Đề cương Cơ học và sức bền vật liệu

128 trang ngocly 1280

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương Cơ học và sức bền vật liệu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_cuong_co_hoc_va_suc_ben_vat_lieu.doc

Nội dung text: Đề cương Cơ học và sức bền vật liệu

§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Đề cương môn học Cơ học và sức bền vật liệu - 1 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu MỤC LỤC Phần 1: cơ học vật rắn 1 CHƯƠNG 1: 1 1.1. Các khái niệm cơ bản 1 1.1.1. Vật rắn tuyệt đối. 1 1.1.2. Chuyển động cơ học - Hệ quy chiếu - Trạng thái cân bằng. 1 1.1.3. Lực. 2 Hình 1.1.1 2 1.1.4. Các kháI niệm khác 3 1.1.4.1. Hệ lực. 3 1.1.4.2. Hai hệ lực tương đương. 3 1.1.4.3. Hệ lực cân bằng 3 1.1.4.4. Hợp lực 3 1.1.4.5. Ngẫu lực và hệ ngẫu lực 3 Hình 1.1.2 4 1KNm = 103Nm, 1MN = 103KN 4 1.2. Hệ tiên đề tĩnh học 5 1.2.1. Tiên đề 1. (Tiên đề hai lực cân bằng) 5 Hình 1.1.3 5 1.2.2. Tiên đề 2. ( Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng) 5 1.2.3. Tiên đề 3. (Tiên đề hình bình hành lực) 6 Hình 1.1.5 6 1.2.4. Tiên đề 4. (Tiên đề về lực tác dụng và phản lực tác dụng) 6 Hình 1.1.6 6 1.2.5. Tiên đề 5. (Tiên đề hóa rắn) 6 1.2.6. Tiên đề 6. (Tiên đề giải phóng liên kết) 6 1.3. Liên kết và phản lực liên kết. 7 1.3.1. Liên kết tựa. 7 Hình 1.1.7 7 1.3.2. Liên kết dây 7 Hình 1.1.8 8 1.3.3. Liên kết bản lề phẳng. 8 a. Bản lề di động 8 Hình 1.1.9 8 b. Bản lề cố định 8 Hình 1.1.10 8 1.3.4. Liên kết ngàm. 8 Hình 1.1.11 9 1.3.5. Liên kết thanh 9 Hình 1.1.12 9 1.4. Lý thuyết về mô men lực 9 1.4.1. Mô men của lực lấy đối với một tâm (Một điểm). 9 Hình 1.1.13 10 Hình 1.14 11 1.4.2. Mômen của một lực đối với một trục 11 - 2 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu a. Định nghĩa. 11 Hình 1.1.15 12 b. Cách tính mômen của một lực đối với một trục 12 c. Các trường hợp đặc biệt 12 CHƯƠNG 2: 13 2.1. Hai đặc trưng hình học cơ bản của hệ lực không gian 13 1.5.1. Véc tơ chính của hệ lực không gian 13 a. Định nghĩa. 13 b. Phương pháp xác định véc tơ chính. 13 Hình 1.2.1 14 1.5.2. Mômen chính của hệ lực không gian 14 a. Định nghĩa. 14 Hình 1.2.2 15 b. Phương pháp xác định. 15 2.2. Thu gọn hệ lực không gian. 15 2.2.1. Thu gọn hệ lực về một tâm 15 a. Định lý dời lực song song 15 Hình 1.2.3 15 b. Thu gọn hệ lực về một tâm 16 Hình 1.2.4 16 c. Các trường hợp xảy ra khi thu gọn hệ lực. 17 2.2.2. Định lý biến thiên mômen chính, Định lý Va-ri-nhông 18 a. Định lý biến thiên mômen chính: 18 b. Định lý Va-ri-nhông: 18 Hình 1.2.5 18 2.3. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực không gian 18 2.3.1. Điều kiện cân bằng 18 R’O = 0 18 2.3.2. Các phương trình cân bằng. 18 a. Hệ lực không gian bất kỳ 18 b. Hệ lực không gian song song. 19 Hình 1.2.6 19 c. Hệ lực không gian đồng quy 20 2.4. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng. 20 2.4.1. Điều kiện cân bằng 20 2.4.2. Các dạng phương trình cân bằng 20 a. Hệ lực phẳng bất kỳ 20 b. Hệ lực phẳng song song. 21 c. Hệ lực phẳng đồng quy 22 2.5. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng. 22 2.5.1. Thu gọn hệ ngẫu lực phẳng 22 R = F2 + F3 - F1 = 24 + 4 - 10 = 18N 23 R’ = R = 18N 23 - 3 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình 1.2.7 23 2.5.2. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng 24 NA.l -m1 + m2 - m3 = 0 24 CHƯƠNG 3: 25 3.1. Tâm của hệ lực song song. 25 3.1.1. Khái niệm 25 3.1.2. Công thức xác định. 25 Hình 1.3.1 26 3.2. Trọng tâm của vật rắn. 26 3.2.1. Khái niệm trọng tâm của vật rắn. 26 3.2.2. Công thức xác định. 26 a. Công thức tổng quát xác định trong tâm vật rắn. 26 b. Công thức xác định trọng tâm của các vật đồng chất 27 3.2.3. Các định lý về trọng tâm của vật rắn 28 a. Định lý 1: 28 b. Định lý 2: 28 c. Định lý 3: 28 Ví dụ: 28 1. Xác định trọng tâm của tấm tôn phẳng có hình dạng như hình vẽ 1.3.2. Biết tấm tôn là đồng chất và kích thước của các cạnh tính bằng mm 28 Hình 1.3.2 29 Giải: 29 Vậy trọng tâm của vật hoàn toàn xác định 29 2. Tìm toạ độ trọng tâm của tấm phẳng giới hạn bởi hai đường tròn bán kính r và R (Hình 1.3.3). Cho biết khoảng cách giữa hai tâm là C1C2=a. 29 Hình 1.3.3 30 Giải: 30 3. Tìm trọng tâm của tấm phẳng ABC đồng chất có hình tam giác như hình vẽ: 30 Giải: 31 CE=1/3AE 31 CHƯƠNG 4: 31 4.1. Khái niệm mở đầu . 31 4.1.1. Định nghĩa và phân loại ma sát 32 a. Định nghĩa. 32 b. Phân loại ma sát 32 4.1.2. Ma sát trượt 33 a) Hiện tượng - Giải thích 33 Hình 1.4.1 33 b) Định luật ma sát trượt 33 Hình 1.4.2 35 c) Bài toán cân bằng có ma sát trượt. 35 B 35 A 35 Hình 1.4.3 35 Nghĩa là: 2 37 - 4 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 4.3. Ma sát lăn. 37 4.3.1. Hiện tượng - Giải thích. 37 P kN = kQ 38 M < Mo 38 M0 = kN 38 4.3.2. Bài toán cân bằng có ma sát lăn 39 MmsError! Objects cannot be created from editing field codes.Q.R 39 Ví dụ: 39 Hình 1.4.5 39 Giải: 39 Phần 1: sức bền vật liệu 40 CHƯƠNG 1: 40 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 40 1.1. Giới thiệu chung. 40 1.1.1. Nhiệm vụ của sức bền vật liệu. 41 1.1.2. Mục đích của Sức bền vật liệu 41 1.1.3. Lịch sử hình thành và phát triển. 41 1.2. Đối tượng nghiên cứu 42 1.2.1. Đối tượng vật lí và các giả thiết cơ bản. 42 a. Đối tượng vật lí 42 b. Các giả thiết cơ bản. 43 1.2.2. Đối tượng về hình học 44 Hình 2.1.1: Thanh thẳng 44 1.3. Ngoại lực, phản lực và liên kết. 44 1.3.1. Phân loại ngoại lực. 44 1.3.2. Các liên kết và phản lực 46 Hình 2.1.2: Gối tựa cố định và di động 46 Hình 2.1.3: Liên kết ngàm 46 1.4. Biến dạng và nội lực. 46 1.4.1. Chuyển vị và biến dạng. 46 a. Định nghĩa chuyển vị và biến dạng. 47 Hình 2.1.4: Biến dạng và chuyển vị của điểm 47 b. Biến dạng và chuyển vị của thanh 47 1- Thanh chịu kéo hoặc nén: 48 2- Thanh chịu cắt: 48 3- Thanh chịu xoắn: 48 4- Thanh chịu uốn: 48 1.4.2. Nội lực, cách xác định nội lực và biểu đồ nội lực 48 a. Nội lực, ứng suất và cách xác định 48 b. Biểu đồ nội lực. 49 1.4.3. Các liên hệ vi phân giữa ngoại lực và nội lực 49 CHƯƠNG 2 52 THANH CHỊU KÉO - NÉN ĐÚNG TÂM 52 2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh 52 2.1.1. Thí nghiệm 52 - 5 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 2.1.2. Giả thiết 52 Hình 2.2.1: Thí nghiệm thanh chịu kéo. 52 2.1.3. Quan hệ ứng suất - Nội lực và biến dạng. 52 2.1.4. Công thức tính ứng suất. 53 2.2. Biến dạng của thanh 53 2.2.1. Biến dạng dọc. 53 2.2.2. Biến dạng ngang 53 2.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng. 54 2.4. Thế năng biến dạng đàn hồi. 54 U = A U = Error! Objects cannot be created from editing field codes.= Error! Objects cannot be created from editing field codes. 55 U =Error! Objects cannot be created from editing field codes 55 2.5. Bài toán siêu tĩnh. 55 Giải 55 2.6. Các đặc trưng cơ học của vật liệu. 56 2.6.1. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo 56 Hình 2.2.5 57 2.6.2. Thí nghiệm nén vật liệu giòn. 57 Hình 2.2.6 58 2.7. Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản 58 2.7.1. Ứng suất cho phép Hệ số an toàn 58 2.7.2. Ba bài toán cơ bản 58 a. Kiểm tra bền (bài toán loại 1) 58 b. Chọn kích thước mặt cắt ngang hay thiết kế (bài toán loại 2) 59 c. Tải trọng cho phép (bài toán loại 3) 59 Hình 2.2.7 59 Theo trên ta có: Error! Objects cannot be created from editing field codes Tra bảng thép góc 56 56 5 có: F = 4,11cm2 60 CHƯƠNG 3 60 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ THUYẾT BỀN 60 3.1. Khái niệm. 60 Hình 2.3.2 61 3.2. Trạng thái ứng suất phẳng. 61 3.2.1. Ứng suất trên mặt nghiêng bất kì 61 Hình 2.3.3 61 3.2.2. Ứng suất chính và phương chính 62 Đặt Error! Objects cannot be created from editing field codes. 62 3.3. Vòng tròn ứng suất (Vòng Mohr). 63 3.3.1. Cơ sở của phương pháp và cách vẽ vòng tròn MO ứng suất. 63 Hình 2.3.4 64 3.3.2. Xác định ứng suất chính và phương chính 64 3.3.3. Hệ quả 65 3.5. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke tổng quát. 65 3.5.1. Biến dạng dài (Định luật Húc tổng quát) 65 - 6 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 3.5.2. Biến dạng góc (Định luật Húc về trượt) 66 3.5.3. Biến dạng thể tích tỷ đối (Định luật Húc khối) 67 3.6. Thế năng biến dạng đàn hồi. 68 U = A U = Error! Objects cannot be created from editing field codes.= Error! Objects cannot be created from editing field codes. 68 U =Error! Objects cannot be created from editing field codes 68 Ví dụ 1. 68 Ví dụ 2. 69 Phương chính: Error! Objects cannot be created from editing field codes. Error! Objects cannot be created from editing field codes. 71 3.7. Các thuyết bền. 71 3.7.1. Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất 71 3.7.2. Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất 71 3.7.2. Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng 71 Trong trường hợp trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: Error! Objects cannot be created from editing field codes. 71 CHƯƠNG 4 71 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT 71 4.1. Khái niệm chung 71 4.2. Mômen tĩnh của mặt cắt 72 4.3. Mômen quán tính của mặt cắt 73 4.3.1. Mômen quán tính trục 73 4.3.2. Mômen quán tính cực. 74 4.3.3. Mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục vuông góc. 74 4.4. Hệ trục quán tính chính trung tâm 74 4.4.1. Hệ trục trung tâm. 74 4.4.2. Hệ trục quán tính chính 74 4.4.3. Hệ trục quán tính chính trung tâm. 75 4.5. Phép chuyển trục song song. 75 CHƯƠNG 5 76 UỐN PHẲNG 76 5.1. Khái niệm chung 76 5.2. Uốn thuần túy. 76 5.2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang 76 Hình 2.5.2 77 I 77 K 77 O1 77 O2 77 Hình 2.5.3 78 5.2.2. Biểu đồ ứng suất phẳng. 79 max = Mx/Wx 80 5.2.3. Điều kiện bền khi uốn thuần túy. 81 5.3. Uốn ngang phẳng 82 - 7 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 5.3.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang 82 Hình 2.5.4 82 5.3.2. Điều kiện bền 84 Hình 2.5.6 84 Điều kiện đối với vật dẻo: Error! Objects cannot be created from editing field codes. 84 5.4. Chuyển vị của dầm. 85 Hình 2.5.7 85 5.4.1. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi. 85 Hình 2.5.8 85 5.4.2. Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tích phân không định hạn. 86 CHƯƠNG 6 87 THANH TRÒN CHỊU XOẮN 87 6.1. Khái niệm chung 87 Hình 2.6.1 87 6.2.1. Thí nghiệm 87 6.2.3. Công thức và biểu đồ ứng suất. 88 Hình 2.6.3 88 6.3.1. Điều kiện bền. 90 6.3.2. Điều kiện cứng. 90 6.3.3. Các bài toán cơ bản. 91 CHƯƠNG 7 92 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 92 7.1. Khái niệm chung 92 7.1.1. Thanh chịu lực đơn giản 92 7.1.2. Thanh chịu lực phức tạp 92 7.2. Uốn xiên 93 Hình 2.7.2 93 7.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang. 94 7.2.3. Vị trí đường trung hoà. 94 Hình 2.7.3 94 7.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang. 95 7.2.5. Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản 95 Với: Error! Objects cannot be created from editing field codes. 96 Ví dụ: 96 Thử lại: Error! Objects cannot be created from editing field codes 97 Vì Error! Objects cannot be created from editing field codes. 97 Hay: Error! Objects cannot be created from editing field codes 97 7.3. Uốn đồng thời kéo (nén) 97 7.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang. 98 Hình 2.7.5 98 Hoặc: Error! Objects cannot be created from editing field codes 99 7.3.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 99 Hình 2.7.7 99 - 8 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Ví dụ: 100 a) 100 b) 100 min 100 max 100 A 100 Giải: 101 Khi thay bằng số ta được: Error! Objects cannot be created from editing field codes. 101 7.4. Nén lệch tâm 101 Hình 2.7.8 102 7.4.2. Tính ứng suất 102 a) Trước hết ta xét trường hợp đơn giản khi lực lệch tâm nằm trong mặt phẳng đối xứng của thanh. 102 b) Trường hợp tổng quát 103 7.4.3. Trục trung hòa 103 7.4.4. Lõi mặt cắt. 104 7.5.1. Định nghĩa. 105 Hình 2.7.9 105 7.5.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang tròn - Điều kiện bền. 105 Ví dụ theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta có: Error! Objects cannot be created from editing field codes. 105 Với: Error! Objects cannot be created from editing field codes. 107 Ví dụ: 107 7.6. Uốn và kéo (nén) đồng thời xoắn. 109 7.6.1. Định nghĩa. 109 7.6.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang tròn - Điều kiện bền. 109 Thay các giá trị của Error! Objects cannot be created from editing field codes.và Error! Objects cannot be created from editing field codes.ta được kết quả cần tìm. 