Bài thảo luận nhóm môn Giải tích 1 - Chủ đề: Phương trình vi phân

Nội dung text: Bài thảo luận nhóm môn Giải tích 1 - Chủ đề: Phương trình vi phân

1. - GVHD : Lê Ngọc Cường - Lớp HP : 1016FMAT0211
2. Mục lục: ❖ Các dạng phương trình vi phân cấp 1 và ví dụ. • Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li. • Phương trình vi phân có dạng y’= f(x). • Phương trình đẳng cấp cấp 1. • Phương trình tuyến tính cấp 1. • Phương trình Bernoulli. ❖ Các dạng phương trình vi phân cấp 2 và ví dụ. • Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được. • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng. ❖ Ứng dụng của phương trình vi phân. • Mô hình ô nhiễm môi trường.
3. Các khái niệm cơ bản: • Định nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập (hay các biến độc lập) hàm chưa biết và đạo hàm của hàm số đó. • Cấp của phương trình vi phân: là cấp cao nhất của đạo hàm của hàm số có mặt trong phuong trình đó. -Dạng tổng quát của PTVP cấp n với biến độc lập x, biến phụ thuộc y là trong đó không được khuyết . • Nghiệm của phưng trình vi phân: Cho một PTVP cấp n, mọi hàm số, khả biến đến cấp n mà khi thay vào phương trình đó cho ta đồng nhất thức đều gọi là nghiệm của PTVP đó.
4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 có dạng : + Dạng tổng quát F(x, y, y’) =0 + Dạng chính tắc y’= f(x) 2. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm : - Cho PTVP cấp 1:y’=f(x,y) nếu f(x,y) liên tục trên miền mở D với Mo(xo,yo) D tồn tại nghiệm y=f(x) Thỏa mãn yo=y(xo). Nếu f(x)liên tục trên D thì nghiệm đó là duy nhất 3.Điều kiện ban đầu của PTVP: Nếu gọi là điều kiện ban đầu
5. 2.Các loại phương trình vi phân cấp 1 2.1 Phương trình có dạng y’= f (x) Phương pháp giải: tích phân 2 vế ta được 2.2 Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li: a. Dạng: f(x)dx = g(y)dy b. PP: tích phân 2 vế ta được g(y)dy = f (x)dx +c vd: xdx + ydy = 0 tích phân 2 vế ta được 2 y2 xdx+ ydy =c x + =c 2 2 x2 + y2 =2c là nghiệm của phương trình.
6. 2.3 Phương trình đẳng cấp cấp 1: a.Dạng (1) y u = y = u.x y'= u + xu' cách làm: Đặt x Thay y’ vào phương trình (1) ta được vd: gpt (x + 2y)dx − xdy = 0 dy y =1+ 2 (ĐK :x 0) dx x y u = y = u.x y'= u + xu' Đặt x
7. Thay y’ vào phương trình ta được u + xu'=1+2u du = dx (ĐK :1+ u 0) 1+ u x ln1+ u = ln x + c 1+ u = c.x y Thay u = ta có: y = x(cx −1) x Trường hợp x = 0 là nghiệm của (1) .
8. b.Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp - Dạng - Cách giải: + Xét định thức + Đặt: dY aX + bY Khi đó ta có = f dX dX + eY Đặt .Ta giải → giải PT đẳng cấp + Nếu định thức thì Đặt đưa về PT vế phải không chứa
9. Ví dụ: GPT Ta có: Đặt: Khi đó ta có: (*) Đặt:
10. 2.4 Phương trình tuyến tính cấp 1 a. Dạng: y'+P(x)y = Q(x) (*) • Nếu Q(x) = 0 thì phương trình y'+P(x)y = 0 được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất. • Nếu Q(x) 0 thì phương trình (*) được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. Nghiệm tổng quát của phương trình b. Cách giải: tuyến tính cấp 1 (*) có dạng: y = e− P( x)dx[ Q(x).e P( x)dxdx + c]
11. Cách giải: Bước 1: giải pt thuần nhất: y'+P(x)y = 0 ( y=0 không phải nghiệm của phương trình đã cho) Bước 2: Coi D=D(x) thay y’ vào PT: y '+ P ( x ) y = Q ( x ) được: P(x)dx D(x) = Q(x).e dx + c]
12. Ví dụ: GPT (*) Xét phương trình thuần nhất: Coi D=D(x) Thay y’ vào (*) ta được: (1)
13. 2.5 Phương trình Bernouli a) Dạng y'+P(x)y = Q(x).y (*) b)Cách giải:+, = 0 (*) là pt tuyến tính cấp 1 +, =1 (*) có dạng y'+P(x) −Q(x)y = 0 Đây là pt tuyến tính cấp 1 thuần nhất + chia cả 2 vế y (*) có dạng #0,1 y y y 1− + P(x) = Q(x) Đặt z = y z = (1− ) y y y z (*) + P(x)z = Q(x) z + (1− z)zP(x) = (1− )Q(x) 1− +,y=0 là nghiệm của pt
14. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 1.Định nghĩa •Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng: F(x, y, y', y") = 0 hay y"= f (x, y, y') •Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm y = (x,c1,c2)
15. Tìm nghiệm phương trình vi phân cấp 2: y"= f (x, y, y') thỏa mãn điều kiện đầu: y(x0) = a x, a, b các số cho trước y'(x0) = b 2. Các dạng toán của phương trình vi phân cấp2: a. Dạng y"= f (x) - Cách giải :tích phân 2 lần b- Dạng: y"= f (x, y') - Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt z(x) = y'
16. 3. Phương trình dạng: a- Dạng: y"= f (y, y') b- Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt z(y) = y' dz dz dy dz y"= =  = z  = z'.z dx dy dx dy -Vd:
17. Vd: giải pt: y.y"−y'2 = 0 (1) Đặt z(y) = y' y"= dz  z dy (1) y dz  z − z2 = 0 dy dy = dz ; (ĐK : y 0, z 0) y z ln y + c1 = ln z z = c1y Vậỵ phương trình có nghiệm z = c1y
18. 4.Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : Phương trình tuyến tính cấp 2 có dạng tổng quát là y"+ay'+by = f (x) a,b các hằng số a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng số: y"+ay'+by = 0 (*) Phương trình 2 + a + b = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (*).
19. Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt 1 , 2 Nghiệm tổng quát của ptrinh (*) là: 1x 2x y(x) = c1e + c2e Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép 1 = 2 1x Nghiệm tổng quát của p trình (*) là: y(x) = (c1 + c2x)e Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức 1 = + i 2 = −i Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: x y(x) = e (c1 sin x + c2 cosx)
20. b)Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng số: y"+ay'+by = f (x) Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: y(x) = y(x) + yˆ(x) y(x) là nghiệm tổng quát của phương trình Với thuần nhất: y"+ay'+by = 0 yˆ(x) là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: y"+ay'+by = f (x)
21. Cách tìm nghiệm riêng yˆ(x) x Trường hợp f (x) = e Pn (x) ✓Nếu α không phải là nghiệm của phương trình 2 ˆ x đặc trưng:  + a +b = 0 y(x) = e .Qn (x) ✓Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng: 2 2 x  + a + b = 0 Lúc này: yˆ(x) = x .e .Qn (x) ✓Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng: x Khi đó: yˆ(x) = x.e .Qn (x)
22. 2x vd: tìm nghiệm tổng quát y"−2y'+y = xe (1) Nghiệm tổng quát của pt (1) có dạng: y(x) = y(x) + yˆ(x) Bước 1: Tìm y(x) Phương trình đặc trưng k 2 − 2k +1 = 0 có x nghiệm kép k1 = k2 =1 y(x) = (c1 + c2x)e Bước 2: Tìm Ta có: f (x) = e2x x α=2 là ko là nghiệm của phương trình đặc trưng yˆ(x) = e2x.(Ax + B) là nghiệm riêng của (1) Lấy yˆ ( x ) thế vào(1) A =1 , B = −2 x 2x Vậy nghiệm TQ là: y(x) = (c1 + c2x)e + (x − 2).e
23. •Trường hợp x f (x) = e [Pn (x)(sin x + Qm (x).cos x] ✓ Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì x yˆ(x) = e [Hl (x)sin x + Kl (x)cos x] l = max{m, n} ✓ Nếu α ± iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng thì x yˆ(x) = x.e [Hl (x)sin x + Kl (x)cos x] l = max{m, n}
24. VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y"+4y = cos2x Bước 1: Tìm y(x) Phương trình đặc trưng k 2 + 4 = 0 có nghiệm phức là: k1 = 2i, k2 = −2i ox y(x) = e (c1 cos2x + c2 sin 2x) Bước 2: Tìm yˆ(x) f (x) = (1.cos2x + 0.sin 2x) ( =0, =2,m=0,n=0)
25. Ta có: i = 2i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên yˆ(x) = xeox(Acos2x + Bsin 2x) Lấy yˆ(x)thế vào phương trình đầu ta tính được 1 A = 0 , B = 4 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là: y(x) = y(x) + yˆ(x) 1 = (c cos2x + c sin 2x) + x sin 2x 1 2 4
26. • Trường hợp nguyên lí chồng chất nghiệm: là nghiệm riêng của phương trình: yˆ1(x) y"+a(x)y'+b(x)y = f (x) 1 Với là nghiệm riêng của phương trình: yˆ2 (x) y"+a(x)y'+b(x)y = f2(x) Khi đó: yˆ(x) = yˆ1(x) + yˆ2(x) Là nghiệm của phương trình y''+a(x)y'+b(x)y = f1(x) + f2(x)
27. Phần 3:ứng dụng của phương trình vi phân Mô hình ô nhiễm môi trường • Gọi y là hàm lượng . Hàm lượng tăng theo quy x: lượng mà nhà máy thải ra vào khí quyển luật: (1) : tham số biểu diễn tỉ phần C hấp thụ bởi MTTN •Giả sử thải ra khí quyển tăng theo quy luật: (2) (a,b, β: hằng số dương) β: biểu diễn tỉ phần bị hạn chế bớt do hoạt động chống ô nhiễm của các quốc gia Mô hình này là 1 hệ 2 PTVP cấp 1, ta có biểu diễn chúng dưới dạng PTVP cấp 2.
28. Đạo hàm 2 vế phương trình (1) ta có: (3) Thế (2) vào (3)  Xét phương trình thuần nhất, tìm nghiệm =
29. Nghiệm của phương trình thuần nhất: y(t) = Sử dụng hệ số bất định : yˆ (t) = • → nghiệm phương trình • → nghiệm kép : = → nghiệm của PT :
30. 2 • →  +  +  = 0 Nghiệm phức − (4 − 2 ).i  = ( ) 1,2 2 Nghiệm tổng quát: y(t) = .( 3 trường hợp y(t)= 0 khi ( số âm)