Giáo trình Đại số tổ hợp (Phần 1)

75 trang ngocly 2410

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Đại số tổ hợp (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_dai_so_to_hop_phan_1.pdf

Nội dung text: Giáo trình Đại số tổ hợp (Phần 1)

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông I QUY TAÉC CÔ BAÛN CUÛA PHEÙP ÑEÁM Moân ñaïi soá toå hôïp (coù saùch goïi laø giaûi tích toå hôïp) chuyeân khaûo saùt caùc hoaùn vò, toå hôïp, chænh hôïp, nhaèm xaùc ñònh soá caùch xaûy ra moät hieän töôïng naøo ñoù maø khoâng nhaát thieát phaûi lieät keâ töøng tröôøng hôïp. 1. Trong ñaïi soá toå hôïp, ta thöôøng duøng hai quy taéc cô baûn cuûa pheùp ñeám, ñoù laø quy taéc coäng vaø quy taéc nhaân. a) Quy taéc coäng : Neáu hieän töôïng 1 coù m caùch xaûy ra, hieän töôïng 2 coù n caùch xaûy ra vaø hai hieän töôïng naøy khoâng xaûy ra ñoàng thôøi thì soá caùch xaûy ra hieän töôïng naøy hay hieän töôïng kia laø : m + n caùch. Ví duï 1. Töø thaønh phoá A ñeán thaønh phoá B coù 3 ñöôøng boä vaø 2 ñöôøng thuyû. Caàn choïn moät ñöôøng ñeå ñi töø A ñeán B. Hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Coù : 3 + 2 = 5 caùch choïn. Ví duï 2. Moät nhaø haøng coù 3 loaïi röôïu, 4 loaïi bia vaø 6 loaïi nöôùc ngoït. Thöïc khaùch caàn choïn ñuùng 1 loaïi thöùc uoáng. Hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Coù : 3 + 4 + 6 = 13 caùch choïn. b) Quy taéc nhaân : Neáu hieän töôïng 1 coù m caùch xaûy ra, öùng vôùi moãi caùch xaûy ra hieän töôïng 1 roài tieáp ñeán hieän töôïng 2 coù n caùch xaûy ra thì soá caùch xaûy ra hieän töôïng 1 “roài” hieän töôïng 2 laø : m × n. Ví duï 1. Giöõa thaønh phoá Hoà Chí Minh vaø Haø Noäi coù 3 loaïi phöông tieän giao thoâng : ñöôøng boä, ñöôøng saét vaø ñöôøng haøng khoâng. Hoûi coù maáy caùch choïn phöông tieän giao thoâng ñeå ñi töø thaønh phoá Hoà Chí Minh ñeán Haø Noäi roài quay veà? Giaûi Coù : 3 × 3 = 9 caùch choïn.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví duï 2. Moät hoäi ñoàng nhaân daân coù 15 ngöôøi, caàn baàu ra 1 chuû tòch, 1 phoù chuû tòch, 1 uyû ban thö kyù vaø khoâng ñöôïc baàu 1 ngöôøi vaøo 2 hay 3 chöùc vuï. Hoûi coù maáy caùch ? Giaûi Coù 15 caùch choïn chuû tòch. Vôùi moãi caùch choïn chuû tòch, coù 14 caùch choïn phoù chuû tòch. Vôùi moãi caùch choïn chuû tòch vaø phoù chuû tòch, coù 13 caùch choïn thö kyù. Vaäy coù : 15 × 14 × 13 = 2730 caùch choïn. 2) Sô ñoà caây Ngöôøi ta duøng sô ñoà caây ñeå lieät keâ caùc tröôøng hôïp xaûy ra ñoái vôùi caùc baøi toaùn coù ít hieän töôïng lieân tieáp vaø moãi hieän töôïng coù ít tröôøng hôïp. Chuù yù ta chæ duøng sô ñoà caây ñeå kieåm tra keát quaû. Ví duï. Trong moät lôùp hoïc, thaày giaùo muoán bieát trong ba moân Toaùn, Lyù, Hoùa hoïc sinh thích moân naøo theo thöù töï giaûm daàn. Soá caùch maø hoïc sinh coù theå ghi laø : T L H L H T H T L H L H T L T 3. Caùc daáu hieäu chia heát – Chia heát cho 2 : soá taän cuøng laø 0, 2, 4, 6, 8. – Chia heát cho 3 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 3 (ví duï : 276). – Chia heát cho 4 : soá taän cuøng laø 00 hay hai chöõ soá cuoái hôïp thaønh soá chia heát cho 4 (ví duï : 1300, 2512, 708). – Chia heát cho 5 : soá taän cuøng laø 0, 5. – Chia heát cho 6 : soá chia heát cho 2 vaø chia heát cho 3. – Chia heát cho 8 : soá taän cuøng laø 000 hay ba chöõ soá cuoái hôïp thaønh soá chia heát cho 8 (ví duï : 15000, 2016, 13824). – Chia heát cho 9 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 9 (ví duï : 2835). – Chia heát cho 25 : soá taän cuøng laø 00, 25, 50, 75. – Chia heát cho 10 : soá taän cuøng laø 0.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví duï. Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau khoâng chia heát cho 9. Giaûi Goïi : n = abc laø soá caàn laäp. m = abc′′′ laø soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau. m′ = abc111 laø soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau maø chia heát cho 9. Ta coù : taäp caùc soá n = taäp caùc soá m – taäp caùc soá m′. * Tìm m : coù 5 caùch choïn a′ (vì a′ ≠ 0), coù 5 caùch choïn b′ (vì b′ ≠ a′ ), coù 4 caùch choïn c′ (vì c′ ≠ a′ vaø c′ ≠ b′). Vaäy coù : 5 × 5 × 4 = 100 soá m. * Tìm m′ : trong caùc chöõ soá ñaõ cho, 3 chöõ soá coù toång chia heát cho 9 laø {0, 4, 5} , {1, 3, 5}, {2, 3, 4} . • Vôùi {0, 4, 5} : coù 2 caùch choïn a1, 2 caùch choïn b1, 1 caùch choïn c1, ñöôïc 2 × 2 × 1 = 4 soá m′ . • Vôùi {1, 3, 5} : coù 3! = 6 soá m′ . • Vôùi {2, 3, 4} : coù 3! = 6 soá m′. Vaäy coù : 4 + 6 + 6 = 16 soá m′. Suy ra coù : 100 – 16 = 84 soá n. Chuù yù : Qua ví duï treân, ta thaáy neáu soá caùch choïn thoûa tính chaát p naøo ñoù quaù nhieàu, ta coù theå laøm nhö sau : Soá caùch choïn thoûa p baèng soá caùch choïn tuyø yù tröø soá caùch choïn khoâng thoûa p. Ngöôøi ta coøn goïi caùch laøm naøy laø duøng “phaàn buø”. Baøi 1. Coù 4 tuyeán xe buyùt giöõa A vaø B. Coù 3 tuyeán xe buyùt giöõa B vaø C. Hoûi : a) Coù maáy caùch ñi baèng xe buyùt töø A ñeán C, qua B ? b) Coù maáy caùch ñi roài veà baèng xe buyùt töø A ñeán C, qua B ? c) Coù maáy caùch ñi roài veà baèng xe buyùt töø A ñeán C, qua B sao cho moãi tuyeán xe buyùt khoâng ñi quaù moät laàn ?
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giaûi a) Coù 4 caùch ñi töø A ñeán B, coù 3 caùch ñi töø B ñeán C. Do ñoù, theo quy taéc nhaân, coù 4 x 3 = 12 caùch ñi töø A ñeán C, qua B. b) Coù 12 caùch ñi töø A ñeán C, qua B vaø coù 12 caùch quay veà. Vaäy, coù : 12 × 12 = 144 caùch ñi roài veà töø A ñeán C, qua B. c) Coù 4 caùch ñi töø A ñeán B, coù 3 caùch ñi töø B ñeán C; ñeå traùnh ñi laïi ñöôøng cuõ, chæ coù 2 caùch töø C quay veà B vaø 3 caùch töø B quay veà A. Vaäy coù : 4 x 3 x 2 x 3 = 72 caùch. Baøi 2. Moät vaên phoøng caàn choïn mua moät tôø nhaät baùo moãi ngaøy. Coù 4 loaïi nhaät baùo. Hoûi coù maáy caùch choïn mua baùo cho moät tuaàn goàm 6 ngaøy laøm vieäc ? Giaûi Coù 4 caùch choïn cho moãi ngaøy. Vaäy, soá caùch choïn cho 6 ngaøy trong tuaàn laø : 46 = 4096 caùch. Baøi 3. Trong moät tuaàn, Baûo ñònh moãi toái ñi thaêm 1 ngöôøi baïn trong 12 ngöôøi baïn cuûa mình. Hoûi Baûo coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu keá hoaïch ñi thaêm baïn neáu : a) Coù theå thaêm 1 baïn nhieàu laàn ? b) Khoâng ñeán thaêm 1 baïn quaù 1 laàn ? Giaûi a) Ñeâm thöù nhaát, choïn 1 trong 12 baïn ñeå ñeán thaêm : coù 12 caùch. Töông töï, cho ñeâm thöù hai, thöù ba, thöù tö, thöù naêm, thöù saùu, thöù baûy. Vaäy, coù : 127 = 35831808 caùch. b) Ñeâm thöù nhaát, choïn 1 trong 12 baïn ñeå ñeán thaêm : coù 12 caùch. Ñeâm thöù hai, choïn 1 trong 11 baïn coøn laïi ñeå ñeán thaêm : coù 11 caùch. Ñeâm thöù ba : 10 caùch. Ñeâm thöù tö : 9 caùch. Ñeâm thöù naêm : 8 caùch. Ñeâm thöù saùu : 7 caùch. Ñeâm thöù baûy : 6 caùch. Vaäy coù : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 caùch. Baøi 4. Moät tuyeán ñöôøng xe löûa coù 10 nhaø ga. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn moät cuoäc haønh trình baét ñaàu ôû 1 nhaø ga vaø chaám döùt ôû 1 nhaø ga khaùc, bieát raèng töø nhaø ga naøo cuõng coù theå ñi tôùi baát kì nhaø ga khaùc? Giaûi Nhaø ga ñi : coù 10 caùch choïn. Nhaø ga ñeán : coù 9 caùch choïn. Vaäy coù : 10.9 = 90 caùch choïn.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Baøi 5. Coù 3 nam vaø 3 nöõ caàn xeáp ngoài vaøo moät haøng gheá. Hoûi coù maáy caùch xeáp sao cho : a) Nam, nöõ ngoài xen keõ ? b) Nam, nöõ ngoài xen keõ vaø coù moät ngöôøi nam A, moät ngöôøi nöõ B phaûi ngoài keà nhau ? c) Nam, nöõ ngoài xen keõ vaø coù moät ngöôøi nam C, moät ngöôøi nöõ D khoâng ñöôïc ngoài keà nhau ? Giaûi a) Coù 6 caùch choïn moät ngöôøi tuyø yù ngoài vaøo choã thöù nhaát. Tieáp ñeán, coù 3 caùch choïn moät ngöôøi khaùc phaùi ngoài vaøo choã thöù 2. Laïi coù 2 caùch choïn moät ngöôøi khaùc phaùi ngoài vaøo choã thöù 3, coù 2 caùch choïn vaøo choã thöù 4, coù 1 caùch choïn vaøo choã thöù 5, coù 1 caùch choïn vaøo choã thöù 6. Vaäy coù : 6.3.2.2.1.1 = 72 caùch. b) Cho caëp nam nöõ A, B ñoù ngoài vaøo choã thöù nhaát vaø choã thöù hai, coù 2 caùch. Tieáp ñeán, choã thöù ba coù 2 caùch choïn, choã thöù tö coù 2 caùch choïn, choã thöù naêm coù 1 caùch choïn, choã thöù saùu coù 1 caùch choïn. Baây giôø, cho caëp nam nöõ A, B ñoù ngoài vaøo choã thöù hai vaø choã thöù ba. Khi ñoù, choã thöù nhaát coù 2 caùch choïn, choã thöù tö coù 2 caùch choïn, choã thöù naêm coù 1 caùch choïn, choã thöù saùu coù 1 caùch choïn. Töông töï khi caëp nam nöõ A, B ñoù ngoài vaøo choã thöù ba vaø thöù tö, thöù tö vaø thöù naêm, thöù naêm vaø thöù saùu. Vaäy coù : 5 ( 2 × 2 × 2 × 1 × 1) = 40 caùch. c) Soá caùch choïn ñeå caëp nam nöõ ñoù khoâng ngoài keà nhau baèng soá caùch choïn tuyø yù tröø soá caùch choïn ñeå caëp nam nöõ ñoù ngoài keà nhau. Vaäy coù : 72 – 40 = 32 caùch. Baøi 6. Moät baøn daøi coù 2 daõy gheá ñoái dieän nhau, moãi daõy goàm coù 6 gheá. Ngöôøi ta muoán xeáp choã ngoài cho 6 hoïc sinh tröôøng A vaø 6 hoïc sinh tröôøng B vaøo baøn noùi treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp choã ngoài trong moãi tröôøng hôïp sau : a) Baát kì 2 hoïc sinh naøo ngoài caïnh nhau hoaëc ñoái dieän nhau thì khaùc tröôøng nhau. b) Baát kì 2 hoïc sinh naøo ngoài ñoái dieän nhau thì khaùc tröôøng nhau. Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 1999 Giaûi Ñaùnh soá caùc gheá theo hình veõ
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2 3 5 6 1 4 a) 12 11 10 9 8 7 Gheá 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 V Soá caùch xeáp choã ngoài 12 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 V Vaäy soá caùch xeáp 2 hoïc sinh ngoài caïnh hoaëc ñoái dieän phaûi khaùc tröôøng laø : 12 × 6 × 52 × 42 × 32 × 22 × 12 = 1036800. b) Gheá 1 12 2 11 3 10 4 9 5 8 6 7 Soá caùch xeáp choã ngoài 12 6 10 5 8 4 6 3 4 2 2 1 Vaäy soá caùch xeáp 2 hoïc sinh ngoài ñoái dieän phaûi khaùc laø : 12 × 6 × 10 × 5 × 8 × 4 × 6 × 3 × 4 × 2 × 2 = 33177600. Baøi 7. Cho 6 chöõ soá 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hoûi töø caùc chöõ soá ñaõ cho, laäp ñöôïc maáy soá ñoâi moät khaùc nhau vaø : a) goàm 3 chöõ soá ? b) goàm 3 chöõ soá vaø nhoû hôn 400 ? c) goàm 3 chöõ soá vaø chaün ? d) goàm 3 chöõ soá vaø chia heát cho 5 ? Giaûi Ñaët n = abc a) Coù 6 caùch choïn a, 5 caùch choïn b (b ≠ a), 4 caùch choïn c (c ≠ a, c ≠ b). Vaäy coù : 6 × 5 × 4 = 120 soá. b) Choïn a = 2 hay a = 3, coù 2 caùch. Sau ñoù, coù 5 caùch choïn b (b ≠ a), 4 caùch choïn c (c ≠ a, c ≠ b). Vaäy coù : 2.5.4 = 40 soá nhoû hôn 400. c) Vì n chaün, coù 2 caùch choïn c (c = 2 hay c = 6). Sau ñoù, coù 5 caùch choïn a (a ≠ c), coù 4 caùch choïn b (b ≠ a, b ≠ c). Vaäy coù : 2.5.4 = 40 soá chaün.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - d) Vì n chia heát cho 5, coù 1 caùch choïn c (c = 5). Sau ñoù, coù 5 caùch choïn a (a ≠ c), coù 4 caùch choïn b (b ≠ a, ≠ c). Vaäy coù : 1.5.4 = 20 soá chia heát cho 5. Baøi 8. Coù 100000 veù ñöôïc ñaùnh soá töø 00000 ñeán 99999. Hoûi soá veù goàm 5 chöõ soá khaùc nhau. Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi Khoái G 1997 Giaûi Goïn n = aaaaa12345 laø soá in treân moãi veù. Soá caùch choïn a1 laø 10 (a1 coù theå laø 0). Soá caùch choïn a2 laø 9. Soá caùch choïn a3 laø 8. Soá caùch choïn a4 laø 7. Soá caùch choïn a5 laø 6. Vaäy soá veù goàm 5 chöõ soá khaùc nhau : 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30240. Baøi 9. Xeùt daõy soá goàm 7 chöõ soá (moãi chöõ soá ñöôïc choïn töø 0, 1, ., 8, 9) thoûa chöõ soá vò trí soá 3 laø soá chaün, chöõ soá cuoái khoâng chia heát cho 5, caùc chöõ soá 4, 5, 6 ñoâi moät khaùc nhau. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn. Ñaïi hoïc Quoác gia TP.HCM 1997 Goïi soá caàn tìm laø n = aa a12 7. Soá caùch choïn a3 laø 5 (do a3 chaün). Soá caùch choïn a7 laø 8 (do a7 ≠ 0 vaø ≠ 5). Soá caùch choïn a4 laø 10⎫ ⎪ Soá caùch choïn a5 laø 9 ⎬ (do a4, a5, a6 ñoâi moät khaùc nhau). ⎪ Soá caùch choïn a6 laø 8 ⎭ Soá caùch choïn a1 laø 10 (do n laø daõy soá neân a1 coù theå laø 0). Soá caùch choïn a2 laø 10. Vaäy soá caùch choïn laø : 5 × 8 × 10 × 9 × 8 × 10 × 10 = 2880000. Baøi 10. Cho 10 chöõ soá 0, 1, 2, , 7, 8, 9. Coù bao nhieâu soá leû coù 6 chöõ soá khaùc nhau nhoû hôn 600000 xaây döïng töø caùc chöõ soá treân. Ñaïi hoïc Y Haø Noäi 1997
