Đề thi hết học kỳ III môn Giải tích - Năm học 2014-2015 - Học viện Nông nghiệp Việt Nam

Nội dung text: Đề thi hết học kỳ III môn Giải tích - Năm học 2014-2015 - Học viện Nông nghiệp Việt Nam

1. Học viện Nông nghiệp Việt Nam ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015 Khoa CNTT - Bộ môn Toán Học phần: Giải tích Đề số 09 Thời gian làm bài: 90 phút Ngày thi: 30/8/2015 Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm) Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi: 64 f (x) ln(80 x2 ). x a) Tính đạo hàm f '(x) của hàm cầu f (x) . b) Tính vi phân của hàm f tại điểm x 4. Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,01 đơn vị tiền so với giá ban đầu là 4 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu? Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm) 1 1 Cho hàm số g(x) x3 x arctanx. 3 4 a) Tính đạo hàm g'(x) của hàm số g(x) . Từ đó tính 1[g'(x)]2. 4 b) Tính độ dài đường cong OAcho bởi phương trình y g(x) với O(0;0) và A(1; ) . 3 16 Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm) Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là x và y . Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng x, y là hàm hai biến h(x, y) xác định như sau: h(x, y) =125x + 70y 2x2 xy y2 +15. Hãy tìm mức sản lượng x, y để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa. Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm) Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau: a) (x 2y)dx (2x y)dy 0. b) y" y' 6y = xe x. Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm) (2n 1)3n Xét sự hội tụ của chuỗi số (Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be). n1 n! . Hết . Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Cán bộ ra đề Duyệt đề Nguyễn Văn Hạnh Phạm Việt Nga Nguyễn Hữu Hải
2. Học viện Nông nghiệp Việt Nam ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015 Khoa CNTT - Bộ môn Toán Học phần: Giải tích Đề số 10 Thời gian làm bài: 90 phút Ngày thi: 30/8/2015 Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm) Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi: 75 f (x) ln(95 x2 ). x a) Tính đạo hàm f '(x) của hàm cầu f (x) . b) Tính vi phân của hàm f tại điểm x 5 . Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,02 đơn vị tiền so với giá ban đầu là 5 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu? Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm) 1 1 Cho hàm số g(x) x3 x arctanx. 12 4 2 a) Tính đạo hàm g'(x) của hàm số g(x) . Từ đó tính 1[g'(x)] . 1 b) Tính độ dài đường cong OAcho bởi phương trình y g(x) với O(0;0) và A(1; ) . 3 4 Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm) Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là x và y . Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng x, ylà hàm hai biến h(x, y) xác định như sau: h(x, y) = 85x +80y x2 xy y2 +20. Hãy tìm mức sản lượng x, y để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa. Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm) Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau: a) (x 2y)dx (2x y)dy 0. b) y"+ y' 6y = (2x +1)e x. Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm) (3n 1)2n Xét sự hội tụ của chuỗi số (Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be). n1 n! . Hết . Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Cán bộ ra đề Duyệt đề Nguyễn Văn Hạnh Phạm Việt Nga Nguyễn Hữu Hải