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO 109 1. Phan Văn Cúc – Nguyễn Văn Tĩnh 109 Cơ học lý thuyết 109 2. Phan Văn Cúc – Nguyễn Văn Tĩnh 110 Bài tập Cơ học lý thuyết 110 Cơ sở Cơ học kỹ thuật (Tập 1) 110 Cơ học cơ sở (Tập1) 110 Nhà xuất bản Giáo dục - 1999 110 Cơ học lý thuyết 110 6. Nguyễn Y Tô (chủ biên) và các tác giả khác 110 Sức bền vật liệu 110 Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1973 110 7. Lê Quang Minh – Nguyễn Văn Vượng 110 Sức bền vật liệu (Tập 1, 2). 110 - 9 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Nhà xuất bản giáo dục – 2003 110 8. Giáo trình Sức bền vật liệu 111 9. Giáo trình Sức bền vật liệu 111 10. Giáo trình Sức bền vật liệu 111 MỤC LỤC 111 Chương 3: Trạng thái ứng suất và thuyết bền 113 Chương 4: Các đặc trưng hình học của mặt cắt 113 Chương 5: Uốn phẳng 113 Chương 6: Xoắn 114 Chương 7: Thanh chịu lực phức tạp 114 Phần 1: cơ học vật rắn CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 1.1. Các khái niệm cơ bản. 1.1.1. Vật rắn tuyệt đối. Trong cơ học, vật thể được biểu diễn dưới hai dạng mô hình: Chất điểm (Hạt). Hệ chất điểm (Cơ hệ). * Chất điểm: - Là điểm hình học mang khối lượng xác định. - 10 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu - Vật thể có kích thước bỏ qua được so với kích thước đặc trưng cho chuyển động của nó được gọi là chất điểm. Ví dụ: Trái đất có thể xem như là một chất điểm khi xét chuyển động 6 8 của nó xung quanh hệ mặt trời ( RTĐ = 6.10 m , RMT = 7.10 m , dTĐ-MT = 10 15.10 m ). * Hệ chất điểm: Là tập hợp các chất điểm mà vị trí và chuyển động của mỗi chất điểm thuộc hệ phụ thuộc vào những chất điểm còn lại. * Vật rắn tuyệt đối: Là một cơ hệ trong đó khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Như vậy, vật rắn tuyệt đối (vật rắn) chỉ là một hệ chất điểm, một dạng trừu tượng của vật rắn thực. Hay nói cách khác, chỉ là mô hình gần đúng của vật rắn thực. Vật rắn thực bao giờ cũng bị biến dạng ít hay nhiều khi chịu các tác động bên ngoài. Để đơn giản, vật rắn tuyệt đối thường được gọi tắt là vật rắn. 1.1.2. Chuyển động cơ học - Hệ quy chiếu - Trạng thái cân bằng. * Vật thể được nghiên cứu trong cơ học lý thuyết là một phần của vật chất tổng quát, luôn ở trạng thái chuyển động và được gọi là chuyển động cơ học. Chuyển động cơ học của vật rắn là sự thay đổi vị trí của vật (hay một phần của vật) theo thời gian so với một vật khác được chọn. Vật khác được chọn để làm mốc nghiên cứu chuyển động được gọi là hệ quy chiếu. Với mỗi chuyển động cần xác định một hệ quy chiếu nhất định (một vật rắn khác) để dễ dàng xác định vị trí của vật chuyển động. Việc lựa chọn hệ quy chiếu rất quan trọng, vì đến lượt nó, hệ quy chiếu này lại có thể chuyển động so với một hệ quy chiếu (vật) khác. Hệ quy chiếu được gọi là cố định khi nó không có chuyển động so với một hệ quy chiếu quy ước và được gọi là động khi nó chuyển động so với hệ quy chiếu quy ước. Để tiện nghiên cứu, ta thường gắn vào hệ quy chiếu một hệ trục tọa độ (Oxyz). - 11 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu * Trạng thái cân bằng: Là trạng thái không chuyển động so với một hệ quy chiếu (quy ước) đã cho. Cân bằng của vật rắn (hệ chất điểm) sẽ xảy ra khi tất cả các chất điểm của nó ở trạng thái cân bằng. 1.1.3. Lực. * Hiện tượng: Hai chiếc xe A và B, B đang đứng yên còn A chuyển động tiến lại gần xe B và đâm vào B. Sau khi va chạm ta thấy cả hai xe A và B chuyển động. Vậy nguyên nhân nào khiến xe B đang đứng yên lại chuyển động? Từ những quan sát, kinh nghiệm và thực nghiệm ta thấy nguyên nhân của sự biến đổi trạng thái chuyển động cơ học hay sự dời chỗ của vật thể chính tác dụng tương hỗ giữa các vật thể. Do đó: * Lực là đại lượng đặc trưng số đo sự tác dụng tương hỗ cơ học giữa các vật thể. + Các yếu tố của lực: Thực nghiệm chứng tỏ rằng lực được đặc trưng bởi ba yếu tố: Điểm đặt, hướng (phương, chiều), trị số. - Điểm đặt: Là phần tử vật chất thuộc vật mà qua đó tác dụng tương hỗ được truyền đến vật. - Hướng của lực: Là hướng chuyển động mà lực đó gây ra cho vật. - Trị số của lực (cường độ của lực): Là số đo tác dụng mạnh yếu của lực so với lực được chọn làm chuẩn gọi là đơn vị lực. Đơn vị lực là Niutơn ký hiệu là N. Ngoài ra còn dùng KN, MN 1N = 10-3KN = 10-6KN + Biểu diễn lực. A P Người ta dùng véctơ để biểu diễn đặc trưng của lực gọi là véctơ lực. VD: N, F , P Hình 1.1.1 - Véctơ lực có gốc tại điểm đặt của lực, hướng trùng với hướng của lực, độ dài tỷ lệ với trị số của lực. 1.1.4. Các kháI niệm khác. 1.1.4.1. Hệ lực. Hệ lực là tập hợp các lực cùng tác dụng lên một vật rắn. - 12 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hệ lực gồm các lực F1 ,F2 , ,Fn được ký hiệu là (F1 , F2 , ,Fn ) 1.1.4.2. Hai hệ lực tương đương. Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng cùng tác dụng cơ học. Hệ lực (F1 ,F2 , ,Fn ) tương đương với hệ lực (1 ,2 , ,n ) được ký hiệu là: (F1 , F2 , ,Fn )  (1 , 2 , ,n ) 1.1.4.3. Hệ lực cân bằng. Hệ lực cân bằng là hệ lực khi tác dụng lên vật rắn không làm thay đổi trạng thái ban đầu của vật có được khi không chịu tác dụng của hệ lực ấy. Hệ lực (F1 , F2 , ,Fn ) cân bằng được ký hiệu (F1 , F2 , ,Fn )  0 1.1.4.4. Hợp lực. Một lực duy nhất tương đương với tác dụng của của hệ lực thì đó được gọi là hợp lực. Nếu R là hợp lực của hệ lực (F1 , F2 , ,Fn ) thì: R  (F1 , F2 , ,Fn ) 1.1.4.5. Ngẫu lực và hệ ngẫu lực. - Định nghĩa: Xét trường hợp đặc biệt khi hai lực F1 và F2 song song, ngược chiều và cùng trị số. R = F1 - F2 = 0, nhưng hệ (F1 ,F2 ) không cân bằng vì F1 ,F2 không cùng đường tác dụng, như vậy hệ (F1 ,F2 ) không có hợp lực. Trong thực tế lực này có khuynh hướng làm cho vật rắn quay và được gọi là ngẫu lực. Ngẫu lực là một hệ gồm hai lực song song, ngược chiều, có trị số bằng nhau nhưng không cùng đường tác dụng. Ký hiệu: (F1 ,F2 ) F1 B A a - 13 - F2
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình 1.1.2 Khoảng cách giữa đường tác dụng của hai lực lập thành ngẫu lực được gọi là cánh tay đòn. - Các yếu tố của ngẫu lực. Ngẫu lực có ba yếu tố: - Mặt phẳng tác dụng là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực. - Chiều quay của ngẫu lực là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên. - Trị số mômen của ngẫu lực là tích số giữa trị số của ngẫu lực với cánh tay đòn: m = F.a Trong đó: + m: Trị số mômen của ngẫu lực. + F: Trị số của lực. + a: Cánh tay đòn. + Dấu biểu thị chiều quay của ngẫu lực: Lấy dấu + khi ngẫu lực quay thuận chiều kim đồng hồ. Lấy dấu - khi ngẫu lực quay ngược chiều kim đồng hồ. - Đơn vị đo của trị số mômen là Niutơn.mét. Ký hiệu: Nm, KNm, MNm 1KNm = 103Nm, 1MN = 103KN. - Sự tương đương của các ngẫu lực. Hai tính chất của ngẫu lực. + Sự tương đương của hai ngẫu lực: Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, cùng chiều quay và cùng trị số mômen bằng nhau thì tương đương. + Tính chất của ngẫu lực: - Tính chất 1: Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi di chuyển ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó. - 14 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu - Tính chất 2: Ta có thể biến đổi trị số của lực và cánh tay đòn của ngẫu lực miễn là không làm biến đổi trị số mômen của ngẫu lực. 1.2. Hệ tiên đề tĩnh học. 1.2.1. Tiên đề 1. (Tiên đề hai lực cân bằng) Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng là hai lực phải cùng đường tác dụng, ngược chiều và có trị số bằng nhau. F A B F' F A B F' F' F = - F' Hình 1.1.3 1.2.2. Tiên đề 2. ( Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng) Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không hề thay đổi khi ta thêm vào hay bớt đi hai lực cân bằng nhau. Nếu F và F' là hai lực cân bằng thì: (F1 ,F2 , ,Fn )  (F1 ,F2 , ,Fn ,F , F' ) Hoặc nếu hệ lực (F1 ,F2 ,F3 , ,Fn ) có hai lực cân bằng (F1 ,F2 ) thì: (F1 , F2 ,F3 , ,Fn )  (F3 , ,Fn ) * Hệ quả: (Định lý trượt lực) Tác dụng của một lực lên một vật rắn không hề thay đổi khi ta trượt lực trên đường tác dụng của nó. Giả sử: Lực FA tác dụng lên vật rắn tại A, tại B ta thêm 2 lực (FB ,F'B ) cân bằng nhau có cùng đường tác dụng với lực FA và: F = -F' = F B B A F'B B F B F A F' Ta có: FA  (FA ,FB ,F'B )  FB A Như vậy FB chính là FA trượt từ A tới B. Hình 1.1.4 - 15 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 1.2.3. Tiên đề 3. (Tiên đề hình bình hành lực) Hai lực đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm đó và được biểu diễn bằng một vectơ chéo hình bình hành có hai cạnh là hai vectơ biểu diễn hai lực thành phần. F 2 F F  (F 1 ,F 2 ) hay F = F 1 + F 2 O F 1 F' Hình 1.1.5 1.2.4. Tiên đề 4. (Tiên đề về lực tác dụng và phản lực tác dụng) Lực tác dụng và phản lực tác dụng giữa hai vật có cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều và có cùng cường độ. N F O F' F' P Hình 1.1.6 1.2.5. Tiên đề 5. (Tiên đề hóa rắn) Một vật rắn biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của hệ lực thì khi hoá rắn lại nó vẫn cân bằng. Tiên đề cho phép coi vật biến dạng cân bằng là vật rắn cân bằng. Những điều kiện cân bằng của vật rắn cũng là những điều kiện cần (nhưng không đủ) của vật biến dạng cân bằng. 1.2.6. Tiên đề 6. (Tiên đề giải phóng liên kết) + Vật tự do: Là vật có thể thực hiện được mọi di chuyển vô cùng bé từ vị trí đang khảo sát sang những vị trí lân cận (như quả bóng bay trong không gian). + Vật không tự do: Là vật có di chuyển theo một phương nào đó bị cản trở. + Liên kết: Những điều kiện cản trở chuyển động của vật khảo sát (Vật A) được gọi là liên kết đặt lên vật (Bàn B). - 16 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu + Tác dụng tương hỗ tại liên kết vật gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát, lực đó được gọi là phản lực liên kết. Phản lực liên kết chính là lực làm cản trở chuyển động tự do của vật khảo sát. * Vật không tự do ( tức vật chịu liên kết ) cân bằng có thể được xem là vật tự do cân bằng nếu giải phóng các liên kết, thay thế tác dụng của các liên kết được giải phóng bằng các phản lực liên kết tương ứng. 1.3. Liên kết và phản lực liên kết. 1.3.1. Liên kết tựa. Hai vật liên kết tựa khi chúng trực tiếp tựa lên nhau thực hiện theo các bề mặt hoặc theo các đường, hoặc theo bề mặt và đường hoặc theo điểm và bề mặt hay điểm và đường là hoàn toàn nhẵn thì phản lực tựa có phương vuông góc với mặt tựa N C N N B C t t A N A B Hình 1.1.7 1.3.2. Liên kết dây. Liên kết dây cản trở chuyển động của vật khảo sát theo chiều căng dây. Phản lực hướng theo phương của dây theo chiều từ vật khảo sát đi ra. Phản lực liên kết của dây mềm còn được gọi là lực căng dây. B C T T T B C P P P A P P P P - 17 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình 1.1.8 1.3.3. Liên kết bản lề phẳng. Liên kết bản lề phẳng có hai loại: Bản lề di động và Bản lề cố định. a. Bản lề di động. Bản lề di động cho phép vật khảo sát (vật B) quay quanh trục bản lề và di chuyển theo phương song song với mặt tựa, còn cản trở chuyển động theo phương vuông góc với mặt tựa. B N N N B A B B Hình 1.1.9 b. Bản lề cố định. Liên kết bản lề cố định chỉ cho phép vật khảo sát (vật B) quay quanh trục bản lề còn mọi di chuyển đều bị cản trở. Phản lực liên kết R có trị số và phương chưa biết, còn chiều thì định. Để đơn giản khi tính toán ta thường phân R thành hai thành phần là Rx và R y vuông góc với nhau: R = Rx + R y B R y R y R A R Rx x Hình 1.1.10 1.3.4. Liên kết ngàm. Hai vật được nối cứng với nhau tạo ra liên kết ngàm - 18 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Ví dụ: Đinh đóng vào tường, cột chôn xuống nền, hai thanh thép được hàn với nhau Phản lực liên kết gồm 1 ngẫu lực và một lực. Khi tính toán ta phải phân tích lực và ngẫu lực theo các phương. Hình 1.1.11 1.3.5. Liên kết thanh. Liên kết thanh được thực hiện nhờ các thanh thoả mãn các điều kiện sau: chỉ có lực tác dụng ở hai đầu, còn dọc thanh không có lực tác dụng và bỏ qua trọng lượng thanh. Những liên kết tại hai đầu thanh được thực hiện nhờ bản lề trụ, cầu hoặc tựa. Phản lực liên kết thanh nằm dọc theo đường nối tâm hai khớp bẩn lề. S S A RB A B Hình 1.1.12 1.4. Lý thuyết về mô men lực. 1.4.1. Mô men của lực lấy đối với một tâm (Một điểm). Thực tế chứng tỏ rằng một lực tác dụng lên vật rắn vừa có khả năng làm cho vật rắn di chuyển vừa có khả năng làm cho vật rắn quay. - 19 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Xét về mômen của một lực đối với một điểm là xét khả năng của lực làm vật quay quanh điểm đó. Giả sử vật rắn có thể quay quanh