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giaûi Goïi soá caàn tìm n = aa a12 6 vôùi 1 ≤ a1 ≤ 5 vaø a6 leû. Ñaët X = {0, 1, , 8, 9} • Tröôøng hôïp 1 : a1 leû a1 ∈ {1, 3, 5} coù 3 caùch choïn a6 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} \ {a1} coù 4 caùch choïn a2 ∈ X\{a,16 a} coù 8 caùch choïn a3 ∈ X\{a,162 a, a} coù 7 caùch choïn a4 ∈ X\{a1 , a 623 , a , a } coù 6 caùch choïn a5 ∈ X\{a16234 , a , a , a , a } coù 5 caùch choïn. • Tröôøng hôïp 2 : a1 chaün a1 ∈ {2, 4} coù 2 caùch choïn a6 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} coù 5 caùch choïn. Töông töï a2, a3, a4, a5 coù 8 × 7 × 6 × 5 caùch choïn. Do ñoù soá caùc soá n thoûa yeâu caàu baøi toaùn : (4 × 3 + 2 × 5) x 8 × 7 × 6 × 5 = 36960. Baøi 11. Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 8 chöõ soá töø X maø chöõ soá 1 coù maët ñuùng 3 laàn coøn caùc chöõ soá khaùc coù maët ñuùng 1 laàn. Giaûi Xeùt 1 hoäc coù 8 oâ troáng. Coù 7 caùch laáy chöõ soá 0 boû vaøo hoäc (do a1 ≠ 0) Coù 7 caùch laáy chöõ soá 2 boû vaøo hoäc do coøn 7 hoäc troáng Coù 6 caùch laáy chöõ soá 3 boû vaøo hoäc do coøn 6 hoäc troáng Coù 5 caùch laáy chöõ soá 4 boû vaøo hoäc do coøn 5 hoäc troáng Coù 4 caùch laáy chöõ soá 5 boû vaøo hoäc do coøn 4 hoäc troáng Coù 1 caùch laáy 3 chöõ soá 1 boû vaøo hoäc do coøn 3 hoäc troáng vaø 3 chöõ soá 1 nhö nhau.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Vaäy soá caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 7 × 7 × 6 × 5 × 4 = 5880. Baøi 12. Ngöôøi ta vieát ngaãu nhieân caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 leân caùc taám phieáu, sau ñoù xeáp ngaãu nhieân thaønh 1 haøng. a) Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá ñöôïc taïo thaønh. b) Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá ñöôïc taïo thaønh. Ñaïi hoïc Hueá 1999 Giaûi Goïi X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Soá caàn tìm n = aaaaaa123456. a) a6 ∈ {1, 3, 5} coù 3 caùch choïn a1 ∈ X\{0, a 6} coù 4 caùch choïn a2 ∈ X\{a,61 a} coù 4 caùch choïn a3 ∈ X\{a,612 a, a} coù 3 caùch choïn a4 ∈ X\{a,6123 a, a, a} coù 2 caùch choïn a5 ∈ X\{a,61234 a, a, a, a} coù 1 caùch choïn Soá caùc soá leû caàn tìm : 3 × 4 × 4 × 3 × 2 = 288. b) Soá caùc soá goàm 6 chöõ soá baát kì (a1 coù theå baèng 0) laø : 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 Soá caùc soá goàm 6 chöõ soá maø a1 = 0 laø : 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Vaäy soá caùc soá goàm 6 chöõ soá (a1 ≠ 0) laáy töø X 720 – 120 = 600 Maø soá caùc soá leû laø 288. Vaäy soá caùc soá chaün laø : 600 – 288 = 312. Caùch khaùc Coù 5! Soá chaün vôùi a6 = 0. Coù 2.4.4! soá chaün vôùi a6 = 2 hay a6 = 4.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Vaäy soá caùc soá chaün thoûa ycbt laø 5! + 2.4.4! = 312. Baøi 13. Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá chaün goàm 5 chöõ soá khaùc nhau laáy töø 0, 2, 3, 6, 9. Ñaïi hoïc Y Haø Noäi 1999 Giaûi Ñaët X = {0, 2, 3, 6, 9} vaø n = aaaaa12345 (a1 ≠ 0) • Tröôøng hôïp a1 leû a1 ∈ {3, 9} coù 2 caùch choïn a5 ∈ {0, 2, 6} coù 3 caùch choïn a2 ∈ X\{a,15 a} coù 3 caùch choïn a3 ∈ X\{a,15, a a2} coù 2 caùch choïn a4 ∈ X\{a1523 , a , a , a } coù 1 caùch choïn. Vaäy coù : 2 × 3 × 3 × 2 = 36 soá n chaün. • Tröôøng hôïp a1 chaün a1 ∈ {2, 6} coù 2 caùch choïn. a5 ∈ {0, 2, 6} \{a1} coù 2 caùch choïn. Töông töï treân soá caùch choïn a2, a3, a4 laø 3 × 2 × 1 Vaäy coù : 2 × 2 × 3 × 2 = 24 soá. Vaäy soá caùc soá n chaün laø : 36 + 24 = 60 soá. Caùch 2: Coù 4! Soá chaün vôùi a5 = 0. Coù 2.3.3! soá chaün vôùi a5 = 2 hay a5 = 6. Vaäy soá caùc soá chaün thoûa ycbt laø 4! + 2.3.3! = 60. Baøi 14. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá sao cho toång caùc chöõ soá cuûa moãi soá laø moät soá leû. Giaûi
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Goïi n = a12 a a 67 a (a1 ≠ 0). Neáu a1 + a2 + + a6 laø moät soá chaün ñeå n leû thì a7 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} . Neáu a1 + a2 + + a6 laø moät soá leû ñeå n leû thì a7 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} . Vaäy khi ñaõ choïn ñöôïc a1, a2, a3, a4, a5, a6 thì luoân coù 5 caùch choïn a7 ñeå toång caùc chöõ soá cuûa n laø soá leû. Maø soá caùch choïn cuûa caùc ai (i = 1, 6 ) laø : a1 a2 a3 a4 a5 a6 Soá caùch choïn 9 10 10 10 10 10 Do ñoù soá caùc soá n thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 9 × 105 × 5 = 45 × 105. Baøi 15. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5. Giaûi Goïi n = aa a12 7 (a1 ≠ 0) Ñeå n chia heát cho 5 thì a7 = 0 hay a7 = 5. • Tröôøng hôïp a7 = 0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 Soá caùch choïn 9 8 7 6 5 4 Vaäy coù : 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 soá . • Tröôøng hôïp a7 = 5 a1 a2 a3 a4 a5 a6 Soá caùch choïn 8 8 7 6 5 4 Vaäy coù : 8 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 soá. Do ñoù soá caùc soá töï nhieân coù 7 chöõ soá maø chia heát cho 5 laø : (9 + 8) ×8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 114240. Baøi 16. Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a) Coù bao nhieâu soá chaün coù 4 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät. b) Coù bao nhieâu soá coù 3 chöõ soá khaùc nhau chia heát cho 5. c) Coù bao nhieâu soá coù 3 chöõ soá khaùc nhau chia heát cho 9. Ñaïi hoïc Hueá 2000 Giaûi a) Goïi n = aaaa1234 (a1 ≠ 0) • Neáu a1 chaün a1 a4 a2 a3 Soá caùch choïn 2 2 4 3 • Neáu a1 leû a1 a4 a2 a3 Soá caùch choïn 3 3 4 3 Vaäy soá caùc soá chaün coù 4 chöõ soá khaùc nhau laø : 2 × 2 × 4 × 3 + 3 × 3 × 4 × 3 = 48 + 108 = 156. b) Goïi m = aaa123 (a1 ≠ 0) • Neáu a3 = 0 a1 a2 Soá caùch choïn 5 4 • Neáu a3 = 5 a1 a2 Soá caùch choïn 4 4 Vaäy soá caùc soá m chia heát cho 5 laø : 20 + 16 = 36.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - c) Goïi k = aaa123 vôùi a1 + a2 + a3 = 9, a1 ≠ 0 Xeùt X1 = {0, 4, 5} ⊂ X a1 a2 a3 Soá caùch choïn 2 2 1 Xeùt X2 = {2, 3, 4} ⊂ X a1 a2 a3 Soá caùch choïn 3 2 1 Xeùt X3 = {1, 3, 5} ⊂ X a1 a2 a3 Soá caùch choïn 3 2 1 Vaäy soá caùc soá k chia heát cho 9 laø : 4 + 6 + 6 = 16. Baøi 17. Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} . Hoûi coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 3 chöõ soá khaùc nhau maø soá ñoù khoâng chia heát cho 3. Ñaïi hoïc Laâm Nghieäp 1999 Giaûi Goïi soá caàn tìm n = aaa12 3 (a1 ≠ 0) n chia heát cho 3 ⇔ a1 + a2 + a3 laø boäi soá cuûa 3. • Soá caùc soá n baát kì choïn töø X laø 5 × 5 × 4 = 100 vì a1 a2 a3 Soá caùch choïn 5 5 4 • Caùc taäp con cuûa X coù 3 phaàn töû maø toång chia heát cho 3 laø
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - X1 = {0, 1, 2}, X2 = {0, 1, 5}, X3 = {0, 2, 4} , X4= {0, 4, 5} X5 = {1, 2, 3} , X6 = {1, 3, 5}, X7 = {2, 3, 4} , X8= {3, 4, 5} Soá caùc soá n chia heát cho 3 ñöôïc choïn töø X1, X2, X3, X4 laø : 4 × 2 × 2 × 1 = 16 soá. Soá caùc soá n chia heát cho 3 ñöôïc choïn töø X5, X6, X7, X8 laø : 4 × 3 × 2 × 1 = 24 soá. Vaäy soá caùc soá n chia heát cho 3 laø : 16 + 24 = 40 soá. Do ñoù soá caùc soá n khoâng chia heát cho 3 laø : 100 – 40 = 60 soá. (coøn tieáp) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung taâm boài döôõng vaên hoùa vaø luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông II HOAÙN VÒ 1. Giai thöøa Vôùi soá nguyeân döông n, ta ñònh nghóa n giai thöøa, kí hieäu n!, laø tích caùc soá nguyeân lieân tieáp töø 1 ñeán n. n! = 1.2.3 (n – 2) (n – 1)n. Vì tieän lôïi, ngöôøi ta qui öôùc : 0! = 1. Töø ñònh nghóa, ta coù : n! n(n – 1) (n – r + 1) = vaø (n – 1)!n = n! (n− r)! Ví duï : a) 5! = 1.2.3.4.5 = 120; 9! b) = 9.8.7.6 = 3024; 5! c) 3!4 = 4! = 1.2.3.4 = 24; (n+ 2)! d) = (n + 2)(n + 1)n(n – 1)(n – 2). (n− 3)! 2. Hoaùn vò Coù n vaät khaùc nhau, saép vaøo n choã khaùc nhau. Moãi caùch saép ñöôïc goïi laø 1 hoaùn vò cuûa n phaàn töû. Theo qui taéc nhaân, choã thöù nhaát coù n caùch saép (do coù n vaät), choã thöù nhì coù n – 1 caùch saép (do coøn n – 1 vaät), choã thöù ba coù n – 2 caùch saép (do coøn n – 2 vaät), , choã thöù n coù 1 caùch saép (do coøn 1 vaät). Vaäy, soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû, kí hieäu Pn, laø : Pn = n(n – 1)(n – 2) × 1 = n! Ví duï 1. Töø 3 chöõ soá 1, 2, 3 coù theå taïo ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau ? Giaûi
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Moãi soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau taïo ra töø 1, 2, 3 laø moät hoaùn vò cuûa 3 phaàn töû. Vaäy coù : P3 = 3! = 6 soá. (caùc soá ñoù laø : 123, 132, 213, 231, 312, 321) Ví duï 2. Trong moät lôùp hoïc, thaày giaùo phaùt phieáu thaêm doø yeâu caàu hoïc sinh ghi thöù töï 3 moân Toaùn, Lyù, Hoùa ñang hoïc theo möùc ñoä yeâu thích giaûm daàn. Hoûi coù bao nhieâu caùch ghi khaùc nhau ? Giaûi Ñaây laø hoaùn vò cuûa 3 phaàn töû. Vaäy coù: P3 = 3! = 6 caùch, khi ñoù coù 6 caùch ghi laø: (T,L,H), (T,H,L), (L,T,H), (L,H,T), (H,T,L), (H,L,T). Ví duï 3. Coù 2 saùch toaùn khaùc nhau, 3 saùch lyù khaùc nhau vaø 4 saùch hoùa khaùc nhau. Caàn saép xeáp caùc saùch thaønh moät haøng sao cho caùc saùch cuøng moân ñöùng keá nhau. Hoûi coù bao nhieâu caùch saép ? Giaûi Tröôùc tieân, ta saép theo moân thì coù P3 = 3! = 6 caùch. Tieáp ñeán, caùc saùch töøng moân ñoåi choã cho nhau, toaùn coù P2 = 2! = 2 caùch, lyù coù P3 = 3! = 6 caùch, hoùa coù P4 = 4! = 24 caùch. Vaäy, theo qui taéc nhaân, coù : 6 × 2 × 6 × 24 = 1728 caùch. x!−− (x 1)! 1 Baøi 18. Giaûi phöông trình : = vôùi x ∈ ¥ * (x+ 1)! 6 Giaûi x!−− (x 1)! 1 = ⇔ 6[x! – (x – 1)!] = (x + 1)! (x+ 1)! 6 ⇔ 6[x(x – 1)! – (x – 1)!] = (x + 1)! ⇔ 6(x – 1)!(x – 1) = (x + 1)x(x – 1)! ⇔ 6(x – 1) = x(x + 1) 2 ⎡x2= ⇔ x – 5x + 6 = 0 ⇔ ⎢ ⎣x3= Nhaän do x ∈ ¥ *. P 15 Baøi 19. Giaûi baát phöông trình : n4+ 1, n ∈ ¥ .
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - (n+ 4)! 15 Ta coù : (*) ⇔ < n!(n+ 2)! (n− 1)! (n+ 4)(n++ 3)(n 2)! 15 ⇔ < n(n−+ 1)!(n 2)! (n− 1)! (n+ 4)(n+ 3) ⇔ < 15 n ⇔ n2 + 7n + 12 < 15n ⇔ n2 – 8n + 12 < 0 ⇔ 2 < n < 6 Do ñieàu kieän neân n ∈ {3, 4, 5}. Baøi 20. Goïi Pn laø soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû. Chöùng minh : a) Pn – Pn-1 = (n – 1)Pn-1 b) 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + + (n – 1)Pn-1 = Pn. Giaûi a) Ta coù Pn – Pn-1 = n! – (n – 1)! = n(n – 1)! – (n – 1)!. = (n – 1)(n – 1)! = (n – 1)Pn-1. b) Töø keát quaû treân, ta coù : ⎧P21 −=− P (2 1)P 1 ⎪ P −=− P (3 1)P ⎪ 32 2 ⎪P43 −=− P (4 1)P3 +⎨ ⎪: : : : ⎪: : : : ⎪ ⎩⎪Pnn1 −=− P−− (n 1)Pn1 Vaäy : Pn – P1 = P1 + 2P2 + 3P3 + + (n – 1)Pn-1 ⇔ Pn = 1 + P1 + 2P2 + + (n – 1)Pn-1. n ⎛⎞n1+ Baøi 21. Chöùng minh vôùi moïi n∈ ¥ : n! ≤ ⎜⎟. ⎝⎠2 Giaûi Theo baát ñaúng thöùc Cauchy
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 + 2 + 3 + + n ≥ n n 1× 2×× n maø 1, 2, , n taïo moät caáp soá coäng neân n(n+ 1) 1 + 2 + 3 + + n = . 2 n n(n+ 1) n n1+ n ⎛n1+ ⎞ Do ñoù : ≥ n n! ⇔ ≥ n! ⇔ ⎜⎟≥ n!. 2 2 ⎝⎠2 Baøi 22. Moät taïp chí theå thao ñònh cho ra 22 kì baùo chuyeân ñeà veà 22 ñoäi boùng, moãi kì moät ñoäi. Hoûi coù bao nhieâu caùch sao cho : a) Kì baùo ñaàu tieân noùi veà ñoäi boùng A ? b) Hai kì baùo lieân tieáp noùi veà hai ñoäi boùng A vaø B ? Giaûi a) Coøn laïi 21 kì baùo cho 21 ñoäi boùng. Ñaây laø hoaùn vò cuûa 21 phaàn töû. Vaäy coù : 21! caùch. b) Xem hai ñoäi A vaø B laø moät phaàn töû. Ta coù hoaùn vò cuûa 21 phaàn töû, coù 21! caùch. Ngoaøi ra, trong moãi caùch treân, coù theå ñoåi thöù töï cuûa A vaø B, coù 2 caùch. Vaäy, coù : 2 × 21! caùch. Baøi 23. Teân 12 thaùng trong naêm ñöôïc lieät keâ theo thöù töï tuyø yù sao cho thaùng 5 vaø thaùng 6 khoâng ñöùng keá nhau. Hoûi coù maáy caùch ? Giaûi Teân 12 thaùng trong naêm ñöôïc lieät keâ tuøy yù, coù : 12! caùch. Neáu thaùng 5 vaø thaùng 6 ñöùng keá nhau, ta xem thaùng 5 vaø thaùng 6 laø moät phaàn töû, ta coù hoaùn vò cuûa 11 phaàn töû, coù 11! caùch. Ngoaøi ra, trong moãi caùch naøy, thöù töï cuûa thaùng 5 vaø thaùng 6 coù theå ñoåi cho nhau, neân coù : 2 × 11! caùch. Vaäy soá caùch ñeå hai thaùng 5 vaø thaùng 6 khoâng ñöùng keá nhau laø : 12! – 2.11! = 10.11! caùch. Baøi 24. Ngöôøi ta caàn soaïn moät ñeà thi traéc nghieäm goàm 50 caâu hoûi, chia thaønh 5 chuû ñeà, moãi chuû ñeà goàm 10 caâu. Caàn saép thöù töï 50 caâu hoûi sao cho caùc caâu cuøng moät chuû ñeà ñöùng gaàn nhau, chuû ñeà 1 ñöùng ñaàu vaø chuû ñeà 2, 3 khoâng ñöùng keá nhau. Hoûi coù bao nhieâu caùch saép ? Giaûi
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Chuû ñeà 2, 3 ñöùng tuøy yù : Tröôùc tieân, saép theo chuû ñeà, ñaây laø hoaùn vò cuûa boán chuû ñeà 2, 3, 4, 5, coù 4! caùch. Tieáp ñeán, saép caùc caâu trong töøng chuû ñeà, moãi chuû ñeà coù 10! caùch. Vaäy coù : 4!5.10! caùch = 120.10! caùch. Chuû ñeà 2, 3 ñöùng keá nhau : xem chuû ñeà 2 vaø 3 laø moät phaàn töû, ta coù hoaùn vò cuûa 3 phaàn töû (2, 3), 4, 5 hay (3, 2), 4, 5, coù : 2.3! caùch. Tieáp ñeán, saép caùc caâu trong töøng chuû ñeà, coù : 5.10! caùch. Neân coù : 60.10! caùch. Vaäy soá caùch saép theo yeâu caàu laø : 120.10! – 60.10! = 60.10! = 217728000 caùch. Baøi 25. Moät coâng ty caàn thöïc hieän moät cuoäc ñieàu tra thaêm doø thò hieáu ngöôøi tieâu duøng veà saûn phaåm cuûa mình. Coâng ty ñöa ra 10 tính chaát cuûa saûn phaåm vaø yeâu caàu khaùch haøng saép thöù töï theo möùc ñoä quan troïng giaûm daàn. Giaû söû tính chaát 1 vaø tính chaát 10 ñaõ ñöôïc xeáp haïng. Hoûi coù maáy caùch xeáp ? Giaûi Coøn laïi 8 tính chaát caàn xeáp haïng. Ñaây laø hoaùn vò cuûa 8 phaàn töû. Vaäy, coù : 8! = 40320 caùch. Baøi 26. Coù 5 bi ñoû vaø 5 bi traéng coù kích thöôùc khaùc nhau ñoâi moät bao nhieâu caùch saép caùc bi naøy thaønh 1 haøng daøi sao cho hai bi cuøng maøu khoâng ñöôïc naèm keà nhau. Giaûi Xeùt moät hoäc ñöïng bi coù 10 oâ troáng, moãi oâ ñöôïc ñaùnh soá theo thöù töï töø 1 ñeán 10. • Laáy 5 bi ñoû boû vaøo vò trí oâ mang soá chaün 2, 4, 6, 8, 10 ta coù 5! caùch. Sau ñoù laáy 5 bi traéng boû vaøo 5 oâ coøn laïi ta cuõng coù 5! caùch. Vaäy tröôøng hôïp naøy ta coù 5! × 5! caùch. • Laäp luaän töông töï laáy 5 bi ñoû boû vaøo caùc oâ mang soá leû; laáy 5 bi traéng boû vaøo oâ soá chaün ta cuõng coù 5! × 5! caùch. • Do ñoù soá caùch thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 2(5!)2 = 2(120)2 = 28 800 caùch. Baøi 27. Coù bao nhieâu caùch xeáp 5 hoïc sinh A, B, C, D, E vaøo 1 gheá daøi sao cho : a) C ngoài chính giöõa b) A, E ngoài hai ñaàu gheá. Ñaïi hoïc Haøng haûi 1999
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giaûi a) Soá caùch xeáp 4 hoïc sinh A, B, D, E vaøo 4 gheá laø : 4! = 24. b) Soá caùch xeáp A, E ngoài hai ñaàu gheá laø : 2! Soá caùch xeáp 3 hoïc sinh coøn laïi : 3! Vaäy soá caùch xeáp thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 2! × 3! = 2 × 6 = 12. Baøi 28. Trong moät phoøng coù 2 baøn daøi, moãi baøn coù 5 gheá. Ngöôøi ta muoán xeáp choã ngoài cho 10 hoïc sinh goàm 5 nam vaø 5 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp choã ngoài neáu a) Caùc hoïc sinh ngoài tuøy yù. b) Caùc hoïc sinh nam ngoài 1 baøn, hoïc sinh nöõ ngoài 1 baøn. Ñaïi hoïc Caàn Thô 1999 Giaûi a) Soá caùch xeáp 10 hoïc sinh ngoài tuøy yù laø : 10! = 3628800. b) Soá caùch xeáp nam sinh ngoài 1 baøn : 5! Soá caùch nöõ sinh ngoài 1 baøn : 5! Soá caùch xeáp 2 baøn : 2! Soá caùch xeáp thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 2! × 5! × 5! = 28800. Baøi 29. Moät hoïc sinh coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau trong ñoù coù 4 saùch Vaên, 2 saùch Toaùn, 6 saùch Anh vaên. Hoûi coù bao nhieâu caùch saép caùc cuoán saùch leân 1 keä daøi neáu caùc cuoán cuøng moân saép keà nhau. Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM khoái D 1999 Giaûi Soá caùch saép 4 saùch Vaên keà nhau : 4! Soá caùch saép 2 saùch Toaùn keà nhau : 2! Soá caùch saép 6 saùch Anh keà nhau : 6! Soá caùch saép 3 loaïi saùch Vaên, Toaùn, Anh leân keä : 3! Soá caùch saép thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 4! × 2! × 6! × 3! = 207360. Baøi 30. Töø X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thieát laäp caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau. Hoûi trong caùc soá laäp ñöôïc coù bao nhieâu soá maø hai chöõ soá 1 vaø 6 khoâng ñöùng caïnh nhau. Ñaïi hoïc Ngoaïi thöông khoái A 2001
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giaûi Goïi n = a a16. Soá caùc soá coù 6 chöõ soá ñöôïc laäp töø X : 6! Ñaët a = 16 . Soá caùc soá taïo neân bôûi hoaùn vò a vaø 2, 3, 4, 5 laø 5! Ñaët b = 61 . Soá caùc soá taïo neân bôûi hoaùn vò b vaø 2, 3, 4, 5 laø 5! Soá caùch xeáp thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 6! – 2 × 5! = 480. Baøi 31. Xeùt caùc soá goàm 9 chöõ soá trong ñoù coù 5 soá 1 vaø 4 chöõ soá coøn laïi laø 2, 3, 4, 5. Hoûi coù bao nhieâu soá maø a) Naêm chöõ soá 1 saép keà nhau. b) Caùc chöõ soá ñöôïc xeáp tuøy yù. Hoïc vieän Ngaân haøng khoái D 1999 Giaûi a) Ñaët a = 11111 Ñeå saép soá a vaø 2, 3, 4, 5 coù 5! = 120 caùch. b) Soá caùc soá coù 9 chöõ soá ñöôïc laáy töø 9 soá treân : 9! Do 5 chöõ soá 1 nhö nhau neân soá laàn saép truøng laëp laïi laø 5! 9! 98765!× ××× Soá caùch xeáp thoûa yeâu caàu baøi toaùn : = = 3024. 5! 5! Baøi 32. Coù bao nhieâu soá goàm 7 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau ñöôïc laäp töø 7 chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai chöõ soá chaün khoâng naèm lieàn nhau. Cao ñaúng Kinh teá Ñoái ngoaïi 2000 Giaûi Soá caùc soá coù 7 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc laäp töø 7 chöõ soá treân laø P7 = 7! Trong caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 chæ coù hai chöõ soá chaün laø 2 vaø 4. Goïi a = 24 . Soá hoaùn vò cuûa a vaø 1, 3, 5, 7, 9 laø 6! Goïi b = 42 . Soá hoaùn vò cuûa b vaø 1, 3, 5, 7, 9 laø 6! Soá caùch xeáp thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 7! – 2(6!) = 3600 soá.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Baøi 33. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá ñeàu lôùn hôn 4 vaø ñoâi moät khaùc nhau. Tính toång caùc soá treân. Ñaïi hoïc Hueá khoái D 1997 Giaûi Goïi n = aaaaa12345 vaø X = {5, 6, 7, 8, 9} Soá caùc soá n choïn töø X laø 5! = 120. Xeùt caùc chöõ soá haøng ñôn vò. 120 Do soá laàn xuaát hieän cuûa 5 loaïi chöõ soá baèng nhau neân moãi chöõ soá xuaát hieän 5 = 24 laàn. Vaäy toång caùc chöõ soá haøng ñôn vò laø : 24(5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 24 × 35 = 840 Töông töï, toång caùc chöõ soá haøng chuïc laø 840 × 10 toång caùc chöõ soá haøng traêm laø 840 × 102 toång caùc chöõ soá haøng nghìn laø 840 × 103 toång caùc chöõ soá haøng vaïn laø 840 × 104. Do ñoù S = 840 + 840 × 10 + 840 × 102 + 840 × 103 + 840 × 104 S = 840 (1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) S = 840 (11111) = 9333240. Chuù yù : Ta coù theå tính S qua coâng thöùc toång n soá haïng cuûa caáp soá coäng. 1 S = (nmax + nmin) × 120 2 1 = (98 765 + 56 789) × 120 = 9333240. 2 Baøi 34. Trong caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 7 chöõ soá trong ñoù chöõ soá 4 coù maët ñuùng 3 laàn coøn caùc chöõ soá khaùc coù maët ñuùng 1 laàn. Ñaïi hoïc An ninh khoái D 2001 Giaûi Caùch 1 : Goïi n = aa a12 7
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Soá caùc soá n baát kì (a1 coù theå laø 0) maø 4 coù maët ñuùng 3 laàn vaø caùc chöõ soá khaùc 7! ñuùng 1 laàn : . 3! Soá caùc soá n maø a1 = 0; 4 coù maët ñuùng 3 laàn vaø caùc chöõ soá 1, 2, 3, coù maët ñuùng 1 6! laàn : . 3! Soá caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 7! 6! – = 7 × 6 × 5 × 4 – 6 × 5 × 4 = 720. 3! 3! Caùch 2 : Xeùt hoäc coù 7 oâ troáng. Laáy soá 0 boû vaøo hoäc coù 6 caùch Laáy soá 1 boû vaøo hoäc coù 6 caùch Laáy soá 2 boû vaøo hoäc coù 5 caùch Laáy soá 3 boû vaøo hoäc coù 4 caùch Laáy 3 soá 4 boû vaøo hoäc coù 1 caùch. Laáy caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 6 × 6 × 5 × 4 = 720. (coøn tieáp) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung taâm Boài döôõng vaên hoùa vaø luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông III CHÆNH HÔÏP Coù n vaät khaùc nhau, choïn ra k vaät khaùc nhau (1 ≤ k ≤ n), saép vaøo k choã khaùc nhau. Moãi caùch choïn roài saép nhö vaäy goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. Choã thöù nhaát coù n caùch choïn (do coù n vaät), choã thöù 2 coù (n – 1) caùch choïn (do coøn n – 1 vaät), choã thöù 3 coù n – 2 caùch choïn (do coøn n – 2 vaät), , choã thöù k coù n – (k – 1) caùch choïn (do coøn n – (k – 1) vaät). Vaäy, theo qui taéc nhaân, soá caùch choïn laø : n! n × (n – 1) × (n – 2) × × (n – k + 1) = (n− k)! k Neáu kí hieäu soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø An , ta coù : n! Ak = n (n− k)! Ví duï 1. Moät nhaø haøng coù 5 moùn aên chuû löïc, caàn choïn 2 moùn aên chuû löïc khaùc nhau cho moãi ngaøy, moät moùn buoåi tröa vaø moät moùn buoåi chieàu. Hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Ñaây laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû, coù : 5! A2 = = 4.5 = 20 caùch choïn. 5 (5− 2)! (Giaû söû 5 moùn aên ñöôïc ñaùnh soá 1, 2, 3, 4, 5; ta coù caùc caùch choïn sau ñaây : (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)). Ví duï 2. Trong moät tröôøng ñaïi hoïc, ngoaøi caùc moân hoïc baét buoäc, coù 3 moân töï choïn, sinh vieân phaûi choïn ra 2 moân trong 3 moân ñoù, 1 moân chính vaø 1 moân phuï. Hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Ñaây laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 3 phaàn töû. Vaäy coù :
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 3! A2 = = 6 caùch choïn. 3 (3− 2)! (Giaû söû 3 moân töï choïn laø a, b, c thì 6 caùch choïn theo yeâu caàu laø (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b)). Ví duï 3. Töø 5 chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 coù theå taïo ra bao nhieâu soá goàm 2 chöõ soá khaùc nhau ? Giaûi Ñaây laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy coù : 5! 5! A2 = = = 5 × 4 = 20 soá 5 (5− 2)! 3! (Caùc soá ñoù laø : 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54) . Baøi 35. Chöùng minh vôùi n, k ∈ ¥ vaø 2 ≤ k < n k k k1− n2+ n1+ 2 n a) An = An1− + k An1− b) Ank+ + Ank+ = k Ank+ Giaûi a) Ta coù : (n− 1)! (n− 1)! Ak + k A k1− = + k. n1− n1− (n−− 1 k)! (n− k)! ⎡ 1k⎤ = (n – 1)! ⎢ + ⎥ ⎣(n−− k 1)! (n − k)(n −− k 1)!⎦ (n− 1)! ⎛⎞k (n− 1)! n = ⎜⎟1 + = . (n−− k 1)! ⎝⎠nk− (n−− k 1)! nk− n! = = Ak . (n− k)! n (n+ k)! (n+ k)! (n+ k)! (n+ k)! b) An2+ + An1+ = + = + nk+ nk+ (k− 2)! (k− 1)! (k− 2)! (k−− 1)(k 2)! (n+ k)! ⎡ 1 ⎤ = 1 + (k− 2)! ⎣⎢ k1− ⎦⎥ (n+ k)! k (n+ k)!k2 = . = = An .k2. (k− 2)! k1− k! nk+ 2 2 Baøi 36. Giaûi phöông trình Px . A x + 72 = 6( A x + 2Px).
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi khoái D 2001 Giaûi Ñieàu kieän x ∈ ¥ vaø x ≥ 2. 2 2 Ta coù : Px . A x + 72 = 6( A x + 2Px) x! ⎡ x! ⎤ ⇔ x! + 72 = 6 ⎢ + 2x!⎥ (x− 2)! ⎣(x− 2)! ⎦ ⇔ x!x(x – 1) + 72 = 6[x(x – 1) + 2x!] ⇔ (x2 – x – 12)x! = 6(x2 – x – 12) ⇔ (x2 – x – 12)(x! – 6) = 0 ⎡xx122 −− =0 ⇔ ⎢ ⎣x!−= 6 0 ⎡x4= ⎢ ⇔ ⎢x=−3 : loaïi ⎣⎢x3= ⎡x4= ⇔ ⎢ ⎣x3= 3 2 A Baøi 37. Giaûi baát phöông trình : x + 5 A x ≤ 21x. Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi khoái B 1998 Giaûi Ñieàu kieän x ∈ ¥ vaø x ≥ 3. 3 2 A x + 5 A x ≤ 21x x! x! ⇔ + 5 ≤ 21x (x− 3)! (x− 2)! ⇔ x(x – 1)(x – 2) + 5x(x – 1) ≤ 21x ⇔ (x – 1)(x – 2) + 5(x – 1) ≤ 21 (do x ≥ 3) ⇔ x2 + 2x – 24 ≤ 0 ⇔ –6 ≤ x ≤ 4. Do x ∈ ¥ vaø x ≥ 3 neân x = 3, x = 4 laø nghieäâm. Baøi 38. Tìm caùc soá aâm trong daõy soá x1, x2, , xn vôùi
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 4 An4+ 143 xn = – vôùi Pn laø soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû. Pn2+ 4Pn Ñaïi hoïc An ninh 2001 Giaûi Ñieàu kieän n ∈ ¥ \{0} . (n+ 4)! n! 143 (n+ 4)(n+ 3) 143 Ta coù : xn = – = – . (n+ 2)! 4n! n! 4n! 143 Vaäy : xn 0) 4 19 5 ⇔ 4n2 + 28n – 95 < 0 ⇔ − < n < . 2 2 Do n = 1, 2, 3, neân n = 1, n = 2. 54× 143 63 Vaäy 2 soá caàn tìm laø x1 = – = – 1 4 4 65× 143 143 23 vaø x2 = – = 15 – = – . 2 42× 8 8 Baøi 39. Chöùng minh vôùi n ∈ ¥ vaø n ≥ 2 thì 1 1 1 n1− 2 + 2 + + 2 = . A2 A3 An n Ñaïi hoïc An ninh khoái A 2001 Ta coù : ⎧ 11 = ⎪A22 ⎪ 2 ⎪ 11!1 11 == =− ⎪A2 3! 3× 2 2 3 ⎪ 3 ⎪ 12!1 11 +===−⎨ 2 ⎪A4 4! 4× 3 3 4 ⎪MM ⎪ 1(n2)!1− 1 ⎪ ==−. ⎪A2 n! n− 1 n ⎪ n ⎩
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Coäng veá theo veá n – 1 ñaúng thöùc treân ta ñöôïc : 1 1 1 1 1 1 1 1 n1− 2 + 2 + 2 + + 2 = + – = 1 – = . A2 A3 A4 An 2 2 n n n Baøi 40. Coù bao nhieâu soá ñieän thoaïi baét ñaàu baèng 2 chöõ caùi khaùc nhau laáy töø 26 chöõ caùi A, B, C, , Z vaø tieáp theo laø 5 chöõ soá khaùc nhau khoâng coù soá 0. Giaûi Choïn 2 chöõ caùi trong 26 chöõ caùi, xeáp vaøo hai vò trí ñaàu tieân, ñaây laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 26 phaàn töû. Tieáp theo, choïn 5 chöõ soá trong 9 chöõ soá khaùc 0, xeáp vaøo 5 vò trí, ñaây laø chænh hôïp chaäp 5 cuûa 9 phaàn töû. 26! 9! Vaäy coù : A2 . A5 = . = 9828000 soá. 26 9 24! 4! Baøi 41. Moät ñoäi boùng ñaù coù 18 caàu thuû. Caàn choïn ra 11 caàu thuû phaân vaøo 11 vò trí treân saân ñeå thi ñaáu chính thöùc. Hoûi coù maáy caùch choïn neáu : a) Ai cuõng coù theå chôi ôû baát cöù vò trí naøo ? b) Chæ coù caàu thuû A laøm thuû moân ñöôïc, caùc caàu thuû khaùc chôi ôû vò trí naøo cuõng ñöôïc ? c) Coù 3 caàu thuû chæ coù theå laøm thuû moân ñöôïc, caùc caàu thuû khaùc chôi ôû vò trí naøo cuõng ñöôïc ? Giaûi a) Choïn 11 ngöôøi trong 18 ngöôøi, xeáp vaøo 11 vò trí. Ñaây laø chænh hôïp chaäp 11 cuûa 18! 18 phaàn töû. Coù : A11 = = 1270312243 caùch. 18 7! b) Choïn A laøm thuû moân. Tieáp ñeán, choïn 10 ngöôøi trong 17 ngöôøi coøn laïi, xeáp vaøo 17! 10 vò trí. Vaäy coù : A10 = = 705729024 caùch. 17 7! c) Choïn 1 trong 3 ngöôøi laøm thuû moân, coù 3 caùch. Tieáp ñeán, choïn 10 ngöôøi trong 15 15! ngöôøi kia, xeáp vaøo 10 vò trí, coù A10 = caùch. 15 5! 15! Vaäy, coù : 3. = 326918592 caùch. 5! Baøi 42. Coù 10 cuoán saùch khaùc nhau vaø 7 caây buùt maùy khaùc nhau. Caàn choïn ra 3 cuoán saùch vaø 3 caây buùt maùy ñeå taëng cho 3 hoïc sinh, moãi em moät cuoán saùch vaø moät caây buùt maùy. Hoûi coù maáy caùch ?
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giaûi Choïn 3 trong 10 cuoán saùch ñeå taëng cho 3 hoïc sinh. Ñaây laø chænh hôïp chaäp 3 cuûa 3 10 phaàn töû, coù A10 caùch. Tieáp theo choïn 3 trong 7 caây buùt ñeå taëng cho 3 hoïc sinh. Ñaây laø chænh hôïp chaäp 3 3 cuûa 7 phaàn töû, coù A7 caùch. 10! 7! Vaäy, coù : A3 . A3 = . = 10.9.8.7.6.5 = 151200 caùch. 10 7 7! 4! Baøi 43. Trong moät chöông trình vaên ngheä, caàn choïn ra 7 baøi haùt trong 10 baøi haùt vaø 3 tieát muïc muùa trong 5 tieát muïc muùa roài xeáp thöù töï bieåu dieãn. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn khaùc nhau neáu caùc baøi haùt ñöôïc xeáp keá nhau vaø caùc tieát muïc muùa ñöôïc xeáp keá nhau ? Giaûi Xeáp haùt roài ñeán muùa hay muùa roài ñeán haùt : coù 2 caùch . 7 Trong moãi tröôøng hôïp ñoù, choïn 7 trong 10 baøi haùt roài xeáp thöù töï, coù A10 caùch. 3 Tieáp ñeán choïn 3 trong 5 tieát muïc muùa roài xeáp thöù töï, coù : A5 caùch. 10! 5! Vaäy coù : 2. A7 . A3 = 2. . = 72576000 caùch. 10 5 3! 2! Baøi 44. Trong moät cuoäc ñua ngöïa goàm 10 con. Hoûi coù maáy caùch ñeå 10 con ngöïa naøy veà ñích nhaát, nhì, ba. Giaûi Soá caùc caùch ñeå trong 10 con ngöïa naøy veà ñích nhaát, nhì, ba laø soá caùc chænh hôïp 10 chaäp 3 (do coù thöù töï). Ñoù laø : 10! A3 = = 10.9.8 = 720 caùch. 10 7! Baøi 45. Xeùt caùc baûng soá xe laø daõy goàm 2 chöõ caùi ñöùng tröôùc vaø 4 chöõ soá ñöùng sau. Caùc chöõ caùi ñöôïc laáy töø 26 chöõ caùi A, B, , Z. Caùc chöõ soá ñöôïc laáy töø 0, 1, , 9. a) Coù maáy bieån soá trong ñoù coù ít nhaát 1 chöõ caùi khaùc chöõ O vaø caùc chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau. b) Coù maáy bieån soá coù 2 chöõ caùi khaùc nhau ñoàng thôøi coù ñuùng 2 chöõ soá leû, vaø 2 chöõ soá leû ñoù gioáng nhau. Hoïc vieän Ngaân haøng TP. HCM 2000 Giaûi
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a) Soá caùch choïn 2 chöõ caùi trong ñoù coù ít nhaát 1 chöõ caùi khaùc chöõ O : 26 × 26 – 1 = 675 (1 laø soá tröôøng hôïp maø 2 chöõ caùi ñeàu laø O). 4 Soá caùch choïn 4 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau : A10 . 4 Vaäy coù 675 × A10 = 675 × 5040 = 3420000 bieån soá. b) Soá caùch choïn 2 chöõ caùi khaùc nhau : 26 × 25. Coù 5 caëp soá leû gioáng nhau, choïn 1 caëp coù 5 caùch. A2 Laáy caëp soá leû gioáng nhau naøy xeáp vaøo 2 trong 4 vò trí cuûa bieån soá coù : 4 = 6 2! caùch. Coøn 2 vò trí troáng mang 2 chöõ soá chaün (coù theå gioáng nhau) trong 5 chöõ soá chaün coù : 5 × 5 caùch. Do ñoù soá bieån soá thoûa yeâu caàu caâu b laø : 26 × 25 × 5 × 6 × 25 = 487500 bieån soá. Baøi 46. Coù 30 hoïc sinh döï thi hoïc sinh gioûi toaùn toaøn quoác. Coù 6 giaûi thöôûng xeáp haïng töø 1 ñeán 6 vaø khoâng ai ñöôïc nhieàu hôn 1 giaûi. Hoûi: a) Coù bao nhieâu danh saùch hoïc sinh ñoaït giaûi coù theå coù ? b) Neáu ñaõ bieát hoïc sinh A chaéc chaén ñoaït giaûi, thì coù bao nhieâu danh saùch hoïc sinh ñoaït giaûi coù theå coù ? Giaûi a) Choïn 6 hoïc sinh trong 30 hoïc sinh, xeáp vaøo 6 giaûi laø chænh hôïp chaäp 6 cuûa 30 phaàn töû. Vaäy coù : 30! A6 = = 30.29.28.27.26.25 = 427518000 caùch. 30 24! b) Neáu hoïc sinh A chaéc chaén khoâng ñoaït giaûi, caàn choïn 6 hoïc sinh trong 29 hoïc sinh, xeáp vaøo 6 giaûi. Ñaây laø chænh hôïp chaäp 6 cuûa 29 phaàn töû, coù : 29! A6 = = 29.28.27.26.25.24 = 342014400 caùch. 29 23! Suy ra soá danh saùch theo yeâu caàu ñeà baøi laø : 427.518.000 – 342.014.400 = 85.503.600. Baøi 47. Moät lôùp hoïc coù 40 hoïc sinh. Giaùo vieân chuû nhieäm lôùp muoán choïn ra 1 lôùp tröôûng, 1 lôùp phoù hoïc taäp vaø 1 lôùp phoù lao ñoäng. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giaûi Ñaây laø baøi toaùn chænh hôïp vì töø 40 hoïc sinh choïn ra 3 em laøm caùn boä lôùp coù theo thöù töï lôùp tröôûng, lôùp phoù hoïc taäp, lôùp phoù lao ñoäng. Vaäy soá caùch choïn laø : 40! A3 = = 40 × 39 × 38 = 59280 caùch. 40 37! Baøi 48. Coù 6 ngöôøi ñi vaøo 1 thang maùy cuûa moät chung cö coù 10 taàng. Hoûi coù bao nhieâu caùch ñeå : a) Moãi ngöôøi ñi vaøo 1 taàng khaùc nhau. b) 6 ngöôøi naøy, moãi ngöôøi ñi vaøo 1 taàng baát kì naøo ñoù. Giaûi a) Soá caùch ñi vaøo 6 taàng khaùc nhau cuûa 6 ngöôøi naøy laø soá caùch choïn 6 trong 10 soá khaùc nhau (moãi taàng ñöôïc ñaùnh 1 soá töø 1 ñeán 10). 10! Ñoù laø soá chænh hôïp 10 chaäp 6 : A6 = = 151200. 10 4! b) Moãi ngöôøi coù 10 caùch löïa choïn töø taàng 1 ñeán 10. Maø coù 6 ngöôøi. Vaäy soá caùch choïn laø 106. Baøi 49. Coù 100000 chieác veù soá ñöôïc ñaùnh soá töø 00000 ñeán 99999. Hoûi soá caùc veù goàm 5 chöõ soá khaùc nhau laø bao nhieâu. Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi 1997 Giaûi Moãi veù coù 5 chöõ soá khaùc nhau chính laø moät chænh hôïp 10 chaäp 5. Vaäy soá caùc veù goàm 5 chöõ soá khaùc nhau laø : 10! A5 = = 30240. 10 5! Ghi chuù : Coù theå giaûi baèng pheùp ñeám nhö baøi 8 trang 11. Baøi 50. Vôùi 10 chöõ soá 0, 1, , 8, 9 coù theå laäp bao nhieâu soá coù 5 chöõ soá khaùc nhau. Ñaïi hoïc Caûnh saùt 1999 Giaûi Goïi n = aa a12 5 (a1 ≠ 0)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Soá caùc soá n baát kì (a1 coù theå baèng 0) 10! A5 = = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30240 10 5! Soá caùc soá n maø a1 = 0 laø : 9! A4 = = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024 9 5! Vaäy soá caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 30240 – 3024 = 27216. Baøi 51. Coù bao nhieâu soá nguyeân döông beù hôn 1000 maø moãi soá ñeàu coù caùc chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau. Giaûi Goïi n ∈ ¥ vaø 0 < n < 1000. • Soá caùc soá n coù 1 chöõ soá laø : 9. • Soá caùc soá n coù 2 chöõ soá khaùc nhau laø : 10! 9! A2 – A1 = – = 81 10 9 8! 8! 1 trong ñoù A9 laø caùc soá coù 2 chöõ soá khaùc nhau maø baét ñaàu baèng 0. • Soá caùc soá n coù 3 chöõ soá khaùc nhau laø : 10! 9! A3 – A2 = – = 648 10 9 7! 7! 2 trong ñoù A9 laø soá caùc soá coù 3 chöõ soá khaùc nhau maø baét ñaàu baèng 0. 2 1 3 2 • Vaäy coù : 9 + ( A10 – A9 ) + ( A10 – A9 ) = 9 + 81 + 648 = 738. Baøi 52. Töø 0, 1, 3, 5, 7 coù theå laäp bao nhieâu soá, moãi soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng chia heát cho 5. Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi Caùch 1 : Goïi n = aaaa1234 (a1 ≠ 0) • Neáu a4 = 0 thì soá caùc soá n laø 4! A3 = = 4 × 3 × 2 = 24 4 1! • Neáu a4 = 5 thì soá caùc soá n laø
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 3! A3 – A2 = 24 – = 18. 4 3 1! 2 vôùi A3 laø soá caùc soá n maø a1 = 0. Do ñoù soá caùc soá chia heát cho 5 : 24 + 18 = 42. Nhöng soá caùc soá n tuøy yù (a1 ≠ 0) laø : 5! A4 – A3 = – 24 = 96. 5 4 1! 3 vôùi A4 laø soá caùc soá n maø a1 = 0. Vaäy soá caùc soá khoâng chia heát cho 5 : 96 – 42 = 54. Caùch 2 : Soá caùc soá taän cuøng baèng 1 : 3 2 A4 – A3 = 4! – 3! = 18 2 vôùi A3 laø soá caùc soá n maø a1 = 0. Töông töï soá caùc soá taän cuøng baèng 3, 7 cuõng laø 18. Vaäy caùc soá n khoâng chia heát cho 5 laø : 18 + 18 + 18 = 54. Baøi 53. Töø X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 5 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù nhaát thieát phaûi coù maët chöõ soá 5. Ñaïi hoïc Kinh teá Quoác daân 2001 Giaûi Goïi n = aa a12 5. (a1 ≠ 0). Caùch 1: 4 6! • Choïn tröôùc a1 = 5 thì soá caùc soá n laø A = = 360. 6 2! 4 • Soá caùc soá maø ai = 5 (i = 2, 3, 4, 5) keå caû a1 coù theå laø 0 : 4 A6 . 3 Soá caùc soá maø a1 = 0 vaø ai = 5 (i = 2, 3, 4, 5) laø : 4 A5 . Do ñoù soá caùc soá maø a1 ≠ 0 vaø ai = 5 (i = 2, 3, 4, 5) laø : 43 4(A65− A ) = 4(360 – 60) = 1200. Vaäy soá caùc soá n phaûi coù maët 5 laø : 360 + 1200 = 1560.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Caùch 2 : Soá caùc soá goàm 5 chöõ soá baát kì : 5 4 A7 – A6 = 2160 Soá caùc soá goàm 5 chöõ soá maø khoâng coù maët chöõ soá 5 5 4 A6 – A5 = 600 Vaäy soá caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 2160 – 600 = 1560. Baøi 54. Töø 7 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá chaün moãi soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau. Ñaïi hoïc An ninh 1997 – Y Döôïc TP. HCM 1997 Giaûi Caùch 1 : Soá caùc soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau taän cuøng baèng 0 6! A4 = = 360 6 2! Soá caùc soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau taän cuøng baèng 2 (a1 coù theå laø 0) 4 A6 = 360 Soá caùc soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau baét ñaàu 0, taän cuøng laø 2 5! A3 = = 5 × 4 × 3 = 60 5 2! Vaäy soá caùc soá taän cuøng laø 2 maø a1 ≠ 0 360 – 60 = 300 Töông töï soá caùc soá taän cuøng baèng 4, 6 cuõng laø 300. Vaäy soá caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 360 + 3.(300) = 1260. Caùch 2 : Goïi n = a12 a a 5 chaün. Tröôøng hôïp 1 : a1 leû.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a1 a5 a2 a3 a4 Soá caùch choïn 3 4 5 4 3 Tröôøng hôïp 2 : a1 chaün. a1 a5 a2 a3 a4 Soá caùch choïn 3 3 5 4 3 Vaäy soá caùc soá n chaün laø : 3 × 4 × 5 × 4 × 3 + 3 × 3 × 5 × 4 × 3 = 720 + 540 = 1260. Baøi 55. Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} coù theå laäp bao nhieâu soá n goàm 5 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät töø X maø a) n chaün b) Moät trong 3 chöõ soá ñaàu tieân phaûi coù maët chöõ soá 1. Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM khoái D 1999 Giaûi Goïi n = aaaaa12345. 4 a) Caùch 1 : Soá caùc soá taän cuøng laø 0 : A7 4 3 3 Soá caùc soá taän cuøng laø 2 : A7 – A6 ( A6 laø soá caùc soá n taän cuøng 2 baét ñaàu 0). 4 3 Töông töï soá caùc soá taän cuøng 4, 6 cuõng laø A7 – A6 . Vaäy soá caùc soá chaün 7! 6! A4 + 3( A4 – A3 ) = 4 A4 – 3 A3 = 4. – 3. = 3000. 7 7 6 7 6 3! 3! Caùch 2 : Tröôøng hôïp 1 : a1 leû a1 a5 a2 a3 a4 Soá caùch choïn 4 4 6 5 4 Tröôøng hôïp 2 : a1 chaün
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a1 a5 a2 a3 a4 Soá caùch choïn 3 3 6 5 4 Do ñoù soá caùc soá n chaün laø : 30.43 + 120.32 = 3000. b) Caùch 1 : • Xeùt caùc soá n baát kì (keå caû a1 = 0) Coù 3 caùch choïn chöõ soá 1 (do a1 hoaëc a2 hoaëc a3 baèng 1) 7! 4 vò trí coøn laïi coù A4 = = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 caùch. 7 3! Vaäy coù 3 × 840 = 2520 soá. • Xeùt caùc soá n = 0a2345 a a a Coù 2 caùch choïn vò trí chöõ soá 1. 6! Coù A3 = = 6 × 5 × 4 = 120 caùch choïn cho 3 vò trí coøn laïi. 6 3! Vaäy coù 2 × 120 = 240 soá Soá caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 2520 – 240 = 2280 soá. Caùch 2 : Soá caùc soá n maø a1 = 1 laø 7! A4 = = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 7 3! Soá caùc soá n maø a2 = 1 laø 4 3 3 A7 – A6 = 840 – 120 = 720 ( A6 laø soá caùc soá daïng 01a345 a a ) Soá caùc soá maø a3 = 1 cuõng laø 720. Soá caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 840 + 720 + 720 = 2280 soá. Baøi 56. Töø 7 chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå bao nhieâu soá coù 4 chöõ soá khaùc nhau vaø coù theå laäp bao nhieâu soá coù 4 chöõ soá phaân bieät trong ñoù coù 2 chöõ soá 1, 2. Ñaïi hoïc Daân laäp Thaêng Long 1998 Giaûi
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Goïi n = aaaa1234 • Soá caùc soá n laø : 7! A4 = = 7 × 6 × 5 × 4 = 840. 7 3! • Xeùt hoäc coù 4 oâ troáng. Ñem chöõ soá 1 boû vaøo hoäc coù : 4 caùch. Ñem chöõ soá 2 boû vaøo hoäc coù : 3 caùch. Coøn laïi 5 chöõ soá 3, 4, 5, 6, 7 boû vaøo 2 oâ troáng coøn laïi coù 5! A2 = = 5 × 4 = 20 caùch. 5 3! Vaäy soá caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 4 × 3 × 20 = 240 soá. Baøi 57. Töø 10 chöõ soá 0, 1, 2, , 7, 8, 9 coù theå laäp bao nhieâu soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau sao cho caùc soá ñoù ñeàu phaûi coù maët 0 vaø 1. Hoïc vieän Coâng ngheä Böu chính Vieãn thoâng 1999 Giaûi Xeùt hoäc coù 6 oâ troáng. Do a1 ≠ 0 neân coù 5 caùch ñöa soá 0 boû vaøo hoäc. Coøn laïi 5 oâ troáng neân coù 5 caùch ñöa soá 1 vaøo. Coøn 8 chöõ soá 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 maø coù 4 hoäc troáng neân coù 8! A4 = = 8 × 7 × 6 × 5 = 1680 caùch. 8 4! Do ñoù soá caùc soá caàn tìm : 5 × 5 × 1680 = 42 000. Baøi 58. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau (chöõ soá ñaàu tieân khaùc 0) trong ñoù coù moät chöõ soá 0 nhöng khoâng coù maët chöõ soá 1. Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 2001 Giaûi Goïi X = {0, 1, 2, , 7, 8, 9} . Xeùt hoäc coù 6 oâ troáng. Laáy chöõ soá 0 boû vaøo hoäc coù 5 caùch (do a1 ≠ 0).
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 5 Töø X\{0, 1}coøn 8 chöõ soá choïn 5 chöõ soá boû vaøo 5 hoäc coøn laïi coù A8 caùch. Vaäy soá caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 8! 5.A5 = 5. = 5 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 33600. 8 3! Baøi 59. Tính toång caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc laäp töø 1, 3, 4, 5, 7, 8. Ñaïi hoïc Sö phaïm Haø Noäi 2 – 2001 Giaûi Goïi n = a12 a a 5 6! Soá caùc soá n laø A5 = = 720. 6 1! Xeùt caùc chöõ soá haøng ñôn vò, moãi chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8 xuaát hieän 720 = 120 laàn. 6 Vaäy toång caùc chöõ soá haøng ñôn vò laø : 120(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) = 120 × 28 = 3360. Töông töï toång chöõ soá haøng chuïc laø : 3360 × 10 toång chöõ soá haøng traêm laø : 3360 × 102 toång chöõ soá haøng nghìn laø : 3360 × 103 toång chöõ soá haøng vaïn laø : 3360 × 104 Do ñoù S = 3360.(1 + 10 + 102 + 103 + 104) = 3360 × 11111 = 37 332 960. (coøn tieáp) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung taâm Boài döôõng vaên hoùa vaø luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông IV TOÅ HÔÏP Coù n vaät khaùc nhau, choïn ra k vaät khaùc nhau (0 ≤ k ≤ n) khoâng ñeå yù ñeán thöù töï choïn. Moãi caùch choïn nhö vaäy goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. Ta thaáy moãi toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû taïo ra ñöôïc Pk = k! chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. k Do ñoù, neáu kí hieäu Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû, ta coù : Ak n! Ck = n = n k! k!(n− k)! k nk− Tính chaát : Cn = Cn k k−1 k Cn = Cn−1 + Cn−1 0 1 n n Cn + Cn + + Cn = 2 Ví duï 1. Coù 5 hoïc sinh, caàn choïn ra 2 hoïc sinh ñeå ñi tröïc lôùp, hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Ñaây laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy coù : 5! 5.4 C2 = = = 10 caùch choïn. 5 2!3! 2 (Giaû söû 5 hoïc sinh laø {a, b, c, d, e} thì 10 caùch choïn laø : {a, b}, {a, c}, {a, d} , {a, e}, {b, c}, {b, d}, {b, e} , {c, d}, {c, e} , {d, e} . Ví duï 2. Moät noâng daân coù 6 con boø, 4 con heo. Moät noâng daân khaùc ñeán hoûi mua 4 con boø vaø 2 con heo. Hoûi coù maáy caùch choïn mua ? Giaûi 4 Choïn mua 4 con boø trong 6 con boø laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 6 phaàn töû, coù : C6 caùch choïn. 2 Choïn mua 2 con heo trong 4 con heo laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû, coù : C4 caùch choïn. Vaäy, theo qui taéc nhaân, soá caùch choïn mua boø vaø heo laø :
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 6! 4! 6! 6.5.4.3.2.1 C4 × C2 = × = = 6 4 4!2! 2!2! (2!)3 8 = 6 × 5 × 3 = 90 caùch choïn. Ví duï 3. Trong moät kì thi, moãi sinh vieân phaûi traû lôøi 3 trong 5 caâu hoûi. a) Coù maáy caùch choïn. b) Coù maáy caùch choïn neáu trong 5 caâu hoûi coù 1 caâu hoûi baét buoäc. Giaûi a) Choïn 3 trong 5 caâu hoûi laø toå hôïp chaäp 3 cuûa 5 phaàn töû. 5! 5.4 Vaäy coù : C3 = = = 10 caùch choïn. 5 3!2! 2 b) Choïn 2 trong 4 caâu hoûi coøn laïi laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû 4! 4.3 Vaäy coù : C2 = = = 6 caùch choïn. 4 2!2! 2 Chuù yù : – Coù theå xem moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø moät taäp con goàm k phaàn töû cuûa taäp n phaàn töû ñaõ cho. – Caàn phaân bieät trong moãi baøi toaùn choïn k vaät töø n vaät, coù hay khoâng haøm yù thöù töï . Neáu coù thöù töï, ñoù laø chænh hôïp, neáu khoâng coù thöù töï, ñoù laø toå hôïp. 1 1 1 Baøi 60. Giaûi phöông trình : x – x = x (*) C4 C5 C6 Giaûi Ñieàu kieän : x ∈ ¥ vaø x ≤ 4. x!(4− x)! x!(5− x)! x!(6− x)! (*) ⇔ – = 4! 5! 6! (4− x)! (5−− x)(4 x)! (6− x)(5−− x)(4 x)! ⇔ – = (do x! > 0) 4! 54!× 654!×× 5x− (6−− x)(5 x) ⇔ 1 – = (do (4 – x)! > 0) 5 30 ⇔ 30 – 6(5 – x) = 30 – 11x + x2 2 ⎡x21 = ⇔ x – 17x + 30 = 0 ⇔ ⎢ ⎣x2 = 15 (loaïi so ñieàu kieän x≤ 4)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ⇔ x = 2. n3− Cn1− 1 Baøi 61. Tìm n sao cho 4 < (*) An1+ 14P3 Ñaïi hoïc Haøng haûi 1999 Giaûi Ñieàu kieän : n ∈ ¥ vaø n + 1 ≥ 4 ⇔ n ∈ ¥ vaø n ≥ 3. (n− 1)! (n− 3)!2! 1 (n− 1)! 1 1 (*) ⇔ < ⇔ × < (n+ 1)! 14× 3! 2! (n+ 1)! 14× 6 (n− 3)! 1 1 ⇔ < ⇔ n2 + n – 42 < 0 (n+ 1)n 42 ⇔ –7 < n < 6 Do ñieàu kieän n ∈ ¥ vaø n ≥ 3 neân n ∈ {3, 4,5} . 1 6 Baøi 62. Tìm x thoûa : A2 – A2 ≤ C3 + 10. 2 2x x x x Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 2000 Giaûi Ñieàu kieän x ∈ ¥ vaø x ≥ 3. Baát phöông trình ñaõ cho 1 (2x)! x! 6 x! ⇔ . – ≤ . + 10 2 (2x− 2)! (x− 2)! x 3!(x− 3)! 1 ⇔ .2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ (x – 1)(x – 2) + 10 2 ⇔ x2 ≤ x2 – 3x + 12 ⇔ x ≤ 4 Keát hôïp vôùi ñieàu kieän ta coù nghieäm baát phöông trình laø x = 3 ∨ x= 4 yy ⎪⎧2Axx+= 5C 90 Baøi 63. Tìm x, y thoûa ⎨ yy ⎩⎪5Axx−= 2C 80 Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 2001 Giaûi
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ñieàu kieän x, y ∈ N vaø x ≥ y. yy y ⎪⎧4Axx+= 10C 180 ⎪⎧29Ax = 580 Heä ñaõ cho ⇔ ⇔ ⎨ yy ⎨ yy ⎩⎪25Axx−= 10C 400 ⎩⎪4Axx+= 10C 180 ⎧ x! = 20 y ⎪ ⎪⎧A2x = 0 ⎪(x− y)! ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ C10y = x! ⎩⎪ x ⎪ = 10 ⎩⎪y!(x− y)! ⎧ x! ⎪ = 20 ⎧ x! ⎪(x− y)! ⎪ = 20 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨(x− y)! ⎪20 ⎪ = 10 ⎩y!= 2 ⎩⎪ y! ⎧ x! ⎪ = 20 ⎧x(x− 1)= 20 ⇔ ⎨(x− 2)! ⇔ ⎨ ⎪ ⎩y2= ⎩y2= ⎧xx2002 −− = ⎧x5x=∨=− 4(loaïi) ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩y2= ⎩y2= ⎧x5= ⇔ ⎨ thoûa ñieàu kieän x, y ∈ N vaø x ≥ y. ⎩y2= Baøi 64. Cho k, n ∈ N thoûa n ≥ k ≥ 2. k k2− Chöùng minh : k(k – 1)Cn = n(n – 1) Cn2− . Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi 1999 Giaûi (n− 2)! Ta coù : n(n – 1) Ck2− = n(n – 1) n2− (k−− 2)!(n k)! n! k(k− 1)n! n(n – 1) Ck2− = = n2− (k−− 2)!(n k)! k(k−− 1)(k 2)!(n − k)! n! = k(k – 1) = k(k – 1) C.k k!(n− k)! n Baøi 65. Cho 4 ≤ k ≤ n. Chöùng minh : k k1− k2− k3− k4− k Cn + 4Cn + 6 Cn + 4Cn + Cn = Cn4+ .
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 1997 Giaûi k k k1− AÙp duïng tính chaát cuûa toå hôïp Cn = Cn1− + Cn1− k k1− k2− k3− k4− Ta coù : Cn + 4Cn + 6 Cn + 4Cn + Cn k k1− k1− k2− k2− k3− k3− k4− = ( Cn + Cn ) + 3( Cn + Cn ) + 3( Cn + Cn ) + Cn + Cn k k1− k2− k3− = Cn1+ + 3Cn1+ + 3 Cn1+ + Cn1+ k k1− k1− k2− k2− k3− = ( Cn1+ + Cn1+ ) + 2( Cn1+ + Cn1+ ) + ( Cn1+ + Cn1+ ) k k1− k2− = Cn2+ + 2 Cn2+ + Cn2+ k k1− k1− k2− = ( Cn2+ + Cn2+ ) + ( Cn2+ + Cn2+ ) k k1− k = Cn3+ + Cn3+ = C.n4+ k k2+ k1+ Baøi 66. Tìm k ∈ N sao cho C14 + C14 = 2 C14 . Cao ñaúng Sö phaïm TP. HCM 1998 Giaûi Ñieàu kieän k ∈ N vaø k ≤ 12. k k2+ k1+ Ta coù : C14 + C14 = 2 C14 14! 14! 14! ⇔ + = 2 k!(14− k)! (k+− 2)!(12 k)! (k+− 1)!(13 k)! 1 1 2 ⇔ + = k!(14− k)! (k+− 2)!(12 k)! (k+− 1)!(13 k)! ⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) ⇔ 2k2 – 24k + 184 = 2(–k2 + 12k + 28) ⇔ 4k2 – 48k + 128 = 0 ⇔ k = 8 ∨ k = 4 (nhaän so ñieàu kieän k ∈ N vaø k ≤ 12). Baøi 67*. Chöùng minh neáu k ∈ N vaø 0 ≤ k ≤ 2000 thì k k1+ 1000 1001 C2001 + C2001 ≤ C2001 + C2001 (1) Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi khoái A 2000 Giaûi
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - k k1− k k1+ 1001 Do Cn = Cn1− + Cn1− neân (1) ⇔ C2002 ≤ C2002 k Xeùt daõy {uk } = C2002 vôùi k ∈ [0, 1000] ñaây laø 1 daõy taêng vì k k1+ uk ≤ uk+1 ⇔ C2002 ≤ C2002 (2002)! (2002)! ⇔ ≤ k!(2002− k)! (k+− 1)!(2001 k)! (k+ 1)! (2002− k)! ⇔ ≤ k! (2001− k)! ⇔ k + 1 ≤ 2002 – k ⇔ 2k ≤ 2001 luoân ñuùng ∀ k ∈ [0, 1000]. Do ñoù : k1+ 1001 uk+1 ≤ uk+2 ≤ ≤ u1001 neân C2002 ≤ C2002 ∀ k ∈ [0, 1000] k1+ 2001− k Maët khaùc do C2002 = C2002 neân khi k ∈ [1001, 2000] thì (2001 – k) ∈ [1, 1000] Baát ñaúng thöùc (1) vaãn ñuùng. Vaäy (1) luoân ñuùng ∀ k ∈ [0, 2000]. Baøi 68*. Vôùi moïi n, k ∈ N vaø n ≥ k ≥ 0. Chöùng minh : 2 n n n C2n+ k .C2n− k ≤ (C2n ) . Ñaïi hoïc Y döôïc TP. HCM 1998 Giaûi n n Xeùt daõy soá {uk } = C2n+ k . C2n− k ñaây laø daõy giaûm vì uk ≥ uk+1 n n n n ⇔ C2n+ k .C2n− k ≥ C2n+ k+ 1. C2n− k− 1 (2n+ k)! (2n− k)! (2n+ k+ 1)! (2n− k− 1)! ⇔ . ≥ . n!(n+ k)! n!(n− k)! n!(n+ k+ 1)! n!(n− k− 1)! (n++ k 1)! (2n− k)! (2n+ k+ 1)! (n− k)! ⇔ . ≥ . (n+ k)! (2n− k− 1)! (2n+ k)! (n− k− 1)! ⇔ (n + k + 1)(2n – k) ≥ (2n + k + 1)(n – k) ⇔ 2n2 + nk – k2 + 2n – k ≥ 2n2 – nk – k2 + n – k
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - ⇔ 2nk + n ≥ 0 luoân ñuùng ∀ k, n ∈ N Do ñoù u0 ≥ u1 ≥ u2 ≥ ≥ uk ≥ uk+1 ≥ un Vaäy u0 ≥ uk n n n n ⇔ C2n+ 0 .C2n− 0 ≥ C2n+ k . C2n− k . Baøi 69. Cho n nguyeân döông coá ñònh vaø k ∈ ∈{0,1,2, ,n}. k Chöùng minh raèng neáu Cn ñaït giaù trò lôùn nhaát taïi ko thì k0 thoûa n1−+ n1 ≤≤k . 220 Ñaïi hoïc Sö phaïm Vinh 2001 Giaûi k k nk− Do Cn coù tính ñoái xöùng, nghóa laø Cn = Cn , ta coù : 0 n 1 n1− 2 n2− Cn = Cn , Cn = Cn , Cn = Cn n Vaø daõy {u } = Ck vôùi k ∈ [0, ] ñaây laø 1 daõy taêng neân ta coù k n 2 ⎧ n! n! ≥ kk+1 ⎪ k ⎪⎧CCnn≥ ⎪k!(n− k)! (k+−− 1)!(n k 1)! Cn ñaït max ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ CCkk≥ −1 n! n! ⎩⎪ nn ⎪ ≥ ⎩⎪k!(n− k)! (k−−+ 1)!(n k 1)! ⎧(k+− 1)! (n k)! ⎧ n1− ⎪ ≥ k ≥ ⎪ k! (n−− k 1)! ⎧k1nk+ ≥− ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ (n−+ k 1)! k! nk1k− +≥ n1+ ⎪ ≥ ⎩ ⎪k ≤ ⎩⎪ (n−− k)! (k 1)! ⎩⎪ 2 n1−+ n1 Do ñoù k thoûa ≤≤k . 22 Baøi 70. Cho m, n ∈ N vôùi 0 < m < n. Chöùng minh : m m1− a) m Cn = nCn1− m m1− m1− m1− m1− b) Cn = Cn1− + Cn2− + + Cm + Cm1− . Trung taâm Boài döôõng Caùn boä Y teá TP. HCM 1998 Giaûi
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - (n− 1)! n! a) Ta coù : nCm1− = n = n1− (m−− 1)!(n m)! (m−− 1)!(n m)! m.n! n! = = m. = m. Cm . m(m−− 1)!(n m)! m!(n− m)! n b) Vôùi k ∈ N vaø k ≥ m. Ta coù m m m1− m1− m m Ck = Ck-1 + Ck1− ⇔ Ck1− = Ck – Ck-1 m1− m m Vôùi k = n ta coù Cn1− = Cn – Cn-1 (1) m1− m m Vôùi k = n – 1 ta coù Cn2− = Cn1− – Cn2− (2) m1− m m Vôùi k = n – 2 ta coù Cn3− = Cn2− – Cn3− (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1− m m Vôùi k = m + 1 ta coù Cm = Cm1+ – Cm (n – m – 1) m1− m vaø Cm1− = Cm = 1. Coäng veá theo veá caùc ñaúng thöùc treân ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. Baøi 71. Chöùng minh : 0 2001 1 2000 k 2001− k 2001 0 2002 C.2002 C2002 + C2002 . C2001 + + C2002 . C2002− k + + C2002 . C1 = 1001.2 . Trung taâm Boài döôõng Caùn boä Y teá TP. HCM 2001 Giaûi 2001 2001 k 2001− k 2002! (2002− k)! Veá traùi = ∑ C.C2002 2002− k = ∑ . k0= k0= k!(2002− k)! (2001− k)!1! 2001 2002! 2001 2002.2001! = ∑ = ∑ k0= k!(2001− k)! k0= k!(2001− k)! 2001 n k 2001 k n = 2002∑ C2001 = 2002.2 (do ∑Cn = 2 ) k0= k0= = 1001.22002 = veá phaûi. Baøi 72. Ñeà thi traéc nghieäm coù 10 caâu hoûi, hoïc sinh caàn choïn traû lôøi 8 caâu . a) Hoûi coù maáy caùch choïn tuøy yù ? b) Hoûi coù maáy caùch choïn neáu 3 caâu ñaàu laø baét buoäc ?
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - c) Hoûi coù maáy caùch choïn 4 trong 5 caâu ñaàu vaø 4 trong 5 caâu sau ? Giaûi a) Choïn tuøy yù 8 trong 10 caâu laø toå hôïp chaäp 8 cuûa 10 phaàn töû, coù : 10! 10.9 C8 = = = 45 caùch. 10 8!2! 2 b) Vì coù 3 caâu baét buoäc neân phaûi choïn theâm 5 caâu trong 7 caâu coøn laïi, ñaây laø toå hôïp chaäp 5 cuûa 7 phaàn töû, coù : 7! 7.6 C5 = = = 21 caùch. 7 5!2! 2 4 4 c) Choïn 4 trong 5 caâu ñaàu, coù C5 caùch. Tieáp theo, choïn 4 trong 5 caâu sau, coù C5 caùch. Vaäy, theo qui taéc nhaân, coù : 2 4 4 ⎛5! ⎞ C5 .C5 = ⎜⎟ = 25 caùch. ⎝⎠4!1! Baøi 73. Coù 12 hoïc sinh öu tuù. Caàn choïn ra 4 hoïc sinh ñeå ñi döï ñaïi hoäi hoïc sinh öu tuù toaøn quoác. Coù maáy caùch choïn. a) Tuøy yù ? b) Sao cho 2 hoïc sinh A vaø B khoâng cuøng ñi ? c) Sao cho 2 hoïc sinh A vaø B cuøng ñi hoaëc cuøng khoâng ñi? Giaûi a) Choïn tuøy yù 4 trong 12 hoïc sinh, laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 12 phaàn töû. Vaäy, coù : 12! 12.11.10.9 C4 = = = 11.5.9 = 495 caùch. 12 4!8! 2.3.4 b) * Caùch 1 : Neáu A, B cuøng khoâng ñi, caàn choïn 4 trong 10 hoïc sinh coøn laïi. Ñaây laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 10 phaàn töû, coù : 10! 10.9.8.7 C4 = = = 10.3.7 = 210 caùch. 10 4!6! 2.3.4 Neáu A ñi, B khoâng ñi, caàn choïn theâm 3 trong 10 hoïc sinh coøn laïi coù : 10! 10.9.8 C3 = = = 5.3.8 = 120 caùch. 10 3!7! 2.3
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Töông töï, neáu B ñi, A khoâng ñi, coù : 120 caùch. Vaäy, soá caùch choïn theo yeâu caàu laø : 210 + 120 +120 = 450 caùch. * Caùch 2 : Neáu A vaø B cuøng ñi, caàn choïn theâm 2 trong 10 hoïc sinh coøn laïi, coù : 10! C2 = = 9.5 = 45 caùch. 10 2!8! Suy ra, soá caùch choïn theo yeâu caàu laø : 495 – 45 = 450 caùch. 2 c) A vaø B cuøng ñi, coù C10 = 45 caùch. 4 A vaø B cuøng khoâng ñi, coù C10 = 210 caùch. Vaäy coù : 45 + 210 = 255 caùch. Baøi 74. Moät phuï nöõ coù 11 ngöôøi baïn thaân trong ñoù coù 6 nöõ. Coâ ta ñònh môøi ít nhaát 3 ngöôøi trong 11 ngöôøi ñoù ñeán döï tieäc. Hoûi : a) Coù maáy caùch môøi ? b) Coù maáy caùch môøi ñeå trong buoåi tieäc goàm coâ ta vaø caùc khaùch môøi, soá nam nöõ baèng nhau . Giaûi 3 a) Môøi 3 ngöôøi trong 11 ngöôøi, coù : C11 caùch. 4 Môøi 4 ngöôøi trong 11 ngöôøi, coù : C11 caùch. Laäp luaän töông töï khi môøi 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 trong 11 ngöôøi. Vaäy, coù : 3 4 11 0 1 11 0 1 2 C11 + C11 + + C11 = (C11 + C11 + + C11 ) – (C11 + C11 + C)11 = 211 – 1 – 11 – 55 = 1981 caùch. 1 2 b) Môøi 1 nöõ trong 6 nöõ, 2 nam trong 5 nam, coù : C.6 C5 caùch. 2 3 Môøi 2 nöõ trong 6 nöõ, 3 nam trong 5 nam, coù : C.6 C5 caùch. 3 4 Môøi 3 nöõ trong 6 nöõ, 4 nam trong 5 nam, coù : C.6 C5 caùch. 4 5 Môøi 4 nöõ trong 6 nöõ, 5 nam trong 5 nam, coù : C.6 C5 caùch.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 1 2 2 3 3 4 4 5 Vaäy, coù : C.6 C5 + C.6 C5 + C.6 C5 + C.6 C5 = 325 caùch. Baøi 75. Moät toå coù 12 hoïc sinh. Thaày giaùo coù 3 ñeà kieåm tra khaùc nhau. Caàn choïn 4 hoïc sinh cho moãi ñeà kieåm tra. Hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi 4 Ñaàu tieân, choïn 4 trong 12 hoïc sinh cho ñeà moät, coù C12 caùch. 4 Tieáp ñeán, choïn 4 trong 8 hoïc sinh coøn laïi cho ñeà hai, coù C8 caùch. Caùc hoïc sinh coøn laïi laøm ñeà ba. 12! 8! 12.11.10.9 8.7.6.5 Vaäy, coù : C.4 C4 = . = . 12 8 4!8! 4!4! 2.3.4 2.3.4 = (11.5.9).(7.2.5) = 34650 caùch. Baøi 76. Coù 12 hoïc sinh öu tuù cuûa moät tröôøng trung hoïc. Muoán choïn moät ñoaøn ñaïi bieåu goàm 5 ngöôøi (goàm moät tröôûng ñoaøn, moät thö kyù, vaø ba thaønh vieân) ñi döï traïi quoác teá. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ? Coù giaûi thích ? Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 1997 Giaûi Soá caùch choïn 1 tröôûng ñoaøn : 12 Soá caùch choïn 1 thö kyù : 11 10! 10.9.8 Soá caùch choïn 3 thaønh vieân : C3 = = = 120 10 3!7! 6 Soá caùch choïn ñoaøn ñaïi bieåu : 12 × 11 × 120 = 15 840. Baøi 77. Moät ñoaøn taøu coù 3 toa chôû khaùch; toa I, II, III. Treân saân ga coù 4 haønh khaùch chuaån bò ñi taøu. Bieát raèng moãi toa coù ít nhaát 4 choã troáng. Hoûi : a) Coù bao nhieâu caùch saép 4 haønh khaùch leân 3 toa. b) Coù bao nhieâu caùch saép 4 haønh khaùch leân taøu ñeå coù 1 toa trong ñoù coù 3 trong 4 vò khaùch. Ñaïi hoïc Luaät Haø Noäi 1999 Giaûi a) Ñoaøn taøu coù 3 toa ; haønh khaùch leân 3 toa nghóa laø leân taøu. Moãi khaùch coù 3 caùch leân toa I hoaëc II hoaëc III. Vaäy soá caùch saép 4 khaùch leân 3 toa laø :
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 3 × 3 × 3 × 3 = 81 caùch. 4! b) Soá caùch saép 3 khaùch leân toa I : C3 = = 4. 4 3! Soá caùch saép 1 khaùch coøn laïi leân toa II hoaëc III : 2. Vaäy neáu 3 khaùch ôû toa I thì coù : 4 × 2 = 8 caùch. Laäp luaän töông töï neáu 3 khaùch ôû toa II, hoaëc III cuõng laø 8. Vaäy soá caùch thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 8 + 8 + 8 = 24 caùch. Baøi 78. Coù 30 caâu hoûi khaùc nhau goàm 5 caâu khoù, 10 caâu trung bình vaø 15 caâu deã. Töø 30 caâu ñoù coù theå laäp bao nhieâu ñeà kieåm tra, moãi ñeà goàm 5 caâu khaùc nhau, sao cho moãi ñeà phaûi coù 3 loaïi (khoù, trung bình, deã) vaø soá caâu deã khoâng ít hôn 2 ? Tuyeån sinh khoái B 2004 Giaûi Soá ñeà thi goàm 2 caâu deã, 2 caâu trung bình vaø 1 caâu khoù 15! 10! C.2 C2 .5 = . × 5 = 23625. 15 10 2!13! 2!8! Soá ñeà thi goàm 2 caâu deã, 1 caâu trung bình vaø 2 caâu khoù 15! 5! C2 × 10 × C2 = 10. . = 10500 15 5 2!13! 2!3! Soá ñeà thi goàm 3 caâu deã, 1 caâu trung bình vaø 1 caâu khoù 15! C3 × 10 × 5 = × 50 = 22750 15 3!12! Vì caùc caùch choïn ñoâi moät khaùc nhau, neân soá ñeà kieåm tra laø : 23 625 + 10 500 + 22 750 = 56875. Baøi 79. Moät chi ñoaøn coù 20 ñoaøn vieân trong ñoù 10 nöõ. Muoán choïn 1 toå coâng taùc coù 5 ngöôøi. Coù bao nhieâu caùch choïn neáu toå caàn ít nhaát 1 nöõ. Ñaïi hoïc Y Haø Noäi 1998 Giaûi 5 Soá caùch choïn 5 ñoaøn vieân baát kì C.20 5 Soá caùch choïn 5 ñoaøn vieân toaøn laø nam C.10
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Vaäy soá caùch choïn coù ít nhaát 1 nöõ laø : 20! 10! C5 – C5 = – = 15252 caùch. 20 10 5!15! 5!5! Baøi 80. Moät ñoäi xaây döïng goàm 10 coâng nhaân, 3 kyõ sö. Ñeå laäp 1 toå coâng taùc caàn choïn 1 kyõ sö laø toå tröôûng, 1 coâng nhaân laøm toå phoù vaø 3 coâng nhaân laøm toå vieân. Hoûi coù bao nhieâu caùch laäp toå coâng taùc. Ñaïi hoïc Kieán truùc Haø Noäi 1998 Giaûi Soá caùch choïn 1 kyõ sö laøm toå tröôûng : 3 Soá caùch choïn 1 coâng nhaân laøm toå phoù : 10 3 Soá caùch choïn 3 coâng nhaân laøm toå vieân : C9 . 9! Vaäy soá caùch laäp toå : 3 × 10 × C3 = 3 × 10 × = 2520. 9 3!6! Baøi 81. Moät ñoäi vaên ngheä goàm 10 hoïc sinh nam vaø 10 hoïc sinh nöõ. Coâ giaùo muoán choïn ra 1 toáp ca goàm 5 em trong ñoù coù ít nhaát laø 2 em nam vaø 2 em nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn. Cao ñaúng Sö phaïm Haø Noäi 1999 Giaûi 3 2 Soá caùch choïn 3 em nam vaø 2 em nöõ : C.10 C10 2 3 Soá caùch choïn 2 em nam vaø 3 em nöõ : C.10 C10 Vaäy soá caùch thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 10! 10! 10× 9× 8 10× 9 2C.3 C2 = 2 . = 2 . = 10.800. 10 10 3!7! 2!8! 6 2 Baøi 82. Moät ñoäi caûnh saùt goàm coù 9 ngöôøi. Trong ngaøy caàn 3 ngöôøi laøm nhieäm vuï taïi ñòa ñieåm A, 2 ngöôøi laøm taïi B coøn laïi 4 ngöôøi tröïc ñoàn. Hoûi coù bao nhieâu caùch phaân coâng ? Hoïc vieän Kyõ Thuaät Quaân söï 2000 Giaûi 3 Soá caùch phaân coâng 3 ngöôøi taïi A : C9 2 Soá caùch phaân coâng 2 ngöôøi taïi B : C6
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Soá caùch phaân coâng 4 ngöôøi coøn laïi : 1. Vaäy soá caùch phaân coâng laø : 9! 6! 9! 98765× ××× C.3 C2 = . = = = 1260. 9 6 3!6! 2!4! 3!2!4! 62× Baøi 83. Coù 5 nhaø Toaùn hoïc nam, 3 nhaø Toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø Vaät lí nam. Muoán laäp 1 ñoaøn coâng taùc coù 3 ngöôøi goàm caû nam laãn nöõ, caàn coù caû nhaø toaùn hoïc laãn vaät lí. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn. Ñaïi hoïc Y Haø Noäi 2000 Giaûi Soá caùch choïn 2 nhaø Toaùn hoïc nöõ vaø 1 nhaø Vaät lí nam laø : 3! C2 × 4 = × 4 = 12 3 2! Soá caùch choïn 1 nhaø Toaùn hoïc nöõ vaø 2 nhaø Vaät lí nam laø : 4! 3.4.3 3 × C2 = 3 × = = 18 4 2!2! 2 Soá caùch choïn 1 nhaø Toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø Toaùn hoïc nam vaø 1 nhaø Vaät lí nam laø : 5 × 3 × 4 = 60 Vaäy coù caùch choïn ñoaøn coâng taùc laø : 12 + 18 + 60 = 90. Baøi 84. Moät ñoäi vaên ngheä coù 10 ngöôøi trong ñoù coù 6 nöõ vaø 4 nam. Coù bao nhieâu caùch chia ñoäi vaên ngheä : a) Thaønh 2 nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau vaø moãi nhoùm coù soá nöõ baèng nhau. b) Coù bao nhieâu caùch choïn 5 ngöôøi trong ñoù khoâng quaù 1 nam. Hoïc vieän Chính trò 2001 Giaûi a) Do moãi nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau neân moãi nhoùm phaûi coù 5 ngöôøi. Do soá nöõ baèng nhau neân moãi nhoùm phaûi coù 3 nöõ. Vaäy moãi nhoùm phaûi coù 3 nöõ vaø 2 nam. Soá caùch choïn laø : 6! 4! 654× × 43× C3 .C2 = × = × = 20 × 6 = 120. 6 4 3!3! 2!2! 6 2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 6! b) Soá caùch choïn 5 ngöôøi toaøn nöõ laø : C5 = = 6. 6 5! 6! 65× Soá caùch choïn 4 nöõ vaø 1 nam laø : C4 × 4 = × 4 = × 4 = 60 6 4!2! 2 Vaäy soá caùch choïn 5 ngöôøi maø khoâng quaù 1 nam : 6 + 60 = 66. Baøi 85. Coù 5 tem thö khaùc nhau vaø 6 bì thö cuõng khaùc nhau. Ngöôøi ta muoán choïn töø ñoù ra 3 tem thö, 3 bì thö vaø daùn 3 tem thö ñoù leân 3 bì thö ñaõ choïn. Moät bì thö chæ daùn 1 tem thö. Hoûi coù bao nhieâu caùch laøm nhö vaäy. Tuù taøi 1999 Giaûi 5! Soá caùch choïn 3 tem töø 5 tem laø C3 = = 10. 5 3!2! 6! Soá caùch choïn 3 bì thö töø 6 bì thö laø C3 = = 20. 6 3!3! Do caùc tem ñeàu khaùc nhau, caùc bì thö cuõng khaùc nhau, neân soá caùch daùn 3 tem leân 3 bì thö laø 3! = 6. 3 3 Vaäy soá caùch laøm laø : C5 . C6 .3! = 10.20.6 = 1200 caùch. Baøi 86. Moät boä baøi coù 52 laù; coù 4 loaïi : cô, roâ, chuoàn, bích moãi loaïi coù 13 laù. Muoán laáy ra 8 laù baøi trong ñoù phaûi coù ñuùng 1 laù cô, ñuùng 3 laù roâ vaø khoâng quaù 2 laù bích. Hoûi coù maáy caùch ? Giaûi 1 3 Soá caùch choïn 1 laù cô vaø 3 laù roâ : C.13 C13 caùch. 4 • Tröôøng hôïp 1 : Choïn tieáp 4 laù chuoàn (nghóa laø khoâng coù laù bích naøo) coù : C13 caùch. 3 • Tröôøng hôïp 2 : Choïn tieáp 1 laù bích vaø 3 laù chuoàn coù : 13. C13 caùch. 2 2 • Tröôøng hôïp 3 : Choïn tieáp 2 laù bích vaø 2 laù chuoàn coù : C13 . C13 caùch. Vaäy soá caùch choïn thoûa yeâu caàu ñeà toaùn : 3 4 3 2 2 13. C13 ( C13 + 13. C13 + C13 . C13 ) = 39 102 206 caùch. Baøi 87. Coù 2 ñöôøng thaúng song song (d1) vaø (d2). Treân (d1) laáy 15 ñieåm phaân bieät. Treân (d2) laáy 9 ñieåm phaân bieät. Hoûi soá tam giaùc maø coù 3 ñænh laø caùc ñieåm ñaõ laáy.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giaûi Ai (d1) Coù hai loaïi tam giaùc taïo thaønh. a) Moät ñænh treân (d1) vaø 2 ñænh treân (d2) (d2) Bj Bk Coù 15 caùch laáy 1 ñænh treân (d1) 2 Coù C9 caùch laáy 2 ñænh treân (d2). Ai Aj (d1) b) Hai ñænh treân (d1) vaø 1 ñænh treân (d2) 2 Coù C15 caùch laáy 2 ñænh treân (d1) (d2) Bk 9 caùch laáy 1 ñænh treân (d2). Vaäy soá tam giaùc taïo thaønh : 9! 15! 15 C2 + 9 C2 = 15. + 9. = 540 + 945 = 1485. 9 15 2!7! 2!13! Baøi 88. Moät lôùp coù 20 hoïc sinh trong ñoù coù 2 caùn boä lôùp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn 3 ngöôøi ñi döï hoäi nghò cuûa tröôøng sao cho trong ñoù coù ít nhaát 1 caùn boä lôùp. Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 2000 Giaûi Soá caùch choïn 3 ngöôøi trong ñoù coù 1 caùn boä lôùp 18! 2 × C2 = 2 × = 18 × 17 18 2!16! Soá caùch choïn 3 ngöôøi trong ñoù coù 2 caùn boä lôùp 1 1C18 = 18 Vaäy soá caùch choïn thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 18 × 17 + 18 = 182 = 324. Baøi 89. Coù 16 hoïc sinh goàm 3 hoïc sinh gioûi, 5 khaù, 8 trung bình. Coù bao nhieâu caùch chia soá hoïc sinh thaønh 2 toå, moãi toå coù 8 ngöôøi, ñeàu coù hoïc sinh gioûi vaø ít nhaát 2 hoïc sinh khaù. Hoïc vieän Quaân söï 2001 Giaûi
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Vì moãi toå ñeàu coù hoïc sinh gioûi neân soá hoïc sinh gioûi moãi toå laø 1 hay 2. Vì moãi toå ñeàu coù ít nhaát 2 hoïc sinh khaù neân soá hoïc sinh khaù moãi toå 2 hay 3. Do ñoù neáu xem soá hoïc sinh gioûi, khaù, trung bình moãi toå laø toïa ñoä moät vectô 3 chieàu ta coù 4 tröôøng hôïp ñoái vôùi toå 1 laø (1, 2, 5) (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3). Töông öùng 4 tröôøng hôïp ñoái vôùi toå 2 laø : (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 2, 5). Ta thaáy coù 2 tröôøng hôïp bò truøng. Vaäy chæ coù 2 tröôøng hôïp laø : Tröôøng hôïp 1 : Soá caùch choïn moät toå naøo ñoù coù 1 gioûi, 2 khaù vaø 5 trung bình laø : 2 5 3 × C5 × C8 Vaäy toå coøn laïi coù 2 gioûi, 3 khaù, 3 trung bình thoûa yeâu caàu baøi toaùn. Tröôøng hôïp 2 : Soá caùch choïn moät toå coù 1 gioûi, 3 khaù vaø 4 trung bình laø : 3 4 3 × C5 × C8 Vaäy toå coøn laïi coù 2 gioûi, 2 khaù vaø 4 trung bình thoûa yeâu caàu baøi toaùn. Do ñoù soá caùch chia hoïc sinh laøm 2 toå thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 2 5 3 4 5!⎛⎞ 8! 8! 3C5 C8 + 3C5 C8 = 3 ⎜⎟+=3780. 2!3!⎝⎠ 5!3! 4!4! Baøi 90. Moät ngöôøi coù 12 caây gioáng trong ñoù coù 6 caây xoaøi, 4 caây mít vaø 2 caây oåi. Ngöôøi ñoù muoán choïn 6 caây gioáng ñeå troàng. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn sao cho a) Moãi loaïi coù ñuùng 2 caây. b) Moãi loaïi coù ít nhaát 1 caây. Tröôøng Haøng khoâng 2000. Giaûi 2 a) Soá caùch choïn 2 caây xoaøi trong 6 caây xoaøi : C6 2 Soá caùch choïn 2 caây mít trong 4 caây mít : C4 Soá caùch choïn 2 caây oåi trong 2 caây oåi : 1 2 2 Vaäy soá caùch choïn maø moãi loaïi ñuùng 2 caây : C.6 C4 = 90 caùch. b) Choïn 1 caây oåi, 4 mít, 1 xoaøi : 2 × 1 × 6 = 12 caùch. 3 2 Choïn 1 oåi, 3 mít vaø 2 xoaøi coù : 2 C4 .C6 = 2 × 4 × 15 = 120 caùch.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 2 3 Choïn 1 oåi, 2 mít vaø 3 xoaøi coù : 2 C.4 C6 = 240 caùch. 4 Choïn 1 oåi, 1 mít vaø 4 xoaøi coù : 2 × 4 × C6 = 120 caùch. 3 Choïn 2 oåi, 3 mít vaø 1 xoaøi coù : 1 × C4 × 6 = 24 caùch. 2 2 Choïn 2 oåi, 2 mít vaø 2 xoaøi coù : 1 × C4 × C6 = 90 caùch. 3 Choïn 2 oåi, 1 mít vaø 3 xoaøi coù : 1 × 4 × C6 = 80 caùch. Vaäy soá caùch choïn maø moãi loaïi coù ít nhaát 1 caây laø : 12 + 120 + 240 + 120 + 24 + 90 + 80 = 686 caùch. Baøi 91. Moät lôùp hoïc coù 30 hoïc sinh nam vaø 15 hoïc sinh nöõ. Coù 6 hoïc sinh ñöôïc choïn ñeå laäp 1 toáp ca. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn khaùc nhau vaø phaûi coù ít nhaát 2 nöõ. Ñaïi hoïc Hueá 2000 Giaûi 45! Soá caùch choïn 6 hoïc sinh baát kì nam hay nöõ : C6 = = 8145060. 45 6!39! 30! Soá caùch choïn 6 hoïc sinh toaøn nam : C6 = = 593775. 30 6!24! 30! Soá caùch choïn 5 nam vaø 1 nöõ : C5 × 15 = × 15 = 2137590. 30 25!5! Vaäy coù soá caùch choïn 6 hoïc sinh trong ñoù phaûi coù ít nhaát 2 nöõ 6 6 5 C45 – (C30 + 15C30 ) = 5413695 caùch. Baøi 92. Cho taäp con goàm 10 phaàn töû khaùc nhau. Tìm soá taäp con khaùc roãng chöùa 1 soá chaün caùc phaàn töû. Ñaïi hoïc Noâng nghieäp khoái B 2000 Giaûi k Khi taäp X coù n phaàn töû thì soá taäp con cuûa X coù k phaàn töû laø Cn Do ñoù n = 10 thì : 2 Soá taäp con cuûa X coù 2 phaàn töû laø C10 4 Soá taäp con cuûa X coù 4 phaàn töû laø C10 6 Soá taäp con cuûa X coù 6 phaàn töû laø C10
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 8 Soá taäp con cuûa X coù 8 phaàn töû laø C10 10 Soá taäp con cuûa X coù 10 phaàn töû laø C10 . Vaäy soá taäp con thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 2 4 6 8 10 S = C10 + C10 + C10 + C10 + C10 2 4 2 8 4 6 ⇔ S = 2 C10 + 2 C10 + 1 (do C10 = C10 vaø C10 = C10 ) 10! 10! ⇔ S = 2. + 2. + 1 = 511. 2!8! 4!6! Baøi 93. Moät toå sinh vieân coù 20 em. Trong ñoù chæ coù 8 em bieát noùi tieáng Anh, 7 em bieát tieáng Phaùp vaø 5 em chæ bieát tieáng Ñöùc. Caàn choïn 1 nhoùm ñi thöïc teá goàm 3 em bieát tieáng Anh, 4 em bieát tieáng Phaùp vaø 2 em bieát tieáng Ñöùc. Hoûi coù bao nhieâu caùch laäp nhoùm. Ñaïi hoïc Sö phaïm Vinh 1999 Giaûi 3 Soá caùch laäp nhoùm sinh vieân bieát tieáng Anh : C8 4 Soá caùch laäp nhoùm sinh vieân bieát tieáng Phaùp: C7 2 Soá caùch laäp nhoùm sinh vieân bieát tieáng Ñöùc : C5 . Vaäy soá caùch laäp thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 8! 7! 5! C3 × C4 × C2 = × × = 1960 caùch. 8 7 5 3!5! 4!3! 2!3! Baøi 94. Trong 1 hoäp coù 7 quaû caàu xanh, 5 quaû caàu ñoû vaø 4 quaû caàu vaøng , caùc quaû caàu ñeàu khaùc nhau. Choïn ngaãu nhieân 4 quaû caàu trong hoäp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn sao cho trong 4 quaû caàu choïn ra coù ñuû 3 maøu. Ñaïi hoïc Noâng laâm khoái D 2001 Giaûi 2 1 1 Soá caùch choïn 2 quaû caàu xanh, 1 ñoû, 1 vaøng laø : C7 C5 C4 = 420 1 2 1 Soá caùch choïn 1 quaû caàu xanh, 2 ñoû vaø 1 vaøng laø : C7 C5 C4 = 280 1 1 2 Soá caùch choïn 1 quaû caàu xanh, 1 ñoû vaø 2 vaøng laø : C7 C5 C4 = 210 Vaäy soá caùch choïn 4 quaû caàu ñuû 3 maøu laø : 420 + 280 + 210 = 910.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Baøi 95. Moät hoäp chöùa 6 bi traéng vaø 5 bi ñen. Hoûi coù maáy caùch laáy ra 4 bi : a) maøu tuøy yù ? b) goàm 2 bi traéng vaø 2 bi ñen ? Giaûi a) Laáy ra 4 bi maøu tuøy yù töø 11 bi laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 11 phaàn töû. 11! 8.9.10.11 Vaäy coù : C4 = = = 3.10.11 = 330 caùch. 11 4!7! 2.3.4 b) Laáy ra 2 bi traéng trong 6 bi traéng laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 6 phaàn töû. Laáy ra 2 bi ñen trong 5 bi ñen laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy soá caùch choïn thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn laø : 6! 5! C2 .C2 = . = 15.10 = 150 caùch. 6 5 2!4! 2!3! Baøi 96. Moät hoäp coù 6 quaû caàu xanh ñaùnh soá töø 1 ñeán 6, 5 quaû caàu ñoû ñaùnh soá töø 1 ñeán 5, 4 quaû caàu vaøng ñaùnh soá töø 1 ñeán 4. a) Coù bao nhieâu caùch laáy 3 quaû caàu cuøng maøu, 3 quaû caàu cuøng soá. b) Coù bao nhieâu caùch laáy 3 quaû caàu khaùc maøu ? 3 quaû caàu khaùc maøu vaø khaùc soá. Ñaïi hoïc Daân laäp Thaêng Long 1999 Giaûi 6! a) • Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng xanh : C3 = = 20 6 3!3! 5! Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng ñoû : C3 = = 10 5 3!2! 4! Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng vaøng : C3 = = 4 4 3! 3 3 3 Vaäy soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng maøu : C6 + C5 + C4 = 34. • Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 1 : 1 Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 2 : 1 Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 3 : 1 Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 4 : 1 Vaäy soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá : 4.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - b) • Soá caùch laáy 1 quaû caàu xanh : 6 Soá caùch laáy 1 quaû caàu ñoû : 5 Soá caùch laáy 1 quaû caàu vaøng : 4 Vaäy soá caùch laáy 3 quaû caàu khaùc maøu : 6 × 5 × 4 = 120. • Choïn baát kì 1 quaû caàu vaøng Vi (i = 1, 4 ) coù 4 caùch sau ñoù choïn 1 quaû caàu ñoû Ñj (j = 1, 5 vaø j ≠ i) coù 4 caùch choïn 1 quaû caàu xanh Xk (k = 1, 6 vaø k ≠ j, i) coù 4 caùch Do ñoù choïn 3 bi khaùc maøu vaø khaùc soá coù 4 × 4 × 4 = 64 caùch. Baøi 97. Coù 9 vieân bi xanh, 5 ñoû, 4 vaøng coù kích thöôùc ñoâi moät khaùc nhau. Coù bao nhieâu caùch choïn ra : a) 6 vieân bi trong ñoù coù ñuùng 2 vieân bi ñoû, b) 6 vieân bi trong ñoù soá bi xanh baèng soá bi ñoû. Ñaïi hoïc Caàn Thô 2000 Giaûi 2 a) Soá caùch choïn 2 bi ñoû : C5 4 Soá caùch choïn 4 bi xanh hay vaøng : C13 Vaäy soá caùch choïn 6 bi coù ñuùng 2 bi ñoû 5! 13! 54× 13× 12×× 11 10 C2 . C4 = . = × = 7150. 5 13 2!3! 4!9! 2 432×× b) Soá caùch choïn 1 bi xanh, 1 bi ñoû, 4 bi vaøng : 9 × 5 × 1 = 45. Soá caùch choïn 2 bi xanh, 2 bi ñoû, 2 bi vaøng : 9! 5! 4! C2 .C2 . C2 = . . = 2160. 9 5 4 2!7! 2!3! 2!2! Soá caùch choïn 3 bi xanh vaø 3 bi ñoû : 9! 5! C3 . C3 = . = 840. 9 5 3!6! 3!2! Vaäy soá caùch choïn 6 bi maø soá bi xanh baèng bi ñoû : 45 + 2160 + 840 = 3045.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Baøi 98. Töø 5 boâng hoàng vaøng, 3 boâng hoàng traéng vaø 4 boâng hoàng ñoû (caùc boâng hoa xem nhö ñoâi moät khaùc nhau). Ngöôøi ta muoán choïn ra 1 boâng hoa goàm 7 boâng. Coù bao nhieâu caùch choïn 1 boù hoa trong ñoù : a) Coù ñuùng 1 boâng hoàng ñoû. b) Coù ít nhaát 3 boâng hoàng vaøng vaø ít nhaát 3 boâng hoàng ñoû Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM khoái D 2000 Giaûi a) Soá caùch choïn 1 boâng hoàng ñoû : 4 6 Soá caùch choïn 6 boâng coøn laïi (vaøng hay traéng) : C8 6 Vaäy soá caùch choïn ñuùng 1 boâng ñoû : 4 C8 = 112. b) Soá caùch choïn 3 boâng vaøng, 3 boâng ñoû, 1 boâng traéng : 3 3 C5 × C4 × 3 = 120 Soá caùch choïn 4 boâng vaøng vaø 3 boâng ñoû : 4 3 C5 × C4 = 20 Soá caùch choïn 3 boâng vaøng vaø 4 boâng ñoû : 3 4 C5 × C4 = 10 Vaäy soá caùch choïn thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn laø : 120 + 20 + 10 = 150 caùch. Baøi 99. Xeáp 3 bi ñoû coù baùn kính khaùc nhau vaø 3 bi xanh gioáng nhau vaøo 1 hoäc coù 7 oâ troáng. a) Hoûi coù maáy caùch xeáp khaùc nhau. b) Coù bao nhieâu caùch xeáp khaùc nhau sao cho 3 bi ñoû xeáp caïnh nhau vaø 3 bi xanh xeáp caïnh nhau. Hoïc vieän Quaân Y 2000 Giaûi 3 a) Xeáp 3 bi ñoû khaùc nhau vaøo hoäc coù 7 oâ troáng coù : A7 caùch. 3 Coøn 4 oâ troáng xeáp 3 bi xanh gioáng nhau vaøo coù C4 caùch. 7! 4! Vaäy coù : A3 . C3 = × = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 caùch. 7 4 4! 3!1!
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - b) Soá caùch xeáp 3 bi ñoû ñöùng caïnh nhau : 3! Soá caùch xeáp 3 bi xanh ñöùng caïnh nhau : 1 Soá caùch xeáp 2 loaïi bi ñoû, xanh vaøo ñeå oâ thöù 1 troáng : 2! Soá caùch xeáp 2 loaïi bi ñoû, xanh vaøo ñeå oâ thöù 4 troáng : 2! Soá caùch xeáp 2 loaïi bi ñoû, xanh vaøo ñeå oâ thöù 7 troáng : 2! × × × 0 0 0 × × × 000 × × × 0 0 0 Vaäy soá caùch xeáp thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn laø : 3! (2 + 2 + 2) = 36 caùch. Caùch khaùc Böôùc 1 :Soá caùch xeáp 3 bi ñoû ñöùng caïnh nhau : 3! Soá caùch xeáp 3 bi xanh ñöùng caïnh nhau : 1 2 Böôùc 2: Xem nhö xeáp hai vaät khaùc nhau vaøo 3 oâ troáng ta coù: A33 = !. Vaäy coù 3!.3! =36 caùch. Baøi 100. Moät hoäp ñöïng 4 bi ñoû, 5 bi traéng vaø 6 bi vaøng. Ngöôøi ta choïn 4 bi töø hoäp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå soá bi laáy ra khoâng ñuû 3 maøu. Ñ aïi hoïc Hueá 1999 Giaûi Soá caùch choïn 4 bi baát kì trong 15 bi treân laø : 15! 15× 14×× 13 12 C4 = = = 1365. 15 4!11! 24 Soá caùch choïn 2 bi ñoû, 1 bi traéng, 1 bi vaøng : 4! C2 × 5 × 6 = × 30 = 180 4 2!2! Soá caùch choïn 1 bi ñoû, 2 bi traéng, 1 bi vaøng: 5! 54× 4 × C2 × 6 = 24 × = 24 × = 240 5 2!3! 2 Soá caùch choïn 1 bi ñoû, 1 bi traéng, 2 bi vaøng : 6 4 × 5 × C2 = 20 × = 10 × 6 × 5 = 300 6 2!4!
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Vaäy soá caùch choïn bi ñuû 3 maøu laø : 180 + 240 + 300 = 720 Do ñoù soá caùch choïn bi khoâng ñuû 3 maøu : 1365 – 720 = 645. Baøi 101. k k1+ k1+ a) Cho k, n ∈ N vaø k 3) coù maáy ñöôøng cheùo. Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM khoái D 1998 Giaûi n! n! a) Ta coù : Ck + Ck1+ = + n n k!() n− k ! (k+ 1)!() n−− k 1 ! n!(k+ 1)+− n!(n k) n![ (k++ 1) (n − k)] = = (k+− 1)!() n k ! (k+− 1)!() n k ! n!(n+ 1) (n+ 1)! = = = Ck1+ . (k+− 1)!() n k ! (k+− 1)!() n k ! n1+ A4 b) Noái 2 ñænh baát kì trong n ñænh ta ñöôïc caïnh A hoaëc ñöôøng cheùo. 5 A3 2 Vaäy toång soá caïnh vaø ñöôøng cheùo laø Cn . Maø n giaùc loài coù n caïnh neân soá ñöôøng cheùo laø : A2 A n! n(n− 1) n(n− 3) 0 C2 – n = – n = – n = . A1 n 2!() n− 2 ! 2 2 Baøi 102*. Cho ña giaùc ñeàu H coù 20 caïnh. Xeùt caùc tam giaùc coù 3 ñænh laáy töø 3 ñænh cuûa H. a) Coù bao nhieâu tam giaùc nhö vaäy ? Coù bao nhieâu tam giaùc coù ñuùng 2 caïnh laø 2 caïnh cuûa H. b) Coù maáy tam giaùc coù ñuùng 1 caïnh laø caïnh cuûa H ? Coù maáy tam giaùc khoâng coù caïnh naøo laø caïnh cuûa H ? Hoïc vieän Ngaân haøng TP. HCM 2000 Giaûi a) • Soá tam giaùc coù 3 ñænh laáy töø 3 ñænh cuûa H :
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 20! 20× 19× 18 C3 = = = 1140. 20 3!17! 6 A A3 4 • Cöù moãi ñænh cuûa H cuøng vôùi 2 ñænh keà beân taïo thaønh 1 tam giaùc coù 2 caïnh laø caïnh cuûa H. Caùc A5 A tam giaùc naøy khoâng truøng nhau vaø khoâng coù 2 caùch naøo khaùc ñeå taïo tam giaùc coù 2 caïnh laø caïnh cuûa H. A1 Maø H coù 20 ñænh. Vaäy coù 20 tam giaùc coù ñuùng 2 caïnh A laø caïnh cuûa H. 20 b) • Xeùt caùc tam giaùc maø 1 ñænh laø A1 : Ta xeùt tröôøng hôïp boû ñi 4 caïnh A1A2, A2A3, A1A20, A20A19 thì coù 16 tam giaùc maø ñænh laø A1 vaø coù ñuùng 1 caïnh laø caïnh cuûa H ( nhôù laø H coù 20 caïnh ). Maø H coù 20 ñænh, vaäy soá tam giaùc coù ñuùng 1 caïnh laø caïnh cuûa H laø : 20 × 16 = 320. • Do ñoù soá tam giaùc khoâng coù caïnh naøo laø caïnh cuûa H laø : 1.140 – (20 + 320) = 800. Baøi 103*. Treân maët phaúng cho 1 thaäp giaùc loài. Xeùt caùc tam giaùc maø 3 ñænh cuûa noù laø 3 ñænh cuûa thaäp giaùc. Hoûi trong soá caùc tam giaùc ñoù coù bao nhieâu tam giaùc maø 3 caïnh cuûa noù ñeàu khoâng phaûi laø 3 caïnh cuûa thaäp giaùc. Ñaïi hoïc Ngoaïi thöông khoái A 2001. Giaûi 3 Soá tam giaùc maø 3 ñænh laø 3 ñænh cuûa thaäp giaùc : C10 = 120. Soá tam giaùc maø 3 ñænh laø 3 ñænh cuûa thaäp giaùc vaø coù 2 caïnh laø caïnh thaäp giaùc (coù caùc ñænh phaûi laø 3 ñænh lieân tieáp cuûa thaäp giaùc) : 10. Soá tam giaùc maø 3 ñænh laø 3 ñænh cuûa thaäp giaùc vaø coù 1 caïnh laø caïnh thaäp giaùc (coù ñöôïc baèng caùch noái 1 ñænh baát kì cuûa thaäp giaùc vôùi 2 ñænh cuûa 1 caïnh thaäp giaùc tröø ñi 4 caïnh keà beân hai ñænh ñoù) : 10 × 6 = 60. Do ñoù soá tam giaùc maø 3 caïnh ñeàu khoâng phaûi laø 3 caïnh cuûa thaäp giaùc : 120 – (10 + 60) = 50. Baøi 104*. Cho ña giaùc A1A2 A2n (n ∈ N vaø n ≥ 2) noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O). Bieát raèng soá tam giaùc coù ñænh laø 3 trong 2n ñænh A1, A2, , A2n nhieàu gaáp 20 laàn soá hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñænh A1, A2, , A2n. Tìm n.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái B 2002 Giaûi • Soá tam giaùc taïo thaønh : (2n)! 1 C3 = = (2n)(2n – 1)(2n – 2). N′ 2n 3!() 2n− 3 ! 6 M M′ • Vì ña giaùc ñeàu vaø soá ñænh chaün neân soá caëp ñieåm 0 ñoái xöùng qua taâm O laø n Choïn 2 ñænh baát kì M, M′ ñoái xöùng qua O coù n caùch. N Choïn 1 ñænh N baát kì trong caùc ñænh coøn laïi coù 2n – 2 caùch. Luoân luoân tìm ñöôïc N′ ñoái xöùng qua taâm O ñeå MN M′ N′ laø hình chöõ nhaät. Nhöng do moãi hình chöõ nhaät MN M′ N′ nhö vaäy bò ñeám truøng laïi 4 laàn neân soá hình chöõ nhaät taïo thaønh laø : n(2n− 2) n(n− 1) = 4 2 Do soá tam giaùc nhieàu gaáp 20 laàn soá hình chöõ nhaät, neân : n n(n− 1) (2n – 1)(2n – 2) = × 20 3 2 ⇔ (2n – 1)(2n – 2) = 30(n – 1) (do n ≥ 2) ⇔ (2n – 1) = 15 ⇔ n = 8. Baøi 105. Trong 1 tröôøng tieåu hoïc coù 50 hoïc sinh ñaït danh hieäu chaùu ngoan Baùc Hoà trong ñoù coù 4 caëp anh em sinh ñoâi. Caàn choïn 1 nhoùm goàm 3 trong soá 50 hoïc sinh treân ñi döï ñaïi hoäi chaùu ngoan Baùc Hoà, sao cho trong nhoùm khoâng coù caëp anh em sinh ñoâi naøo. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ? Ñaïi hoïc Sö phaïm Haø Noäi 1999 Giaûi 3 Soá caùch choïn 3 hoïc sinh baát kì : C50 = 19600 Soá caùch choïn 3 hoïc sinh trong ñoù coù 1 caëp sinh ñoâi 1 4.C48 = 4 × 48 = 192 Do ñoù soá caùch choïn 3 hoïc sinh maø khoâng coù caëp naøo sinh ñoâi 3 1 C50 – 4C48 = 19600 – 192 = 19408.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Baøi 106. Lôùp hoïc coù 4 nöõ, 10 nam. Caàn chia laøm hai toå, moãi toå coù 2 nöõ, 5 nam. Hoûi coù maáy caùch ? Giaûi 2 Choïn 2 trong 4 nöõ, coù C4 caùch. 5 Tieáp ñeán, choïn 5 trong 10 nam, coù C10 caùch. Caùc hoïc sinh ñöôïc choïn vaøo moät toå, caùc hoïc sinh coøn laïi vaøo toå kia. Vaäy , coù : 4! 10! 10.9.8.7.6 C2 . C5 = . = 3.2. = 3.2.3.2.7.6 = 1512 caùch. 4 10 2!2! 5!5! 2.3.4.5 Baøi 107. A, B, C ñeán nhaø D möôïn saùch. D coù 1 cuoán tieåu thuyeát vaø 8 cuoán giaùo khoa khaùc nhau. A möôïn 2 cuoán trong ñoù coù 1 cuoán tieåu thuyeát. B möôïn 2 cuoán giaùo khoa vaø C möôïn 3 cuoán giaùo khoa. Hoûi coù maáy caùch khaùc nhau ñeå D cho möôïn saùch ? Giaûi 1 Ngoaøi cuoán tieåu thuyeát, A choïn theâm 1 trong 8 cuoán giaùo khoa, coù C8 caùch. 2 B choïn 2 trong 7 cuoán coøn laïi, coù C7 caùch. 3 C choïn 3 trong 5 cuoán coøn laïi, coù C5 caùch. 1 2 3 Vaäy coù : C8 C7 C5 = 1680 caùch. Baøi 108. Coù 1 tôø baïc 5000ñ, 1 tôø baïc 10000ñ, 1 tôø baïc 20000ñ vaø 1 tôø baïc 50000ñ. Töø caùc tôø baïc naøy, coù theå taïo ra bao nhieâu toång soá tieàn khaùc nhau ? Giaûi 1 Duøng 1 trong 4 tôø baïc thì soá toång soá tieàn khaùc nhau laø C4 . 2 Duøng 2 trong 4 tôø baïc thì soá toång soá tieàn khaùc nhau laø C4 . 3 Duøng 3 trong 4 tôø baïc thì soá toång soá tieàn khaùc nhau laø C4 . 4 Duøng 4 trong 4 tôø baïc thì soá toång soá tieàn khaùc nhau laø C4 . Vaäy, soá toång soá tieàn khaùc nhau laø : 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 4 C4 + C4 + C4 + C4 = ( C4 + C4 + C4 + C4 + C4 ) −C4 = 2 – 1 = 15.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Baøi 109. Moät taäp theå coù 14 ngöôøi goàm 6 nam vaø 8 nöõ trong ñoù coù An vaø Bình. Ngöôøi ta muoán choïn 1 toå coâng taùc goàm 6 ngöôøi. Tìm soá caùch choïn trong moãi tröôøng hôïp sau : a) Trong toå phaûi coù maët caû nam laãn nöõ. b*) Trong toå phaûi coù 1 toå tröôûng, 5 toå vieân, hôn nöõa An vaø Bình khoâng ñoàng thôøi coù maët trong toå. Ñaïi hoïc Kinh teá TP. HCM 2001 Giaûi 14! Soá caùch choïn 6 ngöôøi baát kì : C6 = = 3003 14 6!8! 6 Soá caùch choïn 6 ngöôøi toaøn nam : C6 = 1 8! Soá caùc choïn 6 ngöôøi toaøn nöõ : C6 = = 28 8 6!2! Do ñoù soá caùch choïn toå coâng taùc ñeå coù nam laãn nöõ 3003 – (1 + 28) = 2974. b) Caùch 1 : Soá caùch choïn An laøm toå tröôûng vaø khoâng coù Bình : 5 1. C12 = 792 Soá caùch choïn An laøm toå vieân vaø khoâng coù Bình : 11! 12. C4 = 12. = 3960 11 4!7! Vaäy soá caùch choïn coù An maø khoâng coù Bình : 5 4 C12 + 12 C11 = 4752 Töông töï soá caùch choïn coù Bình maø khoâng coù An cuõng laø : 5 4 C12 + 12 C11 = 4752 Soá caùch choïn khoâng coù An laãn Bình : 11! 12C5 = 12. = 5544 11 5!6! Do ñoù yeâu caàu baøi toaùn : 5 4 5 2(C12 + 12C11 ) + 12 C11 = 2(4752) + 5544 = 15048.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Caùch 2: 6 Choïn tuøy yù 6 trong 14 hoïc sinh coù : C14 caùch. 4 Choïn An vaø Bình roài choïn theâm 4 hoïc sinh trong 12 hoïc sinh coøn laïi coù : C12 caùch. Vaäy soá caùch choïn 6 hoïc sinh trong ñoù An vaø Bình khoâng ñoàng thôøi coù maët : 6 4 C14 - C12 Vôùi 6 hoïc sinh ñaõ choïn xong coù 6 caùch choïn ra toå tröôûng Vaäy soá caùch choïn thoûa yeâu caàu cuûa ñeà toaùn laø : 6 4 6(C14 - C12 ) = 15048 caùch. Baøi 110. Soá 210 coù bao nhieâu öôùc soá. Giaûi Ta phaân tích 210 ra thöøa soá nguyeân toá : 210 = 2.3.5.7 Vaäy, 210 coù 4 thöøa soá nguyeân toá laø 2, 3, 5, 7. 1 Soá öôùc soá laø moät thöøa soá nguyeân toá coù C4 = 4 soá (goàm 2, 3, 5, 7). 2 Soá öôùc soá laø tích cuûa hai thöøa soá nguyeân toá coù C4 = 6 soá (goàm 2.3, 2.5, 2.7, 3.5, 3.7, 5.7). 3 Soá öôùc soá laø tích cuûa ba thöøa soá nguyeân toá coù C4 = 4 soá ( goàm 2.3.5, 2.3.7, 2.5.7, 3.5.7). 4 Soá öôùc soá laø tích cuûa boán thöøa soá nguyeân toá coù C4 = 1 soá (laø 2.3.5.7). 0 Ngoaøi ra, soá öôùc soá khoâng chöùa thöøa soá nguyeân toá naøo coù C4 = 1 soá (laø 1). 0 1 2 3 4 4 Toùm laïi, coù : C4 + C4 + C4 + C4 + C4 = 2 = 16 soá. CAÙC BAØI TOAÙN HOÃN HÔÏP Baøi 111. Moät cuoäc khieâu vuõ coù 10 nam, 6 nöõ. Caàn choïn 3 nam, 3 nöõ laäp thaønh 3 caëp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ? Giaûi 3 Choïn 3 trong 10 nam, coù C10 caùch. 3 Choïn 3 trong 6 nöõ , coù C6 caùch. Cuoái cuøng, gheùp 3 nam vôùi 3 nöõ laø hoaùn vò cuûa 3 phaàn töû, coù 3! Caùch.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 10! 6! Vaäy, coù : C3 . C3 .3! = . .3! = 5.3.8.6.5.4 = 14400 caùch. 10 6 3!7! 3!3! Baøi 112. Coù 5 böu thieáp khaùc nhau, 6 bì thö khaùc nhau. Caàn choïn 3 böu thieáp, boû vaøo 3 bì thö, moãi bì moät böu thieáp vaø göûi cho 3 ngöôøi baïn moãi baïn moät böu thieáp. Hoûi coù maáy caùch ? Giaûi 3 Choïn 3 trong 5 böu thieáp, coù C5 caùch. 3 Choïn 3 trong 6 bì thö, coù C6 caùch. Boû 3 böu thieáp vaøo 3 bì thö laø hoaùn vò cuûa 3 phaàn töû, coù 3! caùch. Göûi cho 3 ngöôøi baïn laø hoaùn vò cuûa 3 phaàn töû, coù 3! caùch. 5! 6! Vaäy, coù : C3 . C3 .3!.3! = . .3!.3! = 10.6! = 7200 caùch. 5 6 3!2! 3!3! Baøi 113*. Coù 4 ngöôøi Vieät, 4 ngöôøi Nhaät, 4 ngöôøi Trung Quoác vaø 4 ngöôøi Trieàu Tieân. Caàn choïn 6 ngöôøi ñi döï hoäi nghò. Hoûi coù maáy caùch choïn sao cho : a) Moãi nöôùc ñeàu coù ñaïi bieåu ? b) Khoâng coù nöôùc naøo coù hôn hai ñaïi bieåu ? Giaûi a) * Tröôøng hôïp 1: Moät nöôùc coù 3 ñaïi bieåu vaø caùc nöôùc kia moãi nöôùc coù 1 ñaïi bieåu. Trong 4 nöôùc, choïn 1 nöôùc ñöôïc cöû 3 ñaïi bieåu : coù 4 caùch. Trong 4 ngöôøi cuûa 3 nöôùc ñoù, choïn ra 3 ngöôøi, coù C4 = 4 caùch. Ba nöôùc coøn laïi moãi nöôùc choïn 1 trong 4 ngöôøi coù 43 caùch. 3 3 5 Vaäy coù : 4. C4 .4 = 4 caùch. * Tröôøng hôïp 2: Coù hai nöôùc moãi nöôùc coù 2 ñaïi bieåu vaø hai nöôùc kia moãi nöôùc coù 1 ñaïi bieåu. 2 Trong 4 nöôùc, choïn 2 nöôùc ñeå moãi nöôùc ñoù ñöôïc choïn 2 ñaïi bieåu, coù : C4 = 6 2 caùch. Choïn 2 trong 4 ngöôøi cuûa moãi nöôùc ñoù, coù : C4 = 6 caùch. Suy ra hai nöôùc ñoù coù 62 caùch choïn ñaïi bieåu. Hai nöôùc coøn laïi, choïn 1 trong 4 ngöôøi, coù 4 caùch. Suy ra hai nöôùc coøn laïi coù 42 caùch choïn ñaïi bieåu. Vaäy coù : 6342 caùch.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Toùm laïi, soá caùch choïn thoûa yeâu caàu ñeà baøi laø : 45 + 63.42 = 4480 caùch. b) * Tröôøng hôïp 1: Coù 3 nöôùc moãi nöôùc hai ñaïi bieåu. 3 Choïn 3 trong 4 nöôùc ñeå moãi nöôùc ñoù ñöôïc choïn 2 ñaïi bieåu, coù C4 = 4 caùch. 2 3 Choïn 2 trong 4 ngöôøi cuûa moãi nöôùc ñoù, coù : C4 = 6 caùch. Ba nöôùc ñoù coù 6 caùch. Vaäy coù : 4.63 caùch. * Tröôøng hôïp 2: Coù 2 nöôùc moãi nöôùc 2 ñaïi bieåu vaø 2 nöôùc coøn laïi moãi nöôùc 1 ñaïi bieåu. Tröôøng hôïp 2 cuûa caâu a ta ñaõ coù 63.42 caùch. Toùm laïi, soá caùch choïn thoûa yeâu caàu ñeà baøi laø : 4.63 + 63.42 = 4320 caùch. Baøi 1 1 4. a) Coù 10 caùi baùnh khaùc nhau vaø 5 caùi hoäp khaùc nhau. Hoûi coù maáy caùch xeáp moãi hoäp hai baùnh ? b) Neáu 10 baùnh khaùc nhau vaø 5 hoäp gioáng nhau thì coù maáy caùch ? Giaûi 2 a) Choïn 2 trong 10 baùnh, cho vaøo hoäp thöù nhaát, coù : C10 caùch. 2 Choïn 2 trong 8 baùnh coøn laïi, cho vaøo hoäp thöù hai, coù : C8 caùch. Tieáp tuïc quaù trình choïn nhö treân, ta coù : 10! 8! 6! 4! C2 . C2 .C2 . C2 . C2 = . . . .1 10 8 6 4 2 2!8! 2!6! 2!4! 2!2! = 45.28.15.6 = 113400 caùch. b) Vôùi moãi caùch choïn laàn löôït töøng 2 baùnh roài xeáp vaøo 5 hoäp khaùc nhau, ñoåi choã 5 hoäp (tröôùc khi xeáp baùnh vaøo), ta ñöôïc 5! caùch. Vôùi moãi caùch choïn laàn löôït töøng 2 baùnh roài xeáp vaøo 5 hoäp gioáng nhau, ñoåi choã 5 hoäp (tröôùc khi xeáp baùnh vaøo), ta chæ ñöôïc 1 caùch. 113.400 Vaäy soá caùch xeáp theo yeâu caàu laø : = 945 caùch. 5!
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Baøi 1 1 5. Moät thaày giaùo coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau trong ñoù coù 5 saùch Vaên, 4 saùch Anh vaên vaø 3 saùch Hoùa. OÂng laáy ra 6 cuoán vaø taëng 6 hoïc sinh A, B, C, D, E, F moãi em 1 cuoán. a) Giaû söû thaày giaùo chæ muoán taëng caùc hoïc sinh treân nhöõng cuoán saùch thuoäc loaïi Anh vaên vaø Vaên. Hoûi coù bao nhieâu caùch taëng. b*) Giaû söû thaày giaùo muoán raèng, sau khi taëng xong moãi loaïi Vaên, Anh vaên, Hoùa coøn ít nhaát 1 cuoán. Hoûi coù bao nhieâu caùch taëng. Ñaïi ho ïc Quoác gia TP. HCM 2000 Giaûi 6 a) Soá caùch laáy ra 6 cuoán saùch loaïi Vaên vaø Anh vaên : C9 . Soá caùch ñöa 6 saùch naøy cho 6 hoïc sinh : 6! Vaäy soá caùch taëng caùc saùch chæ loaïi Vaên vaø Anh vaên : 9! C6 .6! = = 60 480. 9 3! 6 b) Soá caùch taëng 6 saùch baát kì : 6! C12 = 6! × 924. 1 Soá caùch taëng khoâng coøn saùch Vaên : 6!C7 = 6! × 7 2 Soá caùch taëng khoâng coøn saùch Anh vaên : 6!C8 = 6! × 28 3 Soá caùch taëng khoâng coøn saùch Hoùa : 6! C9 = 6! × 84 Vaäy soá caùch taëng thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn laø : 6 1 2 3 6!( C12 - C7 - C8 - C9 ) = 720 × 805 = 579600. Baøi 1 1 6. Cho A = {1,2,3, 4,5,6,7,8} . a) Coù bao nhieâu taäp con cuûa A chöùa 1 maø khoâng chöùa 2. b) Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá khaùc nhau maø khoâng baét ñaàu bôûi 123. Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 1999 Giaûi a) Neáu taäp X coù n phaàn töû thì soá taäp con cuûa X laø : 2n. Taäp A\{1, 2} coù 6 phaàn töû, vaäy ta coù : 26 = 64 taäp con, moãi taäp con naøy ñeàu khoâng chöùa 1 vaø 2.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ta hoäi 64 taäp co n naøy v ôùi {1} thì ta ñöôïc 64 taäp con cuûa A chöùa 1 maø khoâng chöùa 2. b) Goïi n = a12 a a 5 chaün. Do a5 ∈ {2, 4,6,8} coù 4 caùch choïn. 7! Soá caùch choïn aaaa laø : A4 = = 7 × 6 × 5 × 4 = 840. 1234 7 3! 4 Vaäy soá caùc soá n chaün laø : 4 A7 = 3360. Xeùt m = 123a45 a maø m chaün. Do a5 ∈ {4,6,8} coù 3 caùch choïn. a4 ∈ {4,5,6,7,8} \{a5} coù 4 caùch choïn. Vaäy soá caùc soá m laø : 12. Do ñoù soá caùc soá thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn : 3360 – 12 = 3348. Baøi 117. Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 8 chöõ so á trong caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong ñoù 1 vaø 6 ñeàu coù maët ñuùng 2 laàn coøn caùc chöõ soá khaùc xuaát hieän 1 laàn. Ñaïi hoïc Sö phaïm Haø Noäi 2000 Giaûi Goïi soá caàn tìm laø n = a12 a a 8 Xeùt hoäc coù 8 oâ troáng. 2 Soá caùch ñem 2 chöõ soá 1 boû vaøo hoäc laø C8 caùch. 2 Soá caùch ñem 2 chöõ soá 6 boû vaøo hoäc laø C6 caùch. Coøn laïi 4 chöõ soá 2, 3, 4, 5 boû vaøo 4 hoäc troáng coøn laïi coù : 4! caùch. Vaäy soá caùch thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø 8! 6! 8! C2 .C2 .4! = × × 4! = = 10 080 caùch. 8 6 2!6! 2!4! 2!2! Chuù yù : Baøi toaùn hoaùn vò laëp, toå hôïp laëp, chænh hôïp laëp khoâng coù trong chöông trình phoå thoâng. Baøi 118.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - a) Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät trong ñoù chöõ soá ñaàu tieân laø chöõ soá leû. b) Coù bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät trong ñoù coù ñuùng 3 chöõ soá leû vaø 3 chöõ soá chaün. Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 2000 Giaûi a) Ñaët n = a12 a a 6 (a1 ≠ 0) Choïn a1 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} coù 5 caùch. a6 ∈ {0, 2, 4,6,8} coù 5 caùch. Boán chöõ soá coøn laïi a2, a3, a4, a5 ñöôïc choïn töø : 8! {0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9} \{a,a} coù A4 = = 1680 caùch. 16 8 4! Vaäy soá caùch choïn thoûa yeâu caàu caâu a laø : 25 × 1680 = 42000 soá. b) Ñaët m = a12 a a 6 Tröôøng hôïp 1: a1 coù theå baèng 0. 3 Soá caùch choïn 3 chöõ soá chaün baát kì : C5 caùch. 3 Soá caùch choïn 3 chöõ soá leû baát kì : C5 caùch. Choïn caùc ai (i = 1, 6 ) töø 6 soá treân coù 6! Caùch. 3 3 Vaäy coù : 6! C5. C 5 = 72 000 soá. Tröôøng hôïp 2: xeùt m′ = 0a2 a3 a 6 2 Choïn 2 chöõ soá chaün baát kì coù : C4 caùch. 3 Choïn 3 chöõ soá leû baát kì coù : C5 caùch. Hoaùn vò 5 chöõ soá treân coù 5! caùch. 2 3 Vaäy coù : 5!C4 . C5 = 7200 soá Do ñoù soá caùc soá thoûa yeâu caàu cuûa caâu b laø : 72000 – 7200 = 64800.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Baøi 119. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá bieát raèng chöõ soá 2 coù maët ñuùng 2 laàn, chöõ soá 3 coù maët ñuùng 3 laàn coøn caùc chöõ soá khaùc coù maët khoâng quaù 1 laàn. Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 2001 Giaûi Goïi soá caàn tìm laø n = a12 a a 7 (a1 ≠ 0) Xeùt hoäc coù 7 oâ troáng. • Tröôøng hôïp a1 tuøy yù (a1 coù theå baèng 0). 7! Soá caùch ñem 2 chöõ soá 2 boû vaøo hoäc laø : C2 = = 21. 7 2!5! 5! Soá caùch ñem 3 chöõ so á 3 boû va øo hoäc laø : C3 = = 10. 5 3!2! Coøn laïi 8 chöõ soá vaø coøn 2 oâ troáng vaäy soá caùch ñöa caùc chöõ soá naøy vaøo hoäc laø : 8! A2 = = 56 8 6! Vaäy coù : 21 × 10 × 56 = 11760 soá. • Tröôøng hôïp a1 = 0. 4! Soá caùch ñem 2 chöõ soá 2 boû vaøo hoäc laø : C2 = = 15. 6 2!4! 4! Soá caùch ñem 3 chöõ soá 3 boû vaøo hoäc laø : C3 = = 4. 4 3! Coøn laïi 7 chöõ soá vaø 1 oâ troáng vaäy coù 7 caùch ñem 1 chöõ soá coøn laïi boû vaøo hoäc. Do ñoù soá caùc soá n = 0a23 a a 7 laø 15 × 4 × 7 = 420. • Vaäy soá caùc soá thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 11760 – 420 = 11340. CAÙC SAI SOÙT THÖÔØNG GAËP KHI GIAÛI TOAÙN ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP 1. Khoâng hieåu ñuùng caùc töø duøng trong ñeà baøi
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ví duï : Trong ñeà thi tuyeån sinh vaøo Ñaïi hoïc Kinh teá TPHCM naêm 2001 coù caâu “An vaø Bình khoâng ñoàng thôøi coù maët” nghóa laø loaïi boû tröôøng hôïp coù An vaø coù Bình, ta coøn laïi ba tröôøng hôïp : coù An khoâng coù Bình, coù Bình khoâng coù An, khoâng coù An vaø khoâng coù Bình. Neáu ñoïc khoâng kyõ, caâu vaên neâu treân deã hieåu nhaàm thaønh “khoâng coù An khoâng coù Bình” töùc laø “An vaø Bình ñoàng thôøi khoâng coù maët”. 2. Coù nhöõng tröôøng hôïp truøng laëp, bò ñeám hai la àn maø khoâng bieát Ví duï : Moät lôùp hoïc coù 20 hoïc sinh goàm 14 nam, 6 nöõ. Hoûi c où bao nhieâu caùch thaønh laäp moät ñoäi goàm 4 hoïc sinh trong ñoù coù ít nhaát 1 nöõ ? 1 Giaûi : Choïn 1 nöõ trong 6 nöõ, coù C6 = 6 caùch. 3 Choïn theâm 3 hoïc sinh trong 19 hoïc sinh coøn laïi, coù C19 caùch. 1 3 3 Vaäy coù : C6 . C19 = C19 caùch. Caùch giaûi naøy sai ôû choã giöõa hai laàn choïn “1 nöõ roài 3 hoïc sinh coøn laïi” coù theå bò truøng laëp, bò ñeám hai laàn. Ví duï : “choïn nöõ A roài 3 hoïc sinh B, C, D” vaø “choïn nöõ B roài 3 hoïc sinh A, C, D”. 3. Coù nhöõng tröôøng hôïp khoâng lieät keâ ñuû, ñeám thieáu maø khoâng bieát Ví duï : Naêm nam sinh vaø ba nöõ sinh xeáp vaøo 8 choã ngoài. Coù bao nhieâu caùch xeáp sao cho khoâng coù hai nöõ sinh ngoài caïnh nhau ? Giaûi : Ta ñaùnh soá caùc choã ngoài töø 1 ñeán 8. Caùc tröôøng hôïp coù hai nöõ ngoài caïnh nhau ôû caùc gheá soá : 123, 234, 345, 456, 567, 678 : coù 6 tröôøng hôïp. 3 Choïn 3 gheá tuøy yù cho 3 nöõ laø toå hôïp chaäp 3 cuûa 8 phaàn töû, coù C8 caùch . 3 Tröø caùc tröôøng hôïp neâu treân coøn : C8 – 6 caùch. Xeáp 3 nöõ vaøo caùc gheá ñaõ choïn, coù : 3! caùch. Xeáp 5 nam vaøo caùc gheá ñaõ choïn, coù 5! caùch. 3 Vaäy coù : 5! 3!( C8 – 6) caùch. Caùch giaûi naøy sai ôû choã ñeám thieáu caùc tröôøng hôïp coù hai nöõ ngoài keá nhau khi 3 nöõ ôû caùc gheá soá 123, 124, 125, 126, 127, 128, 234, 235, 236, 237, 238, 345, 346, 347, 348, 456, 457, 458, 567, 568, 678 : coù 21 tröôøng hôïp. 4. Khoâng thaáy roõ chænh hôïp laø “toå hôïp roài hoaùn vò” Ví duï : Moät cuoäc khieâu vuõ coù 10 nam vaø 6 nöõ , choïn c où thöù töï 3 nam vaø 3 nöõ ñeå gheùp thaønh 3 caëp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ?