Giải Toán theo chuyên đề - Tích phân - Trần Sỹ Tùng

153 trang ngocly 1290

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giải Toán theo chuyên đề - Tích phân - Trần Sỹ Tùng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giai_toan_theo_chuyen_de_tich_phan_tran_sy_tung.pdf

Nội dung text: Giải Toán theo chuyên đề - Tích phân - Trần Sỹ Tùng

Traàn Só Tuøng Tích phaân Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân 1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät: sinx a) lim1= x0® x x sinu(x) u(x) Heä quaû: lim1= lim1= lim1= x0® sinx u(x)0® u(x) u(x)0®sinu(x) x æö1 b) limç÷1+=Îe,xR x®¥ èøx 1 ln(1+ x) e1x - Heä quaû: lim(1+=x)x e. lim1= lim1= x0® x0® x x0® x 2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû: (c)’ = 0 (c laø haèng soá) (xa)'x=a a-1 (ua)'=aua-1u' æö11 æö1u' ç÷' =- ç÷' =- èøxx2 èøuu2 1 u' (x')= ( u') = 2x 2u (exx)'e= (euu)'= u'.e (axx)'= a.lna (auu)'= a.lna.u' 1 u' (lnx)' = (lnu)' = x u 1 u' (logx') = (logu)' = a x.lna a u.lna (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 1 u' (tgx)'==+1tgx2 (tgu)'==+(1tg2u).u' cosx2 cosu2 -1 -u' (cotgx)'==-+(1cotg2x) (cotgu)'==-+(1cotg2u).u' sinx2 sinu2 3. Vi phaân: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi xÎ(a;b). Cho soá gia Dx taïi x sao cho x+DÎx(a;b). Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)). dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx) Trang 1
Tích phaân Traàn Só Tuøng NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN §Baøi 1: NGUY EÂN HAØM 1. Ñònh nghóa: Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x). Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm: F'(a+-)==f(x)vaøF'(b)f(b) 2. Ñònh lyù: Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì : a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng ñoù. b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá. Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø ò f(x)dx. Do ñoù vieát: ò f(x)dx=+F(x)C Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù. 3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: · (ò f(x)dx)'= f(x) • ∫∫af(x)dx=≠af(x)dx(a0) • ∫[f(x)+g(x)]dx=+∫∫f(x)dxg(x)dx • ∫∫f(t)dt=F(t)+C⇒f[u(x)]u'(x)dx=F[u(x)] +C=F(u)+=C(uu(x)) 4. Söï toàn taïi nguyeân haøm: • Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù. Trang 2
Traàn Só Tuøng Tích phaân BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp thöôøng gaëp (döôùi ñaây u = u(x)) ò dx=+xC ò du=+uC xa+1 ua+1 xadx=+C(a¹-1) uadu=+C(a¹-1) ò a+1 ò a+1 dx du =lnx+¹C(x0) =lnu+C(u=¹u(x)0) ò x ò u ò exxdx=+eC ò euudu=+eC ax au axdx=+C(0 C(x0) =u+>C(u0) ò 2x ò 2u 1 cos(ax+b)dx=sin(ax+b)+¹C(a0) ò a 1 sin(ax+b)dx=-cos(ax+b)+¹C(a0) ò a dx1 =lnax++bC ò ax+ ba 1 eax++bdx=eaxb+¹C(a0) ò a dx2 =ax+b+¹C(a0) ò axb+ a Trang 3
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) + Böôùc 2: Chöùng toû raèng F'(x)=f(x)vôùi"Îx(a;b) Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) ìF'(x)=f(x),"Îx(a;b) ï + Böôùc 2: Chöùng toû raèng íF'(a+ )=f(a) ï - îF'(b)=f(b) Ví duï 1: CMR haøm soá: F(x)=ln(x++x2 a) vôùi a > 0 1 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = treân R. xa2 + Giaûi: 2x 1+ (x++x2 a)' 2 Ta coù: F'(x)=[ln(x+x2 +a)]' ==2xa+ x+x22+ax++xa x2++ax1 ===f(x) x2+a(x+x22++a)xa Vaäy F(x) vôùi a > 0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. ïìex khix0³ Ví duï 2: CMR haøm soá: F(x) = í 2 îïx+x+ F'(x) = í î2x+<1khix0 b/ Vôùi x = 0, ta coù: Trang 4
Traàn Só Tuøng Tích phaân • Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. F(x)-F(0)x20+x+-1e F'(0-)=lim==lim1. x®®0 x-0xx0 · Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. F(x) F(0)eex0 F'(0+)=lim==lim1. x®®0++x-0xx0 Nhaän xeùt raèng F'(0-+)=F'(0)=1Þ=F'(0)1. ìex khix0³ Toùm laïi: F'(x)==íf(x) î2x+<1khix0 Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b). PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) + Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: F'(x)=f(x)vôùi"Îx(a;b) Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc Þ giaù trò tham soá. Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) + Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: ìF'(x)=f(x),"Îx(a;b) ï íF'(a+ )=f(a) Þ giaù trò cuûa tham soá. ï - îF'(b)=f(b) Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG · Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) = G(x) + C · Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C. Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm. Trang 5
Tích phaân Traàn Só Tuøng ìx2 khix1≤ Ví duï 3: Xaùc ñònh a , b ñeå haøm soá: F(x) =  ax+>bkhix1 2xkhix1≤ laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) =  treân R. 2khix1> Giaûi: Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: 2xkhix1 b/ Vôùi x = 1, ta coù: Ñeå haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, tröôùc heát F(x) phaûi lieân tuïc taïi x = 1, do ñoù : limF(x)=limF(x)=f(1)Ûa+b=1Ûb=-1a(1) x®®1-+x1 · Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá y = F(x) taïi ñieåm x = 1. f(x) F(1)x12 F'(1)=lim==lim2. x1® x 1x1®-x1 · Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 = 0. F(x)-F(1)ax+b-1ax+1 a1 F'(1+)=lim=lim==lima. x®1+x-1x®®1++x 1x1 x1 Haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1 ÛF'(1-+)=F'(1)Û=a2. (2) Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc b = –1. Vaäy haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, neáu vaø chæ neáu a = 2, b = –1. Khi ñoù: F’(1) = 2 = f(1) Toùm laïi vôùi a = 2, b = 1 thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x). Ví duï 4: Xaùc ñònh a , b , c ñeå haøm soá: F(x)=(ax2++bxc)e-2x laø moät nguyeân haøm cuûa F(x)=-(2x2-+8x7)e-2x treân R. Giaûi: 2x22x 2-2x Ta coù: F'(x)=(2ax+b)e-2(ax++bxc)e =ëûéù-2ax+2(a-b)x+-b2ce Do ñoù F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân R ÛF'(x)=f(x),"ÎxR Û-2ax22+2(a-b)x+b-2c=-2x+8x-7,"ÎxR ììa==1a1 ïï Ûíía-b=4Ûb3=- ïï îîb-2c=-=7c2 Vaäy F(x)=(x2-+3x2)e-2x . Trang 6
Traàn Só Tuøng Tích phaân BAØI TAÄP æöx p Baøi 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x)=+lntgç÷ èø24 1 Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = . cosx ìln(x2 +1) ï ,x0¹ Baøi 2. Chöùng toû raèng haøm soá F(x) = í x ï î0,x0= ì 2ln(x2 +1) ï -¹,x0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = íx22+1x ï î1,x0= Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, c sao cho haøm soá F(x)=(ax2x++bxc).e- laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)=(2x2x-+5x2)e- treân R. ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. x32+3x+-3x7 Baøi 4. a/ Tính nguyeân haøm F(x)cuûaf(x)==vaøF(0)8. (x+1) 2 2 x æöpp b/ Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x)==sinvaøF.ç÷ 2èø24 x82 1 ÑS: a/ F(x)=++x; b/ F(x)=(x-+sinx1) 2x1+ 2 Baøi 5. a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c sao cho haøm soá: F(x)=(ax2 +bx+-c)2x3 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: 20x2 -+30x73æö f(x)=treânkhoaûng;ç÷+¥ 2x3- èø2 b/ Tìm nguyeân haøm G(x) cuûa f(x) vôùi G(2) = 0. ÑS: a/ a=4;b=-=2;c1; b/ G(x)=(4x2 -2x+10)2x 322. Trang 7
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN 1 Ví duï 1: CMR , neáu f(x)dx=+F(x)C thì f(ax+b)dx=F(ax+b)+¹Cvôùia0. ò ò a Giaûi: 1 Ta luoân coù: f(ax+b)dx=f(ax+b)d(ax+¹b)vôùia0. a 11 AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc: f(ax+b)dx=(ax+b)d(ax+b)F(ax++b)C(ñpcm). òòaa Ghi chuù: Coâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp: òòf(t)dt=F(t)+CÞf(u)du=F(u)+=C,vôùiuu(x) Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: 2ex (2lnx+1)2 a/ (2x+ 3)3 dx b/ cos4 x.sinxdx c/ dx d/ dx ò ò ò e1x + ò x Giaûi: 11(2x++3)44(2x3) a/ Ta coù: (2x+3)33dx=(2x+3)d(2x+3)=.+C=+C. òò2248 cosx5 b/ Ta coù: cos44x.sinxdx=-cosxd(cosx)C=-+ òò 5 2exxd(e+1) c/ Ta coù: dx=2=2ln(ex ++1)C òòexx++1e1 (2lnx+1)2 11 d/ Ta coù: dx=(2lnx+1)23d(2lnx+1)=(2lnx++1)C. òòx22 Ví duï 3: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: x tgx a/ 2sin2 dx b/ cotg2xdx c/ tgxdx d/ dx ò 2 ò ò ò cosx3 Giaûi: x a/ Ta coù: 2sin2 dx=(1-cosx)dx=x-+sinxC òò2 2 æö1 b/ Ta coù: cotgxdx=ç÷-1dx=-cotgx-+xC òòèøsinx2 sinxd(cosx) c/ Ta coù: tgxdx=dx=-=-+lncosxC òòòcosxcosx Trang 8
Traàn Só Tuøng Tích phaân tgxsinxd(cosx)11 d/ Ta coù: dx=dx=-=-cos-3 x+C=-+C. òcos3xòòcos4xcos43x33cosx Ví duï 4: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: x1 a/ dx b/ dx ò1x+2 òx2 -+3x2 Giaûi: x1d(1+x2)1 a/ Ta coù: dx==ln(1++x2)C òò1++x2221x2 11æö11 b/ Ta coù: dx=dx=-ç÷dx òx2 -3x+2òò(x-1)(x-2)èøx 2x1 x2- =lnx-2-lnx-1+C=+lnC. x1- BAØI TAÄP Baøi 6. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: x a/ f(x)=cos;2 b/ f(x)sin3 x. 2 1 1 ÑS: a/ (x++sinx)C; b/ -cosx++cos3 xC. 2 3 Baøi 7. Tính caùc tích phaân baát ñònh : ex22x.3xx.5 a/ exx(2-e-)dx; b/ dx; c/ dx . òò2xò 10x e12-5x +ex d/ dx; e/ dx òexòe2x+ ex6x ÑS: a/ 2ex -+xC; b/ +C; c/ +C (1-ln2)2xln6 1 d/ -e2 6xx-+eC; e/ ln(ex ++2)C. 6 Baøi 8. Tính caùc tích phaân baát ñònh : a/ òx44++x-2dx ; b/ ò3 x5 xdx ; c/ òxx2 +1dx ; 3-4lnx d/ (1-2x)2001dx; e/ dx òòx x1351 ÑS: a/ -+C; b/ 57x+C; c/ (x22+1)x++1C ; 3x 73 1(1- 2x)2002 1 d/ -+.C; e/ (3+4lnx)3++4lnxC. 22002 6 Trang 9
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 3: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Phöông phaùp phaân tích thöïc chaát laø vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát. Chuù yù quan troïng: Ñieåm maáu choát laø pheùp phaân tích laø coù theå ruùt ra yù töôûng cho rieâng mình töø moät vaøi minh hoaï sau: • Vôùi f(x)=(x3-2)2thìvieátlaïif(x)=x63-+4x4. x2-+4x52 · Vôùi f(x)=thìvieátlaïif(x)=x3-+ . x 1x1 111 · Vôùi f(x)=thìvieátlaïif(x) =- x2 -5x+6x 3x2 11 · Vôùi f(x)=thìvieátlaïif(x)=(3-2x-+2x1) 2x+1+-32x 2 · Vôùi f(x)=(2x-3x)2thìvieátlaïif(x)=4x-+2.6xx9. · Vôùi f(x)=8cos3 x.sinxthìvieátlaïif(x)=+2(cos3x3cosx).sinx =2cos3x.sinx+6cosx.sinx=sin4x-sin2x+3sin2x=+sin 4x2sin2x. · tg22x=(1+-tgx)1 · cotg22x=(1+-cotgx)1 xn2(1++x)11 · =+xn . 1++x221x Ñoù chæ laø moät vaøi minh hoaï mang tính ñieån hình. Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I=-òx(1x)2002 dx. Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc : x = 1 – (1 – x) ta ñöôïc: x(1-x)2002=[1-(1-x)](1-x)2002=(1-x)2002 (1x).2003 Khi ñoù: I=ò(1-x)2002dx-ò(1-x)2003dx=-òò(1-x)2002d(1-x)+(1 x)2003 d(1x) 20032004 (1 x)(1x) =-++C. 20032004 Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: I=òx(ax+¹b)adx,vôùia0 11 Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x=.ax=[(ax+-b)b] aa Trang 10
Traàn Só Tuøng Tích phaân Ta ñöôïc: 11 x(ax+b)a=[(ax+b)-b)(ax+b)a=[(ax+b)a+a1d(ax+b)-(ax++b)d(ax d)] aaòò Ta xeùt ba tröôøng hôïp : 1 · Vôùi a = 2, ta ñöôïc: I=[(ax+b) 12d(ax+b)-(ax++b)d(axb)] a2òò 11 =[lnax+b++]C. a2 axb+ · Vôùi a = –1, ta ñöôïc: 11 I=[d(ax+b)-(ax+b)-1d(ax+b)]=[ax+b-lnax++b]C. aa22òò 1(ax++b)a+21(axb)a+ · Vôùi aÎR\{ 2;1}, ta ñöôïc: I=[++]C. a2 a+21a+ dx Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x2 -+4x3 Giaûi: 111(x-1) (x3)1æö11 Ta coù: == =-ç÷ x2 -4x+3(x-3)(x-1)2(x-3)(x-1)2èøx 3x1 1æödxdx1d(x 3)d(x1)1 Khi ñoù: I=.ç÷-=[-'=.(lnx-3-lnx-+1)C 2èøòx-3òx-12òòx 3x12 1x3- =+lnC. 2x1- dx Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x+2+-x3 Giaûi: Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc: 1111 I=ò(x+2+x-3)dx=[òò(x+2)22d(x+2)+(x 3)d(x3)] 55 2 =[(x+2)33+-+(x3)]C. 15 dx Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I.= ò sinx.cosx2 Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: sin22x+=cosx1, Trang 11
Tích phaân Traàn Só Tuøng 1 1sin22x+cosxsinx1sinx1 Ta ñöôïc: ==+=+2 2222xx sinx.cosxsinx.sinxcosxsinxcosx cos2tg 22 1 æöx dtg sinxd(cosx)ç÷1x Suy ra: I=dx+2dx=-+èø2=++lntgC. ò22òxxxòò cosxcos2tgcosxtg cosx2 222 dx Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I.= òcosx4 Giaûi: dx Söû duïng keát quaû: =d(tgx) cosx2 1dx1 ta ñöôïc: I=.=(1+tg2x)d(tgx)=d(tgx)+tg23xd(tgx)=tgx++tgxC. òcos22xcosx3òòò BAØI TAÄP Baøi 9. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: 2x x3ex23x a/ f(x)=-(12x);23 b/ f(x) = ; x3 (2+x)2 1 c/ f(x);= d/ f(x) = x 3x+4-+3x2 128 4 ÑS: a/ x-2x3+x57-+xC ; b/ ex ++lnxC; 57 3xx 33222436 1éù33 c/ 6x+xx++xxC; d/ ëû(3x-4)+(3x++2)C. 75 9 Baøi 10. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: 1 4x2++6x1 a/ f(x);= b/ f(x);= x2 -+6x5 2x1+ 4x32+-4x1 -4x3++9x1 c/ f(x);= d/ f(x);= 2x1+ 9-4x2 1x5- 1 ÑS: a/ ln+C; b/ x2 +2x-ln2x++1C; 4x1- 2 2111 x212x3- c/ xx32+-x-ln2x++1C; d/ -+lnC. 3224 2122x3+ Baøi 11. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: Trang 12
Traàn Só Tuøng Tích phaân æppöæö a/ (sinx+ cosx);2 b/ cosç÷2x-+.cosç÷2x; c/ cos3 x; èø34èø d/ cos4 x; e/ sin44x+ cosx; f/ sin662x+ cos2x. 1 1æ71ppöæö ÑS: a/ x-+cos2xC ; b/ sinç5x+÷+sinç÷xC-+ 2 10è12ø2èø12 31 311 c/ sinx++sin3xC; d/ x+sin2x++sin4xC; 412 8431 3sin4x 53 e/ x++C; f/ x++sin8xC. 416 864 Trang 13
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 4: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñöôïc söû duïng khaù phoå bieán trong vieäc tính caùc tích phaân baát ñònh. Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm coù hai daïng döïa treân ñònh lyù sau: Ñònh lyù: a/ Neáu ò f(x)dx=F(x)+Cvaøu=j(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm thì ò f(u)du=+F(u)C. b/ Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc thì khi ñaët x = j(t) trong ñoù j(t) cuøng vôùi ñaïo haøm cuûa noù (j’(t) laø nhöõng haøm soá lieân tuïc, ta seõ ñöôïc: òòf(x)dx=f[jj(t)].'(t)dt. Töø ñoù ta trình baøy hai baøi toaùn veà phöông phaùp ñoåi bieán nhö sau: Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tích tích phaân baát ñònh I= ò f(x)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc: + Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp. + Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt + Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt + Böôùc 4: Khi ñoù I= òg(t)dt. Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø: Daáu hieäu Caùch choïn é pp x=asintvôùit-££ 22 ê 22 ax- ê ëêx=xcostvôùi0t££p éa éùpp x=vôùitÎ- ;\{0} ê sintëûêú22 xa22- ê êa p x=vôùitÎp[0;]\{} ëê cost2 é pp x=atgtvôùit-<< 22 ê 22 ax+ ê ëêx=acotgtvôùi0t<<p a+-xax hoaëc x = acos2t a-+xax (x a)(bx) x = a + (b – a)sin2t dx Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I.= ò 2 (1- x) Giaûi: pp Ñaët x=sint;t-<< 22 Trang 14
Traàn Só Tuøng Tích phaân dxcostdtdt Suy ra: dx=costdt&=32==d(tgt) (1-x)23 costcost x Khi ñoù: I=d(tdt)=tgt+C=+C. ò 2 1x- x Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: (1-x2)33==costvaøtgt 1x- 2 pp ïì cos2 t=cost laø bôûi: - Þí 22 22 îïcost=1-sint=-1x x2dx Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I= ò 2 x1- Giaûi: Vì ñieàu kieän x1> , ta xeùt hai tröôøng hôïp : · Vôùi x > 1 1 p 2cos2tdt Ñaët: x=;0t<< Suy ra: dx = sin2t4 sin2 2t x2dx2dt2(cos2t+sin22t)dt ú =-3=- 33 x12- sin2t8sintcost 1111 =-(cotgt.++tgt.)dt 4sin22tcostsintcost 11121 =-(cotgt.++tdt.) 4sin2tcos22ttgtcost 1d(tgt) =-[-cotgt.d(cotgt)++tgt.d(tgt)2]. 4tgt 1d(tgt) Khi ñoù: I=-[-cotgt.d(cotgt)++tgt.d(tgt)2] 4òòòtgt 11111 =-(-cotg2t+tg2t+2lntgt)+C=(cotg22t-tgt)-+lntgtC 42282 11 =xx22-1-lnx-x-+1C. 22 · Vôùi x < –1 Ñeà nghò baïn ñoïc töï laøm Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: cotg2t-tg2t=4xx22-1vaøtgt=x x1 cos4t sin42t4cos2t41sin2t41 laø bôûi: cotg22t-tgt1===- cos2t.sin2tsin22tsin222tsin2tsin2t sint2sin22t1- cos2t1cos2t 11 tgt = ===- = 1 cost2sint.costsin2tsin2t sin22t sin2t sin22t Trang 15
Tích phaân Traàn Só Tuøng dx Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I= ò (1+ x)23 Giaûi: pp dtdxcos3 tdt Ñaët: x=tgt;t- Þí x 22 ïsint==tgt.cost î 1x+2 2. Phöông phaùp treân ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn toång quaùt: dx I=Î,vôùikZ. ò 222k1+ (a+ x) Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tích tích phaân I= ò f(x)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc: + Böôùc 1: Choïn t = y(x), trong ñoù y(x) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp + Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân dt=y'(x)dx. + Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt + Böôùc 4: Khi ñoù I= òg(t)dt. Daáu hieäu Caùch choïn Haøm soá maãu coù t laø maãu soá Haøm soá f(x,j(x) t=j(x) a.sinx+ b.cosx xx Haøm f(x) = t=¹tg(vôùicos0) c.sinx++d.cosxe 22 · Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët: 1 t=x+a++xb Haøm f(x) = (x++a)(xb) · Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët: t=x-a+ xb Trang 16
Traàn Só Tuøng Tích phaân Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I=-òx3(23x28)dx. Giaûi: Ñaët: t=-23x2. Suy ra: dt=6xdx 3282282 t2t8æö1198 x(2-3x)dx=x(2-3x)xdx==.t.ç÷-dt=-(t2t)dt. 33èø618 1981æö1102911109 Khi ñoù: I=(t-2t)dt=ç÷t-t+C=t-+tC 18ò 18èø10918081 x2dx Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I= ò 1x- Giaûi: Ñaët: t=1-xÞx=-1t2 x2dx(1 t22)(2tdt) Suy ra: dx=-2tdt&==2(t42-+2t1)dt 1x- t 42æö1522342 Khi ñoù: I=2(t-2t+1)dt=-2ç÷t-t+t+C=-(3t-10t++15)tC ò èø5315 22 =-[3(1-x)22-10(1-x)+15]1-x+C=-(3x+4x+8)-+1xC 1515 Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I=-òx53(12x22)dx. Giaûi: 1t-3 3 Ñaët: t=31-2xx22Þ= . Suy ra: 2xdx=- t2tdt, 2 2 3 5222221-t2æö33274 x33(1-2x)dx=x(1-2x)xdx=.tç÷-tdt=-(tt)dt. 2èø48 3743æö18135632 Khi ñoù: I=(t-t)dt=ç÷t-t+C=(5t-+8t)tC 8ò 8èø85320 3 =[5(1-2x2)2-8(1-2x2)]3(1-+2x22)C 320 3 =(20x4-4x2-3)3(1-+2x22)C. 320 Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I=òsin3 xcosxdx. Giaûi: Ñaët: t=cosxÞ=t2 cosx dt = sinxdx, Trang 17
Tích phaân Traàn Só Tuøng sin3xcosxdx=sin22xcosxsinxdx=-(1cosx)cosxsinxdx =(1-t4).t.(2tdt)=-2(t62t)dt. 62æö1712362 Khi ñoù: I=2(t-t)dt=2ç÷t-t+C=(3t-+7t)tC ò èø7321 2 =(cos3x-+7cosx)cosxC. 21 cosx.sin3xdx Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I= ò1+sinx2 Giaûi: Ñaët: t=1-xÞx=1-t22at=+1sinx Suy ra: dt=2sinxcosxdx, cosx.sin32xdxsinx.cosx.sinxdx(t-1)dt11æö ===-ç÷1dt. 1++sin22x1sinx2t2tèø 1æö1122 Khi ñoù: I=ç÷1-dt=f12(t-lnt+C=[1+sinx-ln(1++sinx)]C 2òèøt2 cos2xdx Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I.= òsinx8 Giaûi: Ñaët: t = cotgx 1 Suy ra: dt=- dx, sinx2 cos22xdxcosxdx1dxdx ==cotg2x=+cotg2x.(1cotg22x) sin8xsin6xsin2xsin4xsin22xsinx =+t2.(1t22)dt. 22642æö172153 Khi ñoù: I=t.(1+t)dt=(t+2t+t)dt=ç÷t+t++tC òò èø753 1 =(15cotg7x+42cotg53x++35cotgx)C. 105 dx Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I= òeex-x/2 Giaûi: Ñaët: te=-x/2 1dx Suy ra: dt=-ex/2dxÛ-=2dt, 2ex/2 dxdxe-x/2dx-2tdt1 ===+2(1)dt ex-ex/2ex(1-e x/2)ex/2(1-ex/2)1 tt1 Trang 18
Traàn Só Tuøng Tích phaân æö1 x/2x/2 Khi ñoù: I=2ç÷1+dt=2(e+lne++1)C. òèøt1- Chuù yù: Baøi toaùn treân ñaõ duøng tôùi kinh nghieäm ñeå löïa choïn cho pheùp ñoåi bieán t=e,-x/2 tuy nhieân vôùi caùch ñaët te= x/2 chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän ñöôïc baøi toaùn. dx Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I = . ò x 1e+ Giaûi: Caùch 1: Ñaët: t=1+exÛt2x=+1e x 2tdtdx2tdt2tdt Suy ra: 2tdt=edxÛdx=2&.==22 t-11e+ xt(t 1)t1 dtt-11+-e1x Khi ñoù: I=2=ln+C=+lnC ò2 x t-+1t1 1++e1 Caùch 2: Ñaët: te=-x/2 1dx Suy ra: dt=e-x/2dxÛ-=2dt, 2ex/2 dxdxdx-2dt === 1+exex(e x+1)ex/2ex2++1t1 dt Khi ñoù: I=-2=-2lnt+t2+1+C=-2lne x/2x+e++1C ò 2 t1+ dx Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I=¹,vôùia0 ò 2 xa+ Giaûi: Ñaët: t=x++xa2 æöxx2 ++axdxdt Suy ra: dt=ç÷1+dx=dx Û= èøx2+ax22++axa t dt Khi ñoù: I==lnt+C=lnx+x2 ++aC. ò t dx Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = . ò (x++1)(x2) Giaûi: Ta xeùt hai tröôøng hôïp: ìx+>10 · Vôùi í Ûx1>- îx+>20 Ñaët: t=x+1++x2 Trang 19
Tích phaân Traàn Só Tuøng æö11(x+1++x2)dxdx2dt Suy ra: dt=ç÷+dx =Û= èø2x+12x+22(x+1)(x+2)(x++1)(x2) t dt Khi ñoù: I=2=2lnt+C=2lnx+1+x++2C ò t ìx+ (a0); c/ f(x).= x+-x12 (x2+ a)23 32xx- 22 x ÑS: a/ x3-(x23-+1)C; b/ + C; 33 a2xa22+ æö3 x c/ 6ç÷+66x+lnx-+1C. èø2 Baøi 14. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: cosx5 1 sinx+ cosx a/ f(x);= b/ f(x) = ; c/ f(x) = ; 3 sinx cosx 3 sinx- cosx cosx3 1 d/ f(x);= e/ f(x).= sinx sinx4 333 ÑS: a/ 3sin2x+33sin148x-+sinxC; 2144 Trang 20
Traàn Só Tuøng Tích phaân æöx p 3 b/ lntgç÷++C; c/ 3 1-+sin2xC; èø24 2 1 1 d/ lnsinx-+sin2 xC; e/ -cotg3x-+cotgxC. 2 3 Baøi 15. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 x1+ a/ f(x);= b/ f(x);= x 1e+ 2x x(1+ xe) 2xx.3 1 c/ f(x);= d/ f(x);= 94xx- xlnx.ln(lnx) xex ÑS: a/ -ln(e x+e2x ++1)C; b/ ln+ C; 1+ xex 132xx- c/ ,ln+ C; d/ lnln(lnx)+ C. 2(ln3-+ln2)32xx Trang 21
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 5: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN Coâng thöùc tính tích phaân töøng phaàn: òòudv=-uvvdu. Baøi toaùn 1: Söû duïng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn xaùc ñònh I= ò f(x)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: I==òòf(x)dxf12(x).f(x)dx. ìu= f1(x) ìdu + Böôùc 2: Ñaët: ííÞ îdv= f2 (x)dxvî + Böôùc 3: Khi ñoù: I=-uvò vdu. xln(x++x2 1) Ví duï 1: Tích tích phaân baát ñònh: I = ò . x12 + Giaûi: x Vieát laïi I döôùi daïng: I=òln(x++x2 1)dx. x12 + ì 1x+ ì 2 u=ln(x++x1) ï 2 dx ï ïdu ==x1+ Ñaët : ííx Þ 22 dv = x+x++1x1 ïï2 îx1+ï2 îv=+x1 Khi ñoù: I=x2+1ln(x+x2+1)-ò dx=x22+1ln(x+x+1)-+xC. Ví duï 2: Tích tích phaân baát ñònh: I= ò cos(lnx)dx. Giaûi: ì -1 ìu=cos(lnx) ïdu= sin(lnx)dx Ñaët : ííÞ x îdv=dx îïvx= Khi ñoù: I=+xcos(lnx)òsin(lnx)dx. (1) Xeùt J= òsin(lnx)dx. ì 1 ìu= sin(lnx) ïdu= cos(lnx)dx Ñaët: ííÞ x îdv=dx îïv=x. Khi ñoù: J=x.sin(lnx)-ò cos(lnx)dx=-x.sin(lnx)I (2) Trang 22
Traàn Só Tuøng Tích phaân x Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I=x.cos(lnx)+x.sin(lnx)-IÛI=[cos(lnx)++sin(lnx)]C. 2 Chuù yù: Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân: I12==òòsin(lnx)dxvaøIcos(lnx)dx ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau: · Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau: ì 1 ìu=sin(lnx) ïdu=cos(lnx)dx Ñaët : ííÞ x îdv=dx îïvx= Khi ñoù: I12=x.sin(lnx)-òcos(lnx)dx=-x.sin(lnx)I.(3) · Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I2, nhö sau: ì 1 ìu=cos(lnx) ïdu=- sin(lnx)dx Ñaët : ííÞ x îdv=dx îïvx= Khi ñoù: I21=x.cos(lnx)-òsin(lnx)dx=+x.cos(lnx)I.(4) · Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc: xx I=[sin(lnx)-cos(lnx)]+C.I=[sin(lnx)++cos(lnx)] C. 1222 ln(cosx) Ví duï 3: Tích tích phaân baát ñònh: I= dx. ò cosx2 Giaûi: ìu=ln(cosx) ì sinx ïïdu=- dx Ñaët : íídx Þcosx dv = ïïîcosx2 îv=tgx 2 æö1 Khi ñoù: I=ln(cosx).tgx+tgxdx=ln(cosx).tgx+-ç÷2 1dx òòèøcosx =ln(cosx).tgx+tgx-+xC. Baøi toaùn 2: Tính I=òòP(x)sinaaxdx(hoaëcP(x)cosxdx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[X]vaøaÎR.* PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Trang 23
Tích phaân Traàn Só Tuøng Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau: • Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: du= P'(x)dx u= P(x)  + Böôùc 1: Ñaët : ⇒ 1 . îdv=asinxdx v=-acosx îï a 11 + Böôùc 2: Khi ñoù: I=-P(x)cosa+aP'(x).cosx.dx. aaò + Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc. · Caùch 1: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Ta coù: I=ò P(x)cosaxdx=A(x)sinax+B(x)cosa+xC.(1) trong ñoù A(x) vaø B(x) laø caùc ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x). + Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc: P(x).cosax=[A'(x)+B(x)].sina++[A(x)B'(x)].cosx (2) Sö û dunï g phöông phapù he ä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc caùc ña thöùc A(x) vaø B(x) + Böôùc 3: Keát luaän. Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn. Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau: – Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1. – Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2. Ví duï 4: Tính : I= ò x.sin2 xdx (ÑHL_1999) Giaûi: Bieán ñoåi I veà daïng cô baûn: æö1-cos2x11112 I=xç÷dx=xdx-xcos2xdx=-xxcos2xdx(1) òèø22ò2òò42 Xeùt J= ò xcos2xdx. ì dx ïdu==dx ìux= ï x12 + Ñaët : ííÞ îdv=cos2xdx 1 ïv=sin2x îï2 x1x1 Khi ñoù: J=sin2x-sin2xdx=sin2x++cos2xC. (2) 22ò 24 1x1 Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I=x2 +sin2x++cos2xC. 448 Ví duï 5: Tính : I=ò(x32-x+-2x3)sinxdx. Trang 24
Traàn Só Tuøng Tích phaân Giaûi: Ta coù: I=ò(x32-x+-2x3)sinxdx 3232 =(a1x+b1x+c1x+d1)cosx+(a2x+b2x+c22x++d)sinxC(1) Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc: (x3-x2+2x-3)sinx=[ax32+(3a+b)x+(2b+c)x+c+-d].cosx 2121212 32 -[a1x-(3a2-b1)x-(2b2-c1)x+-c21d].sinx(2) Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ììa22=0-=a1 ïï ïï3a1+b2=03a21-b1=- íí(I)vaø(II) ïï2b1+c2=02b21-=c2 ïï îîc1+d2=0-c21+d3=- Giaûi (I) vaø (II), ta ñöôïc: a1=-1,b1=1,c1=4,d1=1,a2=0,b2=3,c22=-2,d=-4. Khi ñoù: I=(-x3+x22+4x+1)cosx+(3x-2x++4)sinxC. Baøi toaùn 3: Tính I=¹òòeaxcos(bx)dx(hoaëceax sin(bx))vôùia,b0. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau: · Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ìdu=-bsin(bx)dx ìu=cos(bx) ï + Böôùc 1: Ñaët : ííÞ 1 . dv=eaxdx ve=ax îîïa 1b Khi ñoù: I=+eaxcos(bx)eax sin(bx)dx.(1) aaò + Böôùc 2: Xeùt J=òeax sin(bx)dx. ìdu= bcosx(bx)dx ìu= sin(bx) ï Ñaët ííÞ 1 dv=eaxdx ve=ax îîïa 1b1b Khi ñoù: J=eaxsin(bx)-eaxcos(bx)dx=-eax sin(bx)I.(2) aaò aa 1b1b + Böôùc 3: Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I=eaõcos(bx)+-[eax sin(bx)I] aaaa [a.cos(bx)+b.sin(bx)eax ÛI=+C. ab22+ · Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp haèng soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc : + Böôùc 1: Ta coù: I=òeaxcos(bx)dx=[Acos(bx)++B.sin(bx)]eax C.(3) trong ñoù A, B laø caùc haèng soá. Trang 25