điểm O cố định. Tác dụng quay mà F gây ra cho vật phụ thuộc vào trị số cua lực (F) và khoảng cách a từ O đến đường tác dụng của lực. Còn chiều quay mà lực gây ra cho vật có thể là thuận hay ngược chiều kim đồng hồ. Đại lượng đặc trưng cho cả tác dụng quay và chiều quay đó được gọi là mômen của một lực đối với một điểm. Định nghĩa: Mômen của một lực đối với một điểm là một đại lượng đại số có giá trị tuyệt đối bằng tích số giữa trị số của lực với cánh tay đòn và có dấu (+) hay (-) tùy thuộc vào chiều quay của lực F quanh tâm O là ngược hay thuận chiều kim đồng hồ. mo (F ) = F.a mo (F ): Ký hiệu mômen của lực F đối với điểm O F: Trị số của lực a: Cánh tay đòn F a O Hình 1.1.13 * Cách xác định mômen của một lực đối với một điểm: Từ điểm lấy mômenhạ đường vuông góc đến đường tác dụng của lực để tìm cánh tay đòn a. Tính mô men theo công thức, khi xác định chiều quay để lấy dấu cần đứng ở điểm lấy mômen và vòng theo chiều của lực quanh điểm đó. * Ví dụ: Xác định mômen của các lực F1 và F2 đối với các điểm A và B như hình vẽ. - 20 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 0 Biết F1 = 10KN; F2 = 12KN; = 30 ; AC = CD = DB = 2m. I NB F1 F2 A B C D K Hình 1.14 + Giải: 0 mA (F1 ) = -F1.AI = -F1.AC.sin = -10.2.sin30 = -10KNm. mA (F2 ) = -F2.AD = -12.4 = -18KNm. 0 mB (F1 ) = F1.BK = F1.CB.sin = 10.4.sin30 = 20KNm. mB (F2 ) = F2.BD = 12.2 = 24KNm. 1.4.2. Mômen của một lực đối với một trục. a. Định nghĩa. Cho lực F và một trục nào đó, dựng mặt phẳng (P) bất kỳ vuông góc với trục z và cắt trục tại O. Gọi F' là hình chiếu của F lên mặt phẳng (P), ta có định nghĩa: Mômen của lực F đối với trục z là mômen của hình chiếu lực lên mặt phẳng vuông góc với trục đối với giao điểm của trục và mặt phẳng vuông góc đó. m z (F) F'.a Trong đó: - m z (F) : Là ký hiệu mômen của lực F đối với trục z. - F’: Là trị số hình chiếu của lực F lên mặt phẳng vuông góc với trục z - a: Khỏang cách từ O đến F’ - m z (F) có dấu (+) khi nhìn từ chiều dương trục z thấy lực có xu hướng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ, m z (F) có dấu (-) trong trường hợp ngược lại. F z - 21 - F' O a P
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình 1.1.15 Như vậy: Mômen của lực đối với một trục là đại lượng đặc trưng cho tác dụng quay quanh trục do lực đó gây ra. b. Cách tính mômen của một lực đối với một trục. Từ định nghĩa ta suy ra cách tính mômen của một lực đối với một trục như sau: - Xác định hình chiếu của lực lên mặt phẳng vuông góc với trục. (Thuận lợi nhất là lấy mặt phẳng vuông góc với trục chứa điểm đặt lực). - Từ giao điểm của trục với mặt phẳng vuông góc hạ đường vuông góc với hình chiếu lực để xác định cánh tay đòn a. - Tính mômen theo công thức. c. Các trường hợp đặc biệt. Khi lực F song song với trục z thì: m z (F) 0 vì F’ = 0 Khi lực F có đường tác dụng cắt trục z thì: m z (F) 0 vì a = 0 Khi lực F nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục z thì: m z (F) F.a - 22 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu CHƯƠNG 2: ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC 2.1. Hai đặc trưng hình học cơ bản của hệ lực không gian. 1.5.1. Véc tơ chính của hệ lực không gian. a. Định nghĩa. Véc tơ chính của hệ lực, kí hiệu R , là tổng hình học của các véc tơ biểu diễn của hệ lực. n R F1 F2 Fn k 1 Fk (*) b. Phương pháp xác định véc tơ chính. + Phương pháp hình học: Để xác định véctơ chính có thể vẽ (trên hình vẽ xét hệ lực gồm bốn lực) đa giác lực. Muốn vậy, từ một điểm bất kì ta vữ nối tiếp những véctơ song song cùng chiều và có trị số bằng các véctơ biểu diễn các lực của hệ lực. Đường gãy khúc nhận được gọi là đa giác lực. Véctơ OD được gọi là véctơ khép kín đa giác lực. Vậy, véctơ chính của hệ lực chính là véctơ khép kín của đa giác lực. - 23 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình 1.2.1 Trong trường hợp hệ lực phẳng, đa giác lực là đa giác phẳng, còn trong trường hợp hệ lực không gian, đa giác lực, nói chung là đa giác ghềnh. + Phương pháp giải tích: Dựa vào công thức (*), véctơ chính có thể được xác định qua các hình chiếu của nó theo các hình chiếu của các lực của hệ lực trên các trục toạ độ vuông góc Oxyz. n R'x F1x F2x Fnx  Fkx k 1 n R’ Ry ' F1y F2 y Fny  Fky k 1 n R'z F1z F2z Fnz  Fkz k 1 Từ đó mô đun và phương chiếu của vec tơ chính được xác định theo công thức: 2 2 2 R' R' x R'y R' z cos = R’x/R’; cos = R’y/R’; cos = R’z/R’ 1.5.2. Mômen chính của hệ lực không gian. a. Định nghĩa. Mômen chính của hệ lực không gian đối với tâm O, kí hiệu M 0 là một véctơ bằng tổng hình học của các véctơ mô men của các lực thuộc hệ lực đối với tâm O. n n 0 0 M m (Fk ) rk  Fk ( ) k 1 k 1 - 24 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình 1.2.2 b. Phương pháp xác định. + Phương hình học: Dựa vào công thức ( ) ta thấy ngay rằng véctơ mômen chính của hệ lực đối với tâm O là véctơ khép kín của đa giác véctơ, có các cạnh là các véctơ song song cùng chiều và có trị số ( Tương tự xác định véc tơ chính ). + Phương giải tích: Tương tự xác định véc tơ chính. 2.2. Thu gọn hệ lực không gian. 2.2.1. Thu gọn hệ lực về một tâm. a. Định lý dời lực song song. * Khi dời song song một lực, để tác dụng cơ học không thay đổi ta phải thêm vào một ngẫu lực phụ có mômen bằng mômen của lực đã cho đối với điểm mới dời đến. * Chứng minh: Giả sử có lực F đặt tại A cần phải dời song song lực đó đến điểm B. F F' F' F1 F1 m A B A B A B F" - 25 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình 1.2.3 Ta thêm vào B hai lực cân bằng nhau F' và F" sao cho F’ = F” = F, và đường tác dụng của F , F" song song với nhau. Khi đó (theo tiên đề 2) ta có: F  (F ,F' ,F" ) Nhưng F và F" tạo thành một ngẫu lực nên ta có: F'  F và ngẫu lực (F ,F" ) và có cùng trị số với F nên có thể coi F 'là F được dời song song từ A đến B. Ngẫu lực (F ,F" ) có mômen m = -F.AB Mặt khác:mB (F ) = -F.AB m = mB (F ). * Định lý đảo: Một lực và một ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng tương đương với một lực song song cùng chiều, cùng trị số với lực đã cho và có mômen đối với điểm đặt của lực đã cho bằng mômen của ngẫu lực. m Từ địnhlý ta có vị trí của điểm đặt lực tương đương: a F b. Thu gọn hệ lực về một tâm. Giả sử cần phải thu gọn hệ lực bất kỳ (F1 ,F2 ,F3 ) về tâm O. A F3 ' F3 m3 O m2 F O O 1 F ' C 2 R M0 B F2 F1' m1 Hình 1.2.4 Ta dời song song các lực về O: F1  F1 ' và ngẫu lực m1 mo (F1 ) F2  F2 ' và ngẫu lực m2 mo (F2 ) F3  F3 ' và ngẫu lực m3 mo (F3 ) - 26 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Như vậy hệ lực bất kỳ tương đương với một hệ lực đồng quy ở O và một hệ ngẫu lực. Thu gọn hệ lực F1 ' ,F2 ' ,F3 ' được R : F1 ' + F2 ' + F3 ' = R Thu gọn hệ ngẫu lực m1 , m 2 , m3 được MO: MO = m1 + m 2 + m3 = mo (F1 ) + mo (F2 ) + mo (F3 ) =  mo (F) R được gọi là véctơ chính, M O được gọi là mômen chính của hệ lực đã cho đối với điểm O. Vậy một hệ lực bất kỳ tương đương với một véctơ chính và một mômen chính. * Xác định véctơ chính: Trị số: R' ( X )2 (Y)2 ( Z)2 X Y Z Hướng: cos  , cos   ,cos  . R' R' R' * Xác định mômen chính: Mo  mo (F) Qua các công thức trên ta thấy khi thay đổi tâm thu gọn O thì R vẫn như cũ, còn M o sẽ thay đổi vì cánh tay đòn của các lực đã thay đổi. Véctơ chính không phụ thuộc vào tâm thu gọn, còn mômen chính phụ thuộc vào tâm thu gọn. c. Các trường hợp xảy ra khi thu gọn hệ lực. Muốn tìm kết quả gọn nhất của hệ lực đầu tiên ta chọn một tâm O bất kỳ rồi thu hệ về tâm đó, sau đó căn cứ vào kết quả thu được để xác định dạng tối giản. * Có 4 trường hợp sau: - Trường hợp 1: - 27 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Thu về tâm bất kỳ có R’ 0 và M O 0. Nếu R.M 0 : Hệ lực tương M đương với một hợp lực cách tâm thu gọn một khoảng a o . Nếu R.M :0 R' Hệ lực thu về hệ lực xoắn. - Trường hợp 2: Thu về tâm bất kỳ có R’ 0 và MO = 0. Đây là kết quả gọn nhất, trường hợp hệ tương đương với hợp lực, chỉ khác với trường hợp trên là hợp lực đặt ngay ở O. - Trường hợp 3: Thu về tâm O bất kỳ có R’ = 0, M O 0, trường hợp này hệ lực tương đương với một ngẫu lực. Theo tính chất của ngẫu lực thì ở đây kết quả không phụ thuộc vào việc chọn tâm O. - Trường hợp 4: Thu về tâm O bất kỳ có R’ = 0, MO = 0, trường hợp này hệ cân bằng. * Tóm lại: Thu hệ lực bất kỳ về dạng tối giản được hoặc là hệ tương đương với một hợp lực, hoặc là hệ tương đương với một ngẫu lưc, hoặc là hệ cân bằng. 2.2.2. Định lý biến thiên mômen chính, Định lý Va-ri-nhông a. Định lý biến thiên mômen chính: Biến thiên mômen chính của hệ lực khi tâm lấy mômen thay đổi từ O đến O’ bằng mômen của véctơ chính đặt tại O lấy đối với điểm O’. ' O' O M M mO' (RO ') b. Định lý Va-ri-nhông: Khi hệ lực có hợp lực R thì mômen của R với một tâm hay một trục nào đó bằng tổng mômen của các lực trong hệ lực lấy đối với tâm hay trục đó. Hình 1.2.5 - 28 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 2.3. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực không gian. 2.3.1. Điều kiện cân bằng. Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian cân bằng là vécơ chính và véctơ mômen chính của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu: R’O = 0 MO = 0 2.3.2. Các phương trình cân bằng. a. Hệ lực không gian bất kỳ. Hệ lực không gian bất kỳ khi tác dụng lên vật rắn có thể làm vật di chuyển theo ba trục và quay quanh ba trục. Sáu chuyển động độc lập đó được gọi là sáu bậc tự do của vật rắn trong không gian. Vật rắn cân bằng khi các chuyển động đó không có hoặc đều, muốn vậy phải có sáu phương trình:  X 0 Y 0  Z 0 mx (F) 0 m y (F) 0 mz (F) 0 Như vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian bất kỳ cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên các trục và mômen của các lực đối với các trục đều phải bằng không. b. Hệ lực không gian song song. Hệ lực không gian song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực không gian bất kỳ nên có thể suy ra điều kiện cân bằng cho hệ lực không gian song song từ hệ phương trình cân bằng của hệ lực không gian bất kỳ. Giả sử có hệ lực không gian song song (F1 , F2 , ,Fn ). Chọn hệ trục tọa độ Oz song song với các lực thì ta có: z F 2 - 29 - F n F 1 O y x
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu  X 0 Y 0  mz (F) 0 Hình 1.2.6 Do vậy từ điều kiện trên ta có điều kiện cân bằng của hệ lực không gian song song như sau:  Z 0 mx (F) 0 m y (F) 0 * Như vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian song song cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên các trục song song với các lực và tổng mômen của các lực đối với các trục còn lại đều phải bằng không. c. Hệ lực không gian đồng quy. Giả sử có hệ lực không gian đồng quy (F1 , F2 , ,Fn ). Chọ hệ trục tọa độ có gốc trùng với điểm đồng quy của các lực, khi đó ta luôn có: mx (F) 0 m y (F) 0 mz (F) 0 Do đó ta có điều kiện cân bằng của hệ lực không gian đồng quy:  X 0 Y 0  Z 0 Vậy điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian đồng quy cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên các trục tọa độ đều phải bằng không. - 30 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 2.4. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng. 2.4.1. Điều kiện cân bằng. * Định lý: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là vécto chính và mômen chính của hệ đối với một tâm bất kỳ đều phải bằng không. R o 0 M o 0 2.4.2. Các dạng phương trình cân bằng. a. Hệ lực phẳng bất kỳ. Hệ lực phẳng bất kỳ khi tác dụng lên vật rắn có thể làm vật di chuyển tịnh tiến theo hai trục và quay quanh một trục. Ba chuyển động độc lập đó được gọi là ba bậc tự do của vật rắn trong mặt phẳng. Vật rắn cân bằng khi các chuyển động đó không có hoặc đều, muốn vậy phải có ba phương trình cân bằng. + Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ và tổng mômen của các lực đối với một điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng của các lực đều phải bằng không.  X 0 Y 0  mo (F) 0 + Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng mômen của các lực đối với hai điểm A, B bất kỳ trong mặt phẳng chứa các lực và tổng hình chiếu các lực lên trục Ox không vuông góc với phương AB đều phải bằng không.  m A (F) 0  m B (F) 0  X 0 (x không vuông góc với AB) + Dạng 3: - 31 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng mômen của các lực đối với ba điểm A, B, C không thẳng hàng đều phải bằng không.  