Giáo trình Cơ ứng dụng (Phần 2)

324 trang ngocly 1210

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ ứng dụng (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_co_ung_dung_phan_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cơ ứng dụng (Phần 2)

Chöông 7 TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT CAÙC ÑIEÅM CUÛA THANH 7.1 CAÙC TIEÂN ÑEÀ CÔ SÔÛ 1- Ñaët vaán ñeà Ñeå ñaùnh giaù khaû naêng laøm vieäc cuûa vaät theå, ta caàn xaùc ñònh caùc öùng suaát lôùn nhaát. Muoán vaäy ta caàn bieát ñöôïc traïng thaùi öùng suaát cuûa moïi ñieåm thuoäc vaät. Nhö ñaõ trình baøy trong phaàn 1 muïc 5.2.1 chöông 5, ñeå bieát ñöôïc TTÖS taïi moãi ñieåm, ta caàn bieát ñöôïc öùng suaát treân 3 maët caét vuoâng goùc nhau ñi qua ñieåm khaûo saùt. Caàn nhaéc laïi moâ hình vaät theå nghieân cöùu trong giaùo trình laø thanh. Töø muïc 5.1.5 chöông 5 ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh caùc thaønh phaàn noäi löïc treân maët caét vuoâng goùc vôùi truïc thanh sau khi bieát toaøn boä heä ngoaïi löïc. Vaán ñeà tieáp theo caàn ñöôïc giaûi quyeát trong chöông naøy laø tìm caùc thaønh phaàn öùng suaát nhö haøm cuûa caùc thaønh phaàn noäi löïc vaø cuûa toïa ñoä. Ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy ngöôøi ta phaûi keát hôïp khaûo saùt thöïc nghieäm vôùi daãn daét lyù thuyeát. Treân cô sôû caùc keát luaän ruùt ra ñöôïc töø thöïc nghieäm ngöôøi ta ñöa ra caùc tieân ñeà veà quan heä giöõa noäi löïc vaø öùng suaát, giöõa öùng suaát vaø bieán daïng, vaø veà ñaëc ñieåm bieán daïng gaây bôûi caùc thaønh phaàn noäi löïc. 2- Nguyeân lyù coäng taùc duïng Nguyeân lyù coäng taùc duïng, hay coøn coù teân laø nguyeân lyù ñoäc laäp taùc duïng phaùt bieåu ôû daïng toång quaùt nhö sau:
"Taùc duïng cuûa moät heä löïc baèng toång taùc duïng cuûa caùc löïc thuoäc heä löïc". Vôùi nguyeân lyù naøy ta suy ra: 1- Bieåu ñoà noäi löïc cuûa moät heä ngoaïi löïc baèng toång bieåu ñoà noäi löïc cuûa töøng ngoaïi löïc. 2- ÖÙng suaát (bieán daïng) baèng toång öùng suaát (bieán daïng) gaây bôûi töøng thaønh phaàn noäi löïc rieâng reõ. Nhôø nhaän ñònh naøy maø vaán ñeà xaùc ñònh öùng suaát (bieán daïng) ñöôïc taùch thaønh caùc baøi toaùn xaùc ñònh chuùng khi maø treân caùc maët caét treân suoát chieàu daøi thanh chæ coù moät loaïi thaønh phaàn noäi löïc. Trong kyõ thuaät ngöôøi ta goïi tröôøng hôïp thanh chòu taùc duïng cuûa heä ngoaïi löïc sao cho treân caùc maët caét chæ coù moät loaïi thaønh phaàn noäi löïc naøo ñoù laø tröôøng hôïp chòu löïc ñôn giaûn. Caùc tröôøng hôïp chòu löïc ñôn giaûn coù caùc teân goïi sau: a) Keùo (neùn) ñuùng taâm, khi treân maët caét chæ toàn taïi thaønh phaàn N z ≠ 0. Neáu N z > 0, thì thanh chòu keùo ñuùng taâm, khi N z < 0 thì thanh chòu neùn ñuùng taâm; b) Uoán thuaàn tuùy, khi treân maët caét chæ toàn taïi thaønh phaàn Mx (hoaëc My) khaùc khoâng; c) Xoaén thuaàn tuùy, khi treân maët caét chæ coù Mz khaùc khoâng; d) Caét, khi treân maët caét, heä noäi löïc töông ñöông vôùi 1 löïc naèm trong maët caét coù ñöôøng taùc duïng ñi qua khoái taâm. Khi treân maët caét heä noäi löïc chöùa töø 2 thaønh phaàn trôû leân thì ta noùi raèng thanh chòu löïc phöùc taïp. Ñeå tính öùng suaát (hay bieán daïng) khi thanh chòu löïc phöùc taïp, ta tính öùng suaát (hay bieán daïng) gaây bôûi töøng thaønh phaàn noäi löïc, roài coäng caùc thaønh phaàn öùng suaát (hay bieán daïng) töông öùng vôùi nhau. Rieâng trong tröôøng hôïp treân maët caét thanh heä noäi löïc cho löïc caét vaø ngaãu löïc moâmen uoán cuøng naèm trong 1 maët quaùn tính chính trung taâm (Qy vaø Mx hay Qx vaø My) thì thöïc nghieäm cho thaáy khoâng theå duøng nguyeân lyù ñoäc laäp taùc duïng. Tröôøng hôïp thanh chòu löïc nhö vöøa neâu treân, goïi laø chòu uoán ngang phaúng, ñöôïc xeùt rieâng. 3- Ñònh luaät Huùc Trong kyõ thuaät ngöôøi ta coâng nhaän giaû thieát cho raèng trong quaù trình laøm vieäc thöïc teá thì ñaëc tính cô hoïc cuûa vaät lieäu tuaân theo ñònh luaät Huùc (muïc 5.4 chöông 5), coù nghóa cho raèng quan heä giöõa öùng suaát vaø bieán daïng laø tuyeán tính vaø khoâng toàn taïi bieán daïng dö sau khi ngoaïi löïc thoâi taùc duïng. Vaät lieäu tuaân theo ñònh luaät Huùc ñöôïc goïi laø vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính. Löu yù caùc keát quaû thöïc nghieäm (trình baøy trong phaàn 1 muïc 6.1 chöông 6) thì giaû thieát naøy chæ coù theå ñöôïc chaáp nhaän trong tröôøng hôïp giaù trò
bieán daïng vaø öùng suaát coøn beù. Do vaäy caùc coâng thöùc ñöôïc thieát laäp treân cô sôû ñònh luaät Huùc, bao goàm caùc coâng thöùc thieát laäp ñeå tính öùng suaát ñöa ra trong chöông naøy, chæ ñuùng trong tröôøng hôïp thanh khaûo saùt döôùi taùc duïng cuûa taûi troïng coù bieán daïng beù. 4- Tieân ñeà maët caét ngang phaúng Quy luaät bieán thieân giaù trò (hay goïi laø quy luaät phaân boá) cuûa caùc thaønh phaàn öùng suaát treân maët caét coù theå ñöôïc quy ñònh tröôùc döïa vaø keát quaû quan saùt thöïc nghieäm veà ñaëc ñieåm bieán daïng. Moät trong hai tieân ñeà veà ñaëc ñieåm bieán daïng cuûa thanh ñöôïc trình baøy trong muïc naøy laø tieân ñeà maët caét ngang phaúng nhö sau "Caùc ñieåm naèm treân cuøng moät maët caét vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán truïc thanh tröôùc khi thanh bò bieán daïng thì seõ tieáp tuïc naèm trong cuøng moät maët phaúng vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán truïc thanh sau khi thanh bò bieán daïng". Nhôø tieân ñeà naøy maø khi thöïc hieän thí nghieäm, thay vì phaûi khaûo saùt söï di chuyeån cuûa moïi ñieåm naèm treân tieát dieän thì ta chæ caàn khaûo saùt söï di chuyeån cuûa caùc ñieåm naèm treân chu vi cuûa hình phaúng tieát dieän baèng caùch khaûo saùt ñöôøng keû treân beà maët thanh vuoâng goùc vôùi truïc thanh. Tieân ñeà naøy thöïc ra khoâng phuø hôïp cho tröôøng hôïp thanh ôû traïng thaùi chòu löïc uoán ngang phaúng. 5- Tieân ñeà caùc thôù doïc Ñeå ñöa ra tieân ñeà naøy, ngöôøi ta quan nieäm thanh ñöôïc gheùp laïi bôûi caùc sôïi coù cuøng chieàu daøi, goïi laø caùc thôù doïc. Tieân ñeà ñöôïc phaùt bieåu nhö sau: "Trong quaù trình thanh bò bieán daïng thì caùc thôù doïc khoâng xoâ ñaåy laãn nhau". Nhôø tieân ñeà caùc thôù doïc maø ta cho raèng caùc thaønh phaàn öùng suaát gaây ra caùc bieán daïng naèm trong maët caét baèng khoâng, töùc ta coù ñöôïc: σ =σ =τ = 0 x y xy (7.1) Vaäy khi nghieân cöùu laäp bieåu thöùc öùng suaát cuûa thanh ta chæ quan taâm thieát laäp bieåu thöùc cho caùc thaønh phaàn öùng suaát σ, τ , τ z zx zy (löu yù quy ñònh thieát laäp heä truïc toïa ñoä xyz nhö trong phaàn 1 muïc 5.4 chöông 5). Keát hôïp hai tieân ñeà veà maët caét ngang phaúng vaø caùc thôù doïc cho pheùp chuùng ta nhaän ñònh raèng khi thanh bò bieán daïng thì caùc tieát dieän thanh tröôùc khi thanh bò bieán daïng vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán truïc thanh (hay vuoâng goùc vôùi truïc thanh neáu truïc thanh
laø thaúng) seõ chuyeån ñoäng nhö moät hình phaúng raén tuyeät ñoái. Vaán ñeà laø caàn khaúng ñònh tieáp trong caùc tröôøng hôïp chòu löïc khaùc nhau thì caùc tieát dieän thöïc hieän daïng chuyeån ñoäng naøo. Trình töï chung ñeå laäp bieåu thöùc caùc thaønh phaàn öùng suaát coøn laïi cuûa thanh nhö sau: Böôùc 1: Döïa vaøo quan heä giöõa caùc thaønh phaàn öùng suaát vaø thaønh phaàn noäi löïc (coâng thöùc 5.14) tieán haønh thí nghieäm quan saùt quy luaät chuyeån ñoäng, töùc daïng chuyeån ñoäng, cuûa caùc tieát dieän cuûa thanh ôû caùc traïng thaùi chòu löïc maø taïo ra treân maët caét thanh caùc thaønh phaàn öùng suaát töông öùng. Böôùc 2: Thieát laäp bieåu thöùc bieán daïng nhö haøm cuûa chuyeån vò cuûa tieát dieän vaø toïa ñoä ñieåm khaûo saùt. Böôùc 3: Söû duïng ñònh luaät Huùc (coâng thöùc 5.38) laäp bieåu thöùc öùng suaát nhö haøm cuûa chuyeån vò cuûa tieát dieän vaø toïa ñoä cuûa ñieåm. Böôùc 4: Söû duïng quan heä giöõa caùc thaønh phaàn noäi löïc vaø caùc thaønh phaàn öùng suaát (coâng thöùc 5.14) ñeå thieát laäp bieåu thöùc cuûa chuyeån vò tieát dieän nhö haøm cuûa noäi löïc. Böôùc 5: Sau khi coù haøm cuûa chuyeån vò phuï thuoäc vaøo noäi löïc, söû duïng bieåu thöùc thieát laäp ôû böôùc 3 ñeå vieát laïi bieåu thöùc öùng suaát nhö haøm cuûa caùc thaønh phaàn noäi löïc treân tieát dieän vaø toïa ñoä cuûa ñieåm khaûo saùt. Trong muïc 7.2.1. vaø phaàn 1 muïc 7.3.2 tieáp theo, khi thieát laäp bieåu thöùc tính öùng suaát phaùp σz vaø öùng suaát tieáp treân tieát dieän troøn gaây bôûi thaønh phaàn noäi löïc Mz, ta seõ söû duïng trình töï vöøa neâu treân. 7.2 BIEÅU THÖÙC TÍNH ÖÙNG SUAÁT PHAÙP σσσZ 7.2.1 Laäp bieåu thöùc Böôùc 1: Trong soá caùc coâng thöùc ôû (5.14) thì caùc coâng thöùc sau ñaây cho ta quan heä giöõa σz vôùi caùc thaønh phaàn noäi löïc: Nz=∫ σ z dA A (a)
Mx=∫ y σ z dA A (b) My= −∫ x σ z dA A (c) AÙp duïng nguyeân lyù ñoäc laäp taùc duïng ta coù theå tính rieâng cho tröôøng hôïp chæ coù Nz khaùc khoâng, tính rieâng cho tröôøng hôïp chæ coù Mx khaùc khoâng, vaø tính rieâng cho tröôøng hôïp My khaùc khoâng, töùc khaûo saùt caùc tröôøng hôïp chòu löïc ñôn giaûn ñoäc laäp nhau, roài coäng caùc keát quaû σz cuûa ba tröôøng hôïp ñoù laïi vôùi nhau. Caùch thöïc hieän nhö vaäy raát hay gaëp trong caùc giaùo trình Söùc beàn vaät lieäu. Ñeå ngaén goïn, trong giaùo trình naøy ta seõ xeùt tröôøng hôïp toång quaùt khi toàn taïi treân caùc maët caét cuûa thanh caû ba thaønh phaàn noäi löïc N, M , M z x y . Tröôøng hôïp thanh chòu löïc nhö vaäy coù teân laø chòu keùo (neùn) leäch taâm. Khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa caùc tieát dieän thanh khi thanh chòu keùo (neùn) leäch taâm, khi bieán daïng thanh coøn beù thì thöïc nghieäm cho pheùp giaû thieát chuyeån ñoäng cuûa chuùng laø hôïp cuûa ba chuyeån ñoäng cô baûn sau: - Chuyeån ñoäng tònh tieán doïc theo truïc thanh (ñeå ñôn giaûn ta cho raèng truïc thanh tröôùc bieán daïng laø thaúng), chuyeån vò trong chuyeån ñoäng naøy kyù hieäu laø dl o (H.7.1). Hình 7.1: Chuyeån vò cuûa tieát dieän thanh chòu keùo leäch taâm
- Chuyeån ñoäng quay quanh truïc x, chuyeån vò quay theå hieän bôûi goùc quay dθx . dθ - Chuyeån ñoäng quay quanh truïc y vôùi chuyeån vò y . Böôùc 2. Thieát laäp bieåu thöùc bieán daïng daøi taïi moät ñieåm H coù toïa ñoä x, y cuûa tieát dieän: chuyeånuur vò cuûa ñieåm H laø hôïp cuûa chuyeån vò cuûa noù khi tieát dieän thöïc hieän ba chuyeån ñoäng. Ta kyù hieäu veùctô chuyeån vò cuûa ñieåm H laø δlH , thì uur uur uur uur δ=δl ldl +δ ld θ+δ ld θ HH( o) H( x) H ( y ) (d) uur δl dl trong ñoù H ( o ) - chuyeån vò cuûa ñieåm H trong chuyeån ñoäng tònh tieán cuûa tieát dieän, coù phöông theo phöông cuûa truïc z, vaø coù giaù trò: δl dl = dl H( o) o (e) uur δl d θ H ( x ) - chuyeån vò cuûa ñieåm H trong chuyeån ñoäng quay cuûa tieát dieän quanh truïc x. Moät caùch gaàn ñuùng ta coù theå cho chuyeån vò naøy theo phöông truïc z, vaø coù giaù trò: δl d θ= yd. θ H( x) x (f) uur δl d θ H ( y ) - chuyeån vò cuûa ñieåm H trong chuyeån ñoäng quay cuûa tieát dieän quanh truïc y. Gaàn ñuùng, ta coù theå cho raèng chuyeån δl d θ vò naøy theo phöông truïc z, löu yù chieàu döông quy ñònh nhö treân hình 7.1 thì giaù trò H( y ) seõ coù daáu aâm δl d θ=− x d θ H( y) y (g) Vaäy chuyeån vò cuûa ñieåm H, cho keát quaû cuûa (e) ÷ (g) vaøo bieåu thöùc d), seõ theo phöông z vaø coù giaù trò baèng: δl = dl + yd θ− xd θ Ho x y (h) Cho khoaûng caùch giöõa ñieåm H vôùi moät ñieåm laân caän keà noù theo phöông z tröôùc khi bieán daïng laø dz, thì bieán daïng daøi tuyeät ñoái cuûa khoaûng caùch giöõa chuùng khi tieát dieän chöùa ñieåm H chuyeån ñoäng seõ ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc h). Vaäy bieán daïng daøi
töông ñoái taïi H theo phöông z, töùc εz , baèng: δlH dlo d θ x dθy ε=z = +y − x dz dz dz dz (7.2) Böôùc 3. Bieåu thò σz nhö haøm cuûa chuyeån vò cuûa tieát dieän: Töø coâng thöùc 3 trong coâng thöùc (5.38), löu yù caùc coâng thöùc (7.1) vaø (7.2) ta coù: dl d θ dθy  σ=Eo + y x − x  z dz dz dz   (7.3) Böôùc 4. Laäp bieåu thöùc tính caùc chuyeån vò töông ñoái cuûa tieát dieän nhö haøm cuûa caùc thaønh phaàn noäi löïc: cho bieåu thöùc (7.3) dl d θ dθ E,o , x , y vaøo caùc coâng thöùc (a), (b), (c). Löu yù dz dz dz khoâng phuï thuoäc toïa ñoä cuûa ñieåm treân tieát dieän, vaäy caùc coâng thöùc (a) ÷ (c) trôû neân: dl d θ dθ  N= Eo dAE + x ydAE − y x dA  z dz∫ dz ∫ dz ∫  A A A  dl d θ dθy  M= Eo y dAE + x ydAE2 − xy dA  x dz∫ dz ∫ dz ∫ A A A   dl d θ dθ M=− Eo x dA − E x xy dA + Ey x2 dA  y dz∫ dz ∫ dz ∫  A A A  (7.4) Trong heä phöông trình (7.4) caùc bieåu thöùc tích phaân chính laø caùc ñaëc tröng hình hoïc cuûa maët caét. Vôùi caùch xaây döïng heä truïc toïa ñoä theo quy ñònh trong phaàn 1 muïc 5.4 chöông 5 thì heä truïc oxyz laø heä truïc quaùn tính chính trung taâm. Ta coù:
dA= A ; ydA = xdA = xydA = 0; ∫ ∫ ∫ ∫   A A A A  x2 dA= J ; y 2 dA = J  ∫y ∫ x  A A  (7.5) chuù yù caùc keát quaû (7.5), thì heä (7.4) trôû neân: dl o  Nz = E. A  dz  dθx  Mx= E. J x  dz  dθy  My= E. J y  dz  (7.6) dl d θ dθ o, x , y Töø ba phöông trình (7.6) ta tìm ñöôïc 3 aån dz dz dz dl N o= z dz EA (7.7) dθ M x= x dz EJ x (7.8) dθ M y= y dz EJ y (7.9) Trong caùc coâng thöùc (7.7) ÷ (7.9) thì:
- EA goïi laø ñoä cöùng choáng keùo (neùn) EJ, EJ - x y goïi laø caùc ñoä cöùng choáng uoán Böôùc 5. Vieát bieåu thöùc xaùc ñònh σz nhö haøm cuûa caùc thaønh phaàn noäi löïc: söû duïng caùc bieåu thöùc (7.7) ÷ (7.9) ta vieát laïi coâng thöùc (7.3): N M M σ=z +y x − x y z A J J x y (7.10) 7.2.2 Khaûo saùt phaân boá giaù trò σσσz treân tieát dieän Coâng thöùc (7.10) cho thaáy giaù trò σz taïi moãi tieát dieän laø haøm baäc nhaát cuûa toïa ñoä x, y veà vò trí cuûa ñieåm khaûo saùt treân tieát Nz, M x , M y dieän. Chuùng ta seõ khaûo saùt söï bieán thieân giaù trò σz treân tieát dieän gaây bôûi töøng thaønh phaàn noäi löïc vaø toå hôïp cuûa chuùng. 1- Keùo (neùn) ñuùng taâm Sau ñaây ta seõ xeùt söï phaân boá öùng suaát treân tieát dieän khi chæ coù thaønh phaàn Nz khaùc khoâng. Neáu treân moïi maët caét cuûa thanh chæ coù giaù trò cuûa Nz thì nhö trong phaàn 2 muïc 7.1 ta coù tröôøng hôïp thanh chòu löïc ñôn giaûn coù teân goïi laø chòu keùo (neùn) ñuùng taâm. Khi treân maët caét chæ coù thaønh phaàn N z khaùc khoâng, thì bieåu thöùc (7.10) trôû neân: Nz σz = A (7.11) Luùc naøy öùng suaát taïi moïi ñieåm treân maët caét nhö nhau, töùc noäi löïc Nz ñöôïc phaân boá ñeàu nhö treân hình 7.2b. Trong thöïc teá, ta gaëp thanh chòu keùo (neùn) ñuùng taâm trong caùc tröôøng hôïp sau: Hình 7.2 Bieåu ñoà phaân boá σz
a) Thanh chòu taûi troïng taùc duïng theo phöông doïc truïc. b) OÁng truï thaønh moûng chòu aùp suaát. Sau ñaây ta seõ thieát laäp bieåu thöùc öùng suaát cho tröôøng hôïp oáng truï thaønh moûng chòu aùp suaát. Seõ coù 2 loaïi oáng chòu aùp suaát: oáng hôû vaø oáng kín. b.1. OÁng truï hôû Ta goïi oáng truï chòu aùp suaát laø hôû khi chieàu daøi b cuûa oáng raát lôùn so vôùi ñöôøng kính 2r cuûa oáng (H.7.3a). Luùc naøy boû qua bieán daïng daøi doïc truïc (töùc cho σz = 0 ), vaø coi nhö aùp suaát taùc duïng leân thaønh oáng theo phöông höôùng kính (H.7.3b). Neáu ta caét töôûng töôïng oáng truï baèng maët caét chöùa ñöôøng kính (H.7.3c), thì vì tính chaát ñoái xöùng cuûa oáng truï, öùng suaát treân caùc tieát dieän a–a, b–b cuûa maët caét chæ coù theå höôùng theo phöông vuoâng goùc maët caét. Ta kyù hieäu caùc öùng suaát naøy laø σθ vaø goïi laø t 1  ≤  öùng suaát voøng. Khi beà daày oáng truï raát beù so vôùi ñöôøng kính r 10  ta coù theå coi σθ phaân boá ñeàu treân a–a, b–b. Ñeå tính σθ ta duøng phöông trình caân baèng löïc theo phöông y cuûa nöûa oáng truï: π sin ∑ Fiy =⇔−σ0 2θ tb +∫ pbrd θ θ= 0 i 0
Hình 7.3: OÁng truï hôû thaønh moûng chòu aùp suaát π 2σθtb =− pbrcos θ= 2 pbr Vaäy 0 pr σθ = suy ra: t (7.12)
Hình 7.4: Traïng thaùi chòu löïc cuûa thaønh oáng truï hôû thaønh moûng chòu aùp suaát Töôûng töôïng caét oáng truï treân (H.7.3a) baèng 1 maët caét chöùa ñöôøng kính truïc treân 1 thaønh cuûa noù (H.7.4a) vaø taùch nheï 2 meùp ra. Ta seõ ñöôïc 1 taám chieàu daøi 2πr , roäng b, daøy t, chòu keùo vôùi öùng suaát phaùp phaân boá ñeàu treân tieát dieän b × t, coù giaù trò baèng σθ tính theo (7.12) (H.7.4b). Vaäy ta coù tröôøng hôïp cuûa thanh chòu keùo ñuùng taâm. b.2. OÁng truï kín Neáu 2 ñaàu oáng truï ñöôïc bòt kín thì aùp löïc taùc duïng leân 2 maët ñaùy seõ taïo ra theâm thaønh phaàn öùng suaát doïc truïc, kyù hieäu σz, vaø goïi laø öùng suaát doïc truïc (H.7.5a). Ñieàu kieän caân baèng löïc theo phöông z giöõa öùng suaát taùc duïng leân thaønh oáng vôùi aùp suaát treân maët ñaùy cho ta phöông trình: 2 . πr p =πσ2 rt z Töø ñaây suy ra:
pr σz = 2t (7.13) Traïng thaùi öùng suaát cuûa 1 ñieåm khi naøy seõ khaùc vôùi tröôøng hôïp chòu keùo (neùn) ñuùng taâm. Ba maët caét ñi qua ñieåm khaûo saùt: maët vuoâng goùc vôùi truïc z (H.7.5b), maët chöùa truïc z, vaø maët truï coù truïc laø truïc z laø 3 maët chính, vôùi 2 öùng suaát chính khaùc khoâng laø σθ (tính theo 7.12) vaø σz (tính theo 7.13). Vaäy khi naøy 1 ñieåm thuoäc oáng truï seõ coù TTÖS laø phaúng. Hình 7.5: Traïng thaùi chòu löïc cuûa oáng truï kín thaønh moûng chòu aùp suaát 2- Uoán thuaàn tuùy Sau ñaây ta seõ xeùt söï phaân boá öùng suaát treân tieát dieän khi chæ coù moät moâmen uoán Mx, hay My, laø khaùc khoâng. Neáu treân moïi maët caét cuûa thanh coù giaù trò cuûa Mx (hay chæ coù giaù trò cuûa My) khaùc khoâng thì traïng thaùi chòu löïc ñoù cuûa thanh thuoäc loaïi ñôn giaûn, vaø nhö trong phaàn 2 muïc 7.1, teân goïi cuûa traïng thaùi naøy laø uoán thuaàn tuùy. Tröôøng hôïp thaønh phaàn noäi löïc Mx khaùc khoâng Khi treân maët caét ngang cuûa thanh chæ toàn taïi 1 thaønh phaàn moâmen uoán Mx thì coâng thöùc (7.10) trôû neân:
Mx σz = y Jx (7.14) Luùc naøy öùng suaát caùc ñieåm treân maët caét laø haøm tuyeán tính cuûa toïa ñoä y, töùc moïi ñieåm naèm treân cuøng 1 ñöôøng song song truïc x coù öùng suaát nhö nhau (H.7.6). Hình 7.6: Bieåu ñoà phaân boá σz gaây bôûi M x Caùc ñieåm naèm treân truïc x, coù y = 0 seõ coù öùng suaát σz = 0. Sau naøy ta seõ goïi quó tích caùc ñieåm treân maët caét coù öùng suaát σz = 0 laø ñöôøng trung hoøa. Trong tröôøng hôïp ñang khaûo saùt, truïc x ñoàng thôøi laø ñöôøng trung hoøa. Bieåu ñoà öùng suaát cuûa caùc ñieåm naèm treân cuøng 1 ñöôøng song song truïc y bieåu thò treân hình 7.6b. Töø bieåu ñoà naøy ta coù caùc nhaän xeùt: a) Ñöôøng trung hoøa chia tieát dieän thaønh 2 phaàn: caùc ñieåm naèm phía döông truïc y chòu keùo, caùc ñieåm naèm phía aâm cuûa truïc y chòu neùn (neáu cho Mx > 0). , b) Ñieåm coù trò soá öùng suaát lôùn nhaát laø ñieåm naèm xa truïc trung hoøa nhaát. Kyù hieäu yk y n (H.7.6a) laø caùc khoaûng caùch xa nhaát
ñeán truïc trung hoøa laàn löôït cuûa vuøng chòu keùo vaø chòu neùn. Ta coù trò öùng suaát keùo lôùn nhaát vaø trò öùng suaát neùn lôùn nhaát laàn löôït baèng: M M σ =y . x = x k,max k / Jx J x y k (7.15) M M σ =y . x = x n,max n J J/ y x x n (7.16) Trong caùc soå tay kyõ thuaät, ngöôøi ta thöôøng cho caùc ñaëc tröng hình hoïc cuûa caùc loaïi tieát dieän thöôøng duøng trong kyõ thuaät. Jx y Kyù hieäu ymax laø giaù trò lôùn nhaát trong 2 giaù trò tuyeät ñoái yk vaø yn . Tyû soá max ñöôïc kyù hieäu laø Wx vaø coù teân goïi laø moâmen tieát dieän choáng uoán ñoái vôùi truïc x. Jx Wx = ymax (7.17) c) Caùc ñieåm naèm gaàn truïc trung hoøa coù öùng suaát khoâng ñaùng keå. Do vaäy trong tröôøng hôïp thanh chòu uoán, ñeå tieát kieäm nguyeân vaät lieäu, tieát dieän thanh thöôøng ñöôïc choïn sao cho ôû phaàn giöõa, naèm gaàn truïc trung hoøa, dieän tích laø nhoû, ví duï nhö caùc loaïi tieát dieän nhö treân hình 7.7. Caùc tieát dieän coù daïng nhö vaäy ñöôïc goïi chung laø tieát dieän hôïp lyù ñoái vôùi uoán. Caùc thanh theùp trong kyõ thuaät ñöôïc cheá taïo coù hình daïng tieát dieän töông töï nhö caùc loaïi treân hình 7.7, coù kích thöôùc tieát dieän theo tieâu chuaån, goïi chung laø theùp daùt ñònh hình. Soá lieäu veà kích thöôùc vaø caùc ñaëc tröng hình hoïc tieát dieän theùp daùt ñònh hình ta coù theå tham khaûo trong phuï luïc trình baøy ôû cuoái giaùo trình.
Hình 7.7: Tieát dieän hôïp lyù cuûa thanh chòu uoán thuaàn tuùy σ Neáu vaät lieäu cuûa thanh khoâng thuoäc loaïi deûo, töùc thuoäc loaïi vaät lieäu coù öùng suaát cho pheùp vuøng keùo [ ]k khoâng baèng öùng [σ] suaát cho pheùp vuøng neùn n , thì khoaûng caùch yk vaø yn neân choïn sao cho thoûa maõn ñieàu kieän: y [σ] k= k y σ n []n (7.18) , Vieäc choïn kích thöôùc yk y n tuaân theo coâng thöùc (7.18) khieán cho möùc ñoä nguy hieåm cuûa vuøng chòu neùn vaø vuøng chòu keùo cuûa tieát dieän töông ñöông nhau. Ta goïi ñieàu kieän naøy laø ñieàu kieän beàn ñeàu. Tröôøng hôïp thaønh phaàn noäi löïc My khaùc khoâng Khi treân maët caét ngang cuûa thanh chæ toàn taïi 1 thaønh phaàn moâmen uoán My thì coâng thöùc (7.10) trôû neân: M σ = − x y z J y (7.19) Luùc naøy öùng suaát caùc ñieåm treân maët caét laø haøm tuyeán tính cuûa toïa ñoä x, töùc moïi ñieåm naèm treân cuøng moät ñöôøng song song
truïc y coù öùng suaát nhö nhau (H.7.8). Caùc ñieåm naèm treân truïc y, coù x = 0 seõ coù σz = 0. Vaäy khi naøy truïc y seõ laø truïc trung hoøa. Bieåu thöùc giaù trò caùc öùng suaát keùo lôùn nhaát vaø neùn lôùn nhaát coù daïng töông töï nhö caùc bieåu thöùc (7.15), (7.16), chæ thay theá kyù töï y sang kyù töï x: Hình 7.8: Bieåu ñoå phaân boá σz gaây bôûi My M σ = x y k,max k J y (7.20) M σ = x . y n,max n J y (7.21)
Jy x W Neáu kyù hieäu xmax laø giaù trò lôùn nhaát trong hai giaù trò tuyeät ñoái xk vaø xn , thì tyû soá max ñöôïc kyù hieäu laø y Jy Wy = xmax (7.22) Wy ñöôïc goïi laø moâmen tieát dieän choáng uoán ñoái vôùi truïc y. 3- Uoán xieân Sau ñaây ta xeùt söï bieán thieân cuûa σz khi treân maët caét coù hai thaønh phaàn moâmen uoán Mx, M y ñeàu khaùc khoâng. Neáu treân suoát chieàu daøi thanh, moïi maët caét chæ chòu taùc duïng cuûa Mx vaø My thì ta noùi raèng thanh ôû traïng thaùi chòu löïc uoán xieân. Coâng thöùc (7.10) trôû neân: M M σ =yx − x y z J J x y (7.23) Trong tröôøng hôïp naøy σz laø haøm tuyeán tính cuûa caû hai toïa ñoä x vaø y. Töông töï nhö trong caùc tröôøng hôïp xeùt ôû phaàn 2 muïc 7.2.2, ta suy ra caùc ñieåm cuøng caùch ñeàu ñöôøng trung hoøa seõ coù giaù trò öùng suaát nhö nhau, vaø ñieån caøng xa ñöôøng trung hoøa thì seõ coù giaù trò öùng suaát tuyeät ñoái caøng lôùn, bieán ñoåi theo quy luaät tuyeán tính. Do vaäy, ñeå veõ bieåu ñoà phaân boá σz, tröôùc tieân caàn phaûi tìm vò trí ñöôøng trung hoøa. Kyù hieäu toïa ñoä caùc ñieåm naèm treân ñöôøng trung hoøa laø y* vaø x*, thì töø ñieàu kieän öùng suaát σz cuûa caùc ñieåm treân ñöôøng trung hoøa baèng khoâng, töø coâng thöùc (7.23) ta coù: M M y*⋅x − x * y = 0 J J x y Vaäy ta suy ra ñöôøng trung hoøa coù phöông trình nhö sau:
M J y*= y .x x * M J x y (7.24) Coâng thöùc (7.24) cho thaáy ñöôøng trung hoøa ñi qua goác toïa ñoä, vaø coù phöông hôïp vôùi truïc x moät goùc α sao cho (H.7.9): M J tg α = y . x M J x y (7.25) Hình 7.9: Bieåu ñoà phaân boá σz gaây bôûi ñoàng thôøi M x vaø M y Caùc ñieåm cuøng naèm caùch ñöôøng trung hoøa khoaûng giaù trò h thì seõ coù cuøng giaù trò σz. Do vaäy ñoà thò bieåu ñoà σz seõ coù truïc hoaønh vuoâng goùc vôùi ñöôøng trung hoøa, caùc veùctô bieåu thò giaù trò σz höôùng song song vôùi ñöôøng trung hoøa, ngoïn cuûa caùc veùctô bieåu thò σz noái laïi cho ñöôøng thaúng. Hoaøn toaøn töông töï nhö ñaõ phaân tích trong phaàn 2 muïc 7.2.2, ñöôøng trung hoøa chia tieát dieän laøm hai phaàn, moät phaàn coù σz mang daáu (+), töùc chòu keùo, moät phaàn coù σz mang daáu (–), töùc chòu neùn. Caùc ñieåm naèm xa ñöôøng trung hoøa
σ nhaát veà phía keùo chòu öùng suaát keùo lôùn nhaát ( k,max ) , caùc ñieåm naèm xa ñöôøng trung hoøa nhaát veà phía neùn chòu öùng suaát neùn lôùn σ nhaát ( n,max ) (caùc ñieåm D, B treân hình 7.9). 4- Keùo (neùn) leäch taâm Nz, M x , M y Sau ñaây ta xeùt söï bieán thieân cuûa σz khi treân maët caét coù ñaày ñuû ba thaønh phaàn . Nhö ñaõ neâu ôû treân, traïng thaùi chòu löïc cuûa thanh laø keùo (neùn) leäch taâm. Coâng thöùc xaùc ñònh σz laø coâng thöùc (7.10): N M M σ=z +y x − x y z A J J x y So saùnh bieåu thöùc treân vôùi bieåu thöùc (7.23) cuûa σz trong tröôøng hôïp uoán xieân thì ta deã daøng nhaän thaáy chæ khaùc nhau moät Nz haèng soá A . Taän duïng caùc keát quaû phaân tích trong tröôøng hôïp uoán xieân, ta coù theå suy ra cho tröôøng hôïp keùo (neùn) leäch taâm nhö sau: N = 0 ° Ñöôøng trung hoøa coù cuøng ñoä nghieâng nhö trong tröôøng hôïp z , töùc hôïp vôùi truïc x goùc α coù tg α xaùc ñònh theo coâng thöùc (7.25). Nz σz = ° Ñöôøng trung hoøa khoâng ñi qua goác toïa ñoä, vì khi x = y = 0 thì A . Bieåu ñoà σz ñöôïc bieåu thò nhö treân hình 7.10.