Tích phaân Traàn Só Tuøng + Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (3), ta ñöôïc: eax.cos(bx)=b[-Asin(bx)+Bcos(bx)]eax++a[Acos(bx)Bsin(bx)]eax =[(Aa+Bb).cos(bx)+-BaAb)sin(bx)]e.ax ì a A= ìAa+=Bb1 ï ab22+ Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ííÞ Ba-=Ab0b î ïB= îïab22+ [a.cos(bx)+b.sin(bx)]eax + Böôùc 3: Vaäy: I=+C. ab22+ Chuù yù: 1. Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân: axax I12==òòecos(bx)dxvaøIesin(bx)dx. ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau: · Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau: ìdu=-bsin(bx)dx ìu=cos(bx) ï Ñaët: ííÞ 1 dv=eaxdx ve=ax îîïa 1b1b Khi ñoù: I=eaxcos(bx)+eaxsin(bx)dx=+eax cos(bx)I.(3) 12aaò aa · Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau: ìdu= bcos(bx)dx ìu= sin(bx) ï Ñaët: ííÞ 1 dv=eaxdx ve=ax îîïa 1b1b Khi ñoù: I=eaxsin(bx)-eaxcos(bx)dx=-eax sin(bx)I.(4) 21aaò aa · Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc: [a.cos(bx)+-b.sin(bx)]eax[a.sin(bx)b.cos(bx)]eax I=+C.I=+C. 12a2++b2ab22 2. Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc tích phaân: ax2ax2 J12==òòesin(bx)dxvaøJecos(bx)dx. Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I=òex2.cosxdx. Giaûi: Caùch 1: Vieát laïi I döôùi daïng: 111 I=ex.(1+cos2x)dx=(exdx+ex.cos2xdx)=+(exxe.cos2xdx)(1) 2ò22òòò · Xeùt J=òex .cos2xdx. Trang 26
Traàn Só Tuøng Tích phaân ììu=cos2xdu=-2sin2xdx Ñaët: ííxxÞ îîdv==edxve Khi ñoù: J=+exxcos2x2òesin2xdx(2) · Xeùt: K=òex sin2xdx. ììu==sin2xdu2cos2xdx Ñaët: ííxxÞ îîdv==edxve Khi ñoù: K=exsin2x-2òexxcos2xdx=-esin2x2J(3) Thay (3) vaøo (2), ta ñöôïc: 1 J=excos2x+2(exxsin2x-2J)ÛJ=(cos2x++2sin2x)eC(4) 5 Thay (4) vaøo (1), ta ñöôïc: 111 I=[ex+(cos2x+2sin2x)exx]+C=(5+cos2x++2sin2x)eC 2510 1 Caùch 2: I=exx.(1+cos2x)dx=(a+b.cos2x++c.sin2x)eC.(5) 2ò Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (5), ta ñöôïc: 1 ex(1+cos2x)=(-b.sin2x+2c.cos2x)exx+(a++b.cos2xc.sin2x)e 2 =[a+(2x+b)cos2x+-(c2b)sin2x]ex.(6) ìì2a==1a1/2 ïï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: íí2(2c+b)=1Þ=b1/10. ïï îî2(c-2b)==0c1/5 1 Vaäy: I=(5+cos2x++2sin2x)ex C. 10 Baøi toaùn 4: Tính I=òP(x)eaxdx vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[X] vaø aÎR.* PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau: · Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ìdu= P'(x)dx ìu= P(x) ï + Böôùc 1: Ñaët : ííÞ 1. dv=eaxdx ve=ax îïîa 11 + Böôùc 2: Khi ñoù: I=-P(x)eaaxxP'(x).e.dx. aaò + Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc. · Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc : Trang 27
Tích phaân Traàn Só Tuøng + Böôùc 1: Ta coù: I=òP(x).eaaxx.dx=+A(x)eC.(1) trong ñoù A(x) laø ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x) + Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc: P(x).eaaxx=[A'(x)+aA(x)].e(2) Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc A(x). + Böôùc 3: Keát luaän Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn. Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau: · Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1. · Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2. Ví duï 7: Tính : I=òxe3xdx. Giaûi: ìdu= dx ìux= ï 13x13x113x3x Ñaët: ííÞ 1 . Khi ñoù: I=xe-e.dx=xe-+eC. dv=e3xdx ve=3x 33ò39 îîï3 Ví duï 8: Tính : I=ò(2x3+5x2-+2x4)e2xdx Giaûi: Ta coù: I=ò(2x3+5x2-2x+4)e2xdx=(ax3+bx2+cx++d)e2x C.(1) Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc: (2x3+5x2-2x+4)e2x=[2ax3+(3a+2b)x2+(2b+2c)x++c2d]e2x (2) ìì2a==2a1 ïï ïï3a+2b==5b1 Ñoàng nhaát ñaúng thöùc ta ñöôïc: ííÛ ïï2b+2c=-2c2=- îîïïc+2d==4d3 Khi ñoù: I=(xx3+2-2x++3)e2x C. Baøi toaùn 5: Tính I=òxa.lnxdx,vôùiaÎ-R\{1}. ì1 du=dx ìu=lnx ïx Ñaët : ííÞ dv=xadx 1 îïvx=a+1 îïa+1 xa+1xaxxa+11a+ Khi ñoù: I=lnx-dx=lnx-+C. a+1òa+11a+ (a+1)2 Trang 28
Traàn Só Tuøng Tích phaân Ví duï 9: Tính I= ò x2 ln2xdx. ì dx u= ln2x ïdu = 333 ì ï x x2xx Ñaët : ííÞ . Khi ñoù: I=ln2xxdx=ln2x-+C. dv=x2dx 1 3ò 39 îïvx=3 îï3 BAØI TAÄP Baøi 16. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: a/ f(x)= lnx; b/ f(x)=+(x21)e2x ; c/ f(x)= x2 sinx; d/ f(x)=ex sinx; e/ f(x)= x.cosx; f/ f(x)=ex2(1++tgxtgx). 1 ÑS: a/ xlnxxC-+ b/ (2x2-x++3)e2x C; 4 1 c/ (2-x)2 cosx++2sinxC; d/ ex (sinx-+cosx)C; 2 e/ 2x(x-6)sinx+6(x-+2)cosxC; f/ extgx+ C. Baøi 17. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2 æölnx a/ f(x)= e;x b/ f(x);=ç÷ c/ f(x)=+(x1)22cosx; èøx d/ f(x)= e-2x.cos3x; e/ f(x)= sin(lnx); f/ f(x)=x2 +¹K,(K0); lnx2 ÑS: a/ 2(x-+1)ex C; b/ 2lnx-2x-+C; x (x+1)32(x++1)sin2x(x1)cos2xsin2x c/ ++-+C; 6448 e-2x x d/ (3sin3x-+2cos3x)C; e/ [sin(lnx)++cos(lnx] C; 13 2 xK f/ x22+K+lnx+x++KC. 22 Baøi 18. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: a/ f(x)= x3 lnx (HVQY_1999) b/ f(x)=+(x2 2)sin2x (ÑHPÑ_2000) c/ f(x)= xsinx (ÑHMÑC_1998) 11 1x1 ÑS: a/ x44lnx-+xC; b/ -(x2 +2)cos2x+sin2x++cos2xC; 416 224 c/ -2x3 cosx+6xsinx+12xcosx-+12sinxC. Trang 29
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 6: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP DUØNG NGUYEÂN HAØM PHUÏ YÙ töôûng chuû ñaïo cuûa phöông phaùp xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa f(x) baèng kyõ thuaät duøng haøm phuï laø tìm kieám moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x)± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi haøm soá f(x), töø ñoù suy ra nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Tìm kieám haøm soá g(x). + Böôùc 2: Xaùc ñònh caùc nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x)± g(x), töùc laø: ìF(x)+=+G(x)A(x)C1 í (I) îF(x)-G(x)=+B(x)C2 1 + Böôùc 3: Töø heä (I), ta nhaän ñöôïc: F(x)=[A(x)++B(x)]C 2 laø hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x). sinx Ví duï 1: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x).= sinx- cosx Giaûi: cosx Choïn haøm soá phuï: g(x) = sinx- cosx Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù: sinx+ cosx f(x)+=g(x) sinx+cosx sinx+-cosxd(sinxcosx) ÞF(x)+G(x)=dx==lnsinx-+cosxC. òòsinxcosxsinxcosx 1 sinx-cosx f(x)-g(x)==1ÞF(x)-G(x)=dx=+xC. sinx- cosx ò2 ïìF(x)+G(x)=lnsinx-+cosxC1 1 Ta ñöôïc: í ÞF(x)=(lnsinx-cosx++x)C. îïF(x)-G(x)=+xC2 2 cosx4 Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = sin44x+ cosx Giaûi: sinx4 Choïn haøm soá phuï: g(x) = sin44x+ cosx Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù: sin44x+csx f(x)+g(x)==1ÞF(x)+G(x)=dx=+xC sin44x+ cosx ò 1 cos4x sin4xcos22xsinxcos2x f(x)-g(x) === 4422222 1 sinx+cosx(cosx+-sinx)2cosx.sinx 1-sin22x 2 Trang 30
Traàn Só Tuøng Tích phaân 2cos2xd(sin2x)1sin2x2- ÞF(x)-G(x)=dx=-=-+lnC òò2- sin2x sin2 2x2- 22sin2x2+ 2 ìF(x)+G(x)=+xC1 ï 1æö12+sin2x Ta ñöôïc: í12+sin2x ÞF(x)=ç÷x++lnC. ïF(x)-G(x)=+lnC2 2 èø222-sin2x î222-sin2x Ví duï 3: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x)= 2sin2 x.sin2x. Giaûi: Choïn haøm soá phuï: g(x)= 2cos2 x.sin2x. Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù: f(x)+g(x)=2(sin22x+cosx).sin2x=2sin2xÞF(x)+G(x)2=sin2xdx=-+cos2xC ò 1 f(x)-g(x)=2(sin22x-cosx).sin2x=-2cos2x.sin2x=-sin4x 1 ÞF(x)-G(x)=-sin4xdx=+cos4xC ò 4 2 ìF(x)+G(x)=-+cos2xC ï 1 11æö Ta ñöôïc: í 1 ÞF(x)=ç÷-cos2x++cos4xC. F(x)-G(x)=cos4xC++ 24èø îï4 2 ex Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x).= eexx- - Giaûi: e-x Choïn haøm soá phuï: g(x).= eexx- - Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù: eexx+- f(x)+=g(x) eexx ex+-e xd(exxe) ÞF(x)+G(x)=dx==lnexx-+eC- òòex e xeexx 1 eexx f(x)-g(x)==1ÞF(x)-G(x)=dx=+xC. eexx- - ò2 ì xx- ïF(x)+G(x)=lne-+eC1 1 xx- Ta ñöôïc: í ÞF(x)=(lne-e++x)C. 2 îïF(x)-G(x)=+xC2 BAØI TAÄP Baøi 19. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: sinx ex a/ f(x);= b/ f(x)= sin2 x.cos2x. c/ f(x) = sinx+ cosx eexx+ - 1 11 1 ÑS: a/ (x-lnsinx++cosxC; b/ (sin2x-sin4x-+x)C; c/ (x+lnexx++e- )C. 2 44 2 Trang 31
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 7: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ HÖÕU TÆ Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm soá höõu tæ ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông phaùp cô baûn sau: 1. Phöông phaùp tam thöùc baäc hai 2. Phöông phaùp phaân tích 3. Phöông phaùp ñoåi bieán 4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn 5. Söû duïng caùc phöông phaùp khaùc nhau. 1. PHÖÔNG PHAÙP TAM THÖÙC BAÄC HAI Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ döïa treân tam thöùc baäc hai PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Treân cô sôû ñöa tam thöùc baäc hai veà daïng chính taéc vaø duøng caùc coâng thöùc sau: xdx1 1. =lnx2 ±+aC (1) ò xa2 ± 2 dx1xa- 2. =ln+¹C,vôùia0 (2) ò xa22- 2axa+ xdx Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x42 2x2 Giaûi: dxxdx1d(x2 -1) Ta coù: == òx4-2x2-2òò(x2-1)2-32 (x22 1)3 11x22-1-31x 13 =.ln+C=+lnC. 2 3x22-1+343x-+13 · Chuù yù: Cuõng coù theå trình baøy baøi toaùn töôøng minh hôn baèng vieäc ñoåi bieán soá tröôùc khi aùp duïng caùc coâng thöùc (1), (2). Cuï theå: xdxxdx Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: = òòx4-2x2-2(x22 1)3 Ñaët t=-x12 xdx1dt Suy ra: dt==2xdx& (x2-1)22 32 t3 1dt11t-31x2 13 Khi ñoù : I==.ln+C=+lnC. 22òt32 - 23t+343x2 -+13 Trang 32
Traàn Só Tuøng Tích phaân x3dx Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I= òx42 x2 Giaûi: æö2 11 3 ç÷x-+ xdx1122æö Ta coù: I==-èødx2 òò22ç÷ æ221ö922æö19èø çxx-÷-ç÷ è2ø4èø24 æ21öæ2211öæö çx-÷dçx ÷dxç÷ 11222 =+èøèøèø òò22 24æ221ö9æö19 çxx-÷-ç÷ è2ø4èø24 213 2x 11æö1911 =.lnx2 ++.lnC22 ç÷ 13 22èø2443 x2-+ 22 11x22- =lnx42-x-2++lnC. 42x12+ 2. PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp phaân tích PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Caàn hieåu raèng thöïc chaát noù laø moät daïng cuûa phöông phaùp heä soá baát ñònh, nhöng ôû ñaây ñeå P(x) phaân tích ta söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc quen thuoäc. Q(x) x2 Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh: I=¹dx,vôùia0. ò(ax+b)2 PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 111 x2=.a2x2=[(ax+b)-b]2=[(ax+b)22-2b(ax++b)b] a2aa22 x21(ax+b)22-2b(ax++b)b Ta ñöôïc: =. (ax++b)aaa2 (axb) 1éù12bb2 =2.êúa-21-+a-a aëû(ax+b)(ax++b)(axb) 1éùdx2bdxb2dx Khi ñoù: I.=-+ 2êúòa-21òòa-a aëû(ax+b)(ax++b)(axb) 1éùd(ax+b)2bd(ax++b)b2d(axb) =. -+ . 3êúòa-21òòa-a aëû(ax+b)(ax++b)(axb) Trang 33
Tích phaân Traàn Só Tuøng x2 Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx. ò (1- x)39 Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x22=(1-x)-2(1-+x)1 x22(1-x)-2(1-+x)1121 Ta ñöôïc: ==-+. (1 x)39(1x)39(1-x)37(1 x)37(1x)39 dx2dxdx Khi ñoù: I =-+ òòò(1-x)37(1 x)38(1x)39 121 =-++C. 36(1-x)3637(1 x)3738(1x)38 Chuù yù: Môû roäng töï nhieân cuûa phöông phaùp giaûi treân ta ñi xeùt ví duï: x3 Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx. ò (x- 1)10 Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc (coâng thöùc Taylo): x3=1+3(x-1)+3(x-1)23+-(x1). x31+3(x-1)+3(x-1)23+-(x1) Ta ñöôïc: = (x 1)10(x1)10 1331 =+++. (x-1)10987(x-1)(x 1)(x1) éù1331 Khi ñoù: I=+++ dx ò êú10987 ëû(x-1)(x-1)(x 1)(x1) 1331 = +C. 9(x-1)98(x-1)8767(x 1)6(x1) dx Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh: I=¹,vôùia0vaøn nguyeân döông. n ò(ax2n++bxc) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: · Tröôøng hôïp 1: Neáu n = 1 Ta xeùt ba khaû naêng cuûa D=-b2 4ac Khaû naêng 1: Neáu D > 0 111(x-x21) (xx) Khi ñoù: 2 ==. ax++bxc a(x-x1)(x-x2)a(x1-x2)(x x12)(xx) 1æö11 =-ç÷. a(x1-x2)èøx x12xx Trang 34
Traàn Só Tuøng Tích phaân 1æö111 Do ñoù: I1=òç÷-dx=[lnx-x12-lnx-+x]C. a(x1-x2)èøx-x1x x2a(xx12 1xx- =+.ln1 C. a(x1 x22)xx Khaû naêng 2: Neáu D = 0 11 Khi ñoù: 22= ax+bx+-ca(xx)0 1dx1 Do ñoù: I==-+C. ò2 a(x-x)0 a(x-x)0 Khaû naêng 3: Neáu D 1 b 1dt Baèng pheùp ñoåi bieán t=+x, ta ñöôïc: I= 2a n anò(t2n+k) Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn vôùi pheùp ñaët: ìì12ntdt ïïu=2ndu =- 2n1+ íí(t++k)Þ(tk) ïï îîdv==dtvt 1étt22dtù1ìüt[(t+-k)k]dt Khi ñoù: I=+2n=+2n nnêú2nòò2n++1níý2n2n1 aë(t+k)(t+k)ûaîþ(t++k)(tk) 1ìütéùdtdt =+-2nk níý2nêúòò2n2n1+ aîþ(t+k)ëû(t++k)(tk) 1éùttn =nêú2n+2n(In-kIn++1)Û2nkIn1n=2n+-(2na)I aëû(t++k)(tk) t Û2(n-1(kI=+(2n 2an1-)I(1) n(t2+k)n1- n1+ Chuù yù: Vì coâng thöùc (1) khoâng ñöôïc trình baøy trong phaïm vi saùch giaùo khoa 12, do ñoù caùc em hoïc sinh khi laøm baøi thi khoâng ñöôïc pheùp söû duïng noù, hoaëc neáu trong tröôøng hôïp ñöôïc söû duïng thì ñoù laø moät coâng thöùc quaù coàng keành raát khoù coù theå nhôù ñöôïc moät caùch chính xaùc, do vaäy trong töôøng hôïp n > 1 toát nhaát caùc em neân trình baøy theo caùc böôùc sau: – Böôùc 1: Xaùc ñònh I1. – Böôùc 2: Xaùc ñònh In theo In–1 (chöùng minh laïi (1)). – Böôùc 3: Bieåu dieãn truy hoài In theo I1 ta ñöôïc keát quaû caàn tìm. 1 Ví duï 5: Cho haøm soá f(x) = x2 -(m++2)x2m Trang 35
Tích phaân Traàn Só Tuøng Tính tích phaân baát ñònh I= ò f(x)dx bieát: a/ m = 1 b/ m = 2. Giaûi: dxdxdxd(x 2)d(x1) a/ Vôùi m = 1: I=f(x)dx ==-=- òòx2 -+3x2 òx-2òx-1òòx 2x1 x2- =lnx-2-lnx-1+C=+lnC. x1- dx1 b/ Vôùi m = 2: I=f(x)dx==-+C. òò(x- 2)2 x2- dx Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò(x23++4x3) Giaûi: dx Xeùt tích phaân J = , ta laàn löôït coù: n ò(x2n++4x3) · Vôùi n = 1 dxdx1æö111x1+ J1 =2 ==ç÷-dx=+lnC. òx++4x3 òò(x+1)(x+3)2èøx+1x++33x3 · Vôùi n > 1 Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn vôùi pheùp ñaët: ìì12ntdt ïïu=2ndu =- 2n1+ íí(t 1)Þ(t1) ïï îîdv==dtvt tt22dtt[(t-+1)1]dt Khi ñoù: J=+2n=+2n n(t2-1)nòò(t2-1)n++1(t2 1)n(t21)n1 téùdtdtt =+2n+=++2n(JJ) 2nêúòò2n2n+12n nn1+ (t-1)ëû(t-1)(t 1)(t1) tt Û2nJ= (2n-1)JÛ2(n-1)J= (2n3)J n+-1(t2 1)nnn(t21)n1- n1 1téù ÛJn=-n=êú2n1- +-2n3)Jn1- 2(n 1)ëû(t1) 1tæö Do ñoù: JJ21=-+ç÷2 2èøt1- 1éùt1ìütìü1tæö I=J3=-êú22+3J21=-í222+3Jí-+ç÷ýý 4ëû(t-1)42îþ(t 1)îþèøt1 x+23(x++2)3x1 =-+++lnC. 4(x2+4x3+)228(x++4x3) 16x3+ Trang 36
Traàn Só Tuøng Tích phaân (lx+m)dx Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh: I=¹,vôùia0 vaø n nguyeân döông. n ò(ax2n++bxc) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG llb Phaân tích: lx+m=(2ax+b) +m- 2a2a l(2ax+lb)dxbdx Khi ñoù: I=+()m- n 2aòò(ax2+bx+c)n2a (ax2n++bxc) l+(2axb)dx a/ Vôùi J= thì: n 2a ò((ax2n++bxc) Neáu n = 1, ta ñöôïc: l(2ax+lb)dx J==lnax2+bx++cC. 12aòax2++bxc 2a Neáu n > 1, ta ñöôïc: l(2ax+lb)dx1 J==-+.C. n2aò(ax2+bx+c)n2a(n-1) (ax2++bxc)n1- dx b/ Vôùi K,= ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh trong daïng 2. n ò(ax2n++bxc) Toång quaùt heïp: Trong phaïm vi phoå thoâng chuùng thöôøng gaëp tích phaân baát ñònh sau: P(x)dx I=¹,vôùia0 vaø baäc cuûa P(x) lôùn hôn 1. òax2 ++bxc Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: – Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc P(x) cho ax2++bxc ta ñöôïc: P(x)xl+m =+Q(x) ax22+bx+cax++bxc l2ax+lbb1 =Q(x)+.+(m- ). 2aax22+bx+c2a ax++bxc l(2ax+lb)dxbdx – Böôùc 2: Khi ñoù: I=Q(x)dx++(m- ). ò2aòòax22+bx+c2a ax++bxc Chuù yù: Tuy nhieân trong tröôøng hôïp ax22+bx+ccoùD=b->4ac0 (ta ñöôïc hai nghieäm x1, x2), chuùng ta thöïc hieän pheùp phaân tích: lx+m 1æöAB 2 =+ç÷. ax++bxc aèøx x12xx (2x32-10x+-16x1)dx Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I= ò x2-+5x6 Giaûi: Trang 37
Tích phaân Traàn Só Tuøng 2x32-10x+16x 14x1AB Bieán ñoåi: =2x2+=++ x22-5x+6x-+5x6 x 3x2 Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 4x-1=A(x-2)+-B(x3)(1) Ñeå xaùc ñònh A, B trong (1) ta coù theå löïa choïn moät hai caùch sau: · Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá Khai trieån veá phaûi cuûa (1) vaø saép xeáp ña thöùc theo thöù töï baäc luøi daàn, ta coù: 4x-1=(A+B)x+-2A3B. ììA+B==4A11 Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ííÛ îî-2A-3B=-1B7=- · Caùch 2: Phöông phaùp trò soá rieâng: ìA=11 Laàn löôït thay x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä: í îB7=- 2x32-10x+-16x1117 Töø ñoù suy ra: =2x.+- x2-+5x6 x 3x2 éù117 Do ñoù: I=2x+-dx=x2 +11lnx-3-7lnx-+2C. òëûêúx 3x2 Nhaän xeùt: Trong ví duï treân vieäc xaùc ñònh caùc heä soá A, B baèng hai caùch coù ñoä phöùc taïp gaàn gioáng nhau, tuy nhieân vôùi baøi toaùn caàn phaàn tích thaønh nhieàu nhaân töû thì caùch 2 thöôøng toû ra ñôn giaûn hôn. (ax2 ++bxc)dx Daïng 4: Tính tích phaân baát ñònh: I=¹111 ,vôùia0 nò(x-a)(ax2++bxc) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta xeùt ba khaû naêng cuûa D = b2 – 4ac 2 · Khaû naêng 1: Neáu D > 0, khi ñoù: ax+bx+c=a(x x12)(xx) 2 a1x++b11xcABC Khi ñoù phaân tích: 2 =++ (x-a)(ax++bxc) x-ax x12xx æöABC Do ñoù: I=òç÷++dx=Alnx-a+Blnx-x12+Clnx-+xC èøx-ax x12xx 22 · Khaû naêng 2: Neáu D = 0, khi ñoù: ax+bx+c=-a(xx0). 2 a1x++b11xcABC Khi ñoù phaân tích: 22=++ (x-a)(ax+bx+-c)x-a-xx0(xx)0 éùABCC Do ñoù: I=++dx=Alnx-a+Blnx-x-+C. òêú2 0 ëûx-ax x00(x-x)0xx · Khaû naêng 3: Neáu D < 0 Trang 38
Traàn Só Tuøng Tích phaân ax2 +bx++cAB(2xb)C Khi ñoù phaân tích: 111=++ (x-a)(ax2+bx+c)x-a ax22+bx+cax++bxc éùAB(2ax+bC Do ñoù: I=++ dx òëûêúx-a ax22+bx+cax++bxc dx =Alnx-a+Bln|ax2+bx++c|C òax2++bxc dx Trong ñoù tích phaân J= ñöôïc xaùc ñònh baèng pheùp ñoåi bieán x = tgt vôùi òax2 ++bxc æöpp t;Î-ç÷. èø22 Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: P(x)dx I=¹,vôùia0 vaø baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2. ò(x-a)(ax2++bxc) Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: – Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc P(x) cho (x-a)(ax2++bxc) ta ñöôïc: P(x)ax2 ++bxc =+Q(x) 111 (x-a)(ax22+bx+c)(x-a)(ax++bxc) (ax2 ++bxc)dx – Böôùc 2: Khi ñoù: I=+Q(x)dx 111 òò(x-a)(ax2++bxc) (x2 +-2x2)dx Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I= ò x13 + Giaûi: x22+2x-2x+2x 2AB(2x1)C Bieán ñoåi: ==++ x3+1(x+1)(x2-x+1)x1+x22-x+1x-+x1 (A+2B)x2 -(A-B-C)x+A-+BC = x13 + ììA+2B=1A1=- ïï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: íí-A+B+C=2Û=B1 ïï îîA-B+C=-=2C0 x2 +2x 212x1 Khi ñoù: =-+ x32+1x1+x-+x1 2 æö12x-12 x-+x1 Do ñoù: I=ç÷-+2 dx=-ln|x+1|+ln|x-x+1|+C=+lnC òèøx++1x-+x1 x1 dx Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh: I=¹,vôùiab ò(x++a)22(xb) Trang 39
Tích phaân Traàn Só Tuøng PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: éù(x+a)-+(xb) êú=1, ëûab- 2 2 1éù(x+a)-+(xb)1éù11 ==- 222êúêú (x+a)(x+-b)ëû(a-b)(x+a)(x+b)(ab) ëûx++bxa 1éù121 =2êú22-+ (a-b)ëû(x-+b)(x++a)(xb) (xa) 1éù12(x+a) (xb)1 =2êú22-+. (a-b)ëû(x++b)a-b(x++b)(xa) (xa) 11éù2æö111 = 2 êú22-ç÷-+ (a- b) ëû(x++b)a-bèøx++bxa (xa) ta ñöôïc: 1éù12æö111 I= + 2êúò22ç÷òòò (a-b)ëû(x++b)a-bèøx++bxa (xa) 1éù121 = (ln|x+b|-ln|x+a)|C-+ (a-b)2ëûêúx+aa-+bxa 1éù2x+a2x++ab =2êúln-+C. (a-b) ëûa-bx+b(x++b)(xa) dx Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò(x++3)22(x1) Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: éù(x+3)-+(x1) êú=1, ëû2 2 2 1éù(x+3)-+(x1)1éù11 ==- 22êúêú (x++3)(x1) ëû2(x+3)(x+1)4ëûx++1x3 1é121ù1éù1(x+3)-+(x1)1 =ê2-+2ú=êú22-+ 4ë(x+1)(x+1)(x+3)(x+3)û4ëû(x++1)(x++1)(x3) (x3) 1éùdxdxdxdx =-++ êúò22òòò 4ëû(x++1)x++1x3 (x3) 1éù111éùx++32x4 =êú ln|x+1|+ln|x+3|-+C=êúln-+C. 4ëûx+1x+34ëûx+1(x++1)(x3) P(x) Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx ò Q(x) Trang 40
Traàn Só Tuøng Tích phaân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG P(x) Giaû söû caàn xaùc ñònh: I = baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh. ò Q(x) Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: – Böôùc 1: Phaân tích Q(x) thaønh caùc ña thöùc baát khaû quy, giaû söû laø: Q(x)=ÎAn(x).Bmk(x).C(x),vôùin,m,kN. trong ñoù A(x), B(x), C(x) laø ña thöùc baäc hai hoaëc baäc nhaát. – Böôùc 2: Khi ñoù ta phaân tích: P(x)E(x) =+D(x) Q(x) An(x).Bmk(x).C(x) niimkjjtt éa1.A'(x)a2ùéb1.B'(x)b2ùéùc12.C'(x)c =D(x)+åêi+iú+ååêj+jú++êútj i=1ëA(x)A(x)ûj==1ëB(x)B(x)ût1ëûC(x)C(x) iijjtt Xaùc ñònh ñöôïc caùc heä soá a1,a21,b,b2,c12,c baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh. – Böôùc 3: Xaùc ñònh: néai.A'(x)aiùmkébj.B'(x)bjùéùctt.C'(x)c I=D(x)dx +1+2+1+2++12 òåòêiiúååòòêjjúêútt i=1ëA(x)A(x)ûj==1ëB(x)B(x)ût1 ëûC(x)C(x) x32-3x++x6 Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx. òx32-+5x6x Giaûi: Ta coù: x3-3x2+x+62x22-5x+62x-+5x6abc =1+=1+=1.+++ x3-5x2+6xx32-+5x6x x(x-2)(x-3)xx 2x3 Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 2x2 -5x+6=a(x-3)(x-2)+bx(x-3)+-cx(x2)(1) Ñeå xaùc ñònh a, b, c trong (1) ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau: · Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá Khai trieån veá phaûi cuûa (1) vaø saép xeáp ña thöùc theo thöù töï baäc luøi daàn, ta coù: 2x22-5x+6=(a+b+c)x-(5a+3b++2c)x6a ììa+b+c==2a1 ïï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: íí5a+3b+2c=5Ûb2=- ïï îî6a==6c3 · Caùch 2: Phöông phaùp trò soá rieâng: ìa1= ï Laàn löôït thay x = 0, x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä: íb2=- ï îc3= Trang 41
Tích phaân Traàn Só Tuøng x32-3x++x6123 Khi ñoù: =1+-+ x32-+5x6x xx 2x3 æö123 Do ñoù: I=ç÷1+-+dx=x+-ln|x|2ln|x-2|+3ln|x++3|C. òèøxx 2x3 7x4- Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx. òx3 -+3x2 Giaûi: 7x 47x4abc Ta coù: ==++ x3-3x+2(x+2)(x 1)22(x1) x-+1x2 (b+c)x2+(a+b-2c)x+2a-+2bc = (x 2)(x1)2 Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 7x-4=a(x+2)+b(x-1)(x+2)+-c(x1)2 (1) Ñeå xaùc ñònh a, b, c trong (1) ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau: · Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá: Khai trieån veá phaûi cuûa (1) vaø saép xeáp ña thöùc theo thöù töï baäc luøi daàn, ta coù: 7x-4=(b+c)x2+(a+b-2c)x+2a-+2bc. ììb+c==0a1 ïï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: íía+b-2c=7Û=b2 ïï îî2a-2b+c=-4c2=- · Caùch 2: Phöông phaùp trò soá rieâng: ìa1= ï Laàn löôït thay x = 0, x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä: íb2= ï îc2=- 7x-4122 Khi ñoù: =+-. x32-3x+-2(x1) x-+1x2 éù1221 Do ñoù: I=+-dx=-+2ln|x+1|-2ln+|x++2|C. òêú2 ëû(x-1) x-1x+-2x1 x32-x 4x1 Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I= òxx43+ Giaûi: x3-x2-4x-1x32-x 4x1abcd Ta coù: ==+++ x4-+x3x3(x1)xx32xx1+ (c+d)x32+(b-c)x+(a++b)xa = x3(x+1) Trang 42
Traàn Só Tuøng Tích phaân ììc+d=1a1=- ïï ïïb+c=-1b3=- Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ííÛ ïïa+b=-=4c2 îîïïa=-1d1=- x32-x 4x11321 Khi ñoù: = +- . x4+ x3xx32xx1+ æö132113 Do ñoù: I=ç÷-3-22+-dx=++2ln|x|-ln|x++1|C. òèøxxxx+1x2x 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp ñoåi bieán PHÖÔNG PHAÙP CHUNG xk-1k.P(x)dx Neáu tích phaân caàn xaùc ñònh coù daïng: I.= ò Q(x)k Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Ñaët t = xk, suy ra : dt= kxk1- dx, 1P(t)dt Khi ñoù: I= ò 1 (1) kQ1(t) Trong ñoù P1(x), Q1(x) laø ña thöùc coù baäc nhoû hôn P(x) vaø (Q(x). · Böôùc 2: Tính tích phaân trong (1) jj'(x).P[(x)]dx Chuù yù: Ta nhaän thaáy söï môû roäng töï nhieân vôùi daïng: I = ò Q[j(x)] trong ñoù j(x) laø moät ña thöùc baäc k cuûa x. Khi ñoù ñaët t = j(x). x3dx Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I.= ò (x82- 4) Giaûi: Ñaët t = x4 x3dx1dt Suy ra: dt==4x3dx&. (x8 4)24(t224) 1dt Khi ñoù: I = 4 ò (t22- 4) 1 Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1=[(t+2) (t2)]2 16 1[(t+2) (t2)]2 1éù121 Ta ñöôïc: I=dt=-+ dt òò22êú222 64(t-4)64 ëû(t-2)t-+4(t2) Trang 43
Tích phaân Traàn Só Tuøng 1éù11t-21 =êú lnC-+ 64ëût-22t++2t2 1æö2t1t 21æö2x441x2 = ln+C= +lnC ç÷2ç÷84 64èøt-42t+2642èøx-+4x2 (2x+1)dx Ví duï 14: Tính tích phaân baát ñònh: I= òx4+2x32+3x+-2x3 Giaûi: (2x+1)dx Bieán ñoåi I veà daïng: I= ò(x22+x+-1)4 (2x+1)dxdt Ñaët t=x2++x1. Suy ra: dt=(2x+=1)dx&. (x2+x+1)22 4t4 dtt-2x2 +-x1 Khi ñoù: I==ln+C=+lnC. òt22-4t2+ x++x3 x12 - Ví duï 15: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx. òx14 + Giaûi: 11 11 22 Bieán ñoåi I veà daïng: I==xxdxdx. òò1 2 +x2æö1 2ç÷x2+- x èøx 1 1- 1 æö1x2 dt Ñaët t=+x. Suy ra: dt=ç÷1-=2dx& 22 x èøxæö1 t2- ç÷x+ èøx 1 x2 dt1t-21+- Khi ñoù: I==ln+C=+lnCx ò2 1 t2- 22t+222 x1++ x 1x2-+x21 =+lnC. 22x2++x21 4. SÖÛ DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN Phöông phaùp naøy cho duø ít ñöôïc söû duïng ñoái vôùi caùc haøm soá höõu tæ, tuy nhieân trong nhöõng tröôøng hôïp rieâng noù laïi toû ra khaù hieäu quaû. Baøi toaùn 4: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Trang 44
Traàn Só Tuøng Tích phaân P(x)Q'(x)dx Neáu tích phaân caàn xaùc ñònh coù daïng: I = ò Qn (x) Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: u= P(x)  du • Böôùc 1: Ñaët Q'(x)dx ⇒ dv =  n v  Q(x) • Böôùc 2: Khi ñoù: I=−uv∫ vdu. x4dx Ví duï 16: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò (x23-1) Giaûi: x3.xdx Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò (x23-1) ììu==x32du3xdx ïï Ñaët : ííxdx1Þ dvv== ïï2323 îî(x 1)4(x1) x323xdx Khi ñoù: I=+ (1) 4(x2 1)34 ò(x221) Xeùt tích phaân: x22dx1[(x+1)+-(x1)]dx1éù121 J===++ dx ò22òò22êú222 (x 1)44(x1)ëû(x-2)x-+1(x1) 1æ1x 11ö1æöx12x =ç-+ln-÷+C=ç÷ln-+2C(2) 4èx-1x+1x++1ø4èøx1 x1- x3 3æöx-12x Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I=-232+ç÷ln-+C. 4(x 1)16èøx1+x1 Chuù yù: Ñeå xaùc ñònh tích phaân J chuùng ta cuõng coù theå tieáp tuïc söû duïng tích phaân töøng phaàn nhö sau: ììu==xdudx ïï Ñaët: ííxdx1Þ dvv==- ïï222 îî(x 1)2(x1) x1dxx1x1- Khi ñoù: J=-+=-+ln. 2(x2-1)2òx22 12(x1) 4x1+ 5. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC NHAU Trong phaàn naøy chuùng ta seõ ñi xem xeùt moät vaøi baøi toaùn ñöôïc giaûi baèng caùc phöông phaùp khaùc nhau vaø muïc ñích quan troïng nhaát laø caàn hoïc ñöôïc phöông phaùp suy luaän qua moãi ví duï. Trang 45