m A (F) 0  m B (F) 0  mC (F) 0 b. Hệ lực phẳng song song. Hệ lực phẳng song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng, vì vậy có thể suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song từ điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ. Giả sử có hệ lực phẳng song song (F ,1 F2 , ,Fn ). Ta chọn hệ tọa độ xOy có trục Ox vuông góc với đường tác dụng của các lực. Khi đó, hình chiếu của các lực lên trục Ox bằng không, nghĩa là  X 0 không còn phải là phương trình cân bằng nữa. Đo đó từ điều kiện cân bằng dạng 1 và dạng 2 của hệ lực phẳng bất kỳ ta suy ra được điều kiện cân bằng dạng 1 và dạng 2 của hệ lực phẳng song song. Dạng 1: Y 0  mo (F) 0 Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng song song cân bằng là hình chiếu của các lực lên trục song song và tổng mômen của các lực đối với các điểm bất kỳ trong mặt phẳng chứa các lực đều phải bằng không. Dạng 2:  m A (F) 0  m B (F) 0 (AB không song song với phương của lực) Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng mômen của các lực đối với hai đỉem không cùng nằm trên đường song song với đường tác dụng của các lực đều phải bằng không. - 32 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu c. Hệ lực phẳng đồng quy. Hệ lực phẳng đồng quy cũng là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng, vì vậy có thể suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy từ điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ. Giả sử có hệ lực phẳng đồng quy (F1 , F2 , ,Fn ). Ta chọn hệ tọa độ xOy có gốc toạ độ O là giao điểm các đường tác dụng của các lực thuộc hệ lực trên. Khi đó, phương trình mômen của các lực lấy đối với O tự thoả mãn (Do cánh tay đòn a=0) nên ta có phương trình cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy là:  X 0 Y 0 2.5. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng. 2.5.1. Thu gọn hệ ngẫu lực phẳng. + Xét ví dụ: Giả sử hệ gồm 3 ngẫu lực: F1=10N, a1=2m; F2=12N, a2=4m; F3=8N, a3=1m. Ta cần thu gọn 3 ngẫu lực đó. Theo tính chất của ngẫu lực ta biến đổi các ngẫu lực đã cho có cùng cánh tay đòn là 2m. Ngẫu lực (F1 ,F'1 ) không cần biến đổi. Ngẫu lực (F2 ,F2 ' ) thành ngẫu lực có trị số lực là 24N. Ngẫu lực (F3 ,F3 ' ) thành ngẫu lực có trị số lực là 4N. Thu gọn các lực ơ A và B thành R và R' ta được: R = F2 + F3 - F1 = 24 + 4 - 10 = 18N R’ = R = 18N Hai lực R và R' lập thành ngẫu lực. Ngẫu lực này tương đương với cả 3 ngẫu lực đã cho và được gọi là ngẫu lực tổng hợp có mômen M = -18.2 = - 36Nm Mặt khác các ngẫu lực đã cho có mômen: - 33 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu F2 F2 F ' 1 F1' a F3 a1 a1 2 F3 R a a1 3 F3 ' R' F1 F ' F ' F1 3 2 F2 ' Hình 1.2.7 m1 = F1.a1 = 10.2 = 20Nm m2 = F2.a2 = -12.4 =-48Nm m3 = F3.a3 = -8.1 = -8Nm  m = 20 - 48 - 8 = -36Nm Như vậy: M = m1 + m2 + m3 Tổng quát, nếu hệ có n ngẫu lực thành phần: M = m1 + m2 + + mn =  m Vậy hệ ngẫu lực phẳng tương đương với ngẫu lực tổng hợp có mômen bằng tổng mômen của các ngẫu lực thuộc hệ. 2.5.2. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng. Hệ ngẫu lực phẳng tương đương với một ngẫu lực tổng hợp. Muốn cân bằng ngẫu lực tổng hợp phải có M = 0, nghĩa là: M =  m = 0 Vậy điều kiện để hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các ngẫu lực thuộc hệ phải bằng không. NA m1 m2 NB m3 + Ví dụ: A B Dầm chịu tác dụng của các ngẫu lực có: l=4m m1 = 20KNm, m2 = 15KNm, m3 = 10KNm, như hình vẽ. Hình 1.2.8 Xác định phản lực ở các gối A và B của dầm. - 34 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu + Giải: Trên dầm chỉ có các ngẫu lực tác dụng nên đểcan bằng phản lực ở hai gối phải lập thành 1 ngẫu lực. Phản lực N A vuông góc với mặt tựa và có chiều giả định đi xuống, NphảiB song song với N A và có chiều ngược lại. Đkcb: NA.l -m1 + m2 - m3 = 0 m1 m2 m3 20 15 10 15 NA = = = = 3,75KN l 4 3 NA có dấu (+) chứng tỏ chiều giả định của NA đúng với chiều thực. Tương ứng NB = 3,75KN và có chiều đúng với chiều thực. CHƯƠNG 3: - 35 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu TRỌNG TÂM VẬT RẮN 3.1. Tâm của hệ lực song song. 3.1.1. Khái niệm. Điểm hình học C gọi là tâm của hệ lực song song (F ,1 F2 , ,Fn ) nếu được xác định bằng công thức:  Fk .rk rC = (*)  Fk Từ công thức trên ta thấy một hệ lực song song chỉ có duy nhất một điểm C thảo mãn, do đó tâm C của hệ lực song song là xác định duy nhất. 3.1.2. Công thức xác định. Điểm C cố định này là tâm của hệ lực song song. Chiếu công thức (*) lên các trục tọa độ Oxyz ta có:  Fk .xk xC =  Fk  Fk .yk yC =  Fk  Fk .zk zC =  Fk Hình 1.3.1 3.2. Trọng tâm của vật rắn. - 36 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 3.2.1. Khái niệm trọng tâm của vật rắn. Trọng tâm G của vật rắn là điểm đặt trọng lực tác dụng lên vật, được xác định nhờ công thức: n P r  k k r k 1 G P ( ) Trong đó: rG - Véctơ định vị trọng tâm G của vật. rk - Véctơ định vị chất điểm (phần tử ) k của vật. P – Trọng lượng của vật, bằng tổng trọng lượng P k của các phần tử. rdP r  Dưới dạng tích phân: G P ( ) Trong đó - Tích phân trải trên toàn vật;  r - Véctơ định vị phân tố trọng lực dP . 3.2.2. Công thức xác định. a. Công thức tổng quát xác định trong tâm vật rắn. Các hình chiếu: Chiếu ( ) và ( ) lên các trục tọa độ ta được: n n n  Pk xk  Pk yk  Pk zk x k 1 y k 1 z k 1 G P ; G P ; G P Dạng tích phân: xdP ydP zdP x  y  z  G P ; G P ; G P Trong đó: - 37 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu xG, yG, zG – Các tọa độ của trọng tâm G. xk, yk, zk – Các tọa độ của phần tử k. x, y, z – Các tọa độ của phân tố dP . b. Công thức xác định trọng tâm của các vật đồng chất. + Khối đồng chất: xdV ydV zdV x V y V z V G V ;G V ;G V + Tấm đồng chất: xdF ydF zdF x F y F z F G F ;G F ;G F (Nếu tấm phẳng thì zG = 0) + Thanh đồng chất: xdL ydL zdL x L y L z L G L ;G L ;G L Nếu vật phân tích được thành một số hữu hạn s phần, mỗi phần có trọng tâm Gi và thể tích Vi (diện tích Fi, chiều dài Li) đã biết, thì dùng công thức: s s s Vi xi Vi yi Vi zi x i 1 y i 1 z i 1 G V ;;G V G V (Khối) s s s  Fi xi  Fi yi  Fi zi x i 1 y i 1 z i 1 G F ;;G F G F (Tấm) s s s  Li xi  Li yi  Li zi x i 1 y i 1 z i 1 G L ;G L ;G L (Thanh) 3.2.3. Các định lý về trọng tâm của vật rắn. - 38 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu a. Định lý 1: Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng thì trọng tâm của nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng) đó. b. Định lý 2: Nếu vật rắn gồm các phần mà trọng tâm của chúng nằm trên một đường thẳng (mặt phẳng) thì trọng tâm của vật cũng nằm trên đường thẳng (mặt phẳng) đó. c. Định lý 3: Nếu vật được ghép từ m phần, mỗi phần có trọng lượng P i và trọng tâm tại Ci (xi, yi, zi) thì trọng tâm của vật được xác định nhờ công thức: m m m  Pi xi  Pi yi  Pi zi x i 1 y i 1 z i 1 G P ;G P ; G P Công thức trên còn được gọi là công thức tính trọng tâm vật ghép. Ví dụ: 1. Xác định trọng tâm của tấm tôn phẳng có hình dạng như hình vẽ 1.3.2. Biết tấm tôn là đồng chất và kích thước của các cạnh tính bằng mm. Hình 1.3.2 Giải: - 39 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Trước hết ta chia vật thành ba phần, mỗi phần là một hình chữ nhật như hình vẽ 1.3.2. Các hình này là các tấm phẳng có tâm đối xứng là C 1, C2, C3. Toạ độ trọng tâm và diện tích của các hình như sau: C1 C2 C3 xi -1 1 5 yi 1 5 9 Si 4 20 12 Diện tích của cả hình là: S = 4+20+12 = 36 (mm2). Theo công thức xác định trọng tâm của vật đồng chất dạng tấm ta có: Vậy trọng tâm của vật hoàn toàn xác định 2. Tìm toạ độ trọng tâm của tấm phẳng giới hạn bởi hai đường tròn bán kính r và R (Hình 1.3.3). Cho biết khoảng cách giữa hai tâm là C1C2=a. Hình 1.3.3 Giải: - 40 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Phân tích tấm thành hai phần mỗi phần là một tấm tròn nhưng ở đây tấm tròn có bán kính r được coi như có diện tích âm. Phần 1 là một tấm tròn có bán kính R có: Trọng tâm là : C1(0,0) 2 Diện tích : S1= R Phần 2 là một tấm tròn có bán kính r có: Trọng tâm là : C2(a,0) 2 Diện tích : S2=- r Diện tích của cả vật là: 2 2 S=S1+S2= R - r Trọng tâm của vật sẽ là: 3. Tìm trọng tâm của tấm phẳng ABC đồng chất có hình tam giác như hình vẽ: Giải: Chia tam giác thành các dảI nhỏ song song với đáy BC. Mỗi dải nhỏ thứ I được coi như một thanh mảnh và trọng tâm của nó đặt giữa dải. Như vậy trọng tâm các dảI sẽ nằm trên trung tuyến AE và trọng tâm tam giác cũng nằm trên AE. - 41 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hoàn toàn tương tự ta cũng thấy trọng tâm của tam giác phảI nằm trên trung tuyến BG và trung tuyến CK. Rõ ràng trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến. Trong hình học ta biết điểm đó được xác định theo biểu thức: CE=1/3AE CHƯƠNG 4: MA SÁT 4.1. Khái niệm mở đầu . Trước đây, khi xét liên kết tựa ta xem các vật tiếp xúc với nhau tại một điểm và các mặt tựa tiếp xúc là hoàn toàn nhẵn. Khi đó phản lực liên kết nằm theo phương pháp tuyến của mặt tựa. Trên thực tế, tiếp xúc xảy ra trên một diện tích (dù nhỏ) và các mặt tựa của các vật tiếp xúc là không nhẵn. Do đó, ngoài phản lực pháp nói trên, mặt tựa còn có các lực và ngẫu lực cản (phản lực) - được gọi là lực ma sát và ngẫu lực ma sát. 4.1.1. Định nghĩa và phân loại ma sát. a. Định nghĩa. Xét hai vật rắn có liên kết tựa lên nhau: Ma sát là hiện tượng xuất hiện những lực và ngẫu lực có tác dụng cản trở các chuyển động hay xu hướng chuyển động tương đối của hai vật trên bề mặt chung (mặt tựa). b. Phân loại ma sát. + Ma sát tĩnh và ma sát động: * Ma sát tĩnh: Hai vật mới chỉ có xu hướng chuyển động tương đối nhưng vẫn ở trạng thái cân bằng tương đối. - 42 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu * Ma sát động: Khi hai vật đã chuyển động tương đối với nhau. + Ma sát trượt và ma sát lăn: Nếu xu hướng chuyển động hay chuyển động giữa hai vật là trượt, ta có ma sát trượt; trường hợp xu hướng hay chuyển động xảy ra là lăn, ta có ma sát lăn. Bản chất vật lý của hiện tượng ma sát rất phức tạp. Lý thuyết thu gọn hệ lực cho phép giải thích sự xuất hiện của các lực và ngẫu lực ma sát. Do hai vật tiếp xúc nhau trên một diện tích nào đó nên xuất hiện một hệ phản lực liên kết. Nếu xem đó là một hệ lực phẳng, kết quả thu gọn cho một phản lực R và một ngẫu lực M . Phân tích phản lực R ra hai thành phần pháp và tiếp ta được phản lực pháp N và lực ma sát Fms vuông góc với nhau. Còn ngẫu lực M chính là ngẫu lực ma sát lăn. + Ma sát khô và ma sát nhớt: * Ma sát khô: Ma sát được gọi là khô khi hai vật tiếp xúc trực tiếp với nhau. * Ma sát nhớt: Ma sát được gọi là nhớt khi hai vật tiếp xúc với nhau thông qua một màng dầu. 4.1.2. Ma sát trượt. a) Hiện tượng - Giải thích. Quan sát hiện tượng xảy ra đối với một vật rắn trên mặt ngang, chịu lực ép (Kể cả trọng lực) Q thẳng góc với mặt bàn và chịu lực kéo P theo mặt bàn. Ta thấy : - 43 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Vật vẫn cân bằng (nằm yên) khi trị số của P chưa vượt quá giá trị P0 tức: P Q P Fms N P0 . Hình 1.4.1 Thực nghiệm cho biết giá trị P 0 tỷ lệ với lực ép Q với hệ số tỷ lệ là f, nghĩa là: P0 = f.Q Hệ số tỷ lệ f phụ thuộc vào vật liệu, trạng thái bề mặt tiếp xúc (thô, ráp). * Từ đó suy ra: Ngoài phản lực pháp N cân bằng với lực ép Q còn có lực cân bằng với lực kéo P gọi là lực ma sát, ký hiệu Fms . Lực ma sát ngược chiều với lực P nghĩa là ngược chiều với xu hướng trượt. Giá trị lực ma sát trượt không thể lớn tùy ý mà bị chặn (Hạn chế). Giá trị cực đại của nó tỷ lệ với giá trị của lực ép Q , nghĩa là tỷ lệ với giá trị của phản lực pháp tuyến N . b) Định luật ma sát trượt. * Từ hiện tượng trên ta có thể phát biểu định luật ma sát trượt như sau: Lực ma sát trượt xuất hiện khi có xu hướng trượt tương đối, nằm theo tiếp tuyến của mặt tựa tiếp xúc, ngược hướng trượt và có giá trị bị chặn trên - 44 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Fms fN Trong đó: N – Giá trị của phản lực pháp. f – Hệ số hằng số gọi là hệ số ma sát trượt tĩnh, khô được xác định bằng thực nghiệm. Bảng xác định hệ số ma sát trượt của một số loaị vật liệu. Tên vật liệu Hệ số ma sát trượt (f) Đá trượt trên gỗ 0,46 – 0,6 Gỗ trượt trên gỗ 0,62 Kim loại trượt trên gỗ 0,62 Đồng trượt trên gang 0,16 Đồng trượt trên sắt 0,19 Thép trượt trên thép 0,15 * Có thể phát biểu định luật dưới dạng hình học. Gọi - góc ma sát – là góc xác định bởi hệ thức: tg = f hay = artgf Và nón ma sát là nón có góc ở đỉnh bằng 2 . Q R N P Fms Hình 1.4.2 Điều kiện để vật cân bằng là phản lực toàn phần của các liên kết tựa có ma sát trượt nằm trong nón ma sát. - 45 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Trường hợp chỉ có một liên kết tựa, điều kiện để vật cân bằng là hợp lực của các lực hoạt động tác dụng trên vật rắn có đường tác dụng cắt nón ma sát. c) Bài toán cân bằng có ma sát trượt. Khi giải bài toán cân bằng có ma sát trượt, không phải chỉ tồn tại một vị trí cân bằng mà là một miền cân bằng. Do đó các thông số xác định trạng thái cân bằng của vật có thể lấy một miền giá trị chứ không phaỉ một giá trị duy nhất như bài toán cân bằng của vật rắn không có ma sát mà ta đã biết. FB G N B C B D E N A I P FA A Hình 1.4.3 + Thí dụ: Thang đồng chất AB chiều dài 2l trọng lượng P, tựa trên nền ngang Ox và tường Oy đều không nhẵn và có cùng hệ số ma sát trượt f. Tìm góc nghiêng của thang với tường để có cân bằng. + Giải. Khảo sát thanh cân bằng ở trạng thái tới hạn (sắp trượt). Ta thấy, nếu càng lớn thì thang càng dễ trượt. Do đó, góc khi thang sắp trượt sẽ có giá trị cực đại. - 46 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Lực hoạt động tác dụng vào thang chỉ là trọng lực P , các lực liên kết gồm các phản lực pháp N A , N B , lực ma sát FA hướng sang trái và lực ma sát FB hướng thẳng lên. Vậy ta có hệ lực cân bằng: (N A , N B , FA , FB ,P )  0 Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có các phương trình cân bằng: Fx = NB – FA = 0 Fy = NA + FB – P = 0  m 0(F ) = 2NAlsin – 2NBlcos – Plsin = 0 Khi viết định luật ma sát trượt cho các liên kết tựa tại A và B ứng với trạng thái cân bằng tới hạn, ta có: FA = fNA ; FB = fNB Từ các phương trình vừa được thiết lập trên, ta tìm được: P P 2 f N = ; N = f ; tg = A 1 f 2 B 1 f 2 1 f 2 Khi chú ý đến góc ma sát (tg = f), ta có: 2tg tg = = tg2 1 tg 2 Vậy: = 2 Vì góc tìm được ứng với trạng thái cân bằng tới hạn của thang, nên đó là giá trị cực đại của nó. Vậy điều kiện cân bằng của thang sẽ là: 2 * Có thể giải bài toán khi thang chưa trượt, tức là: FA fNA ; FB fNB Ta đặt:F A = f1NA ; FB = f2NB với f1 f và f2 f Từ các phương trình cân bằng và hai phương trình này ta tìm được: - 47 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 2 f 2 2 f tg = 2 = tg2 1 f1 f 2 1 f - Nếu theo phương pháp hình học ta vẽ các nón ma sát tại A và B, chúng giao nhau theo tứ giác F B N G CDEG. B C Để thang cân bằng, các phản lực toàn phần tại D A và B phải nằm tương ứng trong các nón ma E N A sát tại A và B, do đó chúng phải giao nhau tại I một điểm trong tứ giác và hợp lực của các lực hoạt động (ở đây là trọng lực P), cũng phải đi P F qua điểm đó, tức là phải cắt tứ giác. A Giả sử C là đỉnh tận cùng bên trái của tứ giác và I là trọng tâm thang. Để thực hiện điều kiện Hình 1.4.4 trên, tức đường tác dụng của P phải cắt tứ giác, thì chỉ cần thực hiện điều kiện: xI xC Từ hình vẽ ta thấy: xI = lsin ; xB = BCcos = ABsin( – ) = 2lsin( – )cos . Vậy điều kiện trên có thể được viết như sau: lsin 2lsin( – )cos = 2l[sin +sin( –2 )] Qua đó nhận được: sin( –2 ) 0 Nghĩa là: 2 * Chú ý rằng khi giải bài toán ứng với trạng thái cân bằng tới hạn ta sẽ đi đến kết quả nhanh hơn khi nhận xét rằng: Tam giác ABC vuông tại C và từ tam giác cân AIC rút ra ngay = 2 . 4.3. Ma sát lăn. 4.3.1. Hiện tượng - Giải thích. - 48 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Quan sát hiện tượng xảy ra đối với bánh xe bán kính R đặt trên mặt ngang chịu lực nén thẳng đứng Q và lực kéo ngang P cùng đặt tại tâm O của bánh. Theo quy tắc dời lực song song, có thể thay P bằng P ’ song song cùng chiều cùng trị số với P nhưng đặt tại tiếp điểm I và ngẫu lực cùng chiều quay của P quanh I, có mômen M=PR. Lực P ’ gây trượt và ngẫu M gây lăn. Để bánh xe không trượt thì P ’ có giá trị không quá giá trị cực đại có thể đạt được của lực ma sát trượt, nghĩa là: P kN = kQ Với f là hệ số ma sát lăn, xác định bằng thực nghiệm. Bảng xác định hệ số ma sát lăn của một số loaị vật liệu. Tên vật liệu Hệ số ma sát lăn (k) Gỗ lăn trên gỗ 0,05 – 0,08 Gỗ lăn trên thép 0,03 – 0,04 Con lăn thép trên mặt thép 0,001 Thép lăn trên thép 0,005 Hiện tượng lăn không xuất hiện nếu: M < Mo Thực nghiệm cho thấy giá trị M 0 tỷ lệ với giá trị của lực nén Q , tức tỷ lệ với giá trị của phản lực pháp N với hệ số tỷ lệ k, tức: M0 = kN Hệ số k được gọi là hệ số ma sát lăn, có thứ nguyên độ dài, phụ thuộc vật liệu và trạng thái bề mặt tiếp xúc. Thường hệ số k nhỏ hơn nhiều so với f. * Định luật ma sát lăn. Ngẫu lực ma sát lăn xuất hiện khi có xu hướng lăn tương đối, có chiều ngược với chiều xu hướng lăn và có giá trị: - 49 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu M kN Vì hệ số ma sát lăn bé hơn nhiều lần so với hệ số ma sát trượt nên trong nhiều trường hợp ma sát lăn được bỏ qua. Có thể diễn tả khả năng chống lăn bằng cách dời song song phản lực M pháp N về phía mà bánh xe có xu hướng lăn tới một đoạn d . N M kN Ta có: d k N N Vậy, khi có ma sát lăn, phản lực pháp N nằm ở phía vật có xu hướng lăn tới và cách pháp tuyến một đoạn: d k 4.3.2. Bài toán cân bằng có ma sát lăn. Bài toán cân bằng của vật khi có ma sát lăn ngoài điều kiện hệ lực tác dụng lên hệ kể cả các phản lực và lực ma sát cân bằng còn phải thêm điều kiện không có lăn theo phương trình: Mms Q.R Ví dụ: Tìm điều kiện cân bằng của con lăn trọng lượng P, bán kính R nằm trên mặt phẳng nghiêng một góc . Cho hệ số ma sát lăn là k. (Xem hình 1.4.5) Hình 1.4.5 Giải: Xét con lăn ở vị trí cân bằng. Phân tích lực P thành hai thành phần lực P1 và P2 như hình vẽ. Ta có điều kiện để con lăn không lăn là: - 50 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu P1.R=R.P.Sin P2.k=P.Cos Hay: R.P.Sin P.Cos tg k/R Như vậy điều kiện để con lăn cân bằng là: tg k/R. - 51 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Phần 1: sức bền vật liệu CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Giới thiệu chung. 1.1.1. Nhiệm vụ của sức bền vật liệu. Sức bền vật liệu nghiên cứu các phương pháp tính toán độ bền, độ cứng và độ ổn định của các chi tiết máy hay cấu kiện trong công trình dưới tác dụng của tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ v.v. Tính toán về độ bền nhằm bảo đảm cho các chi tiết máy hay cấu kiện công trình không bị nứt, vỡ, biến dạng quá phạm vi cho phép, Tính toán về độ cứng nhằm bảo đảm cho các chi tiết máy hay cấu kiện công trình không bị biến dạng lớn ảnh hưởng đến sự làm việc bình thường của nó. Tính toán về ổn định nhằm bảo đảm cho các chi tiết máy hay cấu kiện công trình giữ nguyên được dạng cân bằng ban đầu. Dễ dàng nhận thấy rằng khi các kích thước của chi tiết máy hay cấu kiện công trình càng lớn thì nói chung ba điều kiện trên càng được bảo đảm, nhưng sẽ tốn nhiều vật liệu, không kinh tế và cồng kềnh. Như vậy hai yêu cầu bền vững và tiết kiệm là mâu thuẫn nhau. Chúnh vì thế mà cần phải tìm ra phương pháp tính toán sao cho vừa bảo đảm bền vững theo yêu cầu, vừa tiết kiệm. Xuất phát từ đó môn Sức bền vật liệu có những nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu các phương pháp tính độ bền, độ cứng và độ ổn định của các chi tiết máy hay cấu kiện công trình; - Xác định kích thước và hình dạng hợp lý cho các chi tiết hay cấu kiện đó; - Nghiên cứu tính chất cơ học của các loại vật liệu trong những trường hợp chịu lực khác nhau. 1.1.2. Mục đích của Sức bền vật liệu. - 52 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Xuất phát từ yêu cầu tính toán về ba mặt nói trên, trong kỹ thuật thường đặt ra ba dạng bài toán cơ bản, nó thể hiện mục đích cuối cùng của môn Sức bền vật liệu. Những bài toán cơ bản đó là: - Bài toán kiểm tra (Độ bền, độ cứng, độ ổn định). - Bài toán tính tải trọng cho phép. - Bài toán tính mặt cắt (Hay một kích thước của kết cấu). 1.1.3. Lịch sử hình thành và phát triển. Trong thế kỷ 18 chúng ta đã có những công trình quan trọng được xem như là sự khởi đầu của môn học. Năm 1792 Buyphighe đưa ra dạng quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và biến dạng. Sau đó năm 1768 Hooke đã đưa ra quy luật cơ bản của vật thể đàn hồi với dạng đơn giản tuyến tính. Gần như đồng thời với Hooke ta có các công trình của Ơle và Becnuli. Cuối thế kỷ 18 và vào đầu thế kỉ 19đã có ba nhà toán học nổi tiếng là Oxstrôgratxki, Côsi và Poatxông đã nghiên cứu bài toán truyền sóng trong môi trường đàn hồi. Nhà bác học người Pháp Naviê xuất phát từ quan điểm về lực tương tác giữa các phần tử của Niutơn đã đề xuất ra lý thuyết đàn hồi rời rạc. Năm 1822, Côsi đã đưa ra khái niệm trạng thái ứng suất tại một điểm và cac phương trình cân bằng cùng với biểu thức biểu diễn tương quan giữa ứng suất và biến dạng. Vào giữa và cuối thế kỷ 19, nhu cầu về phát triển công nghiệp lớn đã thôi thúc các nhà bác học tìm cách tính toán nhanh chóng những bài toán thực tế, do đó đã phát sinh ra ngành lý thuyết đàn hồi ứng dụng và lý thuyết về sức bền vật liệu. Những người có công trong lĩnh vực này là Ơle, Becnuli, Giurapxki, Iaxinxki, Kiêcpisec, Lamê, Culông, Clapâyrôn, Gađôlin, Xanhvơnăng Vào cuối thế kỷ 19 và sang đầu thế kỷ 20 ngành cơ học vật rắn biến dạng đã phát triển vô cùng rộng lớn và gắn chặt với tên tuổi của các nhà bác học như Côlôxôp, Muskhêlisvili, Búpnốp, Gôlôvin, Cơưlốp, Pápcôvích, Vlaxôp, Timôxencô - 53 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 1.2. Đối tượng nghiên cứu. 1.2.1. Đối tượng vật lí và các giả thiết cơ bản. a. Đối tượng vật lí . Ở cơ học vật rắn ta đã nghiên cứu sự cân bằng và chuyển động của vật rắn tuyệt đối, khi đó không để ý đến biến dạng của vật. Trái lại trong sức bền vật liệu các chi tiết máy hay cấu kiện công trình là những vật rắn thực làm bằng thép, gang, gỗ, mà khi tính toán ta phải xét đến biến dạng của nó. Chính vì sự khác nhau đó nên khi xét biến dạng của vật thể trong sức bền vật liệu không thể áp dụng được nguyên lý hợp lực và dời lực ở cơ học lý thuyết. Chẳng hạn cùng chịu tác dụng của hai lực cân bằng nhưng vật thể có thể là chịu nén hoặc là chịu kéo. Tuy nhiên trong sức bền vật liệu khi giải quyết các bài toán, đầu tiên cần xác định phản lực, nội lực khi đó phải xem như vật bị biến dạng nhưng vẫn ở trạng thái cân bằng, nghĩa là ta vẫn dùng những lý luận của cơ học lý thuyết để tìm phản lực và nội lực. Tóm lại đối tượng nghiên cứu của sức bền vật liệu là vật rắn thực. b. Các giả thiết cơ bản. Người ta đưa ra các giả thuyết về vật liệu là nhằm lược bỏ các tính chất không cơ bản của nó để đơn giản việc tính toán mà vẫn đủ bảo đảm chính xác theo yêu cầu. + Giả thuyết 1. Vật liệu có tính liên tục, đồng tính và đẳng hướng. Vật liệu là liên tục và đồng tính khi ở mọi chỗ đều có vật liệu như nhau, còn vật liệu là đẳng hướng khi tính chất cơ lý của nó theo mọi phương như nhau. Thật ra cấu trúc của vật liệu rất phức tạp, ở mọi điểm nó không phải là liên tục và đồng tính, còn ở một điểm thì tính chất cơ lý theo mọi phương cũng không giống nhau, nhưng nếu xét toàn bộ vật thể thì sự khác nhau ấy không đáng kể và có thể bỏ qua. Giả thuyết này cho phép ta nghiên cứu một phân tố (hình hộp) vô cùng bé tưởng tượng tách ra khỏi vật thể thay thế cho việc nghiên cứu cả vật thể. Giả thuyết này đúng cho đa số vật liệu như thép, gang, đồng, Với một số vật liệu khác như gỗ, tre, tính chất cơ lý của chúng theo các phương (dọc - 54 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu thớ, ngang thớ, ) rất khác nhau nên không thể xem là đẳng hướng được. Ta gọi chúng là các vật liệu không đẳng hướng và khi tính toán phải chú ý đến tính chất này. + Giả thuyết 2. Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối. Trong thực tế khi lực tác dụng vẫn chưa vượt quá một giới hạn nào đó, tức là khi vật liệu còn làm việc trong giới hạn đàn hồi thì sau khi bỏ lực vật thể sẽ trở lại hình dạng và kích thước ban đầu nhưng không phải hoàn toàn mà còn biến dạng dư. Vì biến dạng dư rất nhỏ nên có thể bỏ qua và xem vật liệu là đàn hồi tuyệt đối. Giả thuyết này cũng nêu rõ phạm vi của sức bền vật liệu chỉ nghiên cứu vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi. Theo định luật Hooke, trong giai đoạn đàn hồi tương quan giữa lực và biến dạng là tương quan bậc nhất. + Giả thuyết 3. Biến dạng của vật thể do các nguyên nhân bên ngoài sinh ra là nhỏ so với kích thước của chúng. Nhờ giả thuyết này khi tính toán trong nhiều trường hợp ta có thể xem điểm đặt của lực không di chuyển và có thể áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng của các lực có nội dung như sau: "Kết quả (biến dạng, nội lực, ) do nhiều lực tác dụng đồng thời gây ra bằng tổng hình học các kết quả do từng lực tác dụng riêng rẽ gây ra". 1.2.2. Đối tượng về hình học Chi tiết hình thanh là các chi tiết mà kích thước theo hai phương (gọi là mặt cắt ngang) nhỏ thua rất nhiều so với kích thước còn lại (gọi là chiều dài). Tính toán các chi tiết này đơn giản hơn hai loại trên vì có thể quy về bài toán một chiều theo phương dài. Các chi tiết hình thanh thường gặp phổ biến hơn cả trong kết cấu công trình: các thanh của khung, các thanh trong dàn, cột, dầm. Do đó trong sức bền vật liệu người ta chủ yếu nghiên cứu các vật thể hình thanh. Ta có thể định nghĩa: Thanh là một vật thể hình học được tạo bởi một hình phẳng A có trọng tâm chuyển động dọc theo đường tựa s, trong quá trình chuyển động hình phẳng luôn luôn vuông góc với tiếp tuyến của đường tựa. - 55 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình phẳng chuyển động được gọi là mặt cắt ngang (tiết diện), đường tựa s được gọi là trục thanh. Ta biểu diễn thanh bởi đường trục kèm theo hình vẽ mặt cắt ngang. Tùy theo dạng của trục mà ta có các loại thanh phẳng (thẳng hay cong) và thanh không gian. Thanh có diện tích A không đổi còn được gọi là thanh lăng trụ. Việc nghiên cứu các đặc trưng hình học của tiết diện sẽ được nhắc tới trong một phần riêng biệt, mặc dầu các đặc trưng này là những định nghĩa thuần túy toán học nhưng lại có liên quan chặt chẽ với độ bền, độ cứng, độ ổn định của thanh. Hình 2.1.1: Thanh thẳng 1.3. Ngoại lực, phản lực và liên kết. 1.3.1. Phân loại ngoại lực. Ngoại lực bao gồm tải trọng và phản lực. Tải trọng là những lực chủ động, biết trước, được lấy theo các quy định, tiêu chuẩn. Chẳng hạn tiêu chuẩn Nhà nước 2737-1995 "Tải trọng và tác động" dùng cho tính toán, thiết kế công trình xây dựng. Phản lực là những lực thụ động, phát sinh ở vị trí liên kết vật đang xét với vật xung quanh. Theo hình thức tác dụng ta có: * Lực/mômen tập trung là những lực/mômen tác dụng tại một điểm của vật thể. Trên thực tế, định nghĩa này chỉ mang tính quy ước vì qua một điểm, là một khái niệm hình học không có kích thước, không thể truyền được bất kỳ một tác động hữu hạn nào. Lực/mômen tập trung là những ví dụ mang ý nghĩa điển hình về việc sơ đồ hóa các hiện tượng thực tế. * Lực phân bố là những hệ lực rải trên một thể tích, một diện tích hay một đường của vật thể. Trọng lượng riêng hay lực quán tính là loại lực phân bố trong thể tích của vật thể; áp lực của nước lên thành đập chắn, trọng - 56 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu lượng của đống cát đổ trên mặt sàn là những lực bề mặt; khi lực bề mặt tác dụng trên diện tích có kích thước theo một chiều bé hơn rất nhiều so với kích thước theo chiều còn lại thì ta có thể coi là lực phân bố theo chiều dài. Các lực phân bố dj phân bố được đặc trưng bởi cường độ. Cường độ lực phân bố có thể biến thiên hoặc là hằng số trên miền tác dụng. Trong trường hợp các lực phân bố đều hướng theo một phương, hợp lực của chúng có thể tính theo trị số đại số: * Trường hợp phân bố với cường độ g trên thể tích V: g F =V dV, khi g = const trong thể tích V thì F = gV; * Trường hợp phân bố với cường độ p trên diện tích S: p F =S dS, khi p = const trên diện tích S thì F = pS; * Trường hợp phân bố với cường độ q trên chiều dài L: q F =L dL, khi q = const trên chiều dài L thì F = qL. Tùy theo tính chất tác động, tải trọng cũng được phân thành tải trọng tĩnh và tải trọng động. Khi tính toán với tải tĩnh ta bỏ qua lực quán tính của khối lượng kết cấu. Tải trọng động là tải trọng gây ra gia tốc biến dạng lớn, do đó lực quán tính lớn và không thể bỏ qua so với lực tác động. 1.3.2. Các liên kết và phản lực. Thanh bị ngăn cản chuyển động theo phương nào thì sẽ nhận các phản lực tương ứng theo phương ấy. Ba dạng liên kết thường gặp trong bài toán phẳng của thanh là: Gối tựa di động, gối tựa cố định, ngàm. Gối tựa di động (liên kết đơn) chỉ ngăn cản chuyển động thẳng dọc theo phương liên kết. Phản lực là một lực R theo phương liên kết. Gối tựa cố định (liên kết khớp) ngăn cản mọi chuyển động thẳng. Liên kết khớp có hai thành phần phản lực theo hai phương và như vậy tương đương với hai liên kết đơn. - 57 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình 2.1.2: Gối tựa cố định và di động Liên kết ngàm (liên kết hàn) ngăn cản mọi chuyển động thẳng và chuyển động quay. Một liên kết ngàm tương tương ba liên kết đơn. Hình 2.1.3: Liên kết ngàm 1.4. Biến dạng và nội lực. 1.4.1. Chuyển vị và biến dạng. a. Định nghĩa chuyển vị và biến dạng. Sự thay đổi vị trí của một điểm được gọi là chuyển vị. Lượng thay đổi chiều dài của một đoạn thẳng được gọi là biến dạng dài tuyệt đối, nếu chiều dài của đoạn thẳng ban đầu bằng một đơn vị thì biến dạng được gọi là biến dạng dài tỷ đối, ký hiệu là  kèm theo chỉ số biểu thị phương của đoạn thẳng. Biến dạng dài tuyệt đối của một đoạn chiều dài L theo phương l sẽ là:  l = l dl L Lượng thay đổi của một góc vuông được gọi là biến dạng góc, ký hiệu  kèm theo hai chỉ số ghi tên của mặt phẳng chứa góc vuông đang xét. Lượng thay đổi của một đơn vị thể tích được gọi là biến dạng thể tích tỷ đối, ký hiệu . Độ thay đổi thể tích của một thể tích V trong vật thể sẽ là - 58 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu V =  dV V Ở trạng thái ban đầu, ta xét điểm M và các điểm lân cận N, P. Vị trí những điểm này sau biến dạng là M 1, N1 và P1. Chuyển vị của điểm M được đặc trưng bởi vectơ MM1. Biến dạng dài tỷ đối theo phương MN tại điểm đang xét là M N MN ds ds  = 1 1 = 1 MN MN ds P1 P N1 M1 M N Hình 2.1.4: Biến dạng và chuyển vị của điểm. Biến dạng góc tại điểm M đang xét là NMP = NMP N1M1P1 = /2  N1M1P1 b. Biến dạng và chuyển vị của thanh. Đối với thanh, được mô tả bằng trục và tiết diện, chuyển vị và biến dạng thường được định nghĩa như sau: Chuyển vị là sự thay đổi vị trí của tiết diện trước và sau khi thanh bị biến dạng. Theo động học, chuyển vị này được phân thành chuyển vị tịnh tiến (chuyển vị thẳng của trọng tâm tiết diện) và chuyển động quay của mặt phẳng tiết diện quanh trọng tâm. Biến dạng của thanh là sự thay đổi kích thước hình dáng của tiết diện, sự thay đổi chiều dài, độ cong, độ xoắn của trục thanh. Thông thường, trong sức bền vật liệu, người ta ít quan tâm tới biến dạng của tiết diện mà chủ yếu quan tâm biến dạng trục thanh. Theo biến dạng của thanh, người ta chia ra những trường hợp chịu lực cơ bản như sau: 1- Thanh chịu kéo hoặc nén: - 59 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Trục thanh không thay đổi độ cong. Nếu thanh thẳng thì vẫn thẳng, các tiết diện chỉ có chuyển vị thẳng là chuyển động tịnh tiến dọc theo trục thanh. 2- Thanh chịu cắt: Trục thanh không thay đổi độ cong nhưng bị gián đoạn. Các tiết diện không biến dạng nhưng có sự trượt tương đối giữa hai tiết diện kề nhau ở nơi chịu lực cắt. 3- Thanh chịu xoắn: Trục thanh không thay đổi cả độ cong lẫn độ dài. Các tiết diện không có chuyển vị thẳng, nhưng có chuyển vị xoay quanh trục thanh trong mặt phẳng của tiết diện. 4- Thanh chịu uốn: Trục thanh thay đổi độ cong, không thay đổi độ dài. Tiết diện thanh có cả chuyển vị thẳng và cả chuyển vị xoay . Bốn dạng chịu lực hoặc bốn dạng biến dạng của thanh nêu trên là những dạng cơ bản hay còn gọi là những dạng biến dạng đơn giản, thuần túy. Trong thực tế, thanh có thể biến dạng theo tổ hợp của những trường hợp cơ bản trên gọi là thanh chịu lực phức tạp. 1.4.2. Nội lực, cách xác định nội lực và biểu đồ nội lực. a. Nội lực, ứng suất và cách xác định. Nội lực là lượng thay đổi các lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể. Để làm xuất hiện, biểu diễn và tính được nội lực, ta dùng phương pháp mặt cắt. Ta định nghĩa ứng suất toàn phần p tại điểm đang xét là nội lực trên một đơn vị diện tích p = dp/dA Thứ nguyên của ứng suất là [Lực]/[Chiều dài] 2 p = u + uv - 60 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu u - Ứng suất pháp, thành phần vuông góc với mặt cắt tại điểm xét M; uv - Ứng suất tiếp, thành phần nằm trong mặt cắt; u - Phương pháp tuyến của mặt cắt tại điểm M đang xét; v - Phương của ứng suất tiếp. Ứng suất trong thanh phụ thuộc vào biến dạng, vào tác động của ngoại lực. Nhiệm vụ trước hết của sức bền vật liệu là tìm được các liên hệ, phụ thuộc đó bằng các nghiên cứu lý thuyết và bằng thực nghiệm. Nhiệm vụ tiếp sau là so sánh các kết quả nhận được với các kết quả thí nghiệm các loại vật liệu và với các yêu cầu công nghệ để đưa ra được các tiêu chuẩn đánh giá độ bền, độ cứng, độ ổn định của kết cấu nói chung và của thanh nói riêng. b. Biểu đồ nội lực. Nói chung các mặt cắt khác nhau có nội lực khác nhau. Để thấy được sự biến thiên của nội lực ta vẽ biểu đồ thể hiện sự biến đổi nội lực trên các mặt cắt dọc theo trục thanh, biểu đồ đó được gọi là biểu đồ lực dọc, biểu đồ lực cắt, biếu đồ mômen uốn, xoắn . . . 1.4.3. Các liên hệ vi phân giữa ngoại lực và nội lực. Ta quy ước tải trọng phân bố là dương khi hướng từ dưới lên, âm khi ngược lại. Tưởng tượng tách ra khỏi dầm một phân tố vô cùng nhỏ giới hạn giữa 2 mặt cắt ngang cách nhau một đoạn dz. Vì dz vô cùng nhỏ nên có thể coi tải trọng q(z) trên đoạn này là phân bố đều. Mômen uốn và lực cắt của mặt cắt của mặt cắt bên trái là M và Q, còn của mặt cắt bên phải là M+dM và Q+dQ. Viết các phương trình cân bằng của phân tố ta có: Y = Q + q(z).dz - (Q + dQ) = 0 (1) mo = -M - Q.dz/2 + M + dM - (Q + dQ).dz/2 = 0 (2) Từ phương trình (1) ta được: - 61 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu dQ/dz = q(z) Từ phương trình (2) ta có: dM/dz = Q hoặc: d2M/dz2 = q(z) Vậy: - Đạo hàm cấp một của lực cắt bằng cường độ của tải trọng phân bố. - Đạo hàm cấp một của mô men uốn bằng lực cắt. - Đạo hàm cấp hai của mô men uốn bằng cường độ của tải trọng phân bố. - 62 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu - 63 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu CHƯƠNG 2 THANH CHỊU KÉO - NÉN ĐÚNG TÂM 2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh 2.1.1. Thí nghiệm. Trước hết ta khảo sát biến dạng của thanh (chịu kéo). Đầu tiên trên bề mặt thanh kẻ những đường song song với trục thanh tượng trưng cho các thớ dọc, và những đường vuông góc tượng trưng cho các mặt cắt ngang của thanh. Chúng tạo thành các ô vuông. Sau khi thanh chịu kéo ta thấy những ô vuông trở thành hình chữ nhật 2.1.2. Giả thiết. Mặt cắt ngang của thanh trước và sau khi biến dạng vẫn luôn thẳng và vuông góc với trục thanh. Trong quá trình biến dạng các thớ dọc luôn thẳng, song song với trục của thanh và không tác dụng tương hỗ lên nhau. O P Nz z z,n dz dz du Hình 2.2.1: Thí nghiệm thanh chịu kéo. 2.1.3. Quan hệ ứng suất - Nội lực và biến dạng. Theo các giả thiết trên được rút ra từ thí nghiệm thì trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm có biến dạng dài theo phương trục z: du  z dz (2.1) Định luật Húc do nhà khoa học Anh, Robert Hooke tìm ra năm 1660: sz = Eez (2.2) trong đó, hệ số tỉ lệ E được gọi là môđun đàn hồi Young. - 64 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Vật liệu E (kN/cm2) Thép 20.103 - 21.103 Gang (11,5 - 16).103 Đồng và hợp kim đồng (10 - 12).103 Nhôm và đuya ra (7 - 8).103 Đá vôi 6000 Gạch 300 Bê tông 1000 - 3000 Gỗ dọc thớ 1000 Gỗ ngang thớ 50 Cao su 0,8 Mặt khác, ta có: N N  dF  dF  F z z z z z z (2.3) F F F 2.1.4. Công thức tính ứng suất. N  z z F 2.2. Biến dạng của thanh 2.2.1. Biến dạng dọc. Nz z Từ các công thức (2.2) và (2.3) suy ra: z z (2.5) EF z l Nz Biến dạng dọc tuyệt đối Dl: l dz (2.6) 0 EF N Trường hợp đặc biệt khi z = const: EF m n Nzl Nzili l ; l  li  (i = 1, 2, , n) (2.7) EF i 1 i 1 EiFi 2.2.2. Biến dạng ngang. Biến dạng ngang (tương đối) theo phương ngang x hoặc y được kí hiệu là - 65 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu ex hoặc ey: ex = ey = ez (2-8) trong đó  là hằng số tỉ lệ, được gọi là hệ số Poatxông. Vật liệu  Vật liệu  Thép 0,25 - 0,33 Bạc 0,39 Đồng 0,31 - 0,34 Thủy tinh 0,25 Đồng đen 0,32 - 0,35 Đá hộc 0,16 - 0,34 Gang 0,23 - 0,27 Bê tông 0,08 - 0,18 Chì 0,45 Gỗ dán 0,07 Nhôm 0,32 - 0,36 Cao su 0,47 Kẽm 0,21 Nến 0,50 Vàng 0,42 2.