3. Học viện Nông nghiệp Việt Nam ĐÁP ÁN ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015 Khoa CNTT - Bộ môn Toán Học phần: Giải tích Đề số: 09 - Ngày thi 30/08/2015 Thời gian làm bài: 90 phút (Người ra đề: Nguyễn Văn Hạnh) Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu Câu Đáp án vắn tắt Điểm 1 a 60 2x Tính đạo hàm f '(x) 4*0,25 (2đ) x2 80 x2 Vi phân tại x = 4 là df (4) 4,125dx 0.25+0.25 b Nếu dx = 0,01 thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ 0,04125 0.25+0.25 2 a 1 0.25+0.25 Tính đạo hàm g'(x) x2 1 (2đ) 4(x2 1) 1 0.25 1 [g'(x)]2 1 [x2 1 ]2 4(x2 1) 1 [x2 1 ]2 4(x2 1) 0.25 b 1 1 1 0.25+0.25 Đô dài l 1[g'(x)]2 dx [x2 1 ]dx 2 0 0 4(1 x ) 1 1 1 4 0.25+0.25 l [ x3 x arctanx] 3 4 0 3 16 3 ' ' Tính hx (x, y) 125 4x y;hy (x, y) 70 x 2y 0.25+0.25 (2đ) ' ' Điểm dừng hx (x, y) hy (x, y) 0 x 180/7; y 155/7 0.25+0.25 " " " Tính hxx(x, y) 4;hxy(x, y) 1;hyy(x, y) 2 0.25 " " " A hxx(180/7;155/7) 4;B hxy(180/7;155/7) 1;C hyy(180/7;155/7) 2 0.25 AC B2 7 0; A 4 0nên h đạt cực đại tại (180/7 ;155/7). Vậy lợi nhuận đạt 0.25+0,25 được tối đa nếu mức sản lượng x = 180/7 và y = 155/7. 4 a 2y x y' 0.25 (3đ) y 2x 2u 1 Đặt y = ux xu'u 0.25 u 2 (u 2)du dx 0.25+0,25 u2 1 x 1 d(u2 1) du dx 2 0.25 2 u2 1 u2 1 x 1 y2 y 1 y ln 1 2arctan ln x C ln x2 y2 2arctan C 0.25 2 x2 x 2 x b Ptđt: k 2 k 6 0 k 2;k 3 0.25 2x 3x Nghiệm tq của pt thuần nhất: y C1e C2e 0.25 Nghiệm riêng của pt không thuần nhất: Y (Ax B)ex 0,25 Y' (Ax A B)ex ;Y" (Ax 2A B)ex 0,25
4. 1 3 A , B 0,25 Thay vào phương trình ta được 4 16 1 3 y y Y C e2x C e3x (x )ex 0,25 Nghiệm tq của pt đã cho 1 2 4 4 5 u (2n 3)3n1 n! 3(2n 3) Ta có n1 (1đ) n 0.25+0.25 un (n 1)! (2n 1)3 (n 1)(2n 1) u 3(2n 3) lim n1 lim 0 1 0.25 n u n (n 1)(2n 1) n Theo t/c Đa-lăm-bem chuỗi đã cho hội tụ 0.25
5. Học viện Nông nghiệp Việt Nam ĐÁP ÁN ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015 Khoa CNTT - Bộ môn Toán Học phần: Giải tích Đề số: 10 - Ngày thi 30/08/2015 Thời gian làm bài: 90 phút (Người ra đề: Nguyễn Văn Hạnh) Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu Câu Đáp án vắn tắt Điểm 1 a 75 2x Tính đạo hàm f '(x) 4*0,25 (2đ) x2 95 x2 22 0.25+0.25 Vi phân tại x = 5 là df (5) dx 3,143dx 7 b Nếu dx = 0,02 thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ 0,06286 0.25+0.25 2 a 1 1 0.25+0.25 Tính đạo hàm g'(x) (x2 1) (2đ) 4 x2 1 1 1 0.25+0.25 1[g'(x)]2 [ (x2 1) ]2 4 x2 1 b 1 1 1 1 0.25+0.25 Đô dài l 1[g'(x)]2 dx [ (x2 1) ]dx 2 0 0 4 1 x 1 1 1 1 0.25+0.25 l [ x3 x arctanx] 12 4 0 3 4 3 ' ' Tính hx (x, y) 85 2x y;hy (x, y) 80 x 2y 0.25+0.25 (2đ) ' ' Điểm dừng hx (x, y) hy (x, y) 0 x 30; y 25 0.25+0.25 " " " Tính hxx(x, y) 2;hxy(x, y) 1;hyy(x, y) 2 0.25 " " " A hxx(30;25) 2;B hxy(30;25) 1;C hyy(30;25) 2 0.25 AC B2 3 0; A 2 0 nên h đạt cực đại tại (30; 25). Vậy lợi nhuận đạt 0.25+0,25 được tối đa nếu mức sản lượng x = 30 và y = 25. 4 a 2y x y' 0.25 (3đ) y 2x 2u 1 Đặt y = ux xu'u 0.25 u 2 (u 2)du dx 0.25+0,25 u2 1 x 1 d(u2 1) du dx 2 0.25 2 u2 1 1 u2 x 1 1 u 1 x y ln u2 1 ln ln x C ln x2 y2 ln C 0.25 2 1 u 2 x y b Ptđt: k 2 k 6 0 k 2;k 3 0.25 2x 3x Nghiệm tq của pt thuần nhất: y C1e C2e 0.25 Nghiệm riêng của pt không thuần nhất: Y (Ax B)ex 0,25 Y' (Ax A B)ex ;Y" (Ax 2A B)ex 0,25 1 2 A ,B 0,25 Thay vào phương trình ta được 3 9
6. 1 2 y y Y C e2x C e3x (x )ex 0,25 Nghiệm tq của pt đã cho 1 2 3 3 5 u (3n 4)2n1 n! 2(3n 4) Ta có n1 (1đ) n 0.25+0.25 un (n 1)! (3n 1)2 (n 1)(3n 1) u 2(3n 4) lim n1 lim 0 1 0.25 n u n (n 1)(3n 1) n Theo t/c Đa-lăm-bem chuỗi đã cho hội tụ 0.25