Chuyên đề Phương pháp giải hệ phương trình

Nội dung text: Chuyên đề Phương pháp giải hệ phương trình

1. I.Các hệ phương trình cơ bản A. Hệ phương trình đối xứng : ïì f( xy,0) = Dạng í mà ở đó vai trò của xy, như nhau. îïg()xy,0= ì f(x,y)= f(yx,). Tức là í îg(x,y)= g(yx,). Cách giải: · Thông thường người ta đặt ẩn phụ: S=+xy hay S=-xy P= xy ïì f(SP,0) = Þ í sau đó tìm được SP, và tìm được các nghiệm (xy,) îïg()SP,0= Ví dụ: Giải hệ ìx22y+=xy 6 í îxy+xy+=5 Như đã nói ở trên, ta hãy đặt S=x+=y; Pxy và hệ đã cho trở thành ìSPS==6ìì2S=3 íÞíí hay îS+PP==5îî3P=2 Từ đây ta dễ dàng tìm được các nghiệm (xy,) sau: (xy,)= (1,2);(2,1) · Nhưng để phương pháp trên áp dụng hữu hiệu thì ta nên biến đổi một chút các ẩn số để sau khi đặt ẩn phụ, ta được những phương trình nhẹ nhàng hơn ïìxy+xy+=5 Ví dụ 1: í 33 îï(xy+1)+()+=135 Đặt S=( x+1) +( y+1);P=( xy++11)( ) ta sẽ có hệ phương trình sau ìïP =6 ìSx==5ìì3x=2 í2 ÞÞ í íí hay îïS()SP-=335 îPy==6îî2y=3 ìx+y+xy22+=8 Ví dụ 2: í îxy(xy+1)(+=1)12 ìS=+xy Ở đây theo thông lệ chúng ta hãy thử đặt í , ta thu được hệ sau: îP= xy ìS2 +SP-=28 í îP(PS++=1)12
2. Rõ ràng mọi chuyện không đơn giản chút nào. Tuy nhiên có lẽ các bạn cũng sẽ nhận ra sự tinh tế trong bài tóan, đó là ở bậc của mỗi phương trình. Phương trình đầu tiên bậc 2 có lẽ chứa P. Thể nhưng nó không ở một dạng tích thuận tiện nào,trong khi phương trình thứ hai lại ở dạng tích và bậc 4,gấp đôi bậc 2. Nếu các bạn nhìn trong biểu thức S và P,bậc của P gấp đôi bậc của S,như vậy phải chăng phương trình thư nhất là S,thứ hai là P. Nếu vậy thì các giá trị x và y trong P là gì. Quan sát phương trình thứ hai các bạn có thể dễ dàng nhận ra sự tinh tế này, đó là xx(+1) và yy(+1) . Từ ý tưởng này ta đặt: a=+xx(1) b=+yy(1) Hệ đã cho tương đương với: ììa+ba=8ì=6a=2 í Þ íí hay îîabb==12î2b=6 Như vậy (xy,) là nghiệm của các phương trình sau: i) t2 +t=2Þ=tt1 Ú =-2 12 2 ii)t+t=6Þtt33=2 Ú =-3 Tóm lại nghiệm của hệ đã cho là: (xy,)=(1,-2);(-2,1);(2, 3);(3,2) B. Phương trình đối xứng lọai 2: ì f(xy,)= 0. í î f(yx,)= 0. Đối với dạng hệ phương trình này, ta có thể đưa về một dạng hệ tương đương sau: ì f(x,y)-=f(yx,)0 í î f(x,y)+=f(yx,)0. Hệ phương trình mới mà các bạn thu được là một hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta ìh(x,y)=-f(x,y)f(yx,) đã xét ở phần trên. Thật vậy nếu đặt í . Ta sẽ đưa hệ về îg(x,y)=+f(x,y)f(yx,) dạng: ìh(xy,)0= ìh(x,y)=-h(yx,) í . Ở đó í îg(xy,)0= îg(x,y)=g(yx,). Có thể các bạn thấy rằng h(xy,) không đối xứng hòan tòan (nửa đối xứng). Tuy nhiên ở đây có thể chấp nhận được bởi lẽ hệ ta ở dạng h(xy,)= 0.(Nếu các bạn vẫn thấy ray rứt vì điều này thì các bạn hãy viết dưới dạng h2 (xy,)0= ,chẳng phải h2 (xy,) đối xứng đó sao .Chú ý thêm là tác giả chỉ muốn các bạn nắm bắt mối quan hệ của sự đối xứng và nửa đối xứng một cách rõ ràng hơn, chứ trong lúc giải bài tập các bạn chớ bình phương lên nhé. ☺) C. Phương trình đẳng cấp.