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng. Ta cắt thanh bằng một mặt cắt xiên mà pháp tuyến ngoài tạo với trục z N z N z góc . Ứng suất pz' được xác định bằng công thức sau: pz' F F F Trong đó F là diện tích mặt cắt xiên: F cos N z Trong tính toán ta thương phân pz' thanh hai thành phần : F  z' pz'.cos  z' pz'.sin 2.4. Thế năng biến dạng đàn hồi. Giả sử có một thanh chịu kéo hay nén đúng tâm trong giới hạn đàn hồi. Thanh bị biến dạng, do đó đặt lực vào thanh tao ra một công, và thanh tích luỹ một năng lượng gọi là thế năng biến dạng đàn hồi. Nhờ thế năng này mà khi bỏ lực, vật thể trở về hình dạng và kích thước ban đầu Thí dụ thanh bị kéo bởi một lực P có biến dạng Dl. Trong quá trình lực tăng từ 0 đến P, lực kéo tạo ra công A nó tích luỹ vào thanh dưới dạng thế năng U, tức là ta có: A = U = 1/2.PDl - 66 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Công của ngoại lực chuyển hoá thành thế năng biến dạng đàn hồi U: P2.l N2.l U = A U = = z 2EF 2EF Nếu nội lực N z biến thiên từ 0 – l thì có thể biểu diễn: l 2 Nz U = dz 0 2EF Gọi u là thế năng riêng biến dạng đàn hồi (thế năng tích luỹ trong một đơn vị thể tích) thì thế năng riêng đó có trị số: u=U/V Thay V = F.l và z= Nz/F ta được 2 l 2 l z zz z zz u = hoặc u = dz dz 2E 2 0 2El 0 2l 2.5. Bài toán siêu tĩnh. Trong các bài toán tĩnh định chỉ cần dựa đơn thuần vào các phương trình cân bằng tĩnh học để xác định nội lực. Trong bài toán siêu tĩnh nếu chỉ dựa vào phương trình cần bằng tĩnh học thì không đủ giải được nội lực mà phải dựa thêm vào một số phương trình bổ sung lập được nhờ việc xét điều kiện biến dạng của cơ hệ. Số phương trình bổ sung gọi là bậc siêu tĩnh của cơ hệ. Ví dụ1. Tìm ứng suất pháp trong các thanh EB và FC làm bằng cùng một loại vật liệu dùng để treo một thanh AD tuyệt đối cứng. Các thanh treo có diện tích mặt cắt F = 12cm 2. Giải Thay liên kết bằng các phản lực liên kết YA ,ZA ,N1 ,N2 ; Lập phương trình cân bằng: Hình 2.2.2 mA (F) = 2aN2 + aN1 3aP - 67 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu = 0 3P = N1 + 2N2 (a) Đây là bài tập toán siêu tĩnh bậc 1. Điều kiện tương thích biến dạng (Dl 1 = BB’, Dl2 = CC’, ABB’  ACC’): Dl 2 = 2Dl1 (b) N l N l Theo công thức ta có: l 1 , l 2 1 EF 2 EF Thay vào biểu thức (b), dễ thấy: N 2 = 2N1 6P 6.160 192 N 192kN; N 96kN 2 5 5 1 2 Ứng suất trong các thanh EB và FC là: N 96  1 8.104 kN / m2 80MN / m2 ; s = 2s = 160MN/m2 1 F 12.10 4 2 1 2.6. Các đặc trưng cơ học của vật liệu. Tính chất cơ học của vật liệu là những tính chất vật lí thể hiện trong quá trình biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực. Thông thường, người ta chia vật liệu làm hai loại: vật liệu dẻo và vật liệu giòn 2.6.1. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo Mẫu thử hay mẫu thí nghiệm: Hình 2.2.3 Quan hệ giữa lượng giãn l và lực kéo P được biểu diễn bằng biểu đồ kéo. Quá trình biến dạng gồm 3 giai đoạn: Giai đoạn thứ nhất: giai đoạn tỉ lệ hay giai đoạn đàn hồi OA. Giới hạn tỉ lệ hay giới hạn đàn Đối với thép số 3: 2 st1 = 200MN/m hồi tl: 2 sC = 240MN/m 2 sB = 420MN/m - 68 - Hình 2.2.4
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Ptl tl F0 Giai đoạn thứ hai: giai đoạn chảy dẻo. PC Ứng suất: C F0 được gọi là giới hạn chảy (dẻo). Trên mặt mẫu sẽ thấy xuất hiện những đường gợn nghiêng với trục thanh một góc khoảng 45 0 Giai đoạn thứ ba (giai đoạn củng cố): PB ứng suất cực đại: B được gọi là giới hạn bền. F0 Hình 2.2.5 2.6.2. Thí nghiệm nén vật liệu giòn. Mẫu thử thường hình vẽ. Biểu đồ nén có giới hạn tỉ lệ, giới hạn chảy nhưng không có giới hạn bền. - 69 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình 2.2.6 2.7. Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản. 2.7.1. Ứng suất cho phép Hệ số an toàn.  Ứng suất cho phép []:  0 n ch Như vậy đối với vật liệu dẻo:   n k n n k Đối với vật liệu giòn, vì khả năng chịu nén tốt hơn chịu kéo B B , nên ta có hai ứng suất cho phép khác nhau: n k B B  ;  n n k n Hệ số an toàn n thường lớn hơn 1 và phụ thuộc vào yêu cầu thiết kế cũng như tầm quan trọng của công trình, chi tiết máy. 2.7.2. Ba bài toán cơ bản. Để đảm bảo sự làm việc an toàn khi thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ứng suất trong thanh phải thoả mãn điều kiện bền: Nz z  F Từ bất đẳng thức trên, ta có ba loại bài toán cơ bản sau đây: a. Kiểm tra bền (bài toán loại 1) - 70 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Nz Điều kiện bền của thanh: max  F b. Chọn kích thước mặt cắt ngang hay thiết kế (bài toán loại 2) Nz Fmin F  c. Tải trọng cho phép (bài toán loại 3) Nzmax F Nz  Ví dụ 2. Dầm tuyệt đối cứng AB được giữ bởi các thanh bằng thép có giới hạn chảy 2 ch 24kN/ cm . Xác định tải trọng cho phép [q]. Biết n = 1,6; E = 2.104kN/cm2. Hình 2.2.7 Giải (Hình 2.2.7). Lấy tổng mômen các lực đối với điểm A, ta có: 3 m (F) N .2 N .5 q.3.(2 ) 0  (A) 1 2 2 (a) Phương trình phụ tìm được từ điều kiện hai tam giác đồng dạng l 2 N l N l ABB ~ ACC , ta có: 1 5 1 1 2 2 2 (b) l2 5 E1F1 E2F2 trong đó: E1 = E2 = E ; F1 = F2 = F; l1 = 1,8l ; l2 = l Giải phương trình (a) và (b) ta được: 21 84 N q; N q N > N . 1 44 2 44 2 1 - 71 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Vậy điều kiện bền phải xuất phát từ N2. Theo trên ta có: N 2 F . Tra bảng thép góc 56 56 5 có: F = 4,11cm2  24 2 Do:  ch 15kN / cm n 1,6 4,11 15 q 44 32,3 kN / cm 84 CHƯƠNG 3 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ THUYẾT BỀN 3.1. Khái niệm. Trạng thái ứng suất tại một điểm của vật thể đàn hồi chịu lực là tập hợp tất cả các ứng suất tác dụng trên tất cả các mặt vô cùng bé đi qua điểm đó, đặc trưng bởi tenxơ đối xứng cấp 2 có 6 thành phần ứng suất độc lập (Hình 2.3.1):    x xy xz yx y yz (3.1) zx zy z như biểu thị trên các mặt của phân tố toạ độ Cdxdydz. Hình 2.3.1 - 72 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Qua 1 điểm ta luôn tìm ba mặt vuông góc với nhau có ứng suất tiếp bằng 0, các mặt đó là mặt chính, pháp tuyến mặt chính gọi là phương chính, ứng suất pháp trên các mặt chính gọi là ứng suất chính: s1 > s2 > s3 (3.2) Căn cứ vào các ứng suất chính ta hân loại trạng thái ứng suất như sau: Trạng thái ứng suất khối (Hình 2.3.2a). Trạng thái ứng suất phẳng (Hình 2.3.2b). Trạng thái ứng suất đơn (Hình 2.3.2c). Hình 2.3.2 3.2. Trạng thái ứng suất phẳng. 3.2.1. Ứng suất trên mặt nghiêng bất kì. Tách một phân tố khỏi vật thể đàn hồi chịu lực. Giả thiết mặt vuông góc với trục z là mặt chính ( z = zx = zy = 0), những mặt còn lại có cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp (Hình 2.3.3). - 73 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình 2.3.3 Xét sự cân bằng của phân tố hình lăng trụ đáy là tam giác, mặt bên nghiêng. Phương trình tổng mômen các lực với O: dx dy M  dydz  dzdx 0   (3.3)  O xy 2 yx 2 xy yx Luật đối ứng của ứng suất tiếp, phát biểu như sau: “Nếu trên mặt cắt nào đó có ứng suất tiếp thì trên mặt cắt vuông góc với nó cũng phải có ứng suất tiếp có cùng trị số nhưng đối chiều”. Lập các phương trình hình chiếu sau:  u udzds (xdzds cos )cos (xydzdscos )sin (ydzdssin )sin (yxdzdssin )cos 0  v uvdzds (xdzds cos )sin (xydzdscos )cos (ydzdssin )cos (yxdzdssin )sin 0 Sau khi rút gọn, sử dụng định luật đối ứng ứng suất tiếp ta được giá trị của su và tuv: x y x y  cos2  sin 2 (3.4) u 2 2 xy x y  sin 2  cos2 (3.5) uv 2 xy 3.2.2. Ứng suất chính và phương chính. Mặt chính được xác định thông qua góc nghiêng 0, sao cho ứng suất tiếp trên đó bằng 0: x y xy sin 2 0 xy cos2 0 0 tg2 0 2 x y xy Đặt tg tg2 0 tg x y - 74 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu  0 k. (3.6) 2 2 0 Ta thấy 0 có hai nghiệm là 1 và 2 (ứng với k = 0 và k = 1) lệch nhau 90 ta luôn có hai phương chính vuông góc với nhau. Thay 1 và 2 vào (3.4) ta sẽ được các ứng suất chính cần tìm, đó là những ứng suất pháp cực trị, vì du/d = - 2uv = 0: 2 x y x y 2 max xy (3.7) min 2 2 Ứng suất tiếp cực trị xác định bằng duv/d = 0: d   uv 2 x y cos2 2 sin 2 0 d 2 xy   tg2 x y 2xy So sánh với (3.7), ta được: 1 tg2 cot g2 0 0 k. (3.8) tg2 0 4 Kết luận: những mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt chính một góc 1 450. Thay (3.8) vào (3.5) với cos2 , ta được: 1 tg2 2 1 2 2 max x y 4xy (3.9) min 2 Tính theo ứng suất chính ta có: max min max min 2 3.3. Vòng tròn ứng suất (Vòng Mohr). 3.3.1. Cơ sở của phương pháp và cách vẽ vòng tròn MO ứng suất. - 75 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Xét một phân tố với các ứng suất x, y, xy đã cho như hình. Lập hệ toạ độ Ost theo tỷ lệ nhất định. Trên trục hoành đặt các đoạn OE = s y và OF = sz. Từ E dựng đoạn ED = = txy vuông góc với OE. Vẽ vòng tròn có tâm C là y z trung điểm của đoạn EF OC và bán kính CD (CD = R = 2 2 y z 2 yz ), gọi là vòng tròn Mo ứng suất (Mohr). 2 y yx uv  yx xy x x xy xy y y x Hình 2.3.4 3.3.2. Xác định ứng suất chính và phương chính. Các giao điểm A và B của vòng tròn Mo với trục hoành O là những điểm có hoành độ lớn nhất và nhỏ nhất, tung độ bằng 0: 2 x y x y 2 max xy (3.11) min 2 2 Phương của các tia PA và PB là các phương chính cần tìm của phân tố. - 76 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Theo hình vẽ dễ thấy luôn luôn có: smax + smin = 2OC = sy + sz = hằng (3.12) “Tổng ứng suất pháp trên hai mặt vuông góc với nhau là hằng số”. Gọi a1 và a2 là góc của phương chính thứ nhất và phương chính thứ hai đối với trục x. Theo hình 3.4b, có: FP xy FP xy tga1 = ; tga2 = (3.13) FA y max FB y min Trong trường hợp kéo (nén) đúng tâm y ứng suất tiếp lớn nhất: 1    max min 2 z (3.14)   x đó là hai mặt vuông góc với nhau, lần lượt  làm với trục z một góc 45 o và 135o. 3.3.3. Hệ quả. Hình2. 3.5 Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, ví dụ x = , y = 0. Trạng thái trượt thuần tuý: phân tố mà trên các mặt chỉ có ứng suất tiếp . Lúc này vòng tròn Mo có tâm trùng với gốc toạ độ .Các ứng suất chính khác dấu nhau và có giá trị bằng giá trị của ứng suất tiếp: s 1= s3= txy (3.15) xy Hình 2.3.6 - 77 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 3.5. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke tổng quát. 3.5.1. Biến dạng dài (Định luật Húc tổng quát). Trước hết hãy tìm biến dạng dài tương đối e 1 theo phương I của phân tố.  Biến dạng do s sinh ra:  1 1 11 E  Biến dạng do s sinh ra: e =  2 2 12 E Hình 2.3.7  Biến dạng do s sinh ra: e =  3 3 13 E Làm tương tự ta được biến dạng (tương đối) theo phương II và phương III của phân tố: 1 1      x x  y z 1 E 1 2 3 E 1 1      2 2  3 1 y y z x E hoặc E 1 1 3 3  1 2 z z  x y E E (3.16) Các hệ thức bậc nhất (3.16) trên đây giữa biến dạng dài và ứng suất pháp là nội dung của định luật Húc tổng quát đối với vật rắn đàn hồi tuyến tính. 3.5.2. Biến dạng góc (Định luật Húc về trượt). Xét biến dạng của phân tố. Dưới tác dụng của ứng suất tiếp phân tố bị biến đổi hình dáng và trở thành hình bình hành (Hình 2.3.8). - 78 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu ij ij ij ij ij ij Hình2.3.8 Theo định luật Húc, giữa ứng suất tiếp  và góc trượt  có liên hệ sau:  ij = Gij ( i, j = 1, 2, 3) (3.18) trong đó G là hệ số tỷ lệ gọi là môđun đàn hồi khi trượt [lực/chiều dài 2], đó là hằng số vật liệu, được xác định từ thí nghiệm. Môđun G liên hệ với E và  như sau: E G (3.19) 2(1 ) Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng biểu diễn bằng định luật Húc tổng quát: 1  xy x x  y z ; xy ; E G 1       ;  yz ; y E y z x yz G 1  zx z z  x y ; zx E G E: môđuyn đàn hồi của vật liệu, [lực/(chiều dài)2]. : hệ số Poát-xông của vật liệu, có giá trị 00,5. G: môđuyn trượt của vật liệu, [lực/(chiều dài)2] 3.5.3. Biến dạng thể tích tỷ đối (Định luật Húc khối). - 79 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Gọi dx, dy và dz là các cạnh của phân tố và V 0 là thể tích ban đầu của phân tố, ta có: V0 = dxdydz Sau khi biến dạng, chiều dài các cạnh thay đổi sẽ là (dx + dx), (dy + dy) và (dz + dz). Thể tích sau khi biến dạng: V1 = V0 + V = (dx + dx).(dy + dy).(dz + dz)= dx dy dz = dxdydz 1 1 1 = dxdydz dx dy dz 1 x 1 y 1 z Vì biến dạng là bé nên có thể bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc 2 trở lên. Cuối cùng ta được: V1 = V0(1 + x + Y + z) Gọi  là biến dạng thể tích tương đối của phân tố, ta có: V V  1 0 = x + Y + z V0 Thay x, Y và z từ (3.16) vào công thức trên ta được: 1 2  = x + Y + z = x y z E Đặt tổng ứng suất pháp là:  = (x y z ) E   1 2 (3.20) Công thức trên biểu diễn liên hệ bậc nhất giữa biến dạng thể tích tương đối và tổng các ứng suất pháp, gọi là định luật Húc khối. 3.6. Thế năng biến dạng đàn hồi. Công của ngoại lực chuyển hoá thành thế năng biến dạng đàn hồi U: P2.l N2.l U = A U = = z 2EF 2EF - 80 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Nếu nội lực N z biến thiên từ 0 – l thì có thể biểu diễn: l 2 Nz U = dz 0 2EF Ví dụ 1. Ứng suất toàn phần trên mặt cắt m-n đi qua một điểm của một vật thể trong trạng thái ứng suất phẳng P = 3000 N/cm 2 có phương tạo thành một góc 600 với mặt cắt. Trên mặt vuông góc với mặt cắt này chỉ có ứng suất tiếp (Hình 2.3.9). Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt tạo thành góc 45 0 với mặt cắt m-n. Tính ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó. Giải: Ta thiết lập hệ trục xy trên mặt cắt m-n và hệ trục uv trên mặt cắt nghiêng như hình 2.3.9.  m v 600 p x 450 u y n Hình 2.3.9 Khi đó các thành phần ứng suất trên các mặt của phân tố ở - 81 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu trạng thái ứng suất phẳng: 0 2 x psin60 3.0,86 2,6kN / cm 0 2 xy pcos60 5.0,5 1,5kN / cm y 0 Áp dụng công thức tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng với = -135 0, ta có:      x y x y cos2  sin 2 ; 2,8kN / cm2 u 2 2 xy x y t = sin2a + t cos2a 1,3 kN/cm2 uv 2 xy Ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó là: 2 x y x y 2  2 smax = xy 3,28 kN/cm 2 2 Ví dụ 2. Tại một điểm trên mặt một vật thể chịu lực người ta đo được biến dạng tỷ -4 đối theo các phương Om, On, Ou như sau:  m = 2,81.10 ; -4 -4 n = -2,81.10 ; u = 1,625.10 Xác định phương chính và ứng suất chính tại điểm ấy. Cho biết  = 0,3; E = 2.104 kN/cm2. n u m 450 450 O Hình 2.3.10 Giải: Từ định luật Húc ta rút ra được ứng suất pháp phương m, n: - 82 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu 1 1     0,3 2,81.10 4 m E m n 2.104 m n 1 1     0,3 2,81.10 4 n E n m 2.104 n m 2 2 m 4,32 kN/cm ; n 4,32 kN/cm Biến dạng theo phương u: 1       u E u m n u 1 =  0,3 4,32 4,32  1,625.10 4 2.104 u u 2 m 2,5 kN/cm Ứng suất tiếp  mn tình từ công thức:      m n m n cos2  sin 2 u 2 2 mn 4,32 4,32 4,32 4,32 0 0 2,5 cos2.45 mn sin 2.45 2 2 2 mn 2,5 kN/cm Giá trị ứng suất chính tại điểm cho trước: m n 1 2 2 max m n 4mn min 2 2 4,32 4,32 1 2 = 4,32 4,32 4.2,52 2 2 2 max 5kN / cm 2 min 5kN / cm 0 2 2.2,5 1 1 15 Phương chính: tg2 mn ;   4,32 4,32 0 m n 3 2 105 3.7. Các thuyết bền. 3.7.1. Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất. - 83 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu      t® max 1  k      t® min 3  n  3.7.2. Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất. 2 2 t®  4  3.7.2. Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng.  2 2 2        t® 1 2 3 1 2 2 3 3 1  k Trong trường hợp trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:  2 32  t®  k CHƯƠNG 4 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT 4.1. Khái niệm chung. Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo nén đúng tâm và thanh chịu cắt ta thấy thanh nào có diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng lớn hơn, tức là khả năng chịu lực chỉ phụ thuộc vào một đặc trưng hình học của mặt cắt ngang, đó là diện tích F. Nhưng khi nghiên cứu thanh chịu xoắn, uốn, khả năng chịu lực của thanh không những chỉ phụ thuộc vào F mà còn phụ thuộc vào hình dạng mặt cắt và sự phân bố của vật liệu trên mặt cắt. Những yếu tố đó được thể hiện trong những đặc trưng hình học khác của mặt cắt như mômen tĩnh, mô men quán tính, mà ta sẽ nghiên cứu trước khi xét biến dạng xoắn, uốn và các trường hợp chịu lực phức tạp khác của thanh. - 84 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu a) d 0,7D D b) c) P P 4a a a 4a Hình 2.4.1 4.2. Mômen tĩnh của mặt cắt Mô men tĩnh của hình phẳng có diện tích F đối với các trục x và y của hệ trục xOy ký hiệu là Sx và Sy và bằng: Sx= FydF , Sy= FxdF Hình 2.4.2 Trong đó: dF là diện tích phân tố rất nhỏ trên hình phẳng. x,y là tọa độ của dF. F là tích phân lấy trên toàn bbộ diện tích F của hình phẳng. - 85 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Đối với hình phẳng phức tạp khi tính mô men tĩnh ta thường chia hình đó thành một số hữu hạn diện tích để có thể biết được diện tích và tọa độ trọng tâm của các hình này một cách dễ dàng. Khi đó tính theo công thức: Sx = yiFi , Sy = xiFi Trong đó : Fi là diện tích của hình thứ i, xi, yi là tọa độ trọng tâm của diện tích Fi. Khi đã có mô men tĩnh của hình phẳng đối với các trục ta có thể tính tọa độ trọng tâm của cả hình phẳng đối với hệ trục đó như sau: xC = SY/F , yC = Sx/F Trong đó: xC , yC là tọa độ trọng tâm của hình phẳng F là diện tích của hình phẳng. Ta đã biết rằng nếu hình phẳng có trục đối xứng hay tâm đối xứng thì trọng tâm hình phẳng sẽ nằm trên trục hay tâm đối xứng đó. Mô men tĩnh của hình phẳng có thể dương hay âm hoặc triệt tiêu. Khi trục đi qua trọng tâm của hình phẳng thì mô men tĩnh của hình phẳng đối với trục sẽ bằng không và trục đó được gọi là trục trung tâm. Mô men tĩnh có thứ nguyên là [chiều dài]3. Đơn vị thường dùng là cm3, m3, 4.3. Mômen quán tính của mặt cắt. 4.3.1. Mômen quán tính trục. Mô men quán tính của hình phẳng có diện tích F đối với trục x hay trục y là các tích phân sau đây: 2 2 Jx= Fy dF , JY= Fx dF . 4.3.2. Mômen quán tính cực. Mô men quán tính độc cực của hình phẳng có diện tích F đối với gốc tọa độ O là biểu thức tích phân sau: 2 Jo = F dF. Vì 2 = x2+y2 nên ta có : Jo = Jx+JY. - 86 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Vậy: Mô men quán tính độc cực đối với giao điểm của hai trục bằng tổng mô men quán tính của hình phẳng đối với hai trục đó. 4.3.3. Mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục vuông góc. Mô men quán tính ly tâm của hình phẳng đối với hệ trục xOy là biểu thức tích phân sau JXY = JYX = Fxy.dF. Từ các định nghĩa mô men quán tính ta rút ra những nhận xét sau đây: - Các mô men quán tính Jx, JY, Jo luôn luôn dương. Còn JxY có thể dương, âm hoặc triệt tiêu. - Thứ nguyên của mô men quán tính là [chiều dài] 4, còn đơn vị thường dùng là cm4, m4, - Mô men quán tính ly tâm đối với hệ trục vuông góc (với ít nhất một trục là đối xứng) thì bằng không. - Khi tính mô men quán tính của hình phẳng phức tạp ta có thể chia hình phẳng thành nhiều hình đơn giản, tính riêng mô men quán tính của các hình đơn giản rồi cộng lại. 4.4. Hệ trục quán tính chính trung tâm. 4.4.1. Hệ trục trung tâm. Hệ trục tọa độ có gốc là trọng tâm hình phẳng được gọi là hệ trục trung tâm. Vậy nếu hệ trục xOy là hệ trục trung tâm thì ta luôn luôn có Sx=SY=0. Từ đó còn có thể định nghĩa: Hệ trục trung tâm là hệ trục có mô men tĩnh của hình phẳng đối với mỗi trục của hệ đêu bằng không. Mỗi hình phẳng có thể có vô số hệ trục trung tâm. 4.4.2. Hệ trục quán tính chính. Hệ trục có mô men quán tính ly tâm của hình phẳng đối với nó bằng không (JXY=0) được gọi là hệ trục quán tính chính (hệ trục chính). Ta thấy nếu hình phẳng có một trục đối xứng thì hệ gồm trục đó và một trục khác bất kỳ vuông góc với nó sẽ là một hệ trục chính và do đó một hình phẳng có thể có vô số hệ trục chính. 4.4.3. Hệ trục quán tính chính trung tâm. - 87 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hệ trục chính có gốc tọa độ là trọng tâm của hình phẳng được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. Như vậy hệ trục chính trung tâm có: Sx = SY = 0 và JXY = 0. Khi hình phẳng có một trục đối xứng thì trục đó và trục vuông góc với nó tại trọng tâm hình phẳng là một hệ trục chính trung tâm. Hình phẳng có thể có vô số hệ trục chính trung tâm như hình tròn, có 2 hệ trục chính trung tâm như hình chữ nhật, hay có 1 hệ trục chính trung tâm như hình chữ T, Mô men quán tính của hình phẳng đối với các trục của hệ trục chính trung tâm được gọi là mô men (quán tính) chính trung tâm, hay gọi đơn giản là chính tâm. 4.5. Phép chuyển trục song song. Công thức chuyển trục song song mômen quán tính của hệ trục OXY với hệ trục trung tâm oxy: 2 JX = Jx + Fb 2 JY = Jy + Fa JXY = Jxy + Fab Hình 2.4.3 Chứng minh các công thức trên như sau: ta có, X = x + a ; Y = y + b (a) Theo định nghĩa: J Y2dF, J X2dF, J XYdF X Y XY F F F (b) Thay (a) vào (b) suy ra: 2 2 JX = Jx+2bSx+Fb ; JY = Jy+2aSy+Fa ; JXY = Jxy+aSx+bSy+Fab Khi x và y là các trục trung tâm thì Sx = Sy = 0 - 88 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu CHƯƠNG 5 UỐN PHẲNG 5.1. Khái niệm chung Thanh chịu uốn khi trục thanh bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực. Thanh chịu uốn được gọi là dầm. Trong máy móc hay công trình ta gặp rất nhiều các bộ phận chịu uốn. Ta chỉ xét dầm có trục là đường thẳng. Ngoại lực gây ra uốn có Hình 2.5.1 thể là lực tập trung, lực phân bố vuông góc với trục dầm, hoặc là những mô men nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm. Khi các tải trọng cùng nằm trong một mặt phẳng chứa trục dầm thì mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng tải trọng; còn giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang dầm được gọi là đường tải trọng. 5.2. Uốn thuần túy. 5.2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang. a. Thí nghiệm Quan sát một đoạn dầm chịu uốn phẳng thuần tuý có mặt cắt ngang hình chữ nhật trước và sau khi biến dạng: - 89 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Hình 2.5.2 b. Các giả thiết Từ các thí nghiệm dầm chịu uốn phẳng thuần tuý một số giả thiết: Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng: Mặt cắt ngang của thanh trước và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục của thanh. Giả thiết về các thớ dọc: Trong suốt quá trình biến dạng các thớ dọc luôn song song với nhau và song song với trục thanh. Thớ không bị dãn, không bị co gọi là thớ trung hoà. Các thớ trung hoà tạo thành mặt trung hoà (lớp trung hoà). Giao tuyến của mặt trung hoà với mặt cắt ngang gọi là đường trung hoà. c. Thiết lập công thức Dựa vào giả thuyết mặt cắt ngang phẳng và theo nhận xét các ô chữ nhật sau khi bị biến dạng vẫn có các góc vuông ta đi đến kết luận: Trên mặt cắt ngang của dầm chỉ có ứng suất pháp , còn ứng suất tiếp không có, vì nếu có thì sẽ phát sinh biến dạng trượt và các ô không còn vuông góc nữa. Bây giờ ta thiết lập công thức tính ứng suất pháp . m n O O y I K m 1 n 2 dz d Trước khi biến dạng Sau khi biến dạng I K Hình 2.5.3 - 90 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu Xét đoạn dầm nằm giữa hai mặt cắt m-m và n-n cách nhau một đoạn dz. Sau khi bị biến dạng các mặt cắt m-m và n-n vẫn phẳng và làm với nhau một góc d . Gọi là bán kính cong của thớ trung hòa O 1O2. Vì thớ trung hòa không co không dãn nên: O1O2 = O1O2 = dz = .d Thớ IK ở cách thớ trung hòa đoạn y, sau khi biến dạng trở thành cung IK có độ dài: IK = ( + y)d Trước khi biến dạng thớ IK có độ dài là dz nên biến dạng dài tuyệt đối của thớ nàylà: = ( +y)d - d = yd Biến dạng dài tương đối của thớ IK là:  = /IK = yd/ d = y/ Theo định luật Húc ta có ứng suất pháp  = E = E.(y/ ) trong đó E là mô đun đàn hồi khi kéo nén của vật liệu đã biết, còn lại y và chưa biết vì vị trí TTH chưa được xác định. Để xác định Trục trung hoà ta xét một phân tố diện tích dF trên mặt cắt bất kỳ, chẳng hạn mặt cắt m-m. Gọi Trục trung hoà là trục x, trong mặt phẳng xOy phân tố dF có các tọa độ là x và y. Vì dF rất nhỏ nên xem như ứng suất phân bố đều, do đó hợp lực của các ứng suất  trên diện tích dF có trị số là .dF. Trên mặt cắt của dầm uốn thuần túy chỉ có mô men uốn Mx, không có lực dọc nên ta có FdF = 0 và Fy.dF = Mx trong đó các tích phân đều lấy trên toàn diện tích F của mặt cắt; y.  dF là mô men của hợp lực của các ứng suất  trên diện tích dF đối với trục x. Thay vào ta có - 91 -
§Ò c¬ng m«n häc: C¬ häc vµ søc bÒn vËt liÖu F(E/ ).ydF = 0 > (E/ ) FydF = 0 Vì E/ 0 còn FydF=Sx là mô men tĩnh của diện tích F đối với trục x nên ta có Sx=0. Điều đó chứng tỏ Trục trung hoà x đi qua trọng tâm của mặt cắt. Vì trục y là đối xứng nên hệ trục xOy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt, còn trục z trùng với trục dầm. Ta lại có 2 Mx = Fy.(E/ )ydF = (E/ ) Fy dF 2 Biết Jx= Fy dF là mô men quán tính của mặt cắt đối với Trục trung hoà nên; Mx = (E/ ).Jx Rút ra: 1/ = Mx/EJx gọi là độ cong của dầm. Ta thấy khi Mx không đổi nếu EJx lớn thì độ cong bé, tức là dầm bị biến dạng ít, nên EJx được gọi là độ cứng chống uốn của dầm. Cuối cùng ta được:  = y.Mx/Jx , để sử dụng cho thuận tiện ta viết lại như sau:  = (Mx/Jx).y trong đó M x là trị tuyệt đối của mô men uốn tại mặt cắt chứa điểm cần tính ứng suất; Jx là mô men quán tính của mặt cắt đối với Trục trung hoà x; y là khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến Trục trung hoà ;  lấy dấu dương nếu điểm tính ứng suất ở vùng chịu kéo, dấu âm khi ngược lại. 5.2.2. Biểu đồ ứng suất phẳng. Theo công thức ta thấy tại mặt cắt nào đó thì M x và Jx là hằng, ứng suất pháp là hàm bậc nhất của y, nên biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt là một mặt phẳng (mặt ABCD) mà giao với mặt cắt là Trục trung hoà vì tại đó các điểm đều có ứng suất pháp triệt tiêu. Cũng theo công thức ta nhận thấy những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với Trục trung hoà có khoảng cách y đến Trục trung - 92 -