Hình 7.10: Bieåu ñoà phaân boá σz gaây bôûi ñoàng thôøi Nz, Mx, M y Nhìn vaøo hình 7.10 ta nhaän thaáy, khi coù theâm thaønh phaàn Nz thì, giaû söû Nz > 0, phaàn tieát dieän chòu keùo seõ taêng, phaàn tieát dieän chòu neùn seõ thu nhoû laïi. Neáu giaù trò Nz lôùùn ñeán möùc naøo ñoù thì toaøn tieát dieän coù theå chòu keùo hoaøn toaøn. Trong tröôøng hôïp Nz < 0 thì hình aûnh seõ ngöôïc laïi. Nhö vaäy, khi tieát dieän chæ chòu Mx hoaëc My, hoaëc ñoàng thôøi caû Mx, M y thì luoân toàn taïi hai phaàn chòu keùo vaø neùn. Coøn khi treân tieát dieän coù caû ba thaønh phaàn Nz, Mx, M y thì coù khaû naêng moïi ñieåm treân tieát dieän coù σz cuøng moät daáu. 7.2.3 Kieåm tra beàn Löu yù töø caùc coâng thöùc (a), (b), (c) (muïc 7.2.1) thì trong tröôøng hôïp keùo (neùn) leäch taâm (vôùi caùc tröôøng hôïp rieâng suy töø ñaây nhö keùo (neùn) ñuùng taâm, uoán thuaàn tuùy, uoán xieân) thì traïng thaùi öùng suaát caùc ñieåm chæ chöùa coù moät thaønh phaàn öùng suaát laø σz. Vaäy caùc ñieåm cuûa thanh luùc naøy ôû traïng thaùi öùng suaát ñôn. Do ñoù, ñieàu kieän beàn (6.5) theå hieän bôûi baát ñaúng thöùc: σ ≤ σ z [ ]
Tuy nhieân öùng suaát σz caùc ñieåm khaùc nhau treân maët caét coù giaù trò khaùc nhau, neân chæ caàn kieåm soaùt caùc ñieåm coù giaù trò tuyeät ñoái öùng suaát keùo vaø neùn lôùn nhaát. Neáu caùc ñieåm naøy thoûa maõn ñieàu kieän beàn thì caùc ñieåm khaùc cuõng thoûa maõn ñieàu kieän beàn. Nhöõng ñieåm coù giaù trò tuyeät ñoái cuûa öùng suaát keùo vaø neùn lôùn nhaát ñöôïc goïi laø ñieåm nguy hieåm treân tieát dieän. Trình töï ñeå kieåm tra beàn noùi chung nhö sau: ° Tìm maët caét nguy hieåm: Maët caét nguy hieåm laø maët caét maø taïi ñoù caùc thaønh phaàn noäi löïc töông ñoái lôùn so vôùi caùc maët caét khaùc. ° Tìm ñieåm nguy hieåm treân maët caét nguy hieåm: tuøy theo traïng thaùi chòu löïc cuûa thanh (hay nhöõng thaønh phaàn noäi löïc naøo treân tieát dieän khaûo saùt khaùc khoâng) maø ta coù vò trí caùc ñieåm nguy hieåm seõ khaùc nhau. σ ° Döïa vaøo toïa ñoä ñieåm nguy hieåm, tính öùng suaát taïi ñieåm ñoù, kyù hieäu max . ° Kieåm soaùt baát ñaúng thöùc: σ ≤ σ max [ ] Giaû söû ta gaëp tröôøng hôïp keùo (neùn) ñuùng taâm, öùng suaát moïi ñieåm nhö nhau treân tieát dieän, vaäy ñieàu kieän beàn laø Nz σ= ≤σ[] A (7.26) Giaû söû ta gaëp tröôøng hôïp uoán thuaàn tuùy vôùi Mx ≠ 0 , thì töø coâng thöùc (7.15) vaø (7.16), ñieàu kieän beàn seõ laø: Mx Mx σ = ≤σ[] σ = ≤σ[] k,max / k n,max / n Jx y k , Jx y n (7.27) 7.3 BIEÅU THÖÙC TÍNH ÖÙNG SUAÁT TIEÁP 7.3.1 Ñaët vaán ñeà Khaûo saùt caùc coâng thöùc (5.14) ta thaáy caùc ñieåm treân tieát dieän thanh seõ coù theå coù öùng suaát tieáp neáu treân tieát dieän toàn taïi löïc
caét Qx, Q y vaø moâmen xoaén Mz. Tuy nhieân khaûo saùt thöïc nghieäm cho thaáy phöông veùctô öùng suaát tieáp gaây bôûi caùc thaønh phaàn noäi löïc khaùc nhau raát khaùc nhau. Do vaäy vieäc söû duïng bieän phaùp khaûo saùt nhö ñaõ söû duïng trong muïc 7.2 ñeå xaùc ñònh σz laø khoâng phuø hôïp. Ñoái vôùi vieäc laäp bieåu thöùc öùng suaát tieáp, ta seõ duøng nguyeân lyù ñoäc laäp taùc duïng, xeùt rieâng töøng tröôøng hôïp chòu löïc ñôn giaûn: xoaén thuaàn tuùy (khi chæ coù Mz khaùc khoâng), caét (khi treân maët caét chæ coù thaønh phaàn löïc caét), uoán ngang phaúng (khi treân maët caét toàn taïi caû löïc caét vaø ngaãu löïc uoán cuøng trong moät maët quaùn tính chính trung taâm). 7.3.2 Xoaén thuaàn tuùy 1- Tieát dieän thanh coù daïng hình troøn Laäp bieåu thöùc Vaän duïng trình töï neâu ôû cuoái muïc 7.1 ñeå laäp bieåu thöùc xaùc ñònh öùng suaát tieáp khi treân tieát dieän thanh chæ toàn taïi thaønh phaàn Mz, vaø tieát dieän thanh laø hình troøn heát söùc tieän lôïi, vì vaäy ta seõ thöïc hieän theo trình töï aáy. Böôùc 1: Quan saùt chuyeån ñoäng cuûa tieát dieän: Taïo traïng thaùi chòu löïc thuaàn tuùy, ví duï nhö theo sô ñoà löïc treân hình 7.11. Khaûo saùt ñaëc ñieåm chuyeån ñoäng cuûa caùc tieát dieän thanh vuoâng goùc vôùi truïc thanh thì thaáy raèng caùc tieát dieän naøy ñeàu chæ thöïc hieän chuyeån ñoäng quay quanh truïc thanh. Ta seõ kyù hieäu goùc quay cuûa tieát dieän khaûo saùt laø ϕ. Hình 7.11: Thanh chòu xoaén thuaàn tuùy Hình 7.12: Bieán daïng goùc khi Böôùc 2: Laäp bieåu thöùc bieán daïng töø chuyeån vò cuûa tieát dieän: Sau ñaây ta seõ thanh tieát dieän troøn chòu xoaén thuaàn tuùy
laäp bieåu thöùc bieán daïng goùc: töùc söï thay ñoåi goùc vuoâng. Goùc vuoâng maø thöïc nghieäm cho thaáy söï thay ñoåi laø goùc giöõa ñöôøng sinh (ñöôøng BH treân hình 7.12) vaø ñöôøng troøn taâm O treân tieát dieän (ñöôïc veõ treân HH hay BB). Ta seõ khaûo saùt chuyeån ñoäng töông ñoái giöõa 2 tieát dieän B vaø H caùch nhau khoaûng chieàu daøi phaân toá dz. Kyù hieäu goùc quay töông ñoái cuûa tieát dieän B so vôùi tieát dieän H laø dϕ. Ñieåm B, naèm caùch truïc quay z ñoaïn ρ, seõ dòch chuyeån ñeán vò trí B', töùc ñöôøng BH trôû thaønh ñöôøng B'H. Bieán daïng goùc, kyù hieäu laø γ, chính laø goùc BHB'. Trong ñieàu kieän bieán daïng beù, ta vieát ñöôïc: BB ' γ = BH Vì BB'= ρ . d ϕ , BH= dz , vaäy ta vieát ñöôïc nhö sau: dϕ γ = ρ dz (7.28) Böôùc 3: Laäp bieåu thöùc öùng suaát tieáp nhôø ñònh luaät Huùc (5.38), ta coù τ =G γ Löu yù coâng thöùc (7.28) thì bieåu thöùc cuoái trôû neân dϕ τ =G ρ dz (7.29) r τ Böôùc 4: Thieát laäp quan heä giöõa τ vaø thaønh phaàn noäi löïc Mz. Vôùi bieán daïng goùc γ nhö treân hình 7.12 thì phöông cuûa veùctô höôùng doïc theo BB', goàn ñuùng laø vuoâng goùc vôùi baùn kính r ñi qua OB. Bieåu thöùc quan heä giöõa Mz vaø τ coù daïng: . Mz =∫() τ dA ρ = ∫ τρ dA A A Löu yù coâng thöùc (7.29) thì bieåu thöùc cuoái coù daïng:
dϕ M= G ρ 2. dA z ∫ dz A dϕ G⋅ Vì dz khoâng phuï thuoäc toïa ñoä cuûa ñieåm khaûo saùt treân tieát dieän neân ta vieát laïi ñöôïc nhö sau: dϕ M= G ⋅ ρ 2 dA z dz ∫ A (7.30) Bieåu thöùc tích phaân trong coâng thöùc (7.30) chính laø moâmen quaùn tính dieän tích cuûa tieát dieän ñoái vôùi truïc z (xem coâng thöùc 5.4c), kyù hieäu Jz, vaäy luùc naøy ta vieát ñöôïc coâng thöùc (7.30) ôû daïng: dϕ Mz= G ⋅ ⋅ J z dz Töø coâng thöùc cuoái suy ra chuyeån vò goùc töông ñoái cuûa tieát dieän tính theo coâng thöùc sau: dϕ M = z dz G J z (7.31) Tích GJ x goïi laø ñoä cöùng choáng xoaén. dϕ Böôùc 5. Coâng thöùc xaùc ñònh giaù trò cuûa τ trong (7.29) seõ coù daïng sau, sau khi söû duïng bieåu thöùc dz nhö trong coâng thöùc (7.31): M τ =ρ⋅ z Jz (7.32) Khaûo saùt phaân boá giaù trò τ treân tieát dieän
Khaûo saùt coâng thöùc (7.32) ta nhaän thaáy giaù trò τ taïi taâm tieát dieän troøn coù giaù trò baèng khoâng (vì ρ = 0), vaø bieán thieân theo quy luaät baäc nhaát cuûa ρ, töùc cuûa khoaûng caùch töø ñieåm khaûo saùt ñeán taâm tieát dieän. Veùctô caùc öùng suaát tieáp vaø söï phaân boá giaù trò cuûa chuùng taïi caùc ñieåm treân cuøng moät baùn kính ñöôïc bieåu thò nhö treân hình 7.13. ÖÙng suaát tieáp lôùn nhaát taïi ñieåm naèm treân chu vi tieát dieän, töø coâng thöùc (7.32), baèng: Mz τmax =R ⋅ Jz (7.33) Hình 7.13: Bieåu ñoà phaân boá öùng suaát tieáp treân tieát dieän troøn Neáu ta kyù hieäu Jz Wz = R (7.34) thì coâng thöùc (7.33) vieát goïn laïi ôû daïng:
Mz τmax = Wz Wz ñöôïc goïi laø moâmen tieát dieän choáng xoaén. Caùc ñieåm naèm gaàn taâm cuûa tieát dieän, theo coâng thöùc (7.32), coù giaù trò τ beù. Vì lyù do ñoù neân khi thanh chòu xoaén thuaàn tuùy, ñeå tieát kieäm nguyeân vaät lieäu vaø laøm nheï thanh, thöôøng coù tieát dieän roãng. 2- Tieát dieän thanh coù daïng thaønh moûng kín Hình 7.14 Tieát dieän loaïi naøy coù daïng nhö treân hình 7.14 maø chieàu daøy thaønh t nhoû so vôùi kích thöôùc tieát dieän. Ñöôøng chia ñoâi beà daøy cuûa thaønh, ñöôøng ñöôïc bieåu dieãn baèng neùt chaám - gaïch treân hình 7.15a, goïi laø ñöôøng trung bình cuûa tieát dieän. Ñeå tìm bieåu thöùc öùng suaát, ngöôøi ta giaû thieát raèng öùng suaát nhö nhau taïi caùc ñieåm treân beà daøy cuûa thaønh, vaø phöông cuûa chuùng theo phöông tieáp tuyeán cuûa ñöôøng trung bình. Ñeå tìm trò τ treân beà daøy naøo ñoù, ta thöïc hieän nhö sau: Xeùt phaân toá dieän tích treân tieát dieän coù ñoä daøi cung treân ñöôøng trung bình tieát dieän laø ds, beà daøy phaân toá laø t (H.7.15a). Hôïp löïc caùc öùng suaát tieáp treân dieän tích phaân toá seõ laø τ.t.ds, moâmen ñoái vôùi truïc z laø: . ( ) dMz = τ tds h s (7.35) trong ñoù h(s) laø khoaûng caùch töø phaân toá dieän tích ñeán truïc z.
Vaäy: ( ) Mz =∫ τ t h s ds S (7.36) Hình 7.15 Ñeå yù ñieàu kieän caân baèng cuûa phaân toá chieàu daøi theo truïc z laø 1 ñôn vò, vaø giôùi haïn bôûi 2 maët phaúng 1,2 chöùa truïc z (H.7.15b). Cho raèng öùng suaát τi khoâng ñoåi trong moãi maët i (i = 1,2), thì phöông trình caân baèng treân phöông z cho ta: τ1t1 = τ2t2 Vaäy tích τ.t taïi moïi vò trí xaùc ñònh bôûi toïa ñoä s laø haèng soá: τ(s) . t(s) = const (7.37) Vaäy bieåu thöùc (7.36), chuù yù (7.37), seõ coù daïng: ().() () Mz = τ sts∫ hsds S Bieåu thöùc tích phaân trong phöông trình cuoái cho ta 2 laàn dieän tích giôùi haïn bôûi ñöôøng trung bình, ta kyù hieäu laø 2A . Vaäy bieåu
thöùc cuoái trôû neân: Mz = 2 . τ(s) . t(s) . A M Vaäy τ(s ) = z (7.38) 2A. t ( s ) Töø (7.38) ta nhaän thaáy treân tieát dieän nôi naøo thaønh moûng (t nhoû) thì öùng suaát tieáp seõ lôùn. 3- Tieát dieän thanh coù daïng thaønh moûng hôû Tieát dieän thaønh moûng hôû coù daïng töông töï nhö treân hình 7.16. Ñeå tính öùng suaát τ treân loaïi tieát dieän naøy ngöôøi ta coi nhö tieát dieän ñöôïc gheùp bôûi caùc tieát dieän chöõ nhaät coù chieàu roäng b vaø chieàu daøy t (H.7.16a) vaø kích thöôùc b lôùn so vôùi t. Hình 7.16: Daïng tieát dieän thaønh moûng hôû Moâmen xoaén Mz ñöôïc coi nhö phaân boá treân caùc dieän tích chöõ nhaät thaønh phaàn, töùc cho raèng: n M= M z∑ z i i=1
vôùi: M moâmen xoaén taùc duïng treân tieát dieän b × t . zi i i Ñeå tìm M ngöôøi ta xuaát phaùt töø ñieàu kieän goùc xoaén moïi tieát dieän thaønh phaàn nhö nhau, vaø baèng goùc xoaén toaøn tieát zi dieän. Söû duïng coâng thöùc (7.31) ta vieát ñöôïc: Mz dz M z dz M. dz dϕ=1 = 2 ==L z (7.39) G J G J G. J z1 z 2 z vôùi: J, J laø moâmen quaùn tính dieän tích ñoái vôùi truïc z laàn löôït cuûa toaøn dieän tích, vaø dieän tích chöõ nhaät thöù i. z z i Vaäy ta suy ra: Jz M= M ⋅ i zi z Jz ÖÙng suaát tieáp treân moãi dieän tích chöõ nhaät ñöôïc coi coù phöông theo caïnh beà roäng b (H.7.17a) vaø bieán thieân theo quy luaät baäc nhaát (H.7.17b) ñoái vôùi khoaûng caùch ñeán truïc y (truïc y höôùng song song caïnh beà roäng b). Ta coâng nhaän coâng thöùc sau: 2M τ =z ⋅ x (7.40) Jz n 1 3 vôùi Jz= η ∑ b i t i (7.41) 3 i=1 Heä soá η cho trong baûng 7.1 Baûng 7.1 Daïng maët caét Trò soá ηηη
Chöõ L 1.00 Chöõ I 1.20 Chöõ T 1.15 Chöõ [ 1.12 Giaù trò öùng suaát lôùn nhaát baèng: i Mz t i τmax = (7.42) Jz Tröôøng hôïp neáu tieát dieän laø moät hình chöõ nhaät khoâng heïp, thì öùng suaát tieáp seõ bieán thieân khoâng nhöõng theo toïa ñoä x, maø theo caû toïa ñoä y (H.7.17c). Treân moãi caïnh, öùng suaát tieáp seõ lôùn nhaát taïi ñieåm giöõa cuûa moãi caïnh:
Hình 7.17: Phaân boá öùng suaát tieáp treân tieát dieän chöõ nhaät Treân caïnh daøi: Mz τmax = (7.43) α b t 2 Treân caïnh ngaén:
τ1 =γ τ max (7.44) Giaù trò caùc heä soá α, γ trong coâng thöùc (7.43) vaø (7.44) laø caùc ñaïi löôïng phuï thuoäc tyû soá b/t cho trong baûng 7.2. Baûng 7.2 b/t 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 ∞ α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,256 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 γ 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 7.3.3 Caét ur Sau ñaây ta thieát laäp bieåu thöùc tính öùng suaát tieáp khi treân maët caét chæ toàn taïi löïc caét Q, cho raèng Q coù phöông baát kyø, khoâng nhaát thieát truøng vôùi truïc x hay truïc y. Tröôøng hôïp chòu löïc khi naøy ñöôïc goïi laø thanh chòu caét. Thanh chòu caét chæ xaûy ra khi thanh chòu taùc duïng cuûa 2 löïc cuøng phöông ngöôïc chieàu taïi 2 maët caét raát gaàn nhau, caùch nhau khoaûng ∆l (H.7.18). Luùc naøy maët caét giöõa 2 ñöôøng taùc duïng cuûa löïc seõ coù noäi löïc goàm 2 thaønh phaàn laø löïc caét vaø moâmen uoán. Song vì khoaûng caùch raát beù neân thaønh phaàn cuûaur moâmen uoán coù theå ñöôïc boû qua. Quan saùt bieán daïng thanh coù theå ñöa ñeán keát luaän raèng öùng suaát tieáp coù phöông chieàu cuûa Q vaø coù giaù trò ñöôïc coi gaàn ñuùng laø baèng nhau taïi moïi ñieåm treân tieát dieän. Ta chaáp nhaän coâng thöùc sau: Q τ = (7.45) A 7.3.4 Uoán ngang phaúng 1- Ñaët vaán ñeà Trong muïc naøy ta seõ khaûo saùt phöông phaùp laäp bieåu thöùc tính öùng suaát tieáp khi heä noäi löïc treân maët caét goàm thaønh phaàn löïc caét vaø moâmen uoán cuøng naèm trong moät maët phaúng quaùn tính chính trung taâm. Nhö trong phaàn 2 muïc 7.1 ñaõ ñöa ra ñònh nghóa, tröôøng hôïp chòu löïc nhö vaäy goïi laø uoán ngang phaúng. Thaønh phaàn noäi löïc coù theå laø Qy vaø Mx hay Qx vaø My. Ñeå ñôn giaûn ta xeùt tröôøng hôïp uoán ngang phaúng vôùi hai thaønh phaàn noäi löïc Qy vaø Mx. Trong tröôøng hôïp naøy, maëc duø Qy ≠ 0, song öùng suaát tieáp khoâng xaùc ñònh bôûi coâng thöùc (7.45) nhö trong tröôøng hôïp caét vöøa xeùt vôùi Mx = 0 vì giöõa Qy vaø Mx toàn taïi quan heä vi phaân bôûi coâng thöùc (5.20).
dM x = Q (i) dz y Ñoàng thôøi veùctô öùng suaát tieáp taïi moät ñieåm treân tieát dieän cuõng coù phöông chieàu chöa ñöôïc bieát (H.7.19), coù nghóa ñeå tìm öùng suaát tieáp ta phaûi xaùc ñònh caû hai thaønh phaàn τzx vaø τzy . Hình 7.19: ÖÙng suaát tieáp treân tieát dieän thanh chòu uoán ngang phaúng 2- Bieåu thöùc tính τττzy Ñeå laäp bieåu thöùc tính τzy ta xeùt caân baèng cuûa moät phaân toá cuûa thanh chòu uoán ngang phaúng ñöôïc taùch ra bôûi caùc maët caét sau: - Hai maët caét vuoâng goùc vôùi truïc z, caùch nhau khoaûng caùch dz, ñöôïc kyù hieäu laø maët (1) vaø (2) treân hình 7.20a. - Maët caét song song vaø caùch maët toïa ñoä xz khoaûng caùch xaùc ñònh bôûi toïa ñoä y, ñöôïc kyù hieäu laø maët almd treân hình 7.20a. Phaân toá khaûo saùt laø moät trong hai phaân toá ñöôïc chia ra bôûi maët almd cuûa phaân toá thanh chieàu daøi dz. Giaû söû sau ñaây ta seõ choïn ñeå khaûo saùt phaân toá phía döôùi maët almd nhö treân hình 7.20b.
Hình 7.20: Taùch phaân toá ñeå thieát laäp coâng thöùc tính τzy Löïc taùc duïng leân phaân toá bao goàm: ° Treân maët (1): ( σz)1, ( τzx )1, ( τzy )1. ° Treân maët (2): ( σz)2, ( τzx )2, ( τzy )2. ° Treân maët almd do ñònh luaät ñoái öùng öùng suaát tieáp coù öùng suaát tieáp vôùi ñoä lôùn tuyeät ñoái baèng τzy nhöng taùc duïng theo phöông cuûa truïc z. Treân hình 7.20b, ta kyù hieäu öùng suaát tieáp treân maët almd baèng kyù töï τzy . Trong quaù trình chöùng minh ta giaû thieát raèng: - Beà roäng cuûa tieát dieän theo phöông x laø beù, töùc khoaûng caùch dm (hay al) treân hình aldm laø nhoû, vì vaäy chaáp nhaän τzy taïi moïi ñieåm treân dm coù giaù trò nhö nhau. Ñieàu naøy coù nghóa chaáp nhaän τzy laø haøm khoâng phuï thuoäc vaøo toïa ñoä x. - ÖÙng suaát tieáp taïi moïi ñieåm treân maët caét almd nhö nhau. Vì baøi toaùn chæ ñöa ra moät aån caàn xaùc ñònh laø τzy cho neân khi khaûo saùt caân baèng cuûa phaân toá ta chæ söû duïng moät phöông
trình caân baèng, ñoù laø phöông trình caân baèng cuûa hình chieáu löïc treân phöông z. Vì leõ ñoù maø treân hình 7.20b ta chæ bieåu thò caùc öùng suaát coù phöông doïc truïc z. Kyù hieäu beà roäng tieát dieän vuoâng goùc truïc z taïi maët caét almd laø b(y) (töùc b(y) = md = al ). - A(y) dieän tích maët beân cuûa phaân toá treân hình 7.20b. Ñieàu kieän caân baèng löïc cuûa phaân toá treân phöông z cho ta: F=⇔−τ0 b() y dz − ( σ dA + ( σ dA = 0 ∑ iz zy∫ z)1 ∫ z ) 2 Ay() Ay () () ()() Vaäy τzyb y dz =∫ [] σ−σ z2 z 1 dA (7.46) A( y ) AÙp duïng coâng thöùc (7.14), ta coù: (M ) (Mx) (σ=yx 1 ;( σ= y 2 (7.47) z)1 z ) 2 Jx J x vôùi (M x)1, (M x)2 laàn löôït laø moâmen uoán treân maët 1 vaø 2, ngoaøi ra: (M x)2 = (M x)1 + dM x (7.48) Chuù yù (7.47), (7.48) thì bieåu thöùc (7.46) coù daïng: dM τb( y ) dz = yx dA zy ∫ J A( y ) x dM Trong phöông trình cuoái, chuù yù bieåu thöùc x laø haèng soá trong pheùp laáy tích phaân treân toaøn dieän tích tieát dieän neân ta Jx vieát ñöôïc:
dM τb( y ) dz = x ydA (7.49) zy J ∫ x A( y ) ( ) Chuù yù raèng ∫ ydA chính laø moâmen tónh cuûa dieän tích A(y) ñoái vôùi truïc x, neân ta kyù hieäu ∫ ydA= Sx y . A( y ) A( y ) Vaäy (7.49) coù daïng: Sx( y ) τzyb( y ) dz = dM x Jx Sx( y ) dM x hay τzy = ⋅ Jx b( y ) dz Chuù yù coâng thöùc (i) thì bieåu thöùc τzy coù daïng: Sx( y ). Q y τzy = (7.50) Jx b( y ) Khaûo saùt bieåu thöùc tính τzy theo (7.50) ta coù caùc nhaän xeùt sau: a) Treân moãi tieát dieän τzy laø haøm cuûa toïa ñoä y, töùc τzy = τzy (y). b) Löu yù coâng thöùc tính moâmen tónh dieän tích S x, coâng thöùc (5.10), thì neáu dieän tích trôû neân baèng khoâng, S x seõ baèng khoâng. Vaäy neáu ta cho taêng toïa ñoä y ñeán giaù trò lôùn nhaát cuûa tieát dieän thì dieän tích A(y) treân hình 7.20b seõ baèng khoâng, vaäy S x taïi ñoù baèng khoâng. Töông töï, neáu ta khaûo saùt caân baèng phaâân toá naèm phía treân maët almd S x cuõng seõ baèng khoâng. Toùm laïi haøm S x(y) seõ coù caùc giaù trò baèng 0 taïi caùc vò trí cuûa tieát dieän xa truïc x nhaát veà hai phía. c) Haøm τzy (y) coù daïng cao hôn baäc nhaát, vaø do ñaëc ñieåm giaù trò cuûa haøm Sx(y) vöøa neâu treân, haøm τzy (y) seõ coù giaù trò baèng khoâng taïi caùc vò trí tieát dieän xa Hình 7.21: Bieán thieân giaù trò τzy (y)
truïc x nhaát veà hai phía. Ñoà thò haøm τzy coù daïng töông töï nhö treân hình 7.21. ÖÙng suaát τzy coù giaù trò lôùn nhaát thöôøng taïi toïa ñoä y = 0, töùc taïi caùc ñieåm naèm treân truïc x, d) Giaù trò τzy tyû leä nghòch vôùi ñoä lôùn beà roäng b(y). Taïi nôi coù giaù trò b lôùn thì giaù trò τzy seõ nhoû. Giaû söû thanh coù tieát dieän nhö treân hình 7.7 thì caùc ñieåm taïi hai phaàn ñeá coù giaù trò τzy nhoû, thoâng thöôøng seõ ñöôïc boû qua. 3- Bieåu thöùc tính τττzx Ñeå tìm bieåu thöùc τzx, ta seõ xeùt caân baèng phaân toá ñöôïc taïo ra nhö sau (H.7.22a). - Caét moät ñoaïn thanh chieàu daøi dz baèng 2 maët caét (1), (2); - Caét ñoâi phaân toá vöøa taïo ra baèng maët caét alef song song vaø caùch maët toïa ñoä yz khoaûng x. Phaân toá khaûo saùt laø phaân toá phía döông cuûa truïc x (bieåu thò treân hình 7.22b). Löïc taùc duïng leân phaân toá bao goàm: ° Treân maët 1: ( σz)1, ( τzx )1, ( τzy )1. ° Treân maët 2: ( σz)2, ( τzx )2, ( τzy )2. ° Treân maët alef, do ñònh luaät ñoái öùngø öùng suaát tieáp seõ coù öùng suaát tieáp vôùi ñoä lôùn tuyeät ñoái baèng τzx , taùc duïng theo phöông z. Treân hình 7.22b, ta kyù hieäu öùng suaát tieáp treân maët alef baèng kyù töï τzx . Hình 7.22
Cho raèng τzx khoâng ñoåi treân maët caét alef, ta seõ coù: (τzx )1 = τzx )2 = τzx Ñeå tìm giaù trò τzx ta xeùt caân baèng löïc treân phöông z. Treân hình 7.22b chæ bieåu thò caùc thaønh phaàn öùng suaát theo phöông z. Kyù hieäu: - t(x): bieåu thò beà daøy cuûa tieát dieän ngang taïi maët caét alef töùc t(x) = af = le. - A(x): dieän tích maët beân cuûa phaân toá. Ñieàu kieän caân baèng löïc treân phöông z cuûa phaân toá cho ta: () () () ∑ Fiz=⇔−τ⋅0 zx t x ⋅− dz∫ σ z1 dA + ∫ σ z 2 dA Ax() Ax () Daãn daét töông töï nhö trong phaàn laäp bieåu thöùc cho τzy ta seõ coù: dM τ⋅t( x ) ⋅ dz = x y . dA zx J ∫ x A( x ) ( ) Chuù yù ∫ ydA laø moâmen tónh ñoái vôùi truïc x cuûa dieän tích A(x), neân ta kyù hieäu ∫ ydA= Sx x , ñoàng thôøi löu yù quan heä (i), A( x ) A thì bieåu thöùc cuoái cho ta coâng thöùc tính τzx nhö sau: Qy S x ( x ) τzx = (7.51) Jx t( x ) Khaûo saùt bieåu thöùc τzx theo (7.51) ta coù caùc nhaän xeùt töông töï nhö khi khaûo saùt bieåu thöùc (7.50) tính τzy nhö sau:
a) Treân moãi tieát dieän τzx laø haøm cuûa toïa ñoä x, töùc τzx = τzx (x); b) Haøm τzx (x) laø haøm cao hôn baäc nhaát, coù giaù trò baèng khoâng taïi caùc ñieåm naèm xa truïc y nhaát veà hai phía, vaø coù giaù trò lôùn nhaát thöôøng taïi toïa ñoä x = 0, töùc taïi caùc ñieåm naèm treân truïc y; c) Giaù trò τzx (x) tyû leä nghòch vôùi ñoä lôùn beà daøy t(x). Taïi nôi coù giaù trò t lôùn thì giaù trò τzx seõ nhoû. Giaû söû thanh khaûo saùt coù tieát dieän ñònh hình nhö treân hình 7.23, thì caùc ñieåm taïi phaàn thaân τzx seõ beù, thoâng thöôøng seõ ñöôïc boû qua. d) Vì hôïp löïc gaây bôûi τzx cho Qx = 0, vaäy chieàu cuûa caùc veùctô τzx treân phaàn ñeá (H.7.23) seõ ngöôïc nhau. Keát hôïp nhaän xeùt d) ôû muïc tính bieåu thöùc τzy vaø c) d) vöøa neâu treân thì chieàu öùng suaát tieáp treân tieát dieän ñònh hình I coù daïng nhö treân hình 7.23. Khi khoâng coù yeâu caàu ñöa ra thì thöôøng thöôøng ngöôøi ta chæ tính τzy theo coâng thöùc (7.50), boû qua τzx . 4- Traïng thaùi öùng suaát caùc ñieåm treân tieát dieän Hình 7.23: Chieàu öùng suaát Trong tröôøng hôïp uoán ngang tieáp treân tieát dieän chöõ I phaúng vôùi hai thaønh phaàn noäi löïc Mx vaø Qy xeùt trong muïc naøy, thì taïi moãi ñieåm, neáu boû qua thaønh phaàn τzx , noùi chung toàn taïi 2 thaønh phaàn öùng suaát: - σz tính theo coâng thöùc (7.14): Mx σz = y Jx - τzy tính theo coâng thöùc (7.50):
Sx( y ). Q y τzy = Jx b( y ) Hình 7.24: Traïng thaùi öùng suaát caùc ñieåm treân tieát dieän thanh chòu uoán ngang phaúng Nhö ñaõ phaân tích, caû hai thaønh phaàn naøy ñeàu laø haøm cuûa toïa ñoä y, do vaäy caùc ñieåm coù cuøng toïa ñoä y, töùc cuøng naèm treân moät ñöôøng song song truïc x seõ coù giaù trò caùc thaønh phaàn öùng suaát nhö nhau. Keát hôïp bieåu ñoà phaân boá σz treân hình 7.6 vaø bieåu ñoà phaân boá τzy treân hình 7.21 ta ñöôïc hình 7.24b, c: Phuï thuoäc vaøo toïa ñoä y maø giaù trò σz, τzy seõ khaùc nhau vaø do ñoù traïng thaùi öùng suaát cuõng seõ khaùc nhau: - Caùc ñieåm B vaø H treân tieát dieän (H.7.24a) chæ coù thaønh phaàn σz khaùc khoâng, vaäy caùc ñieåm naøy ôû TTÖS ñôn (H.7.24d). - Ñieåm O treân tieát dieän chæ coù thaønh phaàn τzy khaùc khoâng, vaäy ñieåm naøy ôû TTÖS tröôït thuaàn tuùy (H.7.24e). - Ñieåm D treân tieát dieän coù caû hai thaønh phaàn σz, τzy khaùc khoâng, vaäy ñieåm naøy ôû TTÖS phaúng ñaëc bieät (H.7.24f) 7.4 ÑIEÀU KIEÄN BEÀN Nhö ñaõ bieát töø chöông 6, muïc 6.1, 6.2, thì ñieàu kieän beàn seõ ñöôïc theå hieän tuøy thuoäc traïng thaùi öùng suaát. Ñoái vôùi TTÖS ñôn ta duøng ngay giaù trò öùng suaát chính khaùc khoâng ñeå so saùnh vôùi giaù trò öùng suaát cho pheùp. Ñoái vôùi TTÖS phöùc thì ta phaûi duøng giaù trò öùng suaát töông ñöông ñeå so saùnh vôùi giaù trò öùng suaát cho pheùp. Coâng thöùc tính giaù trò öùng suaát töông ñöông phuï
thuoäc giaû thuyeát beàn ñöôïc söû duïng vaø loaïi TTÖS phöùc khaûo saùt. Khi xeùt beàn toaøn thanh ta chæ caàn xeùt ñoái vôùi ñieåm coù öùng suaát lôùn nhaát (ñoái vôùi TTÖS ñôn) hay ñieåm coù öùng suaát töông ñöông lôùn nhaát (ñoái vôùi TTÖS phöùc). Nhöõng ñieåm naøy ñöôïc goïi laø ñieåm nguy hieåm . Trình töï xaùc ñònh ñieåm nguy hieåm nhö sau: Tröôùc heát phaûi xaùc ñònh maët caét nguy hieåm, töùc maët caét coù giaù trò caùc thaønh phaàn noäi löïc treân ñoù lôùn nhaát so vôùi caùc maët khaùc, sau ñoù xaùc ñònh vò trí ñieåm nguy hieåm treân maët caét nguy hieåm. Ñeå thuaän lôïi cho caùc baïn hoïc vieân giaûi baøi taäp, sau ñaây seõ ñöa ra bieåu thöùc öùng suaát töông ñöông cuûa ñieåm nguy hieåm trong caùc tröôøng hôïp maët caét nguy hieåm ôû traïng thaùi chòu löïc xeùt trong caùc muïc 7.3.2 ÷ 7.3.4 cuûa chöông naøy. 7.4.1 Tröôøng hôïp thanh chòu xoaén thuaàn tuùy Trong muïc 7.3.2, ta ñaõ bieát trong tröôøng hôïp naøy taïi moïi ñieåm chæ toàn taïi thaønh phaàn öùng suaát tieáp khaùc khoâng. Do vaäy moïi ñieåm ñeàu ôû TTÖS tröôït thuaàn tuùy. Ñieåm nguy hieåm laø ñieåm naèm treân chu vi tieát dieän. Sau ñaây ta kyù hieäu öùng suaát taïi ñieåm nguy hieåm laø τ, thay vì τmax. Neáu tieát dieän thanh laø troøn thì töø coâng thöùc (7.33), vaø (7.34) ta coù: M M τ=z ⋅R = z Jz W z 3 Löu yù baûng 5.1, thì ñoái vôùi hình troøn, Wz = 0,2 D vôùi D laø ñöôøng kính tieát dieän, thì bieåu thöùc cuoái ñöôïc vieát ôû daïng: M τ = z (7.52) 0, 2 D3 ÖÙng suaát töông ñöông theo giaû thuyeát beàn thöù III, töø coâng thöùc (6.9), coù daïng: Mz σtñIII =τ=2 0, 1 D3 Ñieàu kieän beàn theo giaû thuyeát beàn III trôû neân:
M z ≤[ σ ] (7.53) 0, 1 D3 ÖÙng suaát töông ñöông theo giaû thieát beàn thöù IV, töø coâng thöùc (6.14), coù daïng: 3 Mz σtñIV =3 τ= ⋅ 0, 2 D3 Ñieàu kieän beàn theo giaû thuyeát beàn IV trôû neân: 3 M z ≤[ σ ] (7.54) 0, 2 D3 Neáu tieát dieän khoâng phaûi hình troøn thì tuøy theo hình daïng tieát dieän laø thaønh moûng hôû, thaønh moûng kín hay chöõ nhaät ta seõ tìm vò trí ñieåm coù öùng suaát τ lôùn nhaát, roài tính öùng suaát töông ñöông σtñ , sau ñoù vieát ñieàu kieän beàn. σtñ ≤[ σ ] 7.4.2 Tröôøng hôïp thanh chòu caét Trong muïc 7.3.3 ta ñaõ bieát taïi moïi ñieåm treân maët caét chæ toàn taïi thaønh phaàn öùng suaát tieáp, tính theo coâng thöùc (7.45). Vaäy moïi ñieåm ñeàu ôû TTÖS tröôït thuaàn tuùy, vaø coù ñoä beàn töông ñöông nhau, vì giaù trò öùng suaát tieáp baèng nhau. ÖÙng suaát töông ñöông theo giaû thuyeát beàn III: Q σ =τ=⋅2 2 tñIII A ÖÙng suaát töông ñöông theo giaû thuyeát beàn IV: Q σ =3 τ= 3 tñIV A
Vaäy ñieàu kieän beàn theo giaû thuyeát beàn III: Q 2 ≤[ σ ] (7.55) A Ñieàu kieän beàn theo giaû thuyeát beàn IV: Q 3 ≤[ σ ] (7.56) A 7.4.3 Tröôøng hôïp thanh chòu uoán ngang phaúng Trong phaàn 4 muïc 7.3.4 ta ñaõ thaáy caùc ñieåm coù toïa ñoä y khaùc nhau (hay ngöôøi ta hay noùi laø "caùc ñieåm ôû caùc lôùp thôù khaùc nhau") seõ ôû caùc TTÖS khaùc nhau. Khaûo saùt laïi hình 7.24, ta nhaän thaáy treân tieát dieän coù ba loaïi TTÖS cuûa caùc ñieåm: ñôn, tröôït thuaàn tuùy, phaúng ñaëc bieät. Veà nguyeân taéc ta phaûi kieåm tra beàn ñoái vôùi caùc ñieåm nguy hieåm cuûa töøng loaïi traïng thaùi öùng suaát neâu treân. Rieâng ñoái vôùi TTÖS phaúng ñaëc bieät coù raát nhieàu lôùp thôù cuøng ôû loaïi TTÖS naøy, thì vieäc xaùc ñònh ñieåm naøo laø ñieåm nguy hieåm raát khoù khaên. Thoâng thöôøng, khi laøm baøi taäp, quy öôùc nhö sau: - Neáu tieát dieän coù daïng ñaëc bieät laø thay ñoåi beà roäng b(y) ñoät ngoät, ví duï tieát dieän hình chöõ I (H.7.23), hay L, T , thì ñieåm nguy hieåm naèm taïi toïa ñoä y tieáp giaùp giöõa thaân vaø ñeá, töùc taïi nôi beà roäng thay ñoåi ñoät ngoät. - Neáu tieát dieän coù beà roäng b(y) khoâng bieán thieân ñoät ngoät, ví duï hình chöõ nhaät, hình troøn , thì hoaëc giaùo vieân seõ chæ ñònh ñieåm (toïa ñoä y) caàn kieåm tra, hoaëc ta seõ boû qua, khoâng kieåm tra ñoái vôùi loaïi TTÖS naøy. 7.4.4 Tröôøng hôïp thanh chòu uoán xoaén ñoàng thôøi Trong tröôøng hôïp treân, tieát dieän thanh vöøa toàn taïi thaønh phaàn noäi löïc Mz vöøa toàn taïi caùc thaønh phaàn moâmen uoán Mx, M y thì duø coù toàn taïi caùc thaønh phaàn löïc caét hay khoâng ta vaãn goïi chung traïng thaùi chòu löïc naøy laø traïng thaùi chòu uoán xoaén ñoàng thôøi . Trong thöïc teá caùc thanh chòu uoán xoaén ñoàng thôøi thöôøng ñöôïc tính cho caùc truïc truyeàn chuyeån ñoäng trong caùc thieát bò maùy moùc. Khi naøy öùng suaát tieáp gaây bôûi moâmen xoaén lôùn hôn raát nhieàu so vôùi öùng suaát tieáp gaây bôûi uoán ngang phaúng. Trong tröôøng hôïp naøy öùng suaát tieáp gaây bôûi uoán ngang phaúng seõ ñöôïc boû qua.
Vaäy moãi ñieåm treân tieát dieän coù hai thanh phaàn öùng suaát: öùng suaát phaùp gaây bôûi caùc moâmen Mx, M y vaø öùng suaát tieáp gaây bôûi moâmen xoaén Mz. ÖÙng suaát phaùp tính theo coâng thöùc (7.23), öùng suaát tieáp theo caùc coâng thöùc ñöa ra trong muïc 7.3.2 veà xoaén thuaàn tuùy. Trong thöïc teá thanh chòu xoaén, goïi laø truïc , ñöôïc cheá taïo coù tieát dieän troøn. Sau ñaây ta seõ ñöa ra caùc coâng thöùc tính öùng suaát cho truïc tieát dieän troøn. Kyù hieäu baùn kính tieát dieän laø R vaø ñöôøng kính laø D, hôïp cuûa Mx vaø My laø Mu (H.7.25): 2 2 Mu= M x + M y (7.57) Mu ñöôïc goïi laø moâmen uoán. Hình 7.25: Bieåu dieãn veùctô moâmen uoán uur Löu yù veùctô Mu höôùng theo moät trong caùc ñöôøng kính cuûa hình troøn, maø moïi ñöôøng kính cuûa hình troøn ñeàu laø truïc quaùn tính chính trung taâm, vì vaäy truïc khoâng bò uoán xieân maø vaãn chòu uoán thuaàn tuùy neáu chæ chòu taùc duïng cuûa Mx vaø My. ÖÙng suaát phaùp, kyù hieäu laø σz, tính theo coâng thöùc töông töï coâng thöùc (7.14):
Mu σz =v ⋅ (7.58) Ju uur trong ñoù u, v laø hai truïc cuûa heä truïc toïa ñoä Ñeà caùc naèm trong maët caét, vôùi truïc u truøng vôùi ñöôøng taùc duïng cuûa veùctô Mu . Löu yù hình troøn coù moâmen quaùn tính tieát dieän ñoái vôùi moïi ñöôøng kính nhö nhau neân: Ju = J x = J y Coâng thöùc (7.58) vieát ñöôïc ôû daïng: Mu σz =v ⋅ Jx Töông töï nhö phaân tích trong phaàn 2 muïc 7.2.2, truïc u laø truïc trung hoøa, caùc ñieåm A, B naèm treân chu vi hình taïi ñieåm giao vôùi truïc v laø caùc ñieåm maø öùng suaát σz coù giaù trò tuyeät ñoái lôùn nhaát, taïi ñieåm A thì σz > 0, taïi ñieåm B thì σz < 0. Kyù töï σ ñeå bieåu thò giaù trò tuyeät ñoái öùng suaát phaùp lôùn nhaát, ta coù: M M σ =R u = u (7.59) Jx W x Löu yù baûng 5.1 (chöông 5), ñoái vôùi hình troøn thì π W= R3 ≈ 0, 1 D 3 (7.60) x 4 Vaäy bieåu thöùc cuoái trôû neân: M σ = u (7.61) 0, 1 D3
Hình 7.26: Traïng thaùi öùng suaát taïi ñieåm nguy hieåm treân tieát dieän truïc troøn chòu uoán xoaén ñoàng thôøi ÖÙng suaát tieáp gaây bôûi M z ñöôïc xaùc ñònh theo (7.32). Caùc ñieåm coù giaù trò öùng suaát tieáp lôùn nhaát naèm taïi chu vi cuûa tieát dieän. Kyù hieäu giaù trò öùng suaát tieáp lôùn nhaát laø τ, theo (7.33) vaø coâng thöùc xaùc ñònh J z cuûa hình troøn treân baûng 5.1 thì ta coù bieåu thöùc xaùc ñònh τ nhö sau: M M M M τ=Rz = R zz = ≈ z 3 (7.62) Jz2 J x 2 W x 0, 2 D Döïa vaøo giaù trò öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp thì ñieåm nguy hieåm treân tieát dieän laø ñieåm A vaø ñieåm B treân hình 7.25. Traïng thaùi öùng suaát taïi caùc ñieåm naøy laø TTÖS phaúng ñaëc bieät. Löu yù öùng suaát tieáp gaây bôûi Mz coù phöông vuoâng goùc vôùi baùn kính tieát dieän neân phaân toá duøng ñeå bieåu thò TTÖS coù daïng nhö treân hình 7.26a, phaân toá giôùi haïn bôûi 6 maët goàm: 2 maët beân naèm treân hai tieát dieän vuoâng goùc truïc z, caùch nhau khoaûng caùch dz; hai maët naèm treân hai maët phaúng chöùa truïc z leäch nhau goùc dϕ, hai maët coøn laïi laø hai maët cong naèm treân hai maët truï ñoàng truïc truøng vôùi truïc z, caùch nhau moät khoaûng doïc baùn kính laø d ρ . Vôùi kích thöôùc voâ cuøng beù thì 2 maët cong cuûa phaân toá coù theå coi xaáp xæ laø maët phaúng, phaân toá ñöôïc coi gaàn ñuùng nhö treân hình 7.26b. Treân hình 7.26, bieåu dieãn traïng thaùi öùng suaát taïi ñieåm coù öùng suaát phaùp mang daáu döông, töùc taïi ñieåm A treân hình 7.25. ÖÙng suaát töông ñöông theo giaû thuyeát beàn thöù III xaùc ñònh theo coâng thöùc (6.11):
2 2 σtñIII =4 τ+σ Löu yù coâng thöùc (7.59) vaø (7.62) thì bieåu thöùc cuoái trôû neân: M2 M 2 1 σ=⋅4 z += u M2 + M 2 tñIII 2 2 z u 4 Wx W x Wx Löu yù bieåu thöùc tính Mu (7.57) vaø bieåu thöùc tính Wx ñoái vôùi hình troøn (7.60), coâng thöùc cuoái trôû neân: 1 2 2 2 σ=tñIIIM z ++ M x M y (7.63) 0, 1 D3 Ñieàu kieän beàn theo giaû thuyeát beàn III coù daïng: 1 2 2 2 Mx+ M y + M z ≤σ [ ] (7.64) 0, 1 D3 ÖÙng suaát töông ñöông theo giaû thuyeát beàn thöù IV xaùc ñònh theo coâng thöùc (6.17) 2 2 σtñIV =σ+3 τ Bieán ñoåi töông töï nhö vöøa thöïc hieän ñoái vôùi bieåu thöùc σtñIII , ta coù: 1 2 2 2 σ=tñIVM x ++ M y0, 75 M z (7.65) 0, 1 D3 Ñieàu kieän beàn theo giaû thuyeát beàn IV coù daïng: 1 2 2 2 Mx++ M y0, 75 M z ≤σ [ ] (7.66) 0, 1 D3 Neáu vieát vaén taét 1 σtd = ⋅ M td (7.67) 0, 1 D3
thì töø coâng thöùc (7.63) vaø (7.65), tuøy theo giaû thuyeát beàn ñöôïc söû duïng, ta coù 2 2 2 MtdIII= MMM x + y + z (7.68) 2 2 2 MtñIV= MM x + y + 0, 75 M z (7.69) CAÂU HOÛI OÂN TAÄP LYÙ THUYEÁT 1. Trong tröôøng hôïp naøo thì thanh ñöôïc cho raèng chòu löïc ñôn giaûn. Cho bieát teân goïi vaø ñaëc ñieåm cuûa caùc tröôøng hôïp chòu löïc ñôn giaûn. 2. Trong tröôøng hôïp thanh chòu löïc phöùc taïp, treân cô sôû nguyeân lyù naøo ñeå tìm bieåu thöùc toång quaùt cuûa öùng suaát. 3. Ñeå tìm quy luaät phaân boá öùng suaát treân maët caét, ta coù theå chæ duøng caùc bieåu thöùc lieân heä giöõa öùng suaát vaø noäi löïc ñöôïc khoâng. Lyù do, phöông höôùng giaûi quyeát. 4. Ñaëc ñieåm bieán daïng cuûa thanh, töø ñoù suy ra ñaëc ñieåm TTÖS caùc ñieåm cuûa thanh. 5. Ñaëc ñieåm bieán daïng trong tröôøng hôïp treân maët caét thanh chæ toàn taïi caùc thaønh phaàn noäi löïc N z, M y, M x. Taïi sao trong tröôøng hôïp naøy traïng thaùi öùng suaát caùc ñieåm laø TTÖS ñôn. 6. Haõy chöùng minh coâng thöùc toång quaùt xaùc ñònh öùng suaát phaùp. Giaù trò öùng suaát coù phuï thuoäc vaøo loaïi vaät lieäu khoâng. 7. Coâng thöùc xaùc ñònh bieán daïng daøi töông ñoái gaây ra bôûi töøng thaønh phaàn noäi löïc N z, M z, M y. Vôùi caùc loaïi vaät lieäu khaùc nhau, trong cuøng ñieàu kieän veà kích thöôùc hình hoïc, taûi troïng thì bieán daïng coù gioáng nhau khoâng. Taïi sao. 8. Ñoä cöùng choáng keùo (neùn) laø gì. Ñoä cöùng choáng uoán laø gì. Neâu yù nghóa vaät lyù cuûa chuùng. 9. Bieåu ñoà phaân boá öùng suaát phaùp treân maët caét cuûa thanh trong caùc tröôøng hôïp chòu löïc ñôn giaûn vaø phöùc taïp gaây bôûi toå hôïp caùc thaønh phaàn N z, M z, M y coù daïng ra sao.
10. Ñeå tieát kieäm nguyeân vaät lieäu, trong tröôøng hôïp thanh chòu uoán neân choïn daïng maët caét cuûa thanh nhö theá naøo. 11. Ñöôøng trung hoøa laø gì. Laøm theá naøo ñeå dòch chuyeån song song ñöôøng trung hoøa ñeán vò trí môùi. Ñieàu naøy coù yù nghóa gì trong thöïc tieãn. 12. Caùc ñieåm treân thaønh bình coù beà daøy moûng chòu aùp suaát coù caùc öùng suaát chính naøo. Teân goïi vaø coâng thöùc xaùc ñònh chuùng. Khi bình chæ chòu aùp suaát trong thì TTÖS cuûa ñieåm ôû thaønh trong vaø thaønh ngoaøi coù gì khaùc nhau. 13. ÔÛ traïng thaùi chòu löïc laø caét taïi sao TTÖS cuûa caùc ñieåm treân maët caét laø tröôït thuaàn tuùy. Coâng thöùc xaùc ñònh öùng suaát döïa treân giaû thieát gì. 14. Ñaëc ñieåm phaân boá öùng suaát khi thanh tieát dieän troøn chòu xoaén. 15. Haõy chöùng minh coâng thöùc tính öùng suaát trong tröôøng hôïp thanh chòu xoaén tieát dieän troøn. 16. Ñoä cöùng choáng xoaén laø gì. YÙ nghóa vaät lyù. 17. Ñaëc ñieåm phaân boá öùng suaát khi thanh coù tieát dieän thaønh moûng, chòu xoaén. 18. Coâng thöùc tính öùng suaát cuûa thanh chòu xoaén coù tieát dieän thaønh moûng vaø tieát dieän chöõ nhaät. 19. Taïi sao thanh chòu xoaén thuaàn tuùy thöôøng ñöôïc choïn coù tieát dieän troøn roãng. 20. Tröôøng hôïp chòu löïc cuûa thanh nhö theá naøo thì ñöôïc goïi laø uoán ngang phaúng. Phaân bieät caùc tröôøng hôïp chòu löïc: uoán thuaàn tuùy, uoán xieân, uoán ngang phaúng, keùo leäch taâm. 21. Taïi sao ñeå tính öùng suaát tieáp trong tröôøng hôïp uoán ngang phaúng ta khoâng theå duøng coâng thöùc khi thanh chòu caét. 22. Phaân toá ñöôïc khaûo saùt ñeå chöùng minh coâng thöùc tính thaønh phaàn öùng suaát tieáp τzx vaø τzy treân tieát dieän thanh chòu uoán ngang phaúng coù gioáng nhau khoâng. Lyù do. 23. Chöùng minh coâng thöùc tính τzx vaø τzy treân tieát dieän thanh chòu uoán ngang phaúng. Caùc haïn cheá veà hình daùng hình hoïc tieát dieän khi söû duïng caùc coâng thöùc aáy. 24. Haõy cho bieát phöông chieàu öùng suaát tieáp treân tieát dieän thanh chòu uoán ngang phaúng, trong caùc tröôøng hôïp hình daïng tieát
dieän treân hình L1. 25. Caùc TTÖS giöõa caùc ñieåm treân maët caét cuûa thanh chòu uoán ngang phaúng khaùc nhau nhö theá naøo. Hình L1 26. Haõy phaân bieät khaùi nieäm ñoä cöùng choáng uoán vôùi khaùi nieäm moâmen tieát dieän choáng uoán, khaùi nieäm ñoä cöùng choáng xoaén vôùi khaùi nieäm moâmen tieát dieän choáng xoaén. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI BAØI TAÄP 7.1. Heä thoáng naâng nhö treân hình B.1 goàm caùc thanh BC, DC, daây caùp KH vaø heä thoáng eùp xi lanh - pit-toâng. Cho KH song song 2 BC; dieän tích tieát dieän thanh CB: ACB = 1200 mm ; ñöôøng kính pit-toâng: D = 110mm; ñöôøng kính caàn pit-toâng vaø thanh CN : d = 70mm. Cho raèng caùc thanh vaø xi lanh ñöôïc cheá taïo töø moät loaïi vaät lieäu, coù [ σ]k = 150 MPa, [ σ]n = 90 MPa. a) Haõy xaùc ñònh khoái löôïng lôùn nhaát, kyù hieäu m o, cuûa vaät ñöôïc naâng ñeå öùng suaát trong caùc thanh BC, DP, CN khoâng vöôït quaù giaù trò cho pheùp;
b) Khi khoái löôïng vaät naâng baèng m o thì aùp suaát caàn thieát trong xi lanh ñeå cô heä ñöôïc caân baèng baèng bao nhieâu. Khi naøy beà daøy caàn thieát cuûa thaønh xi lanh phaûi baèng bao nhieâu. Toùm taét baøi toaùn: Cho cô heä goàm caùc boä phaän ôû traïng thaùi chòu löïc keùo (neùn) ñuùng taâm; cho kích thöôùc chieàu daøi vaø ñöôøng kính caùc thanh, öùng suaát cho pheùp keùo vaø öùng suaát cho pheùp neùn. Yeâu caàu: xaùc ñònh giaù trò lôùn nhaát m o cuûa khoái löôïng m vaø aùp suaát trong xi lanh. - Kích thöôùc toái thieåu beà daøy thaønh xi lanh. Hình B.1 Hình B.2 Trình töï thöïc hieän Soá thöù töï Teân coâng vieäc Thöïc hieän coâng vieäc (1) (2) (3) Xaùc ñònh löïc taùc duïng 1 leân thanh CB, DP, NC
Caùc thanh CB, DP, NC chæ chòu lieân keát ôû hai ñaàu, vaäy heä löïc taùc duïng leân moãi thanh laø 2 phaûn löïc lieân Xaùc ñònh traïng thaùi keát. Ñieàu kieän caân baèng cuûa moãi thanh cho ta ruùt ra 1.1 chòu löïc cuûa caùc thanh nhaän ñònh heä phaûn löïc lieân keát taùc duïng leân moãi CB, DP, NC thanh laø hai löïc tröïc ñoái, coù ñöôøng taùc duïng doïc theo chieàu daøi thanh, vaäy traïng thaùi chòu löïc cuûa caùc thanh ñeàu laø keùo (hoaëc neùn) ñuùng taâm Khaûo saùt caân baèng cuûa puli. Heä löïc taùc duïng leân puli goàm: - Phaûn löïc lieân keát töø thanh BC vaø thanh NC taùc duïng taïi khôùp C, töùc N CB vaø N CD - Löïc caêng cuûa daây caùp taïi 2 nhaùnh. Cho raèng daây caùp khoâng daõn, thì löïc caêng cuûa hai nhaùnh nhö nhau, kyù hieäu laø T. Xeùt caân baèng vaät naëng khoái löôïng m thì deã daøng nhaän thaáy T = mg (B.1) Heä löïc taùc duïng leân puli laø heä löïc phaúng. Ñieàu kieän Xaùc ñònh phaûn löïc lieân caân baèng cho ta thieát laäp 3 phöông trình caân baèng. keát taïi C leân thanh BC 1.2 Tuy nhieân, vì ta chæ caàn xaùc ñònh 2 aån neân ta chæ duøng vaø thanh NC, kyù hieäu 2 phöông trình, ñoù laø phöông trình caân baèng hình laàn löôït laø N CB vaø N CD chieáu cuûa heä löïc leân hai phöông vuoâng goùc nhau. Treân hình B.2 bieåu thò hai truïc toïa ñoä xy vaø caùc veùctô bieåu thò caùc löïc taùc duïng leân puli. Goác toïa ñoä vaø ñieåm ñaët cuûa caùc veùctô löïc ñaët taïi ñieåm C ñeå tieän thöïc hieän pheùp laáy hình chieáu. Caùc phöông trình caân baèng coù daïng: ∑ F = 0  ix  ⇒ −NCBcos α+ B N CD cos α− D T cos α= B 0   (B.2) ∑ Fiy = 0   ⇒ NCBsinα+ B TN sin α− B CD sin α+= D T 0 Vôùi caùc kích thöôùc ñaõ cho ta coù
o o αB = 32 ; αD = 45 (B.3) Giaûi heä phöông trình (B.2), löu yù (B.3) ta thu ñöôïc caùc giaù trò caàn tìm NCB = 2, 14 T ; NCD = 3, 77 T (B.4) Löïcuur taùc duïng leân thanh CB coù chieàu ngöôïc vôùi veùctô NCB vaäy thanh CB chòu keùo. Töông töï thanh CD chòu neùn. Giaù trò m o caàn thoûa maõn ñieàu kieän beàn cuûa caû 2 thanh BC vaø DC. Ñieàu kieän beàn cuûa thanh CB: NCB σCB = ≤σ[ ] k ACB Löu yù giaù trò NCB töø (B.4), ta coù 2, 14 T ≤[ σ ] k ACB Löu yù bieåu thöùc (B.1) ta suy ra 2, 14 .m . g ≤[ σ ] A k Xaùc ñònh giaù trò khoái CB 2 löôïng m toái ña, kyù hieäu Ñieàn caùc giaù trò soá vaøo, ta coù ñöôïc 150. 106 . 1200 . 10 − 6 laø m o m= = 85838 kg (B.5) 2, 14 . 9 , 8 Ñieàu kieän beàn cuûa thanh CD: NCD σCD = ≤σ[ ] n ACD Tieán haønh töông töï treân ta coù giaù trò thöù 2 cuûa m. π 90. 106⋅ ⋅ 70 2 ⋅ 10 − 6 m=4 = 9187, 2 kg (B.6) 3, 77 . 9 , 8 So saùnh hai giaù trò m töø (B.5) vaø (B.6) ta coù giaù trò khoái löôïng toái ña mo baèng:
mo = 8582,8 kg AÙp suaát trong xi lanh caàn taïo ra löïc baèng löïc doïc thanh CD, töùc baèng N CD : π Xaùc ñònh aùp suaát p ⋅D2 ⋅ p = N 3 4 CD trong xi lanh 3, 77 . 8582 ,., 8 9 8 Vaäy p= = 33, 36 . 10 6 Pa π ⋅1102 ⋅ 10 − 6 4
Thaønh xi lanh caàn coù beà daøy sao cho öùng suaát khoâng vöôït quaù giaù trò cho pheùp, cho raèng xi lanh thuoäc loaïi oáng truï hôû thaønh moûng chòu aùp suaát, aùp duïng coâng thöùc (7.12), ta coù: Beà daøy toái thieåu cuûa p. r 4 σ= ≤σ [ ] thaønh xi lanh θ t k Vaäy beà daøy t cuûa thaønh p. r 33 , 36 106 55 10 − 3 t = = = 12, 21 . 10 −3 m [σ ] 150. 10 6 7.2. Ngöôøi ta duøng 2 daây caùp DB vaø DC (H.B.1a) ñeå treo vaät khoái löôïng m. a) Cho m = 600 kg. Haõy tính giaù trò öùng suaát phaùp xuaát hieän trong moãi daây caùp. b) Neáu öùng suaát cho pheùp cuûa vaät lieäu daây caùp laø 280 MPa thì khoái löôïng m lôùn nhaát laø bao nhieâu. Hình B.1 Trình töï thöïc hieän Soá thöù töï Teân coâng Thöïc hieän
coâng vieäc vieäc (1) (2) (3) Söû duïng ñieàu kieän caân baèng taïi ñieåm D. Heä löïc taùc duïng leân ñieåm D goàm: troïng löôïng P cuûa khoái löôïng m, löïc keùo cuûa daây BD vaø daây CD, kyù hieäu laàn löôït laø F 1 vaø F 2. Heä löïc ñöôïc bieåu thò nhö treân hình B.1b. Daây laø heä löïc phaúng ñoàng quy, ta vieát ñöôïc 2 phöông trình caân baèng Xaùc ñònh löïc o o  ∑ Fix = 0⇒ − F1cos 60 + F 2 cos 45 = 0  1 taùc duïng treân  (B.1) ∑ F= 0⇒ F cos 30o+ F cos 45 o − P = 0  caùc daây caùp iy 1 2  Giaûi heä hai phöông trình treân ta suy ra F1 = 0,732 P; F 2 = 0,5176 P (B.2) Löïc taùc duïng taïi D leân caùc daây coù chieàu ngöôïc vôùi chieàu töø daây taùc duïng leân ñieåm D, töùc ngöôïc vôùi chieàu bieåu dieãn treân ( H.B.1b). Vaäy caùc daây caùp ñeàu chòu keùo.
ÖÙng suaát treân daây caùp BD: F1 0, 732 P σ1 = = A1 A 1 π vôùi P = m.g; A= ⋅ d 2 1 4 1 Xaùc ñònh öùng Ñieàn soá vaøo ta ñöôïc: 2 suaát trong 0, 732 . 600 ., 9 8 σ = = 152, 3 N/mm 2 moãi daây caùp 1 π ⋅62 4 Töông töï, öùng suaát treân daây caùp CD: F 0, 5176 . 600 ., 9 8 σ==2 = 155, 0 N/mm 2 2 π A2 ⋅52 4 Trong hai daây caùp thì daây caùp CD coù öùng suaát lôùn hôn neân ñieàu kieän beàn caàn thoûa maõn tröôùc tieân ñoái vôùi daây naøy: Xaùc ñònh giaù σ ≤ 280 MPa = 280.10 6 Pa trò lôùn nhaát 2 töø coâng thöùc tính σ ta vieát ñöôïc: 3 cuûa khoái 2 05176, ,m 98 löôïng m ñöôïc σ = ≤ 280. 10 6 Pa 2 π ⋅52 treo 4 Suy ra m ≤ 1083,6 kg 7.3. Moâtô coù coâng suaát N = 11 kw cung caáp naêng löôïng cho moät maùy coâng taùc nhôø truïc truyeàn ñoäng coù tieát dieän troøn ñaëc. Truïc coù öùng suaát tieáp cho pheùp [ τ] = 70 MPa. a) Haõy tính ñöôøng kính nhoû nhaát cho pheùp cuûa truïc, bieát raèng truïc quay vôùi vaän toác voøng n = 600 vg/ph. b) Neáu vaän toác voøng cuûa truïc giaûm thì ta caàn taêng hay giaûm ñöôøng kính truïc. Toùm taét baøi toaùn: Cho cheá ñoä laøm vieäc vaø öùng suaát cho pheùp. Yeâu caàu: xaùc ñònh kích thöôùc truïc.
Trình töï thöïc hieän Soá thöù töï Teân coâng vieäc Thöïc hieän coâng vieäc (1) (2) (3) Truïc truyeàn ñoäng ôû traïng thaùi chòu löïc xoaén thuaàn tuùy. Vôùi tieát dieän troøn ñaëc, thì öùng suaát lôùn nhaát treân tieát dieän ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc (7.38) Mz τmax = ⋅ R (B.1) Jz trong ñoù: a) M z - moâmen xoaén taùc duïng leân truïc ñöôïc tính töø coâng thöùc N = M z (B.2) vôùi ω - vaän toác goùc cuûa truïc truyeàn 2π.n π n ω = = sec −1 (B.3) 60 30 b) J z - moâmen quaùn tính dieän tích ñoäc cöïc cuûa tieát Xaùc ñònh ñöôøng kính dieän, ñoái vôùi tieát dieän troøn ñaëc thì töø baûng 5.1 ta coù: 1 π truïc J= R 4 z 2 Kyù hieäu d - ñöôøng kính cuûa tieát dieän thì J π π d3 z =R3 = (B.4) R 2 16 Söû duïng caùc coâng thöùc (B.2 ÷ B.4), töø (B.1) ta vieát ñöôïc ñieàu kieän beàn τmax ≤ [τ] ôû daïng: N ⋅30 ⋅ 16 ≤[] τ (B.5) π.n . π d 3 30⋅N ⋅ 16 Vaäy d ≥ 3 (B.6) π2n [ τ ]
Ñieàn caùc giaù trò soá vaøo baát ñaúng thöùc treân: 30⋅ 11 ⋅ 103 ⋅ 16 d≥3 =0, 034 m = 34 mm π⋅2600 ⋅ 70 ⋅ 10 6 Thay ñoåi ñöôøng kính Töø baát ñaúng thöùc (B.5) ta suy ra khi n giaûm thì d phaûi 2. khi vaän toác n giaûm. taêng. 7.4. Moâtô A coù vaän toác voøng n 1 = 1800 vg/ph cung caáp naêng löôïng cho hai maùy coâng taùc theo sô ñoà treân hình B.1, coâng suaát N N n4 1 tieâu thuï treân maùy B vaø maùy C laàn löôït laø B = 7,5 H P, C = 6 H P. Tyû soá truyeàn giöõa truïc 1 vaø truïc 4 laø i41 = = vaø giöõa n1 1 n3 1 truïc 3 vaø truïc 2 laø i32 = = . Cho bieát [ τ] = 40 MPa. n2 2 a) Xaùc ñònh ñöôøng kính toái thieåu cuûa caùc truïc 1, 2, 3, 4. b) Neáu ôû moãi boä bieán toác coâng suaát bò thaát thoaùt 10% thì ñöôøng kính cuûa caùc truïc seõ τ bò thay ñoåi nhö theá naøo. Hình B.1
Trình töï thöïc hieän Soá thöù töï Teân coâng vieäc Thöïc hieän coâng vieäc (1) (2) (3) Xaùc ñònh ñöôøng Caùc truïc truyeàn ñeàu ôû traïng thaùi xoaén thu aàn tuùy. Coâng thöùc xaùc ñònh 1. kính cuûa caùc truïc ñöôøng kính truïc ñöôïc söû duïng laø coâng thöùc (B.6) trong baøi taäp 7.3. Töø sô ñoà truyeàn ñoäng (H.B.1) vaø döõ lieäu ñaàu baøi ta coù: n 1=n 2 = 1800 vg/ ph Xaùc ñònh vaän toác 1.1. 1 voøng cuûa caùc truïc n =i ⋅=⋅ n1800 = 900 vg/ ph 3 32 2 2 n4 = i 41 .n 1 = 1.n 1 = 1800 vg/ph N N 3= B = 7,5Hp = 7,5.746 = 5595w N N Xaùc ñònh coâng suaát 4= C = 6Hp = 6.746 = 4476w 1.2. N N truyeàn cuûa moãi truïc 2= 3 = 5595w N N N 1= 2 + 4 = 5595 + 4476 = 10.471w Söû duïng coâng thöùc (B.6) baøi taäp 7.3 ta coù: 30⋅N ⋅ 16 N d ≥3 = 3, 65 3 (B.1) π2 ⋅n [] τ n[]τ Ta laàn löôït coù ñöôøng kính caùc truïc nhö sau: N 10471 d ≥365,3 1 = 365 , 3 1 6 Truïc 1: n1 []τ 1800. 40 . 10 Tính ñöôøng kính 1.3. =0, 01895m = 18 , 95 mm caùc truïc N 5595 d ≥3, 653 2 = 3 , 65 3 2 6 Truïc 2: n2 []τ 1800. 40 . 10 =00156,m = 156 , mm N 5595 d ≥365,3 3 = 365 , 3 3 6 Truïc 3: n3 []τ 900. 40 . 10 =001962,m = 1962 , m
N 4476 d ≥3, 653 4 = 3 , 65 3 4 6 Truïc 4: n4 []τ 1800. 40 . 10 =0, 0145m = 14 , 5 mm Khi coâng suaát bò thaát thoaùt ôû boä truyeàn, thì ñeå ñaûm baûo coâng suaát taïi caùc maùy coâng taùc B, C khoâng ñoåi, coâng suaát taïi moâ tô A phaûi lôùn hôn toång coâng suaát söû duïng cuûa maùy B vaø maùy C. Coâng suaát truyeàn töø truïc 2 ñeán truïc 3 khoâng coøn baèng coâng suaát truyeàn treân truïc 3 maø baèng: N100 N 100 Xaùc ñònh laïi ñöôøng 2= 3 =⋅5595 = 6216. 667w 90 90 kính caùc truïc neáu 2. keå ñeán thaát thoaùt Coâng suaát truyeàn töø truïc 1 ñeán truïc 4, töông töï, baèng: coâng suaát taïi caùc boä N100 N 100 1,4= 4 =⋅4476 = 4973, 333w truyeàn. 90 90 Coâng suaát truyeàn töø truïc 1 ñeán caùc truïc 3,4 seõ baèng: N N N 1= 2 + 1,4 = 6216,667 + 4973,333 = 11190w N N Sau khi coù caùc giaù trò môùi cuûa 1 vaø 2 , ta tính laïi ñöôøng kính d 1 vaø d 2 theo coâng thöùc (B.1) (hoïc vieân thöïc hieän tieáp phaàn tính toaùn) 7.5. Cho thanh coù sô ñoà chòu löïc nhö treân hình B.1a vaø tieát dieän coù hình daïng vaø kích thöôùc nhö treân hình B.1 trong baøi taäp 5.1. Haõy xaùc ñònh: a) ÖÙng suaát phaùp keùo lôùn nhaát vaø öùng suaát neùn coù giaù trò tuyeät ñoái lôùn nhaát. b) ÖÙng suaát tieáp theo phöông y coù giaù trò lôùn nhaát. Toùm taét baøi toaùn: Cho sô ñoà löïc cuûa thanh Yeâu caàu xaùc ñònh: ÖÙng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp coù giaù trò tuyeät ñoái lôùn nhaát.
Hình B.1 Trình töï thöïc hieän Soá thöù töï Teân coâng Thöïc hieän coâng vieäc vieäc (1) (2) (3) Heä ngoaïi löïc taùc duïng leân daàm theå hieän treân Xaùc ñònh phaûân löïc lieân 1. (H.B.1b), trong ñoù Y vaø Y laø caùc phaûn löïc lieân keát A C keát. Söû duïng phöông trình caân baèng cuûa heä ngoaïi
löïc ñeå xaùc ñònh Y A vaø Y C: phöông trình caân baèng moâmen ñoái vôùi truïc x ñi qua ñieåm A vaø phöông trình caân baèng moâmen vôùi truïc x ñi qua ñieåm C: ∑mxA= 0⇒ − 104. + Y C . 8412 − . = 0   (B.1) ∑mxC= 0⇒ − Y A . 810444 + . − . = 0  Giaûi heä hai phöông trình ta coù ñöôïc: YC = 11 kN; Y A = 3kN Thanh AD ôû traïng thaùi chòu uoán ngang phaúng trong maët phaúng zy, do vaäy caùc bieåu ñoà noäi löïc caàn veõ laø bieåu ñoà Q vaø M (H.B.1c) d)) Veõ bieåu ñoà noäi löïc vaø y x Töø bieåu ñoà Q vaø M ta nhaän thaáy maët caét nguy 2. xaùc ñònh maët caét nguy y x hieåm laø maët caét ñi qua ñieåm C, nôi coù giaù trò Q vaø hieåm. y Mx lôùn nhaát so vôùi moïi maët caét khaùc treân toaøn thanh. Giaù trò Q y, M x taïi maët caét ñi qua C. Qy = 7kN, M x = 16 kN.m ÖÙng suaát phaùp σz tính theo coâng thöùc (7.14). Bieåu ñoà phaân boá öùng suaát phaùp nhö treân hình 7.24b), hay hình 7.6. Giaù trò öùng suaát keùo lôùn nhaát, kyù hieäu σk,max vaø öùng suaát neùn lôùn nhaát, kyù hieäu σn, max , tính theo coâng thöùc (7.15) vaø (7.16). Mx M x σ=k,max; σ= n ,max (B.2) Xaùc ñònh öùng suaát Jyxk/ Jy xn / 3. phaùp keùo vaø neùn lôùn Ñeå coù caùc ñaëc tröng hình hoïc cuûa tieát dieän: J x, y k, y n nhaát ta söû duïng keát quaû tính toaùn cuûa baøi taäp 5.1. Trong baøi taäp 5.1 ta ñaõ xaùc ñònh ñöôïc heä truïc quaùn tính chính trung taâm xy, tính ñöôïc moâmen quaùn tính chính ñoái vôùi truïc x. -6 4 Jx = 53,125 10 m Khoaûng caùch xa nhaát ñeán truïc x ôû hai phaàn cuûa tieát dieän, kyù hieäu laø h 1, h 2 (H.B.2)
Hình B.2 h2 = 125mm; h 1 = 200 - 125 = 75mm Taïi maët caét ñi qua C nôi daáu cuûa M x laø aâm, h 1 chính laø y k vaø h 2 laø yn trong coâng thöùc (B.2), coøn taïi maët caét ñi qua B nôi daáu cuûa M x laø döông thì h 1 laø y n vaø h2 laø y k. Vì hai giaù trò h 1 vaø h 2 khoâng baèng nhau neân ñeå tìm giaù trò σk, max vaø σn,max ta kieåm tra giaù trò lôùn nhaát keùo vaø neùn taïi caû hai tieát dieän. Maët caét B: 12. 103 . 125 . 10 − 3 σk,max = = 28, 24 MPa 53, 125 . 10 −6 12. 103 .( 200− 125 ). 10 − 3 σn,max = = 22, 59 MPa 53, 125 . 10 −6 Maët caét C: 16. 103⋅ ( 200 − 125 ). 10 − 3 σk,max = = 22, 59 MPa 53, 125 . 10 −6 16. 103 . 125 . 10 3 σn,max = = 37, 65 MPa 53, 125 . 10 −6 Vaäy ñoái vôùi toaøn thanh thì: σk, max = 28,24 MPa σn,max = 37,65 MPa. Xaùc ñònh öùng suaát tieáp ÖÙng suaát tieáp theo phöông y, τ , tính theo coâng 4. zy theo phöông y lôùn nhaát thöùc (7.50). Bieåu ñoà phaân boá giaù trò τzy (y) nhö treân
hình 7.21, theo ñoù ta thaáy, noùi chung, giaù trò τzy lôùn nhaát taïi caùc ñieåm naèm treân truïc x, vaäy. Sx ( y= 0 ). Qy τzy ,max = Jx. b ( y = 0 ) Theo H.B.1 baøi taäp 5.1 ta coù b(y = 0) = 50.10 –3m vaø –4 3 töø keát quaû baøi ñoù thì S x (y = 0) = 3,906.10 m . 3, 906 . 10−4 7 10 3 Vaäy τzy ,max = = 1, 03 MPa 5312510, .−6 5010 − 3 7.6. Cho sô ñoà chòu löïc nhö treân hình B.1, cuûa baøi taäp 5.2. Haõy a) Xaùc ñònh ñieåm nguy hieåm theo giaû thuyeát beàn Tresca. b) Söû duïng giaû thuyeát beàn Von-Mises ñeå xaùc ñònh ñöôøng kính D cuûa truïc, cho [ σ] = 14 kN/cm 2. Trình töï thöïc hieän Soá thöù töï Teân coâng vieäc Thöïc hieän coâng vieäc (1) (2) (3) Söû duïng keát quaû veõ bieåu ñoà noäi löïc töø baøi taäp 5.2, treân thanh toàn taïi caùc thaønh phaàn noäi löïc moâmen uoán vaø moâmen xoaén, thì nhö ñaõ trình baøy trong muïc 7.4.4, ta seõ coi thanh nhö chæ chòu uoán vaø xoaén, boû qua aûnh höôûng cuûa caùc löïc caét Q x, Q y trong tröôøng hôïp naøy, öùng suaát taïi ñieåm nguy hieåm ñöôïc tính Xaùc ñònh maët theo coâng thöùc (7.67), vôùi M tính theo (7.68) hoaëc (7.69). 1. td caét nguy hieåm Vaäy maët caét nguy hieåm seõ laø maët caét coù M td lôùn nhaát. Töø caùc bieåu ñoà noäi löïc treân hình B.5 cuûa baøi giaûi baøi taäp 5.2 ta nhaän thaáy maët caét nguy hieåm coù theå taïi B hoaëc taïi C vôùi giaù trò caùc thaønh phaàn moâmen noäi löïc nhö sau: Taïi maët caét B: Mx = 48kN.cm; M y = 0; M z = 10 kN.cm
Taïi maët caét C: Mx = 18 kN.cm; M y = 10 kN.cm; M z = 10 kN.cm Tính M tñ theo giaû thuyeát beàn Tresca (giaû thuyeát beàn thöù III) taïi B vaø C ta coù: 2 2 2 MtñIII, B =48 ++ 0 10 = 49, 03 kN.cm 2 2 2 MtñIII, C =18 + 10 + 10 = 22,89 kN.cm So saùnh M tñIII,B vaø M tñIII,C thì ta thaáy M tñIII,B lôùn hôn, vaäy maët caét nguy hieåm laø maët caét B. Vaäy sau naøy ta seõ duøng caùc giaù trò thaønh phaàn moâmen noäi löïc taïi maët caét B ñeå tính toaùn. Treân maët caét B coù hai thaønh phaàn M x vaø M z khaùc khoâng (H.B.2). Ñieåm nguy hieåm laø ñieåm H vaø K nôi coù öùng suaát tieáp vaø giaù trò öùng suaát phaùp lôùn nhaát. Taïi ñieåm H öùng suaát phaùp coù daáu döông, taïi ñieåm K - daáu aâm. Giaù trò tuyeät ñoái σ cuûa öùng suaát phaùp taïi H vaø K tính theo coâng thöùc (7.61), vì M y = 0, M neân: σ = x 0, 1 D3 Xaùc ñònh ñieåm nguy hieåm vaø bieåu thöùc öùng 2. suaát töông ñöông taïi ñieåm nguy hieåm Hình B.2
ÖÙng suaát tieáp taïi caùc ñieåm H, K coù giaù trò tính theo coâng thöùc (7.62): M τ = z 0, 2 D3 ÖÙng suaát töông ñöông taïi caùc ñieåm treân, theo giaû thuyeát beàn Tresca, tính theo coâng thöùc (7.67) 1 1 σ=tñIII ⋅M tñIII = ⋅ 49, 03 (B.1) 01,D3 01 , D 3 Trong coâng thöùc treân, vì ñöôøng kính tieát dieän chöa bieát neân ta chöa theå tính ra ñöôïc giaù trò σtñ cho ñieåm nguy hieåm.