Tích phaân Traàn Só Tuøng x32 - Ví duï 17: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx. òx(x42++3x2) Giaûi: t3- Ñaët tx=2. Suy ra: dt=2xdx&x3(2-=3x28)dxdt. t(t++1)(t2) t3- Khi ñoù: I= dt òt(t-+1)(t2) t-3abc(a+b+c)t2 +(2a+2b++c)t2a Ta coù: =++= t(t+1)(t-2)tt+1t+2t(t++1)(t2) ììa+b+c=0a=-3/2 ïï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: íí3a+2b+c=1Û=b4 ïï îî2a=-3c=-5/2 t-331451 Khi ñoù: =-+- t(t+1)(t+2)2tt++12t2 æö3145135 Do ñoù: I=ç÷-+-dt=-lnt+4ln|t+1|-ln|t++2|C òèø2tt++12t222 35 =-ln(x2)+4ln(x22+1)-ln(x++2)C. 22 dx Ví duï 18: Tính tích phaân baát ñònh: I.= òt(x62+1) Giaûi: dx1dt Ñaët tx=3. Suy ra: dt==3x2dx&. x(x6++1)23t(t221) 1dt Khi ñoù: I= 3òt(t22+1) 1abtct(a+b)t42+(2a+b++c)ta Ta coù: =++= t(t2+1)2tt2+1(t2++1)2t(t221) ììa+b==0a1 ïï dt1tt Ñoàng nhaát, ta ñöôïc: íí2a+b+c=0Ûb1=- Þ 22= 222. ïït(t+1)tt++1(t1) îîa=1c1=- éù1tt111 Do ñoù: I= dt=ln|t|-ln|t2 +1|++.C òêú2222 ëûtt+1(t++1)22t1 1t2611x1 =(ln+)+C=(ln++)C. 22t2+1t2+1x66++1x1 Trang 46
Traàn Só Tuøng Tích phaân 1x-4 Ví duï 19: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx. òx(1+x)4 Giaûi: 1 x4 11t Ñaët tx=4. Suy ra: dt==4x3dx&. x(1+x)4 4t(1+t) 11t- Khi ñoù: I= dt 4òt(1+t) 1-tab(a++b)ta Ta coù: =+= t(1++t)tt1 t(t22+1) ììa+b=-=1a1 1-t12 Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ííÛÞ =- îîa=1b2=- t(1++t)tt1 æö12|t|x4 Do ñoù: I=ç÷-dt=ln|t|-2ln|t+1|+C=ln2+C=+ln42C. òèøtt1+ (t++1)(x1) (x3 -1)dx Ví duï 20: Tính tích phaân baát ñònh: I = . òx(x34-4)(x-+4x1) Giaûi: (x3 -1)dx Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò(x44-4x)(x-+4x1) Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1=(x44-4x+1)( (x4x) [(x4-4x+1)-(x4-4x)](x3-1)dx(x33 1)dx(x1)dx Ta ñöôïc: I==- ò(x4-4x)(x4-4x+1)òòx44-4xx-+4x1 11x4-4x =(ln|x44-4x|-ln|x-+4x1|)+C=+lnC. 44x4-+4x1 x12 - Ví duï 21: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx. òx4+2x32-x++2x1 Giaûi: Chia caû töû vaø maãu cuûa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân cho x2¹0, ta ñöôïc: 1 æ11öæö 1- dçx+÷dç÷x1++ 2 xx I=xdx ==èøèø ò21 òò22 x2+2x1-++ æ1öæ11öæö 2çx+÷+2çx+÷-3ç÷x++-14 xx èxøèxxøèø 1 x12 2 1++- 1x-+x1 =lnx +C=+lnC. 1 2 44x+++12 x++3x1 x Trang 47
Tích phaân Traàn Só Tuøng BAØI TAÄP Baøi 20. Tính tích phaân sau: dx dx dx a/ ; b/ ; c/ . ò 4x2 ++8x3 òx2 -+7x10 ò 3x2 2x1 12x1+ 1x5- 13x3+ ÑS: a/ ln+ C; b/ ln+ C; c/ ln+ C. 42x3+ 3x2- 43x1+ Baøi 21. Tính caùc tích phaân sau: 2x7- 5x7- 2x7+ 2x5+ a/ dx; b/ dx; c/ dx; d/ dx; òx2 -+3x2 òx2 -+3x2 òx2 ++5x6 ò9x2 -+6x1 9x1- ÑS: a/ 5lnx-1-3lnx-+2C; b/ 5lnx+1-+lnC; 2x1+ 2171æö c/ 3lnx+2-lnx++3C; d/ ln3x-1-+.ç÷C. 99èø3x1- Baøi 22. Tính caùc tích phaân sau: xdx 2x2 +-41x91 dx a/ ; b/ dx; c/ ; ò (x++1)(2x1) ò(x-1)(x2 x12) ò6x32 7x3x x13 - (x3 -+3x2)dx (x+ 2)2 dx d/ dx; e/ ; f/ . ò 4xx3 - òx(x2 ++2x1) ò x(x2 -+2x1) 11 ÑS: a/ lnx+1-lnx++C; b/ 4lnx-1+5lnx-4+7lnx++3C; 22 12331 c/ -lnx+lnx-+lnx++C; 3332113 17191 d/ x+lnx-lnx lnx++C; 4162162 4 9 e/ x+2lnx4lnx+1-+C; f/ 4lnx-2lnx-1-+C. x1+ x1- Baøi 23. Tính caùc tích phaân sau: xdx x7dx xdx x5dx 2dx a/ ; b/ ; c/ ; d/ ; e/ ; ò x42-+3x2 ò (x42+1) ò x42 2x1 ò x63 x2 ò x(x2 +1) x5dx dx x12 - x3 x2dx f/ ; g/ ;h/ dx; i/ dx; k/ . ò x63 x2 ò x(x102+1) òx14 + ò (x22+ 1) ò (1- x)10 2 1x2- 11æö4 ÑS: a/ ln+ C; b/ ç÷lnx-1++C; 2x12 - 4èøx14 + 1x2-+(12) 11x23 - c/ ln+ C; d/ lnx63-x-2++lnC; 42x2 (12) 618x13+ Trang 48
Traàn Só Tuøng Tích phaân x2 1x2 e/ ln+ C; f/ ln+ C; x12 + 8x42 + éù1 10 x2 1æöx9 1êú+- g/ ln++C; h/ lnx+ C; ç÷1010 êú1 9èøx++1x1 22 êúx2++ ëûx 11éù2 111 i/ ln(x+1)++C; k/ +C. 2ëûêúx12 +7(x-1)7894(x 1)9(x1) 2x2 ++2x5 Baøi 24. Cho haøm soá f(x) = x2 -+3x2 mnp a/ Tìm m, n, p ñeå f(x) =++ (x-1)2 x-+1x2 b/ Tìm hoï nguyeân haøm cuûa f(x) (ÑHTM_1994) 3 ÑS: a/ m=3;n==1;p1. b/ ln(x-1)(x+2)-+C. x1- Baøi 25. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: x24 - 1x12 - a/ f(x);= b/ ln+ C. (ÑHTM_1994) xx3 - 2x2 11 1x12 - ÑS: a/ x22+2lnx-lnx-+1C; b/ ln+ C. 22 2x2 3x2 ++3x3 Baøi 26. Cho haøm soá y = . x3 -+3x2 abc a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c ñeå y.=++ (x-1)2 x 1x2 b/ Tìm hoï nguyeân haøm cuûa y (ÑHQG–Haø Noäi_1995) 3 ÑS: a/ a = 3; b = 2; c = 1. b/ -+2lnx-1+lnx++2C. x1- Baøi 27. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá: x2001 1 a/ f(x) = b/ f(x) = (1+ x)21002 x(x1999 + 2000) x12 - c/ f(x) = (x22+5x+1)(x-+3x1) 1001 1xæö2 1x1999 ÑS: a/ ç÷+ C; b/ ln+ C; 2002èø1x+2 1999-+2000x1999 2000 1x2 -+3x1 c/ ln+ C. 8x2 -+5x1 Trang 49
Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 8: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM LÖÔÏNG GIAÙC Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông phaùp cô baûn sau: 1. Söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn. 2. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc ñöa veà caùc nguyeân haøm cô baûn. 3. Phöông phaùp ñoåi bieán. 4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. 1. SÖÛ DUÏNG CAÙC DAÏNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc baèng vieäc söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn. dx Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sin(x++a)sin(xb) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: • Böôùc 1: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: sin(a-b)sin[(x+a)-+(xb) 1 == sin(a b)sin(ab) · Böôùc 2: Ta ñöôïc: dx1sin[(x+a) (xb)] I==dxdx òòsin(x+a)sin(x+b)sin(a-b)sin(x++a)sin(xb) 1sin(x+a).cos(x+b)-cos(x++a).sin(xb) = dx sin(a-b)ò sin(x++a)sin(xb) 1éùcos(x++b)cos(xa) =-êúòòdxdx sin(a-b)ëûsin(x++b)sin(xa) 1 =[ln|sin(x+b)}-ln|sin(x++a)|]C sin(a-b) 1sin(x+b) =+lnC. sin(a-+b)sin(xa) Chuù yù: Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc daïng tích phaân sau: dx sin(a- b) 1. I = , söû duïng ñoàng nhaát thöùc 1.= ò cos(x++a)cos(xb) sin(a- b) dx cos(a- b) 2. I = , söû duïng ñoàng nhaát thöùc 1.= ò sin(x++a)cos(xb) cos(a- b) Trang 50
Traàn Só Tuøng Tích phaân 1 Ví duï 1: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = . æöp sinx.cosxç÷+ èø4 Giaûi: · Caùch 1: Söû duïng phöông phaùp trong daïng toaùn cô baûn p éùæöp cos cosêúç÷xx+- èø4 éùæöp Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1=4 =ëû=2cosx+-x. p êúç÷ cos 2 ëûèø4 4 2 éùæöp æppöæö cosêúç÷xx+- cosçx+÷cosx++sinç÷xsinx èø4 44 Ta ñöôïc: F(x)==2ëûdx2 èøèø òòæppöæö sinx.cosçx++÷sinx.cosxç÷ è44øèø éùæöp sinxç÷+ êúcosx 4 =+2êúòòdxèødx êúsinx æöp cosxç÷+ ëûêúèø4 éùæöpsinx =2êúln|sinx|-lncosç÷x++C=+2lnC ëûèø4 æöp cosxç÷+ èø4 · Caùch 2: Döïa treân ñaëc thuø cuûa haøm f(x) dxdx Ta coù: F(x)==22 òòsinx.(cosx-sinx) sin2 x(cotgx-1) d(cotgx)d(cotgx-1) =-2=-2=-2lncotgx-+1C. òòcotgx 1cotgx1 dx Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sinx+asin PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: dx1dx · Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: I== (1) òòxx+a-a sinx+asin2sin.cos 22 · Böôùc 2: AÙp duïng baøi toaùn 1 ñeå giaûi (1). Chuù yù: Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc daïng tích phaân sau: dx 1. I=£,vôùi|m|1 ò sinxm+ dxdx 2. I=vaøI=£,vôùi|m|1. òòcosx+cosa+cosxm Trang 51
Tích phaân Traàn Só Tuøng 1 Ví duï 2: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = . 2sinx1+ Giaûi: Bieán ñoåi f(x) veà daïng: 11111 f(x)=== (1) æö1 24p6x+p6x -p 2ç÷sinx+sinx+sinsin.cos èø2 61212 p æö6x+p6x -p cos cosç÷- 2æö6x+p6x -p Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1=6 =èø1212 =-cos p ç÷ cos 33èø1212 6 2 æö3x+p6x -p cos - 1 ç÷ Ta ñöôïc: F(x) = èø1212 ò 6+p6x -p 23 sin.cos 1212 6x+p6x-p6x+p6x -p 1 cos.cos+ sin.sin = 12121212 ò6x+p6x -p 23 sin.cos 1212 éù6x+p6x -p 1 êúcossin =+12dx12 dx êúòò6x+p6x -p 23êúsincos ëû1212 6x +p sin 1éù6x+p6x1+p =lnsin-lncos+C=+ln12 C. êú6x -p 233ëû1212 cos 12 Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh: I=ò tgx.tg(x+a)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: sinx.sin(x)+a I=tgx.tg(x+a=)dxdx òòcosx.cos(x)+a æöcosx.cos(x+a)+sinx.sin(x)+a =-òç÷1dx èøcosx.cos(x)+a cosadxdx =-dx=cosa-x(1) òcosx.cos(x+a)òòcosx.cos(x)+a · Böôùc 2: AÙp duïng baøi toaùn 1 ñeå giaûi (1). Chuù yù: Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc daïng tích phaân sau: Trang 52
Traàn Só Tuøng Tích phaân 1. I=ò tg(x+a).cotg(x+b)dx. 2. I=ò cotg(x+a).cotg(x+b)dx. æöp Ví duï 3: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)=+tgx.tgxç÷. èø4 Giaûi: æpöæppöæö sinx.sinçx+÷cosx.cosçx+÷++sinx.sinxç÷ Bieán ñoåi f(x) veà daïng: f(x)1=è4ø=-è44øèø æppöæö cosx.cosçx++÷cosx.cosxç÷ è44øèø p cos 21 =4-1=-.1. æppö2 æö cosx.cosçx++÷cosx.cosxç÷ è44øèø 2dx2dx Khi ñoù: F(x)=-dx=-+x(1) 22òæppöòòæö cosx.cosçx++÷cosx.cosxç÷ è44øèø dx Ñeå ñi xaùc ñònh : J = ta löïa choïn moät trong hai caùch sau: ò æöp cosx.cosxç÷+ èø4 · Caùch 1: Söû duïng phöông phaùp trong daïng toaùn cô baûn. p éùæöp sin sinç÷xx+- êúèø4 éùæöp Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1=4 =ëû=2sinxx+- p êúç÷ sin 2 ëûèø4 4 2 Ta ñöôïc: éùæöp æppöæö sinç÷xx+- sinçx+÷cosx-+cosç÷xsinx êúèø4 J==2ëûdx2è44øèødx òòæppöæö cosx.cosçx++÷cosx.cosxç÷ è44øèø éùæöp sinxç÷+ êúèø4 sinx éùæöp =2êúòòdx-dx=2êú-lncosxç÷x+++lncosxC æöpcosx4ëûèø êúcosxç÷+ ëûêúèø4 cosx =2ln +C=-2ln1-+tgxC. æöp cosxç÷+ èø4 · Caùch 2: Döïa treân ñaëc thuø cuûa haøm döôùi daáu tích phaân dxdx Ta coù: J==22 òòcosx.(cosx-sinx) cos2 x(1-tgx) Trang 53
Tích phaân Traàn Só Tuøng d(tgx)d(1- tgx) =2=-2=-2ln1-+tgxC òò1 tgx1tgx Vaäy ta ñöôïc: F(x)=-x-ln1-+tgxC. dx Daïng 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò asinx+ bcosx PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta coù theå löïa choïn hai caùch bieán ñoåi: · Caùch 1: Ta coù: 1dx1dx I == 22òò22 xx+a+a a++bsin(x)+a ab2sincos 22 æöx+a dtg 1dx1ç÷ ==èø2 22òòx+axx+a22 +a a++b2tgcos2 ab tg 222 1x+a =+lntgC. ab22+2 · Caùch 2: Ta coù: 1dx1sin(x+a)dx I == òò2 a2++b2sin(x)+a ab22sin(x)+a 1d[cos(x+a)]1cos(x+a-)1 =-=-+lnC. ò2 a2++b2cos(x+a-)1 2ab22cos(x+a+)1 Chuù yù: Chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän baèng phöông phaùp ñaïi soá hoaù vôùi vieäc ñoåi bieán: x t= tg. 2 2 Ví duï 4: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = . 3sinx+ cosx Giaûi: 2dxdxdx Ta coù: F(x) === ò3sinx+ cosx òòæpöæxxppöæö sinç÷x+2sinç++÷cosç÷ èø6è212øèø212 éùæöxp dtgç÷+ dxxêúèø212 p ==ëû=lntg++C. òòæxpöæxxppöæö 212 2tgç+÷cos2ç++÷tgç÷ è212øè212øèø212 asinx+ bcosx Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh: I= ò 11dx. a22sinx+ bcosx PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Trang 54
Traàn Só Tuøng Tích phaân • Böôùc 1: Bieán ñoåi : a1sinx+b1cosx=A(a2sinx+b2cosx)+-B(a22cosxbsinx) • Böôùc 2: Khi ñoù: A(asinx+bcosx)+-B(acosxbsinx) I=ò2222dx a22sinx+bcosx a22cosx-bsinx =Aòòdx+Bdx=Ax+Blna22sinx++bcosxC a22sinx+bcosx 4sinx+3cosx Ví duï 5: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = . sinx+2cosx Giaûi: Bieán ñoåi: 4sinx+3cosx=a(sinx+2cosx)+-b(cosx2sinx) =(a-2b)sinx++(2ab)cosx ììa-2b==4a2 Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ííÛ îî2a+b=3b1=- 2(sinx+2cosx)-(cosx 2sinx)cosx2sinx Khi ñoù: f(x)==-2. sinx++2cosxsinx2cosx æöcosx-+2sinxd(sinx2cosx) Do ñoù: F(x)=ç÷2-dx=-2dx òòèøsinx++2cosxsinx2cosx =2x-lnsinx++2cosxC asinx+bcosx Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh: I=11dx ò 2 (a22sinx+bcosx) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Bieán ñoåi : a1sinx+b1cosx=A(a2sinx+b2cosx)+-B(a22cosxbsinx) · Böôùc 2: Khi ñoù: A(asinx+bcosx)+-B(acosxbsinx) I=2222dx ò 2 (a22sinx+bcosx) dxacosx-bsinx =+AB22dx òò2 a22sinx+bcosx(a22sinx+bcosx) AdxB =- 22ò ab+sin(x+a+)a22sinxbcosx 22 AxB+a =ln|tg|C-+ 22 2asinx+bcosx ab22+ 22 ba Trong ñoù sina=22vaøcosa= 2222 a2++b2ab22 Trang 55
Tích phaân Traàn Só Tuøng 8cosx Ví duï 6: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = . 2+-3sin2xcos2x Giaûi: 8cosx8cosx Bieán ñoåi: f(x) == 3sin2x+23sinxcosx++cos22x(3sinxcosx) Giaû söû: 8cosx=a(3sinx+cosx)+b(3cosx-sinx)=(a3-b)sinx++(a b3)cosx ïïìa3-=b0 ìa2= Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ííÛ îïa+=b3 îïb=23 223(3cosx- sinx) Khi ñoù: f(x) =- 3sinx++csx(3sinxcosx) 2dxd(3sinx+ cosx) Do ñoù: F(x)=-23 òò3sinx++cosx(3sinxcosx)2 1æöxp 23 =lntgç÷+-+C. 2èø212 3sinx+cosx Chuù yù: Trong lôøi giaûi treân ta ñaõ taän duïng keát quaû trong ví duï 4 laø: 2dx1xæöp =lntgCç÷++ ò3sinx+cosx 2èø212 dx Daïng 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò asinx++bcosxc PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta xeùt 3 khaû naêng sau: 1. Neáu c=+ab22 Ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi: 1111 ==. x -a asinx+bcosx+cc[1+cos(x-a)]2c cos2 2 ab trong ñoù sina=vaøcosa= a2++b2ab22 æöx -a d 1dx1ç÷1x-a Khi ñoù: I==èø2 =+tgC. òòxx-a-a 2ccos22ccos 22 22 2. Neáu c=-+ab22 Ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi: Trang 56
Traàn Só Tuøng Tích phaân 1111 ==. x -a asinx+bcosx+cc[1-cos(x-a)]2c sin2 2 ab trong ñoù sina=vaøcosa= a2++b2ab22 æöx -a d 1dx1ç÷1x-a Khi ñoù: I==èø2=+cotgC. òòxx-a-a 2csin22csin c2 22 3. Neáu c2¹+ab22 x Ta thöïc hieän pheùp ñoåi bieán t= tg. 2 2dt2t1t- 2 Khi ñoù: dx=,sinx==&cosx. 1+t21++t221t 2dx Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh I = . ò 2sinx-+cosx1 Giaûi: x 111æöx12dt Ñaët: t= tg, ta ñöôïc: dt=.dx=1+tg22dx=(1+t)dxÞ=dx x ç÷ 2 2 2cos2 2èø22 1t+ 2 4dt x tg1- 2 2dtd(t+-1)t1 Khi ñoù: I=1+t2==2=ln+C=+lnC ò4t1-t2òòt22+2t(t+-1)1 t1+ x -+1 tg1+ 1++t221t 2 æöxp =lntgç÷-+C. èø24 asinx++bcosxc Daïng 8: Tính tích phaân baát ñònh: I= ò111dx. a1sinx++b22cosxc PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Bieán ñoåi: a1sinx+b1cosx+c1=A(a2sinx+b2cosx+c2)+B(a22cosx-+bsinx)C · Böôùc 2: Khi ñoù: A(asinx+bcosx+c)+B(acosx-+bsinx)C I = 22222 ò asinx++bcosxc 222 acosx-bsinx dx =Aòdx++Bòò22dxC a2sinx+b2cosx+c2a2sinx++b22cosxc Trang 57
Tích phaân Traàn Só Tuøng dx =Ax+Blnasinx+bcosx++cC 222ò a2sinx++b22cosxc dx trong ñoù ò ñöôïc xaùc ñònh nhôø daïng 4. a2sinx++b22cosxc 5sinx Ví duï 8: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x).= . 2sinx-+cosx1 Giaûi: Giaû söû: 5sinx = a(2sinx – cosx + 1) + b(2cosx + sinx) + c = (2a + b)sinx + (2b – a)cosx + a + c. ìì2a+b==5a2 ïï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: íí2b-a=0Û=b1 ïï îîa+c=0c2=- 2(2sinx-cosx+1)+(2cosx+-sinx)2 Khi ñoù: f(x) = 2sinx-+cosx1 2cosx+sinx2 =2+- 2sinx-cosx+12sinx-+cosx1 2cosx+sinx2 Do ñoù: F(x)=2dx+-dxdx òòò2sinx-cosx+12sinx-+cosx1 d(2sinx-+cosx1)2dx =2dx +- òò2sinx-cosx+12sinx-+cosx1 æöxp =2x+ln|2sinx-cosx+1|-lntgç÷-+C. èø22 Chuù yù: Trong lôøi giaûi treân ta ñaõ taän duïng keát quaû trong ví duï 7 laø: 2dxxæöp =lntgç÷-+C. ò2sinx-+cosx1èø24 asin22x++bsinxcosxccosx Daïng 9: Tính tích phaân baát ñònh: I=ò111dx. a22sinx+bcosx PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: 22 · Böôùc 1: Bieán ñoåi: a1sinx++b11sinx.cosxccosx 22 =(Asinx+Bcosx)(a22sinx+bcosx)++C(sinxcosx) · Böôùc 2: Khi ñoù: (Asinx+Bcosx)(asinx++bcosx)C I= 22 dx ò asinx+bcosx 22 dx =òò(Asinx++Bcosx)dxC a22sinx+bcosx Trang 58
Traàn Só Tuøng Tích phaân Cdx =-Acosx++Bsinx ò ab22+ sin(x)+a 22 Cx+a =-Acosx+Bsinx++ln|tg|C 22 1 ab22+ ba trong ñoù sina=22vaøcosa= . 2222 a2++b2ab22 4sin2 x1+ Ví duï 9: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = . 3sinx+cosx Giaûi: Giaû söû: 4sin2x+1=5sin2x+cos2x=(asinx+bcosx)(3sinx+cosx)++c(sin22xcosx) =(a3+c)sin22x+(a+b3)sinx.cosx++(bc)cosx. ìa3+=c5 ìa3= ï ï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ía+b3=0Ûíb1=- ï ï îîbc+==1c2 2dx Do ñoù: F(x)=(3sinx cosx)dx òò3sinx+cosx 1xæöp =-3cosx-sinx-lntgç÷++C. 2èø212 Chuù yù: Trong lôøi giaûi treân ta ñaõ taän duïng keát quaû trong ví duï 4 laø: 2dx1xæöp =lntgç÷++C. ò3sinx+cosx 2èø212 dx Daïng 10: Tính tích phaân baát ñònh: I.= òasin22x++bsinxcosxccosx PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: dx · Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: I= ò(atg22x++btgxc)cosx · Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = tgx 1dxdt Suy ra: dt==dx& cos2x(atg2x+btgx+c)cos22xat++btc dt Khi ñoù: I.= òat2 ++btc dx Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I= ò3sin22x 2sinxcosxcosx Trang 59
Tích phaân Traàn Só Tuøng Giaûi: dx Söû duïng ñaúng thöùc: =d(tgx) cosx2 æö1 dtgx - dx1d(tgx)1ç÷ Ta coù: I ===èø3 ò22òò22 (3tgx 2tgx1)cosx 33æ1ö4æö14 çtgx-÷-ç÷tgx è3ø9èø39 12 tgx 11tgx 11sinxcosx =ln33+C=ln+C=+lnC. 12 4tgx -+ 43tgx++143sinxcosx 33 2. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LÖÔÏNG GIAÙC ÑÖA VEÀ CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc ñöa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng quen thuoäc. Caùc pheùp bieán ñoåi thöôøng duøng bao goàm: · Pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång (chuùng ta ñaõ thaáy trong phöông phaùp phaân tích) · Haï baäc · Caùc kyõ thuaät bieán ñoåi khaùc. Chuùng ta seõ laàn löôït xem xeùt caùc ví duï maãu. 2.1. Söû duïng pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång: ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau: 1 1 a/ cosx.cosy=[cos(x+y)+-cos(xy)] c/ sinx.cosy=[sin(x+y)+-sin(xy)] 2 2 1 1 b/ sinx.siny=[cos(x-y)-+cos(xy)] d/ cosx.siny=[sin(x+y) sin(xy)] 2 2 Ví duï 11: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)= cos3x.cos5x. (ÑHAN–97) Giaûi: 1 Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc: f(x)=+(cos8xcos2x) 2 11æö11 Khi ñoù: F(x)=(cos8x+cos2x)dx=ç÷sin8x++sin2xC. 2ò 2èø82 Chuù yù: Neáu haøm f(x) laø tích cuûa nhieàu hôn 2 haøm soá löôïng giaùc ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi daàn, cuï theå ta ñi xem xeùt ví duï sau: Trang 60
Traàn Só Tuøng Tích phaân æppöæö Ví duï 12: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)=tgxtgç-+x÷tgxç÷ è33øèø Giaûi: æppöæö sinx.sinç-+x÷.sinxç÷ Ta coù: f(x)= è33øèø(1) æppöæö cosx.cosç-+x÷.cosxç÷ è33øèø Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc: æpöæppö12æö sinx.sinç-x÷.sinç+x÷=-sinxç÷cos2xcos è3øè3ø23èø æpöæppö12æö cosx.cosç-x÷.cosç+x÷=+cosç÷coscos2x è3øè3ø23èø 11111 =-cosx+cos2x.cosx=-cosx+(cos3x+=cosx)cos3x. 42444 Suy ra: f(x) = tg3x 11sin3x1d(cos3x)1 Khi ñoù: F(x)=tg3xdx=dx=-=-+lncos3xC. 4ò4òòcos3x12cos3x12 2.2. Söû duïng pheùp haï baäc: ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau: 1- cos2x 3sinx- sin3x a/ sinx2 = c/ sinx3 = 2 4 1+ cosx 3cosx+ cos3x b/ cosx2 = d/ cosx3 = 2 4 ñöôïc söû duïng trong caùc pheùp haï baäc mang tính cuïc boä, coøn haèng ñaúng thöùc: sin22x+=cosx1. ñöôïc söû dungï trong caùc pheùp haï bacä mang tính toaøn cucï cho caùc bieuå thöcù , ví du ï nhö: 11 sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x.cos22x=1-sin2x=1 (1cos 4x) 24 13 =+cos4x 44 3 sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)3-3sin2x+cos22x)=-1sin2x 4 335 =1-(1-cos4x)=+cos4x. 888 Ví duï 13: (HVQHQT_98): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá : a/ f(x)= sin3 x.sin3x b/ f(x)=+sin33x.cos3xcosx.sin3x. Giaûi: Trang 61
Tích phaân Traàn Só Tuøng a/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng: 3sinx-sinx31 f(x)=.sin3x=-sin3x.sinxsin23x. 444 311 =(cos2x-cos4x)x-(1-cos6x)=(3cos2x-3cos4x+-cos6x1) . 888 1 Khi ñoù: F(x)=(3cos2x-3cos4x+-cos6x1)dx 8ò 1æö331 =ç÷sin2x-+sin4xsin6x-+xC. 8èø246 b/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng: 3sinx-+sin3xcos3x3cosx f(x)=+.cos3x.sin3x 44 33 =(cos3x.sinx+=sin3x.cosx)sin4x. 44 33 Khi ñoù: F(x)=sin4xdx=-+cos4xC. 4ò 16 2.3. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc khaùc nhau ÔÛ ñaây ngoaøi vieäc vaän duïng moät caùch linh hoaït caùc coâng thöùc bieán ñoåi löôïng giaùc caùc em hoïc sinh coøn caàn thieát bieát caùc ñònh höôùng trong pheùp bieán ñoåi. Ví duï 14: (ÑHNT TP.HCM_99): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá : sinx-cosx cos2x a/ f(x);= b/ f(x).= sinx+cosx sinx+cosx Giaûi: sinx-+cosxd(sinxcosx) a/ Ta coù: F(x)==-=-ln(sinx++cosx)C òòsinx++cosxsinxcosx cos2xcos22x-sinx b/ Ta coù: F(x)==dxdx òòsinx++cosxsinxcosx =ò(cosx-sinx)dx=sinx++cosxC. sin3x.sin4x Ví duï 15: (ÑHNT HN_97): Tính tích phaân baát ñònh: I.= òtgx+cotg2x Giaûi: Bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng: sin3x.sin4xsin3x.sin4x1 ==sin4x.sin3x.sin2x=-(cosxcos7x)sin2x tgx+cotg2x2cosx cosx.sin2x Trang 62
Traàn Só Tuøng Tích phaân 11 =(sin2x.cosx-cos7x.sin2x)=(sin3x+sinx-+sin9xsin5x). 24 1 Khi ñoù: I=(sinx++-sin3xsin5xsin9x)dx 4 ò 1111 =-(cosx+cos3xcos5x-+cos9x)C. 4359 Toång quaùt: Caùch tính phaân daïng: òsinmnx.cosxdx vôùi m, n laø nhöõng soá nguyeân ñöôïc tính nhôø caùc pheùp bieán ñoåi hoaëc duøng coâng töùc haï baäc. 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm löôïng giaùc baèng phöông phaùp ñoåi bieán PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Tính tích phaân baát ñònh sau: I= ò R(sinx,cosx)dx trong ñoù R laø haøm höõu tæ. Ta löïa choïn moät trong caùc höôùng sau: – Höôùng 1: Neáu R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx) thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = cosx – Höôùng 2: Neáu R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx) thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = sinx – Höôùng 3: Neáu R(-sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx) thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = tgx (ñoâi khi coù theå laø t = cotgx). Do ñoù vôùi caùc tích phaân daïng: 1. I=Îò tgnxdx,vôùinZ ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = tgx. 2. I=Îò cotgnxdx,vôùinZ ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = cotgx. – Höôùng 4: Moïi tröôøng hôïp ñeàu coù theå ñöa veà tích phaân caùc haøm höõu tæ baèng pheùp ñoåi x bieán t= tg. 2 cosx+ sinx.cosx Ví duï 16: (ÑHNT Tp.HCM_97): Tính tích phaân baát ñònh: I= dx. ò 2+ sinx Giaûi: (1+ sinx)cosx Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò 2+ sinx Ñaët t = sinx (1++sinx)cosx1t Suy ra: dt==cosxdx&dxdt 2++sinx2t Trang 63
Tích phaân Traàn Só Tuøng 1+t1æö Khi ñoù: I=dt=ç÷1-dt=t-ln|2+t|+C=-sinxln|2++sinx|C òò2++tèø2t Nhaän xeùt: Trong baøi toaùn treân sôû dó ta ñònh höôùng ñöôïc pheùp bieán ñoåi nhö vaäy laø bôûi nhaän xeùt raèng: R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx) do ñoù söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = sinx. dx Ví duï 17: (ÑHTCKT HN_96): Tính tích phaân baát ñònh: I.=ò 4sin35x.cosx Giaûi: dxdx Bieán ñoåi I veà daïng: I==ò 44tg3x.cos8xcos23xtgx Ñaët: t = tgx dxdxdt Suy ra: dt&==2 cosx cos2x4tg3xt43 dt Khi ñoù: ò=44 t+C=+44 tgxC. 43t 11 Chuù yù: Nhö chuùng ta ñaõ thaáy trong vaán ñeà 8 laø = ñieàu naøy raát quan troïng, khôûi t2 |t| khi ñoù ta phaûi xeùt hai tröôøng hôïp t > 0 vaø t 0 vaø t 0, ta ñöôïc: æö1 d dtç÷ 12212+-2t2 I==èøt =ln+-1+C=+lnC. òò2222tt22 t t2 11 tt22 · Vôùi x < 0, ta ñöôïc: æö1 d dtç÷ 122 I==-èøt=-ln+-+1C òò 2 2222tt t22 11 tt 12+2-t2212++1sinx =-ln+C=+lnC. 22tcosx Toùm laïi ta ñöôïc: Trang 64
Traàn Só Tuøng Tích phaân 12+2-t2212++1sinx I=ln+C=+lnC. 22tcosx 4. PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Chuùng ta ñaõ ñöôïc bieát trong vaán ñeà: Xaùc ñònh nguyeân haøm baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, ñoái vôùi caùc daïng nguyeân haøm: Daïng 1: Tính: òòP(x)sinaaxdxhoaëcP(x)cosxdx vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø aÎR.* ììu==P(x)uP(x) Khi ñoù ta ñaët: ííhoaëc îîdv=sinaxdxdv=acosxdx Daïng 2: Tính: òòeaxcos(bx)(hoaëceax sin(bx)vôùia,b0¹ ììu==cos(bx)usin(dx) Khi ñoù ta ñaët: ííaxhoaëc ax îîdv==edxdvedx x Ví duï 19: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx òcosx2 Giaûi: Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, baèng caùch ñaët: ìux= ï ìdu=dx íídx Þ dv =îv=tgx îïcosx2 sinxd(cosx) Khi ñoù: I=x.tgx-tgxdx=x.tgx-dx=x.tgx+=x.tgx++ln|cosx|C. òòòcosxcosx cos2 xdx Ví duï 20: Tính tích phaân baát ñònh: I.= ò sinx3 Giaûi: cosx.d(sinx) Bieán ñoåi I veà daïng: I.= ò sinx3 ììu=cosxdu=-sinxdx ïï Ñaët: ííd(sinx)1Þ dvv==- îîïïsin32xsinx cosxdxcosxæöxcosxx Khi ñoù: I= = dç÷lntg= +lntgC. sin2xòòsinxsin22xèø22sinx Trang 65
Tích phaân Traàn Só Tuøng BAØI TAÄP Baøi 28. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá: 1 1 a/ f(x) = b/ f(x) = æöp 2+-sinxcosx cosxcosxç÷+ èø4 cosx2 sinx c/ f(x)= d/ f(x)= e/ f(x)= sinx.sin2x.cos5x sinx+ 3cosx 1+ sin2x æöp f/ f(x)=(sin4x++cos4x)(sin6xcos6x) g/ f(x)=sinç÷x-+.(2sin2x) èø4 1xæöp ÑS: a/ -2ln1-+tgxC; b/ -cotgç÷++C; 2 èø28 1æppö1xæö 1æöx1p c/ sinçx+÷+lntgç÷++C; d/ lntgç÷+++C; 2è6ø8èø26 22 èø282(sinx+cosx) 1æö111 13 e/ ç÷sin2x+sin4x-+sin8xC; f/ (33x+7sin4x++sin8x)C; 4èø248 648 11éùæpöæppöæö g/ êú-4cosçx-÷+sinçx+÷-sinç÷3x-+C. 2ëûè4øè4ø34èø Baøi 29. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá sau: sinx3 a/ f(x) = (ÑHSP II Haø Noäi _1999) 3sin4x sin6x3sin2x b/ I= ò cos5x.tgxdx K= ò cos3x.tgxdx (ÑHNT Tp.HCM– A_2000) 1 x cotgx c/ f(x)= d/ f(x)= e/ f(x) = sin2x- 2sinx sinx2 1+ sinx æppöæö 2 f/ f(x)=tgçx++÷.cotgxç÷ g/ f(x)=+(x2)sin2x è36øèø 1sin3x1- ÑS: a/ -+lnC; 48sin3x1+ 1 b/ I=2sinx-2sin3x++sin5xC; K=-cos3x++2cosxC; 3 1æö2cosx1- c/ ç÷++lnC; d/ -xcotgx++lnsinxC; 8èø1 cosxcosx1 æöp cosx- sinx 1 ç÷3 e/ ln+ C; f/ x++lnèøC; 1+ sinx 3 æöp cosxç÷+ èø3 113 g/ -x2 cos2x+xsin2x-+cos2xC. 224 Trang 66
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 9: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ VOÂ TÆ Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá voâ tæ ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông phaùp cô baûn sau: 1. Phöông phaùp ñoåi bieán. 2. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. 3. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi. Hai coâng thöùc thöôøng söû duïng: xdx 1. ò =x2 ±+aC xa2 ± dx 2. ò =+lnxx2 ±+aC. xa2 ± 1. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm soá voâ tæ baèng phöông phaùp ñoåi bieán axb+ Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø n coù daïng: cxd+ æöaxxb+ I=Rç÷x,n dxvôùiad-¹bc0. òèøcxd+ PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: ax+bax+-bbdtn Ñaët: t=n Þtxn =Û= cx++dcxd ctan - · Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I= òS(t)dt. æa+-xöæöax Chuù yù: Vôùi hai daïng ñaëc bieät: I==Rçx,÷dxhoaëcIRç÷x,dx chuùng ta òòèa-+xøèøax ñaõ bieát vôùi pheùp ñoåi bieán: x = acos2t. ax+ Tröôøng hôïp ñaëc bieät, vôùi I= dx , ta coù theå xaùc ñònh baèng caùch: ò ax- ax+ Vì coù nghóa khi -a£x 0,doñoù(a+x)2 =+ax. ax- x++xaxdxxdx Khi ñoù: I=dx=dxa=+ òòòò22 ax-a2 x2ax22 ax- Trang 67
Tích phaân Traàn Só Tuøng dx Trong ñoù: ò ñöôïc xaùc ñònh baèng pheùp ñoåi bieán x = asint. ab22+ xdx ò =-aa22-+xC. ax22- dx Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 3 x+1[3 x++1)2 1] Giaûi: 2 3 3 2 dx3tdt3tdt Ñaët: t=x+1Þt=+x1. Suy ra: 3tdt=dx& ==22 3x+1[3(x++1)21] t(t++1)t1 3tdt3d(t)2 Khi ñoù: I===ln(t22+1)+C=ln[3(x+1)++1]C. òòt22++12 t1 dx Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 2x2x1+ Giaûi: dxtdtdt Ñaët: t=2x+1Þt2 =+2x1. Suy ra: 2tdt=2dx& == 2x2x1+ (t22 1)tt1 dt1t-112x+-11 Khi ñoù: I==ln+C=+lnC. òt12 - 2t+122x11++ xdx Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 3 xx2 - 4 Giaûi: 112 Ta nhaän xeùt: x=x24,3 x2 ==x3 vaø4 xx, töø ñoù 12 laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa caùc maãu soá, do ñoù ñaët x = t12 17144 11xdx12tdt12tdttæö94 Suy ra: dx=12tdt&=83=55=12ç÷t++tdt 3xx2- 4t-tt 1èøt1 4105 æ945töæött1 Khi ñoù: I=12ç÷t+t+dt=12ç÷++ln|t-+1|C. òèøt15-èø1055 dx Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh I = ò (x++a)(xb) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta xeùt hai tröôøng hôïp: ìx+>a0 · Tröôøng hôïp 1: Vôùi í îx+>b0 Trang 68
Traàn Só Tuøng Tích phaân Ñaët: t=x+a++xb x+ 20 · Vôùi í Û>x3. Ñaët: t=x-2+-x3 îx->30 æö11(x-2+-x3)dxdx2dt suy ra : dt=ç÷+dx =Û= èø2x-22x-32(x-2)(x+3)(x 2)(x3) t dt Khi ñoù: I=2=2ln|t|+C=2ln|x-2+x++3|C ò t ìx-<20 · Vôùi í Û<x2. Ñaët: t=x-2+-3x îx-<30 éù11[2-x+-3x]dxdx2dt suy ra : dt=êú+dx =Û=- ëû22-x23-x2(x-2)(x-3)(x 2)(x3) t dt Khi ñoù: I=-2=-2ln|t|+C=-2ln|2-x+3-+x|C ò t Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø ax22- coù daïng: I=ò R(x,a22-x)dx,vôùiad-¹bc0. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: é pp x=|a|sintvôùit-££ ê 22(hoaëccoùtheåt=x+-a22x) ê ëx=|a|costvôùi0t££p · Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I= òS(sint,cost)dt. Trang 69
Tích phaân Traàn Só Tuøng x3dx Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I.= ò 1x- 2 Giaûi: pp · Caùch 1: Ñaët: x=sint,t- Þí 22 22 îïcost=1-sint=-1x · Caùch 2: Ñaët t=1-x2Þx22=-1t x3dxx2.xdxx22.xdx(1 t)(tdt) Suy ra: 2xdx=2tdt&===-(t21)dt 1 x2221x1x t 111 Khi ñoù: I=(t2-1)dt=t3-t+C=(t2-3)t+C=-(x22+2)1-+xC ò 333 Daïng 4: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm soá höõu tæ ñoái vôùi x vaø ax22+ coù daïng: I=ò R(x,a22+x)dx,vôùiad-¹bc0. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: é pp x=|a|tgtvôùit-<< ê 22(hoaëccoùtheåt=x++a22x) ê ëx=|a|cotgtvôùi0t<<p · Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I= òS(sint,cost)dt. Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I=+ò 1x2 dx. Giaûi: Trang 70
Traàn Só Tuøng Tích phaân pp dtdt • Caùch 1: Ñaët: x=tgt,-<<t. Suy ra: dx=&1+=x2 dx. 22 cos23tcost dtcostdtcostdt Khi ñoù: I === òcos3tòòcos4t(1-sin22t) costdtdu Ñaët: u = sint. Suy ra: du==costdt& (1-sin2t)2(u+-1)22(u1) du1éùu+12u Khi ñoù: I==lnC-+ ò22êú (u+-1)(u1) 4ëûu-1(u+-1)(u1) 1éùsint+12sint =êúlnC-+ 4ëûsint-1(sint+-1)(sint1) éùxx +12 1êú22 =êúlnC1++x-+1x 4xæxxöæö êú-1+-11 êú2ç22÷ç÷ ëû1x+è1++xøèø1x 1æöx++1x2 =ç÷ln+2x1++xC2 ç÷2 4èøx-+1x 11 =(2ln|x+1+x2|+2x1+x2)+C=(ln|x+1+x22|+x1++x)C. 42 t12 - · Caùch 2: Ñaët: t=x+1+x2Þt-x=1+x2Þ(t-x)22=1+xxÞ= 2t t22-+1t1 Þ1+xt2=-= 2t2t æöxx+1++x22t22t1 Suy ra: dt=1+dx=dx=dxÛ=dxdt ç÷ 222 èø1x+21++xt12t 2222 2 t+1t++11(t1)1æö21 1+xdx=.dt=dt=ç÷t++ dt 2t2t24tt334tèø 1æ21ö1æö112 Khi ñoù: I=çt++÷dt=ç÷t+2ln|t|C-+ 4òètt32ø42èø2t 1éùæö211éù22 =ç÷t-+4ln|t|+C=ëû4x1+x+4lnx+1++xC 88êút2 ëûèø 1 =(lnx+1+x22+x1++x)C. 2 · Caùch 3: Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ì xdx ïïì=u=+x12 du Ñaët : ííÞ x12 + îïdv=dx ï îvx= Trang 71
Tích phaân Traàn Só Tuøng x2dx Khi ñoù: I=xx12 +-ò x12 + x22dx[(x+-1)1]dxdx Vôùi J===x2+-1dx ò2òòò x1+ x22++1x1 =I-lnx+x2++1C(2) Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I=xx2+1-(I-aln)x+x2+1+CÛ2I=xx22+1+lnx+x++1C x1 ÛI=x22+1+lnx+x++1C. 22 Chuù yù: 1. Trong caùch giaûi thöù nhaát sôû dó ta coù: 1x 1+x2==costvaøsint cost 1x+2 ì cos2 t= cost pp ï laø bôûi: - Þí x 22 ïsint==tgt.cost î 1x+2 2. Caû ba phöông phaùp treân (toát nhaát laø phöông phaùp 2) ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn toång quaùt: axdx òòx2+adx=lnx+x2+a+x22+a+C;=+lnxx++aC. 22xa2+ 3. Vôùi tích phaân baát ñònh sau toát nhaát laø söû duïng phöông phaùp 1: dx ò ,vôùikÎ Z. (a2+ x)22k1+ 4. Vôùi tích phaân baát ñònh: ò (x++a)(xb)dx ta coù theå thöïc hieän nhö sau: a+-b(ba)2 Ñaët: t=x+&A=- 24 suy ra: dt=dx&(x+a)(x+b)dx=+t2 Adt At Khi ñoù: I=t2+Adt=lnt+t22+A+t++AC ò 22 (b-a)2 a+b2x++ab =lnx++(x+a)(x-b)+(x+a)(x++b)C. 824 Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø xa22- coù daïng: I=ò R(x,x22-a)dx,vôùiad-¹bc0. Trang 72
Traàn Só Tuøng Tích phaân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: • Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: é|a| éùpp êx=vôùitÎ-êú;\{0} sintëû22 22 ê (hoaëccoùtheåt=-xa) |a| p êx=vôùitÎp[0;]\{}. ëê cost2 · Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I=òS(sint,cost)dt. xdx Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I=ò 2x22-1+-3x1 Giaûi: · Caùch 1: Ñaët: t=x2-1Þt22=-x1 xdxxdxtdt Suy ra: 2tdt=2xdx& ==2 2x2-1+3x2-12(x22-1)+3(x-+11 2t++3t1 tdt Khi ñoù: I= ò2t2 ++3t1 ttab(a+2b)t++ab Ta coù: ==+= 2t2 ++3t1 (2t+1)(t+1)2t+1t+1(2t++1)(t1) ììa+2b=1a1=- Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ííÛ îîa+b==0b1 t11 Khi ñoù: =-+. 2t2 ++3t1 2t++1t1 æö1111(t+1)2 Do doù: I=òç÷-+dt=-ln|2t+1|+ln|t+1|+C=+lnC èø2t+1)t++122|2t1| 1(x22-+11) = ln 2 2x2-+11 · Caùch 2: Vì ñieàu kieän |x| > 1, ta xeùt hai tröôøng hôïp: – Vôùi x > 1: 1 p sintdt Ñaët: x=Î,t[0;). Suy ra: dx,= cost2 cost2 1sint .dt 22 xdx2(1++tgt)tgt.dt(1tgt)tgt.dt =costcost == 222 22 2x-1+-3x1 -+13tgt 2(1+tgt)1-+3tgt2tgt++3tgt1 cost2 Trang 73
Tích phaân Traàn Só Tuøng (1+ tg2t)tgt.dt Khi ñoù: I.= ò 2tg2t++3tgt1 dt(1+ tg2t)tgt.dtu.du Ñaët: u = tgt. Suy ra: du==(1+=tg2t)dt& cos2t2tg22t+3tgt+12u++3u1 æö1111(u+1) 2 Khi ñoù: I=ç÷-+dt=-ln2u+1+lnu+1+C=+lnC òèø2u+1u++122|2u1| 1(tgt+1)21(x22-+11) =ln+C=+lnC. 22tgt+122x2-+11 – Vôùi x 0 vaø D 0. éù2 2 D+æö2axb – Böôùc 1: Ta coù: ax+bx+c1= êúç÷ 4a ëûèøD 2axb+ – Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = D – Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I=-òS(t,1t2 )dt Tröôøng hôïp 3: Neáu a > 0 vaø D > 0. éù2 2 D+æö2axb – Böôùc 1: Ta coù: ax+bx+c1=-êúç÷ 4a ëûèøD 2axb+ – Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = D Trang 74
Traàn Só Tuøng Tích phaân – Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I=-ò S(t,t2 1)dt · Caùch 2: Söû duïng pheùp theá Euler: Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: 1. Neáu a > 0, ñaët ax2 +bx+c=t-+xahoaëctxa. 2. Neáu c > 0, ñaët ax2 +bx+c=tx+-choaëctxc. 3. Neáu tam thöùc ax2 ++bxc coù bieät soá D > 0 thì 2 2 ax+bx+c=a(x x12)(xx). Khi ñoù ñaët: ax+bx+c=-t(xx1). Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I=ò x2 ++2x2dx. Giaûi: · Caùch 1: Söû duïng pheùp ñoåi bieán: t=x+1Þ=dtdx. Khi ñoù: I=+ò t2 1dt. Tích phaân treân chuùng ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh trong ví duï 6. · Caùch 2: Söû duïng pheùp ñoåi bieán: t22-2(t++2t2)dt x2+2x+2=t-xÞx22+2x+2=(t-x)Ûx=Þ=dx 2(t+1) 2(t+1)2 éùt2-2(t24+2t++2)dt1(t4)dt Khi ñoù: I=x2+2x+2dx=t-= òòòêú23 ëû2(t+1)42(t++1)(t1) Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: t4+4=[(t+1)-1]4+4=(t+1)432-4(t+1)+6(t+1)-4(t++1)5. 1641t42 Do ñoù: I=[t+1-4+-]dt[=-3t+6ln|t+1|++]C 4òt++1(t+1)2 42t1 1(x22+2x++2x) =[-3(x2+2x+2++x) 42 4 +6lnx2+2x+2+x+1++]C. x2+2x+2++x1 dx Daïng 7: Tính tích phaân baát ñònh I = ò (lx+m)ax2 ++bxc PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: 1 – Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = lx +m dt – Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I =ò att2 +b+g Chuù yù: Phöông phaùp treân coù theå ñöôïc aùp duïng cho daïng toång quaùt hôn laø: Trang 75
Tích phaân Traàn Só Tuøng (Ax+B)dx I=ò (lx+m)n2ax++bxc dx Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I=ò (x+1)x2 ++2x2 Giaûi: 11 Ñaët: t=Þx1=- x+1t ì dt 1 ->khit0 t(-)dt ï 2 1 dxt2 dt ï1t+ suy ra: dx=- 2 dt, ==-=í t (x+1)x2++2x2 11ïdt 22++1t.1 khit0 0, ta ñöôïc: dt11 I=-=-lnt+1+t2 +C=-ln+1C++ ò 2 1t+2 x1+ (x+1) 1+x22+2x+2x+11-x++2x2 =-ln+C=ln+C=+lnC. x++11+x2++2x2 x1 Vôùi t < 0, ta ñöôïc: dt11 1-x2++2x2 I==lnt+1+t2 +C=ln+1C++=+lnC. ò 2 1t+2 x1+ (x+1) x1+ 1-x2 ++2x2 Toùm laïi vôùi t¹0Ûx1¹- ta luoân coù: I=+lnC. x1+ 3. SÖÛ DUÏNG TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm voâ tæ baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Vôùi caùc haøm voâ tæ, trong phaïm vi phoå thoâng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ít ñöôïc söû duïng, tuy nhieân chuùng ta cuõng caàn xem xeùt. Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I=+òx2 adx Giaûi: ì xdx ïïìu=+xa2 du = Ñaët: ííÞ xa2 + îïdv=dx ï îvx= Trang 76
Traàn Só Tuøng Tích phaân x2dx Khi ñoù: I=xxa2 +-ò (1) xa2 + x22dx[(x+-a)a]dxdx Vôùi J=ò=ò=òòx2+-adxa x2+ax22++axa =I-alnx+x2++aC. (2) Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: xa I=xx2+a-(I-alnx+x2+a+C)ÛI=x22+a+lnx+x++aC. 22 4. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI xa- Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh I=>dx,vôùia0 ò xa+ PHÖÔNG PHAÙP CHUNG éxa³ Vì ñieàu kieän ê ëx<-a' Ta xeùt hai tröôøng hôïp: x axa2xdxdx · Vôùi xa³ thì: òdx=òdxa=-òò xa+x2-a22x2 a2xa22 =x2-a2-lnx+x22-+aC. x aaxdx2xdx · Vôùi x < –a thì: òdx=òdxa=-òò xa+x2-a2x2 a22xa22 =lnx+x2-a2-x22-+aC. x1- Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I= dx ò x1+ Giaûi: éx1³ Vì ñieàu kieän ê . Ta xeùt hai tröôøng hôïp: ëx1<- x-12xdxdx · Vôùi x1³ . Ta coù: I=òdx=òò-=x22-1-lnx+x-+1C x2-12x22 1x1 · Vôùi x < –1. Ta coù: 1- xdx2xdx I=òdx=òò-=+lnxx22-1-x-+1C x2-1x22 12x1 dx Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh I=,vôùia¹0vaøb-¹c0. òax+b++axc Trang 77
Tích phaân Traàn Só Tuøng PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc: 1 1 I=(ax+b++axc)dx =[(ax+b)1/2d(ax+b)+(ax++c)1/2d(axc)] bc-ò a(b- c) òò 2 =[(ax+b)33+(ax++c)]C 2a(b- c) dx Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I=+-x1 ò x1+ Giaûi: Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc: 11 I=ò(x+1+x-1)dx=[òò(x+1)1/2d(x+1)+(x 1)1/2d(x1)] 22 1 =[(x+1)33+(x-+1)]C 3 Chuù yù: Moät pheùp bieán ñoåi raát phoå bieán ñoái vôùi caùc haøm soá voâ tæ laø phöông phaùp phaân tích, chuùng ta seõ ñi xem xeùt caùc daïng cô baûn sau: v(x)dx Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh I = ò u2 (x)±a PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: v(x)a[u2 (x)+a]bu(x)c · Böôùc 1: Phaân tích: =++ u2(x)+au2(x)+au22(x)+au(x) +a Söû duïng phöông phaùp haèng soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc a, b, c. · Böôùc 2: AÙp duïng caùc coâng thöùc: xdx dx 1. ò =x2 ±+aC. 2. ò =lnx+x2 ±+aC xa2 ± xa2 ± xa 3. x2±adx=x22±a±lnx+x±+aC. ò 22 (2x2 +1)dx Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x2 + 2x Giaûi: 2x2+12x22+1a[(x+1)-+1]b(x1)c Ta coù: ==++ x2+2x(x+1)2-1(x+1)2-1(x+1)22-1(x+-1)1 Trang 78
Traàn Só Tuøng Tích phaân ax2+(2a+b)x++bc = x2+2x ììa==2a2 ïï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: íí2a+b=0Ûb4=- ïï îîbc+==1c5 2x2 ++14(x1)5 Khi ñoù: =2(x+1)12 + x2+2x(x+1)22-1(x+-1)1 4(x+1)5 Do ñoù: I=ò[2(x+1)2 -1-+]dx (x+1)22-1(x+-1)1 =(x+1)x2+2x-lnx+1+x2+2x-4x22+2x+5lnx+1+x++2xC =(x+1)x2+2x+4lnx+1+x22+2x-4x++2xC. BAØI TAÄP Baøi 30. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: x1+ x x3 x3 1 a/ ; b/ ; c/ ; d/ ; e/ ; 3 3x1+ 2x++11 x2+ 1++3 x14 3 xx+ 1 x 1 f/ ; g/ h/ tgx + 3 (2x+1)2 -+2x1 10 x1+ 2x+1+-2x1 11æö52 113 ÑS: a/ ç÷33(3x+1)+(3x++1)C; b/ (2x+1)-(2x++1)C; 35èø64 1 333 c/ (x2+2)32-2x++2C; d/ 3(x4+1)2-33x44+1+ln(x+1++1)C; 3 844 e/ 2x-33x-666x+ln(x++1)C; 3 f/ 6(2x+1)2 +3662x+1+3ln2x1 +1C; 2 1010 1 g/ 10(x+1)199-10 (x++1)C; h/ -lncosx+éù(2x+1)33-(2x-+1)C. 199 3ëûêú Baøi 31. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: x 1 1 1 a/ ; b/ ; c/ ; d/ 9x2 -6x x2 ++2x3 x2 ++6x8 x2 x1 4x5+ 2x x12+ x e/ ; f/ ; g/ ; h/ . 2 2 4 x++6x1 x+-x1 xx1+ 1+x2++(1x)23 1 ÑS: a/ 9x22-6x+ln3x-1+9x-+6xC; b/ lnx+1+x2 +2x++3C; 9 1 c/ lnx+3+x2 +6x++8C; d/ lnx-+x2 -x-+1C; 2 Trang 79
