sin x l`amˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u t`u nh´om R v´oi ph´epcˆo.ng v`aonh´om C v´oi ph´epnhˆan.T`ımtˆa.p gi´atri. cu’a ϕ.D- `ˆong cˆa´u ϕ c´opha’i l`amˆo.t to`ancˆa´u hay . mˆo.t d¯on cˆa´u khˆong? 42
43. 22. Ch´u.ng minh r˘a`ng d¯ˆo´i v´o.i sˆo´ ph´u.c z: z = z¯ ⇐⇒ z ∈ R, z = −z¯ ⇐⇒ z l`athuˆa`n a’o. . . 23. Khi n`aoth`ıt´ıch cu’a hai sˆo´ ph´uc l`amˆo.t sˆo´ thu. c? Khi n`aoth`ıtˆo’ng v`at´ıch cu’a . . hai sˆo´ ph´uc d¯ˆe` u l`asˆo´ thu. c? 24. T´ınh i77, i99, i−57, in, (1 + i)n v´o.i n ∈ Z. 25. Ch´u.ng minh c´acd¯˘a’ ng th´u.c (1 + i)8n = 24n, (1 + i)4n = (−1)n22n, (n ∈ Z). 26. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u z+z−1 = 2 cos ϕ trong d¯´o ϕ ∈ R th`ı zn+z−n = 2 cos nϕ, . v´oi mo.i n ∈ N. 27. T´ınh √ 1 − 2i (1 − i)n (1 + 3i)n (a) , (b) √ , (c) . 4 + 3i (1 − 3i)n (1 + i)n+1 . . . 28. (a) T`ımda.ng luo. ng gi´accu’a sˆo´ ph´uc (1 + itgϕ)/(1 − itgϕ), . . . . . . (b) Trˆenm˘a.t ph˘a’ ng ph´uc, t`ımtˆa.p ho. p c´acd¯iˆe’m tuong ´ung v´oi {z = (1 + ti)/(1 − ti)| t ∈ R}. √ √ 29. D- ˘a’ ng th´u.c sau d¯ˆayc´od¯´ungkhˆong ns zs = n z, trong d¯´o z ∈ C, n, s ∈ N ? √ 30. (a) T`ımc´acc˘anbˆa.c ba cu’a 1 + i, v`a1 − 3i . √ (b) T`ımc´acc˘anbˆa.c n cu’a i, 1 − i, v`a1 + 3i . . . 31. Ch´ung minh r˘a`ng tˆo’ng cu’a tˆa´t ca’ c´acc˘anbˆa.c n cu’a mˆo.t sˆo´ ph´uc bˆa´t k`yd¯ˆe` u b˘a`ng 0. 43
44. 32. Phˆant´ıch c´acd¯ath´u.c sau d¯ˆayth`anhc´acnhˆantu’. bˆa´t kha’ quy trong c´acv`anh R[X] v`a C[X]: (a) X3 + 3X2 + 5X + 3, (b) X3 − X2 − X − 2. 33. Ch´u.ng minh r˘a`ng d¯ath´u.c X3m + X3n+1 + X3p+2 chia hˆe´t cho d¯ath´u.c X2 + . . . X + 1, v´oi mo.i m, n, p nguyˆenduong. . . . 3m 3n+1 34. T`ımtˆa´t ca’ c´acbˆo. ba nguyˆenduong m, n, p sao cho d¯ath´uc X − X + X3p+2 chia hˆe´t cho d¯ath´u.c X2 − X + 1. 44
45. Chu.o.ng I . KHONGˆ GIAN VECTO´ . . D- ˆo´i tuo. ng ban d¯ˆa`u cu’a mˆonD- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınhl`aviˆe.c gia’i v`abiˆe.n luˆa.n c´achˆe. . . phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınh.Tuy vˆa.y, d¯ˆe’ c´othˆe’ hiˆe’u thˆa´u d¯´aod¯iˆe` u kiˆe.n d¯a’m ba’o cho . . . . mˆo.t hˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınhc´onghiˆe.m v`acˆa´u tr´ucnghiˆe.m cu’a n´o,ngu`oi ta . . . d¯˜ad¯ua ra kh´ainiˆe.m khˆonggian v´ecto v`a kh´ainiˆe.m n`ayd¯˜atro’ th`anh mˆo.t trong . . . . . nh˜ung tru. cˆo.t cu’a mˆonD- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh. Khˆonggian v´ecto sau d¯´od¯˜ad¯uo. c su’ . du. ng phˆo’ biˆe´n trong mo.i l˜ınhvu. c cu’a to´anho.c. . 1 Kh´ainiˆe.m khˆonggian v´ecto . . . . . Trong suˆo´t chuong n`ay, ta luˆongia’ su’ K l`a mˆo.t tru`ong. . . . . D- .inh ngh˜ıa1.1 Tˆa.p ho. p V =6 ∅ d¯uo. c go.i l`amˆo.t khˆonggian v´ecto trˆen K nˆe´u n´o . . d¯uo. c trang bi. hai ph´epto´an,gˆo`m . (a) Ph´epcˆo.ng v´ecto: + : V × V → V (α, β) 7→ α + β, (b) Ph´epnhˆanv´ecto. v´o.i vˆohu.´o.ng: · : K × V → V (a, α) 7→ aα; 45
46. . C´acph´epto´ann`aythoa’ m˜annh˜ung d¯iˆe` u kiˆe.n (ho˘a.c tiˆend¯ˆe` ) sau d¯ˆay: (V1) (α + β) + γ = α + (β + γ), ∀α, β, γ ∈ V, (V2) ∃0 ∈ V : 0 + α = α + 0 = α, ∀α ∈ V, (V3) ∀α ∈ V, ∃α0 ∈ V : α + α0 = α0 + α = 0, (V4) α + β = β + α, ∀α, β ∈ V, (V5) (a + b)α = aα + bα, ∀a, b ∈ K, ∀α ∈ V, (V6) a(α + β) = aα + aβ, ∀a ∈ K, ∀α, β ∈ V, (V7) a(bα) = (ab)α, ∀a, b ∈ K, ∀α ∈ V, (V8) 1α = α, ∀α ∈ V. . . . . . . . C´acphˆa`n tu’ cu’a V d¯uo. c go.i l`ac´ac v´ecto, c´acphˆa`n tu’ cu’a K d¯uo. c go.i l`ac´ac vˆohu.´o.ng. . Bˆo´n tiˆend¯ˆe` d¯ˆa`u n´oir˘a`ng V l`amˆo.t nh´omabel d¯ˆo´i v´oi ph´epcˆo.ng. C´actiˆend¯ˆe` . . . . (V5) - (V7) n´oir˘a`ng ph´epnhˆanv´oi vˆohu´ong c´ot´ınhphˆanphˆo´i d¯ˆo´i v´oi ph´epcˆo.ng . . . . vˆohu´ong, phˆanphˆo´i d¯ˆo´i v´oi ph´epcˆo.ng v´ecto v`ac´ot´ınhchˆa´t cu’a mˆo.t “t´acd¯ˆo.ng”. . . . . . Tiˆend¯ˆe` (V8) n´oir˘a`ng ph´epnhˆanv´oi vˆohu´ong d¯uo. c chuˆa’n ho´a. . . . . . Mˆo.t khˆonggian v´ecto trˆen K c`ond¯uo. c go.i l`amˆo.t K-khˆonggian v´ecto, hay d¯on . gia’n: mˆo.t khˆonggian v´ecto, nˆe´u K d¯˜ar˜o. . . . . . . Khi K = R, V d¯uo. c go.i l`amˆo.t khˆonggian v´ecto thu. c. Khi K = C, V d¯uo. c . . go.i l`amˆo.t khˆonggian v´ecto ph´uc. . . . . V´ıdu. 1.2 (a) C´acv´ecto tu. do trong h`ınhho.c so cˆa´p v´oi c´acph´epto´ancˆo.ng . . . . . . v´ecto v`anhˆanv´ecto v´oi sˆo´ thu. c lˆa.p nˆenmˆo.t khˆonggian v´ecto thu. c. . . . . (b) Tˆa.p ho. p c´acd¯ath´uc K[X] (cu’a mˆo.t ˆa’n X, v´oi hˆe. sˆo´ trong K) v´oi ph´epcˆo.ng . . . . . . . d¯ath´uc v`aph´epnhˆand¯ath´uc v´oi vˆohu´ong thˆongthu`ong lˆa.p nˆenmˆo.t khˆong gian v´ecto. trˆentru.`o.ng K. . . (c) K l`amˆo.t khˆonggian v´ecto trˆench´ınhn´od¯ˆo´i v´oi ph´epcˆo.ng v`aph´epnhˆan . . . . . cu’a tru`ong K. R v`ua l`amˆo.t Q-khˆonggian v´ecto v`ua l`amˆo.t R-khˆonggian . . . . . v´ecto. C l`amˆo.t khˆonggian v´ecto d¯ˆo`ng th`oi trˆenc´actru`ong Q, R v`a C. 46
47. . . . . . (d) Tˆa.p ho. p {0} gˆ`om chı’ mˆo.t v´ecto 0 l`amˆo.t khˆonggian v´ecto trˆenmˆo˜i tru`ong K, v´o.i c´acph´epto´antˆa`m thu.`o.ng 0 + 0 = 0, a0 = 0, ∀a ∈ K. . . ∈ (e) Go.i Kn l`atˆa.p ho. p gˆo`m tˆa´t ca’ c´ach`ang n-th`anhphˆa`n (x1, , xn) v´oi xi K. . . N´o lˆa.p nˆenmˆo.t K-khˆonggian v´ecto v´oi hai ph´epto´ansau d¯ˆay: (x1, , xn) + (y1, , yn) = (x1 + y1, , xn + yn), a(x1, , xn) = (ax1, , axn), a ∈ K.    x   1    n .  .  . ∈ (f) Go.i K l`atˆa.p ho. p gˆo`m tˆa´t ca’ c´accˆo.t n-th`anhphˆa`n  . , v´oi xi K. N´o   xn . . c˜unglˆa.p nˆenmˆo.t K-khˆonggian v´ecto v´oi hai ph´epto´ansau d¯ˆay:            x   y   x + y   x   ax   1   1   1 1   1   1             .   .   .   .   .   .  +  .  =  .  , a  .  =  .  .           xn yn xn + yn xn axn    x   1    - ’ .  .  . t Dˆe tr`ınhb`aycho go.n, ch´ungta s˜ed¯ˆoikhi k´yhiˆe.u v´ecto  .  bo’ i (x1, , xn) .   xn . . (g) Mˆo.t ma trˆa.n m h`ang, n cˆo.t v´oi c´acphˆa`n tu’ trong K l`a mˆo.t ba’ng c´oda.ng    a11 a12 a1n         a21 a22 a2n  (a ) × =   , ij m n    . . .    am1 am2 amn 47
48. ∈ × . trong d¯´o aij K. Go.i M(m n, K) l`atˆa.p ho. p tˆa´t ca’ c´acma trˆa.n m h`ang, . . . . n cˆo.t v´oi c´acphˆa`n tu’ trong K. N´olˆa.p nˆenmˆo.t K-khˆonggian v´ecto v´oi hai ph´epto´ansau d¯ˆay: (aij)m×n + (bij)m×n = (aij + bij)m×n, a(aij)m×n = (aaij)m×n. . . . . . Ch´ungta s˜enghiˆenc´uu k˜yhon vˆe` c´acma trˆa.n o’ chuong sau. . . (h) Tˆa.p ho. p C[a, b] c´ach`amthu. c liˆentu. c trˆend¯oa.n [a, b] ⊂ R l`amˆo.t khˆonggian . . . . . v´ecto thu. c v´oi c´acph´epto´anthˆongthu`ong (f + g)(x) = f(x) + g(x), (af)(x) = af(x). . . (i) Gia’ su’ V v`a W l`ac´ac K-khˆonggian v´ecto. Khi d¯´o, V × W c˜ungl`amˆo.t . . . K-khˆonggian v´ecto d¯ˆo´i v´oi c´acph´epto´and¯i.nh ngh˜ıanhu sau (v, w) + (v0, w0) = (v + v0, w + w0) a(v, w) = (av, aw), 0 0 . . trong d¯´o a ∈ K, v, v ∈ V, w, w ∈ W . Khˆonggian V × W d¯uo. c go.i l`a t´ıch . tru. c tiˆe´p cu’a c´ackhˆonggian V v`a W . . . . . Gia’ su’ V l`amˆo.t khˆonggian v´ecto. C´act´ınhchˆa´t sau d¯ˆayd¯uo. c suy ngay t`u . d¯i.nh ngh˜ıacu’a khˆonggian v´ecto. . . . . (1) Phˆa`n tu’ trung lˆa.p cu’a ph´epcˆo.ng 0 ∈ V l`aduy nhˆa´t. N´od¯uo. c go.i l`a v´ecto khˆong. . . Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ 01 c˜ungl`amˆo.t phˆa`n tu’ trung lˆa.p cu’a ph´epcˆo.ng trong V . Khi d¯´o 0 + 01 = 01 (v`ı0 l`atrung lˆa.p) = 0 (v`ı01 l`atrung lˆa.p). Vˆa.y 0 = 01. 48
49. . . . 0 (2) V´oi mo.i v´ecto α ∈ V , phˆa`n tu’ d¯ˆo´i α thoa’ m˜antiˆend¯ˆe` (V3) l`aduy nhˆa´t. N´o . . s˜ed¯uo. c k´yhiˆe.u l`a(−α). . 0 . Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ α1 c˜ungl`amˆo.t phˆa`n tu’ d¯ˆo´i cu’a α. Khi d¯´o 0 0 0 0 0 . (α + α) + α1 = 0 + α1 = α1 (v`ı α l`amˆo.t phˆa`n tu’ d¯ˆo´i) 0 0 = α + (α + α1) (theo tiˆend¯ˆe` (V1)) 0 0 0 . = α + 0 = α (v`ı α1 l`amˆo.t phˆa`n tu’ d¯ˆo´i). . 0 0 Nhu vˆa.y, α = α1. Ta d¯i.nh ngh˜ıa: α − β = α + (−β). (3) Ta c´oc´acquy t˘a´c gia’n u.´o.c v`achuyˆe’n vˆe´: α + γ = β + γ =⇒ α = β, α + β = γ =⇒ α = γ − β. . Thˆa.t vˆa.y, cˆo.ng (−γ) v`aohai vˆe´ cu’a d¯˘a’ ng th´uc α + γ = β + γ v`a cˆo.ng (−β) . . . . v`aohai vˆe´ cu’a d¯˘a’ ng th´uc α + β = γ ta thu d¯uo. c d¯iˆe` u pha’i ch´ung minh. (4) 0α = 0 v`a a0 = 0. Thˆa.t vˆa.y, 0α + 0 = 0α = (0 + 0)α = 0α + 0α. . . . . . . T`u d¯´o,theo luˆa.t gia’n u´oc, 0α = 0. Tuong tu. , a0 + 0 = a0 = a(0 + 0) = a0 + a0. . . C˜ungtheo luˆa.t gia’n u´oc, ta c´o a0 = 0. . (5) Nˆe´u aα = 0 (v´oi a ∈ K, α ∈ V ), th`ıho˘a.c a = 0 ho˘a.c α = 0. . . . −1 Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ a =6 0, nhˆanhai vˆe´ cu’a d¯˘a’ ng th´uc d¯˜acho v´oi a ∈ K ta c´o α = 1α = (a−1a)α = a−1(aα) = a−10 = 0. 49
50. (6) (−a)α = a(−α) = −(aα), ∀a ∈ K, α ∈ V . Thˆa.t vˆa.y, aα + (−a)α = (a + (−a))α = 0α = 0. . . . . T`u d¯´o,(−a)α = −(aα). Tuong tu. , aα + a(−α) = a(α + (−α)) = a0 = 0. Do d¯´o, a(−α) = −(aα). P P P P m n m n (7) ( i=1 ai)( j=1 αj) = i=1 j=1(aiαj). . . . . . D- ˘a’ ng th´uc n`ayc´othˆe’ d¯uo. c ch´ung minh b˘a`ng quy na.p theo m v`a n, trˆenco . . so’ su’ du. ng c´actiˆend¯ˆe` (V5) v`a(V6). 2 D- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhv`aphu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh . . . . Trong suˆo´t tiˆe´t n`ayta luˆongia’ su’ V l`amˆo.t khˆonggian v´ecto trˆentru`ong K. . D- .inh ngh˜ıa2.1 (Tˆo’ ho. p tuyˆe´n t´ınh,biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınh) . . ∈ . (a) Mˆo.t tˆo’ ho. p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´acv´ecto α1, , αn V l`amˆo.t biˆe’u th´uc da.ng Xn aiαi = a1α1 + ··· + anαn, i=1 trong d¯´o ai ∈ K. . ··· ∈ . . . (b) Gia’ su’ α = a1α1 + + anαn V .D- ˘a’ ng th´uc d¯´od¯uo. c go.i l`amˆo.t biˆe’u thi. . . tuyˆe´n t´ınh cu’a α qua c´acv´ecto α1, , αn (ho˘a.c qua hˆe. v´ecto (α1, , αn)). Khi . . . c´od¯˘a’ ng th´uc d¯´o,ta n´oi α biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua α1, , αn. . Nhˆa.n x´et: Mˆo.t v´ecto c´othˆe’ c´onhiˆe` u biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhkh´acnhau qua mˆo.t hˆe. v´ecto . . . Ta n´oihˆe. (α1, , αn) biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua hˆe. (β1, , βm) nˆe´u mˆo˜i v´ecto ≤ ≤ . . αi, trong d¯´o1 i n, biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua (β1, , βm). 50
51. . . . Gia’ su’ hˆe. (α1, , αn) biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua hˆe. (β1, , βm), v`ahˆe. (β1, , βm) . . biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua hˆe. (γ1, , γk). Khi d¯´o,r˜or`ang(α1, , αn) c˜ungbiˆe’u . . thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua hˆe. (γ1, , γk). D- .inh ngh˜ıa2.2 (D- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhv`aphu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh.) . . . (a) Hˆe. (α1, , αn) d¯uo. c go.i l`a d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n t´ınh nˆe´u hˆe. th´uc a1α1 + · ·· + anαn = 0 chı’ xa’y ra khi a1 = ··· = an = 0. . . (b) Hˆe. (α1, , αn) d¯uo. c go.i l`a phu. thuˆo. c tuyˆe´n t´ınh nˆe´u n´okhˆongd¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. . Nˆe´u hˆe. (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p (ho˘a.c phu. thuˆo.c) tuyˆe´n t´ınh,ta c˜ungn´oic´acv´ecto α1, , αn d¯ˆo.c lˆa.p (ho˘a.c phu. thuˆo.c) tuyˆe´n t´ınh. . · ·· . . . D- ˘a’ ng th´uc a1α1 + + anαn = 0 d¯uo. c go.i l`amˆo.t r`angbuˆo.c tuyˆe´n t´ınhgi˜ua . ··· . . c´ac v´ecto α1, , αn. Nˆe´u a1 = = an = 0 th`ıta go.i r`angbuˆo.c d¯´ol`a tˆa`m thu`ong. Theo d¯i.nh ngh˜ıa,hˆe. (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhnˆe´u v`achı’ nˆe´u mo.i r`angbuˆo.c . . . tuyˆe´n t´ınhgi˜ua α1, , αn d¯ˆe` u l`ar`angbuˆo.c tˆa`m thu`ong. Hˆe. (α1, , αn) phu. thuˆo.c . . . tuyˆe´n t´ınhkhi v`achı’ khi c´oc´acvˆohu´ong a1, , an ∈ K khˆongd¯ˆo`ng th`oi b˘a`ng 0 d¯ˆe’ cho a1α1 + ··· + anαn = 0, . . . . ngh˜ıal`ac´omˆo.t r`angbuˆo.c tuyˆe´n t´ınhkhˆongtˆa`m thu`ong gi˜ua c´acv´ecto α1, , αn. . . . . V´ıdu. 2.3 (a) Trong khˆonggian c´acv´ecto tu. do cu’a h`ınhho.c so cˆa´p, hˆe. 2 v´ecto . . . l`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhnˆe´u v`achı’ nˆe´u ch´ungkhˆongd¯ˆo`ng phuong, hˆe. 3 v´ecto . l`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhkhi v`achı’ khi ch´ungkhˆongd¯ˆo`ng ph˘a’ ng, hˆe. 4 v´ecto bˆa´t k`yluˆonluˆonphu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. 51
52. . (b) Trong khˆonggian R2, c´acv´ecto e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. . Thˆa.t vˆa.y, hˆe. th´uc a1e1 + a2e2 = (a1, a2) = (0, 0) xa’y ra khi v`achı’ khi a1 = a2 = 0. . ∈ . V´oi mo.i α R2, c´acv´ecto e1, e2, α phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u α = (a, b) th`ı α − ae1 − be2 = 0. . (c) H˜ayx´etxem c´acv´ecto sau d¯ˆayd¯ˆo.c lˆa.p hay phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınhtrong C3: α1 = (5, 3, 4), α2 = (3, 2, 3), α3 = (8, 3, 1). . . Ta muˆo´n t`ımxem c´ohay khˆongmˆo.t r`angbuˆo.c tuyˆe´n t´ınhkhˆongtˆa`m thu`ong . . . . . gi˜ua c´acv´ecto d¯´o,t´uc l`ac´ohay khˆongc´acsˆo´ ph´uc x1, x2, x3 khˆongd¯ˆo`ng th`oi b˘a`ng 0 sao cho: x1(5, 3, 4) + x2(3, 2, 3) + x3(8, 3, 1) = (0, 0, 0). . . . . . . . . . . Phuong tr`ınhv´ecto d¯´otuong d¯uong v´oi hˆe. phuong tr`ınh    5x + 3x + 8x = 0  1 2 3 3x + 2x + 3x = 0  1 2 3   4x1 + 3x2 + 1x3 = 0. . . . . . . . Hˆe. phuong tr`ınhn`ayc´othˆe’ gia’i b˘a`ng c´ach khu’ thˆongthu`ong. Tru´oc hˆe´t, . . . . . . . nhˆanphuong tr`ınhcuˆo´i lˆa`n luo. t v´oi (−8) v`a(−3) rˆo`i cˆo.ng v`aoc´acphuong . . . . tr`ınhth´u nhˆa´t v`ath´u hai, ta thu d¯uo. c:    −27x − 21x = 0  1 2 −9x − 7x = 0  1 2   4x1 + 3x2 + x3 = 0. 52
53. . . . . . . . Hai phuong tr`ınhd¯ˆa`u cu’a hˆe. n`aytuong d¯uong v´oi nhau. Do d¯´o,mˆo.t nghiˆe.m . . khˆongtˆa`m thu`ong cu’a hˆe. n`ayl`a: x1 = 7, x2 = −9, x3 = −1. . . Nhu vˆa.y, ba v´ecto d¯˜acho phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. . . Nhˆa.n x´et: T`u v´ıdu. trˆenta thˆa´y r˘a`ng viˆe.c x´etxem mˆo.t hˆe. v´ecto d¯ˆo.c lˆa.p hay phu. . . . . . thuˆo.c tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c d¯ua vˆe` viˆe.c gia’i mˆo.t hˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınhthuˆa`n nhˆa´t. . . . . . . Tuong tu. , viˆe.c x´etxem mˆo.t v´ecto c´o biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c hay khˆongqua mˆo.t . . . . . . hˆe. v´ecto d¯uo. c d¯ua vˆe` viˆe.c gia’i mˆo.t hˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınh(n´oichung khˆong thuˆa`n nhˆa´t). . . . . . . . L´ythuyˆe´t tˆo’ng qu´atvˆe` hˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´n t´ınhs˜ed¯uo. c tr`ınhb`ayo’ Chuong III cu’a cuˆo´n s´ach n`ay. . C´act´ınhchˆa´t sau d¯ˆayl`ahˆe. qua’ tru. c tiˆe´p cu’a c´acd¯i.nh ngh˜ıa. C´act´ınhchˆa´t: . (1) Hˆe. mˆo.t v´ecto (α) phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınhnˆe´u v`achı’ nˆe´u α = 0. . . Thˆa.t vˆa.y, v`ı1 · 0 = 0 l`amˆo.t r`angbuˆo.c tuyˆe´n t´ınhkhˆongtˆa`m thu`ong, nˆenhˆe. . . . . (0) phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh.Nguo. c la.i, gia’ su’ (α) phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh,t´uc l`a c´o a =6 0 sao cho aα = 0. Nhˆanhai vˆe´ v´o.i a−1 ta c´o α = (a−1a)α = a−1(aα) = a−10 = 0. . . (2) V´oi n > 1, hˆe. (α1, , αn) phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınhnˆe´u v`achı’ nˆe´u mˆo.t v´ecto n`ao . . . d¯´ocu’a hˆe. biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua c´acv´ecto c`on la.i cu’a hˆe . . . Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ c´o mˆo.t r`angbuˆo.c tuyˆe´n t´ınhkhˆongtˆa`m thu`ong a1α1 + · ·· + anαn = 0. 6 . . −1 . . Nˆe´u ai = 0, ta nhˆanhai vˆe´ cu’a d¯˘a’ ng th´uc trˆenv´oi ai v`a thu d¯uo. c X −1 αi = (ai aj)αj. j=6 i 53
54. . . . . Nguo. c la.i, nˆe´u αi biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua hˆe. (α1, , αi−1, αi+1, , αn), . . . t´uc l`ac´oc´acvˆohu´ong bj sao cho αi = b1α1 + ··· + bi−1αi−1 + bi+1αi+1 + ··· + bnαn, . . th`ıta c´or`angbuˆo.c tuyˆe´n t´ınhkhˆongtˆa`m thu`ong b1α1 + ··· + bi−1αi−1 + (−1)αi + bi+1αi+1 + ··· + bnαn = 0. Do d¯´o,hˆe. (α1, , αn) phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. (3) Mˆo˜i hˆe. con cu’a mˆo.t hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhc˜ungl`amˆo.t hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. . Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ (α1, , αn) l`amˆo.t hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh.X´etmˆo.t r`angbuˆo.c tuyˆe´n t´ınhbˆa´t k`y ··· ai1 αi1 + + aik αik = 0 . . ’ ´ gi˜ua c´acv´ecto cua mˆo.t hˆe. con (αi1 , , αik ). Ta coi n´ol`amˆo.t r`angbuˆo.c tuyˆen P . . . t´ınh i aiαi = 0 gi˜ua c´acv´ecto (α1, , αn) b˘a`ng c´ach cho.n ai = 0 v´oi mo.i 6 . i = i1, , ik. Bo’ i v`ıhˆe. (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh,nˆentˆa´t ca’ c´achˆe. sˆo´ cu’a r`angbuˆo.c d¯ˆe` u b˘a`ng 0: a1 = a2 = ··· = an = 0. ´ Do d¯´o,hˆe. con (αi1 , , αik ) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆen t´ınh. . Mˆo.t c´ach ph´atbiˆe’u kh´accu’a t´ınhchˆa´t trˆenl`anhu sau: . . (4) Mˆo˜i hˆe. v´ecto ch´ua mˆo.t hˆe. con phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınhc˜ungl`amˆo.t hˆe. phu. thuˆo.c . . tuyˆe´n t´ınh.N´oiriˆeng,mˆo˜i hˆe. ch´ua v´ecto 0 d¯ˆe` u phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. . (5) Gia’ su’ hˆe. (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. Khi d¯´ohˆe. (α1, , αn, β) phu. thuˆo.c . . tuyˆe´n t´ınhnˆe´u v`achı’ nˆe´u β biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua (α1, , αn). Trong . . . tru`ong ho. p d¯´o,biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhn`ayl`aduy nhˆa´t. 54
55. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u (α1, , αn, β) phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh,th`ıc´omˆo.t r`angbuˆo.c tuyˆe´n t´ınhkhˆongtˆa`m thu.`o.ng a1α1 + · ·· + anαn + bβ = 0. Khi d¯´o, b =6 0, v`ınˆe´u tr´aila.i th`ıc´omˆo.t r`angbuˆo.c tuyˆe´n t´ınhkhˆongtˆa`m . . · ·· . . thu`ong a1α1 + + anαn = 0 gi˜ua c´acv´ecto cu’a hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh 6 (α1, , αn). D- iˆe` u n`ayvˆol´y.V`ı b = 0, nˆenta c´obiˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhsau d¯ˆay cu’a β qua (α1, , αn): Xn −1 β = − (b ai)αi. i=1 . . . Nguo. c la.i, mˆo˜i biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhnhu thˆe´ Xn β = biαi i=1 P . . . n − d¯ˆe` u dˆa˜n t´oi mˆo.t r`angbuˆo.c tuyˆe´n t´ınhkhˆongtˆa`m thu`ong i=1 biαi β = 0 . . gi˜ua c´acv´eto cu’a hˆe. (α1, , αn, β). . Do d¯´o,hˆe. n`ayphu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. . Gia’ su’ c´o hai biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhcu’a β qua hˆe. (α1, , αn): β = b1α1 + ··· + bnαn 0 ··· 0 = b1α1 + + bnαn. − 0 ··· − 0 Khi d¯´o0 = (b1 b1)α1 + + (bn bn)αn. Do (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, . nˆenhˆe. th´uc trˆenk´eotheo 0 ··· 0 b1 = b1, , bn = bn. . Nhˆa.n x´et2.4 C´ackh´ainiˆe.m tˆo’ ho. p tuyˆe´n t´ınh,biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınh,d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n . . . . t´ınh,phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c mo’ rˆo.ng cho hˆe. tu`y´y(c´othˆe’ c´ovˆoha.n v´ecto) nhu. sau. . . . . Gia’ su’ (αi)i∈I l`a mˆo.t hˆe. v´ecto tu`y´ycu’a K-khˆonggian v´ecto V . Mˆo.t tˆo’ ho. p P ∈ tuyˆe´n t´ınhcu’a hˆe. n`ayl`amˆo.t tˆo’ng i∈I aiαi trong d¯´o ai K, v`ahˆa`u hˆe´t (c´othˆe’ 55
56. . . . . tr`u mˆo.t sˆo´ h˜uu ha.n) ai d¯ˆe` u b˘a`ng 0. Nhu thˆe´, tˆo’ng n`aythˆa.t ra l`amˆo.t tˆo’ng h˜uu ha.n, v`ado d¯´oc´ongh˜ıatrong V . . . Trˆenco so’ d¯´o,c´ackh´ainiˆe.m biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınh,d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh,phu. thuˆo.c . . . tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c d¯i.nh ngh˜ıad¯ˆo´i v´oi ho. d¯´o. . . . 2 V´ıdu. : Trong khˆonggian v´ecto c´acd¯ath´uc K[X], hˆe. vˆoha.n v´ecto (1, X, X , ) l`amˆo.t hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. 3 Co. so’. v`asˆo´ chiˆe` u cu’a khˆonggian v´ecto. . . Sˆo´ chiˆe` u cu’a mˆo.t khˆonggian v´ecto l`achı’ sˆo´ d¯od¯ˆo. “l´on”, d¯ˆo. “thoa’i m´ai”cu’a khˆong gian v´ecto. d¯´o. . . . D- .inh ngh˜ıa3.1 (a) Mˆo.t hˆe. v´ecto cu’a V d¯uo. c go.i l`amˆo.t hˆe. sinh cu’a V nˆe´u mo.i . . . v´ecto cu’a V d¯ˆe` u biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua hˆe. d¯´o. . . . . . . (b) Mˆo.t hˆe. v´ecto cu’a V d¯uo. c go.i l`amˆo.t co so’ cu’a V nˆe´u mo.i v´ecto cu’a V d¯ˆe` u biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhduy nhˆa´t qua hˆe. n`ay. . . . . . . . Nhu vˆa.y, mˆo˜i co so’ d¯ˆe` u l`amˆo.t hˆe. sinh. Du´oi d¯ˆayta s˜enghiˆenc´uu sˆauhon mˆo´i . . . quan hˆe. gi˜ua c´ackh´ainiˆe.m hˆe. sinh, co so’ v`ad¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. . . . . Ta cˆa`n thuˆa.t ng˜u sau d¯ˆay:Mˆo.t hˆe. v´ecto cu’a khˆonggian V d¯uo. c go.i l`a d¯ˆo. c lˆa. p . . tuyˆe´n t´ınhcu. c d¯a. i nˆe´u n´od¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhv`anˆe´u thˆembˆa´t k`yv´ecto n`aocu’a V . . . . v`aohˆe. d¯´oth`ıhˆe. m´oi thu d¯uo. c tro’ th`anhphu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. - . . D.inh l´y3.2 Cho hˆe. h˜uu ha. n c´acv´ecto (α1, , αn) cu’a V . Khi d¯´oc´ackh˘a’ ng d¯i.nh sau d¯ˆayl`atu.o.ng d¯u.o.ng: . . (i) (α1, , αn) l`amˆo. t co so’ cu’a V . (ii) (α1, , αn) l`amˆo. t hˆe. sinh d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n t´ınhcu’a V . . . (iii) (α1, , αn) l`amˆo. t hˆe. v´ecto d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n t´ınhcu. c d¯a. i cu’a V . 56
57. . ⇒ . . Ch´ung minh: (i) = (ii):(α1, , αn) l`amˆo.t co so’ cu’a V nˆenn´ol`amˆo.t hˆe. sinh . . . cu’a V . Hon n˜ua, v´ecto 0 c´obiˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhduy nhˆa´t qua (α1, , αn): 0 = 0α1 + ··· + 0αn. . · ·· . . . . . · ·· N´oic´ach kh´ac,hˆe. th´uc a1α1 + + anαn = 0 tuong d¯uong v´oi a1 = a2 = = an = 0. D- iˆe` u n`ayc´ongh˜ıal`ahˆe. (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. ⇒ . ∈ . . (ii) = (iii) : Mo.i v´ecto β V d¯ˆe` u biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua (α1, , αn), cho nˆenhˆe. (α1, , αn, β) phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. ⇒ . . ∈ (iii) = (i) : V`ıhˆe. (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhcu. c d¯a.i nˆenmˆo˜i v´ecto β V d¯ˆe` u biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhqua (α1, , αn). N´oic´ach kh´ac,hˆe. n`aysinh ra V . Biˆe’u thi. . ∈ tuyˆe´n t´ınhcu’a mˆo˜i v´ecto β V qua hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh(α1, , αn) l`aduy nhˆa´t. 2 . . . . D- .inh ngh˜ıa3.3 Khˆonggian v´ecto V d¯uo. c go.i l`a h˜uu ha. n sinh nˆe´u n´oc´omˆo.t hˆe. . . sinh gˆo`m h˜uu ha.n phˆa`n tu’ . . . . D- .inh l´y3.4 Gia’ su’ V =6 {0} l`a mˆo. t khˆonggian v´ecto h˜uu ha. n sinh. Khi d¯´o, V . . . . . . . . c´omˆo. t co so’ gˆ`om h˜uu ha. n phˆa`n tu’ . Hon n˜ua, mo. i co so’ cu’a V d¯ˆe` u c´osˆo´ phˆa`n tu’. b˘`ang nhau. . . Trˆenco so’ kˆe´t qua’ n`ay, ta d¯id¯ˆe´n d¯i.nh ngh˜ıasau d¯ˆay. . . . . . D- .inh ngh˜ıa3.5 (i) Sˆo´ phˆa`n tu’ cu’a mˆo˜i co so’ cu’a K-khˆong gian v´ecto h˜uu ha.n . . . . . sinh V =6 {0} d¯uo. c go.i l`a sˆo´ chiˆe` u (hay th´u nguyˆen) cu’a V trˆentru`ong K, . . . { } . . v`a d¯uo. c k´yhiˆe.u l`adim V , ho˘a.c r˜ohon dimK V . Nˆe´u V = 0 , ta quy u´oc dim V = 0. . . . . . . (ii) Nˆe´u V khˆongc´omˆo.t co so’ n`ao gˆo`m h˜uu ha.n phˆa`n tu’ th`ın´od¯uo. c go.i l`amˆo.t . khˆonggian v´ecto vˆo ha. n chiˆe` u. . D- ˆe’ chuˆa’n bi. cho viˆe.c ch´ung minh d¯i.nh l´ytrˆen,ta cˆa`n bˆo’ d¯ˆe` sau d¯ˆay. 57