ÖÙng suaát töông ñöông taïi ñieåm nguy hieåm, theo giaû thuyeát beàn Von-Mises (giaû thuyeát beàn thöù IV) tính theo coâng thöùc (7.67): 1 σtñIV = ⋅ M tñIV (B.2) 0, 1 D3 Trong bieåu thöùc treân, MtñIV tính theo coâng thöùc (7.69): 22 22 2 MtñIV=++ M x M y075, M z =+ 48 07510 ,. = 488 ,. kN cm (B.3) Xaùc ñònh Ñieàu kieän beàn coù daïng: ñöôøng kính σ ≤ [σ] 3. truïc theo giaû tñ hay thuyeát beàn 1 Von-Mises ⋅Mtñ ≤ [ σ ] 0, 1 D3 Töø ñaây suy ra bieåu thöùc xaùc ñònh ñöôøng kính D cuûa truïc M D ≥ 3 tñ (B.4) 0, 1 [σ ] Ñieàn giaù trò M tñ tính töø coâng thöùc (B.3) ta coù: 48, 8 D≥3 =3, 26 cm = 32 , 6 mm 0, 1 . 14 Ta choïn giaù trò D = 35 mm Qua caùc baøi taäp höôùng daãn caùc baïn hoïc vieân coù theå ruùt ra trình töï chung cuûa caùc baøi toaùn ñöôïc thöïc hieän nhö sau: Böôùc 1: Xaùc ñònh phaûn löïc lieân keát Böôùc 2: Veõ bieåu ñoà noäi löïc, sau ñoù xaùc ñònh maët caét nguy hieåm. Böôùc 3: Xaùc ñònh ñieåm nguy hieåm treân maët caét nguy hieåm. Tính hoaëc laäp bieåu thöùc öùng suaát töông ñöông taïi ñieåm nguy ñieåm. Böôùc 4: Söû duïng ñieàu kieän beàn ñeå thöïc hieän 1 trong 3 loaïi baøi toaùn sau:
Chöông 8 BIEÁN DAÏNG CUÛA THANH 8.1 MÔÛ ÑAÀU Trong chöông naøy ta seõ nghieân cöùu phöông phaùp tính bieán daïng chung cuûa toaøn thanh. Trong chöông 5 ta ñaõ ñeà caäp ñeán khaùi nieäm bieán daïng taïi moät ñieåm. Keát quaû bieán daïng taïi moïi ñieåm cuûa vaät theå taïo thaønh bieán daïng cuûa toaøn vaät. Ñoái vôùi vaät theå daïng thanh, bieán daïng goàm ba loaïi: - Bieán daïng daøi , hay coøn goïi laø ñoä daõn daøi , kyù hieäu ∆l, cuûa toaøn thanh döôùi taùc duïng cuûa thaønh phaàn noäi löïc keùo (neùn) ñuùng taâm N z (H.8.1a); - Bieán daïng xoaén , hay coøn goïi laø goùc xoaén , kyù hieäu ∆ϕ hay ñôn giaûn laø ϕ cuûa vaø toaøn thanh döôùi taùc duïng cuûa thaønh phaàn noäi löïc moâmen xoaén M z (H.8.1b); - Ñoä voøng , kyù hieäu laø y, vaø goùc xoay , kyù hieäu laø θ, cuûa maët caét ngang döôùi taùc duïng cuûa thaønh phaàn noäi löïc moâmen uoán trong tröôøng hôïp thanh chòu uoán thuaàn tuùy hay uoán ngang phaúng (H.8.1c).
Hình 8.1: Caùc loaïi bieán daïng ñôn giaûn cuûa thanh Treân hình 8.1c bieåu thò tröôøng hôïp thanh chòu uoán trong maët phaúng zy döôùi taùc duïng cuûa thaønh phaàn noäi löïc moâmen uoán Mx. Ñöôøng a - a bieåu thò hình chieáu treân maët toïa ñoä zy cuûa tieát dieän trong maët caét vuoâng goùc truïc z, tröôùc khi thanh bò bieán daïng, coøn ñöôøng a' - a' laø hình chieáu cuûa tieát dieän sau khi thanh bò bieán daïng, töùc vò trí cuûa a - a sau khi thanh bò bieán daïng. Treân hình 8.1c goùc xoay θ bieåu thò bôûi kyù hieäu θx - goùc xoay quanh truïc x. Caùc phöông phaùp ñeå tính caùc ñaïi löôïng bieán daïng toaøn thanh vöøa neâu treân ( ∆l, ϕ, y, θ) coù theå chia laøm hai höôùng chính: 1- Tích phaân phöông trình vi phaân bieåu thò quan heä bieán daïng vôùi caùc ñaïi löôïng veà noäi löïc, ñaëc tröng hình hoïc tieát dieän, tính chaát cô hoïc cuûa vaät lieäu thanh. Vieäc tính tích phaân coù theå baèng phöông phaùp giaûi tích, goïi laø phöông phaùp tích phaân tröïc tieáp, hoaëc baèng caùc phöông phaùp bieán theå töø phöông phaùp giaûi tích, hay baèng caùc phöông phaùp gaàn ñuùng. 2- Söû duïng quan heä veà naêng löôïng giöõa coâng cuûa ngoaïi löïc vaø naêng löôïng tích luõy trong thanh khi thanh bieán daïng. Phöông phaùp naøy goïi laø phöông phaùp naêng löôïng . Thöïc teá cho thaáy phöông phaùp naêng löôïng ñeã söû duïng hôn nhieàu khi duøng cho caùc baøi toaùn phöùc taïp khaùc nhau vì vaäy phöông phaùp naøy ñöôïc cho laø phöông phaùp vaïn naêng, ñöôïc söû duïng phoå bieán hôn. Tuy nhieân trong giaùo trình naøy seõ trình baøy moät vaøi phöông phaùp cuûa höôùng thöù nhaát vaø phöông phaùp naêng löôïng. 8.2 PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN 8.2.1 Phöông phaùp tích phaân tröïc tieáp 1- Ñaët vaán ñeà Ñeå tính bieán daïng daøi, bieán daïng xoaén, goùc xoay ta seõ laàn löôït söû duïng caùc bieåu thöùc vi phaân 7.7, 7.31, 7.8 ôû chöông 7: dl N = z (8.1) dz EA
dϕ M = z (8.2) dz GJ z dθ M x= x (8.3) dz EJ x Trong coâng thöùc (8.1), ta thay kyù hieäu dl o baèng kyù hieäu dl vì moïi ñieåm treân tieát dieän ñeàu coù bieán daïng daøi nhö nhau theo phöông z döôùi taùc duïng cuûa Nz. Trong caùc coâng thöùc (8.1) ÷ (8.3) thì dl , d ϕ, d θx laø bieán daïng cuûa ñoaïn thanh chieàu daøi phaân toá dz. dl d ϕ dθ , , x ñöôïc goïi laàn löôït laø bieán daïng daøi töông ñoái, goùc xoaén töông ñoái, goùc xoay töông ñoái. dz dz dz 2- Ñoä daõn daøi Ñeå tính ñoä daõn daøi (bieán daïng daøi) cuûa toaøn thanh ta söû duïng coâng thöùc (8.1). Ta coù bieán daïng daøi d l cuûa phaân toá chieàu daøi dz cuûa thanh ñöôïc bieåu thò bôûi coâng thöùc N dl= z dz (8.4) EA Ñoä bieán daïng ∆l cuûa toaøn thanh seõ baèng toång toaøn boä bieán daïng daøi cuûa caùc phaân toá chieàu daøi dz cuûa thanh khi chia thanh thaønh caùc ñoaïn coù chieàu daøi dz. N ∆l = dl = z dz (8.5) ∑ ∫ EA l trong ñoù l - chieàu daøi toaøn thanh. Sau ñaây ta vieát coâng thöùc (8.5) cho moät soá tröôøng hôïp ñaëc bieät.
N a) Khi tyû soá z coù giaù trò khoâng ñoåi treân toaøn chieàu daøi thanh. EA N. l ∆l = z (8.6) EA Nz b) Khi, tyû soá coù giaù trò khoâng ñoåi treân töøng ñoaïn thanh li, li - chieàu daøi cuûa ñoaïn thöù i, i = 1,n , vôùi n laø toång caùc ñoaïn EA thanh ñöôïc chia, töùc n ∑li = l (8.7) i=1 thì: ∆l = Σ∆ l i (a) Nz  trong ñoù: ∆li =  ⋅ l i (b) EA  i Löu yù bieåu thöùc (b) thì bieåu thöùc (a) trôû neân: n Nz  ∆l =∑   ⋅ l i i=1 EA  i 3- Goùc xoaén Tröôøng hôïp tieát dieän thanh hình troøn Luùc naøy, söû duïng coâng thöùc (8.2), ta seõ tính goùc xoaén cuûa toaøn thanh. Löu yù veà maët toaùn hoïc thì hình thöùc cuûa coâng thöùc (8.1) vaø (8.2) gioáng nhau neân laäp luaän töông töï nhö trong muïc tính ñoä daõn daøi vöøa trình baøy ôû treân ta seõ thu ñöôïc caùc coâng thöùc töông töï nhö (8.5 ÷ 8.7):
Bieåu thöùc tích phaân xaùc ñònh goùc xoaén toaøn thanh M ϕ = z dz (8.8) ∫ GJ l z M Khi tyû soá z coù giaù trò khoâng ñoåi treân toaøn chieàu daøi thanh: GJ z M. l ϕ = z (8.9) GJ z Mz Khi tyû soá coù giaù trò khoâng ñoåi trong töøng ñoaïn thanh li, sao cho: GJ z n ∑li = l i=1 n Mz  thì ϕ = ∑  li (8.10) i=1 GJ z  i dϕ Tröôøng hôïp tieát dieän thanh coù thaønh moûng kín: Trong tröôøng hôïp naøy ta khoâng söû duïng ñöôïc bieåu thöùc tính theo (8.2). dz dϕ Sau ñaây ta seõ phaûi thieát laäp bieåu thöùc cho tröôøng hôïp tieát dieän thanh coù thaønh moûng kín. Löu yù coâng thöùc (7.38) tính öùng dz suaát tieáp treân tieát dieän thanh thaønh moûng kín. M τ(s ) = z (8.11) 2A t( s )
Treân hình 8.2 bieåu thò tieát dieän thaønh moûng, s laø toïa ñoä töï nhieân vò trí doïc theo ñöôøng trung bình cuûa thaønh. dϕ Ñeå tìm bieåu thöùc , goïi laø goùc xoaén töông ñoái , hay goùc xoaén tyû ñoái , ta seõ tính coâng tích luõy cuûa ñoaïn thanh chieàu daøi dz, dz kyù hieäu dU, khi thanh bò bieán daïng xoaén. Tuaân theo ñònh luaät Huùc thì quan heä giöõa bieán daïng vôùi öùng suaát laø tuyeán tính tuyeät ñoái, hay giöõa bieán daïng cuûa thanh vôùi giaù trò noäi löïc laø tuyeán tính tuyeät ñoái, ta coù quan heä giöõa M z vaø d ϕ bieåu thò nhö treân hình 8.3. Vaäy coâng dU baèng: 1 dU= M d ϕ (8.12) 2 z Maët khaùc, bieåu thöùc dU coù theå ñöôïc tính bôûi bieán daïng goùc sinh bôûi öùng suaát tieáp treân moïi ñieåm cuûa ñoaïn thanh dz [1]. 1 dU= τ 2 dV (8.13) 2G Coâng thöùc (8.13) trong giaùo trình naøy ñöôïc coâng nhaän, maø khoâng chöùng minh. Trong coâng thöùc (8.13) thì dV laø theå tích cuûa ñoaïn thanh coù chieàu daøi phaân toá dz: dV= dz.∫ t ( s ) ds (8.14) s
Hình 8.2: Ñoaïn thanh phaân toá Hình 8.3: Quan heä giöõa moâmen thanh thaønh moûng kín xoaén vaø bieán daïng xoaén Keát hôïp coâng thöùc (8.12) vaø (8.13), löu yù (8.14) vaø (8.11)ta thu ñöôïc ñaúng thöùc sau: 2  1 1 M  M dϕ = z  t( s ) ds  dz 2z 2 G ∫  2A t( s )   Vaäy suy ra: dϕ M ds = z (8.15) 2 ∫ dz4A G t( s ) Töø coâng thöùc (8.15) ta suy ra: M ds  dϕ = z  dz (8.16) 2 ∫ 4A G t( s ) 
Vaäy goùc xoaén ϕ cuûa toaøn thanh seõ thu ñöôïc khi ta tieán haønh tích phaân veá phaûi bieåu thöùc (8.16) treân toaøn chieàu daøi thanh: M ds  ϕ = z  dz (8.17) ∫2 ∫ t( s )  l 4A G  Tröôøng hôïp tieát dieän thanh coù thaønh moûng hôû söû duïng coâng thöùc (7.39) ta coù M dϕ = z dz (8.18) GJ z trong ñoù Jz tính theo coâng thöùc (7.41). Goùc xoaén toaøn thanh ñöôïc tính baèng caùch tích phaân bieåu thöùc veá phaûi cuûa (8.18) treân toaøn chieàu daøi thanh. Tröôøng hôïp tieát dieän thanh coù daïng laø hình chöõ nhaät heïp, ta coâng nhaän bieåu thöùc sau: dϕ M = z (8.19) dz βGbt 3 vôùi β coù caùc giaù trò theo baûng 8.1. Baûng 8.1 b/t 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 ∞ βββ 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 4- Goùc xoay Sau ñaây ta xeùt tröôøng hôïp thanh chòu uoán bôûi moâmen M x. Söû duïng coâng thöùc (8.3) ta tính goùc xoay cuûa tieát dieän coù vò trí treân truïc ñònh bôûi toïa ñoä z.
M ( ) x θx z =∫ dz + C 1 (8.20) EJ x Trong coâng thöùc (8.20), thì haïng thöùc thöù nhaát ôû veá phaûi laø tích phaân khoâng haïn ñònh, coøn C 1 laø haèng soá tích phaân, ñöôïc xaùc ñònh bôûi ñieàu kieän lieân keát cuûa thanh. Taïi vò trí thanh bò ngaøm, tieát dieän thanh khoâng xoay ñöôïc thì ñieàu kieän lieân keát seõ cho θx = 0. 5- Ñoä voõng Khaûo saùt trôû laïi hình 8.1c, bieåu thò laïi treân hình 8.4. Döôùi taùc duïng cuûa moâmen uoán M x, thöïc nghieäm cho thaáy truïc thanh, tröôùc khi thanh bò bieán daïng naèm truøng vôùi truïc z, seõ di chuyeån vaø coù daïng laø ñöôøng cong. Ta noùi raèng thanh bò bieán daïng uoán Ñöôøng truïc thanh khi thanh bò Hình 8.4: Chuyeån vò cuûa truïc bieán daïng uoán ñöôïc goïi laø ñöôøng ñaøn hoài . Thöïc nghieäm cho thaáy ñöôøng ñaøn thanh khi thanh chòu uoán hoài khi thanh chòu uoán bôûi caùc moâmen uoán M x seõ naèm trong maët phaúng zy (khi thanh chòu uoán bôûi ngaãu löïc noäi löïc coù moâmen My - naèm trong maët phaúng zx). Xeùt ñieåm B treân truïc thanh. Sau khi thanh bò uoán, ñieåm B di chuyeån ñeán vò trí B': ur ur uur BB ′ =v + w ur uur trong ñoù v chuyeån vò theo phöông y, w - chuyeån vò theo phöông z. Trong tröôøng hôïp chauur áp nhaän ñònh luaät Huùc, ta chæ xeùt khi thanh bieán daïng beù (phaàn 3 muïc 7.1 chöông 7), ta coù theå boû qua thaønh phaàn chuyeån vò w , coi raèng ñieåm B dòch chuyeån ñeán ñieåm B'', töùc cho raèng caùc ñieåm treân truïc thanh dòch chuyeån theo phöông y thoâi. Toïa ñoä môùi cuûa caùc ñieåm treân truïc thanh phuï thuoäc vò trí, xaùc ñònh bôûi toïa ñoä z, töùc y = y(z) (8.21)
y(z) laø ñoä voõng cuûa truïc thanh taïi toïa ñoä z. Phöông trình y(z) ñöôïc goïi laø phöông trình ñöôøng ñaøn hoài. Hình 8.5: Vò trí cuûa tieát dieän treân ñöôøng truïc thanh tröôùc (a - a) vaø sau (a' - a') khi thanh bò bieán daïng Ñeå tìm phöông trình y(z) ta seõ söû duïng tieân ñeà maët caét ngang phaúng (phaàn 4 muïc 7.1 chöông 7). Theo tieân ñeà naøy, veùctô phaùp tuyeán cuûa tieát dieän seõ luoân truøng vôùi tieáp tuyeán cuûa ñöôøng ñaøn hoài. Treân hình 8.5, töông töï nhö treân hình 8.1c, ñöôøng a - a vaø a' - a' bieåu thò hìnhr chieáu cuûa tieát dieän treân maët toïa ñoä zy laàn löôït tröôùc vaø sau khi thanh bò uoán, theor tieân ñeà maët caét ngang phaúng thì veùctô τ - veùctô tieáp tuyeán cuûa ñöôøng ñaøn hoài seõ vuoâng goùc a' - a', vaäy goùc hôïp bôûi phöông τ vôùi truïc z baèng goùc hôïp bôûi a - a vaø a' - a' töùc chính laø θx. Vaäy ta vieát ñöôïc: dy( z ) θ = − (8.22) x dz Trong veá phaûi cuûa bieåu thöùc (8.22) coù daáu (–) do quy ñònh chieàu döông cuûa truïc y vaø quy ñònh chieàu döông cuûa θx gaây ra. Töø coâng thöùc (8.22) ta suy ra phöông trình xaùc ñònh ñoä voõng taïi toïa ñoä z: ( ) y z=−θ∫ x dz + C 2 Löu yù coâng thöùc (8.20), ta vieát ñöôïc bieåu thöùc cuoái ôû daïng:
M  ( ) x y z=−∫ ∫ dz + C1  dz + C 2 (8.23) EJ x  Trong coâng thöùc (8.23), thì haïng thöùc thöù nhaát laø tích phaân khoâng haïn ñònh, C1 vaø C2 laø caùc haèng soá tích phaân. Caùc giaù trò C1, C2 ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän lieân keát. Nhö vaäy ñeå xaùc ñònh caùc ñaïi löôïng bieán daïng cuûa thanh, ta ñeàu phaûi thöïc hieän pheùp tính tích phaân (caùc coâng thöùc (8.5), (8.8), (8.17), (8.20), (8.23). Thöïc hieän pheùp tính tích phaân baèng phöông phaùp giaûi tích chæ coù theå neáu caùc bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân ñôn giaûn. Trong thöïc teá, caùc thaønh phaàn noäi löïc bieán thieân theo toïa ñoä z vaø trong caùc ñoaïn khaùc nhau ñöôïc bieåu thò, noùi chung, baèng caùc haøm khaùc nhau. Tình traïng töông töï cuõng xaûy ra ñoái vôùi caùc bieåu thöùc ñoä cöùng EA, GJ z, EJ x cuûa thanh, chính vì vaäy phöông phaùp tích phaân tröïc tieáp ít khi ñöôïc söû duïng 8.2.2 Phöông phaùp haøm ñaëc bieät 1- Ñaët vaán ñeà Ñeå xaùc ñònh ñoä voõng, töø coâng thöùc (8.23), ta thaáy raèng phaûi thöïc hieän hai laàn pheùp tích phaân. Thöïc hieän pheùp toaùn naøy trong baøi toaùn xaùc ñònh ñoä voõng cuûa thanh trong phaàn lôùn tröôøng hôïp laø raát khoù khaên. Phöông phaùp haøm ñaëc bieät ñöôïc ñöa ra cho tröôøng hôïp ñoä cöùng EJ x coù giaù trò khoâng ñoåi doïc theo truïc thanh. Luùc naøy coâng thöùc (8.20) vieát ñöôïc ôû daïng: EJxθ x =∫ M x dz + C 1 (8.24) Coâng thöùc (8.23) vieát laïi ôû daïng sau: EJx y=−∫ EJ xx θ+=− dz C2 ∫∫ M x dz − C 1 z + C 2 (8.25) Phöông phaùp naøy ñöôïc xaây döïng treân khaùi nieäm : a) quan heä vi phaân giöõa löïc phaân boá q(z), löïc caét Q y, moâmen uoán M x, goùc xoay θx, ñoä voõng y, b) khaùi nieäm veà haøm ñaëc bieät baäc n.
2- Quan heä giöõa caùc ñaïi löôïng taûi troïng, noäi löïc, bieán daïng Sau ñaây ta seõ löu yù caùc quan heä vi phaân sau: + Caùc quan heä (5.19), (5.20) dQy = q( z ) (c) dz dM x = Qy( z ) (d) dz + Coâng thöùc (8.3) dθ M x= x (e) dz EJ x + Coâng thöùc (8.22) dy = −θ (z ) (f) dz x Töø caùc coâng thöùc (c), (d) ta ruùt ra caùc bieåu thöùc tích phaân sau: ( ) Qy(z) = ∫ q z dz+ C 3 (8.26) () () Mx z=∫ Q y zdz + C 4 (8.27) Trong tröôøng hôïp EJ x = const treân suoát chieàu daøi thanh thì bieåu thöùc (e) cho ta coâng thöùc: ( ) EJxθ x =∫ M x zdzC + 1 (8.28)
vaø bieåu thöùc (f) coù theå vieát ñöôïc ôû daïng: EJy=− EJ θ+=− dxC MzdzdzCzC( )  −+ (8.29) x∫ xx2 ∫ ∫ x  1 2 Töø caùc coâng thöùc (8.26) ÷ (8.29) ta thaáy raèng neáu ta coù bieåu thöùc bieåu thò heä ngoaïi löïc nhö löïc phaân boá q(z) thì sau khi coù haøm q(z) ta seõ tính ñöôïc ñoä voõng vaø goùc xoay. 3- Haøm ñaëc bieät vaø öùng duïng Khaùi nieäm haøm ñaëc bieät baäc n n Ta laøm quen vôùi ñònh nghóa haøm ñaëc bieät baäc n. Kyù hieäu haøm ñaëc bieät baäc n vôùi bieán z laø f n(z) vaø : n fn(z) = (8.30) Haøm ñaëc bieät baäc n coù caùc tính chaát sau: Hình 8.6: Ñoà thò haøm ñaëc bieät baäc n - Khi n < 0, (H.8.6a)) thì f( z ) = ∞ khi z = a  n  (8.31) fn ( z ) =0 khi z ≠ a  Khi n ≥ 0 (H.8.6b) thì
f()( z= z − a ) n khi z ≥ a  n  (8.32) fn ( z ) = 0 khi z z an dz = z a n +1 (8.33) −∞ Khi n ≥ 0 z n+1 z an dz = (8.34) ∫ n +1 −∞ Bieåu thò ngoaïi löïc Sau ñaây ta seõ coâng nhaän caùc bieåu thöùc bieåu thò caùc daïng ngoaïi löïc taùc duïng leân daàm nhö laø haøm phaân boá baèng caùc haøm ñaëc bieät. Hình 8.7: Caùc loaïi ngoaïi löïc taùc duïng leân thanh
a) Moâmen uoán Mo taùc duïng taïi maët caét coù toïa ñoä z = a (H.8.7a): –2 q(z) = M o (8.35) b) Löïc taäp trung P o taùc duïng taïi maët caét coù toïa ñoä z = a (H.8.7b): –1 q(z) = P o (8.36) c) Heä löïc phaân boá ñeàu q(z) = q o taùc duïng töø maët caét toïa ñoä z = a cho ñeán z = ∞ (H.8.7.c): o q(z) = q o (8.37) d) Heä löïc phaân boá bieán thieân theo quy luaät baäc nhaát, taïi maët caét coù toïa ñoä z = a coù giaù trò q(a) = 0, vaø taïi maët caét coù toïa ñoä z = b coù giaù trò q(b) = q o (H.8.7d): q qz( ) =o za 1 (8.38) b− a Nhôø caùc bieåu thöùc (8.35) ÷ (8.38) ta coù theå thaønh laäp haøm löïc phaân boá q(z) cho caùc tröôøng hôïp taûi troïng khaùc nhau. Ví duï ta coù caùc tröôøng hôïp nhö treân hình 8.8. Bieåu thöùc q(z) cho töøng tröôøng hôïp nhö sau:
Hình 8.8: Ví duï caùc loaïi heä ngoaïi löïc - Tröôøng hôïp hình 8.8a q(z) = 10 o – 10 o KN/m - Tröôøng hôïp hình 8.8b 40 40 q( z ) = − z11 − z 3 1 40 o 31− 31 − - Tröôøng hôïp hình 8.8c 30− 10 30 − 10 qzz( )=− − z 11 + z 3 1 10 z 3 o 31− 31 − - Tröôøng hôïp hình 8.8d q(z) = 10 –2 + 100 –1 – 50 –1 – 20 –2. 4- Phöông phaùp thöïc hieän Töø sô ñoà cuûa daàm, sau khi xaùc ñònh ñöôïc caùc phaûn löïc lieân keát, ta coù ñöôïc toaøn boä heä ngoaïi löïc. Sau ñoù thieát laäp haøm q(z) döôùi daïng haøm ñaëc bieät nhôø caùc coâng thöùc (8.35) ÷ (8.38). Sau ñoù duøng caùc coâng thöùc (8.26) ÷ (8.29) ñeå laäp phöông trình Qy(z), Mx(z), θx(z), y(z) döôùi daïng haøm ñaëc bieät. Cuoái cuøng chuyeån phöông trình döôùi daïng haøm ñaëc bieät sang daïng haøm giaûi tích. Löu yù moät soá ñieåm sau: 1- Neáu laáy goác toïa ñoä truïc z taïi bieân cuûa thanh thì, vôùi moïi z < 0, haøm q(z) = 0, Qy(z) = 0 vaø Mx(z) = 0. Vì lyù do naøy maø giaù trò C3 vaø C4 trong coâng thöùc (8.26), (8.27) seõ baèng khoâng, neáu ta choïn goác truïc z taïi bieân cuûa thanh. 2- Vieäc thieát laäp caùc phöông trình Qy(z), M z(z) chæ laø böôùc chuyeån tieáp ñeå laäp phöông trình θx(z), y(z) , khoâng coù yù nghóa ñeå laäp phöông trình giaûi tích cho caùc thaønh phaàn noäi löïc Qy(z) vaø Mx(z).
8.3 PHÖÔNG PHAÙP NAÊNG LÖÔÏNG 8.3.1 Nguyeân lyù löïc aûo Xeùt vaät theå bieán daïng döôùi taùc duïng cuûa moät heä löïc. Moãi ñieåm thuoäc vaät chòu taùc duïng cuûa öùng suaát seõ di chuyeån. Söï di chuyeån caùc ñieåm thuoäc vaät phaûi ñaûm baûo caùc lieân keát cuûa vaät vôùi caùc vaät khaùc khoâng bò phaù vôõ. Ngöôøi ta noùi raèng bieán daïng cuûa vaät phaûi ñaûm baûo ñieàu kieän töông thích. Töôûng töôïng ta seõ taùc duïng leân vaät moät heä löïc caân baèng maø heä löïc naøy khoâng gaây ra söï dòch chuyeån cuûa caùc ñieåm thuoäc vaät. Heä löïc treân goïi laø heä löïc aûo . Heä löïc aûo sinh ra tröôøng öùng suaát taùc duïng treân caùc ñieåm thuoäc vaät, goïi laø caùc öùng suaát aûo . Khi vaät bieán daïng, ñieåm ñaët cuûa caùc löïc aûo dòch chuyeån. Coâng cuûa löïc aûo sinh ra bôûi söï dòch chuyeån treân goïi laø coâng aûo ngoaïi * löïc , kyù hieäu laø δWe . Neáu ta kyù hieäu δPi vaø ∆i laàn löôït laø giaù trò löïc aûo vaø ñoä dòch chuyeån theo phöông taùc duïng löïc cuûa ñieåm ñaët löïc aûo thöù i, kyù hieäu δMj vaø ϕj laø giaù trò moâmen vaø goùc xoay cuûa maët caét chöùa ngaãu löïc aûo thöù j, ta vieát ñöôïc: n m * δWe =∑ δ∆+ P ii. ∑ δ M jj . ϕ (8.39) i=1 j = 1 Kyù hieäu caùc thaønh phaàn öùng suaát aûo laø δσx, δσy, δσz, δτxy , δτz, δτxz , ñoù laø öùng suaát gaây bôûi heä löïc aûo. Coâng bieán daïng aûo treân moät ñôn vò theå tích kyù hieäu laø d( δU*). Khi naøy coâng bieán daïng aûo treân toaøn theå tích, kyù hieäu δU*, baèng tích phaân d( δU*) treân toaøn theå tích. δU* =∫ d ( δ U *) dV (8.40) v trong ñoù V - theå tích toaøn thanh. Nguyeân lyù löïc aûo phaùt bieåu nhö sau: "Coâng aûo ngoaïi löïc thì baèng coâng bieán daïng aûo", töùc * δWe = δ U * (8.41)
8.3.2 Bieåu thöùc coâng bieán daïng aûo Sau ñaây ta seõ thieát laäp bieåu thöùc coâng bieán daïng aûo gaây bôûi caùc thaønh phaàn noäi löïc khaùc nhau. a) Coâng bieán daïng aûo gaây bôûi N z. Döôùi taùc duïng cuûa N z, nhö ta bieát, bieán daïng taïi caùc ñieåm treân tieát dieän xaùc ñònh theo coâng thöùc (8.1): dl N ε = = z (8.42) z dz EA Cho raèng heä löïc aûo gaây ra löïc keùo (neùn) aûo, kyù hieäu laø δNz, thì öùng suaát cuûa heä löïc aûo, töùc öùng suaát aûo, baèng: δN δσ = z (8.43) z A Xeùt phaân toá hình khoái chöõ nhaät kích thöôùc dxdydz (H.8.9). Hình 8.9: Bieán daïng cuûa phaân toá Löïc aûo taùc duïng treân caïnh beân baèng tích cuûa öùng suaát aûo δσz vôùi dieän tích maët beân dxdy. Vaäy löïc aûo taùc duïng treân maët beân baèng δσ 2dxdy . Di chuyeån cuûa maët beân ñoaïn dl , töø coâng thöùc (8.4), ta coù dl baèng: N dl= z . dz (8.44) EA
Coâng aûo sinh ra bôûi löïc aûo treân di chuyeån dl baèng: N δσ.dxdy ⋅ z dz (8.45) z EA Chia bieåu thöùc (8.45) cho dxdydz , töùc theå tích cuûa phaân toá, ta ñöôïc coâng aûo sinh ra trong 1 ñôn vò theå tích, töùc d( δU*), baèng: N d(δ U *) = δσ ⋅ z z EA Löu yù bieåu thöùc (8.43) thì bieåu thöùc cuoái vieát ñöôïc ôû daïng δN. N d(δ U *) = z z (8.46) EA 2 Coâng thöùc tính coâng bieán daïng aûo treân toaøn theå tích δ*, töø coâng thöùc (8.40), löu yù coâng thöùc (8.46), coù daïng: δN. N δU* = z z dV (8.47) ∫ EA 2 V Ñoái vôùi thanh thì caùc ñaïi löôïng döôùi daáu tích phaân trong veá phaûi cuûa bieåu thöùc (8.47) ñeàu laø haøm cuûa toïa ñoä z. Ta bieåu thò dV = dA.dz vôùi dA = dxdy laø dieän tích tích phaân toá treân tieát dieän. Vieát laïi bieåu thöùc (8.47) ôû daïng:   δNNzz. δ NN zz .  δ=U*  ⋅ dA  dz = ⋅⋅ A  dz ∫EA2 ∫  ∫  EA 2  l A  l
Sau khi giaûn öôùc A, ta coù ñöôïc: δN. N δU* = z z dz (8.48) ∫ EA l b) Coâng bieán daïng aûo gaây bôûi M x. Döôùi taùc duïng cuûa M x, nhö ta bieát, taïi moãi ñieåm treân maët caét toàn taïi öùng suaát phaùp σz xaùc ñònh theo coâng thöùc (7.14): Mx σz = y (8.49) Jx Theo ñònh luaät Huùc, bieán daïng daøi theo phöông z baèng: σzM x ε=z =⋅y (8.50) E EJ x Kyù hieäu δMx laø moâmen uoán gaây bôûi heä löïc aûo. ÖÙng suaát aûo δσz gaây bôûi δMx ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc töông töï nhö bieåu thöùc (8.49). δMz δσz =y ⋅ (8.51) Jx Duøng phaân toá nhö treân hình 8.9 ñeå tính coâng bieán daïng aûo treân moät ñôn vò theå tích, laäp luaän nhö trong phaàn a) treân, ta coù: δM. M y 2 d(δ U *) = x x (8.52) 2 EJ x δM. M y 2 δU* = x x dV (8.53) ∫ EJ 2 V x
Bieán ñoåi tieáp veá phaûi cuûa bieåu thöùc cuoái nhö ñaõ thöïc hieän ñoái vôùi bieåu thöùc (8.47) ta laàn löôït coù ñöôïc: δM. M  δU* =x x ⋅ y2 dA  dz ∫EJ 2 ∫  x A  δM. M Vì y2 dA= J vaäy: δU* = x x dz (8.54) ∫ x ∫ EJ A l x c) Coâng bieán daïng aûo gaây bôûi M z. Chöùng minh töông töï nhö ñaõ thöïc hieän trong muïc a), b) treân, ta seõ thu ñöôïc bieåu thöùc sau: δM. M δU* = z z dz (8.55) ∫ GJ l z 8.3.3 Phöông phaùp thöïc hieän Trong kyõ thuaät hay gaëp tröôøng hôïp chòu löïc uoán ngang phaúng. Phaàn coâng bieán daïng aûo gaây ra bôûi löïc caét thöôøng raát nhoû so vôùi phaàn gaây bôûi moâmen uoán, do vaäy coù theå boû qua, cho neân coâng bieán daïng aûo cuûa thanh ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc (8.54). Trong ñoù heä löïc aûo laø löïc taäp trung coù trò soá laø 1 ñôn vò taïi vò trí caàn xaùc ñònh ñoä voõng hay laø moâmen uoán coù trò soá 1 ñôn vò ñaët taïi vò trí caàn xaùc ñònh goùc xoay cuûa maët caét. Khi ta caàn xaùc ñònh ñoä voõng y D taïi maët caét D naøo ñoù, ta ñaët löïc aûo 1 ñôn vò δ P = 1 taïi maët caét D. Luùc naøy coâng ngoaïi löïc aûo seõ baèng: * δWe =δ Py. D = 1 . y D (8.56) * Ñeå yù bieåu thöùc δU* xaùc ñònh bôûi (8.54), vì δU* = δWe neân ta seõ coù: l δMx. M x yD = ∫ dz (8.57) o EJ x