Tích phaân Traàn Só Tuøng 22 e/ 4x22+6x+1-7lnx+3+x+6x++1C; f/ x2-(x23-+1)C; 33 2 11æö 2 g/ lnx-+ç÷x-++2C; h/ 21+1++xC. x2èø dx Baøi 32a/ Bieát raèng ò=ln(x+x2 ++3)C. x32 + Tìm nguyeân haøm cuûa F(x)=+òx2 3dx b/ Tính òx2 -+4x8dx. 13 ÑS: a/ xx22+3+ln(x+x++3)C. 22 1 b/ (x-2)x22-4x+8+2lnx-2+x-4x++8C. 2 Baøi 33. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 11 a/ ; b/ . (x23+16) (1-x)23 xx ÑS: a/ +C; b/ +C. 16x2 +16 1x-2 Baøi 34. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1x1-1 a/ ; b/ ; c/ ; (x 1)1x2(x++1)x12 (x-1)-x2 ++2x3 1x2 1 d/ ; e/ ; f/ . x+x2 ++x1 x2 ++x1 1+x++1x 1x+ 1-x++2(x2 1) ÑS: a/ -+C; b/ lnx+x2 +1++2lnC; 1x- 2(x+1) 12+-x2 ++2x3 c/ -+lnC; 22(x-1) 31t4 d/ +ln+C,vôùit=x+x2 ++x1. 2(1+2t)2 1+2t 3 111 e/ (2x-3)x22+x+1-lnx++x+x++1C; 482 111t-+11x f/ x+x-x.t+ln+=C,vôùit. 224t+1x Trang 80
Traàn Só Tuøng Tích phaân Vaán ñeà 10: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ SIEÂU VIEÄT Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sieâu vieät ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông phaùp cô baûn sau: 1. Söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn 2. Phöông phaùp phaân tích 3. Phöông phaùp ñoåi bieán 4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. 1. SÖÛ DUÏNG CAÙC DAÏNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm sieâu vieät döïa treân caùc daïng nguyeân haøm cô baûn PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñaïi soá, ta bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà caùc daïng nguyeân haøm cô baûn ñaõ bieát. Ví duï 1: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: dx 2xx.e a/ I = b/ J= dx ò eexx- - 169xx- Giaûi: d(exx)1e1- a/ Ta coù: I==+lnC òe2xx-+12 e1 b/ Chia töû vaø maãu soá cuûa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân cho 4x, ta ñöôïc: xxx æ44öéùæö4æö ç÷dêúç÷ ç÷-1 1èø3 11 J=è33ødx=ëûdx=+.lnCèø òò2x2xx æ4ö44æ44ö2æö ç÷-1lnç÷-+11ln ç÷ è3ø33è33øèø 143xx- =+.lnC. 2(ln4- ln3)43xx+ 2. PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp phaân tích PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Caàn hieåu raèng thöïc chaát noù laø moät daïng cuûa phöông phaùp heä soá baát ñònh, nhöng ôû ñaây ta söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc quen thuoäc. dx Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh : I.= ò1e- x Trang 81
Tích phaân Traàn Só Tuøng Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1=1-+exx)e 1(1-+ex)eexx Ta ñöôïc: ==+1. 1-ex1 exx1e xx æöed(1-e) x Suy ra: I=ç÷1+dx=dx-=x-ln1-+eC. òèø1 exxòò1e 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp ñoåi bieán PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Phöông phaùp ñoåi bieán ñöôïc söû duïng cho caùc haøm soá sieâu vieät vôùi muïc ñích chuû ñaïo ñeå chuyeån bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà caùc daïng höõu tæ hoaëc voâ tæ, tuy nhieân trong nhieàu tröôøng hôïp caàn tieáp thu nhöõng kinh nghieäm nhoû ñaõ ñöôïc minh hoaï baèng caùc chuù yù trong vaán ñeà 4. dx Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh : I.= ò 1e+ 2x Giaûi: · Caùch 1: Ñaët t=1+e2xÛt2=+1e2x 2x tdtdxtdtdt Suy ra: 2tdt=2edxÛdx&=2==22 t-11e+ 2x t(t 1)t1 dt1t-+111e2x Khi ñoù: I==ln+C=+lnC ò2 t1- 2t+121++e12x · Caùch 2: Ñaët: t = ex -x dx dxdxdx-dt Suy ra: dt=-edxÛ-=dt,x ===. e 1+e2xe2x(e 2x+1)exe2x2++1t1 dxdt Khi ñoù: òò=-=-lnt+t2+1+C=-lne xx+e++1C. 1++e2x2t1 dx Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh : I = ò eex- x/2 Giaûi: 1dx Ñaët te=-x/2. Suy ra: dt=e-x/2dxÛ-=2dt, 2 ex/2 dxdxe-x/2dx-2tdt1æö ===+2ç÷1dt ex-ex/2ex(1 e x/2)ex/2(1e)x/2 1 tèøt1 æö1 x/2x/2 Khi ñoù: I=2ç÷1+dt=2(e+lne++1C. òèøt1- 4. PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN Baøi toaùn 4: Tìm nguyeân haøm caùc haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn Trang 82
Traàn Só Tuøng Tích phaân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Baøi toaùn 1: Tính: òòeaxcos(bx)(hoaëceax sin(bx)vôùia,b0¹ ììu==cos(bx)usin(bx) Khi ñoù ta ñaët: ííaxhoaëc ax îîdv==edxdvedx Baøi toaùn 2: Tính: ò P(x)eax*dxvôùiRaÎ ìu= P(x) Khi ñoù ta ñaët: í ax îdv= edx Ví duï 5: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)=(tg2xx++tgx1)e. Giaûi: Ta coù: F(x)=ò(tg2x+tgx+1)ex=òò(tg2x++1)exxetgxdx. (1) Xeùt tích phaân J= extgxdx. ì dx 2 ìu=tgx ïdu=2 =+(1tgx)dx Ñaët: ííx Û cosx îdv=edx ïx îve= Khi ñoù: J=extgx-+ò(tg2xx1)e. Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc F(x)=+extgxC. (2) 5. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC NHAU dx Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 1e+ 2x Giaûi: dxdxe xxdxd(e) Ta coù: ===- (1) 1+e2xexe-2x+1e 2x++1e12x d(e)-x Khi ñoù: I=ò =-ln(e x+e2x ++1)C e1-x + Chuù yù: Ta coù theå söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán ñeå laøm töôøng minh lôøi giaûi, baèng caùch: dtdt Ñaët t = ex . Suy ra: dt==exdx& 1++e2x2t1t æö1 d dtdtç÷ 11 Khi ñoù: I===-èøt=-ln+++1C ò2 òò11tt2 t1t+ t2 ++11 tt22 =-ln(e x+e2x ++1)C. Trang 83
Tích phaân Traàn Só Tuøng Ñöông nhieân cuõng coù theå ñaët t = e–x ta seõ thu ñöôïc lôøi giaûi gioáng nhö treân, xong seõ thaät khoù giaûi thích vôùi caùc em hoïc sinh caâu traû lôøi “Taïi sao laïi nghó ra caùch ñaët aån phuï nhö vaäy?” Chuù yù: Neáu caùc em hoïc sinh thaáy khoù hình dung moät caùch caën keõ caùch bieán ñoåi ñeå ñöa veà daïng cô baûn trong baøi toaùn treân thì thöïc hieän theo hai böôùc sau: – Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: Ñaët t = ex Suy ra: dt=exdx&exe2x-2ex+2dx=t22-2t+2dt=(t-+1)1dt Khi ñoù: I=ò(t-+1)2 1dt. – Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: Ñaët u = t – 1 Suy ra: du=dt&(t-1)22+1dt=+u1du u1 Khi ñoù: I=u2+1du=u22+1+lnu+u++1C ò22 t-11 =(t-1)22+1+lnt-1+(t-1)++1C 22 ex-11 =e2x-2ex+2+lnex-1+e2xx-e++2C 22 ex Ví duï 8: Tìm nguyeân haøm haøm soá : f(x) = eexx+- Giaûi: e-x Choïn haøm soá phuï: g(x) = eexx+- Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù: eexx f(x)-=g(x) eexx+- ex-+e xd(exxe) ÞF(x)-G(x)=dx==lnexx++eC- òòex++e xeexx 1 eexx+- f(x)+g(x)==1ÞF(x)+G(x)=dx=+xC. eexx+- ò 2 xx- ïìF(x)+G(x)=lne++eC 1 xx- Ta ñöôïc: í 1ÞF(x)=(lne+e++x)C. 2 îïF(x)-G(x)=+xC2 BAØI TAÄP Baøi 35. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 11x+lnx a/ 2xx.e; b/ ; c/ ; d/ ; 1e+xx(1+x.e)x x 2x e 1 2 e/ exx.sin(e); f/ ; g/ ; h/ x.e.x e22x +xlnx Trang 84
Traàn Só Tuøng Tích phaân 2xx.e ex xex ÑS: a/ + C; b/ ln+ C; c/ ln+ C; 1+ ln2 1e+ x 1+ xex 2 1 d/ lnx.lnx+ C; e/ -+cos(ex )C; f/ lne2x ++1C; 3 2 1 2 g/ lnlnx+ C; h/ ex + C. 2 Baøi 36. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2x 2x 2x e1- 3x23x e 1 e a/ x ; b/ (1+ e).e; c/ ; d/ ; e/ e 4xe1+ 1e+ x 4xe1+ 1 sinx 1 f/ .e;x g/ ; h/ . x ecosx exx(3+ e)- 1 44 ÑS: a/ exx++e- C; b/ (1++e3x3)C; c/ 44(ex+1)7-(ex3++1)C; 9 73 t1- t1- d/ ln+C,vôùit=+ex 1; e/ 2t+ln+C,vôùit=+1lnx; t1+ t1+ 3ex f/ 2ex + C; g/ e-x + C; h/ ln+ C. 3e1x + Baøi 37. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 3 23x 2x x æölnx n a/ xe; b/ e.cos3x; c/ e.sinx; d/ ç÷; e/ x.lnx,n¹-1. èøx 1 1 ÑS: a/ e3x2(9x-6x++2)C; b/ e2x(2cos3x++3sin3x)C; 27 13 1 x 1æö32333 c/ e(sinx-+cosx)C; d/ -2ç÷lnx+lnx+lnx++C; 2 2x èø224 xxn++1n1 e/ lnx-+C; n1+ (n+1)2 Baøi 38. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: xe2x (1+ sinx)ex 11x+ a/ ; b/ c/ exx++e- 2; d/ ln; (x+ 2)2 1+ cosx 1x- 2 1x- lnx xln(x++x2 1) e/ ln(x+-x2 1); f/ ; g/ . x1+ lnx x12 + x2- ex sinx ÑS: a/ -+.ex C; b/ + C; c/ ex(e3x++e2x)C; x2+ 1+ cosx 2 1æö1x+ 22 d/ ç÷ln+ C; e/ xln(x+x-1)-x-+1C; 4èø1x- 2 f/ (1+lnx)1+lnx-21++lnxC; g/ x22+1.nx+x+1-+xC. 3 Trang 85
Tích phaân Traàn Só Tuøng §Baøi 2: TÍCH P HAÂN 1. Ñònh nghóa tích phaân: Ta coù coâng thöùc Niutôn – Laipnit: b f(x)dx=F(x)b =-F(b)F(a). ò a a b Chuù yù: Tích phaân ò f(x)dx chæ phuï thuoäc vaøo f, a, b maø khoâng phuï thuoäc vaøo caùch kyù a hieäu bieán soá tích phaân. Vì vaäy ta coù theå vieát: bbb F(b)-F(a)=òf(x)dx=òòf(t)dt==f(u)du aaa 2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa tích phaân: b Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø khoâng aâm treân [a ; b] thì tích phaân ò f(x)dx laø dieän tích a hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá y= f(x,truïcOx) vaø hai ñöôøng thaúng x = a vaø x = b. 3. Caùc tính chaát cuûa tích phaân: Giaû söû caùc haøm soá f(x), g(x) lieân tuïc treân khoaûng K vaø a, b, c laø ba ñieåm cuûa K, döïa vaøo ñònh nghóa tích phaân ta coù caùc tính chaát sau: a Tính chaát 1. Ta coù ò f(x)dx0= a ba Tính chaát 2. Ta coù òòf(x)dx=- f(x)dx. ab bb Tính chaát 3. Ta coù òòkf(x)dx=Îkf(x)dx,vôùikR. aa bbb Tính chaát 4. Ta coù ò[f(x)±g(x)dx=±òòf(x)dxg(x)dx. aaa cbc Tính chaát 5. Ta coù òf(x)dx=+òòf(x)dxf(x)dx. aaa b Tính chaát 6. Neáu f(x)³0,"xÎ³[a;b]thìò f(x)dx0 a bb Tính chaát 7. Neáu f(x)³g(x),"xÎ³[a;b]thìòòf(x)dxg(x)dx. aa Trang 86
Traàn Só Tuøng Tích phaân b Tính chaát 8. Neáu m≤f(x)≤M,"xÎ[a;b]thìm(b-a)£ò f(x)dx£-M(ba). a t Tính chaát 9. Cho t bieán thieân treân ñoaïn [a; b] thì G(t) = ò f(x)dx laø nguyeân haøm cuûa a f(t) vaø G(a) = 0. Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau: 2 x2 - 2x 4 x a/ I= dx; b/ J=-(3xe4 )dx. ò 3 ò 1 x 0 Giaûi: 2 2 æ122öæö a/ Ta coù: I=-dx=ln|x|+=(ln2+1)-(ln1+2)=-ln21. òç÷2 ç÷ 1 èøxxxèø1 4 æö3 x b/ Ta coù: J=ç÷x2 -4e4 =(24-4e)-(0-4)=-284e. èø2 0 Chuù yù: Trong ví duï treân ta ñaõ söû duïng ñònh nghóa cuøng caùc tính chaát 1, 3 vaø 4 ñeå tính tích phaân Ví duï sau ñaây seõ söû duïng tính chaát 5 ñeå tính tích phaân cuûa haøm chöùa daáu trò tuyeät ñoái. 1 Ví duï 2: Tính tích phaân sau: J=-òex 1dx. -1 Giaûi: Xeùt daáu cuûa haøm soá y = ex – 1 Ta coù: y = 0 Ûex -1=0Û=x0 Nhaän xeùt raèng: x>0Þex >1Þ>y0 x<0Þex <1Þ<y0 Ta coù baûng xeùt daáu: x –¥ –1 0 1 +¥ y’ – 0 + 01 011 Do ñoù: J=(1-ex)dx+(exx-1)dx=(x-e)+(e-x)=e+-2. òò -10 -10 2 Chuù yù: Söû duïng tính chaát 6, 7, 8 ta seõ ñi chöùng minh ñöôïc caùc baát ñaúng thöùc tích phaân. pp3p/4 dx Ví duï 3: Chöùng minh raèng: ££. ò 2 42p/4 3- 2sinx Giaûi: Trang 87
Tích phaân Traàn Só Tuøng éùpp3 Treân ñoaïn ; ta coù: ëûêú44 2111 £sinx£1Þ£sin22x£1Û1£3-2sinx£2Û£-£1. 2223- 2sinx2 3p/413pp/4dx 3/4 Do ñoù: dx££dx. (1) òòò2 p/42 pp/43-2sinx /4 3p/4 3pp/4113p/4 p3/4 trong ñoù: òòdx=x=&dx==x2. (2) 224p/4 pp/4/4 p/4 pp3p/4 dx Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: ££ (ñpcm). ò 2 42p/4 3- 2sinx ìx+<akhix0 Ví duï 4: Cho haøm soá: f(x) = í 2 îx+³1khix0 a/ Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá ñaõ cho taïi ñieåm x0 = 0. 1 b/ Vôùi a ñeå haøm soá lieân tuïc taïi x = 0, haõy xaùc ñònh ò f(x).dx. -1 Giaûi: a/ Haøm soá xaùc ñònh vôùi moïi xÎ R. Ta coù: limf(x)=lim(x2 +1)=1vaølimf(x)=lim(x+=a)a. x®0+x®0+x®®0 x0 f(0)= 1. Vaäy: · Neáu a = 1 thì limf(x)=limf(x)=f(0)1=Û haøm soá lieân tuïc taïi x0 = 0 x®®0+-x0 · Neáu a1¹ thì limf(x)¹Ûlimf(x) haøm soá giaùn ñoaïn taïi x0 = 0 x®®0+-x0 b/ Ta coù: 10001 11 òf(x)dx=+òf(x)dxòf(x)dx=òò(x+1)dx+(x2+=1)dx. -1-1 110 6 Chuù yù: Nhö vaäy chuùng ta söû duïng haàu heát caùc tính chaát ñeå giaûi caùc ví duï veà tích phaân, duy coøn tính chaát thöù 9 ôû ñoù coù moät daïng toaùn maø caùc hoïc sinh caàn quan taâm laø “Ñaïo haøm cuûa haøm soá xaùc ñònh bôûi tích phaân”. Ta coù caùc daïng sau: x Daïng 1: Vôùi F(x)=òf(t)dtÞ=F'(x)f(x). a ax Vôùi F(x)=òòf(t)dtthìvieátlaïiF(x)=-f(t)dtÞF'(x)=-f(x). xa Trang 88
Traàn Só Tuøng Tích phaân u(x) Daïng 2: Vôùi F(x)=òf(t)dtÞ=F¢(x)u'(x)f[u(x)]. a u(x) Daïng 3: Vôùi F(x)= ò f(t)dt thì vieát laïi: v(x) u(x)v(x) F(x)=òòf(t)dt-f(t)dtÞF'(x)=-u'(x)f[u(x)]v'(x)f[v(x)] aa minh hoaï baèng ví duï sau: Ví duï 5: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá: x a a/ F(x)=+ò(et2cost)dt; b/ G(x)=ò(t2 ++21)dt; a x2 x2 c/ H(x)=+ò(t3 sint)dt. 2x Giaûi: x a/ Ta coù: F(x)=[ò(et+cost2)dt]'=+ex2cosx. a ax2 b/ Ta coù: G(x)=[òò(t2+t2+1)dt]'=[-(t2+t2+1)dt]'=(u)'.(u22++u1) x2 a trong ñoù: u = x2, do ñoù: G'(x)=(x2)'.(x4+x4+1)=2x(x44++x1). x22x2x c/ Ta coù: H'(x)=[ò(t3+sint)dt]'=[òò(t33+sint)dt-+(tsint)dt]' 2xaa =(u)'.(u33+sinu)++(v)'.(vsinv), trong ñoù: u==x2 vaøv2x, do ñoù: H'(x)=(x2)'.(x6+sin2)+(2x)'.(8x+sin2x)=2x(x6+sinx)23++2(8xsin2x) TOÅNG KEÁT CHUNG: Ñeå tính tích phaân xaùc ñònh ngoaøi caùc phöông phaùp cô baûn maø chuùng ta ñaõ bieát ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm, cuï theå coù: 1. Phöông phaùp söû duïng baûng nguyeân haøm cô baûn. 2. Phöông phaùp phaân tích 3. Phöông phaùp ñoåi bieán 4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. 5. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi. coøn coù theâm moät vaøi phöông phaùp khaùc ví duï nhö phöông phaùp cho lôùp tích phaân ñaët bieät. Vaán ñeà 1: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Baèng vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát, töø ñoù ta xaùc ñònh ñöôïc giaù trò cuûa tích phaân. Trang 89