3. ì f(x,ya)= (1) ì f(tx,ty)= tk f(xy,) mà ở đó : í í k îg(x,yb)= (2) î g(tx,ty)= tg(xy,) Ở đây điều kiện thứ hai các bạn có thể hiểu một cách đơn giản là các đơn thức trong các hàm f và g là đồng bậc (bậc của đơn thức hai biến x,y là tổng các bậc của x và y). Nhận xét này sẽ giúp cho các bạn nhận biết được phương trình đẳng cấp một cách dễ dàng hơn. Cách giải tổng quát ở đây là đưa về phương trình: bf(x,y)-=ag(xy,)0,ở dó ab, không đồng thời bằng 0. Nếu a,b đồng thời bằng 0. Ta giải riêng các phương trình f(x,y)==0;g(xy,)0 và so sánh nghiệm. Cách giải tương tự như phương trình bf(x,y)-=ag(xy,)0nên các bạn có thể tham khảo bên dưới. Ta xét 2 trường hợp. ix)0= là nghiệm của hệ phương trình. Điều này thì các bạn chỉ cần thế x = 0 và giải phương trình một biến theo y. Trường hợp này ta thu được nghiệm (x,yy)= (0,1 ) k ii) Trường hợp này ta sẽ tìm các nghiệm khác (0,y1) Chia hai vế cho x trong đó x k là bậc của f . Đặt t = . Ta đưa về phương trình theo ẩn t . Giải phương trình này y x ta tìm được tỉ số .Sau đó thay x thành ty trong (1) . Giải phương trình này theo ẩn y y, ta sẽ rút ra được các nghiệm của bài toán (tyy0 ,)o . Ví dụ: ì3x22-2xyy+=27 í 22 îx+6xyy-38=- Giải: Hệ đã cho tương đương với: ì24x22-16xyy+=1656 í 22 î7x+-42xyy21=-56 ì24x22-16xyy+=1656 Ûí22 î31x+26xyy-=50(*) Ta giải (*). 31x22+26xyy-=50 Û(31x-5y)(xy+=)0( ) é31xy-=50(1) Ûê ëxy+=0(2) Từ đây ta có thể dễ dàng giải được bằng cách thế vào hệ phương trình ban đầu
4. II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức : Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là ta sẽ thấy số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn . Ví dụ1 Giải hệ phương trình nghiệm dương : ìx+yz+=3 ï í 3 1+x1+y11+z=+3xyz îï()()()() Giải: 2 3 VT= 1+x+y+z+()xy+yz+zx+³xyz 1+333xyz+313()xyz+xyz=+(xyz ) Suy ra dấu bằng xảy ra khi x==yz=1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : ïìx+1+x+3+x+5=y-1+yy-35+- í22 îïx+y+xy+=80 Giải: Đk: xy³-³1;5 Giả sử x>y-6Þ>VTVP x<y-6Þ<VTVP Suy ra xy=-6 Đến đây bạn đọc có thể tự giải Ví dụ 3: Giải hệ : ì3x42yz ï++=1 íx+1yz++11 ï9342 î8.1xyz = Giải: -Bài tóan này có số ẩn nhiều hơn số phương trình vì vậy ta sẽ sự dụng bất đẳng thức -Nhận xét : bậc của x,y,z khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho xuất hiện bậc giống hệ 12x42yz =++ Ta có: x+1x+1yz++11 Áp dụng Cauchy 8 số: 1 = x+1 xxyyyyzzx2yz42 +++++++³88 x+1x++111yy+y+1y+++111zz (x+1)2(yz++11)42()