58. . . . Bˆo’ d¯ˆe` 3.6 Trong khˆonggian v´ecto V , gia’ su’ hˆe. v´ecto (α1, , αr) d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n . . ≤ t´ınhv`abiˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua hˆe. (β1, , βs). Khi d¯´o r s. . Ch´ung minh: Theo gia’ thiˆe´t, c´omˆo.t biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınh α1 = a1β1 + ··· + asβs (ai ∈ K). 6 . . V`ıhˆe. (α1, , αr) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh,nˆen α1 = 0. Do d¯´o,c´o´ıtnhˆa´t mˆo.t vˆohu´ong 6 . 6 ai = 0. Khˆonggia’m tˆo’ng qu´at,ta gia’ su’ a1 = 0. Khi d¯´o, β1 biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınh . . d¯uo. c qua hˆe. (α1, β2, , βs): Xn −1 − −1 β1 = a1 α1 (a1 ai)βi. i=2 . . Nhu vˆa.y, hˆe. (α1, , αr) biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhqua hˆe. (β1, , βs); hˆe. th´u hai la.i biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhqua hˆe. (α1, β2, , βs). Hˆe. qua’ l`a(α1, , αr) biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhqua (α1, β2, , βs). . Ta s˜ech´ung minh r˘a`ng (α1, , αr) biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhqua (α1, , αi, βi+1, , βs) . ≤ { } . v´oi mo.i i min r, s (sai kh´acmˆo.t ph´epd¯´anhsˆo´ la.i c´acv´ecto β1, , βs). Thˆa.t vˆa.y, . . . . . o’ trˆenta d¯˜ach´ung minh kh˘a’ ng d¯i.nh n`aycho i = 1. Gia’ su’ kh˘a’ ng d¯i.nh d¯˜ad¯uo. c ch´u.ng minh cho i. Ta s˜ech´u.ng minh n´oc`ond¯´ungcho i+1, nˆe´u sˆo´ n`ay ≤ min{r, s}. Theo gia’ thiˆe´t quy na.p, αi+1 biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhqua (α1, , αi, βi+1, , βs): αi+1 = b1α1 + ··· + biαi + ci+1βi+1 + ··· + csβs. . . 6 . C´o´ıtnhˆa´t mˆo.t vˆohu´ong cj = 0, bo’ i v`ınˆe´u tr´aila.i th`ı αi+1 biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınh . qua (α1, , αi), d¯iˆe` u n`aytr´aiv´oi gia’ thiˆe´t hˆe. (α1, , αr) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. Nˆe´u . . cˆa`n th`ıd¯´anhsˆo´ la.i c´acv´ecto βi+1, , βs, ta c´othˆe’ gia’ su’ m`akhˆonggia’m tˆo’ng 6 . . . qu´at ci+1 = 0. Kˆe´t ho. p d¯iˆe` u n`ayv´oi d¯˘a’ ng th´uc trˆenta c´omˆo.t biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhcu’a βi+1 qua (α1, , αi+1, βi+2, , βs). V`ı(α1, , αr) biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhqua (α1, , αi, βi+1, , βs), hˆe. n`ayla.i biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhqua (α1, , αi+1, βi+2, , βs), nˆen(α1, , αr) biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhqua (α1, , αi+1, βi+2, , βs). 58
59. . . . . . Nˆe´u r > s, ´apdu. ng d¯iˆe` u v`ua d¯uo. c ch´ung minh v´oi i = s, ta kh˘a’ ng d¯i.nh . (α1, , αr) biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhqua (α1, , αs). D- iˆe` u n`aymˆauthuˆa˜n v´oi t´ınhd¯ˆo.c . ≤ 2 lˆa.p tuyˆe´n t´ınhcu’a hˆe. (α1, , αr). Nhu vˆa.y, ta c´o r s. . Ch´ung minh D- .inh l´y2.5. . . 6 { } . Gia’ su’ (γ1, , γs) l`amˆo.t hˆe. sinh h˜uu ha.n cu’a V . V`ı V = 0 , nˆenc´ov´ecto 6 . α = 0 trong V . Hˆe. gˆo`m mˆo.t v´ecto kh´ac khˆong(α1) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh.Nˆe´u hˆe. n`ay . khˆongd¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhcu. c d¯a.i, th`ıc´ohˆe. (α1, α2) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. . Gia’ su’ (α1, , αr) l`amˆo.t hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhtrong V . Hˆe. n`aybiˆe’u thi. tuyˆe´n ≤ . t´ınhqua (γ1, , γs). Theo Bˆo’ d¯ˆe` 3.6, ta c´o r s. Nhu thˆe´ qu´atr`ınhcho.n c´ac . . . . v´ecto α1, α2, d¯ˆe’ thu d¯uo. c mˆo.t hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhpha’i d`ung la.i sau mˆo.t sˆo´ . . . . . h˜uu ha.n bu´oc. Ta c´omˆo.t hˆe. v´ecto (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhcu. c d¯a.i trong V , . . . v´oi n ≤ s. Theo D- .inh l´y3.2, hˆe. n`ayl`amˆo.t co so’ cu’a V . . . . Gia’ su’ (β1, , βm) c˜ungl`amˆo.t co so’ cu’a V . V`ı(α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh . . ≤ v`abiˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua (β1, , βm), nˆentheo Bˆo’ d¯ˆe` 3.6, ta c´o n m. Tr´ao . . . d¯ˆo’i vai tr`ocu’a hai co so’ n´oi trˆen,ta c˜ungc´o m ≤ n. Nhu vˆa.y, m = n. 2 n . . V´ıdu. 3.7 (a) K l`amˆo.t K-khˆonggian v´ecto n chiˆe` u. C´acv´ecto sau d¯ˆaylˆa.p . . . . . . n nˆenmˆo.t co so’ , d¯uo. c go.i l`a co so’ ch´ınht˘a´c cu’a khˆonggian K :        1   0   0                     0   1   0  e =   , e =   , , e =   . 1  .  2  .  n  .   .   .   .        0 0 1 . n . Thˆa.t vˆa.y, v´ecto 0 ∈ K l`a v´ecto c´o mo.i th`anhphˆa`n b˘a`ng 0 ∈ K, v`ıthˆe´ hˆe. th´u.c      a1   0               a2   0  a e + · ·· + a e =   =   1 1 n n  .   .   .   .      an 0 59
60. ··· . xa’y ra khi v`achı’ khi a1 = a2 = = an = 0. Nhu vˆa.y, hˆe. (e1, e2, , en) d¯ˆo.c lˆa.p n n . . t tuyˆe´n t´ınhtrong K . Hˆe. n`aysinh ra K , bo’ i v`ımˆo˜i v´ecto β = (b1, b2, , bn) d¯ˆe` u c´obiˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınh β = b1e1 + b2e2 + ··· + bnen. . . . . . (b) C l`amˆo.t C-khˆonggian v´ecto 1 chiˆe` u v´oi co so’ (1). D- `ˆong th`oi C c˜ungl`amˆo.t . . . . . R-khˆonggian v´ecto 2 chiˆe` u v´oi co so’ (1, i), trong d¯´o i l`ad¯on vi. a’o. D- iˆe` u n`ay . . . . suy t`u chˆo˜ mo.i sˆo´ ph´uc z d¯ˆe` u c´obiˆe’u thi. duy nhˆa´t du´oi da.ng z = a + bi, trong d¯´o a, b ∈ R. n . . Mˆo.t c´ach tˆo’ng qu´at C l`amˆo.t khˆonggian v´ecto thu. c 2n chiˆe` u. . . . . . . (c) D- u`ong th˘a’ ng sˆo´ thu. c R l`amˆo.t khˆonggian v´ecto vˆoha.n chiˆe` u trˆentru`ong sˆo´ . . . . . h˜uu ty’ Q. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ pha’n ch´ung (α1, , αn) l`amˆo.t co so’ cu’a R trˆen . ∈ ··· Q. Mˆo˜i phˆa`n tu’ β R c´obiˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhduy nhˆa´t β = a1α1 + + anαn . ∈ . . . → 7→ v´oi ai Q. Tuong ´ung R Qn, β (a1, , an) l`amˆo.t song ´anh.Do d¯´o R . . . . . . c´olu. c luo. ng d¯ˆe´m d¯uo. c. D- iˆe` u vˆol´yn`ayb´acbo’ gia’ thiˆe´t pha’n ch´ung. . . . Mˆe.nh d¯ˆe` 3.8 Gia’ su’ V l`amˆo. t khˆonggian v´ecto h˜uu ha. n sinh. Khi d¯´o,mo. i hˆe. . . . sinh cu’a V d¯ˆe` u ch´ua mˆo. t co so’ . Mo. i hˆe. d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n t´ınhtrong V d¯ˆe` u c´othˆe’ bˆo’ . . . sung d¯ˆe’ tro’ th`anhmˆo. t co so’ cu’a V . Nˆe´u dim V = n, th`ımo. i hˆe. d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n t´ınh . . . gˆo`m n v´ecto cu’a V d¯ˆe` u l`amˆo. t co so’ . . . 0 Ch´ung minh: Gia’ su’ Γ l`amˆo.t hˆe. sinh cu’a V . Go.i Γ l`amˆo.t hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh . 0 cu. c d¯a.i trong Γ. Khi d¯´oΓ biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhqua Γ , v`ado d¯´o V c˜ungbiˆe’u thi. 0 . 0 . . . tuyˆe´n t´ınhqua Γ . Nhu thˆe´ Γ l`amˆo.t hˆe. sinh d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh,t´uc l`amˆo.t co so’ 0 . . . . 0 cu’a V . (Theo Bˆo’ d¯ˆe` 3.6, Γ c´oh˜uu ha.n phˆa`n tu’ . Cu. thˆe’ hon, sˆo´ phˆa`n tu’ cu’a Γ . . . . khˆongvuo. t qu´asˆo´ phˆa`n tu’ cu’a mo.i hˆe. sinh h˜uu ha.n cu’a V .) . Gia’ su’ (α1, , αi) l`amˆo.t hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhtrong V . Nˆe´u hˆe. n`aykhˆongd¯ˆo.c . . . . lˆa.p tuyˆe´n t´ınhcu. c d¯a.i th`ıc´othˆe’ bˆo’ sung c´acv´ecto αi+1, αi+2, d¯ˆe’ hˆe. thu d¯uo. c 60
61. . . . . . vˆa˜n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh.Qu´atr`ınhn`aypha’i d`ung la.i sau mˆo.t sˆo´ h˜uu ha.n bu´oc, bo’ i ∞ . . . v`ıtheo D- .inh l´y2.5, dim V < . Ta thu d¯uo. c hˆe. (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhcu. c . . . d¯a.i trong V , t´uc l`amˆo.t co so’ cu’a V . . . Nˆe´u dim V = n, th`ımo.i hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhgˆo`m n v´ecto (β1, , βn) d¯ˆe` u cu. c . . . d¯a.i. Thˆa.y vˆa.y, gia’ su’ pha’n ch´ung c´othˆe’ thˆemv`aohˆe. d¯´omˆo.t v´ecto βn+1 n`ao d¯´o . . cu’a V sao cho hˆe. thu d¯uo. c vˆa˜n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. Khi d¯´o,hˆe. (β1, , βn+1) biˆe’u . . thi. tuyˆe´n t´ınhqua mˆo.t co so’ (α1, , αn) n`aod¯´ocu’a V , cho nˆentheo Bˆo’ d¯ˆe` 3.6, ta . c´o n + 1 ≤ n.D- iˆe` u vˆol´yn`ayb´acbo’ gia’ thiˆe´t pha’n ch´ung. Vˆa.y, theo D- .inh l´y3.2, . . 2 (β1, , βn) l`amˆo.t co so’ cu’a V . . . . Trong suˆo´t gi´aotr`ınhn`ay, nˆe´u khˆongn´oig`ınguo. c la.i, ch´ungta chı’ nghiˆenc´uu . . c´ac khˆonggian v´ecto h˜uu ha. n chiˆe` u. . . . . . . Nhˆa.n x´et: Ngu`oi ta ch´ung minh d¯uo. c r˘a`ng, trong mˆo.t khˆonggian v´ecto vˆo ha. n . . . . . . . . sinh (t´uc l`akhˆongh˜uu ha.n sinh), hai co so’ bˆa´t k`yd¯ˆe` u c´oc`unglu. c luo. ng. Nhung . . . . . . . mˆo.t hˆe. v´ecto d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhc´oc`unglu. c luo. ng v´oi co so’ th`ıkhˆongnhˆa´t thiˆe´t . . l`amˆo.t co so’ . . 2 . . . Ch˘a’ ng ha.n, hˆe. v´ecto (1, X, X , ) l`amˆo.t co so’ cu’a K-khˆong gian v´ecto K[X]. 2 3 . . . . . . 2 Hˆe. (X, X ,X , ) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhv`ac´oc`unglu. c luo. ng v´oi co so’ (1, X, X , ), . . . . . nhung khˆongpha’i l`amˆo.t co so’ cu’a K[X], bo’ i v`ıd¯ath´uc 1 khˆongbiˆe’u thi. tuyˆe´n . . t´ınhd¯uo. c qua hˆe. d¯´o. . . . . . ∈ Gia’ su’ (α1, , αn) l`amˆo.t co so’ cu’a khˆonggian v´ecto V . Mˆo˜i v´ecto α V c´o biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınhduy nhˆa´t α = a1α1 + ··· + anαn, ai ∈ K. - . . . D.inh ngh˜ıa3.9 (Toa. d¯ˆo.). Bˆo. vˆohu´ong (a1, , an) x´acd¯i.nh bo’ i d¯iˆe` u kiˆe.n α = P . . . . . . . . . i aiαi d¯uo. c go.i l`a toa. d¯ˆo. cu’a v´ecto α trong co so’ (α1, , αn). Vˆohu´ong ai d¯uo. c . . . go.i l`a toa. d¯ˆo. th´u i cu’a α trong co so’ d¯´o. . . . . . . Gia’ su’ α v`a β c´otoa. d¯ˆo. trong co so’ (α1, , αn) tuong ´ung l`a(a1, , an) v`a . (b1, , bn). Khi d¯´o,t`u t´ınhd¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhcu’a (α1, , αn) suy ra r˘a`ng α = β 61
62. nˆe´u v`achı’ nˆe´u (a1, , an) = (b1, , bn). Thˆa.t vˆa.y, α = β khi v`achı’ khi α − β = (a1 − b1)α1 + ··· + (an − bn)αn = 0. D- iˆe` u n`ayxa’y ra nˆe´u v`achı’ nˆe´u a1 = b1, , an = bn. . . Hon n˜ua, α+β c´otoa. d¯ˆo. l`a(a1 +b1, , an +bn) v`a kα c´otoa. d¯ˆo. l`a(ka1, , kan), ∈ . . (k K), trong hˆe. co so’ (α1, , αn). . . . . . Bˆaygi`o ta x´etxem toa. d¯ˆo. cu’a mˆo.t v´ecto trong nh˜ung co so’ kh´acnhau c´oliˆen . . hˆe. v´oi nhau nhu thˆe´ n`ao. . . . . . Gia’ su’ (β1, , βn) c˜ungl`amˆo.t co so’ cu’a khˆonggian v´ecto V . Mˆo˜i v´ecto βj biˆe’u . . . . . . . thi. tuyˆe´n t´ınhd¯uo. c qua co so’ (α1, , αn), t´uc l`ac´oc´acvˆohu´ong cij d¯ˆe’ cho Xn βj = cijαi, (j = 1, , n). i=1 . . . . . . Gia’ su’ α c´otoa. d¯ˆo. l`a(a1, , an) v`a(b1, , bn) tuong ´ung trong c´acco so’ (α1, , αn) v`a(β1, , βn). Ta c´o Xn α = bjβj j=1 Xn Xn = bjcijαi j=1 i=1 Xn Xn Xn = ( cijbj)αi = aiαi. i=1 j=1 i=1 . . . . Do t´ınhduy nhˆa´t cu’a toa. d¯ˆo. cu’a α trong co so’ (α1, , αn), ta nhˆa.n d¯uo. c Xn ai = cijbj, (i = 1, , n). j=1 . . . . . . Ngu`oi ta go.i hˆe. th´uc n´oitrˆenl`a cˆongth´uc d¯ˆo’i toa. d¯ˆo. khi d¯ˆo’i co so’ . Ma trˆa.n . . . . . . . C = (cij)n×n d¯uo. c go.i l`a ma trˆa. n chuyˆe’n t`u co so’ (α1, , αn) sang co so’ (β1, , βn). . . . . . . . Cˆongth´uc d¯ˆo’i toa. d¯ˆo. s˜ed¯uo. c diˆe˜n d¯a.t du´oi mˆo.t h`ınhth´uc dˆe˜ tiˆe´p nhˆa.n hon . . . . . . . nh`o kh´ainiˆe.m t´ıch cu’a c´acma trˆa.n, s˜ed¯uo. c nghiˆenc´uu o’ chuong sau. 62
63. . 4 Khˆonggian con - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe. v´ecto . . . . . Gia’ su’ V l`a mˆo.t khˆonggian v´ecto trˆentru`ong K. Ch´ungta quan tˆamd¯ˆe´n nh˜ung . . . tˆa.p con cu’a V c´ot´ınhchˆa´t l`ach´ungc˜unglˆa.p nˆennh˜ung khˆonggian v´ecto d¯ˆo´i v´oi . . . . c´ac ph´epto´anl`athu he.p cu’a nh˜ung ph´epto´antuong ´ung trˆen V . Ta c´od¯i.nh ngh˜ıa h`ınhth´u.c sau d¯ˆay: . . . D- .inh ngh˜ıa4.1 Tˆa.p con khˆongrˆo˜ng W ⊂ V d¯uo. c go.i l`amˆo.t khˆonggian v´ecto con cu’a V nˆe´u W kh´epk´ınd¯ˆo´i v´o.i hai ph´epto´antrˆen V , ngh˜ıal`anˆe´u α + β ∈ W, ∀α, β ∈ W, aα ∈ W, ∀a ∈ K, ∀α ∈ W. . Nhˆa.n x´et: Khi d¯´o, W v´oi hai ph´epto´anl`aha.n chˆe´ cu’a hai ph´epto´antrˆen V c˜ung . l`amˆo.t khˆonggian v´ecto trˆen K. Thˆa.t vˆa.y, c´actiˆend¯ˆe` (V1), (V4), (V5), (V6), . . . (V7), (V8) nghiˆe.m d¯´ungv´oi mo.i phˆa`n tu’ cu’a V , nˆenc˜ungnghiˆe.m d¯´ungv´oi mo.i . . phˆa`n tu’ cu’a W . Ta chı’ cˆa`n kiˆe’m tra la.i c´actiˆend¯ˆe` (V2), (V3) n´oivˆe` su. tˆ`on ta.i cu’a c´acphˆa`nt u’. 0 v`aphˆa`n tu’. d¯ˆo´i. . V`ı W =6 ∅, nˆenc´o´ıtnhˆa´t mˆo.t phˆa`n tu’ α ∈ W . Khi d¯´o0 = 0α ∈ W . Phˆa`n . . . tu’ 0 ∈ V d¯´ongvai tr`ophˆa`n tu’ 0 ∈ W . m˘a.t kh´ac,v´oi mo.i α ∈ W , ta c´o(−α) = (−1)α ∈ W .D- ´oc˜ungch´ınhl`aphˆa`n tu’. d¯ˆo´i cu’a α trong W . . . . V´ıdu. 4.2 (a) {0} v`a V l`ahai khˆonggian v´ecto con cu’a V . Ch´ungd¯uo. c go.i l`a c´ackhˆonggian v´ecto. con tˆ`am thu.`o.ng cu’a V . . . . . . (b) D- u`ong th˘a’ ng sˆo´ thu. c R l`a mˆo.t R-khˆonggian v´ecto con cu’a m˘a.t ph˘a’ ng ph´uc C. . . . (c) Tˆa.p ho. p c´acd¯ath´uc bˆa.c ≤ n l`amˆo.t khˆonggian v´ecto con cu’a K[X]. 1 . (d) Khˆonggian C [a, b] c´ach`amkha’ vi liˆentu. c trˆen[a, b] l`amˆo.t khˆonggian v´ecto con cu’a khˆonggian c´ach`amliˆentu. c C[a, b]. 63