5. Hòan tòan tương tự : 1 x3yz32 ³88 y+1 (x+1)3(yz++11)32() 1 x3yz41 ³88 z+1 (xyz+1)3(++11)41() Từ các bất đẳng thức thu được ta có: 243216 1119 xyz ³88 ()1+xy3()1+4()1+z2(1+x)24(11++yz)32()16 Þ£819x3yz42 xyz11 dấu bằng xảy ra Û ===Ûx=yz== x+1yz++1198 ì42697 ïxy+= Ví dụ 4: giải hệ: í 81 ï22 îx+y+xy-3xy-4+=40 Giải: -Ví dụ này chúng tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x,y nhờ điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai -Xét phương trình bậc hai theo x: x22+x(y-3)+yy-4+=40 22 7 =(y-3)-4(y-2)£0Û(y-1)()3yy-7£01Û££ 3 4 Tương tự xét phương trình bậc hai theo y thì ta có 0££x 3 42 42æ4öæö7697 Suy ra: xy+£ç÷+=ç÷ è3øèø381 4 7 Þ=x và y= .Tuy nhiên thế vào hệ thì bộ nghiệm này không thỏa 3 3 Vì vậy hệ phương trình vô nghiệm Ví dụ 5: Giải hệ: ìx5-x42+=22xy ï542 íy-y+=22yz ï542 îz-z+=22zx
6. Ý tưởng của bài tóan này là ta phải đóan nghiệm của hệ là x=yz==1,sau đó chứng minh là x >1 hay x 1 Þ2=z5-z4+2z2x>z5-z4+2z24Þ0>( z-1)( zz++22) Do zz4 ++22 luôn dương nên 1 > z Tương tự Þyx>11Þ<ÞVô lí Tương tự x <Þ1 vô lí.Vậy x=1Þyz=11Þ= Bài tập luyện tập Giải các hệ: ì y 21+=6y 1988 2 ï 2 ìx=( yz-+12)( ) ïx ìx+yz+=2 ï ïz 1) 2) 2 3) 216z 1988 í 2 íy=(zx-+12)() í 2 += î24xyz-= ï ïy z2=xy-+12 îï ()() ïx ï21+=6x 1988 îz2 ì 2x2 = y ï1+ x2 ï ì222 2 x+yz+=3 ï 2y ï 222 4) í 2 = z 5) í xyz ï y +1 ï ++=9 î yzx ï 2z2 ï = x î z2 +1 B.Đặt ẩn phụ: Đôi khi bài tóan sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x,y,z, ) nhưng chỉ sau một phép đặt a=f(x),b==f(y),cfz(), Ví dụ 1:Giải hệ ìxy 12 = ï xy+ 5 ï ï yz 18 í = ï yz+ 5 ï xz 36 ï = î xz+ 13 111 Hướng dẫn: Đặt a=,bc==,. xyz Ví dụ 2: Giải hệ:
7. ì x2(y+z)2=(3x2++x1) yz22 ï22222 íy(x+z)=(4y++y1) xz ï22222 îz(x+y)=(5z++z1) xy Nếu x = 0 dễ dàng suy ra được: yz==0.Như vậy (x,yz,)= (0,0,0) là một nghiệm của hệ. Ta tìm các nghiệm khác (0,0,0) Chia hai vế cho x2yz22 ta thu được hệ tương đương: 2 ìæöyz+ 11 ïç÷=3++2 ïèøyzxx ï 2 ïæöxz+ 11 íç÷=4 ++2 ïèøxzyy ï 2 æöxy+ 11 ï =5 ++ ïç÷ 2 îèøxyzz 111 Ta lại đặt a=;;bc== ta nhận được: xyz ì(a+b)22=cc++5(1) ï 22 í(b+c)=aa++3(2) ï 22 î(a+c)=bb++4(3) (2)-(3)Þ(a-b)(2(abc++)+=11) Lấy (1)-(2)Þ(b-c)(2(a+bc+)+=1)1 Từ đây suy ra a-=-bbcÞa+=cb2 Thay vào (2) ta được 3bb2 -+=40. Từ đây các bạn có thể dễ dàng giải tiếp bài toán. Ví dụ 3: Giải hệ ìxy3 (6+=21)1 í 3 îxy(-=6)21 Nếu giải hệ với ẩn (xy,) thì ở đây ta thật khó để thấy đwocj hướng giải. 1 Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt x = . z ìzy3 =+216 í 3 îyz=+216 Đây là hệ đối xứng mà ta có thể dễ dàng tìm ra đước hướng giải. ☺ Sau đây là bài tập áp dụng dành cho bạn đọc: Bài tập luyện tập. Bài 1: Giải hệ:
8. ì2x22+2xy++=26 í îxy(xy+xy++=1)4 Bài 2: Giải hệ: ì(x+y+=zt)3312 ï ï(y+z+=tx)3312 í 33 ï(z+t+=xy)12 33 îï(t+x+=yz)12 C.Tính các đại lượng chung Ý tưởng của phương pháp này là tính các đại lượng trong đó. Ví dụ 1:Giải hệ: ìxy+yx+2+=24 ï íyz+2zy+=36(*) ï îxz+zx+=35 ì(xy+1)(+=2)6 ï (*)Ûí(y+2)(z+3)=12Þ(x+1)(yz+2)(+3)=±24 ï î(zx+3)(+=1)8 Từ đây các bạn có thể có thể giải tiếp một cách dễ dàng. Ví dụ 2:Giải hệ: ìuv+=2(1) ï ïux+=vy 3(2) í22 ïux+=vy 5(3) 33 îïux+=vy 9(4) Giải: Nhân xy+ vào (3) Þux3+vy3+ux22y+vxy=+5()xy Þ9+3xy=+5()xy Nhân xy+ vào (2) Þuy+vx=2(xy+-)3 Nhân xy22+ vào (2) 3(x22+y)=9+xy(uy+vx)=9+xy[2(xy+-)3] Đặt a=x+=y;bxy . Đến đây các bạn có thễ dễ dàng giải tiếp ☺. Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ
9. ìx2+y2+zt22+=50 ï ïx2-y2+zt22-=-24 í ï xz=yt îïx-y+zt+=0. Bài 2:Giải hệ ìy2 -=xzb ï2 íz-=xyc (abc,, là những hằng số) ï2 îx-=yza Bài 3:Giải hệ ìax+by=-()xy2 ï 2 íby+cz=-()yz (abc,, là những hằng số) ï 2 îcz+ax=-()zx Bài 4:Giải hệ. ìx32+x(yz-=)2 ï32 íy+y(zx-=)30 ï32 îz+z(xy-=)16 D.Nhân liên hợp. Phương pháp này chủ yếu bỏ dâu căn thức đễ dễ tính toán hay để xuất hiện những đại lượng có thể đặt ẩn phụ. Ví dụ 1:Giải hệ: ïìxy+=4 í (1) îïxy+5++=56 Giải: Ta có: ìïx+5+x+yy+5+=13 (1) Ûí îïx+5-+xyy+52-= ìx+x+5+yy++=513 ï Ûí 55 ï+=2 îx+x+55yy++ Đặt u=xx++5 v=yy++5 Ta suy ra:
10. ìuv+=10 ï í112 += îïuv5 ìuv+=10 Þí îuv =25 Þu=v=5Þxy==2. Ví dụ 2: Giải hệ: ìæö5 ïç÷3-=24y ïèøyx+42 í æö5 ï32+=x ïç÷ îèøyx+42 Giải: Từ hệ ta suy ra điều kiện: xy,0> Hệ đã cho tương đương với: ì 42 ï +=6 ï 2yx í 1024 ï =- îïyx+42 xy2 1512 Þ=- y+42xxy Þ15xyy=(-+2x)(yx42) Þy22+25xyx-=840 Þ(3x-y)(yx+=28)0 é3xy= Þê ëyx+=280 Trường hợp thứ hai ta loại do không thỏa điều kiện xy,0> . Thay vào hệ ban đầu ta thu được nghiệm sau: æö5++26526 (xy,),=ç÷ èø279 Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ ïìxy+6++=15 í îï xy+1++=65
11. Bài 2: Giải hệ ïì-x+y+xy +1=-52 í îï (xy-1)(-=1)1 Bài 3: Giải hệ ì xy ïx+11+x-=yy++- í 22 ï î y+x+2(xy+1)(+=1)0 Kết thúc bài viết là phần bài tập tổng hợp các mục về hệ phương trình mà ta đã xem xét: III)Bài tập tổng hợp. Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: ìx22y+=xy 6. a) í îxy+xy+=5. ìx4+x2yy24+=21 b) í 22 îx-xyy+=7 Bài 2: Giải hệ phương trình sau: ì x+y+xy22+=8 í îx(x+1)+yy(+=1)12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau: 3223 ìïx+y+x+2xy+20xyy+= í îï xy=-2. Bài 4:Giải hệ phương trình sau: ìxy-=6 í33 îxy-=126 Bài 5:Giải hệ phương trình sau: ìx22+=ya2 í î